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Iniciación al calculo de limites y continuidad, basado en guías del INACAPTRANSCRIPT
Límites y Continuidad
Cálculo I – Primer Semestre 2015
Guía Práctica para resolver Limites y no morir en el intento
__________________________________________________________________
“La teoría de limites es la base de la verdadera metafísica del Cálculo
Diferencial”
Jean Le Rond D’Alembert
Para empezar a resolver límites debemos entender su notación, sin
profundizar en su definición precisa de límite ( ), es decir:
l m
Lo anterior se lee:
“el límite de , cuando tiende a , es igual a ”
Debemos también recordar las leyes de los límites.
Supóngase que es una constante, un entero positivo y que los limites:
l m
l m
existen. Entonces:
1. l m
l m
l m
2. l m
l m
3. l m
l m
l m
4. l m
5. l m
l m
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2
6. l m
7. l m
l m
l m
Básicamente con lo anterior ya podemos empezar a calcular algunos
límites, pero antes aclaremos algo importante respecto a la sustitución
directa.
Si es un polinomio o una función racional y esta en el dominio de ,
entonces:
l m
¡¡ NO todos los límites se pueden evaluar por sustitución directa !!
EJERCICIO 1: Calcule el sgte límite
l m
SOL:
Por sustitución directa
l m
l m
l m
Si consideramos la función:
Notamos de inmediato que no está definida en .
Es decir su dominio es:
Por lo tanto debemos concluir que la sustitución directa en este caso no es
posible.
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Así que debemos trabajar la función, para ello debemos pensar bien como
hacer este paso, ya que hay muchas maneras de manipular una función
algebraicamente, pero debemos diferenciar entre manipular
algebraicamente bien la función sin llegar a buen puerto o hacerlo de
manera eficiente y eficaz, para así calcular bien el límite que es nuestro
objetivo principal.
Notamos que hay una diferencia de cubos en el numerador y una
diferencia de cuadrados en el denominador, ya sabemos de cursos
anteriores que ambos en su factorización comparten un factor común que
podría anularse en el cociente y así el denominador ya no seria 0.
¡NO OLVIDAR!
Así
l m
l m
l m
l m
l m
l m
l m
EJERCICIO 2: Calcule el sgte límite
l m
HINT: Realice la sustitución
SOL:
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Para estos casos debemos hacer caso de la ayuda que se nos da, para ello
debemos notar lo siguiente:
Entonces, debemos modificar el límite del enunciado en función de la
variable
l m
l m
l m
l m
l m
Hasta aquí debemos preguntarnos si es factible hacer sustitución directa,
entonces solo debemos definir nuestra función y analizar su dominio, es
decir:
Sea
su dominio es:
pero entonces:
así que no hay problema en sustituir directamente.
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l m
l m
l m
l m
A continuación un límite, donde solo hay que hacer una operatoria
algebraica y uso de la ley 7, que es una ley que suele en ciertos ejercicios
intimidar a los que se inician en el cálculo de límites.
EJERCICIO 3: Calcule el sgte límite
l m
SOL:
l m
l m
l m
l m
Muy Fácil ?
Dominando las leyes de los límites, no debiéramos tener dificultad con
problemas de este estilo.
Bueno, continuemos adquiriendo técnicas para resolver límites.
Resolvamos un problema clásico donde hay que calcular el límite de un
cociente de polinomios.
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EJERCICIO 4: Calcule el sgte límite
l m
SOL:
De inmediato notamos que por sustitución directa no es posible, ya que la
función:
No existe en , pues
pero ya sabemos que tanto numerador
y denominador comparten un factor en común, ambos son divisibles por
al tener ambos como raíz a . Para factorizar estos polinomios,
usamos división sintetica o Regla de Ruffini.
Debido a esto es que seleccione este límite, Ruffini suele olvidarse con
facilidad si no se resuelven problemas donde hay que factorizar
polinomios de muchos términos con grados mayores a 3.
Nuestro primer polinomio a factorizar es:
2 2 1 2
Explicación Tabla:
2 2 -1 1 Casilla1 Casilla 3 Casilla 5 2 Casilla 2 Casilla 4 Casilla 6
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- Primero se agregan los coeficiente de los términos del polinomio
: primera fila en rojo, el numero 1 verde indica que es la raíz
por la cual es divisible .
- Bajamos el primer coeficiente, que corresponde al factor del
término de mayor grado en en este caso el numero 2.
- Las casillas bajo los otros coeficientes se completan siguiendo el
sgte orden:
La Casilla 1 es el resultado de multiplicar el coeficiente que se bajo y
la raíz, en este caso 1, así se obtiene como resultado 2, la Casilla 2 se
completa al sumar mas el numero obtenido en la Casilla 1, es
decir:
Luego, la Casilla 3 se completa multiplicando el resultado de la
Casilla 2 y la raíz, es decir:
Así la Casilla 4 será:
Y así hasta completar la casilla 5 y 6.
Así, se cumple que:
Hacemos lo mismo para el polinomio:
1 0 3 1 1 1 1 4 5 1 1 4 5 0
Así se cumple que:
Entonces el límite nos queda como:
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l m
l m
l m
Claramente está listo para evaluarse, el denominador ya no se anula y por
lo tanto ya no se indefine la función.
l m
Complicado?
No, si sabemos aplicar la ¡Regla de Ruffini !
Otro aspecto que hay que considerar cuando se calculan funciones
racionales, es cuando el límite tiende al infinito, el siguiente es un
resumen acerca de la técnica, muy útil para guiarse en la respuesta.
l m
EJERCICIO 5: Calcule el sgte límite
l m
SOL:
Usando el resumen anterior:
Así
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l m
l m
Ahora veremos un límite donde el arte de hacer cambios de variable (CV)
nos puede ayudar a evitar cálculos tediosos y terribles, que en una
solemne pueden ser desastrosos en el objetivo de ser eficiente y eficaz, ya
que ahí el tiempo juega un papel importante.
El cambio de variable se aprende luego de resolver una gran cantidad de
límites.
EJERCICIO 6: Calcule el sgte límite
l m
SOL:
Por el momento nuestros recursos algebraicos son limitados, aumentaran
a medida que ejercitemos por ello no hay que desanimarse, lo anterior lo
digo porque al analizar este límite ya sabemos que la sustitución directa
no resuelve nada y que lo más probable es que se piense en algo para
racionalizar el denominador, el problemas es que no es tan fácil dicha
racionalización, bueno si eres ya experto calculando limites sabrás que
hay que multiplicar y dividir la función dada por algo que produzca una
diferencia de cubos y ese algo es:
Si no es así, no te preocupes una buena sustitución o un CV adecuado
resuelve todo.
Así que nuestro objetivo es tratar de obtener algo amigable que podamos
operar tranquilamente, entonces usando el cambio de variable:
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De modo que si entonces .
Así el límite nos queda como:
l m
l m
Ahora si!!, este de seguro lo sabemos trabajar o no?
l m
l m
l m
Nos simplifico el problema?, evidentemente, ahora debemos
preguntarnos lo sgte, ¿Solo hay que usar C.V? claramente NOOO!!, es una
herramienta útil, pero si no se nos ocurre un C.V adecuado, debemos usar
la racionalización, de hecho, lo que recomiendo es que hay que dominar
todas las técnicas/métodos, por lo que a continuación lo hare usando ese
“algo” que menc one al pr nc p o. ¡¡Atentos!!
Recuerda que:
Si vemos el denominador de la función como conviene multiplicar y
dividir entre
para producir, al
multiplicarse por
, la diferencia de cubos:
Así
l m
l m
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¿Se soluciono nuestro problema? No, lamentablemente aun queda
trabajar más el límite ya que el cociente produce una
indeterminación, pero su racionalización es muy sencilla.
l m
l m
l m
A continuación!!
¡ 2 maneras de resolver un límite !
EJERCICIO 7: Calcule el sgte límite
l m
SOL 1:
l m
l m
l m
l m
l m
l m
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SOL 2:
Solo con el objetivo de demostrar y convencer que el CV solo es una
manera diferente de abordar un límite y que trata de simplificar los
cálculos.
Sea
l m
l m
l m
l m
l m
Para resolver el siguiente problema debemos recordar el siguiente
Teorema:
Sea una función tal que l m
y una función
tal que l m
. Entonces
l m
EJERCICIO 8: El costo en millones de dólares para el gobierno de aprehender un de cierta droga ilegal a su entrada por las fronteras, viene dado por:
(a) Calcular el costo de aprehender el 25% (b) Hallar el límite de cuando
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SOL:
(a) Debemos calcular , notamos que el porcentaje a evaluar se
encuentra dentro del intervalo que define el enunciado como dominio de
la función, es decir, Así que es posible realizar
sustitución directa:
Por lo tanto, el costo de aprehender un 25% tiene un costo de 176
millones de dólares para el gobierno.
(b)
l m
l m
Otros límites que nos interesa calcular son los que involucran funciones
trigonométricas, y que para poder resolver gran cantidad de ellos,
necesitamos recordar las Identidades Trigonométricas:
en co
en en co en co
co co co en en
Algunos valores relevantes para seno y coseno:
en en
en
co co
co
La paridad también es relevante en el cálculo de límites trigonométricos
que involucran las funciones seno y coseno.
n n co co
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Y el siguiente limite:
l m
en
Cuando adquiera más destrezas podrá demostrar este límite usando el
Teorema del Sandw ch o la Regla de L’Hôp tal Quizás mas adelante, y mas
experto podrá calcular sin problema el límite del Profesor Vladimir
Arnold usando Polinomios de Taylor, ese sería un desafió Interesante, por
el momento sigamos calculando mas y mas limites.
EJERCICIO 9: Calcule el sgte límite
l m
en
en
SOL:
Se trata de una forma indeterminada, ya que:
l m
en
en
en
en
El objetivo aquí es tratar de lograr el límite trigonométrico mencionado
arriba:
l m
en
en
l m
en
l m
en
EJERCICIO 10: Calcule el sgte límite
l m
co
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SOL:
Se trata de una forma indeterminada, ya que:
l m
co
co
La idea es provocar, de alguna manera, la aparición de la función en .
Si recurrimos a la identidad:
en co co co
Entonces:
l m
co
co
co l m
co
co l m
en
co
l m
en
co
en
l m
en
co l m
en
en
co
EJERCICIO 11: Calcule el sgte límite
l m
co
SOL:
Se trata de una forma indeterminada, ya que:
l m
co
co
El procedimiento es similar al anterior:
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l m
co
co
co l m
co
co l m
en
co
l m
co
en
l m
co l m
en
Los dos últimos limites calculados, es recomendable recordarlos ya que
suelen aparecer en varios otros límites de funciones trigonométricas:
l m
co
l m
co
Aumentemos un poco la dificultad.
EJERCICIO 12: Calcule el sgte límite
l m
en
SOL:
Se trata de una forma indeterminada, ya que:
l m
en
en
Lo mejor es hacer un cambio de variable, sea:
l m
en
l m
en
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Usando la identidad, del seno de la suma de dos ángulos:
en
en
co
en
co
co
Así, el límite nos queda:
l m
en
l m
co
l m
co
EJERCICIO 13: Calcule el sgte límite
l m
tan
SOL:
l m
tan
tan
en
co
en
co
en
co
en
co
co
co
en
en
Lo anterior nos obliga a realizar el siguiente cambio de variable:
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l m
tan
l m
tan
Primero desarrollemos la tangente:
tan
en
co
en
co en
co
co
co en
en
co
en
Así
l m
tan
l m
co
en
l m
en
co
co
Hasta aquí ya debiéramos calcular sin problema gran variedad de límites,
pero como suele pasar en la universidad el profesor siempre intentara
desafiarlo con algún límite que es probable que no haya resuelto alguno
similar anteriormente, así que, a continuación se resuelven algunos
límites del t po “de af ante”
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EJERCICIO 14: Calcule el sgte límite
l m
SOL:
Reordenamos la expresión:
Racionalicemos cada binomio:
Así
l m
l m
l m
l m
l m
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l m
l m
l m
l m
l m
l m
EJERCICIO 15: Calcule el sgte límite
l m
SOL:
Usamos división sintetica o Regla de Ruffini, considerando al polinomio
que tiene como raíz a .
1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 0
Así
Otra forma de factorizar es recurriendo a la expresión:
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Tomando y .
l m
l m
l m
||_ CONTINUIDAD _||
Una función es continua en un numero si: 1. está definido, es decir, existe en dominio de . 2. l m
3. l m
Lo anterior (punto 3) nos obliga a definir los límites laterales.
- Limites Laterales –
l m
l m
Para entender estas definiciones, resolvamos el sgte ejercicio.
EJERCICIO 16: Estudie la continuidad de
en
en todo .
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SOL:
De inmediato notamos que tiene discontinuidad cuando:
La grafica se ve como:
Veamos como se comporta en
en
l m
l m
en
l m
en
l m
en
l m
Asi, en la función presenta una discontinuidad del tipo evitable, ya
que:
l m
Veamos como se comporta en
en
en
Este punto es delicado ya que como se puede observar en su grafica
tiende hacia dos valores distintos, cuando sucede esto aplicamos limites
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laterales:
l m
l m
en
l m
en
l m
l m
l m
en
l m
en
l m
Así, en la función presenta una discontinuidad del tipo esencial, ya
que:
l m
l m
Por lo tanto:
- es continua en
- presenta una discontinuidad del tipo evitable en
- presenta una discontinuidad del tipo esencial en
EJERCICIO 17: Determine los valores de y en:
Para que sea continua en todo .
SOL:
Cuando buscamos valores de constantes en las funciones por rama
nuestro trabajo simplemente consiste en calcular los límites laterales.
Punto :
l m
l m
l m
l m
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Como se debe cumplir que ambos límites laterales sean iguales, con ello
formamos la ecuación:
Punto :
l m
l m
l m
l m
Como se debe cumplir que ambos límites laterales sean iguales, con ello
formamos la ecuación:
Con lo anterior formamos el sistema:
Aplicando la regla de Cramer:
por lo tanto
A continuación explico la Regla de Cramer, para resolver sistemas de 2
ecuaciones, como el obtenido, este método es el que recomiendo.
Dado el sistema de ecuaciones:
Entonces e se obtienen calculando:
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EJERCICIO 18: Dada la función:
(a) Determine l m
(b) Demuestre l m
(c) ¿Es continua la función en
?
SOL:
(a)
l m
l m
l m
l m
(b)
Por lo tanto
l m
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(c) La demostración en (b) nos permite concluir que no es continua en
Ahora re olvamo un problema “de af ante”
EJERCICIO 19: Dada la función:
en
co
Determine las constantes y para que sea continua en todo .
SOL:
La función es continua en los intervalos y .
Los puntos problemáticos o de discontinuidad son: y .
Punto :
Para asegurar continuidad en se deberá cumplir lo siguiente:
l m
l m
Así
l m
l m
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l m
l m
en
l m
en
Entonces, solo falta que se cumpla:
Punto :
Para asegurar continuidad en se deberá cumplir lo siguiente:
l m
l m
Así
l m
l m
co
l m
co
l m
l m
Entonces, solo falta que se cumpla:
Juntando lo obtenido en ambos puntos, podemos concluir que las
constantes pueden ser:
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