statistik_asas dalam pendidikan

110 OUM

STATISTIK ASAS TAJUK 6

TAJUK 6 STATISTIK ASAS

PENGENALAN

Pengukuran melibatkan pengumpulan data yang banyak daripada ujian/inventori yangdigunakan. Statistik dapat membantu kita untuk merumuskan data yang banyak ini kepadabentuk lain yang mudah kita faham, seperti grafik atau angka rumusan. Kita pernah mengirapurata (angka rumusan) bagi angka-angka yang banyak untuk mencari nilai tengah angka-angka ini. Kita juga pernah mencari angka terkecil dan angka terbesar dan juga julat antarakedua-dua angka ini, untuk mencari perbezaan terbesar antara angka-angka tersebut. Puratadan julat bagi angka-angka ini adalah maklumat yang boleh membantu kita memahami taburanangka-angka tersebut, iaitu seperti angka terkecil, angka tengah, angka terbesar dan julatnya.Tajuk ini akan membincangkan beberapa kaedah asas statistik (basic statistical methods)yang diperlukan untuk menganalisis skor/data daripada ujian/inventori.

OBJEKTIF

Di akhir tajuk ini, anda seharusnya dapat:

1. menjelaskan pengertian dan penggunaan statistik;

2. menjelaskan dan melukis kekerapan, histogram dan carta pai;

3. melukis poligon dan ogif serta menjelaskan dan mengira persentil.

4. menjelaskan dan mengira ukuran memusat dan serakan serta skor piawai; dan

5. menjelaskan dan mengira pekali korelasi dan regresi linear mudah.

PETA MINDA

OUM 111


6.1 PENGERTIAN DAN PENGGUNAAN STATISTIK

Statistik mempunyai pelbagai kepentingan dalam pelbagai organisasi. Biasanyasekumpulan pegawai penyelidik akan dilantik untuk menganalisis data yangada berdasarkan kelayakan dan kepakaran mereka. Sebagai seorang guru,apakah skil dan kemahiran yang anda perlukan untuk mendapatkan statistikyang tepat dan boleh dipercayai?

Statistik digunakan dalam pelbagai bidang yang dengan sendirinya memberikan pengertianyang tertentu. Kepada orang ramai, statistik bermaksud “angka” yang direkodkan mengikutkategori tertentu”. Contohnya, statistik kemalangan jalan raya memberikan kita maklumattentang kemalangan jalan raya, yang pecahkan kepada beberapa kategori, seperti maut, cederaparah, cedera ringan dan sebagainya. Jabatan Kaji Cuaca, misalnya, memberikan statistikhujan/ramalan hujan setiap bulan. Pihak sekolah pula memberikan statistik pencapaian pelajar,misalnya, bilangan pelajar yang mendapat gred tertentu dalam peperiksaan SPM. Kepadamereka yang menjalankan kajian pula, statistik merupakan kaedah yang boleh digunakanuntuk menganalisis data kajian. Kepada ahli-ahli statistik, statistik merupakan satu bidangmatematik yang dapat menghasilkan teori dan kaedah untuk menganalisis data.Kesimpulannya, statistik bererti satu set teori dan kaedah yang boleh digunakan untukmemahami data.

Dalam bidang pendidikan, statistik boleh diguna untuk menyampaikan maklumat dalampelbagai situasi. Seperti contoh yang diberikan lebih awal, statistik boleh diguna untukmenunjukkan taburan pelajar mengikut pencapaian. Maklumat ini boleh dibentang denganmenggunakan jadual atau grafik seperti histogram/carta pai. Seterusnya, jika seseorangpenyelidik ingin melihat hubungan antara dua pembolehubah, contohnya antara lama masabelajar dengan pencapaian, kaedah statistik korelasi boleh gunakan untuk mengira kekuatanhubungan ini. Statistik juga boleh digunakan untuk menguji hipotesis tertentu, misalnyamenguji sama ada wujud hubungan antara lama masa belajar dengan pencapaian. Selainmenguji hubungan, kaedah statistik boleh digunakan untuk menguji perbezaan antara duamin atau lebih, iaitu dengan menggunakan ujian-t atau ANOVA.

Rajah 6.1 : Kegunaan statistik

112 OUM


Seterusnya, penyelidik memerlukan pengetahuan statistik untuk mereka bentuk (design)sesuatu penyelidikan, seperti mereka bentuk eksperimen, dan menentukan kaedah analisisdata yang sesuai untuk sesuatu reka bentuk. Pengetahuan statistik juga dapat digunakanoleh guru untuk memahami kajian-kajian yang ditulis dalam bentuk empirikal. Dalam bidangpengukuran pula, kaedah statistik digunakan untuk mengira indeks kebolehpercayaan, indekskesahan atau indek kesahan ramalan. Terdapat dua jenis statistik yang digunakan dalambidang pendidikan, iaitu statistik deskriptif yang digunakan untuk menjelaskan sesuatu ukuran(seperti min dan sisihan piawai); dan statistik inferensi yang digunakan untuk mengujihipotesis. Sebahagian daripada statistik-statistik ini dibincangkan dalam bahagian-bahagianberikut.

Rajah 6.2 : Statistik yang digunakan dalam pendidikan

6.2 KEKERAPAN, HISTOGRAM DAN CARTA PAI

Selepas data mentah dikumpul ia perlu dirumuskan dalam bentuk yang mudah difaham,misalnya dalam bentuk jadual atau grafik. Salah satu kaedah merumuskan data ialahmenyediakan jadual taburan data asal dengan menggunakan kekerapan dan peratus, danjuga melukis histogram taburannya. Jadual kekerapan dan histogram boleh disedia denganmenggunakan data asal atau data yang dikumpulkan ke dalam beberapa kelas. Sebagaicontoh, kita gunakan taburan markah ujian mingguan bagi 50 orang pelajar yang markahpenuhnya ialah 10. Markah asal diberikan dalam Jadual 6.1.

Jadual 6.1: Markah Ujian 50 Orang Pelajar

2 5 4 1 6 3 7 5 4 7

5 6 2 7 8 6 4 2 9 5

3 5 6 4 0 7 8 5 3 6

8 4 9 6 5 4 7 1 5 10

5 7 3 5 6 2 8 4 3 6

Latihan 6.1

Susunkan data dalam Jadual 6.1 daripada yang terkecil kepada yang terbesar.

OUM 113


6.2.1 Taburan Kekerapan

Seterusnya, kekerapan markah ini (bilangan pelajar yang mendapat markah tertentu) danperatus pelajar yang mendapat markah tersebut ditunjukkan dalam Jadual 6.2. Kekerapanboleh dikira dengan mudah daripada markah yang disusun (lihat jawapan Latihan 6.1).Kekerapan ini dimasukkan dalam jadual (Jadual 6.2). Peratusnya dikira dengan membahagikansetiap kekerapan dengan 50 dan didarabkan dengan 100. Sebagai langkah semakan, kitaperlu menjumlahkan lajur “Kekerapan”, yang sepatutnya berjumlah 50 (jumlah pelajar); danmenjumlahkan lajur “Peratus”, yang sepatutnya berjumlah 100 (jumlah %). Peratus kekerapanboleh diguna untuk menjelaskan bilangan pelajar yang mendapat markah tertentu, selainmemberikan kekerapan, misalnya, seramai 10 orang pelajar (20%) telah mendapat 5 markah.

Jadual 6.2 : Taburan Kekerapan Markah Ujian

6.2.2 Histogram

Histogram ialah rajah berbentuk kotak yang dilukis dengan paksi-Y menunjukkankekerapan dan paksi-X menunjukkan markah yang diperoleh pelajar.

Taburan kekerapan ini juga boleh dibentang dalam bentuk grafik, misalnya histogram.Histogram bagi taburan markah ujian mingguan di atas ditunjukkan dalam Rajah 6.3. Dalamrajah ini, “tinggi” sesuatu kotak itu menunjukkan kekerapan/bilangan pelajar yang mendapat“markah” tertentu, misalnya bilangan pelajar yang mendapat 5 markah ialah 10.

114 OUM


Satu lagi cara memaparkan taburan markah ialah dengan mengumpulkan beberapa markahyang sama julatnya kepada beberapa kelas. Jadual 6.3 menunjukkan taburan kekerapan 50markah ujian yang dikumpulkan kepada lima (5) kelas [kelas pertama (0-2) mengandungi tiga(3) markah, iaitu 0, 1 dan 2, disebabkan ada 11 markah asal (iaitu, 0 hingga 10)]. Dalamtaburan ini, “jeda kelas” menunjukkan markah-markah yang dimasukkan dalam kelas tersebut.Taburan kekerapan berkelas ini adalah sesuai bagi data yang banyak dan mempunyai julatyang besar. Biasanya bilangan kelas adalah di antara tujuh (7) hingga 10 kelas. Justeru,pengunaan kekerapan berkelas dapat mengurangkan bilangan markah/skor yang dimasukkanke dalam jadual kekerapan.

Rajah 6.3 : Histogram taburan kekerapan markah ujian

Jadual 6.3 : Taburan Kekerapan Berkelas Markah Ujian

Dalam contoh ini, taburan kekerapan markah asal (Jadual 6.2) terdiri daripada 11 markah,sementara taburan kekerapan berkelas hanya terdiri daripada lima (5) kelas. Bagaimanapun,“penjimatan” ini menyebabkan maklumat asal yang lebih terperinci tidak dapatditunjukkan.Seterusnya, taburan kekerapan berkelas markah ujian mingguan ini juga bolehdibentang dalam bentuk histogram, iaiitu seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 6.4.

OUM 115


6.2.3 Carta Pai

Rajah 6.4 : Histogram taburan kekerapan berkelas markah ujian

Latihan 6.2

Apakah maklumat yang hilang apabila kita mengira min dengan menggunakantaburan kekerapan berkelas?

Carta pai ialah satu grafik yang menggambarkan saiz kekerapan bagi sesuatuset data yang berkadaran dengan luas sektornya.

Biasanya bilangan kelas kekerapan bagi set data ini adalah kecil untuk memudahkan kitamelukis carta ini. Dalam contoh berikut, taburan kekerapan berkelas markah ujian mingguan(Jadual 6.3) yang mempunyai lima (5) kelas kekerapan digunakan untuk melukis carta pai.Carta ini boleh dilukis dengan menggunakan perisian komputer tertentu dengan hanyamemasukkan kekerapan. Untuk melukis sendiri carta ini, kita memerlukan maklumat tentangjeda kelas kekerapan, kekerapan dan darjah sudut carta pai. Jadual 6.4 menunjukkan jedakelas, kekerapan dan darjah sudut bagi markah ujian mingguan.

116 OUM


Untuk mendapatkan darjah sudut carta pai, kita perlu mengiranya seperti berikut. Dalam contohini, kekerapan yang digunakan ialah 7, iaitu kekerapan bagi kelas berjeda 0-2.

Darjah sudut = Kekerapan x 360o (360o ialah jumlah sudut di pusat bagi satu bulatan). Jumlah Pelajar = 7 x 360o = 2520o = 50.4o

50 50

Rajah 6.5 menunjukkan carta pai bagi kekerapan seperti yang diberikan dalam Jadual 6.4.Luas setiap bahagian carta pai ini menggambarkan kekerapan bagi kelas tertentu, yang setiapsatunya dilukis mengikut luas sudut bagi kekerapan tersebut. Contohnya, kekerapan bagikelas berjeda (5-6) markah ialah 18 (yang terbesar) dan sudut bagi kelas ini ialah 129.6o,,yang memberikan luas yang terbesar.

Jadual 6.4 : Taburan Kekerapan Berkelas dan Darjah Sudut

Nota: Angka dalam kotak adalah jeda kelas kekerapan

Rajah 6.5 : Carta pai markah ujian

6.3 POLIGON DAN OGIF

Terdapat dua (2) lagi grafik yang boleh diguna untuk menjelaskan taburan kekerapan, iaitupoligon dan ogif.

OUM 117


Rajah 6.6 menunjukkan graf poligon bagi taburan kekerapan markah ujian mingguan. Ia dilukisberasaskan histrogram dalam Rajah 6.3. Graf ini dapat menunjukkan bentuk taburan kekerapandengan lebih jelas.

Bagi data yang besar, yang dibahagikan kepada banyak kelas, graf ini hampir menyerupaitaburan ukuran populasi sebenar. Di sini populasi bermaksud semua subjek/pelajar sasarandari mana ukuran itu diambil. Data yang kita cerap/peroleh daripada sekumpulan pelajarhanyalah data sampel sahaja. Semakin besar sampel yang kita cerap, semakin dekat ukurandaripada sampel itu menghampiri ukuran daripada populasi.

Poligon agak mudah dilukis, iaitu dengan menyambung titik-titik tengah bahagianatas kotak kekerapan dengan garis-garis lurus.

Latihan 6.3

Berikan satu contoh populasi, sampel dan ukurannya. Bilakah taburan ukuransampel akan meyerupai taburan ukuran populasi?

Peratus kekerapan terkumpul boleh dicari dengan menjumlahkan peratus kekerapan daripadaukuran terrendah hingga tertinggi. Jadual 6.5 menunjukkan kekerapan markah ujian mingguanbersama peratus kekerapan dan peratus kekerapan terkumpulnya. Peratus kekerapanterkumpul yang terakhir ialah 100%, iaitu peratus bagi semua kekerapan.

Rajah 6.6 : Poligon taburan kekerapan markah ujian

Untuk melukis ogif (ogive), iaitu graf garis yang menghubungkan peratuskekerapan terkumpul (cumulative frequency percentage), kita perlu mencariperatus kekerapan terkumpul tersebut.

118 OUM


Rajah 6.7 menunjukkan ogif peratus kekerapan terkumpul yang dilukis dengan paksi-Xmenunjukkan markah ujian dan paksi-Y menunjukkan peratus kekerapan terkumpul. Peratusini dilukis pada sempadan sebelah kanan markah, misalnya, bagi markah 4, titik 38% ditandapada sempadan kanan markah 4, iaitu pada sempadan markah 4 dan markah 5.

Jadual 6.5 : Peratus Kekerapan Terkumpul Markah Ujian

Rajah 6.7 : Peratus kekerapan terkumpul markah ujian

Graf ogif ini penting untuk kita mencari dua (2) ukuran, iaitu (a) mencari markah/skor bagipersentil (percentile), dan (b) mencari persentil bagi markah tertentu. Contoh mencari markahdan persentil diberikan di bawah. Persentil di sini bermaksud markah yang mana di bawahnyaterdapat markah yang lebih rendah sebanyak peratus tersebut.

(a) Mencari markah bagi persentil tertentu.Contohnya, cari markah bagi persentil ke 72 (P72). Untuk mencari markah ini, kita perlumelukis garis pertama (mendatar) mulai pada nilai 72 peratus di paksi-Y hingga ke ogif.

OUM 119


Kemudian kita lukis garis kedua (menegak) dari titik pertemuan garis pertama denganogif ke paksi-X (lihat Rajah 6.6). Markah yang bertemu dengan garis kedua adalah markahbagi P72. Dalam contoh ini P72 = 6.2. Ini bermakna terdapat terdapat 72% pelajar yangmendapat markah lebih rendah daripada 6.2.

(b) Mencari persentil bagi markah tertentu.Contohnya, cari persentil bagi markah 8.5. Untuk mencari persentil ini, kita perlu melukisgaris pertama (menegak) mulai pada nilai 8.5 di paksi-X hingga ke ogif. Kemudian kitalukis garis kedua (mendatar) dari titik pertemuan garis pertama dengan ogif ke paksi-Y(lihat Rajah 6.8). Peratus yang bertemu dengan garis kedua adalah persentil yang dicari.Dalam contoh ini 8.5 = P91. Ini bermakna seseorang pelajar yang mendapat markah 8.5berpencapaian lebih baik daripada 91% pelajar lain.

Latihan 6.4

Dengan menggunakan Rajah 6.8, sila cari P80 dan berapa peratus pelajar yangmendapat markah rendah daripada 5?

6.4 UKURAN MEMUSAT DAN UKURAN SERAKAN

Kita telah melihat bentuk taburan kekerapan, dengan menggunakan markah ujian mingguansebagai contoh. Bentuk taburan kekerapan ini boleh digambar dengan menggunakanhistogram atau poligon (Rajah 6.6). Markah ini hanyalah merupakan markah sampel 50 orangpelajar daripada populasi tertentu, misalnya semua pelajar tahun 5 dalam sesuatu daerah.Sekiranya kita dapat mengumpul markah daripada populasi, kita akan dapat melihat bentuktaburan markah/skor populasi bagi ujian mingguan tersebut. Contoh taburan skor populasiditunjukkan dalam Rajah 6.6. Dua (2) unsur penting bagi data daripada sampel atau populasiialah (a) ukuran memusat dan (b) ukuran serakan.

Rajah 6.8 : Kaedah mencari markah dan persentil

120 OUM


Rajah 6.9 menunjukkan taburan data/ukuran daripada satu populasi tertentu. Min bagi data/skor daripada sesutu populasi ialah µ dan sisihan piawainya ialah σ.

Ukuran memusat ialah ukuran yang menggambarkan skor tengah bagi sesuatuset data. Ukuran memusat ini termasuklah mod, median dan min. Ukuran keduabagi sesuatu set data/skor ialah ukuran serakan, iaitu ukuran yangmenggambarkan darjah serakan bagi sesuatu set data/skor. Ukuran serakantaburan termasuklah julat, varians dan sisihan piawai.

Rajah 6.9 : Taburan data/skor populasi

6.4.1 Pengiraan Ukuran Memusat

Seperti yang dijelaskan, terdapat tiga (3) ukuran memusat yang biasa digunakan, iaitu mod,median dan min seperti dalam rajah 6.10. Kita akan menentukan/mengira mod, median danmin dengan menggunakan markah ujian mingguan sebagai contoh.

Rajah 6.10 : Pengiraan ukuran memusat

OUM 121


(a) Pengiraan Mod

Mod ialah skor yang mempunyai kekerapan paling tinggi, misalnya markahyang pelajar paling ramai memperolehnya.

Mod mudah ditentukan sekiranya kita telah menyediakan taburan kekerapan skor/markahasal terlebih dahulu. Bagi markah ujian bulanan (lihat Jadual 6.2), mod bagi set markahini ialah 5, iaitu markah yang mempunyai kekerapan paling tinggi (iaitu 10).

(b) Pengiraan Median

Median ialah skor tengah sesuatu set data/skor, misalnya markah tengah bagiset markah ujian mingguan.

Sekiranya sesuatu set data mempunyai dua (2) angka tengah, media data ini ialah puratakedua-dua data tengah tersebut. Median mudah ditentukan sekiranya kita telah menyusundata daripada yang terrendah hingga tertinggi atau sebaliknya. Bagi markah ujianmingguan, daripada jadual markah yang telah disusun (lihat jawapan Latihan 6.1), medianbagi set markah ini ialah 5, iaitu purata dua (2) markah tengah (markah ke-25 = 5 danmarkah ke-26 = 5).

(c) Pengiraan Min

Min ialah purata sesuatu set data/skor, misalnya markah purata bagi set markahujian mingguan. Min mudah dikira, sekiranya bilangan data adalah kecil, tetapiagak susah dikira bagi data yang banyak.

Bagaimanapun, kita boleh menggunakan komputer untuk mengira min bagi data yangbanyak. Untuk kita mengira sendiri min, kita perlu menjumlahkan semua skor/markahdan kemudian dibahagikan dengan bilangan markah/ pelajar. Dalam bentuk simbolmatematik, min dikira seperti berikut:

=∑n

ii=1

/ ,x x n

di mana Σ ialah tanda jumlah xi ialah markah bagi pelajar ke-i (i = 1, 2, ... , n) dan n ialahbilangan pelajar. Dalam contoh markah ujian mingguan (lihat Jadual 6.1), min bolehdikira seperti berikut:

=∑n

ii=1

/ ,x x n (2+5+4+ ............ +3+6)/50 = 253/50 = 5.06

Jadi, bagi data ini, didapati ukuran memusatnya adalah hampir sama, iaitu mod ialah 5,median ialah 5 dan min ialah 5.06.

122 OUM


6.4.2 Pengiraan Ukuran Serakan

Seperti yang dijelaskan, terdapat tiga (3) ukuran serakan yang biasa digunakan, iaitu julat,varians dan sisihan piawai. Kita akan menentukan/mengira julat, varians dan sisihan piawaiini dengan menggunakan markah ujian mingguan sebagai contoh.

Latihan 6.5

Cari mod, median dan min bagi markah ujian berikut:

8 4 9 6 5 4 7 1 5 10

Rajah 6.11 : Pengiraan ukuran serakan

(a) Pengiraan Julat

Julat ialah perbezaan skor yang terrtinggi dengan terrendah, misalnyaperbezaan markah tertinggi dengan markah terrendah pelajar.

Julat mudah ditentukan sekiranya sekiranya kita telah menyusun data daripada yangterrendah hingga tertinggi atau sebaliknya. Bagi markah ujian mingguan, daripada jadualmarkah yang telah disusun (lihat jawapan Latihan 6.1), julat bagi set markah ini ialah 10[iaitu 10 (markah tertinggi) – 0 (markah terrendah].

OUM 123


(b) Pengiraan Varians dan Sisihan Piawai

Varians (variance) ialah ukuran serakan yang mengambil kira semua data yangada, berbeza daripada julat yang bergantung kepada dua (2) ukuran sahaja,iaitu yang terrendah dan terrtinggi.

Varians agak sukar dikira sebab ia melibatkan jumlah kuasa-dua (sum of squares) bagisemua ukuran, iaitu kita perlu menjumlahkan kuasa-dua perbezaan setiap ukuran daripadamin keseluruhan ukuran. Rumus untuk mengira varians ialah:

Varians (s2) −∑n

2i

i=1

[( ) xx ]/(n -1),di mana ialah min keseluruhan data.x

Untuk memudahkan pengiraan varians dalam contoh ini, kita hanya menggunakan 10markah pertama daripada 50 markah ujian mingguan. Min bagi 10 markah ini dan kuasa-dua perbezaan markah daripada min ditunjukkan dalam Jadual 6.6. Varians bagi data iniboleh dikira seperti berikut:

−∑n

2 2i

i=1= [( )s x ]/(n -1)x = 36.4/(10-1) = 36.4/9 = 4.04

Sisihan piawai (standard deviation) adalah juga ukuran serakan dan ia amatlah berkaitdengan varians, iaitu sisihan piawai adalah punca-ganda-dua varians:

Sisihan piawai (s) = √s2

Jadual 6. 6: Jumlah Kuasa-dua Perbezaan Markah daripada Min

Pengiraan sisihan piawai bagi contoh varians di atas ialah s =√s2 = √(4.04) = 2.01. Varians/sisihan piawai boleh diguna untuk menunjukkan berapa besar perbezaan antara ukuran.Sekiranya semua ukuran mempunyai nilai yang sama (semua pelajar mendapat markahyang sama), varians/sisihan piawai bagi ukuran ini ialah sifar, iaitu tiada langsung serakan.Selain itu, berbanding dengan varians, sisihan piawai lebih mudah kita fahami, disebabkanbagi data yang banyak, ia mempunyai hubungan langsung dengan ukuran, iaitu dengan

124 OUM


anggaran ukuran tertinggi, terendah dan julat seperti berikut:

(a) Anggaran ukuran tertinggi=min+(3 x sisihan piawai)=4.4+(3x2.01)=4.4+6.03=10.43.

(b) Anggaran ukuran terrendah=min–(3 x sisihan piawai) =4.4-(3x2.01)=4.4-6.03=-1.63.

(c) Anggaran julat=Ukuran tertinggi–ukuran terrendah=6 x sisihan piawai = 6x2.01=12.06.

Latihan 6.6

Min markah peperiksaan yang diambil oleh 1,000 orang calon ialah 50 denganvarians 16. Anggarkan markah terrendah dan tertinggi serta julat markah bagicalon-calon ini.

6.5 SKOR PIAWAI

Biasanya markah ujian/peperiksaan atau ukuran daripada inventori diberi tidak berasaskankepada markah/skor penuh yang sama. Dengan demikian, kita akan menghadapi masalahapabila kita ingin membuat interpretasi/menilai markah/skor tersebut. Satu kaedah telahdigunakan untuk menyeragamkan markah/skor supaya markah/skor ini mempunyai min dansisihan piawai yang sama. Kaedah ini menghasilkan skor piawai, iaitu skor yang mempunyaimin dan sisihan piawai yang tertentu. Skor piawai yang asas ialah skor-z (z-score), yangboleh dikira dengan menggunakan rumus di bawah:

Skor-z = Skor Mentah - Min Sisihan Piawai

Skor-z ini mempunyai min sifar dan sisihan piawai 1 (µ=0, ó=1). Sebagai contoh, skor-z bagimarkah 6 dalam Jadual 6.6 boleh dikira seperti berikut:

Skor-z = Skor Mentah - Min = 6-4.4 = 1.6_ = 0.79. Sisihan Piawai 2.01 2.01

Rajah 6.12 menunjukkan taburan skor piawai yang mempunyai min 100 dan sisihan piawai15. Rajah ini juga menunjukkan taburan skor adalah di antara skor tertinggi 145 (min + 3 xsisihan piawai) dan skor terrendah 55 (min – 3 x sisihan piawai). Persentil bagi markah-markah daripada 55 hingga 145 ditunjukkan di bawahnya. Kebanyakan markah peperiksaanmenggunakan skor piawai yang mempunyai min 100 dan sisihan piawai 15 dan bagi ujianpencapaian, menggunakan skor piawai yang mempunyai min 10 dan sisihan piawai 3.

OUM 125


Secara amnya, skor piawai lain dengan pelbagai min (µ) dan sisihan piawai (σ) boleh dikiramenggunakan skor-z seperti rumus berikut:

Skor piawai (SP) = σ z + µ.

Sebagai contoh, jika kita ingin menukar skor mentah seorang pelajar dalam satu ujianpencapaian kepada skor piawai dengan min 10 dan sisihan piawai 3, kita perlu mengira terlebihdahulu skor-z bagi markah mentah pelajar tersebut. Contohnya, kita ingin menukar markahmentah 5 daripada Jadual 6.6 kepada skor piawai (µ=10, σ=3).

Skor-z = Skor Mentah - Min = 5-4.4 = 0.6_ = 0.29. Sisihan Piawai 2.01 2.01

SP = ó z + µ = (3)(0.29) + 10 = 0.87 + 10 = 10.87.

Ini bermakna markah mentah 5 seperti dalam Jadual 6.6 (µ=4.4, σ=2.01) menjadi 0.29, apabiladiubah kepada skor piawai z (µ=0, σ=1); dan menjadi 10.87, apabila diubah kepada skorpiawai (µ=10, σ=3). Apa yang tekal ialah ketiga-tiga skor ini melebihi setiap min bagi skormasing-masing.

6.6 KORELASI LINEAR

Rajah 6.12 : Taburan skor piawai dan persentil

Analisis korelasi linear (linear correlation analysis) adalah satu kaedah statistikuntuk menilai kekuatan hubungan linear antara dua (2) pemboleh ubah.Hubungan linear di sini bermaksud graf hubungannya adalah berbentuk garislurus. Sebaliknya, jika hubungan ini tidak linear (mungkin kuadratik/logarismadsb), maka analisis korelasi linear ini tidak boleh digunakan.

126 OUM


Jadi, sebelum kita meneruskan penganalisisan data, eloklah kita melihat graf hubungan antaradua (2) pemboleh ubah ini dengan melukis skatergram (scattergram). Seterusnya, analisiskorelasi linear akan memberikan pekali korelasi antara dua (2) pemboleh ubah. Pekali inimempunyai nilai antara -1 hingga +1. Pekali korelasi yang positif menunjukkan hubungansecara langsung, iaitu apabila skor pemboleh ubah pertama meningkat, skor pemboleh ubahkedua juga turut meningkat, dan sebaliknya (seperti lama belajar dengan pencapaian). Bagipekali korelasi yang negatif, hubungan antara pemboleh ubah adalah secara songsang, iaituapabila skor pemboleh ubah pertama meningkat, skor pemboleh ubah kedua akan menurun,dan sebaliknya (seperti lama menonton TV dengan pencapaian).

Bagaimanapun, dari segi kekuatan hubungan, kita perlu melihat nilai mutlak bagi sesuatunilai pekali korelasi itu (misalnya, nilai mutlak bagi -0.85 ialah +0.85). Secara am, interpretasiterhadap pekali korelasi adalah agak subjektif, bergantung pada sesuatu bidang ilmu. Sebagaicontoh, dalam bidang sains sosial, pekali korelasi -0.3 atau +0.3 dianggapkan sudah agaktinggi, memandangkan terdapat banyak faktor yang mempengaruhi sesuatu pemboleh ubah.Sebagai panduan, Jadual 6.7 menunjukkan kekuatan hubungan antara pemboleh ubahberdasarkan nilai mutlak pekali korelasi antaranya.

Jadual 6.7: Kekuatan Hubungan Mengikut Nilai Mutlak Pekali Korelasi

Nilai Mutlak Kekuatan Hubungan

< 0.20 Amat lemah

0.21– 0.40 Lemah

0.41– 0.60 Sederhana kuat

0.61– 0.80 Kuat

0.81– 1.00 Sangat kuat

Sebagai contoh pengiraan pekali korelasi, kita akan melihat hubungan antara markah uji-uji-semula, yang boleh digunakan untuk mencari indeks kebolehpercayaan ujian. Data daripadaJadual 6.6 akan digunakan semula, iaitu sebagai markah Ujian 1, sementara markah Ujian 2(uji semula) ditambah pada Jadual 6.8. Skatergram bagi markah Ujian 1 dan Ujian 2 ditunjukkahdalam Rajah 6.13 Daripada rajah ini, kita boleh andaikan hubungan antara markah Ujian 1dan Ujian 2 adalah linear.

OUM 127


Analisis seterusnya ialah mengira pekali korelasi linear antara markah Ujian 1 dan Ujian 2dengan menggunakan kaedah analisis korelasi Pearson. Rumus untuk mengira pekali iniialah seperti berikut dan angka-angka yang perlu dikira telah dimasukkan ke dalam Jadual6.8.

Rajah 6.13 : Skatergram markah ujian 1 dan ujian 2

Jadual 6.8 : Analisis Korelasi Linear bagi Markah Uji-Uji-Semula

Ujian 1 (xi)

Ujian 2 (yi)

_ (xi-x)

_ (xi-x)2

_ (yi-y)

_ (yi-y)2

_ _ (xi-x)(yi-y)

2 1 -2.4 5.76 -3.6 12.96 8.64 5 4 0.6 0.36 -0.6 0.36 -0.36 4 5 -0.4 0.16 0.4 0.16 -0.16 1 2 -3.4 11.56 -2.6 6.76 8.84 6 6 1.6 2.56 1.4 1.96 2.24 3 4 -1.4 1.96 -0.6 0.36 0.84 7 6 2.6 6.76 1.4 1.96 3.64 5 6 0.6 .36 1.4 1.96 0.84 4 4 -0.4 0.16 -0.6 0.36 0.24 7 8 2.6 6.76 3.4 11.56 8.84

Min = 4.4 Min = 4.6 ∑=0 ∑=36.4 ∑=0 ∑=38.4 ∑=33.6

128 OUM


Pekali korelasi linear Pearson ∑n

i i x yi=1

- s[(x x)(y - y)]/(n -1)( )(s )] ,

di mana x dan y ialah masing-masing min markah Ujian 1 dan Ujian 2, sementara sx dan sy

ialah masing-masing sisihan piawai markah Ujian 1 dan Ujian 2.

Tiga (3) pengiraan berikut perlu dibuat untuk mencari pekali korelasi. Pekali korelasi yangdiperoleh ialah 0.9, yang menunjukkan hubungan kuat antara markah Ujian 1 dan Ujian 2,yang juga menjadi indeks kebolehpercayaan bagi ujian tersebut. Justeru, kita bolehmemutuskan bahawa ujian ini mempunyai kebolehpercayaan yang tinggi.

(a) Sisihan piawai (sx) = 2.01 (telah dikira melalui Jadual 6.6)

(b) Sisihan piawai (sy) = ∑n

2i

i=1[(y - y) ]/(n-1) = (38.4/9) = 4.26 = 2.06

(c) Pekali korelasi (rxy) = ∑n

i i x yi=1

[(x - x)(y - y)]/[(n -1)(s )(s )] ,

= [33.6]/[(9)(2.01)(2.06)] = [33.6]/[37.26] = 0.90

6.7 REGRESI LINEAR MUDAH

Sebagai kesinambungan kepada korelasi linear, kita akan meneroka sedikit tentang regresilinear mudah. Bagi dua pemboleh ubah yang mempunyai hubungan, analisis regresi ini akanmenghasilkan persamaan yang menghubungkan pemboleh-pemboleh ubah tersebut.Persamaan ini boleh digunakan untuk tujuan meramal nilai pemboleh ubah ke-2, apabiladiberi nilai pemboleh ubah pertama. Seperti yang kita ketahui, dalam pengukuran dan penilaian,kaedah regresi boleh diguna untuk menentukan kesahan ramalan. Seterusnya, perkataan“linear” dalam frasa “regresi linear mudah” bermaksud hubungan antara dua pemboleh ubahitu adalah linear, sementara perkataan “mudah” bermaksud hanya terdapat satu pembolehubah peramal dalam persamaan ini.

Ringkasannya, regresi linear mudah ialah satu model regresi yangmenghubungkan satu pemboleh ubah bersandar (dependent variable) dengansatu pemboleh ubah peramal (predictor variable) secara linear.

OUM 129


Sebagai contoh pengiraan pekali regresi, kita akan gunakan markah Ujian 1 dan Ujian 2 yangdiberikan dalam Jadual 6.8. Di sini, kita mengandaikan markah Ujian 1 sebagai permal kepadamarkah Ujian 2. Sebagaimana juga analisis korelasi, kita perlu melukis skatergram sebelummelakukan analisis regresi. Seterusnya, bagi mengira pekali regresi, kita boleh gunakan modelpersamaan regresi berikut:

Y = bX + a,

di mana Y ialah pemboleh ubah ke-2 (yang diramal), X ialah pemboleh ubah pertama(peramal), b ialah pekali regresi, dan a ialah angkatap persamaan ini. Nilai a dan b bolehdikira dengan menggunakan rumus berikut:

b = r(sy/sx) = (0.90)(2.06/2.01) = (0.90)(1.02) = 0.91

a = y – b x = (4.6) – (0.91)(4.4) = 4.6 – 4.00 = 0.60

Y = 0.91X + 0.60

Y = bX + a = 0.91X + 0.60. Oleh itu, persamaan yang menghubungkan markah Ujian 2 (Y)dengan markah Ujian 1 (X) ialah:

Y = 0.91X + 0.60

Jika kita ingin meramal markah pelajar dalam Ujian 2, sekiranya pelajar ini mendapat 7 markahdalam Ujian 1, kita gantikan X dengan 7 dalam persamaan di atas, iaitu:

Y = 0.91X + 0.60 = (0.91)(7) + 0.60 = 6.37 + 0.60 = 6.97 (markah Ujian 2 sebenar ialah6 dan 8).

RUMUSAN

Tajuk ini telah menjelaskan beberapa kaedah asas statistik yang boleh digunakan dalam bidangpengukuran dan penilaian. Penjelasan awal dibuat tentang pengertian dan penggunaan statistikdalam pendidikan, termasuk dalam bidang pengukuran dan penilaian. Bahagian seterusnyamenjelaskan tentang penggunaan angka dan grafik untuk menggambarkan taburan data,iaitu penggunaan kekerapan, histogram dan carta pai.

Dua lagi grafik yang penting untuk menjelaskan taburan data dijelaskan juga, iaitu poligon danogif. Poligon dilukis bersama histogram untuk menunjukkan taburan data menggunakan grafgaris. Ogif pula digunakan untuk mencari persentil sesuatu skor dan sebaliknya. Seterusnya,analisis asas diguna untuk menentukan ukuran memusat dan serakan serta skor piawai.Ukuran ini termasuk mod, median, min, julat, varians, sisihan piawai dan skor piawai. Akhirnya,konsep serta pengiraan pekali korelasi dan regresi turut diperkenalkan.

130 OUM


GLOSARI

Carta Pai ialah satu grafik yang menggambarkan saiz kekerapan bagisesuatu set data yang berkadaran dengan luas sektornya.

Histogram ialah rajah berbentuk kotak yang dilukis dengan paksi-Ymenunjukkan kekerapan dan paksi-X menunjukkan skor ataukelas skor.

Korelasi Linear ialah hubungan antara dua pemboleh ubah yang grafnyaberbentuk garis lurus.

Persentil ialah markah yang mana di bawahnya terdapat markah yanglebih rendah sebanyak peratus tersebut.

Regresi Linear Mudah ialah satu model regresi yang menghubungkan satu pembolehubah bersandar dengan satu pemboleh ubah peramal secaralinear.

Skor Piawai ialah skor yang mempunyai min dan sisihan piawai yang tertentu.

Statistik ialah satu set teori dan kaedah yang boleh digunakan untukmemahami data.

Ukuran Memusat ialah ukuran yang menggambarkan skor tengah bagi sesuatuset data, iaitu seperti mod, median dan min.

Ukuran Serakan ialah ukuran yang menggambarkan darjah serakan bagi sesuatuset data, iaitu seperti julat, varians dan sisihan piawai.

UJIAN 1

(1) Jelaskan pengertian statistik.

(2) Bagaimanakah anda mengira buka sudut carta pai di pusat bulatan?

(3) Pekali korelasi antara dua pemboleh ubah ialah -0.85. Jelaskan hubungan dan kekuatanhubungan ini.

UJIAN 2

Markah ujian bagi 10 orang pelajar adalah seperti berikut:

5 7 3 5 6 2 8 5 3 6

(a) Cari mod, median dan min bagi markah-markah ini.

OUM 131


(b) Cari julat, varians dan sisihan piawainya.

(c) Tukarkan markah 7 kepada skor-z.

RUJUKAN

Buana: Pengajar Jurusan Sejarah Universitas Negeri Makassar. Ujian Nasional: Penilaianatau Evaluasi?

Garfield, J. (1992). Assessment and Teaching Statistics. JSE.

Hanna, G.S. & Dettmer, P.A. (2004). Assessment for Effective Teaching: Using Context-Adaptive Planning. Boston:Pearson-Allan & Allyn and Bacon.

Mehrens, W.A. & Lehmann, I.J. (1991). Measurement and evaluation in education andpsychology (4th ed.). Chicago: Holt, Rinehart and Winston.

Nitko, A.J. (2004). Educational Assessment of Students. Upper Saddle River, N.J.: Pearson-Merill Prentice Hall.

Sarle. W. S. (1997). Disseminations Of The International Statistical Applications Institute,Volume 1, Edition 4, 1995, Wichita: Acg Press, Pp. 61-66.

Van Dalen., D.P. (1979). Understanding Educational Research. (4th ed.) McGraw-Hill. Inc.

statistik_asas dalam pendidikan

Documents