versuchsplanung literatur ledolter, burrill, statistical quality control : kap.14: principles of...

Versuchsplanung

LiteraturLedolter, Burrill, Statistical Quality Control: Kap.14: Principles of Effective Experi-mental Design; Kap.15: Principles of Effective Experimental Design; Kap.16: Taguchi Design Methods for Product and Process Improvement.

Bergman, Klefsjö, Quality: Kap.7: Design of Experiments; Kap.8: Robust Design.

19.3.2004 Versuchsplanung 2

Experiment

Möglichkeit, Wissen über die uns interessierenden Prozesse zu erwerben,

etwa um Verbesserungspotentiale zu identifizieren

Entscheidung darüber, welche von mehreren in Frage kommenden Erklärungen für ein Qualitätsproblem zutrifft

Systematische Methode, Information über das Wirken und Zusammen-wirken von (Prozess-)faktoren zu sammeln


Lernprozesse: Beispiele

Kundenbefragung zeigt Notwendigkeit einer Änderung des Bestellprozesses, Bedarf an Schulung der Mitarbeiter, etc.

Annahmekontrolle gibt Hinweise auf Mängel in der Produktion eines Lieferanten

Prozesskontrolle hilft, special causes der Variation zu identifizieren


Versuchsplanung

Prinzipien und Regeln, nach denen Experimente, d.i. das aktive Sammeln von Information, gestaltet werden

damit sie die notwendigen Informationen bei effizientem Einsatz der Ressourcen liefern

„… a well-planned experiment increases the precision of the results 10- to 12-fold for the same cost …“ (R.A. Fisher)


Experimente - Fragestellungen

Material A oder Material B? Verfahren mit bestem Output? Ertrag verbessern? (Kombination von

Temperatur und Druck) Stahl einer bestimmten Härte

(Erzqualität, Zusätze, Temperatur, Abkühlgeschwindigkeit, etc.)

Produktionsprozess: Zielwert, geringste Variation? (Welche Kombination der Input-Faktoren?)


20 Studierende, Material der Sohle: A, B Plan 1: Je 10 Studierende tragen Schuhe

mit A und B; A und B werden zufällig zugeordnet (vollständig randomisiertes Experiment)

Plan 2: Jeder Studierende trägt je einen Schuh mit A und B; A wird zufällig am linken oder rechten Schuh getragen (randomisiertes Block-Experiment)

Dauerhaftigkeit von Sohlen


Ertrag eines chem. Prozesses

hängt ab von Temperatur (500o, 600o) Druck (60kg/cm2, 80kg/cm2) Katalysator (A, B)

8 Faktorkombinationen je Kombination ein Durchlauf des

Experiments (eine Wiederholung) Randomisierung der Reihenfolge!


Aushärtezeit von Gips

Variabilität soll kontrolliert werden Große Zahl von potentiellen

Einflussfaktoren z.B.: die Wirkung der Kalzinierung

(Ausglühen der Mischung von Gipskörnern und Zitronensäure) hängt vermutlich ab von Menge, Temperatur und Säurekonzentration


Experimente: Wichtige Themen

Ziele eines Experiments Verallgemeinerbarkeit Response-Variable Faktoren


Ziele eines Experiments Vergleich zweier Methoden (z.B.: Material

von Schuhsohlen) Optimierung des Ertrages (Ertrag eines

chemischen Prozesses) Minimieren der Variabilität der Response-

Variablen (Aushärtezeit von Gips) Adjustieren der Response-Variablen nahe

dem Zielwert


Verallgemeinerbarkeit

Gültigkeit eines Experiments ist beschränkt auf Bedingungen des Experiments (Faktorwerte, regional, etc.)

Achtung! Off-line Experiment vs. on-line Produktion


Response-Variable

univariat (z.B. Ertrag) oder multivariat (z.B. Ertrag, Reinheit)

quantitativ (z.B. Menge) oder qualitativ (z.B. Geschmack, Qualität)


Faktoren

interessierende (primäre) Faktoren nicht interessierende (sekundäre)

Faktoren Blocken ist gute Strategie, den Effekt

von sekundären Faktoren zu eliminieren


Beispiel: Kugelschreiber

Ausschussquote hängt ab von Qualität der Tinte (A oder B) Tag der Produktion?

Nicht geblockt: Do, Fr: 1.5% (A), Sa, So: 5.8% (B) Blocken hilft gegen Vermengen

Do B A B A B B A A A B

Fr B B A B B A A B A A

Sa A A A B B B A B B A

So B A A B B A A B A B


Statistische Prinzipien

Verwenden des Blockdesigns Block: Teilmenge der UE, die ähnliche

Bedingungen hinsichtlich eines sekundären Faktors aufweist

Randomisieren: Zufälliges Zuordnen der UE zu den Behandlungen

Eliminiert die Wirkung nicht kontrollier-barer Faktoren

"Blocke alles, was zu blocken ist, und randomisiere, was nicht zu blocken ist"


Statistische Prinzipien, Forts.

Beachte Wechselwirkung von Faktoren

Vermeide change-one-factor-at-a-time Vorgangsweise

Strategie des Experimentierens Kleine Schritte, sequentielle Vorgangsweise „Beste Zeit, ein Experiment zu planen, ist

nach dem Experiment“ 25%-Regel (Box, Hunter & Hunter)


Begriffe

Durchlauf des Experiments Behandlung der UE: Faktorkombination Wiederholung


Vergleich von Mittelwerten

Beispiel: Bruchlast von Bleistiftminen Marke A: nA = 6, x-barA = 45.8, sA = 4.31 Marke B: nB = 6, x-barB = 39.5, sB = 4.59

Vergleich: x-barA x-barB = 45.8 39.5 = 6.3

unabhängige Stichproben, vollständig randomisiertes Experiment


Statistische Signifikanz

Merkmal X Population i (i=1,2): Xi, E(Xi) = i, SD(Xi)

= i; Stichprobe: ni, x-bari, X-bari N(i, i

2/ni) Differenz:

d = X-bar1 X-bar2 N(d, d2)

mit d = 1 2 und

d = √[1

2/n1 + 22/n2]


Bruchlast, Forts.

sd = √[4.312/6 + 4.592/6] = 2.57 Test von H0: 1 = 2

gegen H1: 1 ≠ 2

p-Wert = 2*P{Z > 6.3/2.57} = 0.0143

H0 wird verworfen Ist der Unterschied von praktischer

Relevanz?


Vergleich von Schuhsohlen

Material A: nA = 20, x-barA = 5.13, sA = 2.03

Material B: nB = 20, x-barB = 5.40, sB = 1.94

Vergleich: x-barA x-barB = 5.13 5.40 = - 0.27

sd = √[(2.032 + 1.942)/20] = 0.628 p-Wert = 2*P{Z < -0.27/0.628} =

0.628; H0 wird nicht verworfen


Vergleich von Schuhsohlen

Randomisiertes Block-Experiment: Jeder Studierende trägt je einen Schuh mit A und B

Response-Variable: Differenz d = xA xB

d1, ..., d20; d-bar = -0.27; sd = 0.298 SD(d-bar) = sd/n = 0.067 p-Wert = 2*P{Z < -0.27/0.067} =

0.00005; H0 wird verworfen!


Faktorielle Experimente

Die Response hängt von mehr als einem Faktor ab

Bei einem (2-stufigen) faktoriellen Experiment interessieren bei jedem Faktor zwei Werte (Niveaus)

Beispiel: Ertrag eines chem. Prozesses Temperatur (1100, 1300) Reaktionszeit (50 min, 70 min)



Ertrag

Temp. R.Zeit DS Lf 1 Lf 2

110o 50min 55.0 55.5 54.5

130o 50min 60.6 60.2 61.0

110o 70min 64.2 64.5 63.9

130o 70min 68.2 67.7 68.7



Ertrag

T R DS Lf 1 Lf 2

- - 55.0 55.5 54.5

+ - 60.6 60.2 61.0

- + 64.2 64.5 63.9

+ + 68.2 67.7 68.7


Notation

2k-faktorielles Experi-ment: 2-stufiges Experi-ment in k Faktoren

Tabellierung (standard form):

Jede Spalte entspricht einem Faktor

Jede Zeile entspricht einer Faktorkombination (einem Durchlauf)

Faktor

1 2 3 …

- - - …

+ - - …

- + - …

+ + - …

- - + …

+ - + …

- + + …

+ + + …


Analyse der Ergebnisse

graphische Darstellung Schätzen der Effekte der Faktoren

(Haupteffekte): Effekt einer Änderung der Temperatur von 110o auf 130o

T = (60.6 + 68.2)/2 (55.0 + 64.2)/2 = 64.4 59.6 = 4.8 = ( 55.0 + 60.6 64.2 + 68.2)/2

R = (64.2 + 68.2)/2 (55.0 + 60.6)/2 = 66.2 57.8 = 8.4

= ( 55.0 60.6 + 64.2 + 68.2)/2


Wechselwirkung

graphische Darstellung Effekt der Temperatur hängt vom

Niveau der Reaktionszeit ab TxR = (68.2 64.2)/2 (60.6 55.0)/2 =

0.8 = (+55.0 60.6 64.2 + 68.2)/2


23 faktorielles Experiment

Ertrag eines chemischen Prozesses interessierende Faktoren:

Temperatur (T; : 160o, +: 180o) Konzentration (C; : 20 %, +: 40 %) Katalysator (K; : Typ A, +: Typ B)


23 faktorielles Experiment, Fts.

Haupteffekte T = (72+68+83+80)/4 (60+54

+52+45)/4 = 75.75 52.75 = 23.0 = (60+7254+6852+8345+80)/4 C = 5.0 K = 1.5



2-Faktoren Wechselwirkungen T(K:+) = (80+83)/2 (52+45)/2 = 81.5

48.5 = 33.0 T(K:) = (72+68)/2 (60+54)/2 = 70.0

57.0 = 13.0 TxK = (33 13)/2 = 10.0

= (+6072+546852+8345+80)/4 Analog TxC = 1.5, KxC =0.0



3-Faktoren Wechselwirkung TxKxC: TxK(C:+) = (8045)/2 (6854)/2= 10.5 TxK(C:) = (8352)/2 (7260)/2= 9.5

TxKxC = (10.5 9.5)/2 = 0.5 = (60+72+5468+528345+80)/4


Statistische Signifikanz

der geschätzten Effekte Experiment ohne Wiederholungen:

Graphische Darstellungen Punkt-Diagramm QQ-Plot (normal probability plot)

Experiment mit Wiederholungen: Schätzer für , Berechnung von Konfidenzintervallen


Q-Q Plot

Zu einem Datensatz soll überprüft werden, ob die Daten von einem normalverteilten Merkmal stammen

Q-Q Plot oder Quantil-Quantil Plot, auch normal probability plot


Ermitteln des Q-Q Plots1. Stichprobe x1,…,xn 2. Sortiere die Beobachtungen aufsteigend3. Bestimme die Rangzahlen4. Bestimme die Ordnung i /(n +1) [oder (i -0.5)/n], die

sich für die Beobachtung mit Rang i ergibt, wenn wir sie als (empirisches) Quantil auffassen

5. Bestimme zur Ordnung i /(n +1) das (erwartete) Quantil der Standard-Normalverteilung (Normal Score)

6. Bestimme zur Ordnung i /(n +1) das (erwartete) Quantil der Normalverteilung mit Parametern

7. Streudiagramm (Normal Scores über X)


Konfidenzintervall für Effekte

si: Schätzer aus Beobachtungen im i-ten von n Läufen eines 2k-faktoriellen Experiments (i=1,…, 2k)

sp: Schätzer aus "gepoolten" Daten

sp = [(si)2/2k] 95%-iges Konfidenzintervall für T

T - (2)SD(T), T + (2)SD(T)mit SD(T) = sp/[(n)2k-2]



i T R DS Lf 1 Lf 2 si

1 - - 55.0 55.5 54.5 √0.50

2 + - 60.6 60.2 61.0 √0.32

3 - + 64.2 64.5 63.9 √0.18

4 + + 68.2 67.7 68.7 √0.50

sp = √[(0.50+…+0.50)/4] = 0.61SD = 0.61 /√[(2)22-2] = 0.44


Ertrag eines chem. Prozesses, Fts.

95%-iges Konfidenzintervall für TxR-0.8 ± 2(0.44), (-1.68, 0.08)

95%-iges Konfidenzintervall für T4.8 ± 2(0.44), (3.9, 5.7)

95%-iges Konfidenzintervall für R8.4 ± 2(0.44), (7.5, 9.3)


Suppenwürze "Intermix"

Beigefügte Menge soll möglichst gleichmäßig sein.

Faktoren Zahl der ports (P; : 1, +: 3) Temperatur (T; : Zimmertemperatur, +:

gekühlt) Chargen-Gewicht (W; : 1500 lb, +: 2000 lb) Zeit bis zum Abpacken (D; : 1 Tag, +: 7

Tage)


Fraktionale faktorielle Experimente

Reduktion der Zahl der notwendigen Läufe durch Verzicht auf Schätzen der Wechselwirkungen

Beispiel 1: 23-1 frakti-onales faktorielles Experiment mit drei Faktoren A, B und C (C = AxB)

A B C

- - +

+ - -

- + -

+ + +


Beispiel 2: 27-4 Experiment Kommt mit 8 Läufen aus (27 = 128!)

A B C D=AB E=AC F=BC G=ABC- - - + + + -

+ - - - - + +

- + - - + - +

+ + - + - - -

- - + + - - +

+ - + - + - -

- + + - - + -

+ + + + + + +


Confounding (Vermengen)

Preis für Reduktion der Anzahl der Läu-fe: Es können nicht mehr alle Effekte und Wechselwirkungen unabhängig voneinander geschätzt werden Beispiel 1: Letzte Spalte entspricht C und

AxB; der sich ergebende (confounded) Schätzer vermengt die beiden

Beispiel 2: Spalte 4 entspricht Faktor D und Wechselwirkung AxB, …, Spalte 7 entspricht Faktor G und Wechselwirkung AxBxC


Suppenwürze "Intermix„, Fts.

25-1 fraktionales faktorielles Experiment mit fünf Faktoren P, T, W, D und Mischdauer (M; : 60 sec, +:80 sec)

Schätzer von M: vermengt mit Wechselwirkung PxTxWxD

Beachte: vermengt sind auch P und TxWxDxM, PxT und WxDxM, PxTxW und DxM, etc.


Genichi Taguchi

Japanischer Ingenieur; Pionier in der Anwendung von Versuchsplanung zur Verbesserung von Produkten und Prozessen; entwickelt Philosophie der Qualitätsverbesserung Methode der Versuchsplanung

Deming-Preisträger Taguchi’s Methoden seit ca. 1980 auch

in den USA sehr populär


Taguchi's Impulse

Bücher, seit ca. 1980 auf Englisch Taguchi & Wu (1985), Introduction to Off-

Line Quality Control. Taguchi (1986) Introduction to Quality

Engineering: Designing Quality into Products and Processes.

Konzepte Qualitätskosten Robuste Produkte und Prozesse


Qualitätskosten

Verlust durch Abweichung von idealem Produkt/Prozess höherer Aufwand für Gewährleistung geringere Kundenzufriedenheit schlechteres Image

high quality Produkt: geringe Abweichung vom Zielwert während der gesamten Lebensdauer unter beliebigen Bedingungen der

Verwendung


Verlustfunktion

enthält Kosten (pro Einheit) des Produzenten und Konsumenten

L(y) = A(y-)2/2

A: erwartete Kosten bei Abweichung vom Zielwert

Bei Kosten B für Ausschuss: maximal tolerierte Abweichung

= [B/A]


Robuste Produkte und Prozesse

Effekte von ungünstigen Faktoren während der Produktion und während des Gebrauchs minimiert

Produkt wird beschrieben in Produkt-Charakteristika: Variable, die

das Produkt am Markt positionieren Qualitäts-Charakteristika: Variable, in

denen Abweichungen vom idealen Produkt auftreten


Negative Faktoren Äußere Störungen (Umgebung während

der Verwendung; Temperatur-, Spannungsschwankungen, etc.)

Innere Störungen (innerhalb des Produktes; Abnutzung, etc.)

Variationen der Produktion (Vorprodukte, Kompetenz der Mitarbeiter, Qualität der Ausrüstung, etc.)


Reduktion der Variabilität

des Produktes und des Produktionsprozesses

durch Verbesserung des Designs des

Produktes und Verbesserung des Designs des

Produktionsprozesses


Taguchi’s Designmethode

Für Experimente (orthogonale

Versuchspläne) Analyse der Variation der

Responsevariablen Produkt Design Prozess

System Design Parameter Design Toleranz Design


System Design

Entwurf des Produktes entsprechend den Anforderungen der Konsumenten den Möglichkeiten der Produktion

Ergebnis ist ein Prototyp; Identifizierung möglicher Störfaktoren in Produktion und Verwendung kontrollierte Faktoren („Parameter“) nicht kontrolliert Faktoren (noise)


Parameter Design

Festlegung jener Zielwerte der kontrol-lierten Faktoren, bei denen die Variabi-lität minimal ist; Experimente

Behandlung von noise: Behandlung als kontrollierter Faktor,

wenn Ursache für Fehler Wahl der Werte der kontrollierten

Faktoren so, dass Effekt des noise minimiert; Robustifizieren des Produktes!


Parameter Design, Forts.

Aufgabe des Design Prozesses ist die Festlegung, welche Faktoren

kontrolliert werden sollen und welche nicht,

die Festlegung der Werte der Faktoren so, dass der Effekt des noise minimiert wird


Toleranz Design

Festlegung von reduzierten Toleranzbereichen für die einzelnen Faktoren, um die Variabilität des Produktes zu verkleinern höherer Aufwand teurere Maschinen etc.


Versuchsplan

inner array: Versuchsplan für die kontrollierten Faktoren; deckt relevanten Wertebereich ab (zwei bis vier Niveaus)

outer array: Versuchsplan für ausgewählte noise Faktoren

orthogonale Versuchspläne (faktorielle Designs, fraktional faktorielle Designs, Lateinische Quadrate Design)


Ziel des Versuchs

Kombination von Faktorenwerten so, dass der Produktionsprozess ein Produkt liefert nahe dem gewünschten Output mit

minimaler Variation oder maximalem signal-to-noise Verhältnis


signal-to-noise Verhältnis

SNsmall, wenn y möglichst klein sein soll

SNsmall = -10 log10 [yi2/n]

SNlarge, wenn y möglichst groß sein soll

SNlarge = -10 log10 [(1/yi)2/n] SNtarget, wenn y möglichst nahe einem

Zielwert sein sollSNtarget = 10 log10 [y-bar2/s2 – 1/n]

oder

SNtarget = 10 log10 [y-bar2/s2]


Kritik an Taguchi

Versuchspläne der vorgeschlagenen Experimente sind oft nicht effizient

Interpretation der signal-to-noise Verhältnisse oft schwierig

versuchsplanung literatur ledolter, burrill, statistical quality control : kap.14: principles of...

Documents

identifizieren folie

zielwert folie

sammeln folie

fisher folie

sohlen folie

surekonzentration folie

design of experiments

variable faktoren folie