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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
TRIGONOMETRIA 1
1) Uma escada está apoiada em um muro de 2 m de altura, formando um ângulo de 45º. Forma-se, portanto, um triângulo retângulo isósceles. Qual é o comprimento da escada?
45
°
45
°
2m x
Resposta: O comprimento aproximado da escada
é de 2,83 m
2m
1
2
A questão também poderia ser
respondida através da aplicação
do Teorema de Pitágoras.
2m x
2m
Resposta: O comprimento aproximado da escada é
de 2,83 m
2) Usando os triângulos retângulos a seguir, determine as razões trigonométricas para o ângulo x.
3) No exercício anterior, o que podemos
concluir sobre o ângulo x? Quanto mede
esse ângulo?
2)
3) O ângulo mede 45°
4) Observe a figura a seguir e determine a
altura “h” do edifício, sabendo que AB mede
25m e cos ϴ= 0,6 .
ϴ
h
O problema informa o valor de
cos ϴ, mas para utilizar a razão
trigonométrica cosseno,
deveríamos relacionar a medida
do cateto adjacente ao ângulo ϴ
com a medida da hipotenusa.
Cateto
Oposto ao
ângulo ϴ
Hipotenus
a
No caso, precisamos calcular a medida do
cateto oposto ao ângulo ϴ, conhecendo a
medida da hipotenusa, ou seja, o ideal seria
termos o valor de sen ϴ e, para isso,
aplicaremos a Relação Fundamental da
Trigonometria:
A partir daí, o cálculo da altura torna-
se bastante simples:
Resposta: A altura do prédio é de 20 m
Para ângulos agudos,
as razões
trigonométricas são
positivas e, portanto,
não há necessidade de
usar ±
5) Em certa hora do dia, os raios do Sol incidem
sobre um local plano com uma inclinação de
60° em relação à horizontal. Nesse momento, o
comprimento da sombra de uma construção de
6m de altura será aproximadamente igual a:
a) 10,2 m
b) 8,5 m
c) 5,9 m
d) 4,2 m
e) 3,4 m
60°
6m
x
Cateto adjacente
ao ângulo de 60°
Cateto oposto ao
ângulo de 60°
Conhecemos a medida do cateto
oposto ao ângulo de 60° e
desejamos calcular a medida do
cateto adjacente a esse mesmo
ângulo.
A melhor escolha é trabalhar com
a tangente de 60°!
Resposta: Opção E
x
Os raios do Sol incidem sobre um
local plano com uma inclinação de
60° em relação à horizontal. Calcular
o comprimento da sombra de uma
construção de 6m de altura.
1
2
6) A figura representa um barco atravessando
um rio, partindo de A em direção ao ponto B. A
forte correnteza arrasta o barco em direção ao
ponto C, segundo um ângulo de 60º. Sendo a
largura do rio de 120 m, a distância percorrida
pelo barco até o ponto C, é:
a) 240 m
b) 240 m
c) 80 m
d) 80 m
e) 40 m
120m x
A
B C
Cateto adjacente
ao ângulo de 60° Hipotenusa
Conhecemos a medida do cateto adjacente ao ângulo de 60° e desejamos
calcular a medida da hipotenusa do triângulo ABC.
Dessa vez é melhor escolher trabalhar com o cosseno de 60°!
Resposta: Opção C
7) Para permitir o aceso a um monumento que está em um pedestal de 2m de altura, vai ser construída uma rampa com inclinação de 30° com o solo, conforme a ilustração. O comprimento da rampa será igual a:
a) /2 m
b) m
c) 2 m
d) 4 m
e) 4 m
30°
2m
x
Hipotenusa Cateto oposto ao
ângulo de 30°
Conhecemos a medida do cateto oposto ao ângulo de 30° e desejamos
calcular a medida da hipotenusa do triângulo esboçado acima.
Sem dúvida é um caso para aplicar o seno de 30°!
Resposta: Opção D
8) Um observador, no ponto O da figura, vê um prédio segundo um ângulo de 75°. Se esse observador está situado a uma distância de 12m do prédio e a 12m de altura do plano horizontal que passa pelo pé do prédio, então qual é a altura do prédio, em metros?
45°
75° 30°
12
12
O
A
B
C
x
45° O triângulo AOB é
isósceles e,
portanto, o ângulo
AÔB é igual ao
ângulo OÂB
Sendo o
triângulo AOB
isósceles e
retângulo,
temos
 = Ô = 45°
O ângulo AÔC, que
mede 75° ficou
dividido em duas
partes:
m(AÔB) = 45°
m(BÔC) = 30°
•Vamos trabalhar então no triângulo
retângulo BÔC onde Ô = 30°.
•Desejamos calcular a medida do
cateto oposto a esse ângulo e
conhecemos a medida de seu cateto
adjacente.
•Um caso claro de utilização da
tangente!
1 4
Finalmente, a altura total do prédio é a medida do segmento AC,
ou seja:
Resposta: A altura
aproximada do prédio é
18,93 m
9) Determine a área do triângulo abaixo de base
igual a 6 cm:
60°
A
45°
75°
b c
H
B C
a = 6
h
h 6 – h
O triângulo AHB é
retângulo e tem um
ângulo medindo
45°, logo é
isósceles com AH
= BH
Sabendo que
BH= h, como BC
= 6, podemos
escrever que
HC = 6 – h
No triângulo ABC,
se  = 75° e B =
45°, como  + B +
C = 180°, então C
= 60°
^ ^
^
^
60°
A
b
H
C
h
6 – h
1
3
10) Um turista vê o topo de uma torre construída em um terreno plano, sob um ângulo de 30°. Aproximando-se da torre mais 374 m, passa a vê-la sob um ângulo de 60°. Considerando que a base da torre está no mesmo nível do olho do turista, calcule a altura da torre. (Você imagina por onde anda esse turista?)
30° 30°
60°
30°
374m A B C
T
h
• ∆ BCT é retângulo em C com CBT = 60° ⇒ CTB = 30°
• ∆ ACT é retângulo em C com CÂT = 30° ⇒ CTA = 60°
• Sendo CTA = 60° e CTB = 30° ⇒ BTA = 30° e ∆ ABT é isósceles com AB = BT = 374 m
• Aplicando agora o seno de 60° no ∆BCT, temos:
^ ^
^
^ ^ ^
60°
60°
30°
374m A B C
T
30° 30°
h
Resposta: 324 m de altura, e só pode ser a Torre
Eiffel...
O turista está em Paris!
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Professora Telma Castro Silva
ISERJ – 2012