68

Dulu sekitar tahun 1880an, Galton menemukan bahwa setiap orang sangat

berbeda imajinasi mentalnya. Beberapa orang seperti dirinya sendiri, memiliki

imajinasi visual yang kuat; yang tidak memilikinya, berpikir melalui kata-kata. Inilah

yang terjadi selama ini; dan ada juga individu yang dapat melakukan keduanya,

berpikir untuk menentukan pilihan pada beberapa kemampuan. (hal ini tidak benar,

bagaimanapun juga, mudah untuk memutuskan imajinasi apa yang digunakan orang

itu, atau bahkan mereka memiliki keduanya, imajinasi visual dan imajinasi verbal.)

Dalam bab ini kita akan mempertimbangkan dua jenis simbol yang digunakan dalam

matematika, visual dan verbal; keduanya merupakan imajinasi mental, dan hal lain

yang ditandai dengan simbol.

Simbol Visual dan Simbol Verbal

Pertama, penggunaan istilah simbol perlu penjelasan lebih lanjut; karena

ketika kata-kata dituliskan kata-kata itu menjadi sesuatu yang dilihat, bukan didengar.

Namun demikian kata-kata adalah simbol yang berhubungan dengan pendengaran,

dan cara mengkomunikasikannya adalah ucapan, bukan tulisan. Jadi simbol verbal

dapat kita akan artikan sebagai kata yang diucapkan dan kata yang dituliskan.

Simbol visual jelas dicontohkan dengan diagram, khususnya gambar bentuk-

bentuk geometri. Tetapi ke dalam kategori mana kita harus meletakkan simbol aljabar

seperti ini?

68

Pada dasarnya ini adalah stenografi lisan. Tulisan ini dapat dibaca dengan

jelas, atau dikomunikasikan tanpa melihat bentuk visual. Yang pertama dibaca

sebagai ”Integral a sampai b dari sin x dx”; dan yang kedua sebagai ”himpunan

semua nilai x sedemikian hingga x2 lebih besar atau sama dengan nol”. Keuntungan

dari notasi-notasi aljabar tersebut adalah, pertama, singkatan ini – menghemat waktu

dan mengurangi kesalahan serta menambah kejelasan dan kekuatan karena ide-ide

yang dipertahankan muncul dalam waktu yang singkat. Tetapi singkatan ini lebih

bermanfaat. Mungkin ada sedikit kecenderungan untuk membacanya; kemudian

memberikan aspek visual. Tetapi dalam pembicaraan yang sering digunakan, simbol

aljabar dan simbol verbal biasa digunakan daripada diagram dan gambar geometri.

Contoh pernyataan yang sesuai, adalah “Jika p adalah bilangan prima, dan

atau ” (“jika p adalah bilangan prima, dan p membagi habis ab maka

p membagi habis a atau p membagi habis b”).

Kedua simbol, visual dan verbal digunakan dalam matematika secara

bersamaan maupun terpisah. Oleh karena itu, kita menemukan diagram-diagram

dengan penjelasan verbal dan, bentuk perhitungan-perhitungan trigonometri; kita

menemukan kurva disertai persamaannya; tetapi kita juga menemukan bentuk aljabar

tanpa gambar atau diagram. Hal itu terlihat seolah-olah simbol verbal (termasuk

aljabar) sangat diperlukan , tetapi simbol visual tidak.

Meskipun terkadang simbol-simbol tidak dibutuhkan, namun tidak ada

keraguan bahwa simbol visual sangat berguna dan mungkin simbol visual lebih dapat

dimengerti daripada simbol verbal dalam bentuk aljabar.

Sudah sepantasnya jika fungsi-fungsi yang disimbolkan dengan dua cara yang

berbeda, mungkin saling melengkapi. Ingat pada pembahasan simbol di Bab V,

tentang manfaat simbol. Pada bagian yang membahas fungsi simbol matematika ini

yang penting sekali. Sehingga, beberapa sajian tentang bagaimana memilih dan

menggunakan simbol dan menemukan satu yang baru akan memberikan nilai sangat

baik.

Simbol visual kelihatannya menjadi dasar, paling tidak dalam menyajikan

bentuk yang sederhana untuk menunjukkan obyek yang sesungguhnya. Seperti yang

68

ditunjukkan Piaget, sekalipun persepsi kita terhadap sebuah obyek termasuk di

dalamnya sebuah bentuk konsep. Ketika kita melihat beberapa obyek dari sudut

pandang tertentu dalam kesempatan tertentu, pengalaman ini menimbulkan ingatan

pada pengalaman-pengalaman yang lalu sebagai sebuah abstraksi terhadap sesuatu.

Kita mengakui pada saat kita menemukan sebuah obyek baru tidak berdasarkan pada

data masukan tetapi pada konsep obyek yang diperoleh. Jadi sebuah gambaran visual,

atau sebuah representasi, dari sebuah obyek lebih baik digambarkan sebagai simbol;

walaupun konsep obyek ini merupakan aturan yang digunakan dalam matematika.

Berdasarkan sifat visual dari sebuah obyek kita lebih mudah menggambarkannya

selama digambarkan oleh simbol visual daripada simbol verbal.

Untuk contoh matematika, pertimbangkan diagram ini, yang mewakili sebuah

blok tinggi pada flats yang berdiri di atas tanah. Untuk tujuan saat ini kami hanya

tertarik dalam bentuk dan tingginya.

Selanjutnya kita merepresentasikan pengamatan seorang surveyor. Dari sudut

ketinggian dari atap bangunan, diambil pada jarak 100 meter dari bawah. Yang

menarik untuk dicatat adalah surveyor itu sendiri adalah observasinya

direpresentasikan oleh simbol tertentu (titik dan garis) pada saat pengukuran, dan

tinggi yang tidak diketahui diwakili oleh simbol aljabar verbal.

h

300

100 m

68

Tentu saja kita membutuhkan kedua, dan sesegera melakukan perhitungan lalu

melengkapinya .

h = 100 tan 300

Meskipun demikian diagram sangat membantu untuk mewakili keseluruhan struktur

masalah. Itu memberikan konteks darimana perhitungan secara khusus diperlukan

untuk diabstraksikan.

Meskipun lebih mendasar, gambaran visual lebih sulit dikomunikasikan

daripada yang lain. Untuk yang terakhir, yang harus kita lakukan adalah mengubah

pemikiran vokal kita ke dalam ucapan. Tetapi untuk mengkomunikasikannya kita

harus menggambar, melukis atau membuat sebuah film. Ini memberikan pemikiran

verbal lebih memberi keuntungan dari pada visual. Lebih jauh lagi, sebuah pemikiran

sangat berhubungan dengan penggunaan simbol. Pemikiran yang sama diperoleh

bersamaan dengan kesadaran, tentu saja, simbol yang digunakan mempunyai

perkiraan arti yang sama untuk keduanya. Jadi ketika membicarakan pemikiran kita

kepada orang lain, kita juga mengkomunikasikan pemikiran tersebut kepada diri kita

sendiri.

Pemikiran yang disosialisasikan

Dari sini dapat dikatakan bahwa pemikiran verbal kita lebih mudah untuk

disosialisasikan, hal itu memperluas hasil akhir tidak hanya pemikiran kita tetapi juga

hal lain, dan interaksi keduanya. Untuk melihat sesuatu, secara harafiah, dari sudut

pandang orang lain, seharusnya kita berdiri di tempatnya, atau menerima gambaran

darinya, mengingat dia dapat mengatakan pada kita apa yang dia lihat, dan kita dapat

mendengar suara yang sama pada saat berdiri pada tempat yang berbeda dan melihat

arah yang berbeda. Pada sesuatu yang nyata, penglihatan bersifat individu,

pendengaran bersifat kolektif. Dan ini menarik untuk diperhatikan, ketika kita sangat

berharap untuk menegaskan aspek individu daripada aspek kolektif, kita berbicara

tentang sebuah ”sudut pandang”. Bahkan ”aspek” adalah sebuah perubahan visual.

Jadi perbedaan antara dua jenis simbol ini, adalah sebagai berikut:

Visual : lebih sulit diutarakan, lebih individual.

68

Verbal : lebih mudah diutarakan, lebih kolektif.

Manusia adalah makhluk sosial; dan manfaat dari komunikasi sangatlah besar,

adapun keunggulannya, sebagaimana dinyatakan sebelumnya, dari pemikiran verbal

dapat dijelaskan berdasarkan pada dasar-dasar di atas. Tapi manfaat dari komunikasi

merupakan hal yang kebetulan (kita memiliki loudspeaker, tapi tidak memiliki

proyektor gambar) dan tidak timbul dengan sendirinya secara alami simbol-simbol

itu. Memang, kadangkala dikatakan bahwa ”sebuah gambar sama dengan seribu

kata”. Jika memang demikian, maka dari pada menulis buku (sekitar 90.000 kata),

penulis akan lebih baik menghabiskan waktu dengan membuat 90 gambar. Dengan

teknik reproduksi modern, maka publikasi tidak memiliki kesulitan apapun. Lebih

lanjut, kata-kata yang ditulis kehilangan manfaat dari interaksi antara, pendengar dan

pembicara. Jadi apakah menulis buku dan membacanya, bukannya menggambarnya

dan melihat gambaran tersebut, hanyalah sekedar kebiasaan yang diambil dari

kebiasaan percakapan dan diskusi? Ataukah juga terdapat manfaat-manfaat intrinsik

di dalam simbol jenis verbal-aljabar?

Simbol-simbol visual di dalam geometri

Geometri menunjukkan bahwa dirinya merupakan konteks yang

menguntungkan untuk menyelidiki pertanyaan, karena merupakan salah satu cabang

matematika dimana diagram tampaknya merupakan bagian yang penting. Kita harus

mencatat bahwa simbol yang dilibatkan disini lebih abstrak daripada representasi

visual dari sebuah objek. Bahkan foto dari sebuah objek hanya menunjukkan aspek

tunggal, dan untuk memperluas hal tersebut akan membangkitkan konsep dari objek

sebagai sesuatu dari keseluruhan, dapat dijelaskan sebagai sebuah simbol untuk

objek. Abstrak presentasi lainnya lebih lanjut, biasanya menunjukkan bentuk, warna,

tekstur, ukuran. Tingkat abstraksi lainnya dapat ditemukan di dalam gambaran yang

mewakili, bukan sebuah objek secara khusus.

Sebuah perbedaan penting antara kedua jenis simbol, foto dan kata, adalah

yang satu lebih tampak sebagai objek tipikal dari set/rangkaian yang diwakilinya,

dimana yang satunya lagi tidak tampak seperti itu. Jadi simbol visual ini, pada tingkat

68

apapun, memiliki hubungan yang lebih erat dengan konsep daripada dengan simbol

verbal. Hal yang sama berlaku bagi simbol-simbol geometris. Berikut ini adalah

simbol geometris:

Simbol verbal dari simbol geometris diatas adalah lingkaran. Persamaan simbol

geometris dengan konsepnya memiliki kelebihan dan kekurangan. Manfaatnya adalah

menimbulkan sifat-sifat konsep. Hal ini terjadi ketika kita menggambarkan secara

visual beberapa konsep secara bersama-sama. Diagram tersebut menjelaskan pada

kita hubungan antara konsep daripada representasi verbal dari konsep yang sama

dengan lebih jelas.

Sebuah lingkaran demgan dua garis singgung dari suatu titik diluar lingkaran;

dan jari-jari melalui titik-titik singgung dari kedua garis singgung tersebut.

Sebuah ketidakuntungan karena simbol visual harus digambarkan supaya dapat

dikomunikasikan. Ingat, bahwa simbol itu tidak menyajikan suatu lingkaran tertentu,

garis singgung dan lain-lain. Tetapi menyajikan variabel-variabel suatu lingkaran.

Bukan pula sebuah lingkaran dengan jari-jari dan diameter seperti yang terlihat.

Alasan-alasan penyajian secara Visual

Contoh berikut menyatakan bahwa mungkin saja kita tetap menggunakan simbol

visual dengan keuntungannya lebih dari yang kita lakukan dalam penyajian. Dengan

beberapa konvensi sederhana, diagram tersebut tersampaikan dengan jelas dan nyata.

68

1. Garis singgung lingkaran dari suatu titik yang berada di luar lingkaran

adalah sama panjangnya. (Perhatikan bahwa diagram juga menunjukkan

bagian-bagian dari garis singgung yang kita maksudkan).

2. Sudut luar dari sebuah segitiga adalah jumlah dari sudut-sudut dalam yang

berhadapan. (ini pernyataan umum. Kita mengatakan “obyek”, dan “ukuran

obyek” adalah gagasan berbeda. Di dalam diagram, sudut ditampilkan oleh

sepasang garis, dan ukurannya dengan huruf. Dan siapa yang akan tahu sudut

yang mana yang kita maksud dengan 'eksterior’ dan 'interior yang berlawanan

tanpa diagram? Di sini pernyataan lisan lebih rendah dari pernyataan visual .)

3. Kita dapat juga menunjukkan teorema dan konversnya. Sudut di dalam

setengah lingkaran adalah sudut siku-siku

Di sini,=> berarti 'implikasi'. Gambar bagian kiri menunjukkan data

yang menggunakan kesepakatan dimana suatu titik yang digambarkan di pusat

b

a a + b

68

lingkaran sesungguhnya mewakili pusat. Gambar bagian kanan mewakili

kesimpulan yang diperoleh dengan menggunakan teorema dari data yang ada.

Konvers dari teorema ini juga benar. Jika talibusur suatu lingkaran

yang berhadapan dengan suatu sudut siku-siku pada keliling lingkaran,

talibusur itu adalah diameter. (lihat Diagram pada bagian atas halaman 103.)

Dengan penggunaan tanda untuk biimplikasi, kita dapat menghadirkan

secara bersamaan teorema dan konversnya.

Sejauhmana, pernyataan visual lebih jelas dan singkat. Berbagai

kesulitan muncul ketika ingin melakukan lebih dari dua hal memberi bukti

logis, dan mengarahkan perhatian ke bagian-bagian tertentu dari diagram.

Teorema diatas merupakan kasus kecil berikut.

4. Ukuran sudut pada pusat lingkaran dua kali ukuran sudut pada keliling yang

menghadap pada busur yang sama.

a

2a

68

a. Tanda bukti teorema menunjukkan agar kita mempertimbangkan

garis ini

b. Seperti sudut dengan ukuran 2 siku-siku, yang mempunyai

puncak disini pada tengah-tengah lingkaran.

c. Teorema memberi tahukan kita bahwa sudut ini

adalah dua kali sudut ini.

d. Tetapi ukuran sudut ini dua kali sudut siku-siku

Jadi ukuran pada sudut ini adalah salah satu sudut siku-siku.

5. Penggunaan kata-kata yang lain mengisyaratkan klasifikasi baru kepada

pembaca; sebagai contoh, bahawa suatu garis lurus boleh dianggap sebagai

sudut khusus. Ini dapat juga ditunjukkan secara visual.

68

Itu langkah lebih panjang, tetapi lebih jelas. Ada suatu kemiripan tertentu gambar

kartun ; dan jika seseorang mempunyai bekal untuk maju setahap demi setahap dan

membuat gambar yang bergerak, seperti melihat acara televisi, maka penyajian secara

visual dapat memberikan keuntungan-keuntungan. Apakah yang menjadi tahap-tahap

dari animasi seperti itu? Berikut adalah salah satu kemungkinan. Perhatikan gambar

pertama yang menunjukkan data.

Untuk perbandingan, disini ada bukti konvensional pada teorema yang sama.

Data : AOB adalah diameter pada lingkaran, dengan titik pusat O.

P adalah titik pada keliling lingkaran.

Untuk membuktikan bahwa : APB = 1 < siku-siku

Bukti :

AOB = 2 <APB (<pusat = dua kali < keliling lingkaran)

Tetapi AOB = 2 < siku-siku (karena AOB adalah suatu garis lurus)

Jadi <APB = 1 < siku-siku (TERBUKTI)

a

2a

a

2a

2a

a

O

P

A B

68

Disini kita menggunakan huruf sebagai petunjuk. Ketika huruf ditemukan di

dalam bukti verbal-algebraic, kemudian kita menjumpai huruf ini di dalam

diagram, untuk menujukkan kepada kita mana yang harus dilihat. Ini lebih

baik dibanding menggunakan panah pada halaman 104, dan menghemat

penggambaran diagram. Mana yang lebih mudah untuk diikuti, pembaca

harus memilih. Bagaimana pendekatan ”gambar-paralel” memecahkan bukti

lebih rumit?

6. Satu contoh lebih lanjut; sebuah bukti pada teorema yang lebih umum dari

yang sudah kita sebutkan terdahulu .

Teorema:

Pembuktian:

b

x

2x

a a

68

Apakah ini lebih jelas daripada pembuktian verbal – aljabar , atau apakah

pada kasus lain memang tidak ada kata yang bisa digunakan untuk pembuktian?

Dewasa ini, sistem yang terakhir lebih mendominan; dan tujuan utama dari uraian

diatas adalah menjawab pertanyaan mengenai “keadaan yang dihadapi”(fait acompli),

dan menguji kontribusi tertentu dari simbolisme visual.

Dua Sistem Dalam Konjungsi

Menurut sejarah, sebuah penggabungan dua sistem ini berasal dari Descartes.

Sebarang titik pada sebuah bidang ditentukan oleh jarak dua garis (pada umumnya

tegak lurus); yang dituliskan sebagai sebuah pasangan. Koordinat adalah sebutannya,

mungkin positif atau negatif.

Titik variabel dihubungkan dengan sepasang variabel numerik, dan suatu

himpunan dengan properti karakteristik yang ditentukan, jarak mereka selalu sepadan

dengan r, direpresentasikan semua persamaan yang dipenuhi oleh pasangan koordinat

(x, y). Rata-rata kurva ini sulit ditampilkan secara aljabar: bentuk lonjong/elips,

P

0 P memiliki koordinat (5, 2)

b a + b

a a ● 2a

●

a b

a b2a 2b

●

a b

a b2a 2b

b a a + b

x●2x

68

bentuk garis edar planet yang mengelilingi matahari, parabola, bentuk reflektor

memberi berkas cahaya paralel (seperti lampu depan mobil); atau sinar jauh yang

terkonsentrasi sampai batas (seperti teleskop radio).

Dan himpunan titik-titik dengan syarat yang diberikan yaitu jarak titik-titik itu

dari O selalu sama dengan r digambarkan dengan sebuah persamaan yang memenuhi

semua pasangan koordinat (x,y).

Ini berarti kurva-kurva dapat dinyatakan secara aljabar, yang sulit

digambarkan dengan tepat misalnya sebuah elips, bentuk dari orbit planet yang

mengelilingi matahari.

P y

0 y

P memiliki koordinat (x, y)

r

P

x2 + y2 = r2

68

Sifat umum dan metris keduanya dapat diselesaikan dengan cara ini: sifat

umum, dengan menggunakan relasi-relasi umum antara koordinat-koordinat variabel;

dan sifat-sifat metris, dengan memberi nilai-nilai kuantitatif tertentu pada variabel ini.

Apa kelebihan dari perlakuan secara aljabar pada geometri adalah kekuataan besar

dari manipulasi, dan melebihi ketepatan yang dapat dicapai dengan menggambar

secara akurat dengan skala dan pengukuran gambar itu. Tetapi kita masih

memerlukan gambar untuk menunjukkan bagaimana bentuk secara keseluruhan.

Sebagai contoh, tidak jelas dari persamaan kurva yang ditampilkan oleh y2 = 4ax

menghilang di kejauhan, di dalam dua arah; atau yang ditampilkan

bergabung kembali dengan dirinya sendiri; atau suatu perubahan tanda sederhana

yang akan memberi kita pengetahuan yang berbeda.

Tidak ada penyajian yang lebih baik yang ditunjukkan oleh fakta kalau kita

sering menggunakan metode yang terbalik. Tidak hanya dengan kurva, tapi kita dapat

mulai dengan konsep aljabar, yang berupa fungsi, dan menghadirkannya dengan jelas.

y2 = 4 ax

12

2

2

2

b

y

a

x

68

Ide mengenai suatu fungsi matematika adalah fungsi yang menyatakan

bagaimana benda-benda dalam suatu himpunan berkorespondensi dengan yang lain;

sebagai contoh, bagaimana kita menemukan jarak tempuh suatu obyek jika kita

mengetahui waktu; bagaimana arus dari suatu sirkuit dapat ditentukan jika kita

mengetahui voltasenya. Fungsi dapat ditampilkan dalam berbagai cara, mencakup

grafik dan persamaan.

Karena temuan individu memiliki keterkaitan, persamaan sangatlah tepat.

Misal, jika d meter adalah jarak yang ditempuh oleh seseorang dalam kondisi terjun

bebas di bawah pengaruh gaya gravitasi (dengan mengabaikan resistensi udara), dan t

waktu sekon saat jatuh, maka d = 4.9 t2. Sehingga jarak jatuh setelah 1 detik/second

adalah 49 x 1 meter, setelah 2 detik adalah 49 X 1 meter, dan seterusnya. Dengan

mengambil (t, d) sebagai koordinat Cartesian kita dapat menunjukkan secara grafis

fungsi secara keseluruhan. 1tu dibahas secara lebih panjang di dalam Bab 14.

Perbandingan Dua Jenis Simbol

Pada saat tertentu kita melakukan rangkuman perbandingan, dan secara garis

besar sifat-sifat dari kedua jenis symbol tersebut saling melengkapi.

d

t

t

68

Verbal Visual

Sifat abstrak yang bebas dari

konfigurasi spasial, seperti misalnya

bilangan.

Lebih mudah dikomunikasikan.

Dapat mewakili pemikiran sosial.

Analitis, menunjukkan detail.

Sekuensial (berurutan).

Logis.

Sifat spasial abstrak, seperti

misalnya bentuk, kedudukan.

Lebih sulit dikomunikasikan.

Dapat mewakili pemikiran yang

lebih individual.

Integratif, menunjukkan struktur.

Simultan (serempak).

Intuitif.

Sifat-sifat yang dapat dikomunikasikan dan disosialisasikan, dari sistem

aljabar verbal ialah memberikan suatu kontribusi pada keunggulannya dibanding

sistem visual. Namun mana kala kita ingin menyajikan struktur secara keseluruhan

dari beberapa pokok bahasan, argumen, atau situasi, simbolisasi visual kembali

dipakai, seperti dalam struktur organisasi (dari perusahaan hingga tim sepak bola),

diagram alir, dan asal-usul/pohon keluarga. Nilai dari simbolisasi visual juga

ditunjukkan dengan cara menyatakan secara gamblang dalam simbol aljabar, dalam

wujud pengaturan ruang dari lambang tertulis. Ketika dituliskan, maka simbol-simbol

itu muncul secara serempak dan pengatura urutannya dikembalikan dengan membaca

sepintas dalam suatu urutan yang telah disepakati. Kita dapat melihat permulaan dan

kesimpulan dari suatu argumentasi, sebelum melakukan pengamatan secara rinci.

Kita dapat menyimpulkan kapan pun kita ingin, dan ini seringkali menjadi lebih

penting ketika argumentasi dilibatkan. Dengan kata lain, verbal/lisan, ketika sudah

dituliskan, menunjukkan keseluruhan struktur tambahan pada implikasi rangkaian –

logika di dalam struktur; dan dapat diteliti dengan cara-cara lain selain cara

konvensional dari kiri ke kanan, dari atas ke bawah.

Simbolisme spasial mengungkapkan caranya ke dalam setiap rincian verbal – sistem

aljabar.

1. Posisi dari angka 2 7 3

membantu menunjukkan angka 2 ratusan, 7 puluhan, 3 satuan.

68

yang diwakilinya.

2. Posisi menunjukkan angka mana yang didapatkan dari , 9 — 5

atau dibagi dengan

3. Posisi menunjukkan hubungan antara dua set, 1 2 3 4 5

seperti dalam proporsi ini. 4 8 12 16 20

4. Pengaturan spasialnya adalah properti penting dari sebuah matriks.

a1 a2 a3 a4

b1 b2 b3 b4

c1 c2 c3 c4

banyak contoh lain bisa diberi.

Sebelum penutupan, dapat ditarik kesimpulan bahwa perbedaan individu

dalam perumpamaan yang dicatat oleh Galton, dan disebutkan di permulaan. Jika kita

berpikir bahwa perumpamaan visual yang paling baik adalah pada pengintegrasian

gagasan; dan bukanlah suatu kebetulan ketika kita pertama kali sadar bagaimana

gagasan berhubungan satu dengan yang lain, kita mengacu pada pengalaman, bukan

sebagai tambahan; kemudian kita membuat hipotesa bahwa orang menyumbangkan

pemahaman matematika dan pemahaman ilmiah akan menggunakan visual bukannya

perumpamaan auditoris.

Analisa, argumentasi logis, dan pemikiran yang disosialisaikan sudah pada

tempatnya, banyak dihargai di dalam matematika; tetapi kita juga memerlukan

individu yang berpikir, pengertian yang mendalam, dan sintesis. Taraf tertentu yang

terdahulu sepertinya mampu memberikan pengajaran, sekarang hanya dapat dicari.

Jika kita dapat menemukan lebih banyak tentang fungsi dari dua jenis lambang yang

dibahas di dalam bab ini, dan menjadi lebih terampil dalam memilih dan

menggunakannya, kekuatan ini cukup baik untuk membantu kita mengembangkan

dan menghubungkan dua aspek komplementer dari pemikiran matematika kita ini.