MATEMATIIKKAKILPAILUT JANIIHIN LIITTYVÄ VALMENNUS

Oulun yliopisto

5.‒7.11.2013

Matti Lehtinen

Princetonilaisen matemaatikon mielipide

--- the central question of the sociology of mathematics: why is it that mathematicians are such nice people? --- we take equal delight in fierce competition and collaborative effort ---

(Edward Nelson)

Aluksi kilpailtiin tieteessä

• 1535: Antonio Maria Fior vastaan Niccolo Tartaglia: 0 ‒ 30.

• 1600-luvulta 1900-luvun alkuun: tiede-akatemioiden ja tieteellisten seurojen kilpailuja.

• Euler, Gauss, Pekka Juhana Myrberg.

Kilpailut alkavat sivuta opetusta

• Cambridgen yliopiston Mathematical Tripos 1748 ‒ ; Senior Wrangler, Second Wrangler.

• Ranskan Concours General 1744 ‒ .

Varsinaiset koululaiskilpailut syntyvät hyvään tarkoitukseen

• 1894 – paroni Lorand Eötvösistä Unkarin opetusministeri, ystävät onnittelevat – koululaisten matematiikkakilpailujen alku.

• 1934 – ”matematiikkaolympialaiset” – Leningrad, 1935 Moskova.

• 1940-luvun loppu – kattavat kilpailu-järjestelmät sosialistimaissa.

• 1950 – AHSME, USA• 1959 – Kansainväliset matematiikka-

olympialaiset – IMO.

Eötvös-kilpailu, 1894

1. Todista, että lausekkeet 2x + 3y ja 9x + 5y ovat jaollisia 17:llä samoilla x:n ja y:n arvoilla.2. On annettuina ympyrä ja kaksi pistettä P ja Q. Piirrä ympyrän sisään suorakulmainen kolmio, jonka toinen kateetti kulkee P:n ja toinen Q:n kautta. Millä P:n ja Q:n sijainneilla tehtäväon ratkaistavissa?3. Kolmion sivujen pituudet muodostavat aritmeettisen jo-non, jonka termien erotus on d. Kolmion ala on t. Määritäkolmion sivut ja kulmat. Ratkaise tehtävä, kun d = 1 ja t =6.

Mitä matematiikkakilpailuissa tapahtuu?

• Ratkaistaan joko monta tehtävää lyhyessä ajassa (monivalinta, numerovastaus) tai muutamia vaativia tehtäviä melko lyhyessä ajassa; ”omin sanoin” -vastaukset.

• Kuntourheilu, huippu-urheilu.

Matematiikan koululaiskilpailujen kaksi päätyyppiä

• Massakilpailu monivalintatehtävin– Paljon tehtäviä, aika rajallinen

– Tehtävien vaikeustaso kokeen sisällä vaihteleva

– Helppo arvioida suuretkin osallistujamäärät

• Perinteinen koe– Aikaa/tehtävä enemmän

– Kaikki tehtävät epätriviaaleja

– Pääosassa päättely, ei numeerinen vastaus

– Arviointi vaativaa

Laskento ja matematiikka

• Kuntourheilumatematiikkakilpailu: laskutehtäviä, usein oivallusta kysyviä: ”Määritä…”, ”Laske…”, ”Mikä on…?”

• Huippu-urheilukilpailut: ”Osoita, että…”

• Koululaiskilpailut, koulumatematiikka?

Koulumatematiikka = "pre-calculus"

• Alkuperäinen kilpailumatematiikan idea: kilpailu ei ole koe vaan laajemmin kilpailijan matema-tiikan taitoa mittaava tapahtuma.

• Koulumatematiikan keskeisiksi osiksi koettiin geometria ja algebra.

• Nykytilanne: kiteytyneet neljä aihealaa: algebra, geometria, kombinatoriikka, lukuteoria.

• Analyysi ei ole kilpailumatematiikan normaalia sisältöä.

Suomi on aina mukana siellä missä tapahtuu

• 1965; 1973 – Kansainväliset matematiik-kaolympialaiset.

• 1987 – Pohjoismainen matematiikkakil-pailu.

• 1993 – Kansainvälinen Baltian tie

-joukkuematematiikkakilpailu.

• 2012 – Euroopan tyttöjen matematiikkaolympialaiset.

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset• Joka vuosi.• Osallistujat alle 20-vuotiaita, enintään lukiota

vastaavassa koulussa.• Noin 100 osallistujamaata, 6 oppilasta/maa.• Kaksi päivää, 9 tuntia, 6 tehtävää, maksimipisteet 42.• Yksilökilpailu, mutta joukkueen yhteen lasketut pisteet

kiinnostavat.• Kultamitali noin 1/12:lle, hopeamitali noin 1/6:lle,

pronssimitali noin 1/3:lle kilpailijoista. Kunniamaininta, jos yksi tehtävä oikein.

Omituista

• Kansainvälisiä matematiikkaolympialaisia ei johda mikään ylikansallinen elin. (Vuodesta 1980 kuitenkin IMO Site Committee”, sittemmin IMO Advisory Board).

• Rahoituskäytäntö perustuu taannoisiin sosialististen maiden välisiin menettelyihin: isäntä maksaa viulut (pl. matkakulut).

• 100-jäseninen tuomaristo tekee päätökset (valitsee tehtävät jne.).

Pohjoismainen matematiikkakilpailu

• Perustettiin 1987 tukemaan pohjoismaiden osallistumista IMO:on.

• Kotirataottelu vuosittain maalis-huhtikuussa.

• 20 osallistujaa/maa.

• 4 tehtävää, 4 tuntia.• Kunniakirja, jossa parhaille sijoitustieto.

Baltian Tie -joukkuematematiikkakilpailu

• Marraskuussa, järjestäjämaa kiertää.

• Lähtökohtana Tallinna‒Riika‒Vilna

-mielenosoitus vuonna 1989.

• Noin 10 osallistujamaata Itämeren ympäriltä + Norja ja Islanti.

• 5 hengen joukkueet, 20 tehtävää, 4 tuntia.

EGMO, Euroopan tyttöjen matematiikkaolympialaiset

• IMO:ssa naispuolisten kilpailijoiden osuus 5 ‒ 10 %; kaikkien aikojen parhaiten menestynyt kilpailija Lisa Sauermann, Saksa.

• Brittiläinen aloite: tytöille oma kilpailu, ”rohkai-suksi”.

• Ensimmäinen kilpailu Cambridgessä 2012, 19 joukkuetta.

• Kilpailun rakenne sama kuin IMO:n.• Vastaanotto kahtalainen, esimerkiksi Ruotsi ei

halua osallistua.

Entä kotimaiset kilpailut?

• Tiettävästi ensimmäinen Matemaattisten aineiden opettajien liiton matematiikka-kilpailu vuonna 1955.

• ”Teinien matematiikkakilpailu”, sittemmin Peruskoulun matematiikkakilpailu vuo-desta 1960. Aluksi pankkien sponsoroi-ma, tehtävissä talousaiheita.

• Lukion matematiikkakilpailu vuodesta 1966.

Lukion matematiikkakilpailu

• Alku Suomen yllättävästä osallistumisesta IMO:on vuonna 1965.

• Aluksi kilpailu, jossa tehtävät vapaasti käytössä määräajan.

• Vuodesta 1976 kilpailu kouluissa, kaksisarjaisena. 1997 alkaen kaksi kierrosta ja kolme sarjaa, luokattoman lukion aikana osallistumisoikeus sidottu ikään.

• Alkukilpailu tänä vuonna12. marraskuuta!

Kilpailuja opiskelijoille ja opettajille?

• Cambridgen "Mathematical Tripos"

• Putnam-kilpailu USA:ssa 1938 ‒ .

• International Mathematics Competition for University Students vuodesta 1994

• Mongolian matematiikanopettajien kilpailu

Kilpailumatematiikan lajit

• Algebra

• Geometria

• Lukuteoria

• Kombinatoriikka

Algebra

• Polynomit

• Kompleksiluvut

• Algebralliset yhtälöt

• Epäyhtälöt

• Funktionaaliyhtälöt

• Lukujonot

Geometria

• Klassinen euklidinen tasogeometria: kolmioiden yhtenevyys ja yhdenmuotoisuus, kehäkulmalause, Cevan ja Menelaoksen lauseet, Eulerin suora jne.

• Eri metodit: vektorit, analyyttinen geometria, kompleksilukujen käyttö, projektiiviset menetelmät

Lukuteoria

• Jaollisuustehtävät

• Diofantoksen yhtälöt

• Kongruenssit

• Fermat’n pieni lause, Eulerin funktio

• Kiinalainen jäännöslause

Kombinatoriikka

• Enumeratiivinen kombinatoriikka.

• Valepuetut verkko-ongelmat, väritystehtävät.

• Pelit, voittostrategiat.

Valmennustarve

• Urheilija valmentautuu kilpailuihin!

• Suomalainen koulumatematiikka kattaa heikosti kilpailuaihealueet – toisin kuin esimerkiksi etelämpänä, missä euklidinen geometria on yhä merkittävä oppisisältö.

• Suomalainen koulumatematiikka on melkein kokonaan laskentoa.

Matematiikkakilpailujen todellinen merkitys

• ”Herättää kiinnostusta matematiikkaan ja sen opiskeluun”?

• ”Löytää matemaattisesti lahjakkaat ja ohjata heidät matematiikan pariin”?

• Minusta olennaisinta: Vuosittain (ainakin) kymmenettuhannet nuoret ympäri maail-maa tulevat kilpailuihin valmentautumises-sa tietoisiksi koululaskennon ulkopuolella olevasta ”oikeasta matematiikasta”.

Kilpailuvalmennuksen historiaa Suomessa

• Vuodesta 1973 olympiaedustus ja lyhyt joukkueen valmennusjakso (3–4 päivää)

• 1970-luvun puolivälistä valmennuskirjeitä.

• 1994– : Ympärivuotinen valmennusrinki

• Suomen matemaattisen yhdistyksen valmennusjaosto; valitsee myös joukkueet kansainvälisiin kilpailuihin ja huolehtii käytännön järjestelyistä.

Valmennus nykyisin

• Kuusi valmennusviikonloppua (perjantai-ilta –sunnuntai-iltapäivä) Päivölän opistossa + toukokuinen olympiajoukkueen valmennusviikko.

• Kerrallaan läsnä 30–50 henkeä.• Pitkäjänteisesti (yli vuoden ajan) mukana

suuruusluokkaisesti 10 oppilasta.• Valmentajat, kymmenkunta, entisiä IMO-osallistujia,

toimivat talkooperusteisesti..

Valmennus nykyisin

• Valtion valmennusrahoitus kattaa kuluja, tulevaisuus epävarma.

• Suomenkielistä valmennusmateriaalia niukasti: Kilpailumatematiikan opas ja http://solmu.math.helsinki.fi/olympia/aiheet

• Valmennustoimintaa viritelty muuallakin, mm. Oulussa.

Valmennuksen tulokset? Suomen sijoitus matematiikkaolympialaisissa kautta vuosien

• "1" = vuosi 1959, "54" = vuosi 2013

Suomi ja IMO

• Mukana 40 kertaa, 254 osallistujaa (saman henkilön osallistuminen eri vuosina laskettu erikseen).

• 1 kultamitali, 8 hopeamitalia, 46 pronssimitalia, 47 kunniamainintaa.

Mutta

• Aika moni nuori on saanut kosketusta oi-keaan matematiikkaan ja toisiin matema-tiikasta kiinnostuneisiin.

• Olisi epämoraalista sitouttaa nuoria pelk-kään kilpailumatematiikkaan: ”oikean ma-tematiikan” tekeminen, niin uuden luomi-nen kuin olemassa olevan soveltaminen on muuta kuin tehtävän ratkaisemista ra-joitetussa ajassa.