slides de método numérico em engenharia

MTODOS NUMRICOS EM

ENGENHARIA

MTODOS DE SOLUO

Mtodos Numricos em Engenharia

MTODOS DE SOLUO

MTODO VARIACIONAL: Utilizado tradicionalmente na soluo de problemas

da Mecnica de Slidos, em particular o mtodo de Ritz. O mtodo exige que

se possa escrever um funcional de energia para o problema, o que em alguns

casos no existe ou no est determinado.

PRINCPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS

O acrscimo virtual de deslocamentos promove

o incremento na energia de deformao interna

U e no trabalho realizado pela ao externa .

Energia de deformao U e Potencial das Aes W=

ENERGIA POTENCIAL TOTAL : WU

PRINCPIO DA ENERGIA POTENCIAL MNIMA:

0 WUWU


Conceito de ENERGIA DE DEFORMAO U: capacidade que um corpo tem,

de absorver energia elstica durante a deformao.

V

odVuU

A energia de deformao especfica por unidade

de volume u0, dada pela rea do grfico de .

dV

dUdu

n

i

ii

01

0

Podemos escrever que:

Se considerarmos a regio de comportamento elstico-linear, a primeira integral

transforma-se na rea de um tringulo para cada componente de tenso, assim:

][2

10 xyxyxyxyxyxyzzyyxxu


Obtm-se a contribuio de cada componente da tenso no acrscimo de

energia de deformao fazendo:

;2

1dVdU xxx dVdU yyy

2

1 dVdU zxzxzx

2

1

dVdUdUdUdU xyxyxyxyxyxyzzyyxxzxyx ][2

1

Integrando dos dois lados teremos: dVU ijijV

][2

1

Anlogamente para o TRABALHO realizado pelas aes externas (W):

s

dssfdW0

)()(

Considerando que a carga cresce lentamente de 0 at seu valor final tambm

linearmente, a integrao fornece a rea sob a curva f(s) que neste caso

particular tambm triangular, ento:


s

iii

dssfdd

PdW

d

PdU

0

)(),(),(

i

i

fd

PdU

),(1 Teorema de Castigliano

s

iii

dssfPP

PdW

P

PdU

0

)(),(),(

i

i

dP

PdU

),(2 Teorema de Castigliano

No clculo da energia de deformao U entra o carregamento e a mudana de

configurao do slido que se deforma. As derivadas so na direo do

deslocamento, se queremos determinar esforo, ou da ao se queremos

determinar deslocamento.

CONSERVAO DA ENERGIA: A um incremento no trabalho realizado pelas

aes externas corresponder um incremento energia de deformao

acumulada, assim:

dd

dUdUddUU

dd

dWdWddWW

)()()(

)()()(

d

dW

d

dUWU

)()(


Consideremos a soluo de uma viga bi-apoiada:

Para encontrar deslocamentos escrevemos a energia de deformao

considerando as tenses normais e desprezando o cisalhamento. Aplicando

o segundo teorema de Castigliano teremos:

dx

EI

xP

dxdSyIEI

MdV

EdVU

L

zS

L

zzV

xx

V

xx

2/

0

2

2

2/

0

2

2

22

22

1

zEI

LPU

96

32

z

vvEI

PL

P

U

48

3

2 Teorema de

Castigliano


Mtodo do TRABALHO VIRTUAL:

Parte-se de incrementos virtuais de deformao, no clculo da energia de

deformao total, e incrementos virtuais de deslocamento no clculo do

trabalho externo realizado pelas aes.

com temos:

0

0 duuo

assim: 2

10 u e:

V

dVuU 0

incremento de trabalho

realizado pelas aes: dfdfW

2

1

A conservao de energia no mtodo do trabalho virtual assegurada pela

igualdade dos termos de primeira ordem, assim:

V

WdfdVU


TRABALHO VIRTUAL em deslocamentos: consiste em impor estrutura em

equilbrio, deslocamentos fictcios (ou virtuais), compatveis com os vnculos, e

calcular o trabalho realizado pelas foras externas igualando isso ao trabalho

realizado pelas tenses internas nas deformaes virtuais.

dVvPvol

n

i

ii

1

),(),( dPUdPW


Considerando-se a viga isosttica como um corpo rgido, o trabalho externo

realizado pelas cargas nulo e portanto:

0),( dPW

Determinando por semelhana de tringulos o deslocamento sob a carga

aplicada, temos:

0),( 1 vVBvVBL

aPvRPvRdpW

vL

av 1

Escreve-se agora o trabalho externo igualando-o a zero:

obtendo-se a reao de apoio direita: L

aPRVB


TRABALHO VIRTUAL em foras: alternativamente, podemos impor estrutura

um esforo virtual P, em equilbrio, na direo que se deseja medir o

deslocamento real, calculando o trabalho externo realizado. Em seguida,

iguala-se essa quantidade ao trabalho interno realizado pelas tenses normais

virtuais nas deformaes do problema real.

dVvPvol

n

i

ii

1

),(),( dPUdPW


Neste caso obviamente no possvel considerar a viga como corpo rgido.

vol L

R dxdSyEI

M

I

MdVvP 2

PxMPxM ;com:

Fazendo P=1 (mtodo da carga unitria) e resolvendo-se as integrais em dS e em seguida em dx vem:

|0

3

0

2

31

LL

R

x

EI

Pdxx

EI

Pv

que fornece: EI

PLvR

3

3


MTODOS DE RESDUOS PONDERADOS: Aplicam-se aos problemas para

os quais no h um funcional de energia determinado. Nos casos em que h, o

resultado idntico ao do mtodo variacional para a mesma ordem de

aproximao.

Na sequncia vamos resolver um problema de barra de seo varivel sob a

ao do peso-prprio partindo da equao diferencial de governo. Em seguida

resolveremos o mesmo problema pelos mtodos citados.

Mtodo da colocao. Mtodo dos subdomnios. Mtodo dos mnimos quadrados. Mtodo de Galerkin.

O MTODO DE GALERKIN o mais difundido na deduo das equaes do

Mtodo dos Elementos Finitos. Algumas publicaes restringem-se apenas

ao uso deste mtodo em detrimento dos MTODOS VARIACIONAIS em

razo da maior complexidade terica deste ltimo.


Considere o problema de uma barra feita de um certo material de mdulo

elstico E constante, com seo transversal varivel no comprimento A(x) e

submetida a seu peso prprio.

RL

xr e

2

2

22

)( xL

RR

L

xxA

onde f(x) o peso por unidade de volume, adotado constante e igual a .

Balano de foras em x:

0))(()( dAAdAdxxfA

0)( dAdAdxAxf

AxfAdx

d)(

Lembrando a lei de Hooke: dx

xduE

)( Axf

dx

xduAE

dx

d)(

)(

Temos ainda que:


Resolvendo diretamente a equao diferencial local teremos:

2

2

22

2

2 )(x

L

R

dx

xdux

L

R

dx

dE

Simplificando e integrando dos dois lados da igualdade vem:

dxxdx

dx

xdux

dx

dE 22

)( 1

32

3

)(Cx

dx

xduxE

Forma integral para o mesmo problema:

0)()()(

)(0

dxxxAxfdx

xduxEA

dx

dL

Equao diferencial de governo Forma forte.

)()()(

)( xAxfdx

xduxEA

dx

d


Impondo a segunda condio de contorno: 0)( Lxu

E

LCCL

ELxu

660)(

2

22

2

Impondo a condio de contorno: 00)0(

1

Cdx

xdu

E integrando novamente, vem: dxxE

dxdx

xdu 3

)(

2

2

23)( C

x

Exu

2

2

6)( Cx

Exu

E

Lx

Exu

66)(

22 A equao dos deslocamentos ser:

E para x=0 temos: E

Lxu

6)0(

2


MTODOS APROXIMADOS DE SOLUO

O processo comea por escolher uma soluo tentativa que se aproxime

soluo do problema, ou seja, se a funo u(x) a soluo para a equao

diferencial de governo, (x) ser uma soluo aproximada para esse mesmo

problema.

)()()( xExuxu

Devemos ter: )()( xuxu e

0)()()0()0( LxuLxuxuxu

Neste caso u(x) e (x) so, respectivamente, deslocamentos verticais exatos e

aproximados para o eixo da viga.


A soluo tentativa deve ser simples e fcil de operar, geralmente se escreve

combinando funes polinmiais ou funes trigonomtricas ponderadas por

coeficientes de ajuste ai, da seguinte forma: .

)()()()(),()( 22110 xaxaxaxaxuxu nn

Essa soluo deve atender pelo menos as condies de contorno do

problema. Os coeficientes ai devem ser tais que minimizem o funcional energia

potencial total (MTODOS VARIACIONAIS) ou o resduo E(x) (MTODOS DE

RESDUOS PONDERADOS).

SOLUO TENTATIVA

)()()(

)( xAxfdx

xduxEA

dx

d

Considere a forma geral do problema da barra de seo varivel:

A soluo aproximada deve atender: 0)0(

0)(

xd

xudeLxu


MTODO VARIACIONAL

O princpio variacional que corresponde a formulao fraca para a elasticidade

o PRINCPIO DA ENERGIA POTENCIAL MNIMA. Para escrever a equao

correspondente se escreve o funcional ENERGIA POTENCIAL TOTAL DO

SISTEMA .

ENERGIA POTENCIAL TOTAL :

Para sistemas conservativos o funcional energia potencial total dado pela soma da energia de deformao U(x) com o potencial das cargas dado por

W(x), assim:

)()()( xWxUx com: xfxW )(

onde:

V

dVxxxU )()(2

1)( e

qU nn

V

txutxudVxuxbxW |))((|))(()()()(


ENERGIA DE DEFORMAO U(x): Energia acumulada internamente ao slido

em funo da sua deformao.

VV

dVxEdVxxxU2

)(2

1)()(

2

1)(

POTENCIAL DAS CARGAS W(x):

qU nn

V


A integral a direita da igualdade corresponde ao trabalho realizado pelas aes

de volume (Ex: peso prprio), a segunda parcela corresponde a deslocamentos

impostos a partes do contorno e a terceira corresponde as aes tambm em

partes determinadas do contorno (condies de contorno em foras e/ou

deslocamentos).


PRINCPIO DA MNIMA ENERGIA POTENCIAL TOTAL

Este princpio permite determinar qual o conjunto de deslocamentos possveis

que mantm o equilbrio com o mnimo de energia, assim:

0))(),(())(),((0)( ffxuxuWxuxuUx

Aplicando ao problema da barra de seo varivel sob a ao do peso prprio.

xLL

Rr

0)0( xu

0)(

dx

Lxdu

Por convenincia adota-se a origem

do sistema de referncia no apoio.

Considere a coordenada homognea

dada por:

L

x

Para: x = 0 = 0 x = L = 1

22

2

)( xLL

RxA


LL

Sx

dxdx

xduxL

L

REdx

dx

xduxA

EdxdS

dx

xduExU

0

2

2

2

2

0

22)(

2

)()(

2

)(

2

1)(

em termos da coordenada homognea : cxbxaxu 2)(

ENERGIA DE DEFORMAO:

condio de contorno: 0000)0( 2 ccxbxaxu

assim: Lx e baLdx

d

d

xud

dx

xud

2

1)()(

1

0

22222

4412

)(

dbabaL

RExU

1

0

2221

0

2

2

2

2

212

21

2)(

dba

L

RELdba

LLL

L

RExU


POTENCIAL DAS AES:

qU nn

V


No problema em questo a densidade volumtrica de carga constante e

equivale ao peso especfico do material . A condio de deslocamento nulo

para x=0 e a ausncia de carga externa aplicada no contorno anulam a

segunda e a terceira parcelas a direita da igualdade, assim:

L

x S

dxxuxAdxdSxuxW0

)()(00)()(

1

0

222

1

0

222

2

2

11)(

dbaLRLdbaLL

RxW

FUNCIONAL ENERGIA POTENCIAL TOTAL:

)()()( xWxUx


APLICANDO O PRINCPIO DA MNIMA ENERGIA POTENCIAL TOTAL

Os coeficientes a e b, que aparecem no funcional energia potencial total,

determinam a funo que minimiza esse funcional. Impondo uma variao no

entorno diferencial de a e b se escreve a expresso do Princpio dos

Trabalhos Virtuais conforme segue:

1

0

22222

4412

)(

dbabaL

REx

1

0

222 1 dbaLR

i

i

aa

aa

aa

x

2

2

1

1

)(

O campo soluo de deslocamentos admissvel u(x) faz com que a variao

do trabalho interno seja igual a variao do trabalho externo assim:

0)()()( xWxUx

0)( x ocorrer quando os nia ,..,1

forem simultaneamente nulos.


Aplicando o exposto ao nosso problema temos:

1

0

222

1

0

21

0

222

114182

10

)(

dLRdbda

L

RE

a

x

1

0

22

1

0

21

0

22

112142

10

)(

dLRdbda

L

RE

b

x

Que resulta no seguinte sistema de duas equaes a duas incgnitas a e b.

E

Lba

E

Lba

42

1102

1

5

2

2

2

e que fornece:

E

Lb

E

La

3

62

2

resultando na equao:

E

L

E

LU

36)(

22

2

E

LLxuu

xuu

6)()1(

0)0()0(2


Soluo da FORMA INTEGRAL via formulao matricial:

0)()()(

)(0

dxxxAxfdx

xduxEA

dx

dL

0)()()(

)(0 0

dxxAxfxdxdx

xduxEA

dx

dx

L L

Considerando a derivada do produto de duas funes e fazendo:

dx

dgg

dx

d

dx

dg

dx

dg

dx

dgg

dx

d

LLL

dxdx

dgdxg

dx

ddx

dx

dg

000

dx

xduxEAg

)()(

LLL

dxdx

xdxEA

dx

xdu

dx

xduxEAxdx

dx

xduxEA

dx

dx

000

)()(

)()()()(

)()()(


Aplicando as condies de contorno ao primeiro membro a direita da igualdade:

dx

xduxEAx

dx

LxduxEALx

dx

xduxEAx

L)0(

)()0()(

)()()(

)()(0

A funo ponderadora deve respeitar as condies de contorno de U(x), assim:

0)0(

0)(0)(

dx

xduEeLxLxu

Logo:

LL

dxdx

xdxEA

dx

xdudx

dx

xduxEA

dx

dx

00

)()(

)()()()(

Escrevendo a FORMA INTEGRAL:

0)()()(

)(

0 0

dxxAxfxdxdxxd

xEAdx

xduL L

dxxAxfxdx

dx

xdxEA

dx

xduL L

0 0

)()()()(


Adotamos a mesma matriz de funes de forma N(x), para aproximar a funo

de deslocamentos u(x) e a funo peso (x) de modo que podemos escrever:

)()()()( xxNxx )()()()( xuxNxuxu

simplificando notao escrevemos: )()()()( 2211 xNxNxNx nn

)()()()( 2211 xNuxNuxNuxu nn

A funo peso arbitrria mas deve ser zero nos pontos do contorno onde

queremos determinar, por exemplo, uma reao de apoio.

No caso da barra ao lado, considerando apenas um

elemento, teramos

0)0( x

uxu )0(


Para uma rede de elementos podemos reescrever a equao integral anterior

da seguinte forma:

0)()(

)()(

1

2

1

2

1

i

nelem

i

x

x

x

x

T

dxxAxfxdxdx

xduxEA

dx

xd

Todo o argumento entre as chaves do somatrio acima, corresponder a dados

do i-simo elemento e.

Veremos mais adiante as funes de forma. Por hora consideremos as Ni e

suas derivadas Bi para o caso de um elemento com um n em cada

extremidade e apenas uma coordenada local:

eeei

xxxxl

N 121

111 e

ii

ldx

dNB


Para cada elemento de uma rede poderemos relacionar o deslocamento dos

ns da extremidade de um elemento com os ns correspondentes na rede da

seguinte forma:

)()( xuNxu eeei

TeTeTe Nxx

i)()(

e

e

iu

u

u

u

N

u

u

u

u

4

3

2

1

8

7

6

5

e

e

i

N

4

3

2

1

8

7

6

5


Escrevendo as derivadas das expresses anteriores temos:

)()( xuNxu eeei

TeTeTe Nxx

i)()(

)()(

xuBdx

xduee

e

i

TeTe

Te

Bxdx

xdi )(

)(

Agora substituiremos as expresses acima e suas derivadas no somatrio

sobre a rede de elementos mostrada anteriormente:

0)()()()()(1

2

1

2

1

i

nelem

i

x

x

x

x

TeTeeeeTe dxxAxfNxdxxuBxEABx

e

e

e

e

T

0)()()()()(1

2

1

2

1

i

nelem

i

x

x

Tee

x

x

eeTe

e

e

e

e

T

dxxAxfNxudxBxEABx


Na expresso abaixo, a integral entre colchetes a matriz de rigidez de um

elemento e denomina-se k. A segunda integral corresponde a ao volumtrica

que solicita o elemento f.

e

e

T

x

x

ee dxBxEABk2

1

)(

0)()()()()(1

2

1

2

1

i

nelem

i

x

x

Tee

x

x

eeTe

e

e

e

e

T

dxxAxfNxudxBxEABx

Matriz de rigidez do elemento barra:

e

e

x

x

Te dxxAxfNf2

1

)()(Vetor de foras nodais equivalentes:

Se houvessem aes no contorno, o vetor de foras nodais equivalentes teria

termos adicionais, como veremos mais adiante.

As seguintes relaes permitem escrever o sistema de equaes em termos

das componentes globais de deslocamentos :

)()( xLx ee )()( xuLxu ee


Uso destas expresses no problema da trelia mostrada anteriormente:

18

2

1

000000100000000000

000000010000000000

000000000000100000

000000000000010000

4

3

2

1

u

u

u

u

u

u

u

e

e

e

e


0)()()()()(11

2

1

2

1

nelem

i

x

x

TeTenelem

i

e

x

x

eeTeT

e

e

e

e

T

dxxAxfNLxuLdxBxEABLx

O primeiro termo dentro das chaves trata-se da matriz de rigidez global da

estrutura, designada por K. O segundo termo o vetor de cargas nodais

globais F.

nelem

i

eTenelem

i

e

x

x

eeTe LkLLdxBxEABLK

e

e

T

11

2

1

)(

nelem

i

Tenelem

i

x

x

TeTe fLdxxAxfNLF

e

e 11

2

1

)()(

Determinando a matriz de rigidez global da estrutura e o vetor de cargas nodais

equivalentes.


Recapitulando:

Matriz de rigidez local :

Vetor de cargas nodais local :

Matriz de rigidez global :

Vetor de cargas nodais global :

e

e

T

x

x

ee dxBxEABk2

1

)(

e

e

x

x

Te dxxAxfNf2

1

)()(

nelem

i

eTe LkLK1

nelem

i

Te fLF1


Montando e resolvendo o sistema de equaes:

0)()()()()(11

2

1

2

1

nelem

i

x

x

TeTenelem

i

e

x

x

eeTeT

e

e

e

e

T

dxxAxfNLxuLdxBxEABLx

0)()( FxuKx T

Entre chaves fica o sistema de equaes que deveremos resolver para obter

os deslocamentos u(x). Esse termo pode ser equiparado a um resduo de

foras r(x), que devemos anular:

0)()( xrx T

As componentes no nulas do vetor de resduos de fora equivalem a uma

reao de apoio em cada vnculo correspondente.

FxuKxr )()(


Parametrizando a funo linear anterior:

eeei

xxxxl

N 121

111 e

ii

ldx

dNB

, assim: 12

L

x

)1(2

1))((1 xN

)1(2

1))((2 xN

Ldx

dxN

1

2

1))(('

1

Ldx

dxN

1

2

1))(('

2

0))(("1

xN

0))(("2

xN

Para obter a matriz de rigidez, k, do elemento utilizamos: e

e

T

x

x

ee dxBxEABk2

1

)(

e

e

Tx

x

eedxNxEANk

2

1

'' )(

222

LLLLx


Desenvolvendo a matriz de rigidez local k para o problema em questo:

e

e

e

e

Tx

x

x

x

eedxxA

L

EdxNxEANk

2

1

2

1

11)(1

1)(

2

'' 2

2

22

)( xL

RR

L

xxA

e

e

x

x

dxxL

ERk

2

1

111

12

4

2

1

1

21

1

2

1

1

21

1

2

2

11

11

8

dd

dd

L

ERk

1

1

2

4

2

2111

21

1

d

LL

L

ERk

11

11

3

2

L

ERk


Desenvolvendo o vetor de foras nodais f para o problema em questo:

e

e

e

e

x

x

eTe

x

x

Te dxxNNL

RdxxAxfNf

2

1

2

1

2

2

2

)()(

1

1

21

41

2

11

2

1

12

1

12

11

1

22

2

2

d

LL

L

Rf

T

Substituindo o vetor de foras volumtricas f(x) por uma expresso equivalente

a distribuio nodal utilizando as mesmas funes de forma vem:

1

11

2

11

2

11

2

11

2

1)(

xf

Substituindo:

1

1

9624

2416

15321

1

1111

1111

32

21

1

2232

32222 LRd

LRf


Escrevendo o vetor de aes nodais para o elemento:

3

1

123

1

3

8

32

22 LRLRf

Se consideramos que a barra est formada por apenas um elemento, a matriz

global K e o vetor global de foras F confundem-se com k e f, de modo que:

0)()( FxuKx T com FxuK )(

Montando o sistema: FLR

u

u

L

ERxKu

3

1

1211

11

3)(

2

2

12

Da forma como colocamos a referncia, devemos ter u2=0, logo:

123

2

1

2 LRu

L

ER de modo que:

E

Lu

4

2

1


Se a rea da seo transversal da barra constante, A(x)=A, as expresses

ficam:

11

11

211

1111

1

1 1

1

22

''2

1

2

1

L

EAd

L

L

EAdx

L

EAdxEANNk

e

e

e

e

Tx

x

x

x

ee

1

11

1

211

1

1

4)()(

2

1

2

1

d

LAdxNNAdxxAxfNf

e

e

e

e

x

x

eTe

x

x

Te

1

1

21

1

84

48

3

1

81

1

111

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