1 MLG: VARIABLE RESPUESTA EN ESCALA BINARIA

Se puede explicar en los siguiente pasos:

A. La distribución binomial

Sea la variable binaria

fracasorpta

éxitorptaZ

0

1

)1(ZP

1)0(ZP

Sean ,,, 21 nZZZ v.a. independientes:

jjZP )1(

jjZP 1)0(

La probabilidad conjunta, que es miembro de la familia exponencial es:

n

j

j

j

jn

j

j

n

i

Z

j

Z

j zjj

111

11log

1logexp1

Sean todas las probabilidades de éxito iguales, i.e.: j

El número de éxitos con n ensayos ),( nBin :

n

j

jZY1

yny

y

nyYP

1)(

ny ,,1,0

Si ,,, 21 NYYY con ~,iY ),( iinBin número de éxitos en N subgrupos o estratos

Con función de verosimilitud:

i

i

ii

i

iN

i

iNNy

nnyyyyl log1log

1log),,,;,,(

1

2121

Data: Frecuencias observadas ( N distribuciones binomiales)

subgrupos

1 2

N

Éxito 1y

2y

Ny

Fracaso 11 yn

22 yn

NN yn

TOTALES 1n

2n

Nn

B. El modelo

Meta: describir la proporción de éxito en cada subgrupo o estrato

En cada subgrupo o estrato i

ii

n

YP

En función de:

(i) variables explicativas o

(ii) niveles de factores.

Como

iii nYE )( i

i

i

n

YE )( iiPE )(

Modelamiento de i

βXT

iig )(

iX vector de variables explicativas (continuas, dummy o niveles de factor)

β vector de parámetros

(.)g función link

B1. Modelo Lineal

βXTg )(

Como es una probabilidad: 1,0

Pero, βXT

podría tomar valores 1,0 (no se cumpliría βXT )

Solución: Restringir a 1,0 modelando

x

dssf )( ; 0)( sf ; 1)(

dssf

)(sf “distribución de tolerancia” (f.d.p.)

Ejemplo: Modelo de dose-respuesta (Modelo Lineal)

Se registraron proporciones o porcentajes de éxito de “fallecidos” en animales experimentales al aplicárseles

diversas dosis de una sustancia tóxica “respuesta quantal”.

Meta.- describir la probabilidad de éxito como una función de las dosis ix

xg 21)(

Si la distribución de tolerancia es uniforme (“distribución de tolerancia uniforme”)

..0

1

)( 21

12

co

cscccsf

12

1

1

)(cc

cxdssf

t

c

21 csc

12

1

1212

1

12

1

cc

cx

cccc

c

cc

x

12

11

cc

c y

12

2

1

cc

x21

En otras palabras, equivale a utilizar la función βXTxg 21)( e imponiendo condiciones a

x y a los parámetros como 21 csc .

Debido a esas condiciones y otras posibles, los métodos estándar para estimar los parámetros en MLG no

pueden aplicarse directamente. Este modelo no es muy utilizado.

B2. Modelo Probit

βXTg )()( 1

Imponiendo que la función tolerancia es

xds

sdssf

xx2

2

1exp

2

1)(

función de probabilidad acumulada de la normal estándar

Aplicando xxx

g T

1)()( 11

βX

0 y

11

xT 11 )( βX

Observación: los modelos Probit son utilizados en varias áreas de las ciencias biológicas y sociales.

Interpretación del modelo: x es llamada la “dosis letal mediana” LD(50) porque corresponde a la dosis

que se espera mate a la mitad de animales.

B3. Modelo Logit o Logístico

βXTg

1log)(

La distribución de tolerancia en este caso es: )exp(1

)exp()(

10

101

s

ssf

y

)exp(1

)exp(

)exp(1

)exp()(

10

101

10

101

x

xds

s

sdssf

xx

xoggitlo T

101

1)(

βX

función logit

B4. Modelo Log-log-complementar

βXTg 1loglog)(

)exp()(exp)( 10101 sssf “distribución valor extremo”

xx

dsssdssf )exp()(exp)( 10101

)exp(exp1 10 x

xT

10)1log(log βX

función link

Nota.- el modelo log-log complementar es similar a los modelos logístico y probit para valores de pi cercanos a

0.5 pero difiere de ellos para pi cercano a 1.

Ejemplo: 7.3.1

Lista de algunas funciones link,