i

PEMODELAN BIAYA GARANSI DUA DIMENSI POLIS FRW (NON-

RENEWING FREE REPLACEMENT WARRANTY) DENGAN STRATEGI

PENGGANTIAN UNTUK OIL FILTER MOBIL

THE TWO DIMENSIONAL WARRANTY COST MODELING OF THE

NON-RENEWING FREE REPLACEMENT WARRANTY (FRW) POLICY

WITH REPLACEMENT STRATEGY FOR AUTOMOBILE OIL FILTER

SKRIPSI

Diajukan kepada Fakultas Sains dan Matematika

untuk memenuhi sebagian dari syarat-syarat untuk memperoleh

gelar Sarjana Sains (Matematika)

Oleh:

NUR ROHMAN

NIM: 662013005

FAKULTAS SAINS DAN MATEMATIKA

UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA

SALATIGA

2017

ii

iii

iv

v

vi

MOTTO

~Ngluruk Tanpa Bala, Menang Tanpa Ngasorke, Sekti

Tanpa Aji-Aji, Sugih Tanpa Bandha~

~Barang siapa yang menempuh suatu jalan untuk menuntut

ilmu, Allah akan memudahkan baginya jalan ke surga~

(HR Muslim)

vii

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa, karena atas

rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas akhir ini.

Adapun judul dari skripsi ini adalah “Pemodelan Biaya Garansi Dua Dimensi Polis

FRW (Non-Renewing Free Replacement Warranty) dengan Strategi Penggantian

untuk Oil Filter Mobil” dengan baik. Tugas akhir ini disusun sebagai salah satu

syarat untuk menyelesaikan studi Strata 1 pada Program Studi Matematika,

Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Kristen Satya Wacana.

Penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangan dalam penyusunan tugas

akhir ini. Untuk itu penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun untuk

memperbaiki kesalahan-kesalahan dalam penulisan tugas akhir ini. Apabila ada

kata-kata tidak berkenan yang penulis sampaikan dalam tugas akhir ini, penulis

mohon maaf. Akhirnya semoga tulisan ini bermanfaat bagi pembaca secara khusus

untuk pihak-pihak yang berkepentingan.

Salatiga, 17 November 2017

Penulis

viii

ABSTRAK

Penelitian ini mempelajari bagaimana memperoleh model biaya garansi dua

dimensi polis FRW dengan strategi penggantian untuk komponen pada mobil yaitu

oil filter. Model biaya garansi tersebut melibatkan copula. Perilaku data bivariat

(umur dan penggunaan) kegagalan pertama komponen oil filter mobil dipelajari

pada penelitian ini. Kecocokan data bivariat terhadap suatu copula itu didasarkan

pada ukuran statistik Cram��r-von Mises dengan pengujiannya melalui simulasi

parametric bootstrap. Biaya garansi diperoleh berdasarkan model biaya tersebut

dan dihitung dengan menggunakan metode mean value theorem for integrals

(MeVTI).

Kata kunci: Model Biaya Garansi Dua Dimensi, Polis FRW, Strategi

Penggantian, Copula.

ix

ABSTRACT

The purpose of this research is to obtain the two-dimensional warranty cost

model of the FRW policy with replacement strategy for automobile component, i.e.

oil filter. The warranty cost model involves copula. The bivariate data behavior –

namely age and usage– of first failure of the oil filter is studied in this research. The

Cramer-von Mises statistic measurement is applied to match the bivariate data

against copula through parametric bootstrap simulation. The warranty cost is

obtained by applying the model, and calculated by using the mean value theorem

for integrals (MeVTI) method.

Keywords: Two-dimensional Warranty Cost Model, FRW Policy, Replacement

Strategy, Copula.

x

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ........................................................................................... i

HALAMAN TIDAK PELAGIAT ...................................................................... ii

HALAMAN PERSETUJUAN AKSES .............................................................. iii

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ................................................. iv

HALAMAN PENGESAHAN ............................................................................. v

MOTTO .............................................................................................................. vi

KATA PENGANTAR ....................................................................................... vii

ABSTRAK .......................................................................................................... viii

DAFTAR ISI ....................................................................................................... x

DAFTAR TABEL ............................................................................................... xii

DAFTAR GAMBAR .......................................................................................... xiii

DAFTAR LAMPIRAN ....................................................................................... xiv

BAB I. PENDAHULUAN ............................................................................... 1

II.1 Latar Belakang ............................................................................ 1

II.2 Rumusan Masalah ....................................................................... 2

II.3 Tujuan ......................................................................................... 3

II.4 Batasan Masalah ......................................................................... 3

II.5 Manfaat Penelitian ...................................................................... 3

BAB II. DASAR TEORI ................................................................................... 4

II.1 Model Biaya Garansi................................................................... 4

II.2 Notasi .......................................................................................... 4

II.3 Model Kegagalan Pertama Dua Dimensi .................................... 5

II.4 Strategi Penggantian pada Model Kegagalan Dua Dimensi ....... 6

II.5 Proses Pembaruan Dua Dimensi ................................................. 7

II.6 Solusi Numerik Persamaan Integral Pembaruan Dua Dimensi ... 9

II.7 Distribusi Bivariat ....................................................................... 11

II.8 Copula ......................................................................................... 11

II.9 Copula Archimedean ................................................................... 13

II.10 Goodness of Fit Test untuk Distribusi Bivariat atau Copula....... 17

xi

II.11 Goodness of Fit Test untuk Distribusi Marginal ......................... 18

II.12 Metode Bagi Dua ........................................................................ 19

BAB III. METODE PENELITIAN..................................................................... 21

III.1 Studi Literatur ............................................................................. 21

III.2 Pengambilan Data ....................................................................... 21

III.3 Pengolahan Data.......................................................................... 21

III.4 Analisis Data ............................................................................... 22

III.5 Hasil dan Pembahasan................................................................. 23

III.6 Penarikan Kesimpulan ................................................................ 23

III.7 Penulisan Laporan ....................................................................... 24

BAB IV. HASIL DAN PEMBAHASAN .......................................................... 24

IV.1 Data ............................................................................................. 24

IV.2 Goodness of Fit Test Distribusi Marginal 𝑋1 dan 𝑌1 ................... 26

IV.3 Ukuran Keterhubungan Kendall’s Tau dari Data 𝑋1 dan 𝑌1 ....... 26

IV.4 Estimasi Parameter Distribusi Bivariat Weibull

Lu-Bhattacharyya ........................................................................ 27

IV.5 Estimasi Parameter Copula Archimedean ................................... 27

IV.6 Uji Kecocokan Distribusi Biv. Weibull LB dan Copula

Archimedean ............................................................................... 27

IV.7 Ekspektasi Banyak Kegagalan dan Estimasi Biaya Garansi ....... 20

BAB V. KESIMPULAN DAN SARAN ............................................................ 33

V.1 Kesimpulan Penelitian ................................................................ 33

V.2 Saran untuk Penelitian Medatang................................................ 34

DAFTAR PUSTAKA ......................................................................................... 35

LAMPIRAN ........................................................................................................ 36

xii

DAFTAR TABEL

Tabel IV.1. Statistik Deskriptif Data Marginal 𝑋1 dan 𝑌1 .............................. 25

Tabel IV.2. Parameter dan Tes Uji Kecocokan Distribusi Marginal Data...... 26

Tabel IV.3. Ukuran Keterhubungan Kendall’s Tau dari Data 𝑋1 dan 𝑌1 ........ 26

Tabel IV.4. Parameter Copula Archimedean dan Distribusi Bivariat

Weibull LB ................................................................................... 27

Tabel IV.5. Statistik Cram��r-von Mises 𝑆�� Model-Model Distribusi

Bivariat ......................................................................................... 28

Tabel IV.6. Hasil Pengulangan Parametric Bootstrap ................................... 29

Tabel IV.7. Ekspektasi Banyak Kegagalan berdasarkan (4.1) ....................... 32

Tabel IV.8. Estimasi Biaya Garansi Dua Dimensi berdasarkan

(2.2) dan (4.1) ............................................................................. 32

xiii

DAFTAR GAMBAR

Gambar II.1. Domain Laju Kegagalan Strategi Penggantian di Dua Dimensi. 7

Gambar II.2. Peubah-Peubah pada Proses Titik Dua Dimensi ....................... 8

Gambar II.3. Copula Clayton dengan 𝜃 = 6 ................................................... 16

Gambar II.4. Plot Copula Gumbel dengan 𝜃 = 6 ........................................... 16

Gambar II.5. Copula Frank dengan 𝜃 = 6 ...................................................... 16

Gambar II.6. Copula Ali-Mikhail-Haq dengan 𝜃 = 0.6 ................................. 16

Gambar IV.1. Scatterplot Data 𝑋1 dan 𝑌1 ........................................................ 25

Gambar IV.2. Histogram 1000 𝑆𝑛 untuk Copula Clayton, Marginal Weibull

dan Lognormal .......................................................................... 28

Gambar IV.3. Histogram 1000 𝑆𝑛 untuk Copula Gumbel, Marginal Gamma

dan Weibull ............................................................................... 28

Gambar IV.4. Histogram 1000 𝑆𝑛 untuk Copula Frank, Marginal Gamma

dan Lognormal .......................................................................... 28

Gambar IV.5. Histogram 1000 𝑆𝑛 untuk Copula AMH, Marginal Lognormal

dan Weibull ............................................................................... 29

Gambar IV.6. Histogram 1000 𝑆𝑛 untuk Biv. Weibull LB, Marginal Weibull

dan Weibull ............................................................................... 29

Gambar IV.7. Bivariat Copula Clayton dengan 𝜃 = 0.1930

untuk Marginal 𝑋1~Weibull(𝛼1 = 2.6446, 𝛽1 = 0.5663)

dan 𝑌1~Lognormal(𝜇2 = −0.0636, 𝜎2 = 0.3761). ................ 31

Gambar IV.8. Ekspektasi Banyak Kegagalan berdasarkan (4.1) .................... 32

xiv

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran 1 Fungsi Distribusi Univariat dan Fungsi Debye ........................... 37

Lampiran 2 Data Kegagalan Pertama Komponen Oil Filter Mobil ................ 38

Lampiran 3 Analitik Distribusi Normal .......................................................... 39

Lampiran 4 Contoh Uji Kecocokan Distribusi................................................ 40

Lampiran 5 Program ....................................................................................... 42