Modelos de transporte: orgenes C11 : X11 destinos1

.a1 b11

Unidades demandadasstadasUnidades ofertadas22

.a2 b2

nm

.am Cmn : Xmn bn En el anterior modelo, hay m orgenes y n destinos, cada uno representado por un nodo. Los arcos representan las rutas que unen los orgenes con los destinos. El arco (i, j) que une el origen i con el destino j transporta dos piezas de informacin: el costo de transporte por unidad, cij y la cantidad transportada, xij. La cantidad de la oferta en el origen i es ai y la cantidad de la demanda en el destino j es bj. El objetivo del modelo es minimizar el costo de transporte total al mismo tiempo que se satisfacen las restricciones de la oferta y la demanda.Ejemplo:MG Auto cuenta con tres plantas en Los ngeles, Detroit y Nueva Orlens, y dos importantes centros de distribucin en Denver y Miami. Las capacidades trimestrales de las tres plantas son 1000, 1500 y 1200 automviles, y las demandas de los dos centros de distribucin durante el mismo periodo son de 2300 y 1400 automviles. La distancia en millas entre las plantas y los centros de distribucin aparece en la tablaDENVERMIAMI

LOS ANGELES10002690

DETROIT12501350

NUEVA ORLEANS1275850

La compaa transportadora cobra 8 centavos por milla por automvil. En la siguiente se dan los costos de transporte por automvil en las diferentes rutas, redondeados al dlar ms cercano.

DENVER (1)MIAMI (2)

LOS ANGELES (1) $ 80 $ 215

DETROIT (2) $ 100 $ 108

NUEVA ORLEANS (3) $ 102 $ 68

Determine la solucin ptima para este modelo.El modelo de PL del problema esMinimizar z = 80x11 + 215x12 + 100x21 + 108x22 + 102x31 + 68x32Sujeto aNo negatividad xij 0, i = 1, 2, 3, j = 1, 2x12 + x22 + x32 = 1400 (Miami)x11 + x21 + x31 = 2300 (Denver)x31 + x32 = 1200 (Nueva Orleans)x21 + x22 = 1500 (Detroit)x11 + x12 = 1000 (Los ngeles)Todas estas restricciones son ecuaciones porque la oferta total desde los tres orgenes (= 1000 + 1500 + 1200 = 3700 automviles) es igual a la demanda total en los dos destinos (= 2300 + 1400 = 3700 automviles).La estructura especial del problema de transporte permite una representacin compacta del problema utilizando el formato tabla de transporte

Dando solucin por el Solver de Excel, tenemos: Se enva 1000 automviles de Los ngeles a Denver (x11 = 1000), 1300 de Detroit a Denver (x21 = 1300), 200 de Detroit a Miami (x22 = 200) y 1200 de Nueva Orlens a Miami (x32 = 1000). El costo de transporte mnimo asociado se calcula como 1000 x $80 + 1300 x $100 + 200 x $108 + 1200 x $68 = $313.200.

Balanceo del modelo de transporte:La representacin de la tabla de transporte asume que el modelo est balanceado, es decir, que la demanda total es igual a la oferta total. Si el modelo est desbalanceado, podemos agregar un origen o un destino ficticios para restaurar el balance.En el modelo de MG, suponga que la capacidad de la planta de Detroit es de 1300 automviles (en lugar de 1500). La oferta total (= 3500) es menor que la demanda total (= 3700), lo que significa que no se satisfar una parte de la demanda en Denver y Miami. Como la demanda excede la oferta, se agrega un origen (planta) ficticio con una capacidad de 200 automviles (= 3700 - 3500) para balancear el modelo de transporte. El costo de transporte por unidad de la planta ficticia a los destinos es cero porque la planta no existe.DENVER (1)MIAMI (2)OFERTA

LOS ANGELES 80 215 1000

DETROIT 100 108 1300

NUEVA ORLEANS 102 68 1200

FABRICA FICTICIA - - 200

DEMANDA23001400

Solucin:z= 291,600.00

12

11000.000.001000.00

21300.000.001300.00

30.001200.001200.00

40.00200.00200.00

2300.001200.00

El caso en que la oferta excede la demanda se puede demostrar asumiendo que la demanda en Denver es de slo 1900 automviles. Entonces, tenemos que agregar un centro de distribucin ficticio para que reciba la oferta excedente. De nuevo, el costo de transporte por unidad al centro de distribucin ficticio es cero, a menos que una fbrica enve todas sus existencias. En este caso, se asigna un costo alto de transporte por unidad de la fbrica designada al destino ficticio.DENVER (1)MIAMI (2)CENTRO DIST. FICTICIOOFERTA

LOS ANGELES 80 215 - 1000

DETROIT 100 108 - 1500

NUEVA ORLEANS 102 68 - 1200

DEMANDA19001400400

Solucin:z= 273,200.00

123

11000.000.000.001000.00

2900.00200.00400.001500.00

30.001200.000.001200.00

1900.001400.00400.00

Ejercicio propuesto:Tres refineras con capacidades diarias de 6, 5 y 8 millones de galones, respectivamente, abastecen a su vez a tres reas de distribucin con demandas diarias de 4, 8 y 7 millones de galones, respectivamente. La gasolina se transporta a las tres reas de distribucin a travs de una red de oleoductos. El costo de transporte es de 10 centavos por 1000 galones por milla de oleoducto. La siguiente tabla presenta la distancia en millas entre las refineras y las reas de distribucin. La refinera 1 no est conectada al rea de distribucin 3.(a) Construya el modelo de transporte asociado.(b) Determine el programa de envos ptimo en la red.Distancia en millas

rea de distribucin

123

Refinera 1120180-

Refinera 230010080

Refinera 3200250120

Modelos de transporte no tradicionalesLa aplicacin del modelo de transporte no se limita al transporte de artculos. Se presenta dos aplicaciones no tradicionales en las reas de control de produccin e inventarios y el servicio de afilado de herramientas. Ejemplo de Control de produccin e inventariosBorlis fabrica mochilas para ciclistas. La demanda de su producto durante el periodo pico de marzo a junio de cada ao es de 100, 200, 180 y 300 unidades, respectivamente. La compaa utiliza mano de obra de tiempo parcial para acomodarse a las fluctuaciones de la demanda. Se estima que Borlis puede producir 50, 180, 280 y 270 unidades de marzo a junio. La demanda del mes en curso se puede satisfacer de tres maneras.1) La produccin del mes en curso al costo de $40 por mochila2) La produccin excedente de un mes anterior a un costo de retencin adicional de $0.5 por mochila.3) La produccin excedente en un mes posterior (pedido en espera) a un costo de penalizacin adicional de $2.00 por mochila por mes.Borlis desea determinar el programa de produccin ptimo durante los cuatro meses. La siguiente tabla resume los paralelismos entre los elementos del problema de produccin e inventario y el modelo de transporte:Transporte Produccin-inventario

1 Origen i Periodo de produccin i

2Destino j Periodo de demanda j

3Cantidad de abasto en el origen i Capacidad de produccin en el periodo i

4Demanda en el destino j Demanda en el periodo j

5 Costo de transporte por unidad del origen i al destino jCosto unitario (produccin + retencin + penalizacin) en el periodo i para el periodo j.

Pasndolo al cuadro para desarrollar el solver:El costo de transporte por unidad del periodo i al periodo j se calcula comoCij=Costo de produccin en i, i = jCosto de produccin en i + costo de retencin de i a j, i jCosto de produccin en i + penalizacin de i a j, i jPor ejemplo,C11 = $40.00C24 = $40.00 + ($0.50 + $0.50) = $41.00C41 = $40.00 + ($2.00 + $2.00 + $2.00) = $46.001234

MarzoAbrilMayo JunioCapacidad de produccin

1MARZO4040.54141.550

2ABRIL424040.541180

3MAYO44424040.5280

4JUNIO46444240270

Demanda100200180300

Solucin ptima:MarzoAbrilMayo JunioCapacidad de produccin

MARZO5000050

ABRIL5013000180

MAYO07018030280

JUNIO000270270

Demanda100200180300

Z= 31,455.00OFERTA 50 180 280 27034432211

Periodo de oferta 50 70 30270180013050

Periodo de demanda

DEMANDA 100 200 180 300

Ejemplo de servicio de afilado de herramientasArkansas Pacific opera un aserradero que produce tablas de diferentes tipos de madera. Segn el tipo de madera que se est aserrando, la demanda de hojas de sierra afiladas vara de un da a otro de acuerdo con los siguientes datos de una semana (7 das):Da de la semanaLun.Mar.Mie. Jue.Vie.Sab.Dom.

Demanda (hojas de sierra) 24121420181422

El aserradero puede satisfacer la demanda diaria de cuatro maneras:1) Hojas nuevas a $12 cada una.2) Servicio de afilado nocturno a $6 por hoja.3) Servicio de afilado en un da a $5 por hoja.4) Servicio de afiliado en dos das a $3 por hoja.

La situacin puede representarse como un modelo de transporte con ocho orgenes y siete destinos. Los destinos representan los 7 das de la semana. Los orgenes del modelo se definen asi: El origen 1 corresponde a la compra de hojas nuevas que, en el caso extremo, pueden satisfacer la demanda de los siete das (= 24 + 12 + 14 + 20 + 18 + 14 + 22 + 124) Los orgenes 2 al 8 son los das de la semana. La cantidad de cada uno de estos das, es igual a la de hojas utilizadas al final del da asociado. Por ejemplo, el origen 2 (lunes) tendr una oferta de hojas utilizadas igual a la demanda del lunes.El costo de transporte por unidad para el modelo es de $12, $6, $5 o $3, segn si la hoja es nueva o se afil. Como vemos que las filas son diferentes a las columnas (8 y 7), se agrega la a columna desecho como un destino ficticio para balancear el modelo.12345678

Lun.Mar.Mie. Jue.Vie.Sab.Dom.DesechoOferta

1Nuevas121212121212120124

2Lun.0653333024

3Mar.0065333012

4Mie. 0006533014

5Jue.0000653020

6Vie.0000065018

7Sab.0000006014

8Dom.0000000022

Demanda24121420181422124

Solucin ptima:12345678

Lun.Mar.Mie. Jue.Vie.Sab.Dom.DesechoOferta

1Nuevas24120000088124

2Lun.001410000024

3Mar.00001200012

4Mie. 00010400014

5Jue.00002018020

6Vie.00000144018

7Sab.00000001414

8Dom.00000002222

Demanda24121420181422124

Z=818

Cantidad de hojas afiladas x dia

PeriodoNuevasNocturno1-dia2-diasDesecho

Lun.24 (lun)014 (mie)10 (jue)0

Mar.12 (mar)0012 (vie)0

Mie. 010 (jue)4 (vie)00

Jue.02 (vie)018 (dom)0

Vie.014 (sab)4 (dom)00

Sab.000014

Dom.000022

Modelo de transporte con transbordo:El problema de transbordo es una extensin del problema de transporte en el cual los nodos intermedios, llamados nodos de transbordo, se aaden para representar sitios como almacenes. En este tipo ms general de problema de distribucin se pueden hacer envos entre cualquier par de tres tipos generales de nodos: de origen, de transbordo y de destino. Por ejemplo, el problema de transbordo permite embarques de productos desde los orgenes a los nodos intermedios y de ah a sus destinos, desde un origen a otro, desde un sitio intermedio a otro, desde un sitio de destino a otro, y directamente desde los orgenes a los destinos. Como sucedi en el problema de transporte, el suministro disponible en cada origen est limitado y se especifica la demanda en cada destino. El objetivo en el problema de transbordo es determinar cuntas unidades deben enviarse por cada arco de la red, de modo que todas las demandas de destino se satisfagan con el costo de transporte mnimo posible.En este modelo el balance de cada nodo, las entradas= salidasRyan es una compaa de sistemas electrnicos con instalaciones de produccin en Denver y Atlanta. Los componentes producidos en cualquiera de las instalaciones pueden enviarse a los almacenes regionales de la empresa, los cuales se localizan en Kansas City y Louisville. Desde los almacenes regionales, la empresa abastece las tiendas minoristas en Detroit, Miami, Dallas y Nueva Orleans. Las caractersticas clave del problema se muestran en el siguiente modelo de red:Denver y Atlanta producen 600 y 400 como mximo. La demanda de Detroit, Miami, Dallas y Nueva Orleans es 200, 150, 350 y 300 unidades respectivamenteITEMDestinoCosto

X13Denver-Kansas2

X14Denver-Louisville3

X23Atlanta-Kansas3

X24Atlanta-Louisville1

X35Kansas-Detroit2

X36Kansas-Miami6

X37Kansas-Dallas3

X38Kansas-Nueva Orleans4

X45Louisville-Detroit4

X46Louisville-Miami4

X47Louisville-Dallas6

X48Louisville-Nueva Orleans5

Min 2X13 + 3X14 +3X23 + 1X24 + 2X35 + 6X36 + 3X37 + 6X38 + 4X45 + 4X46 + 6X47 +5X48Sujeto a:X13 + X14 600 (1)X23 + X24 600 (2)En el nodo tres, entradas = salidas, X35 + X36 + X37 +X38 = X13 + X23Despejando: -X13 X23 + X35 + X36 + X37 + X38 = 0 (3)De igual forma para el nodo 4 = -X14 X24 + X45 + X46 + X47 + X48 = 0 (4)Se sigue con el balance de entradas = salidas, para los nodos 5 al 8X35 + X45 = 200 (5)X36 + X46 = 150 (6)X37 + X 47 = 350 (7)X38+ X48 = 300 (8)

Solucin x solver

ITEMDestinoSolucin

X13Denver-Kansas600

X14Denver-Louisville0

X23Atlanta-Kansas0

X24Atlanta-Louisville400

X35Kansas-Detroit200

X36Kansas-Miami0

X37Kansas-Dallas350

X38Kansas-Nueva Orleans50

X45Louisville-Detroit0

X46Louisville-Miami150

X47Louisville-Dallas0

X48Louisville-Nueva Orleans250

Algoritmo de transporte:

El algoritmo de transporte es un procedimiento iterativo donde se encuentra y evala una solucin a un problema de transporte, mediante un procedimiento especial para determinar si la solucin es ptima. Si lo es, el proceso se detiene. Si no es ptima, se genera una nueva solucin. Esta nueva solucin es al menos tan buena como la anterior y suele ser mejor. Esta nueva solucin se evala y si no es ptima, se genera otra solucin. El proceso contina hasta que se encuentra la solucin ptima.Este proceso se ilustrar con el siguiente ejemplo: La corporacin Executive Furniture tiene el problema de transporte que se ilustra en la siguiente grfica:

La compaa desea minimizar los costos de transporte al tiempo que cubre la demanda en cada destino, sin exceder la oferta en cada fuente. Para la formulacin de este con programacin lineal, hay tres restricciones de oferta (una para cada fuente) y tres restricciones de demanda (una para cada destino). Las decisiones que deben tomarse son el nmero de unidades a enviar por cada ruta, de manera que existe una variable de decisin para cada arco (flecha) en la red. Sea:Xij nmero de unidades enviadas de la fuente i al destino jdonde,i = 1, 2, 3, con 1 = Des Moines, 2= Evansville y 3 = Fort Lauderdalej = 1, 2, 3, con 1=Albuquerque, 2= Boston y 3 = ClevelandLa formulacin de PL es:Minimizar el costo total = 5X11 + 4X12 + 3X13 + 8X21 + 4X22+ 3X23 + 9X31 + 7X32 + 5X33Sujeto a:X11 + X12 + X13 100X21 + X22 + X23 300X31 + X32 + X33 300X11 + X21 + X31 = 300X12 + X22 + X32 = 200X13 + X23 + X33 = 200Xij 0 para toda i y jLas soluciones a este problema de PL se encuentran con Solver de Excel es: Almacn en AlbuquerqueAlmacn en BostonAlmacn en ClevelandCapacidad de la Fabrica

Fbrica de Des Moines$100$0$0$100

Fbrica de EvansVille$0$200$100300

Fbrica de Fort. Lauderdale$200$0$100300

Requerimientos de Almacen$300$200$200

Z min =3900

Desarrollo de una solucin inicial: Regla de la esquina noroesteCuando tenemos arreglados los datos en forma tabular, debemos establecer una solucin factible inicial al problema. Un procedimiento sistemtico, conocido como la regla de la esquina noroeste, requiere que comencemos en la celda de la esquina superior izquierda (o esquina noroeste) de la tabla, y asignemos unidades a las rutas de embarque de acuerdo con los siguientes pasos:1. Agotar la oferta (capacidad de la fbrica) en cada fila, antes de moverse a la siguiente fila hacia abajo.2. Agotar los requerimientos (almacn) de cada columna antes de moverse hacia la columna siguiente a la derecha.3. Verificar que se cumplan todas las ofertas y demandas.Ahora utilizamos la regla de la esquina noroeste para encontrar una solucin inicial factible al problema de la corporacin Executive Furniture : AAlmacn enAlmacn enAlmacn enCapacidad de

DEAlbuquerqueBostonClevelandla Fabrica

Fbrica de$5$4$3

Des Moines100100

Fbrica de$8$4$3

EvansVille200100300

Fbrica de$9$7$5

Fort lauderdale100200300

Requerimientos

de Almacen300200200700

Costo = =100*5+200*8+100*4+100*7+200*5 = 4200Esta solucin es factible, ya que se satisfacen todas las restricciones de demanda y de oferta. Tambin fue muy rpido y sencillo llegar a ella. Sin embargo, tendramos mucha suerte si esta solucin tuviera el costo de transporte ptimo para el problema; debe evaluarse para saber si es ptima. Calculamos el ndice de mejora para cada celda vaca usando el mtodo de salto de piedra en piedra. Si este indica que es posible obtener una solucin mejor, usamos la ruta del salto de piedra en piedra para cambiar esta solucin a una mejorada hasta que encontremos una solucin ptima.

Mtodo del salto de piedra en piedra: Encontrar la solucin de menor costoEl mtodo del salto de piedra en piedra es una tcnica iterativa para movernos de una solucin factible inicial a una solucin factible ptima. Este proceso tiene dos partes distintas: La primera se trata de probar la solucin actual para determinar si es posible mejorarla, y la segunda implica hacer cambios a la solucin actual con la finalidad de obtener una solucin mejorada. Este proceso contina hasta que se alcanza la solucin ptima.Para aplicar el mtodo del salto de piedra en piedra a un problema de transporte, debe observarse primero una regla sobre el nmero de rutas de embarque: El nmero de rutas (o cuadros) ocupada(o)s siempre debe ser igual a la suma del nmero de renglones ms el nmero de columnas menos uno. En el problema de Executive Furniture, esto significa que la solucin inicial debe tener 3+ 3 - 1 = 5 cuadros usados. As,Rutas (cuadros) de envo ocupada(o)s = nm. de renglones + nm. de columnas 1Cuando el nmero de rutas ocupadas es menor que esto, la solucin se llama degenerada. Ms adelante en el captulo hablaremos de qu hacer si el nmero de cuadros usados es menor que el nmero de columnas ms el nmero de filas menos 1. PRUEBA DE MEJORAS POSIBLES A LA SOLUCIN: Su enfoque consiste en evaluar la efectividad de costos de los bienes enviados por las rutas de transporte que no estn en la solucin. Cada ruta (o cuadro) de embarque no usada en la tabla de transporte se prueba haciendo la siguiente pregunta: Qu pasara si el costo de embarque total de una unidad de producto (en el ejemplo, un escritorio) se enva tentativamente por una ruta no usada?Esta prueba de cada cuadro no usado se realiza mediante los cinco pasos siguientes:1. Seleccionar un cuadro no usado para evaluar. 2. Comenzando en este cuadro, trazar una trayectoria cerrada por los cuadros asignados, movindose en sentido horizontal o vertical, y regresando al cuadro inicial.3. Comenzando con un signo ms (+) en el cuadro no usado, colocar signos menos (-) y ms (+) alternados en cada cuadro de esquina de la trayectoria cerrada que se traz.4. Calcular el ndice de mejora sumando los costos unitarios en cada cuadro con signo ms y, luego, restando los costos unitarios de los cuadros con signo menos.5. Repetir los pasos 1 a 4, hasta tener calculados todos los ndices de mejora de todos los cuadros sin usar. Si todos los ndices calculados son mayores que o iguales a cero, la solucin encontrada es ptima. Si no lo son, es posible mejorar la solucin actual y disminuir el costo total de embarque.

Cmo decidimos en qu cuadros colocar signos ms y en cules signos menos? Como estamos probando la efectividad en costos de la ruta de envo Des Moines-Boston, suponemos que estamos enviando un escritorio de Des Moines a Boston. Esto es una unidad ms de lo que estbamos enviando entre las dos ciudades, de manera que anotamos un signo ms en el cuadro. Pero si enviamos una unidad ms que antes por esa ruta, estamos enviando 101 escritorios desde la fbrica de Des Moines. La capacidad de esa fbrica es tan solo de 100 unidades; entonces, debemos enviar un escritorio menos de Des Moines a Albuquerque; este cambio se hace para evitar transgredir la restriccin de capacidad de la fbrica. Para indicar que el envo Des Moines-Albuquerque se reduce, colocamos un signo menos en ese cuadro. Continuamos por la trayectoria cerrada, y observamos que ya no cumplimos el requerimiento del almacn de Albuquerque de 300 unidades. De hecho, si el envo Des Moines-Albuquerque se reduce a 99 unidades, la carga Evansville-Albuquerque debe aumentar 1 unidad, a 201 escritorios. Por consiguiente, colocamos un signo ms en ese cuadro para indicar el incremento. Por ltimo, notamos que si se asignan 201 escritorios a la ruta Evansville-Albuquerque, la ruta Evansville-Boston debe reducirse 1 unidad, a 99 escritorios, para cumplir la restriccin de capacidad de la fbrica de Evansville de 300 unidades. Entonces, colocamos un signo menos en el cuadro Evansville-Boston. OBTENCIN DE UNA SOLUCIN MEJORADA Cada ndice negativo calculado por el mtodo del salto de piedra en piedra representa la cantidad en que podran reducirse los costos totales de transporte, si se enva 1 unidad o 1 producto por esa ruta. Encontramos tan solo un ndice negativo en el problema de Executive Furniture, que es $2 para la ruta fbrica de Fort Lauderdale al almacn de Albuquerque. Sin embargo, si hubiera ms de un ndice de mejora negativo, nuestra estrategia sera elegir la ruta (cuadro sin usar) con el ndice negativo que indique la mejora ms grande.El siguiente paso, entonces, consiste en enviar el nmero mximo permitido de unidades (o escritorios en este caso) por la nueva ruta (Fort Lauderdale a Albuquerque). Cul es la cantidad mxima que se puede enviar por la ruta que ahorra dinero? Esa cantidad se encuentra observando los signos ms y menos en la trayectoria cerrada y seleccionando el nmero ms pequeo encontrado en los cuadros que contienen signos menos. Para obtener una nueva solucin, se suma ese nmero a todos los cuadros en la trayectoria cerrada con signo ms y se resta de todos los cuadros en la trayectoria con signos menos asignados. Los otros cuadros permanecen sin cambio. Segunda respuesta: AAlmacn enAlmacn enAlmacn enCapacidad de

DEAlbuqeurqueBostonClevelandla Fabrica

Fbrica de$5$4$3

Des Moines100100

Fbrica de$8$4$3

EvansVille100200300

Fbrica de$9$7$5

Fort lauderdale100200300

Requerimientos

de Almacen300200200700

Z min=4000

Tercera respuesta: AAlmacn enAlmacn enAlmacn enCapacidad de

DEAlbuqeurqueBostonClevelandla Fabrica

Fbrica de$5$4$3

Des Moines100100

Fbrica de$8$4$3

EvansVille200100300

Fbrica de$9$7$5

Fort lauderdale200100300

Requerimientos

de Almacen300200200700

Zmin = =100*5+200*9+200*4+100*3+100*5 = 3900Se empieza nuevamente a calcular los indicies y el resultado es que son todos positivos (ver hoja de clculo manual) por lo que podemos concluir que esta solucin es ptima.Resumen de los pasos del algoritmo de transporte (minimizacin)1. Establecer una tabla de transporte balanceada.2. Desarrollar una solucin inicial con el mtodo de la esquina noroeste.3. Calcular un ndice de mejora para cada celda vaca con el mtodo del salto de piedra en piedra. Si los ndices de mejora son todos no negativos, hay que detenerse; se encontr la solucin ptima. Si hay algn ndice negativo, se debe continuar al paso 4.4. Seleccionar la celda con el ndice de mejora que indique la mayor disminucin en el costo.Llenar este cuadro con la trayectoria del salto de piedra en piedra e ir al paso 3.Ms de una solucin ptimaAl igual que en los problemas de PL, es posible que un problema de transporte tenga soluciones ptimas mltiples. Una situacin de estas se indica cuando uno o ms ndices de mejora calculados para cada cuadro sin usar es cero en la solucin ptima, lo cual significa que es posible disear otras rutas de embarque con el mismo costo total de envo. La solucin ptima alterna se determina enviando la mayora de este cuadro sin usar con el mtodo del salto de piedra en piedra. Hablando en trminos prcticos, las soluciones ptimas mltiples brindan a la gerencia mayor flexibilidad en la seleccin y uso de los recursos.Maximizacin en problemas de transporteSi en un problema de transporte el objetivo es maximizar la utilidad, se requiere un cambio menor en el algoritmo de transporte. Como el ndice de mejora para una celda vaca indica el cambio en el valor de la funcin objetivo, si se coloca una unidad en esa celda vaca, la solucin ptima se logra cuando todos los ndices de mejora son negativos o cero. Si algn ndice es positivo, se selecciona la celda con la mejora positiva ms grande para usarse con el mtodo del salto de piedra en piedra. La nueva solucin se evala y el proceso contina hasta que no haya ndices de mejora positivos.Rutas prohibidas o inaceptablesExisten problemas de transporte donde una de las fuentes no puede enviar a uno o ms destinos. Cuando esto ocurre, se dice que el problema tiene rutas prohibidas o inaceptables. En un problema de minimizacin, se asigna a una ruta prohibida un costo muy alto, para evitar que se use en la solucin ptima. Este costo se coloca luego en la tabla de transporte y se resuelve el problema con las tcnicas ya presentadas. En un problema de maximizacin, el costo muy alto usado en los problemas de minimizacin tendr un signo negativo, que lo convierte en una muy mala utilidad.Otros mtodos de transporteMientras que el mtodo de la esquina noroeste es muy sencillo, hay otros mtodos para encontrar una solucin inicial a un problema de transporte. Dos de ellos son el mtodo del menor costo y el mtodo de aproximacin de Vogel. De manera similar, el mtodo del salto de piedra en piedra sirve para evaluar las celdas vacas, pero existe otra tcnica llamada mtodo de distribucin modificada (MODI), que puede evaluar celdas vacas. Para problemas muy grandes, el mtodo MODI suele ser mucho ms rpido que el del salto de piedra en piedra.

Taller Modelos de transporte:1- Los tres bancos de sangre en Franklin County estn coordinados por una oficina central que facilita la entrega de sangre a cuatro hospitales en la regin. El costo por enviar un contenedor estndar de sangre de cada banco a cada hospital se indica en la tabla correspondiente. Adems, se dan las cifras cada dos semanas de los contenedores en cada banco y cifras cada dos semanas de los contenedores necesarios en cada hospital. Cuntos envos deberan hacer cada dos semanas de cada banco a cada hospital, de manera que se minimicen los costos de envo totales?

2- Don Yale, presidente de la compaa Hardrock Concrete, tiene plantas en tres lugares y actualmente trabaja en tres proyectos de construccin importantes, ubicados en sitios diferentes. El costo de envo por camin cargado de concreto, las capacidades de las plantas y los requerimientos de los proyectos se muestran en la tabla siguiente.

a) Formule una solucin factible inicial para el problema de transporte de Hardrock con la regla de la esquina noroeste.

b) Evale despus cada ruta de envo sin usar (cada celda vaca) aplicando el mtodo del salto de piedra en piedra y calculando todos los ndices de mejora.

3- La gerencia de la corporacin Executive Furniture decidi expandir la capacidad de produccin en su fbrica de Des Moines y disminuir la produccin en sus otras fbricas. Tambin reconoce un cambio de mercado para sus escritorios y revisa los requerimientos en sus tres almacenes.

a) Utilice la regla de la esquina noroeste para establecer un programa de envos factible inicial y calcular su costo.b) Utilice el mtodo del salto de piedra en piedra para probar si es posible obtener una solucin mejorada.c) Explique el significado y las implicaciones de un ndice de mejora que sea igual a 0. Qu decisiones podra tomar la gerencia con esta informacin? Exactamente cmo afecta esto la solucin final?

4- La compaa Hardrock Concrete tiene plantas en tres lugares y trabaja actualmente en tres proyectos de construccin importantes, cada uno ubicado en un sitio diferente. El costo de envo por camin cargado de concreto, las capacidades diarias y los requerimientos diarios se muestran en la tabla correspondiente. a) Formule una solucin factible inicial para el problema de transporte de Hardrock con la regla de la esquina noroeste. Luego, evale cada ruta de envo no utilizada calculando todos los ndices de mejora. Es ptima la solucin? Por qu? b) Hay ms de una solucin ptima para este problema? Por qu?

5- Tri-County Utilities, Inc. abastece de gas natural a sus clientes en un rea que abarca tres condados en Estados Unidos. La empresa compra el combustible a dos empresas: Southern Gas y Northwest Gas. Los pronsticos de la demanda para la prxima temporada de invierno son el condado de Hamilton, 400 unidades; el condado de Butler, 200 unidades, y el condado de Clermont, 300 unidades. Se firmaron contratos con dos clientes para proporcionar las cantidades siguientes: Southern Gas, 500 unidades, y Northwest Gas, 400 unidades. Los costos de distribucin varan por condado, dependiendo de la localizacin de los proveedores. Los costos de distribucin por unidad (en miles de dlares) son los siguientes:

a. Elabore una representacin de red para este problema.b. Elabore un modelo de programacin lineal que sirva para determinar el plan que minimizar los costos totales de distribucin.c. Describa el plan de distribucin e indique el costo total de distribucin.d. El reciente crecimiento residencial e industrial en el condado de Butler tiene el potencial para incrementar la demanda hasta 100 unidades. Cul proveedor debe contratar Tri-County para suministrar la capacidad adicional?

6- Arnoff Enterprises fabrica la unidad central de procesamiento (CPU) de una computadora personal. Las CPU se fabrican en Seattle, Columbus y Nueva York y se envan a almacenes en Pittsburgh, Mobile, Denver, Los ngeles y Washington, D.C. para su distribucin posterior. La tabla siguiente muestra la cantidad de CPU disponibles en cada planta, la cantidad requerida por cada almacn y los costos de envo (dlares por unidad):

a. Elabore una representacin de red para este problema.b. Determine la cantidad que debe enviarse desde cada planta a cada almacn para minimizar el costo total de envo.c. El almacn de Pittsburgh acaba de incrementar su pedido en 1000 unidades y Arnoff autoriz a su planta de Columbus aumentar su produccin en la misma cantidad.Este aumento en la produccin conducir a un incremento o a una disminucin en los costos totales de envo? Calcule la nueva solucin ptima.

7- Dos consultores, Avery y Baker, de Premier Consulting, pueden programarse para trabajar para los clientes hasta un mximo de 160 horas cada uno durante las cuatro semanas siguientes. Un tercer consultor, Campbell, tiene algunas asignaciones administrativas ya planeadas y est disponible para los clientes hasta un mximo de 140 horas durante las cuatro semanas siguientes. La empresa tiene cuatro clientes con proyectos en proceso.Los requerimientos por hora estimados para cada uno de los clientes durante el periodo de cuatro semanas son:

Las tarifas por hora varan para la combinacin consultor-cliente y se basan en varios factores, incluido el tipo de proyecto y la experiencia del consultor. Las tarifas (dlares por hora) para cada combinacin de consultor-cliente son:

a. Elabore una representacin de red del problema.b. Formule el problema como un programa lineal, con una solucin ptima que proporcione las horas que debe asignarse cada consultor a cada cliente para maximizar la facturacin de la firma de consultora. Cul es el programa y cul la facturacin total?c. Nueva informacin muestra que Avery no cuenta con la experiencia para trabajar para el cliente B. Si esta asignacin de consultora no se permite, qu impacto tiene sobre la facturacin total? Cul es el programa modificado?

8- Forbelt Corporation tiene un contrato de un ao para proveer motores para todos los refrigeradores producidos por Ice Age Corporation, la cual fabrica los refrigeradores en cuatro lugares en todo el pas: Boston, Dallas, Los ngeles y St. Paul. Los planes exigen que se fabrique la siguiente cantidad de refrigeradores (en miles) en cada lugar:

Las tres plantas de Forbelt son capaces de fabricar los motores. Las plantas y capacidades del producto (en miles) son:

Debido a que los costos de produccin y transporte varan, las utilidades que Forbelt obtiene sobre cada lote de 1000 unidades dependen de cul planta fabric el lote y a cul destino se envi. La tabla siguiente muestra las estimaciones de las utilidades por unidad que hizo el departamento de contabilidad (los envos se harn en lotes de 1000 unidades):

Con la maximizacin de utilidades como un criterio, la gerencia de Forbelt quiere determinar cuntos motores debe fabricar cada planta y cuntos motores deben enviarse desde cada planta a cada destino.a. Elabore una representacin de red para este problema.b. Encuentre la solucin ptima.

9- El sistema de distribucin de Herman Company se compone de tres plantas, dos almacenes y cuatro clientes. Las capacidades de las plantas y los costos de envo por unidad (en $) desde cada planta a cada almacn son los siguientes:

La demanda de los clientes y los costos de envo por unidad (en $) desde cada almacn a cada cliente son

a. Elabore una representacin de red para este problema.b. Formule un modelo de programacin lineal del problema.c. Resuelva el programa lineal para determinar el plan de envo ptimo.

Modelo de redes:Las redes sirven para modelar una amplia gama de problemas. Al igual que los problemas de transporte, trasbordo y asignacin, se utiliz programacin lineal para resolverlos y se presentaron tambin otras tcnicas. En los modelos de redes se detallarn los problemas ms conocidos: el problema del rbol de expansin mnima, el problema del flujo mximo y el problema de la ruta ms corta. La tcnica del rbol de expansin mnima determina el camino a travs de la red que conecta todos los puntos, al tiempo que minimiza la distancia total. Cuando los puntos representan casas en una seccin, esta tcnica es til para determinar la mejor forma de conectarlas a la energa elctrica, al sistema de agua, etctera, de modo que se minimice la distancia total o la longitud de los cables o las tuberas. La tcnica del flujo mximo encuentra el mximo flujo de cualquier cantidad o sustancia que pasa por la red. Esta tcnica puede determinar, por ejemplo, el nmero mximo de vehculos (autos, camiones y otros) que pueden transitar por la red de carreteras de un lugar a otro. Por ltimo, la tcnica de la ruta ms corta calcula la trayectoria ms corta a travs de una red. Por ejemplo, la ruta ms corta de una ciudad a otra por la red de carreteras.

Problema del rbol de expansin mnima:La tcnica del rbol de expansin mnima implica conectar todos los puntos de una red, al tiempo que minimiza la distancia entre ellos. Se aplica, por ejemplo, en las compaas telefnicas para conectar entre s varios telfonos minimizando la longitud total del cable.Pasos para la tcnica del rbol de expansin mnima:1. Seleccionar cualquier nodo en la red. 2. Conectar este nodo con el nodo ms cercano que minimice la distancia total.3. Considerar todos los nodos que estn conectados, encontrar y conectar el nodo ms cercano que no est conectado. Si hay un empate en el nodo ms cercano, seleccionar uno de manera arbitraria. Un empate sugiere que existe ms de una solucin ptima.4. Repetir el paso 3 hasta que todos los nodos estn conectados.Considere la compaa Lauderdale Construction, que desarrolla un proyecto habitacional de lujo en Panama City Beach, Florida. Melvin Lauderdale, dueo y presidente de Lauderdale Construction, tiene que determinar la forma menos costosa de suministrar agua y electricidad a cada casa. La red de viviendas se muestra en la figura

Comenzamos con la seleccin arbitraria del nodo 1. Como el nodo ms cercano es el nodo 3, a una distancia de 2 (200 pies), conectamos el nodo 1 al nodo 3, lo cual se muestra en la figura

Consideramos los nodos 1 a 3 y buscamos el siguiente nodo ms cercano. Es el nodo 4, que es el ms cercano al nodo 3. La distancia es 2 (200 pies). De nuevo conectamos esos nodos:

Continuamos buscando el nodo ms cercano entre los nodos no conectados 1, 3 y 4. Son el nodo 2 o el nodo 6, ambos a una distancia de 3 del nodo 3. Elegimos el nodo 2 y lo conectamos al nodo 3

Continuamos el proceso. Hay otro empate para la siguiente iteracin con una distancia mnima de 3 (nodo 2nodo 5 y nodo 3nodo 6). Debera observar que no consideramos el arco nodo 1nodo -2 con distancia de 3, porque esos nodos ya estn conectados. Seleccionamos arbitrariamente el nodo 5 y lo conectamos al nodo 2:

El siguiente nodo ms cercano es el nodo 6 y lo conectamos al nodo 3:

En este punto, quedan tan solo dos nodos sin conectar. El nodo 8 es el ms cercano al nodo 6, con una distancia de 1 y lo conectamos:Luego conectamos el nodo 7 restante al nodo 8: La solucin final se observa en la sptima y la ltima iteraciones (vase la figura 11.5, inciso b). Los nodos 1, 2, 4 y 6 estn conectados todos al nodo 3. El nodo 2 est conectado con el nodo 5. El nodo 6 est conectado al nodo 8 y el 8 est conectado al 7. Ahora todos los nodos estn conectados. La distancia total se encuentra sumando las distancias de los arcos utilizados en el rbol de expansin. En este ejemplo, la distancia es 2 + 2 + 3 + 3 + 3 + 1 + 2 = 16 (o 1,600 pies). Esto se resume en la tablaPASONODO CONECTADOSNNODOS NO CONECTADOSNODO NO CONECTADO MAS CERCANOARCO SELECCIONADOLONGITUD DE ARCODISTANCIA TOTAL

112,3,4,5,6,7,831-322

21,32,4,5,6,7,843-424

31,3,42,5,6,7,82 o 62-337

41,2,3,45,6,7,85 o 62-5310

51,2,3,4,56,7,853-6313

61,2,3,4,5,67,886-8114

71,2,3,4,5,6,8777-8216