KULUTTAJAN VALINTATEORIA

Matti Estola∗

20. lokakuuta 2013

Sisalto

1 Johdanto 3

2 Kuluttajan valintateorian aksioomat 4

3 Kuluttajan budjettiyhtalon muodostaminen 5

4 Kuluttajan preferenssit eli mieltymykset 7

5 Kuluttajan optimaalinen valinta 11

6 Budjettisuoran siirtymat 166.0.1 Tulojen muutoksista johtuvat budjettisuoran siirtymat 166.0.2 Hintojen muutoksista aiheutuvat budjettisuoran siir-

tymat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

7 Hyvinvoinnin muutoksen arviointi hinta- ja tulotilastojen avul-la 17

8 Indifferenssikayraston johtaminen hyotyfunktion avulla 18

9 Kuluttajan tasapaino 21

10 Kuluttajan reagointi tulo- ja hintamuutoksiin 23

11 Hyodykkeen kulutusnopeuden johtaminen 24

∗Teksti on lainattu kirjasta: Estola, M. Kansantaloustieteen perusteet, Jyvaskylanyliopisto, Taloustieteen laitos, Julkaisuja 104/96.

1

12 Dynaaminen teoria kuluttajan kayttaytymisesta 26

13 *Newtonilainen teoria kuluttajan kayttaytymisesta 34

2

1 Johdanto

Maaritelma: Nimitysta kuluttaja kaytetaan jokaisesta henkilosta, joka ku-luttaa hyodykkeita tarkasteltavassa taloudessa. �

Ylla olevan maaritelman mukaan esimerkiksi yksityisyrittaja on kuluttajasilloin, kun han ostaa hyodykkeita omiin kulutustarpeisiinsa. Kuluttajan ku-lutuskayttaytymista voidaan tarkastella joko jonkin tietyn ajanjakson tai ku-luttajan koko elinian aikana. Naista jalkimmainen vaihtoehto pitaa sisallaankuluttajan koulutusajan pituuden valinnan seka tyo- ja elakeajan tulojenarvioinnin. Kyseinen analyysi vaatii monien epavarmuuksien huomioonot-tamista, mista syysta elinikaisen kulutussuunnitelman tarkka laatiminen onmahdotonta. Tarkkoja kulutuspaatoksia voidaan tehda ainoastaan jonkin ti-etyn ajanjakson — esimerkiksi paivan, viikon tai kuukauden ajalle. Kulut-tajan itselleen hahmottelema elinikainen kulutussuunnitelma luo kuitenkinraamit lyhyen aikavalin kulutussuunnitelmille, jotka toteutetaan elinikaisenkulutussuunnitelman puitteissa. Elinikaista kulutussuunnitelmaa muutetaantilanteiden muuttuessa ajan myota.

Tassa luvussa tarkastellaan kuluttajan hyodykevalintaa tietyn kiinteanajanjakson aikana kuluttajan elinikaisen kulutussuunnitelman sallimissapuitteissa. Elinikaisesta kulutussuunnitelmasta oletetaan ainoastaan se, ettakarkealla tasolla maariteltyna sellainen on olemassa. Jatkossa oletamme tar-kastelujakson kuukauden pituiseksi. Kuluttajan ajatellaan tekevan kuukausit-taisia kulutusmaaria koskevan paatoksensa yhdella ainoalla harkinnalla, jol-loin han paattaa kuluttamiensa hyodykkeiden kuukausittaisista kulutusmaa-rista — tai pikemminkin kuukausittaisista kulutusnopeuksista — kiintei-den hintojen ja tulojen vallitessa.

Kaytannossa ihmiset tekevat kulutuspaatoksiaan paivittain, joten reaal-imaailman kayttaytyminen poikkeaa talta osin jatkossa esitettavasta teoreti-soinnista. Kuukausittaiset kulutusmaarat (-nopeudet) muodostuvat kuitenkinpaivittaisista kulutusmaarista (-nopeuksista). Kuukausittaisia kulutusmaariakoskevan paatoksen voidaan ajatella syntyvan paivittaisista kulutuspaatoksistamuodostettuna painotettuna keskiarvona, jossa keskimaaraiset paivittaisetkulutusnopeudet muunnetaan kuukausittaisiksi kulutusnopeuksiksi. Paivit-taisista kulutuspaatoksista syntyvan kuukausittaisen kulutusnopeuden ajatel-laan vastaavan yhta paatoksentekotilannetta, jossa hyodykkeiden kuukausit-taiset kulutusnopeudet paatetaan. Tata ajattelutapaa havainnollistetaan seu-raavassa esimerkissa ja sita noudatetaan jatkossa.

Esimerkki. Olkoon kuluttajan paivittainen lihankulutus 0.2 (kg/vrk),mika kulutusnopeus vastaa kuluttajan kuukauden aikana tekemien paivit-taisten kulutuspaatosten aritmeettista keskiarvoa. Oletetaan edella esitetyn

3

perusteella kuukauden koostuvan neljasta viikosta, jolloin kuukaudessa on28 vuorokautta. Talla perusteella kuluttajan kuukausittainen kulutusnopeusvoidaan ilmaista seuraavalla kahdella tavalla

a) 0.2(kg/vrk) = 0.2(kg/(1/28)kk) = 0.2× 28(kg/kk) = 5.6(kg/kk) tai

b) 0.2(kg/vrk) = 0.2(kg/vrk)× 28(vrk/kk) = 5.6(kg/kk), (1)

jotka molemmat perustuvat muunnoskaavaan 1(kk) = 28(vrk); a) -kohdassatama on esitetty muodossa 1(vrk) = (1/28)(kk) ja b) -kohdassa muodossa1 = 28(vrk/kk). Talla tavalla yksi kuukausittaista kulutusnopeutta koskevapaatos vastaa paivittaisten kulutuspaatosten aritmeettista keskiarvoa. �

2 Kuluttajan valintateorian aksioomat

Kuluttajan valintateoria perustuu seuraaville neljalle oletukselle, joiden olete-taan olevan voimassa tarkastelujakson aikana.

Aksiooma 1; valintaolosuhteet. Tarkastelujakson hinnat ja tulot ovatkuluttajalle annettuja, eli kuluttaja ei voi niihin vaikuttaa.

Aksiooma 2; valinta-avaruuden ominaisuudet. Kuluttajan valinta-ava-ruus on suljettu konveksi joukko (liite; luku 3).

Aksiooma 3; preferenssien kyllastymattomyys. Kuluttaja preferoi(pitaa parempana) sellaista tilannetta, jossa saa jotakin hyodyketta enemman.Minkaan hyodykkeen kulutus ei voi saavuttaa kyllastymistasoa, eli kulutuk-sen lisaaminen lisaa aina kuluttajan mielihyvaa.

Aksiooma 4; valinnan optimaalisuus. Kuluttaja valitsee tulojensa puit-teissa valittavana olevista hyodykkeista sellaisen kulutusnopeuskombinaa-tion, joka tuottaa tarkastelujaksolle suurimman mahdollisen mielihyvan.

Aksioomien 2 ja 3 seurauslause. Jos kuluttajan valinta-avaruudestaloytyy kolme valittavana olevista hyodykkeista muodostettua kulutusnope-uskombinaatiota X1, X2, X3 siten, etta kuluttaja pitaa X3:a parempana kuinX2:ta ja X2:ta parempana kuin X1:ta, kuluttajan valinta-avaruudesta loytyyaina valittavana olevista hyodykkeista muodostettu yksikasitteinen kulutus-nopeuskombinaatio, jota kuluttaja pitaa samanarvoisena X2:n kanssa, ja jokasijaitsee valinta-avaruudessa kombinaatiot X1 ja X3 yhdistavalla janalla.

Naita aksioomia ja niiden merkitysta kuluttajan kayttaytymisen teoreti-soinnissa kasitellaan jatkossa tarkemmin. Aksiooman 2 tarkoitus on ainoas-taan yksinkertaistaa valintatilanteen matemaattista analysointia, eika silla

4

ole mitaan tekemista kuluttajien reaalimaailmassa havaittavan kulutuskayt-taytymisen kanssa. Viimeisena esitetty seurauslause on kirjattu aksioomienjoukkoon siita syysta, etta sita tarvitaan jatkossa eraiden tilanteiden analysoin-nissa. Seurauslauseen todistaminen vaatisi kuluttajan valintatilanteen tarkkaajoukko-opillista maarittelya, mista syysta todistaminen sivuutetaan; todis-tuksen periaate esitetaan kuitenkin myohemmin. Yksityiskohtainen todistusloytyy esim. Gerard Debreun kirjasta (1959).

3 Kuluttajan budjettiyhtalon muodostaminen

Olkoon tarkastelujakso kuukauden pituinen. Osion 2.1.5 perusteella kuukaudel-la ymmarretaan neljan viikon pituista ajanjaksoa. Kuluttajan kuukausit-taiset kulutusmenot muodostuvat seuraavasti:

E = p1q1 + p2q2 + · · ·+ pnqn,

missa kuluttajan kuluttamien hyodykkeiden kuukausittaisia kulutusnopeuk-sia merkitaan qi:lla, i = 1, . . . , n, joilla on esimerkiksi seuraavat mittayk-sikot q1(kg/kk), q2(kpl/kk), q3(l/kk), . . . , pi, i = 1, . . . , n ovat kulutettavienhyodykkeiden hintoja, joiden mittayksikot ovat p1 (mk/kg), p2 (mk/kpl), p3

(mk/l), . . . , E (mk/kk) on kuukauden aikana kulutettu rahamaara ja n onkulutettavien hyodykkeiden lukumaaran ilmaiseva positiivinen kokonaisluku.Merkinta E tulee sanasta ”expenditures” eli menot.

Taloustieteen oppikirjoissa puhutaan yleensa kulutusnopeuksien sijastakulutusmaarista tietyn ajanjakson aikana. Talloin suureiden qi mittayksikotolisivat muotoa (kg), (kpl) jne, jotka on mitattu yhden kuukauden aikana.Tama ajattelutapa tuottaa kuitenkin niita ongelmia, joita tarkastelimme lu-vun 2 osion 2.7 esimerkeissa. Toisin sanoen meidan tulisi koko ajan pitaa mie-lessa miten pitkalta ajanjaksolta kyseiset kulutusmaarat on mitattu jotta ti-etaisimme, mita niiden muutokset tarkoittavat. Edelleen kuukausittaisten ku-lutusmaarien ja paivittaisten kulutusmaarien valiset muunnokset tehtaisiinkertomalla ja jakamalla paljailla luvuilla, eika mittyksikoiden valisten muun-nossaantojen mukaan aiemmin esitetylla tavalla. Naista syista johtuen tassaoppikirjassa puhutaan jatkossa hyodykkeiden kulutusnopeuksista eika kulu-tusmaarista tietyn ajanjakson aikana. Mittayksikkonsa perusteella suure Evastaa kuluttajan menojen kuukausinopeutta.

Tassa luvussa tarkastellaan jatkossa sellaista tilannetta, jossa kuluttajanvalittavana on vain kaksi hyodyketta. Nama hyodykkeet ovat ruoka ja hu-vipuiston kaytto perinteisen valintatilanteen ”ruokaa vai huvittelua” mukaises-ti. Syy tahan yksinkertaistukseen on se, etta kahden hyodykkeen valintatilan-netta voidaan kuvata kaksiulotteisessa tasossa. Yleistys n:aan hyodykkeeseen

5

(n mielivaltainen positiivinen kokonaisluku) on taysin analoginen, mutta sevaatii usean muuttujan funktioilla operointia, eika sita voida hahmottaa ku-vallisesti kun n ≥ 4.

Kuluttajalla oletetaan olevan kaytettavissaan kiinteat kuukausitulot T(mk/kk), joilla han voi hankkia ruokaa hintaan pr (mk/kg) ja kayda hu-vipuistossa hintaan ph (mk/h). Suure T vastaa tulojen kuukausinopeut-ta, vaikka jatkossa puhutaankin yleensa kuukausituloista yleisen kaytannonmukaisesti. Kuluttajan kuukausibudjetti (tulot = menot) on talloin seuraa-va:

T (mk/kk) = pr(mk/kg)× qr(kg/kk) + ph(mk/h)× qh(h/kk), (2)

missa hyodykkeiden kuukausittaisia kulutusnopeuksia merkitaan qr:lla ja qh:lla.Jatkossa esiintyvissa kaavoissa suureiden mittayksikot jatetaan yleensa kir-joittamatta nakyviin, jotta kaavoista ei tulisi sekavia; mittayksikoita tarkastel-laan tarvittaessa erikseen. Naista kahdesta hyodykkeesta muodostettuja ni-ita kulutusnopeuskombinaatioita, joihin kuluttajalla kiinteilla kuukausituloil-laan on varaa, kuvataan kuviossa 4.1. Kuvion koordinaatiston akseleina ovathyodykkeiden kuukausittaiset kulutusnopeudet. Ainoastaan koordinaatistonpositiivinen neljannes on piirretty nakyviin, silla negatiivisia kulutusnopeuk-sia ei tarkastella; vaaka-akselilla qh = 0 ja pystyakselilla qr = 0.

Kuvioon 4.1 piirrettya suoraa kutsutaan kuluttajan budjettisuorak-si tai kulutusmahdollisuuksien joukon reunaksi. Suoran pisteet ku-vaavat niita kulutusnopeuskombinaatioita, jotka kuluttaja voi hankkia ku-luttamalla kuukausitulonsa kokonaan. Kuvan suora on kuluttajan kuukau-sibudjetin geometrinen esitys. Edella esitetyn aksiooman 1 perusteella ku-luttajan kuukausibudjetin geometrinen esitys on yksikasitteinen. Jos kulut-taja ei kay huvipuistossa lainkaan, eli toimii vaaka-akselilla, han voi ku-luttaa enintaan qrmax = T/pr(kg/kk) ruokaa. Jos taas kuluttaja paastoaakoko kuukauden (toimii pystyakselilla), han voi viettaa aikaa huvipuistossaenintaan qhmax = T/ph(h/kk). Nama aaritilanteet saadaan budjettiyhtalosta(2) asettamalla vuorotellen qr = 0 ja qh = 0 ja ratkaisemalla naita tilanteitavastaava toisen hyodykkeen kulutusnopeus. Budjettisuoran ja koordinaatti-akselien valiin jaavan pinta-alan kulutusnopeuskombinaatiot jattavat kulut-tajalle saastoja.

Kuvio 4.1. Kuluttajan budjettiyhtalon geometrinen esitys

Kuviossa 4.1 esitetyn budjettisuoran kulmakerroin (hinnat ja tulot ovatkiinteat) johdetaan seuraavasti. Ajatellaan kuluttajalle kaksi budjettisuoral-ta loytyvaa kulutusnopeuskombinaatiota; olkoot nama (qr0 , qh0) ja (qr1 , qh1).Naille patee

T = prqr0 + phqh0 ja T = prqr1 + phqh1 .

6

Vahentamalla yhtalot toisistaan, saadaan

T − T = prqr1 + phqh1 − prqr0 − phqh0 ⇔0 = pr(qr1 − qr0) + ph(qh1 − qh0) ⇔ 0 = pr∆qr + ph∆qh, (3)

missa ∆:lla merkitaan suureessa tapahtuvaa muutosta. Koska pr ja ph ovatpositiivisia, viimeisesta yhtalosta voidaan paatella, etta kun ∆qr > 0 ni-in ∆qh < 0 ja painvastoin, jotta yhtalon oikea puoli olisi nollan suuruinen.Olettamalla ∆qr 6= 0 yhtalosta (3) voidaan ratkaista budjettisuoran kulmak-erroin seuraavasti

∆qh

∆qr

= −pr

ph

.

Sama tulos saataisiin ratkaisemalla (2) qh:n suhteen ja derivoimalla qr:n suh-teen, silla lim∆qr→0

∆qh

∆qr= dqh

dqr(liite; luku 7 osio 2).

Budjettisuoran kulmakerroin on hyodykkeiden hintasuhde negatiivisena;sen mittayksikko (h/kg) kertoo sen mittaavan yhden huvipuistotunnin jayhden ruokakilon vaihtosuhdetta. Budjettisuoran kulmakertoimen negati-ivisuus kertoo sen, etta toimiessaan budjettisuoralla kuluttaja joutuu supis-tamaan ruuan kulutusnopeuttaan (∆qr < 0) lisatakseen huvipuiston kulu-tusnopeuttaan (∆qh > 0) ja painvastoin. Toisen hyodykkeen kulutusnopeu-den lisaaminen vaatii uhrauksena toisen kulutusnopeuden pienentamista,silla budjettisuoran pisteissa kuukausitulot kulutetaan kokonaan.

Esimerkki: Olkoon kuluttajan kuukausitulot T = 5000 (mk/kk) jahyodykkeiden hinnat pr = 10 (mk/kg) ja ph = 50 (mk/h). Jattamalla mit-tayksikot pois vastaava budjettiyhtalo voidaan esittaa muodossa

5000 = 10 qr + 50 qh.

Budjettisuoran kulmakerroin on − pr

ph= −1

5, ja maksimaaliset ruuan ja hu-

vipuiston kulutusnopeudet ovat qrmax = 500 (kg/kk) ja qhmax = 100 (h/kk).�

4 Kuluttajan preferenssit eli mieltymykset

Tarkastellaan kuluttajan valintaa edella esitetyssa kahden hyodykkeen valin-tatilanteessa. Oletetaan viela yksinkertaisuuden vuoksi, etta saastamis- ja/taivelkaantumismahdollisuutta ei ole; niita tarkastellaan erikseen luvussa 8.Tarkastellaan kuluttajan preferensseja kuvion 4.2 avulla.

Kuvio 4.2. Kuluttajan valinta-”avaruus”

7

Kuluttajan oletetaan toimivan mielivaltaisesti valitussa pisteessa A, missahanen hyodykkeista ruoka ja huvipuisto muodostettu kulutusnopeuskombi-naationsa on (qrA

, qhA). Aksiooman 3 mukaan kuluttaja pitaa jokaista vi-

ivoitetun alueen kulutusnopeuskombinaatiota A:ta parempana (niissa jom-man kumman tai molempien hyodykkeiden kulutusnopeus on suurempi), jaruudutetun alueen kombinaatioita A:ta huonompina (jomman kumman taimolempien kulutusnopeus on pienempi). Sen sijaan ?:lla merkittyjen aluei-den kulutusnopeuskombinaatioista ei voida suoraan sanoa, pitaako kulutta-ja niita parempina vai huonompina kuin A:ta. Taman asian selvittamiseksitarvitaan edella esitettyja aksioomia 2 ja 3.

Aksiooman 3 mukaan kuluttaja pitaa jokaista kulutusnopeuskombinaa-tiota vaakasuoralla viivalla A:sta vasemmalle (esim. B) on huonompana kuinA:ta, silla niissa hanen huvipuiston kulutusnopeutensa on yhta suuri kuinA:ssa, mutta ruuan kulutusnopeus on pienempi. Vastaavasti kuluttaja pitaajokaista kombinaatiota pystysuoralla viivalla A:sta ylospain parempana kuinA:ta, silla naissa (esim. C) huvipuiston kulutusnopeus on suurempi kuinA:ssa ja ruuan kulutusnopeus on sama. Aksiooman 3 mukaan kuluttajajarjestaa kulutusnopeuskombinaatiot seuraavaan paremmuusjarjestykseen B <A < C, missa paremmuutta merkitaan ”on suurempi kuin” -merkinnalla.

Kuluttajan valinta-avaruus kuviossa 4.2 voidaan samastaa 2-ulotteiseksivektoriavaruudeksi. Aksioomien yhteydessa esitetyn seurauslauseen mukaankuluttajan valinta-avaruudesta loytyy sellainen valittavana olevista hyodyk-keista muodostettu kulutusnopeuskombinaatio, jota kuluttaja pitaa sama-narvoisena A:n kanssa, ja joka sijaitsee B:n ja C:n yhdistavalla janalla; olkoontama D. Jokainen janan BC hyodykekombinaatio D voidaan esittaa seuraa-vana B:n ja C:n kuperana yhdisteena:

D = aB + (1− a)C, 0 ≤ a ≤ 1.

Janan paatepisteet saadaan seuraavasti: a = 0 ⇒ D = C ja a = 1 ⇒D = B. Jos a on jokin luku nollan ja ykkosen valilla, piste D sijaisee jossakinjanan BC sisapisteessa. Aksiooman 2 mukaan kulutusnopeuskombinaatio Dsijaitsee kuluttajan valinta-avaruudessa.

Esimerkki. Samastetaan kuviossa 4.2 esiintyvat kulutusnopeuskombi-naatiot 2-ulotteisen vektoriavaruuden pisteiksi, ja jatetaan kulutusnopeuk-sista laadut pois yksinkertaisuuden vuoksi. Olkoot B = (qrB

, qhB) = (4, 8) ja

C = (qrC, qhC

) = (12, 16); talloin A = (qrA, qhA

) = (12, 8). Reaaliluvun ja vek-torin kertolaskulle seka vektorien yhteenlaskulle maariteltyjen laskusaantojennojalla (liite; luku 4 osio 3) voidaan johtaa seuraavat tulokset.

1) Oletus: a = 1/2; D1 = 1/2×(4, 8)+1/2×(12, 16) = (2, 4)+(6, 8)= (8, 12).

8

2) Oletus: a = 1/4; D2 = 1/4 × (4, 8) + 3/4 × (12, 16) = (1, 2) + (9, 12)=(10, 14).

Lukija voi piirtamalla tarkistaa, etta kulutusnopeuskombinaatiot D1 jaD2 sijaitsevat janalla BC. �

Aksiooma 2 takaa sen, etta kuluttajan valinta-avaruudessa ei ole ”reikia”,jotka vaikeuttaisivat kuluttajan valintaongelman ratkaisemista. Kaytannossaaksiooma 2 tarkoittaa sita, etta jos kuluttaja voi valita kulutusnopeuskom-binaation 50 (kg/kk) ruokaa ja 5 (h/kk) huvipuiston kayttoa, tai kulu-tusnopeuskombinaation 20 (kg/kk) ruokaa ja 10 (h/kk) huvipuiston kayttoa,kuluttaja voi myos valita minka tahansa naiden yhdisteen D, jolle patee:D = a × (50, 5) + (1 − a) × (20, 10), 0 ≤ a ≤ 1. Jos a = 1/2, D =(25, 5/2) + (10, 5) = (35, 15/2), jos a = 1/5, D = (10, 1) + (16, 8) = (26, 9)jne.

Kun kaksi kulutusnopeuskombinaatiota (esim. B ja C) on valittu, jokainenjanan BC kombinaatio voidaan muodostaa naiden yhdisteena ylla osoitetul-la tavalla. A:n kanssa samanarvoisen kulutusnopeuskombinaation D sijain-ti janalla BC riippuu kuluttajan subjektiivisista preferensseista, joten ky-seisen kombinaation sijaintia ei voida yksikasitteisesti maarata. Jokainen yk-silo maarittaa A:n kanssa samanarvoisen kombinaation D sijainnin janallaBC omien mieltymystensa mukaisesti. Pisteen D sijainti janalla BC riip-puu osiossa 2.1.4 mainituista kuluttajan erilaisten mielihyvalajien vaihtosuh-teesta, jotka jokainen kuluttaja maarittelee omien arvostustensa perusteella.

Aksioomien yhteydessa esitetyn seurauslauseen todistuksen periaate voi-daan esittaa kuvion 4.2 avulla seuraavasti. Aksiooman 3 perusteella kulutta-jan kuukausittainen hyoty lisaantyy hanen muuttaessaan kulutusnopeuskom-binaatiotaan janaa BC pitkin pisteesta B pisteeseen C siten, etta alussakuukausittainen hyoty on pienempi ja lopussa suurempi kuin A:ssa. Ak-siooman 2 mukaan kuluttajan kuukausittainen hyoty kasvaa jatkuvasti tamansiirtyman myota, silla jokainen valinta-avaruuden piste on yksi mahdolli-nen kulutusnopeuskombinaatio. Hyodyn kasvaessa jatkuvasti em. siirtymanmyota sen taytyy jossain janan BC pisteessa olla yhta suuri kuin A:ssa.

Kuvio 4.3. Kuluttajan indifferenssikayra

Osoitetaan seuraavaksi, etta edella esitetyn seurauslauseen nojalla kulut-taja kykenee jarjestamaan jokaisen ?:lla merkittyjen alueiden kulutusnopeus-kombinaation paremmuusjarjestykseen kombinaation A suhteen. A kanssasamanarvoiset kulutusnopeuskombinaatiot muodostavat pisteen A kautta kul-kevan yksikasitteisen pistejoukon (kayran) ?:lla merkittyihin tason osiin.Tama kayra voidaan johtaa esimerkiksi seuraavasti. Piirretaan koordinaatis-toon origon kautta kulkeva suora OS ja annetaan sen kiertya origon ympari

9

siten, etta kiertyessaan se ylittaa koko kuluttajan valinta-avaruuden (kuvio4.3). Kiertyessaan yli neljannestason suora leikkaa A:n lapi kulkevat vaaka-ja pystysuorat viivat siten, etta jokaista vaakasuoran viivan leikkauspistettavastaa yksi pystysuoran viivan leikkauspiste.

Olkoon yksi ylla kuvattu pistepari B,C kuviossa 4.3, joita yhdistava suo-ran OS osa kulkee ?:lla merkityssa tason osassa. Aksiooman 3 mukaan janaltaBC loytyy sellainen yksikasitteinen kulutusnopeuskombinaatio, jota kulutta-ja pitaa samanarvoisena A:n kanssa. Koska tama sama patee mille tahansavastaavalle pisteparille B,C, jotka suora OS maaraa erisuurilla kulmaker-toimilla origon ympari kiertyessaan, suoran OS kierto yli koko neljannestasonmaarittaa tasoon yksikasitteisen pistejoukon, joka kuvaa kuluttajan mielestaA:n kanssa indifferentteja (samanarvoisia) kulutusnopeuskombinaatioita.Nain johdettu pistejoukko voidaan osoittaa jatkuvaksi, eli etta pisteet muo-dostavat valinta-avaruuteen yhtenaisen kayran. Kayran jatkuvuuden todis-taminen vaatisi tilanteen tarkkaa matemaattista maarittamista, mista syystatodistaminen sivuutetaan. Nain johdettua kayraa kutsutaan yhdeksi kulut-tajan indifferenssi- eli samahyotykayraksi.

Yksi jatkuva indifferenssikayra jakaa kuluttajan valinta-avaruuden kah-teen osatasoon; kayran origonpuoleisen osatason kulutusnopeuskombinaatiotedustavat alempaa, ja toisen osatason kombinaatiot korkeampaa, kuukausit-taisen hyodyn tasoa A:n tuottamaan hyotyyn verrattuna. Indifferenssikayranyksikasitteisyyden perusteella kuluttaja voi jokaisesta valinta-avaruuden ku-lutusnopeuskombinaatiosta sanoa, pitaako han sita parempana, huonompanavai samanarvoisena kombinaatioon A verrattuna. Koska pisteen A edustamakulutusnopeuskombinaatio valittiin mielivaltaisesti, mika tahansa valinta-avaruuden piste voidaan valita vertailukohteeksi, ja johtaa sen kanssa sama-narvoisia kombinaatioita esittava yksikasitteinen kayra. Aksioomat 2 ja 3takaavat siten yhdessa sen, etta jokainen valinta-avaruuden kulutusnopeuskom-binaatio voidaan jarjestaa paremmuusjarjestykseen muihin kombinaatioihinverrattuna. Kuluttaja voi siis jokaisesta kahdesta valinta-avaruuden kulu-tusnopeuskombinaatiosta sanoa, pitaako han toista parempana kuin toista,vai pitaako han niita samanarvoisina.

Erisuuria kuluttajan kuukausittaisia hyotytasoja edustavien indifferenssi-kayrien muodostama kayraparvi peittaa koko kuluttajan valinta-avaruuden,silla jokainen positiivisen neljannestason kulutusnopeuskombinaatio edustaayhta tiettya kuukausittaisen hyodyn tasoa kuluttajalla, ja jokaisen kom-binaation kanssa samanarvoiset kombinaatiot muodostavat yhden indiffer-enssikayran. Kuluttajan valinta-avaruus voidaan siten peittaa toinen toisensavieressa olevilla indifferenssikayrilla. Nain aikaansaatu indifferenssikayrastovastaa kartoissa kaytettya maaston korkeuskayrastoa siten, etta mitakauempana origosta kayra sijaitsee, sita korkeampaa kuukausittaisen hyodyn

10

tasoa se edustaa.

Kuvio 4.4. Kahden muuttujan funktion kuvaajan esitys pintana

Kuukausittaisen hyodyn tasoa mittaavan kolmannen ulottuvuuden voidaanajatella nousevan kirjan sivun muodostamasta tasosta kohtisuoraan ylospain.Indifferenssikayrat vastaavat kuukausittaisen hyodyn tasoa mittaavan ”kukku-lan” ja tietylla korkeudella kirjan lehden ylapuolella kulkevan vaakasuorantason leikkauspisteita; tasmalleen samalla tavalla kuin maastokartan kor-keuskayrat saadaan kukkulan ja eri korkeuksilla olevien vaakasuorien taso-jen leikkauksina (suunnistajat huom!). Kuukausittaisen hyodyn tasoa kuvaa-van kukkulan matalin piste on origossa (qr, qh) = (0, 0), ja kukkulan rinnenousee origosta poispain kuljettaessa.

Kuviossa 4.4 on esitetty kahden muuttujan funktion u = 2qrqh kuvaajapintana 3-ulotteisessa koordinaatistossa. Funktion argumenttien arvoja mi-tataan vaakasuoran tason koordinaattiakselien positiivisilla osilla, ja funktionarvoja mitataan pystysuoralla koordinaattiakselilla (liite; luvut 5 ja 8). Ku-vion 4.4 pintaa vastaava tasokayrasto (korkeuskayrasto) on esitetty kuviossa4.5. Tama esimerkki havainnollistaa kuluttajan indifferenssikayrastoa yhdentietyn hyotyfunktion tapauksessa.

Kuvio 4.5. Kuvion 4.4 pintaa vastaava tasokayrasto

5 Kuluttajan optimaalinen valinta

Jatketaan nyt edella esitetyn kahden hyodykkeen valintatilanteen tarkastelua.Yksikasitteisen ratkaisun loytamiseksi kuluttajan valintaongelmaan tarvi-taan edella esitettya aksioomaa 4; kuluttajan oletetaan valitsevan sen ku-lutusnopeuskombinaation, joka tuottaa suurimman mahdollisen hyotytasontarkastelujaksolle. Tarkastellaan seuraavaksi miten tama kombinaatio loyde-taan.

Edellisessa osiossa osoitettiin, etta tiettyjen oletusten ollessa voimassa,kuluttaja pystyy jarjestamaan erilaiset kulutusnopeuskombinaatiot parem-muusjarjestykseen. Kulutusnopeuskombinaatioiden jarjestysasteikollisuus-ominaisuuden avulla ei kuitenkaan pystyta sanomaan sita, paljonko kulut-tajan kuukausittainen hyoty muuttuu hanen kulutusnopeuskombinaationsamuuttuessa. Voidaan ainoastaan sanoa, kasvaako, pieneneeko vai pysyykokuukausittainen hyoty ennallaan tietyn muutoksen seurauksena. Jotta voitaisi-in sanoa paljonko kuluttajan kuukausittainen hyoty muuttuu hanen kulu-tusnopeuskombinaationsa muuttuessa, hyotya tulisi kyeta mittaamaan vali-matka-asteikollisella mittarilla (liite; luku 11 osio 2.3). Hyotya tulisi siis

11

kyeta mittaamaan tietyissa mittayksikoissa, mita toistaiseksi ei ole kyettytekemaan.

Ylla esitetty hyodyn mittausongelma ei kuitenkaan esta kuluttajan kayt-taytymisen mallittamista jarjestysrelaatiollisten preferenssien avulla. Voidaannimittain osoittaa, etta jos hyodykkeiden kulutusnopeuskombinaatioiden jar-jestysrelaatio on taydellinen (liite; luku 11 osio 2.2) ja kuluttajan valinta-teorian aksioomat 2 ja 3 toteutuvat, niin talloin voidaan maaritella jatku-va skalaariarvoinen funktio u = u(qr, qh) jolle patee u(qr2 , qh2) ≥ u(qr1 , qh1)silloin, kun kuluttaja pitaa kombinaatiota (qr2 , qh2) vahintaan yhta hyvanakuin kombinaatiota (qr1 , qh1). Tassa esitetyn vaitteen todistaminen vaatisijonkin verran matematiikan kasitteiden maarittelya, mista syysta todistami-nen sivuutetaan. Todistus loytyy Gerard Debreun kirjasta (1959 ss. 55-59).

Ylla esitettya funktiota u kutsutaan kuluttajan hyotyfunktioksi; seilmaisee kuluttajan preferenssijarjestyksen yksikasitteisesti argumenttiensajatkuvana funktiona. Tassa luvussa tarkasteltavassa tilanteessa kuluttajanhyotyfunktio on kahden muuttujan funktio, joiden matemaattisen teorianpaaperiaatteet on esitetty kirjan liitteen luvuissa 5 ja 8. Taman luvun es-imerkeissa kahden muuttujan funktiot pyritaan mahdollisuuksien mukaanmuuntamaan sijoituksilla yhden muuttujan funktioiksi, jotta tilanteiden a-nalysointi saadaan yksinkertaisemmaksi.

Ylla kuvattu kuluttajan kuukausittaisen hyodyn tasoa (hyodyn kuukausi-nopeutta) mittaava funktio u(qr, qh) ei ole yksikasitteinen; mika tahansa senpositiivinen muunnos f(u), f ′(u) > 0 — esimerkiksi a× u(qr, qh) missa a onpositiivinen vakio tai [u(qr, qh)]2 — kuvaa samat preferenssit kuin u(qr, qh).Kun a > 1, a × u(qr, qh) ilmaisee tietyn hyotymuutoksen absoluuttisestisuurempana kuin u(qr, qh). Eri hyotyfunktioiden ilmaisemat kuukausittaisethyotytasot eivat siten ole yksikasitteisia.

Jotta voisimme jatkossa kirjoittaa sellaisia dimensionaalisesti hyvin maa-riteltyja yhtaloita, joissa hyotyfunktio esiintyy, hyodylle tulee maaritella jokinmittayksikko. Osion 2.1.4 perusteella hyodyn mittayksikkoa merkitaan (ut):lla.Hyodyn mittayksikko ei kuitenkaan ole yksikasitteinen, vaan se riippuu vali-tusta hyotyfunktiosta. Jokainen saman preferenssijarjestyksen kuvaava jatku-va hyotyfunktio maarittelee hyodylle omien arvojensa mukaisen mittayk-sikon. Jos kuitenkin kaytamme tietyssa mallittamistilanteessa johdonmukaises-ti yhta hyotyfunktiota, ja maarittelemme sille hyodyn mittayksikoksi (ut),talla tavalla saamme maariteltya yhden yksikasitteisen tavan mitata hyotyako. tilanteessa.

Hyodyn tarkka mittaaminen yksikoissa (ut) ei kuitenkaan ole tarpeellistakuluttajan kayttaytymista mallitettaessa. Hyoty on ainoastaan apusuure,jonka avulla kuluttajan maksuhalukkuudet eri hyodykkeista saadaan ilmais-tua. Kaikki tietyn kuluttajan yksikasitteisen preferenssijarjestyksen kuvaavat

12

hyotyfunktiot tuottavat saman yksikasitteisen maksuhalukkuuden tietyllehyodykkeelle kuluttajan optimitilanteen laheisyydessa. Tama vaite todiste-taan taman luvun osiossa 11 seka liitteen luvun 8 osiossa 7. Tassa esitetythyodyn mittausongelmat voidaan sivuuttaa nailla huomautuksilla.

Tassa luvussa kuvatussa valintatilanteessa kuluttajan aikahorisontti olete-taan kuukauden pituiseksi. Koska kuluttaja kuluttaa kaikki tulonsa kuukau-den aikana, kulutuksesta saatu hyoty koetaan tarkasteltavan kuukauden aikana.Tasta syysta hyotyfunktion u(qr, qh) arvoja mitataan yksikoissa (ut/kk).Hyoty u on siis virtasuure, joka mittaa kuluttajan tyytyvaisyyden keskimaa-raista tasoa tarkastelujakson aikana. Hyotyfunktio puolestaan on teoreetti-nen termi, jonka avulla muodostetaan kuluttajan kayttaytymista kuvaaviasuureita.

Maaritelma: Jonkin hyodykkeen keskimaarainen hyodyllisyys ku-luttajalle mitataan jakamalla kuluttajan keskimaarainen hyoty tarkastelujak-son aikana hanen ko. hyodykkeen keskimaaraisella kulutusnopeudella vastaa-vana aikana. �

Ruuan ja huvipuistossa olon keskimaaraiset hyodyllisyydet kuluttajallekuukauden aikana ovat

u(qr, qh)

qr

jau(qr, qh)

qh

,

ja niiden mittayksikot ovat (ut/kk)/(kg/kk) = (ut/kg) ja (ut/kk)/(h/kk) =(ut/h); ne mittaavat yhden ruokakilon ja yhden huvipuistotunnin kulutta-jalle tuottamaa hyotya kuukauden aikana keskimaarin.

Maaritelma: Jonkin hyodykkeen rajahyodyllisyydella kuluttajalle tar-koitetaan kuluttajan tietyn ajanjakson hyotytason muutoksen ja hyodykkeenko. jakson kulutusnopeuden marginaalisen muutoksen suhdelukua. Rajahyodyl-lisyytta on perinteisesti kutsuttu rajahyodyksi, mita nimitysta kaytetaanjatkossa perinteiden vuoksi. Rajahyoty mittaa hyodykkeen keskimaaraistahyodyllisyytta kulutusnopeuden marginaalisen lisayksen osalta. �

Ruuan ja huvipuiston kayton rajahyodyt kuluttajalle ovat

limqr→qr0

u(qr, qh0)− u(qr0 , qh0)

qr − qr0

= lim∆qr→0

∆u

∆qr

=∂u(qr0 , qh0)

∂qr

,

limqh→qh0

u(qr0 , qh)− u(qr0 , qh0)

qh − qh0

= lim∆qh→0

∆u

∆qh

=∂u(qr0 , qh0)

∂qh

, (4)

missa qr0 , qh0 ovat jotkin kiinteat kulutusnopeudet.Hyodykkeiden rajahyodyt kuluttajalle ovat hyotyfunktion ensimmaiset

osittaisderivaatat (liite; luku 8). Osittaisderivaatta (samoin kuin ”tavalli-nenkin derivaatta”) mittaa funktion arvon muutoksen ja funktion argumentin

13

marginaalisen muutoksen suhdelukua. Derivaattaa maariteltaessa argumentinmuutos voi olla joko positiivinen tai negatiivinen (liite; luku 7), ja funktionarvo joko lisaantyy, pienentyy tai pysyy ennallaan taman muutoksen seurauk-sena. Jos argumentin kasvu kasvattaa (pieneneminen pienentaa) funktion ar-voa, osittaisderivaatta (kuten ”tavallinenkin derivaatta”) on positiivinen japainvastoin. Kulutusnopeudet qr0 , qh0 on merkitty nakyviin hyotyfunktionargumentteina siita syysta, etta hyodykkeiden rajahyodyt riippuvat vallit-sevista kulutusnopeuksista. Jatkossa ne jatetaan toisinaan kirjoittamattanakyviin kaavojen selkeyden vuoksi.

Jokaisen hyodykkeen rajahyodyn mittayksikko on sama kuin keskimaarai-sen hyodyllisyyden. Aksiooman 2 mukaan rajahyodyt ovat positiivisia kaikil-la kulutusnopeuksilla, eli hyodykkeiden kulutusnopeuksien lisaaminen lisaaaina kuluttajan hyotya ja painvastoin. Jos siis qr > qr0 niin u(qr, qh0) >u(qr0 , qh0) ja painvastoin, eli seka osoittaja etta nimittaja ovat yhta aikaapositiivisia tai negatiivisia ruuan rajahyodyn lausekkeessa; tama sama pateehuvipuiston rajahyodyn suhteen.

Oletetaan nyt kuluttajan kulutusnopeuskombinaation olevan (qr0 , qh0) jaajatellaan kuluttajan suunnittelevan kulutuksensa muuttamista siten, ettax(mk/kk) siirretaan ruuan kulutuksesta huvipuiston kulutukseen. Rahamaa-ralla x(mk/kk) kuluttaja voi viettaa x(mk/kk)/ph(mk/h) = x/ph(h/kk)aikaa huvipuistossa. Rahamaaralla x(mk/kk) kuluttaja voi siis ostaa (∆u/∆qh)×(x/ph):n verran hyotya huvipuistosta yksikoissa (ut/kk) mitattuna. Vas-taavasti rahamaaralla x (mk/kk) kuluttaja voi ostaa (∆u/∆qr) × (x/pr):nverran hyotya ruokakaupasta yksikoissa (ut/kk) mitattuna. Osamaaria

∆u

∆qr

1

pr

ja∆u

∆qh

1

ph

voidaan kutsua ko. hyodykkeiden kuluttamisen tehokkuussuhteiksi, sillaniiden mittayksikko (ut/mk) kertoo niiden mittaavan sita, paljonko kummas-takin hyodykkeesta saadaan hyotya yhdella markalla tietyilla kulutusnopeuk-silla.

Huomautus! Vaikka kuluttajan hyotytason mittaaminen ei olekaan yk-sikasitteista, yhdella tietylla hyotyfunktiolla mitatut ja hyodykkeiden hin-noilla jaetut rajahyodyt ovat vertailukelpoisia suureita. Ylla tehty vertailuon siten hyvin maaritelty.

Alenevan rajahyodyn laki. Alenevalla rajahyodylla tarkoitetaan sita,etta hyodykkeen kulutusnopeuden lisaaminen lisaa kuluttajan tarkastelujak-son aikana kokemaa hyotya vahenevasti. �

Esimerkki. Yhden appelsiinin syominen lisaa kuluttajan mielihyvaa ti-etyn ajanjakson aikana, toisen appelsiinin syominen saman ajanjakson aikana

14

(esim. yhden paivan) lisaa kuluttajan paivittaista hyotytasoa, mutta korkein-taan yhta paljon kuin ensimmainen lisasi. Viides appelsiini saman paivanaikana ei kuitenkaan lisaa paivittaista mielihyvaa enaa yhta paljon kuin en-simmainen lisasi, ja kahdeskymmenes appelsiini saman paivan aikana lisaapaivittaista hyotytasoa tuskin lainkaan. �

Ylla oleva esimerkki demonstroi alenevan rajahyodyn lakia, joka pateekaikkiin muihinkin hyodykkeisiin. Mita enemman me kulutamme jotakin tiet-tya hyodyketta kiintean ajanjakson aikana, sita vahemman me nautimme ky-seisen hyodykkeen tarkastelujakson kulutusnopeuden lisaamisesta. Derivoitu-van hyotyfunktion tilanteessa alenevan rajahyodyn lain matemaattinen muo-to on seuraava:

∂2u(qr, qh)

∂q2r

< 0,∂2u(qr, qh)

∂q2h

< 0,

eli hyotyfunktion toisen kertaluvun osittaisderivaatat ovat negatiiviset. Ale-nevan rajahyodyn lain mukaan kuluttajan kuukausittainen hyotytaso kasvaahyodykkeiden kuukausittaisten kulutusnopeuksien myota siten, etta jokainenargumentin lisays tuottaa korkeintaan yhta suuren hyodyn lisayksen kuinedellinen yhta suuri argumentin lisays tuotti. Hyotyfunktion osittaiskuvauk-set ovat siten ylospain kuperia (liite, luku 7 osio 3.2), mita havainnolliste-taan kuviossa 4.6.

Kuvio 4.6. Kuluttajan hyotytason ja ruuan kulutusnopeudenvalinen riippuvuus

Palataan nyt edella tarkasteltuun esimerkkiin. Kuluttajan kannalta par-haan kulutusnopeuskombinaation etsiminen voidaan pelkistaa liikkumiseksibudjettisuoraa pitkin jommasta kummasta aaripaasta lahtien. Oletetaan ku-luttajan toimivan pisteessa qrmax ja harkitsevan siirtymista budjettisuoraapitkin huvipuiston kayton suuntaan (kuvio 4.1). Ajatellaan kuluttajan po-htivan x (mk/kk) siirtamista ruuan kulutuksesta huvipuiston kulutukseen.Edella esitetyn perusteella kuluttaja puntaroi x/ph huvipuistotunnin vaih-tamista x/pr ruokakiloon kuukaudessa. Kuluttajan oletetaan tekevan tamanvaihtokaupan, jos kokee sen lisaavan kuukausittaista hyotyaan.

Kuluttajan optimaalinen valintatilanne on sellainen, etta han ei voi lisatakuukausittaista hyotyaan kulutusnopeuskombinaatiotaan muuttamalla. Op-timitilanteessa tietylla rahamaaralla saatava hyotymaara on sama kaikillahyodykkeilla. Tata vastaa seuraava ehto

∆u

∆qr

x

pr

=∆u

∆qh

x

ph

⇔ ∆u

∆qr

1

pr

=∆u

∆qh

1

ph

,

missa rahamaaralla x(mk/kk) saatava hyotymaara on asetettu yhta suurek-si molemmissa hyodykkeissa; jalkimmaisessa yhtalossa suure x on supistet-

15

tu pois. Kaavassa (5) esitettya ehtoa kutsutaan tehokkaan kuluttamisenehdoksi. Jos ehto ei ole voimassa, kuluttaja voi lisata hyotyaan kulutusnope-uskombinaatiotaan muuttamalla. Tassa esitetyn perusteella kuluttaja valit-see budjettisuoralta sellaisen kulutusnopeuskombinaation, jossa han ”tehok-kaimmin ostaa hyotya”. Jos hinnat, tulot ja kulutettavana olevat hyodykkeetsailyvat samoina usean ajanjakson (kuukauden) ajan, voidaan olettaa, ettaajan myota kuluttaja paatyy valitsemaan hyvinvointinsa kannalta parhaanmahdollisen kulutusnopeuskombinaation. Kuluttajan optimaalista valintaavoidaan siten pitaa tilanteena, johon kuluttaja paatyy ajan myota sil-loin, kun valintatilanne sailyy muuttumattomana.

Edella esitetty kuluttajan valinnan optimaalisuusehto voidaan yleistaan:n hyodykkeen valintatilanteeseen (n mielivaltainen positiivinen kokonais-luku). Tehokkaan kuluttamisen ehdoksi saadaan talloin

∆u

∆q1

1

p1

=∆u

∆q2

1

p2

= · · · = ∆u

∆qn

1

pn

,

missa i = 1, . . . , n ovat kulutettavana olevat hyodykkeet. Kun tama ehtoon voimassa, kuluttaja ei voi lisata hyotyaan kulutusnopeuskombinaatiotaanmuuttamalla.

6 Budjettisuoran siirtymat

6.0.1 Tulojen muutoksista johtuvat budjettisuoran siirtymat

Kuvio 4.7. Tulojen kasvun vaikutus kuluttajan budjettisuoraan

Jatketaan edella esitetyn kahden hyodykkeen valintatilanteen tarkastelua jaoletetaan, etta kuluttajan tulot kasvavat T1:lla markalla kuukaudessa. Tamasaa aikaan budjettisuoran siirtymisen kuvion 4.7 mukaisesti. Koska budjet-tisuoran kulmakerroin on edelleen ∆qh/∆qr = −pr/ph, tulojen muutoksel-la ei ole vaikutusta suoran kaltevuuteen. Suoran ja koordinaattiakseleidenleikkauspisteet sen sijaan muuttuvat seuraaviksi: qrmax = (T + T1)/pr jaqhmax = (T + T1)/ph.

Merkitaan kuluttajan optimaalista valintaa kuukausituloilla T E0:lla (ku-vio 4.7). Merkinta E tulee termista ”equilibrium” eli tasapaino. Tulojen nous-tua T + T1:een kuluttaja voi valita uudelta budjettisuoralta optimaalisenkulutusnopeuskombinaation valeilta AB, BC tai CD. Kuluttajan valintauudessa tilanteessa riippuu hanen subjektiivisista preferensseistaan. ValilleAB osuva valinta merkitsee sita, etta kuluttaja vahentaa ruuan ja lisaa hu-vipuiston kulutusnopeutta tulojen kasvaessa; valinta valilta BC merkitseemolempien hyodykkeiden kulutusnopeuksien lisaamista; valilta CD valittu

16

piste osoittaa puolestaan kuluttajan lisaavan ruuan ja vahentavan huvipuis-ton kulutusnopeutta. Kuluttajan kuukausitulojen lasku siirtaa budjettisuo-raa vastaavasti suuntansa sailyttaen origoa kohti.

6.0.2 Hintojen muutoksista aiheutuvat budjettisuoran siirtymat

Kuvio 4.8. Ruuan hinnan nousun vaikutus kuluttajan budjettisuoraan

Oletetaan nyt, etta ruuan hinta nousee pr0 :sta pr1 :een huvipuiston hinnanpysyessa ennallaan. Budjettisuoran kulmakerroin muuttuu talloin −pr0/ph0

→ −pr1/ph0 , eli suora muuttuu ”jyrkemmaksi”. Kuviossa 4.8 B0:lla merk-itaan alkuperaista ja B1:lla ruuan hinnan nousun jalkeista budjettiyhtalonkuvaajaa. Koska ruuan hinnan nousulla ei ole vaikutusta ruuan kulutuk-seen silloin, kun ruokaa ei lainkaan kuluteta (piste qhmax), budjettisuora kier-tyy hintamuutoksen seurauksena pisteen qhmax ympari kuvion 4.8 esittamallatavalla. Ruuan hinnan lasku kaantaa puolestaan budjettisuoraa pisteen qhmax

ympari painvastaiseen suuntaan. Vastaavat kiertymiset pisteen qrmax ymparitapahtuvat silloin, kun huvipuiston hinta muuttuu ruuan hinnan pysyessaennallaan.

7 Hyvinvoinnin muutoksen arviointi hinta- ja

tulotilastojen avulla

Edella esitetty malli kuluttajan kayttaytymisesta auttaa arvioimaan sita,paraneeko vai huononeeko kuluttajan asema silloin, kun kuluttajan tulot jahyodykkeiden hinnat nousevat siten, etta hyodykkeiden hintasuhde muuttuu.Oletetaan taulukon 4.1 mukainen kuviteltu tilanne, ja tarkastellaan kulutustayhden vuoden aikana.

1992 1993 muutos (%/vuosi)

tulot keskimaarin (mk/kk) 10000 12000 20ruuan hinta (mk/kg) 5 7.50 50huvipuiston hinta (mk/h) 10 10 0

Taulukko 4.1. Kuluttajan tulot ja hyodykkeiden hinnat kahdelta vuodelta

Kuvio 4.9. Kuluttajan valintatilanteet kahden eri ajanjakson aikana

Tarkastellaan taulukon 4.1 tilannetta budjettisuorien avulla. Piirretaanvuosien 1992 ja -93 tilanteita vastaavat keskimaaraiset kuukausibudjetit (bud-jettisuorat) samaan kuvioon (kuvio 4.9). Ensisilmayksella katsoen on vaikea

17

sanoa, onko kuluttajan tilanne parempi vai huonompi vuonna 1993 kuinvuonna 1992. Kriteerina hyvinvoinnin lisaantymiselle voidaan nyt pitaa sita,voiko kuluttaja vuoden 1993 tilanteessa valita vuonna 1992 keskimaarin valit-semansa kulutusnopeuskombinaation. Jos voi ja rahaa jaa viela saastoonkin,kuluttajan elintaso on parantunut entisilla preferensseilla arvioituna.

Merkitaan kuluttajan vuonna 1992 keskimaarin valitsemaa kulutusno-peuskombinaatiota E0:lla. Vuoden 1992 valintaan E0 verrattuna kuluttajanhyvinvointi olisi lisaantynyt vuonna 1993, silla kuluttaja voisi edelleenkinvalita aiemman kulutusnopeuskombinaation, ja rahaa jaisi viela saastoonkin.Jos taas kuluttaja olisi keskimaarin ottaen valinnut kombinaation E1 vuonna1992, han ei voisi vuonna 1993 saavuttaa aiempaa kulutustasoaan, eli hanenelintasonsa olisi laskenut.

Tama kuviteltu esimerkki osoittaa sen, etta samanaikaiset tulo- ja hin-tamuutokset kohtelevat ihmisia eri tavoin heidan preferensseistaan riippuen.Esimerkin mukaan hyvinvoinnin muutoksen suunta riippuu siita, nouseekojonkin kuluttajalle tarkean hyodykkeen (tai hyodykeryhman) hinta suhteel-lisesti ottaen kuluttajan tuloja enemman, eli miten kuluttajan reaaliset tulotkehittyvat.

8 Indifferenssikayraston johtaminen hyotyfunk-

tion avulla

Jatketaan edella kasitellyn kahden hyodykkeen valintatilanteen tarkastelua.Kuluttajan mielihyvatason oletetaan riippuvan ainoastaan naiden kahdenhyodykkeen kulutuksesta, ja muut hanen hyvinvointiinsa vaikuttavat tek-ijat jatetaan tarkastelun ulkopuolelle. Tarkastellaan kuluttajan hyvinvoin-nin muutosta hanen muuttaessaan huvipuiston kulutusnopeuttaan qh0 :staqh1 :een, ∆qh = qh1− qh0 . Merkitaan kuluttajan kuukausittaista hyotya lahto-tilanteessa seuraavasti u = u(qr0 , qh0) ja tutkitaan sita, miten kuluttajankuukausittainen hyoty muuttuu kulutusnopeuden muuttuessa. Huvipuistonkayton rajahyoty ∆u/∆qh mittaa yksikoissa (ut/h) kuukausittaisen hyodynja huvipuiston kulutusnopeuden muutoksen suhdetta. Koska ∆qh on jokintuntimaara huvipuiston kayttoa kuukaudessa, huvipuiston kulutusnopeudenmuutoksen hyotyvaikutus voidaan esittaa seuraavasti: ∆u = ∆u

∆qh∆qh (ut/kk).

Kun kuluttaja muuttaa huvipuiston kulutusnopeuttaan (∆qh 6= 0), ku-luttajan kuukausittainen hyoty muuttuu positiivisen rajahyodyn vuoksi. Jot-ta hyotytaso sailyisi ennallaan taman muutoksen jalkeen, kuluttajan tuleemuuttaa myos ruuan kulutusnopeutta siten, etta hyotytaso muuttuu pain-vastaiseen suuntaan yhta suurella maaralla. Merkitaan muutosta ruuan ku-

18

lutusnopeudessa seuraavasti ∆qr = qr1 − qr0 . Ruuan kulutusnopeuden muu-toksesta johtuva hyotyvaikutus on ∆u = ∆u

∆qr∆qr (ut/kk). Jotta kuluttajan

kuukausittainen hyoty pysyisi ennallaan kulutusnopeuskombinaation muut-tuessa (qr0 , qh0):sta (qr1 , qh1):een, seuraavan ehdon tulee toteutua (∆qr, ∆qh 6=0):

∆u

∆qr

∆qr +∆u

∆qh

∆qh = 0 ⇔ ∆qh

∆qr

= −(

∆u

∆qr

)/

(∆u

∆qh

).

Nain johdetun jalkimmaisen yhtalon vasemmalla puolella on hyodykkeidenkulutusnopeuksien muutosten suhdeluku, ja oikealla puolella on rajahyotyjensuhdeluku. Viimeksi mainittu kuvaa sellaista kuluttajan subjektiivisten pref-erenssien perusteella johdettua hyodykkeiden valista vaihtosuhdetta, jokapitaa kuluttajan hyotytason vakiona. Koska hyodykkeiden rajahyodyt ovatpositiiviset kaikilla kulutusnopeuksilla, jalkimmaisen yhtalon oikea puoli onnegatiivinen. Talloin myos yhtalon vasen puoli on negatiivinen, eli ∆qr:npositiivisuus edellyttaa ∆qh:n negatiivisuutta ja painvastoin, jotta kuukausit-tainen hyoty pysyisi vakiona.

Kuluttajan oletetaan pystyvan arvioimaan rajahyotyjensa numeeriset ar-vot erisuurilla kulutusnopeuksilla. Yhtalosta (8) voidaan siten ratkaista, pal-jonko kuluttaja on valmis pienentamaan ruuan kulutusnopeutta ∆qr < 0saadakseen lisattya huvipuiston kulutusnopeuttaan ∆qh > 0:n verran japainvastoin siten, etta kuluttajan hyotytaso pysyy vakiona. Hyotytason en-nallaan pitava hyodykkeiden kulutusnopeuksien vaihtosuhde maaraytyy ra-jahyotyjen perusteella. Mita suurempi ruuan (mita pienempi huvin) rajahyotyon, sita suurempi on vaihtosuhteen itseisarvo, eli sita enemman huvipuis-tossaoloa ∆qh kuluttaja on valmis vaihtamaan tiettyyn ruokamaaraan ∆qr

kuukaudessa.

Kuvio 4.10. Kuluttajan indifferenssi- eli samahyotykayra

Tarkastellaan edella esitettya tilannetta kuvion 4.10 avulla, jossa yhta ti-ettya kulutusnopeuskombinaatiota merkitaan A:lla. A:n kanssa indifferen-tit (samanarvoiset) kulutusnopeuskombinaatiot sijaitsevat positiivisen nel-jannestason lohkoissa I ja III, silla vain niissa alueissa toisen hyodykkeenkulutusnopeus kasvaa toisen pienentyessa. Aiemmin olemme jo osoittaneet,etta kaikki A:n kanssa indifferentit kulutusnopeuskombinaatiot muodostavattasoon yksikasitteisen samahyotykayran, joka vastaa kuluttajan kuukausit-taisen hyodyn yhta tiettya tasoa.

Osoitetaan nyt yhteys edella johdetun kuluttajan indifferenssikayran sekatassa esitetyn tarkastelun valilla. Mita pienempia muutokset ∆qr, ∆qh ovat,

sita tarkemmin ylla johdettu suhdeluku ∆qh

∆qr= −

(∆u∆qr

)/(

∆u∆qh

)vastaa in-

differenssikayran sivuajan kulmakerrointa tietyilla kulutusnopeuksilla. Raja-

19

arvotarkastelun kautta paadytaan seuraavaan tarkkaan vastaavuuteen (liite;luku 6 osio 1)

dqh

dqr

= −(

∂u

∂qr

)/

(∂u

∂qh

).

Tulos (8) saadaan johdettua differentiaalilaskennan avulla. Kahden muut-tujan funktion u = u(qr, qh) arvon muutos (u:n kokonaisdifferentiaali)maaritellaan differentiaalilaskennassa seuraavasti (liite; luku 8 osio 5)

du =∂u

∂qr

dqr +∂u

∂qh

dqh.

Taman tulkita on: u:n muutos du riippuu argumenttien qr, qh marginaal-isista muutoksista dqr, dqh funktion osittaisderivaattojen ilmaisemien ker-toimien mukaan. Silloin kun u:n kokonaismuutosta tarkastellaan, funktionkaikkien argumenttien muutokset otetaan huomioon. Kokonaisdifferentiaalis-sa kaikkien argumenttien muutosten vaikutukset funktion arvoon summataanyhteen. Samahyotykayralla u:n arvo on kiintea (u on vakio), joten u:n muu-tos du on nolla. Asettamalla ylla olevassa kaavassa du = 0 ja ajattelemallakaikkien dqr, dqh, ∂u/∂qr, ∂u/∂qh olevan skalaareja, tulos (8) saadaan johdet-tua kerto- ja jakolaskun keinoin normaaleilla yhtalon ratkaisumenetelmilla.

Kuvio 4.11. Indifferenssikayrien leikkaamattomuusehto

Koska indifferenssikayran sivuajan kulmakerroin on negatiivinen (raja-hyodyt ovat positiiviset), samahyotykayra on laskeva yo. koordinaatistossa.Alenevan rajahyodyn lain mukaan kuluttajan huvipuiston kayton rajahyoty∆u/∆qh on sita suurempi, mita pienempi on huvipuiston kulutusnopeus japainvastoin. Kuluttajan indifferenssikayran kulmakertoimen negatiivinen ar-vo on sita suurempi (lahempana nollaa eli kayra on loivempi), mita suurempihanen ruuan (ja mita pienempi huvipuiston) kulutusnopeutensa on. Kuvios-sa 4.10 esitetty indifferenssikayran muoto johtuu siten alenevan rajahyodynlaista.

Vaite: Jokainen kuviossa 4.10 kuvatun koordinaatiston piste kuuluu yh-delle ja vain yhdelle indifferenssikayralle tietylla kuluttajalla. �

Todistus: Tama todistus ei ole matemaattisen tarkka siita syysta, ettatilannetta ei ole maaritelty tarkasti. Asia selviaa tarkastelemalla kuviota4.11. Koska kuukausittaisia hyotytasoja 1 ja 2 edustavat indifferenssikayratu1 ja u2 leikkaavat toisensa pisteessa A, ja maaritelmallisesti kuukausit-taisen hyodyn taso on sama samahyotykayran jokaisessa pisteessa, molem-mat kayrat edustavat samaa hyotytasoa. Pisteita A, B ja C vastaavat kulu-tusnopeuskombinaatiot tuottavat siten kuluttajalle saman hyotytason. Pis-teista B ja C nahdaan kuitenkin, etta ne eivat voi edustaa samaa hyotytasoa.

20

Nain siksi, etta B:ssa kuluttajan ruuan kulutusnopeus on sama kuin C:ssa,mutta huvipuiston kulutusnopeus on suurempi. Tama on ristiriidassa kulut-tajan valintateorian aksiooman 3 kanssa. Vastaava ristiriita voidaan loytaajokaisen toisiaan leikkaavan indifferenssikayran kohdalla. Kahdella erilaistahyotytasoa edustavalla kayralla ei siis voi olla yhteisia pisteita, ja kaksi samaahyotytasoa edustavaa kayraa yhtyvat toisiinsa. �

Huomautus! Jokaisen kuluttajan indifferenssikayrasto on johdettu hanenhenkilokohtaisten preferenssiensa perusteella, joten kahdella eri kuluttajal-la on todennakoisesti erilaiset indifferenssikayrastot. Jos yksi kayra kahdeneri kuluttajan indifferenssikayrastoista piirretaan samaan koordinaatistoon,nain piirretyt kayrat melko varmasti leikkaavat toisensa. Sen sijaan molempi-en kuluttajien indifferenssikayrastojen erisuuria kuukausittaisia hyotytasojaedustavat kayrat eivat leikkaa toisiaan.

9 Kuluttajan tasapaino

Kuluttajan oletetaan pyrkivan mahdollisimman korkealle kuukausittaisenhyodyn tasolle kuukausitulojensa puitteissa, eli kauimpana origosta sijait-sevalle indifferenssikayralle, jolle hanen tulonsa riittavat. Koska tulojen ra-jallisuus rajoittaa kuluttajan valintaa, optimaalinen valinta kiinteilla tuloil-la voidaan esittaa seuraavasti. Optimaalinen kulutusnopeuskombinaatio loy-detaan etsimalla se kombinaatio, jossa jokin indifferenssikayra sivuaa bud-jettisuoraa. Nain loydetty indifferenssikayra edustaa korkeinta mahdollistahyotytasoa, jonka kuluttaja kiinteilla tuloillaan voi saavuttaa. Kuluttajan op-timipisteessa budjettisuoran kulmakerroin yhtyy indifferenssikayran sivuajankulmakertoimeen, jolloin patee

−pr

ph

= −(

∆u

∆qr

)/

(∆u

∆qh

)⇔ ∆u

∆qr

1

pr

=∆u

∆qh

1

ph

.

Nain johdettu yhtalo vastaa edella esitettya tehokkaan kuluttamisen ehtoa.Ehdon toteutuminen merkitsee sita, etta budjettisuoran kulmakertoimen il-maisema hyodykkeiden vaihtosuhde on sama kuin indifferenssikayran kul-makertoimen ilmaisema kuluttajan subjektiivinen arvostussuhde hyodykkei-den valilla. Jos kuluttaja arvostaa hyodykkeita eri tavalla kuin niita voidaanvaihtaa toisiinsa hintojen perusteella, kuluttaja voi lisata kuukausittaistahyotyaan muuttamalla kulutusnopeuskombinaatiotaan. Optimitilanteessa tal-lainen ei ole mahdollista.

Kuluttajan valintaongelman yksikasitteinen ratkaisu saadaan ratkaise-malla yhtalon (9) ja budjettiyhtalon muodostama yhtaloryhma suureiden qr

21

ja qh suhteen. Matemaattisesti kuluttajan valintaongelma voidaan ratkaistasidottuna aariarvotehtavana, jossa kuluttajan kuukausittaista hyotyfunk-tiota u = u(qr, qh) maksimoidaan sidosehdolla T = prqr + phqh. Tama os-oitetaan kirjan liitteen luvun 8 osiossa 7. Kuluttajan optimaalisen valinnangeometrinen esitys on kuviossa 4.12, missa optimaalisia kulutusnopeuksiamerkitaan q∗r :lla ja q∗h:lla.

Kuvio 4.12. Kuluttajan tasapaino

Kuluttajan valintaongelman optimaalista ratkaisua kutsutaan kulutta-jan tasapainoksi, mika nimitys on lainattu fysiikasta. Fysiikassa jonkinsysteemin tasapainoksi kutsutaan sellaista tilaa, jossa eri suureisiin kohdis-tuvat voimat kumoavat toisensa. Kuluttajan valintateorian mukaan kulutta-ja muuttaa hyodykkeiden kulutusnopeuksia niin kauan, kunnes paatyy op-timaaliseen tasapainotilanteeseensa. Fysiikassa jonkin systeemin kayttayty-mista mallitettaessa tasapainon ulkopuolella tapahtuva liike maaritellaanaina tarkasti matematiikan avulla. Kansantaloustieteessa tama asia on tois-taiseksi tehty puutteellisesti, ja sopeutuminen kohti tasapainotilaa on selitet-ty sanoin ilman matemaattista analyysia. Taman kirjan tahdilla merkityissaosioissa osoitetaan kuitenkin, etta newtonilaista mekaniikkaa vastaavamallittaminen voidaan tehda myos kansantaloustieteessa.

Taman luvun osioissa 11 ja 12 kuluttajan valintaongelmaan maaritellaansellainen voimakentta, joka ohjaa kuluttajaa kohti tasapainotilaa ajan myota.Kuluttajan tasapaino on siten stabiili tila eli tila, johon kuluttaja palaajos joutuu siita tilapaisesti poikkeamaan. Jos jokin kuluttajasta riippumatontekija (esim. kuluttajan tulot tai hyodykkeiden hinnat) muuttuu, osiossa 12esitettavalla tavalla voidaan mallittaa, miten kuluttaja siirtyy alkuperaisestatasapainotilasta uuteen ajan myota.

Stabiilia tasapainotilaa havainnollistetaan yleensa maljanmuotoisessa as-tiassa olevan pallon avulla; pallon liikkeen tasapainotila on sellainen, ettapallo asettuu paikalleen maljan pohjalle. Stabiilin tasapainotilan lisaksi onolemassa labiileja (epastabiileja) ja indifferentteja tasapainotiloja. Naistaedellisissa pieni poikkeama tasapainosta saa aikaan sen, etta systeemi alkaaetaantya tasapainotilasta poispain. Jalkimmainen tasapainotila on puolestaansellainen, etta jokainen tasapainotilan laheinen tila on myos tasapainotila.Naita kahta viimeksimainittua tasapainotilaa havainnollistetaan tavallisestikukkulan korkeimmalla kohdalla seka vaakasuoralla pinnalla olevan pallonliikkeen avulla.

Jonkin liikkeen matemaattisen mallittamisen ymmartaminen vaatii luk-ijalta differentiaaliyhtaloiden peruskasitteiden hallintaa, mita ei voidaedellyttaa kansantaloustieteen alkeisiin perehtyvalta opiskelijalta. Tasta syystakaikki differentiaaliyhtaloiden ratkaisuja sisaltavat osiot, joita tassa kirjassa

22

esitetaan, on merkitty tahdella. Lukija voi sivuuttaa ne ilman, etta kirjanloppuun lukeminen hairiintyy. Naiden osioiden tarkoitus on osoittaa kirjas-sa esitetyn lahestymistavan kayttokelpoisuus, ja niiden toivotaan motivoivankansantaloustieteen opintojaan aloittavaa opiskelijaa suhtautumaan vakavastimatematiikan (ja mahdollisesti myos fysiikan) opintoihin kansantaloustieteenopintoja tukevina sivuaineina.

10 Kuluttajan reagointi tulo- ja hintamuu-

toksiin

Kuvio 4.13. Kuluttajan reagointi kuukausitulojen pienentymiseen

Tarkastellaan seuraavaksi kuluttajan tasapainotilan muutosta kuluttajan kuu-kausitulojen muuttuessa. Jatketaan edella esitetyn kahden hyodykkeen val-intatilanteen tarkastelua ja oletetaan, etta kuluttajan kuukausitulot pienen-tyvat esim. tyottomyyden takia. Tama tilanne on esitetty kuviossa 4.13, jossaalkuperaista tasapainotilannetta merkitaan E0:lla.

Uusi tasapaino loydetaan silta kohdalta uutta budjettisuoraa, jossa jokinindifferenssikayraston kayra sivuaa sita (piste E1). Kuvion perusteella havai-taan, etta kuluttaja pienentaa molempien hyodykkeiden kulutusnopeuksiatulojen pienennyttya. Lukijan on helppo hahmottaa kuluttajalle myos sel-lainen indifferenssikayrasto, jonka mukaan ruuan kulutusnopeus kasvaa jahuvipuiston supistuu (tai painvastoin) kuukausitulojen laskun seurauksena.Sellainen tilanne on kuitenkin mahdoton, jossa kuluttaja lisaa molempienhyodykkeiden kulutusnopeuksia kuukausitulojen pienennyttya, silla kulut-tajan ei sallittu velkaantua. Kuvion perusteella kuluttajan kuukausittainenhyoty laskee tulomuutoksen seurauksena ∆u = u1 − u2:n verran.

Kuvio 4.14. Kuluttajan reagointi hintasuhteen muutokseen

Jos hyodykkeiden hintasuhde muuttuu siten, etta ruuan hinta nousee,budjettisuora kiertyy kuvion 4.14 esittamalla tavalla. Taman muutoksen seu-rauksena kuluttajan tasapainotila muuttuu E0 → E1. Hintasuhteen muu-toksesta aiheutuva kuluttajan kulutusnopeuskombinaation muutos voidaanerotella kahteen osasiirtymaan, joita kutsutaan tulo- ja substituutiovaiku-tuksiksi (substituoida = korvata). Substituutiovaikutuksen erottelemiseksi”vanhalle” indifferenssikayralle piirretaan hyodykkeiden uutta hintasuhdettavastaava sivuaja. Tama on tehty kuviossa 4.15. Nain saatu sivuamispiste ku-vaa sita kulutusnopeuskombinaatiota, jonka kuluttaja valitsisi uudella hinta-suhteella jos han saisi sen verran lisaa rahaa, etta pystyisi pitamaan kuukausit-taisen hyotytasonsa alkuperaisen suuruisena.

23

Kuviossa 4.15 substituutiovaikutus nakyy muutoksena E0 → E ′; substi-tuutiovaikutuksen aikana kuluttajan kuukausittainen hyotytaso pysyy vakiona,ja kulutusnopeuskombinaation muutos johtuu hintasuhteen muutoksesta. Sub-stituutiovaikutuksessa kuluttaja korvaa suhteellisesti kallistunutta hyodykettasuhteellisesti halventuneella. Siirtyma E ′ → E1 on puolestaan tulovaiku-tus; se johtuu kuluttajan reaalisten kuukausitulojen laskusta ruuan hinnannousun takia. Tulovaikutus mittaa reaalitulojen laskun vaikutusta kuluttajanvalintaan kiintean hintasuhteen vallitessa, silla siirtyman E ′ → E1 aikana hin-tasuhde pysyy kiinteana. Kulutusnopeuskombinaation kokonaismuutos hin-tasuhteen muutoksen seurauksena on siirtyma E0 → E1.

Kuvio 4.15. Hintasuhteen muutoksen tulo- ja substituutiovaikutukset

11 Hyodykkeen kulutusnopeuden johtaminen

Edella naimme miten yksittainen kuluttaja reagoi hyodykkeiden hintamuu-toksiin muuttamalla kulutusnopeuskombinaatiotaan ajan myota. Koska jokai-nen kuluttaja kokee saman hintamuutoksen, jokainen kuluttaja sopeuttaakulutustaan hintamuutoksen seurauksena omien preferenssiensa mukaisesti.Tarkastellaan esimerkkina sellaista tilannetta, jossa kuluttajan hyotyfunktioon seuraavaa yksinkertaista muotoa u(qr, qh) = aqrqh ja budjettiyhtalo onedella esitetty T = prqr+phqh. Suureiden mittayksikot ovat edella maaritellytja a on positiivinen dimensionaalinen vakio, jonka mittayksikko (ut×kk)/(kg×h) skaalaa hyotyfunktion laaduksi (ut/kk).

Ratkaisemalla budjettiyhtalo qh:n suhteen ja sijoittamalla hyotyfunktioon,hyotyfunktio saadaan muotoon

u = aqrqh =aqr

ph

(T − prqr) .

Kuluttaja voi nyt vaikuttaa kuukausittaiseen hyotyynsa ainoastaan qr:aamuuttamalla, silla a, pr, ph ja T ovat kuluttajalle kiinteita. Valttamaton ehtokuluttajan optimille on (liite; osio 7.3.3.3)

qr = 0 taidu

dqr

= 0 ⇔ qr = 0 taia

ph

(T − prqr)−aqrpr

ph

= 0,

mista kuukausittaisen hyotytason maksimoivaksi ruuan kulutusnopeudeksisaadaan ratkaistua q∗r = T/2pr (kg/kk). Riittava ehto hyotyfunktion mak-simille on se, etta hyotyfunktion toisen kertaluvun derivaatta on negatiivinen.Tama ehto toteutuu, silla d2u/dq2

r = −2a(pr/ph) < 0. Ratkaisemalla bud-jettiyhtalo qr:n suhteen, sijoittamalla hyotyfunktioon ja optimoimalla qh:n

24

suhteen, optimaaliseksi huvipuiston kulutusnopeudeksi saadaan vastaavastiq∗h = T/2ph (h/kk). Toinen tapa taman tuloksen johtamiseksi on sijoittaa q∗rbudjettiyhtaloon ja ratkaista se qh:n suhteen.

Ylla johdetut lausekkeet optimaalisille kulutusnopeuksille osoittavat sen,miten kuluttajan tasapainotilaa vastaavat kulutusnopeudet riippuvat sekakuluttajan tuloista etta hyodykkeiden hinnoista. Kuluttajan kuukausittais-ten tulojen kasvu lisaa, ja ruuan hinnan nousu pienentaa, ruuan kulutuksenoptiminopeutta. Toisen hyodykkeen kulutusnopeudella ja hinnalla ei tassa es-imerkissa ole vaikutusta toisen hyodykkeen optimaaliseen kulutusnopeuteen,mika tulos johtuu valitusta hyotyfunktiosta. Edella esitetty tehokkaan ku-luttamisen ehto toteutuu ylla johdetuilla kulutusnopeuksilla. Tama nahdaanseuraavasti. Rajahyodyt ovat nyt seuraavat

∆u

∆qr

=aqrqh0 − aqr0qh0

qr − qr0

=aqh0(qr − qr0)

qr − qr0

= aqh0 ,

∆u

∆qh

=aqr0qh − aqr0qh0

qh − qh0

=aqr0(qh − qh0)

qh − qh0

= aqr0 ,

ja niiden mittayksikot ovat (ut/kg) ja (ut/h). Tehokkaan kuluttamisen ehtoon

∆u

∆qr

1

pr

=aq∗hpr

=aT

2prph

=aq∗rph

=∆u

∆qh

1

ph

.

Ylla nahtiin miten yksittaisen kuluttajan tietyn hyodykkeen optimaalinenkulutusnopeus voidaan formuloida riippuvuudeksi kuluttajan kuukausitulo-jen ja hyodykkeen hinnan valilla. Oletetaan nyt n (kpl) kuluttajia talouteen(n jokin positiivinen kokonaisluku), ja johdetaan koko talouden optimaa-linen ruuan kulutusnopeus. Yksinkertaisuuden vuoksi kaikkien kuluttajienhyotyfunktiot oletetaan samanmuotoisiksi; ainoastaan kuluttajien kuukausi-tulot voivat poiketa toisistaan. Olettamalla hyotyfunktioiden olevan tassaosiossa maariteltya muotoa, yksittaisen kuluttajan i optimaalinen ruuan ku-lutusnopeus voidaan esittaa muodossa q∗ri

= Ti/2pr, i = 1, . . . , n. Talla perus-teella n:nnan kuluttajan yhteenlaskettu ruuan optimaalinen kulutusnopeusvoidaan esittaa muodossa

qryht= q∗r1

+ q∗r2+ · · ·+ q∗rn

=n∑

i=1

q∗ri=

n∑i=1

Ti

2pr

=1

2pr

n∑i=1

Ti =TY

2pr

,

missa TY :lla merkitaan kuluttajien yhteenlaskettuja kuukausituloja. Kokotalouden optimaalinen ruuan kulutusnopeus (11) riippuu siis positiivisestikuluttajien yhteenlasketuista kuukausituloista ja negatiivisesti ruuan hin-nasta.

25

Ylla tehty oletus kuluttajien hyotyfunktioiden samanmuotoisuudesta oneparealistinen; se tehtiin ainoastaan pedagogisessa (oppimista helpotta-va) mielessa tilanteen yksinkertaistamiseksi. Todellisuudessa kuluttajien er-ilaisia preferensseja kuvaavat erimuotoiset hyotyfunktiot monimutkaistavatylla suoritettua aggregointia (yhteenlaskua). Reaalimaailmassa havaitta-van kulutuskayttaytymisen ymmartamiseksi kuluttajien keskimaarainen ku-lutuskayttaytyminen, eli keskimaaraisen kuluttajan kayttaytyminen, tulisikyeta mallittamaan. Sita voidaan mahdollisesti kuvata jonkin suhteellisenyksinkertaisen hyotyfunktion avulla. Asian tarkempi selvittaminen vaatii kui-tenkin havainnointia kuluttajien kayttaytymisesta, mika tarkastelu ei mahdutahan kirjaan.

Tassa osiossa hyodykkeiden optimaaliset kulutusmaarat johdettiin siten,etta kaikkien kuluttajien oletettiin olevan tasapainotiloissaan. Seuraavassaosiossa yksittaisen kuluttajan ruuan kulutusnopeus johdetaan yleisemmallatavalla siten, etta kuluttajan oletetaan pyrkivan kohti optimaalistatilaansa, eika valttamatta toimivan siina.

12 Dynaaminen teoria kuluttajan kayttayty-

misesta

Tassa ja seuraavassa osiossa kuluttajan kulutuskayttaytymista mallitetaanyleisessa dynaamisessa muodossa siten, etta edella esitetty optimaalinen kayt-taytyminen vastaa kuluttajan pitkan aikavalin tasapainotilannetta. Toisin sa-noen kuluttajan tasapainotila saadaan dynaamisen kayttaytymisenasymptoottisena tasapainotilanteena, joka vastaa nollavoimatilan-netta. Oletetaan kuluttajan valitsevan kuukausittaisia kulutusnopeuksiaanedella esitetyssa kahden hyodykkeen valintatilanteessa. Kuluttajan budjet-tiyhtalo on edella esitettya muotoa ja kuukausittaista hyotya mitataan funk-tiolla u = u

(qr(t), qh(t)

), missa hyodykkeiden kulutusnopeuksien riippu-

vuus ajasta t on eksplisiittisesti (tarkasti) kirjoitettu nakyviin. Kulutta-jan oletetaan sopeuttavan kulutusnopeuksiaan ajan myota siten, etta hanenkuukausittainen hyotynsa lisaantyy.

Kuukausittaisesta budjettiyhtalosta saadaan qh(t) =(T − prqr(t)

)/ph,

missa edella esitetyn aksiooman 1 perusteella muita tekijoita kuin kulu-tusnopeuksia pidetaan kiinteina. Sijoittamalla tama hyotyfunktioon, saadaan

u = u(qr(t), qh(t)

)= u

(qr(t),

T − prqr(t)

ph

).

Kuluttaja voi nyt vaikuttaa kuukausittaiseen hyotyynsa ainoastaan suureenqr avulla, silla funktion muut suureet ovat kuluttajalle kiinteita ja qh on

26

lausuttu qr:n avulla. Derivoimalla hyotyfunktio ajan suhteen derivoinninketjusaantoa noudattaen (liite; luku 8 osio 4), ja merkitsemalla suureen ai-kaderivaattaa pisteella suureen ylapuolella (x = dx/dt), saadaan

u =∂u

∂qr

qr −pr

ph

∂u

∂qh

qr =

(∂u

∂qr

− pr

ph

∂u

∂qh

)qr.

Lausekkeen ∂u∂qr− pr

ph

∂u∂qh

molemmilla yhteenlaskettavilla termeilla on sama mit-

tayksikko (ut/kg), silla hintasuhde skaalaa rajahyotyjen mittayksikot samoik-si. Kaavassa (12) u:n mittayksikko on (ut/kk2) ja qr:n (kg/kk2); u ja qr ovatsiten vastaavien suureiden hetkelliset kiihtyvyydet, silla u ja qr virtasuureinavastaavat nopeuksia.

Kuluttajan oletetaan muuttavan kulutusnopeuksiaan ajan myota siten,etta hanen kuukausittainen hyotynsa lisaantyy. Kuukausittaista hyotya ajanmyota lisaavat ruuan kulutusnopeuden muutossaannot ovat seuraavat: ru-uan kulutusnopeutta lisataan (qr > 0) kun ∂u

∂qr− pr

ph

∂u∂qh

> 0 ja vahennetaan

(qr < 0) kun ∂u∂qr− pr

ph

∂u∂qh

< 0. Kun ∂u∂qr− pr

ph

∂u∂qh

= 0 kuluttajan ei kannatamuuttaa ruuan kulutusnopeuttaan, silla se ei vaikuta hanen hyvinvointiin-sa. Nama muutokset tekevat yhtalon (12) oikean puolen positiiviseksi, sillakahden samanmerkkisen suureen tulo on positiivinen; talloin myos yhtalonvasen puoli on positiivinen.

Tarkistetaan nyt, milla ehdolla kuluttajan tasapainotila on optimaalinen.Valttamaton ehto kuluttajan optimille on se, etta hyotyfunktion derivaattaqr:n suhteen on nolla (liite; luku 7 osio 3.3 ja luku 8 osio 6),

du

dqr

= 0 ⇔ ∂u

∂qr

− ∂u

∂qh

pr

ph

= 0 ⇔ ∂u

∂qr

1

pr

=∂u

∂qh

1

ph

.

Tama ehto vastaa aiemmin esitettya kuluttajan optimitilannetta. Riittavaehto hyotyfunktion maksimille on se, etta hyotyfunktion toisen kertaluvunderivaatta

d2u

dq2r

=∂2u

∂q2r

− ∂2u

∂qh∂qr

pr

ph

+∂2u

∂q2h

(pr

ph

)2

− ∂2u

∂qr∂qh

pr

ph

on negatiivinen. Alenevan rajahyodyn lain mukaan hyotyfunktion toisen ker-taluvun osittaisderivaatat samojen suureiden suhteen ovat negatiiviset. Talloinensimmainen ja kolmas yhteenlaskettava termi kaavassa (12) ovat negati-ivisia; jos myos toinen ja neljas termi ovat (etumerkki huomioiden) negati-ivisia, kriittinen piste on varmasti hyotyfunktion maksimipiste.

Matematiikassa on todistettu, etta silloin kun usean muuttujan funk-tion osittaiskuvaukset (liite; osio 8.1) ovat jatkuvia, toisen kertaluvun ris-tikkaisosittaisderivaatat, ∂2u/(∂qr∂qh) ja ∂2u/(∂qh∂qr), ovat yhtasuuret. Olet-tamalla hyotyfunktion osittaiskuvaukset jatkuviksi, hyotyfunktion maksimin

27

riittavaksi ehdoksi tulee se, etta hyotyfunktion toisen kertaluvun yksikasitteinenristikkaisosittaisderivaatta on ei-negatiivinen suure. Tama oletus voidaanhyvin tehda, silla ko. suure mittaa sita, miten ruuan kulutusnopeuden muu-tos vaikuttaa huvipuiston kulutuksen rajahyotyyn (tai huvipuiston kulu-tusnopeuden muutos vaikuttaa ruuan kulutuksen rajahyotyyn); lisaako vaivahentaako se sita. Tama vaikutus voi kaytannossa olla hyvin vahainen, mut-ta jos jompi kumpi suunta ko. vaikutukselle pitaa asettaa, positiivinen vaiku-tus tuntuu luontevammalta. Mita suurempi kuluttajan ruuan kulutusnopeuson, sita enemman hanen voidaan uskoa nauttivan yhdesta huvipuistotun-nista ja painvastoin silloin, kun kuluttaja kuluttaa ruokaa varojensa puit-teissa jarkevasti.

Ylla esitetyn perusteella kuluttaja vertaa ruuan kulutusnopeuden lisayksenhyotyvaikutusta ∂u

∂qrhaittaan− pr

ph

∂u∂qh

, mika on ruuan kulutusnopeuden lisaamisenvaihtoehtoiskustannus. Tama vaihtoehtoiskustannus aiheutuu huvipuistonkulutusnopeuden pienentymisesta ko. muutoksen seurauksena budjettiyhtalontoteutumisen vuoksi. Mita suurempia (pienempia) ovat ruuan rajahyoty jahuvipuiston tuntihinta, ja mita pienempia (suurempia) ovat huvipuiston ra-jahyoty ja ruuan kilohinta vallitsevilla kulutusnopeuksilla, sita suuremmal-la todennakoisyydella kuluttajan kannattaa lisata (pienentaa) ruuan kulu-tusnopeuttaan.

Osiossa 2.1.4 vaitettiin aiemmin, etta kuluttajan valintaongelma voidaanpelkistaa vertailuksi hyodykkeen hinnan ja kuluttajan siihen kohdistamanmaksuhalukkuuden valilla. Koska ∂u

∂qr, ∂u

∂qh, pr ja ph ovat kaikki positiivisia su-

ureita, kertomalla edella esitetyt ruuan kulutusnopeutta saatelevat epayhtalotpositiivisella tekijalla ph/

∂u∂qr

, ne saadaan muutettua muotoon

qr > 0 kunph

∂u∂qh

∂u

∂qr

− pr > 0,

qr < 0 kunph

∂u∂qh

∂u

∂qr

− pr < 0,

qr = 0 kunph

∂u∂qh

∂u

∂qr

− pr = 0.

Tassa esitettyja ruuan kulutusnopeutta koskevia sopeutussaantoja vastaa-vat saannot voidaan kirjoittaa myos huvipuiston kulutusnopeudelle. Tamatehdaan seuraavasti. Ratkaistaan budjettiyhtalo qr(t):n suhteen, eliminoidaantalla hyotyfunktiosta qr(t) ja derivoidaan hyotyfunktio ajan suhteen. Tamanjalkeen muodostetaan kayttaytymissaannot ylla esitetylla tavalla. Talla taval-

28

la johdettujen suureiden

ph

∂u∂qh

∂u

∂qr

,pr

∂u∂qr

∂u

∂qh

mittayksikot ovat (mk/kg) ja (mk/h), ja ne voidaan samastaa kuluttajanmaksuhalukkuuksiksi yhdesta ruokakilosta ja yhdesta huvipuistotunnista.Perustelu talle tulkinnalle on seuraava. Hyotya tavoitteleva kuluttaja ver-taa ylla esitettyja suureita hyodykkeiden hintoihin, ja lisaa sen hyodykkeenkulutusnopeutta jolla ylla oleva suure on hintaa suurempi, ja vahentaa senhyodykkeen kulutusnopeutta jolla suure on hintaa pienempi. Kuluttaja halu-aa siis lisata sellaisen hyodykkeen kulutusta, jolla ylla esitetty suure on hintaasuurempi. Talloin kuluttaja on valmis maksamaan hyodykkeen hinnan.

Kuluttajan maksuhalukkuus yhdesta ruokakilosta on sita suurempi, mitasuurempi on ruuan rajahyoty ja mita pienempi on yksikoissa (ut/mk) mitattusuure ∂u

∂qh/ph. Osoitetaan seuraavaksi, etta viimeksi mainittu suure vastaa

kuluttajan kuukausitulojen rajahyotya.

Maaritelma: Kuluttajan tietyn ajanjakson tulojen rajahyodylla tar-koitetaan kuluttajan kyseisen ajanjakson hyotytason muutoksen ja jaksontulojen marginaalisen muutoksen suhdelukua. �

Ylla esitetty vaite voidaan todistaa derivoimalla edella esitetty hyoty-funktion muoto (12) tulojen T suhteen (sisakkaisten funktioiden derivoin-tisaannot)

∂u

∂T=

∂u

∂qh

1

ph

.

Jos hyotyfunktiosta eliminoitaisiin qr budjettiyhtalon avulla, tulon rajahyo-dyksi saataisiin vastaavasti ∂u

∂qr/pr. Kuluttajan optimitilanteessa nama kaksi

yksikoissa (ut/mk) mitattua suuretta ovat yhtasuuret (liite; luku 8 osio 7).Kuluttajan maksuhalukkuus tietysta hyodykkeesta riippuu positiivisesti

hyodykkeen rajahyodysta ja negatiivisesti tulojen rajahyodysta. Mita varak-kaampi kuluttaja on (mita pienempi on tulojen rajahyoty), ja mita enemmanhan kyseisesta hyodykkeesta nauttii (mita suurempi on hyodykkeen kulutuk-sen rajahyoty), sita suurempi on kuluttajan maksuhalukkuus yhdesta yk-sikosta ko. hyodyketta. Alenevan rajahyodyn lain mukaan ruuan kulutuksenrajahyoty alenee ruuan kulutusnopeuden kasvaessa. Koska kuluttajan mak-suhalukkuus yhdesta ruokakilosta riippuu positiivisesti ruuan rajahyodystaseka huvipuiston tuntihinnasta, ja negatiivisesti huvipuiston rajahyodysta,edella esitetyt tulo- ja substituutiovaikutukset sisaltyvat tassa maariteltyynkuluttajan kayttaytymiseen.

29

Seuraavassa tahdella merkityssa osiossa osoitamme, etta edella esitettysuure

ph

∂u∂qh

∂u

∂qr

− pr

voidaan samastaa tarkasteltavan kuluttajan ruuan kulutukseen ko-hdistamaksi voimaksi yhta ruokakiloa kohti. Perustelu voima -tulkinnalleon seuraava: mita suurempi ylla esitetty suure on, sita halukkaampi ku-luttaja on lisaamaan ruuan kulutusnopeuttaan. Kuluttajan ruuan kulutuk-seen kohdistama voima koostuu ruuan kulutusnopeuden lisaamista koskevanpaatoksen kuluttajalle tuottamista hyodyista ja haitoista. Kuluttaja lisaa ru-uan kulutusnopeuttaan silloin, kun hanen ruuan kulutukseen yhta kiloa kohtikohdistamansa voima on positiivinen ja painvastoin.

Kirjan liitteen luvun 8 osiossa 7 osoitetaan, etta edella esitettyjen kulutta-jan maksuhalukkuuksien numeeriset arvot eivat riipu valitusta hyotyfunktiosta;mika tahansa samat preferenssit kuvaava jatkuva ja derivoituvafunktio ilmaisee saman maksuhalukkuuden tietylle hyodykkeellekuluttajan optimitilanteen laheisyydessa. Hyodyn mittaamiseen liit-tyva epatasmallisyys ei siis vaikuta kuluttajan kayttaytymisen mallittamiseen,silla eri hyotyfunktioiden tuottamat erisuuret rajahyodyt jaettuna samanhyotyfunktion mittaamalla tulon rajahyodylla ilmaisevat yhta suuren mak-suhalukkuuden.

Liitteen luvun 8 osiossa 7 osoitetaan, etta kuluttajan valintaongelmavoidaan ratkaista sidottuna aariarvotehtavana ns. Lagrangen apufunktionavulla. Tama apufunktio voidaan kirjoittaa seuraavasti:

L(t) = u(qr(t), qh(t)

)+ z(T − prqr(t)− phqh(t)

),

missa z on Lagrangen kertoimeksi nimetty tuntematon dimensionaalinen su-ure; sen mittayksikko (ut/mk) tekee funktiosta dimensioiden suhteen hyvinmaaritellyn. Derivoinnin ketjusaannon nojalla Lagrangen funktion aikaderi-vaataksi saadaan

L =∂u

∂qr

qr − zprqr +∂u

∂qh

qh − zphqh =

(∂u

∂qr

− zpr

)qr +

(∂u

∂qh

− zph

)qh,

kun T, pr, ph, z oletetaan vakioiksi. Lagrangen funktion aikaderivaatan posi-tiiviseksi tekevat ruuan kulutusnopeuden muutokset ovat: qr > 0 kun ∂u

∂qr−

zpr > 0 (eli ∂u∂qr

> zpr) ja painvastoin. Kuluttajan kuukausittaista hyotyalisaavat huvipuiston kulutusnopeuden muutokset ovat vastaavasti: qh > 0kun ∂u

∂qh− zph > 0 ja painvastoin.

30

Liitteen luvun 8 osiossa 7 osoitetaan, etta kuluttajan optimitilanteessaLagrangen kerroin z∗ vastaa tulon rajahyotya: z∗ = ∂u

∂qh/ph = ∂u

∂qr/pr (* vi-

ittaa optimaaliseen arvoon). Talla perusteella z on positiivinen (ainakin ku-luttajan optimitilanteen laheisyydessa), silla rajahyodyt ja hinnat ovat posi-tiivisia. Kuluttajan ruuan kulutusnopeuden muutossaannot voidaan talloinmuuntaa muotoon: qr > 0 kun 1

z∂u∂qr− pr > 0 ja painvastoin, ja huvipuiston

kulutussaannot voidaan muuntaa vastaavasti. Kuluttajan yhden ruokakilonja huvipuistotunnin kulutukseen kohdistamat voimat Fr, Fh voidaan sitenkirjoittaa seuraavasti

Fr =1

z

∂u

∂qr

− pr, Fh =1

z

∂u

∂qh

− ph,

missa kuluttajan maksuhalukkuudet yhdesta ruokakilosta ja yhdesta hu-vipuistotunnista ovat 1

z∂u∂qr

ja 1z

∂u∂qh

. Nama vastaavat tasmalleen aiemmin jo-

hdettuja suureita ph∂u∂qh

∂u∂qr

ja pr∂u∂qr

∂u∂qh

, mutta koska ne ovat yksinkertaisempaa

muotoa, niita kaytetaan jatkossa.Kaavan (12) mukaan kuluttaja vertaa maksuhalukkuuttaan yhdesta ruokak-

ilosta ruuan kilohintaan. Kuluttaja lisaa ruuan kulutusnopeuttaan silloin,kun hanen maksuhalukkuutensa yhdesta ruokakilosta ylittaa ruuan kilohin-nan vallitsevalla kulutusnopeudella ja painvastoin. Kuluttaja lisaa vastaavastihuvipuiston kulutusnopeuttaan silloin, kun hanen maksuhalukkuutensa yhdestahuvipuistotunnista ylittaa tuntihinnan vallitsevalla kulutusnopeudella. Ku-luttajan hyodykkeiden kulutukseen kohdistamat voimat ovat siten muotoa:kuluttajan maksuhalukkuus yhdesta hyodykeyksikosta miinus yh-den yksikon hinta. Tassa muodossa esitettya kuluttajan kayttaytymistavoidaan testata havaintojen perusteella siten, etta tiedustellaan ihmistenmaksuhalukkuuksia erilaisista hyodykkeista, ja verrataan niita vallitseviinhintoihin.

Tarkastellaan seuraavaksi sita, miten kuluttajan maksuhalukkuus yhdestaruokakilosta riippuu ruuan kulutusnopeudesta. Merkitaan kuluttajan mak-suhalukkuutta yhdesta ruokakilosta hr:lla,

hr =

∂u(qr,qh)∂qr

∂u(qr,qh)∂qh

ph =

∂u(qr,qh)∂qr

∂u(qr,qh)∂qh

(T − prqr)

qh

,

missa aikaa kuvaava suure t on selvyyden vuoksi jatetty kulutusnopeuk-sista pois. Jalkimmaisessa muodossa ph on korvattu sen budjettiyhtalostaratkaistulla muodolla, silla budjettiyhtalon toteutuminen vaikuttaa kulutta-jan maksuhalukkuuteen yhdesta ruokakilosta. Kaavan (12) mukaan kulutta-jan maksuhalukkuus yhdesta ruokakilosta riippuu hyodykkeiden rajahyodyista,kulutusnopeuksista, hinnoista ja kuluttajan tuloista.

31

Ylla esitetyn perusteella kuluttajan maksuhalukkuus yhdesta ruokakilo-sta on usean muuttujan funktio, joilla operoiminen vaatii niille maariteltyjenmatemaattisten tekniikoiden kayttoa. Kirjan liitteen luvussa 5 esitetaan kah-den muuttujan funktioiden matemaattiset perusteet. Ylla esitetty usean muut-tujan funktio voidaan aina pelkistaa joko yhden tai kahden muuttujan funk-tioksi siten, etta oletetaan muiden kuin naiden suureiden pysyvan kiinteina.Talla tavalla voimme operoida ainoastaan yhdella tai kahdella suureella ker-rallaan vaikka tiedammekin, etta kuluttajan maksuhalukkuus tietysta hyo-dykkeesta riippuu useista tekijoista.

Osoitetaan seuraavaksi, etta kuluttajan maksuhalukkuus yhdesta ruokak-ilosta riippuu negatiivisesti ruuan kulutusnopeudesta. Derivoidaan suure hr

qr:n suhteen seuraavasti (tulon, osamaaran ja sisakkaisten funktioiden de-rivointisaannot):

∂hr

∂qr

=

(∂2u∂q2

r− ∂2u

∂qr∂qh

pr

ph

)∂u∂qh− ∂u

∂qr

(∂2u

∂qh∂qr− ∂2u

∂q2h

pr

ph

)(

∂u∂qh

)2

(T − prqr

qh

)−

∂u∂qr

∂u∂qh

pr

qh

.

Positiivisten rajahyotyjen takia osittaisderivaatan yhteenlaskettavista ter-meista jalkimmainen on (etumerkki huomioiden) aina negatiivinen. Alenevanrajahyodyn laki

∂2u

∂q2r

< 0,∂2u

∂q2h

< 0

yhdessa suureiden

∂(

∂u∂qh

)∂qr

=∂2u

∂qr∂qh

=∂2u

∂qh∂qr

=∂(

∂u∂qr

)∂qh

ja ph =T − prqr

qh

ei-negatiivisuuden kanssa tekee myos ylla olevan osittaisderivaatan ensim-maisesta yhteenlaskettavasta termista negatiivisen. Talloin taman termin os-oittajan ensimmaisen sulkulausekkeen sisus on negatiivinen, jalkimmaisensulkulausekkeen sisus on positiivinen ja nimittaja on positiivinen. Osittais-derivaatan ∂hr/∂qr negatiivisuuden ehdot vastaavat edella tarkasteltua ri-ittavaa ehtoa sille, etta kuluttajan kriittinen piste on hyotyfunktion mak-simipiste. Nailla perusteluilla ∂hr/∂qr voidaan olettaa negatiiviseksi.

Osittaisderivaatan ∂hr/∂qr negatiivisuus merkitsee sita, etta kuluttajanmaksuhalukkuuden yhdesta ruokakilosta ja hanen ruuan kulutusnopeuten-sa valilla vallitsee yksikasitteinen negatiivinen riippuvuus. Erisuurilla ruuankulutusnopeuksilla voidaan siten maaritella niita vastaavat kuluttajan mak-suhalukkuudet yhdesta ruokakilosta yksikasitteisesti. Tama yksikasitteinenrelaatio kuluttajan ruuan kulutusnopeuden ja hanen maksuhalukkuutensa

32

yhdesta ruokakilosta valilla on esitetty kuviossa 4.16, ja sita kutsutaan ku-luttajan ruuan kysyntarelaatioksi.

Kuvio 4.16. Kuluttajan ruuan kuukausikulutuksen tasapainomaarat

Kuluttajan tasapainotilanteessa hanen ruuan kulutusnopeutensa on sell-ainen, jolla yhtalo pr = 1

z∂u∂qr

toteutuu. Kun ruuan kilohinta tiedetaan, kulut-tajan tasapainotilannetta vastaava ruuan kulutusnopeus saadaan maariteltyakilohintaa osoittavan vaakasuoran viivan seka kuviossa 4.16 esitetyn kulut-tajan ruuan kysyntarelaation leikkauspisteen avulla. Ruuan kysyntarelaatiomaarittelee jokaisella kilohinnalla sita vastaavan yksikasitteisen kulutusnopeu-den, joka vastaa kuluttajan ruuan kulutuksen tasapainotilaa. Kaksi tallaista(kulutusnopeus, hinta) -kombinaatiota on piirretty kuvioon. Jos vallitsevakilohinta on pr2 ja kuluttajan vallitseva kulutusnopeus on qr1 , kuluttajavoi lisata kuukausittaista hyotytasoaan lisaamalla kulutusnopeuttaan qr2 :eenasti, missa hanen maksuhalukkuutensa yhdesta ruokakilosta vastaa kilohin-taa.

Huomautus 1. Alenevan rajahyodyn lain mukaan kuluttajan ruuankysyntarelaatio on laskeva; ylospain tai alaspain kuperuudesta (liite; osio7.3.2) sen sijaan ei voida sanoa mitaan. Kuviossa esitetty relaatio on ylospainkupera; yhtahyvin se voisi olla alaspain kupera.

Huomautus 2. Kuluttajan ei tarvitse joka hetki toimia ylla maaritellyllaruuan kysyntarelaatiollaan. Edella esitettyjen voimalausekkeiden perusteel-la voidaan kuitenkin paatella, etta kuukausihyotyaan ajan myota kasvattavakuluttaja pyrkii kohti relaation osoittamia kulutusnopeuksia ruuan kilohin-nan muuttuessa (tama todistetaan seuraavassa osiossa).

Huomautus 3. Kuluttajan jonkin hyodykkeen tasapainoista kysyntare-laatiota ei sellaisenaan voida havaita, silla vallitsevalla hinnalla saadaan jokakuukausi maariteltya ainoastaan yksi havaintopiste kuvioon 4.16. Havaitunpisteen ei edes tarvitse sijaita ruuan kysyntarelaatiolla. Kysyntarelaatiotavoidaan kuitenkin estimoida usean kuukausittaisen havainnon perusteel-la tilastotieteellisin menetelmin. Tama estimointi perustuu oletukseen, ettakeskimaarin ottaen havainnot osuvat kuluttajan ruuan kysyntarelaatiolle.Hyodykkeen hinnan tulee lisaksi vaihdella havainnoinnin aikana, jotta relaati-olle saataisiin oikea muoto. Yhden pisteen kautta voidaan piirtaa aarettomanmonta suoraa tai kayraa (kiintean hinnan tilanne), joten vahintaan kaksi toi-sistaan poikkeavaa hintaa ja niita vastaavat kuukausittaiset kulutusnopeudettarvitaan relaation oikean muodon maarittamiseksi.

Tassa osiossa tehty suhteellisen monimutkainen johtaminen tehtiin ain-oastaan siita syysta, etta nain mallitettua kuluttajan kayttaytymista tarvi-taan jatkossa hyodykemarkkinoiden toimintaa analysoitaessa.

33

13 *Newtonilainen teoria kuluttajan kayttay-

tymisesta

Edellisessa osiossa kuvattu kuluttajan dynaaminen kayttaytyminen voidaanmatemaattisesti esittaa seuraavalla tavalla: asetetaan suure qr riippumaanpositiivisesti suureesta 1

z∂u∂qr− pr siten, etta qr = 0 kun 1

z∂u∂qr− pr = 0. Tata

vastaa seuraava esitys

qr = f(x), x =1

z

∂u

∂qr

− pr, f ′(x) > 0, f(0) = 0,

missa f on jokin ylla esitetyt vaatimukset toteuttava funktio. Yksinkertainenylla esitetyt ehdot toteuttava funktio f on origon kautta kulkeva lineaarinenkasvava kuvaus. Nain paadytaan muotoon

qr = A× x ⇔ qr = A×(

1

z

∂u

∂qr

− pr

),

missa A on tuntematon positiivinen dimensionaalinen vakio. Koska qr:n mit-tayksikko on (kg/kk2) ja 1

z∂u∂qr− pr:n (mk/kg), A:n mittayksikon tulee olla

((kg/kk)2/mk), jotta yhtalo olisi dimensioiden suhteen homogeeninen. Edellaesitetyn perusteella qr vastaa ruuan kulutuksen hetkellista kiihtyvyytta. Jossyy ruuan kulutusnopeuden muutokseen 1

z∂u∂qr−pr nimetaan kuluttajan ruuan

kulutukseen kohdistamaksi voimaksi yhta ruokakiloa kohti, merkitaan A =1/mcr (alaindeksi c tulee sanasta ”consumption” eli kulutus) ja nimetaanpositiivinen suure mcr ruuan kulutuksen ”inertiaaliseksi (=hitaus) mas-saksi”, yhtalo (13) vastaa tasmalleen Newtonin liikeyhtaloa a = (1/m)× Feli F = ma, missa a = kiihtyvyys, F = voima ja m = kappaleen massa.

”Massa” mcr on voiman ja kiihtyvyyden verrannollisuuskerroin, joka mit-taa miten herkasti ruuan kulutusnopeus reagoi edella esitettyyn voimaan.Ruuan kulutusnopeuden muuttamista jarruttavat mm. hyodykkeiden saatavu-usongelmat seka epavarmuus vallitsevien tulojen ja hintojen pysyvyydesta.Ruuan kulutuksen inertiaalinen massa saadaan mitattua voiman ja kiihtyvyy-

den avulla seuraavasti mcr =(

1z

∂u∂qr− pr

)/qr, kun kaksi jalkimmaista ovat

tunnettuja nollasta eroavia suureita. Tama maarittelytapa vastaa inertiaalisenmassan maarittelya newtonilaisessa mekaniikassa.

Differentiaali- ja integraalilaskennan toisen paalauseen nojalla (liite; osio9.2) ensimmaisen kertaluvun differentiaaliyhtalo (13) voidaan kirjoittaa muo-dossa

qr(t) = qr(t0) +

∫ t

t0

1

mcr

(1

z

∂u(qr(s), qh(s)

)∂qr

− pr(s)

)ds,

34

missa t0 on jokin kiintea ajanhetki, t (> t0) on ajan kulumista kuvaava suureja s:lla merkitaan ”juoksevaa” aikaa valilla (t0, t). Yhtalo (13) on dimen-sionaalisesti hyvin maaritelty, silla mcr:n mittayksikko on (mk/(kg/kk)2),1z

∂u∂qr− pr:n mittayksikko on (mk/kg) ja ds on yksikoissa (kk) mitattu ajan

marginaalinen muutos.Yhtalosta (13) voidaan paatella, etta kuluttaja lisaa ruuan kulutusnopeut-

ta ajan myota (qr(t) > qr(t0)) kun 1z

∂u∂qr− pr > 0 ja painvastoin. Kulutta-

jan optimitilanteessa patee 1z

∂u∂qr

= pr, jolloin ruuan kulutukseen vaikuttava

voima haviaa. Nollavoimatilannetta vastaa qr(t) = qr(t0), jolloin ruuan ku-lutusnopeus on vakio. Nollavoimatilanteessa huvipuiston kulutuksessa pateevastaavasti 1

z∂u∂qh

= ph. Nollavoimatilanne z = ∂u∂qr

/pr = ∂u∂qh

/ph vastaa aiem-

min johdettua tehokkaan kuluttamisen ehtoa (hyotyfunktion maksimi), jos-sa kaavan (13) mukaan hyodykkeiden kuukausittaiset kulutusnopeudet ovatvakioita. Tama vastaa nollavoimatilannetta newtonilaisessa mekaniikassa.

Huomautus! Kaavassa (13) ei ole ratkaistu ruuan kulutusnopeuden ke-hitysta ajan myota tarkasti, silla suure qr esiintyy yhtalon molemmilla puolil-la (oikealla puolella ruuan rajahyodyn lausekkeessa). Ainoastaan silloin kunsuure (1/z)∂u/∂qr on vakio, kaava (13) esittaa tarkan ratkaisun ruuan kulu-tusnopeuden aikauralle.

Osoitetaan seuraavaksi, etta kuukausittaista hyotyaan lisaava kuluttajapaatyy edellisessa osiossa maaritellylle ruuan kysyntarelaatiolle ajan myota.Kaavasta (13) saadaan johdettua

∂qr

∂qr

= f ′(x)×∂(

1z

∂u∂qr

)∂qr

= f ′(x)× ∂hr

∂qr

,

mika osittaisderivaatta edellisen osion perusteella on negatiivinen. Kaavan(13) esittama riippuvuus on laskeva relaatio koordinaatistossa (qr, qr) (kuvio4.17a).

Kuvio 4.17a. Ruuan kulutuksen kiihtyvyyden riippuvuus kulutusnopeud-esta Kuvio 4.17b. Ruuan kuukausittaisen kysyntarelaation stabiilisuus

Kuviossa 4.17a esitetyn laskevan relaation pisteissa qr > 0 (qr kasvaa)kun qr< q∗r0

, qr < 0 (qr pienenee) kun qr > q∗r0ja qr = 0 (qr on vakio) kun

qr = q∗r0. Kuvioon piirretyt suuntanuolet osoittavat miten kuluttaja muuttaa

ruuan kulutusnopeuttaan silloin, kun kuluttaja on kuviossa esitetyn laskevanrelaation jossakin muussa kuin vaaka-akselin kuvaamassa tasapainopisteessa(qr = 0). Kuviossa 4.17a kuluttajan tasapainorelaatiota edustaa piste q∗r0

, jo-ka on yksi kuviossa 4.17b kuvatun kysyntarelaation yhta tiettya hintaa vas-taava piste. Tasapainopisteen q∗r0

ulkopuolella kuluttaja muuttaa ruuan kulu-tusnopeuttaan siten, etta han paatyy tasapainopistetta kohti. Koska jokainen

35

kuviossa 4.17b esitetyn relaation pr = (1/z)∂u/∂qr piste on kuluttajan tas-apainotilanne jollakin tietylla hinnalla, kuviossa 4.17a esitetty stabiilisuus-tulos patee jokaiselle kuviossa 4.17b esitetyn kuluttajan tasapainorelaationpisteelle. Kuluttajan kysyntarelaatio 4.17b on siten silla tavalla stabiili, ettakuukausittaista hyotytasoaan lisaava kuluttaja siirtyy ajan myota sita kohti,ellei satu silla olemaan.

Kuluttajan huvipuiston kuukausittainen kysyntarelaatio voidaan johtaaruuan kysyntarelaation tapaan. Kuluttajan maksuhalukkuus yhdesta hu-vipuistotunnista on

hh =

∂u∂qh

∂u∂qr

pr.

Huvipuiston kuukausittainen kysyntarelaatio voidaan osoittaa stabiiliksi edellaesitettyyn tapaan, ja huvipuiston kulutukselle voidaan johtaa ruuan kulu-tusta vastaava newtonilainen liikeyhtalo. Nama jatetaan kuitenkin lukijantehtaviksi.

Kuluttajan kayttaytymiseen — samoin kuin kaikkeen muuhunkin taloudentoimintaan — liittyy monia kitkatekijoita. Ihmiset ovat usein haluttomiamuuttamaan kulutustottumuksiaan vaikka tietavatkin, etta muutokset oli-sivat heille hyodyllisia. Uusien asioiden opiskelu on myos toisinaan vasten-mielista vaikka tiedammekin, etta opiskeltavat tiedot olisivat meille hyodyllisia.Kuluttajan kuluttamista hyodykkeista muodostetun kulutusnopeuskombi-naation muuttamiseen voi myos liittya erilaisia kustannuksia, kuten lahikaupanvaihtaminen kauempana sijaitsevaan markettiin, tavaroiden erillistilaustentekeminen jne. Nama seikat saavat aikaan sen, etta kuluttajan kuluttamienhyodykkeiden kulutusnopeudet saattavat sailya ennallaan, vaikka han ko-hdistaakin eri hyodykkeiden kuluttamiseen nollasta eroavia voimia. Tamailmio voidaan lisata edella esitettyyn malliin lepokitkan muodossa.

Maaritelma: Lepokitka on liiketta vastustava voima (voimaan verrat-tuna painvastaiseen suuntaan vaikuttava), joka kumoaa tilanteessa vaikut-tavan voiman niin kauan, kunnes tilanteessa vaikuttava voima ylittaa tietynkynnysarvon. �

Taloustieteen oppikirjoissa puhutaan usein sopeutumiskustannuksistalepokitkan sijasta. Lepokitka on kuitenkin siina mielessa yleisempi kasite,etta se pitaa sisallaan muutkin sopeutumista ehkaisevat tekijat kuin muu-toksen vaatimat kustannukset.

Kun lepokitka lisataan edella esitettyyn malliin, mallin avulla voidaan ku-vata sita ilmiota, etta monesti kuluttaja muuttaa kulutuskayttaytymistaanvasta sitten, kun syyt muutokseen ovat riittavan suuret. Nain saatu malli ku-luttajan kayttaytymisesta vastaa edella esitettya kansantaloustieteen mallit-

36

tamisaksioomaa, ja se voidaan esittaa muodossa

qr =1

mcr

×(

1

z

∂u

∂qr

− pr + Frle

), ,

missa ruuan kulutuksen yksikoissa (mk/kg) mitattua lepokitkaa (sopeutu-miskustannuksia) merkitaan Frle:lla.

Lepokitkan kasite pitaa sisallaan kaikki muutosta vastustavat tekijat,kuten laiskuus, piintyneet tottumukset, muutoksen aiheuttamat vaivat jakustannukset jne. Lepokitkan tasmallinen maarittaminen vaatisi tassa mainit-tujen tekijoiden mittasuureiden maarittamisen ja sellaisen kombinaation muo-dostamisen naista tekijoista, jolla on mittayksikko (mk/kg). Tama asia sivu-utetaan kuitenkin tassa yhteydessa, ja lepokitkaa pidetaan tuntemattomanadimensionaalisena suureena, jonka numeerista arvoa voidaan arvioida havain-tojen perusteella.

Yhtalon (13) mukaan qr > 0 kun 1z

∂u∂qr− pr + Frle > 0 ja painvastoin.

Edelleen Frle < 0 kun 1z

∂u∂qr−pr > 0 ja painvastoin ja |Frle| ≤ |1z

∂u∂qr−pr|. Tassa

esitetyn perusteella kuluttaja muuttaa ruuan kulutusnopeuttaan vasta sil-loin, kun kokee muutoksesta aiheutuvien hyotyjen ylittavan siita aiheutuvatvaivat ja kustannukset. Lepokitkan olemassaolo ei vaikuta tilanteen dynami-ikkaan sen jalkeen, kun tilanteessa vaikuttava voima ylittaa lepokitkan, jol-loin muutosta alkaa tapahtua. Lepokitkaa tarvitaan ainoastaan selittamaanse ilmio, etta ruuan kulutusnopeutta ei aina muuteta, vaikka tilanteessavaikuttava voima poikkeaisikin nollasta.

Esimerkki: Valitaan hyotyfunktiolle aiemmin esitetty muoto u = aqrqh.Ratkaistaan budjettiyhtalo qh:n suhteen, sijoitetaan hyotyfunktioon ja toim-itaan muuten tassa osiossa esitetylla tavalla. Talla tavalla paadytaan seu-raavaan newtonilaista mekaniikkaa vastaavaan liikeyhtaloon

mcrqr =∂u

∂qr

⇔ mcrqr =a

ph

(T − 2prqr(t)

)Taman ensimmaisen kertaluvun differentiaaliyhtalon yleinen ratkaisu on (li-ite; osio 10.1)

qr(t) =T

2pr

+ C0e− 2apr

phmcrt,

missa e = 2.71 . . . on Neperin luku, C0 = qr(0) − T/2pr (kg/kk) on dimen-sionaalinen vakio ja aikaa merkitaan t:lla. Kaavasta (13) voitaisiin jattaa poispositiivinen suure a/ph (eli asettaa se ykkosen suuruiseksi) ilman, etta tu-lokset olennaisesti muuttuisivat. Talloin yhtalon ratkaisussa esiintyvasta e:neksponentista jaisi vastaava termi pois.

37

Ratkaisun (13) mukaan ruuan kulutusnopeus paatyy ajan myota opti-maaliseen arvoonsa qr(∞) = T/2pr, silla jalkimmainen termi haviaa ajankasvaessa (Neperin luvun exponentti lahestyy arvoa −∞ kun t lahestyy arvoa+∞ ja limt→∞ e−t = 0). Asymptoottinen tasapainotila vastaa nollavoimati-lannetta.

Tassa esimerkissa voima esitettiin muodossa ∂u/∂qr eika muodossa mak-suhalukkuus – hinta. Syy tahan on se, etta jalkimmaisen voiman lausekkeenmuoto olisi

T

2qr

− pr.

Jos ruuan kulutusta kuvaava newtonilainen liikeyhtalo muodostettaisiin tamanvoiman avulla, paadyttaisiin seuraavaan epalineaariseen differentiaaliyhtaloon

T

2qr

− pr = mcrqr ⇔ T − 2prqr = 2mcrqrqr,

jonka ratkaiseminen on huomattavasti edellista hankalampaa. Koska molem-mat suureet,

a

ph

(T − 2prqr) jaT

2rr

− pr,

ovat yhta aikaa positiivisia (negatiivisia) — eli niilla on samat nollakohdat— erisuurilla qr:n positiivisilla arvoilla, ne toimivat molemmat yhta hyvinruuan kulutukseen vaikuttavina voimina. Jalkimmaisen etu on puolestaansen mitattavuus, silla sen mittayksikko on (mk/kg) kun edellisen yksikkoon (ut/kg). On syyta huomata, etta yo. osittaisderivaatta on johdettu siten,etta budjettirajoite on sisallytetty hyotyfunktioon; ilman tata sijoitusta ko.osittaisderivaatta ei toimi voimana oikein.

Kaavassa (13) ruuan kulutusnopeuden aikaura on ratkaistu funktioksi ku-luttajan kuukausituloista, hyodykkeiden hinnoista seka ruuan kulutukseenliittyvista inertiaalisista tekijoista. Sijoittamalla (13) kuluttajan budjettiy-htaloon, huvipuiston kulutusnopeuden aikauraksi saadaan vastaavasti

qh(t) =T

2ph

− C0pr

ph

e− 2apr

phmcrt. �

38