BAB 12

PEMAHAMAN RELASIONAL DAN PEMAHAMAN INSTRUMENTAL

FAUX AMIS

Faux amis adalah istilah yang digunakan oleh bahasa Perancis untuk

menggambarkan kata-kata yang sama, atau sangat mirip, dalam dua bahasa, tapi

yang artinya berbeda. Contohnya :

French words Meaning in English Indonesia

Histoire story, not history cerita, bukan

sejarah

Libraire bookshop, not library toko buku,

bukan perpustakaan

Chef head of any organization, not only chief cook ketua

organisasi, bukan hanya ahli masak

Agreement pleasure or amusement, not agreement kesenangan

atau hiburan, bukan persetujuan

Docteur doctor (higher degree), not medical practitioner doktor (S3),

bukan prasktisi medis

Medecin medical practitioner, not medicine praktisi medis,

bukan obat

Parent relations in general, including parents hubungan

secara umum, termasuk orangtua

Salah satu yang mendapatkan faux amis diantara bahasa Inggris

sebagaimana diucapkan di berbagai belahan dunia. Seorang Inggris meminta di

Amerika untuk biskuit akan diberikan apa yang kita sebut dengan kue scone.

Untuk mendapatkan apa yang kita sebut biskuit (biscuit), dia harus meminta kue

(cookies). Dan diantara bahasa Inggris yang digunakan dalam matematika dan

dalam kehidupan sehari-hari seperti kata-kata field, group, ring, ideal.

Seseorang yang tidak menyadari bahwa kata yang digunakan adalah faux

amis dapat membuat kesalahan yang merepotkan. Kita mengharapkan sejarah itu

benar, tetapi tidak untuk cerita. Kita mengambil buku tanpa membayar dari

1

perpustakaan, tetapi tidak dari toko buku dan seterusnya. Tetapi pada contoh

sebelumnya ada petunjuk yang mungkin menempatkan satu penjaga : perbedaan

bahasa, atau negara atau konteks.

Namun, jika kata yang sama digunakan dalam bahasa yang sama, negara

dan konteks, dengan dua arti yang membedakan adalah non-trivial tapi dasar

seperti perbedaan antara makna (katakana) ‘histoire’ dan ‘history’ yang berbeda

antara fakta dan fiksi, orang mungkin akan mengalami kebingungan yang serius.

Dua kata tersebut dapat dikenali dalam konteks matematika ; dan itu adalah arti

alternative yang melekat pada kata-kata ini, masing-masing dengan banyak

pengikutnya, dengan keyakinan Skemp itu merupakan akar dari berbagai

kesulitan-kesulitan dalam pendidikan matematika sekarang ini.

Salah satu dari ‘pemahaman’ ini, dibawa oleh Stieg Mellin-Olsen dari

Bergen University beberapa tahun yang lalu, bahwa ada yang saat ini

menggunakan dua arti dari kata ini. Disini dia membedakan dengan menyebut

‘pemahaman relasional’ dan ‘pemahaman instrumental’. Oleh makna sebelumnya,

ini merupakan apa yang Skemp selalu maksud dengan pemahaman, dan mungkin

sebagian besar pembaca artikel ini, mengetahui keduanya, apa yang harus

dilakukan dan mengapa. Pemahaman instrumental menurut Skemp sampai saat ini

tidak dipandang sebagai pemahaman sama sekali. Ini adalah apa yang Skemp

dapatkan di masa lalu yang dapat digambarkan sebagai ‘aturan tanpa alasan’,

tanpa disadari bagi banyak siswa dan guru posisinya sebagai aturan dan

kemampuan untuk menggunakannya, adalah apa yang dimaksud dengan

‘pemahaman’.

Misalkan seorang guru mengingatkan kelas bahwa luas persegi panjang

adalah L = L x B. seorang siswa yang tertinggal mengatakan bahwa dia tidak

mengerti, jadi akhirnya guru memberikan penjelasan yang panjang tentang ini.

“Rumusan menyatakan bahwa untuk mendapatkan luas persegi panjang yaitu

dengan mengalikan panjang dengan lebar.” “Oh saya mengerti” kata siswa dan

mengerjakan latihan. Jika kita sekarang mengatakan padanya (sebetulnya) “kamu

mungkin mengatakan mengerti padahal tidak” juga dia tidak akan senang dengan

penilaian kita atas prestasinya. Dan dengan makna dari kata ini, dia mengerti.

2

Kita dapat menyebut semua contoh berpikir seperti ini : ‘meminjam’

dalam pengurangan, ‘mengembalikan terbalik dan kalikan’ untuk pembagian dari

pecahan, ‘ambil alih ke sisi yang lain dan ubah tandanya,’ jelasnya; tetapi sekali

konsep terbentuk, contoh lain dari penjelasan instrumental dapat dikenal dalam

banyak teks digunakan secara luas. Ini adalah dua diantaranya yang digunakan

oleh sekolah dasar hibah langsung sebelumnya, sekarang independen, dengan

standar akademik yang tinggi.

Misalkan, dari

dari

Tanda perkalian secara umum digunakan sebagai pengganti kata ‘dari’.

Lingkaran

Keliling lingkaran (yaitu panjang sekeliling batasnya) ditemukan dengan

pengukuran tiga lebih sedikit kali panjang diameternya. Dalam lingkaran apapun

kelilingnya sekitar 3.1416 kali diameternya yang kira-kira kali diameter.

Namun, tak satu pun dari angka-angka ini yang tepat, karena jumlah yang tepat

tidak dapat dinyatakan sebagai pecahan atau decimal. Angka ini dinyatakan

dengan huruf Yunani (pi).

Keliling = atau

Luas =

Pembaca didesak untuk mencoba bagi dirinya sendiri latihan ini dengan

mencari dan mengidentifikasi contoh penjelasan instrumental, baik dalam teks dan

dalam ruang kelas. Ini akan memiliki tiga keuntungan. (i) untuk orang-orang

seperti penulis dan kebanyakan pembaca artikel ini, mungkin sulit untuk

menyadari seberapa luas pendekatan instrumental. (ii) ini akan membantu, dengan

contoh berulang, untuk mengkonsolidasikan dua contoh yang kontras. (iii) ini

merupakan persiapan yang bagus untuk mencoba merumuskan perbedaan dalam

pengertian umum. Hasilnya (i) diperlukan untuk apa yang berikut di sisa bab

sebelumnya, sementara (ii) dan (iii) akan berguna untuk yang lain.

3

Jika diterima bahwa dua kategori keduanya well filled , oleh murid dan

guru yang sebelumnya, yang tujuan masing-masingnya adalah pemahaman

relasional dan pemahaman instrumental (oleh siswa), muncul dua pertanyaan.

Pertama, melakukan hal ini? Dan kedua, apakah salah satu jenis yang lebih baik

daripada yang lain? Dalam beberapa tahun Skemp akhirnya dapat menjawab

kedua pertanyaan tersebut; sebentar, ‘Ya, relasional’. Namun keberadaan

pandangan guru yang berpengalaman dan sejumlah besar teks milik kubu

seberang telah memaksa Skemp untuk berpikir lebih tentang mengapa Skemp

memegang pandangan ini. Dalam proses perubahan pertimbangan dari intuitif ke

reflektif, Skemp berpikir kita telah mempelajari sesuatu yang berguna. Dua

pertanyaan tersebut tidak sepenuhnya terpisah, tetapi dalam bab sekarang, Skemp

harus konsentrasi pada pertanyaan pertama, yaitu melakukan hal ini?

Permasalahan disini, dimana muncul secara otomatis dalam berbagai

situasi faux ami dan tidak tergantung pada pengertian A atau B yang benar. Mari

kita bayangkan, jika kita bisa, sekolah A mengirimkan tim untuk bermain

melawan sekolah B pada pertandingan yang disebut ‘football’ (sepakbola) tetapi

kedua tim tahu terdapat dua jenis ‘football’ (disebut ‘association’ dan ‘rugby’

(sepakbola)). Sekolah A memainkan soccer (sepakbola) dan tidak pernah

mendengar rugby (sepakbola), dan sebaliknya dengan B. Masing-masing tim

menilai bahwa tim yang lain gila atau banyak pemain curang. Tim A berpikir

bahwa tim B menggunakan bentuk bola yang salah, dan merupakan salah satu

kecurangan pada tim lain. Kecuali kedua pihak berhenti dan membicarakan

permainan yang mereka pikir sedang mereka mainkan, cukup lama untuk

mendapatkan pemahaman bersama, permainan akan terganggu dan kedua tim

tidak akan mau bertemu lagi.

Meskipun mungkin sulit untuk membayangkan situasi yang muncul di

lapangan sepakbola, ini adalah analogi yang tidak terlalu jauh untuk apa yang

sedang terjadi dalam berbagai pelajaran matematika, sekarangpun. Ada

perbedaaan penting, bahwa setidaknya satu sisi tidak bisa menolak untuk bermain.

Pertemuan itu adalah pergantian, pada lima hari seminggu, sekitar 36 minggu

setahun, sepuluh tahun atau lebih dalam kehidupan anak.

4

Mengesampingkan sejenak apakah salah satu lebih baik dari yang lain, ada dua

jenis ketidaksesuaian dalam matematika yang dapat terjadi,

1. Siswa yang tujuannya adalah untuk memahami secara instrumental, diajar

oleh guru yang menginginkan mereka untuk memahami secara relasional.

2. Tentang cara lain.

Hal yang pertama diatas akan menyebabkan sedikit masalah jangka pendek

pada siswa, akan membuat frustasi guru. Siswa tidak akan mau tahu semua

pekerjaan hati yang dia berikan dalam persiapan untuk apa yang harus dipelajari

selanjutnya, atau penjelasan hatinya. Semua yang mereka inginkan adalah

beberapa aturan untuk memperoleh jawaban. Secepat ini tercapai, mereka

mengunci pada hal itu dan mengabaikan sisanya.

Jika guru menanyakan pertanyaan yang tidak sesuai dengan aturan,

mereka akan berpikir itu salah. Untuk contoh berikut Skemp harus berterima kasih

pada Mr. Peter Burney, yang pada waktu itu adalah mahasiswa di Coventry

College of Education pada praktek mengajar. Ketika mengajarkan tentang luas ia

menjadi curiga, siswa tidak benar-benar memahami apa yang mereka kerjakan.

Jadi dia bertanya pada mereka : “Berapa luas yang berukuran 20 cm dan 15

yard?” mereka menjawab : “300 cm persegi”. Dia bertanya : “kenapa tidak 300

yard persegi”. Mereka menjawab : “karena luas selalu dalam ukuran cm persegi”.

Untuk mencegah kesalahan seperti di atas siswa membutuhkan aturan yang lain

(atau tentu saja pemahaman relasional) kedua dimensi harus berada pada satuan

yang sama. Ini mengantisipasi salah satu argument yang akan Skemp gunakan

melawan pemahaman instrumental, yang biasanya melibatkan banyaknya aturan

dari pada prinsip yang lebih sedikit dari beberapa aplikasi umum.

Tentu saja selalu ada peluang beberapa siswa akan menangkap pada apa

yang guru coba lakukan. Jika hanya untuk kepentingan ini, Skemp pikir dia harus

mencoba. Dengan banyak, mungkin kebanyakan, upaya untuk meyakinkan

mereka bahwa mampu menggunakan aturan tidaklah cukup dan tidak akan

diterima dengan baik. ‘Juga musuh dari lebih baik’ dan jika siswa mendapatkan

jawaban yang benar dengan jenis berpikir yang mereka gunakan, mereka tidak

akan mengambil dengan baik pada saran yang mereka harus coba untuk sesuatu di

balik ini.

5

Kesalahan yang lain, dimana siswa berusaha untuk memahami secara

relasional tetapi pengajaran membuatnya mustahil, dapat terjadi kerusakan yang

lebih. Sebuah contoh yang ada pada ingatan Skemp adalah anak tetangga, yang

berusia tujuh tahun. Dia adalah anak laki-laki yang pandai, dengan IQ 140. Pada

usia lima tahun dia dapat membaca The Times, tetapi pada usia tujuh tahun ia

selalu menangisi PR matematikanya. Kemalangannya adalah ia berusaha untuk

memahami pengajaran secara rasional yang tidak bisa dipahami dengan cara ini.

Bukti Skemp untuk keyakinan ini adalah bahwa ketika Skemp mengajarinya

secara rasional sendiri, dengan bantuan Unifix, dia dapat mengerjakan dengan

cepat dan dengan kesenangan yang sesungguhnya.

Kesalahan yang kurang jelas yaitu yang terjadi antara guru dan teks.

Misalkan kita mempunyai guru yang memiliki pemahaman instrumental, yang

untuk satu alasan atau lainnya menggunakan teks yang tujuannya adalah

pemahaman relasional oleh siswa. Itu akan mengambil lebih dari ini untuk

mengubah gaya mengajarnya. Skemp berada di sebuah sekolah yang

menggunakan teks Skemp sendiri (Skemp, 1962-69) dan melihat (mereka berada

di buku bab 1) yang beberapa siswa menuliskan jawaban seperti ‘himpunan dari

(bunga)’.

Ketika Skemp menyebutkan hal ini kepada guru mereka (dia adalah kepala

matematika) dia meminta kelas untuk memperhatikan dia dan berkata : “beberapa

dari kalian tidak menuliskan jawaban dengan baik. Lihat contoh di buku, pada

awal latihan, dan pastikan kamu menuliskan jawabanmu tepat seperti itu.”

Kebanyakan dari apa yang diajarkan ‘matematika modern’ diajarkan dan

dipelajari secara instrumental seperti pada silabus yang telah diganti. Ini

diprediksi dari kesulitan merekonstruksi skema kita yang ada. Sejauh itu, inovasi

mungkin lebih berbahaya, dengan memperkenalkan kesalahan antara guru dan

tujuan implicit dari konten yang baru. Untuk tujuan memperkenalkan ide-ide

seperti himpunan, pemetaan dan variabel dengan bantuan, digunakan dengan

benar, mereka dapat memberi dengan pemahaman relasional. Jika siswa tetap

berpikir secara instrumental maka silabus tradisional mungkin akan member

keuntungan pada mereka. Mereka setidaknya akan memperoleh kemahiran dalam

bilangan dari teknik matematika yang akan digunakan mereka untuk subyek yang

6

lain, dan yang baru-baru ini kurangnya subyek menjadi pengaduan oleh guru

sains, pengusaha dan yang lain.

Pada awalnya Skemp mengatakan bahwa dua faux amis dapat

diidentifikasi dalam konteks matematika. Salah satu yang kedua lebih serius : ini

adalah kata matematika sendiri. Karena kita berbicara tentang pengajaran yang

lebih baik dan pengajaran yang lebih buruk dari matematika yang sama. Mudah

untuk memikirkan ini, seperti gambaran kita tentang pemain sepakbola yang tidak

mengetahui bahwa lawan mereka memainkan permainan yang berbeda dan

berpikir pihak lain memilih bola dan memainkannya sehingga mereka tidak bisa

menendang dengan benar, khususnya dengan bentuk bola yang salah. Dalam hal

ini mereka mungkin menawarkan bola yang lebih baik dan beberapa pelajaran

tentang dribel.

Skemp mengambil beberapa waktu untuk menyadari bahwa ini bukanlah

kasusnya. Skemp gunakan untuk berpikir bahwa guru matematika bahwa semua

mengajarkan subyek yang sama, beberapa mengerjakan dengan baik dari pada

yang lain. Sekarang Skemp percaya bahwa terdapat dua subyek yang berbeda

secara efektif yang diajarkan dengan nama yang sama ‘matematika’. Jika ini benar

maka perbedaan ini adalah salah satu perbedaan dalam silabus yang diperdepatkan

secara luas. Sehingga Skemp ingin mencoba untuk menekankan titik dengan

bantuan analogi yang lain.

Bayangkan bahwa ada dua kelompok yang diajari musik menggunakan

pensil dan kertas. Mereka semua ditunjukkan lima baris paranada , dengan

keriting yang tiga kali lipat sebagai tanda permulaan baris, dan mengajarkan

bahwa tanda – tanda pada baris itu disebut sebagai E, G, B, D, F. Tanda – tanda

yang berada diantara baris disebut sebagai F, A, C, E. Mereka diajarkan bahwa

baris dengan bentuk oval terbuka dinamakan minim, dan perlu dua oval yang

dihitamkan yang disebut sebagai not seperempat, atau empat oval yang

dihitamkan dengan memberi ekor yang disebut sebagai not seperdelapan, dan

seterusnya yang dapat anda susun dalam daftar musikal yang anda sukai. Untuk

sekelompok anak, semua proses pembelajaran mereka semacam ini dan tidak ada

yang melampaui. Jika mereka memperoleh pelajaran musik selama sehari, dalam

lima hari bersekolah, dan dikatakan kepada mereka bahwa ini adalah penting,

7

anak – anak ini mungkin pada waktunya dapat menuliskan tanda –tanda untuk

melodi yang sederhana seperti God Save the Queen and Auld Lang Syne, dan

untuk menyelesaikan masalah sederhana seperti “What time is this in?” dan

“What key?”, dan bahkan memindah melodi dari C mayor ke A mayor. Mereka

akan merasa bosan karena aturan –aturan yang harus dihafalkan begitu banyak

sehingga masalah seperti menulis iringan sederhana untuk melodi ini akan terlalu

sulit untuk sebagian besar dari anak dikelompok tersebut. Mereka akan menyerah

dengan cepat, dan mengingatnya sebagai sesuatu yang tidak disukai.

Kelompok yang lain yang diajarkan untuk mengasosiasikan

(menghubungkan ) bunyi tertentu dengan tanda – tanda yang ada dikertasnya.

Untuk beberapa tahun pertama , ini adalah suara yang terdengar yang mereka buat

sendiri pada sebuah instrumen yang sederhana. Setelah beberapa saat mereka tetap

dapat membayangkan suara ketika mereka melihat atau menulis tanda di atas

kertas. Keterkaitan dengan setiap rangkaian tanda merupakan sebuah melodi, dan

mereka akan menghubungkan secara vertikal dengan kumpulan harmoni. Kunci C

mayor dan A mayor memiliki keterkaitan suara, dan hubungan yang sama dapat

ditemukan diantara pasangan kunci lainnya. Dan seterusnya. Kerja memori

kurang banyak terlibat, dan dengan mudah mempertahankan apa yang harus

diingat oleh sebagian besar pikiran mereka dalam bentuk keseluruhan yang saling

berhubungan ( seperti sebuah melodi ). Latihan seperti yang tersebut diatas

( seperti menulis iringan musik sederhana) akan menebalkan kemampuan secara

keseluruhan. Anak – anak juga akan menemukan bahwa belajar mereka secara

instrinsik menyenangkan, dan banyak akan terus secara sukarela untuk belajar,

bahkan setelah level O atau level C.S.E.

Untuk tujuan ini, Skemp telah menemukan dua jenis pelajaran musik,

keduanya menggunakan latihan pensil dan kertas ( pada kasus kedua, setelah

tahun pertama atau tahun kedua ). Tetapi perbedaan antara kegiatan

membayangkan tidak lebih dari kegiatan matematika (kita dapat membuat

pendekatan analogi, jika kita membayangkan bahwa kelompok pertama anak –

anak pada awalnya diajarkan suara dengan catatan cara yang agak setengah hati,

tapi itu adalah kaitan yang tidak bagus dan tidak terorganisir untuk bertahan).

8

Analogi di atas, secara jelas, sangat condong dalam mendukung paham

relasional di matematika. Ini mencerminkan pandangan Skemp sendiri. Sudut

pandang tersebut menyiratkan bahwa Skemp tidak lagi menganggapnya sebagai

kebenaran yang mengharuskan ada pembenaran, yang hampir tidak didapati oleh

guru berpengalaman yang terus menerus mengajarkan matematika secara

instrumental. Langkah berikutnya adalah mencoba untuk mendiskusikan manfaat

dari kedua sudut pandang sejelas dan seadil-adilnya, dan terutama dari sudut

pandang yang berlawanan. Inilah alasan mengapa pada bagian selanjutnya disebut

dengan “Argumen yang menyesatkan”.

Argument yang menyesatkan

Telah ditunjukkan bahwa banyak guru yang mengajarkan matematika secara

instrumental, mungkinkah karena hal ini mempunyai keuntungan tertentu ?

Skemp telah memikirkan ada tiga keuntungan ( dengan perbedaan alasan

kondisional mengajar dengan cara ini akan didiskusikan kemudian) yaitu :

1. Dalam konteksnya sendiri, bahwa matematika instrumental biasanya mudah

untuk dipahami.

Beberapa topik, seperti perkalian dua bilangan negatif, pembagian bilangan

pecahan, sulit dipahami secara relasional. “ negatif dikalikan negatif

samadengan positif” dan untuk membagi dengan pecahan anda dapat

membaliknya dan mengalikannya adalah aturan yang mudah untuk diingat.

Jika apa yang diinginkan adalah jawaban yang tepat, maka matematika

instrumental dapat memberikan jawaban lebih cepat dan mudah.

2. Imbalan / penghargaan secara cepat dan lebih jelas.

Untuk mendapatkan sebuah jawaban yang benar dan kita tidak harus

merendahkan perasaan siswa atas keberhasilan yang mereka dapatkan. Baru –

baru ini Skemp mengunjungi sebuah sekolah dimana beberapa anak

menggambarkan diri mereka sebagai “thickos”. Guru mereka menggunakan

istilah juga, anak – anak tersebut membutuhkan kesuksesan untuk

mengembalikan kepercayaan diri mereka, dan dapat dikatakan bahwa mereka

dapat mencapai hal ini lebih cepat dan mudah dalam matematika instrumental

daripada matematika relasional.

9

3. Hanya karena sedikit pengetahuan yang digunakan, seseorang sering

mendapatkan jawaban yang benar lebih cepat dan handal dengan

menggunakan pemikiran instrumental daripada pemikiran relasional.

Perbedaan ini sering ditandai bahwa matematika relasional masih sering

menggunakan pemikiran instrumental. Ini adalah teori yang menarik, yang

Skemp harap dapat Skemp bahas lebih lengkap pada kesempatan yang akan

datang.

Berikut adalah setidaknya empat keuntungan dalam matematika relasional

1. Lebih menyesuaikan dengan hal yang baru

Baru – baru ini Skemp berusaha menolong seorang anak laki-laki yang

belajar untuk mengalikan dua pecahan desimal dengan menghilangkan titik

desimal, mengalikan bilangan pokoknya, dan kemudian mengembalikan titik

desimal pada bilangan yang ditemukannya sebagai angka setelah titik desimal.

Ini adalah cara yang praktis jika kamu mengetahui mengapa hal tersebut

diperbolehkan. Meskipun tidak salah dengan hasilnya, anak tersebut tidak

melakukannya, dan yang tidak diduga bahwa hal tersebut diterapkan juga

dalam pembagian desimal. Dengan cara ini 4.8 ÷ 0.6 adalah 0.08. Siswa yang

sama juga belajar bahwa jika kamu mengetahui besar dua sudut dalam sebuah

segitiga, kamu dapat menemukan besar sudut yang ketiga dengan menambah

kedua sudut tersebut kemudian mengurangkan ke 180°. Dia memperoleh 10

pertanyaan yang terjawab dengan benar dengan menggunakan cara ini, dan

ketika menggunakan cara yang sama untuk menemukan sudut eksterior, dia

memperoleh lima jawaban yang salah.

Dalam kasus ini Skemp tidak berpikir bahwa dia menjadi bodoh. Dia

hanya mengekspolrasi secara sederhana dari apa yang dia tahu. Tapi dengan

pemahaman relasional, dengan mengetahui tidak hanya cara apa yang

digunakan tapi juga mengapa cara tersebut dipakai, dia akan menghubungkan

cara penyelesaian terhadap suatu masalah, dan memungkinkan untuk

mengadaptasi cara untuk menyelesaikan masalah yang baru. Pemahaman

instrumental mengharuskan untuk menghafalkan suatu cara bekerja untuk

10

menyelesaikan masalah atau tidak, dan juga belajar cara yang berbeda untuk

setiap permasalahan di kelas yang berbeda.

2. Mudah untuk mengingat

Ini terlihat berlawanan bahwa pemahaman relasional sulit untuk

dipelajari. Tentu lebih mudah bagi siswa untuk mempelajari bahwa luas

daerah segitiga =½ alas x tinggi daripada belajar mengapa harus begitu.

Tapi mereka kemudian harus mempelajari beberapa aturan segitiga ,

persegi,jajargenjang, trapesium, di mana pemahaman relasional berisi

bagian untuk mencari kesemuaan hubungan dengan luas persegi. Yang

diinginkan untuk mengetahui bagian – bagian yang lain, dimana yang satu

harus diturunkan atau diperoleh dari yang lain, tapi mengetahui juga

bagaimana semuanya adalah suatu bagian dari keseluruhan aturan yang

terhubung memudahkan seseorang untuk mengingatnya. Mereka lebih dari

belajar, jika belajar dengan menggunakan koneksi serta aturan, meskipun

untuk mempelajari sesuatu yang disajikan perbagian-bagian secara terpisah,

sekali belajar, akan lebih kekal hasilnya sehingga mereka membutuhkan

sedikit saja untuk belajar kembali tentang sesuatu tersebut yang terkoneksi

dalam jangka waktu yang sama sekali tidak panjang.

Mengajari untuk memiliki pemahaman relasional mungkin juga

melibatkan beberapa materi yang aktual. Sebelum mengajarkannya,

penjelasan perlu dikutip oleh guru untuk mengarahkan ke sebuah pernyataan

tertentu, “keliling lingkaran = π.d “. Untuk mengajarkan hal tersebut

dengan pemahaman relasional ini, maka gagasan tentang pembagian harus

diajarkan terlebih dahulu ke siswa, dan ini mungkin memperpanjang

pekerjaan daripada mengajarinya langsung dengan memberikan rumus.

Namun pembagian seperti ini ternyata memiliki aplikasi lain yang lebih luas

, menjadikan alasan yang layak untuk mengajarkannya. Dalam matematika

relasional hal ini tidak sering dilakukan. Suatu ide atau gagasan diperlukan

untuk memahami topik – topik tertentu berubah menjadi dasar untuk

memahami topik – topik yang lain. Himpunan, pemetaan dan kesetaraan

( ekivalensi ) adalah beberapa contohnya. sayangnya , manfaat yang

mungkin datang dari cara mengajar mereka itu sering hilang karena mereka

11

mengajarkannya sebagai topik yang terpisah-pisah, bukan sebagai konsep

dasar yang dapat saling berhubungan dengan materi sebelumnya sebagai

keseluruhan matematika.

3. Pengetahuan relasional itu dapat efektif sebagai tujuan itu sendiri.

Terdapat sebuah data empiris, berdasarkan data dari penelitian

terkontrol dengan tanpa menggunakan materi matematika. Kebutuhan akan

penghargaan dan hukuman sangat berkurang, menyebabkan sisi motivasi dari

pekerjaan seorang guru lebih mudah

4. Skema relasional bersifat organik dalam kualitas

Ini merupakan cara terbaik yang telah Skemp rumuskan tentang

kualitas, yaitu mereka tampak bertindak sebagai agen pertumbuhan mereka

sendiri. Hubungan dengan ketiga hal tersebut adalah jika seseorang

mendapatkan kepuasan dari pemahaman relasional, mereka tidak hanya

mencoba untuk memahami materi baru yang diberikan kepada mereka secara

relasional, tapi secara aktif juga mencari materi baru dan menjelajahi daerah

yang baru, seperti pohon yang memperpanjang akarnya atau hewan yang

menjelajahi wilayah baru untuk mencari makanannya. Untuk mengembangkan

ide ini adalah melampaui analogi yang berada di luar lingkup tulisan ini, tapi

terlalu penting untuk ditinggalkan/ diabaikan.

Jika keadaan di atas adalah seperti sesuatu penggambaran kasus yang

wajar untuk kedua belah pihak ( instrumental dan relasional ), maka akan muncul

bahwa beberapa kasus mungkin ada matematika yang berperan jangka pendek dan

dalam konteks yang terbatas , namun ada juga matematika yang berperan jangka

panjang dan dalam konteks keseluruhan pendidikan anak. Jadi mengapa banyak

anak hanya diajarkan matematika secara instrumental sepanjang karir sekolah

mereka ? . jika kita tidak dapat menjawab pertanyaan ini, maka ada sedikit

harapan untuk memperbaiki situasi tersebut.

12

Seorang guru mungkin membuat pilihan yang masuk akal untuk

mengajarkan pemahaman instrumental berdasarkan pada satu atau lebih alasan

berikut :

1. Pemahaman relasional membutuhkan waktu yang lama untuk dicapai, dan

semua siswa membutuhkan teknik tertentu untuk mencapainya

2. Pemahaman relasional sangat sulit untuk topik – topik tertentu, tapi siswa

membutuhkan topik tersebut untuk ujian

3. Sebuah kemampuan diperlukan untuk mempelajari pelajaran yang lain (seperti

ipa ) sebelum kemampuan tersebut dapat dipahami secara relasional dalam

skema siswa

4. Dia adalah seorang guru SMP dimana semua yang diajarkan pada SMP adalah

instrumental

Semua ini menyiratkan, bahwa guru yang membuat pilihan tersebut

mampu mempertimbangkan tujuan alternatif tentang pemahaman yang ingin

diperolehnya baik pemahaman instrumental maupun relasional berhubungan

dengan situasi tertentu. Untuk membuat pilihan seperti ini menyiratkan kesadaran

guru tentang perbedaan pemahaman relasional matematika itu sendiri. Jadi tidak

ada lagi alasan guru kurang memahami tentang pemahaman relasional. Kita harus

menghadapi fakta bahwa mayoritas hal ini tidak ada dalam kebanyakan guru yang

mengajar matematika.

Faktor situasi yang menyebabkan sulitnya pengajaran dengan pemahaman

relasional adalah :

1. Dampak buruk pelaksanaan ujian

Mengingat pentingnya ujian untuk siswa bekerja di masa depan, seseorang

tidak dapat menyalahkan siswa jika sukses dalam belajar adalah salah satu

tujuan utama mereka. Cara kerja siswa tidak bisa dipengaruhi oleh tujuan

mereka bekerja kelak dengan melihat banyaknya pertanyaan yang terjawab

dengan benar oleh siswa

2. Silabus lebih terbebani

Bagian dari masalah ini adalah terlalu banyaknya isi matematika yang

diajarkan. Pernyataan matematika dapat dipadatkan menjadi satu baris tidak

sebanyak satu atau dua paragraf pada suatu topik. Matematikawan terbiasa

13

menangani ide-ide matematika secara terkonsentrasi, hal ini yang sering

diabaikan ( yang mungkin menyebabkan mengapa pengajar matematika

memberi pelajaran dengan terlalu cepat). Seorang yang bukan matematikawan

tidak menyadari hal tersebut. Apapun alasannya, sebagian besar dari

keseluruhan silabus akan menjadi lebih baik jika jumlah materinya dikurangi

sehingga terdapat banyak waktu untuk mengajarkan suatu materi dengan baik.

3. Kesulitan menilai apakah seseorang menggunakan pemahaman relasional atau

pemahaman instrumental.

Dari hasil yang terlihat di kertas, sangatlah sulit untuk membuat penilaian

yang akurat tentang proses mental yang dilakukan siswa, sama seperti sulitnya

mengkaji suara dalam pembelajaran matematika. Dalam sebuah pembelajaran,

berbicara atau mewawancarai siswa adalah cara terbaik untuk menilainya, tapi

jika kelas berisi lebih dari 30 siswa maka akan menimbulkan kesulitan tentang

waktunya.

4. Kesulitan secara psikologis yang besar bagi guru untuk merekonstruksi skema

yang telah ada dan telah mereka gunakan sejak lama, bahkan untuk sebagian

kecil guru yang tahu bahwa mereka perlu, ingin untuk melakukannya, dan

memiliki waktu untuk mempelajarinya.

Dari sebuah resensi artikel oleh Sir Hermann Bondi (1976) berisi diskusi

praktisi, intelektual dan para penilai budaya pendidikan matematika, memuat

tiga paragraf:

Sejauh tinjauan Skemp tentang bersinarnya matematika telah

menunjukkan titik penting ; bahwa begitu banyak terjadi penolakan

terhadap matematika, beberapa kasus penolakan berubah menjadi

ketakutan terhadap matematika.

Sikap negatif terhadap matematika, yang sayangnya begitu umum

terjadi, bahkan terjadi di antara orang – orang yang berpendidikan tinggi.

Hal ini adalah kegagalan terbesar kita dan bahaya nyata bagi masyarakat

kita.

Ini mungkin merupakan indikasi yang paling jelas bahwa ada

sesuatu yang salah, dan memang sangat salah dengan situasi ini. Tidaklah

sulit untuk menyalahkan pendidikan yang merupakan bagian dari

14

tanggung jawab, lebih sulit lagi untuk menentukan kesalahan, dan bahkan

lebih sulit lagi untuk menyarankan sebuah perbaikan yang baru (all on p.

8)

Jika untuk sekedar “menyalahkan maka kita dapat mengganti

penyebabnya”, muncul keraguan kecil bahwa kegagalan mengajar matematika

relasional secara luas ( dapat ditemukan pada pendidikan dasar, menengah dan

lanjut, dan pada kursus – kursus baik kursus modren atau tradisional ) dapat

diidentifikasi sebagai penyebab utamanya. Untuk menyarankan solusi baru

memanglah sulit, tapi mungkin bisa berharap bahwa pendiagnosisan merupakan

salah satu langkah terbaik untuk mengobati kegagalan tersebut. Langkah yang lain

akan ditawarkan pada bagian berikutnya.

SEBUAH FORMULASI TEORITIS

Tidak ada sesuatu yang paling bagus untuk mengarahkan sebuah aksi

dalam sebuah situasi yang kompleks dan untuk mengkoordinasi sebuah upaya

yang satu dengan yang lainnya, sebagai sebuah teori. Semua guru yang baik

membangun sendiri pengetahuannya secara empiris, dan mengabstraknya dari

beberapa prinsip umum yang digunakan oleh mereka sebagai sandaran. Namun

ketika pengetahuan mereka masih tetap dalam bentuk ini sebagian besar masih

berada pada tingkat intuitif individual, dan tidak dapat dikomunikasikan, baik

untuk alasan ini dan dikarenakan karena tidak ada struktur konseptual ( skema)

yang dipakai dalam jangka waktu yang bersamaan yang dapat disusun.

Kemungkinannya adalah, upaya individu tersebut diintegrasikan secara terpadu ke

dalam suatu pengetahuan yang akan tersedia untuk digunakan oleh guru baru. Saat

ini sebagian besar guru belajar dari kesalahan mereka sendiri.

Untuk beberapa waktu pemahaman Skemp sendiri tentang perbedaan

antara dua jenis pembelajaran yang mengarah ke matematika relasional dan

instrumental masih tetap pada tingkat intuitif, meskipun Skemp pribadi meyakini

bahwa perbedaan adalah suatu hal yang penting, dan pandangan ini dianut oleh

kebanyakan dari orang – orang yang Skemp ajak untuk membicarakan hal ini.

Kesadaran akan perlunya menyusun pemahaman secara eksplisit dipaksakan ke

Skemp dalam sebuah proyek penelitian paralel, dan kemudian sebuah wawasan

15

datang secara tiba – tiba selama konferensi baru – baru ini. Tampaknya terlihat

cukup sederhana, namun mengapa Skemp tidak memikirkan hal tersebut

sebelumnya. Namun ada dua kesederhanaan yang dapat menyatukan, yaitu

kenaifan yang mampu menembus dan melampaui perbedaan – perbedaan yang

sangat tampak. Itu adalah teori kedua yang baik untuk ditawarkan meskipun lebih

sulit untuk mencapainya.

Sebuah contoh konkret diperlukan untuk memulainya. Ketika Skemp pergi

untuk tinggal di sebuah kota tertentu untuk pertama kali, Skemp mempelajari

dengan cepat beberapa rute tertentu. Skemp belajar untuk menentukan rute antara

tempat Skemp tinggal dengan kantor universitas tempat Skemp bekerja, antara

Skemp tinggal dengan ruang tempat makan Skemp di universitas, antara kantor

teman Skemp dan ruang tempat makan, dan dua atau tiga rute lainnya. Pendek

kata, Skemp belajar tentang sejumlah perencanaan tertentu di mana Skemp bisa

dapatkan dari tempat awal Skemp ke sebuah tempat tujuan tertentu.

Segera setelah Skemp mempunyai waktu luang, Skemp mulai

mengeksplor kota itu. Sekarang Skemp tidak ingin mendapatkan sesuatu yang

khusus, tapi untuk mempelajari sekitar Skemp, dan dalam proses untuk melihat

apakah Skemp akan menjumpai sesuatu yang menarik. Tujuan Skemp kali ini

adalah satu, untuk membangun peta kota ini secara kognitif di pikiran Skemp.

Ini adalah dua kegiatan yang sangat berbeda, bagi pengamat luar, sulit

untuk membedakan kegiatan ini. Orang lain yang melihat Skemp berjalan dari A

ke B akan menemui kesulitan besar untuk mengetahui (tanpa bertanya ke Skemp )

yang mana dari kegiatan yang kedua Skemp terlibat didalamnya. Tapi yang

terpenting dari kegiatan ini adalah tujuannya. Dalam satu kasus tentang tujuan

Skemp sampai ke B, yang merupakan lokasi fisik yang Skemp tuju. Di sisi lain

kegiatan itu memperbesar atau mengkonsolidasikan peta kota ini di proses mental

Skemp dan inilah pembangunan pengetahuan.

Seseorang dengan sejumlah rencana dapat menemukan cara dari beberapa

titik awal ke tujuan tertentu. Karakteristik dari rencana ini memberitahukan

kepadanya apa saja pilihannya : belok kanan setelah keluar dari pintu, lurus

melewati gereja, dan seterusnya. Namun jika dia membuat sebuah kesalahan, dia

16

akan hilang dan akan tetap hilang jika dia tidak mampu untuk mengusut kembali

langkahnya dan pergi kembali ke jalan yang benar.

Sebaliknya, seseorang dengan peta mental sebuah kota mempunyai

beberapa hal yang dihasilkannya, kapan dibutuhkan, hampir keseluruhan dari

sejumlah rencana yang memandu langkahnya dari mulai sampai tiba di titik

tujuan, hanya dengan membayangkan peta dalam pikirannya. Dan jika dia salah

berbelok, dia akan tetap tahu dimana dia berada, dan memungkinkan untuk

mengoreksi kesalahannya tanpa dia hilang dulu.

Analogi antara perjalanan dengan mempelajari matematika sangatlah

dekat. Jenis pembelajaran matematika instrumental terdiri dari pembelajaran

untuk meningkatkan sejumlah rencana tertentu, dimana siswa dapat menemukan

cara mereka dari titik awal tertentu ( dari data ) untuk memenuhi titik tujuan

(jawaban sebuah pertanyaan ). Rencana tersebut memberitahu ke mereka setiap

apa yang dipilihnya, seperti pada benda konkret. Dan sebagai benda konkret, apa

yang harus dilakukan selanjutnya ditentukan sepenuhnya oleh situasi lokal.

(ketika kamu melihat kantor pos, belok kiri. Ketika kamu menjumpai sebuah

kurung, kumpulkanlah. Tidak ada kesadaran hubungan secara menyeluruh antara

tahapan secara berturut-turut, dan tujuan akhir. Dan dalam kedua kasus,

pembelajar tergantung pada pemandu luar untuk mempelajari setiap cara baru

untuk sampai ke tujuan itu.

Berbeda dengan pembelajaran matematika relasional terdiri dari

pembangunan struktur konsep ( skema ) yang diproses ( sesuai prinsip) dapat

menghasilkan tak terbatas rencana untuk mendapatkan banyak titik awal didalam

skemanya untuk menyelesaikan beberapa tujuan.

Pembelajaran relasional berbeda dengan pembelajaran instrumental

1. Pembelajaran relasional adalah cara menjadi independen dari tujuan tertentu

yang akan dicapai ( sehingga )

2. Membangun skema dalam area tertentu maka pengetahuan menjadi tujuan

yang secara instrinsik dapat memuaskan dirinya sendiri

17

3. Skema siswa yang lebih komplet, semakin besar rasa percaya diri dalam

kemampuan diri sendiri untuk menemukan cara baru untuk mencapai

tujuannya tanpa bantuan dari pihak luar

4. Tapi skema tidak pernah komplet. Seperti skema kita yang terus membesar,

maka kesadaran dari kemungkinan juga akan membesar pula. Sehingga

proses diri akan terus berkelanjutan ( dan berdasarkan yang ke-3) dan

menumbuhkan penghargaan diri sendiri.

Membahas kembali tentang “Argumen yang menyesatkan”, hal itu adalah

adil untuk menanyakan apakah kita memang membicarakan dua subyek,

matematika relasional dan matematika instrumental, atau hanya dua cara berpikir

tentang kesamaan subyek. Menggunakan analogi konkret, dua proses mungkin

mendeskripsikan dalam dua cara yang berbeda untuk mengetahui sebuah kota

yang sama, pada kasus ini perbedaan dibuat antara pemahaman relasional dan

pemahaman instrumental akan menjadi akurat, namun tidak antara matematika

instrumental dan matematika relasional.

Yang merupakan pokok matematika bukan hanya materi pelajarannya,

tetapi jenis tertentu pengetahuan tentang hal itu. Hal pokok dari matematika

relasional dan matematika instrumental mungkin saja sama : mobil berjalan

dengan kecepatan tetap antara dua kota, menemukan tinggi menara, benda jatuh

bebas karena gravitasi dan seterusnya. Tapi dua jenis pengetahuan tersebut adalah

berbeda sehingga Skemp memikirkan bahwa ada kasus yang kuat untuk

menganggap dua jenis pengetahuan itu sebagai jenis matematika. Jika perbedaan

ini diterima ,maka kata ‘matematika’ bagi kebanyakan anak – anak adalah sebuah

teman palsu karena untuk menemukannya mereka membutuhkan biaya.

18