sistem kendali 02. tempat kedudukan akar - nadya amalia 2011
DESCRIPTION
Tempat Kedudukan AkarTRANSCRIPT
LAPORAN PRAKTIKUM
SISTEM KENDALI
PERCOBAAN II
TEMPAT KEDUDUKAN AKAR
NAMA : NADYA AMALIA
NIM : J1D108034
ASISTEN : NURILDA HAYANI
PROGRAM STUDI S-1 FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMBUNG MANGKURAT
BANJARBARU
2011
Lembar Pengesahan
Laporan Praktikum Sistem Kendali
Nama : Nadya Amalia
NIM : J1D108034
Judul Percobaan : Tempat Kedudukan Akar
Tanggal Percobaan : 17 Nopember 2011
Fakultas : MIPA
Program Studi : Fisika
Nilai
Banjarbaru, 2011
( Nurilda Hayani )
PERCOBAAN II
TEMPAT KEDUDUKAN AKAR
I. TUJUAN
1. Mampu memahami prinsip tempat kedudukan akar dan menggambarkan
kurva tempat kedudukan akar dari suatu sistem.
2. Mampu menganalisis kestabilan system dengan menggunakan tempat
kedudukan akar.
II. DASAR TEORI
2.1 Respon Transien
Transient response menunjukkan karakteristik output terhadap input dalam time
domain. Karakteristik suatu sistem kendali biasanya dilihat dari transient response-
nya. Hal ini karena sistem dengan penyimpanan energi tidak bisa merespon seketika
itu juga dan akan selalu menunjukkan transient response ketika sistem itu diberi input
atau gangguan. Untuk menganalisa sistem kendali biasanya digunakan standar input
seperti fungsi impulse, step, ramp, atau sinusoidal. Input yang paling sering
digunakan adalah unit step, karena input ini menyediakan informasi tentang
karakteristik transient respons dan steady state respons dari suatu sistem. Secara
umum setiap kita mengaktifkan suatu sistem, kita mengaktifkan fungsi step.
Gambar diagram blok :
Gambar 1.a Gambar 1.b
Keterangan :
Gambar 1.a. Blok diagram suatu sistem kendali
Gambar 1.b. Blok diagram suatu sistem kendali yang disederhanakan di mana:
G(s) = Gc(s)Gp(s) dan H(s) = 1 (2.1)
Perhatikan gambar 1.b. Fungsi alih lingkar tertutup dari sistem kendali tersebut
adalah:
(2.2)
(2.3)
Transient respons dari sistem adalah invers Transformasi Laplace dari C(s) atau
c(t)=L-1 [C(s)]
1. Sistem orde –1
Sistem orde –1 mempunyai bentuk umum fungsi alih sebagai berikut :
(2.4) (2.6)
dimana τ adalah konstanta waktu
2. Sistem orde –2
Bentuk fungsi alih lingkar tertutup dari sistem orde –2 adalah sebagai berikut:
(2.5) (2.8)
Dengan ξ merupakan koefisien redaman yang menunjukkan apakah sistem
orde-2 tersebut overdamped, underdamped, critically damped atau oscilatory
(lihat pada lampiran). Sedangkan ωn adalah frekuensi natural.
Dalam perancangan suatu sistem kendali harus diketahui spesifikasi-spesifikasi
yang mendefinisikan karakteristik sistem.
Spesifikasi transient respons sebagai berikut :
Rise time (Tr)
Peak time (Tp)
Persent Overshoot (%OS)
Settling time (Ts)
Final Value (Fv) atau nilai steady state
2.1 Tempat Kedudukan Akar
Karakteristik dasar tanggapan peralihan suatu sistem lingkar tertutup
ditentukan oleh pole-pole lingkar tertutup. Jadi dalam persoalan analisis, perlu
ditentukan letak pole-pole lingkar tertutup pada bidang s. Dalam disain sistem
lingkar tertutup, akan diatur pole dan zero lingkar terbuka sedemikian rupa
sehingga pole dan zero lingkar tertutup pada posisi yang diinginkan. Pole-pole
lingkar tertutup adalah akar-akar persamaan karakteristik. Untuk mencarinya
diperlukan penguraian persamaan polinomila karakteristik atas faktor-faktornya.
Pada umumnya ini sulit jika derajat polinomial karakteristiknya tiga atau lebih
tinggi. Teknik klasik penguraian polinomial atas faktor-faktornya adalah kurang
ampuh karena penguatan fungsi alih lingkar terbuka berubah maka perhitungan
arus diulang.
Metoda tempat kedudukan akar merupakan suatu metoda dengan
menggambar akar-akar persamaan karakteristik untuk semua harga dari suatu
parameter sistem. Akar-akar untuk suatu harga tertentu dari parameter ini
selanjutnya terletak pada grafik yang diperoleh. Perhatikan bahwa parameter ini
biasanya adalah penguatan tetapi setiap variabel lain dari fungsi alih lingkar
terbuka juga dapat digunakan. Jika tidak disebutkan, dianggap bahwa penguatan
fungsi alih lingkar terbuka merupakan parameter yang diubah di seluruh daerah
harganya yaitu dari nol sampai tak terhingga.
Tempat kedudukan akar-akar persamaan karakteristik sistem lingkar
tertutup jika penguatan diubah dari nol sampai tak terhingga memberikan latar
belakang pemberian nama metoda ini. Diagram ini secara jelas menunjukkan
konstribusi tiap pole dan zero ingkar terbuka pada letak pole-pole lingkar tertutup.
Metoda tempat kedudukan akar memungkinkan untuk mencari pole-pole lingkar
tertutup dari pole dan zero lingkar terbuka dengan penguatan sebagai parameter.
Metoda ini menghilangkan kesulitankesulitan yang timbul pada teknik klasik
dengan memberikan peragaan grafis semua pole lingkar tertutup untuk semua
harga penguatan fungsi alih lingkar terbuka.
Gambar 2.1 Diagram blok system kendali lingkar tertutup
Fungsi alih lingkar tertutup Gambar 2.1 adalah
(2.6)
Persamaan karakteristik sistem lingkar tertutup adalah
1 + G(s)H(s) = 0 (2.7)
atau
G(s)H(s) = -1 (2.8)
Karena G(s)H(s) adalah besaran kompleks maka persamaan (2.7) dapat
dipisahkan menjadi dua persamaan dengan menyamakan masing-masing sudt dan
besar kedua uas persamaan tersebut untuk mendapatkan
Syarat sudut
∠G(s)H(s) = ±180o (2k + 1) dimana (k = 0,1,2,......) (2.9)
Syarat besar
|G(s)H(s)| = 1 (2.10)
Harga-harga s yang memenuhi syarat sudut dan syarat besar adalah akar-
akar persamaan karakteristik atau pole-pole lingkar tertutup. Suatu diagram dari
titik-titik pada bidang kompleks yang hanya memenuhi syarat sudut adalah tempat
kedudukan akar dan akar-akar persamaan karakteristik untuk suatu harga
penguatan yang diberikan dapat diperoleh dari syarat besar. Sebelum membahas
suatu metoda untuk menggambar diagram tempat kedudukan akar secara
terperinci akan diberikan suatu ilustrasi diagram tempat kedudukan akar untuk
sistem orde kedua sederhana dengan fungsi alih terbuka berikut
(2.11)
Fungsi alih lingkar tertutupnya
(2.12)
Persamaan karakteristik sistem adalah
𝑠2 + 𝑠 + 𝐾 = 0 (2.13)
Akan ditentukan tempat kedudukan akar-akar persamaan (2.13) jika K
diubah dari nol sampai tidak terhingga. Untuk memberikan gambaran yang jelas
mengenai rupa diagram tempat kedudukan akar sistem ini, pertama-tama akan
dicari akar-akar persamaan karakteristik secara analitis dalam bentuk K dan
kemudian mengubah K dari nol sampai tidak terhingga. Harus diingat bahwa ini
bukan merupakan cara yang benar untuk menggambar diagram tempat kedudukan
akar. Cara yang benar adalah menggunakan pendekatan coba-coba secara grafis
dan pekerjaan ini dapat disederhanakan dengan menerapkan aturan-aturan umum
yang akan diberikan pada Bagian 2.8 . Akar –akar persamaan karakteristik
persamaan (2.13) adalah
(2.14)
(2.15)
Akar-akar persamaan (2.14) dan (2.15) adalah nyata untuk 𝑘 ≤ 1 4⁄ dan
kompleks untuk 𝑘 > 4.
III. PERANGKAT YANG DIPERLUKAN
1. Pentium-based PC
2. Software Matlab 6.5 atau 7 dan Simulink
3. Program penunjang praktikum
IV. LANGKAH-LANGKAH PERCOBAAN
a. 𝐺(𝑠) =𝑠2+1
𝑠(𝑠+2)
%root locus plot
num=[1 0 1];
den=[1 2 0];
K=0:1:100;
Rlocus(num,den,K);
grid
title('Root loci = us plot dari K(s^2-1)/[s(s-2)]')
b. Melakukan hal yang sama untuk persamaan system berikut
𝐺(𝑠) =2𝑠2+5𝑠+1
𝑠(𝑠+2)+3, 𝐻(𝑠) = 1
c. 𝐺(𝑠) =𝐾(0,2𝑠+1)
𝑠(𝑠+2)(𝑠+2), 𝐻(𝑠) = 1
V. DATA HASIL PERCOBAAN
5.1 Hasil
Tabel 1. Data hasil pengamatan
No. Fungsi alih plant G(s) Fungsi
alih H(s) Closed loop poles
K batas
kestabilan
1 𝐺(𝑠) =𝑠2
𝑠(𝑠 + 2) 𝐻(𝑠) = 1
−0,0298 ± 0,985i
−0,151 ± 909i
−0,339 ± 737i
−0,422 ± 0,615i
−0,463 ± 0,554i
32,5
5,62
1,94
1,32
1,13
2 𝐺(𝑠) =2𝑠2 + 5𝑠 + 1
𝑠(𝑠 + 2) + 3 𝐻(𝑠) = 1
−1 ± 0,24i
−1 ± 0,916i
−1 ± 1,13i
−1 ± 1,3i
−1 ± 1,41i
0,913
0,306
0,157
0,0561
0,0006744
3 𝐺(𝑠) =𝐾(0.2𝑠 + 1)
𝑠(𝑠 + 2)(𝑠 + 2) 𝐻(𝑠) = 1
0,0448 ± 4,9i
−0,0723 + 3,88i
−0,137 + 3,421i
−0,575 ± 1,16i
−0,693 ± 0,551i
98,1
58
43,6
4,79
2,05
5.2 Pembahasan
a. )2(
1)(
2
ss
ssG , H(s)=1
Fungsi alih plant : )2(
1)(
2
ss
ssG
Fungsi alih : H(s)=1
Fungsi alih lingkar terbuka sistem : KG(s)H(s) = )1()2(
12
ss
sK
Persamaan karakteristik sistem : 1 + KG(s)H(s) = 0
1 + KG(s)H(s) = 0)2(
11
2
ss
sK
0)2(
)1()2( 2
ss
sKss
0)2(
)2 22
ss
KKsss
02)1( 2 KssK
)1(2
4442 2
2,1K
KKs
Tabel 2. Kemungkinan nilai akar untuk fungsi alih persamaan 1.
K s1 s2
-10 0.1111 + 1.0482i 0.1111 - 1.0482i
-1 0.5000 ∞
0 0 -2
10 -0.0909 + 0.9491i -0.0909 - 0.9491i
100 -0.0099 + 0.9950i -0.0099 - 0.9950i
Tabel di atas menunjukkan bahwa sistem memiliki batas kestabilan karena
memiliki akar yang berada disebelah kanan yaitu pada K < 0.
Semua koefisien positif dan tidak nol, oleh karena itu, sistem
memenuhi kondisi penting untuk kestabilan. Batas kestabilan K berdasarkan
analisa Routh Horwitz:
02)1( 2 KssK
S2: 1+K K
S1: 2 0
S0: K ↔ KKKK
2
2
220)1(
Jadi, sistem stabil jika K > 0
b. 3)2(
152)(
2
ss
sssG H(s)=1
Fungsi alih plant : 3)2(
152)(
2
ss
sssG
Fungsi alih : H(s) = 1
Fungsi alih lingkar terbuka sistem : KG(s)H(s) = )1(3)2(
152 2
ss
ssK
Persamaan karakteristik sistem : 1 + KG(s)H(s) = 0
1 + KG(s)H(s) = 03)2(
1521
2
ss
ssK
03)2(
5232 22
ss
KKsKsss
0)3()52()21( 2 KsKsK
)21(2
)3)(21(4)52()52( 2
2,1K
KKKKs
Tabel 3. Kemungkinan nilai akar untuk fungsi alih persamaan 2
K s1 s2
-10 -2.3709 -0.1554
-3 -2.6000 0
-2 -2.7863 0.1196
-1 -3.5616 0.5616
0 -1.0000 + 1.4142i -1.0000 - 1.4142i
1 -1.7676 -0.5657
2 -1.8633 -0.5367
3 -2.0000 -0.4286
100 -2.2720 -0.2255
Tabel di atas menunjukkan bahwa sistem memiliki batas kestabilan karena
memiliki yang berada disebelah kanan yaitu pada 0 > K> -3.
Semua koefisien positif dan tidak nol, oleh karena itu, sistem
memenuhi kondisi penting untuk kestabilan. Batas kestabilan K berdasarkan
analisa Routh Horwitz:
0)3()52()21( 2 KsKsK
S2: 1+2K 3 + K
S1: 2+5K 0
S0: 3+ K 0
↔ KK
KK
KKKK
352
)52)(3(
52)52()3(0)21(
Jadi, sistem stabil jika 0 < K < -3
c. )2)(2(
12.0)(
sss
ssG H(s)=1
Fungsi alih plant : )2)(2(
12.0)(
sss
ssG
Fungsi alih : H(s) = 1
Fungsi alih lingkar terbuka sistem : KG(s)H(s) = )1()2)(2(
12.0
sss
sK
Persamaan karakteristik sistem :
1+ KG(s)H(s) = 0)2)(2(
12.01
sss
sK
0)2)(2(
2.044 23
sss
KsKsss
02.044 23 KsKsss
Tabel 3. Kemungkinan nilai akar fungsi alih persamaan 3.
K s1 s2 s3
-100 -4.2492 + 2.0430i -4.2492 - 2.0430i 4.4985
-10 -2.6035 + 1.2275i -2.6035 - 1.2275i 1.2070
0 -2 -2 0
10 -3.1049 -0.4476 + 1.7379i -0.4476 - 1.7379i
100 -4.0981 0.0490 - 4.9396i 0.0490 + 4.9396i
Tabel di atas menunjukkan bahwa sistem memiliki batas kestabilan karena
memiliki yang berada disebelah kanan.
Semua koefisien positif dan tidak nol, oleh karena itu, sistem
memenuhi kondisi penting untuk kestabilan. Batas kestabilan K berdasarkan
analisa Routh Horwitz:
0)2.04(4 23 KsKss
S3: 1 4+0.2K
S2: 4 K ↔ KKK
05.044
)2.04(4))(1(
S1: 4 – 0.05K 0 ↔ KK
KK
05.04
)05.04()0)(4(
S0: K
Jadi , sistem stabil jika 0 < K < 4/0.05 atau 0 < K < 80
VI. PEMBAHASAN
Karakteristik tanggapan transient sistem loop tertutup dapat ditentukan dari
lokasi pole-pole (loop tertutupnya). Mencari akar-akar persamaan karakteristik
orde tinggi sulit, terlebih dengan K sebagai variabel. Oleh karena itu, digunakan
alternative untuk mempermudah hal tersebut dengan melakukan percobaan
menggunakan Matlab dan Matlab Simulink. Metode yang digunakan untuk
mencari akar-akar persamaan orde tinggi yang digunakan dalam percobaan ini
adalah metode root locus yang dikembangkan oleh W.R. Evan. Dengan metode
root locus tersebut praktikan dapat menentukan tempat kedudukan akar-akar
persamaan karakterstik dengan K = 0 sampai K = tak hingga. Melalui Root Locus
juga dapat diduga pergeseran letak pole-pole terhadap perubahan K, terhadap
penambahan pole-pole atau zero-zero loop terbuka.
Program pertama diberikan sebuah fungsi transfer berorde 2, kemudian
dengan menggunakan Matlab, digunakan fungsi Rlocus yang secara otomatis
akan melakukan analisis dan memplotkan grafiknya. Hasil simulasi menunjukkan
sebuah sistem yang memiliki batas kestabilan, sebab ada perpanjangan titik-titik
yang berada diluar daerah real sebelah kiri (negatif). Dan hasil perhitungan
manual pun menunjukkan hasil yang sama, bahwa persamaan 1 memiliki batas
kestabilan. Dan sistem akan stabil apabila nilai K > 0.
Untuk persamaan kedua, hasil simulasi Matlab memberikan gambaran
sebuah sistem yang memiliki batas kestabilan. Hasil perhitungan menunjukkan
hal yang sama, ada akar-akar yang berada di luar daerah real sebelah kiri. Sistem
akan stabil apabila nilai K lebih besar dari 0 dan lebih kecil dari -3.
Hasil simulasi persamaan ketiga memberikan gambaran sebuah sistem yang
juga ada batasan dalam kestabilannya. Sama dengan simulasi Matlab, sistem
punya batas kestabilan karena ada akar-akar persamaan yang terletak di luar
bidang real negatif. Dan kestabilan sistem akan terjadi apabila nilai K berada di
antara 0 dan 80.
VII. KESIMPULAN
1. Tempat kedudukan akar mempunyai sifat simetri terhadap sumbu nyata.
2. Untuk fungsi alih yang sama, bila K berubah, maka letak pole-pole nya juga
berubah.
3. Nilai pole dan zero dapat ditentukan dengan perhitungan secara manual dan
melihat posisi bulatan (zero) dan silang (pole) pada root locus di matlab.
4. Pada root locus, sistem dapat dikatakan stabil apabila semua akarnya berada
disebelah kiri atau bernilai negatif untuk sumbu real dan tidak stabil apabila
berada di sebelah kanan atau bernilai positif untuk sumbu realnya.
DAFTAR PUSTAKA
Anonim. 2011. Diktat Kuliah Sistem Linier: Sistem Linier Tak Ubah Waktu.
Jurusan Teknik elektro ISTA: Yogyakarta.
Diakses pada tanggal 11 November 2011.
Anonim. 2011. Modul Praktikum Dasar Sistem Kendali Ekstensi. Departemen
Elektro Fakultas Teknik Universitas Indonesia: Depok.
LAMPIRAN
DATA HASIL PERCOBAAN
PRAKTIKUM II SISTEM KENDALI
TEMPAT KEDUDUKAN AKAR
1. 𝑮(𝒔) =𝒔𝟐
𝒔(𝒔+𝟐) , 𝑯(𝒔) = 𝟏
Dengan Matlab
Dengan Matlab Simulink
2. 𝑮(𝒔) =𝟐𝒔𝟐+𝟓𝒔+𝟏
𝒔(𝒔+𝟐)+𝟑 , 𝑯(𝒔) = 𝟏
Dengan Matlab
Dengan Matlab Simulink
3. 𝑮(𝒔) =𝑲(𝟎.𝟐𝒔+𝟏)
𝒔(𝒔+𝟐)(𝒔+𝟐) , 𝑯(𝒔) = 𝟏
Dengan Matlab
Dengan Matlab Simulink