matemática para concursos militares - volume2

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PREFÁCIO

Este volume corresponde ao segundo livro virtual lançado pelo Sistema de Ensino Interativo – SEI.

O livro trata de um curso de cálculo voltado para os vestibulares militares ao longo de quatro capítulos.

Cada um dos quatro capítulos inicia-se com uma breve introdução do assunto, seguido de questões dos

últimos concursos da EFOMM e Escola Naval, sendo um total de 112 exercícios.

Há ainda um último capítulo onde se encontra o gabarito das questões, bem como a solução daquelas que

nos capítulos anteriores possuem sua numeração iniciada com a letra R, totalizando 60 soluções.

Os demais exercícios serão resolvidos em vídeo aulas e postados no site do livro,

http://www.youtube.com/user/sistemasei, regularmente.

Com isto o autor espera estender a sala de aula do SEI à residência dos que usarem este livro,

principalmente daqueles que não podem frequentar um curso preparatório, contribuindo para sua preparação

e aprovação.

O autor espera que o uso deste livro ocorra de forma interativa, ou seja, será um prazer receber comentários,

correções e pedidos, este contato pode ser feito diretamente com o autor pelo email

[email protected].

BOM TRABALHO!

http://www.youtube.com/user/sistemasei

mailto:[email protected]

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SOBRE O AUTOR

Natural do Rio de Janeiro, Luciano, quando aluno foi medalhista de prata na Olimpíada de

Matemática do Estado do Rio de Janeiro - OMERJ (1993) e na Olimpíada Brasileira de Matemática - OBM

(1994), além disso, foi aprovado nos concursos da Escola Naval, IME e ITA e acabou optando pelo último.

Após algum tempo, resolveu seguir seu sonho e trocou a engenharia pela matemática, retornando ao

Rio de Janeiro, fez vestibular para a UFRJ, onde concluiu a Graduação em Matemática.

Paralelamente à graduação foi professor nos principais cursos preparatórios do Rio de Janeiro, tendo

contribuído na aprovação de centenas de alunos nos concursos da EFOMM, AFA, Escola Naval, IME e ITA.

Dois anos após ter terminado a Graduação em Matemática iniciou o Mestrado em Geometria

Diferencial e em seguida o Doutorado em Sistemas Dinâmicos, tendo participado de congressos nacionais e

internacionais.

Fundador do Sistema de Ensino Interativo – SEI, Luciano é um dos autores dos artigos de

matemática do SEI Ensina.

Atualmente Luciano é professor adjunto da UFRJ.

Luciano Nunes

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MATEMÁTICA PARA CONCURSOS MILITARES - VOLUME 2

ÍNDICE

1. LIMITE E CONTINUIDADE...............................................................

2. DERIVADA...........................................................................................

3. APLICAÇÕES DE DERIVADA ..........................................................

4. INTEGRAL............................................................................................

5. GABARITO E SOLUÇÕES..................................................................

05

24

35

53

63

Página | 5

CAPÍTULO 1 – LIMITE E CONTINUIDADE

1. LIMITE LATERAL

Seja a função

IRIR:f

e IRp , dizemos que o limite de f quando x tende a p pela direita, ou por valores maiores ou superiores que p,existe e vale L ,

IRL , se e somente se,

L)x(fpx0:0,0 .

O que equivale a escrever

L)x(flimpx

,

Analogamente dizemos que o limite de f quando x tende a p pela esquerda, ou por valores menores ou inferiores que p, é

IRL , se e somente se,

L)x(f0px:0,0


L)x(flimpx

EXEMPLO 1.1:

Seja

1x,x

1x,2x)x(fx

IRIR:f

Podemos afirmar intuitivamente que

32xlim)x(flim1x1x

.

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Já que, a partir do cálculo de alguns valores obtemos:

x f(x) = x+2

1,1 3,1

1,05 3,05

1,03 3,03

1,01 3,01

1,005 3,005

Analogamente podemos afirmar intuitivamente que

1xlim)x(flim1x1x

.


x f(x) = - x

0,9 - 0,9

0,95 -0,95

0,97 -0,97

0,99 -0,99

0,995 -0,995

EXEMPLO 1.2:

Seja

0x,1x2

0x,0

0x,1x

)x(fx

IRIR:f


11x2lim)x(flim0x0x

.

Página | 7


x f (x) = 2x+1

0,1 1,2

0,05 1,1

0,03 1,06

0,01 1,02

0,005 1,01


1)1x(lim)x(flim0x0x

.


x f(x) = x -1

- 0,1 - 1,1

-0,05 - 1,05

-0,03 -1,03

-0,01 -1,01

-0,001 -1,001

EXEMPLO 1.3:

Seja

0x,1x2

0x,0

0x,1x

)x(fx

IRIR:f


1)1x2(lim)x(flim0x0x

.


x f(x) = 2x+1

0,1 1,2

0,05 1,1

0,03 1,06

0,01 1,02

0,005 1,01

Página | 8


1)1x(lim)x(flim0x0x

.


x f(x) = x+1

- 0,1 0,9

-0,05 0,95

-0,03 0,97

-0,01 0,99

-0,001 0,999

EXEMPLO 1.4:

x2)x(fx

IRIR:f


2x2lim)x(flim1x1x

.


x f(x) = 2x

1,1 2,2

1,05 2,1

1,03 2,06

1,01 2,02

1,005 2,01


2x2lim)x(flim1x1x

.


x f(x) = 2x

0,9 1,8

0,95 1,9

0,97 1,94

0,99 1,98

0,995 1,99

Página | 9

2. LIMITE

Seja a função IRIR:f

e IRp , dizemos que o limite de f quando x tende a p existe e vale L , IRL , se e somente se,

L)x(fpx0:0,0 .


L)x(flimpx

.

Das definições de limites laterais temos que o limite de uma função em um ponto IRp,p , existe e tem valor IRL,L , se e

somente se, os limites laterais de p existem e ambos valem L , ou seja,

L)x(flim

L)x(flim

L)x(flim

px

px

px

EXEMPLO 2.1:

1x,x

1x,2x)x(fx

IRIR:f

)x(flim31)x(flimquevezuma,)x(flimexisteNão1x1x1x

EXEMPLO 2.2:

0x,1x2

0x,0

0x,1x

)x(fx

IRIR:f

)x(flim11)x(flimquevezuma),x(flimexisteNão0x0x0x

EXEMPLO 2.3:

Seja

0x,1x2

0x,0

0x,1x

)x(fx

IRIR:f

1)x(flimtemos1)x(flim)x(flimquevezUma0x0x0x

EXEMPLO 2.4:

x2)x(fx

IRIR:f

2)x(flimtemos2)x(flim)x(flimquevezUma1x1x1x

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3. CONTINUIDADE

Seja a função

IRIR:f

IRp , dizemos que f é contínua em p, se e somente se, existir )x(flimpx

e, além disso,

)p(f)x(flimpx

.

A função

IRIR:f

É contínua, se e somente se, for contínua para todo ponto do seu domínio

EXEMPLO 3.1:

1x,x

1x,2x)x(fx

IRIR:f

Não é contínua em 1, já que não existe )x(flim1x

, pois )x(flim31)x(flim1x1x

e já que 1 nem pertence ao seu domínio.

EXEMPLO 3.2:

0x,1x2

0x,0

0x,1x

)x(fx

IRIR:f

Não é contínua em 0, pois não existe )x(flim0x

, já que )x(flim11)x(flim0x0x

EXEMPLO 3.3:

0x,1x2

0x,0

0x,1x

)x(fx

IRIR:f

Não é contínua em 0, pois como

.1)x(flim)x(flimquejá1)x(flim0x0x0x

Temos )x(flim10)0(f0x

EXEMPLO 3.4:

x2)x(fx

IRIR:f

É contínua em 1, já que .2)1(fe2)x(flim1x

IMPORTANTE:

Na prática, podemos perceber que uma função é contínua se o seu gráfico não possui saltos para valores do seu domínio, os pontos

do domínio da função caracterizados por estes saltos são os ponto de descontinuidade da função, no exemplo 1.4 o gráfico da

função não possui saltos, logo a função é contínua em todo o seu domínio, já nos exemplos 1.1 , 1.2 e 1.3 , x = 1, x = 0 e x = 0

são, respectivamente, os únicos pontos de descontinuidade.

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4. PRINCIPAIS FUNÇÕES CONTÍNUAS

Todo polinômio real é uma função contínua.

EXEMPLO 4.1: 171222)1x2x(lim 2323

2x

Além disso, são contínuas

senx)x(fx

IRIR:f

xcos)x(fx

IRIR:f

1a,IRa,a)x(fx

IRIR:f

*x

1a,IRa,xlog)x(fx

IRIR:f

*a

*

5. PROPRIEDADES

Sejam

IRIR:f1

IRIR:f2

funções reais e IRp , tais que

11px

L)x(flim

e

22px

L)x(flim

Com IRLeL 21 , então,

5.1. LIMITE DA SOMA

2121px

LL))x(f)x(f(lim

Se 21 fef são contúnuas então

)p(f)p(f))x(f)x(f(lim 2121px

EXEMPLO 5.1

5)xlog)x(cosx(lim 22

2x

.

Página | 12

Como as funções polinomiais, cosseno e logaritmo são contínuas o limite de cada uma das funções acima existe, então:

.51042log)2(cos2

)xlog(lim))x(cos(lim)x(lim)xlog)x(cosx(lim

22

22x2x

2

2x2

2

2x

5.2. LIMITE DA MULTIPLICAÇÃO

2121px

LL))x(f)x(f(lim

Se 21 fef são contúnuas então

)p(f)p(f))x(f)x(f(lim 2121px

EXEMPLO 5.2.

Justifique 0))x(senx(lim 2

4x

.

Como as funções polinomiais, seno são contínuas o limite de cada uma das funções acima existe, então:

0)4(sen4))x(sen(lim)x(lim))x(senx(lim 2

4x

2

4x

2

4x

5.3. LIMITE DA DIVISÃO

2

1

2

1

px2

L

L

)x(f

)x(flim0L

Se 21 fef são contúnuas

)p(f

)p(f

)x(f

)x(flim0)p(f

2

1

2

1

px2

EXEMPLO 5.3.

1xcos)1xlog(

1xlim

2

0x

.

Como as funções polinomiais , cosseno e logaritmo são contínuas o limite de cada uma das funções acima existe, além disso,

como

0110)0(cos)10log()x(coslim))1x(log(lim)xcos)1xlog((lim0x0x0x

Teremos

11

1

)0(cos)10log(

10

)xcos)1x(log(lim

)1x(lim

xcos)1xlog(

1xlim

2

0x

2

0x2

0x

5.5. LIMITE DA COMPOSTA

Sejam IRIR:f1 contínua e IRIR:f2 funções reais e IRp

)x(flimf))x(ff(lim)x(flim 2

px121

px2

px

EXEMPLO 5.5.

16)2x5x(lim 42

0x

.

Como as funções polinomiais, seno são contínuas o limite de cada uma das funções acima existe, além disso, como

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2)2x5x(lim 2

0x

Temos

162)2x5x(lim 442

0x

6. LIMITES NO INFINITO

Primeiramente vamos entender o conceito de infinito, quando dizemos que x tende a mais infinito, estamos dizendo x assume

valores arbitrariamente grandes, ou seja, pode ser maior que qualquer número real.

Analogamente, quando dizemos que x tende a menos infinito, estamos dizendo x assume valores arbitrariamente pequenos,

ou seja, pode ser menor que qualquer número real, dito isso podemos definir de forma rigorosa os limites de uma função quando x

tende a mais ou menos infinito.

Seja a função

IRIR:f

Dizemos que o limite de f quando x tende a mais infinito existe e vale L , IRL , se e somente se,

L)x(fMx:IRM,0


L)x(flimx

.

Além disso, dizemos que o limite de f quando x tende a menos infinito existe e vale L , IRL , se e somente se,

L)x(fMx:IRM,0

O que equivale a

L)x(flimx

EXEMPLO 6.1.

x

1)x(fx

IRIR:f *

Do gráfico podemos afirmar que

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0)x(flimx

e

0)x(flimx

Repare que quanto maior o valor de x , mais próximo o gráfico fica do eixo das abscissas e da mesma forma quanto menor o

valor de x , mais próximo o gráfico fica do eixo das abscissas, no primeiro caso a função se aproxima por valores superiores e no

segundo caso a função se aproxima por valores inferiores, o que nos permite ser mais exato nos limites acima, ou seja, podemos

dizer que

0)x(flim

x

e

0)x(flim

x

7. LIMITES INFINITOS

Quando dizemos que uma função tende para mais infinito ou menos infinito, na realidade queremos dizer que a função

assume valores arbitrariamente grandes ou pequenos, ou seja, a função não se aproxima de nenhum número real, de forma

rigorosa isto pode ser dito da seguinte maneira.

Seja a função

IRIR:f

Dizemos que o limite de f quando x tende a p, IRp , tende a mais infinito,se e somente se,

N)x(fpx0:0,IRN


)x(flimpx

.

Além disso, dizemos que o limite de f quando x tende a p, IRp ,tende a menos infinito,se e somente se,

N)x(fpx0:0,IRN

O que equivale a

)x(flimpx

.

EXEMPLO 7.1.

x

1)x(fx

IRIR:f *

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)x(flim0x

e

)x(flim0x

Além disso, podemos escrever que o limite de f quando x tende a mais infinito, tende a mais infinito, se e somente se,

N)x(fMx:IRM,IRN

O que equivale a

)x(flimx

.

E de forma análoga definimos as outras possíveis combinações.

)x(flimx

,

)x(flimx

,

)x(flimx

.

EXEMPLO 7.2.

2x)x(fx

IRIR:f


)x(flimx

e

)x(flimx

8. INDETERMINAÇÕES

Sejam IRIR:f1 , IRIR:f2 funções reais e IRp , tais que

0)x(flim 1px

e

0)x(flim 2px

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Então o limite

)x(f

)x(flim

2

1

pxnão pode ser tratado pelos resultados até então estudados, dizemos que um limite deste tipo é uma

indeterminação, talvez pelo fato de limites deste tipo poderem assumir vários valores, como nos exemplos a seguir:

EXEMPLO 8.1.

6)3x(lim3x

)3x)(3x(lim

3x

9xlim

3x3x

0

0

2

3x

EXEMPLO 8.2.

12)4x2x(lim2x

)4x2x)(2x(lim

2x

8xlim 2

2x

2

2x

0

0

3

2x

Equivalente a 0

0 são as indeterminações

, 0 , 1e,0 00 , a primeira e a segunda podem ser verificadas pelas

identidades

a

1b

1

b

a e

b

1

aba e a três últimas pela identidade alnbb ea .

Outra indeterminação é a diferença de limites infinitos, ou seja, dadas IRIR:f1 , IRIR:f2 funções reais e

IRp , tais que

)x(flim 1px

e

)x(flim 2px

O limite

)x(f)x(flim 21px

é uma indeterminação, pois, como anteriormente, limites deste tipo assumem vários valores, como nos exemplos a seguir:

EXEMPLO 8.3.

0x1x

1lim

)x1x(

)x1x)(x1x(lim)x1x(lim

2x2

22

x

2

x

EXEMPLO 8.4.

1x1x

x2lim

)x1x(

)xx2x)(xx2x(lim)xx2x(lim

2x2

22

x

2

x

IMPORTANTE.:

Nem sempre o artifício utilizado nos dois primeiros exemplos pode ser utilizado, ele fica limitado a razão de ”polinômios”. A

seguir estudaremos algumas indeterminações particulares que chamaremos, de limites fundamentais.

Obs.: No Capítulo 3 estudaremos o Teorema de L’Hôpital que nos ajudará a resolver todas as indeterminações.

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8.1. LIMITES FUNDAMENTAIS

LIMITE TRIGONOMÉTRICO

Seja IRx , em radianos, então

1x

xsenlim

x

xsenlim

0x

0

0

0x

e

1x

xtglim

x

xtglim

0x

0

0

0x

LIMITE EXPONENCIAL

Seja IRx , então

ex

11lim

x

11lim

x

x

1

x

x

De maneira equivalente podemos escrever

ex1limx1lim x1

x1

0x

1

0x

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EXERCÍCIOS

NÍVEL A

EFOMM

R1. EFOMM 2007 O valor do limite 0x

lim

5

5

x4

x2sen é

(A) 1

(B) 3

(C) 4

(D) 6

(E) 8

R2. EFOMM 2006 O valor do limite

1x

1xlim

1x, é

(A) –1/4

(B) –1/2

(C) 0

(D) 1/4

(E) 1/2.

3. EFOMM 2006 O valor do limite

4X

2/1X/1lim

22x

, é

(A) –1/8

(B) –1/16

(C) 0

(D) 1/16

(E) 1/8.

R4. EFOMM 2005 Determine 1x3x2

1xx5x3

1x

lim

23

23

(A) 1

(B)

(C) e

(D) 4

3

(E) 3

4

ESCOLA NAVAL

R5. EN 1998 O valor de 0x

lim 2

2

xsen

xsen é

(A) –1

(B) 0

(C) 1

(D) 2

(E) + .

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6. EN 1992 O valor de 3x2x

2xx

1xlim

25

24

é:

(A) 3

2

(B) 5

4

(C) 1

(D) 2

3

(E) 2

R7. EN 1990 x

lim

323 xxx é igual a:

(A) 0

(B) 1/3

(C) 1/2

(D) 2/3

(E)

R8. EN 1988 1xx4x|lim 22

x

| =

(A) 0

(B) 2

(C) 3

(D) 4

(E) .

R9. EN 1987 20x x

x2cos1lim

vale:

(A) 4

(B) 2

(C) 1

(D) 2

1

(E) 4

1

R10. EN 1986 1xlim

1x

x

2 é igual a:

(A) 0

(B) 1

(C) –1

(D)

(E) –.

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NÍVEL B

EFOMM

R1. EFOMM 2013 O valor do 2

lim 1 1x 0

x x x

é:

(A) – 2.

(B) – 1.

(C) 0.

(D) 1.

(E) 2.

R2. EFOMM 2012 O valor do lim x a a

éx 0x

(A) 1

a

(B) a (C) 1

2 a

(D) 2 a (E) 0

R3. EFOMM 2011 Analise a função a seguir.

2,53

2,2

4

)(

2

xp

xx

x

xf

Para que a função acima seja contínua no ponto x = 2, qual deverá ser o valor de p?

(A) 1/3 (B) 1 (C) 3

(D) –1 (E) –3

4. EFOMM 2010 seja f uma função de domínio D(f) = R – {a}. Sabe-se que o limite de f(x) , quando x tende a a e L e escreve-

se limx a

f(x) = L, se para todo > 0, existir > 0, tal que, se 0 < x – a< então f(x) – L< .

Nessas condições, analise as afirmativas abaixo.

I – Seja f(x) =

2x 3x 2se x 1,

x 1

3 se x 1

, logo, lim f (x) 0x 1

I I - Na função f(x) =

2x 4 se x 1

1 se x 1

3 x se x 1

, tem-se lim f (x) 3x 1

III - Sejam f e g funções quaisquer, pode-se afirmar que

limx a

(f.g)n . (x) = (LM)

n, n N*, se lim

x af(x) = L e lim

x ag(x) = M

Assinale a opção correta.

(A) Apenas a afirmativa I é verdadeira.

(B) Apenas as afirmativas II e III são verdadeiras.

(C) Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras.

(D) Apenas a afirmativa III é verdadeira.

(E) As afirmativas I, II e III são verdadeiras.

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ESCOLA NAVAL

5. EN 1999 O gráfico da função

f(x) =

3xse0

3xse1x23x

|3x4x| 2

é:

(A)

(B)

(C)

(D)

Página | 22

(E)

R6. EN 1998 O valor de “a” para que a função

3xsea

3xse3x

3x

)x(f seja contínua m x = 3 é

(A) 3

(B)3

3

(C)3

1

(D)6

3

(E) 6

1

NÍVEL C

EFOMM

R1. EFOMM 2008 Analise as afirmativas abaixo:

I-2

1

1a

1a

1alim

II- k

2

x exk

xk

0xlim

III- 1

2x

x2tan

2x

lim

Assinale a alternativa correta:

(A) Apenas a afirmativa III é falsa.

(B) Apenas a afirmativa II é verdadeira.

(C) As afirmativas I e III são verdadeiras.

(D) As afirmativas II e III são falsas.

(E) As afirmativas I e III são verdadeiras.

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ESCOLA NAVAL

2. EN 2013 Os números reais a, b, c, d, f, g, h constituem, nesta ordem, uma progressão aritmética. Se

y

9det A

lim 2e 1y

y

, onde A é a

matriz

2

2

2

1 a a

1 b b

1 d d

e h =

n

n 3

1

4

, então o valor de (b – 2g) vale

(A) 1

3

(B) 21

16

(C) 49

48

(D) 15

16

(E) 31

48

3. EN 2006 Sejam f e g funções reais de variável real. Se

7xsea

7xse815x

7x

(x)f 2 é contínua em 7x e

7

62xng(x) 2 , pode-se afirmar que a)7(g vale:

(A) 0.

(B) 2n .

(C) 1.

(D) 4n .

(E) 2.

R4. EN 2004 O

)x1(3

1

)x1(2

1lim

31x é igual a:

(A) 0

(B) 16

1

(C)12

1

(D)2

1

(E) 1

Página | 24

CAPÍTULO 2 - DERIVADA

1. DEFINIÇÃO

Seja

IRIR:f

Uma função contínua e IRp , dizemos que f é derivável em p, se e somente, se existir o limite: h

)p(f)hp(flim

0h

.

Em particular, define-se a derivada de f em p como o valor deste limite, ou seja,

h

)p(f)hp(flim)p('f

0h

.

Sendo a derivada um limite, define-se as derivadas laterais por

h

)p(f)hp(flim)p('f

0h

e

h

)p(f)hp(flim)p('f

0h

.

IMPORTANTE: Se uma função for derivável em um ponto então a função é contínua neste ponto.

De fato,

px

)p(f)x(flim

px

Se e somente, se

))p(f)x(f(limpx

Uma vez que

.)p(f)x(flimEntão

0pxlimpx

)p(f)x(flimpx

px

)p(f)x(flim))p(f)x(f(lim

px

pxpxpxpx

Logo, se uma função for descontínua em um ponto então a mesma não é derivável neste ponto.

De uma forma geral, uma função será derivável em um ponto, se e somente se, a função for contínua neste ponto e as

derivadas laterais existirem e forem iguais.

Dizemos que uma função é derivável, se e somente se for derivável em todos os pontos do seu domínio.

2. PROPRIEDADES

Sejam

IRIR:f 1

e

IRIR:f 2

IRp tal que 21 fef são deriváveis em p. Então:

Página | 25

2.1. DERIVADA DA SOMA

)p(f)p(f)p(ff'

2'

1'

21

2.2. DERIVADA DA MULTIPLICAÇÃO

)p(f)p(f)p(f)p(f)p(ff'

212'

1'

21

2.3. DERIVADA DA DIVISÃO

Se 0)p(f2 então

22

'212

'1

'

2

1

)p(f

)p(f)p(f)p(f)p(f)p(

f

f

3. DERIVADAS DAS PRINCIPAIS FUNÇÕES

3.1. FUNÇÃO CONSTANTE

.ctec,c)x(fx

IRIR:f

Então ,0)x(f,IRx ' pois,

0h

cclim

h

)x(f)hx(flim)x(f

0h0h

'

3.2. POLINÔMIOS

Primeiramente provaremos para as seguintes funções

INn,x)x(fx

IRIR:f

n

então INn,xn)x(f,IRx 1n' , pois,

h

hxp

n

limh

xhxlim

h

)x(f)hx(flim)x(f

1n

0p

pnp

0h

nn

0h0h

'

.xnx1n

nhx

p

nlim 1n1n

1n

op

1pnp

0h

De uma forma geral, seja o polinômio

n1n

1n

o a...xaxa)x(px

IRIR:p

Página | 26

então .IRx,a...xa1nxan)x(p 1n2n

11n

o'

3.3. FUNÇÃO SENO

)x(sen)x(fx

IRIR:f

Então .IRx,)x(cos)x(f ' De fato,

)x(cos1)x(cos0)x(senh

)h(senlim)xcos(

h

)1)h(cos(lim)x(sen

h

)h(sen)xcos(lim

h

)1)h(cos()x(senlim

h

)h(sen)xcos()1)h(cos()x(senlim

h

)x(sen)hx(senlim

h

)x(f)hx(flim)x(f

0h0h

0h0h

0h

0h0h

'

3.4. FUNÇÃO COSSENO

)x(cos)x(fx

IRIR:f

Então .IRx,)x(sen)x(f '

)x(sen1)x(sen0)xcos(h

)h(senlim)x(sen

h

)1)h(cos(lim)xcos(

h

)h(sen)x(senlim

h

)1)h(cos()xcos(lim

h

)h(sen)x(sen)1)h(cos()xcos(lim

h

)xcos()hxcos(lim

h

)x(f)hx(flim)x(f

0h0h

0h0h

0h

0h

0h

'

3.5. FUNÇÃO EXPONENCIAL

xe)x(fx

IRIR:f

Então .IRx,e)x(f x'

)!Verifique(e)x(ftemos,1h

1elimComo

h

1elime

h

)1e(elim

h

eelim

h

)x(f)hx(flim)x(f

x'h

0h

h

0h

xhx

0h

xhx

0h0h

'

Página | 27

3.6. FUNÇÃO LOGARITMO

xln)x(fx

IRIR:f *

então .IRx,x

1)x(f *'

x

1)e(ln

x

h1limln)x(f

entãox

h1limecontinuafunçãoumaéaritmologoJá

x

h1lnlim

h

)xln()hxln(lim)x(f

x1h

1

h1

h1

0h

'

0h

0h0h

'

4. REGRA DA CADEIA

Sejam

IRIR:f

e

IRIR:g

funções reais, deriváveis, tais que

IRIR:fg

está bem definida e seja derivável. Então

IRx,)x(f))x(f(g)x()fg( '''

EXEMPLO 4.1.

Derive )x(sen)x(h 3 .

Sendo )x(sen)x(g e 3x)x(f repare que )x(fg)x(h então:

)xcos(x3)x3())xcos(()x(f))x(f(g)x()fg()x('h 3223'''

5. NOTAÇÃO DE LEIBNIZ

Sejam

IRIR:f

uma função derivável. Cada ponto do gráfico de f, é representado por um par ordenado )y,x( , onde )x(fy . É comum

representar a derivada em relação a x por dx

dy.

Página | 28

Resumindo: )x(fdx

dy '

Usando a notação de Leibniz a regra da cadeia se resume a

dx

dt

dt

dy

dx

dy

onde )x(fgy e )x(ft .

.

EXEMPLO 5.1.

Seja IRx,)x(seny 3 , determine dx

dy.

Seja 3xt , logo como tcosdt

dy e

2x3dx

dt temos

)xcos(x3)x3)(t(cosdx

dt

dt

dy

dx

dy 322

.

6. DERIVADA IMPLÍCITA

Seja

IRIR:f

Função Real, uma equação da forma

0))x(f,x(g

é chamada de equação implícita.

EXEMPLO 6.1.

A equação

0xsenx)x(fxe 2)x(f

Onde 0)xe(x:IRx 2)x(f , é uma equação implícita, basta considerar

xsenx)x(fxe))x(f,x(g 2)x(f .

Podemos escrever a equação acima ainda da seguinte forma

0xsenx)x(fxe 2)x(f

lembrando apenas que )x(fy .

Ao derivarmos uma equação implícita derivamos normalmente, usando as propriedades de derivadas, lembrando apenas que

a variável y é uma função de x.

EXEMPLO 6.2.

Determine )x(f ' onde

0xsenx)x(fxe 2)x(f .

Derivando obtemos

Página | 29

.)xe(x

xcosxsenx)x(xf2)x(f

xcosxsenx)x(xf2xe)x(f

0xcosxsenx)x(fx)x(fx2)x(fe

2)x(f

'

2)x(f'

'2')x(f

Repare que )x(f ' está bem definida se e somente se 0)xe(x 2)x(f .

Sendo

IRIR:f

uma função real e derivável , definindo )x(fu e 'u pela derivada de u em relação a x , obtemos da regra da cadeia que:

0u,alnu

u)ulog(

0u,u

u)uln(

uaaln)a(

ue)e(

uuseccos)ucot(

ugucotuseccos)useccos(

utguusec)usec(

uusec)utg(

uusen)ucos(

uucos)usen(

IRn,uun)u(

''

a

''

'u'u

'u'u

'2'

''

''

'2'

''

''

'1n'n

7. DERIVADA DA FUNÇÃO INVERSA

Seja

IRIR:f

uma função real, bijetora e

IRIR:g

a sua função inversa, então

)y(gx)x(fy

Logo

0)x('f,)x('f

1)x()'f(1)x('f)x()'f(1'y)y('gx)y(g 11

EXEMPLO 7.1.

Derive .1x1,xarcseny

Uma vez que xarcseny é a função inversa da função seno, temos:

xsenyxarcseny

Logo,

22 x1

1

ysen1

1

ycos

1'y1'yycosxseny

Página | 30

Então completando a lista temos:

1uu

'u')usecarc(

u1

'u')uarctg(

u1

'u')uarcsen(

0u,alnu

u)ulog(

0u,u

u)uln(

uaaln)a(

ue)e(

uuseccos)ucot(

ugucotuseccos)useccos(

utguusec)usec(

uusec)utg(

uusen)ucos(

uucos)usen(

IRn,uun)u(

2

2

2

''

a

''

'u'u

'u'u

'2'

''

''

'2'

''

''

'1n'n

Página | 31

EXERCÍCIOS

NÍVEL A

ESCOLA NAVAL

R1. EN 1998 Seja y = x

3 – 3x + 5, onde x = g(t), g’(2) = 3 e g(2) = 4. A derivada de y no ponto t = 2 é

(A) 9

(B) 27

(C) 45

(D) 90

(E) 135.

R2. EN 1998 A derivada da função f(x) = arctg

x

1 é

(A)1x

x2

2

(B)2x1

1

(C)2x1

1

(D))x1(x

122

(E) x

1.

R3. EN 1997 A derivada de y = 1/2 tg2 x + ln (cos x) é

(A) sen2 x – tg x

(B)xcos

1xcos2

(C) tg3 x

(D)xcos

xcosxsen3

2

(E) 0.

4. EN 1993 Se f(x) = ln

x1

x1, o valor de f ’

2

1 é:

(A) 0

(B) 1/3

(C) 2/3

(D) 4/3

Página | 32

(E) 8/3

R5. EN 1992 Se f (x) = 1x

x2

então f '(2) vale:

(A) – 0,4

(B) – 0,12

(C) 0

(D) 0,12

(E) 0,4

Página | 33

6. EN 1991 Se f(x) = ln sen2x determine f ’(π/4).

(A) – ln 2

(B) 1

(C) π/4

(D) 2

(E) 2 2

7. EN 1990 A derivada da função f(x) = x / ex é:

(A) f’(x) = 1/ ex

(B) f’(x) = xe

x1

(C) f’(x) = xe

1x

(D) f`(x) = x2e

x

(E) f`(x) = x + 1/e2x

R8. EN 1989 Se f(x) = tg3(2x), podemos afirmar que f ”

8

π é igual a

(A) 0

(B) 72

(C) 144

(D) 96

(E) 24

9. EN 1985 A derivada de ordem n da função f(x) = x . e

x para x = 1 é:

(A) e

(B) ne

(C) 2ne

(D) nen

(E) (n + 1) e.

NÍVEL B

ESCOLA NAVAL

1. EN 2001 Sejam f e g funções definidas em R e deriváveis em x = 0, tais que f(0) = 3, f’(0) = 4, g(0) = 1 e g’(0) = -1.

Então

'

gf

g2f

(0) é igual a:

(A) 21/6

(B) 7/5

(C) –21/4

(D) –21/2.

Página | 34

R2. EN 1999 Supondo que y = f(x) seja uma função real derivável e que satisfaz a equação xy2 + y + x = 1, podemos afirmar que:

(A) f ’ (x) = 1)x(xf2

)x(f

(B) f ’ (x) = 1)x(xf2

))x(f(1 2

(C) f ’ (x) = 1)x(xf2

))x(f( 2

(D) f ’ (x) = 1)x(xf2

))x(f(1 2

(E) f ’ (x) = 1)x(xf2

))x(f(1 2

.

NÍVEL C

ESCOLA NAVAL

R1. EN 2013 Considere f e f ' funções reais de variável real, deriváveis, onde f(1) = f ' (1) = 1. Qual o valor da derivada da

função h(x) = f (1 sen2x) para x = 0?

(A) –1

(B) –1

2 (C) 0

(D) –1

3 (E) 1

R2. EN 2009 Considere a função real f, de variável real, definida por (x) = x + ln x, x > 0. Se g é a função inversa de f, então

g”(1) vale

(A) 1

(B) 0,5

(C) 0,125

(D) 0,25

(E) 0.

3. EN 2006 Sejam f e g duas funções reais e deriváveis tais que )x(cossen(x)f e )(xfg(x) 2 , *Rx . Pode-se afirmar

que )(xg 2 é igual a:

(A) )x(cossenx2 2.

(B) )x(coscosx2 22.

(C) )x(cossenx2 22.

(D) )x(coscosx2 .

(E) )x(cossenx2 2.

Página | 35

R4. EN 2004 Seja )x(g uma função real, derivável até a 3ª ordem para todo x real, tal que 0(0)g'g(0) e 16(0)g" . Se

)x(f uma função real definida por:

0xse0

0xsex2

)x(g

)x(f ,

então )(' 0f é igual a:

(A) 16.

(B) 12.

(C) 8.

(D) 4.

(E) 0.

R5. EN 2004 A função real )x(f satisfaz a seguinte equação: 32

x)x(fx)x(f

2

xsen

.

Considere a função g, definida por x

(x)fkg(x) com 0x e Rk . Sabendo que 1f(2) , podemos afirmar que o valor da

constante real k para que g’(2) = f’(2) é:

(A) 2

1.

(B) 4

3.

(C) 3

4.

(D) 5

8.

(E) 2.

R6. EN 2005 O valor das constantes reais a e b para as quais a função real

1xse2bxxa

1xsebxa(x)g

3 seja derivável para

todo x é:

(A) 2

1a e 1b .

(B) 1a e 2

1b .

(C) 2

1a e 1b .

(D) 1a e 2

1b .

(E) 2

1a e 1b .

7. EN 1985 Se f ’ (x) = cos

2 (e

x+1), f (0) = 3, g (x)= f (x – 1) e g

-1 é a inversa de g, o valor de

(g-1

)1 (3) é:

(A) cos2e

(B) sec2e

(C) tg e

(D) e3

(E) 1.

Página | 36

CAPÍTULO 3 – APLICAÇÕES DE DERIVADA

3.1. RETA TANGENTE

A reta tangente ao gráfico de uma função derivável em um ponto é definida pela reta que contem este ponto e cujo coeficiente

angular é a derivada da função neste ponto. A reta tangente ao gráfico de uma função em um ponto existe somente quando a

função for derivável neste ponto.

Assim, sendo f derivável, a equação da reta tangente ao seu gráfico no ponto P0 é dada por:

)x(f)xx()x(fy:)t( 000'

Além disso, pode-se definir a reta normal ao gráfico de f no ponto P0.

Se 0)x(fm 0'

t então

)x(f)xx()x(f

1y:)n( 00

0'

Se 0)x(f 0' então 0xx:)n( .

EXEMPLO 3.1.

Seja

3x)x(fx

IRIR:f

a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa 1x , é obtida por

)1x()1(f)1(fy:)t( '

Como 11)1(f 3 e 313)1(f 2' então 02x5y:)t()1x(53y .

e a equação da reta normal ao gráfico de f é determinada por:

)1x()1(f

1)1(fy:)n(

'

já que 05)1(f ' , então 016xy5:)n( .

Página | 37

3.2. MÁXIMOS MÍINIMOS E PONTODE INFLEXÃO

TEOREMA 3.1. Seja IRIR:f derivável e IRI um intervalo aberto, então

a) Se Ix,0)x(f ' então f é estritamente crescente em I .

b) Se Ix,0)x(f ' então f é estritamente decrescente em I .

DEFINIÇÃO 3.1. Seja IRIR:f .Dizemos que um ponto IRc é um ponto de máximo absoluto de f, se e somente se

IRx,)c(f)x(f .

DEFINIÇÃO 3.2. Seja IRIR:f .Dizemos que um ponto IRc é um ponto de mínimo absoluto de f, se e somente se

IRx,)x(f)c(f .

DEFINIÇÃO 3.3. Seja IRIR:f . Dizemos que um ponto IRc é um ponto de máximo local de f, se e somente se

)c(f)x(f,c,cx:0 .

DEFINIÇÃO 3.4. Seja IRIR:f . Dizemos que um ponto IRc é um ponto de mínimo local de f, se e somente se

)x(f)c(f,c,cx:0 .

TEOREMA 3.2. Seja IRIR:f derivável e IRp tal que 0)p(f '

a) Se

p,px,0)x(fep,px,0)x(f:0 ''

Então p é um máximo local.

b) Se

p,px,0)x(fep,px,0)x(f:0 ''

Então p é um mínimo local.

EXEMPLO 3.2.

2x)x(fx

IRIR:f

Como x2)x(f ' então .0x0)x(f '

Note que 0x é um mínimo local já que

.0x2)x(f0x

0x2)x(f0x

'

'

EXEMPLO 3.3.

2x)x(fx

IRIR:f

Como x2)x(f ' então .0x0)x(f '

Note que 0x é um máximo local já que

Página | 38

.0x2)x(f0x

0x2)x(f0x

'

'

DEFINIÇÃO 3.5. Seja IRIR:f derivável e IpeabertoIRI , então f tem concavidade para cima em I se e somente se

.px,Ip,x,)px()p(f)p(fy)x(f '

DEFINIÇÃO 3.6. Seja IRIR:f derivável e IpeabertoIRI , então f tem concavidade para baixo em I se e somente se

.px,Ip,x,)px()p(f)p(fy)x(f '

DEFINIÇÃO 3.7. Seja IRIR:f derivável e IpeabertoIRI , p é um ponto de inflexão, se nas vizinhanças laterais de

p, as concavidades forem diferentes.

TEOREMA 3.3. Sejam IRIR:f derivável de segunda ordem, IRI um intervalo aberto e Ip :

a) Se Ix,0)x(f )2( então f tem concavidade para cima em I.

b) Se Ix,0)x(f )2( então f tem concavidade para baixo em I

EXEMPLO 3.4.

2x)x(fx

IRIR:f

Como IRx,02)x(f )2( f tem concavidade para cima em todo seu domínio.

EXEMPLO 3.5.

3x)x(fx

IRIR:f

Note que 0x é um ponto de inflexão já que

.econcavidad,0x6)x(f0x

econcavidad,0x6)x(f0x

)2(

)2(

3.3. GRÁFICOS DE FUNÇÕES

O esboço de um gráfico pode ser feito através de um procedimento, que será descrito a seguir.

1° PASSO

Domínio da função.

2° PASSO

Limites laterais nos pontos de fronteira do domínio da função e nos pontos de descontinuidade.

3° PASSO

Determinar as raízes da função.

4° PASSO

Análise da primeira derivada.

5° PASSO

Análise da segunda derivada.

6° PASSO

Determinação das assíntotas ao gráfico da função.

Página | 39

As assíntotas do gráfico de uma função podem ser verticais ou não verticais.

ASSÍNTOTAS VERTICAIS

0xx é uma assíntota vertical se

0

0

0

0

xx

xx

xx

xx

)x(flim

ou

)x(flim

ou

)x(flim

ou

)x(flim

ASSÍNTOTAS NÃO VERTICAIS

hmxy é uma assíntota não vertical se existirem os limites,

x

)x(flimm

x

E

)mx)x(f(limhx

EXEMPLO 3.6.

Seja

x

1x)x(fx

IR0\IR:f

2

1° PASSO

0\IRDf

2° PASSO

)x

1x(lim)x(flim

)x

1x(lim)x(flim

2

0x0x

2

0x0x

3° PASSO

Raízes da função

.IRx,1x

1x

x

1x

0x

1x0)x(f

3

2

2

Página | 40

2° PASSO

O único ponto de descontinuidade da função 0x e os limites laterais já foram calculados.

4° PASSO

2

'

x

1x2)x(f

Então

32

'

32

'

2

1,00,x0

x

1x2)x(f

,2

1x0

x

1x2)x(f

Logo a função é crescente em

,

2

1

3

E decrescente em

3 2

1,00, e

3 2

1x é ponto de mínimo local.

5° PASSO

3

)2(

x

22)x(f

Então

0,1x0x

22)x(f

,01,x0x

22)x(f

3

)2(

3

)2(

Logo a função tem concavidade voltada para cima em ,01,

e tem concavidade voltada para baixo em 0,1

e 1x é ponto de inflexão.

6° PASSO

0x é uma assíntota vertical já que

)x(flim

e

)x(flim

0x

0x

O gráfico não possui assíntotas não verticais.

Página | 41

3.4. TEOREMA DE L’HÔPITAL

Sejam IRIR:f e IRIR:g funções deriváveis tais que IRx,0)x('g e

)x(glim

)x(flim

ou

0)x(glim

0)x(flim

px

px

px

px

Então )x('g

)x('flim

)x(g

)x(flim

pxpx .

EXEMPLO 3.7.

Uma vez que

10cosxcoslim1

xcoslim

x

senxlim

0xlim

0senxlim

0x0x0x0x

0x

Página | 42

EXERCÍCIOS

NÍVEL A

ESCOLA NAVAL

R1. EN 2013 Considere a função real de variável real definida por f(x) = 3x4 – 4x

3 + 5. É verdade afirmar que

(A) f tem um ponto de mínimo em ]–, 0[.

(B) f tem um ponto de inflexão em 1 1

,2 2

(C) f tem um ponto de máximo em [0, +[

(D) f é crescente em [0, 1]

(E) f é decrescente em [–, 2].

R2. EFOMM 2012 O valor do lim x a a

éx 0x

(A)1

a

(B) a (C)1

2 a

(D) 2 a (E) 0

R3. EFOMM 2011 Analise a função a seguir.

2,53

2,2

4

)(

2

xp

xx

x

xf

Para que a função acima seja contínua no ponto x = 2, qual deverá ser o valor de p?

(A) 1/3

(B) 1

(C) 3

(D) –1

(E) –3

R4. EFOMM 2006 O valor do limite

1x

1xlim

1x, é

(A) –1/4

(B) –1/2

(C) 0

(D) 1/4

(E) 1/2.

5. EFOMM 2006 O valor do limite

4X

2/1X/1lim

22x

, é

(A) –1/8

(B) –1/16

(C) 0

(D) 1/16

(E) 1/8.

Página | 43

R6. EN 1999 A reta S passa pelo ponto (3, 0) e é normal ao gráfico de f(x) = x2 no ponto P(x, y). As coordenadas x e y de P, são,

respectivamente:

(A) 2 e 4

(B) 4

1e

2

1

(C) 1 e 1

(D) 9

1e

3

1

(E) 4

25e

2

5.

R7. EN 1998 A função f(x) = x e1/x

é decrescente no intervalo

(A) ] 1, [

(B) ] – , 1[

(C) ] – , 0[

(D) ] 0, + [

(E) ] 0, 1[.

8. EN 1998 Podemos observar que o gráfico de y = 1x

1x2

2

(A) cresce em ] – [1,0]]1,

(B) tem (0, –1) como ponto de inflexão

(C) tem assíntota horizontal em y = 1 e assíntota vertical em x = 1 e x = –1

(D) tem cavidade voltada para cima qualquer x ] –1, 1[

(E) está definido para x R.

R9. EN 1998 O valor de “a” para que a função f(x)=

3xsea

3xse3x

3x

seja contínua m x = 3 é

(A) 3

(B)3

3

(C)3

1

(D)6

3

(E) 6

1

R10. EN 1994 A menor distância entre um ponto da parábola 2x1y e a origem é igual a:

(A) 1

(B)4

7

(C)4

1

(D)2

3

(E)4

3.

Página | 44

11. EN 1993 A área do triângulo formado pelos eixos coordenados e pela tangente à curva y = 4x2 no ponto (1,4) vale:

(A) 8

(B) 4

(C) 2

(D) 1

(E) 2

1

12. EN 1992 O valor de 3x2x

2xx

1xlim

25

24

é:

(A) 3

2

(B) 5

4

(C) 1

(D) 2

3

(E) 2

R13. EN 1988 No intervalo , o menor valor e o maior valor da função f(x) = x4 – 3x

2 + 1 são, respectivamente:

(A) –1,25 e 5

(B) –1,25 e 1

(C) –1 e 1

(D) –1 e 5

(E) 1 e 5.

R14. EN 1987 Para x > 0, o valor mínimo de xx é obtido para x igual a:

(A) 10

1

(B) 3

1

(C) e

1

(D) 2

1

(E) 1.

NÍVEL B

ESCOLA NAVAL

R1. EN 2013. Um ponto P(x, y) move-se ao longo da curva plana de equação x

2 + 4y

2 = 1, com y > 0. Se a abscissa x está

variando a uma velocidade dx

dt= sen4t, pode-se afirmar que a aceleração da ordenada y tem por expressão

(A) 2 2 3

3

(1 x) sen 4t 4x cos4t

8y

(B) 2 2

3

x sen4t 4xcos 4t

16y

(C) 2 2

3

sen 4t 16xy cos4t

16y

(D) 2 2

3

x sen4t 4xcos 4t

8y

(E) 2 2

3

sen 4t 16xy cos4t

16y

Página | 45

R2. EN 2012. A taxa de depreciação dV

dt de determinada máquina é inversamente proporcional ao quadrado de t+1, onde V é o

valor, em reais, da máquina t anos depois de ter sido comprada. Se a máquina foi comprada por R$ 500.000,00 e seu valor

decresceu R$100.000,00 no primeiro ano, qual o valor estimado da maquina daqui após 4 anos?

(A) R$ 350.000,00

(B) R$ 340.000,00

(C) R$ 260.000,00

(D) R$ 250.000,00

(E) R$ 14.000,00

3. EN 2012 Ao meio dia, o navio NE-Brasil encontra-se a 100km a leste do navio Aeródromo São Paulo. O NE-Brasil navega

para oeste com a velocidade de 12 km/h e o São Paulo para o sul a 10 km/h. Em que instante, aproximadamente, os navios estarão

mais próximos um do outro?

(A) 5,3 h

(B) 5,1 h

(C) 4,9 h

(D) 4,4 h

(E) 4,1 h

4. EN 2002 De um ponto P do cais, João observa um barco AB ancorado. Para um sistema de eixos ortogonais os pontos A e B

têm coordenadas respectivamente iguais a (0,20) e (0,40), enquanto P encontra-se no semi-eixo positivo das abscissas. Se o ângulo

A P̂ B de observação é máximo, então a abscissa de P é igual a:

(A) 20 2

(B) 20 3

(C) 20

(D) 15

(E) 10.

5. EN 2000 A reta tangente à curva de equação 25

x 2

+ 9

y 2

= 1 no ponto P

5

12,3 é dada por

(A) 20 y + 9 x = 75

(B) 5 y – 5 x = 3

(C) 5 y + 15 x = 51

(D) 20 y – 9 x = 45

(E) y – 5 x = 75.

6. EN 1999 Na confecção da raia de tiro para navios da Marinha, verificou-se que o alvo ideal seria um retângulo. As dimensões

de um retângulo de área máxima com base no eixo x e vértices superiores sobre a parábola y = 12 – x2 pertencem ao intervalo:

(A) [2, 5]

(B) [0, 3]

(C) ]3, 7]

(D) [4, 9[

(E) [0, 6[.

R7. EN 1998 A relação entre os coeficientes b e c para que a equação x3 + bx + c = 0 possua duas raízes iguais é

(A) 4 b3 + 27 c

2 = 0

(B) b3 + c

2 = 0

(C) 2b3 + 3c

2 = 0

(D) b3 + c

2 = 0

(E) 3b = c.

Página | 46

8. EN 1998 Considere um cone circular reto de raio da base 5 cm e altura 12 cm. As dimensões do raio e da altura do cilindro

circular reto, de maior volume, que pode ser inscrito neste cone, são respectivamente

(A)3

10 e 4

(B) 4 e 10

(C) 3 e 3

14

(D)4

23e

5

9

(E) 2

5 e 5.

R9. EN 1998 O valor de 0x

lim 2

2

xsen

xsen é

(A) –1

(B) 0

(C) 1

(D) 2

(E) + .

10. EN 1997 Dois trens se deslocam sobre trilhos paralelos, separados por 1/4 km. A velocidade do primeiro é 40 km/h e a do

segundo 60 km/h, no mesmo sentido que o primeiro. O passageiro A do trem mais lento observa o passageiro B do trem mais

rápido. A velocidade com que muda a distância entre eles quando A está a 1/8 km à frente de B é, em km/h.

(A)5

20

(B) 5

(C) 0

(D) – 5

(E) 5

20

11. EN 1991 As tangentes à curva de equação y = x2 que passam pelo ponto P (–2 , 0) formam ângulo α. Determine tgα.

(A) 1

(B) 2

(C) 4

(D) 6

(E) 8

12. EN 1987 A equação da reta que é tangente à curva y = 1x

3x2

e que contém o ponto (3, 2) é:

(A) y = –5x + 17

(B) y = –4x + 14

(C) y = –3x + 11

(D) y = –2x + 8

(E) y = –x + 5.

13. EN 1987 O volume do cone de revolução de volume máximo que pode ser inscrito em uma esfera de raio R é:

(A) 81

R16 3

(B) 3

R3

(C) 81

R32 3

(D) 27

R16 3

(E) 27

R32 3.

Página | 47

14. EN 1986 Os valores mínimo e máximo de f(x) = 2xxe no intervalo 1,0 são respectivamente:

(A) 0 e e

1

(B) 0 e e2

1

(C) e2

1e

e

1

(D) 0 e 4e2

1

(E) 0 e e.

R15. EN 1986 O valor de a para o qual as curvas de equações y = a – x2 e xy = 16 são tangentes é:

(A) 12

(B) –4

(C) 4

(D) 2

(E) 1.

NÍVEL C

EFOMM

R1. EFOMM 2013. O gráfico de f(x) = (x – 3)

2 . e

x, x IR tem uma assíntota horizontal r. Se o gráfico de f intercepta r no ponto

P = (a,b) , então a2 + b.

2sen ae – 4a é igual a:

(A) –3.

(B) –2 .

(C) 3 .

(D) 2 .

(E) 1

2

ESCOLA NAVAL R2. EN 2012 Calculando – se

sen x

x 0

(cot g x)lim

, obtém-se

(A)

(B) 0

(C) e

(D)–1

(E) 1

R3. EN 2012 Em que ponto da curva y2 = 2x

3 a reta tangente é perpendicular à reta de equação 4x – 3y + 2 = 0?

(A) 1 1,

8 16

(B) 1 2,

4 16

(C) (1, 2)

(D) (2, –4)

(E) 1 1

,2 2

Página | 48

R4. EN 2010 Sejam f e g funções reais de variável real definidas por f(x) = 2 – arcsen (x2 + 2x) com x

18 18

e g(x) =

f(3x). Seja L a reta normal ao gráfico g–1

no ponto (2, g–2

(2)), onde g–1

representa a função inversa da função g. A reta L

contém o ponto

(A) (–1, 6)

(B) (–4, –1)

(C) (1, 3)

(D) (1, –6)

(E) (2, 1)

5. EN 2010 Sejam:

a) f uma função real de variável real definida por

f(x) = arctg

3xx

3

, x > 1 e

b) L a reta tangente ao gráfico da função y = f–1

(x) no ponto (0, f–1

(0)). Quanto mede, em unidades de área, a área do triângulo

formado pela reta L e os eixos coordenados?

(A)3

2 (B) 3

(C) 1

(D) 2

3

(E) 4

3

6. EN 2010 Os gráficos das funções reais f e g de variável real, definidas por f(x) = 4 – x2

e g(x) = 5 x

2

interceptam-se nos

pontos A = (a,f(a)) e B = (b,f(b)), a b. Considere os polígonos CAPBD onde C e D são as projeções ortogonais de A e B

respectivamente sobre o eixo x e P(x,y), a x b um ponto qualquer do gráfico da f. Dentre esses polígonos, seja , aquele que

tem área máxima. Qual o valor da área de , em unidades de área?

(A)530

64

(B)505

64

(C)445

64

(D)125

64

(E)95

64

7. EN 2010 Seja L uma lata de forma cilíndrica, sem tampa, de raio da base r e altura h. Se a área da superfície de L mede 54

π a2 cm

2, qual deve ser o valor de 2 2r h , para que L tenha volume máximo?

(A) a cm

(B) 3a cm

(C) 6a cm

(D) 9a cm

(E) 12a cm

Página | 49

R8. EN 2010 Considere o triângulo ABC dado abaixo, onde M1,M2 e M3 são os pontos médios dos lados AC, BC e AB,

respectivamente e k a razão da área do triângulo AIB para a área do triângulo IM1M2 e f(x)=(1

2x

3 + x

2 – 2x – 11) 2 . Se um

cubo se expande de tal modo que num determinado instante sua aresta mede 5dm e aumenta à razão de f (k) dm min então

podemos afirmar que a taxa de variação da área total da superfície deste sólido, neste instante, vale em 2dm min

(A) 240 2

(B) 330 2

(C) 420 2

(D)940 2

(E) 1740 2

9. EN 2008 O valor mínimo relativo de função f, de variável real x, definida por xcos

b

xsen

af(x)

2

2

2

2

, onde *Rb,a , vale:

(A) 2b2a .

(B) 22 ba .

(C) ab2 .

(D) 2ba ,

E)2)ba(2 .

R10. EN 2008 A função real f, de variável real, é definida por x)x(xnf(x) 35 . Podemos afirmar que a equação da reta

normal ao gráfico de função inversa 1f no ponto 3))n(f,3n( 1 é:

(A) 13n3x3y .

(B) 33nxy3 .

(C) 127nx3y .

(D) 33nxy3 .

(E) 33nx3y .

11. EN 2008 Sejam 1L a reta tangente ao gráfico da função real 3x2xef(x) no ponto P(–1,f(–1) e L2 a reta tangente ao

gráfico da função (x)fy no ponto 1))(f,1Q( . A abscissa do ponto de interseção de 1L e L2 é:

(A) 9

1 .

(B) 3

1 .

(C) 9

1.

(D) 3

1.

(E) 1.

Página | 50

12. EN 2007 A reta r tangente à curva de equação 1yxyx , no ponto y),(xP , é paralela ao eixo das abscissas. Pode-se

afirmar que o ponto P também pertence à reta de equação:

(A) 0x .

(B) 1y .

(C) 02xy .

(D) 01xy .

(E) 01x3y3 .

13. EN 2007 O cone circular reto, de volume mínimo, circunscrito a um hemisfério de raio R e apoiado no plano diametral, tem

por volume o número real:

(A) 3R

3

.

(B) 3R

3

3 .

(C) 3R .

(D) 3R

3

2 .

(E) 3R

2

3 .

14. EN 2006 Um recipiente cilíndrico que deve ter 3m1 de volume vai ser construído nas oficinas do Arsenal de Marinha, para

atender a um dos navios da MB. Na lateral e na tampa, será utilizado um material cujo preço é R$ 1.000,00 por 2m e, no fundo,

um material cujo preço é R$ 2.000,00 por 2m . Que dimensões deve ter o recipiente, para que a MB tenha a menor despesa

possível?

(A) m3

1

3 e m

3

1

2.

(B) m3

1

3 e m

9

1

3 2

.

(C) m3

1

3 e m

9

1

3 2

.

(D) m3

1

3 e m

93

.

(E) m3

1

3 e m

9

1

3 2

.

15. EN 2006 Seja L a reta tangente ao gráfico da função real, de variável real,

2x4

3πcoseY(x)

3

2

πx

no ponto

2

2,

2

π

. Se P e Q são os pontos de interseção de L com os eixos coordenados, a medida da área do triângulo de vértices P, Q e 0),(0 é:

(A) 2

)1(2 .

(B) 8

)1(2 2.

(C)

2

124

2

.

(D) 4

)1(2 2.

Página | 51

(E)

2

222

2

.

R16. EN 2002 Se 0x

lim

(cotx) nx1

1

= p, então

(A) 0 p 3

1

(B) 3

1 < p

2

1

(C) 2

1 < p 1

(D) 1 < p 2

(E) 2 < p 3.

17. EN 2001 Qual o valor do 1/1n x

0x x)(cotglim

?

(A) e

(B) 1/e

(C) 0

(D) –1.

18. EN 1999 Um navio levará estocado um latão de óleo contendo 100 dm3 de volume e deve ter a forma de um cilindro com

base plana e parte superior hemisférica, conforme a figura. Desprezando a espessura do material, podemos afirmar que o raio r da

base, para que seja gasto a menor quantidade possível de material para a confecção do latão é:

(A) 603

(B) 152

(C) 504

(D) 3 153

(E) 3 60 .

19. EN 1998 Considere r a reta tangente ao gráfico da função y = f(x) no ponto (1, f(1)). Sejam f(1) = 3 e f’(1) = 2. Se r

intercepta o gráfico da função g(x) = x2 – 3x + 7 nos pontos (x1, y1) e (x2, y2) então os valores de y1 e y2 são respectivamente

(A) 1 e 2

(B) 2 e 3

(C) 3 e 5

(D) 5 e 7

(E) 7 e 9.

R20. EN 1997 O valor de xsen

xsen)1x(ln

0x

lim

2

é

(A) –

(B) – 1/2

(C) 0

(D) 1/2

(E) não existe.

Página | 52

21. EN 1991 Calcule x

1

0x

exlim

(A) 0

(B) 1

(C) e

(D) e

(E) ∞

22. EN 1987 A equação da reta que é tangente à curva y = 1x

3x2

e que contém o ponto (3, 2) é:

(A) y = –5x + 17

(B) y = –4x + 14

(C) y = –3x + 11

(D) y = –2x + 8

(E) y = –x + 5.

R23. EN 1985 O valor de a que torna a função:

f(x) =

0xse,a2

0xse,)x(cos2x/1

contínua em x = 0 é:

(A) 2

(B) 2 e 2

(C) 2

e

(D) e2

1

(E) 2e2.

Página | 53

CAPÍTULO 4 - INTEGRAL

1. DEFINIÇÃO

Seja IRIR:f ,uma primitiva de f é uma função

IRIR:F

Tal que

.IRx,)x(f)x(F'

A primitiva de uma função, caso exista, é única a menos de uma constante real,

IRx,c)x(F)x(F:IRc

IRx,)x(F)x(F

21

'2

'1

Para representar a família de primitivas de uma função, introduzimos a seguinte notação

.IRx,)x(f)x(F:IRc,c)x(Fdx)x(f '

Dizemos que uma função é integrável se e somente a sua primitiva existir.

EXEMPLO 4.1.

.IRc,c2

xdxx

2

pois, .IRx,xc2

x'

2

A função IRIR:F também é chamada de integral indefinida de f.

As principais propriedades da integral indefinida são:

1. dx))x(fdx)x(fdx))x(f)x(f( 2121

2. .IRc,dx)x(fcdx))x(fc(

As integrais indefinidas das principais funções são:

1. .1neIRc,cx1n

1dxx 1nn

2. .0x,IRc,cxlndxx

1

3. IRc,cxcosdxxsen

4. IRc,cxsendxxcos

5. IRc,cxseclndxxtg

6. IRc,ctgxxseclndxxsec

7. IRc,cxgcotxseccoslndxxseccos

8. IRc,cxsenlndxxcot

Página | 54

9. 1,1x,IRc,cxsenarcdx

x1

1

2

10. ,IRc,cxtgarcdxx1

12

11.

,11x,IRc,cxsecarcdx1xx

1

2

12. .IRc,cedxe xx

13. .IRc,caaln

1dxa xx

14. 0x.IRc,cxxlnxdxxln

15. 0x.IRc,cxxlnxaln

1dxxloga

16. IRc,cxtgdxxsec2

17. IRc,cxgcotdxxseccos 2

18. IRc,cxsecdxxtgxsec

19. IRc,cxseccosdxxgcotxseccos

2. INTEGRAL DE RIEMANN

Seja

IRIR:f

Integrável.

A integral de Riemann ou integral definida de f no intervalo b,a , é representada por

b

adx)x(f

Onde a e b são chamados de limite inferior e superior da integral definida.

TEOREMA 2.1 (Teorema Fundamental do Cálculo)

Seja

IRIR:f

Integrável em .ba,IRb,a,b,a Então

)a(F)b(Fdx)x(fb

a

onde .b,ax,)x(f)x(F '

Sejam ,ba,IRb,a as principais propriedades da integral de Riemann são:

1. b

a2

b

a1

b

a21 dx)x(fdx)x(fdx))x(f)x(f(

2. .IRc,dx)x(fcdx))x(fc(b

a

b

a

3. b,ac,dx)x(fdx)x(fdx)x(fb

c

c

a

b

a

Página | 55

IMPORTANTE: Quando a função f for uma função integrável e não negativa, o valor da integral de Riemann coincide com o

valor da área limitada pelo gráfico da função , pelas retas bx,ax e pelo eixo das abscissas.

EXEMPLO 2.1.

Calcule 2

0

2dxx

Como

IR,cx3

1xdx 32

,

Temos

IR,cx3

1)x(F 3

Logo .3

8cc

3

8c0

3

1c2

3

1)0(F)2(Fdxx 33

2

0

2

Então a área limitada pelo gráfico da parábola 2xy , pelas retas 2x,0x e pelo eixo das abscissas vale 3

8.

Página | 56

EXERCÍCIOS

NÍVEL A

EFOMM

R1. EFOMM 2013 O valor da integral senx.cosx dx é:

(A) – cos x + c .

(B) –1

4 cos 2x + c

(C) –1

2cos x + c

(D) +1

4cos x + c

(E) +1

2cos 2x + c

ESCOLA NAVAL

R2. EN 2013 O valor de /2

2x

0(e cosx)dx

é

(A) e 3

2 2

(B) / 2e 1

2 2

(C) e 3

2 2

(D) / 2e 3

2 2

(E) / 2e 1

2 2

3. EN 2010 Qual o valor de sen6xcos x dx

(A) 7cos7x 5cos5x

c2 2

(B)7sen7x 5sen5x

c2 2

(C)sen7x sen5x

c14 10

(D)cos7x cos5x

c14 10

(E)7cos7x 5cos5x

c2 2

Página | 57

R4. EN 2008 O valor de dxxcos2xsen4 2 é:

(A) C4

x4cos

2

x2cos .

(B) C2

x2senx2cos

2

.

(C) C3

xcos4 3

.

(D) Cx2cos2

3 .

(E) C4

x4cosx2cos .

R5. EN 1998 O valor de 8/

0

2 dx)x2(tg

(A)3

1

(B) 6

1

(C) 2 – 1

(D)24

328

(E) 8

4 .

6. EN 1997 O valor de

/2

/1 2 x

3sen

x

1dx é

(A) /3

(B) 1

(C) 1/3

(D) –1/3

(E) –1.

7. EN 1989 1

2 4

0

2xdx

2 2x x é igual a

(A) –/8

(B) –/4

(C) /8

(D) /4

(E) 0

Página | 58

NÍVEL B

ESCOLA NAVAL

R1. EN 2012 Qual o valor de 2

(cos sec x . sec x)

dx?

(A) 1(4x sen4x) c

32

(B) 5 3

sen x sen xc

5 3

(C) 3 3

sen x. cos xc

9

(D) 1(4x sen4x) c

16

(E) 1(4x sen4x) c

16

R2. EN 2007 Sejam a e b constantes reais positivas, ba . Se x é uma variável real, então

dxba

)b(a

xx

2xx

é:

(A) cx2a

b

b

a)bnan(

x

x

x

x

.

(B) cx2a

b

b

a)anbn(

x

x

x

x

.

(C) cx2a

b

b

a

)bnan(

1

x

x

x

x

.

(D) cx2a

b

b

a

x

x

x

x

.

(E) cx2a

b

b

a

)anbn(

1

x

x

x

x

.

R3. EN 2006 O cálculo de

dxe1

e

4x

2x

é igual a:

(A) c4

e1n x4

.

(B) cearctg2 x2 .

(C) c4

earctg x2

.

(D) ce4

e1n

x2

x4

.

(E) c2

earcctg x2

.

Página | 59

R4. EN 2004 Seja p uma constante real positiva. A integral dxe 2

)px2(n

é igual a:

(A) cpx23

2 23

.

(B) cpx2p2

1

.

(C) cpx23

1 23

.

(D) cpx2x3

2 21

.

(E) cpx2x3

1 21

.

5. EN 1999 Sabendo-se que a função

f(x) =

7xse

7xse

a

815x

7x

2

é contínua em x = 7 e que b =

o

2/ cos 2x . sen 4x dx, o valor de

b

a é:

(A) 7

7

(B) 72

(C)49

76

(D) 49

74

(E) 77 .

6. EN 1985 O valor de

4/

0 2

22

x2sen1

)xsenx(cosx2sen dx é:

(A) 2

2

(B) 2

12

(C) 2

(D) 2

21

(E) 2

21

NÍVEL C

Página | 60

ESCOLA NAVAL

R1. EN 2013 Considere a função f(x) = ln (secx + tgx) + 2 senx, com 0 < x < 2

. O resultado de

2f '(x) 2 2cos2x dx

é

(A) tgx + 8x + 2sen2x + C

(B) sec x + 6x + C

(C) sec x – 2x – sen2x + C

(D) tgx + 8x + C

(E) secx + 6x – sen2x + C

R2. EN 2010 Seja f(x) = ln(cos x)2, o ≤ x <

2

e

2 2F(x) f '(x) sen 2x dx . Se

7F(0) 5

8

, então

x4

lim F(x)

vale

(A) –2

(B) –1

(C) 0

(D) 1

(E) 2

3. EN 2009 A equação 2

2

dx

yd =

3

1 sen5x cos3x é dita uma equação diferencial ordinária de 2

a ordem. Quando x = 0

, dx

dy vale

48

43 e y vale 2. O volume do cilindro circular reto, cujo raio da base mede 2 2 m e cuja altura, em metros, é o

valor de y quando x = 4, vale em metros cúbicos

(A) 4(2 + 1)

(B) 8(4 + 1)

(C) 4(4 + 2)

(D) 16( + 1)

(E) 16(2 + 1).

R4. EN 2008 Considere f(x)y uma função rela, de variável real, derivável até 2ª ordem e tal que 0f(x)(x)f , Rx .

Se xcosxcosf(x)xsen(x)fg(x) 2 , então:

(A) C2

x2sen)x(g .

(B) C)x(g .

(C) C2

x2cos)x(g .

(D) C2

x2cos)x(f2)x(g .

(E) Cxcosxsen)x(g 2 .

R5. EN 2006 Seja f(x)y uma função real que satisfaz a equação

0x

2x8y

2

6

,

*Rx .

O valor de

dx

dx

dy1x

22 é:

Página | 61

(A) c2

xn

12

x 6

.

(B) c4

x

8

x 24

.

(C) cxn12

x 6

.

(D) c2

xn

12

x 6

.

(E) c4

x

8

x 24

.

R6. EN 2005 Sabendo-se que (x)y é uma função derivável em todo o seu domínio e que 3x1

1

22xx

1e(x)y

2

3x

e

3

4

4

π(0)y , pode-se afirmar que 1)(y é igual a:

(A)3

2n2e 3

.

(B)4

5e4 3

.

(C)3

32n3e 3 .

(D)3

e2n23 3 .

(E)3

32ne 3 .

7. EN 1999 Seja f(x) = ,4

x

8

x 24

o valor de 21

2))x('f(1 dx é:

(A) ;16

11

(B) 16

17;

(C) 2;

(D) 16

33;

(E) .8

17

8. EN 1987 A área da região do primeiro quadrante limitada pelas retas y = 9

x e y =

4

x e pela hipérbole y =

x

1

vale:

(A)3

1

(B) n 1,5

(C) 1 + n 2

(D) 2 + n 2

(E) 4.

9. EN 1985 A superfície limitada pela curva de equação y = x2 e pela reta de equação y = 4 gira em torno da reta y = 5. O

volume do sólido assim gerado mede:

Página | 62

(A)15

832

(B) 15

512

(C) 15

836

(D) 15

176

(E) 15.

10. EN 1985 Considere os gráficos das funções y = sen x e y = cos x, x [–, ]. A área da superfície limitada inferiormente

por y = sen x e superiormente por y = cos x mede:

(A) 4 2

(B) 2 2

(C) 2

(D) 2

(E) 2 + 2 .

(F) Nenhuma das respostas acima.

CAPÍTULO 5 - GABARITO E SOLUÇÕES

Página | 63

CAPÍTULO 1

LIMITE E CONTINUIDADE

NÍVEL A

EFOMM

1. E

SOLUÇÃO:

818x2

x2senlim8

x4

x2senlim

5

0x5

5

0x

2. E

SOLUÇÃO:

2

1

1

x2

1

lim1x

1xlim

1x1x

3. D

4. E

SOLUÇÃO:

3

4

1x2

1x3

1x

lim

1x21x

1x31x

1x

lim

1x3x2

1xx5x3

1x

lim

2

2

23

23

ESCOLA NAVAL

5. C

SOLUÇÃO:

1

x

xsen

0xlim

x

senx

0xlim

xsen

xsen

0xlim

2

2

2

2

2

6. A 7. E

SOLUÇÃO:

x

1

x

1

x

1

1

xlim

xxx

x

xlim

xxx

xxxxxx

xlimxxx

xlim

2

323

2

323

323323

323

é

8. B

9. B

SOLUÇÃO:

Página | 64

2x

xsenlim2

x

x2cos1lim

2

2

0x20x

10. D

SOLUÇÃO:

1x

x

1xlimentão

01x1x

lim

e

1x1x

lim

quevezUma

2

2

NÍVEL B

EFOMM

1. C

SOLUÇÃO:

2

2

lim lim lim1 1 x x0x 0 x 0 x 0

x x x 1 x 1x x

é:

2. C

SOLUÇÃO:

x a a x a alim lim limx a a 1 1x 0 x 0 x 0

x x a a 2 ax x a a

3. C

SOLUÇÃO:

3p45p35p32xlim5p32x

4xlim)2(f)x(flim

2x

2

2x2x

4. D

Página | 65

ESCOLA NAVAL

5. D

6. D

SOLUÇÃO:

6

3

32

1aa

3x

1lima

3x

3xlim)3(f)x(flim

3x3x3x

NÍVEL C

EFOMM

1. A

SOLUÇÃO:

I-2

1

1a

1

1alim

1a

1a

1alim

II- k

2

x e

e

e

k

x1

0xlim

k

x1

0xlim

xk

xk

0xlim

k

1

k

1

x

1

x

1

III- 2

2x

2x2tan

2x

lim

2x

x2tan

2x

lim

ESCOLA NAVAL

2. C

3. D

4. C

SOLUÇÃO:

12

1

326

3

xx1x16

x21lim

)x1(3

1

)x1(2

1lim

Então

xx1x16

x21

aa1a16

a21

aa1a1a16

a2a1

aa1a1a16

aa12a13

a13

1

a12

1

)x1(3

1

)x1(2

1

ax

366

6

1x31x

366

6

22

2

2

2

233

6

Página | 66

CAPÍTULO 2

DERIVADA

NÍVEL A

ESCOLA NAVAL

1. E

SOLUÇÃO:

13533343)2(g3)2(g)2(g3)2('y)t(g3)t(g)t(g3)t('y5)t(g3)t(g)t(y 2''2''23 2. C

SOLUÇÃO:

22

2'

x1

1

x

11

x

1

x

1arctg

3. C

SOLUÇÃO:

xtgxtgtgx1xsectgxtgxxsectgx22

1xcoslnxtg

2

1 3222'

2

4. E

5. B

SOLUÇÃO:

12,0

25

3)2('f

1x

x1

1x

xx211x

1x

x)x('f

22

2

22

2'

2

6. D

7. B

8. C

SOLUÇÃO:

1444896212421248

''f

2x2tgx2secx2sec2x2tg6x2sec2x2secx2tg26)x(''f

x2secx2tg62x2secx2tg3)x('f

234

222

2222

9. E

Página | 67

NÍVEL B

ESCOLA NAVAL 1. C

2. B

SOLUÇÃO:

1)x(xf2

))x(f(1)x('f

01)x('f)x('f)x(f2x)x(f11x)x(f)x(fx

2

22

NÍVEL C

ESCOLA NAVAL

1. E

SOLUÇÃO:

12

12

1h(x) f (1 sen2x) h`(x) f (1 sen2x) f `(1 sen2x) (2cos2x)

2

1h`(0) f (1) f `(1) (2) 1

2

2. B

SOLUÇÃO:

2

2 2

g(f (x)) x

g`(f (x)) f `(x) 1

g`(f (x)) f ``(x) g`(f (1)) f ``(1)g``(f (x)) f `(x) g`(f (x)) f ``(x) 0 g``(f (x)) g``(f (1))

f `(x) f `(1)

x 1 f (1) 1 g`(f (1)) f `(1) 1 g`(1) f `(1) 1

1Uma vez que f `(x) 1 f `(1) 2 g`(1

x

2

2

2 2

1)

2

Logo

g`(1) f ``(1)g``(1)

f `(1)

1Uma vez que f ``(x) f ``(1) 1

x

Logo

11

g`(1) f ``(1) 12g``(1)2f `(1) 1

3. C

4. D

SOLUÇÃO:

44

16

4

)x(''glim

x4

)x('glim

x2

)x(glim

x

)x(flim

0x

)0(f)x(flim)0('f

0x

0

0

0x

0

0

20x0x0x

,

Página | 68

5.D

SOLUÇÃO:

5

8

122

24

1)2('f2

)2('f4k

Logo

2)2('f

2

3)2('f2)2('f

2

10cos

2

1)2('f2)2(f)2('f

2

1)2(f1cos

2

1)x('fx)x(f)x('f

2

1)x(f

2

xcos3

2

x)x(fx)x(f

2

xsen

quevezUma

1)2('f2

)2('f4k

4

1)2('f2k)2('f

4

)2(f)2('f2k)2('g

x

)x(f)x('fxk)x('g

x

(x)fkg(x)

2

6. C

2

1a1a3a

1xa3limalim

)x('glim)x('glim

.2

1bb21aba

2bxxalimbxalim

)x(glim)x(glim

.1

2

1x1x

1x1x

3

1x1x

1x1x

7. B

Página | 69

CAPÍTULO 3

APLICAÇÕES DE DERIVADA

NÍVEL A

ESCOLA NAVAL

1. B

SOLUÇÃ0:

4 3

3 2 2

2

f (x) 3x 4x 5

f `(x) 0 x 1

f `(x) 12x 12x 12x x 1 f `(x) 0 x 0 ou x 1

f `(x) 0 x 0 ou 0 x 1

2f ``(x) 0 x 0 ou x

3

2f ``(x) 36x 24x f ``(x) 0 x 0 ou x

3

2f ``(x) 0 0 x

3

Logo x = 0 é ponto de inflexão

2. C

SOLUÇÃO:

0

0

1lim limx a a 12 x a

x 0 x 0x 1 2 a

3. C SOLUÇÃO:

.3p41

x2lim

2x

4xlim5p3

5p32x

4xlim)2(f)x(flim

2x

0

0

2

2x

2

2x2x

4. E

SOLUÇÃO:

2

1

1

x2

1

lim1x

1xlim

1x

0

0

1x

5. B

Página | 70

6. C

SOLUÇÃO:

1y1x03xx2xx2

3x

Então

xy)P()y,x(PquevezUma

x2

3xy

3x

0y

x2

1m:)n(

x2m:)t(

Como

)n()P()y,x(Penormalretaa)n(exy:)P(

Sejam

0003

02

00

0

200000

0

00

0

0

0n

0t

0002

7. E

SOLUÇÃO:

1x00x

1x0

x

1xe

x

1exe1)x('f x

1

2x

1

x

1

8. C

9. D

SOLUÇÃO

6

3

32

1

1

x2

1

lim3x

3xlima

a3x

3xlim)3(f)x(flim

3x

0

0

3x

3x3x

10. D

SOLUÇÃO:

2

3)d(

2

3)d(

2

1x

1)d(0x

0

xx12

x4x2)x('d

xx1)x(d

xx1x1xyxd

x1y:)P(y,xPSeja

minO,P

minO,P0

minO,P0

40

20

300

0O,P

40

200O,P

40

20

220

20

20

20O,P

2000

0

0

0

0

0

0

11. D

12. C

13. D

SOLUÇÃO:

2

3xou0x

2

30)x('f

2

3xouou

2

3xou0x0)x('f

2

3x0ou

2

3x0)x('f

06x4xx6x4)x('f 23

Página | 71

1mín

5máx

5)2(f

1)1(f

)localmínimo(6875,016

11)

2

3(f

2

3x

)localmáximo(1)0(f0x

2,1xquevezUma

14. C

SOLUÇÃO:

e

1x1xln01xlnx'y1xlny'y

x

1xxln

y

'yxlnxylnxy

x

x

NÍVEL B

ESCOLA NAVAL

1. C

SOLUÇÃO:

3

22

3

22222

22

2

22

y16

t4cosxy16t4sen

y16

t4senxt4cosxy16t4seny4''y

0''yy4)y4

t4xsen(4t4cosx4)t4sen(

0''yy4)'y(4t4cosx4t4sen'x

0'yy4t4xsen0'yy8'xx21y4x

2. B

SOLUÇÃO:

000.340)4(V000.3001t

000.200)t(V

000.300ce000.200k000.400c

2

k000.400)1(V

000.500ck000.500)0(V

IRc,c1t

k)t(V

1t

k

dt

dV2

3. C

4. A

5. A

6. D

7. A

SOLUÇÃO:

322

22

23

b4c273

b

b2

c3

b2

c3xcb

3

bx

3

bx0bx3

cbxx0cbxx

Página | 72

8. A

9. C

SOLUÇÃO:

1senxx4xcos2

x2cos2

0xlim

xcosx2

x2sen

0xlim

xsen

xsen

0xlim

222

0

0

2

0

0

2

2

10. E

11. E

12. A

13. C

14. B

15. A

SOLUÇÃO:

.12a2a882

16y

x

16y

xay

2xx

16x2

22

2

NÍVEL C

EFOMM

1. A

SOLUÇÃO:

334e03a4eba

Então

3a3x0e3x

0)x(f0b0rre3xlimr)x(flim

rre3xlimr)x(flim

3sen2asen2

x2

x2

xx

x2

xx

22

Página | 73

ESCOLA NAVAL

2. E

SOLUÇÃO:

x 0

0

senx ln(cot g x)

sen x

x 0

2

2

2

x 0 x 0 x 0 x 0 x 0

x 0

lim(cot g x) e

Pr ecisamos de

sec x

ln(t g x) sec x se nxtgxsenx ln(cot g x) 0

cos ec x cos ec x cot x cos ec x cos x

Logo

(cot g

lim

lim lim lim lim lim

lim

x 0

0

senx ln(cot g x)

sen x 0lim

x) e e 1

3. A

SOLUÇÃO:

16

1x

8

1xx2x4

x2y

x4y

Então

x6y2

3

4

3'yquevezUma

x6'yy2x2y

003

0

2203

02

0

200

200

232

4. D

SOLUÇÃO:

12x6y:)n()2x(60y:)n(

6m6

1

)020(1

2023

1

)0('f3

1

)0('g

1)2()'g(m

quevezUma

)2x(m0y:)n(

Então

0x0)x2x(arcsen2)x2x(arcsen22)x3(f2)x(gx)2(g

n

22

1t

n

221

5. E

6. B

7. C

Página | 74

8. E

SOLUÇÃO:

min/dm21740229512|dt

dS

dt

daa12

dt

dSa6S

min/dm229)4(f|dt

da

S6Sonde,4

4

S2

S2k

25a

2

5a

ABC

9. D

10. E

SOLUÇÃO:

)3lnx(3

11y:)n(

Então

3

1m3

111

11315)1('fm

.2

)n()1,3ln(

1x3xxx3ln)xxxln(3ln)x(fx)3(lnf

.1

1mm

)n())3(lnf,3ln(:)n(

n35

24

t

35351

tn

1

11. A

12. D

13. E

14. D

15. B

16. B

SOLUÇÃO

2

1

e

1

3

13e2quevezUma

e

1eexcotlim 1xln

)xln(cotlim

xln

1

0x

0x

0

17. B

18. E

19. D

20. B

SOLUÇÃO:

2

1

)x2cos(2

xsen1x

1

0x

lim

)x2(sen

xcos1x

1

0x

lim

xsen

xsen)1x(ln

0x

lim 2

0

0

0

0

2

21. E

22. A

23. D

SOLUÇÃO:

c

Página | 75

CAPÍTULO 4

INTEGRAL

NÍVEL A

EFOMM

1. B

SOLUÇÃO:

1 1 1 1senx.cosx dx sen2x dx cos 2x c cos 2x c

2 2 2 4

ESCOLA NAVAL

2. A

SOLUÇÃO:

x2x 02/2

2x

0x 0

e e e e 3(e cosx)dx senx c sen c sen0 c

2 2 2 2 2 2

3. D

4. E

SOLUÇÃO:

cx4cos4

1x2cosdx)x4sen2xsen2(dx

2

x2cos12xsen4dxxcos2xsen4 2

5. E

SOLUÇÃO:

82

1c00tg

2

1c

84tg

2

1cxx2tg

2

1dx)1)x2((secdx)x2(tg

8x

0x

8/

0

28/

0

2

6. C

NÍVEL B

ESCOLA NAVAL

1. A

SOLUÇÃO:

2 2 2 21(cos sec x . sec x) dx sen x cos x dx sen 2x dx

4

1 1 cos 4x 1 x 1 x 1dx sen4x c sen4x c

4 2 4 2 8 8 32

Página | 76

2. C

SOLUÇÃO:

2

x x x x

x x

x x

x x

a b a bdx 2 dx

b aa b

a b

1 a bb a2x c 2x c

ln a ln b ln b ln a ln a ln b b a

3. E

SOLUÇÃO:

'c)e(ctgarc2

1c

2)e(ctgarc

2

1c)e(tgarc

2

1dx

e1

e x2x2x2

4x

2x

4. D

SOLUÇÃO:

'cpx2x3

2c

2

3

xp2dxxp2dxpx2dxe

2

3

2

)px2(n

5. C 6. B

NÍVEL C

ESCOLA NAVAL 1. D

SOLUÇÃO:

2 2

2 2

f (x) ln secx tgx 2 senx f '(x) secx 2cos x

Logo

f '(x) 2 2cos2x dx (secx 2cos x) 2 2cos2x dx

1 cos2x(sec x 4 4 ) 2 2cos2x dx sec x 8 dx tgx 8x c

2

Página | 77

2. B

SOLUÇÃO:

2 2 2 2

2 2

f (x) 2ln cos x f `(x) 2tgx

Logo

F(x) f '(x) sen 2x dx 4tg x sen 2x dx

1 cos 4x 7 1 7x 14sec x 4 dx 4sec x cos 4x dx 4 tgx sen4x c

2 2 2 2 8

Uma vez que

7 7 7x 1 7F(0) 5 c 5 F(x) 4 tgx sen4x

8 8 2 8 8

x4

5

Logo

7 1 7lim F(x) 4 sen 5 1

8 8 8

3. E

4. C

SOLUÇÃO:

cx2cos2

1)x(g

x2sensenxcosx2senxcosx2senx)x(f(x)''f)x('g

senxcosx2xsen(x)fxcos(x)'fxcos(x)fxsen(x)''f)x('g

xcosxcosf(x)xsen(x)fg(x) 2

5. D

SOLUÇÃO:

cxln2

1x

12

1dxx

2

1x

2

1dxx

2

1x

2

1x

dxx2

1x

2

11xdx

dx

dy1x

Logo

x2

1x

2

1

dx

dyx

4

1x

8

1

x

2x

8

1y

615332

2332

22

3324

2

6

6. D

SOLUÇÃO:

14ln3

1e

3

1)1(y1x31ln

3

1)1x(tgarce

3

1)x(y

1c3

4

4c

43

1)0(y

cx31ln3

1)1x(tgarce

3

1)x(y

3x1

1

22xx

1e(x)y

3x3

x3

2

3x

7. D 8. B

9. A

10. B

matemática para concursos militares - volume2

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