Ondas planas

A. J. Zozaya

10 de enero de 2013

Índice

Índice 11. Introducción 22. La onda plana homogénea 2

2.1. ¿Y qué del campoH?, 3. —2.2. Onda plana en un medio homogéneo absorbente, 4 –2.2.1. Me-dios absorbentes no magnéticos, 5 . —2.3. Onda plana arbitrariamente orientada, 6. —2.4. Velocidadde grupo, 7.

3. Incidencia perpendicular 83.1. Incidencia perpendicular en el domino de la frecuencia , 8. —3.2. Caso |ρ| = 0, 11. —3.3.Caso |ρ| = 1, 11. —3.4. Caso 0 < |ρ| < 1, 11. —3.5. Incidencia perpendicular en el domino deltiempo: método FDTD en una dimensión, 12 –3.5.1. Ecuaciones de Maxwell, 13. –3.5.2. Discretizaciónde las ecuaciones de onda plana y de su dominio, 13. –3.5.3. Otras consideraciones numéricas, 15 . —3.6.Resultados de simulación, 16 –3.6.1. Caso 1: adaptación –fdtd1d(1,0)–, 16. –3.6.2. Caso 2: desadap-tación parcial, reflexión parcial –fdtd1d(4,0)–, 16. –3.6.3. Caso 3: desadaptación parcial con absorción–fdtd1d(4,0.04)–, 17. –3.6.4. Caso 4: reflexión total –fdtd1d(4,100)–, 18 .

4. Leyes de Snell 184.1. 1era ley de Snell, 19. —4.2. 2da. ley de Snell, 19. —4.3. Estudios de casos, 19 –4.3.1. Cason1 > n2, 20. –4.3.2. Caso n1 < n2, 21 .

5. Fórmulas de Fresnel 215.1. Introducción, 21. —5.2. Polarización perpendicular, 21 –5.2.1. Condiciones de borde, 23 . —5.3.Polarización paralela, 25 –5.3.1. Condiciones de borde, 26 . —5.4. Angulo de Brewster, 27. —5.5. Reflexión total, 28 –5.5.1. Polarización perpendicular, 28. –5.5.2. Animación del campo magnéticoutilizando MATLAB, 29. –5.5.3. Polarización paralela, 31. –5.5.4. Animación del campo eléctrico utilizandoMATLAB, 31. –5.5.5. Condiciones límites de Leontóvich, 32 .

6. Mini-proyectos 356.1. Mini-proyecto 1, 35. —6.2. Mini-proyecto 2, 36.

A. El código FDTD en MATLABr 37Bibliografía 38Índice alfabético 40

1

1. IntroducciónEn el dominio de la frecuencia la ecuación homogénea de D’Alembert 2E = 0 se convierte

en la ecuación homogénea de Helmholtz

(∇2 + κ2)E = 0 (1)

La familia de soluciones de la Ec. (1) en un medio simple infinito constituyen un conjuntode soluciones denominadas libres porque las mismas existen con independencia de las fuentesprimarias –que en la Ec. (1) se han anulado–. Los campos libres no pueden ser sino dinámicoso solenoidales. Los campos irrotacionales no pueden ser solución de la Ec. (1) porque necesitande las fuentes escalares para sostenerse. En la Ec. (1) κ será real si el medio no es absorbente.

2. La onda plana homogéneaLa Ecuación (1) se puede expandir en tres ecuaciones escalares en coordenadas Cartesianas(

∂2

∂x2 + ∂2

∂y2 + ∂2

∂z2 + κ2)Ex = 0 (2a)

(∂2

∂x2 + ∂2

∂y2 + ∂2

∂z2 + κ2)Ey = 0 (2b)

(∂2

∂x2 + ∂2

∂y2 + ∂2

∂z2 + κ2)Ez = 0 (2c)

La solución más simple de la Ec. (1) se denomina onda plana homogénea y se puede obte-ner mediante las premisas que se enuncian a continuación. En primer lugar, postularemos quela orientación del campo E es invariante con la posición. Orientando los ejes del sistema decoordenadas de modo que el campo eléctrico yaga sobre el eje x, las Ecs. (2) se reducen a una:(

∂2

∂x2 + ∂2

∂y2 + ∂2

∂z2 + κ2)Ex = 0 (3)

Tomando en cuenta que el campo E ha de ser solenoidal necesariamente ∂∂xEx = 0 y por

tanto (∂2

∂y2 + ∂2

∂z2 + κ2)Ex = 0 (4)

Finalmente, postularemos que el campo electrico solo varía a lo largo de una dirección.Haciendo coincidir esta dirección con el eje z, será E = E0(z)ax y la Ec. (4) asume la forma

d2

dz2Ex + κ2Ex = 0 (5)

La solución de la Ec. (5) es:

Ex(z) = C1e−jκz + C2e

jκz (6)

2

donde C1 y C2 son dos constantes complejas indeterminadas: C1,2 = |C1,2|ejϕ1,2 . En el dominiodel tiempo el campo eléctrico tiene la forma:

E(t, z) = [|C1| cos(ωt− κz + ϕ1) + |C2| cos(ωt+ κz + ϕ1)]ax (7)

En esta ecuación, el término |C1| cos(ωt − κz + ϕ1) representa una onda viajera en elsentido creciente de las z, u onda progresiva, y el término |C1| cos(ωt + κz + ϕ1) representauna onda viajera en el sentido decreciente de las z, u onda regresiva. La velocidad νp con queviajan los planos equifásicos es igual a la razón ∆z/∆t de dos puntos de igual fase: ωt− κz =ω(t+ ∆t)− κ(z + ∆z), de modo que:

νp = ∆`∆t = ω

κ= ω

ω√µε

= 1√µε

En el espacio libre νp = 1√µ0ε0

= c = 299792458 [m/s]. La velocidad νp se denomina velo-cidad de fase. La distancia ∆z en la cual la fase de la onda varía en 2π radianes, para uninstante de tiempo dado, se denomina longitud de onda λ: κ∆` = κλ = 2π, de donde sigueque

κ = 2πλ

Los planos transversales z = ctte. constituyen planos equifásicos: sobre ellos el campo eléctricopresenta la misma fase en todos los puntos.

2.1. ¿Y qué del campo H?El campo magnético se obtiene como H = ∇×E

−ωµ :

H = 1−jωµ

(∂

∂xax + ∂

∂yay + ∂

∂zaz

)×E

= 1−jωµ

(−jκ)[C1e

−jκz − C2ejκz]ay

el cual se puede rescribir de la forma compacta

H = (az ×E)√µ

ε

= az ×E

η(8)

donde η =√µ/ε es la impedancia intrínseca del medio. En el vacío η = η0 =

√µ0/ε0 =

120π = 377 [Ω]. De la Ec. (8) se observa que los campos eléctrico y magnético son mutuamenteortogonales y, a su vez, transversales a la dirección de propagación.El campo electromagnético:

E = C1e−jκ`ax (9)

H = C1

ηe−jκ`ay (10)

se propaga en el sentido de crecimiento de la variable longitudinal z y representa una on-da plana homogénea. Plana: por la forma de la superficie equifásica. Homogénea: por launiformidad del campo sobre la superficie equifásica.

3

2.2. Onda plana en un medio homogéneo absorbenteEn un medio absorbente la apariencia de la solución de la Ec. 5 no cambia. Sin embargo,

ya que ε = ε′ − jε′′ = |ε|−jα y µ = µ′ − jµ′′ = |µ|e−jβ, con, típicamente, 0 ≤ α ≤ π/2 y0 ≤ β ≤ π/2, el número de onda será complejo: κ = ±ω

√|ε|−jα|µ|e−jβ = ±ω

√|ε||µ|e−j α+β

2 o,en forma Cartesiana, κ = ±ω

√|ε||µ|

[cos

(α+β

2

)− j sin

(α+β

2

)]:

κ = κ′ − jκ′′

donde κ′, κ′′ > 0. La Ec. 6 asume la forma

Ex(z) = C1e−κ′′ze−jκ

′z + C2eκ′′zejκ

′z (11)

Y la Ecuación 7 asume, a su vez, el aspecto:

E(t, z) = [|C1|e−κ′′z cos(ωt− κ′z + ϕ1) + |C2|eκ

′′z cos(ωt+ κ′z + ϕ1)]ax (12)

El primer término de la expresión 12 representa una onda progresiva amortiguada. Elsegundo término de la expresión 12 representa una onda regresiva amortiguada. κ′ [rad/m]se denomina constante o coeficiente de fase y juega el mismo rol que el número de ondaen el caso de un medio no absorbente. κ′′ [Np/m] se denomina constante o coeficiente deatenuación. La atenuación L se mide en neperios [Np] o decibelios [dB]:

L = ln[

E(z)E(z + ∆z)

]= κ′′∆z [Np]

L = 20 log[

E(z)E(z + ∆z)

]= 20 log eκ′′∆z = κ′′∆z20 log e [dB]

La distancia en la que los campos, en un determinado medio, se atenuan un neperio sedenomina profundidad de penetración y se suele designar con la letra δ. Fácilmente secomprueba que δ = (κ′′)−1. Por otro lado, con relación a los campos complejos de la ondaviajera progresiva, los mismos asumen la forma

E = C1e−κ′′ze−jκ

′zax (13)

H = C1

ηe−κ

′′ze−jκ′zay (14)

En este caso la impedancia intrínseca del medio es una cantidad compleja:

η =

√√√√ |µ|e−jβ|ε|e−jα

=

√√√√ |µ||ε|e−j(β−α)

2 = |η|e−jφη

donde φ = (β − α)/2 y −45 ≤ φ ≤ 45.En el dominio temporal las Ecs. 13 y 14 dan paso a las ecuaciones:

E(t, z) = |C1|e−κ′′z cos(ωt− κ′z + ϕ1)ax (15)

H(t, z) = |C1||η|

e−κ′′z cos(ωt− κ′z + ϕ1 + φη)ay (16)

En un medio absorbente los campos eléctrico y magnético ya no están en fase.

4

2.2.1. Medios absorbentes no magnéticos

Particular interés tienen para nosotros los medios absorbentes no magnéticos. Un medioabsorbente no magnético se caracteriza por µ ' µ0 mientras ε′′ 6= 0 o σ 6= 0. Al rescribir laecuación ∇×H = J + ωεE de la forma:

∇×H = [jω(ε′ − jε′′) + σ]E

= jω[ε′ − j

(ε′′ + σ

ω

)]E

= jωεE

donde ε = |ε|e−jM, siendo tg∆ = ε′′+ σω

ε′. La tangente tg M se denomina factor de pérdidas

eléctricas, mientras que al ángulo M se le denomina ángulo de pérdidas eléctricas. Al ponerε ∼= ε′, lo cual equivale a suponer que las pérdidas en el dieléctrico se deben a una pequeñaconductividad σ, el factor de pérdidas asume la forma tg M= σ

ωε′. Se dan los siguientes casos:

tg M 1, medio conductor; 1, medio dieléctrico. (17)

Dieléctrico ligeramente absorbente Para un dieléctrico (σ = 0) ligeramente absorbente(ε′′ 6= 0 y ε′′ ε′) se cumple1:

κ = ω√µ (ε′ − ε′′)

= ω

√µε′

(1− ε

′′

ε′

)

= ω√µε′

1− ε′′

2ε′ + 18

(ε′′

ε′

)2

+ 116

(ε′′

ε′

)3

+ · · ·

≈ ω√µε′

(1− ε

′′

2ε′

)

En modo análogo:

η ≈√µ

ε′

(1 +

ε′′

2ε′

)

Buen conductor Para un buen conductor se cumple que ε′′ = 0 y σ ωε, y por tanto:

κ = ω

√µ(ε− σ

ω

)

=√ω2µ

(ε− σ

ω

)=√ωµ (ωε− σ)

≈√−ωµσ

≈√ωµσ

2 (1− )

1(1 + x)n = 1 + nx+ n(n−1)2! x2 + n(n−1)(n−2)

3! x3 + . . ., siendo n un número natural o una fracción.

5

En modo análogo:η ≈

√ωµ

2σ (1 + )

Los resultados anteriores se resumen en el Cuadro 1.Cuadro 1: Número de onda (κ = κ′ − κ′′) e impedancia intrínseca (η = R+ X = |η|eϕη ).

κ′ κ′′ R XGeneral <

ω√µε=ω√µε<√

µε

=√

µε

Sin pérdidas magnéticas <

ω√µ0ε

=ω√µ0ε

<√

µ0ε

=√

µ0ε

Dieléctrico perfecto ω

√µε 0

√µε

0Buen dieléctrico ω

√µε′ ωε′′

2

√µε′

√µε′

ε′′

2ε′√

µε′

Buen conductor√

ωµσ2

√ωµσ

2

√ωµ2σ

√ωµ2σ

2.3. Onda plana arbitrariamente orientadaPara obtener las soluciones expresadas mediante las Ecs. (9) y (10), como se recordará,

hemos tenido que orientar apropiadamente el sistema de referencia, haciendo coincidir el eje xcon la dirección del campo eléctrico y el eje z con la dirección de propagación.

Figura 1: Ángulos directoresαi, βi y γi, con i ∈ 1, 2, 3que definen la orientación delsistema de referencia naturalde la onda plana (variables pri-madas) respecto del sistemade referencia principal (varia-bles no primadas).

Tal sistema de referencia, aquél para el cual la expresión mate-mática del campo se simplifica al máximo, se denomina sistema dereferencia natural de la onda.

¿Cómo se expresa una onda plana respecto a un sistema de refe-rencia arbitrario?.

Dado un sistema de referencia natural, respecto al cual los camposde una onda plana quedan descritos como sigue:

E = Ae−jκz′ax′ (18)

H = A

ηe−jκz

′ay′ (19)

Fijado un segundo sistema de referencia, que denominaremos sis-tema de referencia principal, con el que el sistema de referencianatural forma los ángulos directores αi, βi y γi, con i ∈ 1, 2, 3 (Fig.1), los campos 18 y 19 quedarán expresados mediante las fórmulas:

E = Ae−jκ(x cos γ1+y cos γ2+z cos γ3)(cosα1ax + cosα2ay cosα3az) (20)

H = A

ηe−jκ(x cos γ1+y cos γ2+z cos γ3)(cos β1ax + cos β2ay + cos β3az) (21)

La ecuación x cos γ1 + y cos γ2 + z cos γ3 = ctte. representa una familia de planos equifásicos.El argumento de los exponenciales de las Ecs. 20 y 21 se puede escribir como κ · r, siendoκ = κ(cos γ1ax + cos γ2ay + cos γ3az) el vector de onda, y r = xax + yay + zaz el vectorde posición de uno cualquiera de los puntos sobre un plano equifásico que dista z′ metros delorigen. La distancia de cualquier plano equifásico al origen se puede obtener como la proyeccióndel vector r, de uno cualquiera de sus puntos, sobre la dirección del vector de onda.

6

ProblemaUna onda plana homogénea, proveniente desde la dirección θ = π/4 y ϕ = π/8, viaja al 90%

de la velocidad de la luz y se atenúa a razón de 1 Neperio por cada metro. El campo eléctricode esta onda tiene una amplitud de 5 V/m en el plano equifásico a 5 metros del origen (viendola onda venir hacia éste) y su fase cambia a razón de π/16 radianes cada metro. Se desea:

1. Al disponer de dos sondas de campo eléctrico, una en el punto (2, 2, 2) y la otra en el punto(−1,−1, 2), ambas conectadas a los puertos A y B de un osciloscopio, con sendas líneasde transmisión de igual longitud, dibuje las señales que deben ser vistas en la pantalla delosciloscopio indicando con precisión las amplitudes y las diferencias de fase de las dosseñales. Para ello asuma que 1 V/m en la antena se transforma en un voltio en el puertode entrada correspondiente del osciloscopio y seleccione una escala de tiempo que permitaver tres períodos de las señales.

2. Determine la λ y la δ del medio.

2.4. Velocidad de grupoLos procesos monocromáticos no transportan información. La información es transportada

por procesos policromáticos. El campo eléctrico resultante de la combinación de las ondas planasarmónicas que conforman un proceso policromático se expresa mediante una transformacióninversa de Fourier E(t) = F−1E(ω), donde E(ω) es el espectro del campo eléctrico

E(t) = 12π

ˆ ∞−∞E(ω)ejωt dω (22)

En sentido ordinario E(t) puede consistir en una señal de información con ancho de banda ∆ωcon la que se modula una portadora a una frecuencia de radio (RF) ω0 para su transportación através del espacio. Evidentemente E(t) es una cantidad real. En virtud de lo anterior, y tomandoen cuenta que los parámetros intrínsecos del medio son, en general, función de la frecuencia, ypor tanto κ = κ(ω), el campo eléctrico E(t, z), a z metros del origen de radiación de la ondaplana, se podrá expresar usando la Ec. (22) de la forma

E(t, z) = Re

1π

ˆ ω0+ ∆ω2

ω0−∆ω2

E(ω − ω0)ej[ωt−κ(ω)z] dω (23)

Si la variación de κ con la frecuencia es suave, κ(ω) podrá aproximarse mediante el siguientedesarrollo en serie de Taylor a partir de su valor κ0 = κ(ω0):

κ(ω) = κ0 + dκdω

∣∣∣∣∣ω0

(ω − ω0) + T.O.S. (24)

por lo que la Ec. (23) se podrá reescribir:

E(t, z) = Re

1π

ˆ ω0+ ∆ω2

ω0−∆ω2

E(ω − ω0)ej[ωt−(κ0+ dκ

dω |ω0(ω−ω0)+T.O.S.

)z

]dω (25)

7

y si el ancho de banda ∆ω se ajusta para que sea lo suficientemente estrecho como para que losT.O.S. se puedan despreciar, se obtiene:

E(t, z) = Re

1π

ˆ ω0+ ∆ω2

ω0−∆ω2

E(ω − ω0)ej[ωt−(κ0+ dκ

dω |ω0(ω−ω0)

)z

]dω

= Re

1π

ˆ ω0+ ∆ω2

ω0−∆ω2

E(ω − ω0)ejω(t− dκdω |ω0

z) dωe−j(κ0− dκ

dω |ω0ω0

)z

tomando en cuenta que F−1X(ω)e−ωt0 = x(t − t0) y F−1X(ω − ω0) = x(t)eω0t y si desig-namos con νgr al inverso de la cantidad dκ/dω|ω0 , νgr = dω/dκ:

E(t, z) = Re

E(t− z

νgr

)ejω0(t− z

νgr)e−j(κ0−

ω0νgr

)z

(26)

= E(t− z

νgr

)cos (ω0t− κ0z) (27)

De la Ecuación (27) se concluye que la información contenida en el campo eléctrico sepropaga a la velocidad νgr sin distorsión, pero acumulando un retardo par a z

νgrsegundos. La

velocidad de grupo, νgr, es la velocidad común de los armónicos que conforman la señal deinformación, y se la puede definir si y solo si κ(ω) varía linealmente con la frecuencia en unentorno no menor al ancho de banda de la señal alrededor de la frecuencia de portadora.

3. Incidencia perpendicularEn esta sección se analizará el problema de la incidencia perpendicular [1] de una onda plana

sobre la interfaz, también plana, entre dos medios de propiedades electromagnéticas distintas.Este análisis se realizará inicialmente en forma analítica, en el dominio de la frecuencia (Sec.3.1), y posteriormente en forma numérica (Sec. 3.5), en el dominio del tiempo utilizando elMétodo de las Diferencias Finitas en el Dominio del Tiempo (FDTD).

3.1. Incidencia perpendicular en el domino de la frecuenciaDados dos medios simples de extensión infinita, contiguos, a través de una superficie plana,

de propiedades intrínsecas (ε1, µ1) y (ε2, µ2), respectivamente, como se ilustra en la Fig. 2.Al propagarse una onda plana en el medio 1, en dirección del medio 2, tal que incida per-

pendicularmente sobre la superficie plana de separación de ambos medios, se tiene en el medio1:

E1 =[C1e−κ1z + C2eκ1

]ax (28)

H1 = 1η1

[C1e−κ1z − C2eκ1

]ay (29)

8

y en el medio 2:

E2 =C3e−κ2zax (30)

H2 = C3

η2e−κ2zay (31)

Figura 2: Incidencia perpendicular.

Se conviene en denominar onda incidente (medio 1):

E = C1e−κ1zax

H = C1

η1e−κ1zay

onda reflejada (medio 1):

E− = C2eκ1zax

H− = −C2

η1eκ1zay

y onda refractada o transmitida (medio 2):

E+ = C3e−κ2zax

H+ = C3

η2e−κ2zay

En la interfaz, los campos están obligados a satisfacer las condiciones de borde:

E1(0) =E2(0) (32)H1(0) =H2(0) (33)

de donde:

C1 + C2 =C3 (34)C1

η1− C2

η1= C3

η2(35)

de tal suerte que al definir los denominados coeficientes de reflexión, ρ, y de refracción, τ , de lainterfaz:

ρ = E−(0)E(0) = C2

C1(36)

τ = E+(0)E(0) = C3

C1(37)

y al sustituir las Ecs. (36) y (37) en las Ecs. (34) y (35) se obtiene:

1 + ρ = τ (38)1η1− ρ

η1= τ

η2(39)

9

de donde:

ρ = η2 − η1

η1 + η2(40)

τ = 2η2

η1 + η2(41)

Con estos resultados las Ecs. (28) y (29) del medio 1 se pueden reescribir de la siguientemanera:

E1 =C1[e−κ1z + ρeκ1z

]ax (42)

H1 = C1

η1

[e−κ1z − ρeκ1z

]ay (43)

y las Ecs. (30) y (31) del medio 2 de esta otra:

E2 =C1τe−κ2zax (44)

H2 = C1τ

η2e−κ2zay (45)

quedando por determinar una única constante: C1.Las soluciones encontradas admiten la siguiente interpretación física: una onda plana que se

propaga en un medio simple, al incidir perpendicularmente sobre la superficie plana de separa-ción con un segundo medio, engendra dos nuevas ondas planas: una que se refracta en éste, yotra que se refleja en el primero. Todas las ondas, la incidente, la refractada y la reflejada, secombinan en la interfaz satisfaciendo las condiciones de borde.

0 5 10 15 20−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

η2/η

1

ρτ

Figura 3: Comportamiento de ρ y τ en función deη2/η1.

Esta circunstancia física nos permite expresarlas ondas refractada y reflejada, en función del va-lor de (los campos de) la onda incidente en la in-terfaz, mediante la introducción de los coeficien-tes de refracción y reflexión, respectivamente. Es-tos coeficientes quedan luego definidos en funciónde las propiedades intrínsecas de los medios. Todolo cual permite afirmar que, al variar las propieda-des electromagnéticas de los medios, se obtendrándiferentes niveles de reflexión y refracción. Intuiti-vamente, por ahora, se dirá que a mayor diferenciaentre los medios, mayor reflexión y menor refrac-ción, y a mayor parecido, menor reflexión y mayorrefracción. Ésto será comprobado analíticamente.

Sobre el campo resultante en el medio 2 no haynada nuevo que decir, pues se trata de una ondaplana homogénea progresiva más. En el medio 1,

sin embargo, tiene lugar un nuevo proceso, un campo que presenta, en principio, una estructuranovedosa respecto de la onda plana progresiva simple. A partir de las Ecs. (42) y (43), nospodemos hacer una idea acerca de la estructura del campo resultante en el medio 1. Para hacerésto, se dará un vistazo al comportamiento de los coeficientes de reflexión y transmisión enfunción de la relación entre las impedancias intrínsecas de los medios η2/η1. En la Fig. 3 se

10

ilustra dicho comportamiento. Así, se observa que el coeficiente de reflexión ρ asume valoresentre −1 y 1: −1 ≤ ρ ≤ 1, mientras el coeficiente de transmisión τ entre 0 y 2: 0 ≤ τ ≤ 2.

La estructura del campo resultante en el medio 1 se puede analizar dividiendo el problema entres casos distintos: el caso |ρ| = 0, denominado de adaptación , el caso |ρ| = 1, de desadaptacióntotal, y el caso 0 < |ρ| < 1, de adaptación, o desadaptación, intermedia.

3.2. Caso |ρ| = 0Siendo el coeficiente de reflexión nulo, no ocurre ninguna reflexión de la onda incidente en la

interfaz y toda ella se transmite al segundo miembro. La adaptación total se logra imponiendoη2 = η1. La estructura del campo resultante en el medio 1 no difiere del de la onda planahomogénea original ya que C2 = 0.

3.3. Caso |ρ| = 1Con η2 = 0 (siendo el medio 2 un conductor perfecto), o con η2/η1 → ∞, se logra que

|ρ| = 1. En este caso se dice que los medios están desadaptados en sentido extremo y la ondaincidente es completamente reflejada por la interfaz, tendiendo a cero los campos refractados.La estructura del campo en el medio 1 forma un patrón denominado de onda estacionaria que secaracteriza por que no hay transportación de energía en ninguna dirección. La onda resultanteen el medio 1, para ρ = −1, asume, por ejemplo, la forma:

E1 = C1 [e−κ1z − eκ1z]ax H1 = C1η1

[e−κ1z + eκ1z]ay

= −2C1 sin(κ1z)ax = 2C1η1

cos(κ1z)ay

Al expresar los campos en el dominio temporal:

E1(t, z) = <E1eωt H1(t, z) = <H1eωt

= 2 |C1| sin(κ1z) sin(ωt+ φ1)ax = 2|C1|η1

cos(κ1z) cos(ωt+ φ1)ay

donde C1 = |C1| eφ1 , se observa que la solución ya no progresa en ninguna dirección, sino queoscila estacionariamente. Al mismo tiempo, se observa que el vector de Poynting es imaginariopuro:

S = 12E ×H∗

= − 2|C1|2

η1sin(κ1z) cos(κ1z)az (46)

por lo que los campos no transportan energía.

3.4. Caso 0 < |ρ| < 1Este caso se presenta para cualquier valor de |ρ| distinto de los anteriores (|ρ| 6= 0, 1). En

esta circunstancia una fracción del campo incidente se refleja y otra se refracta. Usando la Ec.

11

(38) en las Ecs. (42) y (43) se obtiene:

E1 = C1 [e−κ1z + ρeκ1z]ax H1 = C1η1

[e−κ1z − ρeκ1z]ay

= C1 [(τ − ρ)e−κ1z + ρeκ1z]ax = C1η1

[(τ − ρ)e−κ1z − ρeκ1z]ay

= C1τe−κ1zax︸ ︷︷ ︸onda progresiva

+ 2C1ρ sin(κ1z)ax︸ ︷︷ ︸onda estacionaria

= C1

η1τe−κ1zay︸ ︷︷ ︸

onda progresiva

− 2C1

η1ρ cos(κ1z)ay︸ ︷︷ ︸

onda estacionaria

(47)

donde se observa la coexistencia de una onda progresiva y un patrón de onda estacionaria.Este último se forma mediante la combinación de una fracción de la onda incidente y la ondareflejada. La onda progresiva, en cambio, existe gracias a la refracción de la porción restante dela onda incidente.

En este caso, que se puede considerar como el más general, ya que la onda resultante noes del todo progresiva, se introduce el concepto de impedancia de onda, Z(z), como la relaciónentre las amplitudes complejas de los campos en z [2]:

Z(z)|z=−` = Ex(−`)Hy(−`)

= η1

(eκ1` + ρe−κ1`

)(eκ1` − ρe−κ1`)

= η1η2 cos(κ1`) + η1 sin(κ1`)η1 cos(κ1`) + η2 sin(κ1`)

donde ` es la distancia al plano de separación entre los medios. Vale la pena indicar que conesta formulación se puede resolver el problema de la adaptación de un panel dieléctrico utilizadopara construir las bóvedas dieléctricas de protección de las antenas de microondas. Obsérveseque al medir Z(`) a λ1/2 metros de la interfaz se obtiene:

Z(λ1/2) = η1η2 cos[(2π/λ1)(λ1/2)] + η1 sin[(2π/λ1)(λ1/2)]η1 cos[(2π/λ1)(λ1/2)] + η2 sin[(2π/λ1)(λ1/2)]

= η1η2(−1) + η1(0)η1(−1) + η2(0)

= η2

de modo que a media longitud de onda, correspondiente al medio 1, o a una distancia que sea unmúltiplo entero de ésta, la impedancia de onda Z(λ1/2) coincide con la impedancia intrínsecadel segundo medio.

3.5. Incidencia perpendicular en el domino del tiempo: método FDTDen una dimensión

Con el propósito de ilustrar en el dominio del tiempo todo cuanto se ha dicho acerca dela incidencia perpendicular, se ha escrito fdtd1d, un código en MATLABr (ver Apéndice A)en el que se ha programado el Método de la Diferencias Finitas en el Dominio Temporal en

12

una dimensión [3]. Vale la pena observar que, mientras la solución descrita en la Sec. 3.1 seencuentra en el dominio de la frecuencia, y representa la solución en régimen estacionario, elmétodo FDTD proporciona una solución en el dominio del tiempo, y por lo tanto incluye elrégimen transitorio del problema.

En el Método de las Diferencias Finitas en el Dominio del Tiempo (Finite Differences Ti-me Domain –FDTD–) las derivadas se aproximan mediante cocientes de diferencias centralessiguiendo el esquema propuesto originalmente por Yee, intercalando tanto en el espacio comoen el tiempo las componentes de los campos eléctrico y magnético [4]. La estructura espacialdel método se ajusta a la denominada celda de Yee, y la estructura temporal sigue un patrónconocido como salto de rana.

3.5.1. Ecuaciones de Maxwell

Las ecuaciones de Maxwell en un medio simple de propiedades intrínsecas ε, µ, y σ:

∂E

∂t= 1ε∇×H − σ

εE (48)

∂H

∂t= − 1

µ∇×E (49)

comprenden seis ecuaciones escalares:

∂Ex∂t

= 1ε

(∂Hz

∂y− ∂Hy

∂z

)− σ

εEx

∂Hx

∂t= 1µ

(∂Ey∂z− ∂Ez

∂y

)∂Ey∂t

= 1ε

(∂Hx

∂z− ∂Hz

∂x

)− σ

εEy

∂Hy

∂t= 1µ

(∂Ez∂x− ∂Ex

∂z

)∂Ez∂t

= 1ε

(∂Hy

∂x− ∂Hx

∂y

)− σ

εEz

∂Hz

∂t= 1µ

(∂Ex∂y− ∂Ey

∂x

)

Si se asume un campo eléctrico del tipo E = Ex(t, z)ax, las ecuaciones anteriores se reducena:

∂Ex∂t

= − 1ε

∂Hy

∂z− σ

εEx (50)

∂Hy

∂t= − 1

µ

∂Ex∂z

(51)

Las Ecuaciones (50) y (51) definen una onda plana homogénea con el campo eléctrico en ladirección de ax y el campo magnético en la dirección de ay que se propaga en la dirección deaz.

3.5.2. Discretización de las ecuaciones de onda plana y de su dominio

Discretización del dominio Las Ecuaciones (50) y (51) están definidas en un dominio bi-dimensional espacio-tiempo.

13

Figura 4: Dominios solapados . Sobre lagrilla de líneas segmentadas se estimaráEx y sobre la grilla de líneas continuasHy.

Definiremos entonces un paso para el espacio, ∆z, y unpaso para el tiempo, ∆t, y definiremos una malla en estedominio con K puntos para el espacio y T puntos para eltiempo, para un total de K × T puntos de observación.

En estos puntos estimaremos los campos, conviniendo enescribir:

Enx (κ) = Ex(n∆t, κ∆z) conn yκ enteros

El campo Ex se estimará en los puntos . . . , κ, κ+ 1, . . .en los instantes

. . . , n− 1

2 , n −12 , n+ 1

2 , . . ., mien-

tras que el campo Hy se estimará en los puntos. . . , κ− 1

2 , κ+ 12 , . . .

en los instantes . . . , n, n+ 1, . . ..

Con este esquema los valores estimados de los campos se entrelazan tanto en el tiempo comoen el espacio. Así, el campo Hy precede al campo Ex en el espacio, y Ex precede a Hy en eltiempo. En la Fig. 4 se muestra como, procediendo de esta forma, se crean en realidad dosdominios solapados, uno para el campo eléctrico y otro para el campo magnético.

Discretización de las ecuaciones Las Ecuaciones (50) y (51) se aproximan mediante dife-rencias centrales:

En+ 1

2x (κ)− En− 1

2x (κ)

∆t = − 1ε

Hny (κ+ 1/2)−Hn

y (κ− 1/2)∆z − σ

ε

En+ 1

2x (κ) + E

n− 12

x (κ)2

(52)

Hn+1y (κ+ 1/2)−Hn

y (κ+ 1/2)∆t = − 1

µ

En+ 1

2x (κ+ 1)− En+ 1

2x (κ)

∆z (53)

de las cuales se despejan En+ 12

x (κ) y Hn+1y (κ+ 1/2):

En+ 1

2x (κ) =

[1− σ∆t

2ε

][1 + σ∆t

2ε

]En− 12

x (κ)− 1ε[1 + σ∆t

2ε

] ∆t∆z

[Hny (κ+ 1/2)−Hn

y (κ− 1/2)]

(54)

Hn+1y (κ+ 1/2) =Hn

y (κ+ 1/2)− 1µ

∆t∆z

[En+ 1

2x (κ+ 1)− En+ 1

2x (κ)

](55)

Dando valores a las constantes ε, µ, y σ podemos simular la propagación de la onda endiferentes medios simples no dispersivos. Para medios no absorbentes la Ec. (54) se simplificade la manera siguiente:

En+ 1

2x (κ) = E

n− 12

x (κ)− 1ε

∆t∆z

[Hny (κ+ 1/2)−Hn

y (κ− 1/2)]

(56)

la cual es similar a la Ec. (55).

14

3.5.3. Otras consideraciones numéricas

Escalamiento del campo eléctrico Debido a la enorme diferencia en órdenes de magnitudde las constantes ε0 y µ0 del vacío, el campo eléctrico Ex se suele escalar por el inverso de laimpedancia intrínseca del vacío η0 =

√µ0/ε0 :

E =√ε0

µ0E

De esta manera, para medios no magnéticos (µ = µ0), las Ecs. (54) y (55) asumen la forma:

En+ 1

2x (κ) =

[1− σ∆t

2ε

][1 + σ∆t

2ε

]En− 12

x (κ)− 1εrc0

[1 + σ∆t

2ε

] ∆t∆z

[Hny (κ+ 1/2)−Hn

y (κ− 1/2)]

(57)

Hn+1y (κ+ 1/2) =Hn

y (κ+ 1/2)− 1c0

∆t∆z

[En+ 1

2x (κ+ 1)− En+ 1

2x (κ)

](58)

donde c0 = 1/√µ0ε0 es la velocidad de las ondas electromagnéticas en el vacío y εr es lapermitividad relativa del medio.

Paso temporal ∆tmágico El paso temporal ∆t se debe seleccionar de manera que el métodosea estable. La condición de estabilidad se conoce como condición de Courant:

∆t ≤ ∆z√nc0

donde n es el orden del dominio espacial (n = 1 en el presente caso). Además, en FDTD enuna dimensión espacial, existe un valor de ∆t, conocido como magic step, para el cual no semanifiesta la dispersión numérica [5]. Este valor es:

∆t = ∆z2c0

(59)

Usando este paso temporal, las Ecs. (57) y (58) se simplifican de la manera siguiente:

En+ 1

2x (κ) =

[1− σ∆t

2ε

][1 + σ∆t

2ε

]En− 12

x (κ)− 1/2εr[1 + σ∆t

2ε

] [Hny (κ+ 1/2)−Hn

y (κ− 1/2)]

(60)

Hn+1y (κ+ 1/2) =Hn

y (κ+ 1/2)− 12

[En+ 1

2x (κ+ 1)− En+ 1

2x (κ)

](61)

Paso espacial El paso espacial ∆z se debe escoger lo suficiente pequeño como para obteneruna solución lo suficientemente precisa. En general, el nivel de precisión dependerá del problema.Una buena regla consiste en tomar como mínimo 10 muestras por longitud de onda, tomandocomo referencia, para señales policromáticas, la menor longitud de onda.

15

Condiciones de borde absorbente Como modelar discretamente una región ilimitada esimposible, es necesario añadir, en los extremos del dominio espacial, ciertas condiciones, deno-minadas absorbentes, de tal suerte que, al incidir sobre tales extremos, las ondas no se reflejen.Estas condiciones de borde absorbentes se obtienen forzando el valor del campo en los extremosal valor que tendrían si la onda se propagara más allá de ellos. En el vacío esto se consigueponiendo en el extremo z = 0, por ejemplo [3]:

Enx (0) = En−2

x (1)

3.6. Resultados de simulaciónCon el propósito de estudiar los casos de adaptación descritos anteriormente en el dominio

del tiempo, la rutina fdtd1d se ha corrido simulando cuatro escenarios diferentes. La funciónfdtd1d presenta dos parámetros de entrada: epsir2 y sigma2, la permitividad eléctrica y laconductividad del segundo medio, respectivamente. La interfaz entre los medios se encuentrajusto en el centro del dominio espacial. La descripción de los escenarios de simulación y losresultados obtenidos se presentan a continuación.

3.6.1. Caso 1: adaptación –fdtd1d(1,0)–

En la Figura 5 se muestra un fotograma de la simulación de una onda plana que al propagarsedesde un medio incide perpendicularmente sobre la interfaz plana de separación con otro mediode igual impedancia intrínseca.

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200−2

−1

0

1

2

Ex

ε0

ε2, σ

2

z

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200−2

−1

0

1

2

Hy

ε0

ε2, σ

2

z

Figura 5: Fotograma de la distribución de amplitudes de los campos Ex y Hy bajo adaptación total.

Se recomienda correr la rutina fdtd1d(1,0) desde MATLAB para visionar la simulación.

3.6.2. Caso 2: desadaptación parcial, reflexión parcial –fdtd1d(4,0)–

En la Figura 6 se muestra un fotograma de la simulación de una onda plana que al propagarsedesde un medio incide perpendicularmente sobre la interfaz plana de separación con otro mediocon distinta impedancia intrínseca.

16

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200−2

−1

0

1

2

Ex

ε0

ε2, σ

2

z

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200−2

−1

0

1

2

Hy

ε0

ε2, σ

2

z

Figura 6: Fotograma de la distribución de amplitudes de los campos Ex y Hy bajo desadaptación parcial.

Se recomienda correr la rutina fdtd1d(3,0) desde MATLAB para visionar la simulacióncompleta.

3.6.3. Caso 3: desadaptación parcial con absorción –fdtd1d(4,0.04)–

En la Figura 7 se muestra un fotograma de la simulación de una onda plana que al propagarsedesde un medio incide perpendicularmente sobre la interfaz plana de separación con otro mediode distinta impedancia intrínseca y absorbente.

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200−2

−1

0

1

2

Ex

ε0

ε2, σ

2

z

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200−2

−1

0

1

2

Hy

ε0

ε2, σ

2

z

Figura 7: Fotograma de la distribución de amplitudes de los campos Ex y Hy bajo desadaptación parcial y absorción.

Se recomienda correr la rutina fdtd1d(4,0.04) desde MATLAB para visionar la simulacióncompleta.

17

3.6.4. Caso 4: reflexión total –fdtd1d(4,100)–

En la Figura 8 se muestra un fotograma de la simulación de una onda plana que al propagarsedesde un medio incide perpendicularmente sobre la interfaz plana de separación con otro mediode distinta impedancia intrínseca y altamente absorbente. La enorme absorción del segundomedio produce una reflexión total.

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200−2

−1

0

1

2

Ex

ε0

ε2, σ

2

z

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200−2

−1

0

1

2

Hy

ε0

ε2, σ

2

z

Figura 8: Fotograma de la distribución de amplitudes de los campos Ex y Hy bajo reflexión total.

Se recomienda correr la rutina fdtd1d(4,100) desde MATLAB para visionar la simulacióncompleta.

4. Leyes de Snell

Figura 9: En la superficie de separaciónde dos medios se define un sistema de re-ferencia principal. Respecto a la normal ala superficie (eje z) se definen los ángu-los de incidencia ϕ, de reflexión ψ y derefracción θ.

La incidencia oblicua [1] de una onda plana sobre la su-perficie de separación (también plana) entre dos medios sim-ples da lugar a la dispersión de la onda incidente por laaparición de una onda reflejada y una onda refractada.

La primera permanece en el medio de la incidente y laotra se transmite al segundo medio. Con base en la Fig. 9se definen los ángulos y parámetros de interés para la des-cripción matemática del problema general de la incidenciaoblicua. Los ejes z, z−y z+constituyen los ejes z naturalesde las ondas incidente, reflejada y transmitida, respectiva-mente. Los ejes z, z−y z+ naturales respectivamente formanlos ángulos de incidencia ϕ, de reflexión ψ y de refracción θcon el eje z principal.

Todos los ejes naturales yacen sobre un mismo plano denominado plano de incidencia, elcual es ortogonal a la superficie de separación de los medios. Respecto al sistema de referenciaprincipal, los ejes z, z− y z+ forman los siguientes ángulos directores:

18

γ1 = zx = 90 γ−1 = z−x = 90 γ+1 = z+x = 90

γ2 = zy = 90 − ϕ γ−2 = z−y = ψ − 90 γ+2 = z+y = 90 − θ

γ3 = zz = ϕ γ−3 = z−z = ψ γ+3 = z+z = θ

Mediante substitución directa de los valores indicados en el cuadro anterior se obtienen lassiguientes funciones exponenciales:

f (y, z) = e−jκ1(y sinϕ+z cosϕ)

f−(y, z) = e−jκ1(y sinψ+z cosψ)

f+(y, z) = e−jκ2(y sin θ+z cos θ)

Para que las condiciones de borde sean satisfechas, es necesario que las funciones f , f− yf+ sean funciones idénticas de la variable y sobre la superficie de separación de los dos medios(¿por qué?):

f (y, 0) = f−(y, 0) = f+(y, 0)Esta doble ecuación contiene implicitamente las leyes de Snell:

1era. ley de Snell: f (y, 0) = f−(y, 0)⇒ sinϕ = sinψ2da. ley de Snell: f (y, 0) = f+(y, 0)⇒ κ1 sinϕ = κ2 sin θ

4.1. 1era ley de SnellDe acuerdo a la Figura 9: 0 ≤ ϕ ≤ 90 y 90 ≤ ψ ≤ 180, la primera ley de Snell conlleva

a 180 − ψ = ϕ, por lo que el ángulo de reflexión, medido respecto a la normal de la superficiede separación, es igual al ángulo de incidencia.

4.2. 2da. ley de SnellLa segunda ley de Snell, por otro lado, establece

sin θsinϕ = κ1

κ2(62)

Para dos medios no absorbentes se define el índice de refracción n = √εrµr, por tanto

sin θsinϕ = n1

n2= n12 (63)

donde n12 = n1/n2.

4.3. Estudios de casosSe dan dos casos interesantes: cuando el medio 1 es más denso ópticamente que el medio 2:

n1 > n2, y cuando ocurre lo contrario: n1 < n2.

19

4.3.1. Caso n1 > n2

En este caso, a paridad de ángulo de incidencia ϕ, mientras n12 ↑ (sin θ > sinϕ) ⇒ θ ↑. Aparidad de n12, mientras ϕ ↑⇒ θ ↑. Existe un ángulo ϕc para el cual θ = 90. El ángulo ϕc sedenomina ángulo crítico:

ϕc = sin−1(n2

n1

)

M2(a) Fotografía de la distribución dela amplitud en el plano xy en el me-dio 2 de la Figura 9 para el caso

ϕ < ϕc

M2(b) Fotografía de la distribución dela amplitud en el plano xy en el me-dio 2 de la Figura 9 para el caso

ϕ = ϕc.

M2(c) Fotografía de la distribución dela amplitud en el plano xy en elmedio 2 de la Figura para el caso

ϕ > ϕc.

Figura 10: Subcasos para n1 > n2.

Para ángulos ϕ > ϕc, θ es complejo. En este caso sin θ = (n1/n2) sinϕ > 1, y como cos θ =±√

1− sin2 θ sigue que:

cos θ = ±j√(

n1

n2

)2sin2 ϕ− 1 = ±jα(ϕ)

Al poner β(ϕ) = sin θ = n1n2

sinϕ y al quedarnos con el signo negativo de ±jα(ϕ) (¿por qué?)se podrá escribir:

f+(y, z) = e−κ2zα(ϕ)e−jκ2yβ(ϕ)

La onda f+ representa una onda superficial.

EjemploUna onda plana, que se propaga en un medio con un índice de refracción n1 = 6, incide con

un ángulo de π/4 sobre la superficie de separación con un segundo medio de índice de refracciónn2 = 1. Calcule al ángulo θ de refracción y determine f+(y, z).

Resp.: Ya que el ángulo de incidencia es mayor que el ángulo crítico ϕC = arcsin(n2/n1) =9,59, el ángulo de refracción será complejo y tendrá la forma θ = π/2 − β, y por tanto setomará cómo ángulo físico de refracción el valor de π/2. Con relación al término f+(y, z) su

20

forma será la siguiente:

f+(y, z) = e−κ0(36 sin2 ϕ−1)1/2ze−κ0(6 sinϕ)y

= e−(26/λ)ze−(ω/c)4,2y

de donde se deduce que:

1. la onda refractada se propaga en la dirección de y a una velocidad 4,2 veces menor que lavelocidad de la luz en el segundo medio νp = c/4,2,

2. la onda refractada se atenúa muy rápidamente en el segundo medio, a razón de 26 neperioscada longitud de onda, en la dirección de z,

3. la onda refractada se considera así una onda superficial evanescente ya que queda confi-nada a un pequeño espesor a partir de la superficie de separación de los dos medios, queacompaña al proceso resultante en el primer medio, que como se podrá demostrar másadelante, se propaga también en la dirección de y a la misma velocidad νp = c/4,2.

4.3.2. Caso n1 < n2

Cuando n1 < n2, pero en particular n1 n2 ocurre

n1

n2= sin θ

sinϕ 1⇒ sin1

n2→ 0⇒ θ → 0

y todas las ondas se refractan en dirección de la normal para todos los valores del ángulo deincidencia.

5. Fórmulas de Fresnel

5.1. IntroducciónRespecto al plano de incidencia el campo eléctrico puede presentar una orientación arbi-

traria. Sin embargo, cualquier campo eléctrico arbitrariamente orientado respecto al plano deincidencia se puede representar mediante una apropiada combinación lineal de las componentesperpendicular y paralela a dicho plano de incidencia –ver Fig. 11–.

5.2. Polarización perpendicularCuando el campo eléctrico de la onda incidente es normal al plano de incidencia se dice que

la misma presenta polarización perpendicular –ver Fig. 11(a)–. Respecto al sistema de referenciaprincipal tenemos:

Onda incidente:Eo = Ae−jκ1(y sinϕ+z cosϕ)ae

Ho = A

η1e−jκ1(y sinϕ+z cosϕ)ah

Onda reflejada:E− = Be−jκ1(y sinψ+z cosψ)ae−

21

(a) Onda incidente con polarización perpendicular: elcampo eléctrico es ortogonal al plano de incidencia

–entrando en la hoja–.

(b) Onda incidente con polarización paralela: el cam-po eléctrico está contenido en el plano de incidencia

–contenido en la hoja–.

Figura 11: Polarizaciones bases de la onda plana incidente.

H− = B

η1e−jκ1(y sinψ+z cosψ)ah−

Onda refractada:E+ = Ce−jκ2(y sin θ+z cos θ)ae+

H+ = C

η2e−jκ2(y sin θ+z cos θ)ah+

con A, B y C complejos.Los vectores aeo,−,+ y aho,−,+ tienen la siguiente expresión en función de la base vectorial

del sistema de referencia principal:

aen = cosαn1 ax + cosαn2 ay + cosαn3 azahn = cos βn1 ax + cos βn2 ay + cos βn3 az

con n ∈ ,−,+. Los valores de estos ángulos directores se han deducido a partir de la Figura11(a) y se muestran en el Cuadro 2.

Cuadro 2: Ángulos directores de los ejes x,−,+ y y,−,+ naturales respecto al sistema de referencia principal, en elcaso de polarización perpendicular.

α1 0 α−1 0 α+1 0

α2 90 α−2 90 α+2 90

α3 90 α−3 90 α+3 90

β1 90 β−1 90 β+1 90

β2 ϕ β−2 180 − ϕ β+2 θ

β3 90 + ϕ β−3 270 − ϕ β+3 90 + θ

Tomando en cuenta el valor de los ángulos del Cuadro 2 podemos escribir:Onda incidente:

Eo = Ae−jκ1(y sinϕ+z cosϕ)ax

Ho = A

η1e−jκ1(y sinϕ+z cosϕ)(cosϕay − sinϕaz)

22

Onda reflejada:

E− = Be−jκ1(y sinψ+z cosψ)ax

H− = −Bη1e−jκ1(y sinψ+z cosψ)(cosϕay + sinϕaz)

Onda refractada:

E+ = Ce−jκ2(y sin θ+z cos θ)ax

H+ = C

η2e−jκ2(y sin θ+z cos θ)(cos θay − sin θaz)

5.2.1. Condiciones de borde

Las componentes tangenciales de los campos eléctrico y magnético han de ser continuas enla superficie de separación de los dos medios:

E(y, 0) + E−(y, 0) = E+(y, 0)Hy (y, 0) +H−y (y, 0) = H+

y (y, 0)

De aquí sigue2 que:

A+B = C

1η1

(A−B) cosϕ = 1η2C cos θ

Al definir los coeficientes de reflexión, ρ⊥, y transmisión, τ⊥, para la polarización perpendicular:

ρ⊥ = E−(y, 0)E(y, 0) = B

A

τ⊥ = E+(y, 0)E(y, 0) = C

A

se podrá escribir:

1 + ρ⊥ = τ⊥1η1

(1− ρ⊥) cosϕ = 1η2τ⊥ cos θ

y de aquí se obtiene:

ρ⊥ = η2 cosϕ− η1 cos θη2 cosϕ+ η1 cos θ (64)

τ⊥ = 2η2 cosϕη2 cosϕ+ η1 cos θ (65)

2Tomando en cuenta las leyes de Snell: κ1 sinϕ = κ1 sinψ = κ2 sin θ.

23

Tomando en cuenta que:

sinψ = sinϕcosψ = − cosϕ

Resulta, para z < 0:

E1 = Eo +E− = Ae−jκ1y sinϕ(e−jκ1z cosϕ + ρ⊥ejκ1z cosϕ)ax (66)

H1 = Ho +H− = A

η1e−jκ1y sinϕ

[e−jκ1z cosϕ − ρ⊥ejκ1z cosϕ

]cosϕay

−[e−jκ1z cosϕ + ρ⊥e

jκ1z cosϕ]

sinϕaz

(67)

y para z > 0:

E2 = E+ = Aτ⊥e−jκ2(y sin θ+z cos θ)ax (68)

H2 = H+ = A

η2τ⊥e

−jκ2(y sin θ+z cos θ)(cos θay − sin θaz) (69)

EjemploUna onda plana, que se propaga en un medio con un índice de refracción n1 = 6, incide con

un ángulo de π/4 sobre la superficie de separación con un segundo medio de índice de refracciónn2 = 1. El campo eléctrico incidente tiene una amplitud de E = 5 V/m y es perpendicular alplano de incidencia. Calcule:

1. El ángulo de refracción.

2. Los coeficientes de reflexión y transmisión.

3. S, S− y S+.

Solución1. Ya que el ángulo de incidencia es mayor que el ángulo crítico ϕC = arcsin(n2/n1) =

9,59, el ángulo de refracción será complejo y tendrá la forma θ = π/2 − β, y valeθ = arcsin(n2/n1 sin π/4) = π/2 − 2,124, y por tanto se tomará cómo ángulo físico derefracción el valor de π/2.

2. El coeficiente de reflexión ρ⊥ (Ec. (64)), tomando en cuenta que η1,2 son reales, y quecos θ = −[(n1/n2)2 sin2 ϕ − 1]1/2, tendrá la siguiente apariencia ρ⊥ = a+b

a−b = 1eφ⊥ , enparticular, sustituyendo el valor cos θ = −[(n1/n2)2 sin2 ϕ − 1]1/2 en las Ecs. (64) y (65)se tiene:

ρ⊥ = 1e−1,542

τ⊥ = 1,434e−0,771

24

3. Dado que S = 12E ×H

∗ y que H = z × Eηserá:

S = E2

2η1s

S− = |ρ⊥|2E2

2η1

S+ = |τ⊥|2E2

2η2f+(y, z)f+(y, z)∗s+

donde s,+,− es el unitario en la dirección de propagación de la onda plana respectiva yf+(y, z) = e−(26/λ)ze−(ω/c)4,2y, de modo que

S = 2540π s

S− = 2540π s

−

S+ = (1,43)225240π e−(52/λ)z s+

5.3. Polarización paralelaCuando el campo eléctrico de la onda incidente yace sobre el plano de incidencia se dice que la

misma presenta polarización paralela –ver Fig. 11(b)–. Por inspección de las Figs. 11(a) y 11(b)se puede concluir que E‖ se orienta como el campo H⊥, y el campo H‖ como el campo −E⊥,donde los sub-índices q y ⊥ indican polarización paralela y perpendicular, respectivamente.Para este caso, los vectores ae,−,+ y ah,−,+ de los campos eléctrico y magnético, forman losángulos directores α,−,+1,2,3 y β,−,+1,2,3 , respectivamente, con los ejes x, y y z del sistema de referenciaprincipal que se indican en el Cuadro 3.

Cuadro 3: Ángulos directores de los ejes x,−,+ y y,−,+ naturales respecto al sistema de referencia principal, en elcaso de polarización paralela dedeucidos a partir de la Fig. 11(b).

α1 90 α−1 90 α+1 90

α2 ϕ α−2 180 − ϕ α+2 θ

α3 90 + ϕ α−3 270 − ϕ α+3 90 + θ

β1 180 β−1 180 β+1 180

β2 90 β−2 90 β+2 90

β3 90 β−3 90 β+3 90

Tomando en cuenta el valor de estos ángulos según el Cuadro 3 podemos escribir:Onda incidente:

Eo = Ae−jκ1(y sinϕ+z cosϕ)(cosϕay − sinϕaz)

Ho = −Aη1e−jκ1(y sinϕ+z cosϕ)ax

25

Onda reflejada:

E− = −Be−jκ1(y sinψ+z cosψ)(cosϕay + sinϕaz)

H− = −Bη1e−jκ1(y sinψ+z cosψ)ax

Onda refractada:

E+ = Ce−jκ2(y sin θ+z cos θ)(cos θay − sin θaz)

H+ = −Cη2e−jκ2(y sin θ+z cos θ)ax

5.3.1. Condiciones de borde

Las componentes tangenciales de los campos eléctrico y magnético han de ser continuas enla superficie de separación de los dos medios:

Ey(y, 0) + E−y (y, 0) = E+y (y, 0)

H(y, 0) +H−(y, 0) = H+(y, 0)

De aqui sigue3 que:

(A−B) cosϕ = C cos θ1η1

(A+B) = C

η2

Al definir los coeficientes de reflexión, ρ‖, y transmisión, τ‖, para la polarización paralela:

ρ‖ = E−(y, 0)E(y, 0) = −B

A

τ‖ = E+(y, 0)E(y, 0) = C

A

se podrá escribir:

(1 + ρ‖) cosϕ = τ‖ cos θ1η1

(1− ρ‖) = 1η2τ‖

y de aquí se obtiene:

ρ‖ = η2 cos θ − η1 cosϕη2 cos θ + η1 cosϕ (70)

τ‖ = 2η2 cosϕη2 cos θ + η1 cosϕ (71)

26

Cuadro 4: Fórmulas de Fresnel.

ρ⊥ = η2 cosϕ− η1 cos θη2 cosϕ+ η1 cos θ τ⊥ = 2η2 cosϕ

η2 cosϕ+ η1 cos θρ‖ = η2 cos θ-η1 cosϕ

η2 cos θ + η1 cosϕ τ‖ = 2η2 cosϕη2 cos θ + η1 cosϕ

Las ecuaciones 64, 65, 70 y 71 se conocen como fórmulas de Fresnel y se resumen en elcuadro 4. Tomando en cuenta que:

sinψ = sinϕcosψ = − cosϕ

Resulta, para z < 0:

E1 = Eo +E− = Ae−jκ1y sinϕ[e−jκ1z cosϕ + ρ‖e

jκ1z cosϕ]

cosϕay−[e−jκ1z cosϕ − ρ‖ejκ1z cosϕ

]sinϕaz

(72)

H1 = Ho +H− = −Aη1e−jκ1y sinϕ(e−jκ1z cosϕ − ρ‖ejκ1z cosϕ)ax (73)

y para z > 0:

E2 = E+ = Aτ‖e−jκ2(y sin θ+z cos θ)(cos θay − sin θaz) (74)

H2 = H+ = −Aη2τ‖e−jκ2(y sin θ+z cos θ)ax (75)

5.4. Angulo de BrewsterPara el caso de la polarización paralela existe un ángulo de incidencia ϕB, denominado

Ángulo de Brewster, para el cual el coeficiente de reflexión paralela se anula ρ‖ = 0. Estoocurre, en efecto, si η2 cos θ = η1 cosϕB. Si consideramos dos medios no absorbentes y no mag-néticos, la expresión anterior se puede escribir de forma equivalente como n1 cos θ = n2 cosϕB,siendo, como sabemos, n1 y n2 los índices de refracción de los medios 1 y 2, respectivamen-te. Tomando en cuenta la segunda Ley de Snell, n1

n2= sin θ

sinϕB , se ha de cumplir entonces quesin θ cos θ = sinϕB cosϕB, lo cual, en efecto, ocurre si θ = π

2 − ϕB. El ángulo de Brewster sepuede estimar tomando en cuenta que:

n1 cos θ = n2 sinϕB

según la Ec. de Fresnel (70) poniendo ρ‖ = 0, y

n1 sinϕB = n2 sin θ3Tomando en cuenta las leyes de Snell: κ1 sinϕ = κ1 sinψ = κ2 sin θ.

27

según la 2da. Ley de Snell (Ec. (63)), considerando quesin2 θ + cos2 θ = 1 = sin2 ϕB + cos2 ϕB

despejando sin2 θ y cos2 θ de las expresiones previas

sin2 θ = n21n2

2sin2 ϕB

cos2 θ = n22n2

1cos2 ϕB

sigue quen2

1n2

2sin2 ϕB + n2

2n2

1cos2 ϕB = sin2 ϕB + cos2 ϕB

de dondeϕB = tan−1

(n2

n1

)

5.5. Reflexión totalSean el medio 1 no absorbente: η1 es real, y el medio 2 un conductor perfecto: σ2 → ∞ ⇒

η2 → 0 Sigue entonces que:ρ⊥ = −1 τ⊥= 0ρq = −1 τq = 0

5.5.1. Polarización perpendicular

Los campos en el medio 2 son nulos. En el medio 1 los campos tienen la forma siguiente (verFig. 12):

E = −j2A sin(κT z)e−jκ`yax (76)

H = 2Aη1

[cos(κT z)e−jκ`y cosϕay + j sin(κT z)e−jκ`y sinϕaz

](77)

donde κT = κ1 cosϕ y κ` = κ1 sinϕ se denominan números de onda transversal y longitudinal,respectivamente.

En el dominio temporal:E(y, z, t) = 2A sin(κT z) sin(ωt− κ`y)ax (78)

H(y, z, t) = 2Aη1

[cos(κT z) cos(ωt− κ`y) cosϕay

− sin(κT z) sin(ωt− κ`y) sinϕaz] (79)Así como definimos κT y κ`, es admisible definir ΛT = 2π

κTy Λ` = 2π

κ`:

E(y, z, t) = Ex sin( 2π

ΛT

z)

sin(ωt− 2π

Λ`

y)ax (80)

H(y, z, t) = Hy cos( 2π

ΛT

z)

cos(ωt− 2π

Λ`

y)ay

−Hz sin( 2π

ΛT

z)

sin(ωt− 2π

Λ`

y)az (81)

28

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Figura 12: Estructura del campo mágnético en el plano zy.

A partir de las Ecs. (80) y (81) se observa que en la dirección normal a la superficie S1,2 deseparación de los medios se crea un patrón de amplitudes con leyes de variación respecto a lavariable z del tipo sin 2π

ΛT z, para las componentes Ex y Hy, y del tipo cos 2πΛT z para la componente

Hy. En virtud de las definiciones de κT,` y ΛT,` se infiere, además, que al aumentar el ángulo deincidencia ϕ ↑, el número de onda transversal disminuye κT ↓ y por consiguiente la separaciónde los nulos en el plano transversal aumenta ΛT ↑.

5.5.2. Animación del campo magnético utilizando MATLAB

Una animación que muestra la dinámica del campo magnético sobre el plano conductor sepuede realizar usando MATLAB. En la página web del curso TeMii2.html se muestra esta ani-mación de la cual en la Figura 12 se muestra un fotograma. Para todo ángulo ϕ de incidenciatal que 0 < ϕ < π

2 , a partir de las Ecuaciones (78) y (79), comprendemos que el «proceso»que resulta, se propaga tangente al plano de separación de los medios, en la dirección de y, conun patrón de amplitudes que presenta máximos y nulos en el plano transversal. Este «proceso»consiste en una onda plana no uniforme progresiva en la dirección de crecimiento de las y. Vemoscomo el plano conductor hace de guía, guiando la onda en una de sus direcciones tangenciales.A continuación se anexa una copia del script que permite crear la mencionada animación delcampo magnético durante dos períodos. La ventana creada mide λT/2 de alto (eje z) y 2λ` deancho (eje y).

% incoAphi=35*pi/180;kl=sin(phi);kt=cos(phi);lambdat=2*pi/kt;lambdal=2*pi/kl;z=linspace(0,lambdat/2,20);y=linspace(0,3*lambdal,60);x=y; y=z;

29

[X,Y]=meshgrid(x,y);for t=0:40hy=cos(phi)*cos(kt*Y).*cos(2*pi*t/20-kl*X);hz=-sin(phi)*sin(kt*Y).*sin(2*pi*t/20-kl*X);quiver(X,Y,hy,hz);axis([0 2*lambdal 0 lambdat/2])set(gca,’PlotBoxAspectRatio’,[2,11])image=getframe;M(t+1)=image;P=frame2im(image);directory = ’images/’;number = num2str(t);extension = ’.bmp’;filename=[directory,number,extension];imwrite(P,eval(’filename’),’bmp’);end

Ahora bien, si se introduce un segundo cuerpo conductor en el escenario previo (ver figurafutura) con una superfice exterior plana, ubicado a una distancia D igual a un número enterode medias ΛT : D = nΛT

2 , con n = 1, 2, 3 . . ., los patrones de amplitudes dados por las ecuaciones(80) y (81), no se verían alterados, ya que los mismos satisfacen de antemano las condicionesde borde que el nuevo cuerpo conductor impondría.

Cabe preguntarse, luego, dado el sistema de conductores de la Fig. futura, cuáles ángulosde incidencia, sobre uno cualquiera de los planos conductores (polarización perpendicular), danlugar a un patrón de amplitudes de E yH que satisfagan las condiciones de borde que imponenambos conductores. La respuesta se obtiene al imponer:

κTD = nπ

κ1 cosϕ = nπ

D

cosϕ = nc

2Df

(82)

con n = 1, 2, . . . , Nsiendo N el número entero mayor para el cual se obtiene un ángulo de incidencia físicamenterealizable.

Problema

Para un par de planos conductores separados una distancia D = 2 cm y a f = 40 GHz,calcule los ángulos de incidencia fisicamente realizables que permitan la propagación de loscampos en la forma descrita previamente.

Resp.: 79.1931, 67.9757, 55.7711, 41.4096 y 20.3641, en correspondencia de n = 1, 2, 3, 4, 5,siendo N = 5.

30

5.5.3. Polarización paralela

Los campos en el medio 2 son nulos. En el medio 1 los campos tienen la forma siguiente (verfigura 13):

E = −2A[j sin(κT z)e−jκ`y cosϕay + cos(κT z)e−jκ`y sinϕaz

](83)

H = −2jAη1

cos(κT z)e−jκ`yax (84)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Figura 13: Estructura del campo eléctrico en el plano zy.

En el dominio temporal:

E(y, z, t) = 2A [sin(κT z) sin(ωt− κ`y) cosϕay− cos(κT z) cos(ωt− κ`y) sinϕaz] (85)

H(y, z, t) = 2Aη1

cos(κT z) sin(ωt− κ`y)ax (86)

5.5.4. Animación del campo eléctrico utilizando MATLAB

A continuación se anexa una copia del script que permite crear una animación del campoeléctrico durante dos períodos. La ventana creada mide λT/2 de alto (eje z) y 2λ` de ancho (ejey):

% incoBphi=35*pi/180;kl=sin(phi);kt=cos(phi);lambdat=2*pi/kt;lambdal=2*pi/kl;z=linspace(0,lambdat/2,20);y=linspace(0,3*lambdal,60);

31

x=y; y=z;[X,Y]=meshgrid(x,y);for t=0:40ey=cos(phi)*sin(kt*Y).*sin(2*pi*t/20-kl*X);ez=-sin(phi)*cos(kt*Y).*cos(2*pi*t/20-kl*X);quiver(X,Y,ey,ez);axis([0 2*lambdal 0 lambdat/2])set(gca,’PlotBoxAspectRatio’,[2,11])image=getframe; M(t+1)=image;P=frame2im(image);directory = ’images/’;number = num2str(t);extension = ’.bmp’;filename=[directory,number,extension];imwrite(P,eval(’filename’),’bmp’);end

5.5.5. Condiciones límites de Leontóvich

Analicemos la onda refractada en un buen conductor (ver Cuadro 5):

f+(y, z) = e−jκ(y sin θ+z cos θ) (87)

donde κ =√

ωσµ2 (1− ) es complejo.

Cuadro 5: Conductividad de algunos buenos conductores.

Conductor Conductividad [S/m]Plata 6.1×107

Cobre 5.7×107

Oro 4.1×107

Aluminio 3.5×107

Tomando en cuenta la segunda ley deSnell para la interfaz espacio vacío-buenconductor κ0 sinϕ = κ sin θ, siendo κ0 sinϕreal, sigue que sin θ ha de ser complejo demodo que:

κ0 sinϕ︸ ︷︷ ︸real

= κ︸︷︷︸complejo

sin θ︸ ︷︷ ︸complejo︸ ︷︷ ︸

real

(88)

De esta forma la Ec. (87) se podrá escribir de la forma:

f+(y, z) =e−jκ(y sin θ+z cos θ)

=e−j(yκ0 sinϕ+z

√κ2−κ2

0 sin2 ϕ

)=e−Bzze−j(Ayy+Azz)

(89)

donde Ay = κ0 sinϕ, Az = <√

κ2 − κ20 sin2 ϕ

y Bz = =

√κ2 − κ2

0 sin2 ϕ.

De la Ecuación (89) observamos que la onda refractada se propaga en el conductor formandocierto ángulo γ con la normal a la superficie de separación γ = tan−1 Ay

Az, y se amortigua de

acuerdo al factor e−Bzz. En sentido riguroso, la onda refractada en un buen conductor ya noes una onda plana uniforme, sino una onda plana no homogénea. Sin embargo, para un buen

32

conductor, en general, se cumple que κ2 κ20 sin2 ϕ (Ay Az) para cualquier valor de ϕ, de

modo que: √κ2 − κ2

0 sin2 ϕ ≈ ±κ (90)que por razones físicas se toma (?): √

κ2 − κ20 sin2 ϕ ≈ κ (91)

De esta forma vemos como la tangente del ángulo γ vale, para cualquier ángulo de incidencia ϕ:tan γ = Ay

Az≈ 0, y por tanto γ ≈ 0. Todo lo cual nos permite concluir que, en la práctica, la onda

refractada en el buen conductor lo hace siguiendo la normal a la superficie, y que las componentestangenciales de los campos resultantes en el medio 1 se convierten en las amplitudes complejasde los campos refractados en el conductor no perfecto para cualquier ángulo de incidencia:

E = E+(0)e−κCzat (92)

H = az ×E

ηC(93)

donde κC y ηC son el número de onda y la impedancia intrínseca del conductor, respectivamente,at es cierto vector tangencial a la superficie de separación de los medios y E+(0) = Et (0)+E−t (0).Estas –Ecuaciones (92) y (93)– son la condiciones límites de Leontóvich.

Problema

Una onda plana incide desde un medio dieléctrico sin pérdidas caracterizado por ε = ε0 yµ = µ0, sobre la superficie plana de separación de un buen conductor (σ = 6,1 × 107 [S/m] –plata–). Para cada uno de los ángulos de incidencia de 20 y 80, y para una frecuencia f = 0,88GHz, calcular:

1. τ‖ y τ⊥.

2. ρ‖ y ρ⊥.

3. El ángulo de refracción.

4. Si la intensidad del campo eléctrico en la superficie vale 0,5 V/m, escriba la expresión delos campos eléctrico y magnético, y de la densidad de corriente J en el conductor.

Resp.: de acuerdo a la segunda ley de Snell

θ = arcsin(

sinϕκ1

κ2

)

y tomando en cuenta que κ1 = ω√µ0ε0 y κ2 =

√ωµ0σ2

2 (1− j) resulta

ϕ θ20 3,926× 10−4(1 + j)80 1,13× 10−3(1 + j)

33

Usando las fórmulas de Fresnel resumidas en el Cuadro 4, se obtienen:

1. los coeficientes de transmisión:

ϕ τ‖ τ⊥20 4,006× 10−5(1 + j) 3,765× 10−5(1 + j)80 (4,006 + j4,005)× 10−5 6,957× 10−6(1 + j)

2. los coeficientes de reflexión:

ϕ ρ‖ ρ⊥20 −1 + j4,263× 10−5 −1 + j3,765× 10−5

80 −1 + j2,307× 10−4 −1 + j6,957× 10−6

3. El campo en el medio conductor se puede representar en la siguiente forma híbrida:

E+ = E0e−jκ2(y sin θ+z cos θ)a+

e

como κ2 es complejo, pero κ1 sinϕ es real, sigue que sin θ ha de ser complejo de modo queel producto κ2 sin θ sea también real. Con todo, κ2 cos θ = κ2

√1− sin2 θ será complejo.

De esta forma el campo E se podrá escribir como

E+ = E0e−Bzze−j(Ayy+Azz)a+

e

donde Ay = κ2 sin θ, Az = Real(κ2 cos θ) y Bz = Im(κ2 cos θ). El ángulo de refracción dela onda en el medio conductor, el cual denominaremos θ∗, es igual al ángulo que forma elvector de onda Ayay + Azaz con la normal a la superficie az:

θ∗ = arctan(AyAz

)

ϕ θ∗

20 ≈ 0[]80 ≈ 0[]

Comentarios: la onda refractada en un buen conductor lo hace acostándose a la normala la superficie para cualquier ángulo de incidencia. Prácticamente la onda se refracta enla dirección de la normal a la superficie para todo ángulo ϕ de incidencia.

4. En el conductor:E+ = 0,5e−Bzze−j(Ayy+Azz)a+

e

H+ = az ×E+

η2

J = σE+

y por tanto:

34

a) Para ϕ = 20:E+ = 0,5e−460300ze−j(6,308y+460300z)a+

e [V/m]

H+ = 33,127(1 + j)e−460300ze−j(6,308y+460300z)a+h [A/m]

J = 3,05× 107e−460300ze−j(6,308y+460300z)a+e [A/m2]

b) Para ϕ = 80:E+ = 0,5e−460300ze−j(18,163y+460300z)a+

e [V/m]

H+ = 33,127(1 + j)e−460300ze−j(18,163y+460300z)a+h [A/m]

J = 3,05× 107e−460300ze−j(18,163y+460300z)a+e [A/m2]

6. Mini-proyectos

6.1. Mini-proyecto 1Usando la base de datos disponible en http://www.fcc.gov/oet/rfsafety/dielectric.html se-

leccione tres materiales de propiedades electromagnéticas muy distintas. Seleccione, además,un rango de frecuencias suficientemente grande para los fines de las tareas que se proponen acontinuación y proceda, usando MATLAB4, a

1. Construir las gráficas κ′ = κ′(f) [rad/m] y κ′′ = κ′′(f) [Np/m], usando, si es necesario,escalas a la izquierda y a la derecha. La gráfica de κ′′ = κ′′(f) repítala en [dB/m] y la deκ′ = κ′(f) en [º/m].

2. Repita los cálculos del punto anterior usando las fórmulas aproximadas considerando cadamaterial una vez como un dieléctrico de bajas pérdidas (κ′ ≈ ω

√µ0ε′ y κ′′ ≈ ω

√µ0ε′

ε′′

2ε′ ),y otra vez como un buen conductor (κ′ = κ′′ ≈

√ωµ0σ

2 ). Superponga los resultados con losdel punto anterior sobre una misma gráfica (una por material) utilizando distintos tiposde líneas y marcas. Analice el resultado y concluya acerca del rango de frecuencia en elque las aproximaciones se pueden tomar como válidas.

3. Construir las gráficas νp = νp(f) y νgr = νgr(f), usando, si es necesario, escalas a laizquierda y a la derecha.

4. Construir las gráficas ∆ = ∆(f) y tan ∆ = tan ∆(f), usando, si es necesario, escalas a laizquierda y a la derecha.

5. Construir la gráfica δ = δ(f).

4El uso de MATLAB no es restrictivo. Puede usar cualquier otro software matemático.

35

6.2. Mini-proyecto 2

IntroducciónSe propone a continuación una terna de problemas para ser resueltos usando MATLAB o

Mathcad, u otro software similar, con el propósito de estudiar la dispersión en los medios cuyaspropiedades intrínsecas son dependientes de la frecuencia.

Un medio dispersivo se modelará con una función de transferencia H(ω) = e−κ(ω)∆z, dondeκ(ω) es el número de onda dependiente de la frecuencia, y ∆z es la longitud recorrida por laonda a través del medio. De esta suerte, si Ei(ω) es la transformada de Fourier de cierto campoEi(t) variable en el tiempo: Ei(ω) = FEi(t), donde el subíndice i está por «entrada», despuésde ∆z metros recorridos por la onda en el medio, tendremos un campo eléctrico de «salida»Eo(t) dado por:

Eo(t) =F−1Ei(ω)H(ω)=F−1Ei(ω)e−κ(ω)∆z

En MATLAB, la transformada de Fourier, F , y su inversa, F−1 , se estiman discreta-mente mediante las funciones FFT[ ] e IFFT[ ], respectivamente.

Se trata, en los ejercicios que se proponen en este documento, de experimentar con ciertomedio no magnético, de propiedades intrínsecas dipersivas ε′(ω) y ε′′(ω), para estimar el efectoque estas propiedades dependientes de la frecuencia tienen sobre ciertos campos de entrada conformas temporales dadas. Para ello se deberá proceder de la siguiente manera:

+ tomar N muestras de la forma temporal del campo Ei(t) y almacenarlas en un vector deMATLAB,

+ tomar la FFT de esta secuencia,

+ multiplicar el vector resultante por un vector formado por igual número de muestras (N)de la función de transferencia H(ω) del medio, y

+ tomar, finalmente, la IFFT del vector resultante. El vector resultante contendráN muestrasde la forma temporal de Eo(t).

En adelante denominaremos este procedimiento «procedimiento numérico».

1. Usando la base de datos disponible en http://www.fcc.gov/oet/rfsafety/dielectric.htmlseleccione un medio. Seleccione, además, un rango de frecuencias suficientemente grandepara los fines de las tareas que se proponen a continuación y proceda, usando MATLAB5, aconstruir las gráficas ε = ε′(ω) y ε′′ = ε′′(ω), usando, si es necesario, escalas a la izquierday a la derecha.

2. Para el medio dispersivo no magnético seleccionado, calcule la profundidad de penetraciónδ para un valor de frecuencia ω1 prefijado por usted. Para este valor de frecuencia concibaun campo mono-cromático de entrada –Ei(t)–, y usando el procedimiento numérico, conH(ω1) = e−κ(ω1)δ, compruebe que |Eo(t)| = |Ei(t)|

e .5El uso de MATLAB no es restrictivo. Puede usar cualquier otro software matemático.

36

3. Usando las formas temporales del campo Ei(t) que se muestran en la Fig. 14 estime, usandoel procedimiento numérico, las correspondientes formas temporales de salida Eo(t), cali-brando apropiadamente los valores de ω0, ancho de banda (BW) y ∆z, de manera tal deobservar el efecto de la dispersión en el campo de salida.

(a) (b)

Figura 14: Formas temporales de entrada Ei(t).

A. El código FDTD en MATLABr

function fdtd1d(epsir2,sigma2)% FDTD1D resuelve la propagación de una onda plana en dos medios contiguos% separados por un plano sobre el cual la onda incide perpendicularmente.% % % % % % % % % % valores recomendados % % % % % % % % % % % %% caso 1: epsi2r=1, sigma2=0 adaptación% caso 2: epsi2r=4, sigma2=0 desadaptación intermedia, reflexión parcial% caso 3: epsi2r=4, sigma2=0.04 desadaptación intermedia con absorción% caso 4: epsi2r=4, sigma2=100 reflexión totalclose allK=200;kc=K/2;t0=40;spread=12;n=0;N=600;ex(K)=0; hy(K)=0;z=1:K;exi1=0; exi2=0; exd1=0; exd2=0;epsi0=8.85419e-12; c=3e8;xd=100;epsir=epsir2;sigma=sigma2;f=700e6;lambdamin=c/(sqrt(epsir)*f);deltaz=lambdamin/10;deltat=deltaz/(2*c);eaf=(deltat*sigma)/(2*epsir*epsi0);sigmaz=[ones(1,xd-1) ones(1,K-xd+1)*((1-eaf)/(1+eaf))];epsiz=[0.5*ones(1,xd-1) 0.5*ones(1,K-xd+1)./(epsir*(1+eaf))];y=[-2 2]; zd=[xd xd];

37

deltaz=lambdamin/10;deltat=deltaz/(2*c);% % % % % % % % % % % % % Pasos de tiempo % % % % % % % % % % % % %for n=1:N% % % % % % % calculo del campo eléctrico % % % % % % %for k=2:Kex(k)=sigmaz(k)*ex(k)+epsiz(k)*(hy(k-1)-hy(k));endpulso=sin(2*pi*f*deltat*n);(5)=ex(5)+pulso;% % % % % % % % % % % % % % % % ABC % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %ex(1)=exi2; exi2=exi1; exi1=ex(2); ex(K)=exd2; exd2=exd1; exd1=ex(K-1);% % % % % % % calculo del campo magnético % % % % % % %for k=1:K-1hy(k)=hy(k)+0.5*(ex(k)-ex(k+1));end% % % % % % % % visualización % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %subplot(2,1,1)plot(z,ex,’b’,zd,y,’g’)ylabel(’E_x’)axis([5 K -2 2]),text(80,1.5,’\epsilon_0’),text(105,1.5,’\epsilon_2, \sigma_2’);xlabel(’z’)box offsubplot(2,1,2)plot(z,hy,’r’,zd,y,’g’),ylabel(’H_y’)axis([5 K -2 2]),text(80,1.5,’\epsilon_0’),text(105,1.5,’\epsilon_2, \sigma_2’);xlabel(’z’)box offpause(0.01)end

Bibliografía[1] V. V. Nikolski. Electrodinámica y propagación de ondas de radio. MIR, Moscú, 1980.

[2] M. A. Plonus. Electromagnetismo aplicado. Editorial Reverté S. A., Bercelona, España,1982.

[3] Dennis M. Sullivan. Electromagnetic Simulation using the FDTD Method. IEEE Press, 2000.

[4] Kane S. Yee. Numerical solution of initial boundary value problems involving maxwell’sequations in isotropic media. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 14(3):302–307, May 1966.

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[5] A. Taflove. Computational Electrodynamics: The Finite-Difference Time-Domain Method.Norwood, MA: Artech House, 1995.

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Índice alfabético

ángulo crítico, 20ángulo de pérdidas eléctricas, 5índice de refracción, 191era ley de Snell, 192da. ley de Snell, 19

campos libres, 2celda de Yee, 13coeficiente de atenuación, 4coeficiente de fase, 4condición de Courant, 15Condiciones límites de Leontóvich, 32constante de atenuación, 4constante de fase, 4

ecuación homogénea de Helmholtz, 2

Fórmulas de Fresnel, 21fórmulas de Fresnel, 27factor de pérdidas eléctricas, 5FDTD, 12

impedancia de onda, 12Incidencia perpendicular, 8Incidencia perpendicular en el domino de la fre-

cuencia, 8Incidencia perpendicular en el domino del tiem-

po, 12

Leyes de Snell, 18longitud de onda, 3

magic step, 15

onda plana homogénea, 2, 3onda progresiva, 3onda progresiva amortiguada, 4onda regresiva, 3onda regresiva amortiguada, 4onda viajera, 3

plano de incidencia, 18Polarización paralela, 25Polarización perpendicular, 21primera ley de Snell, 19profundidad de penetración, 4

Reflexión total, 28

salto de rana, 13segunda ley de Snell, 19sistema de referencia natural de la onda, 6sistema de referencia principal, 6

vector de onda, 6velocidad de fase, 3velocidad de grupo, 8

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