§0. Introduction

keywordse.ci initial dimensiono f a specialization closed subset o f SpecR

い 、 geometry

o n w i d e subcategorieso f ModR l muniform subcategorieso f D lModR）

• m e s he v e n t subse ts of giが"84 t h eOne. representationtheory

. . . i d e a l theory.

A I

Study t h e relation among them using"small support".

I I D IMs aR )Fo r M E ModR . t h e smwsutp.meo fM i s

supplies：=｛pE SpecRITyj.IE?iso)I たが詬

char-うたき嵓

が 籅｛pl E（名）くのE''（M））

N o t e : A s M e suppM e SuppM：=（PESpeeR lMpが 1F o r I N C SpeeR , s e t

s u ppin(IN）は ｛MEModR I Supp(M）<W|

s u pp i (IN） は ｛XED(MoaR ) I supp(X) C I N |

F o r INCS_pecR.piny.TT?JTiYd0neefunaa

しguppies) L e s ModR

I f I N i s specialization closed.

HiNw(M））E Hi(M）：= 1でた1M）し た（M） =に E M I Supp(Ra)C I N l )

D IF o r a specialization closed subset I N C SpecP ,

ed(IN）：= i nf f i s o I Hui(M）=0 fo r "ME MoaRfi t h eJ i d d i m e n s A IN.

i f I N i s c l o s e d ,fed(IN） =（the

e shomologicaldimension o f t h e scheme SpecR、川|+ 1

② Known results.

晋前がでんささらNeman

1992）

⑦ -c l osed Servehisc a t . of m a

Rt"がでる釘ががとても ど →

｛smashinga tsubse ts o f Spea R |← of D lModR )

u

も 1 - ）supp(A）

!

U.net

supp(M） く - 1 がs up i l lN ) f r o n t I N 1 - ） Suppbtw，

化がIModR : S e e

"

で も i s c losed u n d e r submodules,

quotient modules, extensions.

' K LD(ModR）：sina.dertk.is

"

-close d t h i ck

G も い D lM o dR ) has a right adj.which preserves direct s u m s .

' I N C SpecR : s p e c i a l i t y (sp.cl.）とでHpcq c SpecR . p e I N ⇒ 9 E I N .

Easy_Fc.eeFo r a sp.cl. subset I N C SpeeR ,

cd(IN) E O や IN' i s sp.cl.

Ihr(Krause 20081ヨが、

|

#

-closed wide

s u bc a r . of M o dR |

!

f"""""

"

|<

!

fはH）-closed

t h i ck |of SpecR s u bc a t . o f D I MO dR )

Here，・ K < M o dR こwidens間 I t i s c l osed under kernels, a kennels,

extensions.

- ）-（CD(ModR ) i H i d e " X E t t H I X ) E t

$

）"

' I N a SpecR i a h e d t " I I I ' w i t h だいら AssごくIN，

ざごーごーごこ e x . s e

wi th ごこimj.. A ssご く が

正 （Angereri H i igee,Marks, Staidk , Takahashi, Vitor ia 2018）

For a sp .c l subset I N a SpeeR ,

ed(IN) E l くニ> パン cohe ren t

W e w a n t t o consider higher c ohomological d im cd lIN ) S h .

N h n wide s ubc a t . n uniform s u beat . ， me s he v e n t subset

P I

SO Introduction

8 1 Subcategories o f M o dR ID(ModR）5 2 . Subsets o f SpeeR53. M a i n Result

§ 1 . Subcategories of M o dRID(MFR）⑨ Subcategories of M o dR

t s u bc a t . t c M o d R i s

• dosedunderm_ifio-M-x-X-n.mx". が EH"

ニ） M Et.foseundan.am/_if，，

x n - ） - _ - X 、 一 x 。 _ M t o , X i E K

⇒ M E A

•w w i d e i f H i s closed u n d e r n Ke r,musk .ext .

F E E T u n d e r 0-Kernel や c l o s e d u n d e r s u bm o d .

I kernels

c losed u n d e r 0 - c s k や c l o s e d u n d e r quot.mad

I nparticular，'

e sKerner

0 - w i d e = Serve

I - w i d e = w i d e

（2） 0 -w i d e で 1 - w i d e の - . - ⇒ a w ideい I I

Serve wide

I I I . I

L e t F : M o aR - M o dR b e a left e x a c t functor with が F = 0 .Then

{ M E M o dR I R'た（M）2 0 1

i s a w ide

Similar r e s u l t holds for t h e l e f t derived functor o fa night e x funa 、

心 に ） 2 .E 1 . 2（l) L e t I N C SpeeR : sp e l . w i t h

cd(INFE n .

T h e n

(MG M o d R I Hi(M）= o for i s が 、 n I - spil lNYi s w wider. i

ed(IN) E n 一-） supp(IN'） i n _w i d e .

12） L a T E M o dR . i o T E h.

T h e n

f M f M o dR l E x eE(M,T) s o Ii s m w i d e

13） L e t T G M o d R . p dT S h.

Then

1ME M o d R I Extが（T. M） 2 0 1

1 M E M o d R I T a E ( T. M ） 2 0 |a r e m w i d e

⑨ Subcategories o f D lM o dR )

DefA T th ick subc a t . A C D ( R ) i s n i n e

& Let X E K . i t Z s . い

て HI(X） = 0 for i t j G ( i n . i th）

. が G た f o r j e f i n . i tn ]

Thenで（X）

，

がイが（x,E A -

"

學a n d H i s の一closed, then

Z i s m uniform

← > L e n X t K . i t Z s e

' HI ( X ) z o fo r i t j G ( i . u . i tn )

T h e n H「（X)E H

This u s e s t h e resu l ts by N e em a n , Nakamura- Yoshino ？

・ （Neeman) t s s u pfb(IN) for Z I NC SpecR• （Nakamura-Yoshino) supp(X) C I N ⇒ x I ヨ Y i n D IM o eR )

S . t . suppY''C I N

l Hi，（2）

"

-c l ose d O - un i form = smashing

- ' ' T I - uniform 2 H . closed

- い ー か uniform = H の . c losed th ick s u bcat .

（3） 0-uniform = ） I_uniform ⇒ 2-uniform=） . . . → p-uniform.

I I I . 3 I n EIN)L e t F i ModR - ） M o dR be a left e x a c t functor withRT=0.T h e "

f x a D e a R , I RFIX） 2 0 1i s w uniform

E 1 . 4

い、 L e t I N C SpecR isp.cl. with Cd(IN) S hな "

f x ED (Moa R ) I Rた（ x ) E o f =supi b(w'）

i s n_uniform.

i . ed(IN) E n で suppI '（IN'） i m uniform.

（2） Le t T E M o dR a t . i d T E h .

T h e n

( x I RHom(X.T）が1i s w uniform

D L e t T G M o dR s . t . pdT s n .

Then

l X I RH omr ( T X ) t o 1

1 × 1 T I n X E o fa n e w uniform .

§ 2 Subsets o f SpeeR

I IA s u b s e t I N C SpecR i s

m o sFo r a n e x . s e e

A s I i c I N

e.際𡵅

!

萩市となった

w t h I i e s

Ass(C) C I N .

O r a s he v e n t = sp.cl.

a s _ cohe ren t 2 はsubsets

（2） 0 - c s h ⇒ 1-csh → - _ - で は 一 u h .

❤

How t o f ind m e s he v e n subsets

暭

"

f o r u s .い） H s u b s e t . A SpecR i s に u h（2） H sp.cl. s u b s e t . I N o f SpeeR , CdlIN） で

（3） d i mR E n

R eTh is resul t u s e s a bigCohen.Macaulay module M .

w h o s e e x i s t e n c e i s f o n e of the homological m ieames".proved by Andre' （20/6）.

T o prove いる（3）， u s e t h e mining. resale of M .

12-22 （Groin vanishing then)I N C SpeeR

Hp E I N , h i p s n ⇒ INC : m e s h .

1R i t d i m ring , I N C SpeeR

'

I N i 0 - o h や I N い sp.cl.ObsI I )

s H subse ts a r e I r i s h by

P r o p 2 . I -R・ たいか 、

IN※generalization c losed l i e . I N ' i spell

'

I N こ O - c s h や I N ? sp.d' I N : t b h # m G I N I N z SpeeR

" " R. m

( E） ：Prop2.2 、 _ _ _. h tで

（ニ） . ' H a r t s h o r n e Lichte nbaum. .vanishing theo rem

- H (gen. el.）subsets a r e 2 - c l o s e d

by Prop2.I

§ 3 . M a i n Result.

S u -...：：※..嫗王に！.iem e s h . sp.cl. cohe re n t . . .

MaintenanceF o r M E INしたり、 ヨが. が（か.E）-closed

awide|

!

Incoheren t

subs！！にPassed )subcat.of M o dR o f SpeeR m uniforms u be a t .

A D(MoaR）い

た t e n t appDt) K e n t Isuppi M く ～ 1 I N l e t s suppj (W)

Here, K C Mo dR i E t c h e s越 はME K . E''（M) E K .か）

弁。

C I M C ' ' ' C I N .I T I t

C . c a c . e c jI T I T

U . C U、 C - _ - C U c s

F-M o dR i かclosed （1-）wide 一-） も i E_closed.

兵も= 0 Gabriel 11962） N e emanに992）

|

"

-

closed Servesubc a t . f

!

ftp.d.subseesf

#

fsmashing sube a tA M o dR & SpecR o f D(ModR） |

Krause（2008）y（2） n = I

|

"

-closed wide sub

cat.ffff

Coherentsubsets｝

=|B.H）- closed thick fo f SpecR s u bc a t of D lModR )A M o dR

Takahashi（20°9）Neeman11993（3） n z

of

"

，E t

closed b _ w i d e s u bCat.|

!

I Pe eReb の一 c l o s e d thick subea t . |A Mo dR A D lM o dR )

I T M - N a m Takahashi- Tr i -Yen)F o r a sp.c l s u b s e t I N C SpecR ,

e d (IN) E n 一一〉 supply（パ） i n w ide

a n d " # ' holds i f n E l o r n s d i nR i .

I 3 . 3F o r a sp.cl. subset I N e SpeeR ,

ed(IN, E h 一-） INC i n c o h e r e n t

a n d "が holds i t gg o r m

Angenew Hi igel a d ." "

'器any2 E n s d i mR-2， ヨcounter example to"← ".