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PREFCIO

Este volume corresponde ao segundo livro virtual lanado pelo Sistema de Ensino Interativo SEI.

O livro trata de um curso de clculo voltado para os vestibulares militares ao longo de quatro captulos.

Cada um dos quatro captulos inicia-se com uma breve introduo do assunto, seguido de questes dos

ltimos concursos da EFOMM e Escola Naval, sendo um total de 112 exerccios.

H ainda um ltimo captulo onde se encontra o gabarito das questes, bem como a soluo daquelas que

nos captulos anteriores possuem sua numerao iniciada com a letra R, totalizando 60 solues.

Os demais exerccios sero resolvidos em vdeo aulas e postados no site do livro,

http://www.youtube.com/user/sistemasei, regularmente.

Com isto o autor espera estender a sala de aula do SEI residncia dos que usarem este livro,

principalmente daqueles que no podem frequentar um curso preparatrio, contribuindo para sua preparao

e aprovao.

O autor espera que o uso deste livro ocorra de forma interativa, ou seja, ser um prazer receber comentrios,

correes e pedidos, este contato pode ser feito diretamente com o autor pelo email

luciano@sistemasei.com.br.

BOM TRABALHO!

http://www.youtube.com/user/sistemaseimailto:luciano@sistemasei.com.br

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SOBRE O AUTOR

Natural do Rio de Janeiro, Luciano, quando aluno foi medalhista de prata na Olimpada de

Matemtica do Estado do Rio de Janeiro - OMERJ (1993) e na Olimpada Brasileira de Matemtica - OBM

(1994), alm disso, foi aprovado nos concursos da Escola Naval, IME e ITA e acabou optando pelo ltimo.

Aps algum tempo, resolveu seguir seu sonho e trocou a engenharia pela matemtica, retornando ao

Rio de Janeiro, fez vestibular para a UFRJ, onde concluiu a Graduao em Matemtica.

Paralelamente graduao foi professor nos principais cursos preparatrios do Rio de Janeiro, tendo

contribudo na aprovao de centenas de alunos nos concursos da EFOMM, AFA, Escola Naval, IME e ITA.

Dois anos aps ter terminado a Graduao em Matemtica iniciou o Mestrado em Geometria

Diferencial e em seguida o Doutorado em Sistemas Dinmicos, tendo participado de congressos nacionais e

internacionais.

Fundador do Sistema de Ensino Interativo SEI, Luciano um dos autores dos artigos de

matemtica do SEI Ensina.

Atualmente Luciano professor adjunto da UFRJ.

Luciano Nunes

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MATEMTICA PARA CONCURSOS MILITARES - VOLUME 2

NDICE

1. LIMITE E CONTINUIDADE............................................................... 2. DERIVADA........................................................................................... 3. APLICAES DE DERIVADA .......................................................... 4. INTEGRAL............................................................................................ 5. GABARITO E SOLUES..................................................................

05

24

35

53

63

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CAPTULO 1 LIMITE E CONTINUIDADE

1. LIMITE LATERAL

Seja a funo

IRIR:f

e IRp , dizemos que o limite de f quando x tende a p pela direita, ou por valores maiores ou superiores que p,existe e vale L ,

IRL , se e somente se,

L)x(fpx0:0,0 .

O que equivale a escrever

L)x(flimpx

,

Analogamente dizemos que o limite de f quando x tende a p pela esquerda, ou por valores menores ou inferiores que p,

IRL , se e somente se,

L)x(f0px:0,0

O que equivale a escrever

L)x(flimpx

EXEMPLO 1.1:

Seja

1x,x

1x,2x)x(fx

IRIR:f

Podemos afirmar intuitivamente que

32xlim)x(flim1x1x

.

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J que, a partir do clculo de alguns valores obtemos:

x f(x) = x+2

1,1 3,1

1,05 3,05

1,03 3,03

1,01 3,01

1,005 3,005

Analogamente podemos afirmar intuitivamente que

1xlim)x(flim1x1x

.

J que, a partir do clculo de alguns valores obtemos:

x f(x) = - x

0,9 - 0,9

0,95 -0,95

0,97 -0,97

0,99 -0,99

0,995 -0,995

EXEMPLO 1.2:

Seja

0x,1x2

0x,0

0x,1x

)x(fx

IRIR:f

Podemos afirmar intuitivamente que

11x2lim)x(flim0x0x

.

Pgina | 7

J que, a partir do clculo de alguns valores obtemos:

x f (x) = 2x+1

0,1 1,2

0,05 1,1

0,03 1,06

0,01 1,02

0,005 1,01

Analogamente podemos afirmar intuitivamente que

1)1x(lim)x(flim0x0x

.

J que, a partir do clculo de alguns valores obtemos:

x f(x) = x -1

- 0,1 - 1,1

-0,05 - 1,05

-0,03 -1,03

-0,01 -1,01

-0,001 -1,001

EXEMPLO 1.3:

Seja

0x,1x2

0x,0

0x,1x

)x(fx

IRIR:f

Podemos afirmar intuitivamente que

1)1x2(lim)x(flim0x0x

.

J que, a partir do clculo de alguns valores obtemos:

x f(x) = 2x+1

0,1 1,2

0,05 1,1

0,03 1,06

0,01 1,02

0,005 1,01

Pgina | 8

Analogamente podemos afirmar intuitivamente que

1)1x(lim)x(flim0x0x

.

J que, a partir do clculo de alguns valores obtemos:

x f(x) = x+1

- 0,1 0,9

-0,05 0,95

-0,03 0,97

-0,01 0,99

-0,001 0,999

EXEMPLO 1.4:

x2)x(fx

IRIR:f

Podemos afirmar intuitivamente que

2x2lim)x(flim1x1x

.

J que, a partir do clculo de alguns valores obtemos:

x f(x) = 2x

1,1 2,2

1,05 2,1

1,03 2,06

1,01 2,02

1,005 2,01

Analogamente podemos afirmar intuitivamente que

2x2lim)x(flim1x1x

.

J que, a partir do clculo de alguns valores obtemos:

x f(x) = 2x

0,9 1,8

0,95 1,9

0,97 1,94

0,99 1,98

0,995 1,99

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2. LIMITE

Seja a funo IRIR:f

e IRp , dizemos que o limite de f quando x tende a p existe e vale L , IRL , se e somente se,

L)x(fpx0:0,0 .

O que equivale a escrever

L)x(flimpx

.

Das definies de limites laterais temos que o limite de uma funo em um ponto IRp,p , existe e tem valor IRL,L , se e

somente se, os limites laterais de p existem e ambos valem L , ou seja,

L)x(flim

L)x(flim

L)x(flim

px

px

px

EXEMPLO 2.1:

1x,x

1x,2x)x(fx

IRIR:f

)x(flim31)x(flimquevezuma,)x(flimexisteNo1x1x1x

EXEMPLO 2.2:

0x,1x2

0x,0

0x,1x

)x(fx

IRIR:f

)x(flim11)x(flimquevezuma),x(flimexisteNo0x0x0x

EXEMPLO 2.3:

Seja

0x,1x2

0x,0

0x,1x

)x(fx

IRIR:f

1)x(flimtemos1)x(flim)x(flimquevezUma0x0x0x

EXEMPLO 2.4:

x2)x(fx

IRIR:f

2)x(flimtemos2)x(flim)x(flimquevezUma1x1x1x

Pgina | 10

3. CONTINUIDADE

Seja a funo

IRIR:f

IRp , dizemos que f contnua em p, se e somente se, existir )x(flimpx

e, alm disso,

)p(f)x(flimpx

.

A funo

IRIR:f

contnua, se e somente se, for contnua para todo ponto do seu domnio

EXEMPLO 3.1:

1x,x

1x,2x)x(fx

IRIR:f

No contnua em 1, j que no existe )x(flim1x

, pois )x(flim31)x(flim1x1x

e j que 1 nem pertence ao seu domnio.

EXEMPLO 3.2:

0x,1x2

0x,0

0x,1x

)x(fx

IRIR:f

No contnua em 0, pois no existe )x(flim0x

, j que )x(flim11)x(flim0x0x

EXEMPLO 3.3:

0x,1x2

0x,0

0x,1x

)x(fx

IRIR:f

No contnua em 0, pois como

.1)x(flim)x(flimquej1)x(flim0x0x0x

Temos )x(flim10)0(f0x

EXEMPLO 3.4:

x2)x(fx

IRIR:f

contnua em 1, j que .2)1(fe2)x(flim1x

IMPORTANTE:

Na prtica, podemos perceber que uma funo contnua se o seu grfico no possui saltos para valores do seu domnio, os pontos

do domnio da funo caracterizados por estes saltos so os ponto de descontinuidade da funo, no exemplo 1.4 o grfico da

funo no possui saltos, logo a funo contnua em todo o seu domnio, j nos exemplos 1.1 , 1.2 e 1.3 , x = 1, x = 0 e x = 0

so, respectivamente, os nicos pontos de descontinuidade.

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4. PRINCIPAIS FUNES CONTNUAS

Todo polinmio real uma funo contnua.

EXEMPLO 4.1: 171222)1x2x(lim2323

2x

Alm disso, so contnuas

senx)x(fx

IRIR:f

xcos)x(fx

IRIR:f

1a,IRa,a)x(fx

IRIR:f

*x

1a,IRa,xlog)x(fx

IRIR:f

*a

*

5. PROPRIEDADES

Sejam

IRIR:f1

IRIR:f2

funes reais e IRp , tais que

11px

L)x(flim

e

22px

L)x(flim

Com IRLeL 21 , ento,

5.1. LIMITE DA SOMA

2121px

LL))x(f)x(f(lim

Se 21 fef so contnuas ento

)p(f)p(f))x(f)x(f(lim 2121px

EXEMPLO 5.1

5)xlog)x(cosx(lim 22

2x

.

Pgina | 12

Como as funes polinomiais, cosseno e logaritmo so contnuas o limite de cada uma das funes acima existe, ento:

.51042log)2(cos2

)xlog(lim))x(cos(lim)x(lim)xlog)x(cosx(lim

22

22x2x

2

2x2

2

2x

5.2. LIMITE DA MULTIPLICAO

2121px

LL))x(f)x(f(lim

Se 21 fef so contnuas ento

)p(f)p(f))x(f)x(f(lim 2121px

EXEMPLO 5.2.

Justifique 0))x(senx(lim2

4x

.

Como as funes polinomiais, seno so contnuas o limite de cada uma das funes acima existe, ento:

0)4(sen4))x(sen(lim)x(lim))x(senx(lim 2

4x

2

4x

2

4x

5.3. LIMITE DA DIVISO

2

1

2

1

px2

L

L

)x(f

)x(flim0L

Se 21 fef so contnuas

)p(f

)p(f

)x(f

)x(flim0)p(f

2

1

2

1

px2

EXEMPLO 5.3.

1xcos)1xlog(

1xlim

2

0x

.

Como as funes polinomiais , cosseno e logaritmo so contnuas o limite de cada uma das funes acima existe, alm disso,

como

0110)0(cos)10log()x(coslim))1x(log(lim)xcos)1xlog((lim0x0x0x

Teremos

11

1

)0(cos)10log(

10

)xcos)1x(log(lim

)1x(lim

xcos)1xlog(

1xlim

2

0x

2

0x2

0x

5.5. LIMITE DA COMPOSTA

Sejam IRIR:f1 contnua e IRIR:f2 funes reais e IRp

)x(flimf))x(ff(lim)x(flim 2

px121

px2

px

EXEMPLO 5.5.

16)2x5x(lim 42

0x

.

Como as funes polinomiais, seno so contnuas o limite de cada uma das funes acima existe, alm disso, como

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2)2x5x(lim 2

0x

Temos

162)2x5x(lim 442

0x

6. LIMITES NO INFINITO

Primeiramente vamos entender o conceito de infinito, quando dizemos que x tende a mais infinito, estamos dizendo x assume

valores arbitrariamente grandes, ou seja, pode ser maior que qualquer nmero real.

Analogamente, quando dizemos que x tende a menos infinito, estamos dizendo x assume valores arbitrariamente pequenos,

ou seja, pode ser menor que qualquer nmero real, dito isso podemos definir de forma rigorosa os limites de uma funo quando x

tende a mais ou menos infinito.

Seja a funo

IRIR:f

Dizemos que o limite de f quando x tende a mais infinito existe e vale L , IRL , se e somente se,

L)x(fMx:IRM,0

O que equivale a escrever

L)x(flimx

.

Alm disso, dizemos que o limite de f quando x tende a menos infinito existe e vale L , IRL , se e somente se,

L)x(fMx:IRM,0

O que equivale a

L)x(flimx

EXEMPLO 6.1.

x

1)x(fx

IRIR:f *

Do grfico podemos afirmar que

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0)x(flimx

e

0)x(flimx

Repare que quanto maior o valor de x , mais prximo o grfico fica do eixo das abscissas e da mesma forma quanto menor o

valor de x , mais prximo o grfico fica do eixo das abscissas, no primeiro caso a funo se aproxima por valores superiores e no

segundo caso a funo se aproxima por valores inferiores, o que nos permite ser mais exato nos limites acima, ou seja, podemos

dizer que

0)x(flim

x

e

0)x(flim

x

7. LIMITES INFINITOS

Quando dizemos que uma funo tende para mais infinito ou menos infinito, na realidade queremos dizer que a funo

assume valores arbitrariamente grandes ou pequenos, ou seja, a funo no se aproxima de nenhum nmero real, de forma

rigorosa isto pode ser dito da seguinte maneira.

Seja a funo

IRIR:f

Dizemos que o limite de f quando x tende a p, IRp , tende a mais infinito,se e somente se,

N)x(fpx0:0,IRN

O que equivale a escrever

)x(flimpx

.

Alm disso, dizemos que o limite de f quando x tende a p, IRp ,tende a menos infinito,se e somente se,

N)x(fpx0:0,IRN

O que equivale a

)x(flimpx

.

EXEMPLO 7.1.

x

1)x(fx

IRIR:f *

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Do grfico podemos afirmar que

)x(flim0x

e

)x(flim0x

Alm disso, podemos escrever que o limite de f quando x tende a mais infinito, tende a mais infinito, se e somente se,

N)x(fMx:IRM,IRN

O que equivale a

)x(flimx

.

E de forma anloga definimos as outras possveis combinaes.

)x(flimx

,

)x(flimx

,

)x(flimx

.

EXEMPLO 7.2.

2x)x(fx

IRIR:f

Do grfico podemos afirmar que

)x(flimx

e

)x(flimx

8. INDETERMINAES

Sejam IRIR:f1 , IRIR:f2 funes reais e IRp , tais que

0)x(flim 1px

e

0)x(flim 2px

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Ento o limite

)x(f

)x(flim

2

1

pxno pode ser tratado pelos resultados at ento estudados, dizemos que um limite deste tipo uma

indeterminao, talvez pelo fato de limites deste tipo poderem assumir vrios valores, como nos exemplos a seguir:

EXEMPLO 8.1.

6)3x(lim3x

)3x)(3x(lim

3x

9xlim

3x3x

0

0

2

3x

EXEMPLO 8.2.

12)4x2x(lim2x

)4x2x)(2x(lim

2x

8xlim 2

2x

2

2x

0

0

3

2x

Equivalente a 0

0 so as indeterminaes

, 0 , 1e,0 00 , a primeira e a segunda podem ser verificadas pelas

identidades

a

1b

1

b

a e

b

1

aba e a trs ltimas pela identidade

alnbb ea .

Outra indeterminao a diferena de limites infinitos, ou seja, dadas IRIR:f1 , IRIR:f2 funes reais e

IRp , tais que

)x(flim 1px

e

)x(flim 2px

O limite

)x(f)x(flim 21px

uma indeterminao, pois, como anteriormente, limites deste tipo assumem vrios valores, como nos exemplos a seguir:

EXEMPLO 8.3.

0x1x

1lim

)x1x(

)x1x)(x1x(lim)x1x(lim

2x2

22

x

2

x

EXEMPLO 8.4.

1x1x

x2lim

)x1x(

)xx2x)(xx2x(lim)xx2x(lim

2x2

22

x

2

x

IMPORTANTE.:

Nem sempre o artifcio utilizado nos dois primeiros exemplos pode ser utilizado, ele fica limitado a razo de polinmios. A

seguir estudaremos algumas indeterminaes particulares que chamaremos, de limites fundamentais.

Obs.: No Captulo 3 estudaremos o Teorema de LHpital que nos ajudar a resolver todas as indeterminaes.

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8.1. LIMITES FUNDAMENTAIS

LIMITE TRIGONOMTRICO

Seja IRx , em radianos, ento

1x

xsenlim

x

xsenlim

0x

0

0

0x

e

1x

xtglim

x

xtglim

0x

0

0

0x

LIMITE EXPONENCIAL

Seja IRx , ento

ex

11lim

x

11lim

x

x

1

x

x

De maneira equivalente podemos escrever

ex1limx1lim x1

x1

0x

1

0x

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EXERCCIOS

NVEL A

EFOMM

R1. EFOMM 2007 O valor do limite 0x

lim

5

5

x4

x2sen

(A) 1

(B) 3

(C) 4

(D) 6

(E) 8

R2. EFOMM 2006 O valor do limite

1x

1xlim

1x,

(A) 1/4

(B) 1/2

(C) 0

(D) 1/4

(E) 1/2.

3. EFOMM 2006 O valor do limite

4X

2/1X/1lim

22x

,

(A) 1/8

(B) 1/16

(C) 0

(D) 1/16

(E) 1/8.

R4. EFOMM 2005 Determine 1x3x2

1xx5x3

1x

lim

23

23

(A) 1

(B)

(C) e

(D) 4

3

(E) 3

4

ESCOLA NAVAL

R5. EN 1998 O valor de 0x

lim 2

2

xsen

xsen

(A) 1

(B) 0

(C) 1

(D) 2

(E) + .

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6. EN 1992 O valor de 3x2x

2xx

1xlim

25

24

:

(A) 3

2

(B) 5

4

(C) 1

(D) 2

3

(E) 2

R7. EN 1990 x

lim

323 xxx igual a:

(A) 0

(B) 1/3

(C) 1/2

(D) 2/3

(E)

R8. EN 1988 1xx4x|lim 22x

| =

(A) 0

(B) 2

(C) 3

(D) 4

(E) .

R9. EN 1987 20x x

x2cos1lim

vale:

(A) 4

(B) 2

(C) 1

(D) 2

1

(E) 4

1

R10. EN 1986 1xlim

1x

x

2 igual a:

(A) 0

(B) 1

(C) 1

(D)

(E) .

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NVEL B

EFOMM

R1. EFOMM 2013 O valor do 2

lim 1 1x 0

x x x

:

(A) 2.

(B) 1.

(C) 0.

(D) 1.

(E) 2.

R2. EFOMM 2012 O valor do lim x a a

x 0x

(A) 1

a

(B) a (C)1

2 a

(D) 2 a (E) 0

R3. EFOMM 2011 Analise a funo a seguir.

2,53

2,2

4

)(

2

xp

xx

x

xf

Para que a funo acima seja contnua no ponto x = 2, qual dever ser o valor de p?

(A) 1/3 (B) 1 (C) 3

(D) 1 (E) 3

4. EFOMM 2010 seja f uma funo de domnio D(f) = R {a}. Sabe-se que o limite de f(x) , quando x tende a a e L e escreve-

se limx a

f(x) = L, se para todo > 0, existir > 0, tal que, se 0 < x a< ento f(x) L< .

Nessas condies, analise as afirmativas abaixo.

I Seja f(x) =

2x 3x 2se x 1,

x 1

3 se x 1

, logo, lim f (x) 0x 1

I I - Na funo f(x) =

2x 4 se x 1

1 se x 1

3 x se x 1

, tem-se lim f (x) 3x 1

III - Sejam f e g funes quaisquer, pode-se afirmar que

limx a

(f.g)n . (x) = (LM)

n, n N*, se lim

x af(x) = L e lim

x ag(x) = M

Assinale a opo correta.

(A) Apenas a afirmativa I verdadeira.

(B) Apenas as afirmativas II e III so verdadeiras.

(C) Apenas as afirmativas I e II so verdadeiras.

(D) Apenas a afirmativa III verdadeira.

(E) As afirmativas I, II e III so verdadeiras.

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ESCOLA NAVAL

5. EN 1999 O grfico da funo

f(x) =

3xse0

3xse1x23x

|3x4x| 2

:

(A)

(B)

(C)

(D)

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(E)

R6. EN 1998 O valor de a para que a funo

3xsea

3xse3x

3x

)x(f seja contnua m x = 3

(A) 3

(B)3

3

(C)3

1

(D)6

3

(E) 6

1

NVEL C

EFOMM

R1. EFOMM 2008 Analise as afirmativas abaixo:

I-2

1

1a

1a

1alim

II- k2

x exk

xk

0xlim

III- 1

2x

x2tan

2x

lim

Assinale a alternativa correta:

(A) Apenas a afirmativa III falsa.

(B) Apenas a afirmativa II verdadeira.

(C) As afirmativas I e III so verdadeiras.

(D) As afirmativas II e III so falsas.

(E) As afirmativas I e III so verdadeiras.

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ESCOLA NAVAL

2. EN 2013 Os nmeros reais a, b, c, d, f, g, h constituem, nesta ordem, uma progresso aritmtica. Se

y

9det A

lim 2e 1y

y

, onde A a

matriz

2

2

2

1 a a

1 b b

1 d d

e h =

n

n 3

1

4

, ento o valor de (b 2g) vale

(A) 1

3

(B) 21

16

(C) 49

48

(D) 15

16

(E) 31

48

3. EN 2006 Sejam f e g funes reais de varivel real. Se

7xsea

7xse815x

7x

(x)f 2 contnua em 7x e

7

62xng(x) 2 , pode-se afirmar que a)7(g vale:

(A) 0.

(B) 2n .

(C) 1.

(D) 4n .

(E) 2.

R4. EN 2004 O

)x1(3

1

)x1(2

1lim

31x igual a:

(A) 0

(B) 16

1

(C)12

1

(D)2

1

(E) 1

Pgina | 24

CAPTULO 2 - DERIVADA

1. DEFINIO

Seja

IRIR:f

Uma funo contnua e IRp , dizemos que f derivvel em p, se e somente, se existir o limite: h

)p(f)hp(flim

0h

.

Em particular, define-se a derivada de f em p como o valor deste limite, ou seja,

h

)p(f)hp(flim)p('f

0h

.

Sendo a derivada um limite, define-se as derivadas laterais por

h

)p(f)hp(flim)p('f

0h

e

h

)p(f)hp(flim)p('f

0h

.

IMPORTANTE: Se uma funo for derivvel em um ponto ento a funo contnua neste ponto.

De fato,

px

)p(f)x(flim

px

Se e somente, se

))p(f)x(f(limpx

Uma vez que

.)p(f)x(flimEnto

0pxlimpx

)p(f)x(flimpx

px

)p(f)x(flim))p(f)x(f(lim

px

pxpxpxpx

Logo, se uma funo for descontnua em um ponto ento a mesma no derivvel neste ponto.

De uma forma geral, uma funo ser derivvel em um ponto, se e somente se, a funo for contnua neste ponto e as

derivadas laterais existirem e forem iguais.

Dizemos que uma funo derivvel, se e somente se for derivvel em todos os pontos do seu domnio.

2. PROPRIEDADES

Sejam

IRIR:f 1

e

IRIR:f 2

IRp tal que 21 fef so derivveis em p. Ento:

Pgina | 25

2.1. DERIVADA DA SOMA

)p(f)p(f)p(ff '2'

1'

21

2.2. DERIVADA DA MULTIPLICAO

)p(f)p(f)p(f)p(f)p(ff '212'

1'

21

2.3. DERIVADA DA DIVISO

Se 0)p(f2 ento

22

'212

'1

'

2

1

)p(f

)p(f)p(f)p(f)p(f)p(

f

f

3. DERIVADAS DAS PRINCIPAIS FUNES

3.1. FUNO CONSTANTE

.ctec,c)x(fx

IRIR:f

Ento ,0)x(f,IRx ' pois,

0h

cclim

h

)x(f)hx(flim)x(f

0h0h

'

3.2. POLINMIOS

Primeiramente provaremos para as seguintes funes

INn,x)x(fx

IRIR:f

n

ento INn,xn)x(f,IRx 1n' , pois,

h

hxp

n

limh

xhxlim

h

)x(f)hx(flim)x(f

1n

0p

pnp

0h

nn

0h0h

'

.xnx1n

nhx

p

nlim 1n1n

1n

op

1pnp

0h

De uma forma geral, seja o polinmio

n1n

1n

o a...xaxa)x(px

IRIR:p

Pgina | 26

ento .IRx,a...xa1nxan)x(p 1n2n

11n

o'

3.3. FUNO SENO

)x(sen)x(fx

IRIR:f

Ento .IRx,)x(cos)x(f ' De fato,

)x(cos1)x(cos0)x(senh

)h(senlim)xcos(

h

)1)h(cos(lim)x(sen

h

)h(sen)xcos(lim

h

)1)h(cos()x(senlim

h

)h(sen)xcos()1)h(cos()x(senlim

h

)x(sen)hx(senlim

h

)x(f)hx(flim)x(f

0h0h

0h0h

0h

0h0h

'

3.4. FUNO COSSENO

)x(cos)x(fx

IRIR:f

Ento .IRx,)x(sen)x(f '

)x(sen1)x(sen0)xcos(h

)h(senlim)x(sen

h

)1)h(cos(lim)xcos(

h

)h(sen)x(senlim

h

)1)h(cos()xcos(lim

h

)h(sen)x(sen)1)h(cos()xcos(lim

h

)xcos()hxcos(lim

h

)x(f)hx(flim)x(f

0h0h

0h0h

0h

0h

0h

'

3.5. FUNO EXPONENCIAL

xe)x(fx

IRIR:f

Ento .IRx,e)x(f x'

)!Verifique(e)x(ftemos,1h

1elimComo

h

1elime

h

)1e(elim

h

eelim

h

)x(f)hx(flim)x(f

x'h

0h

h

0h

xhx

0h

xhx

0h0h

'

Pgina | 27

3.6. FUNO LOGARITMO

xln)x(fx

IRIR:f *

ento .IRx,x

1)x(f *'

x

1)e(ln

x

h1limln)x(f

entox

h1limecontinuafunoumaaritmologoJ

x

h1lnlim

h

)xln()hxln(lim)x(f

x1h

1

h1

h1

0h

'

0h

0h0h

'

4. REGRA DA CADEIA

Sejam

IRIR:f

e

IRIR:g

funes reais, derivveis, tais que

IRIR:fg

est bem definida e seja derivvel. Ento

IRx,)x(f))x(f(g)x()fg( '''

EXEMPLO 4.1.

Derive )x(sen)x(h 3 .

Sendo )x(sen)x(g e 3x)x(f repare que )x(fg)x(h ento:

)xcos(x3)x3())xcos(()x(f))x(f(g)x()fg()x('h 3223'''

5. NOTAO DE LEIBNIZ

Sejam

IRIR:f

uma funo derivvel. Cada ponto do grfico de f, representado por um par ordenado )y,x( , onde )x(fy . comum

representar a derivada em relao a x por dx

dy.

Pgina | 28

Resumindo: )x(fdx

dy '

Usando a notao de Leibniz a regra da cadeia se resume a

dx

dt

dt

dy

dx

dy

onde )x(fgy e )x(ft .

.

EXEMPLO 5.1.

Seja IRx,)x(seny 3 , determine dx

dy.

Seja 3xt , logo como tcosdt

dy e

2x3dx

dt temos

)xcos(x3)x3)(t(cosdx

dt

dt

dy

dx

dy 322

.

6. DERIVADA IMPLCITA

Seja

IRIR:f

Funo Real, uma equao da forma

0))x(f,x(g

chamada de equao implcita.

EXEMPLO 6.1.

A equao

0xsenx)x(fxe 2)x(f

Onde 0)xe(x:IRx 2)x(f , uma equao implcita, basta considerar

xsenx)x(fxe))x(f,x(g 2)x(f .

Podemos escrever a equao acima ainda da seguinte forma

0xsenx)x(fxe 2)x(f

lembrando apenas que )x(fy .

Ao derivarmos uma equao implcita derivamos normalmente, usando as propriedades de derivadas, lembrando apenas que

a varivel y uma funo de x.

EXEMPLO 6.2.

Determine )x(f ' onde

0xsenx)x(fxe 2)x(f .

Derivando obtemos

Pgina | 29

.)xe(x

xcosxsenx)x(xf2)x(f

xcosxsenx)x(xf2xe)x(f

0xcosxsenx)x(fx)x(fx2)x(fe

2)x(f

'

2)x(f'

'2')x(f

Repare que )x(f ' est bem definida se e somente se 0)xe(x 2)x(f .

Sendo

IRIR:f

uma funo real e derivvel , definindo )x(fu e 'u pela derivada de u em relao a x , obtemos da regra da cadeia que:

0u,alnu

u)ulog(

0u,u

u)uln(

uaaln)a(

ue)e(

uuseccos)ucot(

ugucotuseccos)useccos(

utguusec)usec(

uusec)utg(

uusen)ucos(

uucos)usen(

IRn,uun)u(

''

a

''

'u'u

'u'u

'2'

''

''

'2'

''

''

'1n'n

7. DERIVADA DA FUNO INVERSA

Seja

IRIR:f

uma funo real, bijetora e

IRIR:g

a sua funo inversa, ento

)y(gx)x(fy

Logo

0)x('f,)x('f

1)x()'f(1)x('f)x()'f(1'y)y('gx)y(g 11

EXEMPLO 7.1.

Derive .1x1,xarcseny

Uma vez que xarcseny a funo inversa da funo seno, temos:

xsenyxarcseny

Logo,

22 x1

1

ysen1

1

ycos

1'y1'yycosxseny

Pgina | 30

Ento completando a lista temos:

1uu

'u')usecarc(

u1

'u')uarctg(

u1

'u')uarcsen(

0u,alnu

u)ulog(

0u,u

u)uln(

uaaln)a(

ue)e(

uuseccos)ucot(

ugucotuseccos)useccos(

utguusec)usec(

uusec)utg(

uusen)ucos(

uucos)usen(

IRn,uun)u(

2

2

2

''

a

''

'u'u

'u'u

'2'

''

''

'2'

''

''

'1n'n

Pgina | 31

EXERCCIOS

NVEL A

ESCOLA NAVAL

R1. EN 1998 Seja y = x

3 3x + 5, onde x = g(t), g(2) = 3 e g(2) = 4. A derivada de y no ponto t = 2

(A) 9

(B) 27

(C) 45

(D) 90

(E) 135.

R2. EN 1998 A derivada da funo f(x) = arctg

x

1

(A)1x

x2

2

(B)2x1

1

(C)2x1

1

(D))x1(x

122

(E) x

1.

R3. EN 1997 A derivada de y = 1/2 tg2 x + ln (cos x)

(A) sen2 x tg x

(B)xcos

1xcos2

(C) tg3 x

(D)xcos

xcosxsen3

2

(E) 0.

4. EN 1993 Se f(x) = ln

x1

x1, o valor de f

2

1 :

(A) 0

(B) 1/3

(C) 2/3

(D) 4/3

Pgina | 32

(E) 8/3

R5. EN 1992 Se f (x) = 1x

x2

ento f '(2) vale:

(A) 0,4

(B) 0,12

(C) 0

(D) 0,12

(E) 0,4

Pgina | 33

6. EN 1991 Se f(x) = ln sen2x determine f (/4).

(A) ln 2

(B) 1

(C) /4

(D) 2

(E) 2 2

7. EN 1990 A derivada da funo f(x) = x / ex :

(A) f(x) = 1/ ex

(B) f(x) = xe

x1

(C) f(x) = xe

1x

(D) f`(x) = x2e

x

(E) f`(x) = x + 1/e2x

R8. EN 1989 Se f(x) = tg3(2x), podemos afirmar que f

8

igual a

(A) 0

(B) 72

(C) 144

(D) 96

(E) 24

9. EN 1985 A derivada de ordem n da funo f(x) = x . e

x para x = 1 :

(A) e

(B) ne

(C) 2ne

(D) nen

(E) (n + 1) e.

NVEL B

ESCOLA NAVAL

1. EN 2001 Sejam f e g funes definidas em R e derivveis em x = 0, tais que f(0) = 3, f(0) = 4, g(0) = 1 e g(0) = -1.

Ento

'

gf

g2f

(0) igual a:

(A) 21/6

(B) 7/5

(C) 21/4

(D) 21/2.

Pgina | 34

R2. EN 1999 Supondo que y = f(x) seja uma funo real derivvel e que satisfaz a equao xy2 + y + x = 1, podemos afirmar que:

(A) f (x) = 1)x(xf2

)x(f

(B) f (x) = 1)x(xf2

))x(f(1 2

(C) f (x) = 1)x(xf2

))x(f( 2

(D) f (x) = 1)x(xf2

))x(f(1 2

(E) f (x) = 1)x(xf2

))x(f(1 2

.

NVEL C

ESCOLA NAVAL

R1. EN 2013 Considere f e f ' funes reais de varivel real, derivveis, onde f(1) = f ' (1) = 1. Qual o valor da derivada da

funo h(x) = f (1 sen2x) para x = 0?

(A) 1

(B) 1

2 (C) 0

(D) 1

3 (E) 1

R2. EN 2009 Considere a funo real f, de varivel real, definida por (x) = x + ln x, x > 0. Se g a funo inversa de f, ento

g(1) vale

(A) 1

(B) 0,5

(C) 0,125

(D) 0,25

(E) 0.

3. EN 2006 Sejam f e g duas funes reais e derivveis tais que )x(cossen(x)f e )(xfg(x)2 ,

*Rx . Pode-se afirmar

que )(xg2 igual a:

(A) )x(cossenx22

.

(B) )x(coscosx222

.

(C) )x(cossenx222

.

(D) )x(coscosx2 .

(E) )x(cossenx22

.

Pgina | 35

R4. EN 2004 Seja )x(g uma funo real, derivvel at a 3 ordem para todo x real, tal que 0(0)g'g(0) e 16(0)g" . Se

)x(f uma funo real definida por:

0xse0

0xsex2

)x(g

)x(f ,

ento )(' 0f igual a:

(A) 16.

(B) 12.

(C) 8.

(D) 4.

(E) 0.

R5. EN 2004 A funo real )x(f satisfaz a seguinte equao: 32

x)x(fx)x(f

2

xsen

.

Considere a funo g, definida por x

(x)fkg(x) com 0x e Rk . Sabendo que 1f(2) , podemos afirmar que o valor da

constante real k para que g(2) = f(2) :

(A) 2

1.

(B) 4

3.

(C) 3

4.

(D) 5

8.

(E) 2.

R6. EN 2005 O valor das constantes reais a e b para as quais a funo real

1xse2bxxa

1xsebxa(x)g

3 seja derivvel para

todo x :

(A) 2

1a e 1b .

(B) 1a e 2

1b .

(C) 2

1a e 1b .

(D) 1a e 2

1b .

(E) 2

1a e 1b .

7. EN 1985 Se f (x) = cos

2 (e

x+1), f (0) = 3, g (x)= f (x 1) e g

-1 a inversa de g, o valor de

(g-1

)1 (3) :

(A) cos2e

(B) sec2e

(C) tg e

(D) e3

(E) 1.

Pgina | 36

CAPTULO 3 APLICAES DE DERIVADA

3.1. RETA TANGENTE

A reta tangente ao grfico de uma funo derivvel em um ponto definida pela reta que contem este ponto e cujo coeficiente

angular a derivada da funo neste ponto. A reta tangente ao grfico de uma funo em um ponto existe somente quando a

funo for derivvel neste ponto.

Assim, sendo f derivvel, a equao da reta tangente ao seu grfico no ponto P0 dada por:

)x(f)xx()x(fy:)t( 000'

Alm disso, pode-se definir a reta normal ao grfico de f no ponto P0.

Se 0)x(fm 0'

t ento

)x(f)xx()x(f

1y:)n( 00

0'

Se 0)x(f 0' ento 0xx:)n( .

EXEMPLO 3.1.

Seja

3x)x(fx

IRIR:f

a equao da reta tangente ao grfico de f no ponto de abscissa 1x , obtida por

)1x()1(f)1(fy:)t( '

Como 11)1(f 3 e 313)1(f 2' ento 02x5y:)t()1x(53y .

e a equao da reta normal ao grfico de f determinada por:

)1x()1(f

1)1(fy:)n(

'

j que 05)1(f ' , ento 016xy5:)n( .

Pgina | 37

3.2. MXIMOS MINIMOS E PONTODE INFLEXO

TEOREMA 3.1. Seja IRIR:f derivvel e IRI um intervalo aberto, ento

a) Se Ix,0)x(f ' ento f estritamente crescente em I .

b) Se Ix,0)x(f ' ento f estritamente decrescente em I .

DEFINIO 3.1. Seja IRIR:f .Dizemos que um ponto IRc um ponto de mximo absoluto de f, se e somente se

IRx,)c(f)x(f .

DEFINIO 3.2. Seja IRIR:f .Dizemos que um ponto IRc um ponto de mnimo absoluto de f, se e somente se

IRx,)x(f)c(f .

DEFINIO 3.3. Seja IRIR:f . Dizemos que um ponto IRc um ponto de mximo local de f, se e somente se

)c(f)x(f,c,cx:0 .

DEFINIO 3.4. Seja IRIR:f . Dizemos que um ponto IRc um ponto de mnimo local de f, se e somente se

)x(f)c(f,c,cx:0 .

TEOREMA 3.2. Seja IRIR:f derivvel e IRp tal que 0)p(f '

a) Se

p,px,0)x(fep,px,0)x(f:0 '' Ento p um mximo local.

b) Se

p,px,0)x(fep,px,0)x(f:0 '' Ento p um mnimo local.

EXEMPLO 3.2.

2x)x(fx

IRIR:f

Como x2)x(f ' ento .0x0)x(f '

Note que 0x um mnimo local j que

.0x2)x(f0x

0x2)x(f0x

'

'

EXEMPLO 3.3.

2x)x(fx

IRIR:f

Como x2)x(f ' ento .0x0)x(f '

Note que 0x um mximo local j que

Pgina | 38

.0x2)x(f0x

0x2)x(f0x

'

'

DEFINIO 3.5. Seja IRIR:f derivvel e IpeabertoIRI , ento f tem concavidade para cima em I se e somente se

.px,Ip,x,)px()p(f)p(fy)x(f '

DEFINIO 3.6. Seja IRIR:f derivvel e IpeabertoIRI , ento f tem concavidade para baixo em I se e somente se

.px,Ip,x,)px()p(f)p(fy)x(f '

DEFINIO 3.7. Seja IRIR:f derivvel e IpeabertoIRI , p um ponto de inflexo, se nas vizinhanas laterais de

p, as concavidades forem diferentes.

TEOREMA 3.3. Sejam IRIR:f derivvel de segunda ordem, IRI um intervalo aberto e Ip :

a) Se Ix,0)x(f )2( ento f tem concavidade para cima em I.

b) Se Ix,0)x(f )2( ento f tem concavidade para baixo em I

EXEMPLO 3.4.

2x)x(fx

IRIR:f

Como IRx,02)x(f )2( f tem concavidade para cima em todo seu domnio.

EXEMPLO 3.5.

3x)x(fx

IRIR:f

Note que 0x um ponto de inflexo j que

.econcavidad,0x6)x(f0x

econcavidad,0x6)x(f0x

)2(

)2(

3.3. GRFICOS DE FUNES

O esboo de um grfico pode ser feito atravs de um procedimento, que ser descrito a seguir.

1 PASSO

Domnio da funo.

2 PASSO

Limites laterais nos pontos de fronteira do domnio da funo e nos pontos de descontinuidade.

3 PASSO

Determinar as razes da funo.

4 PASSO

Anlise da primeira derivada.

5 PASSO

Anlise da segunda derivada.

6 PASSO

Determinao das assntotas ao grfico da funo.

Pgina | 39

As assntotas do grfico de uma funo podem ser verticais ou no verticais.

ASSNTOTAS VERTICAIS

0xx uma assntota vertical se

0

0

0

0

xx

xx

xx

xx

)x(flim

ou

)x(flim

ou

)x(flim

ou

)x(flim

ASSNTOTAS NO VERTICAIS

hmxy uma assntota no vertical se existirem os limites,

x

)x(flimm

x

E

)mx)x(f(limhx

EXEMPLO 3.6.

Seja

x

1x)x(fx

IR0\IR:f

2

1 PASSO

0\IRDf

2 PASSO

)x

1x(lim)x(flim

)x

1x(lim)x(flim

2

0x0x

2

0x0x

3 PASSO

Razes da funo

.IRx,1x

1x

x

1x

0x

1x0)x(f

3

2

2

Pgina | 40

2 PASSO

O nico ponto de descontinuidade da funo 0x e os limites laterais j foram calculados.

4 PASSO

2

'

x

1x2)x(f

Ento

32

'

32

'

2

1,00,x0

x

1x2)x(f

,2

1x0

x

1x2)x(f

Logo a funo crescente em

,

2

1

3

E decrescente em

3 2

1,00, e

3 2

1x ponto de mnimo local.

5 PASSO

3

)2(

x

22)x(f

Ento

0,1x0x

22)x(f

,01,x0x

22)x(f

3

)2(

3

)2(

Logo a funo tem concavidade voltada para cima em ,01,

e tem concavidade voltada para baixo em 0,1 e 1x ponto de inflexo.

6 PASSO

0x uma assntota vertical j que

)x(flim

e

)x(flim

0x

0x

O grfico no possui assntotas no verticais.

Pgina | 41

3.4. TEOREMA DE LHPITAL

Sejam IRIR:f e IRIR:g funes derivveis tais que IRx,0)x('g e

)x(glim

)x(flim

ou

0)x(glim

0)x(flim

px

px

px

px

Ento )x('g

)x('flim

)x(g

)x(flim

pxpx .

EXEMPLO 3.7.

Uma vez que

10cosxcoslim1

xcoslim

x

senxlim

0xlim

0senxlim

0x0x0x0x

0x

Pgina | 42

EXERCCIOS

NVEL A

ESCOLA NAVAL

R1. EN 2013 Considere a funo real de varivel real definida por f(x) = 3x4 4x

3 + 5. verdade afirmar que

(A) f tem um ponto de mnimo em ], 0[.

(B) f tem um ponto de inflexo em 1 1

,2 2

(C) f tem um ponto de mximo em [0, +[

(D) f crescente em [0, 1]

(E) f decrescente em [, 2].

R2. EFOMM 2012 O valor do lim x a a

x 0x

(A)1

a

(B) a (C)1

2 a

(D) 2 a (E) 0

R3. EFOMM 2011 Analise a funo a seguir.

2,53

2,2

4

)(

2

xp

xx

x

xf

Para que a funo acima seja contnua no ponto x = 2, qual dever ser o valor de p?

(A) 1/3

(B) 1

(C) 3

(D) 1

(E) 3

R4. EFOMM 2006 O valor do limite

1x

1xlim

1x,

(A) 1/4

(B) 1/2

(C) 0

(D) 1/4

(E) 1/2.

5. EFOMM 2006 O valor do limite

4X

2/1X/1lim

22x

,

(A) 1/8

(B) 1/16

(C) 0

(D) 1/16

(E) 1/8.

Pgina | 43

R6. EN 1999 A reta S passa pelo ponto (3, 0) e normal ao grfico de f(x) = x2 no ponto P(x, y). As coordenadas x e y de P, so,

respectivamente:

(A) 2 e 4

(B) 4

1e

2

1

(C) 1 e 1

(D) 9

1e

3

1

(E) 4

25e

2

5.

R7. EN 1998 A funo f(x) = x e1/x

decrescente no intervalo

(A) ] 1, [

(B) ] , 1[

(C) ] , 0[

(D) ] 0, + [

(E) ] 0, 1[.

8. EN 1998 Podemos observar que o grfico de y = 1x

1x2

2

(A) cresce em ] [1,0]]1,

(B) tem (0, 1) como ponto de inflexo

(C) tem assntota horizontal em y = 1 e assntota vertical em x = 1 e x = 1

(D) tem cavidade voltada para cima qualquer x ] 1, 1[

(E) est definido para x R.

R9. EN 1998 O valor de a para que a funo f(x)=

3xsea

3xse3x

3x

seja contnua m x = 3

(A) 3

(B)3

3

(C)3

1

(D)6

3

(E) 6

1

R10. EN 1994 A menor distncia entre um ponto da parbola 2x1y e a origem igual a:

(A) 1

(B)4

7

(C)4

1

(D)2

3

(E)4

3.

Pgina | 44

11. EN 1993 A rea do tringulo formado pelos eixos coordenados e pela tangente curva y = 4x2 no ponto (1,4) vale:

(A) 8

(B) 4

(C) 2

(D) 1

(E) 2

1

12. EN 1992 O valor de 3x2x

2xx

1xlim

25

24

:

(A) 3

2

(B) 5

4

(C) 1

(D) 2

3

(E) 2

R13. EN 1988 No intervalo , o menor valor e o maior valor da funo f(x) = x4 3x2 + 1 so, respectivamente: (A) 1,25 e 5

(B) 1,25 e 1

(C) 1 e 1

(D) 1 e 5

(E) 1 e 5.

R14. EN 1987 Para x > 0, o valor mnimo de xx obtido para x igual a:

(A) 10

1

(B) 3

1

(C) e

1

(D) 2

1

(E) 1.

NVEL B

ESCOLA NAVAL

R1. EN 2013. Um ponto P(x, y) move-se ao longo da curva plana de equao x

2 + 4y

2 = 1, com y > 0. Se a abscissa x est

variando a uma velocidade dx

dt= sen4t, pode-se afirmar que a acelerao da ordenada y tem por expresso

(A) 2 2 3

3

(1 x) sen 4t 4x cos4t

8y

(B) 2 2

3

x sen4t 4xcos 4t

16y

(C) 2 2

3

sen 4t 16xy cos4t

16y

(D) 2 2

3

x sen4t 4xcos 4t

8y

(E) 2 2

3

sen 4t 16xy cos4t

16y

Pgina | 45

R2. EN 2012. A taxa de depreciao dVdt

de determinada mquina inversamente proporcional ao quadrado de t+1, onde V o

valor, em reais, da mquina t anos depois de ter sido comprada. Se a mquina foi comprada por R$ 500.000,00 e seu valor

decresceu R$100.000,00 no primeiro ano, qual o valor estimado da maquina daqui aps 4 anos?

(A) R$ 350.000,00

(B) R$ 340.000,00

(C) R$ 260.000,00

(D) R$ 250.000,00

(E) R$ 14.000,00

3. EN 2012 Ao meio dia, o navio NE-Brasil encontra-se a 100km a leste do navio Aerdromo So Paulo. O NE-Brasil navega

para oeste com a velocidade de 12 km/h e o So Paulo para o sul a 10 km/h. Em que instante, aproximadamente, os navios estaro

mais prximos um do outro?

(A) 5,3 h

(B) 5,1 h

(C) 4,9 h

(D) 4,4 h

(E) 4,1 h

4. EN 2002 De um ponto P do cais, Joo observa um barco AB ancorado. Para um sistema de eixos ortogonais os pontos A e B

tm coordenadas respectivamente iguais a (0,20) e (0,40), enquanto P encontra-se no semi-eixo positivo das abscissas. Se o ngulo

A P B de observao mximo, ento a abscissa de P igual a:

(A) 20 2

(B) 20 3

(C) 20

(D) 15

(E) 10.

5. EN 2000 A reta tangente curva de equao 25

x 2 +

9

y 2 = 1 no ponto P

5

12,3 dada por

(A) 20 y + 9 x = 75

(B) 5 y 5 x = 3

(C) 5 y + 15 x = 51

(D) 20 y 9 x = 45

(E) y 5 x = 75.

6. EN 1999 Na confeco da raia de tiro para navios da Marinha, verificou-se que o alvo ideal seria um retngulo. As dimenses

de um retngulo de rea mxima com base no eixo x e vrtices superiores sobre a parbola y = 12 x2 pertencem ao intervalo:

(A) [2, 5]

(B) [0, 3]

(C) ]3, 7]

(D) [4, 9[

(E) [0, 6[.

R7. EN 1998 A relao entre os coeficientes b e c para que a equao x3 + bx + c = 0 possua duas razes iguais

(A) 4 b3 + 27 c

2 = 0

(B) b3 + c

2 = 0

(C) 2b3 + 3c

2 = 0

(D) b3 + c

2 = 0

(E) 3b = c.

Pgina | 46

8. EN 1998 Considere um cone circular reto de raio da base 5 cm e altura 12 cm. As dimenses do raio e da altura do cilindro

circular reto, de maior volume, que pode ser inscrito neste cone, so respectivamente

(A)3

10 e 4

(B) 4 e 10

(C) 3 e 3

14

(D)4

23e

5

9

(E) 2

5 e 5.

R9. EN 1998 O valor de 0x

lim 2

2

xsen

xsen

(A) 1

(B) 0

(C) 1

(D) 2

(E) + .

10. EN 1997 Dois trens se deslocam sobre trilhos paralelos, separados por 1/4 km. A velocidade do primeiro 40 km/h e a do

segundo 60 km/h, no mesmo sentido que o primeiro. O passageiro A do trem mais lento observa o passageiro B do trem mais

rpido. A velocidade com que muda a distncia entre eles quando A est a 1/8 km frente de B , em km/h.

(A)5

20

(B) 5

(C) 0

(D) 5

(E) 5

20

11. EN 1991 As tangentes curva de equao y = x2 que passam pelo ponto P (2 , 0) formam ngulo . Determine tg.

(A) 1

(B) 2

(C) 4

(D) 6

(E) 8

12. EN 1987 A equao da reta que tangente curva y = 1x

3x2

e que contm o ponto (3, 2) :

(A) y = 5x + 17

(B) y = 4x + 14

(C) y = 3x + 11

(D) y = 2x + 8

(E) y = x + 5.

13. EN 1987 O volume do cone de revoluo de volume mximo que pode ser inscrito em uma esfera de raio R :

(A) 81

R16 3

(B) 3

R3

(C) 81

R32 3

(D) 27

R16 3

(E) 27

R32 3.

Pgina | 47

14. EN 1986 Os valores mnimo e mximo de f(x) = 2xxe no intervalo 1,0 so respectivamente:

(A) 0 e e

1

(B) 0 e e2

1

(C) e2

1e

e

1

(D) 0 e 4e2

1

(E) 0 e e.

R15. EN 1986 O valor de a para o qual as curvas de equaes y = a x2 e xy = 16 so tangentes :

(A) 12

(B) 4

(C) 4

(D) 2

(E) 1.

NVEL C

EFOMM

R1. EFOMM 2013. O grfico de f(x) = (x 3)

2 . e

x, x IR tem uma assntota horizontal r. Se o grfico de f intercepta r no ponto

P = (a,b) , ento a2 + b.

2sen ae 4a igual a:

(A) 3.

(B) 2 .

(C) 3 .

(D) 2 .

(E) 1

2

ESCOLA NAVAL R2. EN 2012 Calculando se

sen x

x 0

(cot g x)lim

, obtm-se

(A)

(B) 0

(C) e

(D)1

(E) 1

R3. EN 2012 Em que ponto da curva y2 = 2x

3 a reta tangente perpendicular reta de equao 4x 3y + 2 = 0?

(A) 1 1,8 16

(B) 1 2,4 16

(C) (1, 2)

(D) (2, 4)

(E) 1 1

,2 2

Pgina | 48

R4. EN 2010 Sejam f e g funes reais de varivel real definidas por f(x) = 2 arcsen (x2 + 2x) com x

18 18

e g(x) =

f(3x). Seja L a reta normal ao grfico g1

no ponto (2, g2

(2)), onde g1

representa a funo inversa da funo g. A reta L

contm o ponto

(A) (1, 6)

(B) (4, 1)

(C) (1, 3)

(D) (1, 6)

(E) (2, 1)

5. EN 2010 Sejam:

a) f uma funo real de varivel real definida por

f(x) = arctg

3xx

3

, x > 1 e

b) L a reta tangente ao grfico da funo y = f1

(x) no ponto (0, f1

(0)). Quanto mede, em unidades de rea, a rea do tringulo

formado pela reta L e os eixos coordenados?

(A)3

2 (B) 3

(C) 1

(D) 2

3

(E) 4

3

6. EN 2010 Os grficos das funes reais f e g de varivel real, definidas por f(x) = 4 x2

e g(x) = 5 x

2

interceptam-se nos

pontos A = (a,f(a)) e B = (b,f(b)), a b. Considere os polgonos CAPBD onde C e D so as projees ortogonais de A e B

respectivamente sobre o eixo x e P(x,y), a x b um ponto qualquer do grfico da f. Dentre esses polgonos, seja , aquele que

tem rea mxima. Qual o valor da rea de , em unidades de rea?

(A)530

64

(B)505

64

(C)445

64

(D)125

64

(E)95

64

7. EN 2010 Seja L uma lata de forma cilndrica, sem tampa, de raio da base r e altura h. Se a rea da superfcie de L mede 54

a2 cm

2, qual deve ser o valor de 2 2r h , para que L tenha volume mximo?

(A) a cm

(B) 3a cm

(C) 6a cm

(D) 9a cm

(E) 12a cm

Pgina | 49

R8. EN 2010 Considere o tringulo ABC dado abaixo, onde M1,M2 e M3 so os pontos mdios dos lados AC, BC e AB,

respectivamente e k a razo da rea do tringulo AIB para a rea do tringulo IM1M2 e f(x)=(1

2x

3 + x

2 2x 11) 2 . Se um

cubo se expande de tal modo que num determinado instante sua aresta mede 5dm e aumenta razo de f (k) dm min ento

podemos afirmar que a taxa de variao da rea total da superfcie deste slido, neste instante, vale em 2dm min

(A) 240 2

(B) 330 2

(C) 420 2

(D)940 2

(E) 1740 2

9. EN 2008 O valor mnimo relativo de funo f, de varivel real x, definida por xcos

b

xsen

af(x)

2

2

2

2

, onde *Rb,a , vale:

(A) 2b2a .

(B) 22 ba .

(C) ab2 .

(D) 2ba ,

E)2)ba(2 .

R10. EN 2008 A funo real f, de varivel real, definida por x)x(xnf(x)35 . Podemos afirmar que a equao da reta

normal ao grfico de funo inversa 1f no ponto 3))n(f,3n(1 :

(A) 13n3x3y .

(B) 33nxy3 .

(C) 127nx3y .

(D) 33nxy3 .

(E) 33nx3y .

11. EN 2008 Sejam 1L a reta tangente ao grfico da funo real 3x2xef(x) no ponto P(1,f(1) e L2 a reta tangente ao

grfico da funo (x)fy no ponto 1))(f,1Q( . A abscissa do ponto de interseo de 1L e L2 :

(A) 9

1 .

(B) 3

1 .

(C) 9

1.

(D) 3

1.

(E) 1.

Pgina | 50

12. EN 2007 A reta r tangente curva de equao 1yxyx , no ponto y),(xP , paralela ao eixo das abscissas. Pode-se

afirmar que o ponto P tambm pertence reta de equao:

(A) 0x .

(B) 1y .

(C) 02xy .

(D) 01xy .

(E) 01x3y3 .

13. EN 2007 O cone circular reto, de volume mnimo, circunscrito a um hemisfrio de raio R e apoiado no plano diametral, tem

por volume o nmero real:

(A) 3R

3

.

(B) 3R

3

3 .

(C) 3R .

(D) 3R

3

2 .

(E) 3R

2

3 .

14. EN 2006 Um recipiente cilndrico que deve ter 3m1 de volume vai ser construdo nas oficinas do Arsenal de Marinha, para

atender a um dos navios da MB. Na lateral e na tampa, ser utilizado um material cujo preo R$ 1.000,00 por 2m e, no fundo,

um material cujo preo R$ 2.000,00 por 2m . Que dimenses deve ter o recipiente, para que a MB tenha a menor despesa

possvel?

(A) m3

1

3 e m

3

1

2.

(B) m3

1

3 e m

9

1

3 2

.

(C) m3

1

3 e m

9

1

3 2

.

(D) m3

1

3 e m

93

.

(E) m3

1

3 e m

9

1

3 2

.

15. EN 2006 Seja L a reta tangente ao grfico da funo real, de varivel real,

2x4

3coseY(x)

3

2

x

no ponto

2

2,

2

. Se P e Q so os pontos de interseo de L com os eixos coordenados, a medida da rea do tringulo de vrtices P, Q e 0),(0 :

(A) 2

)1(2 .

(B) 8

)1(2 2.

(C)

2

124

2

.

(D) 4

)1(2 2.

Pgina | 51

(E)

2

222

2

.

R16. EN 2002 Se 0x

lim

(cotx) nx11

= p, ento

(A) 0 p 3

1

(B) 3

1 < p

2

1

(C) 2

1 < p 1

(D) 1 < p 2

(E) 2 < p 3.

17. EN 2001 Qual o valor do 1/1n x

0x x)(cotglim

?

(A) e

(B) 1/e

(C) 0

(D) 1.

18. EN 1999 Um navio levar estocado um lato de leo contendo 100 dm3 de volume e deve ter a forma de um cilindro com

base plana e parte superior hemisfrica, conforme a figura. Desprezando a espessura do material, podemos afirmar que o raio r da

base, para que seja gasto a menor quantidade possvel de material para a confeco do lato :

(A) 603

(B) 152

(C) 504

(D) 3 153

(E) 3 60 .

19. EN 1998 Considere r a reta tangente ao grfico da funo y = f(x) no ponto (1, f(1)). Sejam f(1) = 3 e f(1) = 2. Se r

intercepta o grfico da funo g(x) = x2 3x + 7 nos pontos (x1, y1) e (x2, y2) ento os valores de y1 e y2 so respectivamente

(A) 1 e 2

(B) 2 e 3

(C) 3 e 5

(D) 5 e 7

(E) 7 e 9.

R20. EN 1997 O valor de xsen

xsen)1x(ln

0x

lim

2

(A) (B) 1/2

(C) 0

(D) 1/2

(E) no existe.

Pgina | 52

21. EN 1991 Calcule x1

0x

exlim

(A) 0

(B) 1

(C) e

(D) e

(E)

22. EN 1987 A equao da reta que tangente curva y = 1x

3x2

e que contm o ponto (3, 2) :

(A) y = 5x + 17

(B) y = 4x + 14

(C) y = 3x + 11

(D) y = 2x + 8

(E) y = x + 5.

R23. EN 1985 O valor de a que torna a funo:

f(x) =

0xse,a2

0xse,)x(cos2x/1

contnua em x = 0 :

(A) 2

(B) 2 e 2

(C) 2

e

(D) e2

1

(E) 2e2.

Pgina | 53

CAPTULO 4 - INTEGRAL

1. DEFINIO

Seja IRIR:f ,uma primitiva de f uma funo

IRIR:F

Tal que

.IRx,)x(f)x(F'

A primitiva de uma funo, caso exista, nica a menos de uma constante real,

IRx,c)x(F)x(F:IRc

IRx,)x(F)x(F

21

'2

'1

Para representar a famlia de primitivas de uma funo, introduzimos a seguinte notao

.IRx,)x(f)x(F:IRc,c)x(Fdx)x(f '

Dizemos que uma funo integrvel se e somente a sua primitiva existir.

EXEMPLO 4.1.

.IRc,c2

xdxx

2

pois, .IRx,xc2x

'2

A funo IRIR:F tambm chamada de integral indefinida de f.

As principais propriedades da integral indefinida so:

1. dx))x(fdx)x(fdx))x(f)x(f( 2121

2. .IRc,dx)x(fcdx))x(fc(

As integrais indefinidas das principais funes so:

1. .1neIRc,cx1n

1dxx 1nn

2. .0x,IRc,cxlndxx

1

3. IRc,cxcosdxxsen

4. IRc,cxsendxxcos

5. IRc,cxseclndxxtg

6. IRc,ctgxxseclndxxsec

7. IRc,cxgcotxseccoslndxxseccos

8. IRc,cxsenlndxxcot

Pgina | 54

9. 1,1x,IRc,cxsenarcdxx1

1

2

10. ,IRc,cxtgarcdxx1

12

11.

,11x,IRc,cxsecarcdx1xx

1

2

12. .IRc,cedxexx

13. .IRc,caaln1

dxa xx

14. 0x.IRc,cxxlnxdxxln

15. 0x.IRc,cxxlnxaln

1dxxloga

16. IRc,cxtgdxxsec2

17. IRc,cxgcotdxxseccos2

18. IRc,cxsecdxxtgxsec

19. IRc,cxseccosdxxgcotxseccos

2. INTEGRAL DE RIEMANN

Seja

IRIR:f

Integrvel.

A integral de Riemann ou integral definida de f no intervalo b,a , representada por

b

adx)x(f

Onde a e b so chamados de limite inferior e superior da integral definida.

TEOREMA 2.1 (Teorema Fundamental do Clculo)

Seja

IRIR:f

Integrvel em .ba,IRb,a,b,a Ento

)a(F)b(Fdx)x(fb

a

onde .b,ax,)x(f)x(F '

Sejam ,ba,IRb,a as principais propriedades da integral de Riemann so:

1. b

a2

b

a1

b

a21 dx)x(fdx)x(fdx))x(f)x(f(

2. .IRc,dx)x(fcdx))x(fc(b

a

b

a

3. b,ac,dx)x(fdx)x(fdx)x(fb

c

c

a

b

a

Pgina | 55

IMPORTANTE: Quando a funo f for uma funo integrvel e no negativa, o valor da integral de Riemann coincide com o

valor da rea limitada pelo grfico da funo , pelas retas bx,ax e pelo eixo das abscissas.

EXEMPLO 2.1.

Calcule 2

0

2dxx

Como

IR,cx31

xdx 32 ,

Temos

IR,cx3

1)x(F 3

Logo .3

8cc

3

8c0

3

1c2

3

1)0(F)2(Fdxx 33

2

0

2

Ento a rea limitada pelo grfico da parbola 2xy , pelas retas 2x,0x e pelo eixo das abscissas vale 3

8.

Pgina | 56

EXERCCIOS

NVEL A

EFOMM

R1. EFOMM 2013 O valor da integral senx.cosx dx :

(A) cos x + c .

(B) 1

4 cos 2x + c

(C) 1

2cos x + c

(D) +1

4cos x + c

(E) +1

2cos 2x + c

ESCOLA NAVAL

R2. EN 2013 O valor de /2

2x

0(e cosx)dx

(A) e 3

2 2

(B) / 2e 1

2 2

(C) e 3

2 2

(D) / 2e 3

2 2

(E) / 2e 1

2 2

3. EN 2010 Qual o valor de sen6xcos x dx

(A) 7cos7x 5cos5x

c2 2

(B)7sen7x 5sen5x

c2 2

(C)sen7x sen5x

c14 10

(D)cos7x cos5x

c14 10

(E)7cos7x 5cos5x

c2 2

Pgina | 57

R4. EN 2008 O valor de dxxcos2xsen42 :

(A) C4

x4cos

2

x2cos .

(B) C2

x2senx2cos

2

.

(C) C3

xcos4 3 .

(D) Cx2cos2

3 .

(E) C4

x4cosx2cos .

R5. EN 1998 O valor de 8/

0

2 dx)x2(tg

(A)3

1

(B) 6

1

(C) 2 1

(D)24

328

(E) 8

4 .

6. EN 1997 O valor de

/2

/1 2 x

3sen

x

1dx

(A) /3

(B) 1

(C) 1/3

(D) 1/3

(E) 1.

7. EN 1989 1

2 4

0

2xdx

2 2x x igual a

(A) /8

(B) /4

(C) /8

(D) /4

(E) 0

Pgina | 58

NVEL B

ESCOLA NAVAL

R1. EN 2012 Qual o valor de 2

(cos sec x . sec x)

dx?

(A) 1 (4x sen4x) c32

(B) 5 3

sen x sen xc

5 3

(C) 3 3

sen x. cos xc

9

(D) 1 (4x sen4x) c16

(E) 1 (4x sen4x) c16

R2. EN 2007 Sejam a e b constantes reais positivas, ba . Se x uma varivel real, ento

dxba

)b(a

xx

2xx

:

(A) cx2a

b

b

a)bnan(

x

x

x

x

.

(B) cx2a

b

b

a)anbn(

x

x

x

x

.

(C) cx2a

b

b

a

)bnan(

1

x

x

x

x

.

(D) cx2a

b

b

a

x

x

x

x

.

(E) cx2a

b

b

a

)anbn(

1

x

x

x

x

.

R3. EN 2006 O clculo de

dxe1

e

4x

2x

igual a:

(A) c4

e1n x4

.

(B) cearctg2x2 .

(C) c4

earctg x2 .

(D) ce4

e1n

x2

x4

.

(E) c2

earcctg x2 .

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R4. EN 2004 Seja p uma constante real positiva. A integral dxe 2)px2(n

igual a:

(A) cpx23

2 23

.

(B) cpx2p2

1

.

(C) cpx23

1 23

.

(D) cpx2x3

2 21

.

(E) cpx2x3

1 21

.

5. EN 1999 Sabendo-se que a funo

f(x) =

7xse

7xse

a

815x

7x

2

contnua em x = 7 e que b =

o

2/ cos 2x . sen 4x dx, o valor de

b

a :

(A) 7

7

(B) 72

(C)49

76

(D) 49

74

(E) 77 .

6. EN 1985 O valor de

4/

0 2

22

x2sen1

)xsenx(cosx2sen dx :

(A) 2

2

(B) 2

12

(C) 2

(D) 2

21

(E) 2

21

NVEL C

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ESCOLA NAVAL

R1. EN 2013 Considere a funo f(x) = ln (secx + tgx) + 2 senx, com 0 < x < 2

. O resultado de

2f '(x) 2 2cos2x dx

(A) tgx + 8x + 2sen2x + C

(B) sec x + 6x + C

(C) sec x 2x sen2x + C

(D) tgx + 8x + C

(E) secx + 6x sen2x + C

R2. EN 2010 Seja f(x) = ln(cos x)2, o x