jueves 1 de marzo de 2012 clase 13 de 1:30 horas. van 19:30 horas
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Jueves 1 de marzo de 2012Clase 13 de 1:30 horas.Van 19:30 horas
Advanced Quantum TheoryPaul Roman.Addison-Wesley, 1965. ISBN 0201064952
Quantum Mechanics, Concepts and ApplicationsN. Zettili; Wiley 2001
Quantum mechanics. Second editionV.G. Thankappan. New Age, 1993. 9788122425000
Quantum PhysicsF. Scheck. Springer, 2007
Essential Quantum MechanicsGary E. Bowman, 2008, Oxford University Press 0199228922
Introduction to Quantum MechanicsD. Griffiths. Prentice Hall 1995. ISBN 0131244051
Principles of quantum mechanics. Second editionR. Shankar 0306447908
I. Introducción1.1 La ecuación de Schrödinger1.2 Problemas unidimensionales
1.2.1 La partícula libre1.2.2 Pozos1.2.3 Barreras y tuneleo1.2.4 El oscilador armónico
II. El formalismo de la Mecánica Cuántica
III. Descripción cuántica del átomo.
IV. Interacción semiclásica átomo-radiación.
El estado de un sistema físico está
exhaustivamente caracterizado por
un vector de estado .
El vector de estado es un vector de
un espacio de Hilbert o su
generalización (rigged Hilbert space).
Toda función de onda puede
ser desarrollada en términos
de las funciones propias
ˆdel operador asociado a
alguna variable dinámica .
i
A
A
, ,
donde
ˆ
n nn
n n n
x t c x t
A a
Toda función de onda puede ser desarrollada
en términos de las funciones propias del
ˆoperador asociado a alguna variable dinámica .
i
A A
La medición de las variables dinámicas
(cantidades físicas u observables)
colapsa el vector de estado del sistema
al vector propio de la cantidad observada;
es decir, el vector de estado se reduce
al vector propio perteneciente al valor
propio observado al realizar la medición.
Una superposición coherente
, ,
se colapsa a una función propia
cuando se hace una medición.
n nn
j
x t c x t
1) = donde
ó
2) donde ,
a a a
a a a aa
a
c c
Medicióna a a
a
c
Un sistema físico existe simultaneamente
de manera parcial en todos los estados
teóricos posibles, pero cuando se efectua
una medición se obtiene un resultado
que corresponde a sólo una de las
configuraciones posibles.
No todas las variables dinámicas pueden ser medidas simultaneamente.
La medición de las variables dinámicas (cantidades físicas u observables)
colapsa el vector de estado del sistema al vector propio de la cantidad
observada; es decir, el vector de estado se reduce al vector propio
perteneciente al valor propio observado al realizar la medición.
Para que dos variables dinámicas puedan ser medidas
simultaneamente deben tener vectores propios comunes.
La condición necesaria y suficiente para que dos o más
variables dinámicas puedan ser medidas simultaneamente
es que los operadores correspondientes conmuten.
Dos operadores tienen vectores propios comunes si y sólo si conmutan.
2 22 2 2 2
22 2
2
ˆ
ˆ
ˆ1 1ˆ ˆ2 2 2 2
1ˆ2 2
x x x
dp p i
dx
p pH m x H m x
m m
dH m x
m dx
2 22 2
2
1/4 2
1
2 2
1exp
22 !
10,1,2,...
2
n nn
n
dm x E
m dx
m m m xx H x
n
E n n
0
n nn
x c x
1/ 4 21
exp22 !
10,1,2,...
2
n nn
n
m m m xx H x
n
E n n
0
n nn
x c x
1/ 4 21
exp22 !
10,1,2,...
2
n nn
n
m m m xx H x
n
E n n
1/ 4 2
0
1 1exp 0,1,2,...
2 22 !n n nn
n nn
m m m xx H x E n n
n
x c x
; ,
2 0
1/ 4 2
4 4
Molécula de H : Tiene 0.543
Medimos la energía vibracional
y encontramos 2.44 eV.
Entonces sabemos que está en el estado 4,
y la función de onda se colapsó a
1 exp28 6
n
m m m xx H x
2 2
2
La ecuación de Schrödinger
2
er E r
m r
4
2 2
1 1,2,3...
2e
n
m eE n
n
2 2
2
2
er E r
m r
3
2 113
0 0 0 0
29
0 2
1 !2 2 2, , exp ,
2 !
1,2,3...; 1;
donde
5.3 10 cm
l
l mnlm n l l
e
n l r r rr L Y
na na na nan n l
n l n m l
am e
2 2 4
22 2
1 ; 1,2,3...
2 2e
n
e m er E r E n
m r n
1
1 0
, , , ,n l
nlm nlmn l m l
r c r
2 2 42
2 2
3
2 113
0 0 0 0
1 ; 1,2,3...
2 2
1 !2 2 2, , exp ,
2 !
en
l
l mnlm n l l
e m er E r E n
m r n
n l r r rr L Y
na na na nan n l
4
2 2
1 1,2,3...
2
, , ,
1,2,3...; 1;
en
mnlm nl l
m eE n
n
r R r Y
n l n m l
1
2
0
2 1n
l
l n
1 (1,0,0)
2 (2,1,0) (2,1,1) (2,1,-1) (2,0,0)
3 (3,2,2) (3,2,1) (3,2,0) (3,2, 1) (3,2, 2) (3,1,1) (3,1,0) (3,1, 1) (3,0,0)
n
n
n
4
2 2
12
0
1 1,2,3...
2
, , ,
1,2,3...; 1;
2 1
en
mnlm nl l
n
l
m eE n
n
r R r Y
n l n m l
l n
3 (3,2,2) (3,2,1) (3,2,0) (3,2, 1) (3,2, 2)
(3,1,1) (3,1,0) (3,1, 1) (3,0,0)
n
4
2 2
1
1 0
1 1,2,3...
2
, , , ,
en
n l
nlm nlmn l m l
m eE n
n
r c r
1.51 eV 3E n
2
3 30
, , , ,l
lm lml m l
r c r
3 (3,2,2) (3,2,1) (3,2,0) (3,2, 1) (3,2, 2)n
4
2 2
1 1,2,3...
2
1.51 eV 3
en
m eE n
n
E n
342.58 1 j0 s 2L l
2
32 322
, , , ,m mm
r c r
320
3 (3,2,0)
, , , ,
n
r r
2
34
4
2
1 1,2,3...
2
1.51 eV 3
j s 22.58 10
en
m eE n
n
E n
lL
0 j s 0zL m
2
2
2
Necesitamos
ˆ ˆ ˆ , y
para poder determinar el estado del sistema.
Tenemos que
ˆ ˆ, 0
ˆ ˆ, 0
ˆ ˆ, 0
z
z
z
H L L
H L
H L
L L
Un conjunto de operadores hermitianos
ˆ ˆˆ, , , ... es llamado un conjunto
completo de operadores que conmutan
(complete set of commuting operators
CSCO) si conmutan entre ellos y si el
conjunto de sus e
A B C
stados propios comunes
es completo y no degenerado (único).
Para un sistema dado existe
siempre un conjunto completo
de operadores que conmutan.
La medición simultanea de este "conjunto completo"
de variables dinámicas independientes es llamada
una "medición completa", y significa conocer con
certeza lo valores propios de todas las variables
compatibles (que conmutan).
Para un sistema dado existe siempre
un conjunto completo
de operadores que conmutan.
Una medición completa de este
tipo proporciona el máximo de
información que se puede
obtener de un sistema cuántico.
La caracterización completa de un sistema
en un instante dado requiere la medición
de todas las variables dinámicas compatibles
que pertenecen al conjunto completo de
operadores que conmutan.
Una vez hecho esto, se usan los vectores
propios comunes de estas variables dinámicas
compatibles que caracterizan el estado del
sistema.
Es este vector propio común de
todos los miembros del conjunto
completo de operadores que
conmutan en el cual el estado
es proyectado con la medición
completa (maximal).
Este es el vector de estado.
1 2
1 2 3
1 2 3
, ,...,
Si el conjunto completo de operadores que
conmutan consiste de las variables dinámicas
, , ,...,
y sus valores propios son
, , ,...,
entonces denotaremos el estado como
=n
n
n
Usaremos de aquí en adelante
la notación de Dirac. La notación
de Dirac no sólo simplifica la
escritura y la presentación de
las fórmulas, sino que permite
pensar ciertas expresiones de
una manera diferente.
En adelante, casi siempre,
denotaremos a los vectores
en lugar de como ;
es decir, los vectores ahora
son , con "algo adentro"
para identificarlos.
x x
1
2
0
x
ya v
z
t
Por ahora, son simple y sencillamente
los vectores de nuestro espacio vectorial.
Los llamaremos también "kets" .
Una funcional lineal
(formas lineales, uno-formas, covectores)
es una función
:
tal que
f V
f f f
C
El conjunto de las funcionales lineales,
con las operaciones usuales de suma y
multiplicación por un escalar, es un
espacio vectorial.
Una funcional lineal es una función :
tal que
f V
f f f
C
El conjunto de las funcionales lineales,
con las operaciones usuales de suma y
multiplicación por un escalar, es un
espacio vectorial.
*
El espacio vectorial de las
funcionales lineales es el
espacio dual de , y se
denota .
V
V
Dado un vector fijo , construimos
:
con la regla
,
V
f V
f
C
Dado un vector fijo , construimos
: con la regla ,
V
f V f
C
Es fácil demostrar (háganlo),
que es una funcional lineal.
Dado un vector fijo , construimos
: con la regla ,
V
f V f
C
Introducimos una nueva notación:
entonces escribimos
,
f
f
Dado un vector fijo , construimos
: con la regla ,
V
f V f
C
Introducimos una nueva notación:
entonces escribimos
,
f
f
A la funcional lineal le llamamos "bra"
Dado un vector fijo , construimos
: con la regla ,
V
f V f
C
Introducimos una nueva notación: f
*
Los kets son vectores del espacio .
Los bras son elementos (también vectores)
del espacio dual .
V
V
Los vectores columna son
los "kets" .x
* * *1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2
Del teorema de Plancherel sabemos que
en un espacio vectorial de 3 dimensiones:
, , , ,x y z x y z x x y y z z
1
* * * * * *2 2 2 1 1 2 1 2 1 2
1
Pensemoslo como matrices:
x
x y z y x x y y z z
z
* * *1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2
Del teorema de Plancherel sabemos que
en un espacio vectorial de 3 dimensiones:
, , , ,x y z x y z x x y y z z
Los vectores renglón son
los "bras" .
Los vectores renglón son los "bras" .
Los "bras" son los transpuestos
conjugados de los "kets"
Los vectores renglón son
los "bras" .
1 0 1a
u v w x
El producto escalar queda entonces:
"de manera natural".
a b
El producto escalar queda entonces:
"de manera natural".
a b
es un"bra-ket", obvio,
de bracket.
a b
ˆSi , entonces ' .f V A f f V
Linealidad:
ˆ ˆ ˆA r f s g rA f sA g
ˆSi , entonces ' .f V A f f V
Los operadores también actuan
sobre los bras:
ˆ'f B f
ˆ ˆ ˆf r g s A r f A s g A
Linealidad:
ˆ ˆ ˆA r f s g rA f sA g
1 1 1
Si se conoce la acción de un operador
sobre los vectores de la base 1 ,...,
ˆ = ' ,
se conoce su acción sobre cualquier vector
ˆ ˆ ˆ 'n n n
i i ii i i
n
A i i
A f A f i f A i f i
ˆSea : un operador lineal.
ˆTenemos para todo .
A todo operador lineal le podemos
asociar una matriz.
¿Cómo la encontramos?
A V V
g A f f V
1
1 1
1 1
ˆ
donde
ˆ ˆ ˆAdemás
así que
ˆ ˆ
n
i ii
n n
j jj j
n n
i j ij jj j
g A f
g g i g i g
A f A f j f A j
g i A f f i A j a f
1
1 11 12 1 1
2 21 2
1
. . . .
. . . .
. . . .
n
i ij jj
n
n n nn n
g a f
g a a a f
g a f
g a a f
1 1
ˆ
ˆ ˆn n
i j ij jj j
g A f
g i A f f i A j a f
ˆija i A j
11 12 1
21
1
. .
. .
. .
n
n nn
a a a
a
a a
La misma matriz sirve para los bras.
ˆSea : un operador lineal.
ˆTenemos para todo .
Entonces
ˆ ˆ
A V V
g A f f V
A i A j
ˆ
1 0 0
0 1 0
0 0 1
.
.
0 0 0 1
iji I j i j
x xa xb xc
y a b c ya yb yc
z za zb zc
¿Le podemos asignar algun significado
al productor exterior ?f g
¿Le podemos asignar algun significado
al productor exterior ?f g
En resumen,
Así que podemos considerar a
un operador.
f g h f g h f g h g h f
f g h g h f
f g
1 1 1
1
1
Si el conjunto 1 , 2 ,..., ,... es completo
"Abusando" de la notación
n n n
ii i i
n
i
n
i
j
f f i i f i i i f
f i i f
i i I
El objeto
actua sobre el vector ,
y da .
i i
f
i f i
1 1 1
n n n
ii i i
f f i i f i i i f
El objeto es un operador lineal,
se le llama el proyector sobre el ket ,
ˆy se le denota como i
i i
i
P i i
= .i i f i f i
1 1 01 0
0 0 0 0
0 0 0 00 1
1 0 1
x x x
y y
x x
y y y
= .i i f i f i
=i i f i f i
= cos
= cos
a a c a c a a c a
e e c e c e c e
1
1
Ya que esto es cierto para todo ,
ˆ
n
i
n
i
x i i x
x
i i I
1 1 1
n n n
ii i i
x x i i x i i i x
1
ˆn
i
i i I
A esta relación se le llama relación de
completez.
*
ˆ
ˆ
i i
i i
P f i i f i f
f P f i i f i
ˆ ˆ ˆi j ij jPP i i j j P
0
0
0
0 0 0 1 0 0 01
0
0
i i
0
0
0
0 0 0 1 0 0 01
0
0
i i
0 0 0 0 0
0 0
0
00 0 0 1 0 0 0
1 1
0
0
0 0 0
i i
i ki il kl likl
P k i i l
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ij
k
ik kjk k
AB i AB j i AIB j
i A k k B j
i A k k B j a b
†
*†
Sea un operador lineal.
Se define el operador adjunto
como aquel que cumple
, ,
para todo par de vectores y .
En la notación de Dirac,
A
A x y x Ay
x y
y A x x A y
*
Sea un operador lineal.
El operador es hermitiano
si
para todo par de vectores
e .
A
y A x x A y
x y
El estado de un sistema físico está
exhaustivamente caracterizado por
un vector de estado .
El vector de estado un vector de un
espacio de Hilbert o su
generalización (rigged Hilbert space).
La caracterización completa de un sistema
en un instante dado requiere la medición
de todas las variables dinámicas compatibles
que pertenecen al conjunto completo de
operadores que conmutan.
Una vez hecho esto, se usan los vectores
propios comunes de estas variables dinámicas
compatibles que caracterizan el estado del
sistema.
Es este vector propio común de
todos los miembros del conjunto
completo de operadores que
conmutan en el cual el estado
es proyectado con la medición
completa (maximal).
Este es el vector de estado.
1 2
1 2 3
1 2 3
, ,...,
Si el conjunto maximal consiste
de las variables dinámicas
, , ,...,
y sus valores propios son
, , ,...,
entonces denotaremos el estado como
=n
n
n
1 2 3
En notación de Dirac
, , , , n
1
1 2
1 2
,...,
Si el conjunto minimal consiste de las
variables dinámicas (observables)
, , ... ,
y los valores propios son
, , ,
entonces denotaremos el estado como
n
n
n
1 1
2 2
1
Se tiene entonces
Ya que los vectores propios de un operador
hermitiano forman un conjunto ortonormal
completo, dos estados ,..., que difieren
en al menos un índice son ortogonal
n n
n
es.
1 2, , , 1 2 3
1 2 3
Un estado arbitrario del sistema
puede ser expresado como la
superposición
, , , ,
donde la suma va sobre todos los
valores posibles del conjunto de
índices , , , , .
n n
n
c
1 2, , , 1 2 3
Una estado de la forma
, , , ,
no es un estado propio del
conjunto maximal, sin embargo es
un estado perfectamente bien
definido del sistema.
n nc
1 2 3
Consideremos una base ortonormal y completa
de un espacio de Hilbert separable.
Esto quiere decir que la base es numerable,
y la denotaremos como
, , ,..., ,....
Como es ortonormal y completa:
n n
n m
1
ˆ
nm
n nn
I
1 1
ˆ
donde
n n n nn n
n n
I a
a
1
donde n n n nn
a a
11
22
nn
a
a
a
1
* *
1 1 1
ˆ
donde
n nn
n n n n n nn n n
n n
I
a
a
*
1
donde n n n nn
a a
* * *
1 2
1 2
* * *1 2, ,..., ,...
n
n
na a a
*
1 1
* * *
, 1 , 1 1
,n n m mn m
n m n m n m nm n nn m n m n
a b
a b a b a b
1
donde n n n nn
b b
*
1
donde n n n nn
a a
*
1n n
n
a b
1
2* * *1 2, ,..., ,...n
n
b
b
a a a
b
n n
n n
1 1 1 2
2 1 2 2 2
1 2
n m
m
n n n m
U
n n
1
donde
n n n nn
n n
n mn m mn m nm
a a
U U
1
donde
; con
ˆ
n n n nn
n n n mn m mn m nm
jl j l
a a
U U
A A
