0 ondas electromagnetiscas planas

7/29/2019 0 Ondas Electromagnetiscas Planas

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ONDAS PLANAS EN MEDIOS CON PRDIDAS

Hasta ahora hemos considerado la propagacin de ondas en medios simples sin prdidas y sin fuentes =0,J=0 . Si un medio es conductor

0 , fluir una corriente J= E debido a la existencia de E . En este caso debemos cambiar la ecuacin con dependencia armnica con el

tiempo H=Jj E a

H=j E=j j E

H=jc E

con

c=j

F/m

Las otras tres ecuaciones E=j H , E=v / y H=0 no cambian. Por lo tanto, las ecuaciones previamente presentadas para

medios no conductores sern aplicables a medios conductores si se sustituye por la permitividad compleja c de la ecuacin c= j .

Al aplicar a cuerpos materiales un campo elctrico externo variable con el tiempo, se producen pequeos desplazamientos de cargas ligadas que a su

vez originan una densidad de volumen de polarizacin. Este vector de polarizacin variar con la misma frecuencia que el campo aplicado. Al aumentar

la frecuencia, la inercia de las partculas cargadas tiende a evitar que el desplazamiento de partculas se mantenga en fase con los cambios del

campo, lo cual produce un mecanismo de amortiguamiento de vibraciones que produce prdida de potencia debido al trabajo necesario para superar

las fuerzas de amortiguamiento. Este fenmeno de polarizacin fuera de fase puede caracterizarse por una susceptibilidad elctrica compleja y por

consiguiente por una permitividad compleja. Si el cuerpo o medio material tiene adems una cantidad importante de portadores de carga libres, como los

electrones en un conductor, los electrones y huecos en un semiconductor o los iones en un electrolito, tambin se presentarn prdidas hmicas. Al


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estudiar estos medios es costumbre incluir los efectos de las prdidas hmicas y por amortiguamiento en la parte imaginaria de la permitividad

compleja c :

c= ' j ' ' F/m

Donde ' y ' ' pueden ser funciones de la frecuencia. Alternativamente, podemos definir una conductividad equivalente que represente

todas las prdidas y escribir:

= ' ' S/m

al combinar las ecuaciones c= ' j ' ' F/m y = ' ' S/m se obtiene la ecuacin:

c= j

La razn '/ ' ' se denomina tangente de prdidas porque es una medida de la prdida de potencia en el medio:

tanc= ' ' '

La cantidad c en la ecuacin tanc= ' ' '

se conoce como ngulo de prdidas.

Se dice que un medio es un buen conductorsi y un buen aislante si . As, un material puede ser un buen conductor a

frecuencias bajas pero tener las propiedades de un dielctrico con prdidas a frecuencias muy altas. Por ejemplo, la tierra hmeda tiene unaconstante dielctrica r , y una conductividad del orden de 10 y 102 S/m , respectivamente. La tangente de prdidas / de la

tierra hmeda es igual a 1.8x104 a 1kHz , de manera que es un conductor bastante bueno. Sin embargo, / es 1.8x103 a 10GHz

y la tierra hmeda se comporta como un aislante.


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Basndonos en el anlisis anterior, el estudio del comportamiento para una dependencia armnica con el tiempo de un medio con prdidas puede

realizarse a partir de la ecuacin 2 Ek2 E=0 con slo sustituir la k real por un nmero de onda complejo kc :

kc= c

Ahora hay que examinar la solucin de la siguiente ecuacin homognea de Helmholtz:

2 Ekc2 E=0

Para seguir el convenio de notacin usado en la teora de las lneas de transmisin, se acostumbra definir una constante de propagacin, , tal

que

= j kc= jc m1

Como es compleja, usamos la ecuacin c= j F/m para escribir

21

1

+=+=

jjj

o, a partir de la ecuacin c= ' j ' ' F/m ,

,''

'1'

21

=+= jjj

Donde y son las partes real e imaginaria de , respectivamente. En breve explicaremos su importancia fsica. En un medio sin prdidas,

( ) === = == ky0,',0''0


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Usando la ecuacin = j kc= j c m1 , la ecuacin 2 Ekc

2 E=0 se convierte en

2 E2 E=0

En el caso de una onda plana uniforme que se propaga en la direccin z y que est caracterizada por xxEaE=

y yyHaH =

, la ecuacin

2 E2 E=0 se reduce a

xx E

dz

Ed 22

2

=

La solucin de la ecuacin xx Edz

Ed 22

2

= es

zjzz

x eeEeEE == 00

Donde y son cantidades positivas. El primer factor, ze se reduce al aumentar z y por consiguiente es un factor de atenuacin; se

denomina constante de atenuacin. La unidad en el SI de la constante de atenuacin es el neper por metro Np /m . El segundo factor zje , es

un factor de fase; se conoce como constante de fasey se expresa en radianes por metro rad/m . La constante de fase expresa la magnitud del

cambio de fase que se produce cuando la onda viaja un metro.


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Dielctricos con pequeas prdidas

Un dielctrico con pequeas prdidas es un buen aislante pero imperfecto, con una conductividad equivalente distinta de cero, de manera que ,,, < <

o .1/ <


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La impedancia intrnseca de un dielctrico con pequeas prdidas es una cantidad compleja.

c= '1 j

' ' '

1 /2

c '

1 j

' '2 '

La impedancia intrnseca es la razn de xE y yH de una onda plana uniforme, por lo que las intensidades de campo elctrico y magntico de un

dielctrico con prdidas no estn en fase temporal, como lo estn en un medio sin prdidas.

La velocidad de fase p se obtiene de la razn / . Usando la ecuacin )/('

''

8

11')Im(

2

mrad

+= tenemos:

p= 1

'[11

8 ' ' '

2

]m/s

Que es ligeramente menor que su valor cuando el medio no tiene prdidas.

Comentarios

1. Los campos elctricos y magnticos de las ondas planas uniformes en medios con prdidas estn en cuadratura espacial y tienen distinta fase

temporal.

2. Tanto como son cantidades reales y ambas son, por lo general, funciones de la frecuencia.

3. La atenuacin de la amplitud de la onda en nepers es el logaritmo natural de la razn de la amplitud en el punto inicial y la amplitud en el

punto final.


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4. 1Np=8.69 dB


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Buenos Conductores

Un buen conductor es un medio en el cual 1/ > > . En esta situacin es conveniente usar la ecuacin2

1

1

+===

jjj e ignorar

1 en comparacin con / . Escribimos

2

1 jj

jj

+==

o

fjj )1( ++=

donde se han usado las relaciones

2)1()( 4/2/12 jeej jj +===

y .2 f = . La ecuacin fjj )1( ++= indica que y son aproximadamente iguales en un buen conductor y ambos aumenta con

f y . En un buen conductor,

f==

La impedancia intrnseca de un buen conductor es

)()1()1( +=+=

=

j

fj

j

c

c


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Que tiene un ngulo de fase de 45o . Por consiguiente, la intensidad de campo magntico est 45o retrasada con respecto a la intensidad de

campo elctrico.

La velocidad de fase en un buen conductor es

)/(

2

smp

=

Que es proporcional a f y 1/ 1 . Tomemos como ejemplo el cobre:

)/(1080.5 7 mSx=

)/(104 7 mHx =

p=720 m/s a 3MHz

Que es muchos rdenes de magnitud ms lenta que la velocidad de la luz en el aire. La longitud de onda de una onda plana en un buen conductor es:

)(22

mff

up

===

En el caso del cobre a 3MHz tenemos )(24.0 mm= . Como punto de comparacin, una onda electromagntica a 3MHz tiene una longitud de

onda de 100m en el aire.

La constante de atenuacin de un buen conductor a frecuencias muy altas tiende a ser muy grande, de acuerdo a la ecuacin f== . En

el caso del cobre a 3MHz

)/(1062.2)1080.5)(104)(103( 4776 mNpxxxx ==


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Puesto que el factor de atenuacin es aze , la amplitud de la onda estar atenuada con un factor de 368.01 =e cuando se propague una distancia

/1= . Esta distancia es 1/2x 104m o 0.0038mm en el caso del cobre a 3MHz . A 10GHz 10 (GHz) es slo de 0.0038 m , una

distancia muy pequea. Entonces, una onda electromagntica de alta frecuencia se atena con gran rapidez al propagarse en un buen conductor. La

distancia a la cual la amplitud de una onda plana viajera se reduce en un factor de 368.01 =e se conoce como profundidad de piel o

profundidad de penetracin del conductor.

Determinacin de la profundidad de penetracin a partir de la conductividad y de la permeabilidad del conductor y de la frecuencia.

)(11

mf

==

Como = en un buen conductor, tambin podemos escribir como

)(2

1m

==

La profundidad de penetracin de un buen conductor a frecuencias de microondas es tan pequea que podemos considerar, para fines prcticos, que

los campos y las corrientes estn confinados a una capa muy delgada (esto es, en lapiel) de la superficie del conductor.

Comentarios

1. La constante de atenuacin y la constante de fase de un buen conductor son numricamente iguales.

2. La impedancia intrnseca de un buen conductor tiene un ngulo de fase de 45o .

3. La profundidad de penetracin de un buen conductor es numricamente igual al inversor de su constante de atenuacin e inversamente

proporcional a f y .


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4. La profundidad de penetracin de los buenos conductores es menor que 1 m a 10GHz .


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VELOCIDAD DE GRUPO

En la ecuacin ===

1

k

w

dt

dzup definimos la velocidad de fase, ,pu de una onda plana de frecuencia nica, como la velocidad de propagacin de

un frente de onda de fase constante. La relacin entre ,pu y la constante de fase, es

)/( smup

=

== k es una funcin lineal de para las ondas planas en un medio sin prdidas. Por lo tanto, la velocidad de fase = 1pu es una

constante independiente de la frecuencia. Sin embargo, en algunos casos (como la propagacin de onda en un dielctrico con prdidas, como vimos

antes, o en una lnea de transmisin o en una gua de ondas) la constante de fase no es una funcin lineal de ; las ondas de distintas frecuencias

se propagarn con diferente velocidad de fase. Ya que todas las seales que transportan informacin consiste en una banda de frecuencias, las

ondas a las distintas componentes en frecuencia se propagaran con velocidades diferentes, produciendo una distorsin en la forma de onda de la

seal; la seal se dispersa. El fenmeno de la distorsin de la seal causado por el hecho de la velocidad de fase dependa de la frecuencia se

conoce como dispersin. A partir de las ecuaciones p=

1

'[118 ' ' ' 2

] m/s y tanc= ' ' ' llegamos a la conclusin de que undielctrico con prdidas es un medio dispersor.

Una seal que transmite informacin normalmente tiene un intervalo de frecuencias (bandas laterales) muy pequeo alrededor de una portadora dealta frecuencia. Esta seal constituye un grupo de frecuencias y forma un paquete de ondas. La velocidad de grupo es la velocidad de propagacin

de la envolvente del paquete de ondas (o de un grupo de frecuencias).


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Considere el ms sencillo de los casos: un paquete de ondas que consiste en dos ondas viajeras de igual amplitud y frecuencias angulares

ligeramente distintas +0 y )( 00 <


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Podemos determinar la velocidad en la envolvente ( la velocidad de grupo gu ) igualando a una constante el argumento del primer factor coseno de la

ecuacin )/( smup

= :

tz=constante

constante= zt

de lo cual obtenemos

=

==1

dt

dzug

En el lmite donde 0 tenemos la frmula para calcular la velocidad de grupo en un medio disperso:

)/(/

1sm

ddug

=

sta es la velocidad de un punto en la envolvente del paquete de ondas, como se ilustra en la figura y se identifica como la velocidad de una seal de

banda estrecha. La velocidad de grupo en un medio disperso puede ser mayor o menor que la velocidad de fase. se dice que un medio presenta

dispersin normal si .pg uu < y dispersin anmala si .pg uu > . No hay dispersin cuando .pg uu =

Comentarios

1. Las seales que transportan informacin se propagan sin dispersin nicamente en medios no dispersivos.

2. Un medio es no dispersivo si es una funcin lineal (directamente proporcional) de . .


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FLUJO DE POTENCIA ELECTROMAGNTICA Y VECTOR DE POYNTING

Las ondas electromagnticas transportan energa electromagntica. La energa se transporta por el espacio a puntos receptores distantes a travs de

ondas electromagnticas. A continuacin derivaremos una relacin entre la razn de transferencia de tal energa y las intensidades de campos

elctricos y magnticos asociados con la onda electromagntica que se propaga.

Comenzamos con las ecuaciones de rotacional:

,t

BEx

=

t

DJHx

+=

Podemos comprobar directamente la siguiente identidad de operaciones vectoriales si usamos coordenadas cartesianas:

)()()( HxEExHHxE

=

Al sustituir las ecuaciones ,t

BEx

=

yt

DJHx

+=

en la ecuacin )()()( HxEExHHxE

= se obtiene.

JEt

DE

t

BHHxE

= )(

Para un medio simple cuyos parmetros constitutivos , y no cambian con el tiempo, tenemos

( (

=

=

=

22

1

2

1H

tt

HH

t

HH

t

BH


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( (

=

=

=

22

1

2

1E

tt

EE

t

EE

t

DE

( ) 2EEEJE ==

Podemos escribir entonces la ecuacin JEt

DE

t

BHHxE

= )( como sigue:

222

2

1

2

1)( EHE

tHxE

+

=

Que es una relacin de funcin puntual. Al integrar ambos lados sobre el volumen que nos interesa se obtiene una forma integral de la ecuacin

222

2

1

2

1)( EHE

tHxE

+

=

:

( ) ( )

+

=vvs

dvEdvHEt

dsHxE 222

2

1

2

1

Donde se ha aplicado el teorema de la divergencia para convertir la integral de volumen de ( )HxE

en la integral de superficie cerrada de ( )HxE

.

Vemos que el primero y el segundo trmino del lado derecho de la ecuacin ( ) ( )

+

=vvs

dvEdvHEt

dsHxE 222

2

1

2

1

representa la razn de

cambio temporal de la energa almacenada en los campos elctricos y magnticos, respectivamente. El ltimo trmino es la potencia hmica disipadaen el volumen como resultado del flujo de la densidad de corriente de conduccin E en presencia de un campo elctrico E

. Podemos entonces

interpretar el lado derecho de la ecuacin ( ) ( )

+

=vvs

dvEdvHEt

dsHxE 222

2

1

2

1

como la razn de reduccin de las energas elctrica y

magnticas almacenadas, menos la potencia hmica disipada en forma de calor en el volumen V . esto debe se igual a la potencia (razn de energa)


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que sale del volumen a travs de su superficie, para ser consistentes con la ley de la conservacin de la energa. Por consiguiente, La cantidad ( )HxE

es un vector que representa el flujo de potencia por unidad de rea. Definamos

P=E H W/m2

La cantidad P se conoce como Vector Poynting, y es un vector de densidad de potencia asociado con el campo electromagntico. La afirmacin

de que la integral de superficie de P sobre una superficie cerrada, dada por el lado izquierdo de la ecuacin

( ) ( )

+

=vvs

dvEdvHEt

dsHxE 222

2

1

2

1

, es igual a la potencia que sale del volumen encerrado, se conoce como Teorema de Poynting.

Esta afirmacin no est limitada a ondas planas.

Podemos escribir la ecuacin ( ) ( )

+

=vvs

dvEdvHEt

dsHxE 222

2

1

2

1

de otra manera:

++

=VV

me dvpdvwwt

dsP ,)(.s

donde

=== EEEwe

2

1

2

1 2 Densidad de energa magntica,

=== HHHwm

21

21 2 Densidad de energa elctrica,

===== //22 JJEEJEp

Densidad de potencia hmica.


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Dicho con palabras, la ecuacin ++

=VV

me dvpdvwwt

dsP ,)(.s

establece que la potencia total que fluye hacia dentro de una superficie cerrada

en un instante cualquiera ser igual a la suma de las razones de incremento de las energas elctrica y magntica almacenadas y de la potencia

hmica disipada dentro del volumen limitado por la superficie, un asterisco en un cantidad denota el conjugado complejo de dicha cantidad.


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Densidades de potencia instantnea y media

Hemos visto la conveniencia de usar la notacin fasorial al manejar ondas electromagnticas con dependencia armnica con el tiempo. El valor

instantneo de una cantidad es entonces la parte real del producto de la cantidad fasorial por tje cuando se usa tcos como referencia. Por

ejemplo, si tenemos el fasor.

( ) ( )zjoxxx eEazEazE +==)(

La expresin instantnea es

[ ])()(),( ztjezoxtje eeEaezEtzE ==

).cos(),( zteEatzE zox =

En el caso de una onda plana uniforme que se propaga en la direccin z+ en un medio con prdidas, el fasor de intensidad de campo magnticoasociado es

( ) ( ) ( )

+== zjzC

OyYy ee

EazHazH

Donde es el ngulo de fase de la impedancia intrnseca j

cce= del medio. La correspondiente expresin instantnea de )(zH

es

[ ] ( )

== zteEaezHtzH z

C

OY

tje cos)(),(


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La expresin instantnea del vector de Poynting o vector de densidad de potencia es, basndose en las ecuaciones ( ) ( )zjoxxx eEazEazE +==)(

y

( ) ( ) ( )

+== zjzC

OyYy ee

EazHazH

,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) tjtj ezHezEetzHtzEtz

== ,,,

( ) )cos()cos(, 22

0

= ztzteE

atz z

c

z

( ) ( )[ ]

+= zte

Eatz z

c

z 22coscos2

, 22

0

En lo que se refiere a la potencia transmitida por una onda electromagntica, su valor medio es una cantidad ms relevante que su valor instantneo.

Utilizando la ecuacin ( ) ( )[ ]

+= zte

Eatz z

c

z 22coscos2

, 22

0 obtenemos el promedio temporal del vector de Poynting, ( )zav .

( ) ( ) )(cos2

,1

22

2

0m

WeE

adttzT

z z

c

oz

T

av

==

Donde 2=T es el periodo temporal de la onda. El segundo trmino del lado derecho de la ecuacin ( ) ( )[ ]

+= zteE

atz z

c

z 22coscos2

, 22

0

es una funcin coseno de frecuencia doble cuyo valor medio es cero en un periodo fundamental. En el caso de la propagacin de ondas en un medio

con prdidas, C es real 00 == y ; entonces, la ecuacin ( ) ( ) )(cos2

,1

22

2

0m

WeE

adttzT

z z

c

oz

T

av

== se reduce a


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( ) )(2

2

2

mWEaz ozav

=

Es probable que en el caso general no estemos tratando con una onda que se propaga en la direccin z, as que escribimos

( ) ( ) )(2

12

*

mWHEezav

=

Que es una frmula general para calcular la densidad de potencia media en una onda que se propaga.

Comentarios

1. El vector de Poynting tiene direccin normal a E

y H

.

2. El teorema de Poynting es una manifestacin del principio de conservacin de la energa.

3. Observe que ( ) ( ) ( ) tjtj ezHeezEetz = , ( ) ( ) ( )[ ] tjezHzEetz , es decir, no es correcto obtener primero el producto cruz de E

por

H

y luego tomar la parte real del producto.

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