richard r. skemp psikologi p. math. (terjemahan)

8/19/2019 Richard R. Skemp Psikologi P. Math. (Terjemahan)

1/68

TERJEMAHAN

PSIKOLOGI BELAJAR MATEMATIKA

(RICHARD R. SKEMP)

Di susun oleh:

PASUKAN MASCOT 2012

(Pend. Matematika A FMIPA UNY 2012)

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA


2/68

BAB I

PENGENALAN

Saat ini, banyak perhatian dan kegiatan yang berkaitan dengan pembelajaran matematika. Di

banyak bagian dunia, proyek, topik dan metode baru dalam pembelajaran metematika telah banyak

diperkenalkan dan matematika modern menjadi ungkapan yang dapat diterima.

Matematika di sekolah merupakan kumpulan aturan-aturan yang tidak mudah dipahami,

sehingga dibutuhkan adanya perubahan. Akan tetapi, perubahan tidak selalu membawa ke arah yang

lebih baik, dan pengenalan topik baru tidak akan secara otomatis membawa pemahaman yang lebih

baik jika masih mengajar dengan cara lama yang sama buruknya.

Beberapa pembaharu mencoba untuk menyajikan matematika sebagai suatu perkembangan

logika. Pendekatan ini patut dipuji karena menunjukkan bahwa matematika masuk akal dan tidak

berubah-ubah, tetapi pendekatan ini memiliki dua kesalahan. Pertama, pendekatan ini

membingungkan pendekatan logis dan psikologis. Tujuan utama penyajian secara logis adalah untuk

meyakinkan yang ragu; dan tujuan utama penyajian psikologis adalah untuk memberikan pemahaman.Kedua, pendekatan ini hanya memberi hasil akhir dari penemuan matematika dan gagal untuk

membawa siswa ke dalam prosesnya.

Permasalahan dari proses belajar mengajar adalah masalah psikologi. Dan sebelum kita dapat

membuat banyak perbaikan dalam pengajaran matematika, kita perlu tahu lebih banyak tentang

bagaimana itu belajar.

Bagian pertama buku ini akan menjelaskan tentang apa itu pemahaman dan dengan cara apa

kita dapat mewujudkannya. Kita pasti tahu, apakah kita paham akan sesuatu atau tidak, dan sebagian

besar kita memiliki keyakinan bahwa hal itu penting. Apa yang terjadi ketika kita paham, tidak akan

terjadi jika kita tidak paham. Kadangkala, kita berpikir bahwa kita telah memahami sesuatu, tetapi

ternyata kita tidak paham. Jadi, sampai kita memiliki pemahaman yang lebih baik, kita akan berada

dalam posisi yang lebih miskin, salah satunya dalam memahami matematika.

Tentunya kemampuan utama yang diperlukan untuk matematika adalah kemampuan untuk

membentuk dan memanipulasi ide-ide abstrak , dan pasti kemampuan ini bertepatan erat dengan apa

yang kita maksud dengan kecerdasan.

Kebiasaan Belajar dan Cerdas Belajar

Ada perbedaan kualitatif antara 2 jenis pembelajaran yang bisa kita sebut kebiasaan belajar , atauhafalan - hafalan , dan belajar yang melibatkan pemahaman , yang mengatakan belajar cerdas .

a.

Yang pertama dapat direplikasi di laboratorium tikus atau merpati , dan untuk berbagai

alasan (seperti tingkat kontrol yang lebih eksperimental yang mungkin) psikolog

kontemporer telah lama tampaknya lebih memilih untuk mempelajari pembelajaran

semacam ini . Sebagai Profesor Ben Morris menulis , ' ... sebagian besar bekerja pada

pembelajaran secara umum adalah dalam hal spesies sederhana dari homo sapiens dan tidak

signifikan relevan dengan jenis pembelajaran dengan mana pendidikan yang bersangkutan ' .


3/68

b. Yang kedua jenis pembelajaran adalah bahwa di mana siswa paling unggul , dan di mana dia

paling berbeda dari semua spesies lain . Sekarang , kecerdasan adalah subjek yang telah lama

baik ke depan di penelitian psikologis. Namun penelitian di bidang ini telah di utama telah

diarahkan baik terhadap psikometri atau kontribusi relatif dari keturunan dan lingkungan

pada kecerdasan: sambil belajar teori miliki, sampai saat ini , sebagian besar mengabaikan

interaksi antara kecerdasan dan belajar

Untuk psikolog yang tertarik dalam belajar cerdas, yang berarti pembentukan struktur konseptual

dikomunikasikan dan dimanipulasi dengan cara simbol , * matematika menawarkan apa yang mungkin

merupakan contoh yang paling jelas dan paling terkonsentrasi . Dalam mempelajari pembelajaran dan

pemahaman matematika , kita sedang mempelajari fungsi kecerdasan dalam apa yang sekaligus murni

khususnya , dan juga tersedia secara luas .

Apakah kecerdasan i tu ?

Belum ada kesepakatan umum di kalangan psikolog tentang bagaimana mungkin kecerdasan

didefinisikan . Sebuah diskusi lengkap dari topik ini adalah di luar lingkup , atau kebutuhan, diberikan

oleh Vernon : ' . Kecerdasan B adalah jumlah kumulatif dari skema atau rencana mental yang dibangunmelalui interaksi individu dengan lingkungannya , sepanjang peralatan konstitusionalnya

memungkinkan ' ^

Dua istilah di sini memerlukan penjelasan lebih lanjut : ' Intelijen B ' , dan ' skema ' . ' Intelijen

B ' adalah istilah yang diperkenalkan oleh Hebb tahun 1949 . Dengan kata ini : "Dari sudut pandang ini

tampaknya kata " kecerdasan " memiliki dua makna yang berharga .

( A ) Potensi bawaan , kemampuan untuk pengembangan , properti sepenuhnya bawaan yang

berjumlah milik otak yang baik dan metabolisme saraf yang baik .

( B ) Fungsi otak dimana pembangunan telah berlangsung , menentukan tingkat rata-rata kinerja

pemahaman oleh menyimpang tumbuh atau dewasa orang . tentu saja, diamati secara

langsung , tetapi kecerdasan A , potensi asli ' * Istilah "kecerdasan B ' telah menjadi banyak

digunakan juga dalam konteks fungsi mental

Matematika dan Inteli jen B

Matematika adalah contoh yang sangat baik dari intelijen B. Ada dua alasan untuk ini .

Pertama pembelajaran matematika menghasilkan banyak dan jelas contoh perkembangan skema itu

total Lalu, merupakan kecerdasan digambarkan oleh Vernon. Kedua , penerapan matematika untuk

masalah ilmu alam , teknologi dan perdagangan begitu kuat bahwa matematika muncul sebagai salah

satu yang paling , mungkin yang paling , sangat dikembangkan alat mental yang tersedia bagi kita

untuk berurusan dengan lingkungan fisik kita . Jika kecerdasan B adalah kecerdasan jika berfungsi

pemahaman , memprediksi dan mengendalikan lingkungan pisikal kita , maka matematika

mencontohkan intelijen B di salah satu perkembangan yang paling sukses nya .

Potensi yang belum di realisasi homo sapiens

Spesies kita sendiri , Homo sapiens , adalah terobosan baru dalam evolusi . Tapi intelijen di

dalam kebohongan keunggulan kami tetap , dalam banyak kebudayaan , sebagian besar belum


4/68

direalisasi . Tidaklah berlebihan untuk mengatakan bahwa perbedaan standar material antara

teknologi paling primitif , adalahsama besar atau lebih besar dari perbedaan antara yang terakhir dan

merupakan spesies tertinggi dari spesies hewan lainnya . yang terlebih dahulu, perbedaan hasil tidak

dari perbedaan dalam kecerdasan A , tentang bukti yang masih cukup meyakinkan , tetapi dari

perbedaan dalam kecerdasan B , karena hal inilah yang efektif dalam mengendalikan lingkungan .

Tetapi bahkan dalam budaya-budaya di mana , melalui sekolah , perguruan tinggi, percetakan

, penyiaran, dan sarana lainnya , potensi kecerdasan A lebih lengkap direalisasikan sebagai fungsi

intelijen B, proses perkembangan masih hampir seluruhnya didasarkan pada tradisi dan pendapat

daripada pengetahuan ilmiah dan penelitian. Jika kita mampu sadar dan sengaja untuk mendorong

pertumbuhan kecerdasan B , siapa yang tahu langkah apa yang selanjutnya yang dilakukan peradaban

kita? Dan jika kita ingin mengetahui bagaimana cara terbaik untuk melakukan hal ini , mana yang

lebih baik yang dapat kita pelajari proses atau pada pembelajaran matematika? Kemungkinan jangka

panjang penyelidikan yang sekarang kitamemulai sama pentingnya dengan itu.


5/68

BAB II

PORMASI KONSEP MATEMATIKA

ABSTRAKSI DAN KLASIFIKASI

Istilah “konsep” sering digunakan, tetapi tidak mudah untuk didefinisikan. Karena tidak ada

definisi secara langsung dan tepat untuk mengartikan kata “konsep” itu sendiri. Konsep matematika

adalah sebuah pengertian yang abstrak. Untuk dapat menangkap pengertian konsep tersebut akan

dimulai dengan contoh-contoh. Pada kasus perkembangan bayi masa pra-verbal dapat dijelaskan

sebagai berikut: pertama, seorang bayi yang berumur 12 bulan, ketika ia mendapati botol susunya

yang kosong, ia merangkak menghampiri dua botol anggur yang kosong kemudian ia meletakan botol

susunya di samping kedua botol tersebut. kedua, seorang bayi berumur 2 tahun, dia melihat bayi lainmerangkak, kemudian membelai kepalannya dan menepuk-menepuk punggungnya. (dia melakukan

ini karena dia melihat kebayakan orang lain memperlakukan yang sama kepada anjing, tetapi tidak

pernah melihat sebelumnya perlakuan pada bayi yang lainnya).

Dari contoh kasus di atas dapat di simpulkan: pertama, mereka mengklasifikasikan sesuatu

berdasarkan pengalaman-pengalaman sebelumnya. Kedua, memasangkan dari pengalaman mereka

kedalam beberapa kelompok .

Kitapun melakukan hal yang sama yaitu: kita mengambil pengalaman yang lalu untuk kita

terapkan pada situasi saat ini. Aktivitas ini secara otomatis akan kita lakukan secara berkesinambungan

atau terus menerus.

Pada tingkatan bawah, kita mengelompokan setiap kali kita mengenal sebuah objek sebagai

salah satu yang telah kita lihat sebelumnya. Dan ternyata tidak semua pengalaman ini sama, sampai

kita dapat mengetahui perbedaan–perbedaan itu secara nyata. Dari perubahan ini kita

mengabstrasikan ke dalam keberagaman sifat dan sifat-sifat ini masuk kedalam ingatan kita dalam

jangka waktu yang lebih lama dari pada sesuatu yang kita lihat secara sepenggal-sepenggal dari suatu

objek. Seperti pada diagram berikut: (gambar hal.20)

C

C1 C2 C3 C4

C1, C2, C3... Cn menggambarkan pengalaman-pengalaman yang terdahulu tentang sejumlah

objek yang mempunyai kesamaan yang disebut Parti cular chai r. Dari sini kita mengabstrasikan sifat-

sifat umum dari objek-objek itu seperti yang di tunjukan oleh C. Ketika sebuah abstraksi itu terbentuk

maka pengalaman-pengalaman yang lain akan mudah untuk kita bedakan apakah pengalaman itu


6/68

masuk kedalam abstraksi kita atau di luar abstrasi kita. Jika pengalaman itu diluar abstraksi kita, maka

kita akan membuat abstraksi yang baru dan proses ini akan berulang-ulang. Sehingga kemampuan kita

semakin cepat dalam melakukan abstraksi. Sebagai contoh: meja, karpet, lemari kita abstraksikan

kedalam kelompok perabotan, tanpa melihat pertimbangan-pertimbangan yang lain. Penamaan dari

pengkelompokan objek ini, mempunyai kelebihan atau kekurangan. Kita seharusnya bisa

mengklasifikasikan suatu objek berdasarkan fungsi dan kegunaan, hubungan, waktu penggunaan dan

mungkin juga berdasarkan simbol.

Kita lanjutkan ke abstraksi lebih lanjut. Dari kursiC, C’, C” , kita mengabstraksikan lebih lanjut

dalam variasi lain, yaitu Ch sebagai anggota golongan ini. Hal ini disebut abstraksi kedua (dari

kelompok abstraksiC, C’, C” ) yang diberi nama kursi. Variasi lain ini memiliki karakteristik yang lebih

fungsional dan sedikt perceptual, yaitu lebih sedikit berkaitan dengan fisik sebuah kursi.

Ketika saya melihat keranjang-usaha, telur-bentuk, dan dari tali. Hal itu sedikit membosabkan

atau tidak mirip dengan kursi yang pernah saya lihat, tetapi saya mengenalinya saat sebagai kursi.

Dari abstraksi kursi, bersama-sama dengan abstraksi lainnya seperti meja, karpet, almari;

abstraksi lebih lanjut yaitu perabot rumah tangga, dll. Penggolongan ini tidak berarti diperbaiki.

Terutama bagi anak kecil, kursi juga digolongkan sebagai sesuatu yang dapat berdiri, peralatan senam,

dan rangka kerja dari rumah bermain. Meja terkadang digunakan sebagai kursi. Fleksibilitas dalam

penggolongan ini berdasarkan waktu, lebih tepatnya penyesuaian.

Penamaan sebuah golonogan objek memiliki kelebihan dan kekurangan. Penggolongan yang

terpenting adalah berdasarkan fungsi dan relasinya. Apa sajakah itu? Namun, saat benda digolongkan

secara khusus, kita juga sedikit mengaitkan dengan penggolongan lain. Kebanyakan, kita

menggolongkan mobil sebagai kendaraan, waktu-tabungan, dan mungkin status lambang dan

penggolongannya berdasarkan fungsinya. Beberapa juga melihatnya sebagai objek letal dan tingkah

lakuny. Oleh karena itu, sedikit dihitung daripada harus menggolongkannya.

Hal ini berguna untuk menghubungkan beberapa istilah yang digunakan lebih jauh.

Mengabstraksikan adalah suatu kegiatan yang menjadikan kita sadar akan adanya persamaan dari

sesuatu yang pernah kita lihat sebelumnya. Menggolongkan berarti mengumpulkan semua

pengalaman berdasarkan adanya persamaan. Hasil abstraksi memungkinkan kita untuk meengenali

pengalaman baru dengan melihat persamaannya lalu membentuk golongan. Ringkasnya, kita dapat

menggolongkan sesuatu dengan mendefinisikan suatu golongan. Untuk membedakan antara abstraksi

sebagai aktivitas dan abstraksi sebagai hasil, kita harus mengenal konsep. Suatu kutipan tanda

menunjukkan nama konsep tetapi hal ini tidak berarti konsep berdiri sendiri.

Dengan demikian, konsep memelukan bentuk pengalaman yang umum. Ketika membicarakan

konsep, kita juga membcarakan mengenai contohnya. Setiap konsep berasal dari pengalaman sehari-

Ch

C C’ C’’


7/68

hari dan conto bentuknya terjadi secara acak dalam konteks waktu. Kita sering menjumpai objek-objek

yang secara umum dapat dikonsepkan lebih cepat tetapi banyak faktor lain yang mempengaruhinya.

Salah satu contohnya membandingkan. Contohnya:

X mengeluarkan persepsi kita dari lima variasi bentuk O. objek yang tampak berbeda dari

sekitarnya akan lebih mudah diingat dan persamaanya lebih abstrak dalam interval ruang dan waktu.

Diagram itu juga menggambarkan fungsi bukan contoh dalam menentukan golongan. X yang

berbeda dari semua bentuk, membuat persamannya lebih diperhatikan. Karakteristik esensial dari kursi

dapat dijellaskan dengan menunjukkan bangku, dipan, tempat tidur, dan kursi taman bukanlah kursi.

Hal ini sangat bermanfaat untuk memperbaiki batas dari suatu golongan. Kita menggunakan objek

yang mungkin menjadi contoh dan bukan contoh.

Penamaan

Bahasa bagi manusia sagat erat hubungannya dengan konsep dan bentuk konsep. Kita tidakdapat melepaskan penamaan dari diskusi ini. Tentu saja, banyak orang kesulitan untuk memisahkan

konsep dengan namanya, seperti yang diilustrasikan oleh Vygotsky. Vygotsky menceritakan pada

seorang anak untuk mengubah nama dari beberapa objek, kemudian akan menanyakan pertanyaan

tentang objek itu. Seorang anak diminta menyebut seekor anjing dengan kata “sapi”. Dia kemudian

bertanya, ‘Apakah sapi memiliki tanduk?’ anak: ‘Ya.’ Peneliti: ‘Tetapi, sapi ini sebenarnya seekor

anjing.’ Anak: ‘Ya, jika anjing adalah sapi, jika itu dipanggil sapi, maka pastilah bertanduk. Begitu

anjing dipanggil sapi, maka harus mempunyai tanduk kecil.’ Vygotsky juga mengutip cerita tentang

seorang petani. Setelah mendengar dua orang siswa antronomi membicarakan tentang bintang, dia

mengatakan dia mengerti bahwa dengan bantuan peralatan, dia dapat mengukur jarak dari bumi ke

bintang dan menentukan posisinya dan pergerakannya. Permasalahannya, bagaimana mereka

menemukan kata bintang.

Perbedaan antara konsep dan nama itu adalah salah satu yang penting bagi pembahasan kita

sekarang. Konsep adalah suatu ide. Nama sebuah konsep suara, atau tanda di atas kertas, yang terkait

dengannya . Asosiasi ini dapat dibentuk setelah konsep telah terbentuk. Jika nama yang sama yang

didengar atau dilihat setiap kali contoh konsep ditemui, pada saat suatu konsep dibentuk nama telah

menjadi terkait erat dengan itu bahwa bukan hanya oleh anak-anak bahwa itu keliru untuk konsep itu

sendiri. Secara khusus , angka (konsep-konsep matematika ) dan numeral ( nama-nama yang kita

gunakan untuk angka) sangat membingungkan. Hal ini dibahas lebih lanjut dalam Bab 5 .

Dikaitkan dengan konsep, penggunaan nama yang sehubungan dengan obyek membantu kita

untuk mengklasifikasikannya. Bertujuan untuk mengenalinya sebagai kelas yang ada . ' Apa ini ? '

Sebuah jenis baru dari pembuka botol, yang bekerja dengan udara terkompresi . " Sekarang kita telah

mengklasifikasikan itu, yang kita dapat lakukan dengan sifat persepsi itu saja, jadi kita tahu apa yang

harus dilakukan. Klasifikasi ini dilakukan dengan membawa konsep pembuka botol untuk kesadaran

pada saat yang sama sebagai pengalaman baru .


8/68

Berhubungan dengan konsep, penggunaan nama dalam menghubungkan suatu objek

menolong kita untuk mengklasifikasi, yaitu untuk mengenali suatu benda termasuk ke dalam kelas

yang sudah ada. Penamaan dapat berperan secara maksimal, kadang-kadang penting, dalam

pembentukan konsep baru. Jika nama yang sama muncul dari pengalaman-pengalaman yang berbeda,

akan mempengaruhi kita untuk mengelompokkan pengalaman itu ke dalam satu pikiran kita dan

kemudian mengabstraksi kesamaan ekstrinsiknya sehingga membantu kita untuk dapat memisahkan

kelompok mereka sendiri-sendiri.

Komunikasi Konsep

Bisa kita lihat bahwa bahasa dapat digunakan untuk mempercepat pembentukan sebuah

konsep. Namun dapatkah bahasa digunakan untuk mempercepat mendefinisikan konsep yang

sederhana secara verbal? pada keadaan tertentu hal ini sering dicoba. Perhatikan contoh berikut,

misalnya kata “merah” dan bayangkan kita menanyakan arti kata ini pada orang yang buta sejak

lahir. Arti dari kata itu adalah konsep yang terkait dengan kata itu, jadi tugas kita sekarang adalah

bagaimana membuat orang tersebut mampu membentuk konsep merah dan menghubungkannya

dengan kata merah.Ada dua cara yang mungkin dapat kita lakukan, yaitu memberikan suatu definisi misalnya

“merah adalah warna yang kita nyatakan sebagai panjang gelombang cahaya pada daerah 0,6 mikro”.

Apakah sekarang dia mengerti konsep ’merah’? Tentu saja bukan. Sehingga definisi sia-sia untuknya,

dan tak diperlukan untuk yang lain. Secara intuitif, dari kasus tersebut dapat diberikan contoh

beberapa objek yang berhubungan dengan kata merah misalnya, diary merah, dasi merah, penjepit

merah dan seterusnya. Dari dua cara tersebut pemberian contoh merupakan cara yang lebih tepat pada

kasus ini untuk dapat menemukan konsep merah dan memperoleh pengalaman baru sehingga dapat

mengabstraksi sifat-sifat umum dari merah. Di sini penamaan merah tidak dipakai.

Jika ada pertanyaan “apa artinya warna?” maka dengan mudah kita menyebut merah, biru,

hijau, kuning, dan seterusnya yang disebut konsep. Jika dia telah memiliki konsep tersebut dalam

pikirannya, kehadiran konsep tersebut dipikiranya tidak cukup maka kumpulan kata warna dari

mereka yang mungkin, meskipun tidak dijamin proses ini adalah abstraksi. Penamaan sekarang

menjadi faktor penting dari proses pengabstraksian.

Sekarang kita perlu membedakan antara dua macam konsep, yaitu konsep-konsep pr imer , yang

berasal dari rangsangan misalnya merah, berat, panas, manis, dan lain sebagainya, dan konsep-konsep

sekunder yang berasal dari pengalaman yang di abstraksikan dari konsep-konsep lain. Jika konsep A

adalah contoh dari konsep B, maka kita katakan bahwa B setingkat lebih tinggi dari pada A. Secara

jelas jika A sebuah contoh dari B, dan B dari C, maka C juga lebih tinggi tingkatannya dari B dan A.

tingkat yang lebih tinggi di sini maksudnya adalah “diabstraksikan dari” (secara langsung atau tidak

langsung).

Bahwa tingkatan diantara konsep-konsep dan susunan konsep, membuat kita mampu

mengkomunikasikan sebuah konsep dengan definisi. konsep-konsep seperti warna, cahaya, hanya

dapat dibentuk jika konsep konsep seperti merah, biru, hijau dan lain sebagainya telah terbentuk. Pada

umumnya konsep-konsep dengan tingkat tinggi tidak dapat dikomunikasikan dengan pendefinisian,

tetapi hanya dengan menunjukkan contoh-contoh yang sesuai.


9/68

Apa digunakan, jika ada, kemudian, adalah definisi?

Dua kegunaan dapat dilihat sekaligus, jika itu dibutuhkan (misalnya untuk filter warna

fotografi) untuk menentukan ketetapan batas yang dapat kita sebut dengan warna merah, selanjutnya

definisi di atas akan memungkinkan kita untuk berkata dimana merah itu bermula dan berakhir. dan

setelah melangkah lebih jauh dalam proses abstaksi , yaitu pada pembentukan kelas yang lebih besar

berdasarkan persamaannya, sebuah definisi memungkinkan kita untuk menyelidiki kembali langkah-

langkah kita. Dengan menyatakan kepada semua (dan hanya mereka) kelas tentang konsep tertentu

yang kami miliki, kita dibiarkan dengan hanya satu kemungkinan konsep- satu-satunya yang kita

definisikan. Pada proses kami telah menunjukkan bagaimana kaitannya dengan konsep-konsep yang

lain secara hirarki. Definisi dapat sedemikian diperlihatkan sebagai 1 cara untuk menambahkan

ketepatan batas-batas dari suatu konsep, sekali terbentuk, dan menyatakan dengan eksplisit

hubungannya dengan konsep lain.

Konsep-konsep baru, dari orde yang lebih rendah, dapat juga dikomunikasikan pertama kali

dengan cara ini. Contohnya, jika kita seseorang yang buta bertanya ‘Apa itu warna magenta?’ dan kita

tidak dapat menemukan sebuah kepastian untuk menunjukkan warna magenta padanya, kita dapat

berkata “ini adalah warna, diantara merah dan biru, dan lebih condong ke warna biru daripadamerah.”Asalkan dia sudah memiliki konsep warna merah dan biru, dia paling tidak dapat membentuk

permulaan dari konsep magenta meski tanpa mellihat warna ini.

Karena sebagian konsep baru yang kita butuhkan pada kehidupan sehari-hari adalah konsep

dengan orde rendah, kita biasanya dapat menemukan konsep-konsep dengan tingkat tinggi yang dapat

dengan mudah dikomunikasikan dengan definisi sebagai sebuah konsep baru; sering diikuti dengan

satu atau dua contoh , yang kemudian menyajikan sebuah perbedaan- berikut ilustrasinya. “Apa itu

bangku?””Bangku adalah kursi untuk satu orang, tanpa sandaran”, adalah sebuah definisi yang cukup

baik, tetapi meskipun demikian beberapa contoh akan menentukan konsep sedemikian rupa untuk

mengecualikan kursi kaki, sofa-sofa, dan ayunan taman jauh lebih berhasil daripada menjelaskan

definisi.

Dalam matematika, bagaimanapun, tidak hanya konsep=konsep yang lebih abstrak daripada

kehidupan sehari-hari, akan tetapi arah belajarnya adlah untuk menumbuhkan kemampuan abstraksi.

Komunikasi dari konsep matematika cukup sulit, bagi komunikator maupun penerima. masalah ini

akan dibahas lagi segera, setelah topik-topik umum tertentu sudah dijelaskan.

Konsekuensi lain dari prinsip ini, kita dapat menyimpulkan bahwa konsep-konsep pada

tingkat tinggi secara hirarki tidak dapat dikomunikan kepada seseorang dengan definisi. Ini adalah,

bahwa konsep-konsep itu sendiri tidak dapat didefinisikan: untuk beberapa konsep tertentu harus

dapat menjadi contoh dari konsep ini, dan kerannya ebh tinggi daripada konsep lain. We

bagaimanapun dapat mendiskripsikan beberapa karakteristik dari konsep-konsep, mendiskusikan

bagaimana fungsinya, dan membangun pemahaman umum tentang suatu ide dengan

menguhungkannya dengan ide-ide yang lain. Hal ini memadai untuk tujuan kita, karena memang itu

harus. Saya percaya bahwa matematika tidak dapat secara pasti didefinisikan, tetapi hanya dengan

dicontohkan.


10/68

Konsep-konsep sebagai sebuah war isan budaya

Konsep tingkat rendah dapat dibentuk, dan digunakan, tanpa menggunakan bahasa.

Kriteria untuk memiliki konsep bukanlah dengan dapat menyebutkan namanya, tetapi dari

kelakuannya yang dapat menunjukkan sebuah pengelompokan berdasarkan kesamaan. hewan

berperilaku dengan cara yang satu mungkin cukup menyimpulkan bahwa mereka membentuk konsep

sederhana. Perilaku hewan dapat dibentuk dengan suatu cara sehingga kita dapat menyimpukan

bahwa mereka membentuk konsep sederhana. Seekor tikus, dilatih untuk memilih sebuah pintu

berwarna middle abu2 yang lebih condong ke abu-abu terang, jika disajikan pintu berwarna middle

abu-abu dan abu-abu gelap yang condong ke abu-abu gelap . itu memproses persyaratan data 'gelap

yang'.

Diskontinuitas paling jelas antara manusia dan hewan lain adalah bahwa manusia

menggunakan bahasa. apa ini berarti kurang jelas. jika kita memilih sebuah kata secara acak kita akan

hampir selalu menemukan bahwa konsep nama- arti kata-bukanlah objek tertentu atau pengalaman,

tapi clasa. (kata benda pengecualian parsial).

Sekarang, terdapat dua cara untuk menumbuhkan sebuah konsep; yaitu , menyebabkan ia

mulai berfungsi. Pertama adalah dengan memberi contoh-contoh dari konsep. Konsep kemudiandijadikan sebagai bentuk tindakan untuk kemudian digunakan sebagai cara kita mengkalasifikasi

contoh dan pengalaman dasar yang ditekankan adalah pengenalan . Cara yang lainnya adalah dengan

mendengar , membaca , atau kalau tidak mengetahui nama atau simbol lain , untuk konsep . Hewan

dapat melakukan pertama , dan yang kedua hanya bisa dilakukan manusia kedua . Dan alasan untuk

itu tidak terletak pada keunggulan alat vokal unggul, tetapi kemampuan untuk mengisolasi konsep dari

salah satu contoh dapat ,mereka lakukan . Hanya dengan melepas dari pengalaman sensorik dari mana

mereka berasal konsep dapat dikumpulkan bersama sebagai contoh dari konsep-konsep baru , dan

abstraksi yang lebih besar dapat dibentuk .

Kami berharap kemampuan untuk melepas ini dapat berkaitan dengan kemampuan abstraksi ,

karena semakin kuat organisasi mental yang tidak didasarkan pada data arti langsung tetapi pada

kesamaan di antara mereka , semakin besar kita akan mengharapkan kemampuannya untuk berfungsi

sebagai entitas independen . Pandangan ini didukung oleh bukti-bukti dari beberapa sumber . Anak

denganKecerdasan yang sangat rendah tidak belajar bicara , meskipun perlengkapan vokalnya

memadai. Simpanse , dikatakan paling dekat hubungannya dengan manusia, dia bisa belajar untuk

duduk di meja dan minum dari cawan , tapi tidak bicara . Manusia adalah yang paling cerdas dan

paling mudah beradaptasi daripada semua spesies . Dia juga satu-satunya spesies yang bisa bicara.

Konsep dari pengalaman yang muncul pada mereka, dan keterikatan mereka bukan untuk

bahasa, adalah inti dari superioritas manusia atas spesies lain . Ini adalah langkah pertama menuju

realisasi potensi yang kecerdasannya lebih besar. Kecerdasan membuat pembicaraan mungkin, tetapi

pembicaraan (yang harus dipelajari ) sangat penting untuk pembentukan dan penggunaan yang lebih

tinggi agar konsep secara kolektif membentuk warisan ilmiah dan budaya kita .

Konsep adalah cara pengolahan data yang memungkinkan pengguna untuk membawa

pengalaman masa lalu yang berguna pada situasi sekarang. Tanpa bahasa masing-masing individu

harus membentuk konsep sendiri langsung dari lingkungan. Tanpa bahasa, konsep-konsep primer

tidak dapat dibawa bersama-sama untuk membentuk konsep tatanan yang lebih tinggi. Dengan


11/68

bahasa, bagaimanapun, proses pertama dapat dipercepat, dan yang kedua adalah dimungkinkan.

Selain itu, konsep masa lalu, dengan susah payah diabstraksikan dan perlahan-lahan terakumulasi oleh

generasi berturut-turut, menjadi tersedia untuk membantu individu baru membentuk sistem

konseptualnya sendiri .

Pembangunan yang sebenarnya dari sebuah sistem konseptual adalah sesuatu yang setiap

individu harus lakukan untuk dirinya sendiri. Tetapi proses dapat sangat dipercepat jika, sehingga

untuk berbicara, bahan yang untuk tangan. Hal ini seperti perbedaan antara membangun perahu dari

kayu gergajian, dan harus mulai dengan berjalan kaki ke hutan, penebangan pohon, menyeret mereka

pulang, membuat papan - setelah pertama ditambang beberapa bijih besi dan dilebur untuk membuat

kapak dan gergaji !

Terlebih lagi, karya genius dapat dibuat oleh orang biasa. Konsep seperti gravitasi, hasil

penelitian oleh salah satu kecerdasan dunia telah dikenal, menjadi tersedia untuk semua ilmuwan yang

mengikuti. Orang pertama yang membentuk konsep baru ini harus mengabstraksikannya sendiri,

tanpa bantuan. Setelah itu, bahasa dapat digunakan untuk mengarahkan pikiran mereka yang

mengikuti sehingga mereka dapat membuat penemuan yang sama dalam waktu kurang dan dengan

kecerdasan kurang. Namun bahkan newton itu tidak berarti sama sekali tanpa bantuan. Ia mengatakan, dengan kerendahan hati , " jika saya telah melihat sedikit lebih jauh daripada yang lain , itu karena

saya telah berdiri di bahu raksasa ' . Struktur konseptual matematika sebelumnya dan ilmuwan yang

tersedia baginya .

Dalam konteks ini, ide umum dari suara berguna . Dengan ini dimaksudkan Data yang

relevan dengan komunikasi tertentu, sehingga apa suara dalam satu konteks mungkin tidak begitu di

lain hal. ( misalnya , jika kita mendengarkan musik ketika telepon berdering , suara bel menyampaikan

informasi bahwa seseorang memanggil kita, tapi bunyi relatif terhadap musik. ) semakin besar suara,

semakin sulit untuk membentuk konsep. Sebelum membaca, silakan memasukkan tangan Anda di atas

diagram yang berada di sisi kanan halaman berikutnya. Cobalah untuk membentuk konsep dari

contoh-contoh tinggi suara dan non - contoh. Sekarang menghapus tangan Anda dan mencoba untuk

membentuk konsep dari contoh-suara rendah dari konsep yang sama .

Dari contoh kanan jauh lebih mudah untuk melihat bahwa konsep ini memiliki garis

berpotongan . Ekstra suara pada contoh kiri sebagian berasal dari garis tambahan , tetapi sebagian

besar dari fakta bahwa masing-masing tampak seperti sesuatu .

Sebuah atribut dari kecerdasan yang tinggi adalah kemampuan untuk membentuk konsep-

konsep dalam kondisi kebisingan/ suara yang lebih besar. Tetapi sekali kita memiliki sebuah konsep,

kita bisa melihat contoh itu di mana sebelumnya kita tidak bisa.

Kekuatan pemiki ran konseptual

Pemikiran konseptual menganugerahkan pada pengguna kekuatan besar untuk

mengadaptasikan perilakunya terhadap lingkungan, dan untuk membentuk lingkungannya untuk

memenuhi kebutuhan sendiri. Ini hasil sebagian dari detasemen konsep dari kedua hadir akal - data

dan perilaku, dan manipulasi secara mandiri. Kami mengambil begitu banyak untuk diberikan bahwa

kita tidak menyadari keuntungan besar dari tidak harus melakukan sesuatu dalam rangka untuk

mengetahui apakah itu adalah hal terbaik untuk dilakukan! Tapi , tentu saja, semua kegiatan utama ,


12/68

dari mendirikan bisnis untuk membangun pesawat terbang , disatukan dalam pikiran sebelum mereka

dibangun pada kenyataannya .

Kekuatan konsep juga berasal dari kemampuan mereka untuk menggabungkan dan

menghubungkan banyak pengalaman yang berbeda , dan kelas pengalaman . Semakin abstrak konsep ,

semakin besar kekuasaan mereka untuk melakukan hal ini . Orang yang mengatakan ' Jangan buat

khawatir saya dengan teori – hanya berikan fakta-fakta ' adalah orang yang berbicara bodoh . Satu set

fakta hanya dapat digunakan dalam situasi di mana mereka berada , sedangkan teori yang tepat

memungkinkan kita untuk menjelaskan , memprediksi , dan mengendalikan sejumlah besar peristiwa

tertentu di kelas yang berhubungan.

Sebuah kontribusi lebih lanjut untuk kekuatan pemikiran konseptual berkaitan dengan

rentang perhatian kami . Memori jangka pendek kami hanya dapat menyimpan , rata-rata , 7 kata atau

simbol lainnya . ( Kisaran biasanya dikutip adalah 7 + - . 3 ) Jelas semakin tinggi urutan konsep yang

merupakan simbol-simbol ini , semakin besar pengalaman yang mereka bawa. Matematika adalah

yang paling abstrak , sehingga yang paling kuat dari semua sistem teoritis . Oleh karena itu , berpotensi

paling berguna, ilmuwan pada khususnya , tetapi juga ekonom dan navigator , bisnis dan insinyur

komunikasi , menemukan suatu alat yang sangat diperlukan (sistem pengolahan data ) untukpekerjaan mereka .

Kegunaannya adalah, bagaimanapun, hanya potensi , dan banyak yang bekerja keras dan

berusaha untuk belajar sepanjang mereka masih sekolah memberi sedikit manfaat , dan tidak ada

kenikmatan . Hal ini karena mereka tidak benar-benar belajar matematika sama sekali. Yang terakhir

adalah proses yang menarik dan menyenangkan , meskipun banyak akan menemukan ini sulit untuk

percaya . Apa yang diderita banyak anak dan siswa adalah memanipulasi simbol yang memiliki sedikit

atau tidak ada makna yang melekat , menurut sejumlah aturan hafal-menghafal. Hal ini tidak hanya

membosankan (karena berarti), itu sangat sulit, karena aturan yang tidak berhubungan jauh lebih sulit

untuk diingat daripada struktur konseptual terpadu. Titik terakhir akan diambil dalam capter

berikutnya. Di sini kita akan memusatkan perhatian pada komunikasi konsep-konsep matematika .

Belajar konsep matematika

Kebanyakan dari pengetahuan sehari-hari kita dipelajari secara langsung dari lingkungan

sekitar, dan konsep yang kita dapati tidak abstrak. Permasalahan khusus atau yang juga merupakan

kekuatan dari matematika terletak pada hebatnya keabstrakan dan keumuman yang dicapai oleh

generasi-generasi sebelumnya. Pelajar jaman sekarang harus mengolah konsep matematika yang telah

ada, bukan konsep yang masih mentah. Hal ini bukan hanya sebuah keuntungan yang tak terkira,

bahwa seorang siswa bisa memperoleh pengetahuan tentang konsep dengan cepat, padahal konsep-

konsep itu memerlukan waktu berabad-abad untuk mengembangkannya. Selain itu, hal ini juga dapat

menghadapkan kita pada suatu tantangan tertentu.

Matematika tidak dapat dipelajari secara langsung dari lingkungan sehari-hari, namun hanya

dipelajari secara tidak langsung dari matematikawan yang lain. Sisi baiknya, hal ini dapat membuat

sebagian besar pelajar bergantung pada gurunya, termasuk pada siapa saja yang menulis buku-buku

matematika. Sisi buruknya, hal ini menghadapkannya pada kemungkinan untuk memperoleh rasa

takut seumur hidup dan membenci matematika.


13/68


14/68

Dari prinsip kedua memahami matematika disebutkan bahwa dibutuhkan pengabstraksian

lebih lanjut dari konsep-konsep yang sudah dimiliki sebelumnya. Untuk melakukan ini kita harus

menemukan konsep-konsep pembantu, dan untuk setiap konsep pembantu harus ditemukan lagi

konsep pembantunya, begitu seterusnya sampai ditemukannya konsep primer dari pengalaman yang

dianggap telah diketahui. Bila hal ini telah dikerjakan, maka dapatlah dibuat sebuah rencana

pembelajaran yang cocok, yang nantinya akan disajikan kepada siswa, misalnya bisa berupa tugas.

Analisa konseptual ini melibatkan jauh lebih banyak kerja daripada sekedar memberikan

definisi-definisi. Bila hal ini dilaksanakan secara konsisten akan memberikan hasil yang

menggembirakan. Ide seperti ini, mula-mula baru diajarkan di Universitas, sekarang dianggap cukup

sederhana sehingga sudah dikenalkan pada Sekolah Dasar. Contohnya topik mengenai himpunan dan

korespondensi satu-satu. Sementara itu, ada topik yang dinggap elementer, setelah dianalisa ternyata

berisi ide-ide yang sebagian besar belum dikuasai oleh guru, seperti pada topik pecahan.

Ada dua konsekuensi lain dari prinsip kedua ini. Pertama, dalam menyusun abstraksi-abstraksi

haruslah berurutan. Sebab bila dalam suatu tingkatan tertentu konsep tidak dikuasai secara sempurna,maka pada tingkat selanjutnya akan semakin mengalami kesulitan. Keterkaitan seperti ini hanya

dijumpai pada pelajaran Matematika tetapi tidak pada pelajaran-pelajaran yang lain. Kita dapat

mengerti ilmu bumi tentang Afrika meskipun kita tidak mempelajari ilmu bumi tentang Eropa. Sejarah

abad ke-19 dapat dikuasai walaupun kita tidak mempelajari peristiwa abad ke 18. Dalam fisika, orang

bisa mengerti panas dan cahaya birapun ia tidak mengerti suara. Sedangkan untuk bisa menguasai

Aljabar harus betul-betul memahami ilmu hitung, sebab ilmu hitung mendasari ilmu aljabar. Karena

itu, belajar aljabar tanpa menguasai ilmu hitung adalah hal yang mustahil. Karena banyak siswa yang

mempelajari ilmu tidak sempurna, tidaklah mengherankan bahwa matematika menjadi sebuah buku

yang tertutup bagi mereka. Bahkan bagi mereka yang memulai (belajar) dengan baik, oleh karena

absen, kurang perhatian, atau alasan lain, dapat gagal membentuk konsep pada suatu tahap tertentu.

Akibatnya, konsep–konsep berikutnya yang tergantung pada konsep itu mungkin tidak akan pernah

dipahami. Akibat lainnya, siswa bias kehilangan ketajaman pikirannya. Tetapi, akibat yang terakhir ini

masih bias diperbaiki bila dimungkinkan untuk melakukan penjajakan kembali; misalnya kalau buku

yang dipakai memuat penjelasan yang cukup rinci dan bukan sekedar berupa kumpulan soal–soal

latihan. Berarti keberhasilan juga ditentukan sebagian oleh kemampuan siswa belajar sendiri.

Konsekuensi yang kedua adalah sumbangan konsep-konsep yang diperlukan untuk

menentukan langkah-langkah baru dalam mengabstraksi haruslah tersedia. Ini berarti bahwa kapan-

kapan saja konsep masa lalu diperlukan, konsep itu harus yang dapat diakses. Dan hal ini tidak cukup

hanya mempelajari konsep tersebut di masa lalu karena konsep itu setiap kali diperlukan. Lagi–lagi ini

berkaitan dengan tersedia atau tidaknya syarat–syarat untuk melakukan pelacakan kembali. Bagi

pemula, bimbingan guru sangat bermanfaat dalam melakukan pekerjaan ini. Sedang bagi siswa yang

aktif akan lebih baik bila melakukannya atas kesadaran sendiri. Implikasinya, suatu jawaban dari

pertanyaan mempunyai arti yang lebih banyak bagi yang bertanya dibanding yang mendengar.


15/68

Belajar dan Mengajar

Dalam belajar matematika, meskipun kita mampu mengkreasikan suatu konsep dalam pikiran

kita, namun tidak bila lepas dari konsep-konsep matematika yang ditemukan oleh ahli matematika

terdahulu. Seorang jeniuspun tidak akan melakukanya tanpa ini (konsep-konsep terdahulu). Hal ini

terutama pada tahap awal menjadikan dan pada kebanyakan siswa sangat bergantung pada pengajaran

yang baik. Untuk mengetahui apa iitu matematika, bagaimana mengajarkannya dan bagaimana

mengkomunikasikannya pada orang yang tingkat konseptualnya lebih rendah merupakan beberapa hal

yang perlu diperhatikan. Khusus mengenai bagaimana mengajarkan matematika pada orang yang

tingkat konseptualnya lebih rendah saat ini kurang mendapat perhatian. Akibatnya banyak siswa

selama sekolah tidak suka bahkan takut terhadap matematika.

Banyak usaha yang telah dilakukan untuk memperbaiki hal ini. Misalnya, dengan

memperkenalkan silabi model baru, penyajian yang lebih menarik, penyajian melalui TV dan lain-lain.

Semua usaha ini akan lebih berarti bila proses mental yang terjadi dalam matematika juga

diperhatikan. Dalam pembahasan ini, biarpun kita sedang membicarakan konsep-konsep matematika,

namun kebanyakan contoh yang dipakai adalah non matematika. Konsep-konsep matematika

dihasilkan dari beberapa pengabstraksian, disimpulkan dari abstraksi-abstraksi dan seterusnya,sehingga alas an psikologis yang semula dalam bahaya menjadi hilang oleh kekomplekkan contoh-

contoh matematika. Bahkan setelah diperiksa topik-topik sederhana seperti menghitung perkalian

panjang, banyak memuat konsep-konsep tingkat rendah.


16/68

BAB III

IDE DARI SKEMA

Meskipun dalam bab sebelumnya perhatian kita dipusatkan pada pembentukan konsep

tunggal, masing-masing dengan sifatnya tertanam dalam struktur konsep lain . Setiap (kecuali konsep

primer) berasal dari konsep lain , dan berkontribusi terhadap pembentukan dari yang lain, maka itu

adalah bagian dari hirarki. Tetapi pada setiap tingkat klasifikasi alternatif yang mungkin, mengarah ke

hirarki yang berbeda. Sebuah mobil dapat digolongkan sebagai kendaraan ( dengan bus, kereta api ,

pesawat terbang ) , sebagai simbol status ( dengan judul , alamat yang baik , mantel bulu ) , sebagai

sumber pendapatan pedalaman ( dengan tembakau , minuman , dan anjing lisensi ) ; sebagai ekspor (

dengan piringan hitam , wiski Scotch , Harris tweed ) , dll. Terlebih lagi , konsep kelas di mana kita

telah bicarakan sejauh ini tidak berarti satu-satunya jenis . Mengingat koleksi , bukan dari benda

tunggal tetapi pasangan benda , kita mungkin menyadari kesamaan antara pasangan . Sebagai contoh:

Puppy , dog ; kitten , cat ; chicken, ayam .

Di sini kita melihat bahwa masing-masing pasangan ini dapat dihubungkan dengan gagasan '... adalah muda ... ' . Contoh lain :

Bristol , Inggris ; Hull , Inggris , Rotterdam ; Belanda.

Dalam hal ini , masing-masing pasangan dapat dihubungkan dengan gagasan ' ... adalah

pelabuhan ...' . Kedua ide menghubungkan mereka sendiri adalah contoh ide baru yang disebut relasi .

Sebuah hubungan matematis dapat dilihat dalam koleksi pasangan berikut .

( 6 , 5 ) , ( 2 , 1 ) , ( 9 , 8 ) , ( 32 , 31 ) ...

Kita dapat menyebut relasi ini 'adalah salah satu lebih dari ' , atau ' adalah penerus dari ' .

Contoh lain matematika :

( 1/2 , 2/4 ) , ( 1/ 3 , 2/6 ) , ( 1/4 , 2/ 8 ) ...

Hubungan ini disebut ' setara dengan ' . Fraksi-fraksi di masing-masing pasangan , meskipun

tidak identik , mewakili jumlah yang sama . Pemberitahuan ( 1 ) bahwa dalam matematika itu adalah

biasa untuk menyertakan pasangan dalam hubungan yang diberikan dalam kurung , seperti di atas , (2

) bahwa urutan dalam pasangan biasanya penting . ini :

( 5 , 6 ) , ( 1 , 2 ) , ( 8 , 9 ) , ( 31 , 32 )

Berada dalam hubungan yang berbeda dari ini :

( 6 , 5 ) , ( 2 , 1 ) , ( 9 , 8 ) , ( 32 , 31 )

Kita bahkan dapat mulai mengelompokan hubungan ini . Mereka hubungan matematika yangdiberikan sebagai contoh di paragraf terakhir yang dipilih untuk contoh dua jenis tertentu : urutan

hubungan , dan hubungan kesetaraan . Hubungan urutan lainnya adalah : lebih besar dari , adalah

nenek moyang , yang terjadi setelah . Hubungan kesetaraan lainnya adalah : adalah ukuran yang sama

seperti , adalah saudara kandung , adalah warna yang sama dengan . Kedua hubungan urutan dan

hubungan kesetaraan memiliki sifat umum yang penting . Jadi kita tidak hanya memiliki struktur

hirarkis konsep kelas , tetapi struktur lain hubungan individu, dan kelas hubungan , yang membentuk

silang - hubungan dalam struktur pertama.


17/68

Sumber lain linkages silang muncul dari kemampuan kita untuk ' mengubah satu ide ke lain '

dengan melakukan sesuatu untuk itu .

Contoh : baik→ buruk panas→ dingin tinggi→ rendah

Contoh lain : baik→ terbaik buruk→ terburuk tinggi→ tertinggi

Ini 'sesuatu yang bisa kita lakukan untuk sebuah ide ' disebut transformasi , atau yang lebih

umum fungsi . Ada banyak jenis transformasi , dan , terlebih lagi, kita dapat menggabungkan dua

transformasi tertentu untuk mendapatkan transformasi lain (hanya salah satu dapat menggabungkan

dua nomor untuk mendapatkan yang lain ) . Misalnya dengan menggabungkan dua transformasi di

atas kita mendapatkan

Baik→ terburuk , panas→ terdingin , dll

Jadi transformasi keduanya terhubung di antara mereka sendiri , dan juga sumber lain

hubungan antara ide-ide yang mereka terapkan .

Hal tersebut di atas menawarkan singkat , dan mungkin lebih terkonsentrasi , sekilas kekayaan

dan berbagai cara di mana konsep bisa saling terkait , dan struktur yang dihasilkan . Studi tentang

struktur sendiri merupakan bagian penting dari matematika , dan studi tentang cara-cara di mana

mereka dibangun , dan fungsi , di bagian paling inti dari psikologi pembelajaran matematika .

Istilah umum psycholigical untuk struktur mental adalah skema . Istilah tidak hanya

mencakup struktur konseptual matematika kompleks, tetapi struktur yang relatif sederhana yang

mengkoordinasikan aktivitas sensorik-motorik . Di sini kita seharusnya mengaitkan dengan skema

konseptual abstrak . Bab sebelumnya telah menunjukkan bahwa konsep-konsep memiliki asal-usul

mereka dalam pengalaman indrawi , dan aktivitas motorik lebih ke arah , dunia luar . Tapi mereka

segera dilepas dari asal-usul mereka , dan pengembangan lebih lanjut berlangsung dengan interaksi

dengan matematikawan lain , dan dengan satu sama lain .

Skema memiliki dua fungsi utama .mengintegrasikan pengetahuan yang ada , dan peralatan

mental untuk mendapatkan pengetahuan baru .

Menggabungkan Fungsi dari Skema

Ketika kita mengenali sesuatu sebagai contoh dari suatu konsep kita dapat mengetahuinya pada

dua tingkat: sebagai sesuatu itu sendiri, dan sebagai anggota dari suatu golongan. Demikian juga ketika

kita melihat beberapa bagian dari mobil, dengan sendirinya kita dapat mngenalinya sebagai bagian

dari golongan mobil pribadi. Tetapi golongan konsep ini dihubungkan oleh mental skema kita dengan

skema yang sangat banyak, yang ada untuk membantu kita beradaptasi terhadap berbagai situasi yang

diakibatkan dari mobil. Andaikan mobil tersebut akan dijual, kemudian semua pengalaman kitadengan mobil ikut dijual untuk menunjang mobil tsb, pemeriksaan-pemeriksaan penampilannya

mungkin dapat terpanggil kembali, pertanyaan-pertanyaan yang harus dipertanyakan sekarang pada

mobil tersebut. Andaikan harganya di luar keseimbangan saldo bank kita saat ini, kemudian sumber

penghasilan (pinjaman bank, biaya penyewaan) datang pada pemikiran. Andaikan dengan

kemugkinan lain bahwa mobil tersebut berada di jalan, tetapi mengalami kendala (kerusakan),

kemudian hal-hal yang dapat membantu antara lain bengkel terdekat, nomor telepon yang dapat

dihubungi.


18/68

Kebanyakan skema ini sudah dihubungkan dengan konsep mobil yang sebelumnya. Tapi,

andaikan sekarang kita parkir di tepi pantai, dan mendapati roda mobil kita terbenam di pasir yang

halus. Masalah ini diselesaikan dengan skema dari pengalaman di medan lain yang mengharuskan

dijual untuk menunjang: seperti perilaku pasang, cara untuk membuat permukaan yang kuat di atas

pasir. Skema yang lain yang sudah kita miliki, menjadi kesempatan paling baik untuk meniru untuk

kejadian yang tidak terduga.

Skema sebagai Alat Pembelajaran Lebih Lanjut

Skema yang kita miliki sangat diperlukan sebagai pelengkap pengetahuan selanjutnya. Hampir

semua yang kita pelajari bergantung pada sesuatu yang sudah kita ketahui sebelumnya. Untuk

mempelajari desain pesawat terbang kita harus tahu aerodinamis, yang bergantung pada kalkulus,

yang memerlukan pengetahuan tentang aljabar, yang bergantung pada aritmatika. Untuk mempelajari

kemajuan psikologi, dibutuhkan biokimia yang memerlukan pengetahuan tentang kimia dasar. Hal ini

dan semua pembelajaran tingkat tertinggi bergantung pada dasar skema dari menulis, membaca, dan

berbicara (atau, kecuali mengomunikasikan dengan cara lain) dengan bahasa asli kita.

Prinsip ini (ketergantungan pembelajaran baru pada skema yang cocok yang sudah ada) adalahgeneralisasi dari kedua prinsip pembelajaran konseptual yang dinyatakan dalam bab 2 halaman 32.

Dalam bentuk umum, banyak hal baru yang penting yang kurang kita sadari ketika kita berpusat pada

konsep pembelajaran tertentu, meskipun dengan belajar dari pengalaman yang lalu kita menjadi lebih

paham pada konsep tersebut. Sebagai perkenalan, konsep ini akan berguna untuk melihat sebuah

percobaan yang bertujuan untuk mencoba mengisolasi faktor skema dalam belajar, lebih tepatnya

untuk mengetahui seberapa besar perbedaan skema yang cocok untuk membuat jumlah materi baru

yang dipelajari lebih banyak.

Untuk tujuan percobaan tersebut, sebuah skema buatan dipikirkan, agak mirip bahasa isyarat

Red Indian. Pada hari pertama subjek yang dipelajari mempunyai enam arti dasar dari tanda.

Pada hari kedua, pengertian diberikan untuk memasangkan atau mengelompokkan tiga simbol.

Arti dari kelompok simbol ini dihubungakan dengan arti dari masing-masing simbol tunggal,

yang dapat diperiksa pembaca. Pada hari ketiga dan keempat, kelompok yang diajarkan ditingkatkan,

pengertiannya dihubungkan dengan kelompok kecil.

Tugas terakhir pada hari keempat adalah mempelajari dua halaman simbol yang masing-

masing berisi seratus simbol pada sepuluh kelompok yang masing-masing mempunyai 8-12 simbol.

Pada satu halaman, masing-masing kelompok diberikan sebuah arti yang berkaitan dengan arti dari

kelompok kecil, seperti contoh yang diberikan. Halaman lain berisi kelompok-kelompok dengan arti

yang sama untuk membandingkan kelompok, tetapi tidak pada subjek. kelompok pembanding telah

belajar simbol yang sama tetapi mempunyai arti berbeda, dan ini sudah dibangun untuk sebuah skema

yang berbeda. Jadi tugas akhir mereka, masing-masing kelompok mempunyai skema yang cocok untuk

satu halaman. Dengan kata lain apa yang berarti untuk satu kelompok, bukan berarti mempunyai arti

pada kelompok lain, dan sebaliknya.

Ketika hasil pembelajaran dengan skema dan menghapal dibandingkan, perbedaannya

mencolok.


19/68

Pada kasus ini, metode pembelajaran dengan skema dua kali lebih teringat dari pada

menghapal, ketika diuji setelah itu, pada empat minggu ke depan, proporsinya berubah 7 kali lipat.

Belajar dengan skema tidak hanya belajar yang baik, tetapi juga baik untuk mempertahankan.

Secara objektif, dua halaman simbol sama untuk semua pelajaran. Satu-satunya perbedaan

adalah pada struktur mental yang mereka miliki untuk belajar. Jelas oleh karena itu skema yang kita

buat pada awal pembelajaran akan sangat penting untuk mengetahui kemudahan atau kesulitan untuk

menguasai topik selanjutnya. Kekita belajar skematik kita tidak hanya belajar lebih efisien, kita juga

dapat menyiapkan alat mental untuk menerapkan pendekatan yang sama untuk pembelajaran

selanjutnya, di bidang tersebut. Berikutnya menggunakannya untuk mengkonsolidasi isi skema dari

awal. Skema memberikan tiga kali lipat untuk mengingat.

Kerugian yg mungkin untuk dipertimbangkan.

Jika tugas yang dipertimbangkan dalam isolasi, skematik belajar mungkin memakan waktu

lebih lama. Aturan untuk memecahkan persamaan yang sederhana atau untuk menggunakan logaitma

capat mengingat lebih lama dari pada hanya mengerti. Sehingga jika semua ingin mempelajari yang

melakukan pekerjaan khusus, mengingat sebuah cara cepat. Satu keinginan untuk maju kemuadian

nomor dari peraturan untuk mempelajari dengan tekun lebih memberatkan sampai lebih banyak.Sebuah skema adalah lebih dari pada sebuah konsep. Lebih banyak skema matematika, semua itu

dimaksudkan untukmenyalurkan ide mengaplikasikan matematika yang secara umum. Menghabiskan

waktu memproleh itu semua tidak hanya hasil psikologi. Tetapi hasil matematika. Konteks yang

dimaksud adalah, psikologi bagus maka matematika bagus.Skema memiliki efek yang rinci pada

pengalaman kita. Tidak hanya skema yang tidak cocok sebuah atasan untuk belajar kedepan. Setiap

skema yang sudah hasil yang nyata. Mengembangkan skema berarti yang struktur individu adalah

pengalaman masa lalu mereka. Dan skema harus disimilasi data baru. Skema harus d akomondasi

dengan data yang baru. Ini akan enjadi sulit , dan jika ini fatal maka setiap tidak dapat diatasi. Tidak

hanya konsep baru untuk dimengerti pada pengalam baru mereka dan juga terdiri dari konsep dasar

yang khusus. Skema terdiri dari hasil yang berdiri sendiri dan dapat mengubahnya menjadi

menakjubkan. Skema memberikan perasaan kekuasaan dan membuasakan menyenanginya.

Salah satu skema matematika paling dasar yang kita pelajari adalah menghitung angka

(penjumlahan dan perkalian). Setelah belajar untuk menghitung sampai sepuluh, anak dengan cepat

berkembang menjadi dua puluh, dan bersemangat untuk melanjutkan proses. Untuk memperluas

penambahan dua digit nomor membutuhkan pemahaman tentang sistem dari penomoran berdasarkan

nilai tempat, tetapi setelah itu dikuasai, penambahan tiga, empat, lima angka lagi akan langsung

berjalan. Perkalian muncul dari penjumlahan berulang dan perkalian panjang dari perkalian

sederhana. Selama proses tersebut, asimilasi mendominasi lebih dari pada akomodasi.

Masalah muncul, ketika angka-angka pecahan yang ditemukan. Pecahan merupakan system

penomoran baru dengan karakteristik yang berbeda misalnya, jumlah tak terbatas dari fraksi yang

berbeda dapat digunakan untuk mewakili nomor yang sama. Perkalian tidak lagi dapat dipahami

dalam hal penambahan berulang. Sebelum angka-angka pecahan dapat dipahami, akomodasi utama

skema nomor diperlukan. Beberapa orang memang menjalani hidup tanpa pernah benar-benar

memahami angka-angka pecahan. Guru mereka mungkin tidak pernah memahamkan mereka dengan


20/68


21/68

Aturan : relasi dapat traversedif dan hanya jika jumlah simpul ganjil adalah nol , atau dua.

Dengan aturan ini adalah mudah untuk memverifikasi relasi yang dapat dilalui, mulai di pojok kiri atas

dan tidak bisa. Relasi yang lebih rumit menyajikan sedikit kesulitan besar.

Dua kelompok anak usia 11 tahun diperkenalkan dengan ide-ide di atas. Kelompok 1 diberi peraturan

ini , dan juga penjelasan ( yang akan diselenggarakan dari pembaca pada tahap ini ) dari alasan untuk

aturan. Kelompok 2 diberi hanya aturan. Kedua kelompok anak-anak kemudian diberi 12 masalah

semacam ini, termasuk beberapa relasi cukup rumit. Semua anak dari kedua kelompok mendapat

semua masalah yang tepat. Pada tahap ini, seseorang tidak bisa membedakan dengan hasil mereka

antara anak-anak yang mengerti alasan bagi kekuasaan dan mereka yang tidak.

Satu set lebih lanjut dari masalah relasi ini kemudian disampaikan kepada 2 kelompok , dengan satu

perbedaan kecil. Berikut adalah 4 relasi khas dari set. Masalah baru adalah mencoba untuk

menemukan mana relasiyang bisa dilalui seperti sebelumnya, tapi kali ini berakhir di titik awal untuk

mencoba menemukan aturan untuk melakukan hal ini . Sebelum membaca lebih lanjut , pembaca

mungkin peduli untuk mencobanya sendiri.

Kelompok ketiga, tanpa pengalaman sebelumnya masalah ini dan tidak ada pengetahuan

tentang aturan, juga diberikan tugas baru ini. Hasilnya , dalam hal anak-anak menemukan aturan baruyang benar , adalah :

Kelompok I

( aturan pertama dengan pemahaman )9 anak dari 12 anak 75 %

Kelompok II

( aturan pertama tanpa pemahaman )3 anak dari 10 anak 30 %

elompok III

( tidak memiliki pengetahuan

sebelumnya )

2 anak dari 12 anak 17 %

Bahwa hasil awal dari kelompok 1 dan 2 telah dibedakan, ini masalah baru menunjukkan kesenjangan

yang besar antara mereka. 75 % dari kelompok pertama lebih mampu beradaptasi dengan tugas baru,

tetapi hanya 30 % yang kedua, yang melakukan sedikit lebih baik daripada group III tanpa pengalaman

sebelumnya.Sekarang ambil selembar kertas polos dan salin di atasnya simpul hanya relasi.

Selanjutnya, menggambar relasi dimulai pada setiap titik, tanpa mengangkat titik pensil Anda dari

kertas. Perhatikan bahwa setiap kali Anda memasukkan dan meninggalkan titik, Anda menambahkan

dua busur ke nomor yang bertemu di sana, yang Anda meningkatkan agar vertex oleh dua. Lakukan

hal yang sama untuk relasi dan untuk relasi dimulai di pojok kiri.Penjelasan ini, yang tentu saja lebihsingkat dari yang diberikan kepada anak-anak, akan diharapkan memberi petunjuk yang cukup bagi

pembaca untuk memahami aturan pertama.

Saya baru-baru datang di program mahal yang disebut " Pengantar Topologi ", dipublikasikan

dengan mesin pengajaran mahal, di mana aturan pertama diberikan, dan tanpa penjelasan . Dalam

bentuk ini, tidak hanya sulit untuk beradaptasi dengan masalah jenis kedua. Hal ini tidak

memungkinkan seseorang untuk menjawab pertanyaan terkait lainnya seperti " Bagaimana kita bisa

yakin bahwa aturan ini relasi ? " , Dan terutama " Bagaimana bisa yakin bahwa relasi tersebut tidak

dapat dilalui oleh seseorang cukup pintar ? " Semua pertanyaan ini dapat dijawab oleh seseorang yang


22/68


23/68

BAB IV

KECERDASAN INTUITIF DAN REFLEKTIF

Ada sebuah anekdot tentang seorang profesor matematika yang sangat terkenal. Dia

menceritakan pengalamannya ketika menangani audien, kemudian menulis sebuah pernyataan

matematis di papan yang berbunyi: “Ini, tentu saja, ini nyata”. Dengan melihatnya lagi, dia

mengatakan “Setidak-tidaknya, saya berpikir bahwa ini nyata”. Keraguannya semakin bertambah,

kemudian dia berkata “Permisi” dan dia mengambil pensil dan kertas, kemudian keluar dari ruang

kelas sekitar 20 menit. Setelah kembali, dia berkata “Ya, saudara-saudara, ini adalah nyata”.

Secara psikologis, yang menjadi daya tarik dari cerita ini adalah tidak adanya ketepatan dan

kemantapan antara pernyataan pertama yang dapat dipercaya dengan lamanya waktu yang

dibutuhkan untuk berpikir. Setelah timbul keraguan, maka tidak akan ada lagi kepercayaan yang

didapat kembali oleh profesor tersebut. Pada pernyataan pertama, dapat diartikan “Secara intuisi kami

dapat menerima kebenaran dari pernyataan itu”. Pada pernyataan kedua, diartikan bahwa melaluianalisis logika, penerimaan secara intuisi pada pernyataan pertama dibenarkan. Menjadi yakin akan

sesuatu adalah satu hal; mengetahui mengapa sesuatu itu yakin adalah hal lain.

Contoh lain yang serupa misalnya mengalikan 16 dengan 25. Maka akan timbul pertanyaan.

1) Berapakah jawabannya? 2) Jelaskan bagaimana anda mengerjakannya! Mungkin untuk menjawab

pertanyaan pertama, kita dapat menjawab cepat, tetapi untuk menjawab pertanyaan kedua, kita akan

mengalihkan perhatian dari tugas pertama dan melibatkan proses mental dalam memperoleh jawaban

pertanyaan kedua.

Contoh lainnya yaitu penggunaan kata “i s ” pada dua kalimat berikut ini. “What I am wri ting

wi th i s chalk ” dan “Chalk is whi te ”. Maka akan timbul pertanyaan 1) Tepatkah penggunaan kata “is ”?

2) Apakah artinya sama? Pertanyaan pertama dapat segera dijawab; tetapi untuk menjawab pertanyaan

kedua kita harus memikirkan penggunaan kata “is ” dalam setiap kalimat.

Pada ketiga contoh di atas, terdapat perbedaan antara dua model fungsi kecerdasan yaitu

intuitif dan reflektif. Intuitif dapat diartikan berdasarkan bisikan hati atau bersifat intuisi, yaitu daya

atau kemampuan mengetahui atau memahami sesuatu tanpa dipikirkan atau dipelajari. Reflektif dapat

diartikan gerakan badan diluar kesadaran atau kemauan atau bersifat refleks, yaitu gerakan otomatis

dan tidak dirancang terhadap rangsangan dari luar yang diberikan suatu organ atau bagian tubuh

yang terkena.

Pada tingkat intuitif, kita menyadari bahwa melalui reseptor/ alat indera (terutama

penglihatan dan pendengaran), kita dapat mengetahui lingkungan luar. Hal ini dikarenakan, secara

otomatis data tersebut diklasifikasikan dan dihubungkan dengan data serupa yang sudah ada, dengan

I N T E R V E N I N G

M E N T A L

A C T I V I T I E S RECEPTORS

EFFECTORS E X T E R N A L

E N V I R O N M E N T


24/68

struktur konsep yang dijelaskan di Bab 2 dan 3. Dengan otot-otot yang dimiliki, kita dapat

menggerakan kerangka untuk berbuat pada lingkungan luar (deskripsi terdiri atas berkata dan

menulis). Aktivitas ini banyak dikontrol dan diarahkan oleh umban balik, informasi selanjutnya

mengenai kemajuan dan hasilnya dapat diketahui melalui reseptor luar kita. Dalam banyak kasus, hal

tersebut dapat berhasil sepenuhnya tanpa adanya kesadaran dari proses intervensi mental. Contohnya,

ketika membaca nyaring, mengemudi mobil, atau menjawab pertanyaan ‘16x25?’.

Pada tingkat reflektif, aktivitas mental yang berintervensi itu menjadi obyek kesadaran untuk

introspeksi/ mawas diri. Seorang anak bertanya kepada kita mengapa kita dalam mengucapkan kata

“accelerate” seperti “axelerate”, bukan “ackelerate”. Maka, kita akan menjelaskan (dalam hal yang

tepat untuk pendengar dan dengan contoh-contoh) bahwa pada c yang pertama diucapkan keras

karena diikuti dengan konsonan, sedangkan c yang kedua diucapkan lembut, karena diikuti e atau i.

Kemudian perlu dijelaskan lebih lanjut dengan menunjukkan ketepatan (kekonsistenan) pengucapan

kata-kata lainnya dengan kelas-kelas tertentu yang dapat diterima oleh respon. Atau, seorang siswa

yang menumpang kendaraan bertanya kepada kita “Mengapa kita harus mengubah gigi (gear )

sebelum melewati tikungan tajam?”. Seolah-olah kita telah melakukan “tanpa berpikir” (hal itu dapat

dikatakan tanpa refleksi), kita tidak memiliki kesulitan dalam menjelaskan alasan kita. Atau, setelahmenjawab dalam sekejap ‘400’ untuk pertanyaan ‘16x25’ kita mungkin akan bertanya ‘Bagaimana

kamu melakukan itu begitu cepat?’ dan setelah menjelaskan metode kita (ada banyak untuk memilih

dari), kita mungkin juga akan diminta untuk membenarkan itu – lebih dari pertanyaan pencarian,

melibatkan referansi ke properti asosiatif perkalian.

Data-data yang diperlukan untuk menjawab seluruh pertanyaan, tidak datang dari

lingkungan, tetapi dari sistem konseptual kita sendiri.

(diagram hal. 56)

Perhatian kita arahkan pada sumber data, sehingga dengan begitu mudah dan terbiasa kita

mampu melakukan aktifitas secara refleks. Dari situlah akan timbul kejutan. Kesadaran kita akan dunia

luar dapat diketahui melalui panca indera (misalnya mata, telinga, dan sebagainya) dan urat syaraf.

Tetapi tidak ada susunan syaraf yang dapat mengungkapkan sesuatu yang ekuivalen dengan “melihat”

bayangan atau “mendengar” ucapan batin kita. Kemampuan refleks ini sangat kurang pada anak-anak.

Berikut ini dua contoh karya Piaget:

1. Weng (7 tahun)

Guru : “Sebuah meja panjangnya 4 meter, kemudian 3 meja disusun memanjang. Berapa

panjang meja sekarang?”

Weng: “12 meter”

Guru : “Bagaimana kamu menghitungnya?”

Weng: “Saya menambahkan 2 dan 2 dan 2 dan 2 dan 2, dan 2”

Guru : “Mengapa 2? Mengapa tidak mengambil bilangan lain?”

2. Gath (7 tahun)

Guru: “Jika akan dibagikan 9 apel kepada 3 anak, maka berapa banyak apel yang diterima

setiap anak?”

Gath: “Tiga buah”


25/68

Guru: “Bagaimana kamu menghitungnya?”

Gath: “Saya mencoba berpikir”

Guru: “Apa?”

Gath: “Saya mencoba berpikir di kepala”

Guru: “Apa yang dipikirkan di kepalamu?”

Gath: “Saya menghitung … Saya mencoba melihat bagaimana itu terjadi dan akhirnya saya

menemukan 3”

Dengan mengetahui kemampuan anak mengerjakan suatu hal, maka kita dapat mengetahui

bagaimana dia mengerjakan hal lain. Bagaimanapun juga tergantung dari perbedaan individu, dan

penulis baru-baru ini memperolah jawaban dari seorang anak yang berusia 6 tahun 10 bulan

(mengenai pertanyaan panjang meja) yaitu “12 kaki”. “Dapatkah kamu menjelaskan bagaimana

jawabanmu?”. “Baik saya berangkat dari 3, 6, 9, 12”. Untuk pertanyaan kedua (mengenai membagi

apel) yaitu “Tiga”. “Bagaimana kamu menemukannya?”. “3 dan 3 dan 3 menjadi 9”. Kemudian secara

spontan “Cara cepatnya yaitu 3 sebanyak 3 yaitu 9”

Setelah kita mampu memikirkan pada skema kita sendiri, langkah penting selanjutnya dapatdiambil, yaitu mengkomunikasikannya dan mempersiapkan skema baru. Seseorang anak mungkin

tidak dapat menyelesaikan 16 x 25 secara cepat, tetapi setelah diberi petunjuk bahwa 16 x 25 dapat

ditulis menjadi 4 x (4 x 25) = 4 x 100 maka dimungkinkan dapat langsung menemukan jawabannya

yaitu 400. Sehingga dengan cara yang sama, diharapkan anak juga dapat menyelesaikan perkalian lain

seperti 24 x 25 secara cepat, bahkan menyelesaikan 25 x 25. Jika seorang anak dapat menyelesaikan

semua itu, ini akan menunjukkan bahwa anak tersebut telah mencapai skema sederhana dan tidak

sekedar jawaban atas pertanyaan tertentu.

Kita dapat mengganti skema lama dengan yang baru. Sebagai gambaran, jika pembaca pernah

mencoba mendorong mobil dengan boat trailer atau caravan yang digandengkan, maka dia dapat

mengapresiasi contoh non matematis berikut: Penulis menahan roda stir, sedangkan di sisi lain

pembaca menginginkan trailer maju. Hal ini tidak akan berhasil, oleh karena itu teman pengemudinya

menyarankan pendekatan alternatif yaitu jika pembaca hanya mendorongnya dengan tangan, maka

akan mengalami kesulitan menyetirnya. Kemudian bayangkan jika diri anda sendiri mendorong mobil

dengan menggunakan boat trailer yang digandengkan, maka mobil tersebut juga akan maju dengan

mudah. Substitusi skema ini ternyata sangat berhasil.

Kita dapat membenahi kesalahan dalam skema yang ada. Jika kita mengatakan “Saya melihat

kesalahan yang saya lakukan”. Ini berarti kita tidak hanya berpikir pada metode yang kita gunakan,

tetapi kita berusaha menemukan detail-detail khusus didalamnya yang menyebabkan kegagalan, yang

biasanya diikuti dengan perubahan detail-detail itu. Tetapi yang belum diketahui adalah bagaimana

kita mampu membuat perubahan pada skema kita.

(diagram hal.58)

Berikut ini contoh yang melibatkan aktifitas reflektif. Seseorang ingin mengetahui bagaimana

mengalikan dua pecahan desimal, misalnya 1,2 dan 0,57. Maka kita dapat menerangkan bahwa titik

desimal dapat dihilangkan terlebih dahulu, kemudian mengalikan 12 dan 57 dengan cara biasa, dan

langkah terakhir menyisipkan kembali titik desimal dengan cara menghitung total banyaknya angka


26/68

dibelakang titik desimal dari dua angka tersebut. Aturan ini memungkinkan anak mendapatkan

jawaban benar, tetapi siswa tidak mengetahui pengertian notasi desimal.

Setelah menyelesaikan perkalian tersebut, kita dapat melangkah ke bagian selanjutnya, tanpa

disadari kita telah menggunakan metode komunikasi. Kemudian kita dapat memutuskan metode yang

lebih baik nantinya untuk mendemonstrasikan metode yang utama, sebelum menunjukkan (atau

meminta peserta didik untuk mencari) cara cepatnya. Sehingga kita akan dapat mengkomunikasikan

skema perkalian desimal.

Jenis aktifitas reflektif yang jangkauannya lebih jauh adalah aktivitas yang mengarah pada

generalisasi matematis. Dalam proses mempelajari perkalian pangkat (sebagai contoh), kita dapat

melalukan secara langsung maupun melalui berberapa tahapan.

Jika = × kemudian = × × sehingga dengan mudah dilihat jika × = × × × × =

Sehingga dengan cara yang sama kita dapat memperoleh × = Pembagian juga menggunakan cara yang sejenis sehingga dapat di peroleh × = Setelah kita memperkenalkan cara-cara tersebut kepada anak, barulah kita memberitahukan anak

bahwa

× = ÷ =

Dimana m dan n sebagai bilangan natural (Asli)

(Sebagian teks hil ang/ dir angkum)

Proses generalisasi matematis merupakan aktifitas yang rumit dan tangguh. Rumit karena

melibatkan pemikiran pada bentuk metode di dalamnya. Sedangkan tangguh karena membutuhkan

kesadaran yang tinggi, perlu pengendali dan harus akurat. Akurat yang dimaksud, tidak hanya pada

jawaban tetapi pada langkah-langkahnya. Selanjutnya, kita menciptakan contoh-contoh baru yangsesuai dengan konsep tersebut.

Sebuah contoh yang banyak ditemui generalisasi matematika berturut adalah bilangan. Secara

historis, dan untuk pelajar individu, (menghitung) bilangan asli datang pertama. Ini adalah sifat dari

set diskrit benda (dan sebagainya dihitung), dan metode untuk menambahkan dan mengurangkan,

mengalikan dan membagi ini, yang dikembangkan selama berabad-abad, yang dipelajari dalam dekade

pertama atau begitu oleh anak-anak dari budaya kita sendiri. Selanjutnya hal-hal lain yang dihadapi

disebut 'pecahan', 'angka negatif', dan aturan yang diberikan yang diduga menjadi cara yang benar

untuk menambah dan mengurangi, mengalikan dan membagi. Benar menurut kriteria apa? Semua

terlalu sering, satu-satunya yang ditawarkan adalah bahwa apa pun guru memutuskan bahwa aturan

dimiliki, atau belum, diikuti secara benar. Dalam kasus tersebut, pemahaman telah hilang, mungkin

tidak pernah ditangkap kembali. Lebih buruk lagi, 'masuk akal' tidak lagi menjadi kriteria dimana

pernyataan matematika itu dinilai . Terburuk, pelajar lain telah yakin bahwa matematika

membosankan dan tak berarti, benar apa yang disajikan kepadanya di bawah kedok ini, tapi

matematika palsu.

Bagaimana mungkin gagasan tentang bilangan menjadi berhasil umum melalui tahapan

angka-angka pecahan, bilangan bulat, bilangan rasional, dll. Sebuah jawaban rinci diberikan dalam


27/68

Bab 10 dan 11, tetapi perlu mengambil awal di sini. Secara singkat, kita perlu merumuskan apa sifat

formal dari sistem bilangan asli. Dengan sistem bilangan asli kita berarti himpunan bilangan asli,

bersama-sama dengan operasi-operasi penjumlahan dan perkalian, dimana setiap dua anggota dari

himpunan dapat dikombinasikan (dalam satu cara atau yang lain) untuk mendapatkan anggota lain

dari himpunan. Dengan sifat formal yang kita maksud properti-properti yang tidak bergantung pada

contoh tertentu yang kita pilih. Jadi 12 + 9 = 21 dan 12 x 9 = 108 tidak sifat formal. Tapi 12 + 9 = 9

+ 12 dan 12 x 9 = 9 x 12 yang meskipun tidak dinyatakan secara umum. Kelima sifat formal sistem

bilangan asli adalah:

a + b = b + a

a x b = b x a

a + (b + c) = (a + b) + c

a x (b x c) = (a x b) x c

a x (b + c) = a x b + a x c

di mana a, b, c adalah setiap bilangan (asli). Hal ini menggoda untuk menganggap sifat ini

sebagai hal yang sepele, tetapi mereka adalah sangat dasar dari semua manipulasi numerik, seperti

yang dijelaskan dalam Bab 9. Sebagai contoh, tanpa properti pertama ukuran tagihan belanja kamiakan tergantung pada yang kami beli pertama dan tanpa ketiga, itu akan tergantung pada dua item

yang asisten tambahkan bersama pertama. Kelima sifat juga dengan bantuan notasi indeks, dasar

aljabar dasar, seperti dijelaskan pada Bab 12.

Ternilai meskipun sistem kami menghitung bilangan adalah, ia memiliki keterbatasan. Dengan

bantuan unit dapat diperpanjang untuk memungkinkan pengukuran obyek terus-menerus; tapi kami

segera menemukan bahwa angka-angka yang ada tidak mencantumkan semua yang kita perlu untuk

berurusan dengan ukuran-ukuran yang kurang dari unit. Jadi bilangan baru, sesuai dengan unit-unit

yang rusak, diperkenalkan. Tapi kami terlalu dini memanggil mereka bilangan, sebelum kita

mengeneralisasikan skema 'sistem bilangan', kita harus memenuhi dua persyaratan konsistensi dan

kegunaan. (Seorang ahli matematika murni akan puas dengan yang pertama - tetapi yang kedua

biasanya mengikuti, cepat atau lambat. Beberapa ide-ide matematika umum yang besar gagal untuk

menjadi berguna, dalam perjalanan waktu).

Konsistensi berarti bahwa kita harus menciptakan cara 'menambahkan' dan 'mengalikan'

entitas baru yang memiliki lima sifat formal yang sudah terdaftar. Kegunaan berarti bahwa hasil

manipulasi harus memberitahu kami sesuatu yang kita ingin tahu dalam hal obyek material yang

dirujuk entitas ini. Dan meskipun hal ini tidak penting, itu akan menjadi sangat membantu jika tanda-

tanda untuk entitas baru dapat dikembangkan dari tanda-tanda umum yang sudah digunakan (sama

seperti kita menggunakan huruf abjad yang ada kata-kata yang baru diciptakan), dan jika metode

untuk 'menambahkan' dan 'mengalikan' dapat memanfaatkan sejumlah besar penambahan dan

perkalian hasil yang telah kita pelajari. Semua persyaratan ini, ketika puas, memungkinkan asimilasi

dari sistem nomor baru untuk skema kita yang sudah ada dan mudah dipraktekkan.

Cara di mana mereka semua bertemu adalah subyek yang menarik, dan para pembaca yang

mengeksplorasi lebih lanjut akan belajar banyak tentang dasar-dasar pemikiran matematis. Hal yang

sama berlaku untuk pengembangan bilangan bulat positif dan negatif, bilangan rasional (sering

diidentikkan dengan angka-angka pecahan), dan bilangan real (sistem yang mencakup irrationals


28/68

seperti √ 2, π). Di sini kita prihatin terutama dengan proses daripada hasil, dan khususnya dengan

aktivitas merenungkan sifat formal dari skema yang merupakan bagian dari proses daripada hasil, dan

khususnya dengan aktivitas merenungkan sifat formal skema yang merupakan bagian dari proses

generalisasi matematika, dan yang merupakan salah satu kegiatan yang paling canggih dari kecerdasan

reflektif. Fungsi kecerdasan reflektif sangat penting untuk kemajuan matematika ke tingkat yang lebih

tinggi, dan lebih penting lagi untuk mengetahui pada usia berapa mulai muncul kecerdasan reflektif,

dan bagaimana kita dapat membantu atau mempercepat munculnya kecerdasan reflektif. Pertanyaan

pertama dapat dijawab melalui penelitian Inhelder dan Piaget yang menunjukkan bahwa anak akan

mengembangkan kemampuan untuk memikirkan pada isi (content ) selama usia 7 – 11, dan

memanipulasi ide-ide konkret dengan berbagai cara, seperti melakukan aksi (dalam imajinasi). Tetapi

mereka menemukan bahwa subyeknya tidak dapat beralasan secara formal sampai masa dewasa. Yang

berkaitan erat dengan ini, mereka menyatakan bahwa anak-anak yang lebih muda tidak dapat

membantah hipotesis meskipun hipotesis ini bertolak belakang dengan pengalaman mereka.

Dalam penelitian ini, subyek diambil secara acak di sekolah Swiss. Dapat dikatakan, penelitian

menunjukkan kemajuan perkembangan kecerdasan reflektif pada anak-anak, dengan interaksi

kemampuan bawaannya dengan pengalaman kebudayaan dan pendidikan yang mereka dapati. Apayang tidak kita ketahui saat ini adalah sejauhmana tingkat perkembangan kecerdasan reflektif dapat

membantu anak dalam belajar. Sebagai pertimbangan, kebanyakan anak belajar menyanyi secara

spontan. Seorang anak laki- laki yang menjadi anggota koor King’s College, Cambridge, atau Magdalen

College, Oxford, awalnya mendengar orang lain menyanyi kemudian menirunya. Tetapi pembelajaran

ini banyak dipercepat sehingga banyak hal yang dicapai dalam waktu singkat. Sekarang perkembangan

kemampuan reflektif dan pemberian alasan formal bukanlah subyek yang sengaja diajarkan. Hal ini

dikarenakan tidak terlalu penting dan kita tidak tahu bagaimana cara mengajarkannya, karena kita

juga belum tahu bagaimana hal itu dipelajari.

Hipotesis yang beralasan mengenai pendapat terakhir tersebut adalah adanya situasi yang

menghendaki siswa untuk merumuskan idenya secara eksplisit dan menunjukkan mereka dapat

berpikir secara logis dari ide lain dan ide-ide yang dapat diterima secara umum. Dengan kata lain,

saling pendapat dan diskusi adalah cara-cara pembelajaran yang sangat bermanfaat bagi

pengembangan kecerdasan reflektif.

Guru telah mencoba mengajarkan kecerdasan reflektif. Dalam mengajarkan suatu topik, guru

lebih menekankan pada klarifikasi pemikiran siswanya. Penelitian sederhana juga mendukung

pandangan ini. Siswa-siswa SLTP yang berusia sekitar 14 tahun diajarkan beberapa topik yang berbeda

oleh guru matematikanya. Masing-masing diberikan sebuah tes mengenai topik yang telah diajarkan,

kemudian siswa dibagi menjadi dua kelompok yang sama berdasarkan hasil tes tersebut. Kelompok

pertama mengajarkan apa yang telah mereka pelajari mengenai bilangan kepada kelompok kedua.

Siswa yang beraksi sebagai tenaga pengajar berpikir bahwa siswanya akan dites mengenai apa yang

telah diajarkan oleh mereka. Sebenarnya, pada akhir penelitian semua dites lagi atas topik yang telah

mereka pelajari. Tujuannya adalah untuk membandingkan efek pengajaran suatu topik pada orang

lain, dan terus mempraktekkannya sendiri. Hasilnya nampak sangat jelas bahwa kelompok siswa yang

menjadi tenaga pengajar mempunyai hasil tes akhir yang lebih baik.


29/68

Komunikasi muncul sebagai salah satu pengaruh yang menguntungkan pada perkembangan

kecerdasan reflektif. Salah satu faktor yang bersangkutan adalah perlunya mengkaitkan ide dengan

simbol-simbol (selengkapnya dibahas pada bab berikutnya). Faktor lainnya adalah adanya interaksi

ide-ide seseorang dengan ide-ide orang lain, tetapi ide umum yang dihasilkan kurang egosentris, lebih

bebas sesuai pengalaman individu. Sebagaimana telah dikemukakan, arah dan tujuan diskusi pada

pembelajaran adalah menjelaskan ide-ide dalam pikiran seseorang, menyebutnya dengan istilah-istilah

yang tidak menimbulkan salah paham, menyatakan hubungannya dengan ide-ide lain; memodifikasi

kelemahan pihak lain, dan akhirnya mendapatkan struktur yang lebih kuat dan lebih kohesif

dibandingkan sebelumnya.

Peringatan diinginkan di sini. Pembahasan sebelumnya telah membawa implikasi bahwa

seorang individu pada tahap intuitif, mampu berpikir mengenai gabungan bentuk dan isi, dan mampu

beralasan formal. Secara umum, jika seorang anak berada pada tahap tertentu yang seharusnya sedang

mempelajari materi A, maka ia sudah mampu menguasai materi B. Sehingga melalui tahapan-tahapan

serupa dalam setiap materi baru, mereka harus lebih cepat maju dibandingkan anak lain yang

seumuran. Setiap orang hampir tidak dapat diharapkan untuk memikirkan konsep-konsep yang belum

dibentuk, walaupun sistem reflektif seseorang dapat berkembang bagus. Sehingga tingkatan “intuitifsebelum reflektif” sebagian bisa benar untuk materi baru pada bidang studi matematika. Walaupun

kita relatif kurang mengetahui mengenai faktor-faktor yang mempengaruhi pertumbuhan kecerdasan

reflektif pada umumnya, tetapi satu hal dapat kita pastikan adalah kecerdasan reflektif pasti muncul

walaupun terlambat.

Siswa yang masih pada tahap intuitif, biasanya banyak tergantung pada cara penyajian materi

oleh guru. Jika konsep baru yang didapati sangat jauh dari skema yang ada, mungkin dia tidak mampu

mengasimilasikannya; khususnya karena tingkat akomodasi yang mungkin pada tingkat intuitif lebih

rendah daripada yang dicapai dengan refleksi. Maka pada tahap-tahap awal, guru harus menganalisis

konseptual siswa secara cermat sebagai dasar merencanakan pembelajaran, sehingga siswa dapat

melakukan sintesa struktur-struktur dalam ingatannya sendiri. Itulah hal yang harus diperhatikan,

tidak peduli apakah pembelajaran terjadi langsung oleh guru, maupun pembelajaran tidak langsung

yaitu dari buku. Pembelajaran langsung oleh guru mempunyai keuntungan yaitu pertanyaan dapat

diajukan, penjelasan dapat diberikan; dan bahkan keuntungan yang lebih besar bahwa guru yang

sensitif dapat mempersepsikan perkembangan skema tiap siswanya, dan mengajarkan materi yang

tepat sesuai dengan kondisi siswa. Pendekatan ini lebih fleksibel, disesuaikan dengan penguasaaan

siswa sehingga tidak harus tepat sesuai rencana yang telah disiapkan.

Kontribusi akhir dari guru adalah mengurangi ketergantungan siswa padanya. Contohnya,

ketika seorang anak sedang mengerjakan sebuah teka-teki ( jigsaw puzzles ) untuk pertama kalinya,

maka ibunya biasa memberi bagian-bagian yang dirasa cocok dengan apa yang telah dia tempatkan

bersama. Tetapi ketika tahap intuitif dan reflektif telah dicapai, maka anak tidak akan suka jika dibantu

dalam mengerjakan, sehingga guru harus memberi kebebasan kepada siswanya. Setelah seorang siswa

mampu menganalisis materi baru untuk dirinya sendiri, maka dia dapat mencocokan pada skemanya

sendiri dengan cara-cara yang paling berarti bagi dirinya sendiri; dan mungkin mempunyai cara yang

sama dengan apa yang disajikan oleh guru.


30/68

Dari uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa ada tiga hal yang harus dilakukan oleh tenaga

pengajar matematika, yaitu:

1. Guru harus menyesuaikan materi matematika sesuai dengan status perkembangan skema

matematis siswa.

2. Guru harus menyesuaikan cara penyajian materi sesuai dengan kemampuan berfikir

siswa.

3. Secara bertahap guru harus meningkatkan kemampuan analitiknya untuk mencerna

terlebih dahulu sebelum materi diberikan kepada siswa, ketika siswa berada pada tahap dimana

mereka tidak lagi tergantung pada guru.

Dan meskipun kami memiliki beberapa dugaan yang masuk akal tentang bagaimana

perkembangan terakhir ini mungkin didorong, pengetahuan kita di daerah ini masih jauh dari selesai.

dalam hal ini, seperti di banyak negara lainnya, guru terbaik adalah mereka yang masih pelajar aktif.


31/68

BAB V

SIMBOL-SIMBOL

Pada pembahasan sebelumnya kita telah dijelaskan mengenai bentuk-bentuk konsep, fungsi

skema (struktur-struktur konsep) dalam pengetahuan integrasi yang sudah ada, asimilasi pengetahuan

baru, dan kekuatan tambahan yang datang dari kemampuan merefleksikan suatu skema. Dalam setiap

proses ini sebuah bagian yang penting adalah bagaimana bermain dengan simbol yang memiliki

fungsi-fungsi penting.

Fungsi simbol yaitu:

i. Komunikasi

ii.

Mencatat pengetahuan

iii. Membentuk konsep baru

iv. Membuat bermacam-macam penggolongan menjadi mudah untuk dipahami

v. Memberi penjelasan-penjelasan

vi.

Membuat mungkin kegiatan yang dipikirkanvii.

Membantu menunjukkan struktur

viii.

Membuat pengerjaan rutin menjadi otomatis

ix. Membangkitkan kembali informasi dan pengertian

x.

Kegiatan mental yang kreatif.

Kebanyakan dari ini saling berhubungan, terutama yang pertama. Mencatat pengetahuan

adalah berkomunikasi dengan pembaca, penjelasan adalah jenis spesial dari komunikasi, refleksi

adalah komunikasi tanpa orang lain, dan hubungan-hubungan yang lain akan ditunjukkan kemudian.

Oleh karena itu judul dimaksudkan hanya untuk kenyamanan, seperti diskusi berikut, bukan sebagai

partisi.

i .

Komunikasi

Konsep adalah murni mental objek-tak terdengar dan tak terlihat. karena kita tidak memiliki

cara untuk mengamati secara langsung isi pikiran orang lain atau yang memungkinkan akses dari

seseorang ke orang lain, kita harus menggunakan cara-cara yang dapat terdengar atau terlihat – kata-

kata terucap atau suara-suara lain, kata-kata tertulis atau tanda di atas kertas (notasi). Simbol adalah

suara, atau sesuatu yang terlihat yang secara mentalitasterhubung dengan ide. Ide ini adalah arti dari

simbol.Tanpaadanya ide, simbol kosong, tidak berarti. Telah disebutkan bahwa simbol terhubung pada suatu konsep yang sama dalam pikiran A dan

B yang kemudian diucapkan dengan simbol ini. A dapat membangkitkan memori konsep B kedalam

pengetahuannya – dapat menyebabkan dirinya mampu memikirkan konsep ini di masa sekarang.

Ketentuan ini, bagaimanapun, tidak ada yang kecil. Setelah koneksi terjalin, artinya diproyeksikan pada

simbol, dan keduanya dianggap sebagai satu kesatuan. Jadi, sulit untuk menyadari bahwa apa yang

bermakna bagi diri sendiri mungkin tidak berarti bagi pendengar. Kesulitan yang dialami oleh banyak

orang ketika berbicara dengan orang asing atau sebuah maksud yang sama tetapi tidak dapat

ditangkap. Contohnya kata ‘penjepit’, mungkin artinya bagi orang Inggris yaitu alat untuk menjepit


32/68

celana, tetapi bagi orang amerika yaitu sepasang tanda kurung { }. Kita mungkin berpikir bahwa kita

sedang berkomunikasi disaat kita tidak berkomunikasi, dan memang mustahil untuk mengetahui

secara pasti dan jika demikian untuk apakah suatu gelar itu. Untuk alasan di atas, kita biasanya

menerima begitu saja tetapi link komunikasi sangat genting dan sangat tidak dapat diakses untuk

belajar, itulah yang perlu dilakukan lebih baik agar terkejut bahwa kita dapat mengomunikasikan ide

kita untuk tiap-tiap orang. Setelah semua, hal ini telah mengambil jutaan tahun evolusi untuk

memproduksi sebuah hewan yang dapat melakukannya untuk segala bagian tanda.

Mari kita memulai poin (i) bahwa sebuah simbol, dan gabungan konsep, adalah dua hal yang

berbeda. (ii) ba

richard r. skemp psikologi p. math. (terjemahan)

Documents