lectures in applied econometrics 07

8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 07

1/9

7. Δυναμικά οικονομικά υποδείγματα

Κ εφάλαιο 7.Δυναμικά Οικονομικά

Υποδείγματα

Ας θεωρήσουμε το υπόδειγμα t t t xβ = +y u στο οποίο τα σφάλματααυτοσυσχετίζονται και ακολουθούν μια διαδικασία !"#$ τ%ς μορφής

1t t t ρ

−= +u u v . &φαρμόζοντας τον γνωστό μετασχ%ματισμό των

γενικευμ'νων διαφορ(ν) 'χουμε*

( )1 1t t t t t x x ρ β ρ − −− = × − +y y v .

+ε εναλλακτική μορφή 'χουμε*

1 1t t t t t x xβ βρ ρ

− −= − + +y y v .

,ο υπόδειγμα) ασφαλ(ς) μπορεί να εκφρασθεί στ% μορφή*

1 1 2 1t t t t t x xβ α α

− −= + + +y y v )

όπου 1α βρ = − και 2α ρ = . -να σ%μαντικό συμπ'ρασμα λοιπόν είναι ότι

% ύπαρ% αυτοσυσχ'τισ%ς είναι ισοδύναμ% με 'να γραμμικόυπόδειγμα) το οποίο όμως 'χει επαυ%θεί με τις χρονικ'ς υστερήσεις

των / και 0. 1υσικά) θα πρ'πει να 'χουμε τον περιορισμό 1 2 0α βα + = )

ο οποίος είναι μ% γραμμικός. 2αρόμοια αποτελ'σματα ισχύουν για

σχήματα αυτοσυσχ'τισ%ς μεγαλύτερου 3αθμού. +τ%ν περίπτωσ% αυτή)θα 'χουμε 'να υπόδειγμα τ%ς μορφής*

1 1

L M

t t l t l m t m t l m x yβ α γ

− −= == + + +∑ ∑y y v .

Από τ% σκοπιά τ%ς εφαρμοσμ'ν%ς 'ρευνας) οι κατάλλ%λες χρονικ'ςυστερήσεις 4 και 5 δεν είναι γνωστ'ς και επομ'νως θα πρ'πει να

188


2/9


εκτιμ%θούν με 3άσ% τα στοιχεία. 5ια προσ'γγισ% είναι να εκτιμ%θείτο υπόδειγμα για διάφορες τιμ'ς των 4 και 6 και με δεδομ'νο ότι δεν'χουμε αυτοσυσχ'τισ% στα σφάλματα) να επιλεγεί εκείνο το ζεύγος"4)6$ το οποίο 3ελτιστοποιεί κάποιο κριτήριο προσαρμογής. -νατ'τοιο μ'τρο θα μπορούσε να είναι ο διορθωμ'νος συντελεστής

προσδιορισμού " 2

R $. +τ%ν πρά%) το κριτήριο αυτό καταλήγει σε τιμ'ςτων 4 και 5 μεγαλύτερες απ τις πραγματικ'ς) δ%λαδή τείνει ναπαράγει υποδείγματα μεγαλύτερα απ ότι είναι στ%ν πραγματικότ%τα.-να κριτήριο το οποίο καταλήγει σε συνεπείς εκτιμ%τ'ς των 4 και 5είναι το κριτήριο πλ%ροφόρ%σ%ς του Schwarz "Schwarz informationcriterion$.

,α κριτήρια πληροφόρησης στ%ν ουσία δεν είναι παρά μ'τραπροσαρμογής ενός υποδείγματος τα οποία όμως 8τιμωρούν9 ταμεγάλα υποδείγματα περισσότερο απ ότι το 2 R . +τ% 3ι3λιογραφίαυπάρχουν πολλά τ'τοια κριτήρια) αλλά τα κυριότερα δυο είναι του

Akaike και του Schwarz .

Δυναμικά υποδείγματα μπορούν) ωστόσο) να προκύ:ουν και μελογικ'ς υποθ'σεις που είναι πιο κοντά στ%ν οικονομική θεωρία. Ας

θεωρήσουμε το υπόδειγμα *t t

y xβ = ) όπου *t y είναι το 3'λτιστο ή

επιθυμ%τό επίπεδο κεφαλαίου μιας επιχείρ%σ%ς και t x είναι 'να

σύνολο προσδιοριστικ(ν παραγόντων "πραγματικά επιτόκια) τιμ'ςτων παραγωγικ(ν συντελεστ(ν) το επίπεδο παραγωγής κτλ$. ,ο3'λτιστο επίπεδο κεφαλαίου δεν μπορεί να πραγματοποι%θείαυτόματα στ% διάρκεια τ%ς περιόδου. ; επιχείρ%σ% ακολουθεί τον

εής κανόνα που λ'γεται υπόδειγμα μερικής προσαρμογής"partial adjustment$*

( )*1 1t t t t yλ − −− = −y y y ) όπου 0 1λ ≤ ≤ .

< κανόνας αυτός σ%μαίνει ότι % μετα3ολή του κεφαλαίου "δ%λαδή %ακαθάριστ% επ'νδυσ%$ είναι ανάλογ% με τ%ν 'κτασ% στ%ν οποία το

υπάρχον απόθεμα κεφαλαίου 1t −y διαφ'ρει απ το πραγματικό. ;

επιχείρ%σ% δ%λαδή ακολουθεί μια διαδικασία προσαρμογής στο3'λτιστο επίπεδο κεφαλαίου. < λόγος για τον οποίο μπορεί να

συμ3αίνει κάτι τ'τοιο) είναι ότι % παραγγελία) εγκατάστασ% κτλ τουεοπλισμού απαιτεί κόστος για τ%ν επιχείρ%σ%. Αν 'χουμε λ=#) τότε %προσαρμογή είναι αυτόματ%. Αν λ=>) δεν υπάρχει καμιά επ'νδυσ% κιεπομ'νως καμιά προσαρμογή. ?ια τις ενδιάμεσες τιμ'ς του λ) 'χουμεμερική προσαρμογή στ% 3'λτιστ% ποσότ%τα κεφαλαίου.

189


3/9


1υσικά) % 3'λτιστ% ποσότ%τα *t y δεν παρατ%ρείται. 2αρατ%ρείται

ωστόσο το t y και φυσικά 'χουμε υποθ'σει ότι*

t t y xβ = . @α 'χουμε*

( ) ( )1 1 11t t t t t t t x xλ β λβ λ − − −− = − ⇒ = + −y y y y y .

5ετά τ%ν εισαγωγή ενός κλασσικού στοχαστικού όρου θα 'χουμε

( ) 11t t t t xλβ λ −= + − +y y u . ; είσωσ% μπορεί να εκτιμ%θεί εύκολα με τ%

μ'θοδο των ελαχίστων τετραγ(νων και να λά3ουμε τις εκτιμήσειςτων 3 και λ.

,ο υπόδειγμα μας δίνει τ% δυνατότ%τα να εκτιμήσουμε τις

3ραχυχρόνιες και μακροχρόνιες επιδράσεις του t x στο απόθεμα

κεφαλαίου. Aραχυχρόνια) % επίδρασ% δεν είναι παρά βλ .

5ακροχρόνια) αν υποθ'σουμε ότι ( ) ( )1t t y−= =y yE E ) θα 'χουμε*

( ) ( ) ( ) ( )11 1t t t t t x y x y y xλβ λ λβ λ β −= + − × ⇒ = + − ⇒ =y yE E .

&πομ'νως % μακροχρόνια επίδρασ% θα είναι β ) που είναι μεγαλύτερ%από τ% 3ραχυχρόνια επίδρασ%) πράγμα που είναι απόλυτα λογικό)εφόσον μακροχρόνια % επιχείρ%σ% είναι σε θ'σ% να πραγματοποιήσειόλες τις προσαρμογ'ς που τ%ν συμφ'ρουν.

Ας υποθ'σουμε στ% συν'χεια το υπόδειγμα*

t t t xβ = +y u ) στο οποίο %

τιμή του t y εαρτάται από τ%ν προσδοκ(μεν% τιμή*

t x του t x . Αυτή

μπορεί να είναι μια λογική υπόθεσ% όταν στ% χρονική περίοδο που θα

πρ'πει να λ%φθεί % απόφασ% για το t y ) δεν 'χει παρατ%ρ%θεί ακόμ% %

πραγματική τιμή του t x . Διάφορα σχήματα μπορούν να υιοθετ%θούν

σχετικά με τον τρόπο διαμόρφωσ%ς των προσδοκι(ν. 5ιασυν%θισμ'ν% υπόθεσ% είναι το υπόδειγμα τωναναπροσαρμοζόμενων προσδοκιν "adaptive expectations$σύμφωνα με το οποία 'χουμε*

( )* * *1 1 1t t t t x x x xθ − − −− = × − ) 0 1θ ≤ ≤ .

; υπόθεσ% αυτή) απλά λ'ει ότι οι προσδοκίες αναπροσαρμόζονταιανάλογα με το σφάλμα πρό3λε:%ς στ%ν προ%γούμεν% περίοδο. Αν'χουμε 0θ = ) οι προσδοκίες είναι ίσες με μια σταθερή τιμή και δεναναπροσαρμόζονται καθόλου. Αν 1θ = ) τότε 'χουμε το προ%γούμενουπόδειγμα) στο οποίο οι οικονομικοί παράγοντες περιμ'νουν να

επικρατήσει % προ%γούμεν% τιμή του t y .

190


4/9


Από το υπόδειγμα) 'χουμε* ( )* *1 11t t t x x xθ θ − −= + − .

,ο υπόδειγμα αυτό μπορεί να γραφεί στ% μορφή* ( )* *

11

t t t x x Lxθ θ

−= + − )

?ια να εκτιμήσουμε το υπόδειγμα αυτό) θα 'χουμε*

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

*

*

1 1 1

* *

1 1 1

1 1

1 1 1

1 1 1

1

t t t

t t t

t t t t t t

t t t t

x

x

x x

x

β

θ β θ θ

θ β θ θ

θ βθ

− − −

− − −

− −

= + ⇒

− = − + −

− − = − − + − − ⇒

= − + +

y u

y u

y y u u

y y v

όπου ( ) 11t t t u θ −= − −v u . ,ο υπόδειγμα) μπορεί να εκτιμ%θεί εύκολα με τ%

μ'θοδο 4B. Cστόσο) αυτή δεν είναι μια αποτελεσματική μ'θοδος)

διότι ακόμ% κι αν ο στοχαστικός όρος t u ικανοποιεί όλες τις

κλασσικ'ς ιδιότ%τες) ο στοχαστικός όρος t v θα ακολουθεί μια

διαδικασία 5Α"#$ με παράμετρο 1 θ − . επομ'νως) θα 'χουμεαυτοσυσχ'τισ%.

5πορεί κανείς να εκτιμήσει) φυσικά) το υπόδειγμα με τ% μ'θοδο τ%ςμ'γιστ%ς πιθανοφάνειας. 5ια απλούστερ% εναλλακτική είναι να

εκτιμήσει κανείς το υπόδειγμα 1 1 2 1t t t t xβ β − −= + +y y v ) υποθ'τοντας μια

διαδικασία 5Α"#$ για το σφάλμα) % οποία όμως 'χει μια παράμετρο"'στω λ $ που δεν συνδ'εται με το θ . Αν % παράμετρος είναι

στατιστικά σ%μαντική) αυτό θα μπορούσε να αποτελεί 'νδει% γιατ%ν καταλλ%λότ%τα του υποδείγματος μερικής προσαρμογής σε σχ'σ%με άλλα υποδείγματα.

,ο υπόδειγμα των αναπροσαρμοζόμενων προσδοκι(ν αποτελεί) ίσως)'ναν καλό τρόπο για να κατανοήσει κανείς τα υποδείγματα 5Α καιτον τρόπο με τον οποίο μπορούν να προκύ:ουν σε οικονομικάυποδείγματα.&πίσ%ς) δεν είναι δύσκολο να συνδυάσει κανείς το υπόδειγμα τ%ς

μερικής προσαρμογής "για το t y $ και το υπόδειγμα των

αναπροσαρμοζόμενων προσδοκι(ν "για το t x $ ή αντίστροφα και ναπροσδιορίσει τ%ν τελική μορφή του υποδείγματος) πράγμα πουαφήνεται σαν άσκ%σ%.

-να άλλο ενδιαφ'ρον υπόδειγμα είναι το υπόδειγμα τωνορ!ολογικν προσδοκιν. Ας υποθ'σουμε τ%ν είσωσ% επ'νδυσ%ς

*

t t t t yβ γ = + +y x u ) όπου *t y είναι % ο προσδοκία που είχαν οι οικονομικοί

191


5/9


παράγοντες για τ%ν τιμή τ%ς t y προτού αυτή παρατ%ρ%θεί. ; υπόθεσ%

των ορθολογικ(ν προσδοκι(ν είναι ότι*

1t t t y

−= yE ) όπου

( )1 1|t t t t E − −= Ωy yE και 1t −Ω είναι το σύνολο πλ%ροφόρ%σ%ς "information

set$ που 'χουν στ% διάθεσή τους οι οικονομικοί παράγοντες τ%

χρονική περίοδο 1t − . Αυτό μπορεί να αποτελείται από μετα3λ%τ'ςόπως προ%γούμενες τιμ'ς των x και y ) κι άλλες μετα3λ%τ'ς όπωςδιάφορα ν'α σχετικά με τ%ν οικονομική πολιτική) επιτόκια) τιμ'ς κτλ.

; λογική τ%ς υπόθεσ%ς είναι απλή.


6/9


( ) ( ) ( ) ( )1 1 1

1 11 1 1

t t t t t t t β γ γ β α ρ γ γ βα β γ γ βρ

− − −

− −= + − + + = − + + − +y x x u x x u .

; είσωσ% αυτή είναι μ% γραμμική στις παραμ'τρους και μπορεί να

εκτιμ%θεί) σαν σύστ%μα μαζί με τ%ν είσωσ% 1t t t α ρ −= + +x x v .


7/9


Δυναμικά υποδείγματα μπορούν επίσ%ς να προκύ:ουν) με πιοδιαρθρωτικό τρόπο) αν θεωρήσουμε το πρό"λημα μεγιστοποίησηςτου κ#ρδους τ%ς επιχείρ%σ%ς. Αν % τεχνολογία τ%ς επιχείρ%σ%ς

δίνεται από τ% συνάρτ%σ% παραγωγής ( ) y f x= και % τιμή είναι

σταθερή στο επίπεδο t p ) το πρό3λ%μα τ%ς επιχείρ%σ%ς είναι*

( ) ( ) 2

112

0max :

t t t x

p f x w x x xα −

≥

− − − )

όπου 1t x − είναι % υπάρχουσα ποσότ%τα του συντελεστή) t w είναι %

αγοραία τιμή του και ( ) 2

112 t

x xα −

− είναι το κόστος μετα3ολής του

συντελεστή "με αE>$. &πομ'νως) εδ( υποθ'τουμε ότι μετα3ολ'ς τουσυντελεστή) συνδ'ονται με κάποιες δαπάνες. ; συνθήκ% πρ(τ%ςτά%ς είναι*

( ) ( )1t t t t t p f x w x xα −′ − = − )

όπου t x είναι % 3'λτιστ% ποσότ%τα του συντελεστή στ%ν τρ'χουσα

περίοδο. Από τ%ν είσωσ% αυτή θα προκύ:ει % συνάρτ%σ% ζήτ%σ%ς τ%ς

μορφής ( )1, ,t t t t x d p w x −= ) % οποία είναι φυσικά μια δυναμική είσωσ%.

+το υπόδειγμα) μπορούν να γίνουν διάφορες τροποποιήσεις) όπως γιαπαράδειγμα % εισαγωγή ασύμμετρων δαπαν(ν προσαρμογής. Αν) γιαπαράδειγμα) ο συντελεστής είναι εργασία) μπορεί να υπάρχειμεγαλύτερο κόστος μείωσ%ς του συντελεστή "λόγω πχ τ%ς σχετικήςνομοθεσίας$ παρά αύ%σής του. ,ο κόστος τ%ς αύ%σ%ς μπορεί νασυνδ'εται με το κόστος εκπαίδευσ%ς και προσαρμογής τουσυντελεστή στις συνθήκες τ%ς επιχείρ%σ%ς. Αν ο συντελεστής είναικεφάλαιο) μπορεί να είναι ευκολότερο να μειωθεί παρά να αυ%θεί %ποσότ%τά του. + άλλες περιπτ(σεις ενδ'χεται το κόστοςπροσαρμογής να είναι θετικό όταν πρόκειται να αυ%θεί % ποσότ%τατου συντελεστή και διαφορετικά να είναι απλά μ%δ'ν.

; πιο σ%μαντική γενίκευσ% του υποδείγματος) αφορά τ%ν επ'κτασήτου σε δυναμικό πρό3λ%μα πολλ(ν περιόδων. Αν υποθ'σουμε ότι

είμαστε στο τ'λος τ%ς περιόδου >) με δεδομ'νο 0 0

x >

και % επιχείρ%σ%'χει 'ναν χρονικό ορίζοντα T περιόδων) το κατάλλ%λο πρό3λ%μα θαήταν*

( ) ( )1

21

121, , 0max :

T

T t

t t t t t t t x x

p f x w x x xβ α −=≥

− − − ∑L )

194


8/9


όπου >F3F# είναι ο συντελεστής προεόφλ%σ%ς τ%ς επιχείρ%σ%ς. +τ%μορφή αυτή είναι φανερό ότι αν οι μελλοντικ'ς τιμ'ς του προGόντοςκαι των εισρο(ν δεν είναι γνωστ'ς) % επιχείρ%σ% θα πρ'πει ναδιαμορφ(σει προσδοκίες σχετικά με τα επίπεδά τους κι επομ'νως ορόλος των προσδοκι(ν είναι κρίσιμος. ; συνθήκ% πρ(τ%ς τά%ς στ%ν

περίπτωσ% αυτή) είναι*

( ) ( ) ( )1 1 0t t t t t t t p f x w x x x xα α − +′ − − − + − = ) για κάθε 1, , 1t T = −L και

( ) ( )1 0T T T T T p f x w x xα −′ − − − = .

,ο πρό3λ%μα μπορεί να γενικευθεί ακόμ% περισσότερο και να γίνειπιο ρεαλιστικό εισάγοντας α3ε3αιότ%τα μ'σω πχ ενός στοχαστικούόρου στ% συνάρτ%σ% παραγωγής#. 5ια ρεαλιστική υπόθεσ% θα

μπορούσε να είναι ότι ( ) t u

t t y f x e= και % διαταραχή ακολουθεί μια

διαδικασία !"#$* 1t t t u u v ρ −= + ) όπου ( )2

~ 0,t

v iidN σ .

,ο κατάλλ%λο πρό3λ%μα μεγιστοποί%σ%ς είναι*

( ) ( )1

21

0 121, , 0max : t

T

T ut

t t t t t t t x x

p f x e w x x xβ α −=≥

− − − ∑L E )

όπου 0E δ%λ(νει αναμενόμεν% τιμή ως προς τ%ν από κοινού

κατανομή των σφαλμάτων 1 2, , , T u u uL με δεδομ'νο ότι το 0u είναι

γνωστό) δ%λαδή ως προς τ%ν κατανομή ( )1 0, |T f u u uL .

,ο πρό3λ%μα μπορεί φυσικά να γραφεί σαν*

( ) ( ) ( )1

21

1 1 0 121, , 0max : , |t

T

T ut

t t t t t t T T t x x

p f x e w x x x f u u u du duβ α −=≥

− − − × ∑∫ L L L .

Hταν οι διαταραχ'ς δεν αυτοσυσχετίζονται) δ%λαδή όταν 0 ρ = ) %λύσ% είναι σχετικά απλή και αφήνεται σαν άσκ%σ%. Iπενθυμίζεται

ότι αν ( )2~ ,u N µ σ ) τότε ισχύει ότι* ( ) 21

2ue e µ σ +

=E .

Hταν οι διαταραχ'ς αυτοσυσχετίζονται) το πρό3λ%μα γίνεται πολύπιο δύσκολο και οι συνθήκες πρ(τ%ς τά%ς που προκύπτουν) είναισυνθήκες ορθογωνιότ%τας οι οποίες μπορούν να εκτιμ%θούνφυσιολογικά με τ% μ'θοδο J66.

1 Η επόμενη ανάλυση μπορεί να παραλε!"εί#

19$


9/9


19%

lectures in applied econometrics 07

Documents