segunda practica de algebra lineal fiis uni

8/18/2019 Segunda practica de Algebra Lineal FIIS UNI

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA

Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas

ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS

CURSO : ALGEBRA LINEAL CICLO : 2011 - IICODIGO : CB-111DOCENTE : L. KALA, A. HUAMAN, R. CHUNG FECHA : 13.10.11

1.- Dadas las matrices

1 2 12 31 12 211

2 3 A F F F F F α αα

donde 1 A y

2 3 1 1

3 3 2 3 2

2 1 2 1

b b b

B b b b

b b

Para qué valores de “b” La matriz A B tendrá rango 3, 2, 1?.

2.-Sea el sistema de ecuaciones lineales AX B donde A es una matriz cuadrada

Si 2 13 12 1 32 211

( 1) ( 1) (2) ( 2) ( 1)( )1

F F a F F F F A B M a

donde A B

es la matriz aumentada del sistema y

2

2

1 0 0 1

0 2 3 2 2

0 1 2 2 1

M a a a

a a a a

Para qué valores de “a” el S.E.L tendrá

a) Solución única?. Calcular , b) Infinitas soluciones que dependen de un parámetro

c) Infinitas soluciones que dependen de dos parámetros , d) Inconsistencia

3.- Sea la matriz

1

1

1

a b c

A a b c

a b c

, donde ,a b y c son números enteros, .

0 A , ( ) 5

2

adj A

y1 1

33 3

adj A

.

Calcular 1

T A A

si es que existe.

4.- Sea 1

T T B A A A A

, donde

1 2

1 0

1 1

A

. Expresar 212

T B B

como un producto de matrices elementales fila.

Victoria

PRÁCTICA CALIFICADA N° 2


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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIAFacultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas


CURSO : ALGEBRA LINEAL CICLO : 2011– ICODIGO : CB-111DOCENTE : L. KALA, A. HUAMAN, R. CHUNG FECHA : 12.05.2011

1.- sean las matrices:

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1

a

a A

b

b

y

2

2

1 1 2 3

1 2 2 3

2 3 1 5

2 3 1 9

a B

b

donde 0a , 0b . Para qué valores de a y b el rango de 2 T

ABC es 4, 3, 2, 1,

sabiendo que C es una matriz involutiva.

2.- Sea la matriz cuadrada A con determinante positivo

Si ( ) 4adj kA

4 1

( ) 4 11 7 3

3 1

x

adj A

x

y ( ) 8k adj A

Expresar la matriz A como un producto de matrices elementales fila.

3.- Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales

2

2 2 2

1 x ay a z

x ay abz a

bx a y a bz a b

Para que valores de a y b el sistema tendrá:

a) Solución única. Calcular

b) Infinitas soluciones que dependen de un parámetro

c) Infinitas soluciones que dependen de dos parámetros

d) Inconsistente.

4.- Resolver el sistema de ecuaciones lineales ( ) A C X B donde

2 1 1

3 3 1

5 1 1

a

A a

a

,1

23 2 13 12 1

1 1( 2) ( 6) ( 4)

3 2C F F F F F

,

, , T

X x y z y 21, ,T

B a a

Victoria

PRACTICA CALIFICADA Nº 2


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CURSO : ALGEBRA LINEAL CICLO : 2010 – IIICODIGO : CB-111

DOCENTE : A. HUAMAN, G. TAFUR FECHA : 28.01.11

1.- Sea

1

1

1

a b c

A a b c

a b c

donde a, b, c son enteros tal que 3 A y abc = -6

0( ) 5

2

b cadj A a c

a b

y9

( ) 6 4 5

15 25

t adj A A c b

calcular 1

t A A

2.- Dada la matriz A de orden 52 2 2 2 2

3 3 3 3 3

4 4 4 4 4

2 3 5 2

2 4 2

3 9 3

4 16 4

5 25 5

x x x x y x y

x x x y y

x x x y y A

x x x y y

x x x y y

para que valor o

valores de x e y la matriz A i) Tiene inversaii) Tiene rango 5, 4

3.- En la matriz

1 2 1 0 3

2 4 2 1 6

1 2 0 7 3

0 1 2 4 0

a c A

c

¿qué valores debe tener a y c para

que el rango sea 3?.

4.- Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas, justifique su respuesta

a) Si A idempotente de orden n y X es un vector no nulo de orden 1n tal que

AX t X , entonces 1t ó 0t

b) Si , A B y C son matrices de orden n y BAC I , entonces 1 A BC

c) Si 21 1det

jl l

j j j j j j

j

a m q

A b n r A l A

c p s



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CURSO : ALGEBRA LINEAL CICLO : 2010 – IICODIGO : CB-111DOCENTE : A. HUAMAN, R. CHUNG FECHA : 15.10.10

1.- Dada la matriz

2 3 4

2 3 4

2 3 4

2 3 4

2 3 4

1

2 3 4 5 6

3 7 13 21 31

1

2 3 4 5 6

x x x x

x x x x

A x x x x

y y y y

y y y y

Para qué valores de e x y la matriz A tiene rango 5, 4

2.- Si A y B son Involutivas y Conmutables uno del otro. Halle (A+B)2

5 8 0

3 5 0

1 2 1

AB BA

3.- Si la matriz

a b c

A x y z

u v w

Es no singular que valores debe tener m para que la matriz

a bm x ym u vm

B am b xm y um v

c z w

tenga inversa

4.-Resolver t

X Y A

2 2t t X Y b

Donde X, Y son matrices de orden 3 3 donde12

0 1 2

0 0 2

0 0

A

1

1 1 2

0 1 4

0 0 2

B

Victoria



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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA

Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas


CURSO : ALGEBRA LINEAL CICLO : 2010-I

CODIGO : CB-111

DOCENTE : A. HUAMAN, R. CHUNG FECHA : 14.05.2010

1.- Resolver el sistema:

2 2 x y w u = 44

2 3 x y z u = 22

2 2 y z yw u = -664 x z w = -1102 x y z u = 88

2.- Hallar los valores (o el valor) de x para que la matriz

2 1 1 2

4 2 2 4

5 2 3 2

1 3 2 6

8 3 2 1

x

A

x x

x

Tenga a) Rango 3 b) Rango 4

3.- Sea el siguiente sistema de ecuaciones lineales

2 2 23 ( 1) 3 ( 1) 2 x a y a z b w a b

2 2 22 ( 1) 3 ( 1) x a y a z b w ab

2 2 2 23 ( 1)a y a z b w b

2 2 2 22 ( 1)a x a y a z b w a b

Para qué valores de a y b el sistema de ecuaciones lineales tendrá

a) Solución única. Calcular

b) Infinitas soluciones (que dependen de un parámetro, 2 parámetros, 3 parámetros).Calcular

4.- Dadas las matrices , , A B C matrices de orden 3 si AC = B tal que

0 1/ 2 1/ 2

1 / 2 0 1/ 2

1 / 2 0 1/ 2

A

y

1 1 1

1 2 3

1 4 5

B

Exprese la matriz C y C

-1como un producto de matrices elementales.



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CURSO : ALGEBRA LINEAL CICLO : 2009-IIICODIGO : CB-111

DOCENTE : A. HUAMAN, R. VASQUEZ FECHA : 22 .01.2010

1.- Dados los puntos P= (0, 0, 0) y Q = (1, 1, 1): Determine las proyecciones de los puntos

P y Q y además indique si los puntos P y Q se encuentran arriba o debajo del plano P

que pasa por el punto (1, 4,-2) y dista una unidad de la recta : (2,6,5) (2, 4,0) L t ,

t

.

2.- Sean R y : 17 17 7 298 0W x y z dos planos secantes, sean los puntos

3 5, ,2

2 2P

, A y B comunes a los dos planos R y W .

( 8, ,19) D r es un punto de W, Q es un punto de la recta 2 L D W a

w R

tal que 1PQ L , 2PQ L , / / QP

(-9,9,-2) , AQ QB , PC = PD , C es un punto

de L2 y del plano R, averiguar en que ángulo diedro de la intersección de los planos R y

W se encuentra en el punto Q y el origen de coordenadas.

3.- En una pirámide A – PRNM, PR PM , el punto P = (-4, -1, 0), los planos

1 : 4 4 0P y z , 2 : 4 0P x y contiene a los triángulos PAN y PAM

respectivamente, el ángulo diedro que forman los planos P3 y P4 que contienen a PRNM

y APR respectivamente mide 45º. El plano P3 es perpendicular al plano que contiene a

RAN, R = (-4, 0, 0), 90ºm PRN , Hallar el ángulo que forman los planos P2 y P3.

4.- a) Dados Los números complejos 1 2, z z y 3 z demuestre que

2

1 3 2 1 2 3 z z z z z z

b) Calcule:

2 4 2( 1)cos cos ... cos

n E

n n n

π π π

Victoria



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CURSO : ALGEBRA LINEAL CICLO : 2009 – IICODIGO : CB-111

DOCENTE : A. HUAMAN, C. MENDOZA FECHA : 16.10.09

1.- Dada la matriz

3

3 2

2

3 2

1

1 1

1 2 3 4

4 3 2 1

x x x

x x A

x x x

x x

Para qué valor o valores de x la matriz A tiene rango 4, 3, 2

2.- Dadas las matrices

3 2

3 2 A

y

0 1

1 0 B

Si 6 2 t n A X Y B A

n

t t t X A Y B , n es entero positivo.

Halle las matrices X e Y de orden 2 x 2

3.- Discutir el siguiente sistema de ecuaciones, resolverlo siempre que sea posible.

1ax by z

x aby z b

1 x by az

4.- Hallar los números reales x, y, z, u, v para los que se verifica

2

0

1

x

y

z

1

0

v

u

=

5 1

3 0

1 2

Victoria



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CURSO : ALGEBRA LINEAL CICLO : 2009 – ICODIGO : CB-111

DOCENTE : A. HUAMAN, L. KALA FECHA : 14.05.09

1.- Si A y B son matrices de orden 4, donde 0abcd

11 1 1 1

11 1 1 1

11 1 1 1

11 1 1 1

a

b A

c

d

,

2

3

4

x x x

x x x B

x x x x x x x

Para qué valores de a, b, c, d y x , el rango ( )r AB tomará su valor máximo y su

valor mínimo.

2.- Los sistemas AX B y A B E X E son equivalentes

2

2

ax by a z c

AX B x ay z b x a y acz ab

3 2 A B

x ay z b

E X E y az ab c z a b c

a) Hallar las constantes a, b y c , si 0a y 2 0a b b) Resolver el sistema AX B , con las constantes halladas en (a)

3.- Dada la matriz 32 1 12 23 131

(2) ( 1) ( ) ( 2) A F F F F F αα

, si el cofactor del elemento

que se encuentra en la fila 1 y columna 3 de la matriz 1 A es -2 y dado el

sistema.

11

1

2

a

A B X

a

con

2 2 2

2 2 2

2 2 2

5 2 4 1

4 2 2 4 1

6 1 2 1 5 1

a a a

B a a a

a a a

Para qué valores de “a” el sistema tendrá:

a) Solución única?. Calcular

b) Infinitas soluciones que dependen de un parámetro, dos parámetros?.

c) Inconsistencia

4.- Si I A es no singular y T T AA A A I . Demostrar que 1( ) I A I A esantisimétrica.



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Victoria


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CURSO : ALGERA LINEAL CICLO : 2008 – IIICODIGO : CB-111DOCENTE : ALEJANDRO HUAMAN, RIQUELMER

VASQUEZFECHA : 30.01.09

1.- Demuestre que

1 1

( ) ( ) ( ) I Adj A Adj A I Adj A

es antisimétrica si

( ) ( ) ( ) ( )t t Adj A Adj A Adj A Adj A I y A es no singular

2.- Dadas las matrices21

31 32

41 42 43

1 0 0 0

1 0 0

1 0

1

a A

a a

a a a

,

a b b b

b a b b B

b b a b

b b b a

y C

Donde 1a b , 9 B , C es simétrica, B = CA , 1 1 1 Adj B Adj CB C ,determinar C .

3.- Sean las matrices

2

2 4 2 2

2 4 3 3

0 0

x y x y x y x y

x y x y x y x y A

x x x y x

x x

donde xy = 42 2 2

2 2 2

2 2 2

a a b a

a a b a B

a a a b a

a a a b a b

C = AB

Para que valores de x, y, a y b el rango de C es 4, 3, 2, 1, 0.

4.- Dada la matriz

2 3 2

a b c

A a a b a b c

a a b a b c

con 1 A si1

(3 ) 79

3

cofac A

Calcule 1( ) ( ) Adj A Adj A

Victoria



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CURSO : ALGEBRA LINEAL CICLO : 2008 – IICODIGO : CB-111DOCENTE : R. VASQUEZ, A. HUAMAN FECHA : 10.10.08

1.- Dado el siguiente sistema

2

1

1

a

A B X

a

sabiendo que , 1 23 32 13 121

(1) ( 2)F F F F F A I αα

0

A

5 6 2 2 4 6

4 2 4 3

6 6 2 1 5 6

a a a

B a a a

a a a

,

1

2

3

x

X x

x

Para que valor o valores de a el sistema

1) Tiene solución única. 2)Tiene infinitas soluciones 3) No tiene solución

2.- Dada la matriz

2 1 1 1

1 2 1 1

1 1 2 1

1 1 1 2

A

expresar 1 2

I A I A

como un producto de matrices elementales.

3.- Sea el sistema de ecuaciones lineales 1 DX C B donde

3 1 3

5 3 3

1 3 5 0

7 5 4

a

a D

b

, 1

0 1 2 0

0 0 1 0

1 0 0 0

3 0 0 1

C

,

x

y X

z

w

,

7

3 B

una solución es :3

( ) , ( ) , ,1

b f t g t t

b

, t , 1b cuando a = 2

Para que valores de a y b el sistemaa)Tiene solución única. Calcular

b) i) Tiene infinitas soluciones

ii) Es inconsistente

4.- Sea el sistema de ecuaciones lineales:

(3 3 ) 2 2 3a b x bz aw a

(2 2 ) 2a b x a y bz a w a b

( )a b x bz aw a

Para que valores de a y b el sistema

a) Tiene solución única. Calcular b) La solución depende de un parámetro

c) La solución depende de dos parámetros d)La solución depende de tresparámetro e) No tiene solución



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CURSO : GEOMETRÍA ANALÍTICA CICLO : 2008 – ICODIGO : CB-101DOCENTE : L. KALA, J. MONZON, R. VASQUEZ FECHA : 22.05.08

1.- En un triángulo ABC , los puntos P y Q pertenecen a BC , R y T pertenecen a AC .

(área ) 3 ABC (área ) 2 ABP (área ) AQC ,

(área1

)5

BRT (área1

)2

BRC (área BAT )

AP BR D , AP BT E , AQ BR G , AQ BT F .

a) En qué razón los puntos D, E, F y G dividen respectivamente a los segmentos

interiores del triángulo ABC ?.

b) Si AB m DF n GE

, calcular m – n .

2.- Sea el triángulo ABC, sentido horario, la recta L: y = 4 es bisectriz del ángulo exterior en

el vértice B, L interseca a la prolongación del lado AC en el punto P cuya abscisa es 18,P divide a AC en la razón - 2 , .( 4,3) 5 BC BC

y 2 (16,0) AB CB

. Encontrar

los vértices del triángulo ABC.

3.- En un cuadrilátero convexo ABCD, sentido horario, la m ABD m BCD m CDA ,

20

, 511

d A BD , 5 5 BD , (1,2) AB r

, 0r , (11,2) (0,1) DC L t , es la

ecuación de la recta que contiene a DC , (7,5) E AD , hallar la ecuación de la recta

que contiene a BC .

4.- En un triángulo ABC sentido horario, ( 6,6)CB

,3

tan7

BAC , se traza la ceviana

BD D AC de manera que 90m BCA m ABD ,60

2929

BD , calcular la

pendiente de la recta que contiene a AC .

Victoria


segunda practica de algebra lineal fiis uni

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