tasa de capitalizacion
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CAPITALIZACIOacuteN bullTasa de Capitalizacioacuten
bullTasa Nominal
bullTasa Efectiva
Capitalizacioacuten
Operacioacuten para calcular valores futuros de cantidades de dinero Consiste en invertir o prestar un capital producieacutendonos intereses durante el tiempo que dura la inversioacuten o el preacutestamo
Se divide en
bull Simple
bull Compuesta
IrvingLo
Capitalizacioacuten simple
Los intereses son satisfechos por el deudor al final del periodo de tiempo
Siacutembolos a utilizar
bull P= valor presente o capital
bull F= valor futuro
bull i= tasa de intereacutes tanto por ciento
bull n= nuacutemero de periodos de intereacutes
IrvingLo
Valor futuro
F=P+Pin oacute
P(1+in)
Intereses
I= Pin
Para periodos de tiempo
distintos del antildeo
Semestres K=2
Trimestres K=4
Meses K=12
Diacuteas K=360
Intereses
I= Pink
Valor futuro
F = P (k+1n) oacute
P(1+ink)
k
Puesto que una unidad
monetaria produce una tasa
de intereacutes i tendremos que
los intereses en n antildeos seraacuten
La suma del capital y los
intereses se denomina valor
futuro
IrvingLo
bull Ejemplo
Calcular los intereses simples de $500 000 al 10 anuales en 3 antildeos
I=Pmiddotnmiddoti
I= (500 000)(3)(10) = $150 000
2 Calcular los intereses simples de $500 000 al 10 anual correspondientes a 6 meses
I= Pin
k
I=(500 000)(10)(1) = 25 000
2
IrvingLo
Capitalizacioacuten continua
Al final del periodo se agregan los intereses al capital y por lo tanto en los periodos siguientes produciraacuten intereses
bull I = P((1+i^n)-1)
bull F=P(1+i)^n
Se caracterizan porque los intereses a diferencia de lo que ocurre en reacutegimen de simple a medida que se van generando pasan a formar parte del capital de partida se van acumulando y producen a su vez intereses en periacuteodos siguientes (son productivos)
IrvingLo
Ejemplos
bull 1Calcular los intereses que generan 2 millones de doacutelares a un tipo del 10 durante un plazo de 1 antildeo
I = 2 000 000 (((1 + 01)1) - 1)
I = 2000 000 (11 - 1)
I = 200 000 dlls
I = P((1+in)-1)
P= 2 000 000
F=
i= 10 = 01
n= 1
Datos
IrvingLo
bull 2Calcular el montante obtenido al invertir 200 euros al
5 anual durante 10 antildeos en reacutegimen de capitalizacioacuten
compuesta
F10 = 200 x (1 + 005 )10 = 32578 euro
Si se hubiese calculado en simple
F10 = 200 x (1 + 005 x 10) = 300 euro
bull La diferencia entre los dos montantes (2578 euros) son los
intereses producidos por los intereses generados y
acumulados hasta el final
F=P(1+i)^n
P= 2 000
F=
i= 5 = 05
n= 10 antildeos
Datos
AleTzec
Tasa de Intereacutes
Nominal y
Efectiva
Las tasas de intereacutes nominales y efectivas
tienen la misma relacioacuten que entre siacute guardan
el intereacutes simple y el compuesto
Intereacutes simple
los intereses siempre se calculan sobre el
monto inicial
Intereacutes compuesto
Los intereses obtenidos al final de cada
periodo no se retiran sino que se antildeaden al
capital principal Por lo tanto los intereses se
reinvierten
CelesteHe
bull Tasa de Intereacutes Nominal
Se conoce como tasa de intereacutes nominal o tasa nominal al
intereacutes que capitaliza maacutes de una vez al antildeo
La tasa de intereacutes nominal r es una tasa de intereacutes que NO
considera la capitalizacioacuten de intereses
r = tasa de intereacutes del periodo X nuacutemero de periodos
CelesteHe
CelesteHe
CelesteHe
bull Tasa de Intereacutes Efectiva
La tasa de intereacutes efectiva es la tasa real aplicable de tiempo
establecido La tasa de intereacutes efectiva toma en cuenta la
acumulacioacuten del intereacutes durante el periodo de la tasa
nominal correspondiente Se expresa como tasa anual
efectiva ia pero puede ser otro periodo de base
AlbertoCa
TPA
bull Tasa Porcentual Anual
bull Tasa de Intereacutes Nominal
RPA
bull Rendimiento Porcentual Anual
bull Tasa de Intereacutes Efectiva
AlbertoCa
bull La frecuencia de los pagos o ingresos se conoce como el
periodo de pago (PP)
bull Periodo de tiempo (t) es la unidad fundamental del
tiempo de la tasa de intereacutes (la maacutes comuacuten es 1 antildeo)
bull Periodo de composicioacuten o de capitalizacioacuten (PC) es la
unidad de tiempo utilizada para determinar el efecto del
intereacutes
bull Frecuencia de composicioacuten o de capitalizacioacuten (m) es
decir el nuacutemero de veces que se lleva a cabo la
composicioacuten durante el periodo (t)
AlbertoCa
bull Por ejemplo si una compantildeiacutea depositoacute dinero
mensualmente en una cuenta que paga una tasa de intereacutes
nominal del 14 anual compuesto semestralmente el
periodo de pago seriacutea 1 mes mientras que el periodo de
capitalizacioacuten seriacutea 6 meses y la frecuencia de la
composicioacuten seriacutea de 2
AlbertoCa
bull Tasa efectiva por Periodo de Capitalizacioacuten
Se acostumbra expresar la tasa efectiva sobre la misma base
de tiempo de composicioacuten La tasa efectiva correspondiente
por PC se determina mediante la foacutermula
r por periodo de tiempom periodos de composicioacuten por t
= rm
AlbertoCa
bull Ejemplos
1Tasas de preacutestamo bancario para dos proyectos distintos de equipos de generacioacuten de electricidad Determine la tasa efectiva considerando el PC
a) 9 anual compuesto trimestralmente
b) 9 anual compuesto mensualmente
a) r = 9 anual x trimestre m= 94
tasa efectiva por PC = 225
b) r= 9 anual x mes m= 912
tasa efectiva por PC = 075
AlbertoCa
bull Tasa De Intereacutes Efectiva Anual
La deduccioacuten de una foacutermula para la tasa de intereacutes efectiva es semejante a la loacutegica que se sigue para establecer la relacioacuten del valor futuro F=P (1+i)n
El valor futuro F al final de 1 antildeo es el principal P maacutes los intereses acumulados P (i) durante el antildeo Puesto que el intereacutes se puede capitalizar varias veces durante el antildeo se reemplaza i con la tasa anual efectiva ia Ahora escribamos la foacutermula para F al final de 1 antildeo
bull F = P + Pia = P (1+ia)
SalmaVa
Tasa de intereacutes efectiva anual
ia = (1+i)m -1
Sirve para calcular la tasa de intereacutes anual efectiva para
cualquier nuacutemero de periodos de composicioacuten cuando i es
la tasa para un periodo de composicioacuten
r = tasa de intereacutes nominal anual
m = nuacutem de periodos de capitalizacioacuten x antildeo
i = tasa de intereacutes efectiva por PC
ia = tasa de intereacutes efectiva anual
SalmaVa
Ejemplo
Jacky obtuvo una nueva tarjeta de creacutedito con un banco
nacional (MBNA) con una tasa establecida de 18 anual y
un periodo de composicioacuten mensual Para un saldo de $1000
al principio del antildeo calcule la tasa anual efectiva y el adeudo
total al blanco MBNA despueacutes de un antildeo tomando en cuenta
el hecho de que no se efectuacutea ninguacuten pago durante el antildeo
Solucioacuten
Hay 12 periodos de composicioacuten por un antildeo Por lo tanto m=12
e i=1812= 15 mensual Si el saldo de $1000 no se reduce
durante el antildeo se aplica la ecuacioacuten
ia=(1+i)m ndash 1
Y enseguida la ecuacioacuten para el valor futuro
F=P+Pia= P(1+ia)
SalmaVa
ia=(1+0015)12 ndash 1= 19562 ndash 1= 019562 (195)
F= $ 1 000 (119562)= $ 1 19562
Jacki pagaraacute 19562 o $19562 maacutes los $1 000 del
saldo por la utilizacioacuten del dinero del banco durante el
antildeo $119662
SalmaVa
1 La sentildeora Jones planea colocar dinero en un
certificado de depoacutesito JUMBO que paga 18 anual
compuesto diariamente iquestQueacute tasa efectiva recibiraacute ella
a) anualmente
r= 018 y m= 365
i anual = (1 + 018365)365 - 1
= 019716 (19716)
Es decir la sentildeora Jones obtendraacute un 19716 efectivo
sobre su depoacutesito
b) semestralmente
b) r= 009 durante 6 meses y m= 182 diacuteas
i por 6 meses = 009415 (9415)
SalmaVa
bull Tasa de Intereacutes Efectivas Para Cualquier Periodo
Para entender la diferencia entre un periodo de pago (PP) y el periodo de composicioacuten podemos decir que una compantildeiacutea deposita dinero cada mes en una cuenta que da rendimientos con una tasa de intereacutes nominal de 14 anual con un periodo de composicioacuten semestral es periodo de pago es un mes mientras que el periodo de composicioacuten es de 6 meses
GenaroVi
Para evaluar aquellos flujos de efectivo que se presentan
con mayor frecuencia que la anual es decir PPlt 1 antildeo
debe utilizarse la tasa de intereacutes efectiva durante el PP La
foacutermula de la tasa de intereacutes anual efectiva se generaliza
faacutecilmente para cualquier tasa nominal
i efectivo = (1 + rm
)m -1
donde
r = tasa de intereacutes nominal por periodo de pago PP
m = nuacutem de periodos de composicioacuten por periodo de pago
(PC por PP)
GenaroVi
bull Ejemplo
Una tarjeta de creacutedito nacional tiene una tasa de intereacutes del
2 mensual sobre el saldo no pagado
a) Calcule la tasa efectiva por periodo semestral
b) Si la tasa de intereacutes se expresa como 5 por trimestre
encuentre las tasas efectivas por periodos semestrales y
anuales
Solucioacuten
a) En esta parte del ejemplo el periodo de capitalizacioacuten es
mensual Dado que se desea obtener la tasa de intereacutes
efectiva por periodo semestral la tasa nominal por 6 meses
r = 2 mensual x 6 meses por periodo semestral
r = 12 por periodo semestral
GenaroVi
por cada 6 meses = 1 + 012
6
6
minus 1
= 01262 1262
b) Para una tasa de intereacutes del 5 por trimestre el periodo
de capitalizacioacuten es trimestral Por consiguiente en un
periodo semestral m=2 y r= 10 En consecuencia
i por cada 6 meses = 1 +010
2
2
minus 1
= 02155 2155
GenaroVi
bull Tasa De Intereacutes Efectiva Que Variacutea Con El
Tiempo
Las tasas de intereacutes reales para una corporacioacuten variacutean antildeo
con antildeo dependiendo del estado financiero de la empresa
de su sector den el mercado de las economiacuteas nacional e
internacional de las fuerzas de inflacioacuten y de muchos otros
factores
GenaroVi
Ejemplos
bull Las hipotecas de bienes inmuebles financiados
mediante un intereacutes HTA (Hipoteca de Tasa Ajustable)
La tasa de hipoteca se ajusta ligeramente cada antildeo para
que refleje la antiguumledad del preacutestamo el costo actual del
dinero de la hipoteca etc
GenaroVi
bull Los bonos protegidos contra la inflacioacuten (emitidos por
el gobierno de Estados Unidos y otras agencias)
La tasa de dividendos que paga el bono permanece
constante a lo largo de su periodo de vida sin embargo a
la cantidad global que se debe al propietario del bono
cuando alcanza su madurez se le aplica un ajuste
ascendente de acuerdo con el iacutendice de inflacioacuten del
iacutendice de precios al consumidor (IPC) Esto significa que
la tasa anual de rendimiento se incrementaraacute cada antildeo de
acuerdo con la inflacioacuten observada
GenaroVi
Tasas De Intereacutes Efectivas Para
Capitalizacioacuten Continua
A medida que el periodo de capitalizacioacuten disminuye el
valor de m nuacutemero de periodos de capitalizacioacuten por
periodo de intereacutes aumenta
Cuando el intereacutes se capitaliza en forma continua m se
acerca a infinito y la foacutermula de tasa de intereacutes efectiva en
la ecuacioacuten puede escribirse de una nueva forma
definicioacuten de la base del logaritmo natural
NancyLu
A medida que m se acerca a infinito el liacutemite de la formula
de las tasa de intereacutes efectiva se encuentra utilizando
rm = lh lo que hace m =hr
Ecuacioacuten que se utiliza para calcular la tasa de intereacutes
efectiva continua
NancyLu
bull Ejemplo
a) Para una tasa de intereacutes del 18 anual compuesto en forma
continua calcule la tasa de intereacutes efectiva anual y mensual
b) Sin un inversionista exige un retorno efectivo de por lo
menos el 15 sobre su dinero iquestCuaacutel es la tasa miacutenima anual
nominal aceptable si tiene lugar una capitalizacioacuten continua
Solucioacuten
a) La tasa de intereacutes mensual r es =1812 = 15 mensual La tasa
efectiva mensual es
En forma similar a la tasa efectiva anual utilizando r = 018 anual
es
NancyLu
b) En este problema es preciso resolver la ecuacioacuten de la
tasa de intereacutes efectiva en sentido contrario puesto que se
tiene i y se desea r por lo tanto para i=15 anual debe
resolverse para r tomando el logaritmo natural
Por consiguiente una tasa del 13976 anual compuesto
en forma continua generara una tasa de retorno efectiva
anual del 15
NancyLu
bull Ejemplo
Si se depositan $2000 cada antildeo durante 10 antildeos a una tasa de
intereses del 10 anual compare el valor presente para
capitalizacioacuten (a) anual y (b) capitalizacioacuten continua
Solucioacuten
Para capitalizacioacuten anual
P = 2000(PA1010) = 2000(61446) = $12289
(b) Para capitalizacioacuten continua
ianual = e⁰ sup1⁰ ndash 1 = 010517 (10517)
P= 2000(PA1051710)
= 2000(60104)
= $12021
NancyLu
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Comparacioacuten entre la duracioacuten del periodo de pago y del periodo de capitalizacioacuten (PP versus PC)
En los caacutelculos de equivalencia con porcentajes altos la frecuencia de los flujos de efectivo no es igual a la frecuencia de la capitalizacioacuten de los intereses
Resulta esencial que se utilice el mismo periodo para el periodo de capitalizacioacuten y el periodo de pago y en consecuencia la tasa de intereacutes se ajuste
Cuando solo existen pagos uacutenicos no hay periodo de pago PP definido en si por los flujos de efectivo La duracioacuten del PP por lo tanto queda definida por el periodo t del enunciado de la tasa de intereacutes
ErickMe
bull Ejemplo
Suponga que los flujos de efectivo ocurren cada 6 meses
(PP semestral) y que el intereacutes tiene un periodo de
capacitacioacuten trimestral (PC trimestral) Despueacutes de 3 meses
no hay flujo de efectivo ni es necesario determinar el efecto
de la composicioacuten trimestral Sin embargo en el mes 6 es
necesario considerar los intereses acumulados durante los
dos periodos de composicioacuten trimestrales anteriores
ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos con PPgePC
Cuando se trata exclusivamente de flujos de efectivo de pago uacutenico hay dos formas igualmente correctas de determinar i y n para los factores PF y FP
Meacutetodo 1
Se determina la tasa de intereacutes efectiva durante el periodo de composicioacuten PC y se iguala n al nuacutemero de periodos de composicioacuten entre P y F Las relaciones para calcular P y F son
P=F (PF i efectiva por PC nuacutemero total de periodos n)
F=P (FB i efectiva por PC nuacutemero total de periodos n)
ErickMe
bull Ejemplo
Suponga que la tarjeta de creacutedito es una tasa efectiva de
15 anual compuesto mensualmente
En este caso PC es igual a un mes
Para calcular el P o F a lo largo de un periodo de dos antildeos
se calcula la tasa mensual efectiva de 15 12= 125
Y el total de meses de 2 (12)=24 Asiacute los valores 125 y
24 se utiliza para el caacutelculo de los factores PF y FP
ErickMe
Meacutetodo 2
Se determina la tasa de intereacutes efectiva para el periodo t de la
tasa nominal y sea n igual al nuacutemero total de periodos
utilizados en el mismo periodo utilizando el mismo periodo
Las formulas P y F son las mismas que las de las ecuaciones
antes mencionadas salvo que el termino i efectiva por t se
sustituye por la tasa de intereacutes
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Series con PP ge PC
Si los flujos de efectivo son trimestrales el PP es de un trimestre
y por consiguiente se necesita una tasa de intereacutes efectiva
trimestral El valor n es el nuacutemero total de trimestres Si PP es
igual a un trimestre 5 antildeos se traducen en un valor de n de 20
trimestres Esto constituye una aplicacioacuten directa de la siguiente
directriz general
Cuando los flujos de efectivo implican una serie (por ejemplo A
G g) y el periodo de pago es igual o mayor que el periodo de
capitalizacioacuten
Se calcula la tasa de intereacutes efectiva i por periodo de pago
Se determina n como el nuacutemero total de periodos de pago
AleTzec
La siguiente tabla muestra la formulacioacuten correcta de diversas
series de flujo de efectivo y tasa de intereacutes
Observe que n siempre es igual al nuacutemero total de periodos de
pago y que i es una tasa de intereacutes efectiva que se expresa de
acuerdo con el mismo periodo que n
AleTzec
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos y series con PP lt PC
bull Ejemplos
Si un banco le cobra a una persona intereses el diacutea 15 del
mes en sus pagos de tarjeta de creacutedito y si la persona hace
el pago completo el diacutea primero iquestreduce la institucioacuten
financiera los intereses sobre la base de un pago anticipado
La respuesta comuacuten es no
Si una empresa grande hiciera pagos mensuales para cubrir
un preacutestamo bancario de $10 millones con un intereacutes
compuesto trimestral el ejecutivo de finanzas de la empresa
probablemente insistiriacutea en que el banco redujera la
cantidad de intereses basaacutendose en el pago anticipado
AleTzec
El momento de ocurrencia de las transacciones de flujo de
efectivo entre puntos de capitalizacioacuten implica la pregunta
de coacutemo manejar la capitalizacioacuten inter-perioacutedica
Fundamentalmente existen dos poliacuteticas los flujos de
efectivo entre periodos no ganan intereses o ganan un
intereacutes compuesto
AleTzec
Fin
Capitalizacioacuten
Operacioacuten para calcular valores futuros de cantidades de dinero Consiste en invertir o prestar un capital producieacutendonos intereses durante el tiempo que dura la inversioacuten o el preacutestamo
Se divide en
bull Simple
bull Compuesta
IrvingLo
Capitalizacioacuten simple
Los intereses son satisfechos por el deudor al final del periodo de tiempo
Siacutembolos a utilizar
bull P= valor presente o capital
bull F= valor futuro
bull i= tasa de intereacutes tanto por ciento
bull n= nuacutemero de periodos de intereacutes
IrvingLo
Valor futuro
F=P+Pin oacute
P(1+in)
Intereses
I= Pin
Para periodos de tiempo
distintos del antildeo
Semestres K=2
Trimestres K=4
Meses K=12
Diacuteas K=360
Intereses
I= Pink
Valor futuro
F = P (k+1n) oacute
P(1+ink)
k
Puesto que una unidad
monetaria produce una tasa
de intereacutes i tendremos que
los intereses en n antildeos seraacuten
La suma del capital y los
intereses se denomina valor
futuro
IrvingLo
bull Ejemplo
Calcular los intereses simples de $500 000 al 10 anuales en 3 antildeos
I=Pmiddotnmiddoti
I= (500 000)(3)(10) = $150 000
2 Calcular los intereses simples de $500 000 al 10 anual correspondientes a 6 meses
I= Pin
k
I=(500 000)(10)(1) = 25 000
2
IrvingLo
Capitalizacioacuten continua
Al final del periodo se agregan los intereses al capital y por lo tanto en los periodos siguientes produciraacuten intereses
bull I = P((1+i^n)-1)
bull F=P(1+i)^n
Se caracterizan porque los intereses a diferencia de lo que ocurre en reacutegimen de simple a medida que se van generando pasan a formar parte del capital de partida se van acumulando y producen a su vez intereses en periacuteodos siguientes (son productivos)
IrvingLo
Ejemplos
bull 1Calcular los intereses que generan 2 millones de doacutelares a un tipo del 10 durante un plazo de 1 antildeo
I = 2 000 000 (((1 + 01)1) - 1)
I = 2000 000 (11 - 1)
I = 200 000 dlls
I = P((1+in)-1)
P= 2 000 000
F=
i= 10 = 01
n= 1
Datos
IrvingLo
bull 2Calcular el montante obtenido al invertir 200 euros al
5 anual durante 10 antildeos en reacutegimen de capitalizacioacuten
compuesta
F10 = 200 x (1 + 005 )10 = 32578 euro
Si se hubiese calculado en simple
F10 = 200 x (1 + 005 x 10) = 300 euro
bull La diferencia entre los dos montantes (2578 euros) son los
intereses producidos por los intereses generados y
acumulados hasta el final
F=P(1+i)^n
P= 2 000
F=
i= 5 = 05
n= 10 antildeos
Datos
AleTzec
Tasa de Intereacutes
Nominal y
Efectiva
Las tasas de intereacutes nominales y efectivas
tienen la misma relacioacuten que entre siacute guardan
el intereacutes simple y el compuesto
Intereacutes simple
los intereses siempre se calculan sobre el
monto inicial
Intereacutes compuesto
Los intereses obtenidos al final de cada
periodo no se retiran sino que se antildeaden al
capital principal Por lo tanto los intereses se
reinvierten
CelesteHe
bull Tasa de Intereacutes Nominal
Se conoce como tasa de intereacutes nominal o tasa nominal al
intereacutes que capitaliza maacutes de una vez al antildeo
La tasa de intereacutes nominal r es una tasa de intereacutes que NO
considera la capitalizacioacuten de intereses
r = tasa de intereacutes del periodo X nuacutemero de periodos
CelesteHe
CelesteHe
CelesteHe
bull Tasa de Intereacutes Efectiva
La tasa de intereacutes efectiva es la tasa real aplicable de tiempo
establecido La tasa de intereacutes efectiva toma en cuenta la
acumulacioacuten del intereacutes durante el periodo de la tasa
nominal correspondiente Se expresa como tasa anual
efectiva ia pero puede ser otro periodo de base
AlbertoCa
TPA
bull Tasa Porcentual Anual
bull Tasa de Intereacutes Nominal
RPA
bull Rendimiento Porcentual Anual
bull Tasa de Intereacutes Efectiva
AlbertoCa
bull La frecuencia de los pagos o ingresos se conoce como el
periodo de pago (PP)
bull Periodo de tiempo (t) es la unidad fundamental del
tiempo de la tasa de intereacutes (la maacutes comuacuten es 1 antildeo)
bull Periodo de composicioacuten o de capitalizacioacuten (PC) es la
unidad de tiempo utilizada para determinar el efecto del
intereacutes
bull Frecuencia de composicioacuten o de capitalizacioacuten (m) es
decir el nuacutemero de veces que se lleva a cabo la
composicioacuten durante el periodo (t)
AlbertoCa
bull Por ejemplo si una compantildeiacutea depositoacute dinero
mensualmente en una cuenta que paga una tasa de intereacutes
nominal del 14 anual compuesto semestralmente el
periodo de pago seriacutea 1 mes mientras que el periodo de
capitalizacioacuten seriacutea 6 meses y la frecuencia de la
composicioacuten seriacutea de 2
AlbertoCa
bull Tasa efectiva por Periodo de Capitalizacioacuten
Se acostumbra expresar la tasa efectiva sobre la misma base
de tiempo de composicioacuten La tasa efectiva correspondiente
por PC se determina mediante la foacutermula
r por periodo de tiempom periodos de composicioacuten por t
= rm
AlbertoCa
bull Ejemplos
1Tasas de preacutestamo bancario para dos proyectos distintos de equipos de generacioacuten de electricidad Determine la tasa efectiva considerando el PC
a) 9 anual compuesto trimestralmente
b) 9 anual compuesto mensualmente
a) r = 9 anual x trimestre m= 94
tasa efectiva por PC = 225
b) r= 9 anual x mes m= 912
tasa efectiva por PC = 075
AlbertoCa
bull Tasa De Intereacutes Efectiva Anual
La deduccioacuten de una foacutermula para la tasa de intereacutes efectiva es semejante a la loacutegica que se sigue para establecer la relacioacuten del valor futuro F=P (1+i)n
El valor futuro F al final de 1 antildeo es el principal P maacutes los intereses acumulados P (i) durante el antildeo Puesto que el intereacutes se puede capitalizar varias veces durante el antildeo se reemplaza i con la tasa anual efectiva ia Ahora escribamos la foacutermula para F al final de 1 antildeo
bull F = P + Pia = P (1+ia)
SalmaVa
Tasa de intereacutes efectiva anual
ia = (1+i)m -1
Sirve para calcular la tasa de intereacutes anual efectiva para
cualquier nuacutemero de periodos de composicioacuten cuando i es
la tasa para un periodo de composicioacuten
r = tasa de intereacutes nominal anual
m = nuacutem de periodos de capitalizacioacuten x antildeo
i = tasa de intereacutes efectiva por PC
ia = tasa de intereacutes efectiva anual
SalmaVa
Ejemplo
Jacky obtuvo una nueva tarjeta de creacutedito con un banco
nacional (MBNA) con una tasa establecida de 18 anual y
un periodo de composicioacuten mensual Para un saldo de $1000
al principio del antildeo calcule la tasa anual efectiva y el adeudo
total al blanco MBNA despueacutes de un antildeo tomando en cuenta
el hecho de que no se efectuacutea ninguacuten pago durante el antildeo
Solucioacuten
Hay 12 periodos de composicioacuten por un antildeo Por lo tanto m=12
e i=1812= 15 mensual Si el saldo de $1000 no se reduce
durante el antildeo se aplica la ecuacioacuten
ia=(1+i)m ndash 1
Y enseguida la ecuacioacuten para el valor futuro
F=P+Pia= P(1+ia)
SalmaVa
ia=(1+0015)12 ndash 1= 19562 ndash 1= 019562 (195)
F= $ 1 000 (119562)= $ 1 19562
Jacki pagaraacute 19562 o $19562 maacutes los $1 000 del
saldo por la utilizacioacuten del dinero del banco durante el
antildeo $119662
SalmaVa
1 La sentildeora Jones planea colocar dinero en un
certificado de depoacutesito JUMBO que paga 18 anual
compuesto diariamente iquestQueacute tasa efectiva recibiraacute ella
a) anualmente
r= 018 y m= 365
i anual = (1 + 018365)365 - 1
= 019716 (19716)
Es decir la sentildeora Jones obtendraacute un 19716 efectivo
sobre su depoacutesito
b) semestralmente
b) r= 009 durante 6 meses y m= 182 diacuteas
i por 6 meses = 009415 (9415)
SalmaVa
bull Tasa de Intereacutes Efectivas Para Cualquier Periodo
Para entender la diferencia entre un periodo de pago (PP) y el periodo de composicioacuten podemos decir que una compantildeiacutea deposita dinero cada mes en una cuenta que da rendimientos con una tasa de intereacutes nominal de 14 anual con un periodo de composicioacuten semestral es periodo de pago es un mes mientras que el periodo de composicioacuten es de 6 meses
GenaroVi
Para evaluar aquellos flujos de efectivo que se presentan
con mayor frecuencia que la anual es decir PPlt 1 antildeo
debe utilizarse la tasa de intereacutes efectiva durante el PP La
foacutermula de la tasa de intereacutes anual efectiva se generaliza
faacutecilmente para cualquier tasa nominal
i efectivo = (1 + rm
)m -1
donde
r = tasa de intereacutes nominal por periodo de pago PP
m = nuacutem de periodos de composicioacuten por periodo de pago
(PC por PP)
GenaroVi
bull Ejemplo
Una tarjeta de creacutedito nacional tiene una tasa de intereacutes del
2 mensual sobre el saldo no pagado
a) Calcule la tasa efectiva por periodo semestral
b) Si la tasa de intereacutes se expresa como 5 por trimestre
encuentre las tasas efectivas por periodos semestrales y
anuales
Solucioacuten
a) En esta parte del ejemplo el periodo de capitalizacioacuten es
mensual Dado que se desea obtener la tasa de intereacutes
efectiva por periodo semestral la tasa nominal por 6 meses
r = 2 mensual x 6 meses por periodo semestral
r = 12 por periodo semestral
GenaroVi
por cada 6 meses = 1 + 012
6
6
minus 1
= 01262 1262
b) Para una tasa de intereacutes del 5 por trimestre el periodo
de capitalizacioacuten es trimestral Por consiguiente en un
periodo semestral m=2 y r= 10 En consecuencia
i por cada 6 meses = 1 +010
2
2
minus 1
= 02155 2155
GenaroVi
bull Tasa De Intereacutes Efectiva Que Variacutea Con El
Tiempo
Las tasas de intereacutes reales para una corporacioacuten variacutean antildeo
con antildeo dependiendo del estado financiero de la empresa
de su sector den el mercado de las economiacuteas nacional e
internacional de las fuerzas de inflacioacuten y de muchos otros
factores
GenaroVi
Ejemplos
bull Las hipotecas de bienes inmuebles financiados
mediante un intereacutes HTA (Hipoteca de Tasa Ajustable)
La tasa de hipoteca se ajusta ligeramente cada antildeo para
que refleje la antiguumledad del preacutestamo el costo actual del
dinero de la hipoteca etc
GenaroVi
bull Los bonos protegidos contra la inflacioacuten (emitidos por
el gobierno de Estados Unidos y otras agencias)
La tasa de dividendos que paga el bono permanece
constante a lo largo de su periodo de vida sin embargo a
la cantidad global que se debe al propietario del bono
cuando alcanza su madurez se le aplica un ajuste
ascendente de acuerdo con el iacutendice de inflacioacuten del
iacutendice de precios al consumidor (IPC) Esto significa que
la tasa anual de rendimiento se incrementaraacute cada antildeo de
acuerdo con la inflacioacuten observada
GenaroVi
Tasas De Intereacutes Efectivas Para
Capitalizacioacuten Continua
A medida que el periodo de capitalizacioacuten disminuye el
valor de m nuacutemero de periodos de capitalizacioacuten por
periodo de intereacutes aumenta
Cuando el intereacutes se capitaliza en forma continua m se
acerca a infinito y la foacutermula de tasa de intereacutes efectiva en
la ecuacioacuten puede escribirse de una nueva forma
definicioacuten de la base del logaritmo natural
NancyLu
A medida que m se acerca a infinito el liacutemite de la formula
de las tasa de intereacutes efectiva se encuentra utilizando
rm = lh lo que hace m =hr
Ecuacioacuten que se utiliza para calcular la tasa de intereacutes
efectiva continua
NancyLu
bull Ejemplo
a) Para una tasa de intereacutes del 18 anual compuesto en forma
continua calcule la tasa de intereacutes efectiva anual y mensual
b) Sin un inversionista exige un retorno efectivo de por lo
menos el 15 sobre su dinero iquestCuaacutel es la tasa miacutenima anual
nominal aceptable si tiene lugar una capitalizacioacuten continua
Solucioacuten
a) La tasa de intereacutes mensual r es =1812 = 15 mensual La tasa
efectiva mensual es
En forma similar a la tasa efectiva anual utilizando r = 018 anual
es
NancyLu
b) En este problema es preciso resolver la ecuacioacuten de la
tasa de intereacutes efectiva en sentido contrario puesto que se
tiene i y se desea r por lo tanto para i=15 anual debe
resolverse para r tomando el logaritmo natural
Por consiguiente una tasa del 13976 anual compuesto
en forma continua generara una tasa de retorno efectiva
anual del 15
NancyLu
bull Ejemplo
Si se depositan $2000 cada antildeo durante 10 antildeos a una tasa de
intereses del 10 anual compare el valor presente para
capitalizacioacuten (a) anual y (b) capitalizacioacuten continua
Solucioacuten
Para capitalizacioacuten anual
P = 2000(PA1010) = 2000(61446) = $12289
(b) Para capitalizacioacuten continua
ianual = e⁰ sup1⁰ ndash 1 = 010517 (10517)
P= 2000(PA1051710)
= 2000(60104)
= $12021
NancyLu
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Comparacioacuten entre la duracioacuten del periodo de pago y del periodo de capitalizacioacuten (PP versus PC)
En los caacutelculos de equivalencia con porcentajes altos la frecuencia de los flujos de efectivo no es igual a la frecuencia de la capitalizacioacuten de los intereses
Resulta esencial que se utilice el mismo periodo para el periodo de capitalizacioacuten y el periodo de pago y en consecuencia la tasa de intereacutes se ajuste
Cuando solo existen pagos uacutenicos no hay periodo de pago PP definido en si por los flujos de efectivo La duracioacuten del PP por lo tanto queda definida por el periodo t del enunciado de la tasa de intereacutes
ErickMe
bull Ejemplo
Suponga que los flujos de efectivo ocurren cada 6 meses
(PP semestral) y que el intereacutes tiene un periodo de
capacitacioacuten trimestral (PC trimestral) Despueacutes de 3 meses
no hay flujo de efectivo ni es necesario determinar el efecto
de la composicioacuten trimestral Sin embargo en el mes 6 es
necesario considerar los intereses acumulados durante los
dos periodos de composicioacuten trimestrales anteriores
ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos con PPgePC
Cuando se trata exclusivamente de flujos de efectivo de pago uacutenico hay dos formas igualmente correctas de determinar i y n para los factores PF y FP
Meacutetodo 1
Se determina la tasa de intereacutes efectiva durante el periodo de composicioacuten PC y se iguala n al nuacutemero de periodos de composicioacuten entre P y F Las relaciones para calcular P y F son
P=F (PF i efectiva por PC nuacutemero total de periodos n)
F=P (FB i efectiva por PC nuacutemero total de periodos n)
ErickMe
bull Ejemplo
Suponga que la tarjeta de creacutedito es una tasa efectiva de
15 anual compuesto mensualmente
En este caso PC es igual a un mes
Para calcular el P o F a lo largo de un periodo de dos antildeos
se calcula la tasa mensual efectiva de 15 12= 125
Y el total de meses de 2 (12)=24 Asiacute los valores 125 y
24 se utiliza para el caacutelculo de los factores PF y FP
ErickMe
Meacutetodo 2
Se determina la tasa de intereacutes efectiva para el periodo t de la
tasa nominal y sea n igual al nuacutemero total de periodos
utilizados en el mismo periodo utilizando el mismo periodo
Las formulas P y F son las mismas que las de las ecuaciones
antes mencionadas salvo que el termino i efectiva por t se
sustituye por la tasa de intereacutes
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Series con PP ge PC
Si los flujos de efectivo son trimestrales el PP es de un trimestre
y por consiguiente se necesita una tasa de intereacutes efectiva
trimestral El valor n es el nuacutemero total de trimestres Si PP es
igual a un trimestre 5 antildeos se traducen en un valor de n de 20
trimestres Esto constituye una aplicacioacuten directa de la siguiente
directriz general
Cuando los flujos de efectivo implican una serie (por ejemplo A
G g) y el periodo de pago es igual o mayor que el periodo de
capitalizacioacuten
Se calcula la tasa de intereacutes efectiva i por periodo de pago
Se determina n como el nuacutemero total de periodos de pago
AleTzec
La siguiente tabla muestra la formulacioacuten correcta de diversas
series de flujo de efectivo y tasa de intereacutes
Observe que n siempre es igual al nuacutemero total de periodos de
pago y que i es una tasa de intereacutes efectiva que se expresa de
acuerdo con el mismo periodo que n
AleTzec
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos y series con PP lt PC
bull Ejemplos
Si un banco le cobra a una persona intereses el diacutea 15 del
mes en sus pagos de tarjeta de creacutedito y si la persona hace
el pago completo el diacutea primero iquestreduce la institucioacuten
financiera los intereses sobre la base de un pago anticipado
La respuesta comuacuten es no
Si una empresa grande hiciera pagos mensuales para cubrir
un preacutestamo bancario de $10 millones con un intereacutes
compuesto trimestral el ejecutivo de finanzas de la empresa
probablemente insistiriacutea en que el banco redujera la
cantidad de intereses basaacutendose en el pago anticipado
AleTzec
El momento de ocurrencia de las transacciones de flujo de
efectivo entre puntos de capitalizacioacuten implica la pregunta
de coacutemo manejar la capitalizacioacuten inter-perioacutedica
Fundamentalmente existen dos poliacuteticas los flujos de
efectivo entre periodos no ganan intereses o ganan un
intereacutes compuesto
AleTzec
Fin
Capitalizacioacuten simple
Los intereses son satisfechos por el deudor al final del periodo de tiempo
Siacutembolos a utilizar
bull P= valor presente o capital
bull F= valor futuro
bull i= tasa de intereacutes tanto por ciento
bull n= nuacutemero de periodos de intereacutes
IrvingLo
Valor futuro
F=P+Pin oacute
P(1+in)
Intereses
I= Pin
Para periodos de tiempo
distintos del antildeo
Semestres K=2
Trimestres K=4
Meses K=12
Diacuteas K=360
Intereses
I= Pink
Valor futuro
F = P (k+1n) oacute
P(1+ink)
k
Puesto que una unidad
monetaria produce una tasa
de intereacutes i tendremos que
los intereses en n antildeos seraacuten
La suma del capital y los
intereses se denomina valor
futuro
IrvingLo
bull Ejemplo
Calcular los intereses simples de $500 000 al 10 anuales en 3 antildeos
I=Pmiddotnmiddoti
I= (500 000)(3)(10) = $150 000
2 Calcular los intereses simples de $500 000 al 10 anual correspondientes a 6 meses
I= Pin
k
I=(500 000)(10)(1) = 25 000
2
IrvingLo
Capitalizacioacuten continua
Al final del periodo se agregan los intereses al capital y por lo tanto en los periodos siguientes produciraacuten intereses
bull I = P((1+i^n)-1)
bull F=P(1+i)^n
Se caracterizan porque los intereses a diferencia de lo que ocurre en reacutegimen de simple a medida que se van generando pasan a formar parte del capital de partida se van acumulando y producen a su vez intereses en periacuteodos siguientes (son productivos)
IrvingLo
Ejemplos
bull 1Calcular los intereses que generan 2 millones de doacutelares a un tipo del 10 durante un plazo de 1 antildeo
I = 2 000 000 (((1 + 01)1) - 1)
I = 2000 000 (11 - 1)
I = 200 000 dlls
I = P((1+in)-1)
P= 2 000 000
F=
i= 10 = 01
n= 1
Datos
IrvingLo
bull 2Calcular el montante obtenido al invertir 200 euros al
5 anual durante 10 antildeos en reacutegimen de capitalizacioacuten
compuesta
F10 = 200 x (1 + 005 )10 = 32578 euro
Si se hubiese calculado en simple
F10 = 200 x (1 + 005 x 10) = 300 euro
bull La diferencia entre los dos montantes (2578 euros) son los
intereses producidos por los intereses generados y
acumulados hasta el final
F=P(1+i)^n
P= 2 000
F=
i= 5 = 05
n= 10 antildeos
Datos
AleTzec
Tasa de Intereacutes
Nominal y
Efectiva
Las tasas de intereacutes nominales y efectivas
tienen la misma relacioacuten que entre siacute guardan
el intereacutes simple y el compuesto
Intereacutes simple
los intereses siempre se calculan sobre el
monto inicial
Intereacutes compuesto
Los intereses obtenidos al final de cada
periodo no se retiran sino que se antildeaden al
capital principal Por lo tanto los intereses se
reinvierten
CelesteHe
bull Tasa de Intereacutes Nominal
Se conoce como tasa de intereacutes nominal o tasa nominal al
intereacutes que capitaliza maacutes de una vez al antildeo
La tasa de intereacutes nominal r es una tasa de intereacutes que NO
considera la capitalizacioacuten de intereses
r = tasa de intereacutes del periodo X nuacutemero de periodos
CelesteHe
CelesteHe
CelesteHe
bull Tasa de Intereacutes Efectiva
La tasa de intereacutes efectiva es la tasa real aplicable de tiempo
establecido La tasa de intereacutes efectiva toma en cuenta la
acumulacioacuten del intereacutes durante el periodo de la tasa
nominal correspondiente Se expresa como tasa anual
efectiva ia pero puede ser otro periodo de base
AlbertoCa
TPA
bull Tasa Porcentual Anual
bull Tasa de Intereacutes Nominal
RPA
bull Rendimiento Porcentual Anual
bull Tasa de Intereacutes Efectiva
AlbertoCa
bull La frecuencia de los pagos o ingresos se conoce como el
periodo de pago (PP)
bull Periodo de tiempo (t) es la unidad fundamental del
tiempo de la tasa de intereacutes (la maacutes comuacuten es 1 antildeo)
bull Periodo de composicioacuten o de capitalizacioacuten (PC) es la
unidad de tiempo utilizada para determinar el efecto del
intereacutes
bull Frecuencia de composicioacuten o de capitalizacioacuten (m) es
decir el nuacutemero de veces que se lleva a cabo la
composicioacuten durante el periodo (t)
AlbertoCa
bull Por ejemplo si una compantildeiacutea depositoacute dinero
mensualmente en una cuenta que paga una tasa de intereacutes
nominal del 14 anual compuesto semestralmente el
periodo de pago seriacutea 1 mes mientras que el periodo de
capitalizacioacuten seriacutea 6 meses y la frecuencia de la
composicioacuten seriacutea de 2
AlbertoCa
bull Tasa efectiva por Periodo de Capitalizacioacuten
Se acostumbra expresar la tasa efectiva sobre la misma base
de tiempo de composicioacuten La tasa efectiva correspondiente
por PC se determina mediante la foacutermula
r por periodo de tiempom periodos de composicioacuten por t
= rm
AlbertoCa
bull Ejemplos
1Tasas de preacutestamo bancario para dos proyectos distintos de equipos de generacioacuten de electricidad Determine la tasa efectiva considerando el PC
a) 9 anual compuesto trimestralmente
b) 9 anual compuesto mensualmente
a) r = 9 anual x trimestre m= 94
tasa efectiva por PC = 225
b) r= 9 anual x mes m= 912
tasa efectiva por PC = 075
AlbertoCa
bull Tasa De Intereacutes Efectiva Anual
La deduccioacuten de una foacutermula para la tasa de intereacutes efectiva es semejante a la loacutegica que se sigue para establecer la relacioacuten del valor futuro F=P (1+i)n
El valor futuro F al final de 1 antildeo es el principal P maacutes los intereses acumulados P (i) durante el antildeo Puesto que el intereacutes se puede capitalizar varias veces durante el antildeo se reemplaza i con la tasa anual efectiva ia Ahora escribamos la foacutermula para F al final de 1 antildeo
bull F = P + Pia = P (1+ia)
SalmaVa
Tasa de intereacutes efectiva anual
ia = (1+i)m -1
Sirve para calcular la tasa de intereacutes anual efectiva para
cualquier nuacutemero de periodos de composicioacuten cuando i es
la tasa para un periodo de composicioacuten
r = tasa de intereacutes nominal anual
m = nuacutem de periodos de capitalizacioacuten x antildeo
i = tasa de intereacutes efectiva por PC
ia = tasa de intereacutes efectiva anual
SalmaVa
Ejemplo
Jacky obtuvo una nueva tarjeta de creacutedito con un banco
nacional (MBNA) con una tasa establecida de 18 anual y
un periodo de composicioacuten mensual Para un saldo de $1000
al principio del antildeo calcule la tasa anual efectiva y el adeudo
total al blanco MBNA despueacutes de un antildeo tomando en cuenta
el hecho de que no se efectuacutea ninguacuten pago durante el antildeo
Solucioacuten
Hay 12 periodos de composicioacuten por un antildeo Por lo tanto m=12
e i=1812= 15 mensual Si el saldo de $1000 no se reduce
durante el antildeo se aplica la ecuacioacuten
ia=(1+i)m ndash 1
Y enseguida la ecuacioacuten para el valor futuro
F=P+Pia= P(1+ia)
SalmaVa
ia=(1+0015)12 ndash 1= 19562 ndash 1= 019562 (195)
F= $ 1 000 (119562)= $ 1 19562
Jacki pagaraacute 19562 o $19562 maacutes los $1 000 del
saldo por la utilizacioacuten del dinero del banco durante el
antildeo $119662
SalmaVa
1 La sentildeora Jones planea colocar dinero en un
certificado de depoacutesito JUMBO que paga 18 anual
compuesto diariamente iquestQueacute tasa efectiva recibiraacute ella
a) anualmente
r= 018 y m= 365
i anual = (1 + 018365)365 - 1
= 019716 (19716)
Es decir la sentildeora Jones obtendraacute un 19716 efectivo
sobre su depoacutesito
b) semestralmente
b) r= 009 durante 6 meses y m= 182 diacuteas
i por 6 meses = 009415 (9415)
SalmaVa
bull Tasa de Intereacutes Efectivas Para Cualquier Periodo
Para entender la diferencia entre un periodo de pago (PP) y el periodo de composicioacuten podemos decir que una compantildeiacutea deposita dinero cada mes en una cuenta que da rendimientos con una tasa de intereacutes nominal de 14 anual con un periodo de composicioacuten semestral es periodo de pago es un mes mientras que el periodo de composicioacuten es de 6 meses
GenaroVi
Para evaluar aquellos flujos de efectivo que se presentan
con mayor frecuencia que la anual es decir PPlt 1 antildeo
debe utilizarse la tasa de intereacutes efectiva durante el PP La
foacutermula de la tasa de intereacutes anual efectiva se generaliza
faacutecilmente para cualquier tasa nominal
i efectivo = (1 + rm
)m -1
donde
r = tasa de intereacutes nominal por periodo de pago PP
m = nuacutem de periodos de composicioacuten por periodo de pago
(PC por PP)
GenaroVi
bull Ejemplo
Una tarjeta de creacutedito nacional tiene una tasa de intereacutes del
2 mensual sobre el saldo no pagado
a) Calcule la tasa efectiva por periodo semestral
b) Si la tasa de intereacutes se expresa como 5 por trimestre
encuentre las tasas efectivas por periodos semestrales y
anuales
Solucioacuten
a) En esta parte del ejemplo el periodo de capitalizacioacuten es
mensual Dado que se desea obtener la tasa de intereacutes
efectiva por periodo semestral la tasa nominal por 6 meses
r = 2 mensual x 6 meses por periodo semestral
r = 12 por periodo semestral
GenaroVi
por cada 6 meses = 1 + 012
6
6
minus 1
= 01262 1262
b) Para una tasa de intereacutes del 5 por trimestre el periodo
de capitalizacioacuten es trimestral Por consiguiente en un
periodo semestral m=2 y r= 10 En consecuencia
i por cada 6 meses = 1 +010
2
2
minus 1
= 02155 2155
GenaroVi
bull Tasa De Intereacutes Efectiva Que Variacutea Con El
Tiempo
Las tasas de intereacutes reales para una corporacioacuten variacutean antildeo
con antildeo dependiendo del estado financiero de la empresa
de su sector den el mercado de las economiacuteas nacional e
internacional de las fuerzas de inflacioacuten y de muchos otros
factores
GenaroVi
Ejemplos
bull Las hipotecas de bienes inmuebles financiados
mediante un intereacutes HTA (Hipoteca de Tasa Ajustable)
La tasa de hipoteca se ajusta ligeramente cada antildeo para
que refleje la antiguumledad del preacutestamo el costo actual del
dinero de la hipoteca etc
GenaroVi
bull Los bonos protegidos contra la inflacioacuten (emitidos por
el gobierno de Estados Unidos y otras agencias)
La tasa de dividendos que paga el bono permanece
constante a lo largo de su periodo de vida sin embargo a
la cantidad global que se debe al propietario del bono
cuando alcanza su madurez se le aplica un ajuste
ascendente de acuerdo con el iacutendice de inflacioacuten del
iacutendice de precios al consumidor (IPC) Esto significa que
la tasa anual de rendimiento se incrementaraacute cada antildeo de
acuerdo con la inflacioacuten observada
GenaroVi
Tasas De Intereacutes Efectivas Para
Capitalizacioacuten Continua
A medida que el periodo de capitalizacioacuten disminuye el
valor de m nuacutemero de periodos de capitalizacioacuten por
periodo de intereacutes aumenta
Cuando el intereacutes se capitaliza en forma continua m se
acerca a infinito y la foacutermula de tasa de intereacutes efectiva en
la ecuacioacuten puede escribirse de una nueva forma
definicioacuten de la base del logaritmo natural
NancyLu
A medida que m se acerca a infinito el liacutemite de la formula
de las tasa de intereacutes efectiva se encuentra utilizando
rm = lh lo que hace m =hr
Ecuacioacuten que se utiliza para calcular la tasa de intereacutes
efectiva continua
NancyLu
bull Ejemplo
a) Para una tasa de intereacutes del 18 anual compuesto en forma
continua calcule la tasa de intereacutes efectiva anual y mensual
b) Sin un inversionista exige un retorno efectivo de por lo
menos el 15 sobre su dinero iquestCuaacutel es la tasa miacutenima anual
nominal aceptable si tiene lugar una capitalizacioacuten continua
Solucioacuten
a) La tasa de intereacutes mensual r es =1812 = 15 mensual La tasa
efectiva mensual es
En forma similar a la tasa efectiva anual utilizando r = 018 anual
es
NancyLu
b) En este problema es preciso resolver la ecuacioacuten de la
tasa de intereacutes efectiva en sentido contrario puesto que se
tiene i y se desea r por lo tanto para i=15 anual debe
resolverse para r tomando el logaritmo natural
Por consiguiente una tasa del 13976 anual compuesto
en forma continua generara una tasa de retorno efectiva
anual del 15
NancyLu
bull Ejemplo
Si se depositan $2000 cada antildeo durante 10 antildeos a una tasa de
intereses del 10 anual compare el valor presente para
capitalizacioacuten (a) anual y (b) capitalizacioacuten continua
Solucioacuten
Para capitalizacioacuten anual
P = 2000(PA1010) = 2000(61446) = $12289
(b) Para capitalizacioacuten continua
ianual = e⁰ sup1⁰ ndash 1 = 010517 (10517)
P= 2000(PA1051710)
= 2000(60104)
= $12021
NancyLu
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Comparacioacuten entre la duracioacuten del periodo de pago y del periodo de capitalizacioacuten (PP versus PC)
En los caacutelculos de equivalencia con porcentajes altos la frecuencia de los flujos de efectivo no es igual a la frecuencia de la capitalizacioacuten de los intereses
Resulta esencial que se utilice el mismo periodo para el periodo de capitalizacioacuten y el periodo de pago y en consecuencia la tasa de intereacutes se ajuste
Cuando solo existen pagos uacutenicos no hay periodo de pago PP definido en si por los flujos de efectivo La duracioacuten del PP por lo tanto queda definida por el periodo t del enunciado de la tasa de intereacutes
ErickMe
bull Ejemplo
Suponga que los flujos de efectivo ocurren cada 6 meses
(PP semestral) y que el intereacutes tiene un periodo de
capacitacioacuten trimestral (PC trimestral) Despueacutes de 3 meses
no hay flujo de efectivo ni es necesario determinar el efecto
de la composicioacuten trimestral Sin embargo en el mes 6 es
necesario considerar los intereses acumulados durante los
dos periodos de composicioacuten trimestrales anteriores
ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos con PPgePC
Cuando se trata exclusivamente de flujos de efectivo de pago uacutenico hay dos formas igualmente correctas de determinar i y n para los factores PF y FP
Meacutetodo 1
Se determina la tasa de intereacutes efectiva durante el periodo de composicioacuten PC y se iguala n al nuacutemero de periodos de composicioacuten entre P y F Las relaciones para calcular P y F son
P=F (PF i efectiva por PC nuacutemero total de periodos n)
F=P (FB i efectiva por PC nuacutemero total de periodos n)
ErickMe
bull Ejemplo
Suponga que la tarjeta de creacutedito es una tasa efectiva de
15 anual compuesto mensualmente
En este caso PC es igual a un mes
Para calcular el P o F a lo largo de un periodo de dos antildeos
se calcula la tasa mensual efectiva de 15 12= 125
Y el total de meses de 2 (12)=24 Asiacute los valores 125 y
24 se utiliza para el caacutelculo de los factores PF y FP
ErickMe
Meacutetodo 2
Se determina la tasa de intereacutes efectiva para el periodo t de la
tasa nominal y sea n igual al nuacutemero total de periodos
utilizados en el mismo periodo utilizando el mismo periodo
Las formulas P y F son las mismas que las de las ecuaciones
antes mencionadas salvo que el termino i efectiva por t se
sustituye por la tasa de intereacutes
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Series con PP ge PC
Si los flujos de efectivo son trimestrales el PP es de un trimestre
y por consiguiente se necesita una tasa de intereacutes efectiva
trimestral El valor n es el nuacutemero total de trimestres Si PP es
igual a un trimestre 5 antildeos se traducen en un valor de n de 20
trimestres Esto constituye una aplicacioacuten directa de la siguiente
directriz general
Cuando los flujos de efectivo implican una serie (por ejemplo A
G g) y el periodo de pago es igual o mayor que el periodo de
capitalizacioacuten
Se calcula la tasa de intereacutes efectiva i por periodo de pago
Se determina n como el nuacutemero total de periodos de pago
AleTzec
La siguiente tabla muestra la formulacioacuten correcta de diversas
series de flujo de efectivo y tasa de intereacutes
Observe que n siempre es igual al nuacutemero total de periodos de
pago y que i es una tasa de intereacutes efectiva que se expresa de
acuerdo con el mismo periodo que n
AleTzec
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos y series con PP lt PC
bull Ejemplos
Si un banco le cobra a una persona intereses el diacutea 15 del
mes en sus pagos de tarjeta de creacutedito y si la persona hace
el pago completo el diacutea primero iquestreduce la institucioacuten
financiera los intereses sobre la base de un pago anticipado
La respuesta comuacuten es no
Si una empresa grande hiciera pagos mensuales para cubrir
un preacutestamo bancario de $10 millones con un intereacutes
compuesto trimestral el ejecutivo de finanzas de la empresa
probablemente insistiriacutea en que el banco redujera la
cantidad de intereses basaacutendose en el pago anticipado
AleTzec
El momento de ocurrencia de las transacciones de flujo de
efectivo entre puntos de capitalizacioacuten implica la pregunta
de coacutemo manejar la capitalizacioacuten inter-perioacutedica
Fundamentalmente existen dos poliacuteticas los flujos de
efectivo entre periodos no ganan intereses o ganan un
intereacutes compuesto
AleTzec
Fin
Valor futuro
F=P+Pin oacute
P(1+in)
Intereses
I= Pin
Para periodos de tiempo
distintos del antildeo
Semestres K=2
Trimestres K=4
Meses K=12
Diacuteas K=360
Intereses
I= Pink
Valor futuro
F = P (k+1n) oacute
P(1+ink)
k
Puesto que una unidad
monetaria produce una tasa
de intereacutes i tendremos que
los intereses en n antildeos seraacuten
La suma del capital y los
intereses se denomina valor
futuro
IrvingLo
bull Ejemplo
Calcular los intereses simples de $500 000 al 10 anuales en 3 antildeos
I=Pmiddotnmiddoti
I= (500 000)(3)(10) = $150 000
2 Calcular los intereses simples de $500 000 al 10 anual correspondientes a 6 meses
I= Pin
k
I=(500 000)(10)(1) = 25 000
2
IrvingLo
Capitalizacioacuten continua
Al final del periodo se agregan los intereses al capital y por lo tanto en los periodos siguientes produciraacuten intereses
bull I = P((1+i^n)-1)
bull F=P(1+i)^n
Se caracterizan porque los intereses a diferencia de lo que ocurre en reacutegimen de simple a medida que se van generando pasan a formar parte del capital de partida se van acumulando y producen a su vez intereses en periacuteodos siguientes (son productivos)
IrvingLo
Ejemplos
bull 1Calcular los intereses que generan 2 millones de doacutelares a un tipo del 10 durante un plazo de 1 antildeo
I = 2 000 000 (((1 + 01)1) - 1)
I = 2000 000 (11 - 1)
I = 200 000 dlls
I = P((1+in)-1)
P= 2 000 000
F=
i= 10 = 01
n= 1
Datos
IrvingLo
bull 2Calcular el montante obtenido al invertir 200 euros al
5 anual durante 10 antildeos en reacutegimen de capitalizacioacuten
compuesta
F10 = 200 x (1 + 005 )10 = 32578 euro
Si se hubiese calculado en simple
F10 = 200 x (1 + 005 x 10) = 300 euro
bull La diferencia entre los dos montantes (2578 euros) son los
intereses producidos por los intereses generados y
acumulados hasta el final
F=P(1+i)^n
P= 2 000
F=
i= 5 = 05
n= 10 antildeos
Datos
AleTzec
Tasa de Intereacutes
Nominal y
Efectiva
Las tasas de intereacutes nominales y efectivas
tienen la misma relacioacuten que entre siacute guardan
el intereacutes simple y el compuesto
Intereacutes simple
los intereses siempre se calculan sobre el
monto inicial
Intereacutes compuesto
Los intereses obtenidos al final de cada
periodo no se retiran sino que se antildeaden al
capital principal Por lo tanto los intereses se
reinvierten
CelesteHe
bull Tasa de Intereacutes Nominal
Se conoce como tasa de intereacutes nominal o tasa nominal al
intereacutes que capitaliza maacutes de una vez al antildeo
La tasa de intereacutes nominal r es una tasa de intereacutes que NO
considera la capitalizacioacuten de intereses
r = tasa de intereacutes del periodo X nuacutemero de periodos
CelesteHe
CelesteHe
CelesteHe
bull Tasa de Intereacutes Efectiva
La tasa de intereacutes efectiva es la tasa real aplicable de tiempo
establecido La tasa de intereacutes efectiva toma en cuenta la
acumulacioacuten del intereacutes durante el periodo de la tasa
nominal correspondiente Se expresa como tasa anual
efectiva ia pero puede ser otro periodo de base
AlbertoCa
TPA
bull Tasa Porcentual Anual
bull Tasa de Intereacutes Nominal
RPA
bull Rendimiento Porcentual Anual
bull Tasa de Intereacutes Efectiva
AlbertoCa
bull La frecuencia de los pagos o ingresos se conoce como el
periodo de pago (PP)
bull Periodo de tiempo (t) es la unidad fundamental del
tiempo de la tasa de intereacutes (la maacutes comuacuten es 1 antildeo)
bull Periodo de composicioacuten o de capitalizacioacuten (PC) es la
unidad de tiempo utilizada para determinar el efecto del
intereacutes
bull Frecuencia de composicioacuten o de capitalizacioacuten (m) es
decir el nuacutemero de veces que se lleva a cabo la
composicioacuten durante el periodo (t)
AlbertoCa
bull Por ejemplo si una compantildeiacutea depositoacute dinero
mensualmente en una cuenta que paga una tasa de intereacutes
nominal del 14 anual compuesto semestralmente el
periodo de pago seriacutea 1 mes mientras que el periodo de
capitalizacioacuten seriacutea 6 meses y la frecuencia de la
composicioacuten seriacutea de 2
AlbertoCa
bull Tasa efectiva por Periodo de Capitalizacioacuten
Se acostumbra expresar la tasa efectiva sobre la misma base
de tiempo de composicioacuten La tasa efectiva correspondiente
por PC se determina mediante la foacutermula
r por periodo de tiempom periodos de composicioacuten por t
= rm
AlbertoCa
bull Ejemplos
1Tasas de preacutestamo bancario para dos proyectos distintos de equipos de generacioacuten de electricidad Determine la tasa efectiva considerando el PC
a) 9 anual compuesto trimestralmente
b) 9 anual compuesto mensualmente
a) r = 9 anual x trimestre m= 94
tasa efectiva por PC = 225
b) r= 9 anual x mes m= 912
tasa efectiva por PC = 075
AlbertoCa
bull Tasa De Intereacutes Efectiva Anual
La deduccioacuten de una foacutermula para la tasa de intereacutes efectiva es semejante a la loacutegica que se sigue para establecer la relacioacuten del valor futuro F=P (1+i)n
El valor futuro F al final de 1 antildeo es el principal P maacutes los intereses acumulados P (i) durante el antildeo Puesto que el intereacutes se puede capitalizar varias veces durante el antildeo se reemplaza i con la tasa anual efectiva ia Ahora escribamos la foacutermula para F al final de 1 antildeo
bull F = P + Pia = P (1+ia)
SalmaVa
Tasa de intereacutes efectiva anual
ia = (1+i)m -1
Sirve para calcular la tasa de intereacutes anual efectiva para
cualquier nuacutemero de periodos de composicioacuten cuando i es
la tasa para un periodo de composicioacuten
r = tasa de intereacutes nominal anual
m = nuacutem de periodos de capitalizacioacuten x antildeo
i = tasa de intereacutes efectiva por PC
ia = tasa de intereacutes efectiva anual
SalmaVa
Ejemplo
Jacky obtuvo una nueva tarjeta de creacutedito con un banco
nacional (MBNA) con una tasa establecida de 18 anual y
un periodo de composicioacuten mensual Para un saldo de $1000
al principio del antildeo calcule la tasa anual efectiva y el adeudo
total al blanco MBNA despueacutes de un antildeo tomando en cuenta
el hecho de que no se efectuacutea ninguacuten pago durante el antildeo
Solucioacuten
Hay 12 periodos de composicioacuten por un antildeo Por lo tanto m=12
e i=1812= 15 mensual Si el saldo de $1000 no se reduce
durante el antildeo se aplica la ecuacioacuten
ia=(1+i)m ndash 1
Y enseguida la ecuacioacuten para el valor futuro
F=P+Pia= P(1+ia)
SalmaVa
ia=(1+0015)12 ndash 1= 19562 ndash 1= 019562 (195)
F= $ 1 000 (119562)= $ 1 19562
Jacki pagaraacute 19562 o $19562 maacutes los $1 000 del
saldo por la utilizacioacuten del dinero del banco durante el
antildeo $119662
SalmaVa
1 La sentildeora Jones planea colocar dinero en un
certificado de depoacutesito JUMBO que paga 18 anual
compuesto diariamente iquestQueacute tasa efectiva recibiraacute ella
a) anualmente
r= 018 y m= 365
i anual = (1 + 018365)365 - 1
= 019716 (19716)
Es decir la sentildeora Jones obtendraacute un 19716 efectivo
sobre su depoacutesito
b) semestralmente
b) r= 009 durante 6 meses y m= 182 diacuteas
i por 6 meses = 009415 (9415)
SalmaVa
bull Tasa de Intereacutes Efectivas Para Cualquier Periodo
Para entender la diferencia entre un periodo de pago (PP) y el periodo de composicioacuten podemos decir que una compantildeiacutea deposita dinero cada mes en una cuenta que da rendimientos con una tasa de intereacutes nominal de 14 anual con un periodo de composicioacuten semestral es periodo de pago es un mes mientras que el periodo de composicioacuten es de 6 meses
GenaroVi
Para evaluar aquellos flujos de efectivo que se presentan
con mayor frecuencia que la anual es decir PPlt 1 antildeo
debe utilizarse la tasa de intereacutes efectiva durante el PP La
foacutermula de la tasa de intereacutes anual efectiva se generaliza
faacutecilmente para cualquier tasa nominal
i efectivo = (1 + rm
)m -1
donde
r = tasa de intereacutes nominal por periodo de pago PP
m = nuacutem de periodos de composicioacuten por periodo de pago
(PC por PP)
GenaroVi
bull Ejemplo
Una tarjeta de creacutedito nacional tiene una tasa de intereacutes del
2 mensual sobre el saldo no pagado
a) Calcule la tasa efectiva por periodo semestral
b) Si la tasa de intereacutes se expresa como 5 por trimestre
encuentre las tasas efectivas por periodos semestrales y
anuales
Solucioacuten
a) En esta parte del ejemplo el periodo de capitalizacioacuten es
mensual Dado que se desea obtener la tasa de intereacutes
efectiva por periodo semestral la tasa nominal por 6 meses
r = 2 mensual x 6 meses por periodo semestral
r = 12 por periodo semestral
GenaroVi
por cada 6 meses = 1 + 012
6
6
minus 1
= 01262 1262
b) Para una tasa de intereacutes del 5 por trimestre el periodo
de capitalizacioacuten es trimestral Por consiguiente en un
periodo semestral m=2 y r= 10 En consecuencia
i por cada 6 meses = 1 +010
2
2
minus 1
= 02155 2155
GenaroVi
bull Tasa De Intereacutes Efectiva Que Variacutea Con El
Tiempo
Las tasas de intereacutes reales para una corporacioacuten variacutean antildeo
con antildeo dependiendo del estado financiero de la empresa
de su sector den el mercado de las economiacuteas nacional e
internacional de las fuerzas de inflacioacuten y de muchos otros
factores
GenaroVi
Ejemplos
bull Las hipotecas de bienes inmuebles financiados
mediante un intereacutes HTA (Hipoteca de Tasa Ajustable)
La tasa de hipoteca se ajusta ligeramente cada antildeo para
que refleje la antiguumledad del preacutestamo el costo actual del
dinero de la hipoteca etc
GenaroVi
bull Los bonos protegidos contra la inflacioacuten (emitidos por
el gobierno de Estados Unidos y otras agencias)
La tasa de dividendos que paga el bono permanece
constante a lo largo de su periodo de vida sin embargo a
la cantidad global que se debe al propietario del bono
cuando alcanza su madurez se le aplica un ajuste
ascendente de acuerdo con el iacutendice de inflacioacuten del
iacutendice de precios al consumidor (IPC) Esto significa que
la tasa anual de rendimiento se incrementaraacute cada antildeo de
acuerdo con la inflacioacuten observada
GenaroVi
Tasas De Intereacutes Efectivas Para
Capitalizacioacuten Continua
A medida que el periodo de capitalizacioacuten disminuye el
valor de m nuacutemero de periodos de capitalizacioacuten por
periodo de intereacutes aumenta
Cuando el intereacutes se capitaliza en forma continua m se
acerca a infinito y la foacutermula de tasa de intereacutes efectiva en
la ecuacioacuten puede escribirse de una nueva forma
definicioacuten de la base del logaritmo natural
NancyLu
A medida que m se acerca a infinito el liacutemite de la formula
de las tasa de intereacutes efectiva se encuentra utilizando
rm = lh lo que hace m =hr
Ecuacioacuten que se utiliza para calcular la tasa de intereacutes
efectiva continua
NancyLu
bull Ejemplo
a) Para una tasa de intereacutes del 18 anual compuesto en forma
continua calcule la tasa de intereacutes efectiva anual y mensual
b) Sin un inversionista exige un retorno efectivo de por lo
menos el 15 sobre su dinero iquestCuaacutel es la tasa miacutenima anual
nominal aceptable si tiene lugar una capitalizacioacuten continua
Solucioacuten
a) La tasa de intereacutes mensual r es =1812 = 15 mensual La tasa
efectiva mensual es
En forma similar a la tasa efectiva anual utilizando r = 018 anual
es
NancyLu
b) En este problema es preciso resolver la ecuacioacuten de la
tasa de intereacutes efectiva en sentido contrario puesto que se
tiene i y se desea r por lo tanto para i=15 anual debe
resolverse para r tomando el logaritmo natural
Por consiguiente una tasa del 13976 anual compuesto
en forma continua generara una tasa de retorno efectiva
anual del 15
NancyLu
bull Ejemplo
Si se depositan $2000 cada antildeo durante 10 antildeos a una tasa de
intereses del 10 anual compare el valor presente para
capitalizacioacuten (a) anual y (b) capitalizacioacuten continua
Solucioacuten
Para capitalizacioacuten anual
P = 2000(PA1010) = 2000(61446) = $12289
(b) Para capitalizacioacuten continua
ianual = e⁰ sup1⁰ ndash 1 = 010517 (10517)
P= 2000(PA1051710)
= 2000(60104)
= $12021
NancyLu
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Comparacioacuten entre la duracioacuten del periodo de pago y del periodo de capitalizacioacuten (PP versus PC)
En los caacutelculos de equivalencia con porcentajes altos la frecuencia de los flujos de efectivo no es igual a la frecuencia de la capitalizacioacuten de los intereses
Resulta esencial que se utilice el mismo periodo para el periodo de capitalizacioacuten y el periodo de pago y en consecuencia la tasa de intereacutes se ajuste
Cuando solo existen pagos uacutenicos no hay periodo de pago PP definido en si por los flujos de efectivo La duracioacuten del PP por lo tanto queda definida por el periodo t del enunciado de la tasa de intereacutes
ErickMe
bull Ejemplo
Suponga que los flujos de efectivo ocurren cada 6 meses
(PP semestral) y que el intereacutes tiene un periodo de
capacitacioacuten trimestral (PC trimestral) Despueacutes de 3 meses
no hay flujo de efectivo ni es necesario determinar el efecto
de la composicioacuten trimestral Sin embargo en el mes 6 es
necesario considerar los intereses acumulados durante los
dos periodos de composicioacuten trimestrales anteriores
ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos con PPgePC
Cuando se trata exclusivamente de flujos de efectivo de pago uacutenico hay dos formas igualmente correctas de determinar i y n para los factores PF y FP
Meacutetodo 1
Se determina la tasa de intereacutes efectiva durante el periodo de composicioacuten PC y se iguala n al nuacutemero de periodos de composicioacuten entre P y F Las relaciones para calcular P y F son
P=F (PF i efectiva por PC nuacutemero total de periodos n)
F=P (FB i efectiva por PC nuacutemero total de periodos n)
ErickMe
bull Ejemplo
Suponga que la tarjeta de creacutedito es una tasa efectiva de
15 anual compuesto mensualmente
En este caso PC es igual a un mes
Para calcular el P o F a lo largo de un periodo de dos antildeos
se calcula la tasa mensual efectiva de 15 12= 125
Y el total de meses de 2 (12)=24 Asiacute los valores 125 y
24 se utiliza para el caacutelculo de los factores PF y FP
ErickMe
Meacutetodo 2
Se determina la tasa de intereacutes efectiva para el periodo t de la
tasa nominal y sea n igual al nuacutemero total de periodos
utilizados en el mismo periodo utilizando el mismo periodo
Las formulas P y F son las mismas que las de las ecuaciones
antes mencionadas salvo que el termino i efectiva por t se
sustituye por la tasa de intereacutes
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Series con PP ge PC
Si los flujos de efectivo son trimestrales el PP es de un trimestre
y por consiguiente se necesita una tasa de intereacutes efectiva
trimestral El valor n es el nuacutemero total de trimestres Si PP es
igual a un trimestre 5 antildeos se traducen en un valor de n de 20
trimestres Esto constituye una aplicacioacuten directa de la siguiente
directriz general
Cuando los flujos de efectivo implican una serie (por ejemplo A
G g) y el periodo de pago es igual o mayor que el periodo de
capitalizacioacuten
Se calcula la tasa de intereacutes efectiva i por periodo de pago
Se determina n como el nuacutemero total de periodos de pago
AleTzec
La siguiente tabla muestra la formulacioacuten correcta de diversas
series de flujo de efectivo y tasa de intereacutes
Observe que n siempre es igual al nuacutemero total de periodos de
pago y que i es una tasa de intereacutes efectiva que se expresa de
acuerdo con el mismo periodo que n
AleTzec
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos y series con PP lt PC
bull Ejemplos
Si un banco le cobra a una persona intereses el diacutea 15 del
mes en sus pagos de tarjeta de creacutedito y si la persona hace
el pago completo el diacutea primero iquestreduce la institucioacuten
financiera los intereses sobre la base de un pago anticipado
La respuesta comuacuten es no
Si una empresa grande hiciera pagos mensuales para cubrir
un preacutestamo bancario de $10 millones con un intereacutes
compuesto trimestral el ejecutivo de finanzas de la empresa
probablemente insistiriacutea en que el banco redujera la
cantidad de intereses basaacutendose en el pago anticipado
AleTzec
El momento de ocurrencia de las transacciones de flujo de
efectivo entre puntos de capitalizacioacuten implica la pregunta
de coacutemo manejar la capitalizacioacuten inter-perioacutedica
Fundamentalmente existen dos poliacuteticas los flujos de
efectivo entre periodos no ganan intereses o ganan un
intereacutes compuesto
AleTzec
Fin
bull Ejemplo
Calcular los intereses simples de $500 000 al 10 anuales en 3 antildeos
I=Pmiddotnmiddoti
I= (500 000)(3)(10) = $150 000
2 Calcular los intereses simples de $500 000 al 10 anual correspondientes a 6 meses
I= Pin
k
I=(500 000)(10)(1) = 25 000
2
IrvingLo
Capitalizacioacuten continua
Al final del periodo se agregan los intereses al capital y por lo tanto en los periodos siguientes produciraacuten intereses
bull I = P((1+i^n)-1)
bull F=P(1+i)^n
Se caracterizan porque los intereses a diferencia de lo que ocurre en reacutegimen de simple a medida que se van generando pasan a formar parte del capital de partida se van acumulando y producen a su vez intereses en periacuteodos siguientes (son productivos)
IrvingLo
Ejemplos
bull 1Calcular los intereses que generan 2 millones de doacutelares a un tipo del 10 durante un plazo de 1 antildeo
I = 2 000 000 (((1 + 01)1) - 1)
I = 2000 000 (11 - 1)
I = 200 000 dlls
I = P((1+in)-1)
P= 2 000 000
F=
i= 10 = 01
n= 1
Datos
IrvingLo
bull 2Calcular el montante obtenido al invertir 200 euros al
5 anual durante 10 antildeos en reacutegimen de capitalizacioacuten
compuesta
F10 = 200 x (1 + 005 )10 = 32578 euro
Si se hubiese calculado en simple
F10 = 200 x (1 + 005 x 10) = 300 euro
bull La diferencia entre los dos montantes (2578 euros) son los
intereses producidos por los intereses generados y
acumulados hasta el final
F=P(1+i)^n
P= 2 000
F=
i= 5 = 05
n= 10 antildeos
Datos
AleTzec
Tasa de Intereacutes
Nominal y
Efectiva
Las tasas de intereacutes nominales y efectivas
tienen la misma relacioacuten que entre siacute guardan
el intereacutes simple y el compuesto
Intereacutes simple
los intereses siempre se calculan sobre el
monto inicial
Intereacutes compuesto
Los intereses obtenidos al final de cada
periodo no se retiran sino que se antildeaden al
capital principal Por lo tanto los intereses se
reinvierten
CelesteHe
bull Tasa de Intereacutes Nominal
Se conoce como tasa de intereacutes nominal o tasa nominal al
intereacutes que capitaliza maacutes de una vez al antildeo
La tasa de intereacutes nominal r es una tasa de intereacutes que NO
considera la capitalizacioacuten de intereses
r = tasa de intereacutes del periodo X nuacutemero de periodos
CelesteHe
CelesteHe
CelesteHe
bull Tasa de Intereacutes Efectiva
La tasa de intereacutes efectiva es la tasa real aplicable de tiempo
establecido La tasa de intereacutes efectiva toma en cuenta la
acumulacioacuten del intereacutes durante el periodo de la tasa
nominal correspondiente Se expresa como tasa anual
efectiva ia pero puede ser otro periodo de base
AlbertoCa
TPA
bull Tasa Porcentual Anual
bull Tasa de Intereacutes Nominal
RPA
bull Rendimiento Porcentual Anual
bull Tasa de Intereacutes Efectiva
AlbertoCa
bull La frecuencia de los pagos o ingresos se conoce como el
periodo de pago (PP)
bull Periodo de tiempo (t) es la unidad fundamental del
tiempo de la tasa de intereacutes (la maacutes comuacuten es 1 antildeo)
bull Periodo de composicioacuten o de capitalizacioacuten (PC) es la
unidad de tiempo utilizada para determinar el efecto del
intereacutes
bull Frecuencia de composicioacuten o de capitalizacioacuten (m) es
decir el nuacutemero de veces que se lleva a cabo la
composicioacuten durante el periodo (t)
AlbertoCa
bull Por ejemplo si una compantildeiacutea depositoacute dinero
mensualmente en una cuenta que paga una tasa de intereacutes
nominal del 14 anual compuesto semestralmente el
periodo de pago seriacutea 1 mes mientras que el periodo de
capitalizacioacuten seriacutea 6 meses y la frecuencia de la
composicioacuten seriacutea de 2
AlbertoCa
bull Tasa efectiva por Periodo de Capitalizacioacuten
Se acostumbra expresar la tasa efectiva sobre la misma base
de tiempo de composicioacuten La tasa efectiva correspondiente
por PC se determina mediante la foacutermula
r por periodo de tiempom periodos de composicioacuten por t
= rm
AlbertoCa
bull Ejemplos
1Tasas de preacutestamo bancario para dos proyectos distintos de equipos de generacioacuten de electricidad Determine la tasa efectiva considerando el PC
a) 9 anual compuesto trimestralmente
b) 9 anual compuesto mensualmente
a) r = 9 anual x trimestre m= 94
tasa efectiva por PC = 225
b) r= 9 anual x mes m= 912
tasa efectiva por PC = 075
AlbertoCa
bull Tasa De Intereacutes Efectiva Anual
La deduccioacuten de una foacutermula para la tasa de intereacutes efectiva es semejante a la loacutegica que se sigue para establecer la relacioacuten del valor futuro F=P (1+i)n
El valor futuro F al final de 1 antildeo es el principal P maacutes los intereses acumulados P (i) durante el antildeo Puesto que el intereacutes se puede capitalizar varias veces durante el antildeo se reemplaza i con la tasa anual efectiva ia Ahora escribamos la foacutermula para F al final de 1 antildeo
bull F = P + Pia = P (1+ia)
SalmaVa
Tasa de intereacutes efectiva anual
ia = (1+i)m -1
Sirve para calcular la tasa de intereacutes anual efectiva para
cualquier nuacutemero de periodos de composicioacuten cuando i es
la tasa para un periodo de composicioacuten
r = tasa de intereacutes nominal anual
m = nuacutem de periodos de capitalizacioacuten x antildeo
i = tasa de intereacutes efectiva por PC
ia = tasa de intereacutes efectiva anual
SalmaVa
Ejemplo
Jacky obtuvo una nueva tarjeta de creacutedito con un banco
nacional (MBNA) con una tasa establecida de 18 anual y
un periodo de composicioacuten mensual Para un saldo de $1000
al principio del antildeo calcule la tasa anual efectiva y el adeudo
total al blanco MBNA despueacutes de un antildeo tomando en cuenta
el hecho de que no se efectuacutea ninguacuten pago durante el antildeo
Solucioacuten
Hay 12 periodos de composicioacuten por un antildeo Por lo tanto m=12
e i=1812= 15 mensual Si el saldo de $1000 no se reduce
durante el antildeo se aplica la ecuacioacuten
ia=(1+i)m ndash 1
Y enseguida la ecuacioacuten para el valor futuro
F=P+Pia= P(1+ia)
SalmaVa
ia=(1+0015)12 ndash 1= 19562 ndash 1= 019562 (195)
F= $ 1 000 (119562)= $ 1 19562
Jacki pagaraacute 19562 o $19562 maacutes los $1 000 del
saldo por la utilizacioacuten del dinero del banco durante el
antildeo $119662
SalmaVa
1 La sentildeora Jones planea colocar dinero en un
certificado de depoacutesito JUMBO que paga 18 anual
compuesto diariamente iquestQueacute tasa efectiva recibiraacute ella
a) anualmente
r= 018 y m= 365
i anual = (1 + 018365)365 - 1
= 019716 (19716)
Es decir la sentildeora Jones obtendraacute un 19716 efectivo
sobre su depoacutesito
b) semestralmente
b) r= 009 durante 6 meses y m= 182 diacuteas
i por 6 meses = 009415 (9415)
SalmaVa
bull Tasa de Intereacutes Efectivas Para Cualquier Periodo
Para entender la diferencia entre un periodo de pago (PP) y el periodo de composicioacuten podemos decir que una compantildeiacutea deposita dinero cada mes en una cuenta que da rendimientos con una tasa de intereacutes nominal de 14 anual con un periodo de composicioacuten semestral es periodo de pago es un mes mientras que el periodo de composicioacuten es de 6 meses
GenaroVi
Para evaluar aquellos flujos de efectivo que se presentan
con mayor frecuencia que la anual es decir PPlt 1 antildeo
debe utilizarse la tasa de intereacutes efectiva durante el PP La
foacutermula de la tasa de intereacutes anual efectiva se generaliza
faacutecilmente para cualquier tasa nominal
i efectivo = (1 + rm
)m -1
donde
r = tasa de intereacutes nominal por periodo de pago PP
m = nuacutem de periodos de composicioacuten por periodo de pago
(PC por PP)
GenaroVi
bull Ejemplo
Una tarjeta de creacutedito nacional tiene una tasa de intereacutes del
2 mensual sobre el saldo no pagado
a) Calcule la tasa efectiva por periodo semestral
b) Si la tasa de intereacutes se expresa como 5 por trimestre
encuentre las tasas efectivas por periodos semestrales y
anuales
Solucioacuten
a) En esta parte del ejemplo el periodo de capitalizacioacuten es
mensual Dado que se desea obtener la tasa de intereacutes
efectiva por periodo semestral la tasa nominal por 6 meses
r = 2 mensual x 6 meses por periodo semestral
r = 12 por periodo semestral
GenaroVi
por cada 6 meses = 1 + 012
6
6
minus 1
= 01262 1262
b) Para una tasa de intereacutes del 5 por trimestre el periodo
de capitalizacioacuten es trimestral Por consiguiente en un
periodo semestral m=2 y r= 10 En consecuencia
i por cada 6 meses = 1 +010
2
2
minus 1
= 02155 2155
GenaroVi
bull Tasa De Intereacutes Efectiva Que Variacutea Con El
Tiempo
Las tasas de intereacutes reales para una corporacioacuten variacutean antildeo
con antildeo dependiendo del estado financiero de la empresa
de su sector den el mercado de las economiacuteas nacional e
internacional de las fuerzas de inflacioacuten y de muchos otros
factores
GenaroVi
Ejemplos
bull Las hipotecas de bienes inmuebles financiados
mediante un intereacutes HTA (Hipoteca de Tasa Ajustable)
La tasa de hipoteca se ajusta ligeramente cada antildeo para
que refleje la antiguumledad del preacutestamo el costo actual del
dinero de la hipoteca etc
GenaroVi
bull Los bonos protegidos contra la inflacioacuten (emitidos por
el gobierno de Estados Unidos y otras agencias)
La tasa de dividendos que paga el bono permanece
constante a lo largo de su periodo de vida sin embargo a
la cantidad global que se debe al propietario del bono
cuando alcanza su madurez se le aplica un ajuste
ascendente de acuerdo con el iacutendice de inflacioacuten del
iacutendice de precios al consumidor (IPC) Esto significa que
la tasa anual de rendimiento se incrementaraacute cada antildeo de
acuerdo con la inflacioacuten observada
GenaroVi
Tasas De Intereacutes Efectivas Para
Capitalizacioacuten Continua
A medida que el periodo de capitalizacioacuten disminuye el
valor de m nuacutemero de periodos de capitalizacioacuten por
periodo de intereacutes aumenta
Cuando el intereacutes se capitaliza en forma continua m se
acerca a infinito y la foacutermula de tasa de intereacutes efectiva en
la ecuacioacuten puede escribirse de una nueva forma
definicioacuten de la base del logaritmo natural
NancyLu
A medida que m se acerca a infinito el liacutemite de la formula
de las tasa de intereacutes efectiva se encuentra utilizando
rm = lh lo que hace m =hr
Ecuacioacuten que se utiliza para calcular la tasa de intereacutes
efectiva continua
NancyLu
bull Ejemplo
a) Para una tasa de intereacutes del 18 anual compuesto en forma
continua calcule la tasa de intereacutes efectiva anual y mensual
b) Sin un inversionista exige un retorno efectivo de por lo
menos el 15 sobre su dinero iquestCuaacutel es la tasa miacutenima anual
nominal aceptable si tiene lugar una capitalizacioacuten continua
Solucioacuten
a) La tasa de intereacutes mensual r es =1812 = 15 mensual La tasa
efectiva mensual es
En forma similar a la tasa efectiva anual utilizando r = 018 anual
es
NancyLu
b) En este problema es preciso resolver la ecuacioacuten de la
tasa de intereacutes efectiva en sentido contrario puesto que se
tiene i y se desea r por lo tanto para i=15 anual debe
resolverse para r tomando el logaritmo natural
Por consiguiente una tasa del 13976 anual compuesto
en forma continua generara una tasa de retorno efectiva
anual del 15
NancyLu
bull Ejemplo
Si se depositan $2000 cada antildeo durante 10 antildeos a una tasa de
intereses del 10 anual compare el valor presente para
capitalizacioacuten (a) anual y (b) capitalizacioacuten continua
Solucioacuten
Para capitalizacioacuten anual
P = 2000(PA1010) = 2000(61446) = $12289
(b) Para capitalizacioacuten continua
ianual = e⁰ sup1⁰ ndash 1 = 010517 (10517)
P= 2000(PA1051710)
= 2000(60104)
= $12021
NancyLu
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Comparacioacuten entre la duracioacuten del periodo de pago y del periodo de capitalizacioacuten (PP versus PC)
En los caacutelculos de equivalencia con porcentajes altos la frecuencia de los flujos de efectivo no es igual a la frecuencia de la capitalizacioacuten de los intereses
Resulta esencial que se utilice el mismo periodo para el periodo de capitalizacioacuten y el periodo de pago y en consecuencia la tasa de intereacutes se ajuste
Cuando solo existen pagos uacutenicos no hay periodo de pago PP definido en si por los flujos de efectivo La duracioacuten del PP por lo tanto queda definida por el periodo t del enunciado de la tasa de intereacutes
ErickMe
bull Ejemplo
Suponga que los flujos de efectivo ocurren cada 6 meses
(PP semestral) y que el intereacutes tiene un periodo de
capacitacioacuten trimestral (PC trimestral) Despueacutes de 3 meses
no hay flujo de efectivo ni es necesario determinar el efecto
de la composicioacuten trimestral Sin embargo en el mes 6 es
necesario considerar los intereses acumulados durante los
dos periodos de composicioacuten trimestrales anteriores
ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos con PPgePC
Cuando se trata exclusivamente de flujos de efectivo de pago uacutenico hay dos formas igualmente correctas de determinar i y n para los factores PF y FP
Meacutetodo 1
Se determina la tasa de intereacutes efectiva durante el periodo de composicioacuten PC y se iguala n al nuacutemero de periodos de composicioacuten entre P y F Las relaciones para calcular P y F son
P=F (PF i efectiva por PC nuacutemero total de periodos n)
F=P (FB i efectiva por PC nuacutemero total de periodos n)
ErickMe
bull Ejemplo
Suponga que la tarjeta de creacutedito es una tasa efectiva de
15 anual compuesto mensualmente
En este caso PC es igual a un mes
Para calcular el P o F a lo largo de un periodo de dos antildeos
se calcula la tasa mensual efectiva de 15 12= 125
Y el total de meses de 2 (12)=24 Asiacute los valores 125 y
24 se utiliza para el caacutelculo de los factores PF y FP
ErickMe
Meacutetodo 2
Se determina la tasa de intereacutes efectiva para el periodo t de la
tasa nominal y sea n igual al nuacutemero total de periodos
utilizados en el mismo periodo utilizando el mismo periodo
Las formulas P y F son las mismas que las de las ecuaciones
antes mencionadas salvo que el termino i efectiva por t se
sustituye por la tasa de intereacutes
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Series con PP ge PC
Si los flujos de efectivo son trimestrales el PP es de un trimestre
y por consiguiente se necesita una tasa de intereacutes efectiva
trimestral El valor n es el nuacutemero total de trimestres Si PP es
igual a un trimestre 5 antildeos se traducen en un valor de n de 20
trimestres Esto constituye una aplicacioacuten directa de la siguiente
directriz general
Cuando los flujos de efectivo implican una serie (por ejemplo A
G g) y el periodo de pago es igual o mayor que el periodo de
capitalizacioacuten
Se calcula la tasa de intereacutes efectiva i por periodo de pago
Se determina n como el nuacutemero total de periodos de pago
AleTzec
La siguiente tabla muestra la formulacioacuten correcta de diversas
series de flujo de efectivo y tasa de intereacutes
Observe que n siempre es igual al nuacutemero total de periodos de
pago y que i es una tasa de intereacutes efectiva que se expresa de
acuerdo con el mismo periodo que n
AleTzec
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos y series con PP lt PC
bull Ejemplos
Si un banco le cobra a una persona intereses el diacutea 15 del
mes en sus pagos de tarjeta de creacutedito y si la persona hace
el pago completo el diacutea primero iquestreduce la institucioacuten
financiera los intereses sobre la base de un pago anticipado
La respuesta comuacuten es no
Si una empresa grande hiciera pagos mensuales para cubrir
un preacutestamo bancario de $10 millones con un intereacutes
compuesto trimestral el ejecutivo de finanzas de la empresa
probablemente insistiriacutea en que el banco redujera la
cantidad de intereses basaacutendose en el pago anticipado
AleTzec
El momento de ocurrencia de las transacciones de flujo de
efectivo entre puntos de capitalizacioacuten implica la pregunta
de coacutemo manejar la capitalizacioacuten inter-perioacutedica
Fundamentalmente existen dos poliacuteticas los flujos de
efectivo entre periodos no ganan intereses o ganan un
intereacutes compuesto
AleTzec
Fin
Capitalizacioacuten continua
Al final del periodo se agregan los intereses al capital y por lo tanto en los periodos siguientes produciraacuten intereses
bull I = P((1+i^n)-1)
bull F=P(1+i)^n
Se caracterizan porque los intereses a diferencia de lo que ocurre en reacutegimen de simple a medida que se van generando pasan a formar parte del capital de partida se van acumulando y producen a su vez intereses en periacuteodos siguientes (son productivos)
IrvingLo
Ejemplos
bull 1Calcular los intereses que generan 2 millones de doacutelares a un tipo del 10 durante un plazo de 1 antildeo
I = 2 000 000 (((1 + 01)1) - 1)
I = 2000 000 (11 - 1)
I = 200 000 dlls
I = P((1+in)-1)
P= 2 000 000
F=
i= 10 = 01
n= 1
Datos
IrvingLo
bull 2Calcular el montante obtenido al invertir 200 euros al
5 anual durante 10 antildeos en reacutegimen de capitalizacioacuten
compuesta
F10 = 200 x (1 + 005 )10 = 32578 euro
Si se hubiese calculado en simple
F10 = 200 x (1 + 005 x 10) = 300 euro
bull La diferencia entre los dos montantes (2578 euros) son los
intereses producidos por los intereses generados y
acumulados hasta el final
F=P(1+i)^n
P= 2 000
F=
i= 5 = 05
n= 10 antildeos
Datos
AleTzec
Tasa de Intereacutes
Nominal y
Efectiva
Las tasas de intereacutes nominales y efectivas
tienen la misma relacioacuten que entre siacute guardan
el intereacutes simple y el compuesto
Intereacutes simple
los intereses siempre se calculan sobre el
monto inicial
Intereacutes compuesto
Los intereses obtenidos al final de cada
periodo no se retiran sino que se antildeaden al
capital principal Por lo tanto los intereses se
reinvierten
CelesteHe
bull Tasa de Intereacutes Nominal
Se conoce como tasa de intereacutes nominal o tasa nominal al
intereacutes que capitaliza maacutes de una vez al antildeo
La tasa de intereacutes nominal r es una tasa de intereacutes que NO
considera la capitalizacioacuten de intereses
r = tasa de intereacutes del periodo X nuacutemero de periodos
CelesteHe
CelesteHe
CelesteHe
bull Tasa de Intereacutes Efectiva
La tasa de intereacutes efectiva es la tasa real aplicable de tiempo
establecido La tasa de intereacutes efectiva toma en cuenta la
acumulacioacuten del intereacutes durante el periodo de la tasa
nominal correspondiente Se expresa como tasa anual
efectiva ia pero puede ser otro periodo de base
AlbertoCa
TPA
bull Tasa Porcentual Anual
bull Tasa de Intereacutes Nominal
RPA
bull Rendimiento Porcentual Anual
bull Tasa de Intereacutes Efectiva
AlbertoCa
bull La frecuencia de los pagos o ingresos se conoce como el
periodo de pago (PP)
bull Periodo de tiempo (t) es la unidad fundamental del
tiempo de la tasa de intereacutes (la maacutes comuacuten es 1 antildeo)
bull Periodo de composicioacuten o de capitalizacioacuten (PC) es la
unidad de tiempo utilizada para determinar el efecto del
intereacutes
bull Frecuencia de composicioacuten o de capitalizacioacuten (m) es
decir el nuacutemero de veces que se lleva a cabo la
composicioacuten durante el periodo (t)
AlbertoCa
bull Por ejemplo si una compantildeiacutea depositoacute dinero
mensualmente en una cuenta que paga una tasa de intereacutes
nominal del 14 anual compuesto semestralmente el
periodo de pago seriacutea 1 mes mientras que el periodo de
capitalizacioacuten seriacutea 6 meses y la frecuencia de la
composicioacuten seriacutea de 2
AlbertoCa
bull Tasa efectiva por Periodo de Capitalizacioacuten
Se acostumbra expresar la tasa efectiva sobre la misma base
de tiempo de composicioacuten La tasa efectiva correspondiente
por PC se determina mediante la foacutermula
r por periodo de tiempom periodos de composicioacuten por t
= rm
AlbertoCa
bull Ejemplos
1Tasas de preacutestamo bancario para dos proyectos distintos de equipos de generacioacuten de electricidad Determine la tasa efectiva considerando el PC
a) 9 anual compuesto trimestralmente
b) 9 anual compuesto mensualmente
a) r = 9 anual x trimestre m= 94
tasa efectiva por PC = 225
b) r= 9 anual x mes m= 912
tasa efectiva por PC = 075
AlbertoCa
bull Tasa De Intereacutes Efectiva Anual
La deduccioacuten de una foacutermula para la tasa de intereacutes efectiva es semejante a la loacutegica que se sigue para establecer la relacioacuten del valor futuro F=P (1+i)n
El valor futuro F al final de 1 antildeo es el principal P maacutes los intereses acumulados P (i) durante el antildeo Puesto que el intereacutes se puede capitalizar varias veces durante el antildeo se reemplaza i con la tasa anual efectiva ia Ahora escribamos la foacutermula para F al final de 1 antildeo
bull F = P + Pia = P (1+ia)
SalmaVa
Tasa de intereacutes efectiva anual
ia = (1+i)m -1
Sirve para calcular la tasa de intereacutes anual efectiva para
cualquier nuacutemero de periodos de composicioacuten cuando i es
la tasa para un periodo de composicioacuten
r = tasa de intereacutes nominal anual
m = nuacutem de periodos de capitalizacioacuten x antildeo
i = tasa de intereacutes efectiva por PC
ia = tasa de intereacutes efectiva anual
SalmaVa
Ejemplo
Jacky obtuvo una nueva tarjeta de creacutedito con un banco
nacional (MBNA) con una tasa establecida de 18 anual y
un periodo de composicioacuten mensual Para un saldo de $1000
al principio del antildeo calcule la tasa anual efectiva y el adeudo
total al blanco MBNA despueacutes de un antildeo tomando en cuenta
el hecho de que no se efectuacutea ninguacuten pago durante el antildeo
Solucioacuten
Hay 12 periodos de composicioacuten por un antildeo Por lo tanto m=12
e i=1812= 15 mensual Si el saldo de $1000 no se reduce
durante el antildeo se aplica la ecuacioacuten
ia=(1+i)m ndash 1
Y enseguida la ecuacioacuten para el valor futuro
F=P+Pia= P(1+ia)
SalmaVa
ia=(1+0015)12 ndash 1= 19562 ndash 1= 019562 (195)
F= $ 1 000 (119562)= $ 1 19562
Jacki pagaraacute 19562 o $19562 maacutes los $1 000 del
saldo por la utilizacioacuten del dinero del banco durante el
antildeo $119662
SalmaVa
1 La sentildeora Jones planea colocar dinero en un
certificado de depoacutesito JUMBO que paga 18 anual
compuesto diariamente iquestQueacute tasa efectiva recibiraacute ella
a) anualmente
r= 018 y m= 365
i anual = (1 + 018365)365 - 1
= 019716 (19716)
Es decir la sentildeora Jones obtendraacute un 19716 efectivo
sobre su depoacutesito
b) semestralmente
b) r= 009 durante 6 meses y m= 182 diacuteas
i por 6 meses = 009415 (9415)
SalmaVa
bull Tasa de Intereacutes Efectivas Para Cualquier Periodo
Para entender la diferencia entre un periodo de pago (PP) y el periodo de composicioacuten podemos decir que una compantildeiacutea deposita dinero cada mes en una cuenta que da rendimientos con una tasa de intereacutes nominal de 14 anual con un periodo de composicioacuten semestral es periodo de pago es un mes mientras que el periodo de composicioacuten es de 6 meses
GenaroVi
Para evaluar aquellos flujos de efectivo que se presentan
con mayor frecuencia que la anual es decir PPlt 1 antildeo
debe utilizarse la tasa de intereacutes efectiva durante el PP La
foacutermula de la tasa de intereacutes anual efectiva se generaliza
faacutecilmente para cualquier tasa nominal
i efectivo = (1 + rm
)m -1
donde
r = tasa de intereacutes nominal por periodo de pago PP
m = nuacutem de periodos de composicioacuten por periodo de pago
(PC por PP)
GenaroVi
bull Ejemplo
Una tarjeta de creacutedito nacional tiene una tasa de intereacutes del
2 mensual sobre el saldo no pagado
a) Calcule la tasa efectiva por periodo semestral
b) Si la tasa de intereacutes se expresa como 5 por trimestre
encuentre las tasas efectivas por periodos semestrales y
anuales
Solucioacuten
a) En esta parte del ejemplo el periodo de capitalizacioacuten es
mensual Dado que se desea obtener la tasa de intereacutes
efectiva por periodo semestral la tasa nominal por 6 meses
r = 2 mensual x 6 meses por periodo semestral
r = 12 por periodo semestral
GenaroVi
por cada 6 meses = 1 + 012
6
6
minus 1
= 01262 1262
b) Para una tasa de intereacutes del 5 por trimestre el periodo
de capitalizacioacuten es trimestral Por consiguiente en un
periodo semestral m=2 y r= 10 En consecuencia
i por cada 6 meses = 1 +010
2
2
minus 1
= 02155 2155
GenaroVi
bull Tasa De Intereacutes Efectiva Que Variacutea Con El
Tiempo
Las tasas de intereacutes reales para una corporacioacuten variacutean antildeo
con antildeo dependiendo del estado financiero de la empresa
de su sector den el mercado de las economiacuteas nacional e
internacional de las fuerzas de inflacioacuten y de muchos otros
factores
GenaroVi
Ejemplos
bull Las hipotecas de bienes inmuebles financiados
mediante un intereacutes HTA (Hipoteca de Tasa Ajustable)
La tasa de hipoteca se ajusta ligeramente cada antildeo para
que refleje la antiguumledad del preacutestamo el costo actual del
dinero de la hipoteca etc
GenaroVi
bull Los bonos protegidos contra la inflacioacuten (emitidos por
el gobierno de Estados Unidos y otras agencias)
La tasa de dividendos que paga el bono permanece
constante a lo largo de su periodo de vida sin embargo a
la cantidad global que se debe al propietario del bono
cuando alcanza su madurez se le aplica un ajuste
ascendente de acuerdo con el iacutendice de inflacioacuten del
iacutendice de precios al consumidor (IPC) Esto significa que
la tasa anual de rendimiento se incrementaraacute cada antildeo de
acuerdo con la inflacioacuten observada
GenaroVi
Tasas De Intereacutes Efectivas Para
Capitalizacioacuten Continua
A medida que el periodo de capitalizacioacuten disminuye el
valor de m nuacutemero de periodos de capitalizacioacuten por
periodo de intereacutes aumenta
Cuando el intereacutes se capitaliza en forma continua m se
acerca a infinito y la foacutermula de tasa de intereacutes efectiva en
la ecuacioacuten puede escribirse de una nueva forma
definicioacuten de la base del logaritmo natural
NancyLu
A medida que m se acerca a infinito el liacutemite de la formula
de las tasa de intereacutes efectiva se encuentra utilizando
rm = lh lo que hace m =hr
Ecuacioacuten que se utiliza para calcular la tasa de intereacutes
efectiva continua
NancyLu
bull Ejemplo
a) Para una tasa de intereacutes del 18 anual compuesto en forma
continua calcule la tasa de intereacutes efectiva anual y mensual
b) Sin un inversionista exige un retorno efectivo de por lo
menos el 15 sobre su dinero iquestCuaacutel es la tasa miacutenima anual
nominal aceptable si tiene lugar una capitalizacioacuten continua
Solucioacuten
a) La tasa de intereacutes mensual r es =1812 = 15 mensual La tasa
efectiva mensual es
En forma similar a la tasa efectiva anual utilizando r = 018 anual
es
NancyLu
b) En este problema es preciso resolver la ecuacioacuten de la
tasa de intereacutes efectiva en sentido contrario puesto que se
tiene i y se desea r por lo tanto para i=15 anual debe
resolverse para r tomando el logaritmo natural
Por consiguiente una tasa del 13976 anual compuesto
en forma continua generara una tasa de retorno efectiva
anual del 15
NancyLu
bull Ejemplo
Si se depositan $2000 cada antildeo durante 10 antildeos a una tasa de
intereses del 10 anual compare el valor presente para
capitalizacioacuten (a) anual y (b) capitalizacioacuten continua
Solucioacuten
Para capitalizacioacuten anual
P = 2000(PA1010) = 2000(61446) = $12289
(b) Para capitalizacioacuten continua
ianual = e⁰ sup1⁰ ndash 1 = 010517 (10517)
P= 2000(PA1051710)
= 2000(60104)
= $12021
NancyLu
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Comparacioacuten entre la duracioacuten del periodo de pago y del periodo de capitalizacioacuten (PP versus PC)
En los caacutelculos de equivalencia con porcentajes altos la frecuencia de los flujos de efectivo no es igual a la frecuencia de la capitalizacioacuten de los intereses
Resulta esencial que se utilice el mismo periodo para el periodo de capitalizacioacuten y el periodo de pago y en consecuencia la tasa de intereacutes se ajuste
Cuando solo existen pagos uacutenicos no hay periodo de pago PP definido en si por los flujos de efectivo La duracioacuten del PP por lo tanto queda definida por el periodo t del enunciado de la tasa de intereacutes
ErickMe
bull Ejemplo
Suponga que los flujos de efectivo ocurren cada 6 meses
(PP semestral) y que el intereacutes tiene un periodo de
capacitacioacuten trimestral (PC trimestral) Despueacutes de 3 meses
no hay flujo de efectivo ni es necesario determinar el efecto
de la composicioacuten trimestral Sin embargo en el mes 6 es
necesario considerar los intereses acumulados durante los
dos periodos de composicioacuten trimestrales anteriores
ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos con PPgePC
Cuando se trata exclusivamente de flujos de efectivo de pago uacutenico hay dos formas igualmente correctas de determinar i y n para los factores PF y FP
Meacutetodo 1
Se determina la tasa de intereacutes efectiva durante el periodo de composicioacuten PC y se iguala n al nuacutemero de periodos de composicioacuten entre P y F Las relaciones para calcular P y F son
P=F (PF i efectiva por PC nuacutemero total de periodos n)
F=P (FB i efectiva por PC nuacutemero total de periodos n)
ErickMe
bull Ejemplo
Suponga que la tarjeta de creacutedito es una tasa efectiva de
15 anual compuesto mensualmente
En este caso PC es igual a un mes
Para calcular el P o F a lo largo de un periodo de dos antildeos
se calcula la tasa mensual efectiva de 15 12= 125
Y el total de meses de 2 (12)=24 Asiacute los valores 125 y
24 se utiliza para el caacutelculo de los factores PF y FP
ErickMe
Meacutetodo 2
Se determina la tasa de intereacutes efectiva para el periodo t de la
tasa nominal y sea n igual al nuacutemero total de periodos
utilizados en el mismo periodo utilizando el mismo periodo
Las formulas P y F son las mismas que las de las ecuaciones
antes mencionadas salvo que el termino i efectiva por t se
sustituye por la tasa de intereacutes
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Series con PP ge PC
Si los flujos de efectivo son trimestrales el PP es de un trimestre
y por consiguiente se necesita una tasa de intereacutes efectiva
trimestral El valor n es el nuacutemero total de trimestres Si PP es
igual a un trimestre 5 antildeos se traducen en un valor de n de 20
trimestres Esto constituye una aplicacioacuten directa de la siguiente
directriz general
Cuando los flujos de efectivo implican una serie (por ejemplo A
G g) y el periodo de pago es igual o mayor que el periodo de
capitalizacioacuten
Se calcula la tasa de intereacutes efectiva i por periodo de pago
Se determina n como el nuacutemero total de periodos de pago
AleTzec
La siguiente tabla muestra la formulacioacuten correcta de diversas
series de flujo de efectivo y tasa de intereacutes
Observe que n siempre es igual al nuacutemero total de periodos de
pago y que i es una tasa de intereacutes efectiva que se expresa de
acuerdo con el mismo periodo que n
AleTzec
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos y series con PP lt PC
bull Ejemplos
Si un banco le cobra a una persona intereses el diacutea 15 del
mes en sus pagos de tarjeta de creacutedito y si la persona hace
el pago completo el diacutea primero iquestreduce la institucioacuten
financiera los intereses sobre la base de un pago anticipado
La respuesta comuacuten es no
Si una empresa grande hiciera pagos mensuales para cubrir
un preacutestamo bancario de $10 millones con un intereacutes
compuesto trimestral el ejecutivo de finanzas de la empresa
probablemente insistiriacutea en que el banco redujera la
cantidad de intereses basaacutendose en el pago anticipado
AleTzec
El momento de ocurrencia de las transacciones de flujo de
efectivo entre puntos de capitalizacioacuten implica la pregunta
de coacutemo manejar la capitalizacioacuten inter-perioacutedica
Fundamentalmente existen dos poliacuteticas los flujos de
efectivo entre periodos no ganan intereses o ganan un
intereacutes compuesto
AleTzec
Fin
Ejemplos
bull 1Calcular los intereses que generan 2 millones de doacutelares a un tipo del 10 durante un plazo de 1 antildeo
I = 2 000 000 (((1 + 01)1) - 1)
I = 2000 000 (11 - 1)
I = 200 000 dlls
I = P((1+in)-1)
P= 2 000 000
F=
i= 10 = 01
n= 1
Datos
IrvingLo
bull 2Calcular el montante obtenido al invertir 200 euros al
5 anual durante 10 antildeos en reacutegimen de capitalizacioacuten
compuesta
F10 = 200 x (1 + 005 )10 = 32578 euro
Si se hubiese calculado en simple
F10 = 200 x (1 + 005 x 10) = 300 euro
bull La diferencia entre los dos montantes (2578 euros) son los
intereses producidos por los intereses generados y
acumulados hasta el final
F=P(1+i)^n
P= 2 000
F=
i= 5 = 05
n= 10 antildeos
Datos
AleTzec
Tasa de Intereacutes
Nominal y
Efectiva
Las tasas de intereacutes nominales y efectivas
tienen la misma relacioacuten que entre siacute guardan
el intereacutes simple y el compuesto
Intereacutes simple
los intereses siempre se calculan sobre el
monto inicial
Intereacutes compuesto
Los intereses obtenidos al final de cada
periodo no se retiran sino que se antildeaden al
capital principal Por lo tanto los intereses se
reinvierten
CelesteHe
bull Tasa de Intereacutes Nominal
Se conoce como tasa de intereacutes nominal o tasa nominal al
intereacutes que capitaliza maacutes de una vez al antildeo
La tasa de intereacutes nominal r es una tasa de intereacutes que NO
considera la capitalizacioacuten de intereses
r = tasa de intereacutes del periodo X nuacutemero de periodos
CelesteHe
CelesteHe
CelesteHe
bull Tasa de Intereacutes Efectiva
La tasa de intereacutes efectiva es la tasa real aplicable de tiempo
establecido La tasa de intereacutes efectiva toma en cuenta la
acumulacioacuten del intereacutes durante el periodo de la tasa
nominal correspondiente Se expresa como tasa anual
efectiva ia pero puede ser otro periodo de base
AlbertoCa
TPA
bull Tasa Porcentual Anual
bull Tasa de Intereacutes Nominal
RPA
bull Rendimiento Porcentual Anual
bull Tasa de Intereacutes Efectiva
AlbertoCa
bull La frecuencia de los pagos o ingresos se conoce como el
periodo de pago (PP)
bull Periodo de tiempo (t) es la unidad fundamental del
tiempo de la tasa de intereacutes (la maacutes comuacuten es 1 antildeo)
bull Periodo de composicioacuten o de capitalizacioacuten (PC) es la
unidad de tiempo utilizada para determinar el efecto del
intereacutes
bull Frecuencia de composicioacuten o de capitalizacioacuten (m) es
decir el nuacutemero de veces que se lleva a cabo la
composicioacuten durante el periodo (t)
AlbertoCa
bull Por ejemplo si una compantildeiacutea depositoacute dinero
mensualmente en una cuenta que paga una tasa de intereacutes
nominal del 14 anual compuesto semestralmente el
periodo de pago seriacutea 1 mes mientras que el periodo de
capitalizacioacuten seriacutea 6 meses y la frecuencia de la
composicioacuten seriacutea de 2
AlbertoCa
bull Tasa efectiva por Periodo de Capitalizacioacuten
Se acostumbra expresar la tasa efectiva sobre la misma base
de tiempo de composicioacuten La tasa efectiva correspondiente
por PC se determina mediante la foacutermula
r por periodo de tiempom periodos de composicioacuten por t
= rm
AlbertoCa
bull Ejemplos
1Tasas de preacutestamo bancario para dos proyectos distintos de equipos de generacioacuten de electricidad Determine la tasa efectiva considerando el PC
a) 9 anual compuesto trimestralmente
b) 9 anual compuesto mensualmente
a) r = 9 anual x trimestre m= 94
tasa efectiva por PC = 225
b) r= 9 anual x mes m= 912
tasa efectiva por PC = 075
AlbertoCa
bull Tasa De Intereacutes Efectiva Anual
La deduccioacuten de una foacutermula para la tasa de intereacutes efectiva es semejante a la loacutegica que se sigue para establecer la relacioacuten del valor futuro F=P (1+i)n
El valor futuro F al final de 1 antildeo es el principal P maacutes los intereses acumulados P (i) durante el antildeo Puesto que el intereacutes se puede capitalizar varias veces durante el antildeo se reemplaza i con la tasa anual efectiva ia Ahora escribamos la foacutermula para F al final de 1 antildeo
bull F = P + Pia = P (1+ia)
SalmaVa
Tasa de intereacutes efectiva anual
ia = (1+i)m -1
Sirve para calcular la tasa de intereacutes anual efectiva para
cualquier nuacutemero de periodos de composicioacuten cuando i es
la tasa para un periodo de composicioacuten
r = tasa de intereacutes nominal anual
m = nuacutem de periodos de capitalizacioacuten x antildeo
i = tasa de intereacutes efectiva por PC
ia = tasa de intereacutes efectiva anual
SalmaVa
Ejemplo
Jacky obtuvo una nueva tarjeta de creacutedito con un banco
nacional (MBNA) con una tasa establecida de 18 anual y
un periodo de composicioacuten mensual Para un saldo de $1000
al principio del antildeo calcule la tasa anual efectiva y el adeudo
total al blanco MBNA despueacutes de un antildeo tomando en cuenta
el hecho de que no se efectuacutea ninguacuten pago durante el antildeo
Solucioacuten
Hay 12 periodos de composicioacuten por un antildeo Por lo tanto m=12
e i=1812= 15 mensual Si el saldo de $1000 no se reduce
durante el antildeo se aplica la ecuacioacuten
ia=(1+i)m ndash 1
Y enseguida la ecuacioacuten para el valor futuro
F=P+Pia= P(1+ia)
SalmaVa
ia=(1+0015)12 ndash 1= 19562 ndash 1= 019562 (195)
F= $ 1 000 (119562)= $ 1 19562
Jacki pagaraacute 19562 o $19562 maacutes los $1 000 del
saldo por la utilizacioacuten del dinero del banco durante el
antildeo $119662
SalmaVa
1 La sentildeora Jones planea colocar dinero en un
certificado de depoacutesito JUMBO que paga 18 anual
compuesto diariamente iquestQueacute tasa efectiva recibiraacute ella
a) anualmente
r= 018 y m= 365
i anual = (1 + 018365)365 - 1
= 019716 (19716)
Es decir la sentildeora Jones obtendraacute un 19716 efectivo
sobre su depoacutesito
b) semestralmente
b) r= 009 durante 6 meses y m= 182 diacuteas
i por 6 meses = 009415 (9415)
SalmaVa
bull Tasa de Intereacutes Efectivas Para Cualquier Periodo
Para entender la diferencia entre un periodo de pago (PP) y el periodo de composicioacuten podemos decir que una compantildeiacutea deposita dinero cada mes en una cuenta que da rendimientos con una tasa de intereacutes nominal de 14 anual con un periodo de composicioacuten semestral es periodo de pago es un mes mientras que el periodo de composicioacuten es de 6 meses
GenaroVi
Para evaluar aquellos flujos de efectivo que se presentan
con mayor frecuencia que la anual es decir PPlt 1 antildeo
debe utilizarse la tasa de intereacutes efectiva durante el PP La
foacutermula de la tasa de intereacutes anual efectiva se generaliza
faacutecilmente para cualquier tasa nominal
i efectivo = (1 + rm
)m -1
donde
r = tasa de intereacutes nominal por periodo de pago PP
m = nuacutem de periodos de composicioacuten por periodo de pago
(PC por PP)
GenaroVi
bull Ejemplo
Una tarjeta de creacutedito nacional tiene una tasa de intereacutes del
2 mensual sobre el saldo no pagado
a) Calcule la tasa efectiva por periodo semestral
b) Si la tasa de intereacutes se expresa como 5 por trimestre
encuentre las tasas efectivas por periodos semestrales y
anuales
Solucioacuten
a) En esta parte del ejemplo el periodo de capitalizacioacuten es
mensual Dado que se desea obtener la tasa de intereacutes
efectiva por periodo semestral la tasa nominal por 6 meses
r = 2 mensual x 6 meses por periodo semestral
r = 12 por periodo semestral
GenaroVi
por cada 6 meses = 1 + 012
6
6
minus 1
= 01262 1262
b) Para una tasa de intereacutes del 5 por trimestre el periodo
de capitalizacioacuten es trimestral Por consiguiente en un
periodo semestral m=2 y r= 10 En consecuencia
i por cada 6 meses = 1 +010
2
2
minus 1
= 02155 2155
GenaroVi
bull Tasa De Intereacutes Efectiva Que Variacutea Con El
Tiempo
Las tasas de intereacutes reales para una corporacioacuten variacutean antildeo
con antildeo dependiendo del estado financiero de la empresa
de su sector den el mercado de las economiacuteas nacional e
internacional de las fuerzas de inflacioacuten y de muchos otros
factores
GenaroVi
Ejemplos
bull Las hipotecas de bienes inmuebles financiados
mediante un intereacutes HTA (Hipoteca de Tasa Ajustable)
La tasa de hipoteca se ajusta ligeramente cada antildeo para
que refleje la antiguumledad del preacutestamo el costo actual del
dinero de la hipoteca etc
GenaroVi
bull Los bonos protegidos contra la inflacioacuten (emitidos por
el gobierno de Estados Unidos y otras agencias)
La tasa de dividendos que paga el bono permanece
constante a lo largo de su periodo de vida sin embargo a
la cantidad global que se debe al propietario del bono
cuando alcanza su madurez se le aplica un ajuste
ascendente de acuerdo con el iacutendice de inflacioacuten del
iacutendice de precios al consumidor (IPC) Esto significa que
la tasa anual de rendimiento se incrementaraacute cada antildeo de
acuerdo con la inflacioacuten observada
GenaroVi
Tasas De Intereacutes Efectivas Para
Capitalizacioacuten Continua
A medida que el periodo de capitalizacioacuten disminuye el
valor de m nuacutemero de periodos de capitalizacioacuten por
periodo de intereacutes aumenta
Cuando el intereacutes se capitaliza en forma continua m se
acerca a infinito y la foacutermula de tasa de intereacutes efectiva en
la ecuacioacuten puede escribirse de una nueva forma
definicioacuten de la base del logaritmo natural
NancyLu
A medida que m se acerca a infinito el liacutemite de la formula
de las tasa de intereacutes efectiva se encuentra utilizando
rm = lh lo que hace m =hr
Ecuacioacuten que se utiliza para calcular la tasa de intereacutes
efectiva continua
NancyLu
bull Ejemplo
a) Para una tasa de intereacutes del 18 anual compuesto en forma
continua calcule la tasa de intereacutes efectiva anual y mensual
b) Sin un inversionista exige un retorno efectivo de por lo
menos el 15 sobre su dinero iquestCuaacutel es la tasa miacutenima anual
nominal aceptable si tiene lugar una capitalizacioacuten continua
Solucioacuten
a) La tasa de intereacutes mensual r es =1812 = 15 mensual La tasa
efectiva mensual es
En forma similar a la tasa efectiva anual utilizando r = 018 anual
es
NancyLu
b) En este problema es preciso resolver la ecuacioacuten de la
tasa de intereacutes efectiva en sentido contrario puesto que se
tiene i y se desea r por lo tanto para i=15 anual debe
resolverse para r tomando el logaritmo natural
Por consiguiente una tasa del 13976 anual compuesto
en forma continua generara una tasa de retorno efectiva
anual del 15
NancyLu
bull Ejemplo
Si se depositan $2000 cada antildeo durante 10 antildeos a una tasa de
intereses del 10 anual compare el valor presente para
capitalizacioacuten (a) anual y (b) capitalizacioacuten continua
Solucioacuten
Para capitalizacioacuten anual
P = 2000(PA1010) = 2000(61446) = $12289
(b) Para capitalizacioacuten continua
ianual = e⁰ sup1⁰ ndash 1 = 010517 (10517)
P= 2000(PA1051710)
= 2000(60104)
= $12021
NancyLu
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Comparacioacuten entre la duracioacuten del periodo de pago y del periodo de capitalizacioacuten (PP versus PC)
En los caacutelculos de equivalencia con porcentajes altos la frecuencia de los flujos de efectivo no es igual a la frecuencia de la capitalizacioacuten de los intereses
Resulta esencial que se utilice el mismo periodo para el periodo de capitalizacioacuten y el periodo de pago y en consecuencia la tasa de intereacutes se ajuste
Cuando solo existen pagos uacutenicos no hay periodo de pago PP definido en si por los flujos de efectivo La duracioacuten del PP por lo tanto queda definida por el periodo t del enunciado de la tasa de intereacutes
ErickMe
bull Ejemplo
Suponga que los flujos de efectivo ocurren cada 6 meses
(PP semestral) y que el intereacutes tiene un periodo de
capacitacioacuten trimestral (PC trimestral) Despueacutes de 3 meses
no hay flujo de efectivo ni es necesario determinar el efecto
de la composicioacuten trimestral Sin embargo en el mes 6 es
necesario considerar los intereses acumulados durante los
dos periodos de composicioacuten trimestrales anteriores
ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos con PPgePC
Cuando se trata exclusivamente de flujos de efectivo de pago uacutenico hay dos formas igualmente correctas de determinar i y n para los factores PF y FP
Meacutetodo 1
Se determina la tasa de intereacutes efectiva durante el periodo de composicioacuten PC y se iguala n al nuacutemero de periodos de composicioacuten entre P y F Las relaciones para calcular P y F son
P=F (PF i efectiva por PC nuacutemero total de periodos n)
F=P (FB i efectiva por PC nuacutemero total de periodos n)
ErickMe
bull Ejemplo
Suponga que la tarjeta de creacutedito es una tasa efectiva de
15 anual compuesto mensualmente
En este caso PC es igual a un mes
Para calcular el P o F a lo largo de un periodo de dos antildeos
se calcula la tasa mensual efectiva de 15 12= 125
Y el total de meses de 2 (12)=24 Asiacute los valores 125 y
24 se utiliza para el caacutelculo de los factores PF y FP
ErickMe
Meacutetodo 2
Se determina la tasa de intereacutes efectiva para el periodo t de la
tasa nominal y sea n igual al nuacutemero total de periodos
utilizados en el mismo periodo utilizando el mismo periodo
Las formulas P y F son las mismas que las de las ecuaciones
antes mencionadas salvo que el termino i efectiva por t se
sustituye por la tasa de intereacutes
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Series con PP ge PC
Si los flujos de efectivo son trimestrales el PP es de un trimestre
y por consiguiente se necesita una tasa de intereacutes efectiva
trimestral El valor n es el nuacutemero total de trimestres Si PP es
igual a un trimestre 5 antildeos se traducen en un valor de n de 20
trimestres Esto constituye una aplicacioacuten directa de la siguiente
directriz general
Cuando los flujos de efectivo implican una serie (por ejemplo A
G g) y el periodo de pago es igual o mayor que el periodo de
capitalizacioacuten
Se calcula la tasa de intereacutes efectiva i por periodo de pago
Se determina n como el nuacutemero total de periodos de pago
AleTzec
La siguiente tabla muestra la formulacioacuten correcta de diversas
series de flujo de efectivo y tasa de intereacutes
Observe que n siempre es igual al nuacutemero total de periodos de
pago y que i es una tasa de intereacutes efectiva que se expresa de
acuerdo con el mismo periodo que n
AleTzec
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos y series con PP lt PC
bull Ejemplos
Si un banco le cobra a una persona intereses el diacutea 15 del
mes en sus pagos de tarjeta de creacutedito y si la persona hace
el pago completo el diacutea primero iquestreduce la institucioacuten
financiera los intereses sobre la base de un pago anticipado
La respuesta comuacuten es no
Si una empresa grande hiciera pagos mensuales para cubrir
un preacutestamo bancario de $10 millones con un intereacutes
compuesto trimestral el ejecutivo de finanzas de la empresa
probablemente insistiriacutea en que el banco redujera la
cantidad de intereses basaacutendose en el pago anticipado
AleTzec
El momento de ocurrencia de las transacciones de flujo de
efectivo entre puntos de capitalizacioacuten implica la pregunta
de coacutemo manejar la capitalizacioacuten inter-perioacutedica
Fundamentalmente existen dos poliacuteticas los flujos de
efectivo entre periodos no ganan intereses o ganan un
intereacutes compuesto
AleTzec
Fin
bull 2Calcular el montante obtenido al invertir 200 euros al
5 anual durante 10 antildeos en reacutegimen de capitalizacioacuten
compuesta
F10 = 200 x (1 + 005 )10 = 32578 euro
Si se hubiese calculado en simple
F10 = 200 x (1 + 005 x 10) = 300 euro
bull La diferencia entre los dos montantes (2578 euros) son los
intereses producidos por los intereses generados y
acumulados hasta el final
F=P(1+i)^n
P= 2 000
F=
i= 5 = 05
n= 10 antildeos
Datos
AleTzec
Tasa de Intereacutes
Nominal y
Efectiva
Las tasas de intereacutes nominales y efectivas
tienen la misma relacioacuten que entre siacute guardan
el intereacutes simple y el compuesto
Intereacutes simple
los intereses siempre se calculan sobre el
monto inicial
Intereacutes compuesto
Los intereses obtenidos al final de cada
periodo no se retiran sino que se antildeaden al
capital principal Por lo tanto los intereses se
reinvierten
CelesteHe
bull Tasa de Intereacutes Nominal
Se conoce como tasa de intereacutes nominal o tasa nominal al
intereacutes que capitaliza maacutes de una vez al antildeo
La tasa de intereacutes nominal r es una tasa de intereacutes que NO
considera la capitalizacioacuten de intereses
r = tasa de intereacutes del periodo X nuacutemero de periodos
CelesteHe
CelesteHe
CelesteHe
bull Tasa de Intereacutes Efectiva
La tasa de intereacutes efectiva es la tasa real aplicable de tiempo
establecido La tasa de intereacutes efectiva toma en cuenta la
acumulacioacuten del intereacutes durante el periodo de la tasa
nominal correspondiente Se expresa como tasa anual
efectiva ia pero puede ser otro periodo de base
AlbertoCa
TPA
bull Tasa Porcentual Anual
bull Tasa de Intereacutes Nominal
RPA
bull Rendimiento Porcentual Anual
bull Tasa de Intereacutes Efectiva
AlbertoCa
bull La frecuencia de los pagos o ingresos se conoce como el
periodo de pago (PP)
bull Periodo de tiempo (t) es la unidad fundamental del
tiempo de la tasa de intereacutes (la maacutes comuacuten es 1 antildeo)
bull Periodo de composicioacuten o de capitalizacioacuten (PC) es la
unidad de tiempo utilizada para determinar el efecto del
intereacutes
bull Frecuencia de composicioacuten o de capitalizacioacuten (m) es
decir el nuacutemero de veces que se lleva a cabo la
composicioacuten durante el periodo (t)
AlbertoCa
bull Por ejemplo si una compantildeiacutea depositoacute dinero
mensualmente en una cuenta que paga una tasa de intereacutes
nominal del 14 anual compuesto semestralmente el
periodo de pago seriacutea 1 mes mientras que el periodo de
capitalizacioacuten seriacutea 6 meses y la frecuencia de la
composicioacuten seriacutea de 2
AlbertoCa
bull Tasa efectiva por Periodo de Capitalizacioacuten
Se acostumbra expresar la tasa efectiva sobre la misma base
de tiempo de composicioacuten La tasa efectiva correspondiente
por PC se determina mediante la foacutermula
r por periodo de tiempom periodos de composicioacuten por t
= rm
AlbertoCa
bull Ejemplos
1Tasas de preacutestamo bancario para dos proyectos distintos de equipos de generacioacuten de electricidad Determine la tasa efectiva considerando el PC
a) 9 anual compuesto trimestralmente
b) 9 anual compuesto mensualmente
a) r = 9 anual x trimestre m= 94
tasa efectiva por PC = 225
b) r= 9 anual x mes m= 912
tasa efectiva por PC = 075
AlbertoCa
bull Tasa De Intereacutes Efectiva Anual
La deduccioacuten de una foacutermula para la tasa de intereacutes efectiva es semejante a la loacutegica que se sigue para establecer la relacioacuten del valor futuro F=P (1+i)n
El valor futuro F al final de 1 antildeo es el principal P maacutes los intereses acumulados P (i) durante el antildeo Puesto que el intereacutes se puede capitalizar varias veces durante el antildeo se reemplaza i con la tasa anual efectiva ia Ahora escribamos la foacutermula para F al final de 1 antildeo
bull F = P + Pia = P (1+ia)
SalmaVa
Tasa de intereacutes efectiva anual
ia = (1+i)m -1
Sirve para calcular la tasa de intereacutes anual efectiva para
cualquier nuacutemero de periodos de composicioacuten cuando i es
la tasa para un periodo de composicioacuten
r = tasa de intereacutes nominal anual
m = nuacutem de periodos de capitalizacioacuten x antildeo
i = tasa de intereacutes efectiva por PC
ia = tasa de intereacutes efectiva anual
SalmaVa
Ejemplo
Jacky obtuvo una nueva tarjeta de creacutedito con un banco
nacional (MBNA) con una tasa establecida de 18 anual y
un periodo de composicioacuten mensual Para un saldo de $1000
al principio del antildeo calcule la tasa anual efectiva y el adeudo
total al blanco MBNA despueacutes de un antildeo tomando en cuenta
el hecho de que no se efectuacutea ninguacuten pago durante el antildeo
Solucioacuten
Hay 12 periodos de composicioacuten por un antildeo Por lo tanto m=12
e i=1812= 15 mensual Si el saldo de $1000 no se reduce
durante el antildeo se aplica la ecuacioacuten
ia=(1+i)m ndash 1
Y enseguida la ecuacioacuten para el valor futuro
F=P+Pia= P(1+ia)
SalmaVa
ia=(1+0015)12 ndash 1= 19562 ndash 1= 019562 (195)
F= $ 1 000 (119562)= $ 1 19562
Jacki pagaraacute 19562 o $19562 maacutes los $1 000 del
saldo por la utilizacioacuten del dinero del banco durante el
antildeo $119662
SalmaVa
1 La sentildeora Jones planea colocar dinero en un
certificado de depoacutesito JUMBO que paga 18 anual
compuesto diariamente iquestQueacute tasa efectiva recibiraacute ella
a) anualmente
r= 018 y m= 365
i anual = (1 + 018365)365 - 1
= 019716 (19716)
Es decir la sentildeora Jones obtendraacute un 19716 efectivo
sobre su depoacutesito
b) semestralmente
b) r= 009 durante 6 meses y m= 182 diacuteas
i por 6 meses = 009415 (9415)
SalmaVa
bull Tasa de Intereacutes Efectivas Para Cualquier Periodo
Para entender la diferencia entre un periodo de pago (PP) y el periodo de composicioacuten podemos decir que una compantildeiacutea deposita dinero cada mes en una cuenta que da rendimientos con una tasa de intereacutes nominal de 14 anual con un periodo de composicioacuten semestral es periodo de pago es un mes mientras que el periodo de composicioacuten es de 6 meses
GenaroVi
Para evaluar aquellos flujos de efectivo que se presentan
con mayor frecuencia que la anual es decir PPlt 1 antildeo
debe utilizarse la tasa de intereacutes efectiva durante el PP La
foacutermula de la tasa de intereacutes anual efectiva se generaliza
faacutecilmente para cualquier tasa nominal
i efectivo = (1 + rm
)m -1
donde
r = tasa de intereacutes nominal por periodo de pago PP
m = nuacutem de periodos de composicioacuten por periodo de pago
(PC por PP)
GenaroVi
bull Ejemplo
Una tarjeta de creacutedito nacional tiene una tasa de intereacutes del
2 mensual sobre el saldo no pagado
a) Calcule la tasa efectiva por periodo semestral
b) Si la tasa de intereacutes se expresa como 5 por trimestre
encuentre las tasas efectivas por periodos semestrales y
anuales
Solucioacuten
a) En esta parte del ejemplo el periodo de capitalizacioacuten es
mensual Dado que se desea obtener la tasa de intereacutes
efectiva por periodo semestral la tasa nominal por 6 meses
r = 2 mensual x 6 meses por periodo semestral
r = 12 por periodo semestral
GenaroVi
por cada 6 meses = 1 + 012
6
6
minus 1
= 01262 1262
b) Para una tasa de intereacutes del 5 por trimestre el periodo
de capitalizacioacuten es trimestral Por consiguiente en un
periodo semestral m=2 y r= 10 En consecuencia
i por cada 6 meses = 1 +010
2
2
minus 1
= 02155 2155
GenaroVi
bull Tasa De Intereacutes Efectiva Que Variacutea Con El
Tiempo
Las tasas de intereacutes reales para una corporacioacuten variacutean antildeo
con antildeo dependiendo del estado financiero de la empresa
de su sector den el mercado de las economiacuteas nacional e
internacional de las fuerzas de inflacioacuten y de muchos otros
factores
GenaroVi
Ejemplos
bull Las hipotecas de bienes inmuebles financiados
mediante un intereacutes HTA (Hipoteca de Tasa Ajustable)
La tasa de hipoteca se ajusta ligeramente cada antildeo para
que refleje la antiguumledad del preacutestamo el costo actual del
dinero de la hipoteca etc
GenaroVi
bull Los bonos protegidos contra la inflacioacuten (emitidos por
el gobierno de Estados Unidos y otras agencias)
La tasa de dividendos que paga el bono permanece
constante a lo largo de su periodo de vida sin embargo a
la cantidad global que se debe al propietario del bono
cuando alcanza su madurez se le aplica un ajuste
ascendente de acuerdo con el iacutendice de inflacioacuten del
iacutendice de precios al consumidor (IPC) Esto significa que
la tasa anual de rendimiento se incrementaraacute cada antildeo de
acuerdo con la inflacioacuten observada
GenaroVi
Tasas De Intereacutes Efectivas Para
Capitalizacioacuten Continua
A medida que el periodo de capitalizacioacuten disminuye el
valor de m nuacutemero de periodos de capitalizacioacuten por
periodo de intereacutes aumenta
Cuando el intereacutes se capitaliza en forma continua m se
acerca a infinito y la foacutermula de tasa de intereacutes efectiva en
la ecuacioacuten puede escribirse de una nueva forma
definicioacuten de la base del logaritmo natural
NancyLu
A medida que m se acerca a infinito el liacutemite de la formula
de las tasa de intereacutes efectiva se encuentra utilizando
rm = lh lo que hace m =hr
Ecuacioacuten que se utiliza para calcular la tasa de intereacutes
efectiva continua
NancyLu
bull Ejemplo
a) Para una tasa de intereacutes del 18 anual compuesto en forma
continua calcule la tasa de intereacutes efectiva anual y mensual
b) Sin un inversionista exige un retorno efectivo de por lo
menos el 15 sobre su dinero iquestCuaacutel es la tasa miacutenima anual
nominal aceptable si tiene lugar una capitalizacioacuten continua
Solucioacuten
a) La tasa de intereacutes mensual r es =1812 = 15 mensual La tasa
efectiva mensual es
En forma similar a la tasa efectiva anual utilizando r = 018 anual
es
NancyLu
b) En este problema es preciso resolver la ecuacioacuten de la
tasa de intereacutes efectiva en sentido contrario puesto que se
tiene i y se desea r por lo tanto para i=15 anual debe
resolverse para r tomando el logaritmo natural
Por consiguiente una tasa del 13976 anual compuesto
en forma continua generara una tasa de retorno efectiva
anual del 15
NancyLu
bull Ejemplo
Si se depositan $2000 cada antildeo durante 10 antildeos a una tasa de
intereses del 10 anual compare el valor presente para
capitalizacioacuten (a) anual y (b) capitalizacioacuten continua
Solucioacuten
Para capitalizacioacuten anual
P = 2000(PA1010) = 2000(61446) = $12289
(b) Para capitalizacioacuten continua
ianual = e⁰ sup1⁰ ndash 1 = 010517 (10517)
P= 2000(PA1051710)
= 2000(60104)
= $12021
NancyLu
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Comparacioacuten entre la duracioacuten del periodo de pago y del periodo de capitalizacioacuten (PP versus PC)
En los caacutelculos de equivalencia con porcentajes altos la frecuencia de los flujos de efectivo no es igual a la frecuencia de la capitalizacioacuten de los intereses
Resulta esencial que se utilice el mismo periodo para el periodo de capitalizacioacuten y el periodo de pago y en consecuencia la tasa de intereacutes se ajuste
Cuando solo existen pagos uacutenicos no hay periodo de pago PP definido en si por los flujos de efectivo La duracioacuten del PP por lo tanto queda definida por el periodo t del enunciado de la tasa de intereacutes
ErickMe
bull Ejemplo
Suponga que los flujos de efectivo ocurren cada 6 meses
(PP semestral) y que el intereacutes tiene un periodo de
capacitacioacuten trimestral (PC trimestral) Despueacutes de 3 meses
no hay flujo de efectivo ni es necesario determinar el efecto
de la composicioacuten trimestral Sin embargo en el mes 6 es
necesario considerar los intereses acumulados durante los
dos periodos de composicioacuten trimestrales anteriores
ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos con PPgePC
Cuando se trata exclusivamente de flujos de efectivo de pago uacutenico hay dos formas igualmente correctas de determinar i y n para los factores PF y FP
Meacutetodo 1
Se determina la tasa de intereacutes efectiva durante el periodo de composicioacuten PC y se iguala n al nuacutemero de periodos de composicioacuten entre P y F Las relaciones para calcular P y F son
P=F (PF i efectiva por PC nuacutemero total de periodos n)
F=P (FB i efectiva por PC nuacutemero total de periodos n)
ErickMe
bull Ejemplo
Suponga que la tarjeta de creacutedito es una tasa efectiva de
15 anual compuesto mensualmente
En este caso PC es igual a un mes
Para calcular el P o F a lo largo de un periodo de dos antildeos
se calcula la tasa mensual efectiva de 15 12= 125
Y el total de meses de 2 (12)=24 Asiacute los valores 125 y
24 se utiliza para el caacutelculo de los factores PF y FP
ErickMe
Meacutetodo 2
Se determina la tasa de intereacutes efectiva para el periodo t de la
tasa nominal y sea n igual al nuacutemero total de periodos
utilizados en el mismo periodo utilizando el mismo periodo
Las formulas P y F son las mismas que las de las ecuaciones
antes mencionadas salvo que el termino i efectiva por t se
sustituye por la tasa de intereacutes
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Series con PP ge PC
Si los flujos de efectivo son trimestrales el PP es de un trimestre
y por consiguiente se necesita una tasa de intereacutes efectiva
trimestral El valor n es el nuacutemero total de trimestres Si PP es
igual a un trimestre 5 antildeos se traducen en un valor de n de 20
trimestres Esto constituye una aplicacioacuten directa de la siguiente
directriz general
Cuando los flujos de efectivo implican una serie (por ejemplo A
G g) y el periodo de pago es igual o mayor que el periodo de
capitalizacioacuten
Se calcula la tasa de intereacutes efectiva i por periodo de pago
Se determina n como el nuacutemero total de periodos de pago
AleTzec
La siguiente tabla muestra la formulacioacuten correcta de diversas
series de flujo de efectivo y tasa de intereacutes
Observe que n siempre es igual al nuacutemero total de periodos de
pago y que i es una tasa de intereacutes efectiva que se expresa de
acuerdo con el mismo periodo que n
AleTzec
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos y series con PP lt PC
bull Ejemplos
Si un banco le cobra a una persona intereses el diacutea 15 del
mes en sus pagos de tarjeta de creacutedito y si la persona hace
el pago completo el diacutea primero iquestreduce la institucioacuten
financiera los intereses sobre la base de un pago anticipado
La respuesta comuacuten es no
Si una empresa grande hiciera pagos mensuales para cubrir
un preacutestamo bancario de $10 millones con un intereacutes
compuesto trimestral el ejecutivo de finanzas de la empresa
probablemente insistiriacutea en que el banco redujera la
cantidad de intereses basaacutendose en el pago anticipado
AleTzec
El momento de ocurrencia de las transacciones de flujo de
efectivo entre puntos de capitalizacioacuten implica la pregunta
de coacutemo manejar la capitalizacioacuten inter-perioacutedica
Fundamentalmente existen dos poliacuteticas los flujos de
efectivo entre periodos no ganan intereses o ganan un
intereacutes compuesto
AleTzec
Fin
Tasa de Intereacutes
Nominal y
Efectiva
Las tasas de intereacutes nominales y efectivas
tienen la misma relacioacuten que entre siacute guardan
el intereacutes simple y el compuesto
Intereacutes simple
los intereses siempre se calculan sobre el
monto inicial
Intereacutes compuesto
Los intereses obtenidos al final de cada
periodo no se retiran sino que se antildeaden al
capital principal Por lo tanto los intereses se
reinvierten
CelesteHe
bull Tasa de Intereacutes Nominal
Se conoce como tasa de intereacutes nominal o tasa nominal al
intereacutes que capitaliza maacutes de una vez al antildeo
La tasa de intereacutes nominal r es una tasa de intereacutes que NO
considera la capitalizacioacuten de intereses
r = tasa de intereacutes del periodo X nuacutemero de periodos
CelesteHe
CelesteHe
CelesteHe
bull Tasa de Intereacutes Efectiva
La tasa de intereacutes efectiva es la tasa real aplicable de tiempo
establecido La tasa de intereacutes efectiva toma en cuenta la
acumulacioacuten del intereacutes durante el periodo de la tasa
nominal correspondiente Se expresa como tasa anual
efectiva ia pero puede ser otro periodo de base
AlbertoCa
TPA
bull Tasa Porcentual Anual
bull Tasa de Intereacutes Nominal
RPA
bull Rendimiento Porcentual Anual
bull Tasa de Intereacutes Efectiva
AlbertoCa
bull La frecuencia de los pagos o ingresos se conoce como el
periodo de pago (PP)
bull Periodo de tiempo (t) es la unidad fundamental del
tiempo de la tasa de intereacutes (la maacutes comuacuten es 1 antildeo)
bull Periodo de composicioacuten o de capitalizacioacuten (PC) es la
unidad de tiempo utilizada para determinar el efecto del
intereacutes
bull Frecuencia de composicioacuten o de capitalizacioacuten (m) es
decir el nuacutemero de veces que se lleva a cabo la
composicioacuten durante el periodo (t)
AlbertoCa
bull Por ejemplo si una compantildeiacutea depositoacute dinero
mensualmente en una cuenta que paga una tasa de intereacutes
nominal del 14 anual compuesto semestralmente el
periodo de pago seriacutea 1 mes mientras que el periodo de
capitalizacioacuten seriacutea 6 meses y la frecuencia de la
composicioacuten seriacutea de 2
AlbertoCa
bull Tasa efectiva por Periodo de Capitalizacioacuten
Se acostumbra expresar la tasa efectiva sobre la misma base
de tiempo de composicioacuten La tasa efectiva correspondiente
por PC se determina mediante la foacutermula
r por periodo de tiempom periodos de composicioacuten por t
= rm
AlbertoCa
bull Ejemplos
1Tasas de preacutestamo bancario para dos proyectos distintos de equipos de generacioacuten de electricidad Determine la tasa efectiva considerando el PC
a) 9 anual compuesto trimestralmente
b) 9 anual compuesto mensualmente
a) r = 9 anual x trimestre m= 94
tasa efectiva por PC = 225
b) r= 9 anual x mes m= 912
tasa efectiva por PC = 075
AlbertoCa
bull Tasa De Intereacutes Efectiva Anual
La deduccioacuten de una foacutermula para la tasa de intereacutes efectiva es semejante a la loacutegica que se sigue para establecer la relacioacuten del valor futuro F=P (1+i)n
El valor futuro F al final de 1 antildeo es el principal P maacutes los intereses acumulados P (i) durante el antildeo Puesto que el intereacutes se puede capitalizar varias veces durante el antildeo se reemplaza i con la tasa anual efectiva ia Ahora escribamos la foacutermula para F al final de 1 antildeo
bull F = P + Pia = P (1+ia)
SalmaVa
Tasa de intereacutes efectiva anual
ia = (1+i)m -1
Sirve para calcular la tasa de intereacutes anual efectiva para
cualquier nuacutemero de periodos de composicioacuten cuando i es
la tasa para un periodo de composicioacuten
r = tasa de intereacutes nominal anual
m = nuacutem de periodos de capitalizacioacuten x antildeo
i = tasa de intereacutes efectiva por PC
ia = tasa de intereacutes efectiva anual
SalmaVa
Ejemplo
Jacky obtuvo una nueva tarjeta de creacutedito con un banco
nacional (MBNA) con una tasa establecida de 18 anual y
un periodo de composicioacuten mensual Para un saldo de $1000
al principio del antildeo calcule la tasa anual efectiva y el adeudo
total al blanco MBNA despueacutes de un antildeo tomando en cuenta
el hecho de que no se efectuacutea ninguacuten pago durante el antildeo
Solucioacuten
Hay 12 periodos de composicioacuten por un antildeo Por lo tanto m=12
e i=1812= 15 mensual Si el saldo de $1000 no se reduce
durante el antildeo se aplica la ecuacioacuten
ia=(1+i)m ndash 1
Y enseguida la ecuacioacuten para el valor futuro
F=P+Pia= P(1+ia)
SalmaVa
ia=(1+0015)12 ndash 1= 19562 ndash 1= 019562 (195)
F= $ 1 000 (119562)= $ 1 19562
Jacki pagaraacute 19562 o $19562 maacutes los $1 000 del
saldo por la utilizacioacuten del dinero del banco durante el
antildeo $119662
SalmaVa
1 La sentildeora Jones planea colocar dinero en un
certificado de depoacutesito JUMBO que paga 18 anual
compuesto diariamente iquestQueacute tasa efectiva recibiraacute ella
a) anualmente
r= 018 y m= 365
i anual = (1 + 018365)365 - 1
= 019716 (19716)
Es decir la sentildeora Jones obtendraacute un 19716 efectivo
sobre su depoacutesito
b) semestralmente
b) r= 009 durante 6 meses y m= 182 diacuteas
i por 6 meses = 009415 (9415)
SalmaVa
bull Tasa de Intereacutes Efectivas Para Cualquier Periodo
Para entender la diferencia entre un periodo de pago (PP) y el periodo de composicioacuten podemos decir que una compantildeiacutea deposita dinero cada mes en una cuenta que da rendimientos con una tasa de intereacutes nominal de 14 anual con un periodo de composicioacuten semestral es periodo de pago es un mes mientras que el periodo de composicioacuten es de 6 meses
GenaroVi
Para evaluar aquellos flujos de efectivo que se presentan
con mayor frecuencia que la anual es decir PPlt 1 antildeo
debe utilizarse la tasa de intereacutes efectiva durante el PP La
foacutermula de la tasa de intereacutes anual efectiva se generaliza
faacutecilmente para cualquier tasa nominal
i efectivo = (1 + rm
)m -1
donde
r = tasa de intereacutes nominal por periodo de pago PP
m = nuacutem de periodos de composicioacuten por periodo de pago
(PC por PP)
GenaroVi
bull Ejemplo
Una tarjeta de creacutedito nacional tiene una tasa de intereacutes del
2 mensual sobre el saldo no pagado
a) Calcule la tasa efectiva por periodo semestral
b) Si la tasa de intereacutes se expresa como 5 por trimestre
encuentre las tasas efectivas por periodos semestrales y
anuales
Solucioacuten
a) En esta parte del ejemplo el periodo de capitalizacioacuten es
mensual Dado que se desea obtener la tasa de intereacutes
efectiva por periodo semestral la tasa nominal por 6 meses
r = 2 mensual x 6 meses por periodo semestral
r = 12 por periodo semestral
GenaroVi
por cada 6 meses = 1 + 012
6
6
minus 1
= 01262 1262
b) Para una tasa de intereacutes del 5 por trimestre el periodo
de capitalizacioacuten es trimestral Por consiguiente en un
periodo semestral m=2 y r= 10 En consecuencia
i por cada 6 meses = 1 +010
2
2
minus 1
= 02155 2155
GenaroVi
bull Tasa De Intereacutes Efectiva Que Variacutea Con El
Tiempo
Las tasas de intereacutes reales para una corporacioacuten variacutean antildeo
con antildeo dependiendo del estado financiero de la empresa
de su sector den el mercado de las economiacuteas nacional e
internacional de las fuerzas de inflacioacuten y de muchos otros
factores
GenaroVi
Ejemplos
bull Las hipotecas de bienes inmuebles financiados
mediante un intereacutes HTA (Hipoteca de Tasa Ajustable)
La tasa de hipoteca se ajusta ligeramente cada antildeo para
que refleje la antiguumledad del preacutestamo el costo actual del
dinero de la hipoteca etc
GenaroVi
bull Los bonos protegidos contra la inflacioacuten (emitidos por
el gobierno de Estados Unidos y otras agencias)
La tasa de dividendos que paga el bono permanece
constante a lo largo de su periodo de vida sin embargo a
la cantidad global que se debe al propietario del bono
cuando alcanza su madurez se le aplica un ajuste
ascendente de acuerdo con el iacutendice de inflacioacuten del
iacutendice de precios al consumidor (IPC) Esto significa que
la tasa anual de rendimiento se incrementaraacute cada antildeo de
acuerdo con la inflacioacuten observada
GenaroVi
Tasas De Intereacutes Efectivas Para
Capitalizacioacuten Continua
A medida que el periodo de capitalizacioacuten disminuye el
valor de m nuacutemero de periodos de capitalizacioacuten por
periodo de intereacutes aumenta
Cuando el intereacutes se capitaliza en forma continua m se
acerca a infinito y la foacutermula de tasa de intereacutes efectiva en
la ecuacioacuten puede escribirse de una nueva forma
definicioacuten de la base del logaritmo natural
NancyLu
A medida que m se acerca a infinito el liacutemite de la formula
de las tasa de intereacutes efectiva se encuentra utilizando
rm = lh lo que hace m =hr
Ecuacioacuten que se utiliza para calcular la tasa de intereacutes
efectiva continua
NancyLu
bull Ejemplo
a) Para una tasa de intereacutes del 18 anual compuesto en forma
continua calcule la tasa de intereacutes efectiva anual y mensual
b) Sin un inversionista exige un retorno efectivo de por lo
menos el 15 sobre su dinero iquestCuaacutel es la tasa miacutenima anual
nominal aceptable si tiene lugar una capitalizacioacuten continua
Solucioacuten
a) La tasa de intereacutes mensual r es =1812 = 15 mensual La tasa
efectiva mensual es
En forma similar a la tasa efectiva anual utilizando r = 018 anual
es
NancyLu
b) En este problema es preciso resolver la ecuacioacuten de la
tasa de intereacutes efectiva en sentido contrario puesto que se
tiene i y se desea r por lo tanto para i=15 anual debe
resolverse para r tomando el logaritmo natural
Por consiguiente una tasa del 13976 anual compuesto
en forma continua generara una tasa de retorno efectiva
anual del 15
NancyLu
bull Ejemplo
Si se depositan $2000 cada antildeo durante 10 antildeos a una tasa de
intereses del 10 anual compare el valor presente para
capitalizacioacuten (a) anual y (b) capitalizacioacuten continua
Solucioacuten
Para capitalizacioacuten anual
P = 2000(PA1010) = 2000(61446) = $12289
(b) Para capitalizacioacuten continua
ianual = e⁰ sup1⁰ ndash 1 = 010517 (10517)
P= 2000(PA1051710)
= 2000(60104)
= $12021
NancyLu
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Comparacioacuten entre la duracioacuten del periodo de pago y del periodo de capitalizacioacuten (PP versus PC)
En los caacutelculos de equivalencia con porcentajes altos la frecuencia de los flujos de efectivo no es igual a la frecuencia de la capitalizacioacuten de los intereses
Resulta esencial que se utilice el mismo periodo para el periodo de capitalizacioacuten y el periodo de pago y en consecuencia la tasa de intereacutes se ajuste
Cuando solo existen pagos uacutenicos no hay periodo de pago PP definido en si por los flujos de efectivo La duracioacuten del PP por lo tanto queda definida por el periodo t del enunciado de la tasa de intereacutes
ErickMe
bull Ejemplo
Suponga que los flujos de efectivo ocurren cada 6 meses
(PP semestral) y que el intereacutes tiene un periodo de
capacitacioacuten trimestral (PC trimestral) Despueacutes de 3 meses
no hay flujo de efectivo ni es necesario determinar el efecto
de la composicioacuten trimestral Sin embargo en el mes 6 es
necesario considerar los intereses acumulados durante los
dos periodos de composicioacuten trimestrales anteriores
ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos con PPgePC
Cuando se trata exclusivamente de flujos de efectivo de pago uacutenico hay dos formas igualmente correctas de determinar i y n para los factores PF y FP
Meacutetodo 1
Se determina la tasa de intereacutes efectiva durante el periodo de composicioacuten PC y se iguala n al nuacutemero de periodos de composicioacuten entre P y F Las relaciones para calcular P y F son
P=F (PF i efectiva por PC nuacutemero total de periodos n)
F=P (FB i efectiva por PC nuacutemero total de periodos n)
ErickMe
bull Ejemplo
Suponga que la tarjeta de creacutedito es una tasa efectiva de
15 anual compuesto mensualmente
En este caso PC es igual a un mes
Para calcular el P o F a lo largo de un periodo de dos antildeos
se calcula la tasa mensual efectiva de 15 12= 125
Y el total de meses de 2 (12)=24 Asiacute los valores 125 y
24 se utiliza para el caacutelculo de los factores PF y FP
ErickMe
Meacutetodo 2
Se determina la tasa de intereacutes efectiva para el periodo t de la
tasa nominal y sea n igual al nuacutemero total de periodos
utilizados en el mismo periodo utilizando el mismo periodo
Las formulas P y F son las mismas que las de las ecuaciones
antes mencionadas salvo que el termino i efectiva por t se
sustituye por la tasa de intereacutes
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Series con PP ge PC
Si los flujos de efectivo son trimestrales el PP es de un trimestre
y por consiguiente se necesita una tasa de intereacutes efectiva
trimestral El valor n es el nuacutemero total de trimestres Si PP es
igual a un trimestre 5 antildeos se traducen en un valor de n de 20
trimestres Esto constituye una aplicacioacuten directa de la siguiente
directriz general
Cuando los flujos de efectivo implican una serie (por ejemplo A
G g) y el periodo de pago es igual o mayor que el periodo de
capitalizacioacuten
Se calcula la tasa de intereacutes efectiva i por periodo de pago
Se determina n como el nuacutemero total de periodos de pago
AleTzec
La siguiente tabla muestra la formulacioacuten correcta de diversas
series de flujo de efectivo y tasa de intereacutes
Observe que n siempre es igual al nuacutemero total de periodos de
pago y que i es una tasa de intereacutes efectiva que se expresa de
acuerdo con el mismo periodo que n
AleTzec
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos y series con PP lt PC
bull Ejemplos
Si un banco le cobra a una persona intereses el diacutea 15 del
mes en sus pagos de tarjeta de creacutedito y si la persona hace
el pago completo el diacutea primero iquestreduce la institucioacuten
financiera los intereses sobre la base de un pago anticipado
La respuesta comuacuten es no
Si una empresa grande hiciera pagos mensuales para cubrir
un preacutestamo bancario de $10 millones con un intereacutes
compuesto trimestral el ejecutivo de finanzas de la empresa
probablemente insistiriacutea en que el banco redujera la
cantidad de intereses basaacutendose en el pago anticipado
AleTzec
El momento de ocurrencia de las transacciones de flujo de
efectivo entre puntos de capitalizacioacuten implica la pregunta
de coacutemo manejar la capitalizacioacuten inter-perioacutedica
Fundamentalmente existen dos poliacuteticas los flujos de
efectivo entre periodos no ganan intereses o ganan un
intereacutes compuesto
AleTzec
Fin
Las tasas de intereacutes nominales y efectivas
tienen la misma relacioacuten que entre siacute guardan
el intereacutes simple y el compuesto
Intereacutes simple
los intereses siempre se calculan sobre el
monto inicial
Intereacutes compuesto
Los intereses obtenidos al final de cada
periodo no se retiran sino que se antildeaden al
capital principal Por lo tanto los intereses se
reinvierten
CelesteHe
bull Tasa de Intereacutes Nominal
Se conoce como tasa de intereacutes nominal o tasa nominal al
intereacutes que capitaliza maacutes de una vez al antildeo
La tasa de intereacutes nominal r es una tasa de intereacutes que NO
considera la capitalizacioacuten de intereses
r = tasa de intereacutes del periodo X nuacutemero de periodos
CelesteHe
CelesteHe
CelesteHe
bull Tasa de Intereacutes Efectiva
La tasa de intereacutes efectiva es la tasa real aplicable de tiempo
establecido La tasa de intereacutes efectiva toma en cuenta la
acumulacioacuten del intereacutes durante el periodo de la tasa
nominal correspondiente Se expresa como tasa anual
efectiva ia pero puede ser otro periodo de base
AlbertoCa
TPA
bull Tasa Porcentual Anual
bull Tasa de Intereacutes Nominal
RPA
bull Rendimiento Porcentual Anual
bull Tasa de Intereacutes Efectiva
AlbertoCa
bull La frecuencia de los pagos o ingresos se conoce como el
periodo de pago (PP)
bull Periodo de tiempo (t) es la unidad fundamental del
tiempo de la tasa de intereacutes (la maacutes comuacuten es 1 antildeo)
bull Periodo de composicioacuten o de capitalizacioacuten (PC) es la
unidad de tiempo utilizada para determinar el efecto del
intereacutes
bull Frecuencia de composicioacuten o de capitalizacioacuten (m) es
decir el nuacutemero de veces que se lleva a cabo la
composicioacuten durante el periodo (t)
AlbertoCa
bull Por ejemplo si una compantildeiacutea depositoacute dinero
mensualmente en una cuenta que paga una tasa de intereacutes
nominal del 14 anual compuesto semestralmente el
periodo de pago seriacutea 1 mes mientras que el periodo de
capitalizacioacuten seriacutea 6 meses y la frecuencia de la
composicioacuten seriacutea de 2
AlbertoCa
bull Tasa efectiva por Periodo de Capitalizacioacuten
Se acostumbra expresar la tasa efectiva sobre la misma base
de tiempo de composicioacuten La tasa efectiva correspondiente
por PC se determina mediante la foacutermula
r por periodo de tiempom periodos de composicioacuten por t
= rm
AlbertoCa
bull Ejemplos
1Tasas de preacutestamo bancario para dos proyectos distintos de equipos de generacioacuten de electricidad Determine la tasa efectiva considerando el PC
a) 9 anual compuesto trimestralmente
b) 9 anual compuesto mensualmente
a) r = 9 anual x trimestre m= 94
tasa efectiva por PC = 225
b) r= 9 anual x mes m= 912
tasa efectiva por PC = 075
AlbertoCa
bull Tasa De Intereacutes Efectiva Anual
La deduccioacuten de una foacutermula para la tasa de intereacutes efectiva es semejante a la loacutegica que se sigue para establecer la relacioacuten del valor futuro F=P (1+i)n
El valor futuro F al final de 1 antildeo es el principal P maacutes los intereses acumulados P (i) durante el antildeo Puesto que el intereacutes se puede capitalizar varias veces durante el antildeo se reemplaza i con la tasa anual efectiva ia Ahora escribamos la foacutermula para F al final de 1 antildeo
bull F = P + Pia = P (1+ia)
SalmaVa
Tasa de intereacutes efectiva anual
ia = (1+i)m -1
Sirve para calcular la tasa de intereacutes anual efectiva para
cualquier nuacutemero de periodos de composicioacuten cuando i es
la tasa para un periodo de composicioacuten
r = tasa de intereacutes nominal anual
m = nuacutem de periodos de capitalizacioacuten x antildeo
i = tasa de intereacutes efectiva por PC
ia = tasa de intereacutes efectiva anual
SalmaVa
Ejemplo
Jacky obtuvo una nueva tarjeta de creacutedito con un banco
nacional (MBNA) con una tasa establecida de 18 anual y
un periodo de composicioacuten mensual Para un saldo de $1000
al principio del antildeo calcule la tasa anual efectiva y el adeudo
total al blanco MBNA despueacutes de un antildeo tomando en cuenta
el hecho de que no se efectuacutea ninguacuten pago durante el antildeo
Solucioacuten
Hay 12 periodos de composicioacuten por un antildeo Por lo tanto m=12
e i=1812= 15 mensual Si el saldo de $1000 no se reduce
durante el antildeo se aplica la ecuacioacuten
ia=(1+i)m ndash 1
Y enseguida la ecuacioacuten para el valor futuro
F=P+Pia= P(1+ia)
SalmaVa
ia=(1+0015)12 ndash 1= 19562 ndash 1= 019562 (195)
F= $ 1 000 (119562)= $ 1 19562
Jacki pagaraacute 19562 o $19562 maacutes los $1 000 del
saldo por la utilizacioacuten del dinero del banco durante el
antildeo $119662
SalmaVa
1 La sentildeora Jones planea colocar dinero en un
certificado de depoacutesito JUMBO que paga 18 anual
compuesto diariamente iquestQueacute tasa efectiva recibiraacute ella
a) anualmente
r= 018 y m= 365
i anual = (1 + 018365)365 - 1
= 019716 (19716)
Es decir la sentildeora Jones obtendraacute un 19716 efectivo
sobre su depoacutesito
b) semestralmente
b) r= 009 durante 6 meses y m= 182 diacuteas
i por 6 meses = 009415 (9415)
SalmaVa
bull Tasa de Intereacutes Efectivas Para Cualquier Periodo
Para entender la diferencia entre un periodo de pago (PP) y el periodo de composicioacuten podemos decir que una compantildeiacutea deposita dinero cada mes en una cuenta que da rendimientos con una tasa de intereacutes nominal de 14 anual con un periodo de composicioacuten semestral es periodo de pago es un mes mientras que el periodo de composicioacuten es de 6 meses
GenaroVi
Para evaluar aquellos flujos de efectivo que se presentan
con mayor frecuencia que la anual es decir PPlt 1 antildeo
debe utilizarse la tasa de intereacutes efectiva durante el PP La
foacutermula de la tasa de intereacutes anual efectiva se generaliza
faacutecilmente para cualquier tasa nominal
i efectivo = (1 + rm
)m -1
donde
r = tasa de intereacutes nominal por periodo de pago PP
m = nuacutem de periodos de composicioacuten por periodo de pago
(PC por PP)
GenaroVi
bull Ejemplo
Una tarjeta de creacutedito nacional tiene una tasa de intereacutes del
2 mensual sobre el saldo no pagado
a) Calcule la tasa efectiva por periodo semestral
b) Si la tasa de intereacutes se expresa como 5 por trimestre
encuentre las tasas efectivas por periodos semestrales y
anuales
Solucioacuten
a) En esta parte del ejemplo el periodo de capitalizacioacuten es
mensual Dado que se desea obtener la tasa de intereacutes
efectiva por periodo semestral la tasa nominal por 6 meses
r = 2 mensual x 6 meses por periodo semestral
r = 12 por periodo semestral
GenaroVi
por cada 6 meses = 1 + 012
6
6
minus 1
= 01262 1262
b) Para una tasa de intereacutes del 5 por trimestre el periodo
de capitalizacioacuten es trimestral Por consiguiente en un
periodo semestral m=2 y r= 10 En consecuencia
i por cada 6 meses = 1 +010
2
2
minus 1
= 02155 2155
GenaroVi
bull Tasa De Intereacutes Efectiva Que Variacutea Con El
Tiempo
Las tasas de intereacutes reales para una corporacioacuten variacutean antildeo
con antildeo dependiendo del estado financiero de la empresa
de su sector den el mercado de las economiacuteas nacional e
internacional de las fuerzas de inflacioacuten y de muchos otros
factores
GenaroVi
Ejemplos
bull Las hipotecas de bienes inmuebles financiados
mediante un intereacutes HTA (Hipoteca de Tasa Ajustable)
La tasa de hipoteca se ajusta ligeramente cada antildeo para
que refleje la antiguumledad del preacutestamo el costo actual del
dinero de la hipoteca etc
GenaroVi
bull Los bonos protegidos contra la inflacioacuten (emitidos por
el gobierno de Estados Unidos y otras agencias)
La tasa de dividendos que paga el bono permanece
constante a lo largo de su periodo de vida sin embargo a
la cantidad global que se debe al propietario del bono
cuando alcanza su madurez se le aplica un ajuste
ascendente de acuerdo con el iacutendice de inflacioacuten del
iacutendice de precios al consumidor (IPC) Esto significa que
la tasa anual de rendimiento se incrementaraacute cada antildeo de
acuerdo con la inflacioacuten observada
GenaroVi
Tasas De Intereacutes Efectivas Para
Capitalizacioacuten Continua
A medida que el periodo de capitalizacioacuten disminuye el
valor de m nuacutemero de periodos de capitalizacioacuten por
periodo de intereacutes aumenta
Cuando el intereacutes se capitaliza en forma continua m se
acerca a infinito y la foacutermula de tasa de intereacutes efectiva en
la ecuacioacuten puede escribirse de una nueva forma
definicioacuten de la base del logaritmo natural
NancyLu
A medida que m se acerca a infinito el liacutemite de la formula
de las tasa de intereacutes efectiva se encuentra utilizando
rm = lh lo que hace m =hr
Ecuacioacuten que se utiliza para calcular la tasa de intereacutes
efectiva continua
NancyLu
bull Ejemplo
a) Para una tasa de intereacutes del 18 anual compuesto en forma
continua calcule la tasa de intereacutes efectiva anual y mensual
b) Sin un inversionista exige un retorno efectivo de por lo
menos el 15 sobre su dinero iquestCuaacutel es la tasa miacutenima anual
nominal aceptable si tiene lugar una capitalizacioacuten continua
Solucioacuten
a) La tasa de intereacutes mensual r es =1812 = 15 mensual La tasa
efectiva mensual es
En forma similar a la tasa efectiva anual utilizando r = 018 anual
es
NancyLu
b) En este problema es preciso resolver la ecuacioacuten de la
tasa de intereacutes efectiva en sentido contrario puesto que se
tiene i y se desea r por lo tanto para i=15 anual debe
resolverse para r tomando el logaritmo natural
Por consiguiente una tasa del 13976 anual compuesto
en forma continua generara una tasa de retorno efectiva
anual del 15
NancyLu
bull Ejemplo
Si se depositan $2000 cada antildeo durante 10 antildeos a una tasa de
intereses del 10 anual compare el valor presente para
capitalizacioacuten (a) anual y (b) capitalizacioacuten continua
Solucioacuten
Para capitalizacioacuten anual
P = 2000(PA1010) = 2000(61446) = $12289
(b) Para capitalizacioacuten continua
ianual = e⁰ sup1⁰ ndash 1 = 010517 (10517)
P= 2000(PA1051710)
= 2000(60104)
= $12021
NancyLu
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Comparacioacuten entre la duracioacuten del periodo de pago y del periodo de capitalizacioacuten (PP versus PC)
En los caacutelculos de equivalencia con porcentajes altos la frecuencia de los flujos de efectivo no es igual a la frecuencia de la capitalizacioacuten de los intereses
Resulta esencial que se utilice el mismo periodo para el periodo de capitalizacioacuten y el periodo de pago y en consecuencia la tasa de intereacutes se ajuste
Cuando solo existen pagos uacutenicos no hay periodo de pago PP definido en si por los flujos de efectivo La duracioacuten del PP por lo tanto queda definida por el periodo t del enunciado de la tasa de intereacutes
ErickMe
bull Ejemplo
Suponga que los flujos de efectivo ocurren cada 6 meses
(PP semestral) y que el intereacutes tiene un periodo de
capacitacioacuten trimestral (PC trimestral) Despueacutes de 3 meses
no hay flujo de efectivo ni es necesario determinar el efecto
de la composicioacuten trimestral Sin embargo en el mes 6 es
necesario considerar los intereses acumulados durante los
dos periodos de composicioacuten trimestrales anteriores
ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos con PPgePC
Cuando se trata exclusivamente de flujos de efectivo de pago uacutenico hay dos formas igualmente correctas de determinar i y n para los factores PF y FP
Meacutetodo 1
Se determina la tasa de intereacutes efectiva durante el periodo de composicioacuten PC y se iguala n al nuacutemero de periodos de composicioacuten entre P y F Las relaciones para calcular P y F son
P=F (PF i efectiva por PC nuacutemero total de periodos n)
F=P (FB i efectiva por PC nuacutemero total de periodos n)
ErickMe
bull Ejemplo
Suponga que la tarjeta de creacutedito es una tasa efectiva de
15 anual compuesto mensualmente
En este caso PC es igual a un mes
Para calcular el P o F a lo largo de un periodo de dos antildeos
se calcula la tasa mensual efectiva de 15 12= 125
Y el total de meses de 2 (12)=24 Asiacute los valores 125 y
24 se utiliza para el caacutelculo de los factores PF y FP
ErickMe
Meacutetodo 2
Se determina la tasa de intereacutes efectiva para el periodo t de la
tasa nominal y sea n igual al nuacutemero total de periodos
utilizados en el mismo periodo utilizando el mismo periodo
Las formulas P y F son las mismas que las de las ecuaciones
antes mencionadas salvo que el termino i efectiva por t se
sustituye por la tasa de intereacutes
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Series con PP ge PC
Si los flujos de efectivo son trimestrales el PP es de un trimestre
y por consiguiente se necesita una tasa de intereacutes efectiva
trimestral El valor n es el nuacutemero total de trimestres Si PP es
igual a un trimestre 5 antildeos se traducen en un valor de n de 20
trimestres Esto constituye una aplicacioacuten directa de la siguiente
directriz general
Cuando los flujos de efectivo implican una serie (por ejemplo A
G g) y el periodo de pago es igual o mayor que el periodo de
capitalizacioacuten
Se calcula la tasa de intereacutes efectiva i por periodo de pago
Se determina n como el nuacutemero total de periodos de pago
AleTzec
La siguiente tabla muestra la formulacioacuten correcta de diversas
series de flujo de efectivo y tasa de intereacutes
Observe que n siempre es igual al nuacutemero total de periodos de
pago y que i es una tasa de intereacutes efectiva que se expresa de
acuerdo con el mismo periodo que n
AleTzec
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos y series con PP lt PC
bull Ejemplos
Si un banco le cobra a una persona intereses el diacutea 15 del
mes en sus pagos de tarjeta de creacutedito y si la persona hace
el pago completo el diacutea primero iquestreduce la institucioacuten
financiera los intereses sobre la base de un pago anticipado
La respuesta comuacuten es no
Si una empresa grande hiciera pagos mensuales para cubrir
un preacutestamo bancario de $10 millones con un intereacutes
compuesto trimestral el ejecutivo de finanzas de la empresa
probablemente insistiriacutea en que el banco redujera la
cantidad de intereses basaacutendose en el pago anticipado
AleTzec
El momento de ocurrencia de las transacciones de flujo de
efectivo entre puntos de capitalizacioacuten implica la pregunta
de coacutemo manejar la capitalizacioacuten inter-perioacutedica
Fundamentalmente existen dos poliacuteticas los flujos de
efectivo entre periodos no ganan intereses o ganan un
intereacutes compuesto
AleTzec
Fin
bull Tasa de Intereacutes Nominal
Se conoce como tasa de intereacutes nominal o tasa nominal al
intereacutes que capitaliza maacutes de una vez al antildeo
La tasa de intereacutes nominal r es una tasa de intereacutes que NO
considera la capitalizacioacuten de intereses
r = tasa de intereacutes del periodo X nuacutemero de periodos
CelesteHe
CelesteHe
CelesteHe
bull Tasa de Intereacutes Efectiva
La tasa de intereacutes efectiva es la tasa real aplicable de tiempo
establecido La tasa de intereacutes efectiva toma en cuenta la
acumulacioacuten del intereacutes durante el periodo de la tasa
nominal correspondiente Se expresa como tasa anual
efectiva ia pero puede ser otro periodo de base
AlbertoCa
TPA
bull Tasa Porcentual Anual
bull Tasa de Intereacutes Nominal
RPA
bull Rendimiento Porcentual Anual
bull Tasa de Intereacutes Efectiva
AlbertoCa
bull La frecuencia de los pagos o ingresos se conoce como el
periodo de pago (PP)
bull Periodo de tiempo (t) es la unidad fundamental del
tiempo de la tasa de intereacutes (la maacutes comuacuten es 1 antildeo)
bull Periodo de composicioacuten o de capitalizacioacuten (PC) es la
unidad de tiempo utilizada para determinar el efecto del
intereacutes
bull Frecuencia de composicioacuten o de capitalizacioacuten (m) es
decir el nuacutemero de veces que se lleva a cabo la
composicioacuten durante el periodo (t)
AlbertoCa
bull Por ejemplo si una compantildeiacutea depositoacute dinero
mensualmente en una cuenta que paga una tasa de intereacutes
nominal del 14 anual compuesto semestralmente el
periodo de pago seriacutea 1 mes mientras que el periodo de
capitalizacioacuten seriacutea 6 meses y la frecuencia de la
composicioacuten seriacutea de 2
AlbertoCa
bull Tasa efectiva por Periodo de Capitalizacioacuten
Se acostumbra expresar la tasa efectiva sobre la misma base
de tiempo de composicioacuten La tasa efectiva correspondiente
por PC se determina mediante la foacutermula
r por periodo de tiempom periodos de composicioacuten por t
= rm
AlbertoCa
bull Ejemplos
1Tasas de preacutestamo bancario para dos proyectos distintos de equipos de generacioacuten de electricidad Determine la tasa efectiva considerando el PC
a) 9 anual compuesto trimestralmente
b) 9 anual compuesto mensualmente
a) r = 9 anual x trimestre m= 94
tasa efectiva por PC = 225
b) r= 9 anual x mes m= 912
tasa efectiva por PC = 075
AlbertoCa
bull Tasa De Intereacutes Efectiva Anual
La deduccioacuten de una foacutermula para la tasa de intereacutes efectiva es semejante a la loacutegica que se sigue para establecer la relacioacuten del valor futuro F=P (1+i)n
El valor futuro F al final de 1 antildeo es el principal P maacutes los intereses acumulados P (i) durante el antildeo Puesto que el intereacutes se puede capitalizar varias veces durante el antildeo se reemplaza i con la tasa anual efectiva ia Ahora escribamos la foacutermula para F al final de 1 antildeo
bull F = P + Pia = P (1+ia)
SalmaVa
Tasa de intereacutes efectiva anual
ia = (1+i)m -1
Sirve para calcular la tasa de intereacutes anual efectiva para
cualquier nuacutemero de periodos de composicioacuten cuando i es
la tasa para un periodo de composicioacuten
r = tasa de intereacutes nominal anual
m = nuacutem de periodos de capitalizacioacuten x antildeo
i = tasa de intereacutes efectiva por PC
ia = tasa de intereacutes efectiva anual
SalmaVa
Ejemplo
Jacky obtuvo una nueva tarjeta de creacutedito con un banco
nacional (MBNA) con una tasa establecida de 18 anual y
un periodo de composicioacuten mensual Para un saldo de $1000
al principio del antildeo calcule la tasa anual efectiva y el adeudo
total al blanco MBNA despueacutes de un antildeo tomando en cuenta
el hecho de que no se efectuacutea ninguacuten pago durante el antildeo
Solucioacuten
Hay 12 periodos de composicioacuten por un antildeo Por lo tanto m=12
e i=1812= 15 mensual Si el saldo de $1000 no se reduce
durante el antildeo se aplica la ecuacioacuten
ia=(1+i)m ndash 1
Y enseguida la ecuacioacuten para el valor futuro
F=P+Pia= P(1+ia)
SalmaVa
ia=(1+0015)12 ndash 1= 19562 ndash 1= 019562 (195)
F= $ 1 000 (119562)= $ 1 19562
Jacki pagaraacute 19562 o $19562 maacutes los $1 000 del
saldo por la utilizacioacuten del dinero del banco durante el
antildeo $119662
SalmaVa
1 La sentildeora Jones planea colocar dinero en un
certificado de depoacutesito JUMBO que paga 18 anual
compuesto diariamente iquestQueacute tasa efectiva recibiraacute ella
a) anualmente
r= 018 y m= 365
i anual = (1 + 018365)365 - 1
= 019716 (19716)
Es decir la sentildeora Jones obtendraacute un 19716 efectivo
sobre su depoacutesito
b) semestralmente
b) r= 009 durante 6 meses y m= 182 diacuteas
i por 6 meses = 009415 (9415)
SalmaVa
bull Tasa de Intereacutes Efectivas Para Cualquier Periodo
Para entender la diferencia entre un periodo de pago (PP) y el periodo de composicioacuten podemos decir que una compantildeiacutea deposita dinero cada mes en una cuenta que da rendimientos con una tasa de intereacutes nominal de 14 anual con un periodo de composicioacuten semestral es periodo de pago es un mes mientras que el periodo de composicioacuten es de 6 meses
GenaroVi
Para evaluar aquellos flujos de efectivo que se presentan
con mayor frecuencia que la anual es decir PPlt 1 antildeo
debe utilizarse la tasa de intereacutes efectiva durante el PP La
foacutermula de la tasa de intereacutes anual efectiva se generaliza
faacutecilmente para cualquier tasa nominal
i efectivo = (1 + rm
)m -1
donde
r = tasa de intereacutes nominal por periodo de pago PP
m = nuacutem de periodos de composicioacuten por periodo de pago
(PC por PP)
GenaroVi
bull Ejemplo
Una tarjeta de creacutedito nacional tiene una tasa de intereacutes del
2 mensual sobre el saldo no pagado
a) Calcule la tasa efectiva por periodo semestral
b) Si la tasa de intereacutes se expresa como 5 por trimestre
encuentre las tasas efectivas por periodos semestrales y
anuales
Solucioacuten
a) En esta parte del ejemplo el periodo de capitalizacioacuten es
mensual Dado que se desea obtener la tasa de intereacutes
efectiva por periodo semestral la tasa nominal por 6 meses
r = 2 mensual x 6 meses por periodo semestral
r = 12 por periodo semestral
GenaroVi
por cada 6 meses = 1 + 012
6
6
minus 1
= 01262 1262
b) Para una tasa de intereacutes del 5 por trimestre el periodo
de capitalizacioacuten es trimestral Por consiguiente en un
periodo semestral m=2 y r= 10 En consecuencia
i por cada 6 meses = 1 +010
2
2
minus 1
= 02155 2155
GenaroVi
bull Tasa De Intereacutes Efectiva Que Variacutea Con El
Tiempo
Las tasas de intereacutes reales para una corporacioacuten variacutean antildeo
con antildeo dependiendo del estado financiero de la empresa
de su sector den el mercado de las economiacuteas nacional e
internacional de las fuerzas de inflacioacuten y de muchos otros
factores
GenaroVi
Ejemplos
bull Las hipotecas de bienes inmuebles financiados
mediante un intereacutes HTA (Hipoteca de Tasa Ajustable)
La tasa de hipoteca se ajusta ligeramente cada antildeo para
que refleje la antiguumledad del preacutestamo el costo actual del
dinero de la hipoteca etc
GenaroVi
bull Los bonos protegidos contra la inflacioacuten (emitidos por
el gobierno de Estados Unidos y otras agencias)
La tasa de dividendos que paga el bono permanece
constante a lo largo de su periodo de vida sin embargo a
la cantidad global que se debe al propietario del bono
cuando alcanza su madurez se le aplica un ajuste
ascendente de acuerdo con el iacutendice de inflacioacuten del
iacutendice de precios al consumidor (IPC) Esto significa que
la tasa anual de rendimiento se incrementaraacute cada antildeo de
acuerdo con la inflacioacuten observada
GenaroVi
Tasas De Intereacutes Efectivas Para
Capitalizacioacuten Continua
A medida que el periodo de capitalizacioacuten disminuye el
valor de m nuacutemero de periodos de capitalizacioacuten por
periodo de intereacutes aumenta
Cuando el intereacutes se capitaliza en forma continua m se
acerca a infinito y la foacutermula de tasa de intereacutes efectiva en
la ecuacioacuten puede escribirse de una nueva forma
definicioacuten de la base del logaritmo natural
NancyLu
A medida que m se acerca a infinito el liacutemite de la formula
de las tasa de intereacutes efectiva se encuentra utilizando
rm = lh lo que hace m =hr
Ecuacioacuten que se utiliza para calcular la tasa de intereacutes
efectiva continua
NancyLu
bull Ejemplo
a) Para una tasa de intereacutes del 18 anual compuesto en forma
continua calcule la tasa de intereacutes efectiva anual y mensual
b) Sin un inversionista exige un retorno efectivo de por lo
menos el 15 sobre su dinero iquestCuaacutel es la tasa miacutenima anual
nominal aceptable si tiene lugar una capitalizacioacuten continua
Solucioacuten
a) La tasa de intereacutes mensual r es =1812 = 15 mensual La tasa
efectiva mensual es
En forma similar a la tasa efectiva anual utilizando r = 018 anual
es
NancyLu
b) En este problema es preciso resolver la ecuacioacuten de la
tasa de intereacutes efectiva en sentido contrario puesto que se
tiene i y se desea r por lo tanto para i=15 anual debe
resolverse para r tomando el logaritmo natural
Por consiguiente una tasa del 13976 anual compuesto
en forma continua generara una tasa de retorno efectiva
anual del 15
NancyLu
bull Ejemplo
Si se depositan $2000 cada antildeo durante 10 antildeos a una tasa de
intereses del 10 anual compare el valor presente para
capitalizacioacuten (a) anual y (b) capitalizacioacuten continua
Solucioacuten
Para capitalizacioacuten anual
P = 2000(PA1010) = 2000(61446) = $12289
(b) Para capitalizacioacuten continua
ianual = e⁰ sup1⁰ ndash 1 = 010517 (10517)
P= 2000(PA1051710)
= 2000(60104)
= $12021
NancyLu
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Comparacioacuten entre la duracioacuten del periodo de pago y del periodo de capitalizacioacuten (PP versus PC)
En los caacutelculos de equivalencia con porcentajes altos la frecuencia de los flujos de efectivo no es igual a la frecuencia de la capitalizacioacuten de los intereses
Resulta esencial que se utilice el mismo periodo para el periodo de capitalizacioacuten y el periodo de pago y en consecuencia la tasa de intereacutes se ajuste
Cuando solo existen pagos uacutenicos no hay periodo de pago PP definido en si por los flujos de efectivo La duracioacuten del PP por lo tanto queda definida por el periodo t del enunciado de la tasa de intereacutes
ErickMe
bull Ejemplo
Suponga que los flujos de efectivo ocurren cada 6 meses
(PP semestral) y que el intereacutes tiene un periodo de
capacitacioacuten trimestral (PC trimestral) Despueacutes de 3 meses
no hay flujo de efectivo ni es necesario determinar el efecto
de la composicioacuten trimestral Sin embargo en el mes 6 es
necesario considerar los intereses acumulados durante los
dos periodos de composicioacuten trimestrales anteriores
ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos con PPgePC
Cuando se trata exclusivamente de flujos de efectivo de pago uacutenico hay dos formas igualmente correctas de determinar i y n para los factores PF y FP
Meacutetodo 1
Se determina la tasa de intereacutes efectiva durante el periodo de composicioacuten PC y se iguala n al nuacutemero de periodos de composicioacuten entre P y F Las relaciones para calcular P y F son
P=F (PF i efectiva por PC nuacutemero total de periodos n)
F=P (FB i efectiva por PC nuacutemero total de periodos n)
ErickMe
bull Ejemplo
Suponga que la tarjeta de creacutedito es una tasa efectiva de
15 anual compuesto mensualmente
En este caso PC es igual a un mes
Para calcular el P o F a lo largo de un periodo de dos antildeos
se calcula la tasa mensual efectiva de 15 12= 125
Y el total de meses de 2 (12)=24 Asiacute los valores 125 y
24 se utiliza para el caacutelculo de los factores PF y FP
ErickMe
Meacutetodo 2
Se determina la tasa de intereacutes efectiva para el periodo t de la
tasa nominal y sea n igual al nuacutemero total de periodos
utilizados en el mismo periodo utilizando el mismo periodo
Las formulas P y F son las mismas que las de las ecuaciones
antes mencionadas salvo que el termino i efectiva por t se
sustituye por la tasa de intereacutes
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Series con PP ge PC
Si los flujos de efectivo son trimestrales el PP es de un trimestre
y por consiguiente se necesita una tasa de intereacutes efectiva
trimestral El valor n es el nuacutemero total de trimestres Si PP es
igual a un trimestre 5 antildeos se traducen en un valor de n de 20
trimestres Esto constituye una aplicacioacuten directa de la siguiente
directriz general
Cuando los flujos de efectivo implican una serie (por ejemplo A
G g) y el periodo de pago es igual o mayor que el periodo de
capitalizacioacuten
Se calcula la tasa de intereacutes efectiva i por periodo de pago
Se determina n como el nuacutemero total de periodos de pago
AleTzec
La siguiente tabla muestra la formulacioacuten correcta de diversas
series de flujo de efectivo y tasa de intereacutes
Observe que n siempre es igual al nuacutemero total de periodos de
pago y que i es una tasa de intereacutes efectiva que se expresa de
acuerdo con el mismo periodo que n
AleTzec
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos y series con PP lt PC
bull Ejemplos
Si un banco le cobra a una persona intereses el diacutea 15 del
mes en sus pagos de tarjeta de creacutedito y si la persona hace
el pago completo el diacutea primero iquestreduce la institucioacuten
financiera los intereses sobre la base de un pago anticipado
La respuesta comuacuten es no
Si una empresa grande hiciera pagos mensuales para cubrir
un preacutestamo bancario de $10 millones con un intereacutes
compuesto trimestral el ejecutivo de finanzas de la empresa
probablemente insistiriacutea en que el banco redujera la
cantidad de intereses basaacutendose en el pago anticipado
AleTzec
El momento de ocurrencia de las transacciones de flujo de
efectivo entre puntos de capitalizacioacuten implica la pregunta
de coacutemo manejar la capitalizacioacuten inter-perioacutedica
Fundamentalmente existen dos poliacuteticas los flujos de
efectivo entre periodos no ganan intereses o ganan un
intereacutes compuesto
AleTzec
Fin
CelesteHe
CelesteHe
bull Tasa de Intereacutes Efectiva
La tasa de intereacutes efectiva es la tasa real aplicable de tiempo
establecido La tasa de intereacutes efectiva toma en cuenta la
acumulacioacuten del intereacutes durante el periodo de la tasa
nominal correspondiente Se expresa como tasa anual
efectiva ia pero puede ser otro periodo de base
AlbertoCa
TPA
bull Tasa Porcentual Anual
bull Tasa de Intereacutes Nominal
RPA
bull Rendimiento Porcentual Anual
bull Tasa de Intereacutes Efectiva
AlbertoCa
bull La frecuencia de los pagos o ingresos se conoce como el
periodo de pago (PP)
bull Periodo de tiempo (t) es la unidad fundamental del
tiempo de la tasa de intereacutes (la maacutes comuacuten es 1 antildeo)
bull Periodo de composicioacuten o de capitalizacioacuten (PC) es la
unidad de tiempo utilizada para determinar el efecto del
intereacutes
bull Frecuencia de composicioacuten o de capitalizacioacuten (m) es
decir el nuacutemero de veces que se lleva a cabo la
composicioacuten durante el periodo (t)
AlbertoCa
bull Por ejemplo si una compantildeiacutea depositoacute dinero
mensualmente en una cuenta que paga una tasa de intereacutes
nominal del 14 anual compuesto semestralmente el
periodo de pago seriacutea 1 mes mientras que el periodo de
capitalizacioacuten seriacutea 6 meses y la frecuencia de la
composicioacuten seriacutea de 2
AlbertoCa
bull Tasa efectiva por Periodo de Capitalizacioacuten
Se acostumbra expresar la tasa efectiva sobre la misma base
de tiempo de composicioacuten La tasa efectiva correspondiente
por PC se determina mediante la foacutermula
r por periodo de tiempom periodos de composicioacuten por t
= rm
AlbertoCa
bull Ejemplos
1Tasas de preacutestamo bancario para dos proyectos distintos de equipos de generacioacuten de electricidad Determine la tasa efectiva considerando el PC
a) 9 anual compuesto trimestralmente
b) 9 anual compuesto mensualmente
a) r = 9 anual x trimestre m= 94
tasa efectiva por PC = 225
b) r= 9 anual x mes m= 912
tasa efectiva por PC = 075
AlbertoCa
bull Tasa De Intereacutes Efectiva Anual
La deduccioacuten de una foacutermula para la tasa de intereacutes efectiva es semejante a la loacutegica que se sigue para establecer la relacioacuten del valor futuro F=P (1+i)n
El valor futuro F al final de 1 antildeo es el principal P maacutes los intereses acumulados P (i) durante el antildeo Puesto que el intereacutes se puede capitalizar varias veces durante el antildeo se reemplaza i con la tasa anual efectiva ia Ahora escribamos la foacutermula para F al final de 1 antildeo
bull F = P + Pia = P (1+ia)
SalmaVa
Tasa de intereacutes efectiva anual
ia = (1+i)m -1
Sirve para calcular la tasa de intereacutes anual efectiva para
cualquier nuacutemero de periodos de composicioacuten cuando i es
la tasa para un periodo de composicioacuten
r = tasa de intereacutes nominal anual
m = nuacutem de periodos de capitalizacioacuten x antildeo
i = tasa de intereacutes efectiva por PC
ia = tasa de intereacutes efectiva anual
SalmaVa
Ejemplo
Jacky obtuvo una nueva tarjeta de creacutedito con un banco
nacional (MBNA) con una tasa establecida de 18 anual y
un periodo de composicioacuten mensual Para un saldo de $1000
al principio del antildeo calcule la tasa anual efectiva y el adeudo
total al blanco MBNA despueacutes de un antildeo tomando en cuenta
el hecho de que no se efectuacutea ninguacuten pago durante el antildeo
Solucioacuten
Hay 12 periodos de composicioacuten por un antildeo Por lo tanto m=12
e i=1812= 15 mensual Si el saldo de $1000 no se reduce
durante el antildeo se aplica la ecuacioacuten
ia=(1+i)m ndash 1
Y enseguida la ecuacioacuten para el valor futuro
F=P+Pia= P(1+ia)
SalmaVa
ia=(1+0015)12 ndash 1= 19562 ndash 1= 019562 (195)
F= $ 1 000 (119562)= $ 1 19562
Jacki pagaraacute 19562 o $19562 maacutes los $1 000 del
saldo por la utilizacioacuten del dinero del banco durante el
antildeo $119662
SalmaVa
1 La sentildeora Jones planea colocar dinero en un
certificado de depoacutesito JUMBO que paga 18 anual
compuesto diariamente iquestQueacute tasa efectiva recibiraacute ella
a) anualmente
r= 018 y m= 365
i anual = (1 + 018365)365 - 1
= 019716 (19716)
Es decir la sentildeora Jones obtendraacute un 19716 efectivo
sobre su depoacutesito
b) semestralmente
b) r= 009 durante 6 meses y m= 182 diacuteas
i por 6 meses = 009415 (9415)
SalmaVa
bull Tasa de Intereacutes Efectivas Para Cualquier Periodo
Para entender la diferencia entre un periodo de pago (PP) y el periodo de composicioacuten podemos decir que una compantildeiacutea deposita dinero cada mes en una cuenta que da rendimientos con una tasa de intereacutes nominal de 14 anual con un periodo de composicioacuten semestral es periodo de pago es un mes mientras que el periodo de composicioacuten es de 6 meses
GenaroVi
Para evaluar aquellos flujos de efectivo que se presentan
con mayor frecuencia que la anual es decir PPlt 1 antildeo
debe utilizarse la tasa de intereacutes efectiva durante el PP La
foacutermula de la tasa de intereacutes anual efectiva se generaliza
faacutecilmente para cualquier tasa nominal
i efectivo = (1 + rm
)m -1
donde
r = tasa de intereacutes nominal por periodo de pago PP
m = nuacutem de periodos de composicioacuten por periodo de pago
(PC por PP)
GenaroVi
bull Ejemplo
Una tarjeta de creacutedito nacional tiene una tasa de intereacutes del
2 mensual sobre el saldo no pagado
a) Calcule la tasa efectiva por periodo semestral
b) Si la tasa de intereacutes se expresa como 5 por trimestre
encuentre las tasas efectivas por periodos semestrales y
anuales
Solucioacuten
a) En esta parte del ejemplo el periodo de capitalizacioacuten es
mensual Dado que se desea obtener la tasa de intereacutes
efectiva por periodo semestral la tasa nominal por 6 meses
r = 2 mensual x 6 meses por periodo semestral
r = 12 por periodo semestral
GenaroVi
por cada 6 meses = 1 + 012
6
6
minus 1
= 01262 1262
b) Para una tasa de intereacutes del 5 por trimestre el periodo
de capitalizacioacuten es trimestral Por consiguiente en un
periodo semestral m=2 y r= 10 En consecuencia
i por cada 6 meses = 1 +010
2
2
minus 1
= 02155 2155
GenaroVi
bull Tasa De Intereacutes Efectiva Que Variacutea Con El
Tiempo
Las tasas de intereacutes reales para una corporacioacuten variacutean antildeo
con antildeo dependiendo del estado financiero de la empresa
de su sector den el mercado de las economiacuteas nacional e
internacional de las fuerzas de inflacioacuten y de muchos otros
factores
GenaroVi
Ejemplos
bull Las hipotecas de bienes inmuebles financiados
mediante un intereacutes HTA (Hipoteca de Tasa Ajustable)
La tasa de hipoteca se ajusta ligeramente cada antildeo para
que refleje la antiguumledad del preacutestamo el costo actual del
dinero de la hipoteca etc
GenaroVi
bull Los bonos protegidos contra la inflacioacuten (emitidos por
el gobierno de Estados Unidos y otras agencias)
La tasa de dividendos que paga el bono permanece
constante a lo largo de su periodo de vida sin embargo a
la cantidad global que se debe al propietario del bono
cuando alcanza su madurez se le aplica un ajuste
ascendente de acuerdo con el iacutendice de inflacioacuten del
iacutendice de precios al consumidor (IPC) Esto significa que
la tasa anual de rendimiento se incrementaraacute cada antildeo de
acuerdo con la inflacioacuten observada
GenaroVi
Tasas De Intereacutes Efectivas Para
Capitalizacioacuten Continua
A medida que el periodo de capitalizacioacuten disminuye el
valor de m nuacutemero de periodos de capitalizacioacuten por
periodo de intereacutes aumenta
Cuando el intereacutes se capitaliza en forma continua m se
acerca a infinito y la foacutermula de tasa de intereacutes efectiva en
la ecuacioacuten puede escribirse de una nueva forma
definicioacuten de la base del logaritmo natural
NancyLu
A medida que m se acerca a infinito el liacutemite de la formula
de las tasa de intereacutes efectiva se encuentra utilizando
rm = lh lo que hace m =hr
Ecuacioacuten que se utiliza para calcular la tasa de intereacutes
efectiva continua
NancyLu
bull Ejemplo
a) Para una tasa de intereacutes del 18 anual compuesto en forma
continua calcule la tasa de intereacutes efectiva anual y mensual
b) Sin un inversionista exige un retorno efectivo de por lo
menos el 15 sobre su dinero iquestCuaacutel es la tasa miacutenima anual
nominal aceptable si tiene lugar una capitalizacioacuten continua
Solucioacuten
a) La tasa de intereacutes mensual r es =1812 = 15 mensual La tasa
efectiva mensual es
En forma similar a la tasa efectiva anual utilizando r = 018 anual
es
NancyLu
b) En este problema es preciso resolver la ecuacioacuten de la
tasa de intereacutes efectiva en sentido contrario puesto que se
tiene i y se desea r por lo tanto para i=15 anual debe
resolverse para r tomando el logaritmo natural
Por consiguiente una tasa del 13976 anual compuesto
en forma continua generara una tasa de retorno efectiva
anual del 15
NancyLu
bull Ejemplo
Si se depositan $2000 cada antildeo durante 10 antildeos a una tasa de
intereses del 10 anual compare el valor presente para
capitalizacioacuten (a) anual y (b) capitalizacioacuten continua
Solucioacuten
Para capitalizacioacuten anual
P = 2000(PA1010) = 2000(61446) = $12289
(b) Para capitalizacioacuten continua
ianual = e⁰ sup1⁰ ndash 1 = 010517 (10517)
P= 2000(PA1051710)
= 2000(60104)
= $12021
NancyLu
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Comparacioacuten entre la duracioacuten del periodo de pago y del periodo de capitalizacioacuten (PP versus PC)
En los caacutelculos de equivalencia con porcentajes altos la frecuencia de los flujos de efectivo no es igual a la frecuencia de la capitalizacioacuten de los intereses
Resulta esencial que se utilice el mismo periodo para el periodo de capitalizacioacuten y el periodo de pago y en consecuencia la tasa de intereacutes se ajuste
Cuando solo existen pagos uacutenicos no hay periodo de pago PP definido en si por los flujos de efectivo La duracioacuten del PP por lo tanto queda definida por el periodo t del enunciado de la tasa de intereacutes
ErickMe
bull Ejemplo
Suponga que los flujos de efectivo ocurren cada 6 meses
(PP semestral) y que el intereacutes tiene un periodo de
capacitacioacuten trimestral (PC trimestral) Despueacutes de 3 meses
no hay flujo de efectivo ni es necesario determinar el efecto
de la composicioacuten trimestral Sin embargo en el mes 6 es
necesario considerar los intereses acumulados durante los
dos periodos de composicioacuten trimestrales anteriores
ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos con PPgePC
Cuando se trata exclusivamente de flujos de efectivo de pago uacutenico hay dos formas igualmente correctas de determinar i y n para los factores PF y FP
Meacutetodo 1
Se determina la tasa de intereacutes efectiva durante el periodo de composicioacuten PC y se iguala n al nuacutemero de periodos de composicioacuten entre P y F Las relaciones para calcular P y F son
P=F (PF i efectiva por PC nuacutemero total de periodos n)
F=P (FB i efectiva por PC nuacutemero total de periodos n)
ErickMe
bull Ejemplo
Suponga que la tarjeta de creacutedito es una tasa efectiva de
15 anual compuesto mensualmente
En este caso PC es igual a un mes
Para calcular el P o F a lo largo de un periodo de dos antildeos
se calcula la tasa mensual efectiva de 15 12= 125
Y el total de meses de 2 (12)=24 Asiacute los valores 125 y
24 se utiliza para el caacutelculo de los factores PF y FP
ErickMe
Meacutetodo 2
Se determina la tasa de intereacutes efectiva para el periodo t de la
tasa nominal y sea n igual al nuacutemero total de periodos
utilizados en el mismo periodo utilizando el mismo periodo
Las formulas P y F son las mismas que las de las ecuaciones
antes mencionadas salvo que el termino i efectiva por t se
sustituye por la tasa de intereacutes
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Series con PP ge PC
Si los flujos de efectivo son trimestrales el PP es de un trimestre
y por consiguiente se necesita una tasa de intereacutes efectiva
trimestral El valor n es el nuacutemero total de trimestres Si PP es
igual a un trimestre 5 antildeos se traducen en un valor de n de 20
trimestres Esto constituye una aplicacioacuten directa de la siguiente
directriz general
Cuando los flujos de efectivo implican una serie (por ejemplo A
G g) y el periodo de pago es igual o mayor que el periodo de
capitalizacioacuten
Se calcula la tasa de intereacutes efectiva i por periodo de pago
Se determina n como el nuacutemero total de periodos de pago
AleTzec
La siguiente tabla muestra la formulacioacuten correcta de diversas
series de flujo de efectivo y tasa de intereacutes
Observe que n siempre es igual al nuacutemero total de periodos de
pago y que i es una tasa de intereacutes efectiva que se expresa de
acuerdo con el mismo periodo que n
AleTzec
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos y series con PP lt PC
bull Ejemplos
Si un banco le cobra a una persona intereses el diacutea 15 del
mes en sus pagos de tarjeta de creacutedito y si la persona hace
el pago completo el diacutea primero iquestreduce la institucioacuten
financiera los intereses sobre la base de un pago anticipado
La respuesta comuacuten es no
Si una empresa grande hiciera pagos mensuales para cubrir
un preacutestamo bancario de $10 millones con un intereacutes
compuesto trimestral el ejecutivo de finanzas de la empresa
probablemente insistiriacutea en que el banco redujera la
cantidad de intereses basaacutendose en el pago anticipado
AleTzec
El momento de ocurrencia de las transacciones de flujo de
efectivo entre puntos de capitalizacioacuten implica la pregunta
de coacutemo manejar la capitalizacioacuten inter-perioacutedica
Fundamentalmente existen dos poliacuteticas los flujos de
efectivo entre periodos no ganan intereses o ganan un
intereacutes compuesto
AleTzec
Fin
CelesteHe
bull Tasa de Intereacutes Efectiva
La tasa de intereacutes efectiva es la tasa real aplicable de tiempo
establecido La tasa de intereacutes efectiva toma en cuenta la
acumulacioacuten del intereacutes durante el periodo de la tasa
nominal correspondiente Se expresa como tasa anual
efectiva ia pero puede ser otro periodo de base
AlbertoCa
TPA
bull Tasa Porcentual Anual
bull Tasa de Intereacutes Nominal
RPA
bull Rendimiento Porcentual Anual
bull Tasa de Intereacutes Efectiva
AlbertoCa
bull La frecuencia de los pagos o ingresos se conoce como el
periodo de pago (PP)
bull Periodo de tiempo (t) es la unidad fundamental del
tiempo de la tasa de intereacutes (la maacutes comuacuten es 1 antildeo)
bull Periodo de composicioacuten o de capitalizacioacuten (PC) es la
unidad de tiempo utilizada para determinar el efecto del
intereacutes
bull Frecuencia de composicioacuten o de capitalizacioacuten (m) es
decir el nuacutemero de veces que se lleva a cabo la
composicioacuten durante el periodo (t)
AlbertoCa
bull Por ejemplo si una compantildeiacutea depositoacute dinero
mensualmente en una cuenta que paga una tasa de intereacutes
nominal del 14 anual compuesto semestralmente el
periodo de pago seriacutea 1 mes mientras que el periodo de
capitalizacioacuten seriacutea 6 meses y la frecuencia de la
composicioacuten seriacutea de 2
AlbertoCa
bull Tasa efectiva por Periodo de Capitalizacioacuten
Se acostumbra expresar la tasa efectiva sobre la misma base
de tiempo de composicioacuten La tasa efectiva correspondiente
por PC se determina mediante la foacutermula
r por periodo de tiempom periodos de composicioacuten por t
= rm
AlbertoCa
bull Ejemplos
1Tasas de preacutestamo bancario para dos proyectos distintos de equipos de generacioacuten de electricidad Determine la tasa efectiva considerando el PC
a) 9 anual compuesto trimestralmente
b) 9 anual compuesto mensualmente
a) r = 9 anual x trimestre m= 94
tasa efectiva por PC = 225
b) r= 9 anual x mes m= 912
tasa efectiva por PC = 075
AlbertoCa
bull Tasa De Intereacutes Efectiva Anual
La deduccioacuten de una foacutermula para la tasa de intereacutes efectiva es semejante a la loacutegica que se sigue para establecer la relacioacuten del valor futuro F=P (1+i)n
El valor futuro F al final de 1 antildeo es el principal P maacutes los intereses acumulados P (i) durante el antildeo Puesto que el intereacutes se puede capitalizar varias veces durante el antildeo se reemplaza i con la tasa anual efectiva ia Ahora escribamos la foacutermula para F al final de 1 antildeo
bull F = P + Pia = P (1+ia)
SalmaVa
Tasa de intereacutes efectiva anual
ia = (1+i)m -1
Sirve para calcular la tasa de intereacutes anual efectiva para
cualquier nuacutemero de periodos de composicioacuten cuando i es
la tasa para un periodo de composicioacuten
r = tasa de intereacutes nominal anual
m = nuacutem de periodos de capitalizacioacuten x antildeo
i = tasa de intereacutes efectiva por PC
ia = tasa de intereacutes efectiva anual
SalmaVa
Ejemplo
Jacky obtuvo una nueva tarjeta de creacutedito con un banco
nacional (MBNA) con una tasa establecida de 18 anual y
un periodo de composicioacuten mensual Para un saldo de $1000
al principio del antildeo calcule la tasa anual efectiva y el adeudo
total al blanco MBNA despueacutes de un antildeo tomando en cuenta
el hecho de que no se efectuacutea ninguacuten pago durante el antildeo
Solucioacuten
Hay 12 periodos de composicioacuten por un antildeo Por lo tanto m=12
e i=1812= 15 mensual Si el saldo de $1000 no se reduce
durante el antildeo se aplica la ecuacioacuten
ia=(1+i)m ndash 1
Y enseguida la ecuacioacuten para el valor futuro
F=P+Pia= P(1+ia)
SalmaVa
ia=(1+0015)12 ndash 1= 19562 ndash 1= 019562 (195)
F= $ 1 000 (119562)= $ 1 19562
Jacki pagaraacute 19562 o $19562 maacutes los $1 000 del
saldo por la utilizacioacuten del dinero del banco durante el
antildeo $119662
SalmaVa
1 La sentildeora Jones planea colocar dinero en un
certificado de depoacutesito JUMBO que paga 18 anual
compuesto diariamente iquestQueacute tasa efectiva recibiraacute ella
a) anualmente
r= 018 y m= 365
i anual = (1 + 018365)365 - 1
= 019716 (19716)
Es decir la sentildeora Jones obtendraacute un 19716 efectivo
sobre su depoacutesito
b) semestralmente
b) r= 009 durante 6 meses y m= 182 diacuteas
i por 6 meses = 009415 (9415)
SalmaVa
bull Tasa de Intereacutes Efectivas Para Cualquier Periodo
Para entender la diferencia entre un periodo de pago (PP) y el periodo de composicioacuten podemos decir que una compantildeiacutea deposita dinero cada mes en una cuenta que da rendimientos con una tasa de intereacutes nominal de 14 anual con un periodo de composicioacuten semestral es periodo de pago es un mes mientras que el periodo de composicioacuten es de 6 meses
GenaroVi
Para evaluar aquellos flujos de efectivo que se presentan
con mayor frecuencia que la anual es decir PPlt 1 antildeo
debe utilizarse la tasa de intereacutes efectiva durante el PP La
foacutermula de la tasa de intereacutes anual efectiva se generaliza
faacutecilmente para cualquier tasa nominal
i efectivo = (1 + rm
)m -1
donde
r = tasa de intereacutes nominal por periodo de pago PP
m = nuacutem de periodos de composicioacuten por periodo de pago
(PC por PP)
GenaroVi
bull Ejemplo
Una tarjeta de creacutedito nacional tiene una tasa de intereacutes del
2 mensual sobre el saldo no pagado
a) Calcule la tasa efectiva por periodo semestral
b) Si la tasa de intereacutes se expresa como 5 por trimestre
encuentre las tasas efectivas por periodos semestrales y
anuales
Solucioacuten
a) En esta parte del ejemplo el periodo de capitalizacioacuten es
mensual Dado que se desea obtener la tasa de intereacutes
efectiva por periodo semestral la tasa nominal por 6 meses
r = 2 mensual x 6 meses por periodo semestral
r = 12 por periodo semestral
GenaroVi
por cada 6 meses = 1 + 012
6
6
minus 1
= 01262 1262
b) Para una tasa de intereacutes del 5 por trimestre el periodo
de capitalizacioacuten es trimestral Por consiguiente en un
periodo semestral m=2 y r= 10 En consecuencia
i por cada 6 meses = 1 +010
2
2
minus 1
= 02155 2155
GenaroVi
bull Tasa De Intereacutes Efectiva Que Variacutea Con El
Tiempo
Las tasas de intereacutes reales para una corporacioacuten variacutean antildeo
con antildeo dependiendo del estado financiero de la empresa
de su sector den el mercado de las economiacuteas nacional e
internacional de las fuerzas de inflacioacuten y de muchos otros
factores
GenaroVi
Ejemplos
bull Las hipotecas de bienes inmuebles financiados
mediante un intereacutes HTA (Hipoteca de Tasa Ajustable)
La tasa de hipoteca se ajusta ligeramente cada antildeo para
que refleje la antiguumledad del preacutestamo el costo actual del
dinero de la hipoteca etc
GenaroVi
bull Los bonos protegidos contra la inflacioacuten (emitidos por
el gobierno de Estados Unidos y otras agencias)
La tasa de dividendos que paga el bono permanece
constante a lo largo de su periodo de vida sin embargo a
la cantidad global que se debe al propietario del bono
cuando alcanza su madurez se le aplica un ajuste
ascendente de acuerdo con el iacutendice de inflacioacuten del
iacutendice de precios al consumidor (IPC) Esto significa que
la tasa anual de rendimiento se incrementaraacute cada antildeo de
acuerdo con la inflacioacuten observada
GenaroVi
Tasas De Intereacutes Efectivas Para
Capitalizacioacuten Continua
A medida que el periodo de capitalizacioacuten disminuye el
valor de m nuacutemero de periodos de capitalizacioacuten por
periodo de intereacutes aumenta
Cuando el intereacutes se capitaliza en forma continua m se
acerca a infinito y la foacutermula de tasa de intereacutes efectiva en
la ecuacioacuten puede escribirse de una nueva forma
definicioacuten de la base del logaritmo natural
NancyLu
A medida que m se acerca a infinito el liacutemite de la formula
de las tasa de intereacutes efectiva se encuentra utilizando
rm = lh lo que hace m =hr
Ecuacioacuten que se utiliza para calcular la tasa de intereacutes
efectiva continua
NancyLu
bull Ejemplo
a) Para una tasa de intereacutes del 18 anual compuesto en forma
continua calcule la tasa de intereacutes efectiva anual y mensual
b) Sin un inversionista exige un retorno efectivo de por lo
menos el 15 sobre su dinero iquestCuaacutel es la tasa miacutenima anual
nominal aceptable si tiene lugar una capitalizacioacuten continua
Solucioacuten
a) La tasa de intereacutes mensual r es =1812 = 15 mensual La tasa
efectiva mensual es
En forma similar a la tasa efectiva anual utilizando r = 018 anual
es
NancyLu
b) En este problema es preciso resolver la ecuacioacuten de la
tasa de intereacutes efectiva en sentido contrario puesto que se
tiene i y se desea r por lo tanto para i=15 anual debe
resolverse para r tomando el logaritmo natural
Por consiguiente una tasa del 13976 anual compuesto
en forma continua generara una tasa de retorno efectiva
anual del 15
NancyLu
bull Ejemplo
Si se depositan $2000 cada antildeo durante 10 antildeos a una tasa de
intereses del 10 anual compare el valor presente para
capitalizacioacuten (a) anual y (b) capitalizacioacuten continua
Solucioacuten
Para capitalizacioacuten anual
P = 2000(PA1010) = 2000(61446) = $12289
(b) Para capitalizacioacuten continua
ianual = e⁰ sup1⁰ ndash 1 = 010517 (10517)
P= 2000(PA1051710)
= 2000(60104)
= $12021
NancyLu
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Comparacioacuten entre la duracioacuten del periodo de pago y del periodo de capitalizacioacuten (PP versus PC)
En los caacutelculos de equivalencia con porcentajes altos la frecuencia de los flujos de efectivo no es igual a la frecuencia de la capitalizacioacuten de los intereses
Resulta esencial que se utilice el mismo periodo para el periodo de capitalizacioacuten y el periodo de pago y en consecuencia la tasa de intereacutes se ajuste
Cuando solo existen pagos uacutenicos no hay periodo de pago PP definido en si por los flujos de efectivo La duracioacuten del PP por lo tanto queda definida por el periodo t del enunciado de la tasa de intereacutes
ErickMe
bull Ejemplo
Suponga que los flujos de efectivo ocurren cada 6 meses
(PP semestral) y que el intereacutes tiene un periodo de
capacitacioacuten trimestral (PC trimestral) Despueacutes de 3 meses
no hay flujo de efectivo ni es necesario determinar el efecto
de la composicioacuten trimestral Sin embargo en el mes 6 es
necesario considerar los intereses acumulados durante los
dos periodos de composicioacuten trimestrales anteriores
ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos con PPgePC
Cuando se trata exclusivamente de flujos de efectivo de pago uacutenico hay dos formas igualmente correctas de determinar i y n para los factores PF y FP
Meacutetodo 1
Se determina la tasa de intereacutes efectiva durante el periodo de composicioacuten PC y se iguala n al nuacutemero de periodos de composicioacuten entre P y F Las relaciones para calcular P y F son
P=F (PF i efectiva por PC nuacutemero total de periodos n)
F=P (FB i efectiva por PC nuacutemero total de periodos n)
ErickMe
bull Ejemplo
Suponga que la tarjeta de creacutedito es una tasa efectiva de
15 anual compuesto mensualmente
En este caso PC es igual a un mes
Para calcular el P o F a lo largo de un periodo de dos antildeos
se calcula la tasa mensual efectiva de 15 12= 125
Y el total de meses de 2 (12)=24 Asiacute los valores 125 y
24 se utiliza para el caacutelculo de los factores PF y FP
ErickMe
Meacutetodo 2
Se determina la tasa de intereacutes efectiva para el periodo t de la
tasa nominal y sea n igual al nuacutemero total de periodos
utilizados en el mismo periodo utilizando el mismo periodo
Las formulas P y F son las mismas que las de las ecuaciones
antes mencionadas salvo que el termino i efectiva por t se
sustituye por la tasa de intereacutes
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Series con PP ge PC
Si los flujos de efectivo son trimestrales el PP es de un trimestre
y por consiguiente se necesita una tasa de intereacutes efectiva
trimestral El valor n es el nuacutemero total de trimestres Si PP es
igual a un trimestre 5 antildeos se traducen en un valor de n de 20
trimestres Esto constituye una aplicacioacuten directa de la siguiente
directriz general
Cuando los flujos de efectivo implican una serie (por ejemplo A
G g) y el periodo de pago es igual o mayor que el periodo de
capitalizacioacuten
Se calcula la tasa de intereacutes efectiva i por periodo de pago
Se determina n como el nuacutemero total de periodos de pago
AleTzec
La siguiente tabla muestra la formulacioacuten correcta de diversas
series de flujo de efectivo y tasa de intereacutes
Observe que n siempre es igual al nuacutemero total de periodos de
pago y que i es una tasa de intereacutes efectiva que se expresa de
acuerdo con el mismo periodo que n
AleTzec
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos y series con PP lt PC
bull Ejemplos
Si un banco le cobra a una persona intereses el diacutea 15 del
mes en sus pagos de tarjeta de creacutedito y si la persona hace
el pago completo el diacutea primero iquestreduce la institucioacuten
financiera los intereses sobre la base de un pago anticipado
La respuesta comuacuten es no
Si una empresa grande hiciera pagos mensuales para cubrir
un preacutestamo bancario de $10 millones con un intereacutes
compuesto trimestral el ejecutivo de finanzas de la empresa
probablemente insistiriacutea en que el banco redujera la
cantidad de intereses basaacutendose en el pago anticipado
AleTzec
El momento de ocurrencia de las transacciones de flujo de
efectivo entre puntos de capitalizacioacuten implica la pregunta
de coacutemo manejar la capitalizacioacuten inter-perioacutedica
Fundamentalmente existen dos poliacuteticas los flujos de
efectivo entre periodos no ganan intereses o ganan un
intereacutes compuesto
AleTzec
Fin
bull Tasa de Intereacutes Efectiva
La tasa de intereacutes efectiva es la tasa real aplicable de tiempo
establecido La tasa de intereacutes efectiva toma en cuenta la
acumulacioacuten del intereacutes durante el periodo de la tasa
nominal correspondiente Se expresa como tasa anual
efectiva ia pero puede ser otro periodo de base
AlbertoCa
TPA
bull Tasa Porcentual Anual
bull Tasa de Intereacutes Nominal
RPA
bull Rendimiento Porcentual Anual
bull Tasa de Intereacutes Efectiva
AlbertoCa
bull La frecuencia de los pagos o ingresos se conoce como el
periodo de pago (PP)
bull Periodo de tiempo (t) es la unidad fundamental del
tiempo de la tasa de intereacutes (la maacutes comuacuten es 1 antildeo)
bull Periodo de composicioacuten o de capitalizacioacuten (PC) es la
unidad de tiempo utilizada para determinar el efecto del
intereacutes
bull Frecuencia de composicioacuten o de capitalizacioacuten (m) es
decir el nuacutemero de veces que se lleva a cabo la
composicioacuten durante el periodo (t)
AlbertoCa
bull Por ejemplo si una compantildeiacutea depositoacute dinero
mensualmente en una cuenta que paga una tasa de intereacutes
nominal del 14 anual compuesto semestralmente el
periodo de pago seriacutea 1 mes mientras que el periodo de
capitalizacioacuten seriacutea 6 meses y la frecuencia de la
composicioacuten seriacutea de 2
AlbertoCa
bull Tasa efectiva por Periodo de Capitalizacioacuten
Se acostumbra expresar la tasa efectiva sobre la misma base
de tiempo de composicioacuten La tasa efectiva correspondiente
por PC se determina mediante la foacutermula
r por periodo de tiempom periodos de composicioacuten por t
= rm
AlbertoCa
bull Ejemplos
1Tasas de preacutestamo bancario para dos proyectos distintos de equipos de generacioacuten de electricidad Determine la tasa efectiva considerando el PC
a) 9 anual compuesto trimestralmente
b) 9 anual compuesto mensualmente
a) r = 9 anual x trimestre m= 94
tasa efectiva por PC = 225
b) r= 9 anual x mes m= 912
tasa efectiva por PC = 075
AlbertoCa
bull Tasa De Intereacutes Efectiva Anual
La deduccioacuten de una foacutermula para la tasa de intereacutes efectiva es semejante a la loacutegica que se sigue para establecer la relacioacuten del valor futuro F=P (1+i)n
El valor futuro F al final de 1 antildeo es el principal P maacutes los intereses acumulados P (i) durante el antildeo Puesto que el intereacutes se puede capitalizar varias veces durante el antildeo se reemplaza i con la tasa anual efectiva ia Ahora escribamos la foacutermula para F al final de 1 antildeo
bull F = P + Pia = P (1+ia)
SalmaVa
Tasa de intereacutes efectiva anual
ia = (1+i)m -1
Sirve para calcular la tasa de intereacutes anual efectiva para
cualquier nuacutemero de periodos de composicioacuten cuando i es
la tasa para un periodo de composicioacuten
r = tasa de intereacutes nominal anual
m = nuacutem de periodos de capitalizacioacuten x antildeo
i = tasa de intereacutes efectiva por PC
ia = tasa de intereacutes efectiva anual
SalmaVa
Ejemplo
Jacky obtuvo una nueva tarjeta de creacutedito con un banco
nacional (MBNA) con una tasa establecida de 18 anual y
un periodo de composicioacuten mensual Para un saldo de $1000
al principio del antildeo calcule la tasa anual efectiva y el adeudo
total al blanco MBNA despueacutes de un antildeo tomando en cuenta
el hecho de que no se efectuacutea ninguacuten pago durante el antildeo
Solucioacuten
Hay 12 periodos de composicioacuten por un antildeo Por lo tanto m=12
e i=1812= 15 mensual Si el saldo de $1000 no se reduce
durante el antildeo se aplica la ecuacioacuten
ia=(1+i)m ndash 1
Y enseguida la ecuacioacuten para el valor futuro
F=P+Pia= P(1+ia)
SalmaVa
ia=(1+0015)12 ndash 1= 19562 ndash 1= 019562 (195)
F= $ 1 000 (119562)= $ 1 19562
Jacki pagaraacute 19562 o $19562 maacutes los $1 000 del
saldo por la utilizacioacuten del dinero del banco durante el
antildeo $119662
SalmaVa
1 La sentildeora Jones planea colocar dinero en un
certificado de depoacutesito JUMBO que paga 18 anual
compuesto diariamente iquestQueacute tasa efectiva recibiraacute ella
a) anualmente
r= 018 y m= 365
i anual = (1 + 018365)365 - 1
= 019716 (19716)
Es decir la sentildeora Jones obtendraacute un 19716 efectivo
sobre su depoacutesito
b) semestralmente
b) r= 009 durante 6 meses y m= 182 diacuteas
i por 6 meses = 009415 (9415)
SalmaVa
bull Tasa de Intereacutes Efectivas Para Cualquier Periodo
Para entender la diferencia entre un periodo de pago (PP) y el periodo de composicioacuten podemos decir que una compantildeiacutea deposita dinero cada mes en una cuenta que da rendimientos con una tasa de intereacutes nominal de 14 anual con un periodo de composicioacuten semestral es periodo de pago es un mes mientras que el periodo de composicioacuten es de 6 meses
GenaroVi
Para evaluar aquellos flujos de efectivo que se presentan
con mayor frecuencia que la anual es decir PPlt 1 antildeo
debe utilizarse la tasa de intereacutes efectiva durante el PP La
foacutermula de la tasa de intereacutes anual efectiva se generaliza
faacutecilmente para cualquier tasa nominal
i efectivo = (1 + rm
)m -1
donde
r = tasa de intereacutes nominal por periodo de pago PP
m = nuacutem de periodos de composicioacuten por periodo de pago
(PC por PP)
GenaroVi
bull Ejemplo
Una tarjeta de creacutedito nacional tiene una tasa de intereacutes del
2 mensual sobre el saldo no pagado
a) Calcule la tasa efectiva por periodo semestral
b) Si la tasa de intereacutes se expresa como 5 por trimestre
encuentre las tasas efectivas por periodos semestrales y
anuales
Solucioacuten
a) En esta parte del ejemplo el periodo de capitalizacioacuten es
mensual Dado que se desea obtener la tasa de intereacutes
efectiva por periodo semestral la tasa nominal por 6 meses
r = 2 mensual x 6 meses por periodo semestral
r = 12 por periodo semestral
GenaroVi
por cada 6 meses = 1 + 012
6
6
minus 1
= 01262 1262
b) Para una tasa de intereacutes del 5 por trimestre el periodo
de capitalizacioacuten es trimestral Por consiguiente en un
periodo semestral m=2 y r= 10 En consecuencia
i por cada 6 meses = 1 +010
2
2
minus 1
= 02155 2155
GenaroVi
bull Tasa De Intereacutes Efectiva Que Variacutea Con El
Tiempo
Las tasas de intereacutes reales para una corporacioacuten variacutean antildeo
con antildeo dependiendo del estado financiero de la empresa
de su sector den el mercado de las economiacuteas nacional e
internacional de las fuerzas de inflacioacuten y de muchos otros
factores
GenaroVi
Ejemplos
bull Las hipotecas de bienes inmuebles financiados
mediante un intereacutes HTA (Hipoteca de Tasa Ajustable)
La tasa de hipoteca se ajusta ligeramente cada antildeo para
que refleje la antiguumledad del preacutestamo el costo actual del
dinero de la hipoteca etc
GenaroVi
bull Los bonos protegidos contra la inflacioacuten (emitidos por
el gobierno de Estados Unidos y otras agencias)
La tasa de dividendos que paga el bono permanece
constante a lo largo de su periodo de vida sin embargo a
la cantidad global que se debe al propietario del bono
cuando alcanza su madurez se le aplica un ajuste
ascendente de acuerdo con el iacutendice de inflacioacuten del
iacutendice de precios al consumidor (IPC) Esto significa que
la tasa anual de rendimiento se incrementaraacute cada antildeo de
acuerdo con la inflacioacuten observada
GenaroVi
Tasas De Intereacutes Efectivas Para
Capitalizacioacuten Continua
A medida que el periodo de capitalizacioacuten disminuye el
valor de m nuacutemero de periodos de capitalizacioacuten por
periodo de intereacutes aumenta
Cuando el intereacutes se capitaliza en forma continua m se
acerca a infinito y la foacutermula de tasa de intereacutes efectiva en
la ecuacioacuten puede escribirse de una nueva forma
definicioacuten de la base del logaritmo natural
NancyLu
A medida que m se acerca a infinito el liacutemite de la formula
de las tasa de intereacutes efectiva se encuentra utilizando
rm = lh lo que hace m =hr
Ecuacioacuten que se utiliza para calcular la tasa de intereacutes
efectiva continua
NancyLu
bull Ejemplo
a) Para una tasa de intereacutes del 18 anual compuesto en forma
continua calcule la tasa de intereacutes efectiva anual y mensual
b) Sin un inversionista exige un retorno efectivo de por lo
menos el 15 sobre su dinero iquestCuaacutel es la tasa miacutenima anual
nominal aceptable si tiene lugar una capitalizacioacuten continua
Solucioacuten
a) La tasa de intereacutes mensual r es =1812 = 15 mensual La tasa
efectiva mensual es
En forma similar a la tasa efectiva anual utilizando r = 018 anual
es
NancyLu
b) En este problema es preciso resolver la ecuacioacuten de la
tasa de intereacutes efectiva en sentido contrario puesto que se
tiene i y se desea r por lo tanto para i=15 anual debe
resolverse para r tomando el logaritmo natural
Por consiguiente una tasa del 13976 anual compuesto
en forma continua generara una tasa de retorno efectiva
anual del 15
NancyLu
bull Ejemplo
Si se depositan $2000 cada antildeo durante 10 antildeos a una tasa de
intereses del 10 anual compare el valor presente para
capitalizacioacuten (a) anual y (b) capitalizacioacuten continua
Solucioacuten
Para capitalizacioacuten anual
P = 2000(PA1010) = 2000(61446) = $12289
(b) Para capitalizacioacuten continua
ianual = e⁰ sup1⁰ ndash 1 = 010517 (10517)
P= 2000(PA1051710)
= 2000(60104)
= $12021
NancyLu
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Comparacioacuten entre la duracioacuten del periodo de pago y del periodo de capitalizacioacuten (PP versus PC)
En los caacutelculos de equivalencia con porcentajes altos la frecuencia de los flujos de efectivo no es igual a la frecuencia de la capitalizacioacuten de los intereses
Resulta esencial que se utilice el mismo periodo para el periodo de capitalizacioacuten y el periodo de pago y en consecuencia la tasa de intereacutes se ajuste
Cuando solo existen pagos uacutenicos no hay periodo de pago PP definido en si por los flujos de efectivo La duracioacuten del PP por lo tanto queda definida por el periodo t del enunciado de la tasa de intereacutes
ErickMe
bull Ejemplo
Suponga que los flujos de efectivo ocurren cada 6 meses
(PP semestral) y que el intereacutes tiene un periodo de
capacitacioacuten trimestral (PC trimestral) Despueacutes de 3 meses
no hay flujo de efectivo ni es necesario determinar el efecto
de la composicioacuten trimestral Sin embargo en el mes 6 es
necesario considerar los intereses acumulados durante los
dos periodos de composicioacuten trimestrales anteriores
ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos con PPgePC
Cuando se trata exclusivamente de flujos de efectivo de pago uacutenico hay dos formas igualmente correctas de determinar i y n para los factores PF y FP
Meacutetodo 1
Se determina la tasa de intereacutes efectiva durante el periodo de composicioacuten PC y se iguala n al nuacutemero de periodos de composicioacuten entre P y F Las relaciones para calcular P y F son
P=F (PF i efectiva por PC nuacutemero total de periodos n)
F=P (FB i efectiva por PC nuacutemero total de periodos n)
ErickMe
bull Ejemplo
Suponga que la tarjeta de creacutedito es una tasa efectiva de
15 anual compuesto mensualmente
En este caso PC es igual a un mes
Para calcular el P o F a lo largo de un periodo de dos antildeos
se calcula la tasa mensual efectiva de 15 12= 125
Y el total de meses de 2 (12)=24 Asiacute los valores 125 y
24 se utiliza para el caacutelculo de los factores PF y FP
ErickMe
Meacutetodo 2
Se determina la tasa de intereacutes efectiva para el periodo t de la
tasa nominal y sea n igual al nuacutemero total de periodos
utilizados en el mismo periodo utilizando el mismo periodo
Las formulas P y F son las mismas que las de las ecuaciones
antes mencionadas salvo que el termino i efectiva por t se
sustituye por la tasa de intereacutes
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Series con PP ge PC
Si los flujos de efectivo son trimestrales el PP es de un trimestre
y por consiguiente se necesita una tasa de intereacutes efectiva
trimestral El valor n es el nuacutemero total de trimestres Si PP es
igual a un trimestre 5 antildeos se traducen en un valor de n de 20
trimestres Esto constituye una aplicacioacuten directa de la siguiente
directriz general
Cuando los flujos de efectivo implican una serie (por ejemplo A
G g) y el periodo de pago es igual o mayor que el periodo de
capitalizacioacuten
Se calcula la tasa de intereacutes efectiva i por periodo de pago
Se determina n como el nuacutemero total de periodos de pago
AleTzec
La siguiente tabla muestra la formulacioacuten correcta de diversas
series de flujo de efectivo y tasa de intereacutes
Observe que n siempre es igual al nuacutemero total de periodos de
pago y que i es una tasa de intereacutes efectiva que se expresa de
acuerdo con el mismo periodo que n
AleTzec
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos y series con PP lt PC
bull Ejemplos
Si un banco le cobra a una persona intereses el diacutea 15 del
mes en sus pagos de tarjeta de creacutedito y si la persona hace
el pago completo el diacutea primero iquestreduce la institucioacuten
financiera los intereses sobre la base de un pago anticipado
La respuesta comuacuten es no
Si una empresa grande hiciera pagos mensuales para cubrir
un preacutestamo bancario de $10 millones con un intereacutes
compuesto trimestral el ejecutivo de finanzas de la empresa
probablemente insistiriacutea en que el banco redujera la
cantidad de intereses basaacutendose en el pago anticipado
AleTzec
El momento de ocurrencia de las transacciones de flujo de
efectivo entre puntos de capitalizacioacuten implica la pregunta
de coacutemo manejar la capitalizacioacuten inter-perioacutedica
Fundamentalmente existen dos poliacuteticas los flujos de
efectivo entre periodos no ganan intereses o ganan un
intereacutes compuesto
AleTzec
Fin
TPA
bull Tasa Porcentual Anual
bull Tasa de Intereacutes Nominal
RPA
bull Rendimiento Porcentual Anual
bull Tasa de Intereacutes Efectiva
AlbertoCa
bull La frecuencia de los pagos o ingresos se conoce como el
periodo de pago (PP)
bull Periodo de tiempo (t) es la unidad fundamental del
tiempo de la tasa de intereacutes (la maacutes comuacuten es 1 antildeo)
bull Periodo de composicioacuten o de capitalizacioacuten (PC) es la
unidad de tiempo utilizada para determinar el efecto del
intereacutes
bull Frecuencia de composicioacuten o de capitalizacioacuten (m) es
decir el nuacutemero de veces que se lleva a cabo la
composicioacuten durante el periodo (t)
AlbertoCa
bull Por ejemplo si una compantildeiacutea depositoacute dinero
mensualmente en una cuenta que paga una tasa de intereacutes
nominal del 14 anual compuesto semestralmente el
periodo de pago seriacutea 1 mes mientras que el periodo de
capitalizacioacuten seriacutea 6 meses y la frecuencia de la
composicioacuten seriacutea de 2
AlbertoCa
bull Tasa efectiva por Periodo de Capitalizacioacuten
Se acostumbra expresar la tasa efectiva sobre la misma base
de tiempo de composicioacuten La tasa efectiva correspondiente
por PC se determina mediante la foacutermula
r por periodo de tiempom periodos de composicioacuten por t
= rm
AlbertoCa
bull Ejemplos
1Tasas de preacutestamo bancario para dos proyectos distintos de equipos de generacioacuten de electricidad Determine la tasa efectiva considerando el PC
a) 9 anual compuesto trimestralmente
b) 9 anual compuesto mensualmente
a) r = 9 anual x trimestre m= 94
tasa efectiva por PC = 225
b) r= 9 anual x mes m= 912
tasa efectiva por PC = 075
AlbertoCa
bull Tasa De Intereacutes Efectiva Anual
La deduccioacuten de una foacutermula para la tasa de intereacutes efectiva es semejante a la loacutegica que se sigue para establecer la relacioacuten del valor futuro F=P (1+i)n
El valor futuro F al final de 1 antildeo es el principal P maacutes los intereses acumulados P (i) durante el antildeo Puesto que el intereacutes se puede capitalizar varias veces durante el antildeo se reemplaza i con la tasa anual efectiva ia Ahora escribamos la foacutermula para F al final de 1 antildeo
bull F = P + Pia = P (1+ia)
SalmaVa
Tasa de intereacutes efectiva anual
ia = (1+i)m -1
Sirve para calcular la tasa de intereacutes anual efectiva para
cualquier nuacutemero de periodos de composicioacuten cuando i es
la tasa para un periodo de composicioacuten
r = tasa de intereacutes nominal anual
m = nuacutem de periodos de capitalizacioacuten x antildeo
i = tasa de intereacutes efectiva por PC
ia = tasa de intereacutes efectiva anual
SalmaVa
Ejemplo
Jacky obtuvo una nueva tarjeta de creacutedito con un banco
nacional (MBNA) con una tasa establecida de 18 anual y
un periodo de composicioacuten mensual Para un saldo de $1000
al principio del antildeo calcule la tasa anual efectiva y el adeudo
total al blanco MBNA despueacutes de un antildeo tomando en cuenta
el hecho de que no se efectuacutea ninguacuten pago durante el antildeo
Solucioacuten
Hay 12 periodos de composicioacuten por un antildeo Por lo tanto m=12
e i=1812= 15 mensual Si el saldo de $1000 no se reduce
durante el antildeo se aplica la ecuacioacuten
ia=(1+i)m ndash 1
Y enseguida la ecuacioacuten para el valor futuro
F=P+Pia= P(1+ia)
SalmaVa
ia=(1+0015)12 ndash 1= 19562 ndash 1= 019562 (195)
F= $ 1 000 (119562)= $ 1 19562
Jacki pagaraacute 19562 o $19562 maacutes los $1 000 del
saldo por la utilizacioacuten del dinero del banco durante el
antildeo $119662
SalmaVa
1 La sentildeora Jones planea colocar dinero en un
certificado de depoacutesito JUMBO que paga 18 anual
compuesto diariamente iquestQueacute tasa efectiva recibiraacute ella
a) anualmente
r= 018 y m= 365
i anual = (1 + 018365)365 - 1
= 019716 (19716)
Es decir la sentildeora Jones obtendraacute un 19716 efectivo
sobre su depoacutesito
b) semestralmente
b) r= 009 durante 6 meses y m= 182 diacuteas
i por 6 meses = 009415 (9415)
SalmaVa
bull Tasa de Intereacutes Efectivas Para Cualquier Periodo
Para entender la diferencia entre un periodo de pago (PP) y el periodo de composicioacuten podemos decir que una compantildeiacutea deposita dinero cada mes en una cuenta que da rendimientos con una tasa de intereacutes nominal de 14 anual con un periodo de composicioacuten semestral es periodo de pago es un mes mientras que el periodo de composicioacuten es de 6 meses
GenaroVi
Para evaluar aquellos flujos de efectivo que se presentan
con mayor frecuencia que la anual es decir PPlt 1 antildeo
debe utilizarse la tasa de intereacutes efectiva durante el PP La
foacutermula de la tasa de intereacutes anual efectiva se generaliza
faacutecilmente para cualquier tasa nominal
i efectivo = (1 + rm
)m -1
donde
r = tasa de intereacutes nominal por periodo de pago PP
m = nuacutem de periodos de composicioacuten por periodo de pago
(PC por PP)
GenaroVi
bull Ejemplo
Una tarjeta de creacutedito nacional tiene una tasa de intereacutes del
2 mensual sobre el saldo no pagado
a) Calcule la tasa efectiva por periodo semestral
b) Si la tasa de intereacutes se expresa como 5 por trimestre
encuentre las tasas efectivas por periodos semestrales y
anuales
Solucioacuten
a) En esta parte del ejemplo el periodo de capitalizacioacuten es
mensual Dado que se desea obtener la tasa de intereacutes
efectiva por periodo semestral la tasa nominal por 6 meses
r = 2 mensual x 6 meses por periodo semestral
r = 12 por periodo semestral
GenaroVi
por cada 6 meses = 1 + 012
6
6
minus 1
= 01262 1262
b) Para una tasa de intereacutes del 5 por trimestre el periodo
de capitalizacioacuten es trimestral Por consiguiente en un
periodo semestral m=2 y r= 10 En consecuencia
i por cada 6 meses = 1 +010
2
2
minus 1
= 02155 2155
GenaroVi
bull Tasa De Intereacutes Efectiva Que Variacutea Con El
Tiempo
Las tasas de intereacutes reales para una corporacioacuten variacutean antildeo
con antildeo dependiendo del estado financiero de la empresa
de su sector den el mercado de las economiacuteas nacional e
internacional de las fuerzas de inflacioacuten y de muchos otros
factores
GenaroVi
Ejemplos
bull Las hipotecas de bienes inmuebles financiados
mediante un intereacutes HTA (Hipoteca de Tasa Ajustable)
La tasa de hipoteca se ajusta ligeramente cada antildeo para
que refleje la antiguumledad del preacutestamo el costo actual del
dinero de la hipoteca etc
GenaroVi
bull Los bonos protegidos contra la inflacioacuten (emitidos por
el gobierno de Estados Unidos y otras agencias)
La tasa de dividendos que paga el bono permanece
constante a lo largo de su periodo de vida sin embargo a
la cantidad global que se debe al propietario del bono
cuando alcanza su madurez se le aplica un ajuste
ascendente de acuerdo con el iacutendice de inflacioacuten del
iacutendice de precios al consumidor (IPC) Esto significa que
la tasa anual de rendimiento se incrementaraacute cada antildeo de
acuerdo con la inflacioacuten observada
GenaroVi
Tasas De Intereacutes Efectivas Para
Capitalizacioacuten Continua
A medida que el periodo de capitalizacioacuten disminuye el
valor de m nuacutemero de periodos de capitalizacioacuten por
periodo de intereacutes aumenta
Cuando el intereacutes se capitaliza en forma continua m se
acerca a infinito y la foacutermula de tasa de intereacutes efectiva en
la ecuacioacuten puede escribirse de una nueva forma
definicioacuten de la base del logaritmo natural
NancyLu
A medida que m se acerca a infinito el liacutemite de la formula
de las tasa de intereacutes efectiva se encuentra utilizando
rm = lh lo que hace m =hr
Ecuacioacuten que se utiliza para calcular la tasa de intereacutes
efectiva continua
NancyLu
bull Ejemplo
a) Para una tasa de intereacutes del 18 anual compuesto en forma
continua calcule la tasa de intereacutes efectiva anual y mensual
b) Sin un inversionista exige un retorno efectivo de por lo
menos el 15 sobre su dinero iquestCuaacutel es la tasa miacutenima anual
nominal aceptable si tiene lugar una capitalizacioacuten continua
Solucioacuten
a) La tasa de intereacutes mensual r es =1812 = 15 mensual La tasa
efectiva mensual es
En forma similar a la tasa efectiva anual utilizando r = 018 anual
es
NancyLu
b) En este problema es preciso resolver la ecuacioacuten de la
tasa de intereacutes efectiva en sentido contrario puesto que se
tiene i y se desea r por lo tanto para i=15 anual debe
resolverse para r tomando el logaritmo natural
Por consiguiente una tasa del 13976 anual compuesto
en forma continua generara una tasa de retorno efectiva
anual del 15
NancyLu
bull Ejemplo
Si se depositan $2000 cada antildeo durante 10 antildeos a una tasa de
intereses del 10 anual compare el valor presente para
capitalizacioacuten (a) anual y (b) capitalizacioacuten continua
Solucioacuten
Para capitalizacioacuten anual
P = 2000(PA1010) = 2000(61446) = $12289
(b) Para capitalizacioacuten continua
ianual = e⁰ sup1⁰ ndash 1 = 010517 (10517)
P= 2000(PA1051710)
= 2000(60104)
= $12021
NancyLu
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Comparacioacuten entre la duracioacuten del periodo de pago y del periodo de capitalizacioacuten (PP versus PC)
En los caacutelculos de equivalencia con porcentajes altos la frecuencia de los flujos de efectivo no es igual a la frecuencia de la capitalizacioacuten de los intereses
Resulta esencial que se utilice el mismo periodo para el periodo de capitalizacioacuten y el periodo de pago y en consecuencia la tasa de intereacutes se ajuste
Cuando solo existen pagos uacutenicos no hay periodo de pago PP definido en si por los flujos de efectivo La duracioacuten del PP por lo tanto queda definida por el periodo t del enunciado de la tasa de intereacutes
ErickMe
bull Ejemplo
Suponga que los flujos de efectivo ocurren cada 6 meses
(PP semestral) y que el intereacutes tiene un periodo de
capacitacioacuten trimestral (PC trimestral) Despueacutes de 3 meses
no hay flujo de efectivo ni es necesario determinar el efecto
de la composicioacuten trimestral Sin embargo en el mes 6 es
necesario considerar los intereses acumulados durante los
dos periodos de composicioacuten trimestrales anteriores
ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos con PPgePC
Cuando se trata exclusivamente de flujos de efectivo de pago uacutenico hay dos formas igualmente correctas de determinar i y n para los factores PF y FP
Meacutetodo 1
Se determina la tasa de intereacutes efectiva durante el periodo de composicioacuten PC y se iguala n al nuacutemero de periodos de composicioacuten entre P y F Las relaciones para calcular P y F son
P=F (PF i efectiva por PC nuacutemero total de periodos n)
F=P (FB i efectiva por PC nuacutemero total de periodos n)
ErickMe
bull Ejemplo
Suponga que la tarjeta de creacutedito es una tasa efectiva de
15 anual compuesto mensualmente
En este caso PC es igual a un mes
Para calcular el P o F a lo largo de un periodo de dos antildeos
se calcula la tasa mensual efectiva de 15 12= 125
Y el total de meses de 2 (12)=24 Asiacute los valores 125 y
24 se utiliza para el caacutelculo de los factores PF y FP
ErickMe
Meacutetodo 2
Se determina la tasa de intereacutes efectiva para el periodo t de la
tasa nominal y sea n igual al nuacutemero total de periodos
utilizados en el mismo periodo utilizando el mismo periodo
Las formulas P y F son las mismas que las de las ecuaciones
antes mencionadas salvo que el termino i efectiva por t se
sustituye por la tasa de intereacutes
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Series con PP ge PC
Si los flujos de efectivo son trimestrales el PP es de un trimestre
y por consiguiente se necesita una tasa de intereacutes efectiva
trimestral El valor n es el nuacutemero total de trimestres Si PP es
igual a un trimestre 5 antildeos se traducen en un valor de n de 20
trimestres Esto constituye una aplicacioacuten directa de la siguiente
directriz general
Cuando los flujos de efectivo implican una serie (por ejemplo A
G g) y el periodo de pago es igual o mayor que el periodo de
capitalizacioacuten
Se calcula la tasa de intereacutes efectiva i por periodo de pago
Se determina n como el nuacutemero total de periodos de pago
AleTzec
La siguiente tabla muestra la formulacioacuten correcta de diversas
series de flujo de efectivo y tasa de intereacutes
Observe que n siempre es igual al nuacutemero total de periodos de
pago y que i es una tasa de intereacutes efectiva que se expresa de
acuerdo con el mismo periodo que n
AleTzec
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos y series con PP lt PC
bull Ejemplos
Si un banco le cobra a una persona intereses el diacutea 15 del
mes en sus pagos de tarjeta de creacutedito y si la persona hace
el pago completo el diacutea primero iquestreduce la institucioacuten
financiera los intereses sobre la base de un pago anticipado
La respuesta comuacuten es no
Si una empresa grande hiciera pagos mensuales para cubrir
un preacutestamo bancario de $10 millones con un intereacutes
compuesto trimestral el ejecutivo de finanzas de la empresa
probablemente insistiriacutea en que el banco redujera la
cantidad de intereses basaacutendose en el pago anticipado
AleTzec
El momento de ocurrencia de las transacciones de flujo de
efectivo entre puntos de capitalizacioacuten implica la pregunta
de coacutemo manejar la capitalizacioacuten inter-perioacutedica
Fundamentalmente existen dos poliacuteticas los flujos de
efectivo entre periodos no ganan intereses o ganan un
intereacutes compuesto
AleTzec
Fin
bull La frecuencia de los pagos o ingresos se conoce como el
periodo de pago (PP)
bull Periodo de tiempo (t) es la unidad fundamental del
tiempo de la tasa de intereacutes (la maacutes comuacuten es 1 antildeo)
bull Periodo de composicioacuten o de capitalizacioacuten (PC) es la
unidad de tiempo utilizada para determinar el efecto del
intereacutes
bull Frecuencia de composicioacuten o de capitalizacioacuten (m) es
decir el nuacutemero de veces que se lleva a cabo la
composicioacuten durante el periodo (t)
AlbertoCa
bull Por ejemplo si una compantildeiacutea depositoacute dinero
mensualmente en una cuenta que paga una tasa de intereacutes
nominal del 14 anual compuesto semestralmente el
periodo de pago seriacutea 1 mes mientras que el periodo de
capitalizacioacuten seriacutea 6 meses y la frecuencia de la
composicioacuten seriacutea de 2
AlbertoCa
bull Tasa efectiva por Periodo de Capitalizacioacuten
Se acostumbra expresar la tasa efectiva sobre la misma base
de tiempo de composicioacuten La tasa efectiva correspondiente
por PC se determina mediante la foacutermula
r por periodo de tiempom periodos de composicioacuten por t
= rm
AlbertoCa
bull Ejemplos
1Tasas de preacutestamo bancario para dos proyectos distintos de equipos de generacioacuten de electricidad Determine la tasa efectiva considerando el PC
a) 9 anual compuesto trimestralmente
b) 9 anual compuesto mensualmente
a) r = 9 anual x trimestre m= 94
tasa efectiva por PC = 225
b) r= 9 anual x mes m= 912
tasa efectiva por PC = 075
AlbertoCa
bull Tasa De Intereacutes Efectiva Anual
La deduccioacuten de una foacutermula para la tasa de intereacutes efectiva es semejante a la loacutegica que se sigue para establecer la relacioacuten del valor futuro F=P (1+i)n
El valor futuro F al final de 1 antildeo es el principal P maacutes los intereses acumulados P (i) durante el antildeo Puesto que el intereacutes se puede capitalizar varias veces durante el antildeo se reemplaza i con la tasa anual efectiva ia Ahora escribamos la foacutermula para F al final de 1 antildeo
bull F = P + Pia = P (1+ia)
SalmaVa
Tasa de intereacutes efectiva anual
ia = (1+i)m -1
Sirve para calcular la tasa de intereacutes anual efectiva para
cualquier nuacutemero de periodos de composicioacuten cuando i es
la tasa para un periodo de composicioacuten
r = tasa de intereacutes nominal anual
m = nuacutem de periodos de capitalizacioacuten x antildeo
i = tasa de intereacutes efectiva por PC
ia = tasa de intereacutes efectiva anual
SalmaVa
Ejemplo
Jacky obtuvo una nueva tarjeta de creacutedito con un banco
nacional (MBNA) con una tasa establecida de 18 anual y
un periodo de composicioacuten mensual Para un saldo de $1000
al principio del antildeo calcule la tasa anual efectiva y el adeudo
total al blanco MBNA despueacutes de un antildeo tomando en cuenta
el hecho de que no se efectuacutea ninguacuten pago durante el antildeo
Solucioacuten
Hay 12 periodos de composicioacuten por un antildeo Por lo tanto m=12
e i=1812= 15 mensual Si el saldo de $1000 no se reduce
durante el antildeo se aplica la ecuacioacuten
ia=(1+i)m ndash 1
Y enseguida la ecuacioacuten para el valor futuro
F=P+Pia= P(1+ia)
SalmaVa
ia=(1+0015)12 ndash 1= 19562 ndash 1= 019562 (195)
F= $ 1 000 (119562)= $ 1 19562
Jacki pagaraacute 19562 o $19562 maacutes los $1 000 del
saldo por la utilizacioacuten del dinero del banco durante el
antildeo $119662
SalmaVa
1 La sentildeora Jones planea colocar dinero en un
certificado de depoacutesito JUMBO que paga 18 anual
compuesto diariamente iquestQueacute tasa efectiva recibiraacute ella
a) anualmente
r= 018 y m= 365
i anual = (1 + 018365)365 - 1
= 019716 (19716)
Es decir la sentildeora Jones obtendraacute un 19716 efectivo
sobre su depoacutesito
b) semestralmente
b) r= 009 durante 6 meses y m= 182 diacuteas
i por 6 meses = 009415 (9415)
SalmaVa
bull Tasa de Intereacutes Efectivas Para Cualquier Periodo
Para entender la diferencia entre un periodo de pago (PP) y el periodo de composicioacuten podemos decir que una compantildeiacutea deposita dinero cada mes en una cuenta que da rendimientos con una tasa de intereacutes nominal de 14 anual con un periodo de composicioacuten semestral es periodo de pago es un mes mientras que el periodo de composicioacuten es de 6 meses
GenaroVi
Para evaluar aquellos flujos de efectivo que se presentan
con mayor frecuencia que la anual es decir PPlt 1 antildeo
debe utilizarse la tasa de intereacutes efectiva durante el PP La
foacutermula de la tasa de intereacutes anual efectiva se generaliza
faacutecilmente para cualquier tasa nominal
i efectivo = (1 + rm
)m -1
donde
r = tasa de intereacutes nominal por periodo de pago PP
m = nuacutem de periodos de composicioacuten por periodo de pago
(PC por PP)
GenaroVi
bull Ejemplo
Una tarjeta de creacutedito nacional tiene una tasa de intereacutes del
2 mensual sobre el saldo no pagado
a) Calcule la tasa efectiva por periodo semestral
b) Si la tasa de intereacutes se expresa como 5 por trimestre
encuentre las tasas efectivas por periodos semestrales y
anuales
Solucioacuten
a) En esta parte del ejemplo el periodo de capitalizacioacuten es
mensual Dado que se desea obtener la tasa de intereacutes
efectiva por periodo semestral la tasa nominal por 6 meses
r = 2 mensual x 6 meses por periodo semestral
r = 12 por periodo semestral
GenaroVi
por cada 6 meses = 1 + 012
6
6
minus 1
= 01262 1262
b) Para una tasa de intereacutes del 5 por trimestre el periodo
de capitalizacioacuten es trimestral Por consiguiente en un
periodo semestral m=2 y r= 10 En consecuencia
i por cada 6 meses = 1 +010
2
2
minus 1
= 02155 2155
GenaroVi
bull Tasa De Intereacutes Efectiva Que Variacutea Con El
Tiempo
Las tasas de intereacutes reales para una corporacioacuten variacutean antildeo
con antildeo dependiendo del estado financiero de la empresa
de su sector den el mercado de las economiacuteas nacional e
internacional de las fuerzas de inflacioacuten y de muchos otros
factores
GenaroVi
Ejemplos
bull Las hipotecas de bienes inmuebles financiados
mediante un intereacutes HTA (Hipoteca de Tasa Ajustable)
La tasa de hipoteca se ajusta ligeramente cada antildeo para
que refleje la antiguumledad del preacutestamo el costo actual del
dinero de la hipoteca etc
GenaroVi
bull Los bonos protegidos contra la inflacioacuten (emitidos por
el gobierno de Estados Unidos y otras agencias)
La tasa de dividendos que paga el bono permanece
constante a lo largo de su periodo de vida sin embargo a
la cantidad global que se debe al propietario del bono
cuando alcanza su madurez se le aplica un ajuste
ascendente de acuerdo con el iacutendice de inflacioacuten del
iacutendice de precios al consumidor (IPC) Esto significa que
la tasa anual de rendimiento se incrementaraacute cada antildeo de
acuerdo con la inflacioacuten observada
GenaroVi
Tasas De Intereacutes Efectivas Para
Capitalizacioacuten Continua
A medida que el periodo de capitalizacioacuten disminuye el
valor de m nuacutemero de periodos de capitalizacioacuten por
periodo de intereacutes aumenta
Cuando el intereacutes se capitaliza en forma continua m se
acerca a infinito y la foacutermula de tasa de intereacutes efectiva en
la ecuacioacuten puede escribirse de una nueva forma
definicioacuten de la base del logaritmo natural
NancyLu
A medida que m se acerca a infinito el liacutemite de la formula
de las tasa de intereacutes efectiva se encuentra utilizando
rm = lh lo que hace m =hr
Ecuacioacuten que se utiliza para calcular la tasa de intereacutes
efectiva continua
NancyLu
bull Ejemplo
a) Para una tasa de intereacutes del 18 anual compuesto en forma
continua calcule la tasa de intereacutes efectiva anual y mensual
b) Sin un inversionista exige un retorno efectivo de por lo
menos el 15 sobre su dinero iquestCuaacutel es la tasa miacutenima anual
nominal aceptable si tiene lugar una capitalizacioacuten continua
Solucioacuten
a) La tasa de intereacutes mensual r es =1812 = 15 mensual La tasa
efectiva mensual es
En forma similar a la tasa efectiva anual utilizando r = 018 anual
es
NancyLu
b) En este problema es preciso resolver la ecuacioacuten de la
tasa de intereacutes efectiva en sentido contrario puesto que se
tiene i y se desea r por lo tanto para i=15 anual debe
resolverse para r tomando el logaritmo natural
Por consiguiente una tasa del 13976 anual compuesto
en forma continua generara una tasa de retorno efectiva
anual del 15
NancyLu
bull Ejemplo
Si se depositan $2000 cada antildeo durante 10 antildeos a una tasa de
intereses del 10 anual compare el valor presente para
capitalizacioacuten (a) anual y (b) capitalizacioacuten continua
Solucioacuten
Para capitalizacioacuten anual
P = 2000(PA1010) = 2000(61446) = $12289
(b) Para capitalizacioacuten continua
ianual = e⁰ sup1⁰ ndash 1 = 010517 (10517)
P= 2000(PA1051710)
= 2000(60104)
= $12021
NancyLu
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Comparacioacuten entre la duracioacuten del periodo de pago y del periodo de capitalizacioacuten (PP versus PC)
En los caacutelculos de equivalencia con porcentajes altos la frecuencia de los flujos de efectivo no es igual a la frecuencia de la capitalizacioacuten de los intereses
Resulta esencial que se utilice el mismo periodo para el periodo de capitalizacioacuten y el periodo de pago y en consecuencia la tasa de intereacutes se ajuste
Cuando solo existen pagos uacutenicos no hay periodo de pago PP definido en si por los flujos de efectivo La duracioacuten del PP por lo tanto queda definida por el periodo t del enunciado de la tasa de intereacutes
ErickMe
bull Ejemplo
Suponga que los flujos de efectivo ocurren cada 6 meses
(PP semestral) y que el intereacutes tiene un periodo de
capacitacioacuten trimestral (PC trimestral) Despueacutes de 3 meses
no hay flujo de efectivo ni es necesario determinar el efecto
de la composicioacuten trimestral Sin embargo en el mes 6 es
necesario considerar los intereses acumulados durante los
dos periodos de composicioacuten trimestrales anteriores
ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos con PPgePC
Cuando se trata exclusivamente de flujos de efectivo de pago uacutenico hay dos formas igualmente correctas de determinar i y n para los factores PF y FP
Meacutetodo 1
Se determina la tasa de intereacutes efectiva durante el periodo de composicioacuten PC y se iguala n al nuacutemero de periodos de composicioacuten entre P y F Las relaciones para calcular P y F son
P=F (PF i efectiva por PC nuacutemero total de periodos n)
F=P (FB i efectiva por PC nuacutemero total de periodos n)
ErickMe
bull Ejemplo
Suponga que la tarjeta de creacutedito es una tasa efectiva de
15 anual compuesto mensualmente
En este caso PC es igual a un mes
Para calcular el P o F a lo largo de un periodo de dos antildeos
se calcula la tasa mensual efectiva de 15 12= 125
Y el total de meses de 2 (12)=24 Asiacute los valores 125 y
24 se utiliza para el caacutelculo de los factores PF y FP
ErickMe
Meacutetodo 2
Se determina la tasa de intereacutes efectiva para el periodo t de la
tasa nominal y sea n igual al nuacutemero total de periodos
utilizados en el mismo periodo utilizando el mismo periodo
Las formulas P y F son las mismas que las de las ecuaciones
antes mencionadas salvo que el termino i efectiva por t se
sustituye por la tasa de intereacutes
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Series con PP ge PC
Si los flujos de efectivo son trimestrales el PP es de un trimestre
y por consiguiente se necesita una tasa de intereacutes efectiva
trimestral El valor n es el nuacutemero total de trimestres Si PP es
igual a un trimestre 5 antildeos se traducen en un valor de n de 20
trimestres Esto constituye una aplicacioacuten directa de la siguiente
directriz general
Cuando los flujos de efectivo implican una serie (por ejemplo A
G g) y el periodo de pago es igual o mayor que el periodo de
capitalizacioacuten
Se calcula la tasa de intereacutes efectiva i por periodo de pago
Se determina n como el nuacutemero total de periodos de pago
AleTzec
La siguiente tabla muestra la formulacioacuten correcta de diversas
series de flujo de efectivo y tasa de intereacutes
Observe que n siempre es igual al nuacutemero total de periodos de
pago y que i es una tasa de intereacutes efectiva que se expresa de
acuerdo con el mismo periodo que n
AleTzec
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos y series con PP lt PC
bull Ejemplos
Si un banco le cobra a una persona intereses el diacutea 15 del
mes en sus pagos de tarjeta de creacutedito y si la persona hace
el pago completo el diacutea primero iquestreduce la institucioacuten
financiera los intereses sobre la base de un pago anticipado
La respuesta comuacuten es no
Si una empresa grande hiciera pagos mensuales para cubrir
un preacutestamo bancario de $10 millones con un intereacutes
compuesto trimestral el ejecutivo de finanzas de la empresa
probablemente insistiriacutea en que el banco redujera la
cantidad de intereses basaacutendose en el pago anticipado
AleTzec
El momento de ocurrencia de las transacciones de flujo de
efectivo entre puntos de capitalizacioacuten implica la pregunta
de coacutemo manejar la capitalizacioacuten inter-perioacutedica
Fundamentalmente existen dos poliacuteticas los flujos de
efectivo entre periodos no ganan intereses o ganan un
intereacutes compuesto
AleTzec
Fin
bull Por ejemplo si una compantildeiacutea depositoacute dinero
mensualmente en una cuenta que paga una tasa de intereacutes
nominal del 14 anual compuesto semestralmente el
periodo de pago seriacutea 1 mes mientras que el periodo de
capitalizacioacuten seriacutea 6 meses y la frecuencia de la
composicioacuten seriacutea de 2
AlbertoCa
bull Tasa efectiva por Periodo de Capitalizacioacuten
Se acostumbra expresar la tasa efectiva sobre la misma base
de tiempo de composicioacuten La tasa efectiva correspondiente
por PC se determina mediante la foacutermula
r por periodo de tiempom periodos de composicioacuten por t
= rm
AlbertoCa
bull Ejemplos
1Tasas de preacutestamo bancario para dos proyectos distintos de equipos de generacioacuten de electricidad Determine la tasa efectiva considerando el PC
a) 9 anual compuesto trimestralmente
b) 9 anual compuesto mensualmente
a) r = 9 anual x trimestre m= 94
tasa efectiva por PC = 225
b) r= 9 anual x mes m= 912
tasa efectiva por PC = 075
AlbertoCa
bull Tasa De Intereacutes Efectiva Anual
La deduccioacuten de una foacutermula para la tasa de intereacutes efectiva es semejante a la loacutegica que se sigue para establecer la relacioacuten del valor futuro F=P (1+i)n
El valor futuro F al final de 1 antildeo es el principal P maacutes los intereses acumulados P (i) durante el antildeo Puesto que el intereacutes se puede capitalizar varias veces durante el antildeo se reemplaza i con la tasa anual efectiva ia Ahora escribamos la foacutermula para F al final de 1 antildeo
bull F = P + Pia = P (1+ia)
SalmaVa
Tasa de intereacutes efectiva anual
ia = (1+i)m -1
Sirve para calcular la tasa de intereacutes anual efectiva para
cualquier nuacutemero de periodos de composicioacuten cuando i es
la tasa para un periodo de composicioacuten
r = tasa de intereacutes nominal anual
m = nuacutem de periodos de capitalizacioacuten x antildeo
i = tasa de intereacutes efectiva por PC
ia = tasa de intereacutes efectiva anual
SalmaVa
Ejemplo
Jacky obtuvo una nueva tarjeta de creacutedito con un banco
nacional (MBNA) con una tasa establecida de 18 anual y
un periodo de composicioacuten mensual Para un saldo de $1000
al principio del antildeo calcule la tasa anual efectiva y el adeudo
total al blanco MBNA despueacutes de un antildeo tomando en cuenta
el hecho de que no se efectuacutea ninguacuten pago durante el antildeo
Solucioacuten
Hay 12 periodos de composicioacuten por un antildeo Por lo tanto m=12
e i=1812= 15 mensual Si el saldo de $1000 no se reduce
durante el antildeo se aplica la ecuacioacuten
ia=(1+i)m ndash 1
Y enseguida la ecuacioacuten para el valor futuro
F=P+Pia= P(1+ia)
SalmaVa
ia=(1+0015)12 ndash 1= 19562 ndash 1= 019562 (195)
F= $ 1 000 (119562)= $ 1 19562
Jacki pagaraacute 19562 o $19562 maacutes los $1 000 del
saldo por la utilizacioacuten del dinero del banco durante el
antildeo $119662
SalmaVa
1 La sentildeora Jones planea colocar dinero en un
certificado de depoacutesito JUMBO que paga 18 anual
compuesto diariamente iquestQueacute tasa efectiva recibiraacute ella
a) anualmente
r= 018 y m= 365
i anual = (1 + 018365)365 - 1
= 019716 (19716)
Es decir la sentildeora Jones obtendraacute un 19716 efectivo
sobre su depoacutesito
b) semestralmente
b) r= 009 durante 6 meses y m= 182 diacuteas
i por 6 meses = 009415 (9415)
SalmaVa
bull Tasa de Intereacutes Efectivas Para Cualquier Periodo
Para entender la diferencia entre un periodo de pago (PP) y el periodo de composicioacuten podemos decir que una compantildeiacutea deposita dinero cada mes en una cuenta que da rendimientos con una tasa de intereacutes nominal de 14 anual con un periodo de composicioacuten semestral es periodo de pago es un mes mientras que el periodo de composicioacuten es de 6 meses
GenaroVi
Para evaluar aquellos flujos de efectivo que se presentan
con mayor frecuencia que la anual es decir PPlt 1 antildeo
debe utilizarse la tasa de intereacutes efectiva durante el PP La
foacutermula de la tasa de intereacutes anual efectiva se generaliza
faacutecilmente para cualquier tasa nominal
i efectivo = (1 + rm
)m -1
donde
r = tasa de intereacutes nominal por periodo de pago PP
m = nuacutem de periodos de composicioacuten por periodo de pago
(PC por PP)
GenaroVi
bull Ejemplo
Una tarjeta de creacutedito nacional tiene una tasa de intereacutes del
2 mensual sobre el saldo no pagado
a) Calcule la tasa efectiva por periodo semestral
b) Si la tasa de intereacutes se expresa como 5 por trimestre
encuentre las tasas efectivas por periodos semestrales y
anuales
Solucioacuten
a) En esta parte del ejemplo el periodo de capitalizacioacuten es
mensual Dado que se desea obtener la tasa de intereacutes
efectiva por periodo semestral la tasa nominal por 6 meses
r = 2 mensual x 6 meses por periodo semestral
r = 12 por periodo semestral
GenaroVi
por cada 6 meses = 1 + 012
6
6
minus 1
= 01262 1262
b) Para una tasa de intereacutes del 5 por trimestre el periodo
de capitalizacioacuten es trimestral Por consiguiente en un
periodo semestral m=2 y r= 10 En consecuencia
i por cada 6 meses = 1 +010
2
2
minus 1
= 02155 2155
GenaroVi
bull Tasa De Intereacutes Efectiva Que Variacutea Con El
Tiempo
Las tasas de intereacutes reales para una corporacioacuten variacutean antildeo
con antildeo dependiendo del estado financiero de la empresa
de su sector den el mercado de las economiacuteas nacional e
internacional de las fuerzas de inflacioacuten y de muchos otros
factores
GenaroVi
Ejemplos
bull Las hipotecas de bienes inmuebles financiados
mediante un intereacutes HTA (Hipoteca de Tasa Ajustable)
La tasa de hipoteca se ajusta ligeramente cada antildeo para
que refleje la antiguumledad del preacutestamo el costo actual del
dinero de la hipoteca etc
GenaroVi
bull Los bonos protegidos contra la inflacioacuten (emitidos por
el gobierno de Estados Unidos y otras agencias)
La tasa de dividendos que paga el bono permanece
constante a lo largo de su periodo de vida sin embargo a
la cantidad global que se debe al propietario del bono
cuando alcanza su madurez se le aplica un ajuste
ascendente de acuerdo con el iacutendice de inflacioacuten del
iacutendice de precios al consumidor (IPC) Esto significa que
la tasa anual de rendimiento se incrementaraacute cada antildeo de
acuerdo con la inflacioacuten observada
GenaroVi
Tasas De Intereacutes Efectivas Para
Capitalizacioacuten Continua
A medida que el periodo de capitalizacioacuten disminuye el
valor de m nuacutemero de periodos de capitalizacioacuten por
periodo de intereacutes aumenta
Cuando el intereacutes se capitaliza en forma continua m se
acerca a infinito y la foacutermula de tasa de intereacutes efectiva en
la ecuacioacuten puede escribirse de una nueva forma
definicioacuten de la base del logaritmo natural
NancyLu
A medida que m se acerca a infinito el liacutemite de la formula
de las tasa de intereacutes efectiva se encuentra utilizando
rm = lh lo que hace m =hr
Ecuacioacuten que se utiliza para calcular la tasa de intereacutes
efectiva continua
NancyLu
bull Ejemplo
a) Para una tasa de intereacutes del 18 anual compuesto en forma
continua calcule la tasa de intereacutes efectiva anual y mensual
b) Sin un inversionista exige un retorno efectivo de por lo
menos el 15 sobre su dinero iquestCuaacutel es la tasa miacutenima anual
nominal aceptable si tiene lugar una capitalizacioacuten continua
Solucioacuten
a) La tasa de intereacutes mensual r es =1812 = 15 mensual La tasa
efectiva mensual es
En forma similar a la tasa efectiva anual utilizando r = 018 anual
es
NancyLu
b) En este problema es preciso resolver la ecuacioacuten de la
tasa de intereacutes efectiva en sentido contrario puesto que se
tiene i y se desea r por lo tanto para i=15 anual debe
resolverse para r tomando el logaritmo natural
Por consiguiente una tasa del 13976 anual compuesto
en forma continua generara una tasa de retorno efectiva
anual del 15
NancyLu
bull Ejemplo
Si se depositan $2000 cada antildeo durante 10 antildeos a una tasa de
intereses del 10 anual compare el valor presente para
capitalizacioacuten (a) anual y (b) capitalizacioacuten continua
Solucioacuten
Para capitalizacioacuten anual
P = 2000(PA1010) = 2000(61446) = $12289
(b) Para capitalizacioacuten continua
ianual = e⁰ sup1⁰ ndash 1 = 010517 (10517)
P= 2000(PA1051710)
= 2000(60104)
= $12021
NancyLu
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Comparacioacuten entre la duracioacuten del periodo de pago y del periodo de capitalizacioacuten (PP versus PC)
En los caacutelculos de equivalencia con porcentajes altos la frecuencia de los flujos de efectivo no es igual a la frecuencia de la capitalizacioacuten de los intereses
Resulta esencial que se utilice el mismo periodo para el periodo de capitalizacioacuten y el periodo de pago y en consecuencia la tasa de intereacutes se ajuste
Cuando solo existen pagos uacutenicos no hay periodo de pago PP definido en si por los flujos de efectivo La duracioacuten del PP por lo tanto queda definida por el periodo t del enunciado de la tasa de intereacutes
ErickMe
bull Ejemplo
Suponga que los flujos de efectivo ocurren cada 6 meses
(PP semestral) y que el intereacutes tiene un periodo de
capacitacioacuten trimestral (PC trimestral) Despueacutes de 3 meses
no hay flujo de efectivo ni es necesario determinar el efecto
de la composicioacuten trimestral Sin embargo en el mes 6 es
necesario considerar los intereses acumulados durante los
dos periodos de composicioacuten trimestrales anteriores
ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos con PPgePC
Cuando se trata exclusivamente de flujos de efectivo de pago uacutenico hay dos formas igualmente correctas de determinar i y n para los factores PF y FP
Meacutetodo 1
Se determina la tasa de intereacutes efectiva durante el periodo de composicioacuten PC y se iguala n al nuacutemero de periodos de composicioacuten entre P y F Las relaciones para calcular P y F son
P=F (PF i efectiva por PC nuacutemero total de periodos n)
F=P (FB i efectiva por PC nuacutemero total de periodos n)
ErickMe
bull Ejemplo
Suponga que la tarjeta de creacutedito es una tasa efectiva de
15 anual compuesto mensualmente
En este caso PC es igual a un mes
Para calcular el P o F a lo largo de un periodo de dos antildeos
se calcula la tasa mensual efectiva de 15 12= 125
Y el total de meses de 2 (12)=24 Asiacute los valores 125 y
24 se utiliza para el caacutelculo de los factores PF y FP
ErickMe
Meacutetodo 2
Se determina la tasa de intereacutes efectiva para el periodo t de la
tasa nominal y sea n igual al nuacutemero total de periodos
utilizados en el mismo periodo utilizando el mismo periodo
Las formulas P y F son las mismas que las de las ecuaciones
antes mencionadas salvo que el termino i efectiva por t se
sustituye por la tasa de intereacutes
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Series con PP ge PC
Si los flujos de efectivo son trimestrales el PP es de un trimestre
y por consiguiente se necesita una tasa de intereacutes efectiva
trimestral El valor n es el nuacutemero total de trimestres Si PP es
igual a un trimestre 5 antildeos se traducen en un valor de n de 20
trimestres Esto constituye una aplicacioacuten directa de la siguiente
directriz general
Cuando los flujos de efectivo implican una serie (por ejemplo A
G g) y el periodo de pago es igual o mayor que el periodo de
capitalizacioacuten
Se calcula la tasa de intereacutes efectiva i por periodo de pago
Se determina n como el nuacutemero total de periodos de pago
AleTzec
La siguiente tabla muestra la formulacioacuten correcta de diversas
series de flujo de efectivo y tasa de intereacutes
Observe que n siempre es igual al nuacutemero total de periodos de
pago y que i es una tasa de intereacutes efectiva que se expresa de
acuerdo con el mismo periodo que n
AleTzec
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos y series con PP lt PC
bull Ejemplos
Si un banco le cobra a una persona intereses el diacutea 15 del
mes en sus pagos de tarjeta de creacutedito y si la persona hace
el pago completo el diacutea primero iquestreduce la institucioacuten
financiera los intereses sobre la base de un pago anticipado
La respuesta comuacuten es no
Si una empresa grande hiciera pagos mensuales para cubrir
un preacutestamo bancario de $10 millones con un intereacutes
compuesto trimestral el ejecutivo de finanzas de la empresa
probablemente insistiriacutea en que el banco redujera la
cantidad de intereses basaacutendose en el pago anticipado
AleTzec
El momento de ocurrencia de las transacciones de flujo de
efectivo entre puntos de capitalizacioacuten implica la pregunta
de coacutemo manejar la capitalizacioacuten inter-perioacutedica
Fundamentalmente existen dos poliacuteticas los flujos de
efectivo entre periodos no ganan intereses o ganan un
intereacutes compuesto
AleTzec
Fin
bull Tasa efectiva por Periodo de Capitalizacioacuten
Se acostumbra expresar la tasa efectiva sobre la misma base
de tiempo de composicioacuten La tasa efectiva correspondiente
por PC se determina mediante la foacutermula
r por periodo de tiempom periodos de composicioacuten por t
= rm
AlbertoCa
bull Ejemplos
1Tasas de preacutestamo bancario para dos proyectos distintos de equipos de generacioacuten de electricidad Determine la tasa efectiva considerando el PC
a) 9 anual compuesto trimestralmente
b) 9 anual compuesto mensualmente
a) r = 9 anual x trimestre m= 94
tasa efectiva por PC = 225
b) r= 9 anual x mes m= 912
tasa efectiva por PC = 075
AlbertoCa
bull Tasa De Intereacutes Efectiva Anual
La deduccioacuten de una foacutermula para la tasa de intereacutes efectiva es semejante a la loacutegica que se sigue para establecer la relacioacuten del valor futuro F=P (1+i)n
El valor futuro F al final de 1 antildeo es el principal P maacutes los intereses acumulados P (i) durante el antildeo Puesto que el intereacutes se puede capitalizar varias veces durante el antildeo se reemplaza i con la tasa anual efectiva ia Ahora escribamos la foacutermula para F al final de 1 antildeo
bull F = P + Pia = P (1+ia)
SalmaVa
Tasa de intereacutes efectiva anual
ia = (1+i)m -1
Sirve para calcular la tasa de intereacutes anual efectiva para
cualquier nuacutemero de periodos de composicioacuten cuando i es
la tasa para un periodo de composicioacuten
r = tasa de intereacutes nominal anual
m = nuacutem de periodos de capitalizacioacuten x antildeo
i = tasa de intereacutes efectiva por PC
ia = tasa de intereacutes efectiva anual
SalmaVa
Ejemplo
Jacky obtuvo una nueva tarjeta de creacutedito con un banco
nacional (MBNA) con una tasa establecida de 18 anual y
un periodo de composicioacuten mensual Para un saldo de $1000
al principio del antildeo calcule la tasa anual efectiva y el adeudo
total al blanco MBNA despueacutes de un antildeo tomando en cuenta
el hecho de que no se efectuacutea ninguacuten pago durante el antildeo
Solucioacuten
Hay 12 periodos de composicioacuten por un antildeo Por lo tanto m=12
e i=1812= 15 mensual Si el saldo de $1000 no se reduce
durante el antildeo se aplica la ecuacioacuten
ia=(1+i)m ndash 1
Y enseguida la ecuacioacuten para el valor futuro
F=P+Pia= P(1+ia)
SalmaVa
ia=(1+0015)12 ndash 1= 19562 ndash 1= 019562 (195)
F= $ 1 000 (119562)= $ 1 19562
Jacki pagaraacute 19562 o $19562 maacutes los $1 000 del
saldo por la utilizacioacuten del dinero del banco durante el
antildeo $119662
SalmaVa
1 La sentildeora Jones planea colocar dinero en un
certificado de depoacutesito JUMBO que paga 18 anual
compuesto diariamente iquestQueacute tasa efectiva recibiraacute ella
a) anualmente
r= 018 y m= 365
i anual = (1 + 018365)365 - 1
= 019716 (19716)
Es decir la sentildeora Jones obtendraacute un 19716 efectivo
sobre su depoacutesito
b) semestralmente
b) r= 009 durante 6 meses y m= 182 diacuteas
i por 6 meses = 009415 (9415)
SalmaVa
bull Tasa de Intereacutes Efectivas Para Cualquier Periodo
Para entender la diferencia entre un periodo de pago (PP) y el periodo de composicioacuten podemos decir que una compantildeiacutea deposita dinero cada mes en una cuenta que da rendimientos con una tasa de intereacutes nominal de 14 anual con un periodo de composicioacuten semestral es periodo de pago es un mes mientras que el periodo de composicioacuten es de 6 meses
GenaroVi
Para evaluar aquellos flujos de efectivo que se presentan
con mayor frecuencia que la anual es decir PPlt 1 antildeo
debe utilizarse la tasa de intereacutes efectiva durante el PP La
foacutermula de la tasa de intereacutes anual efectiva se generaliza
faacutecilmente para cualquier tasa nominal
i efectivo = (1 + rm
)m -1
donde
r = tasa de intereacutes nominal por periodo de pago PP
m = nuacutem de periodos de composicioacuten por periodo de pago
(PC por PP)
GenaroVi
bull Ejemplo
Una tarjeta de creacutedito nacional tiene una tasa de intereacutes del
2 mensual sobre el saldo no pagado
a) Calcule la tasa efectiva por periodo semestral
b) Si la tasa de intereacutes se expresa como 5 por trimestre
encuentre las tasas efectivas por periodos semestrales y
anuales
Solucioacuten
a) En esta parte del ejemplo el periodo de capitalizacioacuten es
mensual Dado que se desea obtener la tasa de intereacutes
efectiva por periodo semestral la tasa nominal por 6 meses
r = 2 mensual x 6 meses por periodo semestral
r = 12 por periodo semestral
GenaroVi
por cada 6 meses = 1 + 012
6
6
minus 1
= 01262 1262
b) Para una tasa de intereacutes del 5 por trimestre el periodo
de capitalizacioacuten es trimestral Por consiguiente en un
periodo semestral m=2 y r= 10 En consecuencia
i por cada 6 meses = 1 +010
2
2
minus 1
= 02155 2155
GenaroVi
bull Tasa De Intereacutes Efectiva Que Variacutea Con El
Tiempo
Las tasas de intereacutes reales para una corporacioacuten variacutean antildeo
con antildeo dependiendo del estado financiero de la empresa
de su sector den el mercado de las economiacuteas nacional e
internacional de las fuerzas de inflacioacuten y de muchos otros
factores
GenaroVi
Ejemplos
bull Las hipotecas de bienes inmuebles financiados
mediante un intereacutes HTA (Hipoteca de Tasa Ajustable)
La tasa de hipoteca se ajusta ligeramente cada antildeo para
que refleje la antiguumledad del preacutestamo el costo actual del
dinero de la hipoteca etc
GenaroVi
bull Los bonos protegidos contra la inflacioacuten (emitidos por
el gobierno de Estados Unidos y otras agencias)
La tasa de dividendos que paga el bono permanece
constante a lo largo de su periodo de vida sin embargo a
la cantidad global que se debe al propietario del bono
cuando alcanza su madurez se le aplica un ajuste
ascendente de acuerdo con el iacutendice de inflacioacuten del
iacutendice de precios al consumidor (IPC) Esto significa que
la tasa anual de rendimiento se incrementaraacute cada antildeo de
acuerdo con la inflacioacuten observada
GenaroVi
Tasas De Intereacutes Efectivas Para
Capitalizacioacuten Continua
A medida que el periodo de capitalizacioacuten disminuye el
valor de m nuacutemero de periodos de capitalizacioacuten por
periodo de intereacutes aumenta
Cuando el intereacutes se capitaliza en forma continua m se
acerca a infinito y la foacutermula de tasa de intereacutes efectiva en
la ecuacioacuten puede escribirse de una nueva forma
definicioacuten de la base del logaritmo natural
NancyLu
A medida que m se acerca a infinito el liacutemite de la formula
de las tasa de intereacutes efectiva se encuentra utilizando
rm = lh lo que hace m =hr
Ecuacioacuten que se utiliza para calcular la tasa de intereacutes
efectiva continua
NancyLu
bull Ejemplo
a) Para una tasa de intereacutes del 18 anual compuesto en forma
continua calcule la tasa de intereacutes efectiva anual y mensual
b) Sin un inversionista exige un retorno efectivo de por lo
menos el 15 sobre su dinero iquestCuaacutel es la tasa miacutenima anual
nominal aceptable si tiene lugar una capitalizacioacuten continua
Solucioacuten
a) La tasa de intereacutes mensual r es =1812 = 15 mensual La tasa
efectiva mensual es
En forma similar a la tasa efectiva anual utilizando r = 018 anual
es
NancyLu
b) En este problema es preciso resolver la ecuacioacuten de la
tasa de intereacutes efectiva en sentido contrario puesto que se
tiene i y se desea r por lo tanto para i=15 anual debe
resolverse para r tomando el logaritmo natural
Por consiguiente una tasa del 13976 anual compuesto
en forma continua generara una tasa de retorno efectiva
anual del 15
NancyLu
bull Ejemplo
Si se depositan $2000 cada antildeo durante 10 antildeos a una tasa de
intereses del 10 anual compare el valor presente para
capitalizacioacuten (a) anual y (b) capitalizacioacuten continua
Solucioacuten
Para capitalizacioacuten anual
P = 2000(PA1010) = 2000(61446) = $12289
(b) Para capitalizacioacuten continua
ianual = e⁰ sup1⁰ ndash 1 = 010517 (10517)
P= 2000(PA1051710)
= 2000(60104)
= $12021
NancyLu
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Comparacioacuten entre la duracioacuten del periodo de pago y del periodo de capitalizacioacuten (PP versus PC)
En los caacutelculos de equivalencia con porcentajes altos la frecuencia de los flujos de efectivo no es igual a la frecuencia de la capitalizacioacuten de los intereses
Resulta esencial que se utilice el mismo periodo para el periodo de capitalizacioacuten y el periodo de pago y en consecuencia la tasa de intereacutes se ajuste
Cuando solo existen pagos uacutenicos no hay periodo de pago PP definido en si por los flujos de efectivo La duracioacuten del PP por lo tanto queda definida por el periodo t del enunciado de la tasa de intereacutes
ErickMe
bull Ejemplo
Suponga que los flujos de efectivo ocurren cada 6 meses
(PP semestral) y que el intereacutes tiene un periodo de
capacitacioacuten trimestral (PC trimestral) Despueacutes de 3 meses
no hay flujo de efectivo ni es necesario determinar el efecto
de la composicioacuten trimestral Sin embargo en el mes 6 es
necesario considerar los intereses acumulados durante los
dos periodos de composicioacuten trimestrales anteriores
ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos con PPgePC
Cuando se trata exclusivamente de flujos de efectivo de pago uacutenico hay dos formas igualmente correctas de determinar i y n para los factores PF y FP
Meacutetodo 1
Se determina la tasa de intereacutes efectiva durante el periodo de composicioacuten PC y se iguala n al nuacutemero de periodos de composicioacuten entre P y F Las relaciones para calcular P y F son
P=F (PF i efectiva por PC nuacutemero total de periodos n)
F=P (FB i efectiva por PC nuacutemero total de periodos n)
ErickMe
bull Ejemplo
Suponga que la tarjeta de creacutedito es una tasa efectiva de
15 anual compuesto mensualmente
En este caso PC es igual a un mes
Para calcular el P o F a lo largo de un periodo de dos antildeos
se calcula la tasa mensual efectiva de 15 12= 125
Y el total de meses de 2 (12)=24 Asiacute los valores 125 y
24 se utiliza para el caacutelculo de los factores PF y FP
ErickMe
Meacutetodo 2
Se determina la tasa de intereacutes efectiva para el periodo t de la
tasa nominal y sea n igual al nuacutemero total de periodos
utilizados en el mismo periodo utilizando el mismo periodo
Las formulas P y F son las mismas que las de las ecuaciones
antes mencionadas salvo que el termino i efectiva por t se
sustituye por la tasa de intereacutes
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Series con PP ge PC
Si los flujos de efectivo son trimestrales el PP es de un trimestre
y por consiguiente se necesita una tasa de intereacutes efectiva
trimestral El valor n es el nuacutemero total de trimestres Si PP es
igual a un trimestre 5 antildeos se traducen en un valor de n de 20
trimestres Esto constituye una aplicacioacuten directa de la siguiente
directriz general
Cuando los flujos de efectivo implican una serie (por ejemplo A
G g) y el periodo de pago es igual o mayor que el periodo de
capitalizacioacuten
Se calcula la tasa de intereacutes efectiva i por periodo de pago
Se determina n como el nuacutemero total de periodos de pago
AleTzec
La siguiente tabla muestra la formulacioacuten correcta de diversas
series de flujo de efectivo y tasa de intereacutes
Observe que n siempre es igual al nuacutemero total de periodos de
pago y que i es una tasa de intereacutes efectiva que se expresa de
acuerdo con el mismo periodo que n
AleTzec
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos y series con PP lt PC
bull Ejemplos
Si un banco le cobra a una persona intereses el diacutea 15 del
mes en sus pagos de tarjeta de creacutedito y si la persona hace
el pago completo el diacutea primero iquestreduce la institucioacuten
financiera los intereses sobre la base de un pago anticipado
La respuesta comuacuten es no
Si una empresa grande hiciera pagos mensuales para cubrir
un preacutestamo bancario de $10 millones con un intereacutes
compuesto trimestral el ejecutivo de finanzas de la empresa
probablemente insistiriacutea en que el banco redujera la
cantidad de intereses basaacutendose en el pago anticipado
AleTzec
El momento de ocurrencia de las transacciones de flujo de
efectivo entre puntos de capitalizacioacuten implica la pregunta
de coacutemo manejar la capitalizacioacuten inter-perioacutedica
Fundamentalmente existen dos poliacuteticas los flujos de
efectivo entre periodos no ganan intereses o ganan un
intereacutes compuesto
AleTzec
Fin
bull Ejemplos
1Tasas de preacutestamo bancario para dos proyectos distintos de equipos de generacioacuten de electricidad Determine la tasa efectiva considerando el PC
a) 9 anual compuesto trimestralmente
b) 9 anual compuesto mensualmente
a) r = 9 anual x trimestre m= 94
tasa efectiva por PC = 225
b) r= 9 anual x mes m= 912
tasa efectiva por PC = 075
AlbertoCa
bull Tasa De Intereacutes Efectiva Anual
La deduccioacuten de una foacutermula para la tasa de intereacutes efectiva es semejante a la loacutegica que se sigue para establecer la relacioacuten del valor futuro F=P (1+i)n
El valor futuro F al final de 1 antildeo es el principal P maacutes los intereses acumulados P (i) durante el antildeo Puesto que el intereacutes se puede capitalizar varias veces durante el antildeo se reemplaza i con la tasa anual efectiva ia Ahora escribamos la foacutermula para F al final de 1 antildeo
bull F = P + Pia = P (1+ia)
SalmaVa
Tasa de intereacutes efectiva anual
ia = (1+i)m -1
Sirve para calcular la tasa de intereacutes anual efectiva para
cualquier nuacutemero de periodos de composicioacuten cuando i es
la tasa para un periodo de composicioacuten
r = tasa de intereacutes nominal anual
m = nuacutem de periodos de capitalizacioacuten x antildeo
i = tasa de intereacutes efectiva por PC
ia = tasa de intereacutes efectiva anual
SalmaVa
Ejemplo
Jacky obtuvo una nueva tarjeta de creacutedito con un banco
nacional (MBNA) con una tasa establecida de 18 anual y
un periodo de composicioacuten mensual Para un saldo de $1000
al principio del antildeo calcule la tasa anual efectiva y el adeudo
total al blanco MBNA despueacutes de un antildeo tomando en cuenta
el hecho de que no se efectuacutea ninguacuten pago durante el antildeo
Solucioacuten
Hay 12 periodos de composicioacuten por un antildeo Por lo tanto m=12
e i=1812= 15 mensual Si el saldo de $1000 no se reduce
durante el antildeo se aplica la ecuacioacuten
ia=(1+i)m ndash 1
Y enseguida la ecuacioacuten para el valor futuro
F=P+Pia= P(1+ia)
SalmaVa
ia=(1+0015)12 ndash 1= 19562 ndash 1= 019562 (195)
F= $ 1 000 (119562)= $ 1 19562
Jacki pagaraacute 19562 o $19562 maacutes los $1 000 del
saldo por la utilizacioacuten del dinero del banco durante el
antildeo $119662
SalmaVa
1 La sentildeora Jones planea colocar dinero en un
certificado de depoacutesito JUMBO que paga 18 anual
compuesto diariamente iquestQueacute tasa efectiva recibiraacute ella
a) anualmente
r= 018 y m= 365
i anual = (1 + 018365)365 - 1
= 019716 (19716)
Es decir la sentildeora Jones obtendraacute un 19716 efectivo
sobre su depoacutesito
b) semestralmente
b) r= 009 durante 6 meses y m= 182 diacuteas
i por 6 meses = 009415 (9415)
SalmaVa
bull Tasa de Intereacutes Efectivas Para Cualquier Periodo
Para entender la diferencia entre un periodo de pago (PP) y el periodo de composicioacuten podemos decir que una compantildeiacutea deposita dinero cada mes en una cuenta que da rendimientos con una tasa de intereacutes nominal de 14 anual con un periodo de composicioacuten semestral es periodo de pago es un mes mientras que el periodo de composicioacuten es de 6 meses
GenaroVi
Para evaluar aquellos flujos de efectivo que se presentan
con mayor frecuencia que la anual es decir PPlt 1 antildeo
debe utilizarse la tasa de intereacutes efectiva durante el PP La
foacutermula de la tasa de intereacutes anual efectiva se generaliza
faacutecilmente para cualquier tasa nominal
i efectivo = (1 + rm
)m -1
donde
r = tasa de intereacutes nominal por periodo de pago PP
m = nuacutem de periodos de composicioacuten por periodo de pago
(PC por PP)
GenaroVi
bull Ejemplo
Una tarjeta de creacutedito nacional tiene una tasa de intereacutes del
2 mensual sobre el saldo no pagado
a) Calcule la tasa efectiva por periodo semestral
b) Si la tasa de intereacutes se expresa como 5 por trimestre
encuentre las tasas efectivas por periodos semestrales y
anuales
Solucioacuten
a) En esta parte del ejemplo el periodo de capitalizacioacuten es
mensual Dado que se desea obtener la tasa de intereacutes
efectiva por periodo semestral la tasa nominal por 6 meses
r = 2 mensual x 6 meses por periodo semestral
r = 12 por periodo semestral
GenaroVi
por cada 6 meses = 1 + 012
6
6
minus 1
= 01262 1262
b) Para una tasa de intereacutes del 5 por trimestre el periodo
de capitalizacioacuten es trimestral Por consiguiente en un
periodo semestral m=2 y r= 10 En consecuencia
i por cada 6 meses = 1 +010
2
2
minus 1
= 02155 2155
GenaroVi
bull Tasa De Intereacutes Efectiva Que Variacutea Con El
Tiempo
Las tasas de intereacutes reales para una corporacioacuten variacutean antildeo
con antildeo dependiendo del estado financiero de la empresa
de su sector den el mercado de las economiacuteas nacional e
internacional de las fuerzas de inflacioacuten y de muchos otros
factores
GenaroVi
Ejemplos
bull Las hipotecas de bienes inmuebles financiados
mediante un intereacutes HTA (Hipoteca de Tasa Ajustable)
La tasa de hipoteca se ajusta ligeramente cada antildeo para
que refleje la antiguumledad del preacutestamo el costo actual del
dinero de la hipoteca etc
GenaroVi
bull Los bonos protegidos contra la inflacioacuten (emitidos por
el gobierno de Estados Unidos y otras agencias)
La tasa de dividendos que paga el bono permanece
constante a lo largo de su periodo de vida sin embargo a
la cantidad global que se debe al propietario del bono
cuando alcanza su madurez se le aplica un ajuste
ascendente de acuerdo con el iacutendice de inflacioacuten del
iacutendice de precios al consumidor (IPC) Esto significa que
la tasa anual de rendimiento se incrementaraacute cada antildeo de
acuerdo con la inflacioacuten observada
GenaroVi
Tasas De Intereacutes Efectivas Para
Capitalizacioacuten Continua
A medida que el periodo de capitalizacioacuten disminuye el
valor de m nuacutemero de periodos de capitalizacioacuten por
periodo de intereacutes aumenta
Cuando el intereacutes se capitaliza en forma continua m se
acerca a infinito y la foacutermula de tasa de intereacutes efectiva en
la ecuacioacuten puede escribirse de una nueva forma
definicioacuten de la base del logaritmo natural
NancyLu
A medida que m se acerca a infinito el liacutemite de la formula
de las tasa de intereacutes efectiva se encuentra utilizando
rm = lh lo que hace m =hr
Ecuacioacuten que se utiliza para calcular la tasa de intereacutes
efectiva continua
NancyLu
bull Ejemplo
a) Para una tasa de intereacutes del 18 anual compuesto en forma
continua calcule la tasa de intereacutes efectiva anual y mensual
b) Sin un inversionista exige un retorno efectivo de por lo
menos el 15 sobre su dinero iquestCuaacutel es la tasa miacutenima anual
nominal aceptable si tiene lugar una capitalizacioacuten continua
Solucioacuten
a) La tasa de intereacutes mensual r es =1812 = 15 mensual La tasa
efectiva mensual es
En forma similar a la tasa efectiva anual utilizando r = 018 anual
es
NancyLu
b) En este problema es preciso resolver la ecuacioacuten de la
tasa de intereacutes efectiva en sentido contrario puesto que se
tiene i y se desea r por lo tanto para i=15 anual debe
resolverse para r tomando el logaritmo natural
Por consiguiente una tasa del 13976 anual compuesto
en forma continua generara una tasa de retorno efectiva
anual del 15
NancyLu
bull Ejemplo
Si se depositan $2000 cada antildeo durante 10 antildeos a una tasa de
intereses del 10 anual compare el valor presente para
capitalizacioacuten (a) anual y (b) capitalizacioacuten continua
Solucioacuten
Para capitalizacioacuten anual
P = 2000(PA1010) = 2000(61446) = $12289
(b) Para capitalizacioacuten continua
ianual = e⁰ sup1⁰ ndash 1 = 010517 (10517)
P= 2000(PA1051710)
= 2000(60104)
= $12021
NancyLu
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Comparacioacuten entre la duracioacuten del periodo de pago y del periodo de capitalizacioacuten (PP versus PC)
En los caacutelculos de equivalencia con porcentajes altos la frecuencia de los flujos de efectivo no es igual a la frecuencia de la capitalizacioacuten de los intereses
Resulta esencial que se utilice el mismo periodo para el periodo de capitalizacioacuten y el periodo de pago y en consecuencia la tasa de intereacutes se ajuste
Cuando solo existen pagos uacutenicos no hay periodo de pago PP definido en si por los flujos de efectivo La duracioacuten del PP por lo tanto queda definida por el periodo t del enunciado de la tasa de intereacutes
ErickMe
bull Ejemplo
Suponga que los flujos de efectivo ocurren cada 6 meses
(PP semestral) y que el intereacutes tiene un periodo de
capacitacioacuten trimestral (PC trimestral) Despueacutes de 3 meses
no hay flujo de efectivo ni es necesario determinar el efecto
de la composicioacuten trimestral Sin embargo en el mes 6 es
necesario considerar los intereses acumulados durante los
dos periodos de composicioacuten trimestrales anteriores
ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos con PPgePC
Cuando se trata exclusivamente de flujos de efectivo de pago uacutenico hay dos formas igualmente correctas de determinar i y n para los factores PF y FP
Meacutetodo 1
Se determina la tasa de intereacutes efectiva durante el periodo de composicioacuten PC y se iguala n al nuacutemero de periodos de composicioacuten entre P y F Las relaciones para calcular P y F son
P=F (PF i efectiva por PC nuacutemero total de periodos n)
F=P (FB i efectiva por PC nuacutemero total de periodos n)
ErickMe
bull Ejemplo
Suponga que la tarjeta de creacutedito es una tasa efectiva de
15 anual compuesto mensualmente
En este caso PC es igual a un mes
Para calcular el P o F a lo largo de un periodo de dos antildeos
se calcula la tasa mensual efectiva de 15 12= 125
Y el total de meses de 2 (12)=24 Asiacute los valores 125 y
24 se utiliza para el caacutelculo de los factores PF y FP
ErickMe
Meacutetodo 2
Se determina la tasa de intereacutes efectiva para el periodo t de la
tasa nominal y sea n igual al nuacutemero total de periodos
utilizados en el mismo periodo utilizando el mismo periodo
Las formulas P y F son las mismas que las de las ecuaciones
antes mencionadas salvo que el termino i efectiva por t se
sustituye por la tasa de intereacutes
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Series con PP ge PC
Si los flujos de efectivo son trimestrales el PP es de un trimestre
y por consiguiente se necesita una tasa de intereacutes efectiva
trimestral El valor n es el nuacutemero total de trimestres Si PP es
igual a un trimestre 5 antildeos se traducen en un valor de n de 20
trimestres Esto constituye una aplicacioacuten directa de la siguiente
directriz general
Cuando los flujos de efectivo implican una serie (por ejemplo A
G g) y el periodo de pago es igual o mayor que el periodo de
capitalizacioacuten
Se calcula la tasa de intereacutes efectiva i por periodo de pago
Se determina n como el nuacutemero total de periodos de pago
AleTzec
La siguiente tabla muestra la formulacioacuten correcta de diversas
series de flujo de efectivo y tasa de intereacutes
Observe que n siempre es igual al nuacutemero total de periodos de
pago y que i es una tasa de intereacutes efectiva que se expresa de
acuerdo con el mismo periodo que n
AleTzec
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos y series con PP lt PC
bull Ejemplos
Si un banco le cobra a una persona intereses el diacutea 15 del
mes en sus pagos de tarjeta de creacutedito y si la persona hace
el pago completo el diacutea primero iquestreduce la institucioacuten
financiera los intereses sobre la base de un pago anticipado
La respuesta comuacuten es no
Si una empresa grande hiciera pagos mensuales para cubrir
un preacutestamo bancario de $10 millones con un intereacutes
compuesto trimestral el ejecutivo de finanzas de la empresa
probablemente insistiriacutea en que el banco redujera la
cantidad de intereses basaacutendose en el pago anticipado
AleTzec
El momento de ocurrencia de las transacciones de flujo de
efectivo entre puntos de capitalizacioacuten implica la pregunta
de coacutemo manejar la capitalizacioacuten inter-perioacutedica
Fundamentalmente existen dos poliacuteticas los flujos de
efectivo entre periodos no ganan intereses o ganan un
intereacutes compuesto
AleTzec
Fin
bull Tasa De Intereacutes Efectiva Anual
La deduccioacuten de una foacutermula para la tasa de intereacutes efectiva es semejante a la loacutegica que se sigue para establecer la relacioacuten del valor futuro F=P (1+i)n
El valor futuro F al final de 1 antildeo es el principal P maacutes los intereses acumulados P (i) durante el antildeo Puesto que el intereacutes se puede capitalizar varias veces durante el antildeo se reemplaza i con la tasa anual efectiva ia Ahora escribamos la foacutermula para F al final de 1 antildeo
bull F = P + Pia = P (1+ia)
SalmaVa
Tasa de intereacutes efectiva anual
ia = (1+i)m -1
Sirve para calcular la tasa de intereacutes anual efectiva para
cualquier nuacutemero de periodos de composicioacuten cuando i es
la tasa para un periodo de composicioacuten
r = tasa de intereacutes nominal anual
m = nuacutem de periodos de capitalizacioacuten x antildeo
i = tasa de intereacutes efectiva por PC
ia = tasa de intereacutes efectiva anual
SalmaVa
Ejemplo
Jacky obtuvo una nueva tarjeta de creacutedito con un banco
nacional (MBNA) con una tasa establecida de 18 anual y
un periodo de composicioacuten mensual Para un saldo de $1000
al principio del antildeo calcule la tasa anual efectiva y el adeudo
total al blanco MBNA despueacutes de un antildeo tomando en cuenta
el hecho de que no se efectuacutea ninguacuten pago durante el antildeo
Solucioacuten
Hay 12 periodos de composicioacuten por un antildeo Por lo tanto m=12
e i=1812= 15 mensual Si el saldo de $1000 no se reduce
durante el antildeo se aplica la ecuacioacuten
ia=(1+i)m ndash 1
Y enseguida la ecuacioacuten para el valor futuro
F=P+Pia= P(1+ia)
SalmaVa
ia=(1+0015)12 ndash 1= 19562 ndash 1= 019562 (195)
F= $ 1 000 (119562)= $ 1 19562
Jacki pagaraacute 19562 o $19562 maacutes los $1 000 del
saldo por la utilizacioacuten del dinero del banco durante el
antildeo $119662
SalmaVa
1 La sentildeora Jones planea colocar dinero en un
certificado de depoacutesito JUMBO que paga 18 anual
compuesto diariamente iquestQueacute tasa efectiva recibiraacute ella
a) anualmente
r= 018 y m= 365
i anual = (1 + 018365)365 - 1
= 019716 (19716)
Es decir la sentildeora Jones obtendraacute un 19716 efectivo
sobre su depoacutesito
b) semestralmente
b) r= 009 durante 6 meses y m= 182 diacuteas
i por 6 meses = 009415 (9415)
SalmaVa
bull Tasa de Intereacutes Efectivas Para Cualquier Periodo
Para entender la diferencia entre un periodo de pago (PP) y el periodo de composicioacuten podemos decir que una compantildeiacutea deposita dinero cada mes en una cuenta que da rendimientos con una tasa de intereacutes nominal de 14 anual con un periodo de composicioacuten semestral es periodo de pago es un mes mientras que el periodo de composicioacuten es de 6 meses
GenaroVi
Para evaluar aquellos flujos de efectivo que se presentan
con mayor frecuencia que la anual es decir PPlt 1 antildeo
debe utilizarse la tasa de intereacutes efectiva durante el PP La
foacutermula de la tasa de intereacutes anual efectiva se generaliza
faacutecilmente para cualquier tasa nominal
i efectivo = (1 + rm
)m -1
donde
r = tasa de intereacutes nominal por periodo de pago PP
m = nuacutem de periodos de composicioacuten por periodo de pago
(PC por PP)
GenaroVi
bull Ejemplo
Una tarjeta de creacutedito nacional tiene una tasa de intereacutes del
2 mensual sobre el saldo no pagado
a) Calcule la tasa efectiva por periodo semestral
b) Si la tasa de intereacutes se expresa como 5 por trimestre
encuentre las tasas efectivas por periodos semestrales y
anuales
Solucioacuten
a) En esta parte del ejemplo el periodo de capitalizacioacuten es
mensual Dado que se desea obtener la tasa de intereacutes
efectiva por periodo semestral la tasa nominal por 6 meses
r = 2 mensual x 6 meses por periodo semestral
r = 12 por periodo semestral
GenaroVi
por cada 6 meses = 1 + 012
6
6
minus 1
= 01262 1262
b) Para una tasa de intereacutes del 5 por trimestre el periodo
de capitalizacioacuten es trimestral Por consiguiente en un
periodo semestral m=2 y r= 10 En consecuencia
i por cada 6 meses = 1 +010
2
2
minus 1
= 02155 2155
GenaroVi
bull Tasa De Intereacutes Efectiva Que Variacutea Con El
Tiempo
Las tasas de intereacutes reales para una corporacioacuten variacutean antildeo
con antildeo dependiendo del estado financiero de la empresa
de su sector den el mercado de las economiacuteas nacional e
internacional de las fuerzas de inflacioacuten y de muchos otros
factores
GenaroVi
Ejemplos
bull Las hipotecas de bienes inmuebles financiados
mediante un intereacutes HTA (Hipoteca de Tasa Ajustable)
La tasa de hipoteca se ajusta ligeramente cada antildeo para
que refleje la antiguumledad del preacutestamo el costo actual del
dinero de la hipoteca etc
GenaroVi
bull Los bonos protegidos contra la inflacioacuten (emitidos por
el gobierno de Estados Unidos y otras agencias)
La tasa de dividendos que paga el bono permanece
constante a lo largo de su periodo de vida sin embargo a
la cantidad global que se debe al propietario del bono
cuando alcanza su madurez se le aplica un ajuste
ascendente de acuerdo con el iacutendice de inflacioacuten del
iacutendice de precios al consumidor (IPC) Esto significa que
la tasa anual de rendimiento se incrementaraacute cada antildeo de
acuerdo con la inflacioacuten observada
GenaroVi
Tasas De Intereacutes Efectivas Para
Capitalizacioacuten Continua
A medida que el periodo de capitalizacioacuten disminuye el
valor de m nuacutemero de periodos de capitalizacioacuten por
periodo de intereacutes aumenta
Cuando el intereacutes se capitaliza en forma continua m se
acerca a infinito y la foacutermula de tasa de intereacutes efectiva en
la ecuacioacuten puede escribirse de una nueva forma
definicioacuten de la base del logaritmo natural
NancyLu
A medida que m se acerca a infinito el liacutemite de la formula
de las tasa de intereacutes efectiva se encuentra utilizando
rm = lh lo que hace m =hr
Ecuacioacuten que se utiliza para calcular la tasa de intereacutes
efectiva continua
NancyLu
bull Ejemplo
a) Para una tasa de intereacutes del 18 anual compuesto en forma
continua calcule la tasa de intereacutes efectiva anual y mensual
b) Sin un inversionista exige un retorno efectivo de por lo
menos el 15 sobre su dinero iquestCuaacutel es la tasa miacutenima anual
nominal aceptable si tiene lugar una capitalizacioacuten continua
Solucioacuten
a) La tasa de intereacutes mensual r es =1812 = 15 mensual La tasa
efectiva mensual es
En forma similar a la tasa efectiva anual utilizando r = 018 anual
es
NancyLu
b) En este problema es preciso resolver la ecuacioacuten de la
tasa de intereacutes efectiva en sentido contrario puesto que se
tiene i y se desea r por lo tanto para i=15 anual debe
resolverse para r tomando el logaritmo natural
Por consiguiente una tasa del 13976 anual compuesto
en forma continua generara una tasa de retorno efectiva
anual del 15
NancyLu
bull Ejemplo
Si se depositan $2000 cada antildeo durante 10 antildeos a una tasa de
intereses del 10 anual compare el valor presente para
capitalizacioacuten (a) anual y (b) capitalizacioacuten continua
Solucioacuten
Para capitalizacioacuten anual
P = 2000(PA1010) = 2000(61446) = $12289
(b) Para capitalizacioacuten continua
ianual = e⁰ sup1⁰ ndash 1 = 010517 (10517)
P= 2000(PA1051710)
= 2000(60104)
= $12021
NancyLu
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Comparacioacuten entre la duracioacuten del periodo de pago y del periodo de capitalizacioacuten (PP versus PC)
En los caacutelculos de equivalencia con porcentajes altos la frecuencia de los flujos de efectivo no es igual a la frecuencia de la capitalizacioacuten de los intereses
Resulta esencial que se utilice el mismo periodo para el periodo de capitalizacioacuten y el periodo de pago y en consecuencia la tasa de intereacutes se ajuste
Cuando solo existen pagos uacutenicos no hay periodo de pago PP definido en si por los flujos de efectivo La duracioacuten del PP por lo tanto queda definida por el periodo t del enunciado de la tasa de intereacutes
ErickMe
bull Ejemplo
Suponga que los flujos de efectivo ocurren cada 6 meses
(PP semestral) y que el intereacutes tiene un periodo de
capacitacioacuten trimestral (PC trimestral) Despueacutes de 3 meses
no hay flujo de efectivo ni es necesario determinar el efecto
de la composicioacuten trimestral Sin embargo en el mes 6 es
necesario considerar los intereses acumulados durante los
dos periodos de composicioacuten trimestrales anteriores
ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos con PPgePC
Cuando se trata exclusivamente de flujos de efectivo de pago uacutenico hay dos formas igualmente correctas de determinar i y n para los factores PF y FP
Meacutetodo 1
Se determina la tasa de intereacutes efectiva durante el periodo de composicioacuten PC y se iguala n al nuacutemero de periodos de composicioacuten entre P y F Las relaciones para calcular P y F son
P=F (PF i efectiva por PC nuacutemero total de periodos n)
F=P (FB i efectiva por PC nuacutemero total de periodos n)
ErickMe
bull Ejemplo
Suponga que la tarjeta de creacutedito es una tasa efectiva de
15 anual compuesto mensualmente
En este caso PC es igual a un mes
Para calcular el P o F a lo largo de un periodo de dos antildeos
se calcula la tasa mensual efectiva de 15 12= 125
Y el total de meses de 2 (12)=24 Asiacute los valores 125 y
24 se utiliza para el caacutelculo de los factores PF y FP
ErickMe
Meacutetodo 2
Se determina la tasa de intereacutes efectiva para el periodo t de la
tasa nominal y sea n igual al nuacutemero total de periodos
utilizados en el mismo periodo utilizando el mismo periodo
Las formulas P y F son las mismas que las de las ecuaciones
antes mencionadas salvo que el termino i efectiva por t se
sustituye por la tasa de intereacutes
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Series con PP ge PC
Si los flujos de efectivo son trimestrales el PP es de un trimestre
y por consiguiente se necesita una tasa de intereacutes efectiva
trimestral El valor n es el nuacutemero total de trimestres Si PP es
igual a un trimestre 5 antildeos se traducen en un valor de n de 20
trimestres Esto constituye una aplicacioacuten directa de la siguiente
directriz general
Cuando los flujos de efectivo implican una serie (por ejemplo A
G g) y el periodo de pago es igual o mayor que el periodo de
capitalizacioacuten
Se calcula la tasa de intereacutes efectiva i por periodo de pago
Se determina n como el nuacutemero total de periodos de pago
AleTzec
La siguiente tabla muestra la formulacioacuten correcta de diversas
series de flujo de efectivo y tasa de intereacutes
Observe que n siempre es igual al nuacutemero total de periodos de
pago y que i es una tasa de intereacutes efectiva que se expresa de
acuerdo con el mismo periodo que n
AleTzec
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos y series con PP lt PC
bull Ejemplos
Si un banco le cobra a una persona intereses el diacutea 15 del
mes en sus pagos de tarjeta de creacutedito y si la persona hace
el pago completo el diacutea primero iquestreduce la institucioacuten
financiera los intereses sobre la base de un pago anticipado
La respuesta comuacuten es no
Si una empresa grande hiciera pagos mensuales para cubrir
un preacutestamo bancario de $10 millones con un intereacutes
compuesto trimestral el ejecutivo de finanzas de la empresa
probablemente insistiriacutea en que el banco redujera la
cantidad de intereses basaacutendose en el pago anticipado
AleTzec
El momento de ocurrencia de las transacciones de flujo de
efectivo entre puntos de capitalizacioacuten implica la pregunta
de coacutemo manejar la capitalizacioacuten inter-perioacutedica
Fundamentalmente existen dos poliacuteticas los flujos de
efectivo entre periodos no ganan intereses o ganan un
intereacutes compuesto
AleTzec
Fin
Tasa de intereacutes efectiva anual
ia = (1+i)m -1
Sirve para calcular la tasa de intereacutes anual efectiva para
cualquier nuacutemero de periodos de composicioacuten cuando i es
la tasa para un periodo de composicioacuten
r = tasa de intereacutes nominal anual
m = nuacutem de periodos de capitalizacioacuten x antildeo
i = tasa de intereacutes efectiva por PC
ia = tasa de intereacutes efectiva anual
SalmaVa
Ejemplo
Jacky obtuvo una nueva tarjeta de creacutedito con un banco
nacional (MBNA) con una tasa establecida de 18 anual y
un periodo de composicioacuten mensual Para un saldo de $1000
al principio del antildeo calcule la tasa anual efectiva y el adeudo
total al blanco MBNA despueacutes de un antildeo tomando en cuenta
el hecho de que no se efectuacutea ninguacuten pago durante el antildeo
Solucioacuten
Hay 12 periodos de composicioacuten por un antildeo Por lo tanto m=12
e i=1812= 15 mensual Si el saldo de $1000 no se reduce
durante el antildeo se aplica la ecuacioacuten
ia=(1+i)m ndash 1
Y enseguida la ecuacioacuten para el valor futuro
F=P+Pia= P(1+ia)
SalmaVa
ia=(1+0015)12 ndash 1= 19562 ndash 1= 019562 (195)
F= $ 1 000 (119562)= $ 1 19562
Jacki pagaraacute 19562 o $19562 maacutes los $1 000 del
saldo por la utilizacioacuten del dinero del banco durante el
antildeo $119662
SalmaVa
1 La sentildeora Jones planea colocar dinero en un
certificado de depoacutesito JUMBO que paga 18 anual
compuesto diariamente iquestQueacute tasa efectiva recibiraacute ella
a) anualmente
r= 018 y m= 365
i anual = (1 + 018365)365 - 1
= 019716 (19716)
Es decir la sentildeora Jones obtendraacute un 19716 efectivo
sobre su depoacutesito
b) semestralmente
b) r= 009 durante 6 meses y m= 182 diacuteas
i por 6 meses = 009415 (9415)
SalmaVa
bull Tasa de Intereacutes Efectivas Para Cualquier Periodo
Para entender la diferencia entre un periodo de pago (PP) y el periodo de composicioacuten podemos decir que una compantildeiacutea deposita dinero cada mes en una cuenta que da rendimientos con una tasa de intereacutes nominal de 14 anual con un periodo de composicioacuten semestral es periodo de pago es un mes mientras que el periodo de composicioacuten es de 6 meses
GenaroVi
Para evaluar aquellos flujos de efectivo que se presentan
con mayor frecuencia que la anual es decir PPlt 1 antildeo
debe utilizarse la tasa de intereacutes efectiva durante el PP La
foacutermula de la tasa de intereacutes anual efectiva se generaliza
faacutecilmente para cualquier tasa nominal
i efectivo = (1 + rm
)m -1
donde
r = tasa de intereacutes nominal por periodo de pago PP
m = nuacutem de periodos de composicioacuten por periodo de pago
(PC por PP)
GenaroVi
bull Ejemplo
Una tarjeta de creacutedito nacional tiene una tasa de intereacutes del
2 mensual sobre el saldo no pagado
a) Calcule la tasa efectiva por periodo semestral
b) Si la tasa de intereacutes se expresa como 5 por trimestre
encuentre las tasas efectivas por periodos semestrales y
anuales
Solucioacuten
a) En esta parte del ejemplo el periodo de capitalizacioacuten es
mensual Dado que se desea obtener la tasa de intereacutes
efectiva por periodo semestral la tasa nominal por 6 meses
r = 2 mensual x 6 meses por periodo semestral
r = 12 por periodo semestral
GenaroVi
por cada 6 meses = 1 + 012
6
6
minus 1
= 01262 1262
b) Para una tasa de intereacutes del 5 por trimestre el periodo
de capitalizacioacuten es trimestral Por consiguiente en un
periodo semestral m=2 y r= 10 En consecuencia
i por cada 6 meses = 1 +010
2
2
minus 1
= 02155 2155
GenaroVi
bull Tasa De Intereacutes Efectiva Que Variacutea Con El
Tiempo
Las tasas de intereacutes reales para una corporacioacuten variacutean antildeo
con antildeo dependiendo del estado financiero de la empresa
de su sector den el mercado de las economiacuteas nacional e
internacional de las fuerzas de inflacioacuten y de muchos otros
factores
GenaroVi
Ejemplos
bull Las hipotecas de bienes inmuebles financiados
mediante un intereacutes HTA (Hipoteca de Tasa Ajustable)
La tasa de hipoteca se ajusta ligeramente cada antildeo para
que refleje la antiguumledad del preacutestamo el costo actual del
dinero de la hipoteca etc
GenaroVi
bull Los bonos protegidos contra la inflacioacuten (emitidos por
el gobierno de Estados Unidos y otras agencias)
La tasa de dividendos que paga el bono permanece
constante a lo largo de su periodo de vida sin embargo a
la cantidad global que se debe al propietario del bono
cuando alcanza su madurez se le aplica un ajuste
ascendente de acuerdo con el iacutendice de inflacioacuten del
iacutendice de precios al consumidor (IPC) Esto significa que
la tasa anual de rendimiento se incrementaraacute cada antildeo de
acuerdo con la inflacioacuten observada
GenaroVi
Tasas De Intereacutes Efectivas Para
Capitalizacioacuten Continua
A medida que el periodo de capitalizacioacuten disminuye el
valor de m nuacutemero de periodos de capitalizacioacuten por
periodo de intereacutes aumenta
Cuando el intereacutes se capitaliza en forma continua m se
acerca a infinito y la foacutermula de tasa de intereacutes efectiva en
la ecuacioacuten puede escribirse de una nueva forma
definicioacuten de la base del logaritmo natural
NancyLu
A medida que m se acerca a infinito el liacutemite de la formula
de las tasa de intereacutes efectiva se encuentra utilizando
rm = lh lo que hace m =hr
Ecuacioacuten que se utiliza para calcular la tasa de intereacutes
efectiva continua
NancyLu
bull Ejemplo
a) Para una tasa de intereacutes del 18 anual compuesto en forma
continua calcule la tasa de intereacutes efectiva anual y mensual
b) Sin un inversionista exige un retorno efectivo de por lo
menos el 15 sobre su dinero iquestCuaacutel es la tasa miacutenima anual
nominal aceptable si tiene lugar una capitalizacioacuten continua
Solucioacuten
a) La tasa de intereacutes mensual r es =1812 = 15 mensual La tasa
efectiva mensual es
En forma similar a la tasa efectiva anual utilizando r = 018 anual
es
NancyLu
b) En este problema es preciso resolver la ecuacioacuten de la
tasa de intereacutes efectiva en sentido contrario puesto que se
tiene i y se desea r por lo tanto para i=15 anual debe
resolverse para r tomando el logaritmo natural
Por consiguiente una tasa del 13976 anual compuesto
en forma continua generara una tasa de retorno efectiva
anual del 15
NancyLu
bull Ejemplo
Si se depositan $2000 cada antildeo durante 10 antildeos a una tasa de
intereses del 10 anual compare el valor presente para
capitalizacioacuten (a) anual y (b) capitalizacioacuten continua
Solucioacuten
Para capitalizacioacuten anual
P = 2000(PA1010) = 2000(61446) = $12289
(b) Para capitalizacioacuten continua
ianual = e⁰ sup1⁰ ndash 1 = 010517 (10517)
P= 2000(PA1051710)
= 2000(60104)
= $12021
NancyLu
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Comparacioacuten entre la duracioacuten del periodo de pago y del periodo de capitalizacioacuten (PP versus PC)
En los caacutelculos de equivalencia con porcentajes altos la frecuencia de los flujos de efectivo no es igual a la frecuencia de la capitalizacioacuten de los intereses
Resulta esencial que se utilice el mismo periodo para el periodo de capitalizacioacuten y el periodo de pago y en consecuencia la tasa de intereacutes se ajuste
Cuando solo existen pagos uacutenicos no hay periodo de pago PP definido en si por los flujos de efectivo La duracioacuten del PP por lo tanto queda definida por el periodo t del enunciado de la tasa de intereacutes
ErickMe
bull Ejemplo
Suponga que los flujos de efectivo ocurren cada 6 meses
(PP semestral) y que el intereacutes tiene un periodo de
capacitacioacuten trimestral (PC trimestral) Despueacutes de 3 meses
no hay flujo de efectivo ni es necesario determinar el efecto
de la composicioacuten trimestral Sin embargo en el mes 6 es
necesario considerar los intereses acumulados durante los
dos periodos de composicioacuten trimestrales anteriores
ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos con PPgePC
Cuando se trata exclusivamente de flujos de efectivo de pago uacutenico hay dos formas igualmente correctas de determinar i y n para los factores PF y FP
Meacutetodo 1
Se determina la tasa de intereacutes efectiva durante el periodo de composicioacuten PC y se iguala n al nuacutemero de periodos de composicioacuten entre P y F Las relaciones para calcular P y F son
P=F (PF i efectiva por PC nuacutemero total de periodos n)
F=P (FB i efectiva por PC nuacutemero total de periodos n)
ErickMe
bull Ejemplo
Suponga que la tarjeta de creacutedito es una tasa efectiva de
15 anual compuesto mensualmente
En este caso PC es igual a un mes
Para calcular el P o F a lo largo de un periodo de dos antildeos
se calcula la tasa mensual efectiva de 15 12= 125
Y el total de meses de 2 (12)=24 Asiacute los valores 125 y
24 se utiliza para el caacutelculo de los factores PF y FP
ErickMe
Meacutetodo 2
Se determina la tasa de intereacutes efectiva para el periodo t de la
tasa nominal y sea n igual al nuacutemero total de periodos
utilizados en el mismo periodo utilizando el mismo periodo
Las formulas P y F son las mismas que las de las ecuaciones
antes mencionadas salvo que el termino i efectiva por t se
sustituye por la tasa de intereacutes
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Series con PP ge PC
Si los flujos de efectivo son trimestrales el PP es de un trimestre
y por consiguiente se necesita una tasa de intereacutes efectiva
trimestral El valor n es el nuacutemero total de trimestres Si PP es
igual a un trimestre 5 antildeos se traducen en un valor de n de 20
trimestres Esto constituye una aplicacioacuten directa de la siguiente
directriz general
Cuando los flujos de efectivo implican una serie (por ejemplo A
G g) y el periodo de pago es igual o mayor que el periodo de
capitalizacioacuten
Se calcula la tasa de intereacutes efectiva i por periodo de pago
Se determina n como el nuacutemero total de periodos de pago
AleTzec
La siguiente tabla muestra la formulacioacuten correcta de diversas
series de flujo de efectivo y tasa de intereacutes
Observe que n siempre es igual al nuacutemero total de periodos de
pago y que i es una tasa de intereacutes efectiva que se expresa de
acuerdo con el mismo periodo que n
AleTzec
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos y series con PP lt PC
bull Ejemplos
Si un banco le cobra a una persona intereses el diacutea 15 del
mes en sus pagos de tarjeta de creacutedito y si la persona hace
el pago completo el diacutea primero iquestreduce la institucioacuten
financiera los intereses sobre la base de un pago anticipado
La respuesta comuacuten es no
Si una empresa grande hiciera pagos mensuales para cubrir
un preacutestamo bancario de $10 millones con un intereacutes
compuesto trimestral el ejecutivo de finanzas de la empresa
probablemente insistiriacutea en que el banco redujera la
cantidad de intereses basaacutendose en el pago anticipado
AleTzec
El momento de ocurrencia de las transacciones de flujo de
efectivo entre puntos de capitalizacioacuten implica la pregunta
de coacutemo manejar la capitalizacioacuten inter-perioacutedica
Fundamentalmente existen dos poliacuteticas los flujos de
efectivo entre periodos no ganan intereses o ganan un
intereacutes compuesto
AleTzec
Fin
Ejemplo
Jacky obtuvo una nueva tarjeta de creacutedito con un banco
nacional (MBNA) con una tasa establecida de 18 anual y
un periodo de composicioacuten mensual Para un saldo de $1000
al principio del antildeo calcule la tasa anual efectiva y el adeudo
total al blanco MBNA despueacutes de un antildeo tomando en cuenta
el hecho de que no se efectuacutea ninguacuten pago durante el antildeo
Solucioacuten
Hay 12 periodos de composicioacuten por un antildeo Por lo tanto m=12
e i=1812= 15 mensual Si el saldo de $1000 no se reduce
durante el antildeo se aplica la ecuacioacuten
ia=(1+i)m ndash 1
Y enseguida la ecuacioacuten para el valor futuro
F=P+Pia= P(1+ia)
SalmaVa
ia=(1+0015)12 ndash 1= 19562 ndash 1= 019562 (195)
F= $ 1 000 (119562)= $ 1 19562
Jacki pagaraacute 19562 o $19562 maacutes los $1 000 del
saldo por la utilizacioacuten del dinero del banco durante el
antildeo $119662
SalmaVa
1 La sentildeora Jones planea colocar dinero en un
certificado de depoacutesito JUMBO que paga 18 anual
compuesto diariamente iquestQueacute tasa efectiva recibiraacute ella
a) anualmente
r= 018 y m= 365
i anual = (1 + 018365)365 - 1
= 019716 (19716)
Es decir la sentildeora Jones obtendraacute un 19716 efectivo
sobre su depoacutesito
b) semestralmente
b) r= 009 durante 6 meses y m= 182 diacuteas
i por 6 meses = 009415 (9415)
SalmaVa
bull Tasa de Intereacutes Efectivas Para Cualquier Periodo
Para entender la diferencia entre un periodo de pago (PP) y el periodo de composicioacuten podemos decir que una compantildeiacutea deposita dinero cada mes en una cuenta que da rendimientos con una tasa de intereacutes nominal de 14 anual con un periodo de composicioacuten semestral es periodo de pago es un mes mientras que el periodo de composicioacuten es de 6 meses
GenaroVi
Para evaluar aquellos flujos de efectivo que se presentan
con mayor frecuencia que la anual es decir PPlt 1 antildeo
debe utilizarse la tasa de intereacutes efectiva durante el PP La
foacutermula de la tasa de intereacutes anual efectiva se generaliza
faacutecilmente para cualquier tasa nominal
i efectivo = (1 + rm
)m -1
donde
r = tasa de intereacutes nominal por periodo de pago PP
m = nuacutem de periodos de composicioacuten por periodo de pago
(PC por PP)
GenaroVi
bull Ejemplo
Una tarjeta de creacutedito nacional tiene una tasa de intereacutes del
2 mensual sobre el saldo no pagado
a) Calcule la tasa efectiva por periodo semestral
b) Si la tasa de intereacutes se expresa como 5 por trimestre
encuentre las tasas efectivas por periodos semestrales y
anuales
Solucioacuten
a) En esta parte del ejemplo el periodo de capitalizacioacuten es
mensual Dado que se desea obtener la tasa de intereacutes
efectiva por periodo semestral la tasa nominal por 6 meses
r = 2 mensual x 6 meses por periodo semestral
r = 12 por periodo semestral
GenaroVi
por cada 6 meses = 1 + 012
6
6
minus 1
= 01262 1262
b) Para una tasa de intereacutes del 5 por trimestre el periodo
de capitalizacioacuten es trimestral Por consiguiente en un
periodo semestral m=2 y r= 10 En consecuencia
i por cada 6 meses = 1 +010
2
2
minus 1
= 02155 2155
GenaroVi
bull Tasa De Intereacutes Efectiva Que Variacutea Con El
Tiempo
Las tasas de intereacutes reales para una corporacioacuten variacutean antildeo
con antildeo dependiendo del estado financiero de la empresa
de su sector den el mercado de las economiacuteas nacional e
internacional de las fuerzas de inflacioacuten y de muchos otros
factores
GenaroVi
Ejemplos
bull Las hipotecas de bienes inmuebles financiados
mediante un intereacutes HTA (Hipoteca de Tasa Ajustable)
La tasa de hipoteca se ajusta ligeramente cada antildeo para
que refleje la antiguumledad del preacutestamo el costo actual del
dinero de la hipoteca etc
GenaroVi
bull Los bonos protegidos contra la inflacioacuten (emitidos por
el gobierno de Estados Unidos y otras agencias)
La tasa de dividendos que paga el bono permanece
constante a lo largo de su periodo de vida sin embargo a
la cantidad global que se debe al propietario del bono
cuando alcanza su madurez se le aplica un ajuste
ascendente de acuerdo con el iacutendice de inflacioacuten del
iacutendice de precios al consumidor (IPC) Esto significa que
la tasa anual de rendimiento se incrementaraacute cada antildeo de
acuerdo con la inflacioacuten observada
GenaroVi
Tasas De Intereacutes Efectivas Para
Capitalizacioacuten Continua
A medida que el periodo de capitalizacioacuten disminuye el
valor de m nuacutemero de periodos de capitalizacioacuten por
periodo de intereacutes aumenta
Cuando el intereacutes se capitaliza en forma continua m se
acerca a infinito y la foacutermula de tasa de intereacutes efectiva en
la ecuacioacuten puede escribirse de una nueva forma
definicioacuten de la base del logaritmo natural
NancyLu
A medida que m se acerca a infinito el liacutemite de la formula
de las tasa de intereacutes efectiva se encuentra utilizando
rm = lh lo que hace m =hr
Ecuacioacuten que se utiliza para calcular la tasa de intereacutes
efectiva continua
NancyLu
bull Ejemplo
a) Para una tasa de intereacutes del 18 anual compuesto en forma
continua calcule la tasa de intereacutes efectiva anual y mensual
b) Sin un inversionista exige un retorno efectivo de por lo
menos el 15 sobre su dinero iquestCuaacutel es la tasa miacutenima anual
nominal aceptable si tiene lugar una capitalizacioacuten continua
Solucioacuten
a) La tasa de intereacutes mensual r es =1812 = 15 mensual La tasa
efectiva mensual es
En forma similar a la tasa efectiva anual utilizando r = 018 anual
es
NancyLu
b) En este problema es preciso resolver la ecuacioacuten de la
tasa de intereacutes efectiva en sentido contrario puesto que se
tiene i y se desea r por lo tanto para i=15 anual debe
resolverse para r tomando el logaritmo natural
Por consiguiente una tasa del 13976 anual compuesto
en forma continua generara una tasa de retorno efectiva
anual del 15
NancyLu
bull Ejemplo
Si se depositan $2000 cada antildeo durante 10 antildeos a una tasa de
intereses del 10 anual compare el valor presente para
capitalizacioacuten (a) anual y (b) capitalizacioacuten continua
Solucioacuten
Para capitalizacioacuten anual
P = 2000(PA1010) = 2000(61446) = $12289
(b) Para capitalizacioacuten continua
ianual = e⁰ sup1⁰ ndash 1 = 010517 (10517)
P= 2000(PA1051710)
= 2000(60104)
= $12021
NancyLu
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Comparacioacuten entre la duracioacuten del periodo de pago y del periodo de capitalizacioacuten (PP versus PC)
En los caacutelculos de equivalencia con porcentajes altos la frecuencia de los flujos de efectivo no es igual a la frecuencia de la capitalizacioacuten de los intereses
Resulta esencial que se utilice el mismo periodo para el periodo de capitalizacioacuten y el periodo de pago y en consecuencia la tasa de intereacutes se ajuste
Cuando solo existen pagos uacutenicos no hay periodo de pago PP definido en si por los flujos de efectivo La duracioacuten del PP por lo tanto queda definida por el periodo t del enunciado de la tasa de intereacutes
ErickMe
bull Ejemplo
Suponga que los flujos de efectivo ocurren cada 6 meses
(PP semestral) y que el intereacutes tiene un periodo de
capacitacioacuten trimestral (PC trimestral) Despueacutes de 3 meses
no hay flujo de efectivo ni es necesario determinar el efecto
de la composicioacuten trimestral Sin embargo en el mes 6 es
necesario considerar los intereses acumulados durante los
dos periodos de composicioacuten trimestrales anteriores
ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos con PPgePC
Cuando se trata exclusivamente de flujos de efectivo de pago uacutenico hay dos formas igualmente correctas de determinar i y n para los factores PF y FP
Meacutetodo 1
Se determina la tasa de intereacutes efectiva durante el periodo de composicioacuten PC y se iguala n al nuacutemero de periodos de composicioacuten entre P y F Las relaciones para calcular P y F son
P=F (PF i efectiva por PC nuacutemero total de periodos n)
F=P (FB i efectiva por PC nuacutemero total de periodos n)
ErickMe
bull Ejemplo
Suponga que la tarjeta de creacutedito es una tasa efectiva de
15 anual compuesto mensualmente
En este caso PC es igual a un mes
Para calcular el P o F a lo largo de un periodo de dos antildeos
se calcula la tasa mensual efectiva de 15 12= 125
Y el total de meses de 2 (12)=24 Asiacute los valores 125 y
24 se utiliza para el caacutelculo de los factores PF y FP
ErickMe
Meacutetodo 2
Se determina la tasa de intereacutes efectiva para el periodo t de la
tasa nominal y sea n igual al nuacutemero total de periodos
utilizados en el mismo periodo utilizando el mismo periodo
Las formulas P y F son las mismas que las de las ecuaciones
antes mencionadas salvo que el termino i efectiva por t se
sustituye por la tasa de intereacutes
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Series con PP ge PC
Si los flujos de efectivo son trimestrales el PP es de un trimestre
y por consiguiente se necesita una tasa de intereacutes efectiva
trimestral El valor n es el nuacutemero total de trimestres Si PP es
igual a un trimestre 5 antildeos se traducen en un valor de n de 20
trimestres Esto constituye una aplicacioacuten directa de la siguiente
directriz general
Cuando los flujos de efectivo implican una serie (por ejemplo A
G g) y el periodo de pago es igual o mayor que el periodo de
capitalizacioacuten
Se calcula la tasa de intereacutes efectiva i por periodo de pago
Se determina n como el nuacutemero total de periodos de pago
AleTzec
La siguiente tabla muestra la formulacioacuten correcta de diversas
series de flujo de efectivo y tasa de intereacutes
Observe que n siempre es igual al nuacutemero total de periodos de
pago y que i es una tasa de intereacutes efectiva que se expresa de
acuerdo con el mismo periodo que n
AleTzec
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos y series con PP lt PC
bull Ejemplos
Si un banco le cobra a una persona intereses el diacutea 15 del
mes en sus pagos de tarjeta de creacutedito y si la persona hace
el pago completo el diacutea primero iquestreduce la institucioacuten
financiera los intereses sobre la base de un pago anticipado
La respuesta comuacuten es no
Si una empresa grande hiciera pagos mensuales para cubrir
un preacutestamo bancario de $10 millones con un intereacutes
compuesto trimestral el ejecutivo de finanzas de la empresa
probablemente insistiriacutea en que el banco redujera la
cantidad de intereses basaacutendose en el pago anticipado
AleTzec
El momento de ocurrencia de las transacciones de flujo de
efectivo entre puntos de capitalizacioacuten implica la pregunta
de coacutemo manejar la capitalizacioacuten inter-perioacutedica
Fundamentalmente existen dos poliacuteticas los flujos de
efectivo entre periodos no ganan intereses o ganan un
intereacutes compuesto
AleTzec
Fin
ia=(1+0015)12 ndash 1= 19562 ndash 1= 019562 (195)
F= $ 1 000 (119562)= $ 1 19562
Jacki pagaraacute 19562 o $19562 maacutes los $1 000 del
saldo por la utilizacioacuten del dinero del banco durante el
antildeo $119662
SalmaVa
1 La sentildeora Jones planea colocar dinero en un
certificado de depoacutesito JUMBO que paga 18 anual
compuesto diariamente iquestQueacute tasa efectiva recibiraacute ella
a) anualmente
r= 018 y m= 365
i anual = (1 + 018365)365 - 1
= 019716 (19716)
Es decir la sentildeora Jones obtendraacute un 19716 efectivo
sobre su depoacutesito
b) semestralmente
b) r= 009 durante 6 meses y m= 182 diacuteas
i por 6 meses = 009415 (9415)
SalmaVa
bull Tasa de Intereacutes Efectivas Para Cualquier Periodo
Para entender la diferencia entre un periodo de pago (PP) y el periodo de composicioacuten podemos decir que una compantildeiacutea deposita dinero cada mes en una cuenta que da rendimientos con una tasa de intereacutes nominal de 14 anual con un periodo de composicioacuten semestral es periodo de pago es un mes mientras que el periodo de composicioacuten es de 6 meses
GenaroVi
Para evaluar aquellos flujos de efectivo que se presentan
con mayor frecuencia que la anual es decir PPlt 1 antildeo
debe utilizarse la tasa de intereacutes efectiva durante el PP La
foacutermula de la tasa de intereacutes anual efectiva se generaliza
faacutecilmente para cualquier tasa nominal
i efectivo = (1 + rm
)m -1
donde
r = tasa de intereacutes nominal por periodo de pago PP
m = nuacutem de periodos de composicioacuten por periodo de pago
(PC por PP)
GenaroVi
bull Ejemplo
Una tarjeta de creacutedito nacional tiene una tasa de intereacutes del
2 mensual sobre el saldo no pagado
a) Calcule la tasa efectiva por periodo semestral
b) Si la tasa de intereacutes se expresa como 5 por trimestre
encuentre las tasas efectivas por periodos semestrales y
anuales
Solucioacuten
a) En esta parte del ejemplo el periodo de capitalizacioacuten es
mensual Dado que se desea obtener la tasa de intereacutes
efectiva por periodo semestral la tasa nominal por 6 meses
r = 2 mensual x 6 meses por periodo semestral
r = 12 por periodo semestral
GenaroVi
por cada 6 meses = 1 + 012
6
6
minus 1
= 01262 1262
b) Para una tasa de intereacutes del 5 por trimestre el periodo
de capitalizacioacuten es trimestral Por consiguiente en un
periodo semestral m=2 y r= 10 En consecuencia
i por cada 6 meses = 1 +010
2
2
minus 1
= 02155 2155
GenaroVi
bull Tasa De Intereacutes Efectiva Que Variacutea Con El
Tiempo
Las tasas de intereacutes reales para una corporacioacuten variacutean antildeo
con antildeo dependiendo del estado financiero de la empresa
de su sector den el mercado de las economiacuteas nacional e
internacional de las fuerzas de inflacioacuten y de muchos otros
factores
GenaroVi
Ejemplos
bull Las hipotecas de bienes inmuebles financiados
mediante un intereacutes HTA (Hipoteca de Tasa Ajustable)
La tasa de hipoteca se ajusta ligeramente cada antildeo para
que refleje la antiguumledad del preacutestamo el costo actual del
dinero de la hipoteca etc
GenaroVi
bull Los bonos protegidos contra la inflacioacuten (emitidos por
el gobierno de Estados Unidos y otras agencias)
La tasa de dividendos que paga el bono permanece
constante a lo largo de su periodo de vida sin embargo a
la cantidad global que se debe al propietario del bono
cuando alcanza su madurez se le aplica un ajuste
ascendente de acuerdo con el iacutendice de inflacioacuten del
iacutendice de precios al consumidor (IPC) Esto significa que
la tasa anual de rendimiento se incrementaraacute cada antildeo de
acuerdo con la inflacioacuten observada
GenaroVi
Tasas De Intereacutes Efectivas Para
Capitalizacioacuten Continua
A medida que el periodo de capitalizacioacuten disminuye el
valor de m nuacutemero de periodos de capitalizacioacuten por
periodo de intereacutes aumenta
Cuando el intereacutes se capitaliza en forma continua m se
acerca a infinito y la foacutermula de tasa de intereacutes efectiva en
la ecuacioacuten puede escribirse de una nueva forma
definicioacuten de la base del logaritmo natural
NancyLu
A medida que m se acerca a infinito el liacutemite de la formula
de las tasa de intereacutes efectiva se encuentra utilizando
rm = lh lo que hace m =hr
Ecuacioacuten que se utiliza para calcular la tasa de intereacutes
efectiva continua
NancyLu
bull Ejemplo
a) Para una tasa de intereacutes del 18 anual compuesto en forma
continua calcule la tasa de intereacutes efectiva anual y mensual
b) Sin un inversionista exige un retorno efectivo de por lo
menos el 15 sobre su dinero iquestCuaacutel es la tasa miacutenima anual
nominal aceptable si tiene lugar una capitalizacioacuten continua
Solucioacuten
a) La tasa de intereacutes mensual r es =1812 = 15 mensual La tasa
efectiva mensual es
En forma similar a la tasa efectiva anual utilizando r = 018 anual
es
NancyLu
b) En este problema es preciso resolver la ecuacioacuten de la
tasa de intereacutes efectiva en sentido contrario puesto que se
tiene i y se desea r por lo tanto para i=15 anual debe
resolverse para r tomando el logaritmo natural
Por consiguiente una tasa del 13976 anual compuesto
en forma continua generara una tasa de retorno efectiva
anual del 15
NancyLu
bull Ejemplo
Si se depositan $2000 cada antildeo durante 10 antildeos a una tasa de
intereses del 10 anual compare el valor presente para
capitalizacioacuten (a) anual y (b) capitalizacioacuten continua
Solucioacuten
Para capitalizacioacuten anual
P = 2000(PA1010) = 2000(61446) = $12289
(b) Para capitalizacioacuten continua
ianual = e⁰ sup1⁰ ndash 1 = 010517 (10517)
P= 2000(PA1051710)
= 2000(60104)
= $12021
NancyLu
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Comparacioacuten entre la duracioacuten del periodo de pago y del periodo de capitalizacioacuten (PP versus PC)
En los caacutelculos de equivalencia con porcentajes altos la frecuencia de los flujos de efectivo no es igual a la frecuencia de la capitalizacioacuten de los intereses
Resulta esencial que se utilice el mismo periodo para el periodo de capitalizacioacuten y el periodo de pago y en consecuencia la tasa de intereacutes se ajuste
Cuando solo existen pagos uacutenicos no hay periodo de pago PP definido en si por los flujos de efectivo La duracioacuten del PP por lo tanto queda definida por el periodo t del enunciado de la tasa de intereacutes
ErickMe
bull Ejemplo
Suponga que los flujos de efectivo ocurren cada 6 meses
(PP semestral) y que el intereacutes tiene un periodo de
capacitacioacuten trimestral (PC trimestral) Despueacutes de 3 meses
no hay flujo de efectivo ni es necesario determinar el efecto
de la composicioacuten trimestral Sin embargo en el mes 6 es
necesario considerar los intereses acumulados durante los
dos periodos de composicioacuten trimestrales anteriores
ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos con PPgePC
Cuando se trata exclusivamente de flujos de efectivo de pago uacutenico hay dos formas igualmente correctas de determinar i y n para los factores PF y FP
Meacutetodo 1
Se determina la tasa de intereacutes efectiva durante el periodo de composicioacuten PC y se iguala n al nuacutemero de periodos de composicioacuten entre P y F Las relaciones para calcular P y F son
P=F (PF i efectiva por PC nuacutemero total de periodos n)
F=P (FB i efectiva por PC nuacutemero total de periodos n)
ErickMe
bull Ejemplo
Suponga que la tarjeta de creacutedito es una tasa efectiva de
15 anual compuesto mensualmente
En este caso PC es igual a un mes
Para calcular el P o F a lo largo de un periodo de dos antildeos
se calcula la tasa mensual efectiva de 15 12= 125
Y el total de meses de 2 (12)=24 Asiacute los valores 125 y
24 se utiliza para el caacutelculo de los factores PF y FP
ErickMe
Meacutetodo 2
Se determina la tasa de intereacutes efectiva para el periodo t de la
tasa nominal y sea n igual al nuacutemero total de periodos
utilizados en el mismo periodo utilizando el mismo periodo
Las formulas P y F son las mismas que las de las ecuaciones
antes mencionadas salvo que el termino i efectiva por t se
sustituye por la tasa de intereacutes
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Series con PP ge PC
Si los flujos de efectivo son trimestrales el PP es de un trimestre
y por consiguiente se necesita una tasa de intereacutes efectiva
trimestral El valor n es el nuacutemero total de trimestres Si PP es
igual a un trimestre 5 antildeos se traducen en un valor de n de 20
trimestres Esto constituye una aplicacioacuten directa de la siguiente
directriz general
Cuando los flujos de efectivo implican una serie (por ejemplo A
G g) y el periodo de pago es igual o mayor que el periodo de
capitalizacioacuten
Se calcula la tasa de intereacutes efectiva i por periodo de pago
Se determina n como el nuacutemero total de periodos de pago
AleTzec
La siguiente tabla muestra la formulacioacuten correcta de diversas
series de flujo de efectivo y tasa de intereacutes
Observe que n siempre es igual al nuacutemero total de periodos de
pago y que i es una tasa de intereacutes efectiva que se expresa de
acuerdo con el mismo periodo que n
AleTzec
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos y series con PP lt PC
bull Ejemplos
Si un banco le cobra a una persona intereses el diacutea 15 del
mes en sus pagos de tarjeta de creacutedito y si la persona hace
el pago completo el diacutea primero iquestreduce la institucioacuten
financiera los intereses sobre la base de un pago anticipado
La respuesta comuacuten es no
Si una empresa grande hiciera pagos mensuales para cubrir
un preacutestamo bancario de $10 millones con un intereacutes
compuesto trimestral el ejecutivo de finanzas de la empresa
probablemente insistiriacutea en que el banco redujera la
cantidad de intereses basaacutendose en el pago anticipado
AleTzec
El momento de ocurrencia de las transacciones de flujo de
efectivo entre puntos de capitalizacioacuten implica la pregunta
de coacutemo manejar la capitalizacioacuten inter-perioacutedica
Fundamentalmente existen dos poliacuteticas los flujos de
efectivo entre periodos no ganan intereses o ganan un
intereacutes compuesto
AleTzec
Fin
1 La sentildeora Jones planea colocar dinero en un
certificado de depoacutesito JUMBO que paga 18 anual
compuesto diariamente iquestQueacute tasa efectiva recibiraacute ella
a) anualmente
r= 018 y m= 365
i anual = (1 + 018365)365 - 1
= 019716 (19716)
Es decir la sentildeora Jones obtendraacute un 19716 efectivo
sobre su depoacutesito
b) semestralmente
b) r= 009 durante 6 meses y m= 182 diacuteas
i por 6 meses = 009415 (9415)
SalmaVa
bull Tasa de Intereacutes Efectivas Para Cualquier Periodo
Para entender la diferencia entre un periodo de pago (PP) y el periodo de composicioacuten podemos decir que una compantildeiacutea deposita dinero cada mes en una cuenta que da rendimientos con una tasa de intereacutes nominal de 14 anual con un periodo de composicioacuten semestral es periodo de pago es un mes mientras que el periodo de composicioacuten es de 6 meses
GenaroVi
Para evaluar aquellos flujos de efectivo que se presentan
con mayor frecuencia que la anual es decir PPlt 1 antildeo
debe utilizarse la tasa de intereacutes efectiva durante el PP La
foacutermula de la tasa de intereacutes anual efectiva se generaliza
faacutecilmente para cualquier tasa nominal
i efectivo = (1 + rm
)m -1
donde
r = tasa de intereacutes nominal por periodo de pago PP
m = nuacutem de periodos de composicioacuten por periodo de pago
(PC por PP)
GenaroVi
bull Ejemplo
Una tarjeta de creacutedito nacional tiene una tasa de intereacutes del
2 mensual sobre el saldo no pagado
a) Calcule la tasa efectiva por periodo semestral
b) Si la tasa de intereacutes se expresa como 5 por trimestre
encuentre las tasas efectivas por periodos semestrales y
anuales
Solucioacuten
a) En esta parte del ejemplo el periodo de capitalizacioacuten es
mensual Dado que se desea obtener la tasa de intereacutes
efectiva por periodo semestral la tasa nominal por 6 meses
r = 2 mensual x 6 meses por periodo semestral
r = 12 por periodo semestral
GenaroVi
por cada 6 meses = 1 + 012
6
6
minus 1
= 01262 1262
b) Para una tasa de intereacutes del 5 por trimestre el periodo
de capitalizacioacuten es trimestral Por consiguiente en un
periodo semestral m=2 y r= 10 En consecuencia
i por cada 6 meses = 1 +010
2
2
minus 1
= 02155 2155
GenaroVi
bull Tasa De Intereacutes Efectiva Que Variacutea Con El
Tiempo
Las tasas de intereacutes reales para una corporacioacuten variacutean antildeo
con antildeo dependiendo del estado financiero de la empresa
de su sector den el mercado de las economiacuteas nacional e
internacional de las fuerzas de inflacioacuten y de muchos otros
factores
GenaroVi
Ejemplos
bull Las hipotecas de bienes inmuebles financiados
mediante un intereacutes HTA (Hipoteca de Tasa Ajustable)
La tasa de hipoteca se ajusta ligeramente cada antildeo para
que refleje la antiguumledad del preacutestamo el costo actual del
dinero de la hipoteca etc
GenaroVi
bull Los bonos protegidos contra la inflacioacuten (emitidos por
el gobierno de Estados Unidos y otras agencias)
La tasa de dividendos que paga el bono permanece
constante a lo largo de su periodo de vida sin embargo a
la cantidad global que se debe al propietario del bono
cuando alcanza su madurez se le aplica un ajuste
ascendente de acuerdo con el iacutendice de inflacioacuten del
iacutendice de precios al consumidor (IPC) Esto significa que
la tasa anual de rendimiento se incrementaraacute cada antildeo de
acuerdo con la inflacioacuten observada
GenaroVi
Tasas De Intereacutes Efectivas Para
Capitalizacioacuten Continua
A medida que el periodo de capitalizacioacuten disminuye el
valor de m nuacutemero de periodos de capitalizacioacuten por
periodo de intereacutes aumenta
Cuando el intereacutes se capitaliza en forma continua m se
acerca a infinito y la foacutermula de tasa de intereacutes efectiva en
la ecuacioacuten puede escribirse de una nueva forma
definicioacuten de la base del logaritmo natural
NancyLu
A medida que m se acerca a infinito el liacutemite de la formula
de las tasa de intereacutes efectiva se encuentra utilizando
rm = lh lo que hace m =hr
Ecuacioacuten que se utiliza para calcular la tasa de intereacutes
efectiva continua
NancyLu
bull Ejemplo
a) Para una tasa de intereacutes del 18 anual compuesto en forma
continua calcule la tasa de intereacutes efectiva anual y mensual
b) Sin un inversionista exige un retorno efectivo de por lo
menos el 15 sobre su dinero iquestCuaacutel es la tasa miacutenima anual
nominal aceptable si tiene lugar una capitalizacioacuten continua
Solucioacuten
a) La tasa de intereacutes mensual r es =1812 = 15 mensual La tasa
efectiva mensual es
En forma similar a la tasa efectiva anual utilizando r = 018 anual
es
NancyLu
b) En este problema es preciso resolver la ecuacioacuten de la
tasa de intereacutes efectiva en sentido contrario puesto que se
tiene i y se desea r por lo tanto para i=15 anual debe
resolverse para r tomando el logaritmo natural
Por consiguiente una tasa del 13976 anual compuesto
en forma continua generara una tasa de retorno efectiva
anual del 15
NancyLu
bull Ejemplo
Si se depositan $2000 cada antildeo durante 10 antildeos a una tasa de
intereses del 10 anual compare el valor presente para
capitalizacioacuten (a) anual y (b) capitalizacioacuten continua
Solucioacuten
Para capitalizacioacuten anual
P = 2000(PA1010) = 2000(61446) = $12289
(b) Para capitalizacioacuten continua
ianual = e⁰ sup1⁰ ndash 1 = 010517 (10517)
P= 2000(PA1051710)
= 2000(60104)
= $12021
NancyLu
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Comparacioacuten entre la duracioacuten del periodo de pago y del periodo de capitalizacioacuten (PP versus PC)
En los caacutelculos de equivalencia con porcentajes altos la frecuencia de los flujos de efectivo no es igual a la frecuencia de la capitalizacioacuten de los intereses
Resulta esencial que se utilice el mismo periodo para el periodo de capitalizacioacuten y el periodo de pago y en consecuencia la tasa de intereacutes se ajuste
Cuando solo existen pagos uacutenicos no hay periodo de pago PP definido en si por los flujos de efectivo La duracioacuten del PP por lo tanto queda definida por el periodo t del enunciado de la tasa de intereacutes
ErickMe
bull Ejemplo
Suponga que los flujos de efectivo ocurren cada 6 meses
(PP semestral) y que el intereacutes tiene un periodo de
capacitacioacuten trimestral (PC trimestral) Despueacutes de 3 meses
no hay flujo de efectivo ni es necesario determinar el efecto
de la composicioacuten trimestral Sin embargo en el mes 6 es
necesario considerar los intereses acumulados durante los
dos periodos de composicioacuten trimestrales anteriores
ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos con PPgePC
Cuando se trata exclusivamente de flujos de efectivo de pago uacutenico hay dos formas igualmente correctas de determinar i y n para los factores PF y FP
Meacutetodo 1
Se determina la tasa de intereacutes efectiva durante el periodo de composicioacuten PC y se iguala n al nuacutemero de periodos de composicioacuten entre P y F Las relaciones para calcular P y F son
P=F (PF i efectiva por PC nuacutemero total de periodos n)
F=P (FB i efectiva por PC nuacutemero total de periodos n)
ErickMe
bull Ejemplo
Suponga que la tarjeta de creacutedito es una tasa efectiva de
15 anual compuesto mensualmente
En este caso PC es igual a un mes
Para calcular el P o F a lo largo de un periodo de dos antildeos
se calcula la tasa mensual efectiva de 15 12= 125
Y el total de meses de 2 (12)=24 Asiacute los valores 125 y
24 se utiliza para el caacutelculo de los factores PF y FP
ErickMe
Meacutetodo 2
Se determina la tasa de intereacutes efectiva para el periodo t de la
tasa nominal y sea n igual al nuacutemero total de periodos
utilizados en el mismo periodo utilizando el mismo periodo
Las formulas P y F son las mismas que las de las ecuaciones
antes mencionadas salvo que el termino i efectiva por t se
sustituye por la tasa de intereacutes
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Series con PP ge PC
Si los flujos de efectivo son trimestrales el PP es de un trimestre
y por consiguiente se necesita una tasa de intereacutes efectiva
trimestral El valor n es el nuacutemero total de trimestres Si PP es
igual a un trimestre 5 antildeos se traducen en un valor de n de 20
trimestres Esto constituye una aplicacioacuten directa de la siguiente
directriz general
Cuando los flujos de efectivo implican una serie (por ejemplo A
G g) y el periodo de pago es igual o mayor que el periodo de
capitalizacioacuten
Se calcula la tasa de intereacutes efectiva i por periodo de pago
Se determina n como el nuacutemero total de periodos de pago
AleTzec
La siguiente tabla muestra la formulacioacuten correcta de diversas
series de flujo de efectivo y tasa de intereacutes
Observe que n siempre es igual al nuacutemero total de periodos de
pago y que i es una tasa de intereacutes efectiva que se expresa de
acuerdo con el mismo periodo que n
AleTzec
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos y series con PP lt PC
bull Ejemplos
Si un banco le cobra a una persona intereses el diacutea 15 del
mes en sus pagos de tarjeta de creacutedito y si la persona hace
el pago completo el diacutea primero iquestreduce la institucioacuten
financiera los intereses sobre la base de un pago anticipado
La respuesta comuacuten es no
Si una empresa grande hiciera pagos mensuales para cubrir
un preacutestamo bancario de $10 millones con un intereacutes
compuesto trimestral el ejecutivo de finanzas de la empresa
probablemente insistiriacutea en que el banco redujera la
cantidad de intereses basaacutendose en el pago anticipado
AleTzec
El momento de ocurrencia de las transacciones de flujo de
efectivo entre puntos de capitalizacioacuten implica la pregunta
de coacutemo manejar la capitalizacioacuten inter-perioacutedica
Fundamentalmente existen dos poliacuteticas los flujos de
efectivo entre periodos no ganan intereses o ganan un
intereacutes compuesto
AleTzec
Fin
bull Tasa de Intereacutes Efectivas Para Cualquier Periodo
Para entender la diferencia entre un periodo de pago (PP) y el periodo de composicioacuten podemos decir que una compantildeiacutea deposita dinero cada mes en una cuenta que da rendimientos con una tasa de intereacutes nominal de 14 anual con un periodo de composicioacuten semestral es periodo de pago es un mes mientras que el periodo de composicioacuten es de 6 meses
GenaroVi
Para evaluar aquellos flujos de efectivo que se presentan
con mayor frecuencia que la anual es decir PPlt 1 antildeo
debe utilizarse la tasa de intereacutes efectiva durante el PP La
foacutermula de la tasa de intereacutes anual efectiva se generaliza
faacutecilmente para cualquier tasa nominal
i efectivo = (1 + rm
)m -1
donde
r = tasa de intereacutes nominal por periodo de pago PP
m = nuacutem de periodos de composicioacuten por periodo de pago
(PC por PP)
GenaroVi
bull Ejemplo
Una tarjeta de creacutedito nacional tiene una tasa de intereacutes del
2 mensual sobre el saldo no pagado
a) Calcule la tasa efectiva por periodo semestral
b) Si la tasa de intereacutes se expresa como 5 por trimestre
encuentre las tasas efectivas por periodos semestrales y
anuales
Solucioacuten
a) En esta parte del ejemplo el periodo de capitalizacioacuten es
mensual Dado que se desea obtener la tasa de intereacutes
efectiva por periodo semestral la tasa nominal por 6 meses
r = 2 mensual x 6 meses por periodo semestral
r = 12 por periodo semestral
GenaroVi
por cada 6 meses = 1 + 012
6
6
minus 1
= 01262 1262
b) Para una tasa de intereacutes del 5 por trimestre el periodo
de capitalizacioacuten es trimestral Por consiguiente en un
periodo semestral m=2 y r= 10 En consecuencia
i por cada 6 meses = 1 +010
2
2
minus 1
= 02155 2155
GenaroVi
bull Tasa De Intereacutes Efectiva Que Variacutea Con El
Tiempo
Las tasas de intereacutes reales para una corporacioacuten variacutean antildeo
con antildeo dependiendo del estado financiero de la empresa
de su sector den el mercado de las economiacuteas nacional e
internacional de las fuerzas de inflacioacuten y de muchos otros
factores
GenaroVi
Ejemplos
bull Las hipotecas de bienes inmuebles financiados
mediante un intereacutes HTA (Hipoteca de Tasa Ajustable)
La tasa de hipoteca se ajusta ligeramente cada antildeo para
que refleje la antiguumledad del preacutestamo el costo actual del
dinero de la hipoteca etc
GenaroVi
bull Los bonos protegidos contra la inflacioacuten (emitidos por
el gobierno de Estados Unidos y otras agencias)
La tasa de dividendos que paga el bono permanece
constante a lo largo de su periodo de vida sin embargo a
la cantidad global que se debe al propietario del bono
cuando alcanza su madurez se le aplica un ajuste
ascendente de acuerdo con el iacutendice de inflacioacuten del
iacutendice de precios al consumidor (IPC) Esto significa que
la tasa anual de rendimiento se incrementaraacute cada antildeo de
acuerdo con la inflacioacuten observada
GenaroVi
Tasas De Intereacutes Efectivas Para
Capitalizacioacuten Continua
A medida que el periodo de capitalizacioacuten disminuye el
valor de m nuacutemero de periodos de capitalizacioacuten por
periodo de intereacutes aumenta
Cuando el intereacutes se capitaliza en forma continua m se
acerca a infinito y la foacutermula de tasa de intereacutes efectiva en
la ecuacioacuten puede escribirse de una nueva forma
definicioacuten de la base del logaritmo natural
NancyLu
A medida que m se acerca a infinito el liacutemite de la formula
de las tasa de intereacutes efectiva se encuentra utilizando
rm = lh lo que hace m =hr
Ecuacioacuten que se utiliza para calcular la tasa de intereacutes
efectiva continua
NancyLu
bull Ejemplo
a) Para una tasa de intereacutes del 18 anual compuesto en forma
continua calcule la tasa de intereacutes efectiva anual y mensual
b) Sin un inversionista exige un retorno efectivo de por lo
menos el 15 sobre su dinero iquestCuaacutel es la tasa miacutenima anual
nominal aceptable si tiene lugar una capitalizacioacuten continua
Solucioacuten
a) La tasa de intereacutes mensual r es =1812 = 15 mensual La tasa
efectiva mensual es
En forma similar a la tasa efectiva anual utilizando r = 018 anual
es
NancyLu
b) En este problema es preciso resolver la ecuacioacuten de la
tasa de intereacutes efectiva en sentido contrario puesto que se
tiene i y se desea r por lo tanto para i=15 anual debe
resolverse para r tomando el logaritmo natural
Por consiguiente una tasa del 13976 anual compuesto
en forma continua generara una tasa de retorno efectiva
anual del 15
NancyLu
bull Ejemplo
Si se depositan $2000 cada antildeo durante 10 antildeos a una tasa de
intereses del 10 anual compare el valor presente para
capitalizacioacuten (a) anual y (b) capitalizacioacuten continua
Solucioacuten
Para capitalizacioacuten anual
P = 2000(PA1010) = 2000(61446) = $12289
(b) Para capitalizacioacuten continua
ianual = e⁰ sup1⁰ ndash 1 = 010517 (10517)
P= 2000(PA1051710)
= 2000(60104)
= $12021
NancyLu
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Comparacioacuten entre la duracioacuten del periodo de pago y del periodo de capitalizacioacuten (PP versus PC)
En los caacutelculos de equivalencia con porcentajes altos la frecuencia de los flujos de efectivo no es igual a la frecuencia de la capitalizacioacuten de los intereses
Resulta esencial que se utilice el mismo periodo para el periodo de capitalizacioacuten y el periodo de pago y en consecuencia la tasa de intereacutes se ajuste
Cuando solo existen pagos uacutenicos no hay periodo de pago PP definido en si por los flujos de efectivo La duracioacuten del PP por lo tanto queda definida por el periodo t del enunciado de la tasa de intereacutes
ErickMe
bull Ejemplo
Suponga que los flujos de efectivo ocurren cada 6 meses
(PP semestral) y que el intereacutes tiene un periodo de
capacitacioacuten trimestral (PC trimestral) Despueacutes de 3 meses
no hay flujo de efectivo ni es necesario determinar el efecto
de la composicioacuten trimestral Sin embargo en el mes 6 es
necesario considerar los intereses acumulados durante los
dos periodos de composicioacuten trimestrales anteriores
ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos con PPgePC
Cuando se trata exclusivamente de flujos de efectivo de pago uacutenico hay dos formas igualmente correctas de determinar i y n para los factores PF y FP
Meacutetodo 1
Se determina la tasa de intereacutes efectiva durante el periodo de composicioacuten PC y se iguala n al nuacutemero de periodos de composicioacuten entre P y F Las relaciones para calcular P y F son
P=F (PF i efectiva por PC nuacutemero total de periodos n)
F=P (FB i efectiva por PC nuacutemero total de periodos n)
ErickMe
bull Ejemplo
Suponga que la tarjeta de creacutedito es una tasa efectiva de
15 anual compuesto mensualmente
En este caso PC es igual a un mes
Para calcular el P o F a lo largo de un periodo de dos antildeos
se calcula la tasa mensual efectiva de 15 12= 125
Y el total de meses de 2 (12)=24 Asiacute los valores 125 y
24 se utiliza para el caacutelculo de los factores PF y FP
ErickMe
Meacutetodo 2
Se determina la tasa de intereacutes efectiva para el periodo t de la
tasa nominal y sea n igual al nuacutemero total de periodos
utilizados en el mismo periodo utilizando el mismo periodo
Las formulas P y F son las mismas que las de las ecuaciones
antes mencionadas salvo que el termino i efectiva por t se
sustituye por la tasa de intereacutes
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Series con PP ge PC
Si los flujos de efectivo son trimestrales el PP es de un trimestre
y por consiguiente se necesita una tasa de intereacutes efectiva
trimestral El valor n es el nuacutemero total de trimestres Si PP es
igual a un trimestre 5 antildeos se traducen en un valor de n de 20
trimestres Esto constituye una aplicacioacuten directa de la siguiente
directriz general
Cuando los flujos de efectivo implican una serie (por ejemplo A
G g) y el periodo de pago es igual o mayor que el periodo de
capitalizacioacuten
Se calcula la tasa de intereacutes efectiva i por periodo de pago
Se determina n como el nuacutemero total de periodos de pago
AleTzec
La siguiente tabla muestra la formulacioacuten correcta de diversas
series de flujo de efectivo y tasa de intereacutes
Observe que n siempre es igual al nuacutemero total de periodos de
pago y que i es una tasa de intereacutes efectiva que se expresa de
acuerdo con el mismo periodo que n
AleTzec
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos y series con PP lt PC
bull Ejemplos
Si un banco le cobra a una persona intereses el diacutea 15 del
mes en sus pagos de tarjeta de creacutedito y si la persona hace
el pago completo el diacutea primero iquestreduce la institucioacuten
financiera los intereses sobre la base de un pago anticipado
La respuesta comuacuten es no
Si una empresa grande hiciera pagos mensuales para cubrir
un preacutestamo bancario de $10 millones con un intereacutes
compuesto trimestral el ejecutivo de finanzas de la empresa
probablemente insistiriacutea en que el banco redujera la
cantidad de intereses basaacutendose en el pago anticipado
AleTzec
El momento de ocurrencia de las transacciones de flujo de
efectivo entre puntos de capitalizacioacuten implica la pregunta
de coacutemo manejar la capitalizacioacuten inter-perioacutedica
Fundamentalmente existen dos poliacuteticas los flujos de
efectivo entre periodos no ganan intereses o ganan un
intereacutes compuesto
AleTzec
Fin
Para evaluar aquellos flujos de efectivo que se presentan
con mayor frecuencia que la anual es decir PPlt 1 antildeo
debe utilizarse la tasa de intereacutes efectiva durante el PP La
foacutermula de la tasa de intereacutes anual efectiva se generaliza
faacutecilmente para cualquier tasa nominal
i efectivo = (1 + rm
)m -1
donde
r = tasa de intereacutes nominal por periodo de pago PP
m = nuacutem de periodos de composicioacuten por periodo de pago
(PC por PP)
GenaroVi
bull Ejemplo
Una tarjeta de creacutedito nacional tiene una tasa de intereacutes del
2 mensual sobre el saldo no pagado
a) Calcule la tasa efectiva por periodo semestral
b) Si la tasa de intereacutes se expresa como 5 por trimestre
encuentre las tasas efectivas por periodos semestrales y
anuales
Solucioacuten
a) En esta parte del ejemplo el periodo de capitalizacioacuten es
mensual Dado que se desea obtener la tasa de intereacutes
efectiva por periodo semestral la tasa nominal por 6 meses
r = 2 mensual x 6 meses por periodo semestral
r = 12 por periodo semestral
GenaroVi
por cada 6 meses = 1 + 012
6
6
minus 1
= 01262 1262
b) Para una tasa de intereacutes del 5 por trimestre el periodo
de capitalizacioacuten es trimestral Por consiguiente en un
periodo semestral m=2 y r= 10 En consecuencia
i por cada 6 meses = 1 +010
2
2
minus 1
= 02155 2155
GenaroVi
bull Tasa De Intereacutes Efectiva Que Variacutea Con El
Tiempo
Las tasas de intereacutes reales para una corporacioacuten variacutean antildeo
con antildeo dependiendo del estado financiero de la empresa
de su sector den el mercado de las economiacuteas nacional e
internacional de las fuerzas de inflacioacuten y de muchos otros
factores
GenaroVi
Ejemplos
bull Las hipotecas de bienes inmuebles financiados
mediante un intereacutes HTA (Hipoteca de Tasa Ajustable)
La tasa de hipoteca se ajusta ligeramente cada antildeo para
que refleje la antiguumledad del preacutestamo el costo actual del
dinero de la hipoteca etc
GenaroVi
bull Los bonos protegidos contra la inflacioacuten (emitidos por
el gobierno de Estados Unidos y otras agencias)
La tasa de dividendos que paga el bono permanece
constante a lo largo de su periodo de vida sin embargo a
la cantidad global que se debe al propietario del bono
cuando alcanza su madurez se le aplica un ajuste
ascendente de acuerdo con el iacutendice de inflacioacuten del
iacutendice de precios al consumidor (IPC) Esto significa que
la tasa anual de rendimiento se incrementaraacute cada antildeo de
acuerdo con la inflacioacuten observada
GenaroVi
Tasas De Intereacutes Efectivas Para
Capitalizacioacuten Continua
A medida que el periodo de capitalizacioacuten disminuye el
valor de m nuacutemero de periodos de capitalizacioacuten por
periodo de intereacutes aumenta
Cuando el intereacutes se capitaliza en forma continua m se
acerca a infinito y la foacutermula de tasa de intereacutes efectiva en
la ecuacioacuten puede escribirse de una nueva forma
definicioacuten de la base del logaritmo natural
NancyLu
A medida que m se acerca a infinito el liacutemite de la formula
de las tasa de intereacutes efectiva se encuentra utilizando
rm = lh lo que hace m =hr
Ecuacioacuten que se utiliza para calcular la tasa de intereacutes
efectiva continua
NancyLu
bull Ejemplo
a) Para una tasa de intereacutes del 18 anual compuesto en forma
continua calcule la tasa de intereacutes efectiva anual y mensual
b) Sin un inversionista exige un retorno efectivo de por lo
menos el 15 sobre su dinero iquestCuaacutel es la tasa miacutenima anual
nominal aceptable si tiene lugar una capitalizacioacuten continua
Solucioacuten
a) La tasa de intereacutes mensual r es =1812 = 15 mensual La tasa
efectiva mensual es
En forma similar a la tasa efectiva anual utilizando r = 018 anual
es
NancyLu
b) En este problema es preciso resolver la ecuacioacuten de la
tasa de intereacutes efectiva en sentido contrario puesto que se
tiene i y se desea r por lo tanto para i=15 anual debe
resolverse para r tomando el logaritmo natural
Por consiguiente una tasa del 13976 anual compuesto
en forma continua generara una tasa de retorno efectiva
anual del 15
NancyLu
bull Ejemplo
Si se depositan $2000 cada antildeo durante 10 antildeos a una tasa de
intereses del 10 anual compare el valor presente para
capitalizacioacuten (a) anual y (b) capitalizacioacuten continua
Solucioacuten
Para capitalizacioacuten anual
P = 2000(PA1010) = 2000(61446) = $12289
(b) Para capitalizacioacuten continua
ianual = e⁰ sup1⁰ ndash 1 = 010517 (10517)
P= 2000(PA1051710)
= 2000(60104)
= $12021
NancyLu
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Comparacioacuten entre la duracioacuten del periodo de pago y del periodo de capitalizacioacuten (PP versus PC)
En los caacutelculos de equivalencia con porcentajes altos la frecuencia de los flujos de efectivo no es igual a la frecuencia de la capitalizacioacuten de los intereses
Resulta esencial que se utilice el mismo periodo para el periodo de capitalizacioacuten y el periodo de pago y en consecuencia la tasa de intereacutes se ajuste
Cuando solo existen pagos uacutenicos no hay periodo de pago PP definido en si por los flujos de efectivo La duracioacuten del PP por lo tanto queda definida por el periodo t del enunciado de la tasa de intereacutes
ErickMe
bull Ejemplo
Suponga que los flujos de efectivo ocurren cada 6 meses
(PP semestral) y que el intereacutes tiene un periodo de
capacitacioacuten trimestral (PC trimestral) Despueacutes de 3 meses
no hay flujo de efectivo ni es necesario determinar el efecto
de la composicioacuten trimestral Sin embargo en el mes 6 es
necesario considerar los intereses acumulados durante los
dos periodos de composicioacuten trimestrales anteriores
ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos con PPgePC
Cuando se trata exclusivamente de flujos de efectivo de pago uacutenico hay dos formas igualmente correctas de determinar i y n para los factores PF y FP
Meacutetodo 1
Se determina la tasa de intereacutes efectiva durante el periodo de composicioacuten PC y se iguala n al nuacutemero de periodos de composicioacuten entre P y F Las relaciones para calcular P y F son
P=F (PF i efectiva por PC nuacutemero total de periodos n)
F=P (FB i efectiva por PC nuacutemero total de periodos n)
ErickMe
bull Ejemplo
Suponga que la tarjeta de creacutedito es una tasa efectiva de
15 anual compuesto mensualmente
En este caso PC es igual a un mes
Para calcular el P o F a lo largo de un periodo de dos antildeos
se calcula la tasa mensual efectiva de 15 12= 125
Y el total de meses de 2 (12)=24 Asiacute los valores 125 y
24 se utiliza para el caacutelculo de los factores PF y FP
ErickMe
Meacutetodo 2
Se determina la tasa de intereacutes efectiva para el periodo t de la
tasa nominal y sea n igual al nuacutemero total de periodos
utilizados en el mismo periodo utilizando el mismo periodo
Las formulas P y F son las mismas que las de las ecuaciones
antes mencionadas salvo que el termino i efectiva por t se
sustituye por la tasa de intereacutes
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Series con PP ge PC
Si los flujos de efectivo son trimestrales el PP es de un trimestre
y por consiguiente se necesita una tasa de intereacutes efectiva
trimestral El valor n es el nuacutemero total de trimestres Si PP es
igual a un trimestre 5 antildeos se traducen en un valor de n de 20
trimestres Esto constituye una aplicacioacuten directa de la siguiente
directriz general
Cuando los flujos de efectivo implican una serie (por ejemplo A
G g) y el periodo de pago es igual o mayor que el periodo de
capitalizacioacuten
Se calcula la tasa de intereacutes efectiva i por periodo de pago
Se determina n como el nuacutemero total de periodos de pago
AleTzec
La siguiente tabla muestra la formulacioacuten correcta de diversas
series de flujo de efectivo y tasa de intereacutes
Observe que n siempre es igual al nuacutemero total de periodos de
pago y que i es una tasa de intereacutes efectiva que se expresa de
acuerdo con el mismo periodo que n
AleTzec
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos y series con PP lt PC
bull Ejemplos
Si un banco le cobra a una persona intereses el diacutea 15 del
mes en sus pagos de tarjeta de creacutedito y si la persona hace
el pago completo el diacutea primero iquestreduce la institucioacuten
financiera los intereses sobre la base de un pago anticipado
La respuesta comuacuten es no
Si una empresa grande hiciera pagos mensuales para cubrir
un preacutestamo bancario de $10 millones con un intereacutes
compuesto trimestral el ejecutivo de finanzas de la empresa
probablemente insistiriacutea en que el banco redujera la
cantidad de intereses basaacutendose en el pago anticipado
AleTzec
El momento de ocurrencia de las transacciones de flujo de
efectivo entre puntos de capitalizacioacuten implica la pregunta
de coacutemo manejar la capitalizacioacuten inter-perioacutedica
Fundamentalmente existen dos poliacuteticas los flujos de
efectivo entre periodos no ganan intereses o ganan un
intereacutes compuesto
AleTzec
Fin
bull Ejemplo
Una tarjeta de creacutedito nacional tiene una tasa de intereacutes del
2 mensual sobre el saldo no pagado
a) Calcule la tasa efectiva por periodo semestral
b) Si la tasa de intereacutes se expresa como 5 por trimestre
encuentre las tasas efectivas por periodos semestrales y
anuales
Solucioacuten
a) En esta parte del ejemplo el periodo de capitalizacioacuten es
mensual Dado que se desea obtener la tasa de intereacutes
efectiva por periodo semestral la tasa nominal por 6 meses
r = 2 mensual x 6 meses por periodo semestral
r = 12 por periodo semestral
GenaroVi
por cada 6 meses = 1 + 012
6
6
minus 1
= 01262 1262
b) Para una tasa de intereacutes del 5 por trimestre el periodo
de capitalizacioacuten es trimestral Por consiguiente en un
periodo semestral m=2 y r= 10 En consecuencia
i por cada 6 meses = 1 +010
2
2
minus 1
= 02155 2155
GenaroVi
bull Tasa De Intereacutes Efectiva Que Variacutea Con El
Tiempo
Las tasas de intereacutes reales para una corporacioacuten variacutean antildeo
con antildeo dependiendo del estado financiero de la empresa
de su sector den el mercado de las economiacuteas nacional e
internacional de las fuerzas de inflacioacuten y de muchos otros
factores
GenaroVi
Ejemplos
bull Las hipotecas de bienes inmuebles financiados
mediante un intereacutes HTA (Hipoteca de Tasa Ajustable)
La tasa de hipoteca se ajusta ligeramente cada antildeo para
que refleje la antiguumledad del preacutestamo el costo actual del
dinero de la hipoteca etc
GenaroVi
bull Los bonos protegidos contra la inflacioacuten (emitidos por
el gobierno de Estados Unidos y otras agencias)
La tasa de dividendos que paga el bono permanece
constante a lo largo de su periodo de vida sin embargo a
la cantidad global que se debe al propietario del bono
cuando alcanza su madurez se le aplica un ajuste
ascendente de acuerdo con el iacutendice de inflacioacuten del
iacutendice de precios al consumidor (IPC) Esto significa que
la tasa anual de rendimiento se incrementaraacute cada antildeo de
acuerdo con la inflacioacuten observada
GenaroVi
Tasas De Intereacutes Efectivas Para
Capitalizacioacuten Continua
A medida que el periodo de capitalizacioacuten disminuye el
valor de m nuacutemero de periodos de capitalizacioacuten por
periodo de intereacutes aumenta
Cuando el intereacutes se capitaliza en forma continua m se
acerca a infinito y la foacutermula de tasa de intereacutes efectiva en
la ecuacioacuten puede escribirse de una nueva forma
definicioacuten de la base del logaritmo natural
NancyLu
A medida que m se acerca a infinito el liacutemite de la formula
de las tasa de intereacutes efectiva se encuentra utilizando
rm = lh lo que hace m =hr
Ecuacioacuten que se utiliza para calcular la tasa de intereacutes
efectiva continua
NancyLu
bull Ejemplo
a) Para una tasa de intereacutes del 18 anual compuesto en forma
continua calcule la tasa de intereacutes efectiva anual y mensual
b) Sin un inversionista exige un retorno efectivo de por lo
menos el 15 sobre su dinero iquestCuaacutel es la tasa miacutenima anual
nominal aceptable si tiene lugar una capitalizacioacuten continua
Solucioacuten
a) La tasa de intereacutes mensual r es =1812 = 15 mensual La tasa
efectiva mensual es
En forma similar a la tasa efectiva anual utilizando r = 018 anual
es
NancyLu
b) En este problema es preciso resolver la ecuacioacuten de la
tasa de intereacutes efectiva en sentido contrario puesto que se
tiene i y se desea r por lo tanto para i=15 anual debe
resolverse para r tomando el logaritmo natural
Por consiguiente una tasa del 13976 anual compuesto
en forma continua generara una tasa de retorno efectiva
anual del 15
NancyLu
bull Ejemplo
Si se depositan $2000 cada antildeo durante 10 antildeos a una tasa de
intereses del 10 anual compare el valor presente para
capitalizacioacuten (a) anual y (b) capitalizacioacuten continua
Solucioacuten
Para capitalizacioacuten anual
P = 2000(PA1010) = 2000(61446) = $12289
(b) Para capitalizacioacuten continua
ianual = e⁰ sup1⁰ ndash 1 = 010517 (10517)
P= 2000(PA1051710)
= 2000(60104)
= $12021
NancyLu
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Comparacioacuten entre la duracioacuten del periodo de pago y del periodo de capitalizacioacuten (PP versus PC)
En los caacutelculos de equivalencia con porcentajes altos la frecuencia de los flujos de efectivo no es igual a la frecuencia de la capitalizacioacuten de los intereses
Resulta esencial que se utilice el mismo periodo para el periodo de capitalizacioacuten y el periodo de pago y en consecuencia la tasa de intereacutes se ajuste
Cuando solo existen pagos uacutenicos no hay periodo de pago PP definido en si por los flujos de efectivo La duracioacuten del PP por lo tanto queda definida por el periodo t del enunciado de la tasa de intereacutes
ErickMe
bull Ejemplo
Suponga que los flujos de efectivo ocurren cada 6 meses
(PP semestral) y que el intereacutes tiene un periodo de
capacitacioacuten trimestral (PC trimestral) Despueacutes de 3 meses
no hay flujo de efectivo ni es necesario determinar el efecto
de la composicioacuten trimestral Sin embargo en el mes 6 es
necesario considerar los intereses acumulados durante los
dos periodos de composicioacuten trimestrales anteriores
ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos con PPgePC
Cuando se trata exclusivamente de flujos de efectivo de pago uacutenico hay dos formas igualmente correctas de determinar i y n para los factores PF y FP
Meacutetodo 1
Se determina la tasa de intereacutes efectiva durante el periodo de composicioacuten PC y se iguala n al nuacutemero de periodos de composicioacuten entre P y F Las relaciones para calcular P y F son
P=F (PF i efectiva por PC nuacutemero total de periodos n)
F=P (FB i efectiva por PC nuacutemero total de periodos n)
ErickMe
bull Ejemplo
Suponga que la tarjeta de creacutedito es una tasa efectiva de
15 anual compuesto mensualmente
En este caso PC es igual a un mes
Para calcular el P o F a lo largo de un periodo de dos antildeos
se calcula la tasa mensual efectiva de 15 12= 125
Y el total de meses de 2 (12)=24 Asiacute los valores 125 y
24 se utiliza para el caacutelculo de los factores PF y FP
ErickMe
Meacutetodo 2
Se determina la tasa de intereacutes efectiva para el periodo t de la
tasa nominal y sea n igual al nuacutemero total de periodos
utilizados en el mismo periodo utilizando el mismo periodo
Las formulas P y F son las mismas que las de las ecuaciones
antes mencionadas salvo que el termino i efectiva por t se
sustituye por la tasa de intereacutes
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Series con PP ge PC
Si los flujos de efectivo son trimestrales el PP es de un trimestre
y por consiguiente se necesita una tasa de intereacutes efectiva
trimestral El valor n es el nuacutemero total de trimestres Si PP es
igual a un trimestre 5 antildeos se traducen en un valor de n de 20
trimestres Esto constituye una aplicacioacuten directa de la siguiente
directriz general
Cuando los flujos de efectivo implican una serie (por ejemplo A
G g) y el periodo de pago es igual o mayor que el periodo de
capitalizacioacuten
Se calcula la tasa de intereacutes efectiva i por periodo de pago
Se determina n como el nuacutemero total de periodos de pago
AleTzec
La siguiente tabla muestra la formulacioacuten correcta de diversas
series de flujo de efectivo y tasa de intereacutes
Observe que n siempre es igual al nuacutemero total de periodos de
pago y que i es una tasa de intereacutes efectiva que se expresa de
acuerdo con el mismo periodo que n
AleTzec
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos y series con PP lt PC
bull Ejemplos
Si un banco le cobra a una persona intereses el diacutea 15 del
mes en sus pagos de tarjeta de creacutedito y si la persona hace
el pago completo el diacutea primero iquestreduce la institucioacuten
financiera los intereses sobre la base de un pago anticipado
La respuesta comuacuten es no
Si una empresa grande hiciera pagos mensuales para cubrir
un preacutestamo bancario de $10 millones con un intereacutes
compuesto trimestral el ejecutivo de finanzas de la empresa
probablemente insistiriacutea en que el banco redujera la
cantidad de intereses basaacutendose en el pago anticipado
AleTzec
El momento de ocurrencia de las transacciones de flujo de
efectivo entre puntos de capitalizacioacuten implica la pregunta
de coacutemo manejar la capitalizacioacuten inter-perioacutedica
Fundamentalmente existen dos poliacuteticas los flujos de
efectivo entre periodos no ganan intereses o ganan un
intereacutes compuesto
AleTzec
Fin
por cada 6 meses = 1 + 012
6
6
minus 1
= 01262 1262
b) Para una tasa de intereacutes del 5 por trimestre el periodo
de capitalizacioacuten es trimestral Por consiguiente en un
periodo semestral m=2 y r= 10 En consecuencia
i por cada 6 meses = 1 +010
2
2
minus 1
= 02155 2155
GenaroVi
bull Tasa De Intereacutes Efectiva Que Variacutea Con El
Tiempo
Las tasas de intereacutes reales para una corporacioacuten variacutean antildeo
con antildeo dependiendo del estado financiero de la empresa
de su sector den el mercado de las economiacuteas nacional e
internacional de las fuerzas de inflacioacuten y de muchos otros
factores
GenaroVi
Ejemplos
bull Las hipotecas de bienes inmuebles financiados
mediante un intereacutes HTA (Hipoteca de Tasa Ajustable)
La tasa de hipoteca se ajusta ligeramente cada antildeo para
que refleje la antiguumledad del preacutestamo el costo actual del
dinero de la hipoteca etc
GenaroVi
bull Los bonos protegidos contra la inflacioacuten (emitidos por
el gobierno de Estados Unidos y otras agencias)
La tasa de dividendos que paga el bono permanece
constante a lo largo de su periodo de vida sin embargo a
la cantidad global que se debe al propietario del bono
cuando alcanza su madurez se le aplica un ajuste
ascendente de acuerdo con el iacutendice de inflacioacuten del
iacutendice de precios al consumidor (IPC) Esto significa que
la tasa anual de rendimiento se incrementaraacute cada antildeo de
acuerdo con la inflacioacuten observada
GenaroVi
Tasas De Intereacutes Efectivas Para
Capitalizacioacuten Continua
A medida que el periodo de capitalizacioacuten disminuye el
valor de m nuacutemero de periodos de capitalizacioacuten por
periodo de intereacutes aumenta
Cuando el intereacutes se capitaliza en forma continua m se
acerca a infinito y la foacutermula de tasa de intereacutes efectiva en
la ecuacioacuten puede escribirse de una nueva forma
definicioacuten de la base del logaritmo natural
NancyLu
A medida que m se acerca a infinito el liacutemite de la formula
de las tasa de intereacutes efectiva se encuentra utilizando
rm = lh lo que hace m =hr
Ecuacioacuten que se utiliza para calcular la tasa de intereacutes
efectiva continua
NancyLu
bull Ejemplo
a) Para una tasa de intereacutes del 18 anual compuesto en forma
continua calcule la tasa de intereacutes efectiva anual y mensual
b) Sin un inversionista exige un retorno efectivo de por lo
menos el 15 sobre su dinero iquestCuaacutel es la tasa miacutenima anual
nominal aceptable si tiene lugar una capitalizacioacuten continua
Solucioacuten
a) La tasa de intereacutes mensual r es =1812 = 15 mensual La tasa
efectiva mensual es
En forma similar a la tasa efectiva anual utilizando r = 018 anual
es
NancyLu
b) En este problema es preciso resolver la ecuacioacuten de la
tasa de intereacutes efectiva en sentido contrario puesto que se
tiene i y se desea r por lo tanto para i=15 anual debe
resolverse para r tomando el logaritmo natural
Por consiguiente una tasa del 13976 anual compuesto
en forma continua generara una tasa de retorno efectiva
anual del 15
NancyLu
bull Ejemplo
Si se depositan $2000 cada antildeo durante 10 antildeos a una tasa de
intereses del 10 anual compare el valor presente para
capitalizacioacuten (a) anual y (b) capitalizacioacuten continua
Solucioacuten
Para capitalizacioacuten anual
P = 2000(PA1010) = 2000(61446) = $12289
(b) Para capitalizacioacuten continua
ianual = e⁰ sup1⁰ ndash 1 = 010517 (10517)
P= 2000(PA1051710)
= 2000(60104)
= $12021
NancyLu
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Comparacioacuten entre la duracioacuten del periodo de pago y del periodo de capitalizacioacuten (PP versus PC)
En los caacutelculos de equivalencia con porcentajes altos la frecuencia de los flujos de efectivo no es igual a la frecuencia de la capitalizacioacuten de los intereses
Resulta esencial que se utilice el mismo periodo para el periodo de capitalizacioacuten y el periodo de pago y en consecuencia la tasa de intereacutes se ajuste
Cuando solo existen pagos uacutenicos no hay periodo de pago PP definido en si por los flujos de efectivo La duracioacuten del PP por lo tanto queda definida por el periodo t del enunciado de la tasa de intereacutes
ErickMe
bull Ejemplo
Suponga que los flujos de efectivo ocurren cada 6 meses
(PP semestral) y que el intereacutes tiene un periodo de
capacitacioacuten trimestral (PC trimestral) Despueacutes de 3 meses
no hay flujo de efectivo ni es necesario determinar el efecto
de la composicioacuten trimestral Sin embargo en el mes 6 es
necesario considerar los intereses acumulados durante los
dos periodos de composicioacuten trimestrales anteriores
ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos con PPgePC
Cuando se trata exclusivamente de flujos de efectivo de pago uacutenico hay dos formas igualmente correctas de determinar i y n para los factores PF y FP
Meacutetodo 1
Se determina la tasa de intereacutes efectiva durante el periodo de composicioacuten PC y se iguala n al nuacutemero de periodos de composicioacuten entre P y F Las relaciones para calcular P y F son
P=F (PF i efectiva por PC nuacutemero total de periodos n)
F=P (FB i efectiva por PC nuacutemero total de periodos n)
ErickMe
bull Ejemplo
Suponga que la tarjeta de creacutedito es una tasa efectiva de
15 anual compuesto mensualmente
En este caso PC es igual a un mes
Para calcular el P o F a lo largo de un periodo de dos antildeos
se calcula la tasa mensual efectiva de 15 12= 125
Y el total de meses de 2 (12)=24 Asiacute los valores 125 y
24 se utiliza para el caacutelculo de los factores PF y FP
ErickMe
Meacutetodo 2
Se determina la tasa de intereacutes efectiva para el periodo t de la
tasa nominal y sea n igual al nuacutemero total de periodos
utilizados en el mismo periodo utilizando el mismo periodo
Las formulas P y F son las mismas que las de las ecuaciones
antes mencionadas salvo que el termino i efectiva por t se
sustituye por la tasa de intereacutes
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Series con PP ge PC
Si los flujos de efectivo son trimestrales el PP es de un trimestre
y por consiguiente se necesita una tasa de intereacutes efectiva
trimestral El valor n es el nuacutemero total de trimestres Si PP es
igual a un trimestre 5 antildeos se traducen en un valor de n de 20
trimestres Esto constituye una aplicacioacuten directa de la siguiente
directriz general
Cuando los flujos de efectivo implican una serie (por ejemplo A
G g) y el periodo de pago es igual o mayor que el periodo de
capitalizacioacuten
Se calcula la tasa de intereacutes efectiva i por periodo de pago
Se determina n como el nuacutemero total de periodos de pago
AleTzec
La siguiente tabla muestra la formulacioacuten correcta de diversas
series de flujo de efectivo y tasa de intereacutes
Observe que n siempre es igual al nuacutemero total de periodos de
pago y que i es una tasa de intereacutes efectiva que se expresa de
acuerdo con el mismo periodo que n
AleTzec
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos y series con PP lt PC
bull Ejemplos
Si un banco le cobra a una persona intereses el diacutea 15 del
mes en sus pagos de tarjeta de creacutedito y si la persona hace
el pago completo el diacutea primero iquestreduce la institucioacuten
financiera los intereses sobre la base de un pago anticipado
La respuesta comuacuten es no
Si una empresa grande hiciera pagos mensuales para cubrir
un preacutestamo bancario de $10 millones con un intereacutes
compuesto trimestral el ejecutivo de finanzas de la empresa
probablemente insistiriacutea en que el banco redujera la
cantidad de intereses basaacutendose en el pago anticipado
AleTzec
El momento de ocurrencia de las transacciones de flujo de
efectivo entre puntos de capitalizacioacuten implica la pregunta
de coacutemo manejar la capitalizacioacuten inter-perioacutedica
Fundamentalmente existen dos poliacuteticas los flujos de
efectivo entre periodos no ganan intereses o ganan un
intereacutes compuesto
AleTzec
Fin
bull Tasa De Intereacutes Efectiva Que Variacutea Con El
Tiempo
Las tasas de intereacutes reales para una corporacioacuten variacutean antildeo
con antildeo dependiendo del estado financiero de la empresa
de su sector den el mercado de las economiacuteas nacional e
internacional de las fuerzas de inflacioacuten y de muchos otros
factores
GenaroVi
Ejemplos
bull Las hipotecas de bienes inmuebles financiados
mediante un intereacutes HTA (Hipoteca de Tasa Ajustable)
La tasa de hipoteca se ajusta ligeramente cada antildeo para
que refleje la antiguumledad del preacutestamo el costo actual del
dinero de la hipoteca etc
GenaroVi
bull Los bonos protegidos contra la inflacioacuten (emitidos por
el gobierno de Estados Unidos y otras agencias)
La tasa de dividendos que paga el bono permanece
constante a lo largo de su periodo de vida sin embargo a
la cantidad global que se debe al propietario del bono
cuando alcanza su madurez se le aplica un ajuste
ascendente de acuerdo con el iacutendice de inflacioacuten del
iacutendice de precios al consumidor (IPC) Esto significa que
la tasa anual de rendimiento se incrementaraacute cada antildeo de
acuerdo con la inflacioacuten observada
GenaroVi
Tasas De Intereacutes Efectivas Para
Capitalizacioacuten Continua
A medida que el periodo de capitalizacioacuten disminuye el
valor de m nuacutemero de periodos de capitalizacioacuten por
periodo de intereacutes aumenta
Cuando el intereacutes se capitaliza en forma continua m se
acerca a infinito y la foacutermula de tasa de intereacutes efectiva en
la ecuacioacuten puede escribirse de una nueva forma
definicioacuten de la base del logaritmo natural
NancyLu
A medida que m se acerca a infinito el liacutemite de la formula
de las tasa de intereacutes efectiva se encuentra utilizando
rm = lh lo que hace m =hr
Ecuacioacuten que se utiliza para calcular la tasa de intereacutes
efectiva continua
NancyLu
bull Ejemplo
a) Para una tasa de intereacutes del 18 anual compuesto en forma
continua calcule la tasa de intereacutes efectiva anual y mensual
b) Sin un inversionista exige un retorno efectivo de por lo
menos el 15 sobre su dinero iquestCuaacutel es la tasa miacutenima anual
nominal aceptable si tiene lugar una capitalizacioacuten continua
Solucioacuten
a) La tasa de intereacutes mensual r es =1812 = 15 mensual La tasa
efectiva mensual es
En forma similar a la tasa efectiva anual utilizando r = 018 anual
es
NancyLu
b) En este problema es preciso resolver la ecuacioacuten de la
tasa de intereacutes efectiva en sentido contrario puesto que se
tiene i y se desea r por lo tanto para i=15 anual debe
resolverse para r tomando el logaritmo natural
Por consiguiente una tasa del 13976 anual compuesto
en forma continua generara una tasa de retorno efectiva
anual del 15
NancyLu
bull Ejemplo
Si se depositan $2000 cada antildeo durante 10 antildeos a una tasa de
intereses del 10 anual compare el valor presente para
capitalizacioacuten (a) anual y (b) capitalizacioacuten continua
Solucioacuten
Para capitalizacioacuten anual
P = 2000(PA1010) = 2000(61446) = $12289
(b) Para capitalizacioacuten continua
ianual = e⁰ sup1⁰ ndash 1 = 010517 (10517)
P= 2000(PA1051710)
= 2000(60104)
= $12021
NancyLu
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Comparacioacuten entre la duracioacuten del periodo de pago y del periodo de capitalizacioacuten (PP versus PC)
En los caacutelculos de equivalencia con porcentajes altos la frecuencia de los flujos de efectivo no es igual a la frecuencia de la capitalizacioacuten de los intereses
Resulta esencial que se utilice el mismo periodo para el periodo de capitalizacioacuten y el periodo de pago y en consecuencia la tasa de intereacutes se ajuste
Cuando solo existen pagos uacutenicos no hay periodo de pago PP definido en si por los flujos de efectivo La duracioacuten del PP por lo tanto queda definida por el periodo t del enunciado de la tasa de intereacutes
ErickMe
bull Ejemplo
Suponga que los flujos de efectivo ocurren cada 6 meses
(PP semestral) y que el intereacutes tiene un periodo de
capacitacioacuten trimestral (PC trimestral) Despueacutes de 3 meses
no hay flujo de efectivo ni es necesario determinar el efecto
de la composicioacuten trimestral Sin embargo en el mes 6 es
necesario considerar los intereses acumulados durante los
dos periodos de composicioacuten trimestrales anteriores
ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos con PPgePC
Cuando se trata exclusivamente de flujos de efectivo de pago uacutenico hay dos formas igualmente correctas de determinar i y n para los factores PF y FP
Meacutetodo 1
Se determina la tasa de intereacutes efectiva durante el periodo de composicioacuten PC y se iguala n al nuacutemero de periodos de composicioacuten entre P y F Las relaciones para calcular P y F son
P=F (PF i efectiva por PC nuacutemero total de periodos n)
F=P (FB i efectiva por PC nuacutemero total de periodos n)
ErickMe
bull Ejemplo
Suponga que la tarjeta de creacutedito es una tasa efectiva de
15 anual compuesto mensualmente
En este caso PC es igual a un mes
Para calcular el P o F a lo largo de un periodo de dos antildeos
se calcula la tasa mensual efectiva de 15 12= 125
Y el total de meses de 2 (12)=24 Asiacute los valores 125 y
24 se utiliza para el caacutelculo de los factores PF y FP
ErickMe
Meacutetodo 2
Se determina la tasa de intereacutes efectiva para el periodo t de la
tasa nominal y sea n igual al nuacutemero total de periodos
utilizados en el mismo periodo utilizando el mismo periodo
Las formulas P y F son las mismas que las de las ecuaciones
antes mencionadas salvo que el termino i efectiva por t se
sustituye por la tasa de intereacutes
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Series con PP ge PC
Si los flujos de efectivo son trimestrales el PP es de un trimestre
y por consiguiente se necesita una tasa de intereacutes efectiva
trimestral El valor n es el nuacutemero total de trimestres Si PP es
igual a un trimestre 5 antildeos se traducen en un valor de n de 20
trimestres Esto constituye una aplicacioacuten directa de la siguiente
directriz general
Cuando los flujos de efectivo implican una serie (por ejemplo A
G g) y el periodo de pago es igual o mayor que el periodo de
capitalizacioacuten
Se calcula la tasa de intereacutes efectiva i por periodo de pago
Se determina n como el nuacutemero total de periodos de pago
AleTzec
La siguiente tabla muestra la formulacioacuten correcta de diversas
series de flujo de efectivo y tasa de intereacutes
Observe que n siempre es igual al nuacutemero total de periodos de
pago y que i es una tasa de intereacutes efectiva que se expresa de
acuerdo con el mismo periodo que n
AleTzec
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos y series con PP lt PC
bull Ejemplos
Si un banco le cobra a una persona intereses el diacutea 15 del
mes en sus pagos de tarjeta de creacutedito y si la persona hace
el pago completo el diacutea primero iquestreduce la institucioacuten
financiera los intereses sobre la base de un pago anticipado
La respuesta comuacuten es no
Si una empresa grande hiciera pagos mensuales para cubrir
un preacutestamo bancario de $10 millones con un intereacutes
compuesto trimestral el ejecutivo de finanzas de la empresa
probablemente insistiriacutea en que el banco redujera la
cantidad de intereses basaacutendose en el pago anticipado
AleTzec
El momento de ocurrencia de las transacciones de flujo de
efectivo entre puntos de capitalizacioacuten implica la pregunta
de coacutemo manejar la capitalizacioacuten inter-perioacutedica
Fundamentalmente existen dos poliacuteticas los flujos de
efectivo entre periodos no ganan intereses o ganan un
intereacutes compuesto
AleTzec
Fin
Ejemplos
bull Las hipotecas de bienes inmuebles financiados
mediante un intereacutes HTA (Hipoteca de Tasa Ajustable)
La tasa de hipoteca se ajusta ligeramente cada antildeo para
que refleje la antiguumledad del preacutestamo el costo actual del
dinero de la hipoteca etc
GenaroVi
bull Los bonos protegidos contra la inflacioacuten (emitidos por
el gobierno de Estados Unidos y otras agencias)
La tasa de dividendos que paga el bono permanece
constante a lo largo de su periodo de vida sin embargo a
la cantidad global que se debe al propietario del bono
cuando alcanza su madurez se le aplica un ajuste
ascendente de acuerdo con el iacutendice de inflacioacuten del
iacutendice de precios al consumidor (IPC) Esto significa que
la tasa anual de rendimiento se incrementaraacute cada antildeo de
acuerdo con la inflacioacuten observada
GenaroVi
Tasas De Intereacutes Efectivas Para
Capitalizacioacuten Continua
A medida que el periodo de capitalizacioacuten disminuye el
valor de m nuacutemero de periodos de capitalizacioacuten por
periodo de intereacutes aumenta
Cuando el intereacutes se capitaliza en forma continua m se
acerca a infinito y la foacutermula de tasa de intereacutes efectiva en
la ecuacioacuten puede escribirse de una nueva forma
definicioacuten de la base del logaritmo natural
NancyLu
A medida que m se acerca a infinito el liacutemite de la formula
de las tasa de intereacutes efectiva se encuentra utilizando
rm = lh lo que hace m =hr
Ecuacioacuten que se utiliza para calcular la tasa de intereacutes
efectiva continua
NancyLu
bull Ejemplo
a) Para una tasa de intereacutes del 18 anual compuesto en forma
continua calcule la tasa de intereacutes efectiva anual y mensual
b) Sin un inversionista exige un retorno efectivo de por lo
menos el 15 sobre su dinero iquestCuaacutel es la tasa miacutenima anual
nominal aceptable si tiene lugar una capitalizacioacuten continua
Solucioacuten
a) La tasa de intereacutes mensual r es =1812 = 15 mensual La tasa
efectiva mensual es
En forma similar a la tasa efectiva anual utilizando r = 018 anual
es
NancyLu
b) En este problema es preciso resolver la ecuacioacuten de la
tasa de intereacutes efectiva en sentido contrario puesto que se
tiene i y se desea r por lo tanto para i=15 anual debe
resolverse para r tomando el logaritmo natural
Por consiguiente una tasa del 13976 anual compuesto
en forma continua generara una tasa de retorno efectiva
anual del 15
NancyLu
bull Ejemplo
Si se depositan $2000 cada antildeo durante 10 antildeos a una tasa de
intereses del 10 anual compare el valor presente para
capitalizacioacuten (a) anual y (b) capitalizacioacuten continua
Solucioacuten
Para capitalizacioacuten anual
P = 2000(PA1010) = 2000(61446) = $12289
(b) Para capitalizacioacuten continua
ianual = e⁰ sup1⁰ ndash 1 = 010517 (10517)
P= 2000(PA1051710)
= 2000(60104)
= $12021
NancyLu
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Comparacioacuten entre la duracioacuten del periodo de pago y del periodo de capitalizacioacuten (PP versus PC)
En los caacutelculos de equivalencia con porcentajes altos la frecuencia de los flujos de efectivo no es igual a la frecuencia de la capitalizacioacuten de los intereses
Resulta esencial que se utilice el mismo periodo para el periodo de capitalizacioacuten y el periodo de pago y en consecuencia la tasa de intereacutes se ajuste
Cuando solo existen pagos uacutenicos no hay periodo de pago PP definido en si por los flujos de efectivo La duracioacuten del PP por lo tanto queda definida por el periodo t del enunciado de la tasa de intereacutes
ErickMe
bull Ejemplo
Suponga que los flujos de efectivo ocurren cada 6 meses
(PP semestral) y que el intereacutes tiene un periodo de
capacitacioacuten trimestral (PC trimestral) Despueacutes de 3 meses
no hay flujo de efectivo ni es necesario determinar el efecto
de la composicioacuten trimestral Sin embargo en el mes 6 es
necesario considerar los intereses acumulados durante los
dos periodos de composicioacuten trimestrales anteriores
ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos con PPgePC
Cuando se trata exclusivamente de flujos de efectivo de pago uacutenico hay dos formas igualmente correctas de determinar i y n para los factores PF y FP
Meacutetodo 1
Se determina la tasa de intereacutes efectiva durante el periodo de composicioacuten PC y se iguala n al nuacutemero de periodos de composicioacuten entre P y F Las relaciones para calcular P y F son
P=F (PF i efectiva por PC nuacutemero total de periodos n)
F=P (FB i efectiva por PC nuacutemero total de periodos n)
ErickMe
bull Ejemplo
Suponga que la tarjeta de creacutedito es una tasa efectiva de
15 anual compuesto mensualmente
En este caso PC es igual a un mes
Para calcular el P o F a lo largo de un periodo de dos antildeos
se calcula la tasa mensual efectiva de 15 12= 125
Y el total de meses de 2 (12)=24 Asiacute los valores 125 y
24 se utiliza para el caacutelculo de los factores PF y FP
ErickMe
Meacutetodo 2
Se determina la tasa de intereacutes efectiva para el periodo t de la
tasa nominal y sea n igual al nuacutemero total de periodos
utilizados en el mismo periodo utilizando el mismo periodo
Las formulas P y F son las mismas que las de las ecuaciones
antes mencionadas salvo que el termino i efectiva por t se
sustituye por la tasa de intereacutes
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Series con PP ge PC
Si los flujos de efectivo son trimestrales el PP es de un trimestre
y por consiguiente se necesita una tasa de intereacutes efectiva
trimestral El valor n es el nuacutemero total de trimestres Si PP es
igual a un trimestre 5 antildeos se traducen en un valor de n de 20
trimestres Esto constituye una aplicacioacuten directa de la siguiente
directriz general
Cuando los flujos de efectivo implican una serie (por ejemplo A
G g) y el periodo de pago es igual o mayor que el periodo de
capitalizacioacuten
Se calcula la tasa de intereacutes efectiva i por periodo de pago
Se determina n como el nuacutemero total de periodos de pago
AleTzec
La siguiente tabla muestra la formulacioacuten correcta de diversas
series de flujo de efectivo y tasa de intereacutes
Observe que n siempre es igual al nuacutemero total de periodos de
pago y que i es una tasa de intereacutes efectiva que se expresa de
acuerdo con el mismo periodo que n
AleTzec
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos y series con PP lt PC
bull Ejemplos
Si un banco le cobra a una persona intereses el diacutea 15 del
mes en sus pagos de tarjeta de creacutedito y si la persona hace
el pago completo el diacutea primero iquestreduce la institucioacuten
financiera los intereses sobre la base de un pago anticipado
La respuesta comuacuten es no
Si una empresa grande hiciera pagos mensuales para cubrir
un preacutestamo bancario de $10 millones con un intereacutes
compuesto trimestral el ejecutivo de finanzas de la empresa
probablemente insistiriacutea en que el banco redujera la
cantidad de intereses basaacutendose en el pago anticipado
AleTzec
El momento de ocurrencia de las transacciones de flujo de
efectivo entre puntos de capitalizacioacuten implica la pregunta
de coacutemo manejar la capitalizacioacuten inter-perioacutedica
Fundamentalmente existen dos poliacuteticas los flujos de
efectivo entre periodos no ganan intereses o ganan un
intereacutes compuesto
AleTzec
Fin
bull Los bonos protegidos contra la inflacioacuten (emitidos por
el gobierno de Estados Unidos y otras agencias)
La tasa de dividendos que paga el bono permanece
constante a lo largo de su periodo de vida sin embargo a
la cantidad global que se debe al propietario del bono
cuando alcanza su madurez se le aplica un ajuste
ascendente de acuerdo con el iacutendice de inflacioacuten del
iacutendice de precios al consumidor (IPC) Esto significa que
la tasa anual de rendimiento se incrementaraacute cada antildeo de
acuerdo con la inflacioacuten observada
GenaroVi
Tasas De Intereacutes Efectivas Para
Capitalizacioacuten Continua
A medida que el periodo de capitalizacioacuten disminuye el
valor de m nuacutemero de periodos de capitalizacioacuten por
periodo de intereacutes aumenta
Cuando el intereacutes se capitaliza en forma continua m se
acerca a infinito y la foacutermula de tasa de intereacutes efectiva en
la ecuacioacuten puede escribirse de una nueva forma
definicioacuten de la base del logaritmo natural
NancyLu
A medida que m se acerca a infinito el liacutemite de la formula
de las tasa de intereacutes efectiva se encuentra utilizando
rm = lh lo que hace m =hr
Ecuacioacuten que se utiliza para calcular la tasa de intereacutes
efectiva continua
NancyLu
bull Ejemplo
a) Para una tasa de intereacutes del 18 anual compuesto en forma
continua calcule la tasa de intereacutes efectiva anual y mensual
b) Sin un inversionista exige un retorno efectivo de por lo
menos el 15 sobre su dinero iquestCuaacutel es la tasa miacutenima anual
nominal aceptable si tiene lugar una capitalizacioacuten continua
Solucioacuten
a) La tasa de intereacutes mensual r es =1812 = 15 mensual La tasa
efectiva mensual es
En forma similar a la tasa efectiva anual utilizando r = 018 anual
es
NancyLu
b) En este problema es preciso resolver la ecuacioacuten de la
tasa de intereacutes efectiva en sentido contrario puesto que se
tiene i y se desea r por lo tanto para i=15 anual debe
resolverse para r tomando el logaritmo natural
Por consiguiente una tasa del 13976 anual compuesto
en forma continua generara una tasa de retorno efectiva
anual del 15
NancyLu
bull Ejemplo
Si se depositan $2000 cada antildeo durante 10 antildeos a una tasa de
intereses del 10 anual compare el valor presente para
capitalizacioacuten (a) anual y (b) capitalizacioacuten continua
Solucioacuten
Para capitalizacioacuten anual
P = 2000(PA1010) = 2000(61446) = $12289
(b) Para capitalizacioacuten continua
ianual = e⁰ sup1⁰ ndash 1 = 010517 (10517)
P= 2000(PA1051710)
= 2000(60104)
= $12021
NancyLu
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Comparacioacuten entre la duracioacuten del periodo de pago y del periodo de capitalizacioacuten (PP versus PC)
En los caacutelculos de equivalencia con porcentajes altos la frecuencia de los flujos de efectivo no es igual a la frecuencia de la capitalizacioacuten de los intereses
Resulta esencial que se utilice el mismo periodo para el periodo de capitalizacioacuten y el periodo de pago y en consecuencia la tasa de intereacutes se ajuste
Cuando solo existen pagos uacutenicos no hay periodo de pago PP definido en si por los flujos de efectivo La duracioacuten del PP por lo tanto queda definida por el periodo t del enunciado de la tasa de intereacutes
ErickMe
bull Ejemplo
Suponga que los flujos de efectivo ocurren cada 6 meses
(PP semestral) y que el intereacutes tiene un periodo de
capacitacioacuten trimestral (PC trimestral) Despueacutes de 3 meses
no hay flujo de efectivo ni es necesario determinar el efecto
de la composicioacuten trimestral Sin embargo en el mes 6 es
necesario considerar los intereses acumulados durante los
dos periodos de composicioacuten trimestrales anteriores
ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos con PPgePC
Cuando se trata exclusivamente de flujos de efectivo de pago uacutenico hay dos formas igualmente correctas de determinar i y n para los factores PF y FP
Meacutetodo 1
Se determina la tasa de intereacutes efectiva durante el periodo de composicioacuten PC y se iguala n al nuacutemero de periodos de composicioacuten entre P y F Las relaciones para calcular P y F son
P=F (PF i efectiva por PC nuacutemero total de periodos n)
F=P (FB i efectiva por PC nuacutemero total de periodos n)
ErickMe
bull Ejemplo
Suponga que la tarjeta de creacutedito es una tasa efectiva de
15 anual compuesto mensualmente
En este caso PC es igual a un mes
Para calcular el P o F a lo largo de un periodo de dos antildeos
se calcula la tasa mensual efectiva de 15 12= 125
Y el total de meses de 2 (12)=24 Asiacute los valores 125 y
24 se utiliza para el caacutelculo de los factores PF y FP
ErickMe
Meacutetodo 2
Se determina la tasa de intereacutes efectiva para el periodo t de la
tasa nominal y sea n igual al nuacutemero total de periodos
utilizados en el mismo periodo utilizando el mismo periodo
Las formulas P y F son las mismas que las de las ecuaciones
antes mencionadas salvo que el termino i efectiva por t se
sustituye por la tasa de intereacutes
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Series con PP ge PC
Si los flujos de efectivo son trimestrales el PP es de un trimestre
y por consiguiente se necesita una tasa de intereacutes efectiva
trimestral El valor n es el nuacutemero total de trimestres Si PP es
igual a un trimestre 5 antildeos se traducen en un valor de n de 20
trimestres Esto constituye una aplicacioacuten directa de la siguiente
directriz general
Cuando los flujos de efectivo implican una serie (por ejemplo A
G g) y el periodo de pago es igual o mayor que el periodo de
capitalizacioacuten
Se calcula la tasa de intereacutes efectiva i por periodo de pago
Se determina n como el nuacutemero total de periodos de pago
AleTzec
La siguiente tabla muestra la formulacioacuten correcta de diversas
series de flujo de efectivo y tasa de intereacutes
Observe que n siempre es igual al nuacutemero total de periodos de
pago y que i es una tasa de intereacutes efectiva que se expresa de
acuerdo con el mismo periodo que n
AleTzec
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos y series con PP lt PC
bull Ejemplos
Si un banco le cobra a una persona intereses el diacutea 15 del
mes en sus pagos de tarjeta de creacutedito y si la persona hace
el pago completo el diacutea primero iquestreduce la institucioacuten
financiera los intereses sobre la base de un pago anticipado
La respuesta comuacuten es no
Si una empresa grande hiciera pagos mensuales para cubrir
un preacutestamo bancario de $10 millones con un intereacutes
compuesto trimestral el ejecutivo de finanzas de la empresa
probablemente insistiriacutea en que el banco redujera la
cantidad de intereses basaacutendose en el pago anticipado
AleTzec
El momento de ocurrencia de las transacciones de flujo de
efectivo entre puntos de capitalizacioacuten implica la pregunta
de coacutemo manejar la capitalizacioacuten inter-perioacutedica
Fundamentalmente existen dos poliacuteticas los flujos de
efectivo entre periodos no ganan intereses o ganan un
intereacutes compuesto
AleTzec
Fin
Tasas De Intereacutes Efectivas Para
Capitalizacioacuten Continua
A medida que el periodo de capitalizacioacuten disminuye el
valor de m nuacutemero de periodos de capitalizacioacuten por
periodo de intereacutes aumenta
Cuando el intereacutes se capitaliza en forma continua m se
acerca a infinito y la foacutermula de tasa de intereacutes efectiva en
la ecuacioacuten puede escribirse de una nueva forma
definicioacuten de la base del logaritmo natural
NancyLu
A medida que m se acerca a infinito el liacutemite de la formula
de las tasa de intereacutes efectiva se encuentra utilizando
rm = lh lo que hace m =hr
Ecuacioacuten que se utiliza para calcular la tasa de intereacutes
efectiva continua
NancyLu
bull Ejemplo
a) Para una tasa de intereacutes del 18 anual compuesto en forma
continua calcule la tasa de intereacutes efectiva anual y mensual
b) Sin un inversionista exige un retorno efectivo de por lo
menos el 15 sobre su dinero iquestCuaacutel es la tasa miacutenima anual
nominal aceptable si tiene lugar una capitalizacioacuten continua
Solucioacuten
a) La tasa de intereacutes mensual r es =1812 = 15 mensual La tasa
efectiva mensual es
En forma similar a la tasa efectiva anual utilizando r = 018 anual
es
NancyLu
b) En este problema es preciso resolver la ecuacioacuten de la
tasa de intereacutes efectiva en sentido contrario puesto que se
tiene i y se desea r por lo tanto para i=15 anual debe
resolverse para r tomando el logaritmo natural
Por consiguiente una tasa del 13976 anual compuesto
en forma continua generara una tasa de retorno efectiva
anual del 15
NancyLu
bull Ejemplo
Si se depositan $2000 cada antildeo durante 10 antildeos a una tasa de
intereses del 10 anual compare el valor presente para
capitalizacioacuten (a) anual y (b) capitalizacioacuten continua
Solucioacuten
Para capitalizacioacuten anual
P = 2000(PA1010) = 2000(61446) = $12289
(b) Para capitalizacioacuten continua
ianual = e⁰ sup1⁰ ndash 1 = 010517 (10517)
P= 2000(PA1051710)
= 2000(60104)
= $12021
NancyLu
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Comparacioacuten entre la duracioacuten del periodo de pago y del periodo de capitalizacioacuten (PP versus PC)
En los caacutelculos de equivalencia con porcentajes altos la frecuencia de los flujos de efectivo no es igual a la frecuencia de la capitalizacioacuten de los intereses
Resulta esencial que se utilice el mismo periodo para el periodo de capitalizacioacuten y el periodo de pago y en consecuencia la tasa de intereacutes se ajuste
Cuando solo existen pagos uacutenicos no hay periodo de pago PP definido en si por los flujos de efectivo La duracioacuten del PP por lo tanto queda definida por el periodo t del enunciado de la tasa de intereacutes
ErickMe
bull Ejemplo
Suponga que los flujos de efectivo ocurren cada 6 meses
(PP semestral) y que el intereacutes tiene un periodo de
capacitacioacuten trimestral (PC trimestral) Despueacutes de 3 meses
no hay flujo de efectivo ni es necesario determinar el efecto
de la composicioacuten trimestral Sin embargo en el mes 6 es
necesario considerar los intereses acumulados durante los
dos periodos de composicioacuten trimestrales anteriores
ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos con PPgePC
Cuando se trata exclusivamente de flujos de efectivo de pago uacutenico hay dos formas igualmente correctas de determinar i y n para los factores PF y FP
Meacutetodo 1
Se determina la tasa de intereacutes efectiva durante el periodo de composicioacuten PC y se iguala n al nuacutemero de periodos de composicioacuten entre P y F Las relaciones para calcular P y F son
P=F (PF i efectiva por PC nuacutemero total de periodos n)
F=P (FB i efectiva por PC nuacutemero total de periodos n)
ErickMe
bull Ejemplo
Suponga que la tarjeta de creacutedito es una tasa efectiva de
15 anual compuesto mensualmente
En este caso PC es igual a un mes
Para calcular el P o F a lo largo de un periodo de dos antildeos
se calcula la tasa mensual efectiva de 15 12= 125
Y el total de meses de 2 (12)=24 Asiacute los valores 125 y
24 se utiliza para el caacutelculo de los factores PF y FP
ErickMe
Meacutetodo 2
Se determina la tasa de intereacutes efectiva para el periodo t de la
tasa nominal y sea n igual al nuacutemero total de periodos
utilizados en el mismo periodo utilizando el mismo periodo
Las formulas P y F son las mismas que las de las ecuaciones
antes mencionadas salvo que el termino i efectiva por t se
sustituye por la tasa de intereacutes
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Series con PP ge PC
Si los flujos de efectivo son trimestrales el PP es de un trimestre
y por consiguiente se necesita una tasa de intereacutes efectiva
trimestral El valor n es el nuacutemero total de trimestres Si PP es
igual a un trimestre 5 antildeos se traducen en un valor de n de 20
trimestres Esto constituye una aplicacioacuten directa de la siguiente
directriz general
Cuando los flujos de efectivo implican una serie (por ejemplo A
G g) y el periodo de pago es igual o mayor que el periodo de
capitalizacioacuten
Se calcula la tasa de intereacutes efectiva i por periodo de pago
Se determina n como el nuacutemero total de periodos de pago
AleTzec
La siguiente tabla muestra la formulacioacuten correcta de diversas
series de flujo de efectivo y tasa de intereacutes
Observe que n siempre es igual al nuacutemero total de periodos de
pago y que i es una tasa de intereacutes efectiva que se expresa de
acuerdo con el mismo periodo que n
AleTzec
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos y series con PP lt PC
bull Ejemplos
Si un banco le cobra a una persona intereses el diacutea 15 del
mes en sus pagos de tarjeta de creacutedito y si la persona hace
el pago completo el diacutea primero iquestreduce la institucioacuten
financiera los intereses sobre la base de un pago anticipado
La respuesta comuacuten es no
Si una empresa grande hiciera pagos mensuales para cubrir
un preacutestamo bancario de $10 millones con un intereacutes
compuesto trimestral el ejecutivo de finanzas de la empresa
probablemente insistiriacutea en que el banco redujera la
cantidad de intereses basaacutendose en el pago anticipado
AleTzec
El momento de ocurrencia de las transacciones de flujo de
efectivo entre puntos de capitalizacioacuten implica la pregunta
de coacutemo manejar la capitalizacioacuten inter-perioacutedica
Fundamentalmente existen dos poliacuteticas los flujos de
efectivo entre periodos no ganan intereses o ganan un
intereacutes compuesto
AleTzec
Fin
A medida que m se acerca a infinito el liacutemite de la formula
de las tasa de intereacutes efectiva se encuentra utilizando
rm = lh lo que hace m =hr
Ecuacioacuten que se utiliza para calcular la tasa de intereacutes
efectiva continua
NancyLu
bull Ejemplo
a) Para una tasa de intereacutes del 18 anual compuesto en forma
continua calcule la tasa de intereacutes efectiva anual y mensual
b) Sin un inversionista exige un retorno efectivo de por lo
menos el 15 sobre su dinero iquestCuaacutel es la tasa miacutenima anual
nominal aceptable si tiene lugar una capitalizacioacuten continua
Solucioacuten
a) La tasa de intereacutes mensual r es =1812 = 15 mensual La tasa
efectiva mensual es
En forma similar a la tasa efectiva anual utilizando r = 018 anual
es
NancyLu
b) En este problema es preciso resolver la ecuacioacuten de la
tasa de intereacutes efectiva en sentido contrario puesto que se
tiene i y se desea r por lo tanto para i=15 anual debe
resolverse para r tomando el logaritmo natural
Por consiguiente una tasa del 13976 anual compuesto
en forma continua generara una tasa de retorno efectiva
anual del 15
NancyLu
bull Ejemplo
Si se depositan $2000 cada antildeo durante 10 antildeos a una tasa de
intereses del 10 anual compare el valor presente para
capitalizacioacuten (a) anual y (b) capitalizacioacuten continua
Solucioacuten
Para capitalizacioacuten anual
P = 2000(PA1010) = 2000(61446) = $12289
(b) Para capitalizacioacuten continua
ianual = e⁰ sup1⁰ ndash 1 = 010517 (10517)
P= 2000(PA1051710)
= 2000(60104)
= $12021
NancyLu
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Comparacioacuten entre la duracioacuten del periodo de pago y del periodo de capitalizacioacuten (PP versus PC)
En los caacutelculos de equivalencia con porcentajes altos la frecuencia de los flujos de efectivo no es igual a la frecuencia de la capitalizacioacuten de los intereses
Resulta esencial que se utilice el mismo periodo para el periodo de capitalizacioacuten y el periodo de pago y en consecuencia la tasa de intereacutes se ajuste
Cuando solo existen pagos uacutenicos no hay periodo de pago PP definido en si por los flujos de efectivo La duracioacuten del PP por lo tanto queda definida por el periodo t del enunciado de la tasa de intereacutes
ErickMe
bull Ejemplo
Suponga que los flujos de efectivo ocurren cada 6 meses
(PP semestral) y que el intereacutes tiene un periodo de
capacitacioacuten trimestral (PC trimestral) Despueacutes de 3 meses
no hay flujo de efectivo ni es necesario determinar el efecto
de la composicioacuten trimestral Sin embargo en el mes 6 es
necesario considerar los intereses acumulados durante los
dos periodos de composicioacuten trimestrales anteriores
ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos con PPgePC
Cuando se trata exclusivamente de flujos de efectivo de pago uacutenico hay dos formas igualmente correctas de determinar i y n para los factores PF y FP
Meacutetodo 1
Se determina la tasa de intereacutes efectiva durante el periodo de composicioacuten PC y se iguala n al nuacutemero de periodos de composicioacuten entre P y F Las relaciones para calcular P y F son
P=F (PF i efectiva por PC nuacutemero total de periodos n)
F=P (FB i efectiva por PC nuacutemero total de periodos n)
ErickMe
bull Ejemplo
Suponga que la tarjeta de creacutedito es una tasa efectiva de
15 anual compuesto mensualmente
En este caso PC es igual a un mes
Para calcular el P o F a lo largo de un periodo de dos antildeos
se calcula la tasa mensual efectiva de 15 12= 125
Y el total de meses de 2 (12)=24 Asiacute los valores 125 y
24 se utiliza para el caacutelculo de los factores PF y FP
ErickMe
Meacutetodo 2
Se determina la tasa de intereacutes efectiva para el periodo t de la
tasa nominal y sea n igual al nuacutemero total de periodos
utilizados en el mismo periodo utilizando el mismo periodo
Las formulas P y F son las mismas que las de las ecuaciones
antes mencionadas salvo que el termino i efectiva por t se
sustituye por la tasa de intereacutes
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Series con PP ge PC
Si los flujos de efectivo son trimestrales el PP es de un trimestre
y por consiguiente se necesita una tasa de intereacutes efectiva
trimestral El valor n es el nuacutemero total de trimestres Si PP es
igual a un trimestre 5 antildeos se traducen en un valor de n de 20
trimestres Esto constituye una aplicacioacuten directa de la siguiente
directriz general
Cuando los flujos de efectivo implican una serie (por ejemplo A
G g) y el periodo de pago es igual o mayor que el periodo de
capitalizacioacuten
Se calcula la tasa de intereacutes efectiva i por periodo de pago
Se determina n como el nuacutemero total de periodos de pago
AleTzec
La siguiente tabla muestra la formulacioacuten correcta de diversas
series de flujo de efectivo y tasa de intereacutes
Observe que n siempre es igual al nuacutemero total de periodos de
pago y que i es una tasa de intereacutes efectiva que se expresa de
acuerdo con el mismo periodo que n
AleTzec
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos y series con PP lt PC
bull Ejemplos
Si un banco le cobra a una persona intereses el diacutea 15 del
mes en sus pagos de tarjeta de creacutedito y si la persona hace
el pago completo el diacutea primero iquestreduce la institucioacuten
financiera los intereses sobre la base de un pago anticipado
La respuesta comuacuten es no
Si una empresa grande hiciera pagos mensuales para cubrir
un preacutestamo bancario de $10 millones con un intereacutes
compuesto trimestral el ejecutivo de finanzas de la empresa
probablemente insistiriacutea en que el banco redujera la
cantidad de intereses basaacutendose en el pago anticipado
AleTzec
El momento de ocurrencia de las transacciones de flujo de
efectivo entre puntos de capitalizacioacuten implica la pregunta
de coacutemo manejar la capitalizacioacuten inter-perioacutedica
Fundamentalmente existen dos poliacuteticas los flujos de
efectivo entre periodos no ganan intereses o ganan un
intereacutes compuesto
AleTzec
Fin
bull Ejemplo
a) Para una tasa de intereacutes del 18 anual compuesto en forma
continua calcule la tasa de intereacutes efectiva anual y mensual
b) Sin un inversionista exige un retorno efectivo de por lo
menos el 15 sobre su dinero iquestCuaacutel es la tasa miacutenima anual
nominal aceptable si tiene lugar una capitalizacioacuten continua
Solucioacuten
a) La tasa de intereacutes mensual r es =1812 = 15 mensual La tasa
efectiva mensual es
En forma similar a la tasa efectiva anual utilizando r = 018 anual
es
NancyLu
b) En este problema es preciso resolver la ecuacioacuten de la
tasa de intereacutes efectiva en sentido contrario puesto que se
tiene i y se desea r por lo tanto para i=15 anual debe
resolverse para r tomando el logaritmo natural
Por consiguiente una tasa del 13976 anual compuesto
en forma continua generara una tasa de retorno efectiva
anual del 15
NancyLu
bull Ejemplo
Si se depositan $2000 cada antildeo durante 10 antildeos a una tasa de
intereses del 10 anual compare el valor presente para
capitalizacioacuten (a) anual y (b) capitalizacioacuten continua
Solucioacuten
Para capitalizacioacuten anual
P = 2000(PA1010) = 2000(61446) = $12289
(b) Para capitalizacioacuten continua
ianual = e⁰ sup1⁰ ndash 1 = 010517 (10517)
P= 2000(PA1051710)
= 2000(60104)
= $12021
NancyLu
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Comparacioacuten entre la duracioacuten del periodo de pago y del periodo de capitalizacioacuten (PP versus PC)
En los caacutelculos de equivalencia con porcentajes altos la frecuencia de los flujos de efectivo no es igual a la frecuencia de la capitalizacioacuten de los intereses
Resulta esencial que se utilice el mismo periodo para el periodo de capitalizacioacuten y el periodo de pago y en consecuencia la tasa de intereacutes se ajuste
Cuando solo existen pagos uacutenicos no hay periodo de pago PP definido en si por los flujos de efectivo La duracioacuten del PP por lo tanto queda definida por el periodo t del enunciado de la tasa de intereacutes
ErickMe
bull Ejemplo
Suponga que los flujos de efectivo ocurren cada 6 meses
(PP semestral) y que el intereacutes tiene un periodo de
capacitacioacuten trimestral (PC trimestral) Despueacutes de 3 meses
no hay flujo de efectivo ni es necesario determinar el efecto
de la composicioacuten trimestral Sin embargo en el mes 6 es
necesario considerar los intereses acumulados durante los
dos periodos de composicioacuten trimestrales anteriores
ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos con PPgePC
Cuando se trata exclusivamente de flujos de efectivo de pago uacutenico hay dos formas igualmente correctas de determinar i y n para los factores PF y FP
Meacutetodo 1
Se determina la tasa de intereacutes efectiva durante el periodo de composicioacuten PC y se iguala n al nuacutemero de periodos de composicioacuten entre P y F Las relaciones para calcular P y F son
P=F (PF i efectiva por PC nuacutemero total de periodos n)
F=P (FB i efectiva por PC nuacutemero total de periodos n)
ErickMe
bull Ejemplo
Suponga que la tarjeta de creacutedito es una tasa efectiva de
15 anual compuesto mensualmente
En este caso PC es igual a un mes
Para calcular el P o F a lo largo de un periodo de dos antildeos
se calcula la tasa mensual efectiva de 15 12= 125
Y el total de meses de 2 (12)=24 Asiacute los valores 125 y
24 se utiliza para el caacutelculo de los factores PF y FP
ErickMe
Meacutetodo 2
Se determina la tasa de intereacutes efectiva para el periodo t de la
tasa nominal y sea n igual al nuacutemero total de periodos
utilizados en el mismo periodo utilizando el mismo periodo
Las formulas P y F son las mismas que las de las ecuaciones
antes mencionadas salvo que el termino i efectiva por t se
sustituye por la tasa de intereacutes
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Series con PP ge PC
Si los flujos de efectivo son trimestrales el PP es de un trimestre
y por consiguiente se necesita una tasa de intereacutes efectiva
trimestral El valor n es el nuacutemero total de trimestres Si PP es
igual a un trimestre 5 antildeos se traducen en un valor de n de 20
trimestres Esto constituye una aplicacioacuten directa de la siguiente
directriz general
Cuando los flujos de efectivo implican una serie (por ejemplo A
G g) y el periodo de pago es igual o mayor que el periodo de
capitalizacioacuten
Se calcula la tasa de intereacutes efectiva i por periodo de pago
Se determina n como el nuacutemero total de periodos de pago
AleTzec
La siguiente tabla muestra la formulacioacuten correcta de diversas
series de flujo de efectivo y tasa de intereacutes
Observe que n siempre es igual al nuacutemero total de periodos de
pago y que i es una tasa de intereacutes efectiva que se expresa de
acuerdo con el mismo periodo que n
AleTzec
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos y series con PP lt PC
bull Ejemplos
Si un banco le cobra a una persona intereses el diacutea 15 del
mes en sus pagos de tarjeta de creacutedito y si la persona hace
el pago completo el diacutea primero iquestreduce la institucioacuten
financiera los intereses sobre la base de un pago anticipado
La respuesta comuacuten es no
Si una empresa grande hiciera pagos mensuales para cubrir
un preacutestamo bancario de $10 millones con un intereacutes
compuesto trimestral el ejecutivo de finanzas de la empresa
probablemente insistiriacutea en que el banco redujera la
cantidad de intereses basaacutendose en el pago anticipado
AleTzec
El momento de ocurrencia de las transacciones de flujo de
efectivo entre puntos de capitalizacioacuten implica la pregunta
de coacutemo manejar la capitalizacioacuten inter-perioacutedica
Fundamentalmente existen dos poliacuteticas los flujos de
efectivo entre periodos no ganan intereses o ganan un
intereacutes compuesto
AleTzec
Fin
b) En este problema es preciso resolver la ecuacioacuten de la
tasa de intereacutes efectiva en sentido contrario puesto que se
tiene i y se desea r por lo tanto para i=15 anual debe
resolverse para r tomando el logaritmo natural
Por consiguiente una tasa del 13976 anual compuesto
en forma continua generara una tasa de retorno efectiva
anual del 15
NancyLu
bull Ejemplo
Si se depositan $2000 cada antildeo durante 10 antildeos a una tasa de
intereses del 10 anual compare el valor presente para
capitalizacioacuten (a) anual y (b) capitalizacioacuten continua
Solucioacuten
Para capitalizacioacuten anual
P = 2000(PA1010) = 2000(61446) = $12289
(b) Para capitalizacioacuten continua
ianual = e⁰ sup1⁰ ndash 1 = 010517 (10517)
P= 2000(PA1051710)
= 2000(60104)
= $12021
NancyLu
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Comparacioacuten entre la duracioacuten del periodo de pago y del periodo de capitalizacioacuten (PP versus PC)
En los caacutelculos de equivalencia con porcentajes altos la frecuencia de los flujos de efectivo no es igual a la frecuencia de la capitalizacioacuten de los intereses
Resulta esencial que se utilice el mismo periodo para el periodo de capitalizacioacuten y el periodo de pago y en consecuencia la tasa de intereacutes se ajuste
Cuando solo existen pagos uacutenicos no hay periodo de pago PP definido en si por los flujos de efectivo La duracioacuten del PP por lo tanto queda definida por el periodo t del enunciado de la tasa de intereacutes
ErickMe
bull Ejemplo
Suponga que los flujos de efectivo ocurren cada 6 meses
(PP semestral) y que el intereacutes tiene un periodo de
capacitacioacuten trimestral (PC trimestral) Despueacutes de 3 meses
no hay flujo de efectivo ni es necesario determinar el efecto
de la composicioacuten trimestral Sin embargo en el mes 6 es
necesario considerar los intereses acumulados durante los
dos periodos de composicioacuten trimestrales anteriores
ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos con PPgePC
Cuando se trata exclusivamente de flujos de efectivo de pago uacutenico hay dos formas igualmente correctas de determinar i y n para los factores PF y FP
Meacutetodo 1
Se determina la tasa de intereacutes efectiva durante el periodo de composicioacuten PC y se iguala n al nuacutemero de periodos de composicioacuten entre P y F Las relaciones para calcular P y F son
P=F (PF i efectiva por PC nuacutemero total de periodos n)
F=P (FB i efectiva por PC nuacutemero total de periodos n)
ErickMe
bull Ejemplo
Suponga que la tarjeta de creacutedito es una tasa efectiva de
15 anual compuesto mensualmente
En este caso PC es igual a un mes
Para calcular el P o F a lo largo de un periodo de dos antildeos
se calcula la tasa mensual efectiva de 15 12= 125
Y el total de meses de 2 (12)=24 Asiacute los valores 125 y
24 se utiliza para el caacutelculo de los factores PF y FP
ErickMe
Meacutetodo 2
Se determina la tasa de intereacutes efectiva para el periodo t de la
tasa nominal y sea n igual al nuacutemero total de periodos
utilizados en el mismo periodo utilizando el mismo periodo
Las formulas P y F son las mismas que las de las ecuaciones
antes mencionadas salvo que el termino i efectiva por t se
sustituye por la tasa de intereacutes
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Series con PP ge PC
Si los flujos de efectivo son trimestrales el PP es de un trimestre
y por consiguiente se necesita una tasa de intereacutes efectiva
trimestral El valor n es el nuacutemero total de trimestres Si PP es
igual a un trimestre 5 antildeos se traducen en un valor de n de 20
trimestres Esto constituye una aplicacioacuten directa de la siguiente
directriz general
Cuando los flujos de efectivo implican una serie (por ejemplo A
G g) y el periodo de pago es igual o mayor que el periodo de
capitalizacioacuten
Se calcula la tasa de intereacutes efectiva i por periodo de pago
Se determina n como el nuacutemero total de periodos de pago
AleTzec
La siguiente tabla muestra la formulacioacuten correcta de diversas
series de flujo de efectivo y tasa de intereacutes
Observe que n siempre es igual al nuacutemero total de periodos de
pago y que i es una tasa de intereacutes efectiva que se expresa de
acuerdo con el mismo periodo que n
AleTzec
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos y series con PP lt PC
bull Ejemplos
Si un banco le cobra a una persona intereses el diacutea 15 del
mes en sus pagos de tarjeta de creacutedito y si la persona hace
el pago completo el diacutea primero iquestreduce la institucioacuten
financiera los intereses sobre la base de un pago anticipado
La respuesta comuacuten es no
Si una empresa grande hiciera pagos mensuales para cubrir
un preacutestamo bancario de $10 millones con un intereacutes
compuesto trimestral el ejecutivo de finanzas de la empresa
probablemente insistiriacutea en que el banco redujera la
cantidad de intereses basaacutendose en el pago anticipado
AleTzec
El momento de ocurrencia de las transacciones de flujo de
efectivo entre puntos de capitalizacioacuten implica la pregunta
de coacutemo manejar la capitalizacioacuten inter-perioacutedica
Fundamentalmente existen dos poliacuteticas los flujos de
efectivo entre periodos no ganan intereses o ganan un
intereacutes compuesto
AleTzec
Fin
bull Ejemplo
Si se depositan $2000 cada antildeo durante 10 antildeos a una tasa de
intereses del 10 anual compare el valor presente para
capitalizacioacuten (a) anual y (b) capitalizacioacuten continua
Solucioacuten
Para capitalizacioacuten anual
P = 2000(PA1010) = 2000(61446) = $12289
(b) Para capitalizacioacuten continua
ianual = e⁰ sup1⁰ ndash 1 = 010517 (10517)
P= 2000(PA1051710)
= 2000(60104)
= $12021
NancyLu
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Comparacioacuten entre la duracioacuten del periodo de pago y del periodo de capitalizacioacuten (PP versus PC)
En los caacutelculos de equivalencia con porcentajes altos la frecuencia de los flujos de efectivo no es igual a la frecuencia de la capitalizacioacuten de los intereses
Resulta esencial que se utilice el mismo periodo para el periodo de capitalizacioacuten y el periodo de pago y en consecuencia la tasa de intereacutes se ajuste
Cuando solo existen pagos uacutenicos no hay periodo de pago PP definido en si por los flujos de efectivo La duracioacuten del PP por lo tanto queda definida por el periodo t del enunciado de la tasa de intereacutes
ErickMe
bull Ejemplo
Suponga que los flujos de efectivo ocurren cada 6 meses
(PP semestral) y que el intereacutes tiene un periodo de
capacitacioacuten trimestral (PC trimestral) Despueacutes de 3 meses
no hay flujo de efectivo ni es necesario determinar el efecto
de la composicioacuten trimestral Sin embargo en el mes 6 es
necesario considerar los intereses acumulados durante los
dos periodos de composicioacuten trimestrales anteriores
ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos con PPgePC
Cuando se trata exclusivamente de flujos de efectivo de pago uacutenico hay dos formas igualmente correctas de determinar i y n para los factores PF y FP
Meacutetodo 1
Se determina la tasa de intereacutes efectiva durante el periodo de composicioacuten PC y se iguala n al nuacutemero de periodos de composicioacuten entre P y F Las relaciones para calcular P y F son
P=F (PF i efectiva por PC nuacutemero total de periodos n)
F=P (FB i efectiva por PC nuacutemero total de periodos n)
ErickMe
bull Ejemplo
Suponga que la tarjeta de creacutedito es una tasa efectiva de
15 anual compuesto mensualmente
En este caso PC es igual a un mes
Para calcular el P o F a lo largo de un periodo de dos antildeos
se calcula la tasa mensual efectiva de 15 12= 125
Y el total de meses de 2 (12)=24 Asiacute los valores 125 y
24 se utiliza para el caacutelculo de los factores PF y FP
ErickMe
Meacutetodo 2
Se determina la tasa de intereacutes efectiva para el periodo t de la
tasa nominal y sea n igual al nuacutemero total de periodos
utilizados en el mismo periodo utilizando el mismo periodo
Las formulas P y F son las mismas que las de las ecuaciones
antes mencionadas salvo que el termino i efectiva por t se
sustituye por la tasa de intereacutes
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Series con PP ge PC
Si los flujos de efectivo son trimestrales el PP es de un trimestre
y por consiguiente se necesita una tasa de intereacutes efectiva
trimestral El valor n es el nuacutemero total de trimestres Si PP es
igual a un trimestre 5 antildeos se traducen en un valor de n de 20
trimestres Esto constituye una aplicacioacuten directa de la siguiente
directriz general
Cuando los flujos de efectivo implican una serie (por ejemplo A
G g) y el periodo de pago es igual o mayor que el periodo de
capitalizacioacuten
Se calcula la tasa de intereacutes efectiva i por periodo de pago
Se determina n como el nuacutemero total de periodos de pago
AleTzec
La siguiente tabla muestra la formulacioacuten correcta de diversas
series de flujo de efectivo y tasa de intereacutes
Observe que n siempre es igual al nuacutemero total de periodos de
pago y que i es una tasa de intereacutes efectiva que se expresa de
acuerdo con el mismo periodo que n
AleTzec
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos y series con PP lt PC
bull Ejemplos
Si un banco le cobra a una persona intereses el diacutea 15 del
mes en sus pagos de tarjeta de creacutedito y si la persona hace
el pago completo el diacutea primero iquestreduce la institucioacuten
financiera los intereses sobre la base de un pago anticipado
La respuesta comuacuten es no
Si una empresa grande hiciera pagos mensuales para cubrir
un preacutestamo bancario de $10 millones con un intereacutes
compuesto trimestral el ejecutivo de finanzas de la empresa
probablemente insistiriacutea en que el banco redujera la
cantidad de intereses basaacutendose en el pago anticipado
AleTzec
El momento de ocurrencia de las transacciones de flujo de
efectivo entre puntos de capitalizacioacuten implica la pregunta
de coacutemo manejar la capitalizacioacuten inter-perioacutedica
Fundamentalmente existen dos poliacuteticas los flujos de
efectivo entre periodos no ganan intereses o ganan un
intereacutes compuesto
AleTzec
Fin
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Comparacioacuten entre la duracioacuten del periodo de pago y del periodo de capitalizacioacuten (PP versus PC)
En los caacutelculos de equivalencia con porcentajes altos la frecuencia de los flujos de efectivo no es igual a la frecuencia de la capitalizacioacuten de los intereses
Resulta esencial que se utilice el mismo periodo para el periodo de capitalizacioacuten y el periodo de pago y en consecuencia la tasa de intereacutes se ajuste
Cuando solo existen pagos uacutenicos no hay periodo de pago PP definido en si por los flujos de efectivo La duracioacuten del PP por lo tanto queda definida por el periodo t del enunciado de la tasa de intereacutes
ErickMe
bull Ejemplo
Suponga que los flujos de efectivo ocurren cada 6 meses
(PP semestral) y que el intereacutes tiene un periodo de
capacitacioacuten trimestral (PC trimestral) Despueacutes de 3 meses
no hay flujo de efectivo ni es necesario determinar el efecto
de la composicioacuten trimestral Sin embargo en el mes 6 es
necesario considerar los intereses acumulados durante los
dos periodos de composicioacuten trimestrales anteriores
ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos con PPgePC
Cuando se trata exclusivamente de flujos de efectivo de pago uacutenico hay dos formas igualmente correctas de determinar i y n para los factores PF y FP
Meacutetodo 1
Se determina la tasa de intereacutes efectiva durante el periodo de composicioacuten PC y se iguala n al nuacutemero de periodos de composicioacuten entre P y F Las relaciones para calcular P y F son
P=F (PF i efectiva por PC nuacutemero total de periodos n)
F=P (FB i efectiva por PC nuacutemero total de periodos n)
ErickMe
bull Ejemplo
Suponga que la tarjeta de creacutedito es una tasa efectiva de
15 anual compuesto mensualmente
En este caso PC es igual a un mes
Para calcular el P o F a lo largo de un periodo de dos antildeos
se calcula la tasa mensual efectiva de 15 12= 125
Y el total de meses de 2 (12)=24 Asiacute los valores 125 y
24 se utiliza para el caacutelculo de los factores PF y FP
ErickMe
Meacutetodo 2
Se determina la tasa de intereacutes efectiva para el periodo t de la
tasa nominal y sea n igual al nuacutemero total de periodos
utilizados en el mismo periodo utilizando el mismo periodo
Las formulas P y F son las mismas que las de las ecuaciones
antes mencionadas salvo que el termino i efectiva por t se
sustituye por la tasa de intereacutes
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Series con PP ge PC
Si los flujos de efectivo son trimestrales el PP es de un trimestre
y por consiguiente se necesita una tasa de intereacutes efectiva
trimestral El valor n es el nuacutemero total de trimestres Si PP es
igual a un trimestre 5 antildeos se traducen en un valor de n de 20
trimestres Esto constituye una aplicacioacuten directa de la siguiente
directriz general
Cuando los flujos de efectivo implican una serie (por ejemplo A
G g) y el periodo de pago es igual o mayor que el periodo de
capitalizacioacuten
Se calcula la tasa de intereacutes efectiva i por periodo de pago
Se determina n como el nuacutemero total de periodos de pago
AleTzec
La siguiente tabla muestra la formulacioacuten correcta de diversas
series de flujo de efectivo y tasa de intereacutes
Observe que n siempre es igual al nuacutemero total de periodos de
pago y que i es una tasa de intereacutes efectiva que se expresa de
acuerdo con el mismo periodo que n
AleTzec
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos y series con PP lt PC
bull Ejemplos
Si un banco le cobra a una persona intereses el diacutea 15 del
mes en sus pagos de tarjeta de creacutedito y si la persona hace
el pago completo el diacutea primero iquestreduce la institucioacuten
financiera los intereses sobre la base de un pago anticipado
La respuesta comuacuten es no
Si una empresa grande hiciera pagos mensuales para cubrir
un preacutestamo bancario de $10 millones con un intereacutes
compuesto trimestral el ejecutivo de finanzas de la empresa
probablemente insistiriacutea en que el banco redujera la
cantidad de intereses basaacutendose en el pago anticipado
AleTzec
El momento de ocurrencia de las transacciones de flujo de
efectivo entre puntos de capitalizacioacuten implica la pregunta
de coacutemo manejar la capitalizacioacuten inter-perioacutedica
Fundamentalmente existen dos poliacuteticas los flujos de
efectivo entre periodos no ganan intereses o ganan un
intereacutes compuesto
AleTzec
Fin
bull Ejemplo
Suponga que los flujos de efectivo ocurren cada 6 meses
(PP semestral) y que el intereacutes tiene un periodo de
capacitacioacuten trimestral (PC trimestral) Despueacutes de 3 meses
no hay flujo de efectivo ni es necesario determinar el efecto
de la composicioacuten trimestral Sin embargo en el mes 6 es
necesario considerar los intereses acumulados durante los
dos periodos de composicioacuten trimestrales anteriores
ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos con PPgePC
Cuando se trata exclusivamente de flujos de efectivo de pago uacutenico hay dos formas igualmente correctas de determinar i y n para los factores PF y FP
Meacutetodo 1
Se determina la tasa de intereacutes efectiva durante el periodo de composicioacuten PC y se iguala n al nuacutemero de periodos de composicioacuten entre P y F Las relaciones para calcular P y F son
P=F (PF i efectiva por PC nuacutemero total de periodos n)
F=P (FB i efectiva por PC nuacutemero total de periodos n)
ErickMe
bull Ejemplo
Suponga que la tarjeta de creacutedito es una tasa efectiva de
15 anual compuesto mensualmente
En este caso PC es igual a un mes
Para calcular el P o F a lo largo de un periodo de dos antildeos
se calcula la tasa mensual efectiva de 15 12= 125
Y el total de meses de 2 (12)=24 Asiacute los valores 125 y
24 se utiliza para el caacutelculo de los factores PF y FP
ErickMe
Meacutetodo 2
Se determina la tasa de intereacutes efectiva para el periodo t de la
tasa nominal y sea n igual al nuacutemero total de periodos
utilizados en el mismo periodo utilizando el mismo periodo
Las formulas P y F son las mismas que las de las ecuaciones
antes mencionadas salvo que el termino i efectiva por t se
sustituye por la tasa de intereacutes
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Series con PP ge PC
Si los flujos de efectivo son trimestrales el PP es de un trimestre
y por consiguiente se necesita una tasa de intereacutes efectiva
trimestral El valor n es el nuacutemero total de trimestres Si PP es
igual a un trimestre 5 antildeos se traducen en un valor de n de 20
trimestres Esto constituye una aplicacioacuten directa de la siguiente
directriz general
Cuando los flujos de efectivo implican una serie (por ejemplo A
G g) y el periodo de pago es igual o mayor que el periodo de
capitalizacioacuten
Se calcula la tasa de intereacutes efectiva i por periodo de pago
Se determina n como el nuacutemero total de periodos de pago
AleTzec
La siguiente tabla muestra la formulacioacuten correcta de diversas
series de flujo de efectivo y tasa de intereacutes
Observe que n siempre es igual al nuacutemero total de periodos de
pago y que i es una tasa de intereacutes efectiva que se expresa de
acuerdo con el mismo periodo que n
AleTzec
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos y series con PP lt PC
bull Ejemplos
Si un banco le cobra a una persona intereses el diacutea 15 del
mes en sus pagos de tarjeta de creacutedito y si la persona hace
el pago completo el diacutea primero iquestreduce la institucioacuten
financiera los intereses sobre la base de un pago anticipado
La respuesta comuacuten es no
Si una empresa grande hiciera pagos mensuales para cubrir
un preacutestamo bancario de $10 millones con un intereacutes
compuesto trimestral el ejecutivo de finanzas de la empresa
probablemente insistiriacutea en que el banco redujera la
cantidad de intereses basaacutendose en el pago anticipado
AleTzec
El momento de ocurrencia de las transacciones de flujo de
efectivo entre puntos de capitalizacioacuten implica la pregunta
de coacutemo manejar la capitalizacioacuten inter-perioacutedica
Fundamentalmente existen dos poliacuteticas los flujos de
efectivo entre periodos no ganan intereses o ganan un
intereacutes compuesto
AleTzec
Fin
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos con PPgePC
Cuando se trata exclusivamente de flujos de efectivo de pago uacutenico hay dos formas igualmente correctas de determinar i y n para los factores PF y FP
Meacutetodo 1
Se determina la tasa de intereacutes efectiva durante el periodo de composicioacuten PC y se iguala n al nuacutemero de periodos de composicioacuten entre P y F Las relaciones para calcular P y F son
P=F (PF i efectiva por PC nuacutemero total de periodos n)
F=P (FB i efectiva por PC nuacutemero total de periodos n)
ErickMe
bull Ejemplo
Suponga que la tarjeta de creacutedito es una tasa efectiva de
15 anual compuesto mensualmente
En este caso PC es igual a un mes
Para calcular el P o F a lo largo de un periodo de dos antildeos
se calcula la tasa mensual efectiva de 15 12= 125
Y el total de meses de 2 (12)=24 Asiacute los valores 125 y
24 se utiliza para el caacutelculo de los factores PF y FP
ErickMe
Meacutetodo 2
Se determina la tasa de intereacutes efectiva para el periodo t de la
tasa nominal y sea n igual al nuacutemero total de periodos
utilizados en el mismo periodo utilizando el mismo periodo
Las formulas P y F son las mismas que las de las ecuaciones
antes mencionadas salvo que el termino i efectiva por t se
sustituye por la tasa de intereacutes
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Series con PP ge PC
Si los flujos de efectivo son trimestrales el PP es de un trimestre
y por consiguiente se necesita una tasa de intereacutes efectiva
trimestral El valor n es el nuacutemero total de trimestres Si PP es
igual a un trimestre 5 antildeos se traducen en un valor de n de 20
trimestres Esto constituye una aplicacioacuten directa de la siguiente
directriz general
Cuando los flujos de efectivo implican una serie (por ejemplo A
G g) y el periodo de pago es igual o mayor que el periodo de
capitalizacioacuten
Se calcula la tasa de intereacutes efectiva i por periodo de pago
Se determina n como el nuacutemero total de periodos de pago
AleTzec
La siguiente tabla muestra la formulacioacuten correcta de diversas
series de flujo de efectivo y tasa de intereacutes
Observe que n siempre es igual al nuacutemero total de periodos de
pago y que i es una tasa de intereacutes efectiva que se expresa de
acuerdo con el mismo periodo que n
AleTzec
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos y series con PP lt PC
bull Ejemplos
Si un banco le cobra a una persona intereses el diacutea 15 del
mes en sus pagos de tarjeta de creacutedito y si la persona hace
el pago completo el diacutea primero iquestreduce la institucioacuten
financiera los intereses sobre la base de un pago anticipado
La respuesta comuacuten es no
Si una empresa grande hiciera pagos mensuales para cubrir
un preacutestamo bancario de $10 millones con un intereacutes
compuesto trimestral el ejecutivo de finanzas de la empresa
probablemente insistiriacutea en que el banco redujera la
cantidad de intereses basaacutendose en el pago anticipado
AleTzec
El momento de ocurrencia de las transacciones de flujo de
efectivo entre puntos de capitalizacioacuten implica la pregunta
de coacutemo manejar la capitalizacioacuten inter-perioacutedica
Fundamentalmente existen dos poliacuteticas los flujos de
efectivo entre periodos no ganan intereses o ganan un
intereacutes compuesto
AleTzec
Fin
bull Ejemplo
Suponga que la tarjeta de creacutedito es una tasa efectiva de
15 anual compuesto mensualmente
En este caso PC es igual a un mes
Para calcular el P o F a lo largo de un periodo de dos antildeos
se calcula la tasa mensual efectiva de 15 12= 125
Y el total de meses de 2 (12)=24 Asiacute los valores 125 y
24 se utiliza para el caacutelculo de los factores PF y FP
ErickMe
Meacutetodo 2
Se determina la tasa de intereacutes efectiva para el periodo t de la
tasa nominal y sea n igual al nuacutemero total de periodos
utilizados en el mismo periodo utilizando el mismo periodo
Las formulas P y F son las mismas que las de las ecuaciones
antes mencionadas salvo que el termino i efectiva por t se
sustituye por la tasa de intereacutes
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Series con PP ge PC
Si los flujos de efectivo son trimestrales el PP es de un trimestre
y por consiguiente se necesita una tasa de intereacutes efectiva
trimestral El valor n es el nuacutemero total de trimestres Si PP es
igual a un trimestre 5 antildeos se traducen en un valor de n de 20
trimestres Esto constituye una aplicacioacuten directa de la siguiente
directriz general
Cuando los flujos de efectivo implican una serie (por ejemplo A
G g) y el periodo de pago es igual o mayor que el periodo de
capitalizacioacuten
Se calcula la tasa de intereacutes efectiva i por periodo de pago
Se determina n como el nuacutemero total de periodos de pago
AleTzec
La siguiente tabla muestra la formulacioacuten correcta de diversas
series de flujo de efectivo y tasa de intereacutes
Observe que n siempre es igual al nuacutemero total de periodos de
pago y que i es una tasa de intereacutes efectiva que se expresa de
acuerdo con el mismo periodo que n
AleTzec
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos y series con PP lt PC
bull Ejemplos
Si un banco le cobra a una persona intereses el diacutea 15 del
mes en sus pagos de tarjeta de creacutedito y si la persona hace
el pago completo el diacutea primero iquestreduce la institucioacuten
financiera los intereses sobre la base de un pago anticipado
La respuesta comuacuten es no
Si una empresa grande hiciera pagos mensuales para cubrir
un preacutestamo bancario de $10 millones con un intereacutes
compuesto trimestral el ejecutivo de finanzas de la empresa
probablemente insistiriacutea en que el banco redujera la
cantidad de intereses basaacutendose en el pago anticipado
AleTzec
El momento de ocurrencia de las transacciones de flujo de
efectivo entre puntos de capitalizacioacuten implica la pregunta
de coacutemo manejar la capitalizacioacuten inter-perioacutedica
Fundamentalmente existen dos poliacuteticas los flujos de
efectivo entre periodos no ganan intereses o ganan un
intereacutes compuesto
AleTzec
Fin
Meacutetodo 2
Se determina la tasa de intereacutes efectiva para el periodo t de la
tasa nominal y sea n igual al nuacutemero total de periodos
utilizados en el mismo periodo utilizando el mismo periodo
Las formulas P y F son las mismas que las de las ecuaciones
antes mencionadas salvo que el termino i efectiva por t se
sustituye por la tasa de intereacutes
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Series con PP ge PC
Si los flujos de efectivo son trimestrales el PP es de un trimestre
y por consiguiente se necesita una tasa de intereacutes efectiva
trimestral El valor n es el nuacutemero total de trimestres Si PP es
igual a un trimestre 5 antildeos se traducen en un valor de n de 20
trimestres Esto constituye una aplicacioacuten directa de la siguiente
directriz general
Cuando los flujos de efectivo implican una serie (por ejemplo A
G g) y el periodo de pago es igual o mayor que el periodo de
capitalizacioacuten
Se calcula la tasa de intereacutes efectiva i por periodo de pago
Se determina n como el nuacutemero total de periodos de pago
AleTzec
La siguiente tabla muestra la formulacioacuten correcta de diversas
series de flujo de efectivo y tasa de intereacutes
Observe que n siempre es igual al nuacutemero total de periodos de
pago y que i es una tasa de intereacutes efectiva que se expresa de
acuerdo con el mismo periodo que n
AleTzec
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos y series con PP lt PC
bull Ejemplos
Si un banco le cobra a una persona intereses el diacutea 15 del
mes en sus pagos de tarjeta de creacutedito y si la persona hace
el pago completo el diacutea primero iquestreduce la institucioacuten
financiera los intereses sobre la base de un pago anticipado
La respuesta comuacuten es no
Si una empresa grande hiciera pagos mensuales para cubrir
un preacutestamo bancario de $10 millones con un intereacutes
compuesto trimestral el ejecutivo de finanzas de la empresa
probablemente insistiriacutea en que el banco redujera la
cantidad de intereses basaacutendose en el pago anticipado
AleTzec
El momento de ocurrencia de las transacciones de flujo de
efectivo entre puntos de capitalizacioacuten implica la pregunta
de coacutemo manejar la capitalizacioacuten inter-perioacutedica
Fundamentalmente existen dos poliacuteticas los flujos de
efectivo entre periodos no ganan intereses o ganan un
intereacutes compuesto
AleTzec
Fin
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Series con PP ge PC
Si los flujos de efectivo son trimestrales el PP es de un trimestre
y por consiguiente se necesita una tasa de intereacutes efectiva
trimestral El valor n es el nuacutemero total de trimestres Si PP es
igual a un trimestre 5 antildeos se traducen en un valor de n de 20
trimestres Esto constituye una aplicacioacuten directa de la siguiente
directriz general
Cuando los flujos de efectivo implican una serie (por ejemplo A
G g) y el periodo de pago es igual o mayor que el periodo de
capitalizacioacuten
Se calcula la tasa de intereacutes efectiva i por periodo de pago
Se determina n como el nuacutemero total de periodos de pago
AleTzec
La siguiente tabla muestra la formulacioacuten correcta de diversas
series de flujo de efectivo y tasa de intereacutes
Observe que n siempre es igual al nuacutemero total de periodos de
pago y que i es una tasa de intereacutes efectiva que se expresa de
acuerdo con el mismo periodo que n
AleTzec
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos y series con PP lt PC
bull Ejemplos
Si un banco le cobra a una persona intereses el diacutea 15 del
mes en sus pagos de tarjeta de creacutedito y si la persona hace
el pago completo el diacutea primero iquestreduce la institucioacuten
financiera los intereses sobre la base de un pago anticipado
La respuesta comuacuten es no
Si una empresa grande hiciera pagos mensuales para cubrir
un preacutestamo bancario de $10 millones con un intereacutes
compuesto trimestral el ejecutivo de finanzas de la empresa
probablemente insistiriacutea en que el banco redujera la
cantidad de intereses basaacutendose en el pago anticipado
AleTzec
El momento de ocurrencia de las transacciones de flujo de
efectivo entre puntos de capitalizacioacuten implica la pregunta
de coacutemo manejar la capitalizacioacuten inter-perioacutedica
Fundamentalmente existen dos poliacuteticas los flujos de
efectivo entre periodos no ganan intereses o ganan un
intereacutes compuesto
AleTzec
Fin
bull Ejemplo
En el caso de una tasa de tarjeta de creacutedito de 15 anual
compuesto mensualmente el periodo t es 1 antildeo La tasa
de intereacutes efectiva durante un antildeo y los valores n son
El factor PF es el mismo por ambos meacutetodos (PF
12524)=07422 utilizando la tabla 5 y(PF 16076
2)=07422 aplicando la foacutermula del factor PF
ErickMe
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Series con PP ge PC
Si los flujos de efectivo son trimestrales el PP es de un trimestre
y por consiguiente se necesita una tasa de intereacutes efectiva
trimestral El valor n es el nuacutemero total de trimestres Si PP es
igual a un trimestre 5 antildeos se traducen en un valor de n de 20
trimestres Esto constituye una aplicacioacuten directa de la siguiente
directriz general
Cuando los flujos de efectivo implican una serie (por ejemplo A
G g) y el periodo de pago es igual o mayor que el periodo de
capitalizacioacuten
Se calcula la tasa de intereacutes efectiva i por periodo de pago
Se determina n como el nuacutemero total de periodos de pago
AleTzec
La siguiente tabla muestra la formulacioacuten correcta de diversas
series de flujo de efectivo y tasa de intereacutes
Observe que n siempre es igual al nuacutemero total de periodos de
pago y que i es una tasa de intereacutes efectiva que se expresa de
acuerdo con el mismo periodo que n
AleTzec
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos y series con PP lt PC
bull Ejemplos
Si un banco le cobra a una persona intereses el diacutea 15 del
mes en sus pagos de tarjeta de creacutedito y si la persona hace
el pago completo el diacutea primero iquestreduce la institucioacuten
financiera los intereses sobre la base de un pago anticipado
La respuesta comuacuten es no
Si una empresa grande hiciera pagos mensuales para cubrir
un preacutestamo bancario de $10 millones con un intereacutes
compuesto trimestral el ejecutivo de finanzas de la empresa
probablemente insistiriacutea en que el banco redujera la
cantidad de intereses basaacutendose en el pago anticipado
AleTzec
El momento de ocurrencia de las transacciones de flujo de
efectivo entre puntos de capitalizacioacuten implica la pregunta
de coacutemo manejar la capitalizacioacuten inter-perioacutedica
Fundamentalmente existen dos poliacuteticas los flujos de
efectivo entre periodos no ganan intereses o ganan un
intereacutes compuesto
AleTzec
Fin
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Series con PP ge PC
Si los flujos de efectivo son trimestrales el PP es de un trimestre
y por consiguiente se necesita una tasa de intereacutes efectiva
trimestral El valor n es el nuacutemero total de trimestres Si PP es
igual a un trimestre 5 antildeos se traducen en un valor de n de 20
trimestres Esto constituye una aplicacioacuten directa de la siguiente
directriz general
Cuando los flujos de efectivo implican una serie (por ejemplo A
G g) y el periodo de pago es igual o mayor que el periodo de
capitalizacioacuten
Se calcula la tasa de intereacutes efectiva i por periodo de pago
Se determina n como el nuacutemero total de periodos de pago
AleTzec
La siguiente tabla muestra la formulacioacuten correcta de diversas
series de flujo de efectivo y tasa de intereacutes
Observe que n siempre es igual al nuacutemero total de periodos de
pago y que i es una tasa de intereacutes efectiva que se expresa de
acuerdo con el mismo periodo que n
AleTzec
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos y series con PP lt PC
bull Ejemplos
Si un banco le cobra a una persona intereses el diacutea 15 del
mes en sus pagos de tarjeta de creacutedito y si la persona hace
el pago completo el diacutea primero iquestreduce la institucioacuten
financiera los intereses sobre la base de un pago anticipado
La respuesta comuacuten es no
Si una empresa grande hiciera pagos mensuales para cubrir
un preacutestamo bancario de $10 millones con un intereacutes
compuesto trimestral el ejecutivo de finanzas de la empresa
probablemente insistiriacutea en que el banco redujera la
cantidad de intereses basaacutendose en el pago anticipado
AleTzec
El momento de ocurrencia de las transacciones de flujo de
efectivo entre puntos de capitalizacioacuten implica la pregunta
de coacutemo manejar la capitalizacioacuten inter-perioacutedica
Fundamentalmente existen dos poliacuteticas los flujos de
efectivo entre periodos no ganan intereses o ganan un
intereacutes compuesto
AleTzec
Fin
La siguiente tabla muestra la formulacioacuten correcta de diversas
series de flujo de efectivo y tasa de intereacutes
Observe que n siempre es igual al nuacutemero total de periodos de
pago y que i es una tasa de intereacutes efectiva que se expresa de
acuerdo con el mismo periodo que n
AleTzec
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos y series con PP lt PC
bull Ejemplos
Si un banco le cobra a una persona intereses el diacutea 15 del
mes en sus pagos de tarjeta de creacutedito y si la persona hace
el pago completo el diacutea primero iquestreduce la institucioacuten
financiera los intereses sobre la base de un pago anticipado
La respuesta comuacuten es no
Si una empresa grande hiciera pagos mensuales para cubrir
un preacutestamo bancario de $10 millones con un intereacutes
compuesto trimestral el ejecutivo de finanzas de la empresa
probablemente insistiriacutea en que el banco redujera la
cantidad de intereses basaacutendose en el pago anticipado
AleTzec
El momento de ocurrencia de las transacciones de flujo de
efectivo entre puntos de capitalizacioacuten implica la pregunta
de coacutemo manejar la capitalizacioacuten inter-perioacutedica
Fundamentalmente existen dos poliacuteticas los flujos de
efectivo entre periodos no ganan intereses o ganan un
intereacutes compuesto
AleTzec
Fin
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Pagos uacutenicos y series con PP lt PC
bull Ejemplos
Si un banco le cobra a una persona intereses el diacutea 15 del
mes en sus pagos de tarjeta de creacutedito y si la persona hace
el pago completo el diacutea primero iquestreduce la institucioacuten
financiera los intereses sobre la base de un pago anticipado
La respuesta comuacuten es no
Si una empresa grande hiciera pagos mensuales para cubrir
un preacutestamo bancario de $10 millones con un intereacutes
compuesto trimestral el ejecutivo de finanzas de la empresa
probablemente insistiriacutea en que el banco redujera la
cantidad de intereses basaacutendose en el pago anticipado
AleTzec
El momento de ocurrencia de las transacciones de flujo de
efectivo entre puntos de capitalizacioacuten implica la pregunta
de coacutemo manejar la capitalizacioacuten inter-perioacutedica
Fundamentalmente existen dos poliacuteticas los flujos de
efectivo entre periodos no ganan intereses o ganan un
intereacutes compuesto
AleTzec
Fin
El momento de ocurrencia de las transacciones de flujo de
efectivo entre puntos de capitalizacioacuten implica la pregunta
de coacutemo manejar la capitalizacioacuten inter-perioacutedica
Fundamentalmente existen dos poliacuteticas los flujos de
efectivo entre periodos no ganan intereses o ganan un
intereacutes compuesto
AleTzec
Fin
Fin