APNDICE A

Modelo de crecimiento logstico En el modelo de crecimiento logstico (o de Verhulst) explica que a mayor poblacin, P,

menor tasa de crecimiento (Lomel y Rumbos, 2003). Inicialmente, la poblacin crece

rpido, por lo que es una fuente de presin constante, y pierde su capacidad de crecer al

volverse muy numerosa, debido a interacciones entre los miembros de la poblacin, lo que

da como resultado un estado de equilibrio.

A diferencia del modelo de crecimiento exponencial, donde la poblacin siembre crece,

este modelo se apega ms a la realidad para calcular la poblacin de cada entidad

federativa. Si bien cada ao esta aumenta lo hace a partir de tasas decrecientes. Slo en

algunos estados la poblacin crece a tasas crecientes.

La aplicacin de este modelo se bas en las diapositivas del curso Demografa AT230.

Del Departamento de Actuara y Matemticas de la UDLAP, impartido por el profesor Jos

Ral Castro Esparza durante el periodo escolar otoo 2009.

2))((*)(*)( TPbtPrdt

tdP = donde 00 )( PtP = (A.1)

En la prctica demogrfica suele re-definirse la expresin anterior mediante:

arb = con a constante.

=atPtrP

dttdP )(1)()(

(A.2)

La solucin a esta nueva ecuacin diferencial es: )(1

)(mttre

atP += ; atPt = )(lim

El lmite anterior muestra lo que observamos en el grfico de crecimiento logstico, se

llega a una constante. Para aplicar la solucin P(t) necesitamos calcular a y er de la siguiente

manera, supongamos que P1, P2 y P3 conforman la poblacin de un lugar en tiempos

equidistantes

2231

231

11

211

PPP

PPPa

+= 321 PPP pp (A.3)

++

atttPtttP

ttP

rmedia

media),(

1),(

)(

(A.4)

Para obtener tm, la despejamos de la solucin y nos queda

= rtm etp

tpaLnr

t)(

)(1

.

Consideremos que la aplicacin de esta solucin queda ms clara aplicando un ejemplo de

acuerdo con INEGI, la poblacin para el estado de Jalisco en los censos de 1970, 1980 y

1990 fue de P1= 3.3 P2=4.4 P3=5.3 (estos datos se dan por millones de personas). Cul

es la poblacin del estado de Jalisco para el ao 1972? Para poder aplicar la solucin

)(1)(

mttreatP += primero calculamos.

2231

231

11

211

PPP

PPPa

+= 7287.6

)4.4(1

3.5*3.31

4.42

3.51

3.31

2

=+

=a

(A.5)

++

atttPtttP

ttP

rmedia

media),(

1),(

)(

06646.

7287.685.41

23.54.4

198019904.44.5

=

+

r

(A.6)

= rtm etp

tpaLnr

t)(

)(1 2774.1970*3.5

3.57.6066644.

1)1990)(06644(.. =

= eLntm (A.7)

Con los datos anteriores y la solucin de la ecuacin, podemos calcular el ndice

poblacional de cualquier ao entre 1970 y 1990. Para este ejemplo buscamos la de 1972.

)(1)(

mttreatP += 5570.31

7287.6)( )2774.19701972(06646. =+= etP (A.8)

Por lo tanto, la poblacin para el estado de Jalisco (en 1972), de acuerdo al modelo de

crecimiento logstico, es de 3.5570 millones de personas. Inicialmente se tena para cada

entidad federativa la poblacin de 1970, 1980, 1990 y 2000. Para calcular la poblacin

entre estos aos se aplic el modelo de crecimiento logstico, ya que como se mencion al

inicio de este apndice, las caractersticas del modelo logstico se apegan ms a la realidad

para calcular la poblacin de los estados. Cuando era decreciente la tasa de crecimiento de

la poblacin, se aplic este modelo. Slo para algunos estados la poblacin, por lo que en

esos casos se emple el modelo de crecimiento exponencial.