matematika zavrsni puskice 1 oblast
DESCRIPTION
Matematika Zavrsni Puskice 1 OblastTRANSCRIPT
![Page 1: Matematika Zavrsni Puskice 1 Oblast](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012315/55721305497959fc0b916e28/html5/thumbnails/1.jpg)
MATEMATIČKA INDUKCIJA- Italijanski matematičar G.Peano 1889.god. je izložio sistem aksioma koji u cjelosti karakteriziraju i omogućavaju aksiomatsku izgradnju algebre skupa prirodni brojeva N.Peanovi aksiomi :
1.) 1∈N2.) n∈N ima svog sljedbenika koji je takođe prirodni broj (∀ n∈N ¿(∃n'=n+1∈N )3.) Broj 1 nije sljedbenik niti jednog prirodnog broja.
4.)Svaki prirodni broj ima tačno jednog sljedbenika,tj ako je m'=n' →m=n5.)Ako je M c N i u tom skupu vrijedi 1.) i 2.) osobina onda je M=NPricip potpune matematičke indukcijeNeka je M c N podskup od N sa ova dvije osobine
1.) 1∈M2.)(∀n∈N ) n∈M → n+1∈M .
Tada je M=N. Kada želimo dokazati da neka tvrdnja T n koja ovisi o n∈N vrijedi za sve n∈N ,
sa M označimo skup svih prirodnih brojeva n za koje vrijedi tvrdnja T n.
Zatim napravimo sledeća 3 koraka:1.) Baza indukcije (n=1): Pokažemo da tvrdnja vrijedi za n=12.)Induktivna pretpostavka (n=k) : Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za prirodan broj k.3.)Korak indukcije (n=k+1) : Koristeći induktivnu pretpostavku pokažemo da tvrdnja vrijedi i za prirodan broj k+1.Tada prema principu matematičke indukcije zaključujemo da j
e M=N,tj,da tvrdnja T n,vrijedi za svaki n∈N .
Primjer: 1+2+....+n=n(n+1)
2
![Page 2: Matematika Zavrsni Puskice 1 Oblast](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012315/55721305497959fc0b916e28/html5/thumbnails/2.jpg)
Newtonova binomna formulaBinomna formula služi za računanje n-te potencije binoma (a+b).Za razumijevanje ove formule potrebno je poznavati faktorijale i binomne koeficijente.
Faktorijali: Umnožak prvih n prirodnih brojeva zovemo en – faktorijali i označavamo ih sa n! .
Dakle, n!=1*2...(n-1)*n .Po dogovoru se uzima da je 0!=1.
Binomni koeficijenti: Za cijele brojeva n i k,0 ≤ k ≤ n,definiramo binomne koeficijente (nk) (n nad k)
formulom: (nk)= n!
k ! ( n−k )!Teorem: Neka su a ,b∈ ∁ in∈N .Tada
.(a+b)n=∑k=0
n
(nk )an−k∗bk=(n0)an∗b0+(n1)an−1∗b1+(n
2)an−2∗b2+…+(nn)bn
Dokaz:1)Provjera tačnosti tvrdnje za n=1
.(a+b)1=(10)a1∗b0+(11)a0∗b1=a+b →tvrdnja je ta č na zan=1
2.)Pretpostavka tačnosti tvrdnje za n=k3.)Dokaz tvrdnje za n=k+1 na osnovu induktivne pretpostavke
.(a+b )k +1=(a+b ) ¿..= (a+b )[(k0)ak∗b0+(k1)ak −1∗b1+(k2)ak−2∗b2+…+( k
k−1)a1∗bk−1+(k2)a0∗bk ]
.¿(k0)ak+1∗b0+[(k0)+(k1)]ak∗b1+[(k1)+(k2)]ak−1∗b2+…+[( k
k−1)+(kk)]a1∗bk+(k
k)a0∗bk+1.
¿(k+10 )ak+1∗b0+(k+1
1 )ak∗b1+(k+12 )ak−1∗b2+…+(k+1
k+1)a0∗bk+1
odakle vidimo da formula vrijedi i za n=k+1
![Page 3: Matematika Zavrsni Puskice 1 Oblast](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012315/55721305497959fc0b916e28/html5/thumbnails/3.jpg)
Trigonometrijski oblik kompleksnog brojaNeka je dat kompleksni broj z=x+iy u kompleksnoj ravni.Kompleksni broj z=x+iy
možemo zapisati u trigonometrijskom obliku z=r (cosφ+isinφ),gdje je φ argument kompleksnog broja.
Teorem 1.) Dva kompleksna broja z1, z2 zadana u trigonometrijskom obliku
z1=r1 (cosφ1+isinφ1 ) , z2=r2(cosφ2+isinφ2) jednaka su onda i samo onda ako je
r1=r2 i φ1=φ2+2 kπ ,gdje je k neki cijeli broj.
Teorem 2.) Neka je z1=r1 (cosφ1+isinφ1 ) , z2=r2(cosφ2+isinφ2).Tada vrijedi
.z1∗z2=r1∗r2¿
.z1
z2
=r1
r2
¿,z2≠ 0
Korolar 1.) Neka je z=r (cosφ+isinφ).Tada za svaki n∈N vrijedi
.zn=r n(cos∗n∗φ+isin∗n∗φ).
Specijalno za r=1 vrijedi Moivreova formula:
.(cosφ+isinφ)n=(cos∗n∗φ+isin∗n∗φ)Definicija 1.) Za kompleksni broj z kažemo da je n-ti korijen iz kompleksnog broja w ako je zn=w.
Teorem 3.) Moivreov teorem: Neka je w=r (cosφ+isinφ ) , r≠ 0 ,kompleksan broj zapisan
u trigonometrijskom obliku.
Tada jednačina zn=w , n∈N ima tačno n različiti rješenja.
.zk=n√r (cos
φ+2 kπn
+isinφ+2 kπ
n ) , k=0,1,2. .n−1
![Page 4: Matematika Zavrsni Puskice 1 Oblast](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012315/55721305497959fc0b916e28/html5/thumbnails/4.jpg)
Uvjet rješivosti sistema linearnih jednačinaSistem
a11 x1+a12 x2… ..a1 n xn=b1 (1)
a21 x1+a22 x2 …..a2n xn=b2
⋮ ⋮ ⋮ am1 x1+am2 x2 …amn xn=bm, možemo zapisati u vektorskom obliku
x1[ a11
a21
⋮am1
]+x2[ a12
a22
⋮am2
]+... …+xn[ a1 n
a2 n
⋮amn
]=[ b1
b2
⋮bm
] ili kraće
x1 a1+ x2 a2+, , ,+xn an=bn (2)
gdje su a1…an kolone matrice sistema A,a b vektor slobodnih koeficijenata.
Iz (2) vidimo da riješiti sistem (1) znači pronaći sve moguće prikaze vektora b
kao linearne kombinacije vektoraa1 , a2 …an.
Sistem (1) je rješiv onda i samo onda ako se vektor b može prikazati kao linearna
kombinacija vektora a1…. an .Budući da je vektor b linearna kombinacija a1…. an ,,
onda i samo onda ako je rang matrica A tog sistema jednak rangu proširene matrice [ A , b ] ,dokazali samo sljedeći teorem.Teorem: Kroneker-Kapelij: Sistem ima rješenje onda i samo onda ako matrica tog sistema A
i proširena matrica [ A , b ] imaju isti rang.
![Page 5: Matematika Zavrsni Puskice 1 Oblast](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012315/55721305497959fc0b916e28/html5/thumbnails/5.jpg)
Gausov metod
a1 x+b1 y=c1
a2 x+b2 y=c2 (a1 , a2 , b1 , b2 , c1 , c2∈R ¿ (1)
Gausov metod se sastoji da sistem (1) ekvivalentnom transformacijom dovedemo na oblik trougaone šeme.
a1 x+b1 y=c1
dy=e (d , e∈R) (2)
Iz (2) jednačine odredimo vrijednost nepoznate y i njenu vrijednost uvrstimo u (1) jednačinu.Tako dobijemo jednačinu sa jednom nepoznatom i sada možemo odrediti vrijednost nepoznate x
![Page 6: Matematika Zavrsni Puskice 1 Oblast](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012315/55721305497959fc0b916e28/html5/thumbnails/6.jpg)
.Prvu jednačinu sistema pomnožimo sa −a2
a1
i novodobijenu jednačinu
dodajmo drugoj jednačini sistema.
a1 x+b1 y=c1
(a1b2−a2 b1 ) y=a1 c2−a2 c1.Moguća su 3 kvalitativno različita rješenja.
1.)a1b2−a2 b1 ≠ 0 i tada se iz druge jednačine dobija
y=a1 c2−a2 c1
a1b2−a2 b1
,a zamjenom dobijene vrijednosti u prvoj jednačini dobijamo
![Page 7: Matematika Zavrsni Puskice 1 Oblast](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012315/55721305497959fc0b916e28/html5/thumbnails/7.jpg)
x=b2 c1−b1 c2
a1 b2−a2 b1
.U ovom slučaju sistem ima jedinstevno rješenje ( b2c1−b1 c2
a1 b2−a2b1
,a1c2−a2 c1
a1 b2−a2b1
).
2.)a1b2−a2 b1=0i a1 c2−a2c1≠ 0 ,pa druga jednačina transformiranog sistema
nema rješenja,a samim time ni sistem nema rješenja.
3.)a1b2−a2 b1=0i a1 c2−a2c1=0 ,pa iz druge jednačine transformiranog sistema
slijedi da je njeno rješenje bilo koji realan broj y .
Zbog pretpostavkea1≠ 0,iz prve jednačine dobijemo
x=c1−b1 y
a1
. Sistem ima beskonačno mnogo rješenja oblika (c1−b1 y
a1
, y ) za svako y∈R .
Pretpostavimo da su svi koeficijenti uz nepoznate u sistemu (1) jednaki nuli.
0∗x+0∗ y=c1
0∗x+0∗ y=c2 Sada razlikujemo dva različita rješenja.
1.)c1=c2=0,kada sistem ima beskonačno mnogo rješenja i pri tome je svaki uređeni par
(x,y), x∈ R , y∈R rješenje sistema.
2.)Barem jedan od brojeva c1 , c2 je različit od nule.Tada sistem nema rješenja.
Sistem linearnih jednačina može da ima ili da nema rješenja.Ako ima rješenja,onda je ono ili jedinstveno ili ih ima beskonačno mnogo.
![Page 8: Matematika Zavrsni Puskice 1 Oblast](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012315/55721305497959fc0b916e28/html5/thumbnails/8.jpg)
LePlaceov razvoj determinanti
Determinanta se može razviti po bilo kojem redu ili koloni.Neka je A=(aij) kvadratna matrica n-tog reda.
Sa Aki označimo kvadratnu matricu ( n-1) tog reda koja se dobiva iz matrice A tako da se ispuste
k-ti red i i-ta kolona.
Neka je B=( bij )=[a i , a1 , …ai−1 , ai+1 ,…an ] matrica koja se dobiva iz matrice A pomoću ( i-1) zamjenom susjednih kolona
matrice A . bki=aki Bki=Aki(k=1 ,… ,n)Definicija: Ako dvije kolone determinante zamjena mjesta,determinanta mijenja predznak.
Po osobini definicije : detB=(−1)i−1detATeorem:
a) po i toj koloni : detA=∑k=1
n
(−1)k +1 aki det Aki
b) po i tom redu : detA=∑k=1
n
(−1)k +1 aik det A ik
Dokaz : Formula a) predstavlja Le Placeov razvoj determinanti po i –toj koloni.Iskoristimo li činjenicu da je det A =det AT ,
iz formule b) dobivamo Le Placeov razvoj determinante po i-tom redu.
![Page 9: Matematika Zavrsni Puskice 1 Oblast](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012315/55721305497959fc0b916e28/html5/thumbnails/9.jpg)
Kramerova teoremaPosmatrajmo sistem linearnih jednačina AX=B
(a11 a12 ⋯ a1n
a21 a22 ⋯ a2n
⋮ ⋮ ⋮ ⋮an 1 an 2 ⋯ ann
)∗(x1
x2
⋮xn
)=(b1
b2
⋮bn
)Neka je ∆ det A i neka je ∆ x1 dobijena zamjenom i-te kolone u A sa B.
∆ x1=|b1 a12 … a1n
b2 a22 … a2n
⋮ ⋮ ⋮ ⋮bn an 2 … ann
|;∆ x2=|a11 b1 … a1n
a21 b2 … a2n
⋮ ⋮ ⋮ ⋮an1 bn … ann
|Teorema: 1.) Sistem ima jedinstevno rješenje ako i samo ako je ∆ ≠ 0,
u tom slučaju je : x1=∆ x1
∆ ; x2=
∆ x2
∆ ; xn=
∆ xn
∆2.) Ako je ∆=0 i za bar jedno i je ∆ x1 ≠0 onda sistem nema rješenja.
U slučaju , ∆=∆x 1−∆x 2−...−∆xn=0 ,sistem rješavamo nekom drugom metodom
i nekad dobijemo da ima rješenja,a nekad ne.Teorem: Homogeni kvadratni sistem ima netrivijalno rješenja ako i samo ako je
det (a¿¿ ij)=0¿
(a11 a12 ⋯ a1n
a21 a22 ⋯ a2n
⋮ ⋮ ⋮ ⋮an 1 an 2 ⋯ ann
)∗(x1
x2
⋮xn
)=(00⋮0)
![Page 10: Matematika Zavrsni Puskice 1 Oblast](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012315/55721305497959fc0b916e28/html5/thumbnails/10.jpg)
Dokaz:
1.)Pretpostavimo da je ∆ ≠ 0, (tada je adj(A) inverzibilna).Iz AX=B slijedi
adj(A)*A*X=adj(A)*B
Važi i obrnuto:množenjem sa lijeve strane sa adj ( A)−1 dobijemo AX=B
(det(A) * I)*X=adj(A)*B
∆∗(x1
x2
⋮xn
)=(a11 b1+¿a21b2+¿… +an1 bn
a12 b1+¿a22 b2+¿⋯ +an 2bn
⋮ ¿…¿⋮ ¿a1n b1+¿a2 nb2+¿⋯¿+ann bn¿)=
=(∆ x1
∆ x2
⋮∆ xn
)=¿ (∆∗x1
∆∗x2
⋮∆∗xn
)=(∆ x1
∆ x2
⋮∆ xn
)Zaključujemo da je prethodna jednakost ekvivalenta sa AX=B
2.)Neka je ∆=0 i za bar jedno i je ∆ x1 ≠0 . Ako je X rješenje AX=B
množenjem sa lijeve strane sa adj(A) dobijemo
(∆∗x1
∆∗x2
⋮∆∗xn
)=(∆ x1
∆ x2
⋮∆ xn
) što nije moguće.Nema rješenja.
![Page 11: Matematika Zavrsni Puskice 1 Oblast](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012315/55721305497959fc0b916e28/html5/thumbnails/11.jpg)
Rang matriceDefinicija:Maks.broj linearno nezavisni kolona matrice A zovemorang kolone matrice A,a maks. broj linearno nezavisni redovazovemo rang redova matrice A.
Dokaz: Prva dva reda matrice A=[1 1 30 1 22 3 8 ] su linearno nezavisni.
Treći red linearna kombinacija prva dva reda : a3=2 a+a3.
Prema tome rang redova matrice A jednak je 2.Kako su prve dvijekolone linearno nezavisne,a treća kolona njihova linearna kombinacija
a3=a+2 a2 ,rang kolone matrice A takođe iznosi 2.
Teorem: Elementarnim operacijama nad redovima neke matrice,kao i elementarnim operacijama nad njenim kolonama,ne mijenjaju seni rang kolone ni rang reda.Teorem:Rang redova matrice A jednak je rangu redova matrice A.Taj broj se zove rang matrice A i označava se sa r(A).
![Page 12: Matematika Zavrsni Puskice 1 Oblast](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012315/55721305497959fc0b916e28/html5/thumbnails/12.jpg)
Pojam matrice i operacija sa matricama
Definicija 1.) Familiju A od m*n realnih brojeva a ij (i=1 ,.. m , j=1 , ..n )zapisanih u obliku prvokutne tablice
A=|a11 a12 … a1 n
a21 a22 … a2n
⋮ ⋮ ⋮ ⋮am1 am2 … amn
| nazivamo realnom matricom formata m x n.
Definicija 2.) Za dvije matice A=(a ij¿ i B=(b ij¿ formata m x n kažemo da su
jednake ako su im odgovarajući elementi jednaki,tj ako su a ij= b ij za sve
( i=1 , ..m , j=1 , .. n ).
![Page 13: Matematika Zavrsni Puskice 1 Oblast](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012315/55721305497959fc0b916e28/html5/thumbnails/13.jpg)
Definicija 3.) Matrica A množi se sa skalarom α tako da se svaki njen
element pomnoži sa α .
Teorem 1.) Neka su A,B matrice formata m x n i λ ,μ skalari.
Tada vrijedi:
1.) λ ( A+B )=λA+ λB 3.)( λ μ ) A=λ ( μA )2.)(λ+μ¿ A=λA+μ A 4.)1*A=A
Definicija 4.) Zbir C=A+B matrica A=(a ij¿ i B=(b ij¿ formata m x n
definira se kao matrica C=(c ij¿ formata m x n sa elementima
c ij=a ij+b ij (i=1 , ..m , j=1 , .. n )
Teorem 2.) Neka su A,B,C matrice formata m x n.Tada vrijedi1.) (A+B)+C=A+(B+C) 3.)A+(-A)=(-A)+A2.)A+O=O+A=A, 4.)A+B=B+A
![Page 14: Matematika Zavrsni Puskice 1 Oblast](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012315/55721305497959fc0b916e28/html5/thumbnails/14.jpg)
gdje je O nul matricaformata m x n.
Definicija 5.) Proizvod AB matrica A i B definira se onda i samoonda ako su te matrice ulančane,tj.ako prva matrica A ima onolikokolona koliko druga matrica B redova. Ako je matrica A formatam x p i B formata p x n ,proizvod C=A*B je matrica formata m x n.čiji se elementi računaju po formuli
c ij=∑k=1
p
a ik∗bkj i=1 , ..m , j=1 , .. n
Osobine množenja matrica:1.)(AB)C=A(BC) – asocijativnost2.)A(B+C)=AB+AC - distributivnost sa lijeve strane3.)(A+B)C=AC+BC – distributivnost sa desne strane
4.) ( λA ) B=A ( λB )=λ ( AB )
![Page 15: Matematika Zavrsni Puskice 1 Oblast](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012315/55721305497959fc0b916e28/html5/thumbnails/15.jpg)
Skalarni proizvod vektora
Skalarni proizvod vektora a⃗ , b⃗ je skalar koji se označava kao a⃗∗b⃗i definira ovako:
- ako je jedan od vektora a⃗ , b⃗ jednak nulvektoru onda je a⃗∗b⃗=0- ako je a⃗ , b⃗ ≠ 0 onda je a⃗∗b⃗=a∗b∗cosφ ,gdje je φ ugao između
dva vektora a⃗ , b⃗ koji je takav 0 ≤ φ ≤ π .
Funkcija ( a⃗ ,b⃗ ) → a⃗∗b⃗ sa V 3 xV 3 u IR definira se kao skalarni proizvod.
Takva funkcija ima sljedeće osobine:
1.)a⃗∗a⃗ ≥ 0 pozitivna definitnost
2.) a⃗∗a⃗=0→ a⃗=0 pozitivna definitnost
3.) a⃗∗b⃗=b⃗∗a⃗ simetričnosti
4.)( λ a⃗ )∗b⃗=λ ( a⃗∗b⃗ )homogenost u prvom segementu
5.)( a⃗+b⃗ ) c⃗= a⃗∗c⃗+b⃗∗c⃗ distributivnost u prvom segmentu
![Page 16: Matematika Zavrsni Puskice 1 Oblast](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012315/55721305497959fc0b916e28/html5/thumbnails/16.jpg)
Vektorski proizvod vektora
Vektorski proizvod vektora a⃗ sa vektorom b⃗ je vektor c⃗= a⃗ x b⃗koji se definira ovako :
1.) ako je jedan od vektora a⃗ , b⃗ nulvektor,onda je c⃗= a⃗ x b⃗=02.) ako su a⃗ , b⃗ ≠ 0 onda
- dužina vektora c⃗= a⃗ x b⃗ jednaka je površini paralelograma što ga
zatvaraju vektori a⃗ i b⃗ , tj.c=absinφ,gdje je φ ugao između
vektora a⃗ i b⃗- vektor c⃗= a⃗ x b⃗ okomit na je na ravninu određenu vektorima a⃗ i b⃗- smjer vektora c⃗= a⃗ x b⃗ određen je pravilom desnog viljka:
vektor a⃗ zakrećemo prema vektoru b⃗ ,za ugao manji od π rad .Smjer
vektora c⃗= a⃗ x b⃗ definira se kao smjer kretanja desnog viljka.
Funkcija ( a⃗ ,b⃗ ) → a⃗ x b⃗ sa V 3 xV 3 uV 3 zove se vektorski proizvod.
Iz definicije vektorskog proizvoda,sa obzirom na određivanje smjera,vidi se da vektorski proizvod ima osobine antikomutativnost i homogenosti.
a⃗ x b⃗=− (b⃗ x a⃗ ) (∀ λ∈ IR ¿ ( λ a⃗ ) x b⃗=a⃗ x ( λ b⃗ )=λ (a⃗ x b⃗) Za vektorski proizvod vrijede zakoni distribucije prema zbrajanju
( a⃗+b⃗ ) x c⃗=a⃗ x c⃗+ b⃗ x c⃗ c⃗ x ( a⃗+b⃗ )=c⃗ x a⃗+ c⃗ x b⃗
![Page 17: Matematika Zavrsni Puskice 1 Oblast](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012315/55721305497959fc0b916e28/html5/thumbnails/17.jpg)
Limes funkcije/granična vrijednost nizaDefinicija 1.) Cauchyeva definicija limesa funkcijeNeka je
a) x0∈ [ a ,b ]b)f : D → R , gdje je D=[ a , b ] ili D=[ a , b ] / {x0 }Tada kažemo da granična vrijednost (limes ) funkcije
f u funkciji x0 jednaka L i pišemo limx→ x0
f ( x )=L
ako za svaki niz (xn¿ iz D(xn ≠ x0 )koji konvergira prema
x0,niz funcijsku vrijednost (f ( xn )¿konvergira prema L.
Kao i limes niza realnih brojeva ,tako je i limes funkcijajedinstven.Definicija 2.) Neka je
a) x0∈ [ a ,b ]b)f : D → R , gdje je D=[ a , b ] ili D=[ a , b ] / {x0 }Tada kažemo da granična vrijednost (limes ) funkcije
f u funkciji x0 sa lijeva jednaka L−1 i pišemo
limx→ x0
f ( x )=L−1
ako za svaki niz (xn¿ iz D(xn ≠ x0 )koji slijeva konvergira
prema x0,niz funcijsku vrijednost (f ( xn )¿konvergira
prema L−1.Analogno se definira i granična vrijednost
funkcije sa desna i označava se sa L+1= lim
x→ xo
f (x).
Takve limese zovemo jedinstevnim limesima.
![Page 18: Matematika Zavrsni Puskice 1 Oblast](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012315/55721305497959fc0b916e28/html5/thumbnails/18.jpg)
Teorema 1.)Neka je
a) x0∈ [ a ,b ]b)f , g : D → R , gdje je D=[ a , b ] ili D= [a ,b ] / {x0 }c) postoje lim
x→ xo
f (x). i limx→ xo
g(x). Tada:
a.) postoji limx→ xo
¿¿ g(x)) i vrijedi
limx→ xo
¿¿ g(x)¿= limx→ xo
f (x)± limx → xo
¿ g(x)
Limes zbira(razlike) dviju funkcija jednak je zbiru(razlici) njihovih limesa.
b.) .) postoji limx→ xo
¿¿ g(x)) i vrijedi
limx→ xo
¿¿ g(x)¿= limx→ xo
f (x)∗ limx → xo
¿ g(x)
Limes proizvoda dviju funkcija je proizvod njihovih limesa.
c.) ako je limx→ xo
¿ g(x)≠0 i ako je g(x)≠0 u nekoj
okolini broja xo ,tada postoji limx→ xo
f ¿¿¿¿Limes kvocijenata dviju funkcija jednak je kvocijentunjihovih limesa.
![Page 19: Matematika Zavrsni Puskice 1 Oblast](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012315/55721305497959fc0b916e28/html5/thumbnails/19.jpg)
Asimptote funkcijeDefinicija1.) Kažemo da je pravac y=kx+l desna kosa
asimptota funkcije f:(c ,∞¿→ R,
limx→+∞
¿¿Analogno se definira i lijeva kosa asimptota.Specijalno,ako je k=0 ,pravac y=l nazivamo horizontalna asimptota.Pravac x=a je vertikalna asimptota funkcije f ako je
limx→ a−¿f (X)=∞¿
¿ ili limx→ a+¿ f ( x)¿
¿=∞
limx→+∞
x [ f ( X )
x−k− l
x ]=0 → limx →+∞ [ f ( X )
x−k− l
x ]=0
odakle dobivamo koeficijente smjera desne kose asimptote
k= limx →+∞
❑f ( x )
x (1)
l= limx→+∞
[ f (x)−kx ] (2)
Ako postoje limesi (1) i (2) onda je pravac y=kx+l desna kosaasimptota funkcije f.Analogno se dobivaju i formule zakoeficijente k i l lijeve kose asimptote.