simultaneous linear equations -...

2013/9/9

T O P I C : G A U S S - S E I D E L M E T H O D

SIMULTANEOUS LINEAR EQUATIONS

GAUSS-SEIDEL METHOD

Adalah metode ITERASI

Prosedur dasar:

- Menyelesaikan tiap persamaan linier secara aljabar untuk xi

- Membuat nilai asumsi solusi

- Selesaikan untuk tiap xi dan ulangi

- Gunakan perkiraan kesalahan relatif tiap akhir iterasi untuk

mengecek apakah error sudah mencapai angka toleransi.

GAUSS-SEIDEL METHOD

Kenapa?

Untuk mengatasi round-off error (kesalahan pembulatan).

Metode eliminasi seperti Gaussian Elimination and LU

Decomposition(*) rawan terhadap kesalahan pembulatan.

GAUSS-SEIDEL METHOD

Algorithm Sistem persamaan linier

11313212111 ... bxaxaxaxa nn

2323222121 ... bxaxaxaxa n2n

nnnnnnn bxaxaxaxa ...332211

. .

. .

. . Kita mengubah sistem persamaan [A]{X}={B} untuk menyelesaikan x1 dengan persamaan pertama, menyelesaikan x2 dengan persamaan kedua, dan seterusnya.

GAUSS-SEIDEL METHOD

Algorithm General Form of each equation

11

11

11

1a

xac

x

n

jj

jj

22

21

22

2a

xac

x

j

n

jj

j

1,1

11

,11

1

nn

n

njj

jjnn

na

xac

x

nn

n

njj

jnjn

na

xac

x

1

MENJADI:

33

23213133

22

32312122

11

31321211

a

xaxabx

a

xaxabx

a

xaxabx

Now we can start the solution process by choosing guesses for the x’s. A simple way to obtain initial guesses is to assume that they are zero. These zeros can be substituted into

x1equation to calculate a new x1=b1/a11.

Untuk sistem persamaan 3x3

BATAS AKHIR ITERASI

New x1 is substituted to calculate x2 and x3. The procedure is repeated until the convergence criterion is satisfied:

kandiperkenanbaru

i

lama

i

baru

i

iax

xx 100

t

a

approximation error, sering digunakan, seringkali disebut sebagai galat absolut. True error, kurang berarti. digunakan Relative error,

dalam prosentase

GAUSS-SEIDEL METHOD: EXAMPLE 1

2.279

2.177

8.106

x

x

x

112144

1864

1525

3

2

1

Diketahui sistem persamaan

Initial Guess: asumsi nilai awal,

5

2

1

3

2

1

x

x

x


2.279

2.177

8.106

x

x

x

112144

1864

1525

3

2

1

Tulis ulang untuk aplikasi

Gauss-Seidel

25

58.106 321

xxx

8

642.177 312

xxx

1

121442.279 213

xxx


Masukkan nilai perkiraan awal untuk selesaikan xi

5

2

1

3

2

1

x

x

x6720.3

25

)5()2(58.1061

x

8510.7

8

56720.3642.1772

x

36.155

1

8510.7126720.31442.2793

x

Initial Guess


36.155

8510.7

6720.3

3

2

1

a

a

a

100x

xxnew

i

old

i

new

i

ia

%76.72100x6720.3

0000.16720.31

a

%47.125100x8510.7

0000.28510.72

a

%22.103100x36.155

0000.536.1553

a

Finding the absolute relative approximate error

At the end of the first iteration

The maximum absolute

relative approximate error is

125.47%


36.155

8510.7

6720.3

3

2

1

a

a

a

Iteration #2 Using

056.12

25

36.1558510.758.1061

a

882.54

8

36.155056.12642.1772

a

34.798

1

882.5412056.121442.2793

a

from iteration #1

the values of ai are found:


Hitung “the absolute relative approximate error”

%542.69100x056.12

6720.3056.121

a

%695.85100x

882.54

8510.7882.542

a

%54.80100x

34.798

36.15534.7983

a

Akhir iterasi kedua

34.798

882.54

056.12

3

2

1

a

a

a

Galat absolut terbesar

85.695%


Tersukan iterasi, kita dapatkan nilai berikut.

Iteration a1 a2 a3

1

2

3

4

5

6

3.672

12.056

47.182

193.33

800.53

3322.6

72.767

67.542

74.448

75.595

75.850

75.907

-7.8510

-54.882

-255.51

-1093.4

-4577.2

-19049

125.47

85.695

78.521

76.632

76.112

75.971

-155.36

-798.34

-3448.9

-14440

-60072

-249580

103.22

80.540

76.852

76.116

75.962

75.931

%1a %

2a %3a

! Lho, kok? – Error nya nggak berkurang?

GAUSS-SEIDEL METHOD: PITFALL

Salahnya dimana?

Contoh tadi mengilustrasikan kemungkinan kesalahan pada

Gauss-Siedel method: tidak semua sistem persamaan akan

konvergen.

Is there a fix?

One class of system of equations always converges: One with a

diagonally dominant coefficient matrix.

Diagonally dominant: [A] in [A] [X] = [C] is diagonally dominant

if:

n

jj

ijaa

i1

ii

n

ijj

ijii aa1

Untuk semua ‘i’ ; DAN Untuk minimal

sebuah ‘i’

GAUSS-SEIDEL METHOD: PITFALL

116123

14345

3481.52

A

1293396

55323

5634124

][

B

Diagonally dominant: Koefisien pada diagonal harus sama atau lebih

besar dari jumlah semua koefisien pada baris itu, dan minimal satu baris

harus memiliki diagonal yang lebih besar dari jumlah koefisien pada

baris itu.

Manakah matriks yang diagonally dominant?


Sistem persamaan linier

1 5x -3x 12x 321

28 3x 5x x 321

76 13x 7x 3x 321

1

0

1

3

2

1

x

x

x

Dengan asumsi nilai awal

Matriks Koefisien nya

adalah

1373

351

5312

A

Akan konvergen kah?


1373

351

5312

A

Cek apakah matriks nya diagonally dominant

43155 232122 aaa

10731313 323133 aaa

8531212 131211 aaa

Benar. Seharusnya konvergen dengan Gauss-Siedel Method


76

28

1

1373

351

5312

3

2

1

a

a

a

1

0

1

3

2

1

x

x

x

Tulis ulang

12

531 32

1

xxx

5

328 31

2

xxx

13

7376 21

3

xxx

Asumsi nilai awal

50000.0

12

150311

x

9000.4

5

135.0282

x

0923.3

13

9000.4750000.03763

x


The absolute relative approximate error

%662.6710050000.0

0000.150000.01a

%00.1001009000.4

09000.42a

%662.671000923.3

0000.10923.33a

Galat absolut terbesar di akhir iterasi pertama adalah 100%


8118.3

7153.3

14679.0

3

2

1

x

x

x

0923.3

9000.4

5000.0

3

2

1

x

x

x

Setelah iterasi #1

14679.0

12

0923.359000.4311

x

7153.3

5

0923.3314679.0282

x

8118.3

13

7153.3714679.03763

x

Masukkan nilai x pada persamaan Setelah iterasi #2


Galat absolut dari Iterasi #2

%62.24010014679.0

50000.014679.01

a

%887.311007153.3

9000.47153.32

a

%876.181008118.3

0923.38118.33

a

Galat absolut maksimum 240.62%

Lebih besar dari iterasi #1. Is this a problem?


Ulangi iterasi, didapatkan…

1a 2a 3aIteration a1

a2 a3

1

2

3

4

5

6

0.50000

0.14679

0.74275

0.94675

0.99177

0.99919

67.662

240.62

80.23

21.547

4.5394

0.74260

4.900

3.7153

3.1644

3.0281

3.0034

3.0001

100.00

31.887

17.409

4.5012

0.82240

0.11000

3.0923

3.8118

3.9708

3.9971

4.0001

4.0001

67.662

18.876

4.0042

0.65798

0.07499

0.00000

4

3

1

3

2

1

x

x

x

0001.4

0001.3

99919.0

3

2

1

x

x

xHasil akhir Mendekati solusi sejati

LATIHAN

1

0

1

3

2

1

x

x

x

Sistem persamaan linier

76 13x 7x 3x 321

28 3x 5x x 321

1 5x - 3x 12x 32 1 With an initial guess of

GAUSS-SEIDEL METHOD

1373

351

5312

A

The Gauss-Seidel Method can still be used

The coefficient matrix is not

diagonally dominant

5312

351

1373

A

But this is the same set of

equations used in example #2,

which did converge.

If a system of linear equations is not diagonally dominant, check to see if

rearranging the equations can form a diagonally dominant matrix.

GAUSS-SEIDEL METHOD

Not every system of equations can be rearranged to have a

diagonally dominant coefficient matrix.

Observe the set of equations

3321 xxx

9432 321 xxx

97 321 xxx

Which equation(s) prevents this set of equation from having a

diagonally dominant coefficient matrix?

GAUSS-SEIDEL METHOD

Summary

-Advantages of the Gauss-Seidel Method

-Algorithm for the Gauss-Seidel Method

-Pitfalls of the Gauss-Seidel Method

GAUSS-SEIDEL METHOD

Questions?

METODE PENYELESAIAN

• Metode grafik

• Eliminasi Gauss

• Metode Gauss – Jourdan

• Metode Gauss – Seidel

• LU decomposition

LU DECOMPOSITION

A=LU

Ax=b LUx=b

Define Ux=y

Ly=b Solve y by forward substitution

Ux=y Solve x by backward substitution

LU DECOMPOSITION BY GAUSSIAN ELIMINATION

)(

)(

1

)(

11

)3(

3

)3(

33

)2(

2

)2(

23

)2(

22

)1(

1

)1(

13

)1(

12

)1(

11

4,3,2,1,

3,12,11,1

2,31,3

1,2

0000

000

00

0

1

1

0

001

0001

00001

n

nn

n

nn

n

nn

n

n

n

nnnn

nnn

a

aa

aa

aaa

aaaa

mmmm

mmm

mm

m

A

Compact storage: The diagonal entries of L matrix are all 1’s, they don’t need to be stored. LU is stored in a single matrix.

There are infinitely many different ways to decompose A. Most popular one: U=Gaussian eliminated matrix L=Multipliers used for elimination

NEXT: SOLUSI PERSAMAAN NON LINIER

• Persamaan matematis yang sulit diselesaikan dengan “tangan” analitis, sehingga diperlukan penyelesaian pendekatan numerik

• Metode Numerik: Teknik menyelesaikan masalah matematika dengan pengoperasian hitungan, umumnya mencakup sejumlah besar kalkulasi aritmetika yang sangat banyak dan menjenuhkan

• Diselesaikan dengan algoritma (serangkaian perintah untuk menyelesaikan masalah), sehingga diperlukan bantuan komputer untuk melaksanakannya

SUMBER GALAT / ERROR

• Kesalahan pemodelan

contoh: penggunaan hukum Newton

asumsi benda adalah partikel

• Kesalahan bawaan

contoh: kekeliruan dlm menyalin data

salah membaca skala

• Ketidaktepatan data

• Kesalahan pemotongan / penyederhanaan

persamaan(truncation error)

• Kesalahan pembulatan (round-off error)

SOLUSI PERSAMAAN NON LINEAR

1)Metode Akolade (bracketing method)

/ Closed method

• Metode Bagi dua (Bisection Method)

• Metode Regula Falsi (False Position

Method)

• Metode Grafik

Keuntungan: selalu konvergen

Kerugian: relatif lambat konvergen

SOLUSI PERSAMAAN NON LINEAR

2) Metode Terbuka

Contoh: • Iterasi Titik-Tetap (Fix Point Iteration)

• Metode Newton-Raphson

• Metode Secant

Keuntungan: cepat konvergen

Kerugian: tidak selalu konvergen

simultaneous linear equations -...

Documents