控制科学与工程 研究生基础理论课 -I

第一章 线性控制系统的状态空间描述

主要内容：

状态空间描述的概念

§11

由微分方程导出状态空间表达式

§22

由传递函数导出状态空间表达式

§33

由方块图导出状态空间表达式

§44

状态变量的线性变换

§55

离散系统的状态空间表达式

§66

1—1 基本定义

例 1-1 设有一个 R-L-C 网络，如图 1.1 所示，试求其数学描述。

§1 状态空间描述的概念

图 1.1 R-L-C 网络

解：依题意，列写方程

§1 状态空间描述的概念

（ 1-1）

把 作为输出，消去中间变量 ，得系统微分方程为：

（ 1-2）

)(tuc ( )i t

ct

ii uRi

d

dLtu )(

t

c

d

duCti )(

iccc uu

dt

duRC

td

udLC

2

2

把公式（ 1-1 ）用它的两个一阶微分方程表示为

§1 状态空间描述的概念

（ 1-4）

（ 1-3）

用向量矩阵方程表示为

uCtx

tx

C

CL

R

tx

tx

0

1

)(

)(

01

1

)(

)(

2

1

2

1

ict

i uL

uL

iL

R

d

d 11

iCd

du

t

c 1

§1 状态空间描述的概念

定义 1.1 状态变量：能够完全表征系统运动状态的最小一组变量。

状态变量的特点：

相互独立性：变量之间必然线性无关，变量的个数最少。

等价性：两状态向量之间只差一个非奇异变换。

多样性：状态变量的选取并不唯一，存在无穷多种方案。

§1 状态空间描述的概念

定义 1.4 状态方程：描述系统状态与输入之间关系的一组一阶微n

定义 1.3 状态空间 : 以状态变量

成的 维空间。

1

, ,n

x t x t n

（ 1-6）

定义 1.2 状态向量：以状态变量为元素组成的向量。n

Tn txtxtx )](),......,([)( 1 （ 1-5）

的坐标轴构

分方程组。

)()()( tButAxtx

§1 状态空间描述的概念

定义 1.6 状态空间表达式 : 状态方程和输出方程总合起来，构成 对一个系统的完整动态描述。

（ 1-8）

（ 1-7）

定义 1.5 输出方程：描述系统输出与状态、输入之间关系的数学表达式。

)()()( tButAxtx

)()()( tDutCxty

)()()( tDutCxty

1—2 系统状态空间描述的特点

●状态空间描述即：“输入—状态—输出” 即输入引起状态

的变化，而状态决定了输出。

§1 状态空间描述的概念

● 输入引起状态的变化是一个运动的过程，即状态方程；而状

● 一个 n 阶系统仅有 n 个状态变量可以选择。

● 对于给定的系统，状态变量的选择不唯一。

态决定输出是一个变换过程，即输出方程。

2—1 方程中不包含输入函数的导数

线性微分方程中输入函数为 u ，不包含各阶导数的微分方程形式为：

§2 由微分方程导出状态空间表达式

一个 n 阶系统具有 n 个状态变量，当给定 和

1) 选择状态变量

ubyayayay nnnnn )1(

1)1(

1)( ... （ 1-9）

)0(),...,0( )1( nyy

的输入 u(t) 时，系统在 时的运动状态就完全确定了。

0t

0t

§2 由微分方程导出状态空间表达式

所以，可取

（ 1-10）)1(

)1(2

1

nn yx

yx

yx

)1()1( ,...,, nyyy 为系统的一组状态变量。

令

§2 由微分方程导出状态空间表达式

（ 1-11）

ubxaxaxayx

xyx

xyx

nnnnn

n

nn

n

1211)(

)1(1

2)1(

1

2) 将高阶微分方程化为状态变量 的一阶微分方程组nxxx ,,, 21

系统输出关系式为

uxy 01 （ 1-12）

§2 由微分方程导出状态空间表达式

（ 1-13）u

bx

x

x

aaax

x

x

nnnnn

0

0

000

010

2

1

11

2

1

3) 将一阶微分方程组化为向量形式

状态方程为：

§2 由微分方程导出状态空间表达式

（ 1-14）

输出方程为

nx

x

x

y

2

1

001

2—2 方程中包含输入函数的导数

线性微分方程为

§2 由微分方程导出状态空间表达式

选择的状态变量要使导出的一阶微分方程组等式的右边不出现 u 的导数项，所以通常把状态变量取为输出 y 和输入 u 的各阶导数的适当组合。

ubububyayay nnn

nnn

1)(

01)( ... （ 1-15）

§2 由微分方程导出状态空间表达式

（ 1-16）

1) 选择状态变量

uuyx

uuyx

uuyx

uyx

nnn

n

nnn

n

)(0

)(1

1)1(

0)1(

102

01

§2 由微分方程导出状态空间表达式

（ 1-17）

对式（ 1-16 ）求导，可得

uxaxauxx

uxuuyx

uxuyx

nnnnnn

111

23112

1201

2) 导出状态变量的一阶微分方程组和输出关系式

输出关系式为uxy 01 （ 1-18）

§2 由微分方程导出状态空间表达式

（ 1-19） u

x

x

x

aaax

x

x

nnnnn

2

1

2

1

11

2

1

000

010

3) 化为向量形式

状态方程为

§2 由微分方程导出状态空间表达式

（ 1-20）

输出方程为

u

x

x

x

y

n

02

1

001

3—1 传递函数的极点为两两相异

控制系统的传递函数为

§3 由传递函数导出状态空间表达式

将其化为部分分式的形式

nnnn

nnn

s

ss asasas

bsbsb

U

YW

11

1

11

1

)(

)()(

（ 1-21）

n

n

s

ss ss

k

ss

k

ss

k

U

YW

2

2

1

1

)(

)()( （ 1-22）

§3 由传递函数导出状态空间表达式

nisUss

sxi

,,2,1)(1

)(1

（ 1-24）

1) 选择状态变量

令式（ 1-23 ）为状态变量的拉氏变换式

所以

)(1

)(1

)(1

1 sUss

ksUss

ksYn

n

（ 1-23）

§3 由传递函数导出状态空间表达式

则可导出

（ 1-25）

)(1

)(

)(1

)(

)(1

)(

22

11

sUss

sx

sUss

sx

sUss

sx

nn

§3 由传递函数导出状态空间表达式

2 ）化为状态变量的一阶方程组

（ 1-26）

)()()(

)()()(

)()()(

222

111

sUsxsssx

sUsxsssx

sUsxsssx

nnn

)()()()( 2211 sxksxksxksY nn （ 1-27）

§3 由传递函数导出状态空间表达式

对式（ 1-26 ）和（ 1-27 ）进行拉氏反变换，得

（ 1-28）

uxsx

uxsx

uxsx

nnn

222

111

nn xkxkxky 2211 （ 1-29）

§3 由传递函数导出状态空间表达式

3 ）化为向量形式

（ 1-30）u

x

x

x

s

s

s

x

x

x

nnn

1

1

1

0

0

2

1

2

1

2

1

状态方程为

§3 由传递函数导出状态空间表达式

（ 1-31）

n

n

x

x

x

kkky

2

1

21

输出方程为

§3 由传递函数导出状态空间表达式

（ 1-32）

即

uX

s

s

s

X

n

1

1

1

0

0

2

1

4—1 典型二阶系统状态空间描述

已知系统方框图如图 1.2 所示。

§4 由系统方块图导出状态空间表达式

1

1

s

)(2 sx

s

1 )(1 sx )(sY)(sU

图 1.2 系统方框图

1 ）列写每一典型的传递函数

§4 由系统方块图导出状态空间表达式

由图 1.2 ，有

（ 1-33）

1

1

)()(

)(

1

)(

)(

1

2

2

1

ssxsU

sx

ssx

sx

2 ）拉氏反变换得一阶微分方程组

§4 由系统方块图导出状态空间表达式

由式（ 1-33 ），得

（ 1-34）)()()()1(

)()(

12

21

sxsUsxs

sxssx

即

)()()()(

)()(

212

21

sxsxsUssx

sxssx

（ 1-35）

拉氏反变换得

§4 由系统方块图导出状态空间表达式

（ 1-36）

uxxx

xx

212

21

输出为

1xy （ 1-37）

3 ）用向量矩阵形式表示

§4 由系统方块图导出状态空间表达式

（ 1-38 ）ux

x

x

x

1

0

11

10

2

1

2

1

2

101x

xy （ 1-39）

5—1 线性变换

§5 状态变量的线性变换

已知 为一组 n 维状态变量， 为另一组 n 维状态变量，则有

1 2[ ]Tnx x x x 1 2[ ]T

nx x x x

1 11 1 12 2 1

2 21 1 22 2 2

1 1 2 2

n n

n n

n n n nn n

x q x q x q x

x q x q x q x

x q x q x q x

即：_

x Qx

（ 1-40）

（ 1-41）

§5 状态变量的线性变换

（ 1-42）

同理，有： _

xPx

只要 Q 是非奇异矩阵，则 也是该系统的状态向量。_

x

结论：同一个系统的不同状态向量之间存在线性变换的关系，而 且必是非奇异变换。

P 也应是非奇异矩阵，且 。

1 P Q

5—2 线性变换的基本特性

§5 状态变量的线性变换

性质一

性质二

线性变换不改变系统的特征值。

线性变换不改变系统的传递函数矩阵。

5—3 化系数矩阵为标准型

§5 状态变量的线性变换

（ 1-43）

1 ）化系数矩阵 A 为对角阵

设系数矩阵 A 为任意方阵，且有 n 个互异实特征值 ， 则可由非奇异线性变换化为对角阵 Λ 。

n ,...,, 21

n

APP

2

1

1

其中， P 阵由 A 阵的实数特征向量 组成。),...,2,1( nipi

§5 状态变量的线性变换

（ 1-44）

2 ）化系数矩阵 A 为约当阵

设系数矩阵 A 具有 m 重实特征值 λ1 ，其余为 n-m 个互异实特征值，则可由非奇异线性变换使 A 化为约当阵 J 。

n

m

APPJ

0

1

0

1

1

1

1

1

1

§5 状态变量的线性变换

（ 1-45）

其中

nmm pppppP 121

J 中虚线表示存在一个约当块， 为广义实特征向量，满足式（ 1-44 ）， 是互异特征值对应的实特征向量。

mppp ,..., 32

mm pppAppp

21

1

1

1

21 1

1

（ 1-46）

nmm ppp ,...,, 21

6—1 离散系统状态空间描述的特点

§6 离散系统的状态空间表达式

1 ）状态方程为差分方程。2 ）描述方程的线性属性，即状态方程和输出方程的右端，对状态 x 和输入 u 都呈现为线性关系。

3 ）所有变量只能在离散时刻 k 取值。

6—2 离散系统的状态空间表达式

§6 离散系统的状态空间表达式

离散系统的状态空间表达式为：

( 1) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

x k Gx k Hu k

y k Cx k Hu k

（ 1-47）

在式（ 1-45）中，第一个式子是状态方程，为向量差分方程，第

二个式子是输出方程，为向量代数方程。

§6 离散系统的状态空间表达式

离散系统的方块图如图 1.3 所示。

图 1.3 离散系统的方块图

6—3 由差分方程化为状态空间表达式

§6 离散系统的状态空间表达式

设系统的差分方程为

1 1 0 0( ) ( 1) ( 1) ( ) ( )ny k n a y k n a y k a y k b u k （ 1-48）

取状态变量：

)()()()()1(

)()1(

)()1(

10121

32

21

kukxakxakxakx

kxkx

kxkx

nnnnn

（ 1-49）

§6 离散系统的状态空间表达式

（ 1-50）

写成向量形式

1 1

2 2

0 1 1

0 1 0 0 0( 1) ( )

0 0 1 0 0( 1) ( )

( )

1 0( 1) ( )

1n nn

x k x k

x k x ku k

x k x ka a a

1

2

( )

( )( ) [1 0 0]

( )n

x k

x ky k

x k

（ 1-51）

本章要点

状态空间的描述

状态空间描述的概念

状态变量状态向量状态空间状态方程

状态空间表达式的导出

由微分方程导出状态空间表达式由传递函数导出状态空间表达式由系统方块图导出状态空间表达式

离散系统的状态空间描述

状态变量的线性变换对角型约当型化系数矩阵为标准型