metod eksponencijalnog izravnanja

Osnove statističke analize

METOD EKSPONENCIJALNOG

IZRAVNANJA

Beograd, 10. 05. 2011.

SADRŽAJ

Strana

1. Uvod: eksponencijalno izravnanje........................................................3

2. Jednostavno eksponencijalno izravnanje.............................................4

2.1. Problem izbora konstante izravnanja..............................................5

2.2. Postupak prognoze metodom jednostavnog eksponencijalnog izravnanja..............................................................................................5

3. Prednosti i mane jednostavnog eksponencijalnog modela...................7

4. Primer...................................................................................................8

Literatura.................................................................................................10

2

EKSPONENCIJALNO IZRAVNANJE

Skup podataka { yt } uređen tako da predstavlja datu pojavu u vremenskim tačkama t, se naziva vremenska serija. S obzirom da je proces donošenja odluka često povezan sa predviđanjem budućih vrednosti promenljivih koje zavise od vremena, vremenske serije i njihova analiza predstavljaju pogodno sredstvo.

Metodi eksponencijalnog izravnanja vremenskih serija se koriste za stvaranje izravnanih (eng. smoothed) podataka za prezentaciju ili češće za eksplicitno prognoziranje budućih vrednosti vremenske serije.

Osnovna ideja ovih modela jeste konstruisanje prognoze budućih vrednosti na osnovu prethodnih, gde podaci određene vremenske serije imaju veći ili manji udeo u prognoziranju u zavisnosti od njihove udaljenosti od perioda za koji se vrši prognoza. Tako će podaci iz vremenski bližih serija imati veći značaj pri prognoziranju, dok će oni podaci iz vremenski udaljenijih serija imati manji značaj.

Postoji više metoda eksponencijalnog izravnanja. U nastavku će predmet izlaganja biti metod jednostavnog eksponencijalnog izravnanja koji je, kako mu sam naziv kaže, najjednostavniji od njih.

Metod eksponencijalnog izravnanja

1. JEDNOSTAVNO EKSPONENCIJALNO IZRAVNANJE

Metod jednostavnog eksponencijalnog izravnanja se koristi za serije koje nemaju komponente trenda i sezonskih ili cikličnih fluktuacija, tj. u slučajevima stacioniranih vremenskih serija. Za takve serije karakteristične su slučajne fluktuacije oko prosečnog nivoa koji se tokom vremena menja veoma sporo ili je konstantan.

Prognozu po ovom metodu prognozu ćemo dobiti razvitkom opšteg izraza:

Ft+1 = α∙Yt + (1-α)∙Ft , t=1, 2, 3...T.

Ovako prognozirana vrednost (Ft+1) odnosi se na period t+1 i ona je jednaka ponderisanom proseku vrednosti vremenske serije Yt i prognoznozirane vrednosti Ft uzete iz prethodnog perioda.

Ponder α se naziva konstanta izravnanja i uzima vrednosti iz intervala od 0 do 1.

Kada formiramo prognozu za t+1 period, ponder α će biti dodeljen vrednosti serije iz t perioda, a ponder (1-α) prognoziranoj vrednosti t perioda.

Ako početnu jednačinu dalje raložimo:

Ft+1 = α∙Yt + (1-α)∙Ft = α∙Yt + Ft - α∙Ft ,

odnosno ako izdvojimo konstantu izravnanja ispred zagrade dobijamo izraz

Ft+1 = Ft + α∙(Yt - Ft)

4


iz koga zaključujemo da je prognoza u t+1 periodu jednaka prognozi prethodnog perioda korigovanoj delom greške prognoze Yt - Ft iz perioda t.

U posebnim slučajevima kada je α jednako jednoj od svojih graničnih vrednosti, imamo sledeće ishode:

1) α=0, prognozirana vrednost perioda t+1 ne zavisi od originalne vrednosti tekućeg perioda, odnosno Ft+1 = Ft .

2) α=1, prognozirana vrednost perioda t+1 je jednaka tekućoj vrednosti, odnosno Ft+1 = Yt.

Iz svega prethodno navedenog izvodimo glavne karakteristike jednostavnog eksponencijalnog izravnanja: ono podrazumeva takvu transformaciju vremenske serije u kojoj su podaci zamenjeni ponderisanim prosekom svih prethodnih podataka, sa ponderima koji se eksponencijalno smanjuju sa starošću podataka.

2.1. Problem izbora konstante izravnanja

Kod metode jednostavnog eksponencijalnog izravnanja ne postoji objektivan način za određivanje konstante izravnanja α, pa je bitno znati da se odgovarajućim izborom ove vrednosti može više ili manje isticati uticaj prošlih vrednosti vremenske serije u odnosu na tekuću vrednost.

Konkretno, manja konstanta daje ocenu nivoa koja sporo reaguje na promenu nivoa serije, tj. daje više izravnatu seriju.

Obrnuto, izborom veće konstante izravnanja dobićemo izravnate vrednosti koje brže reaguju na promene, odnosno takve prognoze će više zavisti od novijih opservacija.

5


2.2. Postupak prognoze metodom jednostavnog eksponencijalnog izravnanja

Postupak prognoze ovim metodom odvija se kroz 3 koraka:

1) Izbor konstante izravnanja. Ovaj postupak se najčešće vrši tako što se sprovode prognoze za različite izbore α (0 < α < 1), a zatim se bira ona konstanta sa kojom prognoza daje najmanju srednju kvadratnu grešku.

2) Dobijamo eksponencijalno izravnatu seriju na osnovu originalne serije, odnosno:

F1 = Y1 ,

za početnu vrednost prognoze uzimamo prvu vrednost vremenske serije, a ostale izravnate vrednosti dobijamo ubacivanjem t=1, 2, 3...T u početnu

formulu, odnosno:

F2 = α∙Y1 + (1-α)∙F1

F3 = α∙Y2 + (1-α)∙F2

F4 = α∙Y3 + (1-α)∙F3

.

.

.

FT = α∙YT-1 + (1-α)∙FT-1

3) Na osnovu stava 2, formiramo prognozu za jedan period unapred:

FT+1 = α∙YT + (1-α)∙FT

6


3. PREDNOSTI I MANE MODELA

Kao osnovnu manu modela jednostavnog eksponencijalnog izravnanja možemo da navedemo njegovu ograničenost na slučajeve stacioniranih vremenskih serija, odnosno njegovu nefunkcionalnost u slučaju postojanja sezonskih kolebanja i izraženog trenda u seriji.

U slučajevima kada ovaj metod nije funkcionalan primenjuju se neki drugi modeli eksponencijalnog izravnanja kao što su dvostruko eksponencijalno izravnanje ili Holt-Winters-ov model.

Kod modela pokretnih proseka se gube tačke koje se nalaze na krajevima vremeske serije. Ukoliko je interval usrednjavanja veći onda se gubi i više tačaka. Takođe, ne postoji egzaktan način određivanja vrednosti vremenske serije u budućim vremenskim periodima t. Prednost jednostavnog eksponencijalnog izravnanja jeste obuhvatanje svih prošlih vrednosti serije pri formiranju prognoze i mogućnost izračunavanja budućih vrednosti vremenske serije.

Velika prednost ovog modela nalazi se i u činjenici da pridaje veći značaj novijim podacima, odnosno da koristi asimetrične pondere.

7


4. PRIMER

Na osnovu serije o zaradi po zaposlenom u Srbiji za period od februara 2010. do februara 2011. formiraćemo prognozu vrednosti zarade za mart 2011. upotrebom metode jednostavnog eksponencijalnog izravnanja.

Prosečna zarada po zaposlenom u Srbiji u hiljadama dinara¹:

Proizvoljnim izborom konstante izravnanja α (od 0 do 1) i njenim ubacivanjem u formulu za dobijanje izravnate serije FT+1 = α∙YT + (1-α)∙FT dobijamo izravnate vrednosti, a zatim izračunavanjem srednjih kvadratnih grešaka (SKG) nalazimo pri kojoj vrednosti α je ona najmanja. U ovom slučaju SKG je najmanja pri α=0,3 i iznosi SKG=3,35, a najveća SKG=4,98 pri α=4,98.

U sledećoj tabeli obrađeni su podaci za ta dva slučaja:

¹Podaci preuzeti sa sajta www.nbs.rs

8

PeriodProsečna

neto zarada yt

2010. Feb. 32,34Mart 33,51April 34,95Maj 33,46Jun 34,16Jul 34,59Avg. 33,96Sept. 34,57Okt. 34,42Nov. 34,44Dec. 39,58

2011. Jan. 34,01Feb. 35,54


α=0.3 α=0,9

PeriodProsečna neto

zarada yt

Izravnata serija

Prognoza ŷt = Ft

Kvadrat greške

prognoze (yt - ŷt)²

Prognoza ŷt = Ft

Kvadrat greške

prognoze (yt - ŷt)²

2010 Feb. 32,34 32,34 - - - -Mart 33,51 32,69 32,34 1,36 32,34 1,36April 34,95 33,37 32,69 5,11 33,39 2,44Maj 33,46 33,40 33,37 0,01 34,80 1,78Jun 34,16 33,63 33,40 0,58 33,60 0,32Jul 34,59 33,92 33,63 0,93 34,10 0,24Avg. 33,96 33,93 33,92 0,00 34,54 0,34Sept. 34,57 34,12 33,93 0,41 34,01 0,31Okt. 34,42 34,21 34,12 0,09 34,51 0,01Nov. 34,44 34,28 34,21 0,05 34,43 0,00Dec. 39,58 35,87 34,28 28,08 34,44 26,39

2011 Jan. 34,01 35,31 35,87 3,47 39,07 25,58Feb. 35,54 35,38 35,31 0,05 34,51 1,05

Mart - - 35,38 - 35,44 -SKG 3,35 4,98

Na osnovu izravnate serije pri α=0,3, kada je srednja kvadratna greška najmanja, prognoza za mart 2011. jeste:

FT+1 = 0,3∙35,54 + (1-0,3)∙35,31 = 35,38,

a pri najvećoj SKG (α=0,9):

FT+1 = 0,9∙35,54 + (1-0,9)∙34,51 = 35,44.

Grafički prikaz prognoze metodom jednostavnog eksponencijalnog izravnanja:

9


LITERATURA

1. Dragutinović-Mitrović, Dr Radmila; Bošković, Dr Olgica; 2009. Osnovi

statističke analize: elementi analize vremenskih serija, Beograd: Centar za

izdavačku delatnost Ekonomskog fakulteta u Beogradu

2. Hamilton, James; 1994. Time Series Analysis, Princeton: Princeton University

Press

3. Fomby, Thomas B; 2008. Exponential Smoothing Models, Dallas: Department

of Economics Southern Methodist University

4. http://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_smoothing

10

metod eksponencijalnog izravnanja

Documents