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Diciembre 2008 • 2008ko Abendua 221

SIGMA

32ALGUNAS RAZONES PARA INTRODUCIR LA HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS EN LAS AULAS DE SECUNDARIA

Vicente Meavilla Seguí (*)

1. INTRODUCCIÓN

Cuando recuerdo mis años escolares y me vienen a la memoria aquellos viejos profesores, algunos excelentes, y aquellas asignaturas que configuraban el plan de estudios vigente, no puedo evitar establecer comparaciones, siempre odiosas, con la situación actual de la ense-ñanza y el aprendizaje. Restringiéndonos al terreno de las Matemáticas, recuerdo que dicha disciplina se me antojaba como una colección de conceptos, teoremas y procedimientos de carácter inmutable (por aquel entonces los contenidos de tipo actitudinal no se contemplaban en los currículos), surgidos por generación espontánea, carentes de aplicaciones prácticas, poco motivadores, nada amenos y, en ningún caso bellos. Detrás de aquellas Matemáticas no había hombres ni mujeres de carne y hueso. Eran otros tiempos (¿lo eran realmente?).

Esta percepción de las Matemáticas se mantuvo durante buena parte de mis estudios univer-sitarios y sólo cambió cuando se cruzó en mi camino D. Rafael Rodríguez Vidal, Don Rafael, Catedrático de la Universidad de Zaragoza del que, sin duda alguna, somos deudores genera-ciones de licenciados en Matemáticas. Buen pedagogo y mejor persona, Don Rafael, con sus lecciones en las que siempre había alguna pincelada de historia, nos mostró el rostro humano de las Matemáticas (los esfuerzos, los fracasos y los éxitos de los hombres y mujeres que, a lo largo de los tiempos, habían contribuido a su construcción y desarrollo), nos hizo ver su constante evolución, nos inició en la lectura de textos matemáticos clásicos y, en suma, nos sugirió que para una comprensión global de las Matemáticas es fundamental el conocimiento de su historia.

Pero, volvamos al presente.

¿Cuál es la percepción que tienen nuestros alumnos y alumnas de las Matemáticas?

En las líneas que siguen, para evitar que esta percepción coincida con la que tuve durante mis estudios no universitarios, intentaré ofrecer una imagen agradable, dinámica, motivadora y humana de las Matemáticas. Para ello me apoyaré en ejemplos históricos concretos que me permitirán elaborar una lista de razones que justifican la introducción de la historia de las Matemáticas en las aulas de Secundaria

2. LA CARA AMENA DE LAS MATEMÁTICAS

Al estudioso de la historia de las Matemáticas, en su trabajo de búsqueda, análisis y valoración de textos, no le resulta extraño encontrar abundante material que cualquier espíritu clasifica-dor incluiría, sin dudar, en la sección de Matemática Recreativa. Sirvan como ejemplo, las siguientes recreaciones numéricas extraídas del Liber abaci (1202) de Leonardo de Pisa(1) y de la Arithmetica practica, y specvlauiva (1562) del bachiller Juan Pérez de Moya(2), respectiva-mente. Junto al procedimiento adivinatorio ofrecemos la justificación matemática del mismo. Advirtamos que dicha justificación no aparece en los textos originales.

(*) Profesor del Departamento de Matemáticas. Universidad de Zaragoza.

Adivinar los puntos de tres dados

"Si alguien lanza tres dados al aire y tú quieres saber y decirle cuántos puntos tiene cada dado, dile que multiplique por 2 los puntos de un dado y que a este doble le añada 5. Que multiplique el total por 5 y que añada 10, así como el número de puntos del segundo dado, a este producto. Que multiplique el resultado por 10 y que al producto le añada los puntos del tercer dado y que te diga el resultado. Para que puedas adivinar los puntos de cada dado, debes restar 350. Entonces, las centenas de esta diferencia son los puntos del primer dado, las decenas son los puntos del segundo dado y las unidades son los puntos del tercer dado".

Liber abaci. Duodécimo capítulo, octava parte.

Justificación

Sean a, b y c los puntos obtenidos por el primer, segundo y tercer dado, respectivamente (1 ≤ a ≤ 6 , 1 ≤ b ≤ 6 , 1 ≤ c ≤ 6).

Entonces, las operaciones efectuadas por el ayudante desembocan en el resultado siguiente:

[(2a + 5)5 + 10 + b]10 + c = (10a + 25 + 10 + b)10 + c = 100a + 10b + c + 350]

Por tanto:

(100a + 10b + c + 350) – 350 = 100a + 10b + c, expresión polinómica (en base 10) del número abc.

Adivinar el número que alguien ha pensado

"La segunda regla es, que todo numero que se quadrare, y a su quadrado se añadiere el doblo del mismo numero, y vno mas, digo que la raiz quadrada de todo esto, menos vno, serâ el numero que al principio se quadrô. Poned por exemplo, que vno toma cinco, qua-drandolo serán 25. añadan el doblo de los cinco, y vno más con los mismos 25. y serán 36. Hecho esto, pregunta quanto monta, y responderàn que 36.

Pues saca la raiz quadrada 36. que es 6. y destos 6. quita vno, y quedaràn cinco, y tanto será el numero que al principio se tomo: y assi se harà de otro qualquier numero".

Arithmetica practica, y specvlatiua. Libro nono, fol. 207b.

Justificación

Si x es el número pensado, el procedimiento anterior consta de las siguientes fases:

• Elevar x al cuadrado. Se obtiene x2.• Sumar 2x + 1 al resultado anterior. Se obtiene x2 + 2x + 1 = (x + 1)2.• Extraer la raíz cuadrada del resultado anterior. Se obtiene x + 1.• Restar 1 del resultado anterior. Resulta x [= número pensado].

A lo largo de nuestra ya dilatada vida profesional hemos podido constatar que si proponemos a nuestros alumnos y alumnas recreaciones similares a las anteriores (adaptadas al lenguaje actual, claro está), éstos se sienten vivamente interesados hacia ellas y, en algunos casos, hasta quieren saber por qué funcionan. Una vez demostrada la infalibilidad del procedimiento (salvo errores en los cálculos), se dan cuenta de que las Matemáticas se pueden utilizar para inventar juegos de adivinación. Las Matemáticas son mágicas y los estudiantes pueden ejercer de magos al crear sus propios juegos.

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Vicente Meavilla Seguí

SIGMA Nº 32 • SIGMA 32 zk.


Algunas razones para introducir la Historia de las Matemáticas en las aulas de Secundaria

En definitiva, podemos decir que:

• La historia de las Matemáticas facilita al profesor materiales y recursos didácticos que pueden favorecer el aprendizaje de sus alumnos y alumnas.

• La historia de las Matemáticas permite descubrir el lado ameno de las Matemáticas y puede influir favorablemente en la motivación de los estudiantes.

3. MATEMÁTICOS Y MATEMÁTICAS

Aunque algunos de mis colegas no son partidarios de utilizar los aspectos anecdóticos de la historia de la Matemáticas en el aula, considero que una selección adecuada de ciertos deta-lles biográficos presentes en las vidas de muchos matemáticos y matemáticas puede favorecer la adquisición de algunos valores que hoy en día brillan por su ausencia en la mayoría del alumnado de Secundaria.

Además, el conocimiento de las biografías de algunas matemáticas famosas puede contribuir a valorar la aportación de las mujeres en el desarrollo de las Matemáticas.

Veamos algunos ejemplos:

• Nicolò FONTANA (ca. 1499-1557), científico italiano, recibió una gran cuchillada que le afectó la mandíbula y el paladar durante la toma de Brescia por el ejército francés en 1512. Esta herida le ocasionó un defecto crónico en el habla, una especie de tartamudez, que le valió el apodo de “Tartaglia” [= tartamudo]. Nicolás aprendió a leer y a escribir por sí mismo y también fue autodidacta en su aprendizaje de las ciencias físicas y matemáticas.

• Stevin STEVIN (1548-1620), matemático, físico, inventor, ingeniero y musicólogo, nacido en Brujas, introdujo el uso sistemático de los números decimales en las Matemáticas europeas y planteó la unificación del sistema de pesas y medidas mediante un método basado en la división decimal de la unidad. En las portadas de muchos de sus libros aparece el lema LABORE ET CONSTANTIA [= trabajo y constancia]. Sabio consejo para los alumnos y alumnas de Secundaria.

• Isaac NEWTON (1642-1727) dijo en una ocasión:"No sé lo que le parezco al mundo. Yo me comparo a un niño jugando a la orilla del mar, recogiendo aquí y allá una piedra más o menos lisa, o una concha de rara belleza, mien-tras que el gran océano de la verdad permanece completamente invisible a sus ojos".

¡Qué lección de humildad en boca de un genio!.• Leonhard EULER (1707-1783), matemático suizo que introdujo el símbolo e para la base

de los logaritmos naturales; π para la razón de la circunferencia al diámetro; i para la unidad imaginaria; a,b,c para los lados de un triángulo; A,B,C para los ángulos de un triángulo; S para la suma y f(x) para una función de x, perdió la vista de su ojo derecho a los veintiocho años y a los setenta y seis se quedó ciego. Ello no le impidió seguir publi-cando e investigando. A lo largo de su vida escribió más de quinientos libros y artículos y fue padre de trece hijos.

• María Gaetana AGNESI (1718-1799) nació en Milán, el 16 de mayo de 1718, en el seno de una familia acomodada.Fue la mayor de veintiún hermanos y dedicó gran parte de su tiempo a la educación e instrucción de sus hermanos. Se distinguió como lingüista, filósofa y matemática.A los nueve años, edad en la que ya hablaba cinco idiomas, publicó un libro a favor de la educación de la mujer; a los diecinueve escribió un comentario sobre las Secciones Cónicas de L’ Hôpital, que no fue publicado, y a los veintiuno ya había editado ciento noventa ensayos.

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En 1748 publicó Instituzioni Analitiche ad uso della gioventu italiana, obra en dos volú-menes que contenía temas de álgebra, trigonometría, geometría analítica, cálculo y ecuaciones diferenciales.Dedicó el último tercio de su vida a la dirección de una residencia de ancianos en Milán. Murió el 9 de enero de 1799 en dicha institución y fue enterrada en una fosa común. Triste final para una de las mujeres más piadosas e inteligentes que hayan exis-tido jamás.

• Marie-Sophie GERMAIN (1776-1831) nació en París, el 1 de abril de 1776, en el seno de una familia adinerada.Su padre era un rico comerciante que llegó a ser director del Banco de Francia.El interés de Sofía por las Matemáticas empezó a los trece años, cuando, en plena Revolución Francesa, tuvo que permanecer mucho tiempo en su casa debido al peligro que suponía salir a la calle. Durante largas horas se dedicó a leer muchos libros de la biblioteca de su padre. En uno de ellos se relataba la muerte de Arquímedes, a manos de un soldado romano, mientras estaba resolviendo un problema de geometría. Ante tal narración, Sofía debió pensar que si alguien se podía enfrascar en un problema y no darse cuenta de que lo iban a matar, el tema en cuestión debía ser muy interesante. A partir de entonces, M. S. Germain empezó a estudiar Matemáticas, sirviéndose única-mente de los libros de la biblioteca de su padre.Dado que en aquella época no se consideraba apropiado que las mujeres se dedicaran al estudio y menos al de las Matemáticas, los padres de Sofía le impidieron que estudiase por las noches, escondiéndole las velas. Sin embargo, la obstinación de Marie Sophie era tan grande que, al final, sus padres cedieron y le costearon los estudios.A pesar de ello, Sofía no pudo ingresar en la Escuela Politécnica de París, fundada en 1794, dado que sólo se admitía alumnado masculino. Esta absurda normativa no des-animó a María, que adoptó la identidad de un varón, Monsieur Antoine-August LeBlanc, y pudo seguir los cursos por correo. Por este mismo conducto pudo remitir sus trabajos a la Escuela causando la admiración de Joseph Louis Lagrange, que quiso entrevistarse con su autor. Entonces, Sofía tuvo que descubrir su identidad y Lagrange se convirtió en su maes-tro, mentor y amigo. A partir de entonces, Sophie pudo entrar en el círculo de científicos y matemáticos franceses, se dedicó preferentemente a investigaciones sobre Teoría de Números y mantuvo correspondencia con Gauss, bajo el pseudónimo de M. LeBlanc.Marie-Sophie Germain murió el 27 de Junio de 1831, a causa de un cáncer de mama.

A la vista de los ejemplos anteriores, resulta lógico afirmar que:

• La historia de las Matemáticas ayuda a inculcar en los alumnos y alumnas valores como el esfuerzo, la constancia, el trabajo, la humildad, la disponibilidad, …

• La historia de las Matemáticas contribuye a valorar la aportación de las mujeres en la construcción y el desarrollo de dicha disciplina.

4. UNA CLASE CON AL-KHOWARIZMI

Del matemático árabe Mohamed ibn Musa al-Khowarizmi sólo se sabe que vivió durante el rei-nado del califa al-Mamun (813-833). Aunque los datos biográficos sean escasos, sus contribu-ciones científicas, contenidas en una media docena de libros, son de un interés considerable.

La palabra “álgebra” con la que hoy en día se designa una de las ramas de las Matemáticas, proviene del término "al-jabr" que aparece en el título de su obra más importante Hisab al-jabr wa al-muqabala. En dicho texto, sirviéndose del álgebra retórica, al-Khowarizmi



resuelve diversos tipos de ecuaciones de segundo grado con una incógnita. Entre ellos, los más interesantes (escritos con el simbolismo algebraico moderno, desconocido por los matemáti-cos árabes) son los siguientes:

x2 + 10x = 39 ; 2x2 + 10x = 48 ; (x2/2) + 5x = 28 ; x2 + 21 = 10x ; 3x + 4 = x2

En algún caso se añaden las justificaciones geométricas de los resultados obtenidos.

En el siguiente “comic” ofrecemos la adaptación de uno de los dos métodos geométricos uti-lizados por al-Khowarizmi para justificar la resolución retórica de la ecuación x2 + 10x = 39. Dicho material se puede utilizar con estudiantes del segundo ciclo de la ESO (quizás también con los del primer ciclo) y en él se presenta a Mohamed en el papel de profesor.

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Teniendo en cuenta el procedimiento de resolución anterior, resulta claro que a partir de textos originales o adaptaciones de los mismos (esto es lo más adecuado en niveles elementales de la enseñanza) el alumnado puede aprender de la mano de los sabios de otros tiempos. Dicho en otros términos:


• La historia de las Matemáticas permite aprender con la ayuda de unos profesores muy especiales: los grandes sabios de otros tiempos.

5. ¿CÓMO MULTIPLICABAN NUESTROS ANTEPASADOS?

En esta sección presentamos tres algoritmos para la multiplicación que fueron utilizados por distintas culturas en tiempos pretéritos. Con ello queremos mostrar un ejemplo de la evolución de las Matemáticas a lo largo de su historia.

5.1 Método de duplicación egipcio

1 154

2 308

4 616

8 1.232

16 2.464

32 4.928

64 9.856

12.782

En la tabla anterior, aparecen los cálculos parciales y el resultado de la multiplicación 83 x 154, tal como lo hacían los antiguos escribas egipcios.

El método utilizado se puede describir en tres pasos:

1. En la columna de la izquierda se escriben las sucesivas potencias de 2, empezando por el 1 [= 20], hasta que el resultado de la suma de algunas de ellas es justamente 83 [= 1 + 2 + 16 + 64].

2. En la columna de la derecha se escribe, en primer lugar, el factor 154 [= 1 x 154], después 308 [= 2 x 154], 616 [= 4 x 154], . . ., 9.856 [= 64 x 154].

3. Para acabar, en la columna de la derecha se suman los números emparejados con los de la columna izquierda cuya suma es 83. El resultado de dicha suma:[154 + 308 + 2.464 + 9.856 = 12.784] lo es también de la multiplicación 83 x 154.

Justificación

83x154 = (1 + 2 + 16 + 64) x 154 = 154 · 1 + 154 · 2 + 154 · 16 + 154 · 64 == 154 + 308 + 2.464 + 9.856 = 12.782



5.2 Método del multiplicador móvil

En el siglo IX, los matemáticos árabes usaron este procedimiento desarrollando los cálculos sobre tableros de arena (esto les permitía ir borrando los resultados parciales que surgían a lo largo del proceso).

A modo de ejemplo, calcularemos el resultado de 243 x 56 y explicaremos las sucesivas fases del algoritmo

Disposicióninicial Interpretación

2 4 35 6 243 x 56

Cálculosintermedios Interpretación

10. 2 4 35 6 50 x 200 = 10.000

110.2 4 3

5 6(50 x 200) + (6 x 200) = 56 x 200

11.2 4 35 6 56 x 200 = 11.200

11.2 4 35 6 Se desplaza el multiplicador un lugar a la derecha.

2011.2 4 3

5 6(56 x 200) + (50 x 40)

13.2 4 35 6 (56 x 200) + (50 x 40) = 1.320

213.24 3

5 6

(56 x 200) + (50 x 40) + 6 x 40) = = (56 x 200) + (56 x 40) =

= 56 x 240

13.44 35 6 56 x 240 = 13.440

13.44 35 6 Se desplaza el multiplicador un lugar hacia la derecha.

1513.44 3

5 6(56 x 240) + (50 x 3)

13.59 35 6 (56 x 240) + (50 x 3) = 13.590

113.598

5 6

(56 x 240) + (50 x 3) + (6 x 3) == (56 x 240) + (56 x 3) =

= 56 x 243

13.608 56 x 243 = 13.608

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5.3 Método de la red

La multiplicación anterior se encuentra en la Aritmética de Treviso (1478), primer libro impreso dedicado íntegramente a las Matemáticas, y es un caso concreto del algoritmo indio conocido como “método de la red”. En él se efectúa la multiplicación 934 x 314.

5.3.1¿Cómosedesarrolladichoalgoritmo?

En primer lugar se construye un rectángulo 3 x 3, en el que cada una de las nueve celdas se divide diagonalmente en dos partes. Acto seguido, el multiplicando se escribe horizontalmente en la parte superior del rectángulo (de modo que cada dígito ocupe una de las tres divisiones) y el multiplicador se escribe verticalmente a la derecha del rectángulo (de modo que cada uno de sus dígitos ocupe una de las tres divisiones).

Después, se multiplica cada dígito del multiplicando por cada dígito del multiplicador. Cada uno de los productos parciales se escribe en la celda que ocupa la columna del dígito del multiplicando y la fila del dígito del multiplicador, de modo que las unidades queden en la parte derecha de la celda y las decenas en la parte izquierda.

A partir de aquí, para obtener el resultado de la multiplicación, sólo se deben sumar (de dere-cha a izquierda) los dígitos que figuran en la misma diagonal. Acabamos de mostrar tres ejem-plos en los que se pone de manifiesto la evolución histórica del algoritmo de la multiplica-ción. También podríamos encontrar otros para ejemplificar la transformación de determinados signos y símbolos matemáticos (adición, igualdad, paréntesis, signo radical, etc.), para ilustrar los cambios de determinados procedimientos (resolución de ecuaciones lineales, cuadráticas y cúbicas), para conocer la evolución de los sistemas de numeración, para …

En resumen, se puede decir que:

• La historia de las Matemáticas muestra que dicha disciplina es una ciencia viva y que sus conceptos y procedimientos suelen cambiar con el tiempo.



6. ¿LOS MATEMÁTICOS SE EQUIVOCAN?

• En el Libro Primero, de Arithmetica Algebratica (1552), primer libro de álgebra escrito en castellano, Marco Aurel(3), refiriéndose a ecuaciones del tipo axn = axn, afirmaba que la única solución es x = 1.

¿Cómo es posible que no se diese cuenta de que, en esta situación, la igualdad es una identidad y, por tanto, se verifica para cualquier valor asignado a la letra x?

• En la Aritmética practica, y specvlatiua (1562), el Bachiller Pérez de Moya, refiriéndose a ecuaciones del tipo axn = axm (n ≠m), decía:

"Otras vezes son semejantes en número, y disímiles en caracteres. Como si 8. co. [= 8x] se igualasen a 8. ce. [= 8x2] o 10. co.[= 10x] a 10. n. [= 10] esto es señal que la tal demanda tiene infinitas respuestas, y no tiene vna sola".

Sin comentarios.

A la vista de los dos ejemplos anteriores, no debería extrañarnos que nuestros alumnos, en su primer contacto con el álgebra, cometan errores similares a los que cometieron Aurel, Pérez de Moya y muchos autores contemporáneos. Por tanto, si el alumno fuese conocedor de estas equivocaciones no debería sentirse frustrado al cometerlas y, como hicieron los antiguos mate-máticos, debería aprender de ellas.

En consecuencia, podemos afirmar que:

• La historia de las Matemáticas permite dar una visión más humana de dicha ciencia (la Matemática no es obra de los dioses, es el resultado del trabajo de hombres y mujeres que suelen equivocarse). Este hecho puede contribuir a que el alumno no se sienta frus-trado ante sus errores y pueda aprender de ellos.

7. ESTRATEGIAS VISUALES PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS

7.1 Expresiones algebraicas notables a orillas del Ganges

En el Kriyakramakari, texto matemático indio escrito por algún discípulo de Nilakantha (s.XV-s.XVI), se describe un procedimiento visual que permite demostrar la identidad:

(a + b)(a – b) = a2 – b2.

Esencialmente, la estrategia utilizada puede esquematizarse en los diagramas siguientes:

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Comparando las áreas de la primera y última figura resulta que:

a2 = (a + b)(a – b) + b2

Por tanto:

(a + b)(a – b) = a2 – b2

7.2 El teorema de Pitágoras en el país de las pirámides

El historiador George Johnston Allman, en su Greek Geometry from Thales to Euclid, sugiere que los antiguos egipcios estuvieron en condiciones de demostrar el teorema de Pitágoras para el caso particular de un triángulo rectángulo isósceles. Esta hipótesis no resulta inadmisible dado que la simple contemplación de un suelo cubierto con baldosas cuadradas conduce, de forma clara y rápida, a la conclusión de que el cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles es equivalente a los cuadrados construidos sobre los catetos [véase la figura adjunta].

En los dos párrafos anteriores se ilustra una forma especial de razonamiento, el razonamiento visual, en el que el investigador utiliza las representaciones gráficas (diagramas, modelos geométricos, etc.) como ayuda para pensar, hacer y entender las Matemáticas.

La historia de las Matemáticas está llena de ejemplos en los que se ponen de manifiesto distin-tas estrategias (razonamiento visual, regla de una falsa posición, regla de falsa posición doble, método de inversión…) para la resolución de problemas que, hoy en día, no son habituales. Sin embargo, dichos enfoques pueden tener un notable interés didáctico.

En consecuencia, podemos concluir que:



• Los profesores (alumnos) pueden aprovecharse especialmente de la perspectiva histórica de las Matemáticas, descubriendo métodos alternativos para la resolución de problemas, distintos de los que generalmente enseñan (aprenden) en clase y que pueden ser bene-ficiosos para la enseñanza y el aprendizaje de las Matemáticas.

8. CÓMO MEDIR SIN ESFUERZO

La resolución de problemas ha sido una constante a lo largo de toda las historia de las Matemáticas. En particular, el problema de la medición indirecta de longitudes ocupó a un buen número de estudiosos desde la antigüedad y tuvo una sección fija en la mayoría de los libros de Geometría escritos en la Edad Media, tanto en latín como en lengua vulgar, que se conservó en los capítulos de Geometría Práctica durante los siglos XVI y XVII.

En dichos textos, junto a la descripción de los instrumentos de medida se presentaban los métodos para el cálculo de alturas, distancias y profundidades.

Cualquiera que fuese el instrumento utilizado, el principio en que se apoyaba la medición consistía en construir dos triángulos semejantes a partir de los cuales se pudiera calcular la longitud desconocida.

8.1 Cómo medir la anchura de un río sin mojarse

Al matemático chino Chen Luan (s. VI) se debe la autoría de un método para determinar la anchura de un río sin necesidad de cruzarlo.

En esencia, la estrategia utilizada para llevar a cabo la medición fue la siguiente:

Sobre una perpendicular a las orillas del río clavó verticalmente tres estacas de la misma altura, de modo que la distancia entre la primera y la segunda fuese la misma que la existente entre la segunda y la tercera (véase el diagrama adjunto).

Después, desde la estaca central, lanzó dos visuales a cada una de las orillas del río. Dichas visuales cortaban a la estaca más cercana al río en los puntos A y B (véase la figura anterior).

Acto seguido, transportó dichas marcas a la estaca más alejada del río y, desde la estaca cen-tral, miró a través de ellas a dos puntos del suelo. La distancia entre ellos coincidía, obvia-mente, con la anchura del río (véase el diagrama siguiente).

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8.2 Cómo medir distancias con cuatro estacas

Diego González de Medina Barba, natural de Burgos, en su Examen de Fortificacion (1599), describe el siguiente método en el que, con la ayuda de cuatro estacas, calcula la distancia entre dos puntos:

"Hazerse ha esta medida tambien de otra manera, que es sabiendo arismetica, con la propor-cion de los angulos, con la regla de tres, haziendo en el suelo con vnas cañas, o varas hincadas vn quadrado perfeto, que serà de angulos rectos, como se vera en el quadro .A. de diez varas, veynte, o treynta, las que se quisieren, o passos, pertigas, o mayor medida, conforme al largo del sitio que se quisiere medir: y hecho, echarase la linea visual del punto .B. por el punto .D. al arbol que se ha de medir, como muestra la linea muerta de las rayuelas: y luego por el punto .E. yrse apartando la linea recta hasta que descubra (por el punto del angulo .G. que serà en el punto .F.) el arbol a que se ha de medir, y ver, quantas medidas ay en lo que se apartò desde el punto .E. hasta el punto .F. y hallarense ocho de las con que se hizieren el quadrado de 30. y armar vna cuenta, diciendo, si la basis ocho del menor triangulo, me dan la perpendicular de 30. la basis del mayor triangulo que tiene 38. que me dará, saldran ciento y quarenta y dos medidas y media, pues que son proporcionados con vnos mesmos angulos" (...)

8.2.1Comentario

El procedimiento antedicho se puede entender mejor si traducimos el diagrama del texto al espacio de tres dimensiones

Los triángulos rectángulos HBF y GEF son semejantes.

En consecuencia, se tiene que:



Los dos procedimientos anteriores son un botón de muestra del material relacionado con la medición indirecta de longitudes que puede encontrarse en los antiguos manuales y dan fe de la utilidad de las Matemáticas.

Por ello, acabamos esta sección diciendo que:

• La historia de las Matemáticas puede contribuir a apreciar la utilidad de esta disciplina en la resolución de problemas prácticos.

9. MATEMÁTICAS Y CULTURA

Las Matemáticas, como la Filosofía, la Literatura o el Arte son el resultado del esfuerzo inte-lectual de multitud de hombres y mujeres que, integrados en determinados pueblos y viviendo en épocas concretas, han contribuido a la construcción de uno de los grandes patrimonios de la humanidad: LA CULTURA.

Dicho esto, resulta claro que la introducción en nuestras aulas de algunos contenidos mate-máticos “culturalmente interesantes” (por ejemplo: la evolución histórica de los sistemas de numeración) puede ayudar a nuestros alumnos y alumnas a valorar la contribución de las Matemáticas a la cultura humana.

En consecuencia, afirmamos que:

• La historia de las Matemáticas permite mostrar a los estudiantes el papel capital de las Matemáticas en la construcción de la cultura humana.

10. DECÁLOGO, A MODO DE EPÍLOGO

En las líneas anteriores, con el apoyo de ejemplos históricos concretos, hemos pretendido ofrecer una imagen de las Matemáticas, distinta de la que, en general, han tenido generacio-nes y generaciones de estudiantes. Al mismo tiempo, con la ayuda de dichos ejemplos, hemos ido construyendo un listado de razones, diez en total, que legitiman el uso de la historia de las Matemáticas como herramienta beneficiosa para la enseñanza y el aprendizaje de las Matemáticas en la Educación Secundaria.

Para acabar, a modo de resumen, presentamos dicho decálogo:


• La historia de las Matemáticas permite descubrir el lado ameno de las Matemáticas y puede influir favorablemente en la motivación de los estudiantes.

• La historia de las Matemáticas ayuda a inculcar en los alumnos y alumnas valores como el esfuerzo, la constancia, el trabajo, la humildad, la disponibilidad, …

• La historia de las Matemáticas contribuye a valorar la aportación de las mujeres en la construcción y el desarrollo de dicha disciplina.

• La historia de las Matemáticas permite aprender con la ayuda de unos profesores muy especiales: los grandes sabios de otros tiempos.

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• La historia de las Matemáticas muestra que dicha disciplina es una ciencia viva y que sus conceptos y procedimientos suelen cambiar con el tiempo.

• La historia de las Matemáticas permite dar una visión más humana de dicha ciencia (la Matemática no es obra de los dioses, es el resultado del trabajo de hombres y mujeres que suelen equivocarse). Este hecho puede contribuir a que el alumno no se sienta frus-trado ante sus errores y pueda aprender de ellos.

• Los profesores (alumnos) pueden aprovecharse especialmente de la perspectiva histórica de las Matemáticas, descubriendo métodos alternativos para la resolución de problemas, distintos de los que generalmente enseñan (aprenden) en clase y que pueden ser bene-ficiosos para la enseñanza y el aprendizaje de las Matemáticas.

• La historia de las Matemáticas puede contribuir a apreciar la utilidad de esta disciplina en la resolución de problemas prácticos.

• La historia de las Matemáticas permite mostrar a los estudiantes el papel capital de las Matemáticas en la construcción de la cultura humana.

Pentagrama de John Dee (1527-1609)



REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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ReyPastor,J.yBabini,J., 1984: Historia de la Matemática (dos volúmenes). Barcelona, Gedisa S. A.

Sarasvati Amma, T. A., 1979: Geometry in Ancient & Medieval India. Delhi, Motilal Banarsidass.

Sigler,L.E., 2003: Fibonacci’s Liber Abaci. New York, Springer-Verlag.

Smith,D.E., 1958: History of Mathematics (dos volúmenes). New York, Dover Publications.

NOTAS

(1) El matemático más notable y productivo de toda la Edad Media fue, sin duda, Leonardo de Pisa, conocido también como Leonardo Pisano y Fibonacci.

En 1192, el padre de Leonardo fue nombrado director de una compañía comercial de Bugia (Argelia) y en esta ciudad Fibonacci recibió las enseñanzas de maestros árabes y aprendió a calcular con los numerales indo-arábigos, que se usan en la actualidad.

Leonardo viajó por Egipto, Siria, Grecia, Sicilia y por el sur de Francia, relacionándose con eruditos y estudiosos de las Matemáticas.

En 1200 Fibonacci regresó a su Pisa natal y escribió diversas obras de contenido matemático, de las que sólo se han conservado las siguientes: Liber abaci (1202), Practica geometriae (1220), Flos (1225), Epistola ad Magistrum Theodorum (1225) y Liber quadratorum (1225).

En el Liber abaci, Leonardo de Pisa dio un tratamiento satisfactorio a la aritmética y al álgebra. A lo largo de los quince capítulos del libro, se muestra como nombrar y escribir los números en el sistema indoarábigo; se desarrollan métodos de cálculo con números naturales y fracciones; se extraen raíces cuadradas y cúbicas; se obtienen las soluciones de ecuaciones lineales y cuadrá-ticas; se resuelven problemas de trueques, compañías, aligación, etc., y se estudian cuestiones prácticas de geometría.

(2) Los datos disponibles sobre la vida del bachiller Juan Pérez de Moya son escasos e inciertos.

Nació antes del 1513, probablemente en 1512, en Santisteban del Puerto (Jaén), tal como se indica en la portada de algunos de sus libros.

Estudió en Salamanca y Alcalá de Henares, no fue profesor universitario pero posiblemente se dedicó a la enseñanza de las Matemáticas.

En 1536 obtuvo una capellanía en su pueblo natal y, ya muy mayor, fue canónigo de la Catedral de Granada, ciudad en la que murió en 1596.

(3) De la biografía de Marco Aurel sólo se sabe que era “natural Aleman” y que ejerció como maestro de escuela en Valencia. También escribió un Tratado muy util y provechoso para toda manera de tratantes y personas aficionadas al contar: de reglas breves de reducciones de monedas.

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