matematica10v2

Matemtica

TEXTO DEL ESTUDIANTE

10

Este libro de texto que tienes en tus manos es una herramienta muy importante para que puedas desarrollar los aprendizajes de la mejor manera. Un libro de tex-to no debe ser la nica fuente de investigacin y de descubrimiento, pero siempre es un buen aliado que te permite descubrir por ti mismo la maravilla de aprender.

El Ministerio de Educacin ha realizado un ajuste curricular que busca mejores opor-tunidades de aprendizaje para todos los estudiantes del pas en el marco de un pro-yecto que propicia su desarrollo personal pleno y su integracin en una sociedad guiada por los principios del Buen Vivir, la participacin democrtica y la convivencia armnica.

Para acompaar la puesta en marcha de este proyecto educativo, hemos preparado varios materiales acordes con la edad y los aos de escolaridad. Los nios y nias de primer grado recibirn un texto que integra cuentos y actividades apropiadas para su edad y que ayudarn a desarrollar el currculo integrador diseado para este subnivel de la Educacin General Bsica. En adelante y hasta concluir el Bachillerato General Unificado, los estudiantes recibirn textos que contribuirn al desarrollo de los aprendizajes de las reas de Ciencias Naturales, Ciencias Sociales, Lengua y Litera-tura, Matemtica y Lengua Extranjera-Ingls.

Adems, es importante que sepas que los docentes recibirn guas didcticas que les facilitarn enriquecer los procesos de enseanza y aprendizaje a partir del contenido del texto de los estudiantes, permitiendo desarrollar los procesos de investigacin y de aprendizaje ms all del aula.

Este material debe constituirse en un apoyo a procesos de enseanza y aprendizaje que, para cumplir con su meta, han de ser guiados por los docentes y protagoniza-dos por los estudiantes.

Esperamos que esta aventura del conocimiento sea un buen camino para alcanzar el buen vivir.

Ministerio de Educacin 2016

Ministerio de Educacin del Ecuador, 2016 Av. Amazonas N34-451 y Atahualpa

Quito, Ecuador

www.educacion.gob.ec

La reproduccin parcial o total de esta publicacin, en cualquier forma y por

cualquier medio mecnico o electrnico, est permitida siempre y cuando

sea autorizada por los editores y se cite correctamente la fuente.

ADVERTENCIAUn objetivo manifiesto del Ministerio de Educacin es combatir el sexismo y la discriminacin de gnero en la sociedad ecuatoriana y promover, a travs del sistema educativo, la equidad entre mujeres y hombres. Para alcanzar este objetivo, promovemos el uso de un lenguaje que no reproduzca esquemas sexistas, y de conformidad con esta prctica preferimos emplear en nuestros documentos oficiales palabras neutras, tales como las personas (en lugar de los hombres) o el profesorado (en lugar de los profesores), etc. Slo en los casos en que tales expresiones no existan, se usar la forma masculina como genrica para hacer referencia tanto a las personas del sexo femenino como masculino. Esta prctica comunicativa, que es recomendada por la Real Academia Espaola en su Diccionario Panhispnico de Dudas, obedece a dos razones: (a) en espaol es posible , y (b) es preferible aplicar para as evitar el abultamiento grfico y la consiguiente ilegibilidad que ocurrira en el caso de utilizar expresiones como las y los, os/as y otras frmulas que buscan visibilizar la presencia de ambos sexos.

Impreso en EcuadorPrimera impresin: agosto 2016

SMEcuaediciones, 2016

Este texto fue revisado por la Universidad Politcnica Salesiana y obtuvo la certicacin curricular del Ministerio de Educacin el 8 de junio de 2016.

PRESIDENTE DE LA REPBLICA

Rafael Correa Delgado

MINISTRO DE EDUCACIN

Augusto Espinosa Andrade

Viceministro de Educacin

Subsecretario de Fundamentos Educativos (E)

Miguel ngel Herrera Pavo

Subsecretaria de Administracin Escolar

Mirian Maribel Guerrero Segovia

Directora Nacional de Operaciones y Logstica

Ada Leonora Chamorro Vsquez

Directora Nacional de Currculo (S)

Mara Cristina Espinosa Salas

Viceministra de Gestin Educativa

Daysi Valentina Rivadeneira Zambrano

Freddy Peael Larrea

Direccin de contenidos editoriales EcuadorMara Alexandra Prcel Alarcn

Creacin de contenidosLuis Humberto Buitrn Aguas

Conceptualizacin del proyecto para el reaLuis Humberto Buitrn Aguas

Diseo y diagramacinDavid Rojas

Correccin de estiloMnica Martnez, Sofa Garzn

Imagen de la portadaSM Ediciones Ecuador

FotografaArchivo SM Ediciones Ecuador, Archivo SM Ediciones Colombia, Shutterstock

IlustracinRoger Icaza L, Gisela Bohrquez, Mnica Medina

Matemtica 10

PROYECTO LICITACIN MINISTERIO DE EDUCACIN, ECUADOR 2016

Conoce tu libroApplica Matemtica10Libro detexto El libro consta de seis unidades temticas. Cada unidad desarrolla contenidos asociados

a los bloques curriculares propuestos en el currculo nacional: lgebra y funciones, geometra y medida y estadistica y probabilidad. Cada unidad consta de:

Des

arro

llo

del c

onte

nido

Des

arro

llo

del c

onte

nido

Los temas siguen una ruta didctica clara y secuencial que empieza con un texto (Explora) para captar tu atencin e inters. Contina con el desarrollo del tema, apoyado por ejemplos y actividades resueltas. Al finalizar cada tema podrs encontrar variados ejercicios en Desarrolla tus destrezas.

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Regularidades y sucesiones10

ExploraEn la Figura 1 se muestra una secuen-cia de tringulos construidos con palillos.

Cuntos palillos se necesitarn para construir una figura que tenga diez tringulos, y una con n tringulos?

Figura 1

Regularidades y sucesiones Abre la aplicacin Find Next Num-ber y juega a encontrar el siguiente nmero en una sucesin.

10.1 RegularidadPara determinar cuntos palillos se necesitarn para construir una figura que tenga diez tringulos y una con n tringulos, se construye la Tabla 1.

Nmero de tringulos 1 2 3 4 5 ... 10 ... n

Nmero de palillos 3 5 7 9 11 ... ? ... ?

Se observa que el nmero de palillos sigue una cierta secuencia. Para aadir un nuevo tringulo se necesitan dos palillos ms. As, para construir diez tringulos se necesitan tres palillos para el tringulo inicial, y luego, dos palillos por cada uno de los nueve tringulos restantes, es decir:

3 1 2 ? 9 5 21

Si se construyen n tringulos, se necesitarn tres palillos para el tringulo inicial y luego dos palillos por cada uno de los n 2 1 tringulos restantes, es decir:

3 1 2(n 2 1) 5 3 1 2n 2 2 5 2n 1 1

Una secuencia de nmeros presenta regularidad si, a la vista de unos cuantos de stos, se pueden obtener los siguientes.

Ejemplo 1

En la Tabla 2 se observa el nmero de diagonales de algunos polgonos de acuerdo al nmero de lados de los mismos.

Nmero de lados 3 4 5 6 7 8 9

Diagonales 0 2 5

Para completar la tabla se lleva a cabo el siguiente razonamiento:

Si un polgono tiene n vrtices, el nmero de diagonales que se pueden cons-truir por cada vrtice es n 2 3. Como el polgono tiene n vrtices el anterior valor se multiplica por n(n 2 3). Al construir las diagonales de cada vrtice se observa que cada una se construye dos veces. Por lo anterior, es necesario

dividir la anterior cantidad entre dos y se obtiene n(n 2 3)

2222222

Al utilizar la frmula anterior para completar la Tabla 3, se obtiene:


Diagonales 0 2 5 9 14 20 27

Ejemplo 2

Para hallar el nmero de diagonales de un polgono de 11 lados, se reemplaza

n por 11 en la frmula n (n 2 3) 222222

2 y se obtiene:

n (n 2 3) 222222

2 5

11 (11 2 3) 222222

2 5 44 diagonales

Tabla 2

Tabla 3

Tabla 1

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Bloque de lgebra y funciones

Destreza con criterios de desempeo: Identificar sucesiones, encontrar algunos de sus trminos y su trmino general.

Ten en cuenta

Las sucesiones tienen un primer tr-mino pero no un ltimo, es decir, tie-nen infinitos trminos.

a5

Quinto ndice trmino

Ejemplo 3

Un nmero triangular es aquel que puede ser recompuesto en la forma de un tringulo equiltero. En la Figura 2 se representan los cinco primeros nmeros triangulares.

Los cinco primeros nmeros triangulares son: 1, 3, 6, 10 y 15, y corresponden al nmero de puntos que forma cada tringulo equiltero.

Para hallar el n-simo nmero triangular se utiliza la frmula n(n 1 1)

2222222

. As, el triangular nmero 24 es

24 (24 1 1) 2222222

2 5 300

10.2 Sucesiones de nmeros reales

Las secuencias infinitas de nmeros reales se conocen como sucesiones.

Una sucesin de nmeros reales se representa por

ha1, a

2, a

3, a

n j o por {an}

Cada nmero se denomina trmino y se designa por una letra y un nmero llamado ndice, que indica el lugar que ocupa en la sucesin. As, a

1 es el

primer trmino; a2, el segundo, etc. A an se le conoce como ensimo trmino,

o trmino general, y representa un trmino cualquiera de la sucesin.

Ejemplo 4

Observa cmo se halla el siguiente trmino en cada secuencia de nmeros reales.

a. h10, 7, 4, 1, 22j b. h64, 32, 16, 8, 4ja. Cada trmino se obtiene sustrayendo 3 al anterior, el siguiente es 25.

b. Cada trmino se halla dividiendo el anterior por 2, el siguiente es 2.

Dependiendo del comportamiento de sus trminos, las sucesiones infinitas pueden ser crecientes, decrecientes, oscilantes, alternadas o constantes.

Una sucesin es creciente si cada trmino es mayor o igual que el anterior.

Ejemplo 5

Son sucesiones crecientes:

h4, 8, 8, 12, 12, 12, 16, 16, 16, 16j h1, 3, 5, 7, 9, 11, 13j

Figura 2

Ten en cuentaTexto que activa los conocimientos previos o refuerza las explicaciones facilitando el aprendizaje.Explora

Momento inicial que se sita en un contexto relacionado con el tema.

Contenido

AppInvita a descargar una app desde la Play Store de un dispositivo mvil para profundizar sobre los temas vistos.

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Regularidades y sucesiones10

ExploraEn la Figura 1 se muestra una secuen-cia de tringulos construidos con palillos.

Cuntos palillos se necesitarn para construir una figura que tenga diez tringulos, y una con n tringulos?

Figura 1

Regularidades y sucesiones Abre la aplicacin Find Next Num-ber y juega a encontrar el siguiente nmero en una sucesin.

10.1 RegularidadPara determinar cuntos palillos se necesitarn para construir una figura que tenga diez tringulos y una con n tringulos, se construye la Tabla 1.

Nmero de tringulos 1 2 3 4 5 ... 10 ... n

Nmero de palillos 3 5 7 9 11 ... ? ... ?

Se observa que el nmero de palillos sigue una cierta secuencia. Para aadir un nuevo tringulo se necesitan dos palillos ms. As, para construir diez tringulos se necesitan tres palillos para el tringulo inicial, y luego, dos palillos por cada uno de los nueve tringulos restantes, es decir:

3 1 2 ? 9 5 21

Si se construyen n tringulos, se necesitarn tres palillos para el tringulo inicial y luego dos palillos por cada uno de los n 2 1 tringulos restantes, es decir:

3 1 2(n 2 1) 5 3 1 2n 2 2 5 2n 1 1

Una secuencia de nmeros presenta regularidad si, a la vista de unos cuantos de stos, se pueden obtener los siguientes.

Ejemplo 1

En la Tabla 2 se observa el nmero de diagonales de algunos polgonos de acuerdo al nmero de lados de los mismos.


Diagonales 0 2 5

Para completar la tabla se lleva a cabo el siguiente razonamiento:

Si un polgono tiene n vrtices, el nmero de diagonales que se pueden cons-truir por cada vrtice es n 2 3. Como el polgono tiene n vrtices el anterior valor se multiplica por n(n 2 3). Al construir las diagonales de cada vrtice se observa que cada una se construye dos veces. Por lo anterior, es necesario

dividir la anterior cantidad entre dos y se obtiene n(n 2 3)

2222222

Al utilizar la frmula anterior para completar la Tabla 3, se obtiene:


Diagonales 0 2 5 9 14 20 27

Ejemplo 2

Para hallar el nmero de diagonales de un polgono de 11 lados, se reemplaza

n por 11 en la frmula n (n 2 3) 222222

2 y se obtiene:

n (n 2 3) 222222

2 5

11 (11 2 3) 222222

2 5 44 diagonales

Tabla 2

Tabla 3

Tabla 1

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Destreza con criterios de desempeo: Identificar sucesiones, encontrar algunos de sus trminos y su trmino general.

Ten en cuenta

Las sucesiones tienen un primer tr-mino pero no un ltimo, es decir, tie-nen infinitos trminos.

a5

Quinto ndice trmino

Ejemplo 3

Un nmero triangular es aquel que puede ser recompuesto en la forma de un tringulo equiltero. En la Figura 2 se representan los cinco primeros nmeros triangulares.

Los cinco primeros nmeros triangulares son: 1, 3, 6, 10 y 15, y corresponden al nmero de puntos que forma cada tringulo equiltero.

Para hallar el n-simo nmero triangular se utiliza la frmula n(n 1 1)

2222222

. As, el triangular nmero 24 es

24 (24 1 1) 2222222

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10.2 Sucesiones de nmeros reales

Las secuencias infinitas de nmeros reales se conocen como sucesiones.

Una sucesin de nmeros reales se representa por

ha1, a

2, a

3, a

n j o por {an}

Cada nmero se denomina trmino y se designa por una letra y un nmero llamado ndice, que indica el lugar que ocupa en la sucesin. As, a

1 es el

primer trmino; a2, el segundo, etc. A an se le conoce como ensimo trmino,

o trmino general, y representa un trmino cualquiera de la sucesin.

Ejemplo 4

Observa cmo se halla el siguiente trmino en cada secuencia de nmeros reales.

a. h10, 7, 4, 1, 22j b. h64, 32, 16, 8, 4ja. Cada trmino se obtiene sustrayendo 3 al anterior, el siguiente es 25.

b. Cada trmino se halla dividiendo el anterior por 2, el siguiente es 2.

Dependiendo del comportamiento de sus trminos, las sucesiones infinitas pueden ser crecientes, decrecientes, oscilantes, alternadas o constantes.

Una sucesin es creciente si cada trmino es mayor o igual que el anterior.

Ejemplo 5

Son sucesiones crecientes:

h4, 8, 8, 12, 12, 12, 16, 16, 16, 16j h1, 3, 5, 7, 9, 11, 13j

Figura 2

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2 Monotona: funciones crecientes y funciones decrecientes

1

1 X

Y f

O

ExploraObserva la grfica de la funcin f representada en la Figura 1.

En qu intervalos crece la grfica de f? En cules decrece?

www.e-sm.net/9smt03

Evala tus conocimientos sobre creci-miento y decrecimiento de funciones.

TECNOLOGASde la comunicacin

Funciones crecientes y funciones decrecientesAbre la aplicacin Desmos Graphing Calculator y utilzala para analizar el crecimiento, decrecimiento y sime-tra de funciones mediante grficas, para representar funciones lineales y afines, y para relacionar ecuacio-nes, pendientes, puntos de corte y relaciones entre rectas.

En la grfica de la funcin, se observa que:

f es creciente en los intervalos [26, 0] y [6, 8], pues los valores de y crecen en estos intervalos.

f es decreciente en [4, 6], ya que los valores de y decrecen en este intervalo.

f es constante en el intervalo [0, 4].

Una funcin f es creciente en un intervalo I cuando, para todo a [ I y b [ I con a , b, se cumple que f(a) , f(b).

Una funcin f es decreciente en un intervalo I cuando, para todo a [ I y b [ I con a , b, se cumple que f(a) . f(b).

Ejemplo 1

En la Figura 1 se observa que la grfica de la funcin f no es estrictamente creciente ni estrictamente decreciente.

2.1 Tasa de variacinLa tasa de variacin de una funcin f, al pasar de un punto a a un punto b, est dada por la expresin: TV [a, b] 5 f(b) 2 f(a).

Ejemplo 2

En la funcin f(x) 5 2x3 2 9x2 1 12x 2 3, cuando el valor de x pasa de 1 a 2, la tasa de variacin se halla de la siguiente manera:

TV[1, 2] 5 f(2) 2 f(1) TV[1, 2] 5 1 2 2 5 21.La tasa de variacin de f(x) en el intervalo [1, 2] es 21.

2.2 Crecimiento y decrecimientoLas definiciones de crecimiento y decrecimiento de una funcin pueden reformularse en trminos de la tasa de variacin de la siguiente manera. Si la monotona es constante se tiene que:

Una funcin es creciente en un intervalo si para todo par de valores a y b en el intervalo con a , b su tasa de variacin es positiva, TV . 0.

Una funcin es decreciente en un intervalo si para todo par de valores a y b en el intervalo con a , b su tasa de variacin es negativa, TV , 0.

Ejemplo 3

La funcin h(x) 5 3x2 2 1 es decreciente en el intervalo [25, 22], porque la tasa de variacin TV[25, 22] 5 263 y 263 , 0.

La funcin g(x) 5 x5 1 2 es creciente en el intervalo [24, 21], porque la tasa de variacin TV[24, 21] 5 1 023 y 1 023 . 0.

Actividad resuelta

Ejercitacin

1 Determina si la funcin f(x) 5 2x3 2 9x2 1 12x 2 3 es creciente o decreciente en el intervalo [0, 1].

Solucin: Se calcula la tasa de variacin de la funcin f, as: TV[0, 1] 5 f(1) 2 f(0) 5 2 2 (23) 5 5. Como 5 . 0, la funcin f es creciente en el intervalo [0, 1].

Figura 1

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Destreza con criterios de desempeo: Reconocer funciones crecientes y decrecientes a partir de su representacin grfica .

Desarrolla tus destrezas

1

1X

Y

O 1

1X

Y

O

1

1X

Y

O 1

1X

Y

O

Ejercitacin

2 Observa las grficas de las Figuras 2 a 5. Luego, indica en qu intervalos son crecientes o decrecientes.

a. b.

c. d.

3 Calcula la tasa de variacin de cada funcin en los intervalos dados.

a. f(x) 5 2x2

TV[23, 0] y TV[1, 2]

b. g(x) 5 29x2 1 7x 2 5

TV[2, 4] y TV[23, 0]

c. i(x) 5 7

TV[23, 5] y TV[8, 15]

Razonamiento

4 Clasifica las siguientes funciones en crecientes o decrecientes, segn corresponda.

a. g(x) 5 25 b. h(x) 5 2x 1 4

c. j(x) 5 2x d. l(x) 5 3

e. f(x) 5 24x 1 5

5 Indica si son verdaderas o falsas estas afirmaciones:

a. La funcin f(x) 5 x3 2 3x2 1 5 es creciente en el intervalo [0, 2].

b. La funcin f(x) 5 4x3 1 2x2 2 3 es creciente en el

intervalo .

c. La funcin f(x) 5 x 1 x24 es decreciente en el intervalo [2, 6].

d. La funcin f(x) 5 x3 2 3x2 1 5 es decreciente en

el intervalo .

20

10 20 30 40 50 60 70 80Edad (aos)

Estatura (cm)

406080

100120140160180200

0,5

0,5 X

Y

O

0,5

0,5X

Y

O

Comunicacin

6 Describe los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones representadas en las siguientes grficas.

a.

b.

Razonamiento

7 Estudia el crecimiento y decrecimiento de la funcin f(x) 5 4x 1 x2 en los intervalos [22,2; 22] y [22; 21,8].

Resolucin de problemas

8 Un jardinero quiere cercar un terreno de forma cuadrada y rea desconocida en el que plant unas flores. Encuentra la frmula que permite obtener el lado del cuadrado en funcin de su rea.

a. Si el rea estuviera comprendida entre 120 m2 y 180m2, cules seran el dominio y el recorrido de la funcin?

b. Es la funcin descrita creciente o decreciente?

9 En la grfica de la Figura 8, se muestra la variacin de la estatura de una persona en funcin de su edad, cada 5 aos.

Entre qu edades la estatura de esta persona fue creciente? Y cundo fue decreciente?

Figura 2

Figura 4

Figura 3

Figura 5

Figura 6

Figura 7

Figura 8

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Destreza con criterios de desempeo: Reconocer funciones crecientes y decrecientes a partir de su representacin grfica .


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1

1X

Y

O 1

1X

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Ejercitacin

2 Observa las grficas de las Figuras 2 a 5. Luego, indica en qu intervalos son crecientes o decrecientes.

a. b.

c. d.

3 Calcula la tasa de variacin de cada funcin en los intervalos dados.

a. f(x) 5 2x2

TV[23, 0] y TV[1, 2]

b. g(x) 5 29x2 1 7x 2 5

TV[2, 4] y TV[23, 0]

c. i(x) 5 7

TV[23, 5] y TV[8, 15]

Razonamiento

4 Clasifica las siguientes funciones en crecientes o decrecientes, segn corresponda.

a. g(x) 5 25 b. h(x) 5 2x 1 4

c. j(x) 5 2x d. l(x) 5 3

e. f(x) 5 24x 1 5

5 Indica si son verdaderas o falsas estas afirmaciones:

a. La funcin f(x) 5 x3 2 3x2 1 5 es creciente en el intervalo [0, 2].

b. La funcin f(x) 5 4x3 1 2x2 2 3 es creciente en el

intervalo .

c. La funcin f(x) 5 x 1 x24 es decreciente en el intervalo [2, 6].

d. La funcin f(x) 5 x3 2 3x2 1 5 es decreciente en

el intervalo .

20

10 20 30 40 50 60 70 80Edad (aos)

Estatura (cm)

406080

100120140160180200

0,5

0,5 X

Y

O

0,5

0,5X

Y

O

Comunicacin

6 Describe los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones representadas en las siguientes grficas.

a.

b.

Razonamiento

7 Estudia el crecimiento y decrecimiento de la funcin f(x) 5 4x 1 x2 en los intervalos [22,2; 22] y [22; 21,8].


8 Un jardinero quiere cercar un terreno de forma cuadrada y rea desconocida en el que plant unas flores. Encuentra la frmula que permite obtener el lado del cuadrado en funcin de su rea.

a. Si el rea estuviera comprendida entre 120 m2 y 180m2, cules seran el dominio y el recorrido de la funcin?

b. Es la funcin descrita creciente o decreciente?

9 En la grfica de la Figura 8, se muestra la variacin de la estatura de una persona en funcin de su edad, cada 5 aos.

Entre qu edades la estatura de esta persona fue creciente? Y cundo fue decreciente?

Figura 2

Figura 4

Figura 3

Figura 5

Figura 6

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2 Monotona: funciones crecientes y funciones decrecientes

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1 X

Y f

O

ExploraObserva la grfica de la funcin f representada en la Figura 1.

En qu intervalos crece la grfica de f? En cules decrece?

www.e-sm.net/9smt03

Evala tus conocimientos sobre creci-miento y decrecimiento de funciones.

TECNOLOGASde la comunicacin

Funciones crecientes y funciones decrecientesAbre la aplicacin Desmos Graphing Calculator y utilzala para analizar el crecimiento, decrecimiento y sime-tra de funciones mediante grficas, para representar funciones lineales y afines, y para relacionar ecuacio-nes, pendientes, puntos de corte y relaciones entre rectas.

En la grfica de la funcin, se observa que:

f es creciente en los intervalos [26, 0] y [6, 8], pues los valores de y crecen en estos intervalos.

f es decreciente en [4, 6], ya que los valores de y decrecen en este intervalo.

f es constante en el intervalo [0, 4].

Una funcin f es creciente en un intervalo I cuando, para todo a [ I y b [ I con a , b, se cumple que f(a) , f(b).

Una funcin f es decreciente en un intervalo I cuando, para todo a [ I y b [ I con a , b, se cumple que f(a) . f(b).

Ejemplo 1

En la Figura 1 se observa que la grfica de la funcin f no es estrictamente creciente ni estrictamente decreciente.

2.1 Tasa de variacinLa tasa de variacin de una funcin f, al pasar de un punto a a un punto b, est dada por la expresin: TV [a, b] 5 f(b) 2 f(a).

Ejemplo 2

En la funcin f(x) 5 2x3 2 9x2 1 12x 2 3, cuando el valor de x pasa de 1 a 2, la tasa de variacin se halla de la siguiente manera:

TV[1, 2] 5 f(2) 2 f(1) TV[1, 2] 5 1 2 2 5 21.La tasa de variacin de f(x) en el intervalo [1, 2] es 21.

2.2 Crecimiento y decrecimientoLas definiciones de crecimiento y decrecimiento de una funcin pueden reformularse en trminos de la tasa de variacin de la siguiente manera. Si la monotona es constante se tiene que:

Una funcin es creciente en un intervalo si para todo par de valores a y b en el intervalo con a , b su tasa de variacin es positiva, TV . 0.

Una funcin es decreciente en un intervalo si para todo par de valores a y b en el intervalo con a , b su tasa de variacin es negativa, TV , 0.

Ejemplo 3

La funcin h(x) 5 3x2 2 1 es decreciente en el intervalo [25, 22], porque la tasa de variacin TV[25, 22] 5 263 y 263 , 0.

La funcin g(x) 5 x5 1 2 es creciente en el intervalo [24, 21], porque la tasa de variacin TV[24, 21] 5 1 023 y 1 023 . 0.

Actividad resuelta

Ejercitacin

1 Determina si la funcin f(x) 5 2x3 2 9x2 1 12x 2 3 es creciente o decreciente en el intervalo [0, 1].

Solucin: Se calcula la tasa de variacin de la funcin f, as: TV[0, 1] 5 f(1) 2 f(0) 5 2 2 (23) 5 5. Como 5 . 0, la funcin f es creciente en el intervalo [0, 1].

Figura 1

Tecnologas de la comunicacinEnlaces a sitios web que amplan los temas.

26

Bloq

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func

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6 Radicales

Ten en cuenta

Cuando un radical no tiene ndice es porque la raz es cuadrada y su ndice es 2.

6.4 Reduccin de radicales a ndice comn

Reducir a ndice comn dos o ms radicales es encontrar radicales equivalen-tes a los dados que tengan el mismo ndice.

Ejemplo 9

Para reducir a ndice comn los radicales , , se llevan a cabo los siguientes pasos:

Se halla el mnimo comn mltiplo entre los ndices: m.c.m. (2, 3, 4) 5 12. Este ser el ndice comn para todos los radicales.

Se divide el m.c.m. por cada uno de los ndices de los radicales y cada resultado se multiplica por los exponentes correspondientes en los radicandos, as:

Actividad resuelta


1 La relacin entre el radio r de una esfera y su volumen V es r 5 .

Cul es el radio de una esfera que tiene un volumen de 36p cm3?

Solucin: Para calcular el radio de la esfera, sustituimos el valor del volumen en la

expresin dada, escribimos la potencia como un radical y resolvemos, as:

r 5 5 5 5 5 3 cm.

MatemaTICSHallar los factores primos de un nmero en GeoGebra

GeoGebra es un software matemtico interactivo libre que tiene el comando Factores Primos para hallar los factores primos de cualquier nmero entero positivo.

Observa cmo se hallan los factores primos de un nmero.

Para obtener los factores primos de 3 456 se escribe en la barra de entrada FactoresPrimos[3456].

Luego, se da ENTER con el teclado y el resultado aparece en el recuadro de vista algebraica, as:

27


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Destreza con criterios de desempeo: Identificar las races como potencias con exponentes racionales para calcular potencias de nmeros reales no negativos con exponentes racionales en R.


Ejercitacin

2 Simplifica cada expresin.

a. 83 1 b. 3 27

c. 4 d. ?

e. f.

3 Halla dos radicales equivalentes a cada radical.

a. b.

c. d.

e. f.

4 Reduce a ndice comn los siguientes radicales:

a. , ,

b. , , ,

c. , ,

d. ,

e. , ,

f. , ,

Razonamiento

5 Determina qu nmero es ms grande en cada par de expresiones. Evita usar calculadora.

a. o

b. o

6 Calcula la raz con una aproximacin de dos cifras decimales, por exceso y por defecto. Completa la tabla 2.

RazAproximacin

Por defecto Por exceso

120

Comunicacin

7 Escribe los radicales en forma de potencia con exponente fraccionario o viceversa, en la Tabla 3.

Radical Potencia


8 Cerca de la superficie terrestre, el tiempo t que tarda un objeto en caer una distancia d, est dado por la

expresin t 5 , donde t se mide en segundos y d

se mide en pies. Halla el tiempo que tardar un objeto

en caer 100 pies.

9 La relacin entre el radio r de una esfera y su rea total A

es r 5 A . Cul es el radio de una esfera que tiene

un rea total de 64p unidades cuadradas?

Tabla 3

Tabla 2

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6 Radicales

Ten en cuenta

Cuando un radical no tiene ndice es porque la raz es cuadrada y su ndice es 2.

6.4 Reduccin de radicales a ndice comn

Reducir a ndice comn dos o ms radicales es encontrar radicales equivalen-tes a los dados que tengan el mismo ndice.

Ejemplo 9

Para reducir a ndice comn los radicales , , se llevan a cabo los siguientes pasos:

Se halla el mnimo comn mltiplo entre los ndices: m.c.m. (2, 3, 4) 5 12. Este ser el ndice comn para todos los radicales.

Se divide el m.c.m. por cada uno de los ndices de los radicales y cada resultado se multiplica por los exponentes correspondientes en los radicandos, as:

Actividad resuelta


1 La relacin entre el radio r de una esfera y su volumen V es r 5 .

Cul es el radio de una esfera que tiene un volumen de 36p cm3?

Solucin: Para calcular el radio de la esfera, sustituimos el valor del volumen en la

expresin dada, escribimos la potencia como un radical y resolvemos, as:

r 5 5 5 5 5 3 cm.

MatemaTICSHallar los factores primos de un nmero en GeoGebra

GeoGebra es un software matemtico interactivo libre que tiene el comando Factores Primos para hallar los factores primos de cualquier nmero entero positivo.

Observa cmo se hallan los factores primos de un nmero.

Para obtener los factores primos de 3 456 se escribe en la barra de entrada FactoresPrimos[3456].

Luego, se da ENTER con el teclado y el resultado aparece en el recuadro de vista algebraica, as:

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Ejercitacin


a. 83 1 b. 3 27

c. 4 d. ?

e. f.


a. b.

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a. , ,

b. , , ,

c. , ,

d. ,

e. , ,

f. , ,

Razonamiento


a. o

b. o


RazAproximacin


120

Comunicacin


Radical Potencia





en caer 100 pies.




Tabla 3

Tabla 2

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Ejercitacin


a. 83 1 b. 3 27

c. 4 d. ?

e. f.


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a. , ,

b. , , ,

c. , ,

d. ,

e. , ,

f. , ,

Razonamiento


a. o

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Comunicacin


Radical Potencia





en caer 100 pies.




Tabla 3

Tabla 2

MatemaTICSPresenta una herramienta informtica que enriquece el quehacer matemtico mediante el uso de la tecnologa.

Las actividades tambin estn clasificadas por nivel de complejidad.

Bsico Intermedio Avanzado

En los ejercicios desafiantes encontrars el cono PAI (Proyecto de Activacin de las Inteligencias).

Desarrolla tus destrezasActividades clasificadas por destrezas para aplicar los contenidos estudiados.


1 Nmeros racionales y nmeros irracionales 10-131.1 El conjunto de los nmeros racionales1.2 Expresiones decimales1.3 El conjunto de los nmeros irracionales1.4 Nmeros irracionales en la recta numrica

2 Nmeros reales 14-152.1 El conjunto de los nmeros reales2.2 Expresin aproximada de un nmero real

3 La recta real 16-193.1 Valor absoluto3.2 Intervalos, semirrectas y entornos

4 Potencias con exponente entero 20-214.1 Propiedades de las potencias con exponente entero

5 Notacin cientfica 22-235.1 Notacin cientfica y operaciones

6 Radicales 24-276.1 Raz cuadrada y cbica de un nmero real6.2 Potencias con exponente fraccionario6.3 Radicales equivalentes6.4 Reduccin de radicales a ndice comn

MatemaTICS7 Operaciones con radicales 28-298 Radicales semejantes 30-31

8.1 Reduccin a radicales semejantes8.2 Adicin y sustraccin de radicales

9 Racionalizacin 32-33

Practica ms 34

Resolucin de problemas 35

Prueba Ser Estudiante 36-37

Construyendo la Cultura del Buen Vivir Qu significa inflacin? 38-39

Habilidades digitales Justifica tu aprendizaje con una infografa de Easel.ly 40-41

Evaluacin de la Unidad 42-43

Nmeros reales 8 - 91 2Bloque de lgebra y funciones

1 Concepto de funcin 46-491.1 Dominio y recorrido de una funcin1.2 Representacin grfica de una funcin

MatemaTICS

2 Monotona: funciones crecientes y funciones decrecientes 50-512.1 Tasa de variacin2.2 Crecimiento y decrecimiento

3 Funciones simtricas 52-53 3.1 Simetra con respecto al eje de ordenadas. Funciones pares 3.2 Simetra con respecto al origen. Funciones impares

4 Funciones lineal y afn 54-574.1 Funcin lineal4.2 Funcin afn4.3 Grfica de una funcin afn

MatemaTICS

Practica ms 58


5 Pendiente de una recta 60-61

6 Ecuacin de la recta 62-656.1 Ecuacin de la recta conociendo la pendiente y un punto6.2 Ecuacin de la recta conociendo dos puntos

7 Relacin entre las pendientes de rectas paralelas y perpendiculares 66-67


Construyendo la cultura del buen vivir Crisis alimentaria universal 70-71

Habilidades digitales Describe una temtica con Wideo 72-73


Funciones lineales 44-45

NDICE

3 Sistemas de ecuaciones lineales 76-77 4 Funciones y ecuaciones cuadrticas 112-113

NDICE


1 Sistemas de ecuaciones lineales 78-79 1.1 Generalidades de los sistemas de ecuaciones lineales 1.2 Resolucin de un sistema de ecuaciones

2 Resolucin de sistemas por el mtodo grfico 80-832.1 Anlisis de la cantidad de soluciones de un sistema de ecuaciones

MatemaTICS

3 Resolucin de sistemas por el mtodo de sustitucin 84-854 Resolucin de sistemas por el mtodo de reduccin 86-875 Resolucin de sistemas por el mtodo de igualacin 88-896 Resolucin de problemas mediante sistemas de ecuaciones 90-937 Resolucin de sistemas por la regla de Cramer 94-95

7.1 Resolucin de sistemas 2 x 2 por la regla de Cramer

8 Resolucin de sistemas lineales por el mtodo de Gauss 96-978.1 Sistemas escalonados8.2 Mtodo de Gauss

Practica ms 98


9 Sistemas de inecuaciones de primer grado 100-1039.1 Inecuaciones de primer grado con una incgnita9.2 Inecuaciones de primer grado con dos incgnitas 9.3 Sistemas de inecuaciones de primer grado con dos incgnitas


Construyendo la cultura del buen vivir Economa solidaria 106-107

Habilidades digitales Utiliza Google Maps 108-109


Bloque de Geometra y medida

1 Funcin cuadrtica 114-1151.1 Representacin grfica de una funcin cuadrtica

2 Grficas de funciones cuadrticas 116-1192.1 Funciones de la forma f(x) = ax2

2.2 Funciones de la forma f(x) = ax2+c2.3 Funciones de la forma f(x) = ax2+bx+c

MatemaTICS

3 Ecuaciones de segundo grado con una incgnita 120-1233.1 Resolucin de la ecuacin de la forma ax2 + c = 03.2 Resolucin de la ecuacin de la forma ax2 + bx = 03.3 Resolucin de la ecuacin de la forma x2 + bx + c = 03.4 Resolucin de la ecuacin de la forma ax2 + bx +c = 0

4 Resolucin de ecuaciones de segundo grado completando un trinomio cuadrado perfecto 124-125

5 Frmula general para resolver una ecuacin de segundo grado 126-129

5.1 Discriminante de una ecuacin de segundo grado5.2 Suma y producto de las soluciones de una ecuacin

de segundo grado

6 Aplicaciones de la ecuacin de segundo grado 130-131

Practica ms 132

Resolucin de problemas 1337 Funcin potencia 134-135


Construyendo la Cultura del Buen Vivir Aprende a elaborar un presupuesto 138-139

Habilidades digitales Presenta tus ideas por medio de una wiki 140-141


6 Estadstica y probabilidad 186-1875Bloque de Geometra y medida

1 Medidas de ngulos 146-1471.1 El grado sexagesimal1.2 El radin1.3 Conversin entre unidades de medida de ngulos

2 Razones trigonomtricas en tringulos rectngulos 148-149

3 Razones trigonomtricas de ngulos especiales 150-1513.1 Razones trigonomtricas del ngulo de 453.2 Razones trigonomtricas de los ngulos de 30 y 60

4 Relaciones entre las razones trigonomtricas 152-153

5 Razones trigonomtricas de un ngulo cualquiera 154-1575.1 Circunferencia goniomtrica5.2 Razones trigonomtricas de ngulos suplementarios

y de ngulos que difieren en 1805.3 Razones trigonomtricas de ngulos opuestos y de

ngulos complementarios

6 Trigonometra con la calculadora 158-1596.1 Ecuaciones trigonomtricas

MatemaTICS

7 Teorema de Pitgoras 160-1637.1 Medidas indirectas7.2 Reconocimiento de tringulos rectngulos7.3 Clculo de distancias

8 Resolucin de tringulos rectngulos 164-1678.1 Teorema de la altura8.2 Teorema del cateto

Practica ms 168


9 Longitudes y reas de figuras planas 170-171

10 reas y volmenes de cuerpos geomtricos 172-17510.1 rea y volumen de prismas10.2 rea y volumen de pirmides10.3 rea y volumen de cilindros10.4 rea y volumen de conos

11 reas y volmenes de cuerpos compuestos 176-177


Construyendo la Cultura del Buen Vivir La bolsa un mercado de valores 180-181

Habilidades digitales Argumenta tu posicin frente a una temtica en un foro virtual 182-183


Razones trigonomtricas 144-145

NDICE

Bloques de Estadstica y probabilidad

1 Terminologa estadstica 188-189

2 Medidas de tendencia central 190-1932.1 Media aritmtica2.2 Media aritmtica para datos agrupados2.3 Moda2.4 Mediana

MatemaTICS

3 Cuartiles 194-1954 Medidas de dispersin 196-199

4.1 Rango4.2 Varianza4.3 Desviacin tpica4.4 Agrupacin de datos en torno a la media aritmtica4.5 Coeficiente de variacin

5 Diagrama de rbol 200-2016 Permutaciones sin repeticin 202-2037 Variaciones y combinaciones 204-207

7.1 Variaciones sin repeticin7.2 Variaciones con repeticin7.3 Combinaciones sin repeticin

MatemaTICS

8 Nmeros combinatorios 208-2099 Experimentos aleatorios. Sucesos 210-213

9.1 Experimentos aleatorios9.2 Espacio muestral9.3 Tipos de sucesos9.4 Operaciones con sucesos

Practica ms 214



Construyendo la Cultura del Buen Vivir La importancia del desarrollo sostenible 218-219

Habilidades digitales Argumenta y defiende tus ideas en foros en lnea 220-221


Construyendo la Cultura del Buen Vivir Los derechos y los deberes de un ciudadano de paz 224-227

Evaluacin Final 228-233

Apndice 234-267

Construyendo la Cultura del Buen Vivir Realiza una encuesta en el colegio 268-269

Glosario 270-271

Bibliografa 272

8

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A pesar de que los conjuntos numricos estudiados hasta el momento presentan caractersticas especiales que los hacen diferentes entre s, es fcil concluir que todos los nmeros resultan imprescindibles para determinar, resolver e interpretar una gran variedad de situaciones de la vida cotidiana.

Crees que exista otro conjunto de nmeros diferente a los que conoces?

1 Nmeros reales lgebra

y funciones

BLOQUE

Cultura del Buen Vivir

La humildad

Las personas humildes reconocen sus virtudes y habilidades, pero no consideran necesario presumir de ellas frente a los dems.

Qu opinas de las personas que se sienten superiores y desprecian a otras por su condicin social?

9

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Aprenders... Recursos digitales

Habilidades lectoras

Nmeros reales Radicales. Operaciones Racionalizacin Resolucin de Problemas

Eratstenes calcula la circunferencia de la Tierra

Se dice que el 19 de junio del ao 240 a. C., el astrnomo, gegra-fo, matemtico y bibliotecario griego Eratstenes calcul la cir-cunferencia de la Tierra. Ms tarde, se descubri que sus cifras eran increblemente precisas. El genio griego not que al medioda, en el solsticio de verano, el Sol se encontraba directamente encima de la ciudad de Siena, la actual Asun.

En ese momento el reloj de sol no proyectaba sombra. Pero hacia el Norte, en Alejandra, el Sol no se encontraba exactamente encima: un reloj de sol proyectaba sombra incluso al medioda. A partir de esto, Eratstenes propuso que la Tierra deba ser redonda. Adems, si el Sol se encontraba lo suficientemente lejos para registrar rayos paralelos en Siena y Alejandra, era posible calcular la circunferencia de la Tierra.

Eratstenes determin que la sombra en Alejandra era 1/50 de un crculo de 360 grados; luego estim la distan-cia entre las dos ubicaciones y multiplic por 50 para de-rivar a la circunferencia de la Tierra. Su cifra final fue de 252 000 estadios, o longitud de estadio, que sera entre 39 691 y 45 008 kilmetros. Hoy en da, la cifra aceptada es de aproximada-mente 40 075 kilmetros, bastante cerca para un astrnomo de la Antigedad que no contaba con herramientas modernas.

Rusell, Randy. (2007). Ventanas al universo. Recuperado de: http://www.windows2universe.org/the_universe/uts/eratosthenes_calc_earth_size.

html&lang=sp&edu=high

ActividadesInterpreta1. Segn la lectura, cul es la medida del ngulo generado por Alejandra

y Asun teniendo como vrtice el centro de la Tierra?

2. Cul es la diferencia entre los conceptos circunferencia de la tierra y superficie de la tierra?

Argumenta3. Es verdadera la afirmacin Coln descubri que la Tierra era redon-

da? Argumenta tu respuesta.

4. Cul crees que fue el slido argumento de Eratstenes para decir que la Tierra era redonda?

5. Crees que la resolucin de tringulos fue utilizada en algn momento para hallar el radio de la Tierra? Explica tu respuesta.

SM Ediciones

10

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1 Nmeros racionales y nmeros irracionalesExploraCada una de las seis caras del cubo de Rubik est compuesta por nueve cuadrados de los colores blanco, amarillo, rojo, azul, naranja y verde (Figura 1).

La solucin del rompecabezas con-siste en que, al final, los cuadrados de cada cara sean del mismo color. Qu parte del total representan los cuadrados que forman cada cara del cubo solucionado?

Figura 1

Ten en cuenta

Ten en cuenta

Si se toma la expresin fraccionaria de un nmero racional y se divide el numerador entre el denominador, se obtiene su expresin decimal.

En la expresin p2q

, p es el numerador

y q el denominador.

1.1 El conjunto de los nmeros racionalesComo el cubo consta de seis caras, y cada cara contiene nueve cuadrados, en total el cubo tiene 6 ? 9 5 54 cuadrados.

De acuerdo con lo anterior, la parte del total de cuadrados que representan los que forman una cara del cubo, es:

9

254

9

254

9

254

9

254

9

254

9

254

El nmero 9

254

es un nmero racional.

Un nmero racional se expresa de la forma p

2q

, donde p y q son nmeros enteros y q es distinto de cero.

El conjunto de los nmeros racionales Q se determina as:

Ejemplo 1

El nmero 2957 pertenece al conjunto de los nmeros racionales porque

puede escribirse de la forma p

2q

, escribiendo en el denominador de esta

fraccin el nmero 1.

2957 5 2957222

1

Otros nmeros racionales son:

2422

7, 263,

823

, 23

22

1.2 Expresiones decimales

Todo nmero racional puede expresarse en forma de fraccin o como un decimal finito, infinito peridico puro o infinito peridico mixto.

Las expresiones decimales de los nmeros racionales se pueden clasificar as:

Exacta: cuando el nmero de cifras decimales es finito.

5

28

5 0,625 expresin decimal finita

Peridica pura: cuando la parte decimal se repite indefinidamente, este conjunto de cifras se denomina periodo.

periodo5

29

5 0,555 55... 5 0, 5

Peridica mixta: cuando el periodo comienza despus de una o varias cifras deci-males. El conjunto de cifras que hay entre la coma y el periodo es el anteperiodo.

anteperiodo periodo

96255

5 1,745 454 545 4... 5 1,745

Bloq

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Destreza con criterios de desempeo: Reconocer el conjunto de los nmeros racionales e irracionales e identificar sus elementos.

La humildadUna persona humilde reconoce sus logros pero evita ser egocntrica para no perder la objetividad en su manera de actuar diariamente.

Qu implicaciones podra tener que una persona se concentre solamente en sus logros y deje de ser humilde?

CULTURA del Buen Vivir

Razonamiento matemtico

d

1

1

El primer nmero irracionalPitgoras utiliz su teorema para hallar la diagonal de un cuadrado de lado 1, como el que se observa en la Figura 2.

d 2 5 12 1 12

Cul es el valor de la diagonal d? A qu conjunto numrico pertenece este valor? Por qu?

Ejemplo 2

La expresin decimal del nmero racional 7220

es 0,35. Por lo tanto, este nmero tiene una expresin decimal exacta.

Para el nmero racional 522211

la expresin decimal es peridica pura por-

que 5

22211 5 2 0,454 545 que se puede escribir 20,45 . Esta notacin

indica que el periodo es 45.

La expresin decimal de 232235

es 20,085 714 285 714 25 2 0,085 714 2.

La parte decimal est formada por el cero (anteperiodo) seguida por el periodo 857 142. Por lo tanto, es una expresin decimal peridica mixta.

1.3 El conjunto de los nmeros irracionales

Todo nmero irracional tiene una expresin decimal infinita no peridica. El conjunto de los nmeros irracionales se simboliza con I.

En otras palabras, los nmeros irracionales no se pueden escribir de la forma p

2q

, donde p y q son nmeros enteros y q 0.

Ejemplo 3

Los nmeros , p, e, , , w pertenecen al conjunto de los nmeros irracionales porque su expresin decimal es infinita no peridica:

5 1,319 507 91 p 5 3,141 592 653

e 5 2,718 281 828 4 5 1,189 207 115

5 2,236 067 977 4 w 5 1,618 033 988 749

Para mayor exactitud en los procesos aritmticos y algebraicos, los nmeros irracionales se indican y no se escriben en su expresin decimal.

Segn su origen, los nmeros irracionales se clasifican en algebraicos o trascen-dentes. Observa la Tabla 1.

Clase Ejemplos

Nmero irracional algebraico

El nmero ureo representado por la letra griega phi.

w 5

Las races no exactas., , , ,

Nmero irracional trascendente

El nmero pi es la rela-cin entre la longitud de una circunferencia y su dimetro.

p

La constante de Euler o constante de Napier.

e

Figura 2

Tabla 1

12

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1 Nmeros racionales y nmeros irracionales

Ten en cuenta

El smbolo < se lee como es aproxi-madamente igual a.

En la calculadora

Clculo de racesPara calcular races con ndice diferente a 2 se utiliza la segunda funcin de la tecla . As, para calcular , se digita:

Calcula las races:

, ,

10 3 4 5

1 13

4 5

1122 0 2 3 4

2 e p

1.4 Nmeros irracionales en la recta numrica

A cada nmero irracional le corresponde un punto en la recta numrica.

Ejemplo 4

Para ubicar algunos nmeros irracionales en la recta numrica se llevan a cabo los siguientes pasos.

1. Se traza una recta y se ubican los nmeros 0 y 1.2. Sobre la posicin del nmero 1 se construye un segmento perpendicular

con la misma logitud que la unidad.

3. Se une con un segmento el 0 y el extremo superior del segmento perpendicular que se traz anteriormente.

4. Con un comps se hace centro en 0 y se traza un arco desde la parte superior del segmento perpendicular hasta cortar la recta numrica. Este punto de corte corresponde a y se justifica con el teorema de Pitgoras.

5. Para construir las siguientes races cuadradas se aplica un proceso similar. Observa la Figura 3.

Ejemplo 5

Los nmeros irracionales diferentes a races cuadradas no exactas se ubican en la recta numrica haciendo una aproximacin en la parte decimal a una o dos cifras. As, para representar los nmeros irracionales p, e, , se pueden utilizar aproximaciones como las siguientes:

p < 3,14 e < 2,72 < 21,2

Luego, la representacin de estos nmeros puede hacerse como se muestra en la Figura 4.

Actividad resuelta

Resolucin de problemas 1 Un terreno rectangular mide 12 m de largo y 6 m de ancho. Cunto

mide la diagonal d del terreno? El valor que se halla corresponde a un nmero irracional? Por qu?

Solucin: Para hallar la diagonal del terreno se hace uso del teorema de Pitgoras.

122 1 62 5 d2, entonces d 5 5 13,416 40

Por lo tanto, la diagonal del terreno mide m, que es 13,42 m aproximadamente. El nmero pertenece al conjunto de los nmeros irracionales, pues su expresin decimal es infinita no peridica.

Figura 3

Figura 4

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Destreza con criterios de desempeo: Reconocer el conjunto de los nmeros racionales e irracionales e identificar sus elementos.

Desarrolla tus destrezasEjercitacin

2 Halla la expresin decimal de cada nmero racional. Luego, clasifcala segn sea exacta, infinita peridica pura o infinita peridica mixta.

a. 6

27

b. 215217

c. 25

22

d. 5

29

e. 5

242

f. 23

22

3 Utiliza la calculadora para hallar los valores aproximados a dos decimales de los siguientes nmeros irracionales algebraicos:

a. b.

c. d.

e. f.

4 Aproxima a tres cifras decimales los siguientes nmeros racionales:

a. 278, 567 812 b. 12,734 1

c. 4

278

d. 2348,723 9

e. 21

29

f. 0,546 72

Comunicacin

5 En la Tabla 2, marca con una X la casilla que correspon-da, segn los nmeros sean racionales o irracionales.

Es nmero racional

Es nmero irracional

2

24

25

55, 03

2103

p

4,678

992

8

2345,231409

Tabla 2

Razonamiento

6 Escribe F, si la proposicin es falsa o V, si es verdadera.

a. Todo nmero irracional puede escribirse de

la forma p

2q

.

b. Los nmeros irracionales trascendentes pueden ubicarse con exactitud en la recta numrica por medio de aproximaciones decimales.

c. Todo nmero racional puede expresarse de forma decimal.

d. El primer nmero racional hallado fue .

e. El conjunto de los nmeros racionales es un subconjunto de los nmeros naturales.

( )

( )

( )

( )

( )

Modelacin

7 Representa en la recta numrica el nmero irracional . Explica el proceso que seguiste.

8 En la Figura 5 se muestra la construccin en espiral de las races cuadradas de los nmeros 2 al 15. El procedimiento es similar al que se explic en la pgina anterior. En una hoja en blanco haz la construccin utilizando una escuadra.


9 El largo y ancho de una piscina olmpica es 50 m y 25 m, respectivamente. Si un nadador quiere recorrerla en dia-gonal, qu distancia recorre? A qu conjunto numrico pertenece este valor?

10 La parte de la herencia que le corresponde a un hijo es 8

29

del total. El hijo recibe un valor exacto de dinero?

Figura 5


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2 Nmeros realesExploraLa unin de los conjuntos numricos N, Z, Q, I forma el conjunto de los nmeros reales.

Haz un diagrama de inclusin que resuma la relacin que existe entre estos conjuntos.

Ten en cuenta

La representacin en la recta numrica de los nmeros reales se hace de la misma manera que la representacin de los nmeros racionales e irracionales.

f

p

R

e

5Z

Q

N

25

9

36

2, 6I

2.1 El conjunto de los nmeros realesEl diagrama que representa la inclusin de los conjuntos numricos N, Z, Q, I y la formacin del conjunto de los nmeros reales se presenta en la Figura 1.

Los nmeros reales son el resultado de la unin del conjunto de los nmeros racionales con el conjunto de los nmeros irracionales. Se simboliza con R.

Ejemplo 1

Dada la expresin: "es la circunferencia de un disco volador que tiene un dimetro de 8 cm", cul es el conjunto de nmeros que mejor describe esta situacin?

Los nmeros irracionales son los que mejor describen la relacin, ya que para hallar la longitud de la circunferencia se debe multiplicar el dimetro por la constante p.

En este caso 8 se multiplica por p. Por lo tanto, 8p cm es la longitud de la circunferencia del disco y este corresponde a un nmero irracional.

2.2 Expresin aproximada de un nmero real

Aproximar un nmero real a ciertas cifras decimales consiste en encontrar por defecto o por exceso un nmero muy prximo al dado.

La expresin aproximada de un nmero real puede hallarse por:

Defecto: cuando se busca un nmero con un determinado nmero de cifras decimales inmediatamente menor al dado.

Exceso: cuando se busca un nmero con un determinado nmero de cifras decimales inmediatamente mayor al dado.

Ejemplo 2

La aproximacin de los nmeros 1,245 6; 8,343 58; y, 10,578 3 a dos cifras decimales es:

Nmeros Por defecto Por exceso

1,245 6 1,24 1,25

8,343 58 8,34 8,35

10,578 3 10,57 10,58

Figura 1

Tabla 1

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www.e-sm.net/9smt01

Encontrars ejemplos y datos rela-cionados con los nmeros reales.

TECNOLOGASde la informacin y la comunicacin

La mejor aproximacin para un nmero real en su expresin decimal es:

Por defecto, cuando la cifra siguiente a la que se va a aproximar es 0, 1, 2, 3 o 4.

Por exceso, cuando la cifra siguiente a la que se va a aproximar es 5, 6, 7, 8 o 9.

Ejemplo 3

La mejor aproximacin a cuatro cifras para el nmero 67,982 37 es por exceso 67,982 4 porque la cifra siguiente a 3 es 7.

Actividades resueltas

Comunicacin 1 Justifica por qu la proposicin todo nmero irracional es natural es falsa.

Solucin: La proposicin es falsa porque el conjunto de los nmeros irracionales no

es un subconjunto de los nmeros naturales y viceversa. Son conjuntos que nunca se intersecan.

Resolucin de problemas 2 lvaro paga cuotas mensuales de $785,6 a un banco por un crdito. Si este

banco siempre hace ajuste a la unidad. Cunto paga lvaro en un mes?

Solucin: Hacer ajuste a la unidad significa aproximar la posicin de las unidades.

La cifra decimal 6 hace una aproximacin por exceso a las 5 unidades, para completar as una unidad ms.

Por lo tanto, lvaro paga una cuota mensual de $786.


Ejercitacin

3 Escribe [ o para establecer la relacin de cada nmero con el conjunto numrico dado.

a. 2548 Q

b. 4

27

I

c. 78,2333 Z

d. Q

e. 0,4352 I

f. 6p Z

g. 46,89 R

h. I

i. 8 934 Z

j. 221e I

k. 8725

R

Razonamiento

4 Aproxima los siguientes nmeros reales a cuatro cifras decimales:

a. b. p

c. 1

23

d. 429,12359034

e. f. 23,54781781...

5 Responde y justifica. En qu se diferencian los nmeros irracionales de los

racionales?


6 Un avin recorre entre dos ciudades 9 770,874 km. Cul es la mejor aproximacin de esta distancia a las unidades ?

7 Se necesita distribuir 27 libros entre 4 personas de manera equitativa. Cul sera la mejor manera de repartirlos y por qu?

Destrezas con criterios de desempeo: Reconocer el conjunto de los nmeros reales R e identificar sus elementos. Aproximar nmeros reales a nmeros decimales para resolver problemas.


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3 La recta real

ExploraLos nmeros reales se pueden repre-sentar mediante puntos sobre una recta numrica.

Cules son las caractersticas de la recta real?

Ten en cuenta

Entre dos nmeros reales hay infinitos nmeros reales.

Ten en cuenta

El significado de los smbolos , , ., #, $ es:

, menor que

. mayor que

# menor que o igual a

$ mayor que o igual a

12121,4 0 e

25

3

2

12

5

422

121 0 2m2 x

x

m

La recta real cumple con ciertas caractersticas, tal como se observa en la Figura 1.

Al punto de referencia arbitrario llamado origen, le corresponde el nmero real 0. Dada una unidad conveniente de medicin, cada nmero positivo m se

representa por un punto en la recta a una distancia de m unidades a la derecha del origen, y cada nmero negativo 2x se representa mediante un punto a una distancia de x unidades a la izquierda del origen.

Las flechas a la izquierda y derecha de la recta significan que el conjunto de los nmeros reales es infinito.

A cada nmero real le corresponde un nico punto sobre la recta y a cada punto en la recta real se le asocia un nico nmero real.

Ejemplo 1

Los nmeros reales ubicados en la recta real (Figura 2) estn ordenados as:

El nmero 2 425

, 21

22

, lo cual indica que 24

25

est ubicado sobre la

recta real ms a la izquierda de 21

22

.

El nmero . e22

, entonces est ubicado a la derecha de e

22

.

El nmero # , esto significa que cumple alguna de las si-guientes posibilidades , , o 5 . En este caso se cumple la relacin de igualdad (5).

Ejemplo 2

Para ordenar de menor a mayor el conjunto de nmeros

se puede hacer una aproximacin (para facilitarla comparacin) a dos deci-

males de las expresiones decimales como se muestra a continuacin:

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Destrezas con criterios de desempeo: Hallar el valor absoluto de nmeros reales. Establecer relaciones de orden en un conjunto de nmeros reales utilizando la recta numrica y la simbologa matemtica (=, , ).

Ten en cuenta

La distancia entre dos puntos siempre es positiva porque es la longitud de un segmento de recta.

Ten en cuenta

) a ) 5

Por lo tanto ) a ) $ 0

Razonamiento matemtico

De invierno a veranoLa temperatura de invierno a verano en una ciudad cambia de 227 C a 28 C respectivamente.

Utiliza la frmula de distancia con valor absoluto para hallar cuntos grados Celsius hay entre las dos medidas.

523 0

u23u 5 3 u5u 5 5

3.1 Valor absoluto

El valor absoluto de un nmero real a se simboliza con ) a ) y es la distancia que hay desde a hasta cero sobre la recta real.

Ejemplo 4

En la Figura 3 se representa en la recta real el significado del valor absoluto de los nmeros 23 y 5.

Para simplificar expresiones con valor absoluto es necesario utilizar las propiedades que se definen en la Tabla 2. All los valores de a y b son reales.

Propiedad Ejemplos

1El valor absoluto de un nmero es siempre positivo o cero.

) a ) $ 0 ) 28 ) 5 8 $ 0

2Un nmero y su opuesto tienen siempre el mismo valor absoluto.

) a ) 5 ) 2a ) ) 35,6 ) 5 ) 235,6 )

3El valor absoluto de un producto es el producto de los valores absolutos.

) ab ) 5 ) a ) ) b ) ) 24 ? 9 ) 5 ) 24 ) ) 9 )

4El valor absoluto de un cociente es el cociente de los valores absolutos.

5 ) a )22) b )

5 ) 212 )2222

) 7 )

Ejemplo 5

Para simplificar la expresin se aplican algunas de las

propiedades del valor absoluto, as:

5 Propiedad 3

5

5 Propiedades 2 y 4

5 46 Propiedad 1

Si a y b son nmeros reales y a , b, entonces la distancia entre los puntos a y b en la recta real es: ) b 2 a ) = ) a 2 b )

Ejemplo 6

Para hallar la distancia entre los nmeros 22 y 11, se calcula el valor absoluto de la resta del nmero mayor con el nmero menor, as:

) 11 2 (22) ) 5 ) 13 ) 5 13 es la distancia entre los nmeros 22 y 11.

Figura 3

Tabla 2

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3 La recta realTen en cuenta

En la notacin y grfica de intervalos:

Los parntesis ( ) y los crculos abiertos indican que los valores de los extremos estn excluidos del intervalo.

Los corchetes [ ] y los crculos llenos indican que los valores de los extremos estn incluidos en el intervalo.

Ten en cuenta

El smbolo ` no es un nmero. Significa infinito e indica que el intervalo no tiene punto final en el extremo indicado.

ba

ba

ba

ba

a

a

b

b

6,96 6.5

3.2 Intervalos, semirrectas y entornos

Un intervalo es un subconjunto de nmeros reales que se corresponden con los puntos de un segmento o una semirrecta en la recta real.

La clasificacin de los intervalos se presenta en la Tabla 3, donde los valores de a y b son reales.

Nombre Notacin Conjunto Grfica

Intervalo abierto (a, b) hx/a , x ,bj

Intervalo cerrado [a, b] hx/a # x # bj

Intervalo semiabierto

[a, b) hx/a # x ,bj

(a, b] hx/a , x # bj

Semirrecta

(a, `) hx/x . aj

[a, `) hx/x $ aj

(2`, b) hx/x , bj

(2`, b] hx/x # bj

Recta (2`, `) R

Actividad resuelta


1 Un sismo se considera fuerte segn la escala de Richter si tiene una magnitud mayor o igual a 6 y menor que 6,9. Qu intervalo hace relacin a la situacin planteada?

Solucin: El tipo de intervalo que representa la situacin es semiabierto, por tanto

su notacin es [6; 6,9), el conjunto correspondiente hx/6 # x , 6,9j, y su representacin grfica corresponde a la Figura 5.

Tabla 3

Figura 4

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Destrezas con criterios de desempeo: Hallar el valor absoluto de nmeros reales. Representar un intervalo en R de manera algebraica y grfica.


Ejercitacin

2 Halla el valor aproximado con cuatro decimales de las siguientes expresiones con valor absoluto.

a. ) 5 2 p ) b. ) ) 210 ) 2 ) 24 ) )

c. ) 2 5) d. ) 24 )

e. )21)

2222 1

f.

g. )2 15 ? 8) h. )35 ? 2 ? 29)

3 Determina la distancia entre cada par de nmeros.

a. 25 y 17 b. 23,8 y 2,4

c. 3

25

y 21

22

d. 2345,67 y 2 986,21

e. 25629

y 25

26

f. 8 546 y 21 234

g. 223 y 14 h. 3,45 y 1,45

4 Expresa en forma de intervalo los entornos.

a. E4 (22) b. E

2 (5)

c. E3 (10) d. E

5 (23)

e. E1 (27) f. E

6 (1)

5 Representa en la recta real el siguiente conjunto de nmeros reales.

6 Realiza la grfica de los siguientes intervalos:

a. {x/x 24} b.

c. d. hx/1, 5 # x # 3,56j

e. hx/x , 2 6,7j f.

7 Representa en la recta real cada pareja de nmeros y escribe .,, o 5, segn corresponda.

a. 25,4 23,8 b. 21,2 2,3

c. 25

26

210212

d. 3

25

1,6

e. 20,91 27

23

f. 21

24

2,3Comunicacin

8 Dentro de la notacin de conjunto para un intervalo como hx/a < x # bj, la expresin a , x # b es llamada desigualdad.

Cul es la desigualdad que representa al intervalo (223, 56]? Explica tu respuesta.

210

215

0

25

5

10

15

20

25Temperatura mdia - Montreal

ene feb mar abr may jun jul ago sep oct nov dic

210

.2

28.

4 22.

3

5.7

13.4

18.2 2

0.9

14.6

19.6

8.1

1.6

26.

3

9 Expresa cada proposicin mediante la notacin de intervalo y conjunto:

a. La estatura de los jugadores de un equipo de balon-cesto es menor a 1,98 m y mayor o igual a 1,82 m.

b. Los niveles normales de glucosa en ayunas en un ser humano deben ser mayores o iguales a 70 mg/dl y menores que 100 mg/dl.

c. El tiempo que tarda una persona en llegar a su

trabajo es mayor a 5

26

h y menor o igual a 3

22

h.

Resolucin de problemas 10 La temperatura media en Montreal durante un ao se

muestra en la Figura 5. Utiliza la frmula de distancia con valor absoluto para hallar el aumento en grados Celsius entre los meses de enero a julio.

11 Un nutricionista hace un plan de alimentacin para que un paciente mantenga su peso normal entre 56,6 kg y 61,5 kg mximo. Responde.

a. Haz una grfica del intervalo del peso normal.

b. Si el paciente actualmente pesa 75,4 kg, cuntos kilogramos debe perder el paciente para alcanzar el promedio del peso normal?

12 La escala numrica de evaluacin por desempeos en una institucin educativa se presenta en la Tabla 4.

Nivel de desempeo Escala numrica

Bajo [1,0 a 3,0)

Bsico [3,0 a 4,0)

Alto [4,0 a 4,6)

Superior [4,6 a 5,0]

a. Qu tipo de intervalo representa la escala numrica de cada desempeo? Grafcalos.

b. Si un estudiante obtiene 3,94 en su promedio quimestral, qu desempeo obtiene?

Tabla 4

Figura 5

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4 Potencias con exponente enteroExploraFernando y Luisa participan en un concurso de matemticas. En una de las pruebas deben justificar si la expre-sin 252 5 25 es verdadera. Fernan-do dice que la igualdad es correcta, mientras que Luisa dice que es falsa.

Quin tiene razn y cul es la jus-tificacin a esta respuesta?

Ten en cuenta

a0 5 1, si a ? 0

a1 5 a

En la calculadora

Potencias con base negativaPara calcular potencias con base nega-tiva se utilizan las teclas y

As, para calcular (24)5 , se digita:

Calcula las siguientes potencias:

(210)3, (22,5)7, (22)13

La igualdad 252 5 25 es falsa porque:

252 5 2(5 ? 5) 5 225

Lo anterior indica que el exponente 2 afecta solo al nmero 5 y el signo (2)se ubica luego de hallar la potencia. Por lo tanto, Luisa tiene razn.

4.1 Propiedades de las potencias con exponente enteroTodo nmero real a diferente de cero, elevado a un exponente entero negativo n, cumple que:

a2 n 5 1

2a n

Para simplificar expresiones donde estn presentes potencias con exponentes enteros se utilizan las propiedades definidas en la Tabla 1. Las bases a y b son nmeros reales diferentes de cero, en los casos que sean denominadores, y los exponentes m y n son nmeros enteros.

Propiedad Ejemplo

1 aman 5 am 1 n (23)2 (23)5 5 (23)7

2 am

2an

5 am 2 n 225

2224

5 225 2 4 5 229 5 1

229

3 (am) n 5 am?n (45) 7 5 45?7 5 435

4 (ab) n 5 anbn (26 ? 8)2 5 (26)2 ? 82

5 5 an2bn

5 36276

6 5 5

7a2n22b2m

5 bm

2an

42222329

5 39

242

Ejemplo 1

La simplificacin de la expresin 282 ? 423 1 30 es:

282 ? 423 1 30 5 264 ? 1

264

1 1

5 2 64264

11 5 0

Actividad resuelta


1 Un cientfico est creando una frmula general para modelar una

situacin real. La expresin que escribi es (3ab2c) . Ayuda al

cientfico a simplifi car la expresin y a eliminar los exponentes.

Solucin: Para simplificar la expresin utilizamos las propiedades definidas en la Tabla 1.

(3ab2c) 5 (3ab2c) 5 (3ab2c) 5 3ab2cc6

222224a4b2

5 3c7

224a3

Tabla 1

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Destreza con criterios de desempeo: Aplicar las propiedades de las potencias con exponente entero, en la resolucin de ejercicios y problemas.


2 Calcula las siguientes potencias:

a. (23,5)3 b. 80 ?

c. 244 ? 225 d. (990 2 23,4 )2

e. 32222

9 f. 00

g. h. 102 ? 103

i. ((24)2)23 j. 230

222(23)2

3 Simplifica cada una de las siguientes expresiones y elimina los exponentes negativos.

a. a8a24 b. (16x2y4)

c. b4 (12b28) d. (x2y3)4 (xy4)232222222

x2y

e. a23b4

2222a25b5

f.

g. h.

4 Escribe los siguientes nmeros como potencias cuyas bases sean nmeros primos.

a. 8, 125, 243, 1 024, 2 401

b. 12625

, 12343

, 12256

, 1281

, 1232

Comunicacin

5 Escribe la propiedad o definicin que se utiliza en cada

paso para simplificar la expresin .

5 (4a22 2 (22) b242 (23))22

5 (4a0b21)22

5

5

5

5 b2242

5 b2216

Razonamiento

6 Completa la Tabla 2.

Base Exponente Potencia

25

23

3 212522

27

2 2 1225

2101 0

3 1 000

25 122625

7 Calcula mentalmente las siguientes expresiones apli-cando las propiedades de los exponentes.

a. 185

2295

b. 206 (0,5)6

8 Determina el signo de cada expresin, sabiendo que a, b y c son nmeros reales con a . 0, b , 0 y c , 0.

a. b5 b. (b 2 a)4

c. a5 c522

b6 d. (b 2 a)3

e. b10 f. ab2c3

9 Relaciona las expresiones equivalentes.

a. 321

22521

64

b. p22 52

3

c. 1

22822

12p2


10 La edad de una micro bacteria J es de 122323

das.

a. Cul es la edad total de tres micro bacterias?

b. Una micro bacteria M vive la tercera parte de la vida de la micro-bacteria J. Cuntos das vive la micro bacteria M?

11 En tecnologa informtica, un kilobyte tiene el tamao de 210 bytes. Un gigabyte es 230 bytes en tamao. El tamao de un terabyte es el producto del tamao de un kilobyte por un gigabyte. Cul es el tamao de un terabyte?

Tabla 2

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5 Notacin cientfica ExploraLa distancia entre el Sol y la Tierra es de aproximadamente 149 600 000 km.

Escribe esta distancia en notacin cientfica.

En la calculadora

Sumar nmeros escritos en notacin cientficaPara sumar nmeros escritos en nota-cin cientfica se utiliza la tecla

As, para calcular 4,2 ? 103 1 9 ? 1025 se digita:

Calcula:

6,8 ? 1022 1 5 ? 103

Para escribir la distancia 149 600 000 km usando notacin cientfica, se deben seguir estos pasos:

Se desplaza la coma decimal en 149 600 000 hacia la izquierda hasta obtener un nmero mayor o igual a 1 y menor que 10. Se quitan los ceros y se obtiene 1,496.

Se escribe el producto entre 1,496 y 108. El exponente 8 indica las cifras decimales que se desplaz la coma decimal en el paso anterior.

Por lo tanto, 1,496 ? 108 es la distancia del Sol a la Tierra en notacin cientfica.

Un nmero positivo x est escrito en notacin cientfica si est expresado como:

x 5 a ? 10n donde 1 # a , 10 y n [ Z

Ejemplo 1

Para escribir el nmero 3,13 ? 1026 en notacin decimal se desplazan seis cifras decimales hacia la izquierda como lo indica el exponente de 10.

3,13 ? 1026 en notacin decimal es 0,000 003 13.

5.1 Notacin cientfica y operaciones Para sumar y restar nmeros escritos en notacin cientfica es necesario que los nmeros tengan la misma potencia de 10.

Ejemplo 2

Para sumar 3,1 ? 108 y 3,38 ? 107 se reescribe el nmero 3,38 ? 107 con potencia 108, aumentando en 1 el exponente de 10 y desplazando una cifra a la izquierda en el nmero decimal, as: 3,38 ? 107 5 0,338 ? 108.

Luego, se suman los nmeros decimales y se deja la misma potencia, obteniendo:

(3,1 1 0,338 ) ? 108 5 3,438 ? 108

Para multiplicar y dividir nmeros escritos en notacin cientfica se utilizan las propiedades de las potencias.

Ejemplo 3

Para calcular el producto (1,8 ? 109) (6,7 ? 1012) se multiplican los nmeros decimales y luego se aplica la propiedad 1 de las potencias para simplificar 109 ? 1012, entonces el producto se resuelve as:

(1,8 ? 109) (6,7 ? 1012) 5 12,06 ? 1021 5 1,206 ? 1022

Actividad resuelta

Resolucin de problemas 1 Un cabello humano tiene un ancho aproximado de 6,5 ? 1025 mm. Cul

es el ancho del cabello escrito en notacin decimal?

Solucin: Para escribir el ancho del cabello 6,5 ? 1025 en notacin decimal se debe: Desplazar cinco cifras decimales a la izquierda como lo indica el exponente de 10 en 6,5. Se escribe el nmero decimal: 0,000 065 mm.

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Destreza con criterios de desempeo: Aplicar las potencias de nmeros reales con exponentes enteros para la notacin cientfica.


2 Escribe cada nmero en notacin cientfica.

a. 58 934 000 000 b. 0,000 26

c. 97 000 000 000 d. 396 000 000 000

e. 0,041 9 f. 634 000 000

g. 0,000 000 000 325 h. 921 560 000 000

i. 0,000 000 065 9 j. 634 000 000

k. 0,000 002 13 l. 21 860 000 000

3 Escribe cada nmero en notacin decimal.

a. 6,278 ? 10210 b. 6 ? 1012

c. 9,999 ? 1029 d. 2,721 ? 108

e. 7,1 ? 1014 f. 8,55 ? 1023

g. 45,678 ? 1025 h. 3,19 ? 104

4 Utiliza la notacin cientfica, las propiedades de las potencias y la calculadora para obtener el resultado de las siguientes operaciones:

a. (7,2 ? 1029)(1, 806 ? 10212)

b. (3,542 ? 1026)922222222

(5,05 ? 104)12

c. (0,000 016 2)(0,015 82)222222222222(594 621 000)(0,005 8)

d. (73,1)(1,634 1 ? 1028)

222222222222(0,000 000 001 9)

e. 1,295 643 ? 109

222222222222222(3,610 ? 10217)(2,511? 106)

f. (7,2 ? 1024)(8,61 ? 1019)

Comunicacin

5 Completa la Tabla 1.

ObjetoRadio en metros

Decimal N. cientfica

La Luna 1 740 000

tomo de plata 1,25 ? 10210

Huevo de pez globo

0,002 8

Jpiter 7,149 ? 107

tomo de aluminio

0,000 000 000 182

Marte 3,397 ? 106

Tabla 1

6 Expresa cada proposicin en notacin cientfica.

a. La masa de la Tierra es aproximadamente de 5 970 000 000 000 000 000 000 000 kg.

b. El dimetro de un electrn es de casi 0,000 000 000 000 4 cm.

c. Un ao luz equivale a 9 461 000 000 000 km

d. La longitud media de un caro de polvo es aproximadamente de 0,000 1 mm.

e. El dimetro aproximado del Sol es de 1 400 000 km.

Razonamiento

7 Analiza y responde.

a. Cul de las siguientes medidas no es necesario escri-bir en notacin cientfica: nmero de estrellas en una galaxia, nmero de granos de arena en una playa, ve-locidad de un carro, o la poblacin de un pas?

b. El nmero 0,9 ? 1025 est escrito correctamente en notacin cientfica? Por qu?

c. Qu diferencia hay en el exponente de la potencia de 10 cuando escribes un nmero entre 0 y 1 en notacin cientfica y cuando escribes un nmero mayor que 1 en notacin cientfica?


8 Si la velocidad de la luz es 3 ? 108 m/s, cunto tarda en recorrer 15 km?

9 Un beb recin nacido tiene cerca de 26 000 000 000 clulas. Un adulto tiene cerca de 4,94 ? 1013 clulas. Cuntas clulas ms tiene un adulto que un recin nacido? Escribe la respuesta en notacin cientfica.

10 El rea total de terreno en la Tierra es aproximadamente 6 ? 107 millas cuadradas. El rea total de terreno de Aus-tralia es cerca de 3 ? 106 millas cuadradas. Aproximada-mente, cuntas veces es mayor el rea total del terreno en la Tierra que en Australia?

11 Sara puede digitar cerca de 40 palabras por minuto. Cuntas horas le tomar digitar un texto de 2,6 ? 105 palabras?

SM Ediciones

24

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6 RadicalesExploraAndrs est hallando los valores de algunas races en la calculadora. Cuando digita la , le aparece en la pantalla Math Error.

Cul es el significado de Math Error para esta raz?

Ten en cuenta

ndice

radical

radicando

raz

6.1 Raz cuadrada y cbica de un nmero realCuando Andrs digita en la calculadora, el aviso Math Error que aparece en la pantalla, significa que hay un error matemtico o que el resultado no est definido.

En este caso, se deduce que la raz cuadrada de 28 no existe porque no hay un nmero real que multiplicado dos veces por s mismo d como resultado 28. Por lo tanto, no est definida en los nmeros reales.

En general, si n [ Z1, entonces la raz n-sima de un nmero real a se define como:

5 b significa que bn 5 a

Si n es par, se debe tener que a $ 0 y b $ 0.

Ejemplo 1

Para expresar los nmeros 216 en forma de potencia se debe realizar este procedimiento:

a. Calcular las races de cada expresin radical, as: 9 216 6b. Se establece la relacin entre los trminos de la radicacin y la potenciacin. As:

9 92 5 81 53 5 125

(2 4)3 5 64 216 6 (2 6)3 5 2 216

Ejemplo 2

El nmero de races reales que tiene un nmero real depende del signo del radi-cando y de si el ndice es par o impar. Ten en cuenta la informacin de la Tabla 1.

ndice RadicandoNmero de races reales

Ejemplos

Tres Cualquier

nmero real

Una de igual signo que el radicando

3 5 2, porque 23 5 8

3 5 25, porque (25)3 5 2 125

5 0, porque 03 5 0

Dos

PositivoDos races opuestas

49 5 6 7, porque 72 5 49 o (27)2 5 49

Nulo Una raz nula 5 0, porque 02 5 0

NegativoNo existen races r

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