operaciones taha parte3

11.2 Modelos estticos de cantidad econmica de pedido (CEP, o EOQ) 435

II IIII

CostoTCU1

TCU2

yym Q

FIGURA 11.3

Funcin de costo de inventario con discontinuidades en el precio

11.2.2 Cantidad econmica de pedido con discontinuidades de precio

Este modelo es el mismo de la seccin 11.2.1, con la excepcin de que el artculo en inventa-rio se puede comprar con descuento si el tamao del pedido y es mayor que determinado lmi-te q; esto es, que el precio unitario de compra c es

Por consiguiente

Al usar la notacin de la seccin 11.2.1, el costo total por unidad de tiempo es

Las funciones TCU1 y TCU2 se grafican en la figura 11.3. Como las dos funciones slodifieren en una cantidad constante, sus mnimos se presentan en

ym = A 2KD

h

TCU1y2 = d TCU11y2 = Dc1 + KDy + h2y, y qTCU21y2 = Dc2 + KDy + h2y, y 7 q

Precio de compra por unidad de tiempo = d c1yt0 = c1y1 yD2 = Dc1, y q c2yt0

= c2y

1 yD2 = Dc2, y 7 q

c = e c1, si y qc2, si y 7 q f , c1 7 c2

w* = A 2KDh11 -Da 2

p1 p + h2

y* = A 2KD1 p + h2

ph11 - Da 2

TCU1y, w2 = KDy

+ h5y11 - Da 2 - w62 + pw2

211 - Da 2y

436 Captulo 11 Modelos determinsticos de inventarios

La funcin de costo TCU(y) comienza a la izquierda, con TCU1(y) y baja hasta TCU2(y)en el punto de discontinuidad de precio q. La figura 11.3 muestra que la determinacin de lacantidad econmica de pedido y* depende de dnde est el punto de discontinuidad de precioq con respecto a las zonas I, II y III, limitadas por (0, ym), (ym, Q) y (Q, ), respectivamente.El valor de Q ( ym) se determina con la ecuacin

o sea

Esto reduce la ecuacin de Q a

La figura 11.4 muestra cmo se determina la cantidad ptima y* que se busca:

Los pasos para determinar y* son

Paso 1. Determinar . Si q est en la zona I, entonces y* ym; detenerse. Encaso contrario continuar en el paso 2.

ym = A 2KD

h

y* = eym, si q est en las zonas I o IIIq, si q est en la zona II

Q2 + a 21c2D - TCU11ym22h bQ + 2KDh = 0

c2D + KDQ

+ hQ2

= TCU11ym2

TCU21Q2 = TCU11ym2

q

Costo

Mnimo

TCU1TCU2

yym

Caso 1: q cae en la zona I, y* ym

Qq

Costo

Mnimo

TCU1TCU2

yym

Caso 2: q cae en la zona II, y* q

Qq

Costo

Mnimo

TCU1 TCU2

yym

Caso 3: q cae en la zona III, y* ym

Q q

FIGURA 11.4

Solucin ptima de los problemas deinventario con discontinuidades en el precio


Paso 2. Determinar Q ( ym) con la ecuacin de Q:

Definir las zonas II y III. Si q est en la zona II, entonces y* q. En caso contrario,q est en la zona III y y* ym.

Ejemplo 11.2-2

LubeCar se especializa en cambios rpidos de aceite para motor de automvil. El serviciocompra aceite para motor a granel, a $3 por galn. Si LubeCar compra ms de 100 galones,obtiene un descuento de $2.50 por galn. En el servicio se atienden unos 150 autos diarios, ycada cambio de aceite requiere de 1.25 galones. LubeCar guarda el aceite a granel con un cos-to de $0.02 por galn y por da. Tambin, el costo de colocar un pedido de aceite a granel esde $20. Hay un tiempo de 2 das para la entrega. Determine la poltica ptima de inventario.

El consumo diario de aceite esD 150 automviles por da 1.25 galones por automvil 187.5 galones por da

Tambin los datos sonh $0.02 por galn por daK $20 por pedidoL 2 dasc1 $3 por galnc2 $2.50 por galnq 1000 galones

Paso 1. Calcular

Como q 100 es mayor que ym, continuamos en el paso 2.Paso 2. Determinar Q

En consecuencia, la ecuacin de Q se calcula como sigue:

o sea

Q2 - 10599.74Q + 375000 = 0

Q2 + a 2 * 12.5 * 187.5 - 574.7520.02 b Q + 2 * 20 * 187.50.02 = 0

= 574.75

= 3 * 187.5 + 20 * 187.5612.37

+ 0.02 * 612.372

TCU1ym2 = c1D + KDym + hym

2

ym = A 2KD

h= A

2 * 20 * 187.50.02

= 612.37 galones

Q2 + a 21c2D - TCU11ym22h b Q + 2KDh = 0


El resultado de esto es . Entonces,

Como q ( 1000) cae en la zona II, la cantidad ptima de pedido es y* q 1000galones.

Como el tiempo de entrega es de 2 das, el punto de reorden es 2D 2 187.5 375galones. As, la poltica de inventario ptimo es

Pedir 1000 galones cuando el nivel de inventario baja a 375 galones

Solucin de cantidad econmica de pedido en hoja de clculo. La plantilla ch11EOQ.xls deExcel est diseada para manejar el problema general de cantidad econmica de pedido que sedescribi en el problema 9, conjunto 11.2a, cuando se permiten tasa uniforme de produccin yfaltante. Tambin resuelve el caso de discontinuidades en el precio, que se describi arriba.

La figura 11.5 muestra la aplicacin del modelo al problema de discontinuidades deprecio del ejemplo 11.2-2. El uso del modelo es directo. Se capturan los datos del modelo enla seccin de entrada de datos (C3:C11). Se requiere anotar 1 en la casilla si no se aplica un

Zona III = 110564.25, q 2Zona II = 1612.37, 10564.252

Q = 10564.25 17 ym2

FIGURA 11.5

Solucin del ejemplo 11.2-2 (CEP, o EOQcon discontinuidades en el precio) conExcel


elemento de dato al modelo. Por ejemplo, para resolver modelos CEP, o EOQ sin discontinui-dades de precio, se escribe 1 como C1, q y c2 (celdas C3:C5). El sistema muestra los mensa-jes correspondientes de error para resolver conflictos entre datos. El resultado del modelomuestra la poltica ptima de inventario y tambin los clculos intermedios del problema.

CONJUNTO DE PROBLEMAS 11.2B

1. Se tiene el caso del servicio de lavandera del hotel, del problema 6, conjunto de problemas 11.2a.La tarifa normal por lavar una toalla sucia es de $0.60, pero el servicio de lavandera slo cobra$0.50 si el hotel les manda un mnimo de 2500 toallas. Debe aprovechar el hotel ese descuento?

2. Un artculo se consume con la tasa de 30 unidades diarias. El costo de almacenamiento por uni-dad y por da es de $0.05 y el costo de preparacin es de $100. Suponga que no se permite la faltante y que el costo de compra por unidad es de $10 por cualquier cantidad menor de 500 unidades, y de $8 en caso contrario.a) Determine la poltica de inventario ptimo cuando el tiempo de entrega es de 21 das.b) Use la hoja de clculo ch11EOQ.xls para resolver el problema.

3. Un artculo se vende en $25 por unidad, pero se ofrece un descuento en lotes de 150 unidades oms. Una empresa usa este artculo, con una tasa de 20 unidades diarias. El costo de preparacinpara pedir un lote es de $50, y el costo de almacenamiento por unidad y por da es de $0.30. Debeaprovechar la empresa el descuento?

4. En el problema 3, determine el intervalo de porcentaje de descuento de precio que, cuando seofrezca con lotes de 150 unidades o ms no cause ventaja financiera alguna a la empresa.

5. En el modelo de inventario descrito en esta seccin, suponga que el costo de almacenamiento porunidad y por unidad de tiempo es h1 para cantidades menores que q y h2 en caso contrario; h1 h2.Indique cmo determinar el tamao econmico de lote.

11.2.3 Cantidad econmica de pedido de varios artculos con limitacin de almacn

Este modelo se aplica al caso con n ( 1) artculos cuyo inventario individual flucta deacuerdo con la pauta de la figura 11.1 (no se permiten faltantes). La diferencia est en que losartculos compiten por un espacio limitado de almacenamiento.

Se definirn, para el artculo i, i 1, 2, ..., n:

Di Tasa de demandaKi Costo de preparacinhi Costo unitario de almacenamiento por unidad de tiempoyi Cantidad de pedidoai rea de almacenamiento necesaria por unidad de inventarioA rea mxima disponible de almacenamiento para los n artculos

Suponiendo que no hay faltantes, el modelo matemtico que representa la situacin del inven-tario es

Minimizar TCU 1y1, y2, p , yn2 = an

i=1aKiDiyi +

hiyi2 b


1Vanse los detalles del mtodo de Lagrange en la seccin 20.1.1. La aplicacin del mtodo es correcta eneste caso, porque TCU(y1, y2, ..., yn) es convexa y el problema tiene una sola restriccin lineal; por consi-guiente su espacio de soluciones es convexo. Puede suceder que el procedimiento no sea correcto bajo otrascondiciones, o cuando el problema tenga ms de una restriccin, como se explica en la seccin 20.1.2.

sujeta a

Los pasos para resolver el problema son los siguientes.

Paso 1. Calcular los valores ptimos no restringidos de las cantidades de pedido con:

Paso 2. Comprobar si los valores ptimos no restringidos yi* satisfacen la restriccin de al-macenamiento. Si la satisfacen, detenerse; la solucin yi*, i 1, 2, ..., n es ptima.En caso contrario seguir en el paso 3.

Paso 3. Se debe satisfacer la restriccin del almacenamiento en forma de ecuacin. Usar elmtodo de los multiplicadores de Lagrange para determinar los valores restringidosptimos de las cantidades de pedido.

En el paso 3, la funcin de Lagrange se formula como sigue:

donde es el multiplicador de Lagrange.1Como la funcin de Lagrange es convexa, los valores ptimos de yi y se determinan

con la siguiente condicin necesaria:

La segunda ecuacin indica que se debe satisfacer la restriccin en forma de ecuacin para elptimo.

De la primera ecuacin,

La frmula indica que yi* depende del valor de . Para da la solucin sin restric-cin.

* = 0, yi**yi

* = A 2KiDi

hi - 2*ai

0L0 = -a

n

i=1aiyi + A = 0

0L0yi

= - KiDi

yi2 +

hi2

- ai = 0

16 02

=an

i=1aKiDiyi +

hiyi2 b - aa

n

i=1aiyi - Ab

L1, y1, y2, p , yn2 = TCU1y1, y2, p , yn2 - aan

i=1aiyi - Ab

yi* = A

2KiDihi

, i = 1, 2, p , n

yi 7 0, i = 1, 2, p , na

n

i=1ai yi A


El valor de se puede determinar como sigue: como por definicin para el casode minimizacin, se disminuye en forma sucesiva una cantidad razonablemente pequea, yse sustituye en la frmula para calcular la yi* asociada. La deseada produce los valores de yi

* que satisfacen la restriccin de almacenamiento en forma de ecuacin.

Ejemplo 11.2-3

Los datos siguientes describen tres artculos de inventario:

Artculo i ($) (unidades por da) ($)

1 10 2 0.30 12 5 4 0.10 13 15 4 0.20 1rea total disponible para almacenamiento 25 pies2

Los clculos asociados con el modelo son sencillos, pero tediosos. Se proporciona la plantillade hoja de clculo ch11ConstrainedEOQ.xls para subsanar esta dificultad.

La figura 11.6 muestra la aplicacin de la plantilla a los datos de este ejemplo. La seccinde datos contiene todos los parmetros necesarios para todos los artculos. El valor inicial de(Initial Lambda, lambda inicial) se suele igualar a cero, y el decremento de (Lambda decre-ment) se establece en un valor razonable. Estos valores iniciales se pueden ajustar para asegu-rar cualquier grado de exactitud en los clculos, como se explicar en breve. La plantilla puedemanejar un mximo de 10 artculos. Tambin est diseada para aceptar problemas en los quela restriccin tiene la forma

Esta clase de restriccin puede surgir en otras situaciones, como se ve en el problema 4, con-junto 11.2c. Para usar esta opcin debe poner 1 en la celda G4 de la plantilla.

an

i=1 aiyi

A

ai 1ft22hiDiKi

*

6 0*

FIGURA 11.6

Solucin del modelo de almacenamiento del ejemplo 11.2-3, con Excel


2Podr usted aprovechar ch11StorageEOQ.xls para resolver los problemas de este conjunto.

La ltima columna de la figura 11.6 muestra que la ecuacin de almacenamiento se satis-face en algn punto del intervalo . La hoja de Excel puede refinar la res-puesta a cualquier exactitud que se desee, del siguiente modo: cambie el valor de inicial(celda C10) a y especifique un decremento menor de lamda (celda C11), digamos 0.05.Ahora ejecute el modelo y revise inicial y el decremento. Repita el proceso, actualizando inicial y seleccionando un decremento menor de hasta obtener la exactitud que se desee. Yohice la prueba con este procedimiento y pude refinar la bsqueda hasta inicialy decremento de . En , la ecuacin cerraba casi a cero. Los valorescorrespondientes de las cantidades de pedido son

CONJUNTO DE PROBLEMAS 11.2C2

1. Los datos siguientes describen cinco artculos de inventario.

Artculo i ($) (unidades por da) ($)1 20 22 0.35 1.02 25 34 0.15 0.83 30 14 0.28 1.14 28 21 0.30 0.55 35 26 0.42 1.2rea total disponible para almacenamiento = 25 pies2

Determine las cantidades ptimas de pedido.2. Resuelva el modelo del ejemplo 11.2-3, suponiendo que se requiere que la suma de los inventa-

rios promedio para todos los artculos sea menor que 25 unidades.3. En el problema 2, suponga que la nica restriccin es un lmite de $1000 en el capital que se

puede invertir en el inventario. Los costos de compra de los artculos 1, 2 y 3, por unidad, son de$100, $50 y $100, respectivamente. Determine la solucin ptima.

4. Los datos siguientes describen cuatro artculos de inventario.

Artculo i ($) (unidades por da) ($)

1 100 10 0.12 50 20 0.23 90 5 0.24 20 10 0.1

La empresa desea determinar la cantidad econmica de pedido para cada uno de los cuatro artcu-los, de tal modo que la cantidad total de pedidos por ao (de 365 das) sea 150, cuando mucho.Formule la funcin de Lagrange y deduzca las frmulas necesarias. A continuacin use ch11Cons-trainedEOQ.xls para resolver el problema.

5. Use las ecuaciones de derivadas parciales del modelo de inventario en esta seccin para demos-trar que el valor inicial de la ptima se puede aproximar por:

hiDiKi

ai1pie22hiDiKi

y1* L 6.34 unidades, y2* L 7.09 unidades, y3* L 11.57 unidades

* = -0.348= 0.0005= -0.03475

-0.3

-0.3 7 7 -0.4

11.3 Modelos dinmicos de cantidad econmica de pedido 443

en donde

11.3 MODELOS DINMICOS DE CANTIDAD ECONMICA DE PEDIDO

Los modelos que aqu se presentan difieren de los de la seccin 11.2 en dos aspectos: 1) el ni-vel de inventario se revisa en forma peridica durante una cantidad finita de periodos iguales,y 2) la demanda por periodo, aunque es determinista, es dinmica en el sentido que puede va-riar de un periodo al siguiente.

Un caso en el que se presenta la demanda dinmica determinista es el de la planeacinde los requerimientos de materiales (MRP, del ingls materials requirement planning). Elconcepto de la MRP se describir con un ejemplo. Suponga que la demanda trimestral de dosmodelos M1 y M2 de un producto, durante el prximo ao, es de 100 y 150 unidades, respecti-vamente. Las entregas de los lotes trimestrales se hacen al final de cada trimestre. El tiempo deentrega de la produccin es de 2 meses para M1 y de 1 mes para M2. Cada unidad de M1 y M2usa 2 unidades del subensamble S. El tiempo de entrega de la produccin de S es de 1 mes.

La figura 11.7 representa los calendarios de produccin de M1 y M2. Comienzan con lademanda trimestral de los dos modelos (indicada por las flechas llenas) al final de los meses

h = a

n

i=1hi

n, a =

an

i=1ai

n, KD =

an

i=1KiDi

n

* L h2a

- n2 a KD

A2

100

M1

Necesidades combinadasde S para los modelos 1 y 2

S

0 121 2 3 4 5 6Modelo 1

7 8 9 10 11

0 121 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

100 100 100

100 100 100 100

200

200

200

200

200

200

200

200

200

150

M2

S

0 121 2 3 4 5 6Modelo 2

7 8 9 10 11

150

150

150

150

150

150

150

300

300 200300 200300 200300

300

300

300

300

300

300

300

FIGURA 11.7

Ejemplo de la demanda dinmica generada por MRP

operaciones taha parte3

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