tuyen tap cac bai tap hinh hoc on thi vao 10 4464
DESCRIPTION
rất hay và bổ íchTRANSCRIPT
Tuyn tp cc bi ton hnh hc lp 9 n thi vao 10
Tuyn tp cc bi ton hnh hc lp 9 n thi vao 10Bi 1. Cho tam gic ABC c ba gc nhn ni tip ng trn (O). Cc ng cao AD, BE, CF ct nhau ti
H v ct ng trn (O) ln lt ti M,N,P.
Chng minh rng:
1)T gic CEHD, ni tip .
2)Bn im B,C,E,F cng nm trn mt ng trn.
3)AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC.
4)H v M i xng nhau qua BC.
5)Xc nh tm ng trn ni tip tam gic DEF.
Li gii:
1. Xt t gic CEHD ta c:
( CEH = 900 ( V BE l ng cao)
( CDH = 900 ( V AD l ng cao)
=> ( CEH + ( CDH = 1800
M ( CEH v ( CDH l hai gc i ca t gic CEHD , Do CEHD l t gic ni tip
2. Theo gi thit: BE l ng cao => BE ( AC => (BEC = 900.
CF l ng cao => CF ( AB => (BFC = 900.
Nh vy E v F cng nhn BC di mt gc 900 => E v F cng nm trn ng trn ng knh BC.
Vy bn im B,C,E,F cng nm trn mt ng trn.
3. Xt hai tam gic AEH v ADC ta c: ( AEH = ( ADC = 900 ; l gc chung
=> ( AEH ( (ADC => => AE.AC = AH.AD.
* Xt hai tam gic BEC v ADC ta c: ( BEC = ( ADC = 900 ; (C l gc chung
=> ( BEC ( (ADC => => AD.BC = BE.AC.
4. Ta c (C1 = (A1 ( v cng ph vi gc ABC)
(C2 = (A1 ( v l hai gc ni tip cng chn cung BM)
=> (C1 = ( C2 => CB l tia phn gic ca gc HCM; li c CB ( HM => ( CHM cn ti C
=> CB cng l ng trung trc ca HM vy H v M i xng nhau qua BC.
5. Theo chng minh trn bn im B,C,E,F cng nm trn mt ng trn
=> (C1 = (E1 ( v l hai gc ni tip cng chn cung BF)
Cng theo chng minh trn CEHD l t gic ni tip
(C1 = (E2 ( v l hai gc ni tip cng chn cung HD)
(E1 = (E2 => EB l tia phn gic ca gc FED.
Chng minh tng t ta cng c FC l tia phn gic ca gc DFE m BE v CF ct nhau ti H do H l tm ng trn ni tip tam gic DEF.
Bi 2. Cho tam gic cn ABC (AB = AC), cc ng cao AD, BE, ct nhau ti H. Gi O l tm ng trn
ngoi tip tam gic AHE.
1. Chng minh t gic CEHD ni tip .
2. Bn im A, E, D, B cng nm trn mt ng trn.
3. Chng minh ED = BC.
4. Chng minh DE l tip tuyn ca ng trn (O).
5. Tnh di DE bit DH = 2 Cm, AH = 6 Cm.
Li gii:
1. Xt t gic CEHD ta c:
( CEH = 900 ( V BE l ng cao)
( CDH = 900 ( V AD l ng cao)
=> ( CEH + ( CDH = 1800 M ( CEH v ( CDH l hai gc i ca t gic CEHD , Do CEHD l t gic ni tip 2. Theo gi thit: BE l ng cao => BE ( AC => (BEA = 900.
AD l ng cao => AD ( BC => (BDA = 900.
Nh vy E v D cng nhn AB di mt gc 900 => E v D cng nm trn ng trn ng knh AB.
Vy bn im A, E, D, B cng nm trn mt ng trn.
3. Theo gi thit tam gic ABC cn ti A c AD l ng cao nn cng l ng trung tuyn
=> D l trung im ca BC. Theo trn ta c (BEC = 900 .
Vy tam gic BEC vung ti E c ED l trung tuyn => DE = BC.
4. V O l tm ng trn ngoi tip tam gic AHE nn O l trung im ca AH => OA = OE => tam gic AOE cn ti O => (E1 = (A1 (1).
Theo trn DE = BC => tam gic DBE cn ti D => (E3 = (B1 (2)
M (B1 = (A1 ( v cng ph vi gc ACB) => (E1 = (E3 => (E1 + (E2 = (E2 + (E3
M (E1 + (E2 = (BEA = 900 => (E2 + (E3 = 900 = (OED => DE ( OE ti E.
Vy DE l tip tuyn ca ng trn (O) ti E.
5. Theo gi thit AH = 6 Cm => OH = OE = 3 cm.; DH = 2 Cm => OD = 5 cm. p dng nh l Pitago cho tam gic OED vung ti E ta c ED2 = OD2 OE2 ( ED2 = 52 32 ( ED = 4cm
Bi 3 Cho na ng trn ng knh AB = 2R. T A v B k hai tip tuyn Ax, By. Qua im M thuc na ng trn k tip tuyn th ba ct cc tip tuyn Ax , By ln lt C v D. Cc ng thng AD v BC ct nhau ti N.
1. Chng minh AC + BD = CD.
2. Chng minh (COD = 900.
3.Chng minh AC. BD = .
4.Chng minh OC // BM
5.Chng minh AB l tip tuyn ca ng trn ng knh CD.
5.Chng minh MN ( AB.
6.Xc nh v tr ca M chu vi t gic ACDB t gi tr nh nht.
Li gii:
1. Theo tnh cht hai tip tuyn ct nhau ta c: CA = CM; DB = DM => AC + BD = CM + DM.
M CM + DM = CD => AC + BD = CD
2. Theo tnh cht hai tip tuyn ct nhau ta c: OC l tia phn gic ca gc AOM; OD l tia phn gic ca gc BOM, m (AOM v (BOM l hai gc k b => (COD = 900.
3. Theo trn (COD = 900 nn tam gic COD vung ti O c OM ( CD ( OM l tip tuyn ).
p dng h thc gia cnh v ng cao trong tam gic vung ta c OM2 = CM. DM,
M OM = R; CA = CM; DB = DM => AC. BD =R2 => AC. BD = .
4. Theo trn (COD = 900 nn OC ( OD .(1)
Theo tnh cht hai tip tuyn ct nhau ta c: DB = DM; li c OM = OB =R => OD l trung trc ca BM => BM ( OD .(2). T (1) V (2) => OC // BM ( V cng vung gc vi OD).
5. Gi I l trung im ca CD ta c I l tm ng trn ngoi tip tam gic COD ng knh CD c IO l bn knh.
Theo tnh cht tip tuyn ta c AC ( AB; BD ( AB => AC // BD => t gic ACDB l hnh thang. Li c I l trung im ca CD; O l trung im ca AB => IO l ng trung bnh ca hnh thang ACDB
IO // AC , m AC ( AB => IO ( AB ti O => AB l tip tuyn ti O ca ng trn ng knh CD
6. Theo trn AC // BD => , m CA = CM; DB = DM nn suy ra
=> MN // BD m BD ( AB => MN ( AB.
7. ( HD): Ta c chu vi t gic ACDB = AB + AC + CD + BD m AC + BD = CD nn suy ra chu vi t gic ACDB = AB + 2CD m AB khng i nn chu vi t gic ACDB nh nht khi CD nh nht , m CD nh nht khi CD l khong cch gi Ax v By tc l CD vung gc vi Ax v By. Khi CD // AB => M phi l trung im ca cung AB.
Bi 4 Cho tam gic cn ABC (AB = AC), I l tm ng trn ni tip, K l tm ng trn bng tip gc
A , O l trung im ca IK.
1. Chng minh B, C, I, K cng nm trn mt ng trn.
2. Chng minh AC l tip tuyn ca ng trn (O).
3. Tnh bn knh ng trn (O) Bit AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm.
Li gii: (HD)
1. V I l tm ng trn ni tip, K l tm ng trn bng tip gc A nn BI v BK l hai tia phn gic ca hai gc k b nh B
Do BI ( BK hay(IBK = 900 .
Tng t ta cng c (ICK = 900 nh vy B v C cng nm trn ng trn ng knh IK do B, C, I, K cng nm trn mt ng trn.
2. Ta c (C1 = (C2 (1) ( v CI l phn gic ca gc ACH.
(C2 + (I1 = 900 (2) ( v (IHC = 900 ).
(I1 = ( ICO (3) ( v tam gic OIC cn ti O)
T (1), (2) , (3) => (C1 + (ICO = 900 hay AC ( OC. Vy AC l tip tuyn ca ng trn (O).
3. T gi thit AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm => CH = 12 cm.
AH2 = AC2 HC2 => AH = = 16 ( cm)
CH2 = AH.OH => OH = = 9 (cm)
OC = = 15 (cm)
Bi 5 Cho ng trn (O; R), t mt im A trn (O) k tip tuyn d vi (O). Trn ng thng d ly im M bt k ( M khc A) k ct tuyn MNP v gi K l trung im ca NP, k tip tuyn MB (B l tip im). K AC ( MB, BD ( MA, gi H l giao im ca AC v BD, I l giao im ca OM v AB.
1. Chng minh t gic AMBO ni tip.
2. Chng minh nm im O, K, A, M, B cng nm trn mt ng trn .
3. Chng minh OI.OM = R2; OI. IM = IA2.
4. Chng minh OAHB l hnh thoi.
5. Chng minh ba im O, H, M thng hng.
6. Tm qu tch ca im H khi M di chuyn trn ng thng d
Li gii:
1. (HS t lm).
2. V K l trung im NP nn OK ( NP ( quan h ng knh
V dy cung) => (OKM = 900. Theo tnh cht tip tuyn ta c (OAM = 900; (OBM = 900. nh vy K, A, B cng nhn OM di mt gc 900 nn cng nm trn ng trn ng knh OM.
Vy nm im O, K, A, M, B cng nm trn mt ng trn.
3. Ta c MA = MB ( t/c hai tip tuyn ct nhau); OA = OB = R
=> OM l trung trc ca AB => OM ( AB ti I .
Theo tnh cht tip tuyn ta c (OAM = 900 nn tam gic OAM vung ti A c AI l ng cao.
p dng h thc gia cnh v ng cao => OI.OM = OA2 hay OI.OM = R2; v OI. IM = IA2.
4. Ta c OB ( MB (tnh cht tip tuyn) ; AC ( MB (gt) => OB // AC hay OB // AH.
OA ( MA (tnh cht tip tuyn) ; BD ( MA (gt) => OA // BD hay OA // BH.
=> T gic OAHB l hnh bnh hnh; li c OA = OB (=R) => OAHB l hnh thoi.
5. Theo trn OAHB l hnh thoi. => OH ( AB; cng theo trn OM ( AB => O, H, M thng hng( V qua O ch c mt ng thng vung gc vi AB).
6. (HD) Theo trn OAHB l hnh thoi. => AH = AO = R. Vy khi M di ng trn d th H cng di ng nhng lun cch A c nh mt khong bng R. Do qu tch ca im H khi M di chuyn trn ng thng d l na ng trn tm A bn knh AH = R
Bi 6 Cho tam gic ABC vung A, ng cao AH. V ng trn tm A bn knh AH. Gi HD l ng knh ca ng trn (A; AH). Tip tuyn ca ng trn ti D ct CA E.
1. Chng minh tam gic BEC cn.
2. Gi I l hnh chiu ca A trn BE, Chng minh rng AI = AH.
3. Chng minh rng BE l tip tuyn ca ng trn (A; AH).
4. Chng minh BE = BH + DE.
Li gii: (HD)
1. ( AHC = (ADE (g.c.g) => ED = HC (1) v AE = AC (2).
V AB (CE (gt), do AB va l ng cao va l ng trung tuyn ca (BEC => BEC l tam gic cn. => (B1 = (B2
2. Hai tam gic vung ABI v ABH c cnh huyn AB chung, (B1 = (B2 => ( AHB = (AIB => AI = AH.
3. AI = AH v BE ( AI ti I => BE l tip tuyn ca (A; AH) ti I.
4. DE = IE v BI = BH => BE = BI+IE = BH + ED
Bi 7 Cho ng trn (O; R) ng knh AB. K tip tuyn Ax v ly trn tip tuyn mt im P sao
cho AP > R, t P k tip tuyn tip xc vi (O) ti M.
1. Chng minh rng t gic APMO ni tip c mt ng trn.
2. Chng minh BM // OP.
3. ng thng vung gc vi AB O ct tia BM ti N. Chng minh t gic OBNP l hnh bnh hnh.
4. Bit AN ct OP ti K, PM ct ON ti I; PN v OM ko di ct nhau ti J. Chng minh I, J, K thng hng.
Li gii:
1. (HS t lm).
2.Ta c ( ABM ni tip chn cung AM; ( AOM l gc tm
chn cung AM => ( ABM = (1) OP l tia phn gic ( AOM ( t/c hai tip tuyn ct nhau ) => ( AOP = (2)
T (1) v (2) => ( ABM = ( AOP (3)
M ( ABM v ( AOP l hai gc ng v nn suy ra BM // OP. (4)
3.Xt hai tam gic AOP v OBN ta c : (PAO=900 (v PA l tip tuyn ); (NOB = 900 (gt NO(AB).
=> (PAO = (NOB = 900; OA = OB = R; (AOP = (OBN (theo (3)) => (AOP = (OBN => OP = BN (5)
T (4) v (5) => OBNP l hnh bnh hnh ( v c hai cnh i song song v bng nhau).
4. T gic OBNP l hnh bnh hnh => PN // OB hay PJ // AB, m ON ( AB => ON ( PJ
Ta cng c PM ( OJ ( PM l tip tuyn ), m ON v PM ct nhau ti I nn I l trc tm tam gic POJ. (6)
D thy t gic AONP l hnh ch nht v c (PAO = (AON = (ONP = 900 => K l trung im ca PO ( t/c ng cho hnh ch nht). (6)
AONP l hnh ch nht => (APO = ( NOP ( so le) (7)
Theo t/c hai tip tuyn ct nhau Ta c PO l tia phn gic (APM => (APO = (MPO (8).
T (7) v (8) => (IPO cn ti I c IK l trung tuyn ng thi l ng cao => IK ( PO. (9)
T (6) v (9) => I, J, K thng hng.
Bi 8 Cho na ng trn tm O ng knh AB v im M bt k trn na ng trn ( M khc A,B). Trn na mt phng b AB cha na ng trn k tip tuyn Ax. Tia BM ct Ax ti I; tia phn gic ca gc IAM ct na ng trn ti E; ct tia BM ti F tia BE ct Ax ti H, ct AM ti K.
1) Chng minh rng: EFMK l t gic ni tip.
2) Chng minh rng: AI2 = IM . IB.
3) Chng minh BAF l tam gic cn.
4) Chng minh rng : T gic AKFH l hnh thoi.
5) Xc nh v tr M t gic AKFI ni tip c mt ng trn.
Li gii:
1. Ta c : (AMB = 900 ( ni tip chn na ng trn )
=> (KMF = 900 (v l hai gc k b).
(AEB = 900 ( ni tip chn na ng trn )
=> (KEF = 900 (v l hai gc k b).
=> (KMF + (KEF = 1800 . M (KMF v (KEF l hai gc i ca t gic EFMK do EFMK l t gic ni tip.
2. Ta c (IAB = 900 ( v AI l tip tuyn ) => (AIB vung ti A c AM ( IB ( theo trn).
p dng h thc gia cnh v ng cao => AI2 = IM . IB.
3. Theo gi thit AE l tia phn gic gc IAM => (IAE = (MAE => AE = ME (l do )=> (ABE =(MBE ( hai gc ni tip chn hai cung bng nhau) => BE l tia phn gic gc ABF. (1)
Theo trn ta c (AEB = 900 => BE ( AF hay BE l ng cao ca tam gic ABF (2).
T (1) v (2) => BAF l tam gic cn. ti B .
4. BAF l tam gic cn. ti B c BE l ng cao nn ng thi l ng trung tuyn => E l trung im ca AF. (3)
T BE ( AF => AF ( HK (4), theo trn AE l tia phn gic gc IAM hay AE l tia phn gic (HAK (5)
T (4) v (5) => HAK l tam gic cn. ti A c AE l ng cao nn ng thi l ng trung tuyn => E l trung im ca HK. (6).
T (3) , (4) v (6) => AKFH l hnh thoi ( v c hai ng cho vung gc vi nhau ti trung im ca mi ng).
5. (HD). Theo trn AKFH l hnh thoi => HA // FK hay IA // FK => t gic AKFI l hnh thang.
t gic AKFI ni tip c mt ng trn th AKFI phi l hnh thang cn.
AKFI l hnh thang cn khi M l trung im ca cung AB.
Tht vy: M l trung im ca cung AB => (ABM = (MAI = 450 (t/c gc ni tip ). (7)
Tam gic ABI vung ti A c (ABI = 450 => (AIB = 450 .(8)
T (7) v (8) => (IAK = (AIF = 450 => AKFI l hnh thang cn (hnh thang c hai gc y bng nhau).
Vy khi M l trung im ca cung AB th t gic AKFI ni tip c mt ng trn.
Bi 9 Cho na ng trn (O; R) ng knh AB. K tip tuyn Bx v ly hai im C v D thuc na ng trn. Cc tia AC v AD ct Bx ln lt E, F (F gia B v E).
1. Chng minh AC. AE khng i.
2. Chng minh ( ABD = ( DFB.
3. Chng minh rng CEFD l t gic ni tip.
Li gii:
1. C thuc na ng trn nn (ACB = 900 ( ni tip chn na ng trn ) => BC ( AE.
(ABE = 900 ( Bx l tip tuyn ) => tam gic ABE vung ti B c BC l ng cao => AC. AE = AB2 (h thc gia cnh v ng cao ), m AB l ng knh nn AB = 2R khng i do AC. AE khng i.
2. ( ADB c (ADB = 900 ( ni tip chn na ng trn ).
=> (ABD + (BAD = 900 (v tng ba gc ca mt tam gic bng 1800)(1)
( ABF c (ABF = 900 ( BF l tip tuyn ).
=> (AFB + (BAF = 900 (v tng ba gc ca mt tam gic bng 1800) (2)
T (1) v (2) => (ABD = (DFB ( cng ph vi (BAD)
3. T gic ACDB ni tip (O) => (ABD + (ACD = 1800 .
(ECD + (ACD = 1800 ( V l hai gc k b) => (ECD = (ABD ( cng b vi (ACD).
Theo trn (ABD = (DFB => (ECD = (DFB. M (EFD + (DFB = 1800 ( V l hai gc k b) nn suy ra (ECD + (EFD = 1800, mt khc (ECD v (EFD l hai gc i ca t gic CDFE do t gic CEFD l t gic ni tip.
Bi 10 Cho ng trn tm O ng knh AB v im M bt k trn na ng trn sao cho AM < MB. Gi M l im i xng ca M qua AB v S l giao im ca hai tia BM, MA. Gi P l chn ng
vung gc t S n AB.
1.Gi S l giao im ca MA v SP. Chng minh rng PSM cn. 2.Chng minh PM l tip tuyn ca ng trn .
Li gii: 1. Ta c SP ( AB (gt) => (SPA = 900 ; (AMB = 900 ( ni tip chn na ng trn ) => (AMS = 900 . Nh vy P v M cng nhn AS di mt gc bng 900 nn cng nm trn ng trn ng knh AS.
Vy bn im A, M, S, P cng nm trn mt ng trn.
2. V Mi xng M qua AB m M nm trn ng trn nn M cng nm trn ng trn => hai cung AM v AM c s o bng nhau
=> (AMM = (AMM ( Hai gc ni tip chn hai cung bng nhau) (1)
Cng v Mi xng M qua AB nn MM ( AB ti H => MM// SS ( cng vung gc vi AB)
=> (AMM = (ASS; (AMM = (ASS (v so le trong) (2).
=> T (1) v (2) => (ASS = (ASS.
Theo trn bn im A, M, S, P cng nm trn mt / trn => (ASP=(AMP (ni tip cng chn AP )
=> (ASP = (AMP => tam gic PMS cn ti P.
3. Tam gic SPB vung ti P; tam gic SMS vung ti M => (B1 = (S1 (cng ph vi (S). (3)
Tam gic PMS cn ti P => (S1 = (M1 (4)
Tam gic OBM cn ti O ( v c OM = OB =R) => (B1 = (M3 (5).
T (3), (4) v (5) => (M1 = (M3 => (M1 + (M2 = (M3 + (M2 m (M3 + (M2 = (AMB = 900 nn suy ra (M1 + (M2 = (PMO = 900 => PM ( OM ti M => PM l tip tuyn ca ng trn ti M
Bi 11. Cho tam gic ABC (AB = AC). Cnh AB, BC, CA tip xc vi ng trn (O) ti cc im D, E, F . BF ct (O) ti I , DI ct BC ti M. Chng minh :
1. Tam gic DEF c ba gc nhn.
2. DF // BC. 3. T gic BDFC ni tip. 4.
Li gii:
1. (HD) Theo t/c hai tip tuyn ct nhau ta c AD = AF => tam gic ADF cn ti A => (ADF = (AFD < 900 => s cung DF < 1800 => (DEF < 900 ( v gc DEF ni tip chn cung DE).
Chng minh tng t ta c (DFE < 900; (EDF < 900. Nh vy tam gic DEF c ba gc nhn.
2. Ta c AB = AC (gt); AD = AF (theo trn) => => DF // BC.
3. DF // BC => BDFC l hnh thang li c ( B = (C (v tam gic ABC cn)
=> BDFC l hnh thang cn do BDFC ni tip c mt ng trn .
4. Xt hai tam gic BDM v CBF Ta c ( DBM = (BCF ( hai gc y ca tam gic cn).
(BDM = (BFD (ni tip cng chn cung DI); ( CBF = (BFD (v so le) => (BDM = (CBF .
=> (BDM ((CBF =>
Bi 12 Cho ng trn (O) bn knh R c hai ng knh AB v CD vung gc vi nhau. Trn on thng AB ly im M (M khc O). CM ct (O) ti N. ng thng vung gc vi AB ti M ct tip tuyn
ti N ca ng trn P. Chng minh :
1. T gic OMNP ni tip.
2. T gic CMPO l hnh bnh hnh.
3. CM. CN khng ph thuc vo v tr ca im M.
4. Khi M di chuyn trn on thng AB th P chy trn on thng c nh no.
Li gii:
1. Ta c (OMP = 900 ( v PM ( AB ); (ONP = 900 (v NP l tip tuyn ).
Nh vy M v N cng nhn OP di mt gc bng 900 => M v N cng nm trn ng trn ng knh OP => T gic OMNP ni tip.
2. T gic OMNP ni tip => (OPM = ( ONM (ni tip chn cung OM)
Tam gic ONC cn ti O v c ON = OC = R => (ONC = (OCN
=> (OPM = (OCM.
Xt hai tam gic OMC v MOP ta c (MOC = (OMP = 900; (OPM = (OCM => (CMO = (POM li c MO l cnh chung => (OMC = (MOP => OC = MP. (1)
Theo gi thit Ta c CD ( AB; PM ( AB => CO//PM (2).
T (1) v (2) => T gic CMPO l hnh bnh hnh.
3. Xt hai tam gic OMC v NDC ta c (MOC = 900 ( gt CD ( AB); (DNC = 900 (ni tip chn na ng trn ) => (MOC =(DNC = 900 li c (C l gc chung => (OMC ((NDC
=> => CM. CN = CO.CD m CO = R; CD = 2R nn CO.CD = 2R2 khng i => CM.CN =2R2 khng i hay tch CM. CN khng ph thuc vo v tr ca im M.
4. ( HD) D thy (OMC = (DPO (c.g.c) => (ODP = 900 => P chy trn ng thng c nh vung gc vi CD ti D.
V M ch chy trn on thng AB nn P ch chy trn don thng A B song song v bng AB.
Bi 13: Cho tam gic ABC vung A (AB > AC), ng cao AH. Trn na mt phng b BC cha in A , V na ng trn ng knh BH ct AB ti E, Na ng trn ng knh HC ct AC ti F.
1. Chng minh AFHE l hnh ch nht.
2. BEFC l t gic ni tip.
3. AE. AB = AF. AC.
4. Chng minh EF l tip tuyn chung ca hai na ng trn .
Li gii:
1. Ta c : (BEH = 900 ( ni tip chn nc ng trn )
=> (AEH = 900 (v l hai gc k b). (1)
(CFH = 900 ( ni tip chn nc ng trn )
=> (AFH = 900 (v l hai gc k b).(2)
(EAF = 900 ( V tam gic ABC vung ti A) (3)
T (1), (2), (3) => t gic AFHE l hnh ch nht ( v c ba gc vung).
2. T gic AFHE l hnh ch nht nn ni tip c mt ng trn =>(F1=(H1 (ni tip chn cung AE) . Theo gi thit AH (BC nn AH l tip tuyn chung ca hai na ng trn (O1) v (O2)
=> (B1 = (H1 (hai gc ni tip cng chn cung HE) => (B1= (F1 => (EBC+(EFC = (AFE + (EFC m (AFE + (EFC = 1800 (v l hai gc k b) => (EBC+(EFC = 1800 mt khc (EBC v (EFC l hai gc i ca t gic BEFC do BEFC l t gic ni tip.
3. Xt hai tam gic AEF v ACB ta c (A = 900 l gc chung; (AFE = (ABC ( theo Chng minh trn)
=> (AEF ((ACB => => AE. AB = AF. AC.
* HD cch 2: Tam gic AHB vung ti H c HE ( AB => AH2 = AE.AB (*)
Tam gic AHC vung ti H c HF ( AC => AH2 = AF.AC (**)
T (*) v (**) => AE. AB = AF. AC
4. T gic AFHE l hnh ch nht => IE = EH => (IEH cn ti I => (E1 = (H1 .
(O1EH cn ti O1 (v c O1E vO1H cng l bn knh) => (E2 = (H2.
=> (E1 + (E2 = (H1 + (H2 m (H1 + (H2 = (AHB = 900 => (E1 + (E2 = (O1EF = 900
=> O1E (EF .
Chng minh tng t ta cng c O2F ( EF. Vy EF l tip tuyn chung ca hai na ng trn
Bi 14 Cho im C thuc on thng AB sao cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm. V v mt pha ca AB cc na ng trn c ng knh theo th t l AB, AC, CB v c tm theo th t l O, I, K.
ng vung gc vi AB ti C ct na ng trn (O) ti E. Gi M. N theo th t l giao im ca EA
EB vi cc na ng trn (I), (K).
1.Chng minh EC = MN.
2.Ch/minh MN l tip tuyn chung ca cc na /trn (I), (K).
3.Tnh MN.
4.Tnh din tch hnh c gii hn bi ba na ng trn
Li gii:
1. Ta c: (BNC= 900( ni tip chn na ng trn tm K)
=> (ENC = 900 (v l hai gc k b). (1)
(AMC = 900 ( ni tip chn nc ng trn tm I) => (EMC = 900 (v l hai gc k b).(2)
(AEB = 900 (ni tip chn na ng trn tm O) hay (MEN = 900 (3)
T (1), (2), (3) => t gic CMEN l hnh ch nht => EC = MN (tnh cht ng cho hnh ch nht )
2. Theo gi thit EC (AB ti C nn EC l tip tuyn chung ca hai na ng trn (I) v (K)
=> (B1 = (C1 (hai gc ni tip cng chn cung CN). T gic CMEN l hnh ch nht nn
=> (C1= (N3
=> (B1 = (N3.(4) Li c KB = KN (cng l bn knh) => tam gic KBN cn ti K => (B1 = (N1 (5)
T (4) v (5) => (N1 = (N3 m (N1 + (N2 = (CNB = 900 => (N3 + (N2 = (MNK = 900
hay MN ( KN ti N => MN l tip tuyn ca (K) ti N.
Chng minh tng t ta cng c MN l tip tuyn ca (I) ti M,
Vy MN l tip tuyn chung ca cc na ng trn (I), (K).
3. Ta c (AEB = 900 (ni tip chn nc ng trn tm O) => (AEB vung ti A c EC ( AB (gt)
=> EC2 = AC. BC ( EC2 = 10.40 = 400 => EC = 20 cm. Theo trn EC = MN => MN = 20 cm.
4. Theo gi thit AC = 10 Cm, CB = 40 Cm => AB = 50cm => OA = 25 cm
Ta c S(o) = .OA2 = 252 = 625; S(I) = . IA2 = .52 = 25; S(k) = .KB2 = . 202 = 400.
Ta c din tch phn hnh c gii hn bi ba na ng trn l S = ( S(o) - S(I) - S(k))
S = ( 625- 25- 400) = .200 = 100 314 (cm2)
Bi 15 Cho tam gic ABC vung A. Trn cnh AC ly im M, dng ng trn (O) c ng knh MC. ng thng BM ct ng trn (O) ti D. ng thng AD ct ng trn (O) ti S.
1. Chng minh ABCD l t gic ni tip .
2. Chng minh CA l tia phn gic ca gc SCB.
3. Gi E l giao im ca BC vi ng trn (O). Chng minh rng cc ng thng BA, EM, CD ng quy.
4. Chng minh DM l tia phn gic ca gc ADE.
5. Chng minh im M l tm ng trn ni tip tam gic ADE.
Li gii:
1. Ta c (CAB = 900 ( v tam gic ABC vung ti A); (MDC = 900 ( gc ni tip chn na ng trn ) => (CDB = 900 nh vy D v A cng nhn BC di mt gc bng 900 nn A v D cng nm trn ng trn ng knh BC => ABCD l t gic ni tip.
2. ABCD l t gic ni tip => (D1= (C3( ni tip cng chn cung AB).
(D1= (C3 => => (C2 = (C3 (hai gc ni tip ng trn (O) chn hai cung bng nhau)
=> CA l tia phn gic ca gc SCB.
3. Xt (CMB Ta c BA(CM; CD ( BM; ME ( BC nh vy BA, EM, CD l ba ng cao ca tam gic CMB nn BA, EM, CD ng quy.
4. Theo trn Ta c => (D1= (D2 => DM l tia phn gic ca gc ADE.(1)
5. Ta c (MEC = 900 (ni tip chn na ng trn (O)) => (MEB = 900.
T gic AMEB c (MAB = 900 ; (MEB = 900 => (MAB + (MEB = 1800 m y l hai gc i nn t gic AMEB ni tip mt ng trn => (A2 = (B2 .
T gic ABCD l t gic ni tip => (A1= (B2( ni tip cng chn cung CD)
=> (A1= (A2 => AM l tia phn gic ca gc DAE (2)
T (1) v (2) Ta c M l tm ng trn ni tip tam gic ADE
TH2 (Hnh b) Cu 2 : (ABC = (CME (cng ph (ACB); (ABC = (CDS (cng b (ADC) => (CME = (CDS
=> => (SCM = (ECM => CA l tia phn gic ca gc SCB.
Bi 16 Cho tam gic ABC vung A.v mt im D nm gia A v B. ng trn ng knh BD ct BC ti E. Cc ng thng CD, AE ln lt ct ng trn ti F, G.
Chng minh :
1. Tam gic ABC ng dng vi tam gic EBD.
2. T gic ADEC v AFBC ni tip .
3. AC // FG.
4. Cc ng thng AC, DE, FB ng quy.
Li gii:
1. Xt hai tam gic ABC v EDB Ta c (BAC = 900 ( v tam gic ABC vung ti A); (DEB = 900 ( gc ni tip chn na ng trn )
=> (DEB = (BAC = 900 ; li c (ABC l gc chung => (DEB ( ( CAB .
2. Theo trn (DEB = 900 => (DEC = 900 (v hai gc k b); (BAC = 900 ( v (ABC vung ti A) hay (DAC = 900 => (DEC + (DAC = 1800 m y l hai gc i nn ADEC l t gic ni tip .
* (BAC = 900 ( v tam gic ABC vung ti A); (DFB = 900 ( gc ni tip chn na ng trn ) hay (BFC = 900 nh vy F v A cng nhn BC di mt gc bng 900 nn A v F cng nm trn ng trn ng knh BC => AFBC l t gic ni tip.
3. Theo trn ADEC l t gic ni tip => (E1 = (C1 li c (E1 = (F1 => (F1 = (C1 m y l hai gc so le trong nn suy ra AC // FG.
4. (HD) D thy CA, DE, BF l ba ng cao ca tam gic DBC nn CA, DE, BF ng quy ti S.
Bi 17. Cho tam gic u ABC c ng cao l AH. Trn cnh BC ly im M bt k ( M khng trng B. C, H ) ; t M k MP, MQ vung gc vi cc cnh AB. AC.
1. Chng minh APMQ l t gic ni tip v hy xc nh tm O ca ng trn ngoi tip t gic .
2. Chng minh rng MP + MQ = AH.
3. Chng minh OH ( PQ.
Li gii:
1. Ta c MP ( AB (gt) => (APM = 900; MQ ( AC (gt)
=> (AQM = 900 nh vy P v Q cng nhn BC di mt gc bng 900 nn P v Q cng nm trn ng trn ng knh AM => APMQ l t gic ni tip.
* V AM l ng knh ca ng trn ngoi tip t gic APMQ tm O ca ng trn ngoi tip t gic APMQ l trung im ca AM.
2. Tam gic ABC c AH l ng cao => SABC = BC.AH.
Tam gic ABM c MP l ng cao => SABM = AB.MP
Tam gic ACM c MQ l ng cao => SACM = AC.MQ
Ta c SABM + SACM = SABC => AB.MP + AC.MQ = BC.AH => AB.MP + AC.MQ = BC.AH
M AB = BC = CA (v tam gic ABC u) => MP + MQ = AH.
3. Tam gic ABC c AH l ng cao nn cng l ng phn gic => (HAP = (HAQ => ( tnh cht gc ni tip ) => (HOP = (HOQ (t/c gc tm) => OH l tia phn gic gc POQ. M tam gic POQ cn ti O ( v OP v OQ cng l bn knh) nn suy ra OH cng l ng cao => OH ( PQ
Bi 18 Cho ng trn (O) ng knh AB. Trn on thng OB ly im H bt k ( H khng trng O, B) ; trn ng thng vung gc vi OB ti H, ly mt im M ngoi ng trn ; MA v MB th t ct ng trn (O) ti C v D. Gi I l giao im ca AD v BC.
1. Chng minh MCID l t gic ni tip .
2. Chng minh cc ng thng AD, BC, MH ng quy ti I.
3. Gi K l tm ng trn ngoi tip t gic MCID, Chng minh KCOH l t gic ni tip .
Li gii:
1. Ta c : (ACB = 900 ( ni tip chn nc ng trn )
=> (MCI = 900 (v l hai gc k b).
(ADB = 900 ( ni tip chn nc ng trn )
=> (MDI = 900 (v l hai gc k b).
=> (MCI + (MDI = 1800 m y l hai gc i ca t gic MCID nn MCID l t gic ni tip.
2. Theo trn Ta c BC ( MA; AD ( MB nn BC v AD l hai ng cao ca tam gic MAB m BC v AD ct nhau ti I nn I l trc tm ca tam gic MAB. Theo gi thit th MH ( AB nn MH cng l ng cao ca tam gic MAB => AD, BC, MH ng quy ti I.
3. (OAC cn ti O ( v OA v OC l bn knh) => (A1 = (C4
(KCM cn ti K ( v KC v KM l bn knh) => (M1 = (C1 .
M (A1 + (M1 = 900 ( do tam gic AHM vung ti H) => (C1 + (C4 = 900 => (C3 + (C2 = 900 ( v gc ACM l gc bt) hay (OCK = 900 .
Xt t gic KCOH Ta c (OHK = 900; (OCK = 900 => (OHK + (OCK = 1800 m (OHK v (OCK l hai gc i nn KCOH l t gic ni tip.
Bi 19. Cho ng trn (O) ng knh AC. Trn bn knh OC ly im B tu (B khc O, C ). Gi M l trung im ca on AB. Qua M k dy cung DE vung gc vi AB. Ni CD, K BI vung gc vi CD.
1. Chng minh t gic BMDI ni tip .
2. Chng minh t gic ADBE l hnh thoi.
3. Chng minh BI // AD.
4. Chng minh I, B, E thng hng.
5. Chng minh MI l tip tuyn ca (O).
Li gii:
1. (BIC = 900 ( ni tip chn na ng trn ) => (BID = 900 (v l hai gc k b); DE ( AB ti M => (BMD = 900
=> (BID + (BMD = 1800 m y l hai gc i ca t gic MBID nn MBID l t gic ni tip.
2. Theo gi thit M l trung im ca AB; DE ( AB ti M nn M cng l trung im ca DE (quan h ng knh v dy cung)
=> T gic ADBE l hnh thoi v c hai ng cho vung gc vi nhau ti trung im ca mi ng .
3. (ADC = 900 ( ni tip chn na ng trn ) => AD ( DC; theo trn BI ( DC => BI // AD. (1)
4. Theo gi thit ADBE l hnh thoi => EB // AD (2).
T (1) v (2) => I, B, E thng hng (v qua B ch c mt ng thng song song vi AD m thi.)
5. I, B, E thng hng nn tam gic IDE vung ti I => IM l trung tuyn ( v M l trung im ca DE) =>MI = ME => (MIE cn ti M => (I1 = (E1 ; (OIC cn ti O ( v OC v OI cng l bn knh ) => (I3 = (C1 m (C1 = (E1 ( Cng ph vi gc EDC ) => (I1 = (I3 => (I1 + (I2 = (I3 + (I2 . M (I3 + (I2 = (BIC = 900 => (I1 + (I2 = 900 = (MIO hay MI ( OI ti I => MI l tip tuyn ca (O).
Bi 20. Cho ng trn (O; R) v (O; R) c R > R tip xc ngoi nhau ti C. Gi AC v BC l hai ng knh i qua im C ca (O) v (O). DE l dy cung ca (O) vung gc vi AB ti trung im M ca AB. Gi giao im th hai ca DC vi (O) l F, BD ct (O) ti G. Chng minh rng:
1. T gic MDGC ni tip .
2. Bn im M, D, B, F cng nm trn mt ng trn
3. T gic ADBE l hnh thoi.
4. B, E, F thng hng
5. DF, EG, AB ng quy.
6. MF = 1/2 DE.
7. MF l tip tuyn ca (O).
Li gii:
1. (BGC = 900 ( ni tip chn na ng trn )
=> (CGD = 900 (v l hai gc k b)
Theo gi thit DE ( AB ti M => (CMD = 900
=> (CGD + (CMD = 1800 m y l hai gc i ca t gic MCGD nn MCGD l t gic ni tip
2. (BFC = 900 ( ni tip chn na ng trn ) => (BFD = 900; (BMD = 900 (v DE ( AB ti M) nh vy F v M cng nhn BD di mt gc bng 900 nn F v M cng nm trn ng trn ng knh BD => M, D, B, F cng nm trn mt ng trn .
3. Theo gi thit M l trung im ca AB; DE ( AB ti M nn M cng l trung im ca DE (quan h ng knh v dy cung)
=> T gic ADBE l hnh thoi v c hai ng cho vung gc vi nhau ti trung im ca mi ng .
4. (ADC = 900 ( ni tip chn na ng trn ) => AD ( DF ; theo trn t gic ADBE l hnh thoi
=> BE // AD m AD ( DF nn suy ra BE ( DF .
Theo trn (BFC = 900 ( ni tip chn na ng trn ) => BF ( DF m qua B ch c mt ng thng vung gc vi DF do o B, E, F thng hng.
5. Theo trn DF ( BE; BM ( DE m DF v BM ct nhau ti C nn C l trc tm ca tam gic BDE
=> EC cng l ng cao => EC(BD; theo trn CG(BD => E,C,G thng hng. Vy DF, EG, AB ng quy
6. Theo trn DF ( BE => (DEF vung ti F c FM l trung tuyn (v M l trung im ca DE) suy ra
MF = 1/2 DE ( v trong tam gic vung trung tuyn thuc cnh huyn bng na cnh huyn).
7. (HD) theo trn MF = 1/2 DE => MD = MF => (MDF cn ti M => (D1 = (F1
(OBF cn ti O ( v OB v OF cng l bn knh ) => (F3 = (B1 m (B1 = (D1 (Cng ph vi (DEB ) => (F1 = (F3 => (F1 + (F2 = (F3 + (F2 . M (F3 + (F2 = (BFC = 900 => (F1 + (F2 = 900 = (MFO hay MF ( OF ti F => MF l tip tuyn ca (O).
Bi 21. Cho ng trn (O) ng knh AB. Gi I l trung im ca OA . V ng tron tm I i qua A, trn (I) ly P bt k, AP ct (O) ti Q.
1. Chng minh rng cc ng trn (I) v (O) tip xc nhau ti A.
2. Chng minh IP // OQ.
3. Chng minh rng AP = PQ.
4. Xc nh v tr ca P tam gic AQB c din tch ln nht.
Li gii:
1. Ta c OI = OA IA m OA v IA ln lt l cc bn knh ca / trn (O) v ng trn (I) . Vy / trn (O) v ng trn (I) tip xc nhau ti A .
2. (OAQ cn ti O ( v OA v OQ cng l bn knh ) => (A1 = (Q1
(IAP cn ti I ( v IA v IP cng l bn knh ) => (A1 = (P1
=> (P1 = (Q1 m y l hai gc ng v nn suy ra IP // OQ.
3. (APO = 900 (ni tip chn na ng trn ) => OP ( AQ => OP l ng cao ca (OAQ m (OAQ cn ti O nn OP l ng trung tuyn => AP = PQ.
4. (HD) K QH ( AB ta c SAQB = AB.QH. m AB l ng knh khng i nn SAQB ln nht khi QH ln nht. QH ln nht khi Q trng vi trung im ca cung AB. Q trng vi trung im ca cung AB th P phi l trung im ca cung AO.
Tht vy P l trung im ca cung AO => PI ( AO m theo trn PI // QO => QO ( AB ti O => Q l trung im ca cung AB v khi H trung vi O; OQ ln nht nn QH ln nht.
Bi 22. Cho hnh vung ABCD, im E thuc cnh BC. Qua B k ng thng vung gc vi DE, ng thng ny ct cc ng thng DE v DC theo th t H v K.
1. Chng minh BHCD l t gic ni tip .
2. Tnh gc CHK.
3. Chng minh KC. KD = KH.KB
4. Khi E di chuyn trn cnh BC th H di chuyn trn ng no?
Li gii:
1. Theo gi thit ABCD l hnh vung nn (BCD = 900; BH ( DE ti H nn (BHD = 900 => nh vy H v C cng nhn BD di mt gc bng 900 nn H v C cng nm trn ng trn ng knh BD => BHCD l t gic ni tip.
2. BHCD l t gic ni tip => (BDC + (BHC = 1800. (1)
(BHK l gc bt nn (KHC + (BHC = 1800 (2).
T (1) v (2) => (CHK = (BDC m (BDC = 450 (v ABCD l hnh vung) => (CHK = 450 .
3. Xt (KHC v (KDB ta c (CHK = (BDC = 450 ; (K l gc chung
=> (KHC ( (KDB => => KC. KD = KH.KB.
4. (HD) Ta lun c (BHD = 900 v BD c nh nn khi E chuyn ng trn cnh BC c nh th H chuyn ng trn cung BC (E ( B th H ( B; E ( C th H ( C).
Bi 23. Cho tam gic ABC vung A. Dng min ngoi tam gic ABC cc hnh vung ABHK, ACDE.
1. Chng minh ba im H, A, D thng hng.
2. ng thng HD ct ng trn ngoi tip tam gic ABC ti F, chng minh FBC l tam gic vung cn.
3. Cho bit (ABC > 450 ; gi M l giao im ca BF v ED, Chng minh 5 im b, k, e, m, c cng nm trn mt ng trn.
4. Chng minh MC l tip tuyn ca ng trn ngoi tip tam gic ABC.
Li gii:
1. Theo gi thit ABHK l hnh vung => (BAH = 450
T gic AEDC l hnh vung => (CAD = 450; tam gic ABC vung A => (BAC = 900
=> (BAH + (BAC + (CAD = 450 + 900 + 450 = 1800 => ba im H, A, D thng hng.
2. Ta c (BFC = 900 (ni tip chn na ng trn ) nn tam gic BFC vung ti F. (1).
(FBC = (FAC ( ni tip cng chn cung FC) m theo trn (CAD = 450 hay (FAC = 450 (2).
T (1) v (2) suy ra (FBC l tam gic vung cn ti F.
3. Theo trn (BFC = 900 => (CFM = 900 ( v l hai gc k b); (CDM = 900 (t/c hnh vung).
=> (CFM + (CDM = 1800 m y l hai gc i nn t gic CDMF ni tip mt ng trn suy ra (CDF = (CMF , m (CDF = 450 (v AEDC l hnh vung) => (CMF = 450 hay (CMB = 450.
Ta cng c (CEB = 450 (v AEDC l hnh vung); (BKC = 450 (v ABHK l hnh vung).
Nh vy K, E, M cng nhn BC di mt gc bng 450 nn cng nm trn cung cha gc 450 dng trn BC => 5 im b, k, e, m, c cng nm trn mt ng trn.
4. (CBM c (B = 450 ; (M = 450 => (BCM =450 hay MC ( BC ti C => MC l tip tuyn ca ng trn ngoi tip tam gic ABC.
Bi 24. Cho tam gic nhn ABC c (B = 450 . V ng trn ng knh AC c tm O, ng trn ny ct BA v BC ti D v E.
1. Chng minh AE = EB.
2. Gi H l giao im ca CD v AE, Chng minh rng ng trung trc ca on HE i qua trung im I ca BH.
3.Chng minh OD l tip tuyn ca ng trn ngoi tip BDE.
Li gii:
1. (AEC = 900 (ni tip chn na ng trn )
=> (AEB = 900 ( v l hai gc k b); Theo gi thit (ABE = 450
=> (AEB l tam gic vung cn ti E => EA = EB.
2. Gi K l trung im ca HE (1) ; I l trung im ca HB => IK l ng trung bnh ca tam gic HBE => IK // BE m (AEC = 900 nn BE ( HE ti E => IK ( HE ti K (2).
T (1) v (2) => IK l trung trc ca HE . Vy trung trc ca on HE i qua trung im I ca BH.
3. theo trn I thuc trung trc ca HE => IE = IH m I l trung im ca BH => IE = IB.
( ADC = 900 (ni tip chn na ng trn ) => (BDH = 900 (k b (ADC) => tam gic BDH vung ti D c DI l trung tuyn (do I l trung im ca BH) => ID = 1/2 BH hay ID = IB => IE = IB = ID => I l tm ng trn ngoi tip tam gic BDE bn knh ID.
Ta c (ODC cn ti O (v OD v OC l bn knh ) => (D1 = (C1. (3)
(IBD cn ti I (v ID v IB l bn knh ) => (D2 = (B1 . (4)
Theo trn ta c CD v AE l hai ng cao ca tam gic ABC => H l trc tm ca tam gic ABC => BH cng l ng cao ca tam gic ABC => BH ( AC ti F => (AEB c (AFB = 900 .
Theo trn (ADC c (ADC = 900 => (B1 = (C1 ( cng ph (BAC) (5).
T (3), (4), (5) =>(D1 = (D2 m (D2 +(IDH =(BDC = 900=> (D1 +(IDH = 900 = (IDO => OD ( ID ti D => OD l tip tuyn ca ng trn ngoi tip tam gic BDE.
Bi 25. Cho ng trn (O), BC l dy bt k (BC< 2R). K cc tip tuyn vi ng trn (O) ti B v C chng ct nhau ti A. Trn cung nh BC ly mt im M ri k cc ng vung gc MI, MH, MK xung cc cnh tng ng BC, AC, AB. Gi giao im ca BM, IK l P; giao im ca CM, IH l Q.
1. Chng minh tam gic ABC cn. 2. Cc t gic BIMK, CIMH ni tip .
3. Chng minh MI2 = MH.MK. 4. Chng minh PQ ( MI.
Li gii:
1. Theo tnh cht hai tip tuyn ct nhau ta c AB = AC => (ABC cn ti A.
2. Theo gi thit MI ( BC => (MIB = 900; MK ( AB => (MKB = 900.
=> (MIB + (MKB = 1800 m y l hai gc i => t gic BIMK ni tip
* ( Chng minh t gic CIMH ni tip tng t t gic BIMK )
3. Theo trn t gic BIMK ni tip => (KMI + (KBI = 1800; t gic CHMI ni tip => (HMI + (HCI = 1800. m (KBI = (HCI ( v tam gic ABC cn ti A) => (KMI = (HMI (1).
Theo trn t gic BIMK ni tip => (B1 = (I1 ( ni tip cng chn cung KM); t gic CHMI ni tip => (H1 = (C1 ( ni tip cng chn cung IM). M (B1 = (C1 ( = 1/2 s ) => (I1 = (H1 (2).
T (1) v (2) => (MKI (MIH => => MI2 = MH.MK
4. Theo trn ta c (I1 = (C1; cng chng minh tng t ta c (I2 = (B2 m (C1 + (B2 + (BMC = 1800 => (I1 + (I2 + (BMC = 1800 hay (PIQ + (PMQ = 1800 m y l hai gc i => t gic PMQI ni tip => (Q1 = (I1 m (I1 = (C1 => (Q1 = (C1 => PQ // BC ( v c hai gc ng v bng nhau) . Theo gi thit MI (BC nn suy ra IM ( PQ.
Bi 26. Cho ng trn (O), ng knh AB = 2R. V dy cung CD ( AB H. Gi M l im chnh gia ca cung CB, I l giao im ca CB v OM. K l giao im ca AM v CB. Chng minh :
1. 2. AM l tia phn gic ca (CMD. 3. T gic OHCI ni tip
4. Chng minh ng vung gc k t M n AC cng l tip tuyn ca ng trn ti M.
Li gii: 1. Theo gi thit M l trung im ca =>
=> (CAM = (BAM (hai gc ni tip chn hai cung bng nhau) => AK l tia phn gic ca gc CAB => ( t/c tia phn gic ca tam gic )
2. (HD) Theo gi thit CD ( AB => A l trung im ca => (CMA = (DMA => MA l tia phn gic ca gc CMD.
3. (HD) Theo gi thit M l trung im ca => OM ( BC ti I => (OIC = 900 ; CD ( AB ti H => (OHC = 900 => (OIC + (OHC = 1800 m y l hai gc i => t gic OHCI ni tip
4. K MJ ( AC ta c MJ // BC ( v cng vung gc vi AC). Theo trn OM ( BC => OM ( MJ ti J suy ra MJ l tip tuyn ca ng trn ti M.
Bi 27 Cho ng trn (O) v mt im A ngoi ng trn . Cc tip tuyn vi ng trn (O) k t A tip xc vi ng trn (O) ti B v C. Gi M l im tu trn ng trn ( M khc B, C), t M k MH ( BC, MK ( CA, MI ( AB. Chng minh :
1. T gic ABOC ni tip. 2. (BAO = ( BCO. 3. (MIH ( (MHK. 4. MI.MK = MH2.
Li gii:
1. (HS t gii)
2. T gic ABOC ni tip => (BAO = ( BCO (ni tip cng chn cung BO).
3. Theo gi thit MH ( BC => (MHC = 900; MK ( CA => (MKC = 900=> (MHC + (MKC = 1800 m y l hai gc i => t gic MHCK ni tip => (HCM = (HKM (ni tip cng chn cung HM).
Chng minh tng t ta c t gic MHBI ni tip => (MHI = (MBI (ni tip cng chn cung IM).
M (HCM = (MBI ( = 1/2 s ) => (HKM = (MHI (1). Chng minh tng t ta cng c
(KHM = (HIM (2). T (1) v (2) => ( HIM ( ( KHM.
4. Theo trn ( HIM ( ( KHM => => MI.MK = MH2Bi 28 Cho tam gic ABC ni tip (O). Gi H l trc tm ca tam gic ABC; E l im i xng ca H qua BC; F l im i xng ca H qua trung im I ca BC.
1. Chng minh t gic BHCF l hnh bnh hnh.
2. E, F nm trn ng trn (O).
3. Chng minh t gic BCFE l hnh thang cn.
4. Gi G l giao im ca AI v OH. Chng minh G l trng tm ca tam gic ABC.
Li gii:
1. Theo gi thit F l im i xng ca H qua trung im I ca BC => I l trung im BC v HE => BHCF l hnh bnh hnh v c hai ng cho ct nhau ti trung im ca mi ng .
2. (HD) T gic ABHC ni tip => (BAC + (BHC = 1800 m
(BHC = (BHC (i nh) => (BAC + (BHC = 1800. Theo trn BHCF l hnh bnh hnh => (BHC = (BFC => (BFC + (BAC = 1800
=> T gic ABFC ni tip => F thuc (O).
* H v E i xng nhau qua BC => (BHC = (BEC (c.c.c) => (BHC = (BEC => ( BEC + (BAC = 1800 => ABEC ni tip => E thuc (O) .
3. Ta c H v E i xng nhau qua BC => BC ( HE (1) v IH = IE m I l trung im ca ca HF
=> EI = 1/2 HE => tam gic HEF vung ti E hay FE ( HE (2)
T (1) v (2) => EF // BC => BEFC l hnh thang. (3)
Theo trn E ((O) => (CBE = (CAE ( ni tip cng chn cung CE) (4).
Theo trn F ((O) v (FEA =900 => AF l ng knh ca (O) => (ACF = 900 => (BCF = (CAE
( v cng ph (ACB) (5).
T (4) v (5) => (BCF = (CBE (6).
T (3) v (6) => t gic BEFC l hnh thang cn.
4. Theo trn AF l ng knh ca (O) => O l trung im ca AF; BHCF l hnh bnh hnh => I l trung im ca HF => OI l ng trung bnh ca tam gic AHF => OI = 1/ 2 AH.
Theo gi thit I l trung im ca BC => OI ( BC ( Quan h ng knh v dy cung) => (OIG = (HAG (v so le trong); li c (OGI = ( HGA (i nh) => (OGI ( (HGA => m OI = AH
=> m AI l trung tuyn ca ABC (do I l trung im ca BC) => G l trng tm ca ABC.
Bi 29 BC l mt dy cung ca ng trn (O; R) (BC 2R). im A di ng trn cung ln BC sao cho O lun nm trong tam gic ABC. Cc ng cao AD, BE, CF ca tam gic ABC ng quy ti H.
1. Chng minh tam gic AEF ng dng vi tam gic ABC.
2. Gi A l trung im ca BC, Chng minh AH = 2OA.
3. Gi A1 l trung im ca EF, Chng minh R.AA1 = AA. OA.
4. Chng minh R(EF + FD + DE) = 2SABC suy ra v tr ca A
tng EF + FD + DE t gi tr ln nht.
Li gii: (HD)1. T gic BFEC ni tip => (AEF = (ACB (cng b (BFE)
(AEF = (ABC (cng b (CEF) => ( AEF ( ( ABC.
2. V ng knh AK => KB // CH ( cng vung gc AB); KC // BH (cng vung gc AC) => BHKC l hnh bnh hnh => A l trung im ca HK => OK l ng trung bnh ca (AHK => AH = 2OA
3. p dng tnh cht : nu hai tam gic ng dng th t s gia hia trung tuyn, t s gia hai bn knh cc ng trn ngoi tip bng t s ng dng. ta c :
( AEF ( ( ABC => (1) trong R l bn knh ng trn ngoi tip (ABC; R l bn knh ng trn ngoi tip ( AEF; AA l trung tuyn ca (ABC; AA1 l trung tuyn ca (AEF.
T gic AEHF ni tip ng trn ng knh AH nn y cng l ng trn ngoi tip (AEF
T (1) => R.AA1 = AA. R = AA = AA .
Vy R . AA1 = AA . AO (2)
4. Gi B, Cln lt l trung im ca AC, AB, ta c OB(AC ; OC(AB (bn knh i qua trung im ca mt dy khng qua tm) => OA, OB, OC ln lt l cc ng cao ca cc tam gic OBC, OCA, OAB.
SABC = SOBC+ SOCA + SOAB =( OA . BC + OB . AC + OC . AB )
2SABC = OA . BC + OB . AC + OC . AB (3)
Theo (2) => OA = R . m l t s gia 2 trung tuyn ca hai tam gic ng dng AEF v ABC nn = . Tng t ta c : OB = R .; OC = R . Thay vo (3) ta c
2SABC = R () ( 2SABC = R(EF + FD + DE)
* R(EF + FD + DE) = 2SABC m R khng i nn (EF + FD + DE) t g tr ln nht khi SABC.
Ta c SABC = AD.BC do BC khng i nn SABC ln nht khi AD ln nht, m AD ln nht khi A l im chnh gia ca cung ln BC.
Bi 30 Cho tam gic ABC ni tip (O; R), tia phn gic ca gc BAC ct (O) ti M. V ng cao AH v bn knh OA.
1. Chng minh AM l phn gic ca gc OAH.
2. Gi s (B > (C. Chng minh (OAH = (B - (C.
3. Cho (BAC = 600 v (OAH = 200. Tnh:
a) (B v (C ca tam gic ABC.
b) Din tch hnh vin phn gii hn bi dy BC v cung nh BC theo R
Li gii: (HD)1. AM l phn gic ca (BAC => (BAM = (CAM => => M l trung im ca cung BC => OM ( BC; Theo gi thit AH ( BC => OM // AH => (HAM = (OMA ( so le). M (OMA = (OAM ( v tam gic OAM cn ti O do c OM = OA = R) => (HAM = OAM => AM l tia phn gic ca gc OAH.
2. V dy BD ( OA => => (ABD = (ACB.
Ta c (OAH = ( DBC ( gc c cnh tng ng vung gc cng nhn) => (OAH = (ABC - (ABD => (OAH = (ABC - (ACB hay (OAH = (B - (C.
3. a) Theo gi thit (BAC = 600 => (B + (C = 1200 ; theo trn (B (C = (OAH => (B - (C = 200 .
=>
b) Svp = SqBOC - SBOC = =
Bi 31 Cho tam gic ABC c ba gc nhn ni tip (O; R), bit (BAC = 600.
1. Tnh s o gc BOC v di BC theo R.
2. V ng knh CD ca (O; R); gi H l giao im ca ba ng cao ca tam gic ABC Chng minh BD // AH v AD // BH.
3. Tnh AH theo R.
Li gii:
1. Theo gi thit (BAC = 600 => s=1200 ( t/c gc ni tip )
=> (BOC = 1200 ( t/c gc tm) .
* Theo trn s=1200 => BC l cnh ca mt tam gic u ni tip (O; R) => BC = R.
2. CD l ng knh => (DBC = 900 hay DB ( BC; theo gi thit AH l
ng cao => AH ( BC => BD // AH. Chng minh tng t ta cng c AD // BH.
3. Theo trn (DBC = 900 => (DBC vung ti B c BC = R; CD = 2R.
=> BD2 = CD2 BC2 => BD2 = (2R)2 (R)2 = 4R2 3R2 = R2 => BD = R.
Theo trn BD // AH; AD // BH => BDAH l hnh bnh hnh => AH = BD => AH = R.
Bi 32 Cho ng trn (O), ng knh AB = 2R. Mt ct tuyn MN quay quanh trung im H ca OB.
1. Chng minh khi MN di ng , trung im I ca MN lun nm trn mt ng trn c nh.
2. T A k Ax ( MN, tia BI ct Ax ti C. Chng minh t gic CMBN l hnh bnh hnh.
3. Chng minh C l trc tm ca tam gic AMN.
4. Khi MN quay quanh H th C di ng trn ng no.
5. Cho AM. AN = 3R2 , AN = R. Tnh din tch phn hnh trn (O) nm ngoi tam gic AMN.
Li gii: (HD)
1. I l trung im ca MN => OI ( MN ti I ( quan h ng knh v dy cung) = > (OIH = 900 .
OH c mh nn khi MN di ng th I cng di ng nhng lun nhn OH c nh di mt gc 900 do I di ng trn ng trn ng knh OH. Vy khi MN di ng , trung im I ca MN lun nm trn mt ng trn c nh.
2. Theo gi thit Ax ( MN; theo trn OI ( MN ti I => OI // Ax hay OI // AC m O l trung im ca AB => I l trung im ca BC, li c I l trung im ca MN (gt) => CMBN l hnh bnh hnh ( V c hai ng cho ct nhau ti trung im ca mi ng ).
3. CMBN l hnh bnh hnh => MC // BN m BN ( AN ( v (ANB = 900 do l gc ni tip chn na ng trn ) => MC ( AN; theo trn AC ( MN => C l trc tm ca tam gic AMN.
4. Ta c H l trung im ca OB; I l trung im ca BC => IH l ng tung bnh ca (OBC => IH // OC Theo gi thit Ax ( MN hay IH ( Ax => OC ( Ax ti C => (OCA = 900 => C thuc ng trn ng knh OA c nh. Vy khi MN quay quanh H th C di ng trn ng trn ng knh OA c nh.
5. Ta c AM. AN = 3R2 , AN = R. => AM =AN = R=> (AMN cn ti A. (1)
Xt (ABN vung ti N ta c AB = 2R; AN = R => BN = R => (ABN = 600 .
(ABN = (AMN (ni tip cng chn cung AN) => (AMN = 600 (2).
T (1) v (2) => (AMN l tam gic u => S(AMN = .
=> S = S(O) - S(AMN = - =
Bi 33 Cho tam gic ABC ni tip (O; R), tia phn gic ca gc BAC ct BC ti I, ct ng trn ti M.
1. Chng minh OM ( BC.
2. Chng minh MC2 = MI.MA.
3. K ng knh MN, cc tia phn gic ca gc B v C ct ng thng AN ti P v Q. Chng minh bn im P, C , B, Q cng thuc mt ng trn .
Li gii:
1. AM l phn gic ca (BAC => (BAM = (CAM
=> => M l trung im ca cung BC => OM ( BC
2. Xt (MCI v (MAC c (MCI =(MAC (hai gc ni tip chn hai cung bng nhau); (M l gc chung
=> (MCI ( (MAC => => MC2 = MI.MA.
3. (HD) (MAN = 900 (ni tip chn na ng trn ) => (P1 = 900 (K1 m (K1 l gc ngoi ca tam gic AKB nn (K1 = (A1 + (B1 = (t/c phn gic ca mt gc ) => (P1 = 900 ().(1)
CQ l tia phn gic ca gc ACB => (C1 = = (1800 - (A - (B) = 900 (). (2).
T (1) v (2) => (P1 = (C1 hay (QPB = (QCB m P v C nm cng v mt na mt phng b BQ nn cng nm trn cung cha gc 900 () dng trn BQ.
Vy bn im P, C, B, Q cng thuc mt ng trn .
Bi 34 Cho tam gic ABC cn ( AB = AC), BC = 6 Cm, chiu cao AH = 4 Cm, ni tip ng trn (O) ng knh AA.
1. Tnh bn knh ca ng trn (O).
2. K ng knh CC, t gic CACA l hnh g? Ti sao?
3. K AK ( CC t gic AKHC l hnh g? Ti sao?
4. Tnh din tch phn hnh trn (O) nm ngoi tam gic ABC.
Li gii:
1. (HD) V (ABC cn ti A nn ng knh AA ca ng trn ngoi tip v ng cao AH xut pht t nh A trng nhau, tc l AAi qua H. => (ACA vung ti C c ng cao CH = = 3cm; AH = 4cm => CH2 = AH.AH => AH = => AA
=> AA = AH + HA = 4 + 2,5 = 6,5 9cm) => R = AA : 2 = 6,5 : 2 = 3,25 (cm) .
2. V AA v CC l hai ng knh nn ct nhau ti trung im O ca mi ng => ACAC l hnh bnh hnh. Li c (ACA = 900 (ni tip chn na ng trn ) nn suy ra t gic ACAC l hnh ch nht.
3. Theo gi thit AH ( BC; AK ( CC => K v H cng nhn AC di mt gc bng 900 nn cng nm trn ng trn ng knh AC hay t gic ACHK ni tip (1) => (C2 = (H1 (ni tip cung chn cung AK) ; (AOC cn ti O ( v OA=OC=R) => (C2 = (A2 => (A2 = (H1 => HK // AC ( v c hai gc so le trong bng nhau) => t gic ACHK l hnh thang (2).T (1) v (2) suy ra t gic ACHK l hnh thang cn.Bi 35 Cho ng trn (O), ng knh AB c nh, im I nm gia A v O sao cho AI = 2/3 AO. K dy MN vung gc vi AB ti I, gi C l im tu thuc cung ln MN sao cho C khng trng vi M, N v B. Ni AC ct MN ti E.
1. Chng minh t gic IECB ni tip .
2. Chng minh tam gic AME ng dng vi tam gic ACM.
3. Chng minh AM2 = AE.AC.
4. Chng minh AE. AC - AI.IB = AI2 .
5. Hy xc nh v tr ca C sao cho khong cch t N n tm ng trn ngoi tip tam gic CME l nh nht.
Li gii:
1. Theo gi thit MN (AB ti I => (EIB = 900; ( ACB ni tip chn na ng trn nn (ACB = 900 hay (ECB = 900
=> (EIB + (ECB = 1800 m y l hai gc i ca t gic IECB nn t gic IECB l t gic ni tip .
2. Theo gi thit MN (AB => A l trung im ca cung MN => (AMN = (ACM ( hai gc ni tip chn hai cung bng nhau) hay (AME = (ACM. Li thy (CAM l gc chung ca hai tam gic AME v AMC do tam gic AME ng dng vi tam gic ACM.
3. Theo trn (AME ( ( ACM => => AM2 = AE.AC
4. (AMB = 900 (ni tip chn na ng trn ); MN (AB ti I => (AMB vung ti M c MI l ng cao => MI2 = AI.BI ( h thc gia cnh v ng cao trong tam gic vung) .
p dng nh l Pitago trong tam gic AIM vung ti I ta c AI2 = AM2 MI2 => AI2 = AE.AC - AI.BI .
5. Theo trn (AMN = (ACM => AM l tip tuyn ca ng trn ngoi tip ( ECM; Ni MB ta c (AMB = 900 , do tm O1 ca ng trn ngoi tip ( ECM phi nm trn BM. Ta thy NO1 nh nht khi NO1 l khong cch t N n BM => NO1 (BM.
Gi O1 l chn ng vung gc k t N n BM ta c O1 l tm ng trn ngoi tip ( ECM c bn knh l O1M. Do khong cch t N n tm ng trn ngoi tip tam gic CME l nh nht th C phi l giao im ca ng trn tm O1 bn knh O1M vi ng trn (O) trong O1 l hnh chiu vung gc ca N trn BM.
Bi 36 Cho tam gic nhn ABC , K cc ng cao AD, BE, CF. Gi H l trc tm ca tam gic. Gi M, N, P, Q ln lt l cc hnh chiu vung gc ca D ln AB, BE, CF, AC. Chng minh :
1. Cc t gic DMFP, DNEQ l hnh ch nht.
2. Cc t gic BMND; DNHP; DPQC ni tip .
3. Hai tam gic HNP v HCB ng dng.
4. Bn im M, N, P, Q thng hng.
Li gii: 1. & 2. (HS t lm)
3. Theo chng minh trn DNHP ni tip => (N2 = (D4 (ni tip cng chn cung HP); (HDC c (HDC = 900 (do AH l ng cao) ( HDP c (HPD = 900 (do DP ( HC) => (C1= (D4 (cng ph vi (DHC)=>(C1=(N2 (1) chng minh tng t ta c (B1=(P1 (2)
T (1) v (2) => (HNP ( ( HCB
4. Theo chng minh trn DNMB ni tip => (N1 = (D1 (ni tip cng chn cung BM).(3)
DM // CF ( cng vung gc vi AB) => (C1= (D1 ( hai gc ng v).(4)
Theo chng minh trn (C1 = (N2 (5)
T (3), (4), (5) => (N1 = (N2 m B, N, H thng hng => M, N, P thng hng. (6)
Chng minh tng t ta cung c N, P, Q thng hng . (7)
T (6), (7) => Bn im M, N, P, Q thng hng
Bi 37 Cho hai ng trn (O) v (O) tip xc ngoi ti A. K tip tuyn chung ngoi BC, B ( (O), C ( (O) . Tip tuyn chung trong ti A ct tip tuyn chung ngoi BC I.
1. Chng minh cc t gic OBIA, AICO ni tip .
2. Chng minh ( BAC = 900 .
3. Tnh s o gc OIO.
4. Tnh di BC bit OA = 9cm, OA = 4cm.
Li gii:
1. ( HS t lm)
2. Theo tnh cht hai tip tuyn ct nhau ta c IB = IA , IA = IC
(ABC c AI = BC =>(ABC vung ti A hay (BAC =900
3. Theo tnh cht hai tip tuyn ct nhau ta c IO l tia phn gic (BIA; I0l tia phn gic (CIA . m hai gc BIA v CIA l hai gc k b => I0 ( I0=> (0I0= 9004. Theo trn ta c (0I0 vung ti I c IA l ng cao (do AI l tip tuyn chung nn AI (OO)
=> IA2 = A0.A0 = 9. 4 = 36 => IA = 6 => BC = 2. IA = 2. 6 = 12(cm)
Bi 38 Cho hai ng trn (O) ; (O) tip xc ngoi ti A, BC l tip tuyn chung ngoi, B((O), C( (O). Tip tuyn chung trong ti A c tip tuyn chung ngoi BC M. Gi E l giao im ca OM v AB, F l giao im ca OM v AC. Chng minh :
1. Chng minh cc t gic OBMA, AMCO ni tip .
2. T gic AEMF l hnh ch nht.
3. ME.MO = MF.MO.
4. OO l tip tuyn ca ng trn ng knh BC.
5. BC l tip tuyn ca ng trn ng knh OO.
Li gii:
1. ( HS t lm)
2. Theo tnh cht hai tip tuyn ct nhau ta c MA = MB
=>(MAB cn ti M. Li c ME l tia phn gic => ME ( AB (1).
Chng minh tng t ta cng c MF ( AC (2).
Theo tnh cht hai tip tuyn ct nhau ta cng c MO v MO l tia phn gic ca hai gc k b BMA v CMA => MO ( MO (3).
T (1), (2) v (3) suy ra t gic MEAF l hnh ch nht
3. Theo gi thit AM l tip tuyn chung ca hai ng trn => MA ( OO=> (MAO vung ti A c AE ( MO ( theo trn ME ( AB) ( MA2 = ME. MO (4)
Tng t ta c tam gic vung MAO c AF(MO( MA2 = MF.MO (5)
T (4) v (5) ( ME.MO = MF. MO
4. ng trn ng knh BC c tm l M v theo trn MB = MC = MA, ng trn ny i qua Av co MA l bn knh . Theo trn OO ( MA ti A ( OO l tip tuyn ti A ca ng trn ng knh BC.
5. (HD) Gi I l trung im ca OO ta c IM l ng trung bnh ca hnh thang BCOO
=> IM(BC ti M (*) .Ta cung chng minh c (OMO vung nn M thuc ng trn ng knh OO => IM l bn knh ng trn ng knh OO (**)
T (*) v (**) => BC l tip tuyn ca ng trn ng knh OO
Bi 39 Cho ng trn (O) ng knh BC, dy AD vung gc vi BC ti H. Gi E, F theo th t l chn cc ng vung gc k t H n AB, AC. Gi ( I ), (K) theo th t l cc ng trn ngoi tip tam gic HBE, HCF.
1. Hy xc nh v tr tng i ca cc ng trn (I) v (O); (K) v (O); (I) v (K).
2. T gic AEHF l hnh g? V sao?.
3. Chng minh AE. AB = AF. AC.
4. Chng minh EF l tip tuyn chung ca hai ng trn (I) v (K).
5. Xc nh v tr ca H EF c di ln nht.Li gii:
1.(HD) OI = OB IB => (I) tip xc (O)
OK = OC KC => (K) tip xc (O)
IK = IH + KH => (I) tip xc (K)
2. Ta c : (BEH = 900 ( ni tip chn na ng trn )
=> (AEH = 900 (v l hai gc k b). (1)
(CFH = 900 ( ni tip chn na ng trn )
=> (AFH = 900 (v l hai gc k b).(2)
(BAC = 900 ( ni tip chn na ng trn hay (EAF = 900 (3)
T (1), (2), (3) => t gic AFHE l hnh ch nht ( v c ba gc vung).
3. Theo gi thit AD(BC ti H nn (AHB vung ti H c HE ( AB ( (BEH = 900 ) => AH2 = AE.AB (*)
Tam gic AHC vung ti H c HF ( AC (theo trn (CFH = 900 ) => AH2 = AF.AC (**)
T (*) v (**) => AE. AB = AF. AC ( = AH2)
4. Theo chng minh trn t gic AFHE l hnh ch nht, gi G l giao im ca hai ng cho AH v EF ta c GF = GH (tnh cht ng cho hnh ch nht) => (GFH cn ti G => (F1 = (H1 .
(KFH cn ti K (v c KF v KH cng l bn knh) => (F2 = (H2.
=> (F1 + (F2 = (H1 + (H2 m (H1 + (H2 = (AHC = 900 => (F1 + (F2 = (KFE = 900 => KF (EF .
Chng minh tng t ta cng c IE ( EF. Vy EF l tip tuyn chung ca hai ng trn (I) v (K).
e) Theo chng minh trn t gic AFHE l hnh ch nht => EF = AH ( OA (OA l bn knh ng trn (O) c di khng i) nn EF = OA AH = OA H trng vi O.
Vy khi H trng vi O tc l dy AD vung gc vi BC ti O th EF c di ln nht.
Bi 40 Cho na ng trn ng knh AB = 2R. T A v B k hai tip tuyn Ax, By. Trn Ax ly im M ri k tip tuyn MP ct By ti N.
1. Chng minh tam gic MON ng dng vi tam gic APB.
2. Chng minh AM. BN = R2.
3. Tnh t s khi AM = .
4. Tnh th tch ca hnh do na hnh trn APB quay quanh cnh AB sinh ra.
Li gii:
1. Theo tnh cht hai tip tuyn ct nhau ta c: OM l tia phn gic ca gc AOP ; ON l tia phn gic ca gc BOP, m
(AOP v (BOP l hai gc k b => (MON = 900. hay tam gic MON vung ti O.
(APB = 900((ni tip chn na ng trn) hay tam gic APB vung ti P.
Theo tnh cht tip tuyn ta c NB ( OB => (OBN = 900; NP ( OP => (OPN = 900
=>(OBN+(OPN =1800 m (OBN v (OPN l hai gc i => t gic OBNP ni tip =>(OBP = (PNO
Xt hai tam gic vung APB v MON c (APB = ( MON = 900; (OBP = (PNO => (APB ( ( MON
2. Theo trn (MON vung ti O c OP ( MN ( OP l tip tuyn ).
p dng h thc gia cnh v ng cao trong tam gic vung ta c OP2 = PM. PM
M OP = R; AM = PM; BN = NP (tnh cht hai tip tuyn ct nhau ) => AM. BN = R2
3. Theo trn OP2 = PM. PM hay PM. PM = R2 m PM = AM = => PM = => PN = R2: = 2R
=> MN = MP + NP = + 2R = Theo trn (APB ( ( MON => = : 2R = = k (k l t s ng dng).V t s din tich gia hai tam gic ng dng bng bnh phng t s ng dng nn ta c:
= k2 => =
Bi 41 Cho tam gic u ABC , O l trung in ca BC. Trn cc cnh AB, AC ln lt ly cc im D, E sao cho ( DOE = 600 .
1)Chng minh tch BD. CE khng i.
2)Chng minh hai tam gic BOD; OED ng dng. T suy ra tia DO l tia phn gic ca gc BDE
3)V ng trn tm O tip xc vi AB. Chng minh rng ng trn ny lun tip xc vi DE.
Li gii:
1. Tam gic ABC u => (ABC = ( ACB = 600 (1);
( DOE = 600 (gt) =>(DOB + (EOC = 1200 (2).
(DBO c (DOB = 600 => (BDO + (BOD = 1200 (3) .
T (2) v (3) => (BDO = ( COE (4)
T (2) v (4) => (BOD ( (CEO => => BD.CE = BO.CO m OB = OC = R khng i => BD.CE = R2 khng i.
2. Theo trn (BOD ( (CEO => m CO = BO => (5)
Li c (DBO = (DOE = 600 (6).
T (5) v (6) => (DBO ( (DOE => (BDO = (ODE => DO l tia phn gic ( BDE.
3. Theo trn DO l tia phn gic ( BDE => O cch u DB v DE => O l tm ng trn tip xc vi DB v DE. Vy ng trn tm O tip xc vi AB lun tip xc vi DE
Bi 42 Cho tam gic ABC cn ti A. c cnh y nh hn cnh bn, ni tip ng trn (O). Tip tuyn ti B v C ln lt ct AC, AB D v E. Chng minh :
1. BD2 = AD.CD.
2. T gic BCDE ni tip .
3. BC song song vi DE.
Li gii:
1. Xt hai tam gic BCD v ABD ta c (CBD = (BAD ( V l gc ni tip v gc gia tip tuyn vi mt dy cng chn mt cung), li c (D chung => (BCD ( (ABD => => BD2 = AD.CD.
2. Theo gi thit tam gic ABC cn ti A => (ABC = (ACB
=> (EBC = (DCB m (CBD = (BCD (gc gia tip tuyn vi mt dy cng chn mt cung) => (EBD = (DCE => B v C nhn DE di cng
mt gc do B v C cng nm trn cung trn dng trn DE => T gic BCDE ni tip
3. T gic BCDE ni tip => (BCE = (BDE ( ni tip cng chn cung BE) m (BCE = (CBD (theo trn ) => (CBD = (BDE m y l hai gc so le trong nn suy ra BC // DE.
Bi 43 Cho ng trn (O) ng knh AB, im M thuc ng trn . V im N i xng vi A qua M,
BN ct (O) ti C. Gi E l giao im ca AC v BM.
1. Chng minh t gic MNCE ni tip .
2. Chng minh NE ( AB.
3. Gi F l im i xng vi E qua M. Chng minh FA l tip tuyn ca (O).
4. Chng minh FN l tip tuyn ca ng trn (B; BA).
Li gii: 1. (HS t lm)
2. (HD) D thy E l trc tm ca tam gic NAB => NE ( AB.
3.Theo gi thit A v N i xng nhau qua M nn M l trung im ca AN; F v E xng nhau qua M nn M l trung im ca EF => AENF l hnh bnh hnh => FA // NE m NE ( AB => FA ( AB ti A => FA l tip tuyn ca (O) ti A.
4. Theo trn t gic AENF l hnh bnh hnh => FN // AE hay FN // AC m AC ( BN => FN ( BN ti N
(BAN c BM l ng cao ng thi l ng trung tuyn ( do M l trung im ca AN) nn (BAN cn ti B => BA = BN => BN l bn knh ca ng trn (B; BA) => FN l tip tuyn ti N ca (B; BA).
Bi 44 AB v AC l hai tip tuyn ca ng trn tm O bn knh R ( B, C l tip im ). V CH vung gc AB ti H, ct (O) ti E v ct OA ti D.
1. Chng minh CO = CD.
2. Chng minh t gic OBCD l hnh thoi.
3. Gi M l trung im ca CE, Bm ct OH ti I. Chng minh I l trung im ca OH.
4. Tip tuyn ti E vi (O) ct AC ti K. Chng minh ba im O, M, K thng hng.
Li gii:
1. Theo gi thit AB v AC l hai tip tuyn ca ng trn tm O => OA l tia phn gic ca (BOC => (BOA = (COA (1)
OB ( AB ( AB l tip tuyn ); CH ( AB (gt) => OB // CH => (BOA = (CDO (2)
T (1) v (2) => (COD cn ti C => CO = CD.(3)
2. theo trn ta c CO = CD m CO = BO (= R) => CD = BO (4) li c OB // CH hay OB // CD (5)
T (4) v (5) => BOCD l hnh bnh hnh (6) . T (6) v (3) => BOCD l hnh thoi.
3. M l trung im ca CE => OM ( CE ( quan h ng knh v dy cung) => (OMH = 900. theo trn ta cng c (OBH =900; (BHM =900 => t gic OBHM l hnh ch nht => I l trung im ca OH.
4. M l trung im ca CE; KE v KC l hai tip tuyn => O, M, K thng hng.
Bi 45 Cho tam gic cn ABC ( AB = AC) ni tip ng trn (O). Gi D l trung im ca AC; tip tuyn ca ng trn (O) ti A ct tia BD ti E. Tia CE ct (O) ti F.
1. Chng minh BC // AE.
2. Chng minh ABCE l hnh bnh hnh.
3. Gi I l trung im ca CF v G l giao im ca BC v OI.
So snh (BAC v (BGO.
Li gii: 1. (HS t lm)2).Xt hai tam gic ADE v CDB ta c (EAD = (BCD (v so le trong)
AD = CD (gt); (ADE = (CDB (i nh) => (ADE = (CDB => AE = CB (1)
Theo trn AE // CB (2) .T (1) v (2) => AECB l hnh bnh hnh.
. 3) I l trung im ca CF => OI ( CF (quan h ng knh v dy cung). Theo trn AECB l hnh bnh hnh => AB // EC => OI ( AB ti K, => (BKG vung ti K. Ta cung c (BHA vung ti H
=> (BGK = (BAH ( cung ph vi (ABH) m (BAH = (BAC (do (ABC cn nn AH l phn gic) => (BAC = 2(BGO.
Bi 46: Cho ng trn (O) v mt im P ngoi ng trn. K hai tip tuyn PA, PB (A; B l tip im). T A v tia song song vi PB ct (O) ti C (CA). on PC ct ng trn ti im th hai D. Tia AD ct PB ti E.
a. Chng minh EAB ~ EBD.
b. Chng minh AE l trung tuyn ca PAB.
HD: a) EAB ~ EBD (g.g) v: chung
= (gc ni tip v gc to bi tia tip tuyn)
EB2 = EA.ED (1)
* = (s.l.t) ; = (gc ni tip v gc to bi tia tip tuyn)
= ; chung EPD ~ EAP (g.g)
EP2 = EA.ED (2)T 1 & 2 EB2 = EP2 EB = EP AE l trung tuyn PAB.
Bi 47: Cho ABC vung A. Ly trn cnh AC mt im D. Dng CE vung gc BD.
a. Chng minh ABD ~ ECD.
b. Chng minh t gic ABCE l t gic ni tip.
c. Chng minh FD vung gc BC, trong F l giao im ca BA v CE.
d. Cho = 600; BC = 2a; AD = a. Tnh AC; ng cao AH ca ABC v bn knh ng trn ngoi tip t gic ADEF.
HD: a) ABD ~ ECD (g.g)
b) t gic ABCE l t gic ni tip (Qu tch cung cha gc 900)
c) Chng minh D l trc tm CBF.
d) AC = BC.sin = 2a.sin600 = 2a . = a
AB = BC.cos= 2a.cos600 = 2a. = a AH = AB.sin = a.sin600 = a ; FKB vung ti K , c = 600
EMBED Equation.DSMT4 = 300 AD = FD.sin
EMBED Equation.DSMT4 AD = FD.sin300 a = FD.0,5 FD = a : 0,5 = 2a.
Bi 48: Cho ABC vung ( = 900; BC > BA) ni tip trong ng trn ng knh AC. K dy cung BD vung gc AC. H l giao im AC v BD. Trn HC ly im E sao cho E i xng vi A qua H. ng trn ng knh EC ct BC ti I (IC).
a. Chng minh
b. Chng minh D; E; I thng hng.
c. Chng minh HI l mt tip tuyn ca ng trn ng knh EC.
HD; a) AB // EI (cng BC)
EMBED Equation.DSMT4 (/l Ta-lt) b) chng minh ABED l hnh thoi DE // AB m EI //AB
D, E, I cng nm trn ng thng i qua E // AB D, E, I thng hng. c) = ( v EOI cn ; OI = OE = R(O))
= (/) ; BID vung ; IH l trung tuyn HID cn
EMBED Equation.DSMT4 =
M + = 900 pcm.
Bi 49: Cho ng trn (O; R) v mt ng thng (d) c nh khng ct (O; R). H OH(d) (H d). M l mt im thay i trn (d) (MH). T M k 2 tip tuyn MP v MQ (P, Q l tip im) vi (O; R). Dy cung PQ ct OH I; ct OM K.
a. Chng minh 5 im O, Q, H, M, P cng nm trn 1 ng trn.
b. Chng minh IH.IO = IQ.IP
c. Gi s = 600. Tnh t s din tch 2 tam gic: MPQv OPQ.
HD: a) 5 im O, Q, H, M, P cng nm trn 1 ng trn
(Da vo qu tch cung cha gc 900)
b) OIP ~ QIH (g.g)
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 IH.IO = IQ.IP
c) v MKQ c : MK = KQ.tg = KQ.tg600 = . v OKQ c: OK = KQ.tg = KQ.tg300 =
EMBED Equation.DSMT4 = : = 3
Bi 50: Cho na ng trn (O), ng knh AB=2R. Trn tia i ca tia AB ly im E (EA). T E, A, B k cc tip tuyn vi na ng trn. Tip tuyn k t E ct hai tip tuyn k t A v B theo th t ti C v D.
a. Gi M l tip im ca tip tuyn k t E ti na ng trn. Chng minh t gic ACMO ni tip c trong mt ng trn.
b. Chng minh EAC ~ EBD, t suy ra .
c. Gi N l giao im ca AD v BC. Chng minh MN // BD.
d. Chng minh: EA2 = EC.EM EA.AO.
e. t = . Tnh theo R v cc on AC v BD.
Chng t rng tch AC.BD ch ph thuc gi tr ca R,
khng ph thuc vo .
HD:a) ACMO ni tip (Da vo qu tch cung cha gc 900)
b) AC // BD (cng EB) EAC ~ EBD
EMBED Equation.DSMT4 (1)m AC = CM ; BD = MD (T/c hai tip tuyn ct nhau)
EMBED Equation.DSMT4 (2)
EMBED Equation.DSMT4 c) AC // BD (cmt) NAC ~ NBD
EMBED Equation.DSMT4 (3) .T 1; 2; 3
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 MN // BD
d) =; = m +++= 1800
EMBED Equation.DSMT4 + = 900 ; + = 900 ()
EMBED Equation.DSMT4 = = = . Vy: DB = = ; Li c: AC = OA.tg = R.tg AC.DB = R.tg.
AC.DB = R2 (pcm)
Bi 51: Cho ABC c 3 gc nhn. Gi H l giao im ca 3 ng cao AA1; BB1; CC1.
a. Chng minh t gic HA1BC1 ni tip c trong ng trn. Xc nh tm I ca ng trn y.
b. Chng minh A1A l phn gic ca .
c. Gi J l trung im ca AC. Chng minh IJ l trung trc ca A1C1.
d. Trn on HC ly 1 im M sao cho .
So snh din tch ca 2 tam gic: HAC v HJM.HD: a) HA1BC1 ni tip (qu tch cung cha gc 900)
Tm I l trung im BH.
b) C/m: = ; = ;
=
EMBED Equation.DSMT4 =
EMBED Equation.DSMT4 pcm.
c) IA1 = IC1= R(I) ; JA = JA1= AC/2 J l trung trc ca A1C1.
d) S HJM = HM.JK ; SHAC = HC.AC1
SHAC : S HJM = m
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 ;(JK// AC1
SHAC : S HJM = 8
Bi 52: Cho im C c nh trn mt ng thng xy. Dng na ng thng Cz vung gc vi xy v ly trn 2 im c nh A, B (A gia C v B). M l mt im di ng trn xy. ng vung gc vi AM ti A v vi BM ti B ct nhau ti P.
a. Chng minh t gic MABP ni tip c v tm O ca ng trn ny nm trn mt ng thng c nh i qua im gia L ca AB.
b. K PI Cz. Chng minh I l mt im c nh.
c. BM v AP ct nhau H; BP v AM ct nhau K. Chng minh rng KH PM.
d. Cho N l trung im ca KH. Chng minh cc im N; L; O thng hng.
HD: a) MABP ni tip /trn /k MP.(qu tch cung cha gc 900)
OA = OB = R(O) O thuc ng trung trc AB i qua L
l trung im AB
b) IP // CM ( Cz) MPIC l hnh thang. IL = LC khng i
v A,B,C c nh. I c nh.
c) PA KM ; PK MB H l trc tm PKM
KH PM
d) AHBK ni tip /trn /k KH (qu tch cung cha gc)
N l tm /trn ngoi tip NE = NA = R(N) N thuc ng trung trc AB
O,L,N thng hng.
Bi 53: Cho na ng trn (O) ng knh AB v K l im chnh gia ca cung AB. Trn cung AB ly mt im M (khc K; B). Trn tia AM ly im N sao cho AN = BM. K dy BP song song vi KM. Gi Q l giao im ca cc ng thng AP, BM.
a. So snh hai tam gic: AKN v BKM.
b. Chng minh: KMN vung cn.
c. T gic ANKP l hnh g? V sao?
HD: a) AKN = BKM(c.g.c)
b) HS t c/m. KMN vung cn.
c) KMN vung KNKM m KM // BP KN BP
= 900 (gc ni tip) AP BP
KN // AP (BP)
KM // BP
M
;
EMBED Equation.DSMT4 PK // AN . Vy ANPK l hnh bnh hnh.
Bi 54: Cho ng trn tm O, bn knh R, c hai ng knh AB, CD vung gc vi nhau. M l mt im tu thuc cung nh AC. Ni MB, ct CD N.
a. Chng minh: tia MD l phn gic ca gc AMB.
b. Chng minh:BOM ~ BNA. Chng minh: BM.BN khng i.
c. Chng minh: t gic ONMA ni tip. Gi I l tm ng trn ngoi tip t gic ONMA, I di ng nh th no?
HD: a) (chn cung /trn)
MD l tia phn gic
b) OMB cn v OM = OB = R(O) NAB cn c NO va l /cao va l ng trung tuyn.
OMB ~ NAB
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 BM.BN = BO.BA = 2R2 khng i.
c) ONMA ni tip /trn /k AN. Gi I l tm /trn ngoi tip
I cch u A v O c nh I thuc ng trung trc OA
Gi E v F l trung im ca AO; AC
V M chy trn cung nh AC nn tp hp I l on EF
Bi 55: Cho ABC cn (AB = AC) ni tip mt ng trn (O). Gi D l trung im ca AC; tia BD ct tip tuyn ti A vi ng trn (O) ti im E; EC ct (O) ti F.
a. Chng minh: BC song song vi tip tuyn ca ng trn (O) ti A.
b. T gic ABCE l hnh g? Ti sao?
c. Gi I l trung im ca CF v G l giao im ca cc tia BC; OI. So snh vi .
d. Cho bit DF // BC. Tnh cos.
HD:a) Gi H l trung im BCAHBC ( ABC cn ti A)
lp lun ch ra AHAE BC // AE. (1)
b) ADE = CDB (g.c.g) AE = BC (2)
T 1 v 2 ABCE l hnh bnh hnh.
c) Theo c.m.t AB // CF GOAB.
EMBED Equation.DSMT4 = 900 = =
EMBED Equation.DSMT4 d) Tia FD ct AB taijM, ct (O) ti N.; DF // BC v AH l trc
i xng cuarBC v /trn (O) nn F, D th t i xng vi N, M qua AH.
FD = MN = MD = BC = ND = BH ; NDA ~ CDF (g.g) DF.DN = DA.DC
2BH2 = AC2 BH = AC cos = = .
Bi 56: Cho 2 ng trn (O) v (O) ct nhau ti hai im A v B. Cc ng thng AO; AO ct ng trn (O) ln lt ti cc im C; D v ct (O) ln lt ti E; F.
a. Chng minh: C; B; F thng hng.
b. Chng minh: T gic CDEF ni tip c.
c. Chng minh: A l tm ng trn ni tip BDE.
d. Tm iu kin DE l tip tuyn chung ca (O) v (O).
HD: a) = 900 = (gc ni tip chn na /trn)
+ = 1800 C, B, F thng hng.
b) = 900 = CDEF ni tip (qu tch )
c) CDEF ni tip = (cng chn cung EF)
Xt (O) c: = (cng chn cung AB)
EMBED Equation.DSMT4 =
EMBED Equation.DSMT4 DA l tia phn gic . Tng t EA l tia phn gic
Vy A l tm ng trn ni tip BDE..
d) ODEO ni tip. Thc vy: = 2 ; = 2 m = (gc ni tip chn cung DE)
EMBED Equation.DSMT4 = ; mt khc: = (/)
EMBED Equation.DSMT4 = ODEO ni tip.
Nu DE tip xc vi (O) v (O) th ODEO l hnh ch nht AO = AO = AB.
o li: AO = AO = AB cng kt lun c DE l tip tuyn chung ca (O) v (O)
Kt lun: iu kin DE l tip tuyn chung ca (O) v (O) l: AO = AO = AB.
Bi 57: Cho ng trn (O; R) c 2 ng knh c nh ABCD.
a) Chng minh: ACBD l hnh vung.
b). Ly im E di chuyn trn cung nh BC (EB; EC). Trn tia i ca tia EA ly on EM = EB. Chng t: ED l tia phn gic ca v ED // MB.
c). Suy ra CE l ng trung trc ca BM v M di chuyn trn ng trn m ta phi xc nh tm v bn knh theo R.
HD: a) AB CD.; OA = OB = OC = OD = R(O)
ACBD l hnh vung.
b) = = 450 ; =
EMBED Equation.DSMT4 = 450
EMBED Equation.DSMT4 = ED l tia phn gic ca .
= 450 ; = 450 ( EMB vung cn ti E)
= (2 gc ng v) ED // MB.
c) EMB vung cn ti E v CE DE ; ED // BM
CE BM CE l ng trung trc BM.
d) V CE l ng trung trc BM nn CM = CB = R
Vy M chy trn ng trn (C; R = R)
Bi 58: Cho ABC u, ng cao AH. Qua A v mt ng thng v pha ngoi ca tam gic, to vi cnh AC mt gc 400. ng thng ny ct cnh BC ko di D. ng trn tm O ng knh CD ct AD E. ng thng vung gc vi CD ti O ct AD M.
a. Chng minh: AHCE ni tip c. Xc nh tm I ca ng trn .
b. Chng minh: CA = CM.
c. ng thng HE ct ng trn tm O K, ng thng HI ct ng trn tm I N v ct ng thng DK P. Chng minh: T gic NPKE ni tip.
Bi 59: BC l mt dy cung ca ng trn (O; R) (BC2R). im A di ng trn cung ln BC sao cho O lun nm trong ABC. Cc ng cao AD; BE; CF ng quy ti H.
a. Chng minh:AEF ~ ABC.
b. Gi A l trung im BC. Chng minh: AH = 2.AO.
c. Gi A1 l trung im EF. Chng minh: R.AA1 = AA.OA.
d. Chng minh: R.(EF + FD + DE) = 2.SABC.
Suy ra v tr im A tng (EF + FD + DE) t GTLN.
Bi 60: Cho ng trn tm (O; R) c AB l ng knh c nh cn CD l ng knh thay i. Gi () l tip tuyn vi ng trn ti B v AD, AC ln lt ct () ti Q v P.
a. Chng minh: T gic CPQD ni tip c.
b. Chng minh: Trung tuyn AI ca AQP vung gc vi DC.
c. Tm tp hp cc tm E ca ng trn ngoi tip CPD.
Bi 61: Cho ABC cn (AB = AC; < 900), mt cung trn BC nm bn trong ABC tip xc vi AB, AC ti B v C. Trn cung BC ly im M ri h cc ng vung gc MI, MH, MK xung cc cnh tng ng BC, CA, AB. Gi Q l giao im ca MB, IK.
a. Chng minh: Cc t gic BIMK, CIMH ni tip c.
b. Chng minh: tia i ca tia MI l phn gic .
c. Chng minh: T gic MPIQ ni tip c PQ // BC.
Bi 62: Cho na ng trn (O), ng knh AB, C l trung im ca cung AB; N l trung im ca BC. ng thng AN ct na ng trn (O) ti M. H CIAM (IAM).
a. Chng minh: T gic CIOA ni tip c trong 1 ng trn.
b. Chng minh: T gic BMCI l hnh bnh hnh.
c. Chng minh: .
d. Chng minh: MA = 3.MB.
HD: a) () ; ()
T gic CIOA ni tip (qu tch cung cha gc 900)
b) MB // CI (BM). (1)
CIN = BMN (g.c.g) (/); NC = NB; (slt)
CI = BM (2). T 1 v 2 BMCI l hnh bnh hnh.
c) CIM vung cn (;) MI = CI ; IOM = IOC v OI chung;
IC = IM (c.m.t); OC = OM = R(O)
EMBED Equation.DSMT4 m:
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 d) ACN vung c: AC = R; NC = (vi R = AO)
T : AN = ; NI =
MB =
AM = AN + MN = + =
AM = 3 BM.
Bi 63: Cho ABC c = ni tip trong ng trn (O), ng cao AH ct ng trn D, ng cao BK ct AH E.
a. Chng minh: .
b. Tnh .
c. Bit cnh BC c nh, im A chuyn ng trn cung ln BC. Hi tm I ca ngtrn ni tip ABC chuyn ng trn ng no? Nu cch dng ng (ch nu cch dng) v cch xc nh r n (gii hn ng ). d. Chng minh: IOE cn I.
HD: a) ABHK ni tip
EMBED Equation.DSMT4 ;
( cng chn cung BD)
EMBED Equation.DSMT4 b) CE ct AB F. ;
AFEK ni tip
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 = 1200
c)
Vy I chuyn ng trn cung cha gc 1200 dng trn on BC, cung
ny nm trong ng trn tm (O).
d) Trong /trn (O) c = s ; trong /trn (S) c = s
v = (so le trong) nn: = m =
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 =
EMBED Equation.DSMT4 pcm.
Bi 64: Cho hnh vung ABCD, pha trong hnh vung dng cung mt phn t ng trn tm B, bn knh AB v na ng trn ng knh AB. Ly 1 im P bt k trn cung AC, v PKAD v PH AB. Ni PA, ct na ng trn ng knh AB ti I v PB ct na ng trn ny ti M. Chng minh rng:
a. I l trung im ca AP.
b. Cc ng PH, BI v AM ng quy.
c. PM = PK = AH.
d. T gic APMH l hnh thang cn.
HD: a) ABP cn ti B. (AB = PB = R(B)) m (gc ni tip )
BIAP BI l ng cao cng l ng trung tuyn
I l trung im ca APb) HS t c/m.
c) ABP cn ti B AM = PH ; AP chung vAHP = v PMA
AH = PM ; AHPK l hnh ch nht AH = KP PM = PK = AH
d) PMAH nm trn /trn /k AP m PM = AH (c.m.t)
EMBED Equation.DSMT4 = PA // MH
Vy APMH l hnh thang cn.
Bi 65: Cho ng trn tm O, ng knh AB = 2R. K tia tip tuyn Bx, M l im thay i trn Bx;. AM ct (O) ti N. Gi I l trung im ca AN.
a. Chng minh: T gic BOIM ni tip c trong 1 ng trn.
b. Chng minh:IBN ~ OMB.
c. Tm v tr ca im M trn tia Bx din tch tam gic AIO c GTLN.
HD: a) BOIM ni tip c v
b) ; (2 gc ni tip cng chn cung BM) IBN ~ OMB.
c) SAIO = AO.IH; SAIO ln nht IH ln nht v AO = R(O)Khi M chy trn tia Bx th I chy trn na ng trn /k AO. Do SAIO ln nht Khi IH l bn knh, khi AIH vung cn, tc
Vy khi M cch B mt on BM = AB = 2R(O) th SAIO ln nht .Bi 66: Cho ABC u, ni tip trong ng trn (O; R). Gi AI l mt ng knh c nh v D l im di ng trn cung nh AC (DA v DC).
a. Tnh cnh ca ABC theo R v chng t AI l tia phn gic ca .
b. Trn tia DB ly on DE = DC. Chng t CDE u v DI CE.
c. Suy ra E di ng trn ng trn m ta phi xc nh tm v gii hn.
d. Tnh theo R din tch ADI lc D l im chnh gia cung nh AC.
HD: a) ABC u, ni tip trong ng trn (O; R). HS t c/m:
AB = AC = BC = R
Trong /trn (O; R) c: AB = AC Tm O cch u 2 cnh AB v AC
AO hay AI l tia phn gic ca .b) Ta c: DE = DC (gt) DEC cn ; = = 600 (cng chn )
CDE u. I l im gia
EMBED Equation.DSMT4 =
EMBED Equation.DSMT4 =
DI l tia phn gic CDE u c DI l tia phn gic nn cng l ng cao DI CEc) CDE u c DI l ng cao cng l ng trung trc ca CE IE = IC m I v C c nh IC khng i E di ng trn 1 /trn c nh tm I, bn knh = IC. Gii hn: I
(cung nh )D C th E C; D A th E B E i ng trn nh ca /t (I; R = IC) cha trong ABC u.Bi 67: Cho hnh vung ABCD cnh bng a. Trn AD v DC, ngi ta ly cc im E v F sao cho:
AE = DF =.
a. So snh ABE v DAF. Tnh cc cnh v din tch ca chng.
b. Chng minh AF BE.
c. Tnh t s din tch AIE v BIA; din tch AIE v BIA v din tch cc t gic IEDF v IBCF.
Bi 68: Cho ABC c cc gc u nhn; = 450. V cc ng cao BD v CE.
Gi H l giao im ca BD, CE.
a. Chng minh: T gic ADHE ni tip c trong 1 ng trn.; b. Chng minh: HD = DC.
c. Tnh t s: d. Gi O l tm ng trn ngoi tip ABC. Chng minh: OADE
Bi 69: Cho hnh bnh hnh ABCD c nh D nm trn ng trn ng knh AB. H BN v DM cng vung gc vi ng cho AC. Chng minh:
a. T gic CBMD ni tip c trong ng trn.
b. Khi im D di ng trn ng trn th ( + ) khng i.
c. DB.DC = DN.AC
Bi 70: Cho ABC ni tip ng trn (O). Gi D l im chnh gia cung nh BC. Hai tip tuyn ti C v D vi ng trn (O) ct nhau ti E. Gi P, Q ln lt l giao im ca cc cp ng thng AB v CD; AD v CE. Chng minh:
a. BC // DE.
b. Cc t gic CODE, APQC ni tip c.
c. T gic BCQP l hnh g?
Bi 71: Cho 2 ng trn (O) v (O) ct nhau ti A v B; cc tip tuyn ti A ca cc ng trn (O) v (O) ct ng trn (O) v (O) theo th t ti C v D. Gi P v Q ln lt l trung im ca cc dy AC v AD. Chng minh:
a. ABD ~ CBA.
b. =
c. T gic APBQ ni tip.
Bi 72: Cho na ng trn (O), ng knh AB. T A v B k 2 tip tuyn Ax v By. Qua im M thuc na ng trn ny, k tip tuyn th ba, ct cc tip tuyn Ax v By ln lt E v F.
a. Chng minh: AEMO l t gic ni tip c.
b. AM ct OE ti P, BM ct OF ti Q. T gic MPOQ l hnh g? Ti sao?
c. K MHAB (HAB). Gi K l giao im ca MH v EB. So snh MK vi KH.
d.Cho AB = 2R v gi r l bn knh ng trn ni tip EOF. Chng minh:.
Bi 73: T im A ngoi ng trn (O) k 2 tip tuyn AB, AC v ct tuyn AKD sao cho BD//AC. Ni BK ct AC I.
a. Nu cch v ct tuyn AKD sao cho BD//AC.
b. Chng minh: IC2 = IK.IB.
c. Cho = 600. Chng minh: Ct tuyn AKD i qua O.
Bi 74: Cho ABC cn A, gc A nhn. ng vung gc vi AB ti A ct ng thng BC E. K ENAC. Gi M l trung im BC. Hai /thng AM v EN ct nhau F.
a. Tm nhng t gic c th ni tip ng trn. Gii thch v sao? Xc nh tm cc ng trn .
b. Chng minh: EB l tia phn gic ca .
c. Chng minh: M l tm ng trn ngoi tip .
Bi 75: Cho na ng trn tm (O), ng knh BC. im A thuc na ng trn . Dng hnh vung ABED thuc na mt phng b AB, khng cha nh C. Gi F l giao im ca AE v na ng trn (O). K l giao im ca CF v ED.
a. Chng minh: Bn im E, B, F, K nm trn mt ng trn.
b. BKC l tam gic g? V sao?
c. Tm qu tch im E khi A di ng trn na ng trn (O).
Bi 76: Cho ABC vung ti C, c BC =AB. Trn cnh BC ly im E (E khc B v C). T B k ng thng d vung gc vi AE, gi giao im ca d vi AE, AC ko di ln lt l I, K.
a. Tnh ln gc .
b. Chng minh: KA.KC = KB.KI; AC2 = AI.AE AC.CK.
c. Gi H l giao im ca ng trn ng knh AK vi cnh AB.
Chng minh: H, E, K thng hng.
d. Tm qu tch im I khi E chy trn BC.
Bi 77: Cho ABC vung A. Na ng trn ng knh AB ct BC ti D. Trn cung AD ly mt im E. Ni BE v ko di ct AC ti F.
a. Chng minh: CDEF ni tip c.
b. Ko di DE ct AC K. Tia phn gic ca ct EF v CD ti M v N. Tia phn gic ca ct DE v CF ti P v Q. T gic MPNQ l hnh g? Ti sao?
c. Gi r, r1, r2 theo th t l bn knh cc ng trn ni tip cc tam gic ABC, ADB, ADC. Chng minh: r2 = r12 + r22.
Bi 78: Cho ng trn (O;R). Hai ng knh AB v CD vung gc vi nhau. E l im chnh gia ca cung nh BC; AE ct CO F, DE ct AB M.
a. Tam gic CEF v EMB l cc tam gic g?
b. Chng minh: T gic FCBM ni tip. Tm tm ng trn .
c. Chng minh: Cc ng thng OE, BF, CM ng quy.
Bi 79: Cho ng trn (O; R). Dy BC < 2R c nh v A thuc cung ln BC (A khc B, C v khng trng im chnh gia ca cung). Gi H l hnh chiu ca A trn BC; E, F th t l hnh chiu ca B, C trn ng knh AA.
a. Chng minh: HEAC.
b. Chng minh: HEF ~ ABC.
c. Khi A di chuyn, chng minh: Tm ng trn ngoi tip HEF c nh.
Bi 80: Cho ABC vung A. K ng cao AH. Gi I, K tng ng l tm cc ng trn ni tip
ABH v ACH .
1) Chng minh ABC ~ HIK.
2) ng thng IK ct AB, AC ln lt ti M v N.
a) Chng minh t gic HCNK ni tip c trong mt ng trn.
b) Chng minh AM = AN.
c) Chng minh S S , trong S, S ln lt l din tch ABC v AMN.
B
E
O
P
C
D
A
C
E
K
2a
D
600
a
H
F
A
B
B
I
H
O
O
E
C
A
D
P
K
M
O
I
Q
H
D
1
M
C
N
2
4
3
1
O
B
A
E
A
B1
C1
J
H
K
M
I
2
1
C
A1
B
z
I
P
B
H
O
N
L
K
A
y
x
M
C
U
K
P
M
N
//
T
=
O
B
A
C
F
M
I
N
B
A
E
O
D
E
A
N
M
D
F
_
I
O
_
G
C
H
B
E
D
A
O
O
F
C
B
C
M
//
E
=
O
B
A
D
C
=
M
1
2
N
=
I
B
O
A
A
K
I
F
E
H
C
B
S
D
D
C
K
P
M
I
H
B
A
H
O
B
A
I
N
M
A
D
=
=
E
O
C
B
I
PAGE 22
_1243540784.unknown
_1243679855.unknown
_1301601141.unknown
_1301931402.unknown
_1301933964.unknown
_1301935823.unknown
_1301936394.unknown
_1301942486.unknown
_1301942790.unknown
_1301942909.unknown
_1301942969.unknown
_1301942708.unknown
_1301936591.unknown
_1301941546.unknown
_1301936518.unknown
_1301936166.unknown
_1301936368.unknown
_1301935995.unknown
_1301934979.unknown
_1301935068.unknown
_1301935720.unknown
_1301935015.unknown
_1301934788.unknown
_1301934877.unknown
_1301934730.unknown
_1301932345.unknown
_1301933812.unknown
_1301933842.unknown
_1301932525.unknown
_1301931943.unknown
_1301932199.unknown
_1301931718.unknown
_1301689177.unknown
_1301769956.unknown
_1301770007.unknown
_1301769188.unknown
_1301601142.unknown
_1243871328.unknown
_1301599178.unknown
_1301600991.unknown
_1243886772.doc
o
1
2
1
H
I
C
A
B
K
_1301599093.unknown
_1301599165.unknown
_1301516267.unknown
_1243886917.doc
H
1
3
2
1
1
O
E
D
C
B
A
_1301513791.unknown
_1301516203.unknown
_1243886926.doc
H
(
(
2
-
-
2
1
1
1
P
N
F
E
M
D
C
B
A
O
_1243886907.doc
/
/
y
x
N
C
D
I
M
B
O
A
_1243886846.doc
2
1
I
E
H
D
C
A
B
_1243886610.doc
M
D
O
H
C
B
A
_1243886676.doc
B'
A'
O
P
N
M
D
B
A
C
_1243886763.doc
d
H
I
K
N
P
M
D
C
B
A
O
_1243886621.doc
A
1
K
A
B
C
H
O
E
F
D
/
/
/
=
/
=
A'
_1243886592.doc
D
K
O
I
C
M
N
B
A
H
_1243886601.doc
A
B
C
H
O
D
M
_1243886545.doc
K
H
E
D
C
B
A
O
_1243886566.doc
N
P
A
O
B
M
x
y
/
/
_1243885351.doc
_
_
H
_
_
1
1
2
2
1
F
G
I
O
D
E
C
B
A
K
_1243886286.unknown
_1243776037.doc
O
1
E
I
C
O
N
M
B
A
_1243797529.doc
G
1
2
1
I
K
H
F
E
C
B
D
A
O
2
_1243800544.unknown
_1243851590.unknown
_1243853599.unknown
_1243871287.unknown
_1243851757.unknown
_1243853261.doc
O
E
D
C
B
A
_1243846663.unknown
_1243800481.unknown
_1243800524.unknown
_1243799812.unknown
_1243788716.doc
4
9
A
I
C
B
O'
O
_1243788754.doc
4
3
M
2
1
F
E
A
C
B
O'
O
_1243780340.doc
1
2
1
3
1
4
1
1
N
M
P
Q
H
F
E
D
C
B
A
1
_1243770818.unknown
_1243772402.doc
2
2
1
1
1
1
O
K
H
A'
C'
C
B
A
_1243773638.unknown
_1243770999.unknown
_1243680129.unknown
_1243680210.unknown
_1243620283.unknown
_1243659593.unknown
_1243677679.unknown
_1243678443.unknown
_1243677721.unknown
_1243678016.doc
(
(
1
2
2
2
1
1
1
1
N
Q
P
K
M
O
C
B
A
I
_1243660808.unknown
_1243677572.unknown
_1243660461.unknown
_1243624724.unknown
_1243659297.unknown
_1243659562.unknown
_1243659009.unknown
_1243621577.unknown
_1243624019.unknown
_1243621523.unknown
_1243617239.unknown
_1243619685.unknown
_1243619946.unknown
_1243620011.unknown
_1243619883.unknown
_1243618508.unknown
_1243619328.unknown
_1243618465.unknown
_1243587293.doc
=
/
=
/
/
/
A'
C'
B'
G
O
H
I
F
E
C
B
A
_1243607937.unknown
_1243607984.unknown
_1243607817.unknown
_1243585595.unknown
_1243585879.unknown
_1243541319.unknown
_1219377452.unknown
_1242564132.unknown
_1243273964.unknown
_1243369344.doc
X
(
(
2
1
1
1
K
I
J
M
N
P
A
B
O
_1243536969.unknown
_1243538457.doc
1
1
1
1
1
P
Q
K
H
I
M
A
C
B
O
2
2
_1243540771.unknown
_1243537229.unknown
_1243425346.doc
H
I
O
Q
P
B
A
1
1
1
_1243427450.unknown
_1243369426.doc
O
M
Q
P
H
C
B
A
2
1
_1243424801.unknown
_1243369048.doc
M
I
O
F
E
D
C
B
A
_1243369071.doc
D
C
A
O
B
F
E
X
_1243369080.doc
X
2
1
2
1
E
K
I
H
F
M
B
O
A
_1243369058.doc
3
(
)
4
3
1
1
)
(
1
2
2
1
1
H
O
S'
M'
M
A
B
S
P
_1243360134.unknown
_1243369022.doc
1
H
1
N
M
C
I
O
K
B
E
A
3
2
2
1
1
_1243365497.doc
_
_
4
3
2
1
I
O
H
K
D
C
M
A
B
1
1
_1243368957.doc
H
B
C
K
I
M
O
A
_1243368987.doc
2
1
1
/
/
1
O'
E
3
2
1
I
O
D
C
M
A
B
_1243368947.doc
I
K
H
M
C
B
A
O
_1243360885.unknown
_1243280519.doc
G
1
1
O
S
D
E
B
A
C
1
F
_1243280997.doc
1
1
3
2
1
1
O'
O
M
G
F
E
D
C
B
A
_1243358026.unknown
_1243280955.doc
O
)
1
1
1
K
H
E
D
C
B
A
2
_1243280941.doc
H
K
M
F
E
D
C
B
A
O
_1243278141.unknown
_1242987308.unknown
_1243243621.doc
(
)
1
2
2
1
1
I
F
E
O
2
O
1
H
C
B
A
1
_1243273261.unknown
_1243273718.unknown
_1243244893.unknown
_1243253899.doc
J
H
I
K
O
M
C
D
B
A
_
/
_1243235284.unknown
_1243239421.unknown
_1243100914.doc
F
1
2
C
A
B
E
D
S
M
O
1
1
1
1
2
2