kuldloige

ЗОЛОТОЕЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ СЕЧЕНИЕ

Исследовательская работаИсследовательская работаученицы 8Б классаученицы 8Б класса

Таллиннской Ляэнемере гимназииТаллиннской Ляэнемере гимназииОганесян ЛусинеОганесян Лусине

Руководитель Метс М.А.Руководитель Метс М.А.

Таллинн 2007Таллинн 2007

Содержание Содержание исследовательской исследовательской работыработы

1.1. Вступление. Введение термина «золотое Вступление. Введение термина «золотое сечение».сечение».

2.2. Задача о «золотом сечении отрезка», её Задача о «золотом сечении отрезка», её графическое и аналитическое решение.графическое и аналитическое решение.

3.3. Золотое сечение в архитектуре. Парфенон в Золотое сечение в архитектуре. Парфенон в Афинах.Афинах.

4.4. Золотой прямоугольник.Золотой прямоугольник.

5.5. Золотой треугольник.Золотой треугольник.

6.6. Пятиконечная звезда (пентаграмма).Пятиконечная звезда (пентаграмма).

7.7. Золотое сечение в музыке.Золотое сечение в музыке.

8.8. Золотое сечение в природе.Золотое сечение в природе.

9.9. Золотое сечение в анатомии и скульптуре.Золотое сечение в анатомии и скульптуре.

Золотое сечениеЗолотое сечение

Искусству присуще стремление к стройности, Искусству присуще стремление к стройности, соразмерности, гармонии. Мы находим их в соразмерности, гармонии. Мы находим их в пропорциях архитектуры и скульптуры, в пропорциях архитектуры и скульптуры, в расположении предметов и фигур, сочетании красок расположении предметов и фигур, сочетании красок в живописи, в чередовании рифм и мерности ритма в живописи, в чередовании рифм и мерности ритма в поэзии, в последовательности музыкальных в поэзии, в последовательности музыкальных звуков. Эти свойства не выдуманы людьми. Они звуков. Эти свойства не выдуманы людьми. Они отражают свойства самой природы.отражают свойства самой природы.

Одна из пропорций чаще других встречается в Одна из пропорций чаще других встречается в искусстве. Она получила название «золотое искусстве. Она получила название «золотое сечение».сечение».

Золотое сечение было известно ещё в древности. Золотое сечение было известно ещё в древности. Так, в книге Так, в книге IIII «Начал» Евклида оно применяется при «Начал» Евклида оно применяется при построении правильных пяти- и десятиугольников.построении правильных пяти- и десятиугольников.

Леонардо да ВинчиЛеонардо да Винчи

В природе много пропорциональных В природе много пропорциональных отношений, близких к тому, которое отношений, близких к тому, которое Леонардо да Винчи назвал золотым Леонардо да Винчи назвал золотым сечением, хотя и не воплощающих его сечением, хотя и не воплощающих его точно. В любом произведении точно. В любом произведении искусства несколько неравных, но искусства несколько неравных, но близких к золотому сечению частей близких к золотому сечению частей дают впечатление развития форм, их дают впечатление развития форм, их динамики, пропорционального динамики, пропорционального дополнения друг друга. дополнения друг друга.

В особый вид изобразительного В особый вид изобразительного искусства Древней Греции следует искусства Древней Греции следует выделить изготовление и роспись выделить изготовление и роспись всевозможных сосудов. В изящной всевозможных сосудов. В изящной форме амфор легко угадываются форме амфор легко угадываются пропорции золотого сечения.пропорции золотого сечения.

Первым термин

«золотое сечение» применил великий

Леонардо да Винчи

(1452-1519)

Задача о «золотом Задача о «золотом сечении отрезка»сечении отрезка»

Формулировка задачи нахождения золотого сечения Формулировка задачи нахождения золотого сечения отрезка:отрезка:

Разделить данный отрезок на две части так, чтобы Разделить данный отрезок на две части так, чтобы меньшая часть относилась к большей, как большая меньшая часть относилась к большей, как большая часть ко всему отрезку а:в=в:с (смотри рисунок).часть ко всему отрезку а:в=в:с (смотри рисунок).

Существует много решений данной задачи. Одно из Существует много решений данной задачи. Одно из самых простых и наглядных предложил самых простых и наглядных предложил александрийский математик Клавдий Птолемей (ок. александрийский математик Клавдий Птолемей (ок. 90-160 н.э.). Именно он разработал учение о 90-160 н.э.). Именно он разработал учение о строении Солнечной системы, которым пользовались строении Солнечной системы, которым пользовались астрономы и мореплаватели до Николая Коперника. астрономы и мореплаватели до Николая Коперника.


Задача: построить золотое сечение отрезка АВ.Задача: построить золотое сечение отрезка АВ.Клавдий Птолемей рассмотрел геометрическое Клавдий Птолемей рассмотрел геометрическое решение задачи, которое сводится к следующему: с решение задачи, которое сводится к следующему: с центром в точке В радиусом АВ проводим окружность центром в точке В радиусом АВ проводим окружность АЕС. Разделим радиус ВС пополам, получим точку Д. АЕС. Разделим радиус ВС пополам, получим точку Д. Проведём дугу окружности с центром в точке Д Проведём дугу окружности с центром в точке Д радиусом ДЕ до пересечения с АВ. Точка Х и есть радиусом ДЕ до пересечения с АВ. Точка Х и есть искомая.искомая.


Докажем это аналитически:Докажем это аналитически:

Примем длину всего отрезка за 1 и обозначим Примем длину всего отрезка за 1 и обозначим длину большей части за х, тогда длина длину большей части за х, тогда длина меньшей части равна 1-х. меньшей части равна 1-х.

То есть с=1; в=х; а=1-х (смотри рисунок).То есть с=1; в=х; а=1-х (смотри рисунок).

По условию задачи составим пропорцию (1-По условию задачи составим пропорцию (1-х):х=х:1. Воспользуемся основным свойством х):х=х:1. Воспользуемся основным свойством пропорции и получим квадратное уравнение. пропорции и получим квадратное уравнение. Попробуй сделать это самостоятельно!Попробуй сделать это самостоятельно!


При решении квадратного При решении квадратного уравнения получим корни и из уравнения получим корни и из двух значений возьмём только двух значений возьмём только одно, так как второе значение одно, так как второе значение оказалось отрицательным.оказалось отрицательным.

Это значение обозначают Это значение обозначают греческой буквой «фи». Такое греческой буквой «фи». Такое обозначение принято в честь обозначение принято в честь древнегреческого скульптора древнегреческого скульптора Фидия, жившего в Фидия, жившего в V V веке до н.э. веке до н.э. Фидий руководил строительством Фидий руководил строительством храма Парфенон в Афинах. В храма Парфенон в Афинах. В пропорциях этого храма пропорциях этого храма многократно присутствует число многократно присутствует число «фи». «фи».

2

51x

xx 12

2

51

2

411

x

618,0x


Можно рассмотреть задачу об отношении Можно рассмотреть задачу об отношении большего отрезка к меньшему, тогда мы получим большего отрезка к меньшему, тогда мы получим пропорцию: с:в=в:(с-в). Воспользуемся основным пропорцию: с:в=в:(с-в). Воспользуемся основным свойством пропорции и опять получим квадратное свойством пропорции и опять получим квадратное уравнение. Разделим его на квадрат длины уравнение. Разделим его на квадрат длины большей части отрезка. Отношение длины всего большей части отрезка. Отношение длины всего отрезка к большей его части обозначается отрезка к большей его части обозначается заглавной буквой «фи». Попробуй решить это заглавной буквой «фи». Попробуй решить это квадратное уравнение самостоятельно! квадратное уравнение самостоятельно! Проанализируй корни этого уравнения.Проанализируй корни этого уравнения.


bc

b

b

c

cbcb 22

b

c

b

c

2

1

b

c 12

618,12

51

618,02

51

Парфенон – храм Афины на Парфенон – храм Афины на АкрополеАкрополе

Великолепным памятником строительного искусства классической эпохи был Парфенон – храм Афины-девы – покровительницы города Афин. Это замечательное сооружение даже теперь, в полуразрушенном состоянии, восхищает гармонией пропорций, строгой простотой и ощущением монументальности, которое тем удивительнее, что Парфенон не был особенно велик (общая площадь его всего около двух тысяч квадратных метров).

Парфенон в АфинахПарфенон в Афинах

Даже сейчас, когда он стоит в развалинах, Парфенон в Даже сейчас, когда он стоит в развалинах, Парфенон в Афинах – это одно из самых знаменитых сооружений в Афинах – это одно из самых знаменитых сооружений в мире. Он был построен в эпоху расцвета древнегреческой мире. Он был построен в эпоху расцвета древнегреческой математики. На рисунке можно увидеть, как фасад математики. На рисунке можно увидеть, как фасад Парфенона вписывается в прямоугольник, стороны Парфенона вписывается в прямоугольник, стороны которого образуют золотое сечение. Древние греки которого образуют золотое сечение. Древние греки считали, что такие прямоугольники имеют наиболее считали, что такие прямоугольники имеют наиболее приятную для глаз форму.приятную для глаз форму.

Золотые прямоугольникиЗолотые прямоугольники

Особенность «золотых прямоугольников» Особенность «золотых прямоугольников» заключается в том, что если от фигуры отрезать заключается в том, что если от фигуры отрезать квадрат, опять останется «золотой прямоугольник». квадрат, опять останется «золотой прямоугольник». И этот процесс можно продолжать бесконечно. А И этот процесс можно продолжать бесконечно. А диагонали первого и второго прямоугольников диагонали первого и второго прямоугольников пересекутся в точке О, которая будет принадлежать пересекутся в точке О, которая будет принадлежать всем получаемым «золотым прямоугольникам».всем получаемым «золотым прямоугольникам».

Золотой треугольникЗолотой треугольник

Существует также золотой Существует также золотой треугольник.треугольник.

Золотой треугольник - это Золотой треугольник - это равнобедренный равнобедренный треугольник, у которого треугольник, у которого отношение длины боковой отношение длины боковой стороны к длине основания стороны к длине основания равно числу «фи». Одно из равно числу «фи». Одно из замечательных свойств замечательных свойств такого треугольника такого треугольника состоит в том, что длины состоит в том, что длины биссектрис углов при его биссектрис углов при его основании равны длине основании равны длине самого основания.самого основания.

Золотой треугольникЗолотой треугольник

Леонардо да Винчи использовал Леонардо да Винчи использовал «золотой треугольник» в композиции «золотой треугольник» в композиции своей знаменитой «Джоконды».своей знаменитой «Джоконды».

Пятиконечная Звезда Пятиконечная Звезда (пентаграмма)(пентаграмма)

Пентаграмма всегда привлекала внимание людей совершенством формы. Пифагорейцы именно её выбрали символом своего союза. Она считалась амулетом здоровья. В наши дни пятиконечную звезду можно увидеть на гербах и флагах многих стран мира.

В чём её привлекательность

?В этой фигуре наблюдается

удивительное постоянство отношений

отрезков. Здесь AD : AC= AC : CD= AB : BC= AD : AE=

AE : EC

Золотое сечение в Золотое сечение в музыкемузыке

Если измерять музыкальное произведение Если измерять музыкальное произведение по времени его исполнения, то можно по времени его исполнения, то можно говорить о золотом сечении в музыке. говорить о золотом сечении в музыке. Золотое сечение в музыке отражает Золотое сечение в музыке отражает особенности человеческого восприятия особенности человеческого восприятия временных пропорций. Точка золотого временных пропорций. Точка золотого сечения служит ориентиром сечения служит ориентиром формообразования (особенно в формообразования (особенно в небольших произведениях), часто на неё небольших произведениях), часто на неё приходится кульминация. Это может быть приходится кульминация. Это может быть также самый яркий или самый тихий также самый яркий или самый тихий момент, самое плотное по фактуре место момент, самое плотное по фактуре место или самое звуковысотное.или самое звуковысотное.

Золотое сечение в Золотое сечение в природеприроде

Золотое сечение встречается также в природе. В листе цикория присутствует «золотое сечение». Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс. Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий – 38, четвертый – 24 и т.д.

Золотое сечение в Золотое сечение в природеприроде

И в ящерице улавливаются пропорции – длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38.

Золотые пропорции можно заметить и в яйце птицы.

Золотое сечение в Золотое сечение в анатомиианатомии

Золотое сечение можно найти и в анатомии. Золотое сечение можно найти и в анатомии. Сопоставляя длины фаланг пальцев и кисти Сопоставляя длины фаланг пальцев и кисти руки в целом, а также расстояния между руки в целом, а также расстояния между отдельными частями лица, также можно найти отдельными частями лица, также можно найти «золотые» соотношения.«золотые» соотношения.

Золотое сечение в Золотое сечение в анатомиианатомии

Скульпторы утверждают, что талия Скульпторы утверждают, что талия делит совершенное человеческое делит совершенное человеческое тело в отношении золотого сечения. тело в отношении золотого сечения. Измерения нескольких тысяч Измерения нескольких тысяч человеческих тел позволили человеческих тел позволили обнаружить, что для взрослых обнаружить, что для взрослых мужчин это отношение равно в мужчин это отношение равно в среднем примерно 13/8 = 1,625, а для среднем примерно 13/8 = 1,625, а для взрослых женщин оно составляет 8/5 взрослых женщин оно составляет 8/5 = 1,6. Так что пропорции мужчин = 1,6. Так что пропорции мужчин ближе к «золотому сечению», чем ближе к «золотому сечению», чем пропорции женщин (однако женщина пропорции женщин (однако женщина в обуви на каблуках может оказаться в обуви на каблуках может оказаться ближе к «золотым» пропорциям). У ближе к «золотым» пропорциям). У новорожденного пропорция новорожденного пропорция составляет отношение 1:1, к 13 годам составляет отношение 1:1, к 13 годам она равна 1,6. Пропорции золотого она равна 1,6. Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении сечения проявляются и в отношении других частей тела - длина плеча, других частей тела - длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д.и т.д.

Золотое сечение в Золотое сечение в скульптурескульптуре

Одним и высших достижений греческого, да и всего Одним и высших достижений греческого, да и всего мирового искусства явилось творчество афинского мирового искусства явилось творчество афинского скульптора Фидия. Самым гармоничным скульптора Фидия. Самым гармоничным отношением Фидий считал золотое сечение. Его отношением Фидий считал золотое сечение. Его образы, наделённые жизненной достоверностью, образы, наделённые жизненной достоверностью, свидетельствуют о глубоком изучении реального свидетельствуют о глубоком изучении реального мира. В таких работах скульптора, как Зевс мира. В таких работах скульптора, как Зевс Олимпийский, Афина Парфенос, Аполлон Олимпийский, Афина Парфенос, Аполлон Бельведерский, золотое сечение заложено в Бельведерский, золотое сечение заложено в различных пропорциях человеческого тела. различных пропорциях человеческого тела.

В современном искусстве наиболее распространено В современном искусстве наиболее распространено отношение золотого сечения при возведении отношение золотого сечения при возведении памятников. Общая высота памятника обычно так памятников. Общая высота памятника обычно так относится к высоте фигуры, как высота фигуры – к относится к высоте фигуры, как высота фигуры – к размеру постамента.размеру постамента.

Список использованной Список использованной литературылитературы

1.1. Энциклопедия для детей, том 11 Аванта+;Энциклопедия для детей, том 11 Аванта+;2.2. Л.Ф. Пичурин «За страницами учебника Л.Ф. Пичурин «За страницами учебника

алгебры» Москва Просвещение 1990 год;алгебры» Москва Просвещение 1990 год;3.3. Н. Лэнгдон, Ч. Снейп «С математикой в путь» Н. Лэнгдон, Ч. Снейп «С математикой в путь»

Москва Педагогика 1987 год;Москва Педагогика 1987 год;4.4. Журнал «Математика в школе» № 3 2001 год Журнал «Математика в школе» № 3 2001 год

статьи Е.И.Чепракова и Т.А.Липкина статьи Е.И.Чепракова и Т.А.Липкина «Присутствие красоты» А.А.Ятайкина и «Присутствие красоты» А.А.Ятайкина и О.А.Пашкина «О золотом сечении и не только О.А.Пашкина «О золотом сечении и не только о нём»;о нём»;

5.5. Журнал «Математика в школе» № 10 2003 год Журнал «Математика в школе» № 10 2003 год статья группы авторов под руководством статья группы авторов под руководством Г.В.Дорофеева «Избранные вопросы Г.В.Дорофеева «Избранные вопросы математики. Курс по выбору Золотое математики. Курс по выбору Золотое Сечение».Сечение».

kuldloige

Education