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5/13/2018 MODELOS DE REDES - slidepdf.com

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MODELOS DE REDES

En un modelo de redes el objetivo consiste en maximizar el

flujo del muelle a la refinería y calcular el valor de este flujo

máximo.



INTRODUCCIÓN

En este capitulo se estudian los modelos de redes, que usan

gráficas dirigidas, en esta sección aprenderemos a maximizar el

flujo a través de una red. La red podría ser una red de transporte

por la que fluyen bienes, una red de tuberías a través de la cual

fluye el petróleo, una red de computadoras a través de la cual fluyenlos datos, etc. En cada caso el problema consiste en determinar el

flujo máximo. La maximización del flujo en una red es un problema

que pertenece a la teoría de gráficas como a la investigación de

operaciones. Las redes de Petri modelan sistemas en los que el

procesamiento puede ocurrir de manera concurrente. El modelo

proporciona un marco de referencia para tratar cuestiones como laposible operación de estancamiento en un sistema o el hecho de

exceder la capacidad de los componentes de un sistema.



RED DE TRANSPORTE

Considerando la siguiente gráfica dirigida (red de transporte), que representa una

tubería de petróleo. El petróleo se descarga en el muelle a y se bombea por toda la

red de la refinería z . Los vértices b,c,d y e representan estaciones de bombeo

intermedias. Las aristas dirigidas representan subtuberías del sistema y muestran la

dirección en que puede fluir el petróleo. Las etiquetas de las aristas indican las

capacidades de las subtuberías. El problema es encontrar la manera de maximizar elflujo del muelle a la refinería y calcular el valor de este flujo máximo.



Una red de transporte es una grafica dirigida, simple con pesos que

satisface:

a) Un vértice fijo, designado como el origen o fuente, no tiene aristas de

entrada.

b) Un vértice, designado como destino o sumidero, no tiene aristassalientes.

c) El peso Cij de la arista dirigida (i, j) llamada capacidad de (i, j) es un

numero no negativo.

Si observamos la gráfica, el origen es el vértice a y el destino es el vértices

z. La capacidad de la arista (a, b), C_{a, b} es 3 y la capacidad de la arista

(b, c), C_{b, c} es 2. Un flujo en una red asigna un flujo a cada aristadirigida que no excede la capacidad de esa arista. Más aun, si se supone

que el flujo que entra a un vértice v, que no es el origen y el destino, es

igual al flujo que sale de v.



Ejemplo de red de transporte

Tomado con referencia la gráfica



Sea G una red de transporte. Sea C_{ij} la capacidad de la arista dirigida (i,

j) . Un flujo F en G asigna a cada arista dirigida (i, j) un numero no negativo

F _{ij} tal que:

a. F _{ij} C_{ij}

b. Para cada vértice j, que no es la fuente ni el destino.

Conservación de flujo b

Conservación de flujo

F _{ij} recibe el nombre de flujo en la arista (i, j). Para cualquier vértice j,



Se llama flujo que entra a j y

Se llama flujo que sale de j.Conservación de flujo significa para el ejemplo,

que el petróleo no se usa ni se suministra en las estaciones de bombeo b,

c, d y e.

Ahora, vamos a definir un flujo para la red del ejemplo asignando los

valores: F _{ab} = 2, F _{bc} = 2, F _{cz} = 3; F _{ad} = 3, F _{dc} = 1, F _{de} = 2,

F _{ez} = 2

La gráfica quedaría,



Analizando, El flujo que entra al vértice d F _{ad} = 3 y es el mismo que sale

del vértice d,

F _{dc} + F _{de} = 1 + 2 = 3

Se debe considerar que una arista e se etiqueta ³x, y´ si la capacidad de e

es x y el flujo en e es y.

Observemos que el flujo que sale del origen (a) Fab + Fad, es igual al flujo

que entra al destino (z) Fcz + Fez F _{ab} + F _{ad} = 2 + 3 = 5

F _{cz} + F _{ez} = 3 + 2 = 5

Ambos valores son iguales a 5; a este valor lo denominamos valor del flujo

F.

Sea F un flujo en una red G. el valor

Se llama el valor del flujo F.



ALGORITMO DE FLUJO MÁXIMO

Si G es una red de transporte, un flujo máximo en G es un flujo con valor

máximo.

Diseñar un algoritmo para determinar un valor máximo, consiste en iniciar

con cierto flujo inicial e incrementar de manera interactiva el valor del flujo

hasta que no pueda mejorarse mas.

Podemos considerar un flujo inicial aquel en el que el flujo en cada arista es

igual a cero.

Para incrementar el valor de un flujo dado, debemos determinar un camino

del origen al destino e incrementar el flujo a lo largo de este camino.



Notación

G denota una red con origen a, destino z y capacidad C

En principio denotaremos aristas no dirigidas

(Camino) P = (V0, V1,«««««., Vn) Vo = a, V = z

Si una arista e en P esta dirigida de Vi-1 a Vi decimos que esta orientada

en forma propia.



Si podemos determinar un camino P de la forma del origen al destino en

donde cada arista P esta orientada en forma propia y el flujo en cada arista

es menor que la capacidad de la arista es posible aumentar el valor del

flujo.



Uso del algoritmo 8.2.4 para determinar el flujo máximo.

Dada la siguiente red de transporte:

Determinar un flujo máximo en la red, mediante el algoritmo 8.2.4



Desarrollo:

Las líneas 1 y 2 del algoritmo, nos permite inicializar el flujo con 0 para

cada una de las aristas de la red.



Las líneas 5 al 9 del algoritmo, permiten etiquetar los vértices como

NULOS.

Las líneas 10 y 11 del algoritmo permite etiquetar el vértice a como (-,)

que es un par o dupla de valores, donde el primer elemento identifica el

vértice ³predecesor o anterior´ y el segundo valor es el mínimo entre el

incremento (¨) y la diferencia dada por Cvw - Fvw, donde la red resultante

es:



En la línea 12 al conjunto U le añadimos el vértice a en este caso (vértice

fuente o inicial).

A continuación la línea 13, da inicio al ciclo WHILE, que permite etiquetar

los vértices que conectan las aristas que salen de a y al mismo tiempo

elimina el vértice a de U, para nuestro caso las aristas (a, b) y (a, d)

controlando que los vértices b y d no estén etiquetados. Luego de etiquetar

los vértices anteriores, regresamos a la línea 13 y repetimos el ciclo

WHILE, pero esta vez tomamos el vértice b y nos dirigimos a etiquetar el

vértice c que se conecta con la arista (b, c) y c no esta etiquetado, se

elimina el vértice b y se añade el vértice c a U. Regresamos a la línea 13 y

repetimos el ciclo WHILE, como el vértice z no está etiquetado, tomamos

cualquiera de los vértices que se encuentran en U pero observando quecon los vértices que se conecta no se encuentren etiquetados, para nuestro

caso tomamos el vértice c y cumplimos los requisitos que nos pide el

algoritmo en las líneas que hagamos referencia, para nuestro caso c se

conecta con z y z no está etiquetado, dando como resultado lo siguiente:



Regresamos a la línea 13, ciclo WHILE, pero como z está etiquetado,

saltamos a la línea 35, donde las líneas que le siguen nos permite

determinar el conjunto P con el camino de los vértices comenzando

desde z hacia atrás hasta llegar a a, donde el camino está dado por:

P = (a, b, c, z)En la línea 43 del algoritmo hacemos ¨ = val(z) y asignamos el flujo a

todas las aristas del camino identificado, conforme lo señalan las

líneas del algoritmo que están a continuación de la línea 43.

La red con estos nuevos datos es la siguiente:



Luego de obtener este primer camino, regresamos al inicio del algoritmo o

sea a la línea 3 y volvemos a ejecutar las instrucciones como se lo hizo al

inicio, con esto se determina otro camino y los flujos respectivos; pero hay

que considerar que ahora algunas de las aristas ya tienen un flujo asignado

por el anterior proceso. Este procedimiento continua hasta cuando el

conjunto U este vacío, que se controla en la línea 15 y se puede dar por terminado el algoritmo.

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