Modelos de redesBruno do Nascimento Monteiro 07088002901 Davison Holanda Pacheco 07088002401

Introduo Os modelos de redes representam alguns dos problemas mais significativos da programao linear. Problemas de transportes Problemas de transbordo Problemas de desisgnao Problemas de percurso mnimo Problemas de percurso crtico Problemas de programao da produo Problemas referentes a outroa tipos de redes de deciso

Introduo contModelos de redes constituem casos particulares de problemas de programao linear com a caracterstica de apresentarem solues inteiras. Exemplos: valore numericos ou variveis passano-passa,sim-no,fazer-no-fazer, utilizando valores 0 ou 1.

Problema clssico do transporteDestina-se para fins de planejamento. Consistena na seleo de rotas de transporte de modo a distribuir a produao e diversas fbricas a varios depsitos ou pontos de consumo. Reavaliao de plano de distribuiode mercadorias.

Problema clssico do transporte No modelo padro h m pontos de fornecimento com itens disponveis a serem remetidos a n pontos de demanda. Dessa forma a fbrica i pode remeter no mximo Si itens eo de demanda j necessita pelomenos Dj itens para atender o ermcado. Os Si e DJ so fixados para um intervalo de tempo especificado. O custo de remeter cada unidade ou lote da fbrica I ao ponto de consumo j Cij. Assim o objetivo escolher um ponto de retas para o perdo planejado que minimize os custos totais de transporte atendendo as capacidades de produao e as necessicades da demanda.

Problema clssico do transporteNestas condies, a formulao do problema : Funo objetivo: ( (minimizar custos) Retries de fornecimento: Restries de demanda: Restries de no-negatividade: Xij >= 0

Problema clssico de transporte Considerando que os problemas de transporte so casos particulares dos problemas de programao linear, pode-se descrever o modelo de transportes em sua forma de programao linear como:Z = C11X11 + C12X12 + ... + C1nX1n + C21X21 + C22X22 + ... + C2nX2n + ... + Cm1Xm1 + Cm2Xm2 + ... + CmnXmn

Problema clssico de transporteSujeito as seguintes restries: X11+X12+...+X1n=Dn Xij >= 0 para todo i e j

Problema clssico de transporte Para que o problema de transporte apresente uma soluo vivel, h necessidade de que se verifique a condio: Caso ocorra de haver necessidade de criao de um ponto de demanda fictcio. Caso ocorra de haver necessidade de criao de um ponto de fornecimento fictcio. Sempre ser suposto que o custo de transporte entre uma fbrica e um posto de distribuio uma valor positivo.

Algoritmo de transportes A aplicao do mtodo simplex para soluo do problema de transporte Pode ser particularizada para o modelo de rede, tornando-se mais adequada soluo do problema. Maior simplicidade Menor numero de iteraes necessrias

Quadro de transporte pelo modelo de rede

O algoritmo de transportes Constitui uma particularizao do mtodo simplex aplicada a esse tipo de problema Inicialmente ao invs de se trabalhar diretamente com o mtodo simplex Obteno da soluo inicial, utiliza-se o quadro de transporte pelo modelo de rede.

Algoritimo de transportesEnvolve as seguintes etapas bsicas: 1.Determine uma soluo inicial bsica vivel; 2.Teste a soluo quanto a sua condio de timo; 3.Melhore a soluo obtida quando esta no for tima.Repita os passos 2 e 3 at obter a soluo tima.

Soluo bsica inicial Os mtodos bsicos mais utilizados para encontrar a soluo bsica inicial so: Regra do Canto Noroeste

Regra de Vogel

Regra do Canto Noroeste : Comeando- se pela clula superior esquerda (canto noroeste) aloca-se a X11 tantas unidades quantas sejam possveis Continua-se o algoritmo deslocando-se para a clula imediatamente abaixo. A cada etapa aloca-se clula em considerao tantas unidades quantas sejam possveis sem violar as restries.

Aplicao do mtodo canto noroeste

Aplicao do mtodo canto noroeste

Figura

Aplicao do mtodo canto noroeste

Aplicao do mtodo canto noroesteAssim a soluo inicial obtida ser: X11=180, X12=20, X22=100, X23=60, X33=50 e X34=90 A funo objetivo por sua vez ter como valor:

Z=180(17) + 20(13) + 100(30) + 60(36) + 50(28) + 90(45) = 13930Esta soluo apesar de no ser tima, possibilita a aplicao de mtodo

Simplex para obteno definitiva.

Regra de VogelPara cada linha e cada coluna calcula-se a diferena no negativa entre os dois menores custos associados s celulas ainda sem alocao. Considera-se a linha ou coluna possuidora do maior resduo e em caso de empate escolhe-se uma arbitrariamente. Nesta linha ou coluna, identifica-se o menor custo unitrio de transporte ainda sem alocao e aloca-se a esta tantas unidades quantas sejam possveis sem violar as restries. Aps recalculam-se os novos resduos e repete-se o procedimento nas linhas e colunas ainda sem alocao at que todas as demandas sejam satisfeitas.

Aplicao do mtodo de Vogel

Figura

Aplicao do mtodo de Vogel

Aplicao do mtodo de VogelAssim a soluo inicial obtida ser: X12=120, X13=80, X21=70, X24=90, X31=110, X33=30 Funo objetivo Z= 120(13) +80(24) + 70(8) + 90(26) + 110(20) + 30(28) = 9420 Esta soluo, que poder ou no constituir a tima, possibilita a aplicao do mtodo Simplex para obteno da soluo definitiva.

Otimizao da soluo inicialOs mtodos de otimizao da soluo bsica inicial contituem mtodos iterativos e tem por base avaliar se a soluo presente tima ou no. Um exemplo deste procedimento poder ser visto adiante quando for abordada a aplicao do mtodo Simplex ao problema de transportes.

Mtodo simplex aplicado ao problema do transporteFuno objetivo: (minimizar)

Restries de fornecimento: Restries de demanda:

Restries de no Negatividade: Xij >= 0 para todos os i e j

Mtodo simplex aplicado ao problema do transporte Devero sercriadas novas variveis artificiais, destinadas a auxiliar na soluo do problema: Para cada restio de capacidade, ser criada uma varivel de nominada de Ui, onde i o indice da linha; Para cada restio de demanda, ser criada uma varivel de nominada de Vj, onde j o indice da coluna;

Otiizao Soluo Bsica inicial

Mtodo simplex aplicado ao problema do transporte A relao entre as variveis Ui e Vj com o problema tal que: Cij-Ui-Vj=0 para variveis bsicas onde Xij>0

Apartir dos valores obtidos para Ui e Vj pode-se calcular o coeficiente para variveis no bsicas. A otimizao da soluo inicial se d atravs da introduo de novas variveis na soluo.

Otimizao Soluo Bsica inicialIterao 1 Fazendo U1=0 tem-se: C11-U1-V1=0 ou 17-0-V1=0 C12-U1-V2=0 ou 13-0-V2=0 C22-U2-V2=0 ou 30-U2-13=0 C24-U2-V4=0 ou 26-17-V4=0 C31-U3-V1=0 ou 20-U3-17=0 C33-U3-V3=0 ou 28-3-V3=0

onde V1=17 onde V2=13 onde U2=17 onde V4=9 onde U3=3 onde V3=25

Otimizao Soluo Bsica inicialSubstituindo tais resultados nas variveis no bsicas obtem-se:Varivel X13 X14 Cij-Ui-Vj C13 - U1 - V3 = 24 - 0 - 25 = -1 C14 - U1 - V4 = 54 - 0 - 9 = 45 Vantagem na utilizao Sim No

X21X23

C21 - U2 - V1 = 8 - 17 - 17 = -26C23 - U2 - V3 = 36 - 17 - 25 = -6

SimSim

X32X34

C32 - U3 - V2= 42 - 3 - 13 = 26C34 - U3 - V4 = 45 - 3 - 9 = 33

NoNo

Otimizao Soluo Bsica inicial Definir a clula que deixa-p a soluo atual

Verificando-se a linha e coluna (trajeto) escolhida para entrar na soluo Escolhe-se a clula de menor valor pra sair da soluo atual

X21=70; X22=0 ; X12=120; X11=80 O Novo valor da funo objetivo :Z=80(17)+120(13)+70(8)+90(26)+30(20)+110(28)=9500

Otimizao Soluo Bsica inicialIterao 2 Fazendo U1 = 0, tem-se que: C11-U1-V1=0 -> 17 0 V1 = 0 C12-U1-V2=0 -> 13 0 V2 = 0 C21-U2-V1=0 -> 8 U2 17= 0 C24-U2-V4=0 -> 26 (-9) V4 = 0 C31-U3-V1=0 -> 20 U3 17 = 0 C33-U3-V3=0 -> 28 3 V3 = 0

onde V1 = 17 onde V2 = 13 onde U2 = 17 onde V4 = 35 onde U3 = 3 onde V3 = 25

Otimizao Soluo Bsica inicialSubstituindo tais resultados nas variveis no bsicas obtem-se:Varivel X13 X14 Cij-Ui-Vj C13 - U1 - V3 = 24 - 0 - 25 = -1 C14 - U1 - V4 = 54 - 0 - 35 = 19 Vantagem na utilizao Sim No

X22X23

C22 - U2 - V2 = 30 - (-9) - 13 = 26C23 - U2 - V3 = 36 - (-9) - 25 = 20

NoNo

X32X34

C32 - U3 - V2= 42 - 3 - 13 = 26C34 - U3 - V4 = 45 - 3 - 35 = 7

NoNo

Otimizao Soluo Bsica inicial

Otimizao Soluo Bsica inicialO novo valor da funo objetivo :Z = 120(13)+80(24)+70(8)+90(26)+110(20)+30(28) = 9420Este valor de Z alcanado nesta iterao (9420) a soluo tima do problema de transporte, o que pode ser comprovado pelo recalculo do valor Cij-Ui-Vj >= 0 para todas as clulas(variveis).

Testando soluo timaFazendo U1 = 0, tem-se que: C12-U1-V2=0 -> 13 0 V2 = 0 C13-U1-V3=0 -> 24 0 V3 = 0 C21-U2-V1=0 -> 8 U2 16= 0 C24-U2-V4=0 -> 26 (-8) V4 = 0 C31-U3-V1=0 -> 20 4 V1 = 0 C33-U3-V3=0 -> 28 U3 24 = 0

onde V2 = 13 onde V3 = 24 onde U2 = -8 onde V4 = 34 onde V1 = 16 onde U3 = 4

Testando soluo timaSubstituindo tais resultados nas variveis no bsicas obtem-se:Varivel X11 X14 Cij-Ui-Vj C11 - U1 V1 = 17 - 0 - 16 = 1 C14 - U1 - V4 = 54 - 0 - 18 = 36 Vantagem na utilizao No No

X22X23

C22 - U2 - V2 = 30 - (-8) - 13 = 25C23 - U2 - V3 = 36 - (-8) - 24 = 20

NoNo

X32X34

C32 - U3 - V2= 42 - 4 - 13 = 25C34 - U3 - V4 = 45 - 4 - 18 = 23

NoNo