skemp bab 14 pemetaan dan fungsi

Pemetaan dan Fungsi | 209

Pada bagian 13, kita telah melihat cara memecahkan masalah dalam dunia

nyata dengan menggantikan hal-hal itu dengan sebuah cara penyelesaian dalam

matematika yang bersesuaian. Proses berpikir secara abstrak membawa kita dari

dunia nyata kedalam dunia matematika, namun hal itu tidak mudah dilakukan. Dan

memberikan bermacam-macam perlakuan dari permasalahan bersama dengan model

matematikanya, hal itu mungkin menjadi sulit untuk dilihat apapun dalam hal yang

umum antara aktivitas abstrak dengan model yang diperoleh. Ini mungkin merupakan

pertimbangan yang tidak umum dalam matematika dari proses abstrak.

Dari dua system matematika yang diberikan, sebuah korespondensi antara

keduanya yang memenuhi syarat tertentu, kita sebut sebuah pemetaan. Suatu metode

yang mendefinisikan dari suatu system ke system yang lain dinamakan fungsi. Pada

bagian ini kita akan melihat beberapa pemetaan dan mempertimbangkan kondisi yang

perlu untuk menjelaskan deskripsi ini. Kemudian kita akan memusatkan perhatian

pada fungsi yang berhubungan dengan pemetaan. Sebagai kesatuan dari keduanya,

dan apakah kita dapat mengembangkan oprerasi pada fungsi, sama dalam operasi

pada bilangan.

PEMETAAN

Dua sistem dalam matematika yang berkorespondensi dengan kondisi tertentu

disebut sebuah pemetaan. Pertama mengembangkan beberapa contoh. Kita

menganggap 2 himpunan dari obyek {mobil}, {nomor polisi}. Pada kebanyakan

negara persyaratan setiap mobil itu harus mempunyai nomor registrasi, tetapi tidak

ada mobil yang diizinkan memiliki dua nomor registrasi. Misalkan kita mempunyai

himpunan siswa yang telah selesai mengikuti ujian, dan suatu himpunan nilai.


Himpunan nilai itu mungkin {bilangan 0 sampai 100}atau {A, B, C, D, E, F} atau

{ lulus, gagal}. Kemudian setiap siswa hanya dapat diberi satu dan hanya satu nilai.

Pada saat kita menyediakan makan malam, dan kita meletakkan satu dan hanya satu

tempat duduk. Asumsikan bahwa himpunan di atas terdefinisi, maka setiap kasus di

atas merupakan sebuah pemetaan, karakteristik dari setiap element himpunan yang

pertama (disebut himpunan asal) ada berpasangan satu-satu dengan anggota pada

himpunan ke dua (disebut himpunan peta).

Jadi korespondensi satu-satu antara dua himpunan adalah sebuah kejadian

khusus dari sebuah pemetaan, dengan sebuah tambahan yang juga memberikan

memberikan sebuah pemetaan yang terbalik. Hal ini mengingatkan bahwa

kemampuan membalik hubungan yang sama, dari korespondensi satu-satu.

Hal ini mudah untuk menjabarkan, dan pembaca dapat melihat bahwa

korespondensi satu-satu adalah salah satu jenis dari pemetaan. Dengan kata lain, dua

diagram berikut dinamakan sebuah pemetaan yang berkorespondensi satu-satu, dan

tetap merupakan pemetaan ketika arah anak panah dibalik.

Korespondensi satu-satu korespondensi balikan satu-satu

Kegunaan Pemetaan dalam Matematika

Kita telah mendapatkan bagian kegunaan pemetaan dalam matematika. Pada

setiap tahap pengembangan suatu sistem bilangan yang baru ada suatu pemetaan dari

sistem awal kesuatu sistem baru. Diagram dibawah ini merepresentasikan pemetaan

{bilangan cacah} ’into’ {bilangan bulat}.

xxxx

oooo

oooo

xxxx


into

Catatan ’Into’, ’onto’, ’pada’ oleh matematikawan mengatakan bahwa pemetaan

’onto’ pada himpunan bayangan, jika setiap elemen dari himpunan bayangan adalah

berpasangan dengan beberapa elemen pada himpunan asal. Dan ’into’, jika beberapa

elemen himpunan bayangan tidak mempunyai pasangan. Jadi ’into’ digunakan untuk

himpunan bilangan cacah.

onto into

Pemetaan {bilangan cacah} ke {bilangan bulat} tidak satu-satu karena

bilangan bulat negatif bukan bayangan dari bilangan cacah. Jadi pemetaan itu tidak

dapat dibalik. Namun pemetaan antara {bilangan cacah} dan himpunan bagian dari

bilangan bulat {bilangan bulat positif dan nol } dapat dibalik. Hal ini, ada suatu

isomorfisma untuk penjumlahan dan perkalian.

01234

dst

+0 +1 -1+2 -2+3 -3+4 -4dst

****

***

***

****

01234

dst

+0 +1 -1+2 -2+3 -3+4 -4dst


Pemetaan ini adalah isomorfisma pada setiap tahap dari sistem awal dan

subset dari sistem baru yang membuat pemetaan ini sangat berguna. Untuk suatu

model, sebagai satu bentuk nyata yang statis, diperlukan suatu himpunan serta operasi

di dalamnya. Sistem matematika dan isomorfisma membolehkan untuk memilih salah

satu sistem diantara sistem-sistem yang kita inginkan.

Sebuah pemetaan sederhana yang sering digunakan untuk menemukan rata-

rata. Misalnya, ada 10 orang yang mempunyai tinggi badan (dalam cm) 161, 180,

172, 175, 190, 163, 176, 160, 169, dan 184. Untuk mendapatkan rata-rata tinggi

mereka, digunakan suatu metode straightforward untuk menjumlahkan semua secara

bersama-sama dan membagi dengan 10. Tetapi dapat direduksi pekerjaan itu dengan

mengurangi 160 cm dari setiap tinggi badan, termasuk rata-ratanya. Total dari

pengurangan tersebut dibagi 10, dan kemudian menambahkan 160 cm untuk

mendapatkan hasilnya.

Tinggi sesungguhnya (cm) himpunan hasil

161 1

180 20

172 12

175 15

190 - 160 30

163 3

176 16

160 0

169 9

184 24

120 dibagi 10

+ 160

172 12

Implikasi dari hal di atas adalah pemetaan yang lain yang mudah dan sering

digunakan, dari sebuah himpunan ukuran (dalam kasus ini adalah tinggi dalam cm)


kesebuah himpunan bilangan. Meskipun sederhana, bagaimana hal itu tak trivial dan

ada hal yang lebih dari itu yang bisa didapatkan dan telah dipelajari pada bagian 10.

Sebuah pemetaan digunakan ketika keluar negeri satu ke yang lain, untuk

contoh sebagai berikut:

Pounds terling Pesetas

10 1680

5 840

1 168

0,50 84

0,20 16,8

0,10 8,4

Ada juga pemetaan dari arah yang terbalik, dari pesetas ke pounds terling.

Sepasang bilangan yang berkorespondensi ketika dipasangkan dari kolom kanan ke

kiri berbeda ketika dipasangkan dari kolom kiri ke kanan. Pemetaan mata uang

berbeda dengan pemetaan yang kita gunakan pada pencarian rata-rata.

Sebuah pemetaan digunakan ketika mengadakan perjalanan dengan kereta api

antara sebuah himpunan nama stasiun dan sebuah himpunan dari waktu

pemberangkatan

Nama stasiun Jam berangkat

Menchester 10.00

Stock port 10.09

Wilmslow 10,17

Watford 12,24

Euston 12,44

Sebuah pemetaan penting digunakan bagi seorang prajurit tentara. Hal ini

memberikan total jarak untuk berbagai jenis waktu dan tempat, sebelum parasut

dibuka. Dengan mengabaikan pengaruh gesekan udara.


Waktu (detik) Jarak (meter)

0 0

1 4,9

2 19,6

3 44,1

4 78,4

5 122,5

Sekarang kita tinjau suatu pemetaan yang lain, yang digunakan dalam kecepatan dan

manipulasi, dalam himpunan tujuan menjadi bentuk lain, dalam kasus ini tidak

bersifat matematis tapi dalam bentuk perwujudan system dalam kehidupan sehari-

hari.

Memperkirakan bahwa seorang agen pekerja dipilih dari semua orang yang

diregistrasi dengan karakteristik masing-masing seperti mampu dalam matematika,

cakap dalam berbahasa Italia, memiliki kebebasan untuk kemampuan, dan berumur di

bawah 25 tahun. Untuk semua yang lolos dalam registrasi mendapatkan sebuah kartu

macam-macam atribut sebagai tujuan untuk bekerja diwakili dengan perbedaan lokasi

dalam kartu. Memiliki atau tidak memiliki satu dari kartu ini diwakili dengan

pemberian sebuah lubang. Orang yang mempunyai semua atribut akan diwakili oleh

sebuah kartu dengan lubang pada semua sudut dan berkorespondensi lokasi ( dan

mungkin pada lokasi lainnya). Dalam sebuah operasi secara elektrik dan

menggunakan mesin, berlubang atau tidak berlubang dapat membuat control dalam

kontak, dan jika disini berhubungan dengan tiap bagian hal itu dapat menyusun untuk

sebuah mata uang. Kartu yang dipasangkan dengan bilangan dapat membuat suatu

pemetaan.

{orang-orang yang diregistrasi} { Kartu dengan nama mereka ditulis}

{atribut yang relevan} {lokasi dari kartu}

{atribut dari orang yang sama} {lubang pada kartu}


{atribut yang diwakili untuk suatu pekerjaan} {tombol yang berhubungan

dalam sebuah mata uang}

{orang yang mewakili semua atribut} {kartu dengan nama mereka}

{mesin elektrik seleksi kartu} { seleksi dari setiap orang}

Anggota-anggota dari himpunan meliputi makanan obyek fisik (pribadi),

symbol tertulis (nama), kualitas pribadi (mampu berbahasa Italia), operasi yang pasti

dari setiap himpunan dan proses pemetaan, tipical, manual dan bantuan pemetaan,

mental dengan bantuan lubang, manual atau mesin, manual dengan menggunakan

keybord.

Disini dalam perbedaan yang cukup besar, sebuah contoh yang sederhana dari

geometri hal ini dapat dilihat dari gambar berikut.

Q

P

O adalah pusat, O merupakan titik tengah dari ruas garis PQ yang melalui O.

Bagaimana kita menjelaskannya?

Gambar elips pada kertas transparan dan gunakan sinar matahari untuk

meproyeksinya dikertas lain. Kertas itu harus tegak lurus dengan sinar matahari.

Dengan menggerakkan kertas transparan dalam posisi yang sesuai, kita mendapatkan

bayangan elips itu menjadi suatu lingkaran di kertas

O.


Dari kegiatan fisik ini suatu pemetaan matematika dapat diabstraksi dan didefinisikan

secara geometri yang disebut dengan proyeksi orthogonal. Inilah gambar asli dan

bayangannya oleh suatu pemetaan itu.

P P’

Q Q’

Hal ini dapat dibuktikan, dengan sifat yang telah diketahui dengan baik dari

kesebangunan segitiga, bahwa proyeksi suatu segmen garis dengan titik tengahnya

adalah segmen garis yang lain dengan titik tengahnya pula. Kita ketahui bahwa

sebarang lingkaran yang berdiameter P’Q’ dibagi dua oleh titik pusat lingkaran O’,

kita ketahui bahwa gambar PQ semula dibagi dua oleh O. Dan dengan sebuah

proyeksi kesuatu lingkaran, banyak rujukan yang dapat digunakan membuktikan sifat

lain dari sebuah elips.

O O’


Logaritma

Berikut contoh yang baik dari pemetaan jenis kedua. Bandingkan dua pemetaan

berikut:

128 1). 256 x 2). 27 x 28 = 215

768 640 256 + 32768

Karena 128 = 27 dan 256 = 28, keduanya mempunyai perhitungan yang sama namun

berbeda notasi. Alasan mengapa perhitungan yang kedua lebih mudah dan cepat

karena perkalian dua bilangan semula telah diganti dengan menjumlahkan dua

pangkatnya (dalam kasus ini penjumlahan penjumlahan merupakan suatu hal yang

mudah, tetapi walaupun kita telah mejumlahkan bilangan-bilangan pada himpunan

asal, hal ini akan tetap mempunyai perhitungan yang lebih sederhana dari pada

mengalikannya) .

Kita dapat menggunakan jalan pintas untuk sebarang bilangan yang dapat

ditulis sebagai bilangan pangkat dari 2 dengan bantuan tabel berikut:

2 = 21 32 = 25 512 = 29 8192 = 213

4 = 22 64 = 26 1024 = 210 16384 = 214

8 = 23 128 = 27 2048 = 211 32768 = 215

16 = 24 256 = 28 4096 = 212 65536 = 216

Contoh: 64 x 256 = 26 x 28 = 214 = 16384

Penggunaan tabel ini sangat bermanfaat untuk pembagian

Contoh: 16384 : 512 : 214 : 29 = 25 = 32

Metode kerja seperti ini berlaku juga untuk pangkat negatif

Contoh 1024 : 65536 = 210 : 216 = 2-6 =

Pada setiap contoh di atas, bilangan dasar (bilangan pokok) 2 tidak berperan

nyata pada perhitungan, karena yang dihitung hanya menjumlahkan pangkatnya.

Tabel tersebut di atas masih dengan mudah dibaca walaupun kita hilangkan bilangan

dasarnya dan pangkatnya dihitung lebih besar.


Selanjutnya bilangan-bilangan pangkat tersebut dikatakan sebagai logaritma dari

bilangan semula.

Perhatikan tabel berikut yang merupakan tabel logaritma dengan bilangan dasar 2

Bilangan Logaritma

2 1

4 2

8 3

16 4

32 5

64 6

128 7

256 8

512 9

1024 10

2048 11

4096 12

8192 13

16384 14

32768 15

65536 16

131072 17

262144 18

524288 19

1048576 20

Perhitungan dengan sembarang bilangan ini sekarang disederhanakan dengan

memetakan ke-logaritma.


Contoh 4096 x 128

Himpunan asal logaritma

4096 12

X +

128 7

524288 19

Hasil dari himpunan asal hasil dari himpunan bayangan

Keuntungan dari perhitungan menggunakan logaritmo Sangay terlihat pada

saat digunakan untuk mempermudah perhitungan yang lebih rumit, seperti contoh

berikut:

Untuk menyelesaikan dapat dilakukan sebagai berikut:

Himpunan bilangan asal logaritma

1048275 20

X +

8196 13

Pembilang 33

4096 12

X +

16384 14

penyebut 26

Pembilang : penyebut 33 – 26

Hasil dari himpunan asal 128 7 hasil dari logaritma

Kelemahan dari metode ini adalah dibatasi pada perhitungan dengan pangkat

bilangan bulat dengan bilangan pokok 2. Sehingga sebelum logaritma digunakan, kita

harus menemukan logaritma dari sembarang bilangan. Oleh karena itu kita

membutuhkan fungsi logaritma. Untuk ini fungsi diartikan sebagai suatu aturan atau


cara dimana sembarang elemen pada himpunan asal dapat ditemukan elemen yang

bersesuaian dalam himpunan bayangan.

Berikut ini diberikan tabel logaritma (dalam 3 tempat decimal) dari bilangan

1,00 sampai 1,99. Bilangan dasar dari logaritma berikut adalah 10.

Tabel logaritma

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1,0 0,000 0,004 0,009 0,013 0,017 0,021 0,025 0,029 0,033 0,037

1,1 0,041 0,045 0,049 0,053 0,057 0,061 0,065 0,068 0,072 0,076

1,2 0,079 0,083 0,086 0,090 0,093 0,097 0,100 0,104 0,107 0,111

1,3 0,114 0,117 0,1209 0,124 0,127 0,130 0,134 0,137 0,140 0,143

1,4 0,146 0,149 0,152 0,155 0,158 0,161 0,164 0,167 0,170 0,173

1,5 0,176 0,179 0,182 0,185 0,188 0,190 0,193 0,196 0,199 0,201

1,6 0,204 0,207 0,210 0,212 0,215 0,218 0,220 0,223 0,225 0,228

1,7 0,230 0,233 0,236 0,238 0,240 0,243 0,246 0,248 0,250 0,253

1,8 0,255 0,258 0,260 0,263 0,265 0,267 0,270 0,272 0,274 0,277

1,9 0,279 0,281 0,283 0,286 0,288 0,290 0,292 0,295 0,297 0,299

Bilangan dari himpunan asal ditunjukkan diluar garis yaitu kolom paling kiri dari

baris paling atas, sedangkan logaritma yang bersesuaian berada dalam tabel. Sebagai

contoh, akan ditentukan logaritma dari bilangan 1,47. pertama kita tentukan baris

sesuai dengan baris dimana terletak bilangan 1,4 yang dikolom paling kiri, kemudian

telusuri pada baris tersebut dari kiri kekanan hingga kolom ke-7, sehingga

menemukan logaritma dari 14,7 adalah 0,167.

Contoh penggunaan logaritmo dari tabel di atas adalah sebagai berikut:

Untuk menghitung 1,47 x 1,13 x 1,08 dapat dilakukan sebagai berikut

Himpunan asal logaritmo

1,47 0,167

X 1,13 + 0,053

X 1,08 + 0,033 +

1,79 0,253


Hasilnya adalah 1,79

Pemetaan sebaliknya dapat dilakukan dengan mencari bilangan yang nilai

logaritmanya dekat dengan 0,253 (kebetulan dalam contoh ini ada bilangan yang

tepat dalam tabel).

Untuk mempermudah dapat digunakan buku antilogaritma.

Misalkan kita ingin menentukan logaritma dari 173, tabel di atas menyajikan

1,73 sehingga kita menulis 173 sebagai 100 x 1,73, maka logarima 173 dapat

dihitung sebagai berikut:


102 2

X 1,73 + 0,238

102 x 1,73 2 + 0,238

Dengan cara seperti ini dapat pula dihitung logaritma dari 1730, 17300, 173000).

Kemudian logaritma dari bilangan seperti 0,0173 dapat dicari dengan menulis

sebagai 10-2 x 1, 73 dan dilakuan sebagai berikut:


10-2 -2

X 1,73 + 0,238

10-2 x 1,73 -2 + 0,238

Logarima dalam kasus ini adalah campuran dai bilangan bulat negatif ditambah

bilangan decimal positif. Ini lebih mudah dalam perhitungan dari pada mengganti -2

+ 0,238 dengan -1,762. Namur dalam penulisan kasus seperti ini tanda mines ditulis

di atas 2 menjadi sehingga keseluruhan logaritmanya ditulis sebagai ,238. Dengan

demikian kita dapat mencari logaritma dari sembarang bilangan dari tabel yang

memberikan nilai logaritma dari 1,00 sampai 9,99 atau jira ingin lebih akurat bisa dari

1,000 sampai 9,999 atau bahkan 1,000 sampai 9,9999.

Selain dengan logaritma dapat digunakan pemetaan lain berupa mistar hitung.

Sebagai contoh dilakukan dengan bilangan dasar 2. Mistar hitung adalah pemetaan


sederhana untuk menghubungkan satuan panjang dengan logaritma, dan dinyatakan

hasilnya pada mistar. Langkahnya adalah sebagai berikut:

Himpunan asal : 1 2 4 8 16 32 64 ...

Logarima basis 2 : 0 1 2 3 4 5 6 ...

Panjang : 0cm 1cm 2cm 3cm 4cm 5cm 6cm

Mistar :

Dengan mengeluarkan dua himpunan ditengah, diperoleh:

1 2 4 8 16 32 64

Perkalian dua bilangan

Menjumlahkan dua logaritma

Menjumlahkan dua ukuran panjang

Meletakkan dua panjang dari ujung keujung pada garis lurus

Operasi terakhir dilakukan dengan menggunakan dua mistar yang bernotasi sama,

yang satu digeser di atas mistar yang lain.

Gambar di bawah ini menunjukkan suatu mistar geser berukuran 2.

Untuk menghitung 4 x 8


jawab

4

1 2 4 8 16 32 64

1 2 4 8 16 32 64

8

4 x 8

Pergeseran dari mistar ini juga menghasilkan 4 x 2 = 8, 4 x 4 = 16, 4 x 16 = 64 dan

seterusnya. Karena membagi suatu bilangan dengan bilangan lainnya

mengurang-kan logaritma suatu bilangan dengan bilangan lain mengurangi satu

satuan panjang dari satuan panjang lainnya, dengan cara yang sama perhitungan 32 :

8 = 4. Dalam kasus ini kita menentukan 32 pada mistar , kemudian menempatkan 8

pada mistar geser berimpit dengan 32, dan membaca hasilnya 4 pada mistar yang

segaris dengan 1.

FUNGSI

Fungsi adalah suatu aturan atau metode, untuk sembarang dan setiap objek pada

himpunan asal, kita dapat menemukan dengan unik elemen yang berkorespondensi

dalam himpunan bayangan. Seperti apa yang kita harapkan dari uraian ini, fungsi

akan muncul dalam berbagai variasi. Perhatikan beberapa pemetaan yang diuraikan

dalam bab ini, kita dapat menemukan:

Pemetaan Fungsi

{mobil)} {nomor regitrasi} lihat pada buku registrasi mobil

{bilangan asli} {bilangan bulat} Tulis + didepan bilangan


{asal dari ukuran tinggi}

{bayangan digunakan untuk hilangkan satuan dan kurangkan

menghitung rata-rata} 160

{titik pada elips} {titik pada lingkaran} proyeksi ortogonal yang cocok

{Bilangan rasional positif} {logarima} gunakan tabel logaritma

Pada contoh terakhir, fungsi logaritma diberikan dalam bentuk yang paling

baik untuk digunakan dalam perhitungan sehari-hari Perhatikan tabel yang memenuhi

fungsi yang diminta . Jika kita ingin tahu bagaiman tabel tersebut disusun, persamaan

fungsinya adalah : Log (x) = . Logarima ini disebut logaritma natural basisnya

bukan 10, tetapi berdasarkan hal ini digunakan basis 10 karena mudah dihitung.

Cara-cara berbeda dalam menyimbolkan fungsi yang sama membantu kita

untuk mengerti atau memusatkan perhatian kita pada aspek-aspek yang berbeda

dalam memahami fungsi.

Berikut ini suatu fungsi yang disajikan dalam 6 cara yang berbeda:

o Dengan kata-kata Kuadrat dari

o Dengan diagrakm Venn

Dan anak panah

o Dengan persamaan, x sebagai y = x2

variabl elemen dari himp asal dan

y variabel elemen dari himp bayangan

1

2

3

4

1 2 34 5 7 6 8 10 12 9 16 1718 29


o Dengan tabel Himp. asal 1 2 3 4 5

Himp.Bayangan 1 4 9 16 25

o Dengan memasangkan unsur-unsur yang {(1,1), (2,4), (3,9) (4,16)

(5,25)...}

Bersesuaian, dalam hal ini akan diper-

Oleh himpunan baru yang unsur-

Unsurnya merupakan pasangan terurut

o Dengan grafik kartesius y

x

Salah satu cara yang sangat berguna adalah

menunjukkan bayangan dari suatu elemen x x2

variabel dari himpunan asal

Hal ini memungkin kita menetapkan berbagai f: x x2

fungsi dengan bayangan yang berbeda g: x x3

h: x 1/xHal ini dapat dibaca bahwa f adalah fungsi yang memetakan x ke x2 dan seterusnya.

Pada diagram venn, tabel dari himpunan pasangan terurut , himpunan asal

muncul sebagai himpunan bilangan asli, dengan nol dihilangkan. Tetapi kita tahu

bahwa fungsi ini dapat dikenakan pada semua jenis himpunan, himpunan bilangan

bulat, bilangan pecah, rasional dan bilangan real. Meskipun seperti dalam tabel hanya


ditulis untuk bilangan-bilangan yang terbatas, tapi cukup jelas untuk menetapkan

secar eksplisitdomain dari fungsi ini (yaitu himpunan bilangan real). Secara umum

domain sembarang fungsi adalah himpunan dari obyek-obyek dalam himpunan asal

yang memberikan bayangan.

Berikut ini beberapa contoh fungsi yang disajikan sebagai persamaan aljabar

1) y = 7x + 4 2) y = 1/x 3) y = x 4) y = (x+1)(x-2)

Daerah asal yang dari contoh kedua adalah bilangan real kecuali nol, karena 1/0 tidak

mempunyai arti.

Berikut ini akan disajikan fungsi lain yang berbeda contoh-contoh di atas yang

disebut sebagai fungsi aljabar yakni semua fungsí yang domainnya adalah himpunan

semua titik pada bidang. Setiap gambar geometri dapat dipikirkan sebagai himpunan

titik, garis dapat dianggap sebagai titik-titik yang sangat rapat jaraknya dan kontinu.

Sehingga fungís ini disebut transformasi geometri, berperan pada setiap gambar

geometri , bayangannya menjadi gambar geometri yang lain. Dalam diagram di

bawah ini F menyatakan gambar semula dengan P sebagai titik variable terletak

padanya, F’ dan P’ merupakan bayangannya.

Pencerminan terhadap garis m, dengan m merupakan sumbu segmen garis PP’

m

P P’


Rotasi dengan pusat O, dengan besar sudut yang diberikan

P P’

O

Translasi dengan jauh dan arah yang ditentukan

P P’

Dilatasi dengan pusat O, dalam kasus ini faktornya 2

P’

P

O


Tarikan (peregangan): Suatu dilatasi dengan hanya satu arah. Disini jarak setiap titik

terhadap garis s dikalikan dua

s

P P’

Pelingsiran : lebih mudah memahami dengan gambar dari pada menguraikannya

dengan kata-kata s

P

P’

Operasi Pada Fungsi

Sekarang kita mempunyai dua kelas dari fungsi yaitu yang direpresentasikan dengan

persamaan aljabar seperti yang telah diberikan, yang disebut dengan fungsi aljabar

dan geometri transformasi. Selanjutnya wajar kalau dipertanyakan, apakah ada

operasi yang dapat kita lakukan pada fungsi-fungsi seperti ini, seperti yang kita

kerjakan pada bilangan?. Jika dapat kita lakukan, apakah kita mendapatkan sistem

bilangan baru? Jika tidak, sistem matematika apa yang kita peroleh? Bagaimana

karakteristiknya?.

Kita mulai dengan fungsi aljabar. Misalkan untuk menunjukkan peta dari x,

yang diperoleh dengan mengenakan fungsi f pada x dinotasikan dengan f(x).

Perhatikan bahwa ini tidak berarti mengalikan f dengan x , ini hasil dari menerapkan


fungsi f pada x dan disebut nilai dari f. Kita katakan x dipetakan oleh f pada f(x) dan

disingkat menjadi

x f f(x)

Untuk keprluan penulisan dan pengetikan sering ditulis f: x f(x) yang

di-baca ” f mematkan x ke f(x). Karena f suatu fungsi aljabar yang memtakan

bilangan kebilangan, semua nilai fungsinya adalah bilangan real. Misalkan diambil g

sebagai fungsi yang lain , kita dapat mendefinisikan fungsi aljabar yang baru yang

disebut jumlah dari f dan g dan ditulis sebagai f g dengan x adalah semua nilai

dalam daerah asal f dan g.

f g: x f(x) + g(x)

dalam hal ini merupakan jumlah pada f dan g, sedangkan + jumlah pada f(x) dan

g(x). Kita juga bisa mendefinisikan suatu fungsi yang disebut hasil kali dari f dan g

dan ditulis sebagai f . g yang menyatakan bahwa f . g: x f(x) x g(x)

Dari kedua definisi ini dapat dilihat bahwa sebarang fungsi aljabar mempunyai sifat

seperti sistem bilangan. Sebagai contoh

Contoh: f g: x f(x) + g(x)

g f: x g(x) + f(x)

Karen a f(x) dan g(x) adalah bilangan, maka penjumlahan fungsi bersifat komutatif,

dan juga sifat-sifat fungsi yang lain dibawah operasi dan . adalah sama dengan

sifat-sifat bilangan real. Operasi-operasi ini tidak dapat diterapkan pada geometri

transformasi. Disini domain adalah himpunan titik pada bidang dan fungsinya bernilai

titik juga. Dan penjumlahan dua titik tidak mempunyai arti. Sebagai contoh, jika M

mewakili transformasi cerminan pada garis m, dan M(P) berarti peta dari titik P di

bawah transformasi cerminan pada garis m (dalam hal ini sama dengan mengatakan

M(P) adalah nilai fungsi dari M untuk P) dan jika N dan N(P) punya arti yang sama

untuk pencerminan terhadap garis n yang lain, kita tidak punya arti untuk M(P) +

N(P) analog seperti f(x) + g(x).


m n

P • •M(P)

• N(P)

Sehingga jenis khusus dari penjumlahan dan hasil kali tidak dapat diterapkan pada

fungsi secara umum. Tetapi ada jenis hasil kali yang dapat diterapkan sekaligus pada

fungsi aljabar dan geometri transformasi dan juga banyak fungsi yang lain. Hasil kali

ini disebut komposisi dari dua fungsi dan ini merupakan fungsi tunggal yang hasilnya

sam dengan jika fungsi f dan g diterapkan secara berurutan. Diagram Venn dari

komposisi ini digambarkan sebagai berikut:

Himp. asal Himp.bayangan f himp. bayangan gf

f g

gf

Jika x adalah variabel dari himpunan asal, f(x) adalah peta dari x dibawah f, dan

g(f(x) adalah peta dari f(x) dibawah g, maka gf fungsi yang memetakan semua x ke-

gf(x) dalam notasi yang telah dikenal sebelumnya ditulis sebagai berikut:

Jika f: x f(x)

dan g: x g(x)

Sehingga g: f(x) gf(x), berarti g(f(x))

maka gf: x gf(x)

x gf(x)

f(x)


Walaupun f fungsi yang terletak di depan , cara penulisan komposisi tersebut adalah

gf. Hasil komposisi ini pada umumnya tidak komutatif seperti dua contoh berikut ini.

1. Misalkan f dan g fungsi aljabar dengan f ”kuadrat dari” dan g”satu lebih banyak”

f g

gf

Jika f: x x2 g: x x + 1 sehingga g :x2 x2 + 1, maka gf: x x2 + 1

Jika g: x x + 1 dan f: x x2 sehingga f:x+1 (x+1)2, maka fg:x (x+1)2

2. Geometri Transformasi; Misalkan M dan N seperti pada transformasi yang telah

dijelaskan sebelumnya , dengan pencerminan berturut-turut terhadap garis m dan

n , maka NM(P) adalah pencerminan pertama di m, misalkan M(P), hasil ini

kemudian dicerminkan lagi di n dan menghasilkan NM(P)

m n

P M(P)

NM(P)

Selanjutnya MN(P) adalah pencerminan pertama di n hasilnya N(P), hasil ini

kemudian dicerminkan terhadap m dan menghasilkan MN(P)

x x2+1

x2


m

n

P

MN(P) N(P)

TURUNAN

Bagi yang akrab dengan kalkulus akan sering menggunakan turunan. Turunan

merupakan operasi yang dikenakan pada fungsi tunggal, yang menghasilkan fungsi

lain yang disebut deravatif (turunan dari fungsi tersebut). Jika f adalah fungsi yang

berkaitan dengan gerakan benda , yang bergerak dari titik awal pada waktu t, maka

turunan dari fungsi f (ditulis dengan f’) menyatakan kecepatan pada waktu t dengan

menurunkan lagi fungsi f’ maka akan diperoleh fungsi lain f’’ yang menyatakan

percepatan pada waktu t.

Pada saat pertama kali melakukan penurunan suatu fungsi mungkin

melibatkan agak banyak perhitungan aljabar, dan hasil ini menyebabkan kita

menganggap bekerja dengan turunan tidak menyenangkan. Namun tidak sulit untuk

menunjukkan bahwa jika f g, maka (1) (f g)’= f’ g’ (2) (f . g)’= f’g +fg’

(3) (gf)’= g’f.f

Yang pertama menyerupai sifat distributif dari sistem bilangan dan dapat kita katakan

bahwa turunan bersifat distributif terhadap penjumlahan fungsi. Namun dua yang lain

adalah baru.

skemp bab 14 pemetaan dan fungsi

Documents