Assalammualaikum.Wr.wb

“SUKUBANYAK & DALIL SISA”

Sukubanyak Dan Dalil Sisa

1. SukuBanyak1.1 Pengertian SukuBanyak1.2 Nilai SukuBanyak1.3 Operasi Antar-sukubanyak

2 Pembagian SukuBanyak2.1 Hubungan antara yang diBagi, Pembagi, Hasil Bagi Dan Sisa Pembagi2.2 Pembagian SukuBanyak dengan Pembagi Berbentuk Linear2.3 Pembagian SukuBanyak dengan Pembagi Berbentuk Kuadrat.

3 Teorema Sisa3.1 Menentukan Sisa Pembagian Suatu SukuBanyak oleh Pembagi Berbentuk Linear3.2 Menentukan Sisa Pembagian Suatu SukuBanyak oleh Pembagi Berbentuk Kuadrat

4 Soal-soal dan Pembahasan4.1 Soal Sukubanyak4.2 Soal Dalil Sisa

1.1 Pengertian• Bentuk umum suku banyak dalam peubah/variable x yang berderajat n adalah:

• adalah bilangan real dengan ≠0• adalah koefisien dari , adalah koefisien dari ,….

Demikian seterusnya. • disebut suku tetep.• Pangkat tertinggi dari x yaitu n merupakan derajat tertinggi suku banyak

tersebut.

 

1. SukuBanyak

012

21

1 ... axaxaxaxa nn

nn

onn aaaaa ,, 12,....1,

nanx 1na

1nx

0a

1.2 Nilai Suku Banyak

A. Metode SubsititusiNilai suku banyak

012

21

1 ...)( axaxaxaxaxf nn

nn

Untuk x-k ditentukan oleh

012

21

1 )()(...)()()( akakakakaxf nn

nn

Contoh 1Hitunglah nilai sukubanyak f(x) = x3+3x2-x+5 untuk nilai x=1Pembahasan :Untuk x=1, diperolehf (1) = (1)3 + 3(1)2 – (1) + 5 = 1 + 3 -1 + 5 = 8

B. Metode Bagan

X=K

)( 34 aka )( 232

4 akaka )( 122

33

4 akakaka )( 012

23

34

4 akakakaka

ka4

4a

4a 3a 1a2a

kaka 32

4 12

23

34 akakaka kakakaka 1

22

33

44

0a

Keterangan:Diketahui f(x) = a4 +a3+a2+a1+a0 Pembagi : (x-k) jadi pembaginya k

f(x)=x3-2x2-x-5. maka a3=1, a2= -2, a1= -1, a0= -5

Pembahasan:

Nilai f(x)untuk 3 adalah f(3).ini berarti k=3.

Kita akan menentukan nilai f(3) dengan menggunakan metode sintentik berikut.

X-3 1 -2 -1 -5

1

3

1 1 = f(3)

3

2

6+

Contoh 2

1. Diketahui Sukubanyak f(x)=x3-2x2-x-5. nilai f(x) untuk x=3 adalah

A. 3 C. 1 E. -1B. 2 D. 0

1.3 Operasi Antar – SukuBanyakA. Penjumlahan, Pengurangan, dan Perkalian 

Contoh 3

Diketahui dua buah sukubanyak f(x) dan g (x) dinyatakan dengan aturan

f(x) = x3 + x2 – 4g(x) = x3 + 2x2 + x + 2•Tentukan f(x) + g(x) serta derajatnya•Tentukan f(x) – g(x) serta derajatnya

Pembahasan :

a. f(x) + g(x) = ( x3 + x2 – 4 ) + (x3 + 2x2 + x + 2) f(x) + g(x) =(x3+x3) + (x2-2x2) + x + (-4+2) f(x) + g(x) =2x3- x2 + x -2 jadi f(x) + g(x) berderajat 3

b. f(x) - g(x) =( x3 + x2 – 4 ) - (x3 + 2x2 + x + 2) f(x) - g(x) =(x3-x3) + (x2-(-2x2)) - x + (-4-2) f(x) - g(x) =3 x2 - x -6 jadi f(x) - g(x) berderajat 2

Contoh 4Diketahui dua buah sukubanyak f(x) dan g (x) dinyatakan dengan aturanf(x) = x3 + 4g(x) = 2x2 + x + 2

Pembahasan :

f(x).g(x)= (x3 + 4).( 2x2 + x + 2)f(x).g(x)= x3(2x2 + x + 2) + 4(2x2 + x + 2)f(x).g(x)= 2x5+ x4+ 2x3+ 8x2 + 4x + 2jadi f(x).g(x) berderajat 5

Tentukan nilai a pada kesamaan x2 – 3x + 14 Ξ (x-1)(x-2)+3aPembahasan :x2 – 3x + 14 Ξ x2 -3x +2 +3ax2 – 3x + 14 Ξ x2 -3x + (2 +3a)dengan menggunakan sifat kesamaan sukubanyak, diperoleh14 = 2 + 3a a = 4 jadi , nilai a pada kesamaan x2 – 3x + 14 Ξ (x-1)(x-2)+3aadalah a = 4

Contoh 5

Sukubanyak f(x) dikatakan memiliki kesamaan dengan sukubanyak g(x), jika kedua sukubanyak itu mempunyai nilai yang sama untuk semua variable x bilangan real. Kedua sukubanyakf(x) da n g(x) itu ditulis sebagai

f (x) Ξ g (x)dengan lambang Ξ dibaca “kesamaaan “

B. Kesamaan Sukubanyak

a. Pembagi suku banyak dengan pembagi berbentuk (x-k).

2. PEMBAGIAN SUKUBANYAK

1. Pembagian sukubanyak dengan pembagian berbentuk linear

Pembagian sukubanyak P(x)oleh (x – k) dapat ditulis dengan

P(x) = (x – k)H(x) + S

Keterangan:

P(x) sukubanyak yang dibagi,

(x – a) adalah pembagi,

H(x) adalah hasil pembagian,

dan S adalah sisa pembagian

Hasil bagi dan sisa pembagian jika suku banyak f(x)=x2 - 4x+7 di bagi oleh (x-2) berturut-turut adalah…

A.(x-2) dan -3 D. (x+2)dan 3B.(x-2)dan 3 E. (x+2)dan -1C.x-2)dan 1

Contoh 6

Pembahasan :

Pembagian adalah (x-2) berarti k=2, Kita gunakan metode bagan berikut,

f(x)=x2 - 4x+7, maka a2=1, a1=-4 dan a0=7

2 1 -4 7 2 -4

1 -2 3

Dari bagan terlihat bahwa hasil bagi adalah (x-2) dan sisa 3

b. Pembagian suku banyak dengan pembagi berbentuk (ax+b).

F(x)= H(x)+S

Jika pembagi berbentuk (ax-b), maka nilai k harus diganti

dengan a

b

Maka :

Contoh 7Tentukan hasil bagi pada pembagian sukubanyak f(x)= 3x3+x2+x+2 dengan (3x-2)

Pembahasan :F(x) = 3x3 +x2+x+2, maka a3 =3 ,a2 =1, a1 =1, dan a0 =2Bentuk (3x-2) dapat ditulis menjadi 3( x - )

,berarti a = 3 dan k =

3

2

3

2

Berdasarkan bagan di atas, diperoleh hasil bagi dan sisa S = 4

Jadi , pembagian sukubanyak f(x) = 3x3+ x2+ x + 2 dengan (3x-2) memberikan hasil bagi x 2+ x + 1 dengan sisa pembagian S = 4

13

333 22

xxxx

3 1 1 2

2 2 2

3 3 3 4 (sisa)

3

2

Dengan cara bagan,

2. Pembagian sukubanyak dengan pembagian berbetuk kuadrat

Pembagian suku banyak dengan pembagi berbentuk cbxax 2

Apabila suku banyak f(x) dibagi dengan (dengan a= 0) Maka hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak itu dapat di tentukan dengan cara pembagian bersusun pendek.

cbxax 2

Contoh 8Hasil bagi dari sisa pembagian jika suku banyak

653)( 234 xxxxxf Di bagi oleh 22 xx

522 xx 168 x

522 xx 522 xx

522 xx

168 x 168 x

168 x

dan

dan

dan

dan

522 xx dan 168 x

A.

B.

C.

D.

E.

Pembahasan :

653)( 234 xxxxxf Pembagi : 22 xx

Karena(-8x-6) berderajat lebih rendah dari ( ) maka pembahagian selesai sampai disini dengan demikian hasil bagi =

22 xx

522 xx

22 xx

522 xx

653 234 xxxx234 2xxx

632 23 xxxxxx 23 22

635 2 xx1055 2 xx

168 x

3. TEOREMA SISAMisalkan sukubanyak f(x) dibagi dengan P(x) memberikan hasil bagi H(x) dengan sisa pembagian S(x). persamaan yang menyatakan hubungan antara f(x) dengan P(x), H(x), dan S(x) adalah :f(x)= P(x). H(x) + S(x)

dengan :•f(x) sebagai sukubanyak yang sibagi, misalnya diketahui berderajat n.•P(x) sebagai sukubanyak pembagi, misalnya diketahui berderajat m dan m≤n

•H(x) sebagai sukubanyak hasil bagi, berderajat (n-m) yaitu derajat suku banyak yang dibagi dikurangi dengan derajat sukubanyak pembagi•S(x) sebagai sukubanyak sisa pembagian, berderajat paling tinggi atau maksimum (m-1) yaitu berderajat maksimum satu kurangnya dari derajat sukubanyak pembagi.

2. Pembagi Berbentuk (ax + b)Teorema 2

Jika sukubanyak f(x) berderajat n dibagi dengan (ax + b) maka sisanya ditentukan oleh

S = f (- )a

b

Bukti Teorema 2

Perhatikan kembali persamaan f(x) = (ax + b) sa

xH

)(

1. Pembagi Berbentuk (x-k)Teorema 1

Jika sukubanyak f(x) berderajat n dibagi dengan (x – k) maka sisanya ditentukan oleh

S = f (k)

Bukti Teorema 1

Perhatikan kembali persamaan, f(x) = (x-k) . H(x) +SKarena persamaan itu berlaku untuk semua bilangan real x, maka dengan menyulihkan atau subsitusi x=k ke dalam persamaan itu, diperoleh :f(x) = (x-k). H(k) + S = 0 . H (k) + S = 0 +SS = f(x)Jadi, terbukti bahwa sisa pembagian S = f(x)

1.Menentukan Sisa Pembagian Suatu Sukubanyak Oleh Pembagi Berbentuk Linear

Contoh 9

Tentukan sisa pad pembagian sukubanyak f (x) = x4 -6x3 – 6x2 +8x +6 dibagi dengan x-2

Pembahasan :Sukubanyak f(x) = x4-6x3 – 6x2+8x+6 dibagi dengan sisanya adalah S= f(2). Nilai f(x) dapat dihitung dengan dua metode, yaitu:f(2) = (2)4- 6(2)3 -6(2)2 +8x+6f(2) = 16 – 48 -24 + 16 + 6 = -34

jadi, sisa pembagiannya S = f(x) = -34

Contoh 10

Tentukan sisa pada pembagian sukubanyak f(x) = 2x3 + 9x2 – 6x + 4 dengan 2x +1Pembahasan :f(x) = 2x3 + 9x2 – 6x + 4, maka a3 = 2, a2= 9, a1=-6 dan a0= 4

Bentuk (2x+1) dapat ditulis menjadi 2(x + ) berarti a = 2 dan k = Bagan atau skema

2

1 2 9 -6 4

-1 -4 5

2 8 -10 9 = f(x)

Jadi, sisa pembagiannnya adalah S = f ( ) = 92

1

2

12

1

subsitusi x=1, diperoleh f(1)= a +b +c

4 = a + b + c a + b + c = 4

Subsitusi x= -1 diperoleh f(-1)= a - b + c

-3= a - b + c a - b + c = -3

Subsitusi x=2, diperoleh f(2) = 4a + 2b +c

2=4a + 2b +c 4a + 2b +c = 2

6

51

2

13

3

12

2

6

51 x

2

13

3

12

Persamaan (1),(2),(3) membentuk sistem persamaan linear tiga variable ( variable a,b, c)

dengan penyelesaian a = b= c=

jadi, f(x) dibagi (x-1)(x+1)(x+2) memberikan sisa

S(x) =

2. Menentukan Sisa Pembagian Suatu Sukubanyak Oleh Pembagi Berbentuk Kuadrat

Contoh 11Jika f(x) dibagi (x-1) sisanya 4, jika f(x) dibagi (x+1) sisanya -3 dan jika f(x) dibagi (x-2) sisanya 2Tentukan sisanya jika f(x) dibagi (x-1)(x+1)(x-2)

Pembahasan :f(x) dibagi (x-1) sisanya 4, maka f(1)=4f(x) dibagi (x+1) sisanya -3, maka f(x)= -3f(x) dibagi (x-2) sisanya 2, maka f(2)=2pembagi (x-1)(x+1)(x+2) berderajat 3, maka sisany maksimum berderajat 2misalnya sisanya S(x) = ax2 +bx +c dan hasil baginya H(x), maka diperoleh hubungan .f(x)=(x-1)(x+1)(x+2).H(x) +( ax2 +bx +c)

Soal – Soal PembahasanSukuBanyak dan Dalil Sisa

Diketahui fungsi polinom f(x) = 2x5+3x4-5x2+x-7Maka nilai fungsi tersebut untuk x=-2 adalah a. -90 d. 45 b. -45 e. 90 c. 0

Soal 1.

Pembahasan :f(x) = 2x5+3x4-5x2+x-7Cara 1 (subtitusi): x = -2f(-2)= 2(-2)5+3(-2)4+5(-2)2+(-2)-7f(-2)= -45

SukuBanyak

Cara 2 (skematik)f(x) = 2x5+3x4-5x2+x-7, x=-2

Ambil koefisiennya:

-2 2 3 0 -5 1 -7

-4 2 -4 18 -38

2 -1 2 -9 19 - 45

Jadi nilai suku banyaknya -45

Diketahui fungsi kuadrat : f (x) = x2 + 3 x - 5untuk x=2 maka nilai suku banyak tersebut cari dengan cara subsitusi adalah:

Pembahasan :Cara Substitusi : f(2) = (2)2 + 3 (2) - 5 = 4 + 6 - 5 = 5

Soal 2.

Tentukan sisa pembagian dari fungsi f(x) = x6 – 4x4 + 2x2 – 27 dibagi x + 1

Pembahasan : Sisa = f( -1) = ( -1)6 – 4(-1)4 + 2(-1)2 – 27 = - 28

Soal 3.

Hitunglah nilai setiap sukubanyak berikut ini dengan metode baganF(x) = x4-3x3+4x2-x+10 untuk x=5Pembahasan :Koefisien-koefisien dari f(x)= x4-3x3+4x2-x+10 adalah a4=1,a3=-3,a2=4,a1=-1,a0=10

Soal 4.

5 1 -3 4 -1 10

1 2 14 69 355

5 10 70 345

Berdasarkan bagan tersebut, nilai sukubanyak f(x)= x4-3x3+4x2-x+10 untuk x= 5 adalah f(5) = 355

Hitunglah nilai setiap sukubanyak berikut ini dengan metode bersusun pendekF(x) = x3+4x2-2x+4 dibagi dengan x-1. Carilah sisa pembagiannya dan hasil baginya!

Soal 5.

Pembahasan : x-1

x2+5x+3

x3 + 4x2-2x+4x3 - x2

5x2-2x 5x2-5x

Hasil bagi = x2+5x+3 dan sisa pembagian x-1 adalah 7

3x + 4 3x - 3

7

Soal 6.

Sukubanyak f(x)=x3+x2+(a_2)x+4 dibagi dengan (x-1) memberikan sisa 10. Hitunglah nilai a, kemudian tentukan hasil baginya

Pembahasan :

Pembagian sukubanyak f(x)=x3+x2+(a_2)x+4 dengan (x-1)

1 1 1 a-2 4

1 2 a

1 2 a a+4

Dari bagan diatas terlihat bahwa sisa pembagiannya adalah S = a+4. Oleh karena diketahui sisa pembagiannya 10, maka

S = a + 4 = 10 a = 6

Jadi, nilai a = 6 dan hasil bagi H(x) = x2+2x+6

Dalil SisaSoal 1. Suku banyak (x4 – 3x3 – 5x2 + x – 6) dibagi

(x2 – x – 2), sisanya sama dengan….

Pembahasan :Bentuk pembagian ditulis: P(x) = (x2 – x – 2)H(x) + S(x)Karena pembagi berderajat 2 maka sisa = S(x) berderajat 1 misal: sisanya px + qsehingga bentuk pembagian ditulis:x4 – 3x3 – 5x2 + x – 6 = (x2 – x – 2)H(x) + px + qx4 – 3x3 – 5x2 + x – 6 = (x + 1)(x – 2)H(x) + px + q

P(x) dibagi (x + 1) bersisa P(-1)P(x) dibagi (x – 2) bersisa P(2) P(-1) = (-1)4 – 3(-1)3 – 5(-1)2 + (-1) – 6 = 1 + 3 – 5 – 1 – 6 = -8 P(2) = (2)4 – 3.(2)3 – 5.(2)2 + (2) – 6 = 16 – 24 – 20 + 2 – 6 = -32

P(x) = px + qP(-1) = -p + q = -8P(2) = 2p + q = -32

-3p = 24 p = -8p = -8 disubstitusi ke–p + q = -88 + q = -8 q = -16Sisa: px + q = -8x + (-16) Jadi sisa pembagiannya: -8x -16

Suatu suku banyak bila dibagi oleh x + 2 bersisa -13, dibagi oleh x – 3 sisanya 7.Suku banyak tersebut bila dibagi oleh x2 – x - 6 bersisa….

Soal 2.

Pembahasan :Misal sisanya: S(x) = ax + b, P(x): (x + 2) S(-2) = -13 -2a + b = -13P(x): (x – 3) S(3) = 7 3a + b = 7

5a = -20 a = 4

a = 4 disubstitusi ke -2a + b = -13 -2(4) + b = -13 b = -5Jadi sisanya adalah: ax + b = 4x - 5

Jika suku banyak x3 – x2 + px + 7 dan sukubanyak 2x3 + 3x2 - 4x – 1 dibagi (x + 1)akan diperoleh sisa yang sama, maka nilai p sama dengan….

Pembahasan :x3 – x2 + px + 7 dibagi (x + 1)Sisanya P(-1) = - 1 - 1 – p + 7 = 5 - p2x3 + 3x2 - 4x – 1 dibagi (x + 1)Sisanya P(-1) = -2 + 3 + 4 – 1 = 4

Karena sisanya sama,Berarti 5 – p = 4- p = 4 – 5 P = 1Jadi p = 1

Soal 3.

Jika suku banyak x3 – 7x + 6 dan sukubanyak x3 – x2 – 4x + 24 dibagi (x + a) akan diperoleh sisa yang sama, maka nilai a sama dengan….

Pembahasan :x3 – 7x + 6 dibagi (x + a)Sisanya P(-a) = a3 – 7a + 6x3 – x2 – 4x + 24 dibagi (x + a)Sisanya P(-a) = a3 – a2 – 4a + 24Sisanya sama berarti:

a3 – 7a + 6 = a3 – a2 – 4a + 24 a2 – 7a + 4a + 6 – 24 = 0 a2 – 3a – 18 = 0 (a + 3)(a – 6) = 0 a = -3 atau a = 6 Jadi nilai a = - 3 atau a = 6

Soal 4.

Terima kasih yah teman-teman