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Opérations unitaires GCH 210 – Chapitre 6 Jean-Michel Lavoie (Ph.D)

Chapitre 6

Transfert de chaleur sans changement de phase


Transfert de chaleur

• Quand on implique un échange de chaleur:– Entre un liquide et un gaz

• On observe:– Transfert de chaleur par convection– Transfert de chaleur par conduction

• Dans la plupart des situations industrielles:– Chaleur passe d’un fluide vers la parois vers un

autre fluide


Schématisation

• Transfert de chaleur:– Du fluide chaud vers le fluide froid

• Profile de température:– Présenté ci-contre


Explications

• Quand le fluide est turbulent:– Le gradient de vélocité près de la parois est très

abrupte– Dans cette mince sous-couche visqueuse là où les

turbulences sont absentes

• Dans ce cas:– Transfert de chaleur par conduction– Avec une large différence T2-T3


Explications

• En s’éloignant du mur:– Nous approchons une zone turbulente– Les tourbillons rapides stabilisent la température

• Nécessairement:– La différence de température T1-T2 est faible

• On considère que la température moyenne du fluide A:– Un peu plus petite que T1


Explications

• Pour ce qui est de l’autre côté:– On peut donner une explication similaire

• Le coefficient de transfert de chaleur dans un fluide est donné par la relation suivante:

)( wTThAq

Taux de transfert de chaleur

Coefficient de transfert de chaleur par convection

Aire

Température moyenne du fluide

Température moyenne du fluide

Température à la parois


Écoulements

• À ce point, la nature de l’écoulement:– Laminaire ou turbulent

• A un impact sur la valeur de h– Aussi appelé coefficient de film

• Plus l’écoulement sera turbulent• Et plus la valeur de h sera grande• Deux types de circulations:

– Naturelle (aidée de la poussée naturelle)– Forcée (aidée d’une différence de pression)


Coefficient du film

• Les correlations permettant d’aller chercher h– Empiriques– Dépendant des propriétés physiques de

l’écoulement:• Type et vélocité de l’écoulement• Différence de température• Géométrie du système physique


Nombre de Prandtl

• C’est le ratio:– μ/ρ par k/ρcp

– Témoigne de l’épaisseur relative de la couche hydrodynamique et de la couche limite thermique

k

c

ck

p

p

Pr

Chaleur spécifique (pression constante)

Conductivité thermique

Pour les gaz:Pr=0.5 à 1.0

Pour les liquides:Pr=2 à 104


Nombre de Prandtl

• Pour un liquide (habituellement)– Pr > 1

• La limite thermique est + mince que l’hydrodynamique

• Pourquoi:– Faible ration de conduction de la chaleur


Aussi

• Pour les gaz le nombre de Prandtl:– Habituellement près de 1– Le deux couches limites ont a peu près la même

épaisseur

• Métaux liquides:– Le nombre de Pr habituellement faible– En raison de leur grande conductivité thermique


Nombre de Nusselt

• Donne la relation entre:– Coefficient de transfert de chaleur (h)– Conductivité thermique (k)– Dimension caractéristique

k

hDNu


Écoulement laminaire

• Un des procédés industriels les plus important:– Refroidir ou chauffer une fluide dans une conduite

• Ceci implique des corrélations différentes:– Écoulement laminaire (Re < 2100)– Écoulement turbulent (Re > 6000)– Écoulement transitoire (Re : 2100-6000)


Écoulement laminaire

• Équation de Sieder et Tate

14.03/1

Pr*Re*86.1)(

w

baa L

D

k

DhNu

Coefficient de transfert de chaleur moyen

Nombre de Nusselt Nombre de Reynolds

Nombre de Prandtl

Viscosité du fluide à température moyenne

Viscosité du fluide à température de la

parois


Taux de transfert de chaleur

• Pour un écoulement laminaire• Le taux de transfert de chaleur (q)• Est défini par la relation:

2

)()( bowbiwaaa

TTTTAhTAhq


(arithmétique)

Température à la parois

Température généralisée du fluide entrant

Température généralisée du fluide

sortant


Écoulement turbulent• Quand le nombre de Re est > 6000:

– Écoulement pleinement turbulent

• Taux de transfert de chaleur + grand dans les régions turbulente

• Expliquant que plusieurs procédés industriels se basent sur cette fonctionnalité

• Fonctionne pour:– Re > 6000– Pr > 0.7<16000– L/D > 60


Nu – écoulement turbulent

14.0

3/18.0 PrRe023.0

w

bL

k

DhNu


(logarithmique)

• hL est basé sur la température moyenne logarithmique (nous y arriverons)

• Pour une situation ou L/D < 60, l’équation doit être ajustée avec un facteur de correction


Équation itérative• L’équation précédente:

– Peut avoir un aspect itératif– hL doit être connu pour évaluer la température à la

parois (Tw) et en conséquence la viscosité à la parois (μw)

– Ainsi nous avons déterminé des approximations:

2.0

8.052.3

D

uhL Fonctionne pour l’air à 1 atm


Pour H2O

• L’eau est souvent utilisée pour les transferts de chaleur

• Une équation simplifiée est disponible:

2.0

8.0

)0146.01(1429D

uThL

Exprimé en oC


Liquides organiques

• Pour les liquides organiques une très simple approximation est employée:

• Elle va comme suit:

2.0

8.0

423D

uhL


Problème typique• Chauffage d’air dans un écoulement turbulent

De l’air à 206.8 kPa et à une température moyenne de 477.6K est chauffée en passant dans un tube ayant un diamètre interne de 25.4 mm et une vélocité de 7.62 m/s. La chaleur du médium de chauffage est de 488.7 K avec de la vapeur d’eau condensant sur l’extérieur du tube. En raison du fait que le coefficient de transfert de chaleur de la vapeur d’eau condensant est de plusieurs milliers de W/M2K et que la parois de métal est très petite, nous assumerons que la température du métal en contact avec l’air est de 488.7 K. Calculez le coefficient de transfert de chaleur pour une conduite ayant un rapport L/D > 60 ainsi que le flux de transfert de chaleur (q/A).


Écoulement transitoire• Dans la zone transitoire• Pour un nombre de Reynolds entre 2100-6000• Les équations empiriques ne sont pas bien

définies


Conduites non-circulaires

• On ne refera pas les équations pour les conduites non-circulaires

• Nous allons ‘traduire’ les valeurs correspondant pour pouvoir les adapter aux équations de conduites circulaires

• Nous avions discuté de ceci au chapitre 1


Problème typique• L’eau chauffée par de la vapeur, solution essais et erreurs

De l’eau s’écoule dans une conduite horizontale de 1 pouce Schedule 40 en acier à une température moyenne de 65.6oC et à une vélocité de 2.44 m/s. Cette eau est chauffée par condensation de la vapeur à 107.8oC à l’extérieur de la parois de la conduite. Le coefficient de la vapeur a été estimé à ho=10500 W/m2*K.

a) Calculez le coefficient de convection (hi) pour l’eau à l’intérieur du tuyau

b) Calculez le coefficient généralisé (Ui) en se basant sur la surface interne

c) Calculez le taux de transfert de chaleur (q) pour 0.305m de tuyau avec de l’eau à une température de 65.6oC


Effet de la zone d’entrée• Près de l’entrée de la conduite chauffée• Le profil de température n’est pas complètement

développé:– h plus grand que hL

• À l’entrée, quand aucun gradient de température n’a été défini:– h est infini

• Toutefois la valeur de h décroît rapidement• Elle atteint hL à L/D=60 (environ)


En équations

L

D

h

h

L

D

h

h

L

L

61

17.0

6020

202

D

L

D

L

h est la valeur pour un tube de longueur L et hL est une valeur représentant un très long tube


Coefficients pour métaux liquides

• Souvent utilisés quand nécessité d’une fluide sur une grande fourchette de température

• Souvent utilisés dans des réacteurs nucléaires• Raison de leur utilité:

– Haute conductivité thermique– Nombre de Prandtl relativement peu élevés

• Dans ces cas:– Conduction souvent + importante que convection


Nombre de Peclet

• Défini comme la multiplication de Re et Pr:

• Pour un écoulement turbulent dans une conduite:

• Ceci fonctionne pour des valeurs de L/D>60 et un Pe entre 100 et 104.

PrRePe

4.0625.0 Pek

DhNu L


Pour Tw constante

8.0025.00.5 Pek

DhNu L

Coefficient de transfert de chaleur

Nombre de Nusselt Nombre de Peclet

Ceci fonctionne pour des valeurs de L/D>60 et un Pe>100, mais attention, Tw doit être constant!


Problème typique• Transfert de chaleur d’un métal liquide dans un tube

Un métal liquide s’écoule dans un tube de diamètre 0.05m à un débit massique de 4.00kg/s. Le liquide entre à 500K et est chauffé à 505K dans le tube. La parois du tube est maintenue à une température de 30K supérieure à la température généralisée du fluide et un flux de chaleur constant est maintenu. Calculez la longueur de tube nécessaire. Les propriétés physique moyennes se définissent comme suit:μ=7.1x10-4 Pa*s

ρ=7400 kg/m3

cp=120J/kg*K

k=13 W/m*K


Transfert externes Convection forcée

• Dans plusieurs cas:– Écoulement par-dessus des corps immergés:

• Sphères, tubes, plaques minces

• Quand le transfert de chaleur se produit:– Avec objets immergés dans le fluide– L’écoulement dépend de:

• Position du corps• Proximité d’autres corps• Débit• Propriétés du fluide


Corps immergés

• Coefficient de transfert de chaleur dépend de C et de m (deux constantes)

• Propriétés évaluées à la température du film:

3/1PrRemCNu

2

bwf

TTT


Plaque mince

• Posons des paramètres:– Vélocité du fluide approchant la plaque: u0

– Température du fluide approchant: T∞

• Température du plan:– De x=0 vers x=x0; T= T∞

– Pour x>x0; T= Tw

– Tw > T∞


Équation empirique

x

u

k

c

xx

TT

dy

dT opw

w

3

3 4/30 )(1

)(332.0

Gradient de température à la parois

• Identifions le coefficient de transfert de chaleur:

wwx dy

dT

TT

kh


En substituant

x

u

k

c

xx

TT

dy

dT opw

w

3

3 4/30 )(1

)(332.0

wwx dy

dT

TT

kh

x

u

k

c

xx

kh opx

3

3 4/30 )(1

332.0

On multiplie par x/k pour en faire un nombre sans dimensions

xu

k

c

xxk

xh opx 3

3 4/30 )(1

332.0


En simplifiant

• L’équation précédent comporte des équivalences:

xu

k

c

xxk

xh opx 3

3 4/30 )(1

332.0

v

Nombre de Nusselt

v v

Nombre de Prandtl

Nombre de Reynolds


Plaque mince

• Quand un fluide s’écoule:– De façon parallèle par rapport à une plaque mince

et qu’un transfert de chaleur se produit entre le fluide et la plaque

• Écoulement laminaire• Pr>0.7 (pour les gaz), 1 (pour les liquides)

3/15.0 PrRe664.0Nu


Plaque mince - Turbulence• Même concept mais pour un écoulement

turbulent:

• On parle d’un Re supérieur à 3x105 et un Pr supérieur 0.7.

• Les turbulences peuvent commencer à un nombre de Re plus bas si la plaque est rugueuse

3/18.0 PrRe0366.0Nu


Problème typique• Refroidir une feuille de cuivre

Une petite feuille de cuivre non rugueuse dépassant d’un tube a des dimensions de l’ordre de 51 mm par 51 mm. Sa température est approximativement uniforme à 82.2oC. De l’air est employée pour le refroidissement, la température de l’air est de 15.6oC et la pression est de 1 atm. Le fluide s’écoule parallèlement avec la feuille de cuivre à une vélocité de 12.2 m/s.a) En situation d’écoulement laminaire, calculez le coefficient de transfert de chaleur hb)Si la surface de la feuille de cuivre est rugueuse ce qui cause les couches adjacentes à la feuille à être complètement turbulentes; calculez h.


Autres nombres

• Il existe d’autres nombres auquel il serait nécessaire de se familiariser:– Nombre de Fourier (Fo)– Nombre de Graetz

VDc

kL

Dc

kt

r

tFo

pp

T

m

T222

44

kL

DcV

kL

cmGz pp

2

4

L

DGz PrRe

4


Constantes pour les cylindres

• Très souvent un fluide sera employé dans un écoulement perpendiculaire à une forme cylindrique (par exemple une conduite):– Pour la chauffer– Pour la refroidir

• Dans une telle situation il est possible d’appliquer l’équation suivante:

3/1PrRemCNu


Constantes


Équation au long

• Dans une situation ou les constantes sont hors de portée ou ne s’appliquent plus:

3/1)/Pr(Re85.1 LDNu

Fonctionne pour Gz > 20


Chauffage / refroidissement

• Pour liquides visqueux perdant rapidement leur chaleur

• Facteur de correction:14.0

wv

3/1)/Pr(Re85.1 LDNu

vw

p GzkL

cmNu

3/1

14.03/1

22


Écoulement sur une sphère

• On parle ici d’une seule sphère• L’équation suivante permet d’aller chercher le

coefficient d’échange de chaleur

• Cette équation est applicable pour un nombre de Re variant de 1 à 70 000.

• Le Pr doit être de l’ordre de 0.6 à 400

3/15.0 PrRe60.00.2 Nu


Problème typique• Refroidir une sphère

Nous avons de l’air à une pression de 1 atm abs et à 15.6oC qui s’écoule à une vélocité de 12.2 m/s. Prédisez le coefficient de transfert de chaleur moyen lorsque l’air dans ces conditions passe sur une sphère possédant un diamètre de 51mm et une température moyenne à la surface de l’ordre de 82.2oC. Comparez cette valeur avec la valeur obtenue pour la feuille de cuivre plate dans un écoulement turbulent d’air.


Regroupements de cylindres

• Plusieurs types d’échangeurs industriels reposent sur ce concept

• Exemple:– Chauffage de gaz– Fluide chaud dans des conduites tandis que le gaz

s’écoule et se réchauffe autour


Schématisation


Problème typique• Chauffage d’air par regroupement de tubes

De l’Air à 15.6 oC et 1 atm abs s’écoule à travers d’un regroupement de tubes comportant 4 rangées transversales dans la direction de l’écoulement et 10 colonnes de l’autre côté à une vélocité approchant les tubes de l’ordre de 7.62 m/s. La surface des tubes est maintenue à 57.2 oC. La diamètre externe des tubes est de 25.4 mm et les tubes sont enlignés en direction de l’écoulement. L’espacement Sn pour les tubes qui sont dans le sens contraire de l’écoulement est de 38.1 mm et Sp est aussi de 38.1 mm parallèlement à l’écoulement. Calculez le taux de transfert de chaleur pour ce regroupement de tubes de 0.305 m de longueur.


Écoulement dans un lit fixe

• Utile pour concevoir:– Lits de catalyseurs– Système de séchage de solides

• Pour déterminer le taux de transfert de chaleur:

))(( 21 TTaSdzhdq

Aire de la surface des particules par unité de volume du lit

Coefficient de transfert de chaleur

La surface vide d’un segment du lit

Hauteur de lit


Transfert de chaleur spécifique

• Transfert de chaleur des gaz dans un lit de sphères et pour 10 < Re < 10000:

35.0

3/2

Re

3023.0

Re

876.2

f

p

op

H k

c

uc

hJ

f signifie que les données employées ici sont

déterminées à température du film

Le terme JH se nomme facteur de Colburn


Convection naturelle• Transfert de chaleur par convection naturelle:

– Se produit quand une surface est en contact avec un liquide ou un gaz qui est à température différente

– La différence de densité provoquée par la différence de température crée une poussée qui permet le mouvement du fluide

• Exemple:– Calorifère utilisé pour chauffer une salle


Exemple de transfert• Transfert de chaleur:

– Plaque verticale chaude

• Vers:– Liquide ou un gaz

• Le fluide bougera– Convection naturelle

• Le profile de vélocité– Différent de celui de la

convection forcée


Aussi

• La vélocité est nulle à la parois• Aussi nulle à l’interface entre le film et le reste

du liquide• L’écoulement est laminaires près de la parois• Devient turbulent à une certaine distance de

la parois ou de l’interface• La force conductrice est la différence de

densité


Convection naturelleDans différentes géométries

• Pour des plans verticaux et cylindres• On parle d’une surface ou d’une conduite avec

une hauteur L de moins de 1 m• Répond à l’équation:

mm

p Grak

cTgLa

k

hLNu Pr

2

23

bb

TT

Nombre de Grashof

Coefficient d’expansion volumétrique

Notez: On exprime les valeurs dans l’équation ci-dessous en fonction de la température du film qui est ni plus ni moins une moyenne arithmétique de la température à la parois et de la température généralisée du fluide.


Tableau des constantes


Le nombre de Grashof

• Ratio de forces de poussée par rapport au forces de viscosité dans une convection libre

• Joue un rôle similaire dans le cas de la convection naturelle au rôle que peut jouer le nombre de Reynolds dans la convection forcée.


Problème typique• Convection naturelle du mur vertical d’un four

Un mur vertical de 0.305m est chauffé dans un four dans le but de faire cuire de la nourriture. La surface est à 505.4K et est en contact avec de l’air à 311K. Calculez le coefficient de transfert de chaleur par pied de mur. Ici on fera abstraction du transfert de chaleur par radiation.


Simplification des équations

• Il existe des équations permettant de simplifier les équations en fonction de situations un peu plus communes.

• Ces équations sont mentionnées dans le tableau suivant

• Pour adapter la valeur de h à d’autres pressions, multiplier par:

21

32.101

p

*Pour Gr*Pr entre 104 et 109

32

32.101

p

*Pour Gr*Pr >109


Équations simplifiées


Problème typique• Convection naturelle du mur vertical d’un four

Un mur vertical de 0.305 m est chauffé dans un four dans le but de faire cuire de la nourriture. La surface est à 505.4 K et est en contact avec de l’air à 311 K. Calculez le coefficient de transfert de chaleur par pied de mur. Ici on fera abstraction du transfert de chaleur par radiation.

Reprendre ce problème et appliquer les équations simplifiées… vérifier avec la valeur obtenue lors du problème précédent (127.1W)



• Cylindres et plaques horizontales• Ressemble beaucoup au cylindres verticaux• On applique l’équation:

• On peut aussi employer les équations simplifiées• Dans cette situation, habituellement Gr*Pr entre

104 et 109

mm

p Grak

cTgLa

k

hLNu Pr

2

23



• Espaces confinés• S’applique à plusieurs situations industrielles• Exemple:

– Deux parois de verre séparées par de l’air

• Écoulements dans cette situation:– Souvent très complexes– Plusieurs motifs peuvent être observés


En équations

• Le nombre de Grashof est défini:

• Le nombre de Nusselt est défini:

• Le flux de chaleur (q/A) est défini:

221

23 )(

TTg

Gr

k

hNu

21 TThA

q


Gaz – Endroits confinés

• Requiert que le ratio L/δ > 3

Nu = Équivalence Gr*Pr

1.0 < 2 x 103

- Entre 6x103 et 2x105


k

h

9/1

41

)/(

Pr*20.0

L

Gr

9/1

31

)/(

Pr*073.0

L

Gr


Liquides – Endroits confinésVerticaux



1.0 < 1 x 103


k

h

4/1

41

)/(

Pr*28.0

L

Gr


Gaz – Endroits confinésPlan horizontal: température du bas + grande que celle du haut



- Entre 7 x 103 et 3x105

- Plus grand que 3x105

41

Pr*21.0 Gr

31

Pr*061.0 Gr


Liquides – Endroits confinésPlan horizontal: température du haut + grande que celle du bas



- Entre 1.5 x105 et 1x109

074.031

PrPr*069.0 Gr


Problème typique• Convection naturelle dans un espace restreint vertical

De l’air à 1 atm abs est restreint entre deux parois verticales ou L=0.6 m et δ=30 mm. Les deux parois possèdent un épaisseur de 0.4 m. Les températures des plaques sont T1=394.3 K et T2=366.5 K. Calculez le transfert de chaleur au travers de la couche d’air.

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