una empresa docenteINVESTIGAR Y ENSEARVARIEDADES DE LA EDUCACIN MATEMTICAEditorLUIS PUIGBogot, 1997PRIMERA EDICIN, DICIEMBREDE 1997INVESTIGAR Y ENSEAR. VARIEDADES DE LA EDUCACION MATEMATICAEditor: Luis PuigD. R. 1997 una empresa docente & Grupo Editorial Iberoamrica, S.A. de C.V.Ninguna parte de esta publicacin puede ser reproducida, archivada o transmitida enforma alguna o mediante algn sistema, ya sea electrnico, mecnico, de fotorrepro-duccin, de almacenamiento en memoria o cualquier otro, sin el previo y expresopermiso por escrito de"una empresa docente", del Grupo Editorial Iberoamrica yde los autores.Diseo cartula: una empresa docenteGrupo Editorial Iberoamrica, S.A. de C.V.Serapio Rendn 125. Col. San Rafael, 06470 Mxico, D.F.Apartado 5-192, C.P. 06500 Tel. 705-05-85Reg. CNIEM 1382una empresa docenteUniversidad de los AndesCra. 1 Este # 18 A - 70 Apartado Areo 4976 Tel. (57-1) 284-9911 ext. 2717. Fax: 284-1890Servidor WWW: http: //ued. uniandes. edu.coBogot. ColombiaISBNImpreso en Mxico / Printed in MexicoTABLA DE CONTENIDOIntroduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vLuis Puig Madurez de la investigacin en educacin matemtica. El papel del ICMI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Miguel de GuzmnPor qu enseamos matemticas en la escuela? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Mogens Niss Valoracin de la investigacin en didctica de las matemticas: ms all del valor aparente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Jeremy KilpatrickCabri-gemetra o una nueva relacin con la geometra . . . . . . . . . . . . . 33Colette LabordeFormacin de investigadores en educacin matemtica: el programa de doctorado de la Universidad de Granada . . . . . . . . . . . . 49Luis RicoLa didctica de las matemticas como tarea investigadora. . . . . . . . . . . 63Luis Puig Relaciones entre la investigacin en didctica de las matemticas y la prctica de la enseanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77Juan D. Godino Algunas cuestiones que preocupan a un profesor de secundaria acerca de la investigacin en didctica de las matemticas . . . . . . . . . . 93Florencio Villarroya BullidoInvestigadores y profesores: dos culturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109Juan Antonio Garca CruzL. PUIG (ED.). INVESTIGAR Y ENSEAR. VARIEDADES DE LA EDUCACIN MATEMTICA, V-VI! 1997. UNA EMPRESA DOCENTE & GRUPO EDITORIAL IBEROAMRICAINTRODUCCINLo ms prudente que puede decirse de las relaciones entre la investigacineneducacinmatemticaylaprcticadocenteesquesoncomplejas.Eshabitual encontrarse entre los profesores en ejercicio con la opinin de quela investigacin no atiende a los problemas que realmente tienen los profe-soresensuprcticacotidianayquesusresultadosnolessondeningunautilidad.Porotraparte,comosealaFilloy(inprogress),entrealgunospracticantesdelainvestigacineneducacinmatemticaescorrienteencontrar la opinin de que se han desarrollado marcos tericos que, dadosu nivel de complejidad, desbordan la posibilidad de ser entendidos por losmaestros en servicio. Incluso se va ms all y se deende que existe unaobjetividad de los procesos didcticos, deslindable de las prcticas concre-tas en que los procesos de enseanza-aprendizaje de las matemticas se lle-vanacaboenlossistemasescolaresactuales,pudiendopensarselaDidctica de las Matemticas como un cuerpo de conocimiento cuyo obje-tivodeestudiolaalejadelatransformacindelasprcticasdocentes.Desdelaposicindelprofesorenejercicioescpticoodesencantadoylaposicin del investigador autonomizado por el desarrollo conceptual de sudisciplina que critica Filloy, poco puede hacerse para que la relacin entreloscamposdeactividaddeambosseafructferaosiquierapuedadarse.Afortunadamente,stasnosonlasnicasposicionesqueprofesoresenejercicioeinvestigadoresadoptanyesposibletenderpuentesdeestilosvariados entre uno y otro campos.En este libro se recogen parte de las intervenciones de un conjunto depersonas,mayoritariamenteprofesoreseinvestigadoresalavez,enunseminario que se celebr en Madrid, auspiciado por el Centro de Investiga-cin y Documentacin Educativa del Ministerio de Educacin y Ciencia deEspaa, con el objetivo de abordar esa relacin compleja entre la investiga-cinenEducacinMatemticaylaprcticadocenteencualquieradelossistemas escolares. Los textos que publicamos son los escritos que ponen-tes del seminario entregaron, correspondientes a sus intervenciones orales,y los hemos reordenado.Enprimerlugar,gurantextosdemiembrosdelaInternationalCom-missiononMathematicalInstruction(ICMI),quepresentanenciertamanera los puntos de vista del organismo que la comunidad internacionaldeeducadoresmatemticoshaelegidocomosurepresentanteocial.EltextodelpresidentedeICMI,MigueldeGuzmn,encabezalaseleccin,seguidoporeldeMogensNiss,queabordalapreguntageneralPorquenseamos matemticas en la escuela? y el de Jeremy Kilpatrick, que tratade cmo juzgar la calidad de la investigacin en educacin matemtica. Larepresentacin del ICMI se cierra con un texto de Colette Laborde, que dis-VI INTRODUCCINcuteunterrenoconcretodeinvestigacin:losproblemasdidcticosqueplantea el poderoso mundo del Cabri.En segundo lugar, guran tres textos que abordan desde la universidadla problemtica de la investigacin en didctica de las matemticas, ya seasuinstitucionalizacinydesarrollo,sunaturalezaolateorizacindesurelacin con la prctica docente. Son los textos de Luis Rico, Luis Puig yJuan Daz Godino.Finalmente, el libro se cierra con dos voces que se erigen en represen-tantesdelosprofesoresenejercicio.SonladeFlorencioVillarroya,quepresentaalgunascuestionesquepreocupanaunprofesordesecundariaacercadelainvestigacinendidcticadelasmatemticas,yladeJuanAntonio Garca Cruz, que deja bien claro en el ttulo de su texto, Investiga-dores y profesores: dos culturas, cul es la naturaleza del problema que sedebate.No me cabe la menor duda de que la difusin de estos textos, fruto deun debate que tuvo lugar en Espaa, por una empresa docente a travsdel Grupo Editorial Iberoamrica entre un pblico mucho ms amplio queel que ha tenido acceso a ellos hasta ahora en Espaa contribuir a que lascomplejasrelacionesentrelainvestigacineneducacinmatemticaylaprcticadocenteseanmejorcomprendidasypuedansermsfructferaspara los practicantes de cualquiera de las dos actividades. Lo que redundaren denitiva en benecio de la educacin de los pueblos.REFERENCIAS BIBLIOGRFICASFilloy, E. Aspectos tericos de la investigacin en lgebra educativa. (Work in pro-gress).CAPTULO 1L. PUIG (ED.). INVESTIGAR Y ENSEAR. VARIEDADES DE LA EDUCACIN MATEMTICA, 1-5! 1997. UNA EMPRESA DOCENTE & GRUPO EDITORIAL IBEROAMRICAMADUREZ DE LA INVESTIGACIN EN EDUCACIN MATEMTICA. EL PAPEL DEL ICMIMIGUEL DE GUZMNUNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRIDLos estudios sistemticos iniciales en Educacin Matemtica que se desa-rrollaron en torno a los comienzos del siglo 20 estn ntimamente relacio-nadosconlosorgenesyconsolidacindelaComisinInternacionalenEducacin Matemtica, el organismo que hoy llamamos ICMI (Internatio-nalCommissiononMathematicalInstruction).SepuedearmarqueelICMI ha propulsado con ecacia los estudios relativos a los problemas delaEducacinMatemticaalolargodelsiglo20yhacontribuidomuypoderosamentealaconstitucindelanuevadisciplinacientcaqueseocupa de los problemas relacionados con la Educacin Matemtica.En estas notas tratar de sealar brevemente algunos momentos de par-ticularimportanciaenestamarchayalgunasdelascaractersticasmssalientes de la situacin actual que revelan la madurez de la investigacinen Educacin Matemtica.EL ICMILa actividad cientca se organiza a nivel global en la actualidad a travs deun organismo internacional e interdisciplinar que se denomina el ConsejoInternacionaldeUnionesCientcas.Loforman20unionescientcasentrelascualessecuenta,comorganointernacionalquedealgnmodocoordina las diversas actividades en torno a la matemtica, la Unin Mate-mtica Internacional (la IMU, International Mathematical Union).Laactividadmatemticainternacionalseestructuraportantoatravsde la IMU, un organismo que coordina las acciones comunes en el campomatemtico de 52 pases actualmente. Cada uno de ellos enva representan-tesalasAsambleasGeneralesdelaIMUquesecelebrancada4aos,generalmente en el transcurso del Congreso Internacional de Matemticos.ElloseligenlosmiembrosdelComitEjecutivodelaIMU,ascomolosmiembros del Comit Ejecutivo del ICMI (Comisin Internacional de Edu-cacinMatemtica),queseencargadecoordinarlasactividadesenelcampo de la educacin matemtica de los diferentes niveles de la educacinpropiamente acadmica, as como las que se reeren a la interaccin de lasmatemticasconlasociedad.AdemsdelICMI,existeotraComisin(CDE,CommissiononDevelopmentandExchange)queseencargade2 MIGUEL DE GUZMNfomentareldesarrollopropiamentematemticoatravsdelintercambiopersonal e institucional.ElICMIagrupadeunaformauotraamsde70pasesactualmente.Todos los pases miembros de la IMU son automticamente miembros depleno derecho del ICMI, pero existen otros que pertenecen al ICMI aun sinser, por diversas razones, miembros de la IMU.El ICMI se estructura en la actualidad alrededor de un Comit de unas10personaselegidasporlaAsambleaGeneraldelaUninMatemticaInternacionalparaunperododecuatroaos.Anivelnacionalexisteenunos cuantos pases, como se recomienda intensamente, una Subcomisindel ICMI, en la que se integran, fundamentalmente, los organismos nacio-nales que tienen que ver con los problemas de la Educacin Matemtica anivel prctico y terico, que normalmente se encarga de elegir los represen-tantesdelrespectivopasenlasAsambleasdelICMI,quetienenlugarusualmente cada cuatro aos aprovechando la celebracin de los CongresosInternacionalesenEducacinMatemtica.Sepiensaqueestaformadeestructura nacional logra dar un mayor dinamismo y una mayor permanen-ciadelainuenciadelICMIquesisusactividadessehacendependerdemasiadoestrechamentedelintersypersonalidaddeunoodosindivi-duos.ElICMI,enrealidad,esunrganomuchomsantiguoquelaUninMatemticaInternacional,quenacien1952.ElICMIfuefundadoen1908, a partir de una idea del matemtico americano David Eugene Smith,quien la propuso en el marco del cuarto Congreso Internacional de Mate-mticos, celebrado entonces en Roma.Su primer Presidente fue el matemtico alemn Felix Klein, y su rganoocialfueentonces,ylosiguesiendoactualmente,laprestigiosarevistaL'EnseignementMathmatique(Suiza).OtrosPresidentesfueron,porperodosengeneralde4aos,conalgunasinterrupcionesenlaactividaddebidasalasguerrasmundiales,sucesivamente:Smith(EstadosUnidos),Hadamard (Francia), Behnke (Alemania), Stone (Estados Unidos), Lichne-rowicz (Francia), Freudenthal (Holanda), Lighthill (Gran Bretaa), Iyanaga(Japn),Whitney(EstadosUnidos),Kahane(Francia).SiendoPresidenteChtelet en 1952 se cre la Unin Matemtica Internacional y fue entoncescuando se decidi que el ICMI pasara a ser una Comisin de la Unin.UnadelasactividadesmsimportantesdelICMIactualmenteeslasupervisindelosCongresosInternacionalesdeEducacinMatemtica(ICME, International Congress on Mathematical Education), que se cele-bran cada 4 aos. Los ltimos Congresos de este tipo se han celebrado en:Adelaide(Australia,1984),Budapest(Hungra,1988),Qubec(Canad,1992).EneldeQubec,asistieronunos3.500matemticosdetodoelmundo, especialistas en la educacin matemtica de los diferentes niveles,que trataron de examinar los problemas que desde los diferentes puntos devista la enseanza matemtica propone a la comunidad de matemticos y aMADUREZ DE LA INVESTIGACIN EN EDUCACIN MATEMTICA. EL PAPEL DEL ICMI3lasociedad.ElOctavoCongresoInternacionaldeEducacinMatemticatendr lugar en Sevilla en Julio de 1996.El ICMI acoge en su entorno diversos grupos de estudio en algn modoaliados a l. Se trata de grupos constituidos para el desarrollo de la inves-tigacinentornoaproblemasespeccosrelacionadosconlaeducacinmatemtica. Tales son en la actualidad: The International Organization ofWomenandMathematicsEducation(IOWME),TheInternationalStudyGroup for the Relations between the History and Pedagogy of Mathematics(ISGHPM),TheInternationalStudyGroupforthePsychologyofMathe-maticsEducation(PME),TheWorldFederationofMathematicalOlym-piads (WFMO). A travs de tales organizaciones, algunas de ellas con unamuypotentevitalidad,serealizaconpermanenciaunabuenapartedelaactividad del ICMI en torno a problemas muy importantes.EL FOMENTO DE LA INVESTIGACIN EN EDUCACIN MATEMATICAElICMI,desdesumismocomienzoaprincipiosdesiglo,hapropiciadomuyintensamentelainvestigacineneducacinmatemtica.L'Enseigne-mentMathmatique,inclusoantesdeconstituirseenrganoocialdelICMI, tuvo una gran inuencia en el desarrollo de diversos campos de estu-dioalrededordelainvestigacineneducacinmatemtica.Elestudio-encuestapublicadoentre1905-1907sobrelasformasdetrabajodelosmatemticos, los estudios comparativos sobre la enseanza matemtica endiversos pases europeos, son buena prueba del inters en los comienzos delsiglo veinte por temas importantes relacionados con la educacin matem-tica.Desde 1969 se vienen celebrando cada cuatro aos los ICMEs, Congre-sosInternacionalesdeEducacinMatemtica(1969Lyon,1972Exeter,1976 Karlruhe, 1980 Berkeley, 1984 Adelaide, 1988 Budapest, 1992 Qu-bec). Tales congresos constituyen una de las piezas clave en el intercambiode informacin en torno a los principales problemas de la educacin mate-mtica,convirtindoseenvitalesforosdediscusin,endondesedebatenlos principales temas de estudio del momento con espritu crtico y abierto.Fiel a este espritu, el ICMI, sobre todo a partir de la dcada de los 80,bajolainspiracindeJean-PierreKahaneydeGeoffreyHowson,vienesupervisandotambinenlaactualidadlaorganizacindereunionesdeestudio enfocadas hacia problemas ms especcos, como los siguientes: Inuencia de la informtica sobre la matemtica y su enseanza(Strasbourg, 1985). La enseanza de la matemtica en los 90 (Kuwait, 1986)4 MIGUEL DE GUZMN Cognicinyeducacinmatemtica(juntamenteconelgrupoPsychology of Mathematical Education). Matemtica como ciencia auxiliar (Udine, Italia, 1987). Popularizacin de la matemtica (Leeds, Gran Bretaa, 1989). Evaluacin en la enseanza matemtica (Costa Brava, 1991). Gnero y Educacin Matemtica (Hr, Suecia, 1993). Qu es investigacin en Educacin Matemtica? (Washington,1994). La enseanza de la geometra hacia el siglo 21 (Catania 1995).Los estudios correspondientes han sido publicados por Cambridge Univer-sity Press y Kluwer Academic Press. (El estudio realizado en Kuwait se pu-blic en espaol con el ttulo Las matemticas en primaria y secundaria enla dcada de los 90, Editorial Mestral, Valencia, 1987).Se puede armar que el estudio de Washington sobre la naturaleza de lainvestigacineneducacinmatemticavieneasealarlamadurezcomodisciplina cientca, con objetivos y mtodos propios, de los estudios quese han venido realizando ya por largo tiempo.Son muchos los temas que se perlan como problemas muy importan-tesquehayqueexploraryescudriarafondoandepoderrealizarconmayorefectividadlastareaspropiasdelaeducacinmatemtica.Comoejemplos enunciar tan slo algunos de ellos: pensamiento matemtico avanzado, con muchas preguntas:la peculiar psicologa del pensamiento matemtico,el carcter cognitivo especial del pensamiento matemtico,la abstraccin,la representacin simblica,la representacin grca,la utilizacin de modelos diferentes visuales,la aparente transparencia y la relativa opacidad de los proce-sos de transmisin; aplicaciones en la construccin y diseo a diferentes niveles; lademostracinalolargodeltiempo,lademostracinhoy,elpapeldelademostracinenlosprocesosdetransmisinyaprendizaje.La madurez de la investigacin en educacin matemtica como disciplinacientca se pone de maniesto en la existencia de ms de 250 revistas entodo el mundo cuya nalidad principal es el estudio de los temas relaciona-dos con ella, as como la actividad de escuelas de pensamiento en diferentespases con caractersticas de pensamiento y de mtodos de trabajo bien asen-MADUREZ DE LA INVESTIGACIN EN EDUCACIN MATEMTICA. EL PAPEL DEL ICMI5tados, que viene a enriquecer el panorama de la investigacin mediante lacomplementariedad de sus paradigmas propios.Lasmuchaspublicacionesycongresosdediferentestipos,aescalalocaly global que sevan realizando son una buena muestra delapujantevitalidad del estado actual de la investigacin en educacin matemtica.CAPTULO 2L. PUIG (ED.). INVESTIGAR Y ENSEAR. VARIEDADES DE LA EDUCACIN MATEMTICA, 7-16! 1997. UNA EMPRESA DOCENTE & GRUPO EDITORIAL IBEROAMRICAPOR QU ENSEAMOS MATEMTICAS EN LA ESCUELA?MOGENS NISSROSKILDE UNIVERSITY, DINAMARCAPOR QU DEBE PREOCUPARNOS ESTA PREGUNTA?IntroduccinComencemos por advertir que la pregunta del ttulo no es de hecho una pre-guntaquesehagahabitualmenteenserio.Avecessehaceconintencinretricaoprovocativa,otrasparahacerpromesasdeboquillaainstanciasajenas a la enseanza de las matemticas, de las que se espera que tenganalgo que decir o inuyan en las condiciones de la enseanza de las matem-ticas.Casisiempredamosporsentadalaexistenciadelasmatemticascomo asignatura en la escuela y lo hacemos con la sensacin de conanza yseguridad que da el estar tratando con una materia que tiene casi tres mile-nios de antigedad y que disfruta de la categora de ser la nica asignaturaque se ensea en todas las escuelas del mundo.Aun as, igual que con cualquier otra materia, la presencia de las mate-mticas en el currculo no es en absoluto evidente por s misma, especial-mentesilaconsideramosenrelacincondistintosgruposdereceptores.Ningunamateriatienederechoautomticamenteagurarenelcurrculo.Hayquejusticarsupresenciarespectoalconjuntogeneraldenesymetas de la educacin en la sociedad y cultura que sean propios del (sub)-sistema de enseanza en cuestin. Esto no implica necesariamente que seadifcil justicar una asignatura dada en un currculo dado, slo que la ley dela inercia no proporciona esa justicacin per se, aunque puede muy bienser de hecho una razn en la prctica.En otras palabras, hay un problema de justicacin, o al menos existe lacuestin de justicar cualquier asignatura escolar y, por tanto, tambin lasmatemticas.Aunquepuedeserperfectamenteposiblejusticarlainclu-sin de las matemticas en el currculo con razones y argumentos muy dife-rentes,inclusocontradictorios,lacuestinnoesqueelproblemadejusticacin sea un asunto de acuerdo (inherente o negociado) o consenso,sinosencillamentelaobservacindequetienequehaberrazonesparalapresencia de las matemticas en el currculo. Puede muy bien darse el casode que esas razones sean indirectas, implcitas y difusas, o largamente olvi-dadas.Sinembargo,sinohubieraunaraznefectivaparamantenerlasmatemticas en el currculo, en un entorno en el que cientos de materias no8 MOGENS NISSestnincluidas,nisiquieralafuerteleydelainerciapodra,alalarga,haber evitado que las matemticas fuesen suprimidas del currculo.Tres respuestas a la pregunta por qu preocuparnos?Enprimerlugarmeparece intelectualmente inaceptableoalmenosnosatisfactorionosaberporquejercemosnuestrasdistintasprofesionespertenecientes al campo de la educacin matemtica. Deberamos compro-meternosareexionaryhablarsobrelosnesypropsitosltimosdeloque hacemos. Esto, claro est, no es exclusivo de las matemticas, pero elproblema de la justicacin es un poco ms difcil de abordar aqu que enotras materias. Adems, resulta que nos ocupamos de las matemticas noes as?, que otras materias hablen y contesten por s mismas.En segundo lugar, deberamos estar preparados y listos para dar argu-mentos que justiquen la enseanza de las matemticas: de cara a nuestrosalumnos,oalacomunidad,esdecir,alasociedadengeneral(polticos,empresarios,mediosdecomunicacin,institucionesdeeducacin),perotambin de cara a entornos ms cercanos como padres, autoridades respon-sables del currculo, compaeros de otras materias, etc.En tercer lugar, y en mi opinin lo ms importante, las respuestas quedemosalapreguntadelttulocontribuyendemaneradecisivaajarlospropsitos,metasyaspiracionesdelaenseanzadelasmatemticasqueofrecemosanuestrosalumnos,ylaformadepercibir,organizar,llevaracabo y poner en prctica a diario la enseanza y el aprendizaje de las mate-mticas.TIPOS DE RESPUESTAS QUE TRADICIONALMENTENOS ENCONTRAMOSEn lo escrito sobre la enseanza de las matemticas (dentro de un amplioespectro que va desde documentos legales ociales, pasando por artculosdeinvestigacin,adeclaracionespersonales)encontramosdiversosinten-tos,detodoslostiempos,dehablardelproblemadelajusticacindelaenseanza de las matemticas. En 1901, John Perry, un profesor britnicode ingeniera, despus de haber establecido que el estudio de las matem-ticascomenzporqueeratil,continaporquesiguesiendotil,yesvaliosoparaelmundoporlautilidaddesusresultados,sugirilasochoformas obvias por las que es til que se citan a continuacin (citado enME, 1958):(1) es la causa de intensas emociones y proporciona placer a la mente,(2a) desarrolla el cerebro,(2b) da lugar a formas lgicas de pensamiento,(3) las herramientas matemticas sirven de ayuda al estudio de la fsica,POR QU ENSEAMOS MATEMTICAS EN LA ESCUELA? 9(4) sirve para aprobar los exmenes,(5) al dar al hombre herramientas mentales tan fciles de usar comolas piernas y los brazos, le permite continuar su educacin (desarro-llo del alma y del cerebro) a lo largo de la vida, utilizando para estepropsito toda su experiencia. Hay una analoga exacta con el poderde educarse a s mismo a travs de la acin a la lectura.(6) Quiz incluido en (5): al ensear al hombre la importancia depensar las cosas por s mismo le libra as del actual y terrible yugode la autoridad, y le convence de que, ya sea obedeciendo o dandordenes, es una de las criaturas ms elevadas.(7) Hace que los hombres de cualquier profesin de ciencia aplicadasientan que conocen los principios sobre los que se funda y segn loscuales se desarrolla.(8) Da a mentes loscas agudas un ideal lgico de perfeccin en-cantador y satisfactorio a la vez, e impide as que intenten desarro-llarcualquiertemaloscodesdeunpuntodevistapuramenteabstracto, porque lo absurdo de tal intento se hace obvio.Aos despus, en nuestro siglo, un profesor alemn de matemticas en unaescuela secundaria de Bielefeld, W. Schmiedeberg, gan el primer premioen un concurso organizado en 1915 por la Asociacin para el fomento de laenseanza de las Matemticas y las Ciencias. En su trabajo (ver Niss, 1981),W. Schmiedeberg sealaba que el propsito de la enseanza de las matem-ticas debe ser contribuir a propsitos generales de la enseanza tales como:Necesitamos un pueblo fuerte que pueda defenderse a s mismo, gen-te trabajadora que pueda generar grandeza econmica, gente leal ypatriota que se entregue con su fuerza y su trabajo conscientementea los ideales de la nacin.Y ms adelanteSi reconocemos que el futuro de Alemania depende del mantenimien-to y desarrollo posterior del trabajo de calidad, nos daremos cuentade que una enseanza que conduzca a la devocin absoluta al deberdebera ser nuestra meta principal en educacin para todo tipo deescuelas.Tambin hay una cita britnica de ms o menos la misma poca: En 1919 laMathematical Association escribi (Niss, 1981):1. La enseanza que damos a un chico en la escuela debera prepa-rarlo para ser un ciudadano en el sentido ms amplio de la palabra:as,conesten,sedebendesarrollarlasfacetasmoral,literaria,10 MOGENS NISScientca (incluyendo matemtica), fsica y esttica de su naturaleza.As, en lo que a las Matemticas se reere, su educacin debe capa-citarlo no slo para aplicar las matemticas en asuntos prcticos,sino tambin para entender aquellos grandes problemas del mundo,cuya solucin depende de las matemticas y la ciencia.2. El aspecto utilitario de las matemticas debe recibir una buenaparte de atencin en los cursos de matemticas.Damos ahora un salto a los tiempos modernos donde se han introducido nue-vas facetas. Zoltan Dienes (en Wain, 1978) propone que [] la meta principal de la enseanza de las matemticas debe sereldesarrollodeciertaspautasdepensamiento,deciertasestrate-gias, que la gente puede desarrollar al enfrentarse a situaciones nue-vas en las que nunca se haba encontrado antes.En su anlisis, Dienes halla que las matemticas pueden contribuir al desa-rrollo de cuatro capacidades generales: abstraer, generalizar, descifrar y co-dicar mensajes.Nuestra cita nal y popular es del Informe Cockcroft (Las Matemticasscuentan,DES1982).Esteinformeformulalospropsitosdelaense-anza de las matemticas indirectamente a travs de las tareas que el profe-sor de matemticas debera (luchar por) cumplir:posibilitar que cada alumno desarrolle, dentro de sus capacida-des, la comprensin y destrezas matemticas exigidas para la vidaadulta, para el trabajo y para posteriores estudios y aprendizajes, te-niendo presentes las dicultades que algunos alumnos experimenta-rn para lograr una comprensin apropiada;proporcionar a cada alumno las matemticas que pueda necesitaral estudiar otras asignaturas;ayudar a cada alumno a desarrollar, en la medida de sus posibili-dades, el gusto por las matemticas mismas, y a tomar concienciadel papel que han desempeado y seguirn desempeando en el de-sarrollo, tanto de la ciencia y la tecnologa, como de nuestra civili-zacin;y, sobre todo, hacer consciente a cada alumno de que las matem-ticas le proporcionan un poderoso medio de comunicacin.Como preludio al esquema que sigue en el que analizamos estas y otras ra-zones relacionadas con la enseanza de las matemticas, tenemos que ponerde maniesto que para que un argumento con este efecto evite ser circular(la razn por la cual enseamos matemticas es porque debemos hacerlo)POR QU ENSEAMOS MATEMTICAS EN LA ESCUELA? 11requisito mnimo para un razonamiento que tenga sentido tiene que ce-irse y referirse a asuntos fuera de las matemticas en s mismas.En las citas presentadas, as como en muchas otras publicaciones sobreel problema de la justicacin, encontramos dos categoras principales derazones: las utilitarias y las de enseanza en general. Ms especcamentenos encontramos con las siguientesrazones utilitarias las necesidades profesionales; que la gente tenga un dominio de su vida personal cotidiana; requisito previo para estudiar otras asignaturas;y las siguientesrazones de la enseanza en general el desarrollo de capacidades formativas, tales como reforzar las facultades mentales, incluyendo el pensamiento lgico, el pensamiento estructurado, sistemtico y analtico, la memoria, la imaginacin, la claridad y la precisin en la expresin, la creatividad y la intuicin; el desarrollo de la personalidad y las actitudes pensamiento y conducta independientes y autnomos, actitudes crticas e investigadoras, actitudes de cara a resolver problemas, tener conciencia de uno mismo y conanza en s mismo, puntualidad y exactitud, disciplina y perseverancia en el trabajo; disfrute esttico y recreativo; profundizar en la cultura humana y sus realizaciones.(Me gustara que quedara claro que estos argumentos se dan como ejemplosde lo que podemos encontrar escrito, y por tanto atributos asignados a la en-seanzadelasmatemticaspordistintosautoresdelaespecialidad.Aspues, dichos argumentos no son necesariamente algunos en los que yo creao que yo sostenga).Ambas categoras de argumentos se pueden invocar como ayuda en laconsecucin de dos tipos distintos de nes globales de la enseanza de lasmatemticas. El n de la enseanza de las matemticas puede ser12 MOGENS NISSservir a la sociedad como un todo, en lo que se reere a la demanda de trabajadores cualicados para un mayor desarro-llo econmico/tecnolgico; ideologa y poltica; cultura;o servir a las necesidades individuales, relativas a su bienestar socioeconmico y profesional; vida privada diaria; vida social y ciudadana.Si consideramos las dos categoras de argumentos con los tipos de nes queacabamos de esbozar como dimensiones de nuestra problemtica y las com-binamos obtenemos lo que podramos llamar matriz argumento-nLas cuatro casillas son no vacas, tanto desde una perspectiva analtica comoen el sentido de que podemos encontrarlas representadas en documentos yescritos sobre la enseanza de las matemticas. En pocas y lugares distintosse ha dado distinto peso a las distintas casillas. A menudo, la educacin b-sica proporcionada por la sociedad ha estado dirigida a nes sociales. Porejemplo, el argumento utilitario de que las matemticas tienen una impor-tante contribucin que hacer en la educacin de la futura fuerza laboral (p.e., en pocas anteriores: el hombre como una calculadora viviente) con la in-tencin de que la sociedad disponga de recursos para su mantenimiento ydesarrollo es un ejemplo importante de un par especco (argumento, n)que encaja en la casilla superior izquierda. Tradicionalmente, la educacinsuperior ha puesto relativamente ms nfasis en nes individuales como, porejemplo, la enseanza de las matemticas como ascensor, fuerza que im-pulsa, social (si un individuo es mejor en matemticas que la media de susiguales en formacin, ese individuo puede conseguir un empleo que le per-mitir alcanzar cotas sociales y econmicas ms altas (casilla superior dere-cha)),ocomomediodedesarrollopersonal(p.e.sisehatenidoxitoaprendiendo muchas matemticas difciles en la escuela, se puede uno sentiranimado a comprometerse con otro tipo de empeos que exijan esfuerzo (ca-silla inferior derecha)).FinArgumentoServir a la sociedad Servir al individuoUtilitarioEducativoPOR QU ENSEAMOS MATEMTICAS EN LA ESCUELA? 13INTENTOS DE RECONSTRUIR LAS VERDADERAS RAZONES PARA ENSEAR MATEMTICAS A LA POBLACIN EN GENERALCiertamente no existe una identidad automtica entre los argumentos ofre-cidos en los escritos (incluyendo documentos ociales) y las verdaderasrazones de la sociedad para ensear matemticas a varios grupos de recep-tores.Paraencontrarlasrazonesverdaderastenemosquehacerunareconstruccin analtica de la funcin de las matemticas en el mundo (esdecirenlanaturaleza,lasociedadylacultura).Denuevo,tenemosquetener en cuenta que este papel ha cambiado segn poca y lugar.Enotrositio(Niss,1965)heanalizadoloquellamolanaturalezadecinco caras de las matemticas como disciplina. Las matemticas son: una ciencia pura; unacienciaaplicadaquepermitecomprenderydesarrollartemas ajenos a las matemticas; unsistemadeherramientasparalaprctica,p.e.,productosyprocesos que pueden contribuir a decisiones y acciones fuera delas matemticas; un mbito de la esttica (belleza, disfrute, y emocin); una asignatura que hay que ensear.Naturalmente, otras disciplinas y otros temas poseen una o ms de estas pro-piedades. Sin embargo las matemticas tienen una trascendencia nica parala sociedad porquea.ms que ninguna otra disciplina, las matemticas tienen esas cincopropiedades al mismo tiempo;b. engeneralhayunairrazonableefectividaddelasmatemticas(fraseacuadaporelfsicoEugeneP.Wigner)queconcierneamuchos temas y reas prcticas;c.debido a (b), las matemticas estn ntimamente ligadas al funcio-namiento y al desarrollo de la sociedad en general segn se pone demaniesto en los siguientes sectores:(1) otras asignaturas de carcter cientco (fsica, ingeniera, biolo-ga, informacin, economa, sociologa, lingstica);(2) reas prcticas especializadas (prediccin, toma de decisiones ycontrol en la esfera social), descripcin y pronstico de fenmenosy acontecimientos en parcelas de la naturaleza, utilizacin y coloca-cinderecursosnaturalesrenovablesoparaextinguir,diseo,manejo y regulacin de sistemas industriales y tcnico-sociales;14 MOGENS NISS(3)reasprcticasgenerales(esencial,peroavecesinvisible):representacin de nmeros, transacciones de dinero y negocios sim-ples,calendarios,coordenadasgeogrcas,medidadeltiempo,espacio,peso,moneda,representacionesgrcasytablas,dibujosen el trabajo y en el arte, formas de objetos, cdigos. Competencianumrica en general.En otras palabras, las matemticas son una parte esencial de la tecnologamaterialeinmaterialydelainfra-estructurasocialenunsentidogeneral.Contribuyen a dar forma a la sociedad, y lo hacen en grado alto y crecientepara bien o para mal. La sociedad lo reconoce aunque ms en trminos ge-nerales que particulares, es decir en gran parte de modo subconscientey, por lo tanto, proporciona a la enseanza de las matemticas ms y ms ti-pos de beneciarios. Sin embargo, paradjicamente, el papel de las matem-ticasenlasociedadesinvisibleengranpartecuandodescendemosatrminos concretos.ENSEAR MATEMTICAS PARA LA DEMOCRACIA REFLEXIONES PERSONALESVolvemos al problema de la justicacinA qu tipo de alumnos y estudiantes deberamos impartir enseanza de lasmatemticas ms all de la matemtica elemental y por qu? Mi respuesta ala primera pregunta es: A todos. La respuesta a la segunda (justicacin) sebrinda a continuacin:El problema de la justicacin no es en forma alguna el nico problemaimportante que valga la pena considerar. Tambin el problema de si es fac-tible (hasta qu punto es de hecho posible conseguir dar a los alumnos yestudiantesencuestinunaenseanzaecazdelasmatemticas?)yelproblema de la realizacin (cmo debemos disear, organizar y llevar acabo la enseanza de las matemticas para asegurar a los beneciarios unaeducacinmatemticaquerecojalasrespuestasdadasalosproblemasdejusticacinydeposibilidaddetalmaneraquelosreceptoressepuedanbeneciar de ella?) son no menos cruciales.Nuestras reexiones se tienen que basar en la siguiente observacin quees trivial pero fundamental:La enseanza de las matemticas tiene lugar en una sociedad y es paraseres humanos que vivirn en esa sociedad. Por lo tanto enseanza de lasmatemticas =f (las matemticas, el papel de las matemticas en la sociedad; la socie-dad, su contenido cultural, poltico y econmico, su estructura y organiza-cin;elindividuo,supuestoenlasociedad;losvalores,denaturalezacultural, ideolgica y poltica).POR QU ENSEAMOS MATEMTICAS EN LA ESCUELA? 15De las matemticas ya hemos hablado antes. Desempean un papel ins-trumentaleneldesarrollodelasociedad.Lacapacidadenmatemticastiende a contribuir a la creacin de un gobierno de expertos mientras sigasiendo un recurso escaso.La sociedad no tiene una armona estable, ni un consenso ni una unifor-midad de intereses. Por el contrario, abundan las diferencias y conictos envalores e intereses, en las condiciones y situaciones de vida. En particular,hay un conicto fundamental entre la parte que gobierna la sociedad y losque son gobernados, es decir, los ciudadanos como individuos.Elindividuotienequetenerelderechoylacapacidaddedominarsuvida social, profesional y privada y su vida como ciudadano y no slo comosbdito en la sociedad.En cuanto a los valores, creo adems que la democracia es una forma degobierno en la que a cada individuo se le da el derecho de y se le capacitaparaexpresarsusopinioneseinteresesyejercerunainuenciaenelgobierno y desarrollo de la sociedad. Esto contrasta fuertemente con ideo-logas sociales tanto autoritarias como populistas.Enmiopininlaenseanzadelasmatemticastienequecontribuirafomentar la ciudadana inteligente e inquieta para todos los miembros de lasociedad.Msespeccamente,laenseanzadelasmatemticasdeberadarse a todo el mundo para ayudar a crear la perspectiva de lo general, esdecir de los rasgos constitutivos y las fuerzas directrices esenciales que haydetrsdeldesarrollodelanaturaleza,delasociedadydelavidadelosseres humanos. Adems, la enseanza de las matemticas tendra que capa-citaratodoslosalumnosenlaescuelaparaentender,relacionarseconyactuar contribuyendo al papel de las matemticas en el mundo. Es impor-tante observar que esto va mucho ms all de lo que normalmente se llamaconocimiento para la vida diaria.Si estas consideraciones han de tomarse en serio, las implicaciones tie-nen un largo alcance. Incluyen: losalumnosadquirirnlacapacidadeindependenciadeponerenaccinyaplicarlasmatemticasaproblemasdelarealidad(construir,manejaryevaluarmodelosmatemticosanivelesadecuados); losalumnosadquirirnlacapacidaddedescubrir,entenderyevaluar el uso implcito y explcito que otros hagan de las mate-mticas en situaciones fuera de las mismas; los alumnos adquirirn un sentido y una experiencia del alcancey las limitaciones de la aplicacin de las matemticas a situacio-nes y fenmenos fuera de ellas;16 MOGENS NISS losalumnosadquirirnlacapacidaddeactuarconconanza,visin de conjunto y creatividad dentro de universos matemti-cos; los alumnos debern ser capaces de comunicarse con otros sobretemas de contenido matemtico; losalumnosadquirirnlaideadelaespecialnaturalezadelasmatemticas; los alumnos adquirirn cierta perspectiva de la gnesis y el desa-rrollo histrico de las matemticas; los alumnos adquirirn un conocimiento de las relaciones entrelas matemticas y la sociedad.Esverdadqueestasimplicacionesresultancasiutpicas.Aunas,conse-guirlas slo parcialmente representa un avance. Si queremos ir seriamenteen la direccin sugerida arriba, lo que queda no es silencio. El trabajo nosllama.REFERENCIAS BIBLIOGRFICASDepartament of Education and Science (DES)/Welsh Ofce, Committee of InquiryintotheTeachingofMathematicsinSchools.(1982).MathematicsCounts(TheCockcroftReport).London:HerMajestysStationeryOfce.[Traduc-cin castellana, Las matemticas s cuentan. Madrid: MEC, 1985.]MinistryofEducation(ME).(1958). Teaching Mathematics in Secondary School.Ministry of Education Pamphlet 26. London: Her Majestys Stationery Ofce.Niss, M. (1981). Goals as a Reection of the Needs of Society. En R. Morris (Ed.),Studies in mathematics education (2, 1-21). Paris: UNESCONiss, M. (1994). Mathematics in Society. En R. Biehler et al. (Eds.), Didactics ofMathematics as a Scientic Discipline (pp. 367-378). Dordrecht: Kluwer.Wain,G.T.(Ed.).(1978).MathematicalEducation. Wokingham and New York:Van Nostrand Reinhold Company.CAPTULO 3L. PUIG (ED.). INVESTIGAR Y ENSEAR. VARIEDADES DE LA EDUCACIN MATEMTICA, 17-31! 1997. UNA EMPRESA DOCENTE & GRUPO EDITORIAL IBEROAMRICAVALORACIN DE LA INVESTIGACIN EN DIDCTICA DE LAS MATEMTICAS: MS ALL DEL VALOR APARENTEJEREMY KILPATRICKUNIVERSIDAD DE GEORGIA, ATHENS, EE.UU.Qu criterios predominan actualmente en investigacin sobre didctica delasmatemticas?Qucriteriospermitenalinvestigadorseleccionarpro-blemas y metodologas que aseguren la calidad de los resultados? Entenderestascuestionesyvislumbrarposiblesrespuestasexigeunacomprensinpreviadelasperspectivaspotencialesdesdelasquepuedeafrontarseunadeterminada investigacin.A medida que la investigacin en educacin matemtica evolucionabadurantelosltimos100aos(Kilpatrick,1994),sehaidodesplazandodesdeunagrandependenciadelaemulacinpsicologistadelascienciasnaturales, en el siglo XIX, hasta una mayor disposicin a adoptar mtodosutilizadosenotrascienciashumanas.Almismotiempo,lapsicologaampliaba sus planteamientos metodolgicos. La psicologa conductista deprincipios de siglo, en un enfoque ahora llamado positivista, buscaba enlos fenmenos educativos regularidades similares a las leyes fsico-qumi-cas. Hasta los aos setenta, la mayor parte de la investigacin en didcticade las matemticas, y especialmente la desarrollada en Norte Amrica, tra-tabadedescribirelcomportamientodealumnosyprofesoresmedianteelanlisis de los componentes de sus conductas. El mundo de la enseanza-aprendizaje de las matemticas apareca como un sistema de variables inte-ractivas. El propsito de la investigacin era describir estas variables, des-cubrirsusinterrelacioneseintentarmanipularalgunasdeellasparaprovocarcambiosenlasotras.Esteenfoque,aunquesigueteniendosusdefensores, ha dado lugar a otros planteamientos alternativos.EnEuropayenAustralia,losenfoquesfenomenolgicoshanimpreg-nadodurantemuchotiempolainvestigacineducativa.Enlosltimosaos, han comenzado a inuir profundamente en la investigacin en educa-cinmatemtica.Unodeestosenfoques,semejantealdelantroplogo,trata de identicar y compartir la visin de profesores y alumnos respectodelactoeducativo.Elpropsitoesaportarunconocimientoespeccoycontextualizadosobrelacorrespondienteaccinsocial.EnEE.UU.seconoce como visin interpretativista: el investigador presente en el aula,actuando l mismo como participante o no intenta interpretar el signi-18 JEREMY KILPATRICKcado que los participantes otorgan al proceso de enseanza-aprendizaje delas matemticas.Otrodelosplanteamientoscorrespondealdelsocilogocrticoqueconsideraqueescuelaysociedadhandeserliberadasdetodamanipula-cin, represin o dominacin y que el investigador en educacin matem-ticadebejugarunpapelactivoparaayudaraprofesoresyalumnosaconseguiresalibertad.Elinvestigador,ademsdeentenderelsignicadoquelosparticipantesatribuyenalprocesoeducativo,debeayudaratrans-formar aquellos signicados producto de la distorsin ideolgica. En Aus-traliayenNuevaZelandasedesignaesteenfoquecomoinvestigacin-accin.En la investigacin conductista si bien la visin epistemolgica no secorresponde con el positivismo lgico el investigador se sita fuera delacto educativo, adoptando la posicin de un observador neutral. En el enfo-que interpretativista, el investigador trata de entender el acto, sin juzgarlo.En la investigacin crtica, el investigador se aproxima al acto no slo paracomprenderlo sino para transformarlo en aquellas direcciones que aportena los participantes una mayor libertad de accin.Cadaunodeestosplanteamientoshacesuaportacinespeccaalainvestigacin: ninguno de ellos debe rechazarse de antemano. La educacinmatemtica necesita las diversas perspectivas que tanto estos tres enfoquescomo otros los que se utilizan hoy y los que se desarrollarn maanaprestan al fenmeno enseanza-aprendizaje.Avecesladisparidaddeenfoqueshaconducidoalllamadodebatecualitativo/cuantitativo (Howe & Einsenhart, 1990; Salomon, 1991). Losinvestigadoresseenfrentanaldilemadeadoptarmtodosenlosquelasmedidas se sustentan en datos numricos o mtodos en los que la informa-cin obtenida no se presenta en formato numrico. Salomon considera quelaautnticadiferenciametodolgicaestribaentreelenfoqueanalticomanipulacin, aislamiento, control y medida, de aspectos externos al sujetohumanoconobjetoderealizarinferenciassobreaspectosinternos,talescomo el aprendizaje o la toma de decisiones y el sistmico estudio delos diferentes aspectos en su mutua interrelaccin. Salomon considera com-plementarios los estudios (realizados utilizando estos dos enfoques) sobrelos efectos en el aula del ordenador-procesador de textos: el analtico sacaprovechodelaprecisin,mientrasqueelsistmicosacapartidodelaautenticidad (pg. 16).El enfoque sistmico domina actualmente la investigacin en educacinmatemtica.Losescenariosnaturalistasgozandeclarapreferenciasobreaquellos en los que se han manipulado ciertas circunstancias y, consecuen-temente,faltaautenticidad.Perolosinvestigadoresendidcticadelasmatemticas nunca deberan encajonarse en un determinado enfoque, epis-temologa,paradigma,mododerepresentacinomtodo.Todossonpar-ciales:ningunopuedecontarlahistoriacompleta.Enparticular,ningnVALORACIN DE LA INVESTIGACIN EN DIDCTICA DE LAS MATEMTICAS: MS ALL DEL VALOR APARENTE19mtodo de investigacin puede, por s solo, responder a todo el repertoriodecuestionesqueinteresanalosprofesoresdematemticas.Sibienundeterminadoinvestigadorpuedecentrarseenunmtodoespecco,lainvestigacinensuconjuntodebeestimularmltiplesmtodos.Msan,los investigadores deben tratar de encontrar todos los criterios posibles decalidad presentes en un determinado estudio, yendo incluso ms all de suvalor aparente1. Algunos mtodos conducen a un tipo de investigacin quesatisface criterios que no alcanzan otros; la utilizacin de mltiples mto-dosconseguiraunosresultadosdegrancalidadensuconjunto,apesar,incluso, de las deciencias de algunos de sus estudios individuales.Porotraparte,cualquierinformesobreunadeterminadainvestigacineneducacinmatemticaindependientementedelenfoqueelegidoenellaes,simultneamente,dependienteeindependientedeaqulla.Elestudiooinvestigacinseasemejaaunaideaplasmadaenunrelato,yelinforme es ese relato. En algunos informes, el estudio aparece semi-ocultoy difcil de entender. El lector puede tener serias dicultades para discernirsieldefectoradicaenelestudiooenelinforme.Paraelinvestigador,elestudio es independiente del informe, mientras que el lector no puede sepa-rarelestudiodesurespectivoinforme:elestudioesvistoatravsdelinforme, que acta a modo de lente con la que el lector ha de captar el casoobjeto del estudio.Cuandoelusuariotratadeaplicarcriteriosdecalidadcientcaaunadeterminadainvestigacindebediferenciarelestudiodesuinforme,pordifcil que resulte trazar la lnea divisoria. Los criterios, dirigidos al estudiode la investigacin, resultan a veces difciles de aplicar, debido a la incohe-rencia, torpeza o supercialidad del informe. Un mismo estudio, evaluado atravsdeunciertoinforme,puedesatisfacercriteriosquenocumplecuando se valora utilizando un informe diferente.A continuacin se examinan ocho criterios que han sido utilizados paraevaluarla calidadcientca delainvestigacineducativa.Algunosdelospresentesquizconsiderenestoscriteriosobsoletoseinadecuadosparavalorar el trabajo que se lleva a cabo actualmente en didctica de las mate-mticas. Yo les dira que, aunque pueden existir otros modos de analizar lainvestigacin, los criterios que aqu se exponen, correctamente interpreta-dos, siguen siendo tiles. No slo porque representan la percepcin, impor-tante,denuestrospredecesoresintelectuales,sinoporquenosayudanacompletarlagamadeloquedebeconsiderarseinvestigacindecalidad.Comienzo la exposicin incluyendo la pertinencia como criterio de calidadcientca.1.En el original ingls, face value, cuya traduccin literal es valor facial (de una moneda),en contraposicin al valor del metal que contiene. sta es tambin la expresin que aparece enel ttulo original de este artculo. [Nota del editor.]20 JEREMY KILPATRICKPERTINENCIAFreudenthal, en sus conferencias en China (1991), comenzaba sus reexio-nes sobre investigacin en didctica de las matemticas con la observacin:aunque cada vez hay ms personas investigando en una mayor cantidad decampos, el nmero de razones para hacerlo se mantiene limitado e invaria-ble. Si a la pregunta para qu sirve? le aadimos para quien?, obtendra-mos una respuesta distinta (pg. 147). Freudenthal observa que, si bien lainvestigacinenmatemticassatisfacecriteriosdeverdad,ademsdelosde belleza y utilidad, la investigacin en ciencias sociales carece de crite-riosdeverdad.Respectodelainvestigacineducativaopinaquecuantomayoressonlaspretensionesdelainvestigacin,peorrespondealapre-gunta para qu sirve? (pg. 149).ElescepticismodeFreudenthalrespectoalainvestigacineducativaestposiblementejusticadoy,ciertamente,mereceunaconsideracinatenta. La carencia de criterios de verdad en la investigacin educativa nosignicaquestacarezcadeutilidad.Annosiendociertasenelmismosentido en que ha de serlo un aserto matemtico, determinadas inferenciasbasadasenresultadosdeinvestigacionespedaggicaspuedensertilesparaloseducadores.Todotrabajodeinvestigacindeberesponderalaspreguntasparaqusirve?,paraquinestil?Silainvestigacinnoresuelve problemas que preocupan a los educadores matemticos, profeso-res incluidos, es improbable que resulte til para otros.Una investigacin puede tener una importancia directa para los profeso-res, pero es ms frecuente que la tenga para otros investigadores. Su impor-tancia para los profesores se hace patente, generalmente, cuando se resumeuna lnea de investigacin o un conjunto de trabajos para lograr aplicacio-nes prcticas en la docencia. Buena parte de la investigacin en didctica delas matemticas no ha afectado a la prctica didctica, no solamente por suaislamientodestayporsubajacalidad,sinoporsucarenciadesoportetericoyporlaausenciadeprofesoresimplicadosenella(Kilpatrick,1981b).Bishop (1977) considera que los profesores pueden utilizar de los inves-tigadores sus procedimientos, sus datos y sus constructos. La investigacinserpertinenteparalosprofesoressilespermiteformularhiptesissobresus mtodos de enseanza, vericar sistemticamente esas hiptesis y exa-minar sus consecuencias. Los profesores pueden utilizar datos procedentesde una determinada investigacin para comprobar sus propias observacio-nes. Tambin pueden utilizar los constructos y los modelos y teoras corres-pondientesusadosenunadeterminadainvestigacinyaplicarlosasupropia situacin. En consecuencia, la investigacin resulta pertinente en lamedida en que permite la adaptacin y uso de algunos de sus aspectos.Lamayorpartedelainvestigacinendidcticadelasmatemticasbusca elevar la calidad de su enseanza/aprendizaje. Los problemas que seVALORACIN DE LA INVESTIGACIN EN DIDCTICA DE LAS MATEMTICAS: MS ALL DEL VALOR APARENTE21plantean en investigacin en educacin matemtica derivan, generalmente,delapreguntageneral:cmopuedemejorarselaenseanza/aprendizajede las matemticas? (Eisenhart, 1988, pg. 100). Algunas investigacionesintentanincidirdirectamenteenestacalidad:aportandoalosprofesoresideas o materiales, o sugirindoles actividades; otras investigaciones tienenunainuenciaindirecta:sugiriendonuevasformasdeinterpretarloscon-ceptos errneos que puedan tener los alumnos o examinando las diferenciasentreelsabertransmitidoporelprofesoryelaprehendidoporsuclase.Incluso aquella investigacin que no parece aplicable en el aula puede afec-tar a la prctica docente a travs de la modicacin del perl de la educa-cin matemtica en las publicaciones profesionales o de la aportacin de unnuevo vocabulario para el anlisis del modo de pensar del nio. Investiga-ciones cuyo valor prctico resulta hoy nulo pueden, un da, desempear unimportantepapelenelmodoenquelaprofesinafrontasutrabajo.Conindependenciadelcarcterprcticootericodeunadeterminadainvestigacineindependientementedequeestadicotomatengaonosentidocualquieradeellascontribuyealconocimientoquetodaprofe-sin ha de compartir necesariamente.La investigacin en didctica de las matemticas ha sido a veces clasi-cadaentrminosdebsicaoaplicada.Estadiferenciacinpareceperderpaulatinamente sentido a medida que los educadores matemticos observanque el carcter bsico o aplicado no es propiedad del trabajo de investiga-cin, sino una descripcin del uso que se puede dar a tal estudio.Respecto a un determinado estudio, conocido por el pblico slo atravs de un informe o resumen, la clasicacin bsico o aplicadodepende de la perspectiva del lector del informe. Este modelo puededenominarse modelo lente: la investigacin puede resultar bsica oaplicada segn la lente utilizada al leer el resumen. Debe entenderseesta lente como la metfora de los deseos e intenciones del lector queinterpreta el informe. Si el resumen le ayuda a formular una teora,el estudio est actuando como investigacin bsica, independiente-mente de las intenciones del autor. Si el estudio ayuda al lector a re-solverunproblemaprctico,elestudio,paraeselector,hasidoinvestigacin aplicada. (Kilpatrick, 1981b, pg. 24).Schoenfeld (1991) diferencia entre calidad y utilidad de la investigacin.Puntualiza que:buena parte de cualquier disciplina aplicada (incluida la educacinmatemtica) no interesa directamente a los usuarios de dicha disci-plina. As son las cosas, y ello no debera importar demasiado a losprofesionales de la disciplina. Lo importante es que el trabajo bsico22 JEREMY KILPATRICKrealizado como fundamento del campo de aplicacin sea de la mxi-ma calidad (pg. 274).Y cita la famosa disculpa de Hardy por no haber hecho matemticas tiles,argumentando que la justicacin nal de nuestro trabajo reside tanto en sucalidad como en su utilidad inmediata (pg. 275).En mi opinin, cuando analizamos la investigacin en educacin mate-mtica, calidad, pertinencia y utilidad forman un todo. Las tres son interde-pendientes.Lacalidaddelainvestigacindependedesuconexinconeltematratadoydecmosehautilizadoopodrautilizarse.Lapertinenciadepende de que cumpla o no otros criterios de calidad, as como de su utili-dad en ese contexto. La utilidad de la investigacin, a su vez, depende decmo se ha diseado y desarrollado, y de si aporta o no resultados pertinen-tes respecto al tema tratado.VALIDEZLa validez se reere al modo en que justicamos las interpretaciones quehacemosdelainvestigacin.Ladicotomatradicionalenlainvestigacineducativaexperimentalapareceentrelavalidezinternaylaexterna.Lavalidez interna se reere al grado de conanza con el que podemos armarquenuestrosresultadosprovienendecondicionesexperimentales;lavali-dez externa, a nuestra capacidad de extrapolacin a otras condiciones y cir-cunstancias, y, sobre todo, a situaciones ms naturales que las que se dan encondiciones experimentales.Hoyendaconsideramoslavalidezconunaperspectivamsamplia.Tal como Kvale (1989) ha armado: Validar es cuestionar. Cuando inda-gamos acerca de la conanza en los resultados de la investigacin, estamoscuestionando si nuestro mtodo de investigacin nos ha permitido investi-gar lo que realmente pretendamos. Vamos ms all de la validez aparentepara explorar lo que realmente hemos estudiado. Cuando intentamos hacergeneralizaciones a partir de los casos estudiados, nos preguntamos Culeselsignicadodeestecaso?(Shulman,1988,pg.10).Hacemosinfe-rencias entre lo que se ha estudiado y aquello a lo que se pretende generali-zar los resultados. Un estudio de investigacin no es vlido en s mismo: lavalidez se reere a las conclusiones extradas del estudio.Interpretamos las investigaciones, extraemos conclusiones de ellas y lasutilizamos. La validez de nuestras interpretaciones, conclusiones y utiliza-ciones debe examinarse segn sus consecuencias (Linn, 1991; Linn, Baker& Dunpar, 1991). Los estudios de investigacin en educacin matemticadeberan proporcionar unas consecuencias vlidas. Deberamos cuestionarno slo la utilizacin, intencionada o no, de la investigacin, sino tambinlas consecuencias, intencionadas o no, de esas utilizaciones.VALORACIN DE LA INVESTIGACIN EN DIDCTICA DE LAS MATEMTICAS: MS ALL DEL VALOR APARENTE23OBJETIVIDADDesde que los avances en la losofa de la ciencia han aceptado que la sub-jetividadesuncomponenteinevitabledelatareacientca,existeactual-mentelatendenciaaabandonarnuestrosesfuerzosparalograrlaobjetividad.Losataquesalpositivismo yelauge delconstructivismohancreadounclimaenlainvestigacinendidcticadelasmatemticasqueconsidera la objetividad una non grata reliquia legada por tcnicas ya supe-radas. Incluso algunos investigadores ven con desconanza los intentos porlograr objetividad por medios intersubjetivos, utilizando diversos observa-dores o codicadores.Aunque la objetividad absoluta sea en realidad inalcanzable, podemosseguir considerndola como una meta que hay que conseguir. Esto nos per-mitepreguntarnoselgradodeobjetividadlogradoporunadeterminadainvestigacin.Sepuedeaplicaralconocimientoderivadodelainvestiga-cineneducacinmatemticaelcomentariodeFreudenthalrespectoalconocimiento matemtico:No veo vnculo alguno entre la enseanza matemtica y la pretendi-da o supuesta falta de fe en el conocimiento matemtico objetivo, lla-mmosle constructivismo o cualquier otra cosa (Freudenthal, 1991,pgs. 146-147).La investigacin debera conseguir si no objetividad total, al menos la su-ciente para minimizar el margen de error. Los investigadores deben tratar deidenticar el margen de error que aportan a su trabajo y, despus, explicarcmo distorsiona sus resultados. Deben tambin intentar refutar sus propiasconclusiones, reforzando as su razonamiento. La mejor imagen para expresar la necesidad de objetividad es la que usaGeertz (1973)no comparto el razonamiento de que, puesto que la objetividad totalen estos temas es imposible lo que es cierto podramos dar rien-dasueltaanuestraimaginacin.Estoequivaldraadecirque,puesto que la asepsia total es imposible, las intervenciones quirr-gicaspuedenrealizarseenunaalcantarilla,comosealaRobertSolow (pg. 30).ORIGINALIDADLa autntica investigacin se caracteriza por su originalidad, por presentar-nos hechos conocidos bajo una nueva perspectiva, sorprendiendo nuestrasexpectativas con pruebas irrefutables. Un estudio clave en educacin mate-24 JEREMY KILPATRICKmtica es el informe de Erlwanger (1973) sobre Benny, un nio de 12 aosconsiderado por su profesora como uno de sus mejores alumnos, pero queresult tener serios errores conceptuales relativos a fracciones y decimales.Gran parte de la originalidad de este estudio radicaba en la utilizacin de uncaso individual para cuestionar un programa de enseanza individualizadaen matemticas.OtrotrabajooriginaleseldeHativa(1988).SuestudiodeSigal,unalumno de segundo grado que participaba en un programa de aritmtica atravs de ordenador, es tambin un estudio de casos. Su originalidad con-siste en un anlisis detallado de cmo y por qu sus avances en informticano eran acordes con su trabajo en clase. Hativa demuestra que Sigal consi-deraba la aritmtica a travs del ordenador diferente de la que aprenda enclase. La originalidad puede provenir no slo de la utilizacin de una nuevatcnicaodeunaantiguaempleadadeformanueva,sinotambindeunnuevo modo de interpretar las pruebas obtenidas, con independencia de latcnica empleada. Enlainvestigacinendidcticadelasmatemticasseechanenfaltaestudios de rplica, estudios que permitiran conrmar o refutar conclusio-nes extradas de trabajos anteriores. Una de las causas radica, quiz, en elcriteriodeoriginalidad.Losinvestigadoressemuestranreaciosareplicarun estudio porque consideran que una rplica no aporta nada original. Lespreocupa tambin que sus rplicas no sean publicadas.Estos investigadores no se dan cuenta de que la ciencia progresa graciasa las rplicas: slo reuniendo un conjunto de estudios centrados en un fen-meno especco podemos entender su funcionamiento. Tampoco son cons-cientesdequelarplicanoconsisteenrepetirmecnicamenteloquealguien ha hecho: ms que una simple copia de un trabajo anterior debe serunampliacin.UnavezmsnosremitimosalaspalabrasdeFreudhental(1991): reproducir no equivale a repetir cual papagayo (pg. 161).Porejemplo,Baranes,PerryyStigler(1989)noslorepitieronenEE.UU.elparadigmaempleadoporlosinvestigadoresbrasileosenelestudio de la utilizacin que hacen los nios del conocimiento del mundopara resolver problemas aritmticos de enunciado verbal, sino que tambinanalizaron los datos de una forma diferente y realizaron un segundo estudioparaaclararalgunosproblemassurgidosenelcursodelarplica.Loscomentariosaestosestudios(Carraher,1989;Saxe,1989)demuestrancmohallazgosaparentementeconictivosnecesitanserconsideradoscomo el resultado de diferentes paradigmas y, al mismo tiempo, que estu-dios contradictorios pueden encuadrarse en un marco ms amplio.Originalidad no signica desconexin con investigaciones precedentes.Consiste en organizar y presentar las pruebas para hacer reexionar al lec-tor. Nos sorprende leer un estudio original, porque, antes de leerlo, no espe-rbamosesemododecontarlascosasoesedesenlace:nosaportaalgoVALORACIN DE LA INVESTIGACIN EN DIDCTICA DE LAS MATEMTICAS: MS ALL DEL VALOR APARENTE25nuevoinclusosilasituacinesdesobraconocidao,quiz,precisamentepor serlo.RIGOR Y PRECISINSicomparamoslainvestigacineneducacinmatemticarealizadaenEE.UU.conladelaantiguaUninSovitica,nosencontramosconunadiferencia bastante clara en la utilizacin de lo que podramos llamar tcni-cas de investigacin rigurosas: control de variables, seleccin y asignacinaleatorias,abilidaddemedida,frmulasestadsticasparaestimacindeerrores. Los investigadores americanos anteriores a 1985 utilizaban muchoestastcnicas;lossoviticosmuypoco.Porotraparte,lainvestigacinsovitica en didctica de las matemticas trataba cuestiones ms importan-tes para los profesores, y hasta podramos decir que ms signicativas paranuestro campo de investigacin. Si consideramos rigor y pertinencia comocriteriosortogonales,lainvestigacinamericanatendraunaaltacalica-cin en el primero y baja en el segundo; y la sovitica, al contrario (Kilpa-trick,1981a).Lacuestinessilaimportanciaatribuidaalcriteriodepertinencia justica el abandono del rigor.Elconceptotradicionalderigorestligadoalamanipulacinexperi-mentaldevariablescontroladas,tangeneralizadaenlainvestigacineneducacinmatemtica.Estetipodeinvestigacinhatratado,engeneral,situaciones y modelos lejanos a la complejidad del aula, poco tiles en elenfoque de los problemas de la prctica docente.Eltrminorigor,comotantosotros,tieneconnotacionespositivasynegativas.Ensuaspectonegativoimplicarigidez,inexibilidadyunaestricta sumisin a normas y procedimientos: el investigador se siente pri-sionerodeunmarcoinamoviblesiguiendonormasestablecidaseincapazderesponderalmomentofenomenolgico.Enelladopositivo,rigorimplica exactitud y precisin: el investigador intenta despejar las nubes dela duda que rodean a un fenmeno y entenderlo con la mxima exactitud.Al igual que el criterio de validez, el de rigor y precisin necesita unainterpretacin de mayor alcance. Lo mismo que el criterio de objetividad,ha de entenderse como algo relativo y no absoluto. Los investigadores eneducacinmatemticasehanpreocupadodelaprecisinconlaquesemiden el pensamiento y el aprendizaje. Estos fenmenos son, por su propianaturaleza, inaccesibles a la observacin y medida directas.La bsqueda de rigor necesita ampliarse desde la acepcin de precisinde medida a la de precisin de signicado. Los investigadores deben inten-tar usar el lenguaje cuidadosamente para transmitir con la mxima exacti-tudloquehanobservadoylasconclusionesalcanzadas.Debenbuscarexplicaciones alternativas a sus pruebas y someterlas a un cuidadoso escru-tinio.Unainvestigacindebeconsiderarserigurosanosloporquese26 JEREMY KILPATRICKatengaacnonesestrictosdediseoyanlisis,sinotambinporqueelinvestigador ha demostrado tener una na sensibilidad respecto al signi-cadoquelosparticipantesenlasituacinestudiadaotorganaensearyaprender, lo mismo que respecto a las interpretaciones que otros pudieranhacer de estos fenmenos. Diseando y realizando cuidadosamente el estu-dio, el investigador ha anticipado y tratado de evitar posibles malentendi-dos.Elrigorylaprecisinemananmsdelesprituconqueserealizalainvestigacin el cuidado con que se desarrolla la observacin, la atencinal detalle, la disposicin a comprobar alternativas que de la delidad a unprocedimiento normalizado.CAPACIDAD PARA PREDECIRLosobjetivoshabitualesdelacienciaexplicacin,prediccinycon-trolparecequetiendenasubstituirseengranpartedelainvestigacineducativa por un nuevo tro: entendimiento, interpretacin y accin (Carr yKemmis,1986;Kilpatrick,1988).Sibien,enparte,setratadeunmerojuegodepalabras(explicacinyentendimientoeranycontinansiendoobjetivos propios de la investigacin educativa), el abandono de la predic-cin y el control s resulta signicativo.Quizelcontroldelprocesoenseanza-aprendizaje,enelsentidoenquesecontrolaelcrecimientobacterianoenunlaboratoriobiolgico,nunca fuese un objetivo razonable de investigacin, pero la prediccin con-tina siendo importante. Sera conveniente poder predecir, dentro de ciertoslmites, cmo los nios van a responder a una determinada tarea o con qudicultades se pueden encontrar los profesores al explicarla.El comportamiento humano es demasiado complejo para poder predecirloqueunapersonavaahacerenunasituacindeterminada,peroobser-vandoalagenteylassituacionespodemosdetectarciertospatronesdecomportamiento. Ciertas tareas permiten predecir ciertos errores. Al hacerunaspreguntasdeterminadasaunaclasecabeesperarciertasrespuestas.Los profesores captan muchas de estas regularidades, algunas de ellas estu-diadas por los investigadores.EnlavisinhabitualdelacienciabasadaenelconceptodeHumesobrelasrelacionescausales,consideradascomorelacionescontingentesregulares la explicacin y la prediccin son simtricas (House, 1991): lasdosemanandeleyescausalesgenerales.Porello,lastcnicasdecorrela-cin y regresin han sido tan comunes en la investigacin educativa: permi-tenalosinvestigadoreshacerprediccionesancareciendodeteorayexperimentacin. La capacidad para predecir ha sido siempre la prueba cr-tica de una tarea cientca. Si, bajo condiciones iniciales dadas, una teorapuede predecir un hecho, la teora adquiere ms validez. Segn House, elerror presente en este punto de vista es:VALORACIN DE LA INVESTIGACIN EN DIDCTICA DE LAS MATEMTICAS: MS ALL DEL VALOR APARENTE27los hechos en s mismos no constituyen el enfoque denitivo del an-lisiscientco.Msbien,loshechosdebenexplicarsemedianteelexamen de sus estructuras causales, resultado, a su vez, de comple-jas interacciones entre un cmulo de entidades subyacentes. La rea-lidadnoconsistesolamenteenaquelloquepodemosver,sinotambin en las entidades causales subyacentes no siempre directa-mente discernibles. La realidad, en n, est estraticada. Los hechosse explican mediante estructuras subyacentes, y stas se explican, asu vez, a partir de otras estructuras en niveles ms profundos. As, eldescubrimiento cientco es un proceso continuo (pg. 4).En el aula no existe la conjuncin constante de hechos necesaria para el tipode prediccin que se realiza en un laboratorio. El aula est lejos de ser unsistema cerrado protegido contra entidades causales interactivas. Pero, a pe-sar de que en clase de matemticas no podemos predecir con certeza com-portamientosespeccos,spodemosbuscaraquellasestructurascausalesque tienden a producir determinados efectos. Tambin podemos buscar ge-neralizaciones, no en cuanto leyes naturales que determinen la labor de losprofesores o de los alumnos, sino como tendencias o patrones en el discurrirde las actividades lectivas. Una manera de aplicar el criterio de predictibilidad es preguntndonoshasta qu punto las inferencias extradas de la investigacin basada en unateora nos permiten anticipar lo que ocurrir en una situacin de enseanza-aprendizaje. De esta forma, la predictibilidad se convierte en un criterio quehay que aplicar no slo a un estudio de investigacin determinado sino tam-binaunconjuntodeestudiosinterrelacionados.Lapredictibilidadnosinforma hasta qu punto hemos podido penetrar en el galimatas de las cir-cunstancias que pueden inuir en los hallazgos de los estudios individuales,y ver as lo que suele ocurrir en general. Mas an, como los profesores sonen s mismos inuencias causales poderosas, pueden entender mejor que unextrao cmo el patrn de entidades causales identicado funciona en susclases. Pueden, sobre la marcha, hacer inferencias especcas que les per-mitan predecir hechos relacionados con su trabajo con ms exactitud de loque les permitira una ley de carcter general.REPRODUCTIBILIDADUn informe correcto sobre un estudio de investigacin debe dejar sucien-temente claros los procedimientos utilizados por el investigador como paraque otra persona pudiera, al menos en principio, reproducir el estudio. Estees un precepto sine qua non para hacer informes slidos. Mas an, tambindeben ser reproducibles los hallazgos del estudio observaciones, patrn28 JEREMY KILPATRICKde resultados, aunque no necesariamente las interpretaciones que se lesden.Lainvestigacineneducacinmatemticanopuedeserfantasiosaomeramente especulativa. Debe, como toda ciencia, utilizar procedimientosque otros pueden seguir, y producir resultados que otros pueden obtener deunauotraforma.Loquehacemosyloqueencontramosalinvestigarnodebequedarseenunasuntoprivado.Debedifundirseparaquepuedasercriticado, comprobado por otros e incluso refutado. Debe ser pblico.Independientemente de si una situacin observada en una investigacinpuede reproducirse en mi clase o en la tuya, el propio estudio y las conclu-siones extradas de l deben estar abiertos a la rplica. La reproductibilidad,como la predictibilidad, son aspectos de la generalizacin. Si no podemosgeneralizar nuestra investigacin, es intil. Si es as, no hemos conseguidounconocimientotil.Freudenthal(1991)tiene,unavezms,laltimapalabra:el conocimiento puede presentarse con xito como resultado si pode-mos reproducir el proceso de su adquisicin una caracterstica delas ciencias duras. Si no se cumple esta condicin, el conocimientopresentado sin referencia alguna al proceso que lo origin, carece delascaractersticasderacionalidadquedistingueelconocimientoverdadero del dogma (pg. 161).RELACIN CON LAS MATEMTICAS Y SU ENSEANZAUn criterio obvio, aunque sutil, en la investigacin en didctica de las mate-mticas es que debe estar relacionada a la vez con las matemticas y con elproceso educativo. Toda investigacin que pretenda vincularse a la educa-cin matemtica ha de hacer explcita su relacin con el mbito educativo(aunque los editores de revistas de investigacin en didctica de las mate-mticas reciben, de vez en cuando, manuscritos que contienen pruebas deteoremasmatemticossinmencionarconexinalgunaconlaenseanza-aprendizaje). Seguramente hay que prestar ms atencin a este criterio: lainvestigacin en educacin matemtica debe mantener una ntima relacincon las matemticas.Confrecuenciaseutilizanlasmatemticasenunainvestigacinslocomo vehculo para explorar algn aspecto de la enseanza, el aprendizaje,el pensamiento o la escolarizacin. Por ejemplo, en muchos estudios rela-cionadosconlaresolucindeproblemas,losproblemasdematemticaspodran substituirse por problemas de fsica o poesa y, an as, seguir estu-diando los mismos procesos psicolgicos. En algunos estudios sobre profe-sores,tantodaraquelaasignaturaestudiadafueramatemticascomohistoria o francs. En las investigaciones sobre nios trabajando en grupo,VALORACIN DE LA INVESTIGACIN EN DIDCTICA DE LAS MATEMTICAS: MS ALL DEL VALOR APARENTE29las actividades que hacen pueden ser matemticas o no y, en todo caso, esteaspecto carece de importancia para el investigador. En un estudio epistemo-lgico,losfenmenosexaminadospuedequeseanmatemticos,peropuede que el trabajo no aada nada a nuestra comprensin de lo que signi-ca saber matemticas, en contraposicin a saber biologa o gramtica.En los casos en que las matemticas se utilizan como elemento vehicu-lar en un estudio de investigacin, hay que plantearse la importancia de susaportacionesanuestradisciplina.Puedequeseaunainvestigacintilenotros campos, pero, si no trata las matemticas de una manera rigurosa, espoco probable que sirva a los profesores de esta materia.En todo caso, hay que procurar no rechazar un estudio por considerarlopoco til o informativo, simplemente porque no ha utilizado las matemti-cas de una forma integral o esclarecedora. Aunque podemos intentar aplicarelcriteriodeestarrelacionadoconlasmatemticasysuenseanzaparadecidir lo que debe ser considerado como una buena investigacin en edu-cacin matemtica, debemos reconocer la naturaleza necesariamente inter-disciplinardenuestrocampo.Debemosestardispuestosatomarideasdeinvestigaciones realizadas en otros campos, en especial, pero no exclusiva-mente, cuando stas tienen alguna conexin con la enseanza/aprendizajede las matemticas, incluso cuando de ellas se haya desprendido poca luzobvia sobre nuestra disciplina.CONCLUSINPorqunecesitamoscriteriosparainvestigarennuestradisciplina?Laexistencia de criterios, por muy provisionales o incompletos que sean, per-mitealosinvestigadoresvalorarlacalidadylasaportacionesdeltrabajopropio y ajeno. No se pretende que el conjunto de criterios aqu discutidosea algo jo, exhaustivo, especial o denitivo. Estos criterios nos ofrecen,simplemente,herramientasparapensar,plantillasparacontrastarlospro-blemas estudiados por la investigacin, los medios utilizados para investi-garesosproblemas,losresultadosobtenidosylautilizacinhechaoporhacer de dichos resultados. Dicho de otro modo, los criterios son lentes quese pueden utilizar para visionar el paisaje de la investigacin.Lainvestigacinendidcticadelasmatemticasdebecontinuaraspi-randoaunestatutocientco.Enestecamposomosmsbienlentosenreconocer que la ciencia se presenta en gran variedad de formas. Podemosutilizar enfoques distintos y seguir haciendo ciencia.Muchos investigadores interpretan inadecuadamente lo que es la cien-cia. Siguiendo a Hume, se preguntan cmo podemos conocer aquello queno hemos experimentado. Asumen que la ciencia ha de basarse en la expe-riencia. Como la experiencia de un determinado individuo en el campo delas matemticas es personal y, a la postre, difcil de conocer, habr mucha30 JEREMY KILPATRICKgentequearmequelainvestigacineneducacinmatemticanopuedeser cientca. Sin embargo, como seala Woolgar (1988), la ciencia no seplantea esta pregunta de Hume. La ciencia no es inducida por la experien-cia.Elcientcoconstruyeunarepresentacinqueluegodeterminalosobjetos que hay que investigar. La pregunta es cmo podemos conocer loque no hemos representado? El conocimiento cientco exige que traspa-semos la experiencia y los hechos para llegar a las estructuras que producendichos hechos (House, 1991).Laciencianoshadejadounimportantelegadoquenodebeabando-narseotratarsealaligera.Tenemosquemantenerunaposturadesanoescepticismorespectoaltrabajopropioyajeno,alavezqueunadisposi-cin,inclusoundeseo,desometeresetrabajoacomprobacionescrticas.Alusarcriteriosdesarrolladosalolargodeltiempo,debemoscontinuarpreguntndonos si nuestro trabajo responde a esos criterios, tal como ahoralos entendemos. Para juzgar la calidad cientca a pesar de que la cienciasea un esfuerzo humano sujeto a modas y errores no debemos rechazarlasmetodologasyestructurascientcas,despreciarelandamiajehastaahora erigido. No debemos abandonar los principios de la ciencia: vincula-cinaestructurastericas,especicacincuidadosadeprocedimientos,precisin de signicados, exhibicin pblica de datos, presentacin acad-mica de resultados y apertura a la crtica y a la refutacin.A largo plazo, estamos intentando conseguir una comunidad en educa-cin matemtica en la que los profesores, realizando un trabajo profundo yreexivo, comprendan las posibles consecuencias de su quehacer. La inves-tigacin puede ayudar al profesor a adoptar este planteamiento. Aunque nose puedan establecer criterios denitivos de calidad, los educadores mate-mticos deben mantener un nivel adecuado en sus investigaciones.REFERENCIAS BIBLIOGRFICASBaranes, R., Perry, M., & Stigler, J. W. (1989). Activation of real-world knowledgein the solution of word problems. Cognition and Instruction, 6, 287-318.Bishop, A. (1977, October). On loosening the constructs. 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UNA EMPRESA DOCENTE & GRUPO EDITORIAL IBEROAMRICACABRI-GEMETRA O UNA NUEVA RELACIN CON LA GEOMETRACOLETTE LABORDECOAST, CNRS, LYON ET IMAG-LSD2 CNRS, UNIVERSIT JOSEPH FOURIER, GRENOBLELAS RELACIONES ENTRE EL DIBUJOY EL OBJETO GEOMTRICOLageometraenseadatratadeobjetostericosperoponetambinenjuego representaciones grcas, cuyo papel en el aprendizaje de la geome-tra no es necesario destacar.La gura como relacin entre el dibujo y el objeto geomtricoEn cuanto entidad material sobre un soporte, el dibujo puede ser conside-radocomounsignicantedeunreferenteterico(objetodeunateorageomtrica como la de la geometra eucldea o la de la geometra proyec-tiva).Lagurageomtricaconsisteenelemparejamientodeunreferentedado con todos sus dibujos, queda entonces denida como el conjunto depares formados por dos elementos, siendo el primer elemento el referente,elsegundounodelosdibujosquelorepresenta;elsegundoelementosetomadeluniversodetodoslosdibujosposiblesdelreferente.Eltrminogurageomtricaasentendidoremitealestablecimientodeunarelacinentreunobjetogeomtricoysusposiblesrepresentaciones.Vistoas,lasrelaciones entre un dibujo y su referente construidas por un sujeto, lector oproductordeldibujo,constituyenelsignicado,paraestesujeto,delagura geomtrica asociada. Este signicado corresponde a lo que Fishbein(1993) llama gural concept.Las relaciones entre dibujo y objeto geomtrico se pueden caracterizar,a grosso modo, por el hecho de que propiedades del objeto geomtrico setraducen grcamente por relaciones espaciales. Por ejemplo, un trazo rec-tilneoquetocauntrazadocircularsepuedeinterpretar,enunateorageomtrica,comounarectatangenteauncrculo.Interesasinembargosubrayar la complejidad de las relaciones entre el dibujo y el objeto geom-trico;enefecto,elpasodeldibujoalobjetogeomtricoesobjetodeunainterpretacin por un sujeto humano. De ello se deduce que:34 COLETTE LABORDE(i)porunaparte,undibujogeomtriconoesnecesariamenteinterpre-tado por su lector como algo que le remita a un objeto geomtrico.(ii) por otra parte las interpretaciones de un mismo dibujo en tanto quesignicantedeunobjetogeomtricosonmltiplespordosrazones:laprimera consiste en que las interpretaciones dependen del lector y de susconocimientosascomodelcontexto;lasegundatienequeverconlanaturalezamismadeldibujo,queporssolonopuedecaracterizarunobjeto geomtrico.Precisemosestasarmacionesquesirvendepuntosdepartidaanuestromarco terico.Un dibujo remite a los objetos tericos de la geometra en la medida enque el que lo lee decide hacerlo: la interpretacin evidentemente dependede la teora con la que el lector elige leer el dibujo, as como de los conoci-mientos de dicho lector. El contexto desempea un papel fundamental en laeleccin del tipo de interpretacin.La Figura N 1 se puede interpretar, por tanto, como el dibujo de una manza-na a la que queda unido un trozo de tallo. En un contexto de matemticas, unmatemtico reconocer en ella, sin duda alguna, un crculo. Pero ser ms re-ticente a hacerlo en el caso del dibujo de la derecha (Figura N 2), a pesar deque el conjunto de marcas de tinta en el papel del dibujo de la derecha es pro-bablemente una mejor aproximacin por mnimos cuadrados a un crculo.Estecomportamientoencuentraexplicacinsisetieneencuentalaeleccin del tipo de interpretacin del lector. El matemtico en su contextodetrabajoconsideraesosdibujosdentrodeunainterpretacintotalmentegeomtrica y, ya que en esta interpretacin los dibujos deben remitir a obje-tos establecidos por la teora, teniendo en cuenta el trazado a mano alzada,intentar ver un crculo en el primero, mientras que dudar si se trata de uncrculo o de una elipse en el segundo, a la vista de la exactitud aparente deltrazado.Incluso un mismo dibujo geomtrico se puede interpretar de mltiplesformas y, en particular, la percepcin interviene en la construccin de unainterpretacinsiempreycuandoellectornotengaslidosconocimientos Figura N 1. Figura N 2. CABRI-GEMETRA O UNA NUEVA RELACIN CON LA GEOMETRA 35tericos geomtricos que le permitan ir ms all de la primera lectura per-ceptiva. Se ha podido as poner de maniesto que los aspectos perceptivos(Duval, 1988, Mesquita 1989, Padilla, 1990) del dibujo pueden entorpecero por el contrario favorecer la lectura geomtrica para alumnos de secunda-ria, al atraer la atencin sobre elementos del dibujo no pertinentes para esalectura. Los alumnos de 3me1 no reconocen con el mismo grado de facili-dad la conguracin de Thales en los dos dibujos que siguen (Figura N 3)(Cordier & Cordier, 1991). Figura N 3. En el transcurso del tiempo se han ido formando dibujos prototipo de obje-tos geomtricos (Noirfalise, 1991), como resultado de inuencias a la vezperceptivas y culturales (en sentido amplio y escolar). Algunos son harto co-nocidos (cuadrado/rombo); otros, menos, como el del paralelogramo: el di-bujo prototipo de un paralelogramo es, al menos en Francia, aquel en el quela diagonal AC es perpendicular al lado AD (Figura N 4); precisamente he-mos aislado este caso tpico utilizando Cabri-gemetra. Mariotti (1993) hamostrado cmo las imgenes mentales estndar de objetos slidos interac-tan con lo que el sujeto visualiza y dan lugar a una imagen mental resultan-te de un objeto inconsistente. Figura N 4. En tanto que signicante de un objeto geomtrico, el dibujo indica propie-dades de este objeto pero slo lo hace parcialmente. Se puede unir un domi-nio de funcionamiento al dibujo (conjunto de las propiedades geomtricasrepresentadas por ciertas propiedades espaciales del dibujo). As un dibujo1. Equivalente a 3 de Enseanza Secundaria Obligatoria del sistema educativode Espaa, 9 del de USA u 8 de la educacin bsica colombiana. [Nota del editor.]ADCB36 COLETTE LABORDEno informa del dominio de variacin de los elementos del objeto geomtri-co. A partir de un dibujo, es imposible inferir si un punto de un segmentopertenece slo al segmento o a la recta soporte del segmento, si dos crculossecantes lo son por hiptesis o pueden estar en una posicin relativa cual-quiera. Es necesaria una descripcin discursiva que caracterice al objetogeomtricoparaeliminarlasambigedadesinherentesaldibujo(Duval,1988; Parzysz, 1988).A la inversa, todas las propiedades espaciales del dibujo no pueden serinterpretadascomoqueremitenapropiedadesdelobjeto:aldibujoestligado un dominio de interpretacin. La posicin del dibujo en la hoja porejemplo est fuera del dominio de interpretacin de los dibujos en tanto quesignicantesdeobjetosdelageometraeucldea.Algunosproblemasconlos que se han encontrado los alumnos se deben precisamente a que traba-jan con un dominio de interpretacin distinto al de la geometra eucldea.Las relaciones entre dibujo y objeto geomtrico en la enseanza de la geometraLa enseanza de la geometra ignora las relaciones entre objeto geomtricoy dibujo al silenciar la diferencia entre ambos, o haciendo como si un lazonaturallosuniera.QuerramosretomarlatesisdefendidaporBerthelotySalin(1992)yelmarcotericoaferentedesarrolladoapropsitodelasrelaciones entre conocimientos espaciales y conocimientos geomtricos: elsacricio de los conocimientos espaciales en provecho de los conocimien-tosgeomtricosabocaaquelageometraenseadaseapoyesincontrolsobre una relacin privilegiada con el espacio reservado para el tratamientode objetos pequeos o de trazados que caben en una hoja de papel, sobre laevidencia perceptiva: se puede ver que (Bessot, 1993). Interpretamosel que la enseanza ignore las relaciones entre dibujo y objeto geomtricoen relacin con este sacricio. La enseanza desdea la posibilidad de unalectura espacial del dibujo y no considera ms que la lectura geomtrica deldibujo, desconoce la existencia del dominio de interpretacin de un dibujo:la evidencia perceptiva se interpreta de modo natural e inmediato en ella entrminos geomtricos. Es preciso decir que el lenguaje facilita esta confu-sinespacialgeomtrica,yaqueamenudoelmismotrminodesignalapropiedad espacial y la geomtrica ligada a ella. Por esta indiferenciacin,laenseanzadesconocelaespecicidaddelasrelacionesentredibujoygeometra y no las toma como objeto de aprendizaje.Sepodradescribirbrevementeestasrelacionesdiciendoque,porunaparte, la geometra puede ser considerada como el resultado de una modeli-zacin del dibujo, y que as puede servir de instrumento de produccin y decontrol del dibujo, o incluso de prediccin. Pero, inversamente, el dibujo engeometrapuedeserconsideradocomomodelodelobjetogeomtrico(Laborde, 1992), y as ofrece un campo de experimentacin grca (Cheva-CABRI-GEMETRA O UNA NUEVA RELACIN CON LA GEOMETRA 37llard,1990).Puestoquelaenseanzaignoralasrelacionesentredibujoyobjetogeomtrico,estecarcterdeexperimentacinnoespercibido,pordecirlo as, por los alumnos y an menos utilizado (aadir a un dibujo ele-mentosnomencionadosenelenunciadooporelprofesornodependededecisiones tomadas espontneamente por los alumnos sino que necesita unaprendizaje).Entantoquemodelodelageometra,eldibujoseprestaaexperimentos que dan cuenta de preguntas planteadas en la teora, traduci-das luego al dibujo, y cuya respuesta en el dibujo no da una respuesta en lateora sino que proporciona supuestos, pistas para el trabajo terico. As, sepuede trazar un gran nmero de tringulos y observar la inclinacin dondeconcurren sus alturas.Estas relaciones son sutiles, lo que signica que, para que los alumnossean conscientes de ellas, habra que desarrollar en la enseanza situaciones problema que traten de dibujos, en las que la geome-traseaunaherramientaecazdemodelizacinydesolucin;por ejemplo, en las que permita hacer dibujos que satisfagan res-tricciones dadas, de manera menos costosa que el tanteo contro-lado por la percepcin y que la geometra garantice la correccindel resultado: por ejemplo, la geometra nos asegura la tangenciade una recta a un crculo cuando es perpendicular al radio. situacionesengeometraenlasqueelrecursoaldibujoylaexperimentacinconlevitenperderseensolucionestericasdemasiado largas.Con esta losofa se han desarrollado desde hace algunos aos entornos in-formticos que ofrecen un sistema de representacin de objetos geomtricosmediante dibujos en la pantalla del ordenador que pueden ser producidos pormedio de comandos dados en un lenguaje geomtrico. Estos objetos en lapantalla presentan un dominio de funcionamiento ms extenso que los dibu-jos con lpiz y papel, y permiten descalicar algunas interpretaciones ilci-tas.Cabri-gemetraesunodeellos.Lointroducimosenelapartadosiguiente.CARACTERSTICAS DEL ENTORNO CABRI-GEMETRADos caractersticas importantes de este entorno informtico (para una des-cripcin del entorno ver Bellemain & Caponi 1992 y Laborde & Straesser1990) residen en la coexistencia de primitivas de dibujo puro y primitivasgeomtricas y en la manipulacin directa del dibujo. Si se desplaza con laayuda del ratn uno de los elementos base del dibujo, ste se deforma res-petando las propiedades geomtricas que han servido para su trazado y lasquesederivendeellas;porconsiguiente,siseharealizadoundibujo38 COLETTE LABORDEmediante primitivas de dibujo puro, es decir a ojo, pierde sus propiedadesespaciales aparentes en su estado original al desplazar uno de sus elemen-tos. La Figura N 5 representa un paralelogramo obtenido trazando 4 seg-mentos colocados a ojo en la pantalla (los vrtices son los puntos bsicos),a la izquierda en su estado original y a la derecha despus de desplazar A. Figura N 5. El trazado en la pantalla de un dibujo ligado a un objeto geomtrico tieneque conservar en el transcurso del desplazamiento las propiedades espacia-les que dan cuenta de las propiedades geomtricas de ese objeto, entoncestienequehacersemediantelasprimitivasgeomtricas(talescomopuntomedio, mediatriz, recta paralela, recta perpendicular, etc.). De esta manera,laexigenciadecomunicaralprogramaunprocedimientogeomtricodeconstruccin permite caracterizar el objeto geomtrico (nos encontramos denuevo la necesidad que hemos mencionado antes de la descripcin discursi-va del objeto geomtrico para su caracterizacin).En el trazado en la pantalla del dibujo de un objeto geomtrico, la inte-raccin entre las dos caractersticas del programa es, por tanto, lo que traeconsigo el uso de las primitivas geomtricas, como indica el esquema de laFigura N 6. El programa ha sido elaborado con la idea de que este paso porlasprimitivasgeomtricasdeberafavorecerelusodeconocimientosgeomtricos. Figura N 6. ABCDABCD

primitivas geomtricasprimitivas de dibujo purodesplazamientoretroaccin perceptivasujetoCabri-gemetraCABRI-GEMETRA O UNA NUEVA RELACIN CON LA GEOMETRA 39El entorno responde pues a la intencin de ofrecer un sistema de signican-tes que tenga un dominio mayor de funcionamiento en relacin con la geo-metra y que haga ms evidentes los lmites del dominio de interpretacin.Dadoqueeldesplazamientodeldibujoestcontroladoporunateorageomtrica (a grosso modo la de la geometra eucldea), el entorno da cuentaen particular de la variabilidad de los elementos del objeto geomtrico y desu dominio de variacin (extensin del dominio de funcionamiento) y per-mite descalicar interpretaciones no pertinentes (puestas en evidencia de loslmites del dominio de interpretacin): en efecto, las propiedades atribuidasal objeto por haber sido ledas en un dibujo esttico que las representa tienenmuchas probabilidades de dejar de cumplirse aparentemente al deformar eldibujo.El campo de experimentacin ofrecido por el dibujo en los dibujos conlpiz y papel est limitado por razones materiales (imprecisin del trazado,imposibilidad de hacer temporalmente invisible una parte del dibujo, limi-tacin del nmero de elementos que hay que gestionar). El entorno Cabri-gemetra, no slo por su funcionalidad de editor grco sino tambin porlos conocimientos geomtricos que integra, ampla el campo de experimen-tacinposible.Ahorabien,tantolasaccionesposiblescomolosretornoscorrespondientes,nosloseamplan,sinoqueresultanserdenaturalezadiferente al estar basados en conocimientos geomtricos. El tipo de repre-sentacingrcaquedaelentornoesdistinto,portanto,deldibujoconlpizypapel.Parasealarestadiferenciaenloquesigue,llamaremosCabri-dibujo a