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Allgemeine Optik I

Geometrische Optik - Basisoptik

Studiengang Optometrie 2007-2010 Wintersemester 2007 / 2008

Skriptum für den Unterricht an der FHNW Fachbereich Optometrie

erstellt von Dr. R. E. Joos

Skriptum Allgemeine Optik I - Basisoptik Seite 2

Allgemeine Optik I – Basisoptik Seite 3

1 Grundlagen der geometrischen Optik

In diesem ersten Abschnitt wollen wir die Grundlagen und Grundbegriffe der allgemeinen Optik zusammenstellen. Diese Zusammenstellung hat proviso-rischen Charakter; demzufolge wollen wir nicht allzusehr in die Details gehen. Eine ausführlichere Behandlung wird sich im Rahmen der Physikalischen Optik ergeben. Die Begriffe und Gesetze werden hier so genau wie für eine Anwendung in der geometrischen Optik nötig dargestellt.

1.1 Selbst- und Nichtselbstleuchter Wir unterscheiden selbstleuchtende und nichtselbstleuchtende Lichtquel-len. Als Beispiele für selbstleuchtende Lichtquellen sind zu nennen:

Glühlampe Leuchtstoffröhre Dampfdrucklampen Kerze Sonne Fixsterne

Im Gegensatz dazu sind die meisten Gegenstände unserer Umwelt nichtselbst-leuchtend. Sie werden nur sichtbar, weil sie das Licht von selbstleuchtenden Lichtquellen reflektieren. Beispiele:

Wandtafel Leinwand Haus Mond Planeten

1.2 Temperatur- und Entladungsstrahler


Berühren wir eine Glühlampe, so stellen wir fest, dass diese unter Um-ständen sehr heiss sein kann. Im Gegensatz dazu können wir eine Leuchtstoff-röhre ("Neonröhre") ohne weiteres anfassen. Diese bleiben normalerweise im Betrieb kalt (erst wenn eine Leuchtstoffröhre defekt ist wird sie im Betrieb al-lenfalls warm). Grundsätzlich unterscheidet man zwei Arten von Lichtquellen:

Temperaturstrahler Bei diesen Lichtquellen ist die hohe Temperatur des Stoffes die Ursache für die Lichterzeugung. Beispiele:

Glühlampe Halogenlampe Dampfdrucklampe Kerzenflamme Sonne, Sterne

Entladungsstrahler Entladungsstrahler heissen alle Lichtquellen, deren Ursache für die Licht-erzeugung nicht in der hohen Temperatur eines Körpers oder einer Substanz begründet liegt. I.a. spielen sich elektrische Prozesse in solchen Lichtquellen ab. Bei Leuchtstoffröhren z.B. bewegen sich Elektronen und Ionen durch eine teil-vakuumisierte edelgashaltige Röhre und regen dabei die Atome oder Moleküle zu einer Lichtausstrahlung an.

1.3 Geradlinige Ausbreitung des Lichtes Eine wichtige Annahme für die geometrische Optik besteht in der geradlinigen Ausbreitung des Lichtes. Wir kennen viele Beispiele aus dem Alltag, die den Schluss nahelegen, das Licht bewege sich geradlinig. Allerdings muss man vor-beugend bemerken, dass es durchaus auch Situationen gibt, in denen sich das Licht auf gekrümmten Wegen bewegt. Beispiele für die geradlinige Ausbreitung des Lichtes:

Sonnenstrahlen beim Aufreissen einer Wolkendecke Strahl einer Taschenlampe


Geradliniger Schattenwurf von Gegenständen Laserstrahl

All diese "Belege" haben zu der für die geometrische Optik wichtigsten Arbeitshypothese geführt:

In homogenen Medien bewegt sich das Licht geradlinig. Damit ist bereits angedeutet, dass in inhomogenen Medien das Licht keineswegs eine geradlinige Ausbreitung aufzuweisen braucht. Beispiele für eine nichtge-radlinige Lichtausbreitung:

Licht der Sonne in der Atmosphäre, speziell bei Sonnenaufgang und Son-nenuntergang Reflexion und Brechung des Lichtes Beugung des Lichtes an Hindernissen Fata Morgana etc.

1.4 Lichtstrahlen, - büschel und -bündel Wir wissen aus der physikalischen Optik, dass Licht in der Elektronenhülle von Atomen oder Molekülen erzeugt wird. Die kleinste Lichtquelle hat also die Ausdehnung eines Atomes. Für die geometrische Optik ist es jedoch zweckmäs-sig sich vorzustellen, es gebe unendlich kleine Lichtquellen oder anders ausge-drückt: jeder Punkt (eines Gegenstandes) sende Licht aus. Man spricht deshalb von sogenannten

Punktlichtquellen Man stellt sich i.a. vor, dass Punktlichtquellen ihr Licht in alle Raumrichtungen gleichmässig aussenden. D.h. in alle Richtungen des Raumes werden gleich vie-le Lichtstrahlen ausgesandt. Lichtstrahlen sind eindimensionale Gebilde. Licht-büschel enthalten alle von einem Punkt ausgehenden Lichtstrahlen in einer E-bene (innerhalb eines Kegels); es sind also zweidimensionale Gebilde. Licht-bündel enthalten alle von einem Punkt ausgehenden Strahlen innerhalb eines definierten Kegels. Es handelt sich bei einem Strahlenbündel also um ein drei-dimensionales Gebilde. Je nach Verlauf der Strahlen unterscheidet man diver-gente, parallele und konvergente Strahlenbüschel oder -bündel. Der Winkel, den die beiden (äussersten) Randstrahlen einschliessen, heisst Öffnungswinkel ei-nes Strahlenbüschels bzw. -bündels.


1.5 Lichtgeschwindigkeit Ältere Theorien des Lichts gingen davon aus, dass das Licht eine unend-lich grosse Ausbreitungsgeschwindigkeit aufweise. Beobachtungen und Expe-rimente führten jedoch schon recht früh zu einer Korrektur dieser Annahme. Erkenntnisse aus der Elektrodynamik und der Physik allgemein zeigen, dass in der Natur keine unendlich grossen Geschwindigkeiten auftreten können; dies wäre nämlich mit unendlich grossen Energien verbunden; letztere sind aber im-mer endlich (oder die Menschheit wäre viele ihrer Probleme mit einem Schlag plötzlich los). Heute ist die Lichtgeschwindigkeit eine der am genauesten be-stimmten Naturkonstanten. Ihr Wert beträgt:

cms

= ⋅2 99792458 108.

Für praktische Berechnungen reicht es aus, einen Wert von

cms

= ⋅3 108

anzunehmen.

1.5.1 Messung der Lichtgeschwindigkeit nach Olaf Römer

Olaf Römer (1644 -1710) beobachtete, dass die Dauer, während der die Monde des Jupiters im Schatten ihres Planeten verschwanden, scheinbar verän-derlich war. Er vermutete, dass diese Beobachtung darauf beruhte, dass das Licht von diesen Monden unterschiedlich lange brauchten um zur Erde zu ge-langen - je nach Stellung der Erde und des Jupiters. In der untenstehenden Skiz-ze sind die beiden Extrempositionen dargestellt. Aus dem Durchmesser der Erdbahn um die Sonne (300 Mio km) und der beobachteten Verzögerung des Lichtes von ca.1000s ergibt sich ziemlich genau der Wert von ca. 300'000 km/s für die Lichtgeschwindigkeit.


Sonne

Erde

Jupiter

SonneErde

Jupiter

Konjunktion Opposition

1.5.2 Messung der Lichtgeschwindigkeit nach Fi-zeau

Fizeau war der erste Physiker, der die Lichtgeschwindigkeit mit einer speziell hergerichteten physikalischen Anordnung zu messen versuchte. Seine Idee beruhte darauf, die (sehr kurze) Laufzeit zu messen, die das Licht benötigt, um eine bestimmte Strecke (einige km) zurückzulegen. Konkret bestand sein Experiment aus einer Lichtquelle, einem halb durchlässigen Spiegel, einem rasch rotierenden Zahnrad (daher spricht man vom fizeauschen Zahnradver-such) und einem voll reflektierenden Spiegel. Der Versuchsaufbau ist in der un-tenstehenden Skizze dargestellt.

Zahn-rad

Licht-quelle

Strahl-teiler

Spiegel

Beobachter


1.5.3 Lichtgeschwindigkeit in optischen Medien In optischen Medien bewegt sich das Licht stets langsamer oder besten-falls gleich schnell wie im Vakuum. Ein Medium, in dem sich das Licht lang-sam ausbreitet, bezeichnet man als optisch dichtes Medium. Im Gegensatz nennt man ein Medium, in dem sich das Licht schneller bewegt (als in einem Ver-gleichsmedium) als optisch dünneres oder weniger dichtes Medium. Für die Be-rechnung der Lichtgeschwindigkeit in einem Medium kann der Zusammenhang

ccnMedium

Vakuum

Medium=

verwendet werden. Mit nMedium bezeichnet man die Brechzahl des Materials. Letztere ist eindeutig bestimmt für ein Material und Licht einer bestimmten Wellenlänge (vgl. Ausführungen weiter unten!).

1.6 Die Natur des Lichtes Dem Licht kommt eine Doppelnatur zu (Dualismus Teilchen Welle). Ge-wisse Eigenschaften des Lichtes können besser erklärt werden, wenn man an-nimmt, Licht sei eine Welle. Einige wenige (aber wichtige) Erscheinungen kön-nen hingegen nur erklärt werden, wenn man annimmt, Licht bestehe aus einem Strom kleinster Teilchen, den sogenannten Lichtquanten oder Photonen. In je-dem Modell jedoch ist mit Licht der Transport von Energie verbunden.

1.6.1 Wellenmodell des Lichtes - Elektromagnetisches Spektrum

Licht kann als Welle aufgefasst werden. Dabei kommen dem Licht Ei-genschaften zu, die jeder Welle anhaften. Mit dem Wellenmodell des Lichtes können Phänomene wie Reflexion und Brechung des Lichtes erklärt werden.

Wichtige Grössen bei einer Welle sind:

Wellenlänge λ = Abstand zweier Wellenberge oder Wellentäler

Frequenz ν = Anzahl Schwingungen pro Sekun-

de, die ein einzelnes Element einer Welle ausführt.


Ausbreitungsgeschwindigkeit c = Geschwindigkeit, mit der sich ein

Wellenberg vorwärts bewegt.

Amplitude A = Stärke, Grösse der Schwin-gung eines einzelnen Elementes der Welle. Energie der Welle.

Zusammenhang zwischen Ausbreitungsgeschwindigkeit, Frequenz und Wellenlänge des Lichtes:

c = ⋅λ ν Gelangt eine Welle vom Vakuum in ein Medium, so ändern sich die Aus-breitungsgeschwindigkeit c und die Wellenlänge in diesem Medium, nicht aber die Frequenz des Lichtes. Die Brechzahl gibt somit an, in welchem Verhältnis die Wellenlänge in einem Medium abnimmt. Die Wellenlänge von kurzwelligem Licht wird i.a. in einem Medium stärker reduziert als diejenige von langwelligem Licht.

Die Abhängigkeit der Lichtgeschwindigkeit in einem Medium von der Wellen- länge (im Vakuum) heisst Dispersion.

Licht ist eine sogenannte elektromagnetische Welle. Dies besagt, dass elektrische und magnetische Felder in rascher Folge auf- und abgebaut werden, d.h. schwingen. Im Gegensatz zu Lichtwellen gibt es noch viele mechanische Wellen wie Schallwellen, Wasserwellen etc. Bei solchen Wellen schwingen kleine Massestücke um einen definierten Punkt. Es gibt ein ganzes Spektrum elektromagnetischer Wellen - je nach Wellenlänge im Vakuum. Als Licht im eigentlichen Sinne bezeichnet man jedoch nur elektromagnetische Wellen im (Vakuum-) Lichtwellenbereich von ca. 400nm bis 750 nm. Wellen, die von einem Punkt ausgehen, bilden konzentrische Krei-se. Diese Kreise nennt man Wellenfronten. Die Ausbreitungsrichtung der Wellen ist i.a. senkrecht zu den Wellenfronten (Ausnahme: Doppelbre-chung). Ein sehr wichtiges Prinzip in der Wellenoptik besagt, dass jeder Punkt einer Wellenfront wieder Ausgangspunkt einer neuen Welle sein kann. Eine Welle kann als Überlagerung vieler solcher Sekundärwellen be-trachtet werden. Dies nennt man das Prinzip von Huygens.


1.6.2 Korpuskularmodell des Lichtes Bereits weiter oben wurde behauptet, Licht stelle in jedem Falle ein Ener-giestrom dar. Der Zusammenhang zwischen Licht und seiner Eigenschaft als Energieträger wird durch das Korpuskularmodell des Lichtes erhellt. Das Kor-puskularmodell des Lichtes geht davon aus, dass das Licht aus kleinsten Be-standteilen aufgebaut ist, d.h. aus den sogenannten Photonen oder Lichtquanten. Am besten stellt man sich einen Lichtstrahl als Strom von sehr vielen äusserst kleinen Bällen (Photonen) vor. Jedes dieser Photonen besitzt - je nach Wellen-länge - einen bestimmten Betrag an Energie. Man kann sich auch gut vorstellen, dass diese Photonen an Hindernissen abprallen (Reflexion, Reflexionsgesetz, analog der Reflexion eines Tennisballes oder dergleichen), hingegen hat man Mühe, mit diesem Modell z.B. das Brechungsgesetz zu erklären. Nach der Kor-puskulartheorie des Lichtes besteht ein Zusammenhang zwischen Wellenlänge und Energie des Lichtes:

E hh c

= ⋅ =⋅

νλ

h ist eine universelle Naturkonstante. Man bezeichnet sie als sogenanntes Plancksches Wirkungsquantum oder als Plancksche Konstante. Ihr Wert beträgt

h Js= ⋅ −6 63 10 34.

1.7 Verhalten eines Körpers beim Bestrahlen mit Licht

Wir unterscheiden lichtdurchlässige und lichtundurchlässige Körper. Fällt Licht auf einen undurchsichtigen Körper, so wird ein Teil des Lichtes absor-biert, ein Teil reflektiert. Wird viel Licht absorbiert, so spricht man von einem dunklen Körper, im Gegenteil von einem hellen Körper. Die Absorption von Licht ist i.a. mit dem Erzeugen von Wärme (Energieumwandlung) verbunden. Lichtdurchlässige Körper können klar oder trüb sein. Besipiele: Fensterglas, Milchglas. Der Unterschied besteht darin, dass das Licht beim Durchgang durch einen trüben Körper zumindest teilweise seine ursprüngliche Richtung verliert.


1.7.1 Diffuse und gerichtete Reflexion Weiter unterscheiden wir diffuse und gerichtete Reflexion. Erstere tritt an glatten Oberflächen auf: Alles Licht, das aus einer bestimmten Richtung auf die Oberfläche trifft, verlässt diese (nach dem Reflexionsgesetz) in einer bestimm-ten Richtung (sofern nicht alles Licht absorbiert wird). Im Gegensatz dazu tritt diffuse Reflexion an matten, unpolierten und unregelmässigen Oberflächen auf. Licht, dass aus einer bestimmten Richtung auf die Oberfläche auftrifft, wird nicht einheitlich in die gleiche Ricchtung reflektiert - je nach Auftreffort auf der Oberfläche.

1.7.2 Reflexion - Absorption - Transmission Trifft Licht auf eine (teildurchsichtige) Schicht, so kann ein Teil reflek-tiert, ein weiterer Teil absorbiert und der Rest transmittiert (=durchgelassen) werden. Man spricht deshalb von Reflexion, Absorption und Transmission. Die drei Grössen Reflexionsgrad ρ, Absorptiongrad α und Transmissionsgrad τ ge-ben an, wie gross der Anteil der reflektierten, absorbierten und transmittierten Lichtes ist. Da bei den Prozessen der Reflexion, Absorption und Transmission insgesamt keine Energie verloren gehen darf, gilt der Zusammenhang

ρ α τ+ + = 1 Dieser Zusammenhang ist in den untenstehenden Karikaturen sinngemäss dar-gestellt.


2 Reflexion an ebenen Spiegeln - Reflexionsgesetz

Trifft ein Lichtstrahl auf eine ebene, glatte Oberfläche, wird ein je nach Beschaffenheit der Oberfläche mehr oder weniger grosser Teil dieses Lichtes reflektiert. Die Reflexion des Lichtes gehorcht dem Reflexionsgesetz. Wir er-läutern in einem ersten Abschnitt das Reflexionsgesetz, besprechen in diesem Zusammenhang die Konvention für die Winkelvorzeichen und schliessen dann eine Herleitung des Reflexionsgesetzes an. Darauf folgen verschiedene Anwen-dungen des Reflexionsgesetzes wie der Dreh- und Winkelspiegel.

2.1 Reflexionsgesetz In der Optik werden zum Teil verschiedene Vorzeichenregeln verwendet. Strit-tig ist sicher die Frage, ob es sich überhaupt lohnt, optische Grössen wie Stre-cken, Abstände und Winkel mit Vorzeichen zu versehen. Im allgemeinen kann man behaupten, dass Vorzeichen Rechnungen erleichtern, dafür die praktische Anwendung von Formeln etc. erschweren. Wir werden hier vorerst einmal alle Grössen mit Vorzeichen versehen; gerade bei Winkeln empfiehlt es sich jedoch, mit Plausibilitätbetrachtungen die Resultate zu überprüfen - gelegentlich sogar auf die Vorzeichen zu verzichten. Winkel sind positiv wenn sie im mathematisch positiven Sinne, d.h. im Gegenuhrzeigersinn verlaufen. In den untenstehenden Skizzen ist je ein Beispiel für mathematisch positive und mathematisch negative Winkel angeführt.

α

α

positiver Winkel negativer Winkel


Wie ist nun die Orientierung der Winkel in der Optik zu wählen? Wenn irgend zwei Strahlen gegeben sind, kann man willkürlich festlegen, von welchem Strahl aus der Winkel zu zeichnen ist. In zwei sehr häufigen Fällen jedoch hat man festgelegt, von welcher Grösse aus Winkel zu messen sind: Der Winkel zwischen einem Strahl und einem Lot wird immer vom Lot aus gemessen. Der Winkel zwischen einem Strahl und der optischen Achse wird immer vom Strahl aus gemessen. Die oben erwähnte Art, Winkel zu definieren, entspricht der sogenannten Abbeschen Zählweise. Sie wurde während Jahrzehnten in der deutschen und auch in der angelsächsischen Optik-Literatur verwendet. Sie entspricht auch den DIN-Normen. Leider kann man aber heute in der englischsprachigen Optik-Literatur einen Wechsel in der Handhabung der Vorzeichen der Winkel zwi-schen Strahl und optischer Achse feststellen. Bevor also aus irgendeinem Fach-buch über Optik eine Formel oder ein Resultat übernommen wird, muss also festgestellt werden, wie die Vorzeichen bei Winkeln definiert sind. Für die weiter oben erwähnten beiden Fälle fügen wir untenstehend eini-ge Beispiele an:

ε

εε '

Um das Reflexionsgesetz formulieren zu können, definieren wir vorerst den Einfalls- und den Ausfallwinkel: Einfallswinkel = Winkel zwischen Lot und Einfallsstrahl.


Ausfallwinkel = Winkel zwischen Lot und Ausfallstrahl. Mit diesen Definitionen lautet das Reflexionsgesetz: Der Ausfallwinkel ist gleich dem negativen Einfallswinkel. Oder: Einfalls- und Ausfallwinkel sind betragsmässig gleich gross, weisen jedoch unterschiedliche Vorzeichen auf. Wenn wir die Bezeichnungen für den Einfalls- und für den Ausfallwin-kel verwenden, so lautet das Reflexionsgesetz als formelmässige Beziehung:

ε ε' = Die Situation ist in der untenstehenden Skizze dargestellt.

εε '

2.2 Herleitung des Reflexionsgesetzes

Das Reflexionsgesetz kann mit Hilfe der Welleneigenschaften als auch mit dem Korpuskularmodell des Lichtes hergeleitet werden. Wir zeigen vorerst, wie man das Reflexionsgesetz mit Hilfe der Wellennatur des Lichtes begründen kann. Dazu betrachten wir die untenstehende Skizze. Eine ebene Wellenfront trifft zuerst auf den Punkt A. Erst einige Wellenlängen später erreicht die glei-che Wellenfront den Punkt B. Die von A ausgehende Elementarwelle hat zu diesem Zeitpunkt die gleiche Anzahl Wellenlängen zurückgelegt. Ähnliche Ü-berlegungen kann man für die zwischen A und B liegenden Punkte anstellen. Die von all diesen Punkten ausgehenden Wellenfronten ergeben (durch Überla-gerung) die resultierende Wellenfront. Da die Strecken CB und AD gleich gross sind und die Ausbreitungsrichtung der Welle senkrecht zu den Wellenfronten steht, folgt daraus unmittelbar das Reflexionsgesetz.


Auch mit dem Korpuskularmodell des Lichtes kann man das Reflexions-gesetz herleiten. In der Mechanik kann man zeigen, dass ein Ball, der an einer Wand reflektiert wird, dem Reflexionsgesetz gehorcht. Stellt man sich das Licht als Photonenstrom (Teilchenstrom) vor, so ist klar, dass es ebenfalls das Refle-xionsgesetz erfüllen muss.

2.3 Bilderzeugung mit Hilfe optischer Spiegel Wir stellen uns einen Punkt P und einen Spiegel S vor. Vom Punkt P ge-hen Lichtstrahlen aus - diese werden unter Einhaltung des Reflexionsgesetzes am Spiegel reflektiert. Verlängert man diese reflektierten Strahlen rückwärts (virtuell), so schneiden sie sich alle in einem Punkt P'. Die reflektierten Strahlen scheinen von diesem (virtuellen) Punkt auszugehen. Da wir es mit divergieren-den Strahlen zu tun haben, ist dieser Bildpunkt virtuell. Ein planer Spiegel er-zeugt ein aberrationsfreises virtuelles Bild. Dieser Bildpunkt kann auch mit ei-ner verkürzten Konstruktion gefunden werden (vgl. Ähnlichkeit der Dreiecke etc.).


2.4 Bildkonstruktion beim Planspiegel Die virtuellen Bilder, die ein Spiegel von Gegenständen bildet, können verkürzt konstruiert werden; dazu bildet man ein Lot von dem zu spiegelnden Punkt auf den Spiegel. Das Spiegelbild ist gleich weit vom Spiegel entfernt wie der Ausgangspunkt. Es ist zu bemerken, dass diese Konstruktion auch dann funktioniert und sinnvolle Resultate liefert, wenn der in Wirklichkeit gegebene Spiegel am Fusspunkt des Lotes gar nicht vorhanden ist. Zur Veranschauli-chung der verkürzten Konstruktion dient die nachfolgende Skizze.

P P'Spiegel


2.5 Der Winkelspiegel Ein Winkelspiegel ist ein Gebilde, das aus zwei Spiegeln mit einer ge-meinsamen Kante besteht. Beim Winkelspiegel interessieren vor allem zwei Fragen:

1. Wieviele Spiegelbilder sind sichtbar?

2. Welche Strahlablenkung erfährt ein Strahl, der an beiden Spiegeln genau einmal reflektiert wird?

Diese beiden Fragen beantworten wir nun in derselben Reihenfolge:

2.5.1 Anzahl der Spiegelbilder Es kann keine einfache allgemeingültige Regel für die Berechnung der Anzahl der Spiegelbilder bei einem Winkelspiegel angegeben werden. Im konkreten Fall bestimmt man die Anzahl der möglichen Spiegelbilder durch Konstruktion. Dazu geht man wie folgt vor:

1. Man zeichne die beiden Spiegel und deren Verlängerung. 2. Punkt, dessen Spiegelbilder bestimmt werden sollen, einzeichnen. 3. Punkt abwechslungsweise an beiden Spiegeln spiegeln. 4. Ein Spiegelbild besitzt keine weiteren Spiegelbilder, wenn es zwi-

schen die beiden Verlängerungen der Spiegel zu liegen kommt. 5. Anzahl der so konstruierten Spiegelbilder feststellen.

Für den Fall, dass der Objektpunkt auf der Winkelhalbierenden des Win-kelspiegels liegt, kann die Anzahl der Spiegelbilder berechnet werden. Man hat zu unterscheiden, ob der volle Winkel (360°) durch den Winkel ϕ des Winkel-spiegels ohne Rest dividiert werden kann, oder nicht. Falls der volle Winkel (360°) durch den Winkel des Winkelspiegels ohne Rest dividiert werden kann, gilt für die Anzahl n der Spiegelbilder:

n =°−

3601

ϕ

Für den anderen Fall, d.h. 360° können nicht mit Rest Null durch den Winkel ϕ geteilt werden, gilt für die Anzahl n der Spiegelbilder: n ist die nächst höhere ganze und gerade Zahl zu der gebrochenen Zahl z,


1360−

°=

ϕz

Beispiel: ϕ = 35.5°, z = 9.14, n = 10

2.5.2 Strahlablenkung bei zweimaliger Reflexion am Winkelspiegel

Wir betrachten als Vorstudie den Drehspiegel. Darunter ist folgendes zu verstehen: Ein Lichtstrahl trifft auf einen Spiegel und wird von diesem in eine be-stimmte Richtung reflektiert. Nun wird der Spiegel um einen Winkel ϕ gedreht; damit erhält auch der reflektierte Strahl eine neue Richtung. Wir wollen feststellen, wie gross der zwischen den beiden reflektierten Strahlen eingeschlossene Winkel ist. Dazu betrachten wir die untenstehende Skizze und folgern:

δ ϕ= ⋅2

Diese Einsicht können wir nun auf die zweimalige Reflexion am Winkel-spiegel übertragen. Es bedarf dazu eines einfachen gedanklichen Trickes. Der Lichtstrahl wird am ersten Spiegel reflektiert und trifft dann im Punkt X auf den zweiten Spiegel. Wir denken uns nun vorerst diesen zweiten Spiegel parallel


zum ersten Spiegel. Wäre dies der Fall, so würde der Strahl nach der zweiten Reflexion parallel zum in den Winkelspiegel einfallenden Strahl verlaufen, wäre also gar nicht abgelenkt. Nun drehen wir den zweiten Spiegel um den Winkel ϕ. Damit dreht sich der reflektierte Strahl um . Die Ablenkung beim Winkelspiegel (bei zweimaliger Reflexion) ist also gleich dem doppelten Betrag des von den beiden Spiegeln eingeschlossenen Winkels.

2.6 Tripelspiegel - Reflektor Die wohl häufigste Anwendung dieser Gesetzmässigkeit besteht im 90°-Winkelspiegel. Der in diesen Doppelspiegel einfallende Lichtstrahl wird immer zurückgeworfen. Damit dies auch im dreidimensionalen Raum funktioniert, werden drei Spiegel wie die Flächen eines Würfels (um eine Ecke) angeordnet. Jeder Spiegel weist zu beiden anderen Spiegeln einen Winkel von 90° auf. Eine solche Anordnung ist ein perfekter Reflektor. Gelegentlich nennt man ihn auch Tripelspiegel. Er wird z.B. für LASER-Distanzmessungen verwendet. Die un-tenstehende Figur verdeutlicht diesen Zusammenhang.


3 Brechung an planen Flächen - Brechungsgesetz

In diesem Kapitel behandeln wir das Brechungsgesetz und dessen An-wendungen.

3.1 Brechungsgesetz

3.1.1 Formulierung des Brechungsgesetzes Mit den im vorhergehenden Kapitel besprochenen Konventionen für die Vorzeichen der Winkel in der Optik können wir das Brechungsgesetz wie folgt formulieren:

Bei einer Grenzfläche ist das Produkt von Brechzahl und Sinus des Winkels zur Flächennormalen konstant.

Für eine formelmässige Darstellung des Brechungsgesetzes nehmen wir Bezug auf die untenstehende Skizze. Mit den in dieser Skizze verwendeten Be-zeichnungen lautet das Brechungsgesetz:

n n⋅ = ⋅sin ' sin 'ε ε

3.1.2 Herleitung des Brechungsgesetzes Zur Herleitung des Brechungsgesetzes müssen wir die Welleneigenschaft des Lichtes verwenden. Wie schon bei der Herleitung des Reflexionsgesetzes nehmen wir an, eine ebene Welle (ebene Wellenfronten) treffe unter einem Winkel ε (Einfallswinkel) auf eine plane Grenzfläche, welche die Medien mit Brechungsindizes n und n' trennt. Die Wellenfront treffe zuerst bei A ein und muss noch x Wellenlängen zurücklegen, um zum Punkt B zu gelangen. Die Welle, die nach dem Prinzip von Huygens im Medium mit Brechzahl n' ausgeht, wird in diesem Medium ebenfalls x Wellenlängen zurücklegen, bis die einfal-lende Welle den Punkt B erreicht hat; der Unterschied besteht einzig und allein darin, dass die Wellenlängen in den beiden Medien unterschiedlich sind. Ent-sprechendes gilt für die zwischen A und B liegenden Punkte, die natürlich eben-falls Ausgangspunkte von Sekundärwellen sind. Zur formelmässigen Herleitung des Brechungsgesetzes beziehen wir uns auf die in der Skizze dargestellten rechtwinkligen Dreiecke ABC und ABD.


NNach dem eben Geschilderten haben diese beiden Dreiecke eine gemeinsame Hypothenuse AB. Bei der Ecke A des Dreieckes ABC erkennen wir den Winkel , bei der Ecke B des Dreieckes ABD liegt der Winkel ε’. Die Gegenkatheten BC = a bzw. AD = b haben die Längen

a x= ⋅ λ b x= ⋅ λ' Für die Sinus des Winkels ε gilt demnach:


sinελ λ

= =⋅

=⋅

⋅a

ABxAB

xAB n

Vakuum

d.h.

n

xAB

Vakuum⋅ =⋅

sinελ

. (1) In gleicher Weise erhalten wir für den Sinus des Winkels ε’:

n n

bAB

nxAB

nx

AB nx

ABVakuum Vakuum' sin ' ' '

''

'⋅ = ⋅ = ⋅

⋅= ⋅

⋅⋅

=⋅

ελ λ λ

. (2) Die beiden rechten Seiten der Gleichungen (1) und (2) sind identisch - mithin auch die beiden linken Seiten. Dies ist nichts anderes als das oben formulierte Brechungsgesetz. Q.e.d.

3.1.3 Das Zweikreisverfahren Zur Konstruktion der Brechung an einer ebenen Grenzfläche wendet man das sogenannte „Zweikreisverfahren“ an. Das Zweikreisverfahren ist anhand der untenstehenden Konstruktion dargestellt. Wir fassen das Zweikreisverfahren rezeptartig zusammen:

1. Beim Auftreffpunkt A des Lichtstrahles auf die Grenzfläche ein Lot zeichnen.

2. Zwei Kreise mit Mittelpunkt A zeichnen. Die Radien dieser Kreise

müssen das gleiche Vielfache der beiden Brechzahlen sein ( x n⋅ bzw. x n⋅ ' ).

3. Die Verlängerung des einfallenden Strahles ist mit dem ersten der

beiden Kreise zu schneiden. Es resultiert der Schnittpunkt S. 4. Parallel zum Lot ist durch S eine Gerade zu zeichnen. Der Schnitt-

punkt dieser Geraden mit dem zweiten Hilfskreis heisst S'. 5. Der gebrochene Strahl ergibt sich als Verbindungsgerade AS'.


3.1.3.1 Begründung des Zweikreisverfahrens Zur Begründung des Zweikreisverfahrens betrachten wir die un-tenstehende Zeichnung.

Darin erkennt man zwei rechtwinklige Dreiecke mit den Winkeln ε und ε’ und


gleich grossen Gegenkatheten zu diesen Winkeln. Die Hypothenusen dieser Dreiecke haben die Längen r x n= ⋅ und r x n' '= ⋅ . Aus der Definition für die Winkelfunktion folgen

sinε = =⋅

hr

hx n

sin '' '

ε = =⋅

hr

hx n .

Multiplizieren wir diese Gleichungen mit n bzw. n', so erhalten wir

nn hx n

hx

⋅ =⋅⋅

=sinε

nn hx n

hx

' sin ''

'⋅ =

⋅⋅

=ε.

Die beiden rechten Seiten dieser Gleichungen sind identisch, also auch die bei-den linken Seiten, d.h. die Konstruktion erfüllt das Brechungsgesetz. Q.e.d.

3.2 Abbildende Eigenschaften der planen Grenzfläche

Eine plane Grenzfläche besitzt abbildenden Charakter - eine Tatsache, die man oft vergisst. Erstaunlicherweise tritt bei einer planen Fläche sogar sphäri-sche Aberration auf - obwohl keinerlei sphärische Formen oder Oberflächen vorhanden sind.

Um die abbildenden Eigenschaften einer ebenen Fläche verstehen zu können, stellen wir uns vorerst einen Punkt vor, der in einem Medium mit


Brechzahl n liegt, z.B. in Wasser. Von diesem Punkt gehen Lichtstrahlen in alle Richtungen weg. Einige davon treffen auf die ebene Grenzfläche und werden nach der Brechung an dieser Fläche von einem Beobachter wahrgenommen. Für diesen Beobachter scheinen die Strahlen nicht aus dem Punkt P zu kommen, sondern aus dem Punkt P' - wie unten dargestellt. Dies bedeutet, dass eine ebene Grenzfläche zwischen zwei unterschiedlichen Medien ein virtuelles Bild eines Objektpunktes erzeugt (da die Strahlen nach wie vor divergieren ist der Bild-punkt virtuell). Diese Tatsache ist in der obenstehenden Figur dargestellt.

Die eben beschriebene Abbildungseigenschaft ebener Grenzflächen ist nicht frei von Abbildungsfehlern:

Gemäss Figur gehen vom Punkt P Strahlen mit unterschiedlichen Winkeln zur optischen Achse aus. Diese Strahlen werden je nach Neigung zur optischen Achse mehr oder weniger stark gebrochen; solche mit grossem Neigungswinkel zur optischen Achse werden stärker gebrochen als solche mit geringem Nei-gungswinkel. Dies führt dazu, dass genau genommen für jeden Strahl ein Bild-punkt entsteht. Diese Art von Abbildungsfehler bei optischen Elementen nennt man sphärische Aberration. Bei Mikroskopobjekten, die sich unter einem Deckglas befinden, spielt diese Art von Abbildungsfehler eine wichtige Rolle. Da der Betrag der sphäri-


schen Aberration erheblich ist, muss letztere in der Mikroskopoptik korrigiert werden. Leider kommt noch hinzu, dass die sphärische Aberration i.a. von der Dicke des Deckglases abhängig ist. Somit muss die korrigierende Mikroskopop-tik auf die Dicke des Deckglases abgestimmt werden. Dies hat dazu geführt, dass die Dicken der Deckgläser vereinheitlicht wurden.

Berechnung des Längsversatzes Für Strahlen mit geringen Neigungen zur optischen Achse kann die Lage des Bildpunktes und damit der Längsversatz berechnet werden. Dazu nehmen wir an, dass nur kleine Winkel auftreten, so dass die Näherungen

sin tanε ε ε≈ ≈ (ε im „Bogenmass“) verwendet werden können. Die Entfernung des Objekt-punktes P von der Grenzfläche bezeichnen wir mit a, diejenige des Bildpunktes mit a' (a und a' sind beide negativ, Abbesche Zählweise vorweggenommen). Für die Höhe h des Auftreffpunktes auf der Grenzfläche gilt

h a a= ⋅ ≈ ⋅tan sinε ε . Für die Bildweite a' und den Winkel gilt gleichermassen der Zusammenhang

h a a= ⋅ ≈ ⋅' tan ' ' sin 'ε ε . Aus diesen beiden Gleichungen folgt

a a' sin ' sin⋅ = ⋅ε ε .

Nun setzen wir das nach sinε’ aufgelöste Brechungsgesetz

sin ''

sinε ε= ⋅nn ,

ein und erhalten

ann

a''sin sin⋅ = ⋅ε ε

oder nach Herauskürzen des gemeinsamen Faktors sinε :


a

nn

a''

⋅ =.

Aufgelöst nach a' lautet dies:

ann

a''

=.

In den folgenden Kapiteln über die brechende Kugelfläche, Linsen etc. werden wir die Gauss- oder BAD-Formel benützen. Wir zeigen, dass die oben hergeleitete Gleichung ein Spezialfall dieser Gauss-Formel ist. Dazu definieren wir die Vergenzen A und A' der Gegenstands- und Bildweiten wie folgt:

Ana

=

Ana

'''

=

Formen wir die obenstehende Abbildungsgleichung (für die ebene Grenzfläche) um, so erhalten wir d.h.

A' = A. Nehmen wir für D Null an, so könnte man schreiben:

A' = A+D.

Dies ist nichts anderes als die altbekannte Gauss- oder BAD-Formel. Neben dem Längsversatz haben ebene Grenzflächen noch weitere abbildende Eigenschaften; so kommt ihnen i.a. auch noch die Eigenschaft des Drehens des Beobachtungswinkels zu. Dazu kann man jedoch keine einfache Formel zur Berechnung angeben. Man muss sich von Fall zu Fall mit der An-wendung des Brechungsgesetzes durchschlagen. Die Situation ist in der unten-stehenden Figur dargestellt.


3.3 Das Prinzip von Fermat Die Grundgesetze der Optik könnten grundsätzlich auch aus dem Prinzip von Fermat hergeleitet werden. Dazu müssten aber Methoden der höheren Mathema-tik vorausgesetzt werden können. Deshalb müssen wir an dieser Stelle auf eine ausführliche Diskussion dieses Prinzips verzichten. Anstelle dessen beschreiben wir kurz, welches die wesentlichen Züge des Prinzips von Fermat sind. Dies besonders deshalb, weil an höheren Fachprüfungen immer wieder vereinzelte Fragen zu diesem Thema auftauchen.

Grundsätzliche Betrachtungsweise Nehmen wir an, wir haben zwei Punkte A und B im Raum. Ein Licht-strahl gehe von A aus und komme auf irgendeinem Weg zu B. Man stellt sich nun die Frage, ob jeder Weg möglich wäre oder ob nur ganz bestimmte Wege für das Licht möglich sind. Um dies plausibel zu machen, betrachten wir den einfachsten Fall, der überhaupt möglich ist: Die zwei Punkte befinden sich in-nerhalb eines homogenen Mediums (beide im gleichen Medium). Es ist klar, dass das Licht den Weg auf der Verbindungsstrecke der beiden Punkte wählen muss - jeder andere Weg wäre länger. Man sagt, das Licht wähle den kürzesten Lichtweg. Unter Lichtweg versteht man das Produkt von Brechzahl eines Medi-ums und der vom Licht in diesem Medium zurückgelegten geometrischen Stre-cke:

l = n•s Der Vollständigkeit halber ist diese eben geschilderte einfachste Situation in der untenstehenden Figur dargestellt.


Etwas interessanter wird das Prinzip von Fermat bei der Brechung an einer ebe-nen Grenzfläche, d.h. im Zusammenhang mit dem Brechungsgesetz. Gegeben seien nun wiederum zwei Punkte A und B, die nun aber nicht mehr im gleichen Medium liegen. Die beiden Medien werden durch eine plane Grenzfläche sepa-riert. Die Situation ist untenstehend skizziert. Welchen Weg muss das Licht, von A ausgehend, einschlagen, damit es zum Punkt B gelangt ? Das Prinzip von Fermat besagt nun, dass das Licht genau jenen Weg wählt, auf dem der Licht-weg

l n s n s= +1 1 2 2

minimal ist. Man kann nun zeigen, dass dies genau dann der Fall ist, wenn der von A ausgehende Strahl und der bei B ankommende Strahl das Brechungsge-setz erfüllen. Wir beschreiten hier den umgekehrten Weg und nehmen an, dass zwei Punkte A und B auf Strahlen liegen, die das Brechungsgesetz erfüllen. Wir zeigen dann für einige ausgewählte Paare von Strahlen, dass für diese der Lichtweg grösser ist.


3.4 Planparallele Platte Als nächstes untersuchen wir die Verhältnisse bei einer planparallelen Platte. Wir diskutieren als erstes den Strahlendurchgang durch eine solche Plat-te, wobei wir zwei Fälle zu unterscheiden haben:

Fall A Medien auf beiden Seiten der planparallelen Platte gleich Dieser Fall wird als Spezialfall von Fall B diskutiert.

Fall B Medien auf beiden Seiten der planparallelen Platte unterschiedlich Die entsprechende Situation ist mit den Bezeichnungen in der untenstehenden Figur skizziert. Der Lichtstrahl gelangt durch das Medium mit Brechzahl n1 auf die erste Fläche der PPP (= Abkürzung für planparallele Platte). Das Medium der PPP selber hat die Brechzahl n2 . Das Medium hinter der Platte schliesslich hat die Brechzahl n3. Die Situation, dass die beiden an die PPP angrenzenden Medien unterschiedlich sind, liegt z.B. bei einer Glaswanne vor (Wasser - Glas - Luft). Den Einfallswinkel auf die erste Fläche der PPP bezeichnen wir mit ε1 , denjenigen, mit dem der Strahl die erste Fläche verlässt, mit ε '1 , den Einfalls-winkel auf die zweite Fläche mit ε2 und den Ausfallwinkel bei der zweiten Flä-che der PPP mit ε '2 .


Für die Berechnung des Winkels verwenden wir das Brechungsgesetz: n n1 1 2 1⋅ = ⋅sin sin 'ε ε (1) Gleichermassen besteht zwischen und der Zusammenhang: n n2 2 3 2⋅ = ⋅sin sin 'ε ε (2) Nun erkennen wir anhand der Skizze, dass ε '1 und ε2 identisch sind. Für ε2 in Gleichung (2) können wir deshalb ε '1 schreiben. Damit erhalten wir für Gleichung (2): n n2 1 3 2⋅ = ⋅sin ' sin 'ε ε (2a) In der linken Seite der Gleichung (2a) erkennen wir die rechte Seite der Glei-chung (1), wir können also zusammenfassen (linke Seite von Gleichung (1) ein-setzen):

n n1 1 3 2⋅ = ⋅sin sin 'ε ε . Daraus folgern wir, dass das Licht an einer PPP so gebrochen wird, als wenn es auf eine plane Grenzfläche träfe, die Gebiete mit Brechungsindizes n1

und n3 trennt. Dies stimmt allerdings nur dann, wenn an keiner der Übergänge Totalreflexion auftritt (vgl. weiter unten !). Der Fall A ist nun rasch besprochen. Wir verwenden einfach, dass n1 = n3 ist. Somit folgt:

ε ε'2 1= . Dies bedeutet, dass ein Lichtstrahl ohne Richtungsänderung durch eine planparallele Platte geht, die beidseitig von gleichem Material umgeben ist.

3.4.1 Abbildende Eigenschaften der planparallelen Platte

Eine planparallele Platte führt i.a. zu einem virtuellen Bild eines gegebenen Ge-genstandspunktes. Wir unterscheiden zwischen Längs- und Querversatz.

Längsversatz In den untenstehenden Figuren (folgende Seite) ist skizziert, wie ein Längsver-satz bei einer PPP zustande kommen kann - und zwar sowohl wenn beidseitig der PPP gleiche Medien als auch wenn beidseitig der PPP unterschiedliche Me-dien vorhanden sind.

Berechnung des Längsversatzes für kleine Öffnungswinkel Wir berechnen den Längsversatz für den Spezialfall, dass ein Gegenstand vor einer PPP liegt (Gegenstandsweite a1), die beidseitig von gleichen Medien umgeben ist oder auch von verschiedenen Medien.


Wir berechnen die auf die zweite Fläche der PPP bezogene Bildweite a'2 sowie den Längsversatz Δa. Die Dicke der PPP sei mit d bezeichnet. Mit der Gauss-Formel-Methode lautet die Abbildung an der ersten Fläche der PPP

A’1 = A1 , d.h.

ann

a'12

11= .

Nun bestimmen wir mit a’1 und der Dicke d der PPP die Gegenstandsweite des Zwischenbildes bezogen auf die zweite Fläche. Für diese gilt:

a a d2 1= −' . Durch Einsetzen der Gleichung für a’1 wird daraus:

ann

a d22

11= −

Für die Abbildung an der zweiten Fläche gilt wiederum der Zusammenhang:

ann

a'23

22= .

In diese Gleichung setzen wir den oben hergeleiteten Ausdruck für a2 ein:


ann

ann

nn

a d'23

22

3

2

2

11= = −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .

In dieser Gleichung multiplizieren wir den Faktor vor der Klam-mer aus und erhalten dann:

ann

ann

nn

ann

dnn

ann

d'23

22

3

2

2

11

3

2

3

11

3

2= = − = − .

Nun berechnen wir den Längsversatz Δa. Der Skizze entnehmen wir:

Δa a d ann

ann

d= + − = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⋅ + −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⋅'2 1

3

11

3

21 1

Den ersten Term in der rechten Seite der obenstehenden Gleichung muss man wie folgt interpretieren:

Die planparallele Platte wirkt ähnlich wie eine ebene Grenzfläche. Der zweite Term entspricht der Dicke der planparallelen Platte. Wenn wir den Gegenstand ganz nahe an die PPP heranführen (a1=0), haben wir wiederum den Längsversatz, diesmal allerdings für die ebene Grenzfläche zwischen den Medien mit Brechzahlen n2 und n3. Besonderes Interesse verdient der Spezialfall n1 = n3, d.h. der Fall, dass die PPP beidseitig von gleichen Medien umgeben ist. Aus der oben stehenden Gleichung erhalten wir dann:

Δann

d= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⋅1 3

2

Dies bedeutet, dass der PPP eine um so grössere optische Wirkung zu-kommt je grösser deren Dicke ist. Im Spezialfall einer sehr dünnen PPP ist , d.h. die PPP hat keine optische Wirkung.

Querversatz Die Verhältnisse und Bezeichnungen beim Querversatz sind in der unten-stehenden Figur dargestellt. Die PPP entwirft ein virtuelles Bild von Gegens-tänden. Die Distanz zwischen Dingpunkt und Bildpunkt senkrecht zur Strahl-ausbreitung gemessen heisst Querversatz. Wir wollen sie mit Hilfe der Dicke d der PPP und der Brechzahl berechnen. Als gegeben betrachten wir weiter den Einfallswinkel ε zwischen der optischen Achse (Strahlausbreitung) und den brechenden Flächen.


Vorerst einmal entnehmen wir der Zeichnung, dass die Strecke z, die der Lichtstrahl innerhalb der PPP zurücklegt durch

zd

=cos 'ε

gegeben ist. Diese Strecke z ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreieckes, von dem die Gegenkathete q gesucht ist und dessen Winkel (ε-ε’) ist. Somit bestimmen wir den Querversatz mit dem Sinus des Winkels (ε-ε’):

( ) ( )q z z d= − ⋅ − = ⋅ − = ⋅−

sin ' sin 'sin( ' )

cos 'ε ε ε ε

ε εε

.


3.5 Kontinuierliche Brechung In einigen Situationen hat man Medien, bei denen die Brechzahl stetig zu oder abnimmt. Beispiele dafür sind z.B. das Meerwasser in der Nähe der Ober-fläche (Salzkonzentration nimmt nach unten zu), wo die Brechzahl nach unten zunimmt oder auch die Erdatmosphäre, in der die Dichte und damit die Brech-zahl nach oben abnimmt. Man kann sich mit dieser Situation zurechtfinden, in-dem man annimmt, es seien eine Vielzahl von planparallelen Platten aneinan-dergereiht. Wie wir wissen, ist für die Berechnung des Ausfallwinkels bei einer PPP nur das erste und letzte Medium entscheidend sind. Eine Skizze (allerdings stark übertrieben) für die Strahlablenkung in der Erdatmosphäre findet sich nachfolgend.


3.6 Totalreflexion Trifft ein Lichtstrahl auf eine Grenzfläche zweier Medien, so gelangt ein Teil des Lichtes vom einen Medium in das andere, wird also transmittiert, der Rest des Lichtes wird in das erste Medium zurück reflektiert. Der Reflexionsko-effizient - wie bereits erwähnt - gibt an, wie gross der Bruchteil des reflektierten Lichtes ist. Trifft Licht senkrecht auf die Grenzfläche, so lässt sich der Reflexi-onskoeffizient mit einer Formel einfach berechnen:

ρ =−+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

n nn n''

2

Bei einer Grenzfläche zwischen Luft und Glas (n≈1.5) z.B. ergibt sich nach dieser Formel ein Reflexionskoeffizient von 4%. Wie gross ist der Anteil des reflektierten Lichtes, wenn der Lichteinfall nicht senkrecht erfolgt ? I.a. kann man sagen, dass der Reflexionskoeffizient um so grösser ist, desto grösser der Einfallswinkel ist. Hingegen kann man ohne Kenntnis des Polarisationsgrades des einfallenden Lichtes diese Frage nicht all-gemein mit einer Formel erfassen und beantworten. Wir nehmen in der Folge an, das Licht sei vollständig unpolarisiert, d.h. alle Polarisationsrichtungen seien gleich häufig vertreten. Unter diesen Bedingungen kann man den Reflexionsko-effizienten mit einer Formel berechnen. Das Ergebnis dieser Berechnungen ist in den beiden nachfolgenden Figuren dargestellt. Die erste Figur beschreibt den Übergang von einem optisch dünnen in ein optisch dichteres Medium, z.B. von Luft in Glas. Wie schon vorhin erwähnt ist der Reflexionskoeffizient für senkrechten Lichteinfall (ε=0) gerade 0.04 oder 4%. Bei grösserem Einfallswinkel wird mehr Licht reflektiert, so z.B. bei 43° 5% und bei 65° 12%. Selbst bei einem Einfallswinkel von 85° wird noch ca. 40% des Lichtes in das andere Medium gelangen. Findet umgekehrt der Übergang vom optisch dichteren in das optisch dünnere Medium statt, so erkennen wir, dass ab einem Einfallswinkel von ca. 42° alles Licht reflektiert wird. Charakteristisch ist allerdings, dass ein grosser Teil des Kurvenverlaufs sehr ähnlich zum Übergang "optisch dünneres zu op-tisch dichterem Medium" ist. Insbesondere ist der Reflexionskoeffizient für senkrechten Lichteinfall für beide Durchgangsrichtungen des Lichtes gleich. Da das Licht beim Übergang von einem optisch dichten zu einem optisch dünneren Medium vom Lot weg gebrochen wird, liegt die Vermutung nahe, dass bei ei-nem Einfallswinkel von ca. 42° ein Ausfallwinkel von 90° für die Brechung resultiert. Tatsächlich finden wir, wenn wir das Brechungsgesetz anwenden und voraussetzen, dass


n > n' und n n⋅ = ⋅sin ' sin 'ε ε gilt:

sin'sin 'ε ε=

nn .

Da ε’ nicht mehr als 90° betragen kann und weiterhin sin(90°)=1 gilt, schliessen wir, dass der Einfallswinkel nicht grösser als ein bestimmter Grenz-winkel εG sein kann:

sin'

εGnn

=.

Diesen Grenzwinkel εG bezeichnet man als den Grenzwinkel der Totalre-flexion. Man beachte, dass der Grenzwinkel der Totalreflexion von den beteilig-ten Medien abhängig ist und dass wegen der Dispersion ( = Abhängigkeit des Brechungsindizes von der Wellenlänge) auch der Grenzwinkel der Totalreflexi-on wellenlängenabhängig ist. In der Regel ist für kurzwelliges Licht (blau) der Grenzwinkel der Totalreflexion früher erreicht als für langwelliges Licht (rot), d.h. der Grenzwinkel ist i.a. für kurzwelliges Licht kleiner. Der Totalreflexion kommen in optischer Hinsicht recht gute Eigenschaf-ten zu; so ist eine total reflektierende Glasfläche um einiges besser als ein rück-flächenverspiegeltes Glas oder ein schlecht gemachter Oberflächenspiegel. Da-zu kommt, dass die total reflektierenden Oberflächen in optischen Instrumenten recht gut geschützt werden können. Bekannt sind viele Typen von total reflek-tierenden Prismen für die Bildumkehr in optischen Instrumenten; wir erwähnen hier stellvertretend für viele die Porroprismen, Geradsichtprismen und Dach-kantprismen (Schmidt-Pechan und Uppendahl).


3.7 Prisma und Keil

3.7.1 Beliebiger Einfallswinkel Mit dem Brechungsgesetz kann man die Verhältnisse beim Prisma und beim Keil untersuchen und verstehen. Dies wollen wir in diesem Abschnitt tun. Es interessiert vor allem die Frage, wie gross die Strahlablenkung bei einem ge-gebenen Einfallswinkel des Lichtes auf die erste Fläche des Prismas ist. Dabei wollen wir vereinfachend annehmen, dass es sich um ein Prisma handelt, das allseits von Luft umgeben ist und zwei unendlich lange Schenkel aufweist. Wei-ter sei der von den beiden Schenkeln des Prismas eingeschlossene Winkel ϕ ge-geben. Die Verhältnisse und Winkelbezeichnungen beim Prisma entnehme man der untenstehenden Figur.


Der Figur entnehmen wir, dass der Winkel zwischen den beiden Loten gerade gleich dem brechenden Winkel ϕ des Prismas ist. Wir untersuchen nun das Dreieck, das von den beiden Loten und dem durch das Prisma gehenden Lichtstrahl gebildet wird. Dem Winkelsatz bei Dreiecken (Summe aller Winkel = 180°) entnehmen wir:

ε ε ϕ'1 2− = . Um den Ablenkwinkel δ zu bestimmen, betrachten wir das Dreick, das von den Verlängerungen des einfallenden Lichtstrahles und des Lichtstrahles, der das Prisma verlässt, sowie dem durch das Prisma gehenden Lichtstrahl ge-bildet wird. Wir bestimmen vorerst die Winkel α1 und α2 dieses Dreieckes.

α ε ε1 1 1= − ' α ε ε2 2 2= −' . Da negativ ist, bestimmen wir dieses zu

δ α α= −2 1 d.h.

( ) ( )δ ε ε ε ε ε ε ε ε ϕ ε ε= − − − = − − + = + −' ' ' ' '2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 . Die Berechnung des Ablenkwinkels kann nun schrittweise vollzogen wer-den: A Berechnen des Winkels ε’1 mit dem Brechungsgesetz. B Berechnen des Winkels ε2 mit dem Zusammenhang

ε ε ϕ2 1= −' C Berechnen des Winkels ε’2 mit dem Brechungsgesetz. D Berechnen des Ablenkwinkels δ mit dem Zusammenhang

δ ϕ ε ε= + −'2 1

In den folgenden Graphiken sind für einige Brechzahlen die Ablenkwinkel für sämtliche mögliche Einfallswinkel dargestellt.


3.7.2 Symmetrischer Strahlengang beim Prisma Wir wollen noch die Berechnung des minimalen Ablenkwinkels bei symmetri-schem Strahlengang herleiten. Wir beziehen uns auf die untenstehende Skizze (bitte ergänzen!):

Wir bemerken vorerst, dass ε '1 und ε2 durch den brechenden Winkel ϕ gegeben sind:

ε εϕ

'1 2 2= − =

Daraus ergeben sich (mittels Brechungsgesetz) unmittelbar ε1 und ε '2 :

ε εϕ

1 22

1 2= − = ⋅

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟' arcsin sin

nn

Die Strahlablenkung erfolgt ebenfalls symmetrisch verteilt auf die die beiden Flächen:

( ) ( ) ( )δ δ δ ε ε ε ε ε εϕ ϕ

= + = − + − = ⋅ − = ⋅ − ⋅ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟1 2 1 1 2 2 1 1

2

1

2 22 2

' ' ' arcsin sinnn

d.h.:

δϕ ϕ

ϕϕ

= ⋅ − ⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = − ⋅ ⋅

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

2 22

22

1

2

1arcsin sin arcsin sin

nn

nn

Vielfach will man den Brechungsindex eines Prismas aus dem minimalen Ablenkwinkel und dem brechenden Winkel des Prismas bestimmen. Dazu löst man die oben stehende Formel nach n auf:

n n2 12

2

=

−sin

sin

ϕ δ

ϕ .


3.7.3 Näherung für den Keil Besonders einfach werden die Verhältnisse, wenn man für sin und arcsin die Kleinwinkelnäherung verwenden kann:

sin tanε ε ε≈ ≈ . Aus

δ ϕϕ

= − ⋅ ⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

22

1arcsin sin

nn

errechnet man für die Strahlablenkung beim Prisma:

δ ϕ≈ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⋅1 2

1

nn

3.8 Regenbogen In diesem Absatz wollen wir die Gesetzmässigkeiten und Zusammenhän-ge beim Regenbogen erklären. Dazu nehmen wir vorerst einmal einen kugel-förmigen Tropfen aus Wasser an. Ein Lichtstrahl treffe in einem Abstand r von der optischen Achse auf den Regentropfen. Wir verfolgen den Lichtstrahl, der durch Brechung in das Innere des Tropfens gelangt. Wir stellen vorerst einmal fest, dass ein Teil des Lichtstrahles beim Auf-treffen auf der "hinteren" Seite des Regentropfens durch Brechung austreten kann. Der andere Teil wird reflektiert. Dieser reflektierte Teil des Strahls trifft nun auf die "vordere" Fläche des Prismas auf, wo wieder ein Teil des Strahls durch Brechung austreten kann und ein Teil durch Reflexion im Inneren des Tropfens bleibt. Diese Überlegung kann nun fortgesetzt werden; bei jeder Re-flexion im Innern des Tropfens kann ein Teil des Lichtes durch Brechung aus dem Tropfen heraustreten. Um den Regenbogen wirklich verstehen zu können, kommen wir nicht darum herum, den eben beschriebenen Gang des Lichtes bei einem Regentrop-fen mathematisch zu beschreiben. Was unmittelbar hergeleitet werden soll ist ein Zusammenhang zwischen der Strecke h (=Entfernung des einfallenden Strahles von der optischen Achse des Regentropfens) und dem totalen Ablenk-winkel von einem Lichtstrahl, der im Innern des Tropfens einmal reflektiert wird.


Unsere Betrachtungen beziehen sich auf die Skizze auf der folgenden Sei-te. Dieser Skizze entnehmen wir:

sinε =hR

wobei wir mit R den Radius des Wassertröpfchens bezeichnen. Aus dem Brechungsgesetz folgt:


nhR

' sin ' sin⋅ = =ε ε

(mit n’ ist die Brechzahl des Wassers bezeichnet), also:

sin ''

ε = ⋅1n

hR

Nun ergibt sich die Strahlablenkung infolge der Brechung beim Eintritt in das Innere des Regentropfens wie folgt:

δ1 =⋅

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟arcsin

'arcsin

hn R

hR

Betrachten wir den weiteren Verlauf des Strahles im Innern des Tropfens, so stellen wir fest, dass der Einfallswinkel bei der Reflexion betragsmässig gleich dem Winkel ε ' ist (Grund: gleichschenkliges Dreieck, gebildet von zwei Ra-dien und dem Lichtstrahl im Innern des Tropfens). Daraus ergibt sich eine Strahlablenkung von:

δ ε2 2 180 2 180= ⋅ − ° = ⋅⋅

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ − °' arcsin

'h

n R

Beim Austritt aus dem Regentropfen ergibt sich wiederum die Ablenkung in-folge Brechung (man beachte die Symmetrie des Strahlenganges!); damit kön-nen wir zusammenfassen:

δ δ δ= ⋅ +2 1 2 d.h.:

δ2 2 2 180=⋅

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭+ ⋅

⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ − °arcsin

'arcsin arcsin

'h

n RhR

hn R

Durch Zusammenfassen der zusammengehörenden Teile erhält man:

δ =⋅

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ − °4 2 180arcsin

'arcsin

hn R

hR

Der Vollständigkeit halber wollen wir auch noch die Strahlablenkung bei zwei-maliger Reflexion im Innern des Tropfens angeben. wegen der zweifachen Re-flexion im Innern ergibt sich:

δ δ δ= ⋅ + ⋅2 21 2 Daraus ergibt sich:

δ =⋅

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ − °6 2 180arcsin

'arcsin

hn R

hR


Damit sind die wesentlichen mathematischen Herleitungen getätigt. Wir

stellen fest, dass die Strahlablenkung offensichtlich vom Verhältnis hR

und von

der Brechzahl n’ abhängig ist. Die Ablenkung als Funktion von h/R ist in den vier Figuren auf den beiden folgenden Seiten dargestellt (betragsmässig). Wir erkennen, dass in beiden Fällen (Haupt- und Nebenregenbogen) ein Minimum der Strahlablenkung vorhanden ist. Der grösste Anteil des Lichtes, das den Re-gentropfen verlässt, weist diese Strahlablenkung auf; beim Hauptregenbogen sind dies ca. 138° und beim Nebenregenbogen 232°. Wir nehmen den Hauptre-genbogen also unter einem Winkel von 180°-138° = 42° und den Nebenregen-bogen unter einem Winkel von 232° - 180° = 52°, bezogen auf die Achse Sonne - Beobachter, wahr. Dabei hat der Beobachter die Sonne im Rücken. Die oben hergeleitete Formel hat die Brechzahl als Parameter. D.h. die Strahlablenkung unterliegt der Dispersion. bei den erwähnten Figuren ist die Strahlablenkung für Rot gepunktet, für Gelb ausgezogen und für Blau gestrichelt gezeichnet. Wir stellen also fest, dass beim Hauptregenbogen von Innen nach aussen das Spekt-rum von Blau bis Rot, beim Nebenregenbogen gerade umgekehrt verläuft. Dies ist die sogenannte Descart'sche Theorie des Regenbogens; sie erklärt im Wesentlichen den Haupt- und Nebenregenbogen. Damit sind aber längst nicht alle Phänomene im Zusammenhang mit dem Regenbogen erklärt. So ver-sagt die das eben besprochene Modell bei der Vorhersage der Intensitäten der verschiedenen Farben, die auch von Fall zu Fall verschieden sein können, wie Beobachtungen zeigen. Schliesslich gibt es auch noch sogenannte Sekundärre-genbogen, die - auch wieder von Fall zu Fall - sogar intensiver als Haupt- und Nebenregenbogen sein können. Diese können mit dem Descart'schen Modell überhaupt nicht erklärt werden. Nach dem Modell von Airy liegen dem Regenbogen komplizierte Beu-gungserscheinungen zugrunde. Airy hat berechnet, wie die Intensitätsverteilung beim Regenbogen infolge Beugung mit anschliessender Interferenz aussieht; seine Berechnungen kommen den Beobachtungen im Zusammenhang mit dem Regenbogen schon sehr nahe. Noch neuere Untersuchungen erklären den Regenbogen als Phänomen,. das durch die Streuung von Lichtteilchen (Photonen) an Regentropfen zustande kommt. Die Ergebnisse dieser Berechnungen sind noch genauer als die Theorie von Airy; zudem kann erklärt werden, weshalb vielfach im Zusammenhang mit dem Regenbogen Polarisationseffekte zu beobachten sind. Betrachtet man näm-lich den Regenbogen durch ein Polarisationsfilter oder eine Polaroidsonnenbril-le, so verschwindet ein Teil des Regenbogens.


4 Brechende Kugelfläche (Diopter) Die brechende Kugelfläche hat für uns aus mindestens zwei Gründen eine grosse Bedeutung: 1) Sie stellt die Grundlage für die Optik der dünnen und dicken Linsen so-

wie der Linsensysteme dar. Anwendungen finden sich z.B. gerade in der Kontaktlinsenoptik. Einfache Lupen können ebenfalls als brechende Ku-gelflächen aufgefasst werden.

2) Das Listing-Modell, das am häufigsten verwendete Augenmodell, besteht aus nichts anderem als aus einer brechenden Kugelfläche.

4.1 Gauss-Formel (BAD-Formel) Wir wollen nun kurz die wesentlichen Eigenschaften der brechenden Kugelfläche herleiten und sie dann in einer übersichtlichen Form zusammenfassen. Zur Herleitung beziehen wir uns auf die untenstehende Skizze einer brechenden Kugelfläche, die Me-dien mit Brechzahlen n und n' trennt. Ein Punkt P befindet sich in einer Entfernung a (in der Darstellung nega-tiv) vor der Kugelfläche. Dieser Punkt und der Mittelpunkt C der Kugel legen die optische Achse fest. Die Tan-gentialebene, die die Kugel berührt und senkrecht zur optischen Achse steht, ist die Scheitelebene. Alle Stre-cken werden bei der brechenden Kugelfläche von der Scheitelebene aus gemessen. In Lichtrichtung verlaufende Strecken sind positiv, gegen das Licht laufende Strecken sind negativ. Die Strecke von der Scheitelebene bis zum Mittelpunkt der Kugel ist der Krümmungs-radius. Letzterer kann nach dem eben Gesagten ebenfalls posi-tiv oder negativ sein.

Lichtstrahlen, die vom Punkt P ausgehen, treffen auf die Kugelfläche und werden an dieser Grenzflä-che entsprechend dem Brechungsgesetz in ihrer Richtung abgelenkt. In unserer Skizze werden die Strahlen zur optischen Achse hin gebrochen. Wir untersuchen einen Strahl, der vom Punkt P ausgeht und den Winkel Ψ zur optischen Achse aufweist. Der Punkt, bei dem dieser Strahl die Kugelfläche trifft, liegt dicht bei der Scheitel-


ebene (sofern der Winkel Ψ genügend klein ist) und hat die Höhe h. Den Winkel des einfallenden Strahles zum Lot benennen wir nach wie vor mit ε. Der gebrochene Strahl wird einen Winkel ε' zum Lot aufweisen. Die Neigung des gebrochenen Strahles zur optischen Achse bezeichnen wir mit χ, diejenige des Lotes zur optischen Achse mit ϕ. Die Winkel ε, ε', Ψ, χ und ϕ sollen alle so klein sein, dass die Kleinwinkelnäherung angewendet werden kann:

sin tanε ε ε ε≈ ≈ ≈arc Wir entnehmen der Skizze folgende Zusammenhänge:

ε ϕ ψ= + und

ϕ ϕ≈ =tan hr

ψ ψ≈ =−

tan ha

Daraus folgt:

ε ϕ= + ≈−

+Ψha

hr .

Das Brechungsgesetz n n⋅ = ⋅sin ' sin 'ε ε

lautet in der Kleinwinkelnäherung:

n n⋅ = ⋅ε ε' ' Der Winkel ε' berechnet sich damit wie folgt:

ε ε'' '

= ⋅ = ⋅ +−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

nn

nn

hr

ha

Weiter lesen wir aus der Skizze: ϕ ε χ= +'

also

χ ϕ ε= − = − ⋅−

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

''

hr

nn

ha

hr .

Für den Winkel χ wiederum stellen wir fest:

χ χ≈ =tan'

ha .

Daraus ergibt sich die Gleichung: ha

hr

nn

ha

hr' '

= − ⋅−

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .

Aus dieser Gleichung kann die Grösse h gekürzt werden: 1 1 1 1a r

nn a r' '

= − ⋅−

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .

Damit diese Gleichung etwas übersichtlicher wird, multiplizieren wir sie mit n': na

nr

na r

''

'= − ⋅

−+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 1

oder nach einer geringfügigen Umformung:


na

na

n nr

''

'= +

−

Dies ist nichts anderes als die BAD-Formel, wenn man

A na

=

A na

' ''

=

und

D n nr

=−'

definiert. Der Name BAD-Formel rührt daher, dass früher anstelle von A' das Symbol B verwendet wurde.

4.2 Bildgrössenformel Wir leiten nun noch die Bildgrössenformel her. Dazu betrachten wir die untenstehende Skizze. Ein Gegenstand y befindet sich in der Entfernung a vor dem Scheitel der brechenden Kugelfläche. Wir verfolgen den vom End-punkt P des Gegenstandes y ausgehenden Strahl, der durch den Mittelpunkt der Kugelfläche geht. Dieser Strahl ist ungebrochen, d.h. er behält als einziger seine Richtung bei. Mit Hilfe der Strahlensätze können wir nun den Zusammenhang

ray

ary

−=

− ''

erkennen. Definieren wir den Abbildungsmaßstab ß' mit

yy'' =β

so erhalten wir:

rAn

rAn

rara

arra

yy

−

−=

−−

=−−

−== ''

''''β


Erweitern des letzten Bruches auf der rechten Seite ergibt: ( )( )

[ ]( )( )

( )( )ArnA

DrArnAArnA

rDAnAArnA

rAnA−−−

=−+−

=−−

=''

''

''''β

Verwenden wir für D

rnnD −

='

so erkennen wir, dass nnDr −= '

gilt. Dies setzen wir oben ein und erhalten: ( )

( )( )( )

( )( )

( )( )( ) '''

'''

'''''

AA

ArnAArnA

ArnAnnArnA

ArnAnnArnA

ArnADrArnA

=−−

=−

+−−=

−−−−

=−−−

=β

D.h. der Abbildungsmaßstab ß' ist durch

β ''

'= =

yy

AA

gegeben. Vielfach wird dies auch in der Form

'' AyAy ⋅=⋅ dargestellt. Letztere bezeichnet man als Bildgrössenformel. Oben haben wir die Bildgrössenformel für einen bestimmten Strahl, nämlich den Mittelpunktstrahl, bewiesen. Als nächstes wollen wir zeigen, dass die gleiche Bildgrössenformel auch zustandekommt, wenn man einen anderen Strahl verwendet. Damit zeigen wir auch, dass die Bildgrössenformel allgemein für die Abbil-dung paraxialer Strahlen gilt. Wir betrachten die untenstehende Skizze und verfolgen den Scheitelpunktstrahl. Entgegen unserer ersten Vermutung ist dieser Strahl in seinem Verlauf nicht ungebrochen. Stellen wir uns den Bereich um den Scheitel der Kugelfläche stark vergrössert vor, so erkennen wir, dass der Scheitelstrahl praktisch an einer senk-rechten ebenen Grenzfläche gebrochen wird. Die Strahlablenkung erfolgt also nach dem Brechungsgesetz:

'sin'sin εε ⋅=⋅ nn Da wir vorausgesetzt haben, dass nur kleine Winkel ε und ε' auftreten dürfen, können wir die Kleinwinkelnähe-rung verwenden:

''εε ⋅=⋅ nn


Der Skizze entnehmen wir

ay−

≈≈εεtan

''''tana

y−

≈≈εε .

Setzen wir diese beiden Beziehungen in die obenstehende Näherung für das Brechungsgesetz ein, so erhalten wir

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅

'''

ayn

ayn

oder

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅

'''

any

any

was vereinfacht mit '' AyAy ⋅=⋅

dargestellt werden kann. Dies ist die allgemeine Form der Bildgrössenformel, die wir noch in anderen Situationen vorfinden werden. Wir tun gut daran, uns diese Formel für die Berechnung der Bildgrössen zu merken. Insbesondere ist die aus frühe-ren Zeiten vielleicht bekannte Formel

aayy '' ⋅=

falsch. Sie gilt nur für dünne Linsen in Luft. Lösen wir die Bildgrössenformel nach y' auf, so erhalten wir näm-lich

aa

nny

anan

yAAyy '

''''

' ⋅⋅=⋅=⋅=

Die in früheren Zeiten auswendig gelernte Formel berücksichtigt also die Brechungsindizes der beteiligten Medien nicht.


4.3 Konstruktionen bei der brechenden Kugel-fläche

In diesem Abschnitt wollen wir der Frage nachgehen, welche Konstruktionsme-thoden anzuwenden sind, um bei einer brechenden Kugelfläche Strahlen abzu-bilden. In den beiden vorangehenden Abschnitten haben wir zur Herleitung der Gauss- und der Bildgrössenformel jeweils die Kleinwinkelnäherung für sin und tan anwenden müssen. Dies deutet darauf hin, dass die so herausgefundenen Formeln nicht für beliebige Strahlen gelten, sondern nur für Strahlen, deren Neigung zur optischen Achse genügend klein (typischerweise 5° bis 10°) sind. Man spricht in diesem Zusammenhang von der sogenannten paraxialen Nähe-rung oder von Strahlen, die sich im Gausschen Raum befinden. Die Berechnung der Abbildung der Strahlen im paraxialen Raum ist besonders einfach (im Ver-gleich mit der exakten Abbildung). Man spricht deshalb von der idealen Abbil-dung. Dementsprechend werden wir nun in diesem Abschnitt Konstruktionsme-thoden kennenlernen, die sowohl die idealen als auch die realen Eigenschaften des Lichtes wiedergeben.

4.3.1 Normales Zweikreisverfahren Nach dem bisher Besprochenen ist das normale Zweikreisverfahren am ein-fachsten zu verstehen. Es erlaubt die exakte Bestimmung der Brechung an einer Kugelfläche, gibt also das reale Verhalten der Strahlen wieder (nicht die idealen Eigenschaften). In den beiden Konstruktionen auf der folgenden Seite ist der Verlauf zweier Strahlen wiedergegeben. Wir erkennen, dass die Lage des Bild-punktes abhängig ist von der Einfallshöhe der Strahlen. Wir stellen fest, dass das normale Zweikreisverfahren bei einer brechen-den Kugelfläche recht aufwendig ist. Als einfachere Konstruktionsmethode für die reale Abbildung bei der brechenden Kugelfläche bietet sich deshalb das Ver-fahren von Weierstrass-Reusch an.

4.3.2 Konstruktion nach Weierstrass-Reusch Im deutschen Sprachraum ordnet man diese Konstruktionsmethode in der Regel den beiden Mathematikern Weierstrass-Reusch zu. Ob diese beiden das Verfahren wirklich als erste herausgefunden haben, ist zumindest fraglich; so ist man z.B. im angloamerikanischen Sprachraum der Überzeugung, dass der engli-sche Physiker Young diese Methode entwickelte. Dort wird sie deshalb als die Methode nach Young bezeichnet. Die beiden Kreise, die zur Konstruktion ver-wendet werden, heissen deshalb Young'sche Kreise.


Im folgenden beschreiben wir die Konstruktionsmethode rezeptartig: 1. Zwei Kreise mit Zentrum C = Zentrum der brechenden Kugelfläche

konstruieren. Die Radien dieser beiden Hilfskreise sind wie folgt zu be-rechnen:

r r n

n1 =' r r n

n2 = ' 2. Die Verlängerung des beim Punkt A auf die Kugelfläche einfallenden

Strahles bis zum Kreis mit Radius r1 ergibt den Schnittpunkt S1 . 3. Vom Zentrum C zum Punkt S einen Strahl zeichnen. Der Schnittpunkt

dieses Strahles mit dem zweiten Hilfskreis (mit Radius r2 ) ergibt den Schnittpunkt S2 .

4. Der Schnittpunkt S2 (zusammen mit dem Punkt A) legt den gebroche-

nen Strahl fest. Zum Beweis verwenden wir den Sinus-Satz aus der Mathematik:

a b c: : sin : sin : sin= α β γ Das Dreieck ΔACS1 hat bei A den Winkel ε. Dagegen finden wir im Dreieck ΔACS2 bei A den Winkel ε'. Die beiden Dreiecke sind einander ähnlich; sie haben einen Winkel ϕ gemeinsam und die beiden kürzeren Sei-ten dieser Dreiecke weisen das gleiche Verhältnis auf:

ΔACS CSAC

rr

r nnr

nn1

1 1:'

'= = =

ΔACS ACCS

rr

r

r nn

nn2

2 2:

'

'= = =

Damit muss der verbleibende Winkel des Dreiecks ΔACS1 = ε' und der verbleibende Winkel des Dreiecks ΔACS2 = ε sein. Betrachten wir nun z.B. das Dreieck ΔACS2 so folgt mit dem Sinus-Satz:

sin : sin ' :ε ε = r r2 d.h.

sinsin '

'

'εε= = =

rr

r

r nn

nn2

Nach Multiplizieren beider Seiten mit n ⋅ sin 'ε folgt daraus das Brechungsgesetz:

n n⋅ = ⋅sin ' sin 'ε ε

d.h. die Konstruktion erfüllt das Brechungsgesetz genau.


Wählen wir eine Anzahl beliebiger Strahlen, die von P ausgehen und an der Kugelfläche gebrochen werden, so erkennen wir, dass der Bildpunkt P' um so näher zur Kugelfläche heranrückt, desto grösser die Neigung des von P ausge-henden Strahles zur optischen Achse ist. Wir stellen also auch mit der Konstruk-tion von Weierstrass-Reusch die realen Eigenschaften der Kugelfläche fest. Der


so beobachtete Abbildungsfehler ist allgemein als sphärische Aberration be-kannt.

Wir können weiter feststellen, dass Strahlen, die auf einen Punkt auf dem Kreis mit Radius r zulaufen (virtueller Dingpunkt P), aberrationsfrei in einen einzigen Bildpunkt P' abgebildet werden. Solche Punktepaare wie P und P' nennt man aberrationsfreie Punktepaare oder aplanatische Punktepaare.

4.3.3 Paraxiales Zweikreisverfahren Bisher haben wir noch kein konstruktives Verfahren kennengelernt, das die idealen Eigenschaften der brechenden Kugelfläche beschreibt. Das paraxiale Zweikreisverfahren, das diese Aufgabe erfüllt, hat zudem den Vorteil, dass man keinen Zirkel benötigt. Wir geben vorerst eine rezeptartige Beschreibung des paraxialen Zweikreisverfahrens: 1. Parallel zur Scheitelebene und im Abstand von x n⋅ bzw. x n⋅ ' sind zwei

Geraden zu zeichnen. Die Strecke x ist beliebig wählbar. n und n' be-zeichnen die Brechzahlen der beiden Medien, die von der Kugelfläche ge-trennt werden.

2. Der auf die Kugelfläche einfallende Strahl schneidet die Scheitelebene bei A. Der einfallende Strahl ist zu verlängern bis er die Gerade x n⋅ schneidet. Den Schnittpunkt bezeichnen wir mit S1

3. Vom Mittelpunkt C der Kugelfläche ist ein "Lot" zum Punkt A zu zeich-nen.

4. Dieses Lot ist parallel zu verschieben in den Punkt S1 . Der Schnittpunkt mit dem parallel verschobenen Lot heisst S2 .

5. Der gebrochene Strahl ist festgelegt durch den Punkt A und den Schnitt-punkt S2 .


Wir können ohne grösseren Aufwand die Verwandtschaft der beiden eben beschriebenen Verfahren (Konstruktion nach Weierstrass-Reusch und paraxiales Zweikreisverfahren) erkennen. Wir wollen aber trotz-dem einen vollständigen Beweis für das paraxiale Zweikreisverfahren anbringen. Dazu betrachten wir die un-tenstehende Skizze, in dem die Winkel wie bei der Herleitung der Gauss-Formel bezeichnet sind.


Wir ergänzen die Konstruktion durch zwei zu der optischen Achse parallele Geraden durch die Punkte A und S2 . Deren Schnittpunkte mit den Geraden x n⋅ bzw. x n⋅ ' bezeich-nen wir mit C bzw. B. Wir berechnen nun die Strecke BS1 auf zwei verschiedene Arten:

BC CS BS+ =1 1 .

Mit den Winkeln ψ, ϕ und χ und den Strecken x⋅n, x⋅n' und x⋅(n'-n) erhalten wir folgende Ausdrücke:

( )BS x n n1 = ⋅ − ⋅' tanϕ

BC x n= ⋅ ⋅' tanχ und

CS x n1 = ⋅ ⋅ tanψ .

Damit wird aus der obenstehenden Gleichung für diese Strecken

( )x n x n x n n⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅' tan tan ' tanχ ψ ϕ .

Wie bei der Herleitung der Gauss-Formel können wir für tanϕ etc. einsetzen:

tan , tan , tan'

ϕ ψ χ= = − =hr

ha

ha

.

Damit erhalten wir

( )x nha

x nha

x n nhr

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅−

= ⋅ − ⋅''

' .

Kürzen mit dem Faktor x⋅h ergibt:

( )n

ana

n nr

''

'+−

=−

,

d.h.

( )na

na

n nr

''

'= +

− .

Dies bedeutet, dass die Konstruktion die Gauss-Formel exakt erfüllt, also ohne Nähe-rung. In der Tat können wir uns anhand eines Beispiels davon überzeugen, dass der Punkt P durch Strahlen unterschiedlicher Neigung zur optischen Achse immer in den gleichen Bild-punkt P' abgebildet wird. Dies ist in der Figur auf der folgenden Seite dargestellt.


4.3.4 Kardinalpunkte und -ebenen Für die Konstruktion bei brechenden Kugelflächen gibt es eine Reihe von Kardinalpunkten und -ebenen, die einem eine Vereinfachung der Vorgehens-weise erlauben. Wäre dies nicht so, dann müsste für die Abbildung eines Punk-tes folgender Weg eingeschlagen werden: 1. Zwei beliebige Strahlen wählen, die durch den Gegenstandspunkt P ge-

hen. 2. Diese beiden Strahlen mit dem paraxialen Zweikreisverfahren abbilden.

Daraus resultieren zwei "Bildgeraden". 3. Der Schnittpunkt der beiden Bildgeraden ist der Bildpunkt P'. Strahlen, die vom unendlich fernen Achsendingpunkt P herkommen, fal-len achsenparallel und damit senkrecht zur Scheitelebene auf die Kugelfläche ein. Sie werden in den bildseitigen Brennpunkt F' abgebildet. Strahlen, die parallel zueinander verlaufen vor der Brechung an der Ku-gelfläche, verlaufen nach der Brechung so, dass sie sich in einem Punkt in der bildseitigen Brennebene schneiden. Strahlen, die vom dingseitigen Brennpunkt F herkommen, verlassen die brechende Kugelfläche parallel zur optischen Achse. Strahlen, die von ein und demselben Punkt aus der dingseitigen Brennebene herrühren, verlassen die bre-chende Kugelfläche parallel zueinander. Strahlen, die die Kugelfläche beim Scheitel S berühren, verlaufen nicht ungebrochen. Für sie muss entweder das Zweikreisverfahren angewendet wer-den oder ein Hilfsstrahl zur Konstruktion beigezogen werden. Strahlen, die auf den Mittelpunkt C der brechenden Kugelfläche zulau-fen, verlaufen ungebrochen. Die Strecke zwischen der Scheitelebene und der dingseitigen Brennebene ist die Objektbrennweite oder Dingbrennweite f . Ebenso wird die Strecke zwi-schen Scheitelebene und bildseitiger Brennebene als bildseitige Brennweite f' bezeichnet.

Aus der Gauss-Formel entnehmen wir für die dingseitige Brennweite f a( ' )= ∞ :

f a nA

nA D

nna

D

nn D

nD

nD

= = =−

=−

=

∞−

=−

=−' '

'' 0

.

Auf die gleiche Weise können wir f' berechnen (a'=∞):

f a nA

nA D

nna

D

nn D

nD

nD

' ' ''

' ' ' ' '= = =

+=

+=

∞+

=+

=0

.


Schliesslich finden wir, dass

f f nD

nD

n nD

n nn n

r

r' ' ' ''+ = − =

−=

−−

=

, d.h.

f f r+ =' gilt.

4.4 Abbildung von und nach Unendlich Ist die Gegenstandsweite a sehr gross, was für praktische Belange bedeu-tet, dass die Gegenstandsweite mehr als 3 bis 4 mal die Dingbrennweite beträgt, so findet die Abbildung praktisch in die Bildbrennebene F' statt. Unter diesen Umständen kann eine vereinfachte Konstruktion durchgeführt werden. Dazu zeichnet man die Bildbrennebene und verwendet einen Dingbrennstrahl oder einen Mittelpunktstrahl. Für weit entfernte Gegenstände kann man in der Regel nur angeben, unter welchem Winkel sie einem erscheinen. Für Berechnungszwecke kann man da-mit die Bildgrössenformel ebenfalls vereinfachen:

Any

an

ny

nn

ay

ay

⋅−=⋅−=⋅−=−=σtan ,

also σtan⋅−=⋅ nAy . (*) Es folgt aus

y'⋅A' = y⋅A nun

y y AA

y Ana

y A an

y A fn

'' '

'

''

''

=⋅

=⋅

= ⋅ ⋅ ≈ ⋅ ⋅

. Setzen wir

f nD

' '=

ein, so erhalten wir:

y y A fn

y A

nDn

y AD

' ''

'

'= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

1.

Hier setzen wir nun die Gleichung (*) ein und erhalten:

Dn

DAyy 1tan1' ⋅⋅−=⋅⋅= σ .


Stellen wir

Dnf −=

um, so erkennen wir, dass

nf

D−=

1

gilt. Wir erhalten also für y':

σσ tantan' ⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅⋅−= f

nfny .

Entsprechend könnten wir herleiten, unter welchem Winkel ein Bild im Unend-lichen erscheint, falls sich ein Gegenstand in der Dingbrennweite befindet. Wir finden als Resultat:

'tan' σ⋅= fy . Für die Konstruktion dieses Sehwinkels können wir entweder den Mittelpunkt-strahl oder den Achsenparallelstrahl verwenden.

4.5 Newton-Gleichungen Häufig werden anstelle der Gauss-Formel und der Bildgrössenformel zwei andere Gleichungen verwendet, die sogenannten Newton-Formeln. Diese Formeln werden sich insbesondere in der Instrumentenkunde als praktisch er-weisen. Wir leiten diese Formeln her und erläutern sie anhand einer Skizze.

In der untenstehenden Skizze entnehmen wir die Bezeichnungen x und x': x: Abstand vom Objekt-Brennpunkt F zum Dingpunkt P. x FP= x': Abstand vom bildseitigen Brennpunkt F' zum Bildpunkt P'. x F P' ' '=

Wir erkennen anhand der untenstehenden Skizze die Zusammenhänge fax −= ,

d.h. fxa += .

Ebenso gilt x' = a' - f',

d.h. a' = x' + f'.


P F F' P'CS

f f'x x'a'

a

Zur Herleitung der Newton-Formeln gehen wir von der Gauss-Formel aus:

A' = A + D, also

Dan

an

+=''

,

d.h.

Dfx

nfx

n+

+=

+ '''

.

Diese Gleichung erweitern wir mit ( ) ( )x f x f+ ⋅ +' ' :

( ) ( ) ( ) ( )''''' fxfxDfxnfxn +⋅+⋅++⋅=+⋅ .

Nun müssen sämtliche Klammern ausmultipliziert werden:

( )'''''''' fffxfxxxDfnxnfnxn ⋅+⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅=⋅+⋅ . Bevor die letzte Klammer ausmultipliziert werden kann, setzen wir

Dnf

= −

und

Dnf

=''

ein. Damit wird diese Gleichung zu

'''''

''''''' ff

fnfx

fnxf

fnxx

fnnfnxfnxn +−+−+=+ ,

d.h.

fnnxxnxxfnnfnxfnxn ''''''''' +−+−+=+ .

Nun können gleiche Ausdrücke durch Subtraktion auf beiden Seiten oder weil sie sich zu Null ergänzen weg-gebracht werden:

''0 xxfnnf −= .

Erweitert man diese Gleichung mit 1/n, so ergibt dies


'' ffxx = . Den Abbildungsmaßstab ß' bestimmen wir ebenfalls über die im Zusammenhang mit der Gauss-Formel gefun-dene Bildgrössenformel

( )( )

' '' '' '''

nn x fy A n aa

ny A n a n x fa

β⋅ +⋅

= = = = =⋅ ⋅ +

.

In diese Gleichung können wir mit der oben hergeleiteten Newton-Formel

xffx ''=

oder

''

xffx=

einsetzen. Dies ergibt im ersten Falle

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

' ' ' 1 ' 1 '' ' '''' ' ' ' '

f f f fn f n f n f x n f f xx x xn x f n fn xn x f n x f n x f n x f x n x f x

β

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⋅ +⋅ + ⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = = = = =

⋅⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅.

Erweitern des zweiten Bruches mit x' ergibt:

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

' ' ' ' ' 1 ' ' ' ' ' ' ' ''' ' ' ' ''' ' 1 ' 1 '' ' ''

n x f n x f n x n x f x n f x f x n xf f n f x f n ff fn x f n f n f xn f x xx

β⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

= = = = = =⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⋅ ⋅ + ⋅⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅⋅ + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

.

Wir können hier als letztes die Beziehung zwischen den Brennweiten

''

fn

fnD =−=

verwenden und erhalten:

xf

−='β .

In gleicher Weise können wir die Beziehung

'''

fx

−=β

herleiten.


4.6 Die Lagrange-Gleichung Aus der Gauss- und aus der Bildgrössenformel lässt sich eine einfache Formel herleiten, die einen Zusammenhang zwischen Objekt- und Bildgrösse, objekt-seitigem und bildseitigem Öffnungswinkel und objekt- und bildseitiger Brech-zahl beschreibt. Um diesen Zusammenhang zu verstehen, betrachten wir in der untenstehenden Skizze den Gegenstand y, der von einer brechenden Kugelflä-che abgebildet werde.

Die brechende Kugelfläche trenne Medien mit den Brechzahlen n und n'. Vom Fusspunkt des Objektes (auf der optischen Achse) gehe ein Lichtstrahl auf die Kugelfläche zu. Den Winkel zwischen diesem Strahl und der optischen Achse, den Öffnungswinkel, nennen wir u. Dieser Strahl treffe die Kugelfläche in einer Entfernung (höhe) h von der optischen Achse. Für die folgende Beweisführung sind auch noch die Objekt- und die Bildweite (a und a') eingezeichnet. Die Lagrange-Gleichung lautet:

n u y n u y⋅ ⋅ = ⋅ ⋅' ' ' Der Beweis dieses Zusammenhanges ist einfach, wenn man von der Bildgrössenformel ausgeht:

A y A y⋅ = ⋅' '

Nun setzen wir Ana

und Ana

= ='''

ein und multiplizieren die ganze Gleichung mit h. Daraus ergibt sich:

n ha y n h

a y= ' ' ' Im Verhältnis h/a erkennen wir den Tangens des Winkels u (tan(u)), den wir in der paraxialen Näherung mit dem Winkel u im Bogenmass gleichsetzen. Ebenso ersetzen wir das Verhältnis h/a' durch den Winkel u'. Damit ergibt sich unmittelbar der Zusammenhang nuy = n'u'y', was zu zeigen war. Der Zusammenhang wurde für eine einzelne brechende Kugelfläche hergeleitet; es liegt aber auf der Hand, dass dieser auch für eine ganze Folge von brechenden Kugelflächen gilt; er beschreibt somit einen Zu-


sammenhang zwischen Objektgrösse, objektseitigem Öffnungswinkel und objektseitiger Brechzahl sowie den zugehörigen bildseitigen Grössen. Die Lagrange-Gleichung wird vielerorts Hilfsmittel für die sogenannte paraxiale Strahldurchrechnung (ray-tracing) verwendet. Unter Strahldurchrechnung versteht man denjenigen Vorgang, bei dem objektseitig ein bestimmter Strahl angenommen wird (indem z.B. der Öffnungswinkel u und die Einfallshöhe h auf der ersten Kugelfläche festgelegt werden) und dann dessen Verlauf durch ein ganzes System hindurch berechnet wird. Hat man nun den Verlauf eines solchen Strahles im Bildraum (u'), so ergibt sich automatisch die Bildgrösse (y'). Dies verkürzt den Arbeitsaufwand um einen Faktor 2. Die Lagrange-Formel ist Ausdruck der Energieerhaltung. So kann man sagen: Bei der absorptionsfrei-en optischen Abbildung im paraxialen Raum bleibt die Lichtmenge erhalten. In der Photometrie werden wir zeigen, dass bei der paraxialen Abbildung die Leuchtdichte und der Lichtstrom erhalten bleiben. Um dies herzu-leiten, nimmt man die (paraxiale) Lagrange-Gleichung als Ausgangspunkt.

4.7 Gaussformel und Länge des Lichtweges Im folgenden Abschnitt wollen wir noch kurz die Funktionsweise von brechen-den Kugelflächen, Linsen etc. erläutern. Dazu untersuchen wir die Länge des optischen Lichtweges bei der Abbildung eines Achsenobjektpunktes mittels ver-schiedener Strahlen. Dazu rufen wir uns in Erinnerung, was unter dem Begriff "optischer Lichtweg" (im Gegensatz zum "geometrischen Lichtweg") zu verste-hen ist:

∑ Δ=i

ii snl

Dabei bezeichnet man mit Δsi die verschiedenen geometrischen Streckenab-schnitte, die das Licht auf seinem Weg zurücklegt und mit ni die auf diesem Weg wirksamen Brechzahlen. Eine brauchbare optische Abbildung des Achsen-objektpunktes P kommt nur dann zustande, wenn der Lichtweg verschiedener Strahlen gleich gross ist; ansonsten würde sich im Punkt P' eine Abschwächung ergeben. Im Zusammenhang mit den Abbildungsfehlern spricht man gelegentlich auch vom sogenannten " 4/λ --Kriterium nach Rayleigh". Ist der Wegunterschied bei der Abbildung verschiedener Strahlen an optischen Flä-chen nicht grösser als eine Viertelwellenlänge, so kann sie als optisch "gut" bezeichnet werden. Ist dies gewähr-leistet, so ist die optische Abbildung so gut, dass nur noch Beugungseffekte die Abbildungsqualität beeinflus-sen. Man spricht dann von sogenannter beugungsbegrenzter Optik.

Die Funktionsweise einer brechenden Kugelfläche im Zusammenhang mit der Länge des Lichtweges ist in der folgenden Graphik dargestellt:


Der Vollständigkeit halber fügen wir noch eine Herleitung der Gauss-Formel aus der Bedingung gleicher Lichtwege an. Dazu verwenden wir immer wieder eine mathematische Näherungsformel:

1 1 12 1+ ≈ + <<x x x

Diese Näherung gilt nur, falls x betragsmässig sehr viel kleiner als 1 ist. Die Näherung ist umso genauer, desto kleiner |x| ist. Daraus ergibt sich als erstes ein vereinfachter Zusammenhang zwischen Zonenhöhe h und Sehnenab-schnitt x bei einer Kugelfläche (vgl. untenstehende Skizze !):

x r r h r rhr

r rhr

r rhr

hr

= − − = − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = − − ≈ − −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =2 2 2

2

2

2

2

2

2

2

1 1 112

12

Für die allererste Beziehung wurde der Satz von Pythagoras angewendet. Nun betrachten wir die Abbildung an der brechenden Kugelfläche. Die Verhältnisse und die Bezeichnungen sind aus der untenstehenden Figur er-sichtlich. Der Lichtweg des Strahles, der entlang der optischen Achse verläuft, ist:

l = n'a' - na.


Entsprechend ist der Lichtweg des gebrochenen Lichtstrahles:

% ' % %l n a na= − . Nun entwickeln wir ~a :

~ ( ' ) ' ' ' ' ''

a a x h a a x h a ahr

h a har

= − + ≈ − + ≈ − + = + −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2 2 2 2 22

2 2 22 212

1

~ ''

''

''

''

a a har

aha

ar

aha

ar

≈ + −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = + −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ ≈ + −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

2 2 22

2

2

21 1 1 112

1

~ ''

''

'a a

ha

ar

aha

hr

≈ + −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = + −1

12

112

12

2

2

2 2

Verlangen wir gleiche Lichtwege, so ergibt sich: % ' % % ' 'l n a na n a na l= − = − =

also n a a n a a'( % ' ' ) ( % )− = −

Aus der eben hergeleiteten Formel für ~a können wir nun die linke Seite dieser Gleichung wie folgt darstellen:

n a a n aha

hr

a hna

nr

' (~' ' ) ' ''

'''

'− = + −

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

12

12

12

2 22

Auf die gleiche Weise leiten wir die rechte Seite der Gleichung her. Dies ergibt:

n a a hna

nr

(~ )− = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

12

2

Setzen wir die ursprüngliche Gleichung nun zusammen, so ergibt sich nach streichen des gemeinsamen Faktors 12

2h :

na

nr

na

nr

''

'− = −

Nach Umstellen dieser Formel folgt daraus na

na

n nr

''

'= +

− , d.h. die Gauss-Formel, qed.


4.8 Zusammenfassung brechende Kugelfläche Formeln:

Gauss-Formel: A' = A + D

A na= A n

a' ''= D n n

r=−'

Bildgrössenformel: y·A = y'·A'

Newton-Formeln: x·x' = f f⋅ ' β' = −fx β' '

'= −xf

Brennweitenbeziehungen: f' + f = r f nD= − f n

D' '=

Abbildung von ∞: y f' tan= ⋅ σ Abbildung nach ∞: y f= ⋅' tan 'σ

Konstruktionen:

objektseitiger Brennpunktstrahl → bildseitiger Achsenparallelstrahl Mittelpunktstrahl → Mittelpunktstrahl

objektseitiger Achsenparallelstrahl → bildseitiger Brennpunktstrahl Objektseitig parallele Strahlen schneiden sich nach der Brechung in der Brenn-

ebene Nach der Brechung parallel verlaufende Strahlen gehen objektseitig aus ein und demselben Punkt in der Brennebene hervor.


5 Abbildungsfälle In diesem Abschnitt werden alle Abbildungsfälle, sowohl für Plus- wie auch für Minusflächen, systematisch betrachtet und untersucht. Das Vervollständigen dieses Teils des Skripts ist als Übung gedacht.

5.1 Plusflächen a = 3 f :

F F'C

S

a’ = . . . . . . β ' = . . . . . . . . a = 2 f :

F F'C

S

a’ = . . . . . . β ' = . . . . . . . . a = 1.5 f :

F F'C

S

a’ = . . . . . . β ' = . . . . . . . .


a = f :

F F'C

S

a’ = . . . . . . β ' = . . . . . . . . a = 0.5 f :

F F'C

S

a’ = . . . . . . β ' = . . . . . . . . a = 0:

F F'C

S

a’ = . . . . . . β ' = . . . . . . . .


a = -0.5 f :

F F'C

S

a’ = . . . . . . β ' = . . . . . . . . a = - f :

F F'C

S

a’ = . . . . . . β ' = . . . . . . . . a = -2 f :

F F'C

S

a’ = . . . . . . β ' = . . . . . . . .


a = ∞:

F F'C

S

a’ = . . . . . . β ' = . . . . . . . .

5.1.1 Tabelle Abbildungsfälle Plusflächen Abbildungsfall Bild aufrecht /

verkehrt Bild reell / virtuell

Abbildungsmassstab

a = 3 f a = 2 f a = 1.5 f a = f a = 0.5 f a = 0 a = -0.5 f a = - f a = -2 f a = ∞

5.1.2 Skizze Abbildungsfälle Plusflächen


5.2 Abbildungsfälle bei Minusflächen a = -3 f :

F' FC

S

a’ = . . . . . . β ' = . . . . . . . . a = -2 f :

F' FC

S

a’ = . . . . . . β ' = . . . . . . . . a = - f :

F' FC

S

a’ = . . . . . . β ' = . . . . . . . .


a = -0.5 f :

F' FC

S

a’ = . . . . . . β ' = . . . . . . . . a = 0:

F' FC

S

a’ = . . . . . . β ' = . . . . . . . . a = 0.5 f :

F' FC

S

a’ = . . . . . . β ' = . . . . . . . .


a = f :

F' FC

S

a’ = . . . . . . β ' = . . . . . . . . a = 1.5 f :

F' FC

S

a’ = . . . . . . β ' = . . . . . . . . a = 2 f :

F' FC

S

a’ = . . . . . . β ' = . . . . . . . .


a = 3 f :

F' FC

S

a’ = . . . . . . β ' = . . . . . . . . a = ∞:

F' FC

S

a’ = . . . . . . β ' = . . . . . . . .

5.2.1 Tabelle Abbildungsfälle Minusflächen Abbildungsfall Bild aufrecht /

verkehrt Bild reell / virtuell

Abbildungsmassstab

a = -3 f a = -2 f a = - f a = -0.5 f a = 0 a = 0.5 f a = f a = 1.5 f a = 2 f a = 3 f a = ∞


5.2.2 Skizze Abbildungsfälle bei Minusflächen

6 Dicke Linsen Linsen weisen zwei Kugelflächen auf. Deshalb liegt es nahe, Linsen als Kombination von sphärischen Flächen aufzufassen. Es wird sich als ein gangba-rer Weg erweisen, dies tatsächlich zu tun. Allerdings ist es umständlich, immer zwei Abbildungen an den beiden Kugelflächen zu konstruieren oder zu errech-nen. Deshalb werden wir bald das Konzept der Systemhauptebenen und der Systembrennpunkte einführen. In diesem Zusammenhang erweist sich die Gullstrandformel als wichtigstes Instrument. Wir geben dann einen Überblick über den Einfluss der Form einer Linse auf die Lage der Hauptebenen und dis-kutieren schliesslich das Konzept der "dünnen Linsen".

6.1 Abbildung von oder nach Unendlich bei di-cken Linsen

Bei der brechenden Kugelfläche haben wir für die Abbildung von -∞ folgenden Zusammenhang gefunden:

σtan' ⋅= fy . Ebenso gilt zwischen der Gegenstandsgrösse y, der bildseitigen Brenn-weite f' und dem Winkel σ, unter welchem die Strahlen die brechende Kugelflä-che verlassen, der Zusammenhang:

'tan' σ⋅= fy . Die entscheidende Idee bei der Behandlung der dicken Linsen besteht nun darin, diese Formeln auf das aus zwei oder mehreren Kugelflächen bestehende System auszudehnen. y' ist dann das Systembild und f ist dann die dingseitige Systembrennweite. Anschaulich können wir uns die Angelegenheit anhand der


untenstehenden Skizze vorstellen.

Ein weit entfernter Gegenstand erscheint unter einem Winkel σ. Wir ver-folgen den dingseitigen Brennstrahl und Mittelpunktstrahl bei der ersten Kugel-fläche. Das Bild, das die erste Kugelfläche entwirft, entsteht in der bildseitigen Brennebene der ersten Kugelfläche. Es dient als reeller oder meist virtueller Ge-genstand für die zweite Kugelfläche. Verfolgen wir den Achsenparallelstrahl, der aus dem dingseitigen Brennstrahl hervorging, so bemerken wir, dass dieser durch die Brechung an der zweiten Kugelfläche in den bildseitigen Brennstrahl übergeht. Es ist nur noch der Verlauf des an der ersten Fläche ungebrochenen Mittelpunktstrahles zu bestimmen. Für die Berechnung können wir verwenden, dass

y y f2 1 1= = ⋅' tanσ gilt. Fassen wir das Bild y' als Gegenstand für die Abbildung an der zweiten Kugelfläche auf, so finden wir:

a f d2 1= −' . Daraus berechnen wir A2 :

A na

nf d2

2

2

2

1

= =−' .

Die Gauss-Formel ergibt:

( ) ( )A A D

nf d

D f df d

n D f df d2 2 2

2

1

2 1

1

2 2 1

1'

''

''

'= + =

−+

−−

=+ −

− . Die Bildgrössenformel, angewandt auf die zweite Fläche, ergibt:

( ) ( )y yAA

y

nf d

n D f df d

yn

n D f d2 22

22

2

1

2 2 1

1

22

2 2 1

''

''

''

= =−

+ −−

=+ −

. D.h.

y yD

fn

dn

2 2

21

2 2

1

1'

'=

+ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Nun setzen wir in obige Gleichung y y f2 1 1= =' tanσ ein:


y y fD

fn

dn

' ''

tan= =+ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2 1

21

2 2

1

1σ

. Fassen wir die beiden Kugelflächen als System auf, so muss gelten:

y f' tan= ⋅ σ . Damit dies erfüllt ist, müssen wir

f fD

fn

dn

=+ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1

21

2 2

1

1'

setzen. Damit erhalten wir für den Brechwert D des Systems:

1 12

2 211

12

2 2

'11'1

n fn n dD Dn nf ff

f dDn n

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪= − = − = − + −⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

⎛ ⎞+ −⎜ ⎟

⎝ ⎠

Verwenden wir die Zusammenhänge

D nf

nf1

1

1

2

1

= − =' ,

so wird daraus

D

nf

Dfn

dn

D DD

dn

= − + −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

= + −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

1

12

1

2 21 2

1 21 1

1'

und nach Ausmultiplizieren der runden und der geschweiften Klammer:

D D DD

dn

D Ddn

D D= + −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

= + −1 21 2

1 22

1 211

. Mit der Definition der reduzierten Mittendicke

δ =dn2

ergibt sich damit die bekannte Gullstrand-Formel:

D D D dn

D D D D D D= + − = + − ⋅1 22

1 2 1 2 1 2δ

. Diese Gullstrand-Formel macht natürlich nur dann Sinn, wenn der umgekehrte Weg der Herleitung, nämlich über die Beziehung

y f= ⋅' tan 'σ auch möglich ist und das gleiche Resultat ergibt. Dies wollen wir als nächstes tun. Wir überlegen uns, dass für Gegenstände, die vom System nach Unendlich abgebildet werden, die Beziehung

y f2 2= ⋅' tan 'σ

gilt. Die Gegenstandsweite a2 ist gleich der dingseitigen Brennweite f 2 der zweiten Kugelfläche. Der un-tenstehenden Skizze entnehmen wir:

a d f1 2' = + .


Nun müssen wir die Gauss-Formel rückwärts anwenden

A A D1 1 1= −' , was

( )A

na

Dn

d fD

nd f

D d fd f1

2

11

2

21

2

2

1 2

2

= − =+

− =+

−+

+'

ergibt. Die Bildgrössenformel y A y A1 1 1 1= ' '

muss nach a1 aufgelöst werden:

( ) ( )

2

1 2 21 1 1 1

1 2 1 2 2 1 2

2

'' ' '

nA d f ny y y yA n D d f n D d f

d f

+= = =

− + − +

+

.

Nun setzen wir y y f1 2 2' ' tan '= = σ

ein

( ) ( )y yn

n D d ff

nn D d f1 1

2

2 1 22

2

2 1 2

=− +

=− +

' ' tan 'σ

und verwenden, dass y y f= = ⋅1 ' tan 'σ

gelten muss. Damit erhalten wir für f':

( )f fn

n D d f' '=

− +22

2 1 2

und daraus über

( )

( )2 1 23 3 3

2 2 22

2 1 2

'' ' ''

n D d fn n nnD nf f f nfn D d f

− += = = = ⋅

− +

.

Der erste Faktor ist gleich D2 . Den zweiten Faktor kürzen wir mit n2 und erhalten

D D Ddn

fn

= − +⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟2 1

2

2

21 .

Wieder müssen wir ausmultiplizieren


D D Ddn

fn

D D Ddn

D DD

= − +⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = − +2 1

2

2

22 1 2

22 1

21

1,

d.h. D D D D D= + − ⋅1 2 1 2δ . Q.e.d.

Die Lage der Hauptebenen ergibt sich durch eine einfache Rechnung. Die bildseitige Brennebene liegt dort, wo das Bild y' bei der Abbildung von Unendlich liegt. Dies haben wir weiter oben schon beinahe fertig berechnet:

( )A

n D f df d2

2 2 1

1'

''

=+ −

−,

d.h.

( )( )a

nA

n f dn D f d2

3

2

3 1

2 2 1

''

''

= =−

+ −.

Dies kann man noch etwas eleganter darstellen, wenn man den Bruch auf der rechten Seite mit n2 kürzt und anschliessend mit D1 erweitert:

a2 ' = ( )( )a

n f dn D f d

nfn

dn

Dfn

dn

nD

DD

23 1

2 2 1

31

2 2

21

2 2

31

21

1

1

11

''

'

'

'=

−

+ −=

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

δ

δ,

d.h.

( ) ( )a

nD

DD

n DD D D D

n DD2

31

21

3 1

1 2 1 2

3 1

1

11

1 1' =

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=− ⋅

+ − ⋅=

− ⋅δ

δ

δδ

δ.

Davon müssen wir f' subtrahieren, um die Strecke von der zweiten Scheitelebene S2 bis zur Hauptebene H' zu erhalten:

( ) ( )h a f

n DD

nD

n D nD

n DD

' ' '= − =− ⋅

− =− ⋅ −

=− ⋅

23 1 3 3 1 3 3 11 1δ δ δ

, d.h.

h n DD

' = − 31δ

. Auf die gleiche Weise überlegen wir uns, dass

h n DD

= 12δ

gilt.


6.2 Zusammenstellung "Dicke Linsen" Im folgenden Abschnitt geben wir eine Zusammenstellung der wichtigsten Ei-genschaften dicker Linsen und deren Berechnung. A Bezeichnungen "Dicke Linse" Die folgenden Bezeichnungen beziehen sich auf die Darstellung auf der folgen-den Seite. n n n1 2 3, , : Brechzahlen der Medien vor der Linse, der Linse, hinter der Linse

r r1 2, : objekt-, bildseitiger Krümmungsradius der Linse

S S1 2, : objekt-, bildseitiger Scheitelpunkt (Scheitelebene) der Linse

d: Mittendicke der Linse

, ' :F F objekt-, bildseitiger Brennpunkt (Brennebene)

f f, ': objekt-, bildseitige Brennweite H,H': objekt-, bildseitige Hauptebene (Hauptpunkt) h: Abstand objektseitige Scheitelebene - objektseitige Hauptebene h': Abstand bildseitige Scheitelebene - bildseitige Hauptebene ha: Hauptebenenabstand

s,s': objektseitige, bildseitige fokale Schnittweite K,K': objekt-, bildseitiger Knotenpunkt k: Abstand objektseitiger Hauptpunkt - objektseitiger Knotenpunkt k': Abstand bildseitiger Hauptpunkt - bildseitiger Hauptpunkt.

B Gesamtbrechwert aus den Flächenbrechwerten Es gilt die "berühmte" Gullstrandformel:

D D D D D= + − ⋅1 2 1 2δ

mit folgenden Bedeutungen: 1 2, :D D Flächenbrechwerte der 1. und 2. brechenden Kugelfläche.

δ =dn2

: reduzierte Mittendicke (=Abstand der beiden Scheitelpunkte divi-

diert durch die Brechzahl des Linsenmaterials).

d: Mittendicke der Linse = Abstand der beiden Scheitelpunkte


C Flächenbrechwerte D n n

r12 1

1=

−

n1 : Brechzahl des Mediums vor der ersten Fläche. n2 Brechzahl des Linsenmediums. r1: Krümmungsradius der ersten Kugelfläche.

D n nr2

3 2

2=

−

n3: Brechzahl des Mediums nach der zweiten Fläche. r2 : Krümmungsradius der zweiten Kugelfläche.

D Brennweiten

f nD

nD= − = −1 f n

DnD' '

= =3

E Hauptebenenlage (Abstände von den Scheitelpunkten)

h n DD= 1

2δ h n DD' = − 3

1δ

h: Abstand der objektseitigen Hauptebene H von der objektseitigen Scheitelebene S1

h': Abstand der bildseitigen Hauptebene H' von der bildseitigen Schei-telebene S2

F Hauptebenenabstand

h = d + h' - ha

ha: Abstand der beiden Hauptebenen HH'. G Lage der Knotenpunkte


k = k' = f + f '

k: Abstand des objektseitigen Knotenpunktes K von der Hauptebene

H. k': Abstand des bildseitigen Knotenpunktes K' von der Hauptebene

H'. H Fokale Schnittweiten und Scheitelbrechwerte Es ist zu beachten, dass die Scheitelbrechwerte nicht in allen Lehrbüchern gleich definiert sind. Wir wählen hier diejenige Definition, die für Linsen mit positivem Gesamtbrechwert auch einen positiven Scheitelbrechwert ergibt.

s h f= + s h f' ' '= + .

S ns

ns= − = −1 S n

sns' '''= =3 .

s,s': Objekt-, bildseitige fokale Schnittweite. S,S': Objekt-, bildseitiger Scheitelbrechwert. Die Definition von S ist, wie bereits erwähnt, nicht in allen Büchern gleich {z.B. Roth}. Nehmen wir eine Linse in Luft mit D=10dpt und h=3mm, so haben wir f = -10cm und S = +10.3 dpt, also einen objektseitigen Scheitelbrechwert, der das gleiche Vorzeichen wie der Gesamtbrechwert aufweist. Würde man statt dessen wie in anderen Büchern S = n /s definieren, so hätte man S = -10.3 dpt, also einen negativen objektseitigen Scheitelbrechwert.

Setzt man fnD

= − 1 und h nDD

= 12δ in den Ausdruck für s bzw. S und entspre-

chend für s' und S' ein, so erhält man:

( )snD

D= − − ⋅121 δ ( )s

nD

D' = − ⋅311 δ

S D

D=− ⋅1 2δ S D

D' =− ⋅1 1δ


6.3 Spezialfälle (Aufgaben) 1. Symmetrische Dicke Linse in einheitlichem Medium: Man berechne algebraisch den Gesamtbrechwert, Brennweiten, Hauptebenenlagen

(inkl. Abstand) und Knotenpunkte einer symmetrischen dicken Linse, die sich in ei-nem einheitlichen Medium (vor und hinter der Linse das gleiche Medium) befindet. Man verwende dabei folgende Abkürzungen:

nu : Brechzahl des umbegenden Mediums. nL : Brechungsindex des Linsenmaterials. r: Krümmungsradius der vorderen Fläche (r r r1 2= − = ).

Veranschaulichen Sie das Ergebnis Ihrer Berechnungen mit einer Prinzipskizze, die die wesentlichen Resultate enthält. Man zeige auch, dass für Linsen, deren Mittendi-cke wesentlich geringer als der Krümmungsradius ist, der Hauptebenenabstand ein Drittel der Mittendicke beträgt.

2. Konkavkonvexe Linse mit gleichen Krümmungsradien Man berechne algebraisch den Gesamtbrechwert, Brennweiten, Hauptebenenlagen

(inkl. Abstand) und Knotenpunkte einer konkavkonvexen dicken Linse, die sich in einem einheitlichen Medium (vor und hinter der Linse das gleiche Medium) be-findet. Man verwende dabei folgende Abkürzungen:

nu : Brechzahl des umbegenden Mediums. nL : Brechungsindex des Linsenmaterials. r: Krümmungsradius der vorderen Fläche (r r r1 2= = ).

Veranschaulichen Sie das Ergebnis Ihrer Berechnungen mit einer Prinzipskizze, die die wesentlichen Resultate wiedergibt.

3. Vollkugel in einheitlichem Medium Mit den Ergebnissen der Aufgabe 1 berechne man die Eigenschaften einer Vollkugel

in einheitlichem Umgebungsmedium. Veranschaulichen Sie das Ergebnis Ihrer Berechnungen mit einer Prinzipskizze, die

die wesentlichen Resultate veranschaulicht. 4. Vollkugel in verschiedenen Medien Man zeige algebraisch, dass die Hauptebenen einer Vollkugel immer den Abstand 0

aufweisen. 5. Konzentrische Linse Bestimmen Sie die Gesamtbrechwert D, die Brennweiten f und f', die Hauptebenen-

lage h und h' einer konzentrischen Linse in einheitlichem Umgebungsmedium. Ver-wenden Sie folgende Vereinfachungen:

Mittendicke: d, r r d r r1 2= + =, , n n n n nU L1 3 2= = =, 6. Afokale Linse in einheitlichem Umgebungsmedium Eine Linse in einheitlichem Umgebungsmedium soll afokal sein. Bestimmen Sie, wel-

che Bedingungen die Radien r1, r2 und die Mittendicke d erfüllen müssen.


6.4 Aufgaben "dicke Linsen ff"

1. Von einer dicken Linse sind folgende Daten bekannt: r1 = 8.757cm, r2 = -8.757cm n1 = n3 = 1.0, n2 = 1.9, d = 1.0cm. Berechnen Sie D D1 2, ,D, h, h' und ha . 2. Von einer dicken Linse sind folgende Daten bekannt: r1 = 5.181cm, r2 = -31.089cm n1 = n3 = 1.0, n2 = 1.9, d = 1.0cm. Berechnen Sie D D1 2, ,D, h, h' und ha . 3. Von einer dicken Linse sind folgende Daten bekannt: r1 = 6.588cm, r2 = -13.176cm n1 = n3 = 1.0, n2 = 1.9, d = 1.0cm. Berechnen Sie D D1 2, ,D, h, h' und ha . 4. Von einer dicken Linse sind folgende Daten bekannt: r1 = 4.5cm, r2 = ∞, n1 = n3 = 1.0, n2 = 1.9, d = 1.0cm. Berechnen Sie D D1 2, ,D, h, h' und ha . 5. Von einer dicken Linse sind folgende Daten bekannt: r1 = 2.652cm, r2 = 5.304cm n1 = n3 = 1.0, n2 = 1.9, d = 1.0cm. Berechnen Sie D D1 2, ,D, h, h' und ha . 6. Zeichnen Sie die Linsen der Aufgaben 1 bis 5 im Maßstab 1:1 auf ein A4-Blatt untereinander. Die

Zeichnung ist so anzufertigen, dass die Scheitelebenen direkt untereinander liegen. Im weiteren sind die Hauptebenen und die Systembrennpunkte einzuzeichnen. Welche Schlussfolgerungen ergeben sich?

7. Von einer dicken Linse sind folgende Daten bekannt: r1 = -9.231cm, r2 = 9.231cm n1 = n3 = 1.0, n2 = 1.9, d = 1.0cm. Berechnen Sie D D1 2, ,D, h, h' und ha . 8. Von einer dicken Linse sind folgende Daten bekannt: r1 = -6.904cm, r2 = 13.809cm n1 = n3 = 1.0, n2 = 1.9, d = 1.0cm. Berechnen Sie D D1 2, ,D, h, h' und ha . 9. Von einer dicken Linse sind folgende Daten bekannt: r1 = -4.5cm, r2 = ∞, n1 = n3 = 1.0, n2 = 1.9, d = 1.0cm. Berechnen Sie D D1 2, ,D, h, h' und ha . 10. Von einer dicken Linse sind folgende Daten bekannt: r1 = -1.572cm, r2 = -3.144cm n1 = n3 = 1.0, n2 = 1.9, d = 1.0cm. Berechnen Sie D D1 2, ,D, h, h' und ha . 11. Zeichnen Sie die Linsen der Aufgaben 7 bis 10 im Maßstab 1:1 auf ein A4-Blatt untereinander. Die

Zeichnung ist so anzufertigen, dass die Scheitelebenen direkt untereinander liegen. Im Weiteren sind die Hauptebenen und die Systembrennpunkte einzuzeichnen. Welche Schlussfolgerungen ergeben sich?


6.5 Aufgaben "dicke Linsen fff" In den folgenden Zeichnungen ist die Lage der Hauptebenen zu skizzieren:


6.6 Konstruktionsprinzipien bei dicken Linsen und Linsensystemen

Bei allen Konstruktionen werden grundsätzlich zwei Prinzipien ausgenutzt:

Strahlen, die vor der Brechung an einer Linse parallel zueinander ver-laufen, schneiden sich nach der Brechung an der Linse in einem Punkt in der Brennebene.

Strahlen, die durch einen Punkt in der Brennebene gehen, verlaufen nach der Brechung durch die Linse parallel zueinander.

Wir können noch zwei Spezialfälle der oben beschriebenen allgemeinen Prinzi-pien erwähnen:

Achsenparallele Strahlen schneiden sich nach der Brechung an der Linse im Brennpunkt.

Strahlen, die durch den Brennpunkt gehen, verlaufen nach der Bre-chung an der Linse achsenparallel.


Bei den in der Optik anfallenden Konstruktionen können wir grundsätzlich zwei verschiedene Typen von Aufgaben unterscheiden, wobei jeder Typ grundsätz-lich auf den anderen Typ zurückgeführt werden kann. Wir besprechen nun der Reihe nach diese Grundkonstruktionsaufgaben und ge-ben dazu je mindestens ein Konstruktionsbeispiel.

6.6.1 Konstruktionsaufgabe Typ 1 Ein Punkt, der nicht auf der optischen Achse liegt, ist abzubilden. Zur Konstruktion können wir nun drei Strahlen verwenden. Wir geben in der folgenden Zusammenstellung an, wie die Strahlen benannt werden und in wel-chen Strahl sie durch die Brechung übergeführt werden: Achsenparallelstrahl → Brennpunktstrahl durch den durch den Objektpunkt Bildpunkt Brennpunktstrahl → Achsenparallelstrahl durch den Objektpunkt durch den Bildpunkt Knotenpunktstrahl → Knotenpunktstrahl durch den Objektpunkt durch den Bildpunkt Bei dicken Linsen oder Linsensystemen müssen wir berücksichtigen, dass alle Lichtstrahlen zwischen den beiden Hauptebenen parallel zur optischen Achse verlaufen. Im übrigen verläuft aber die Konstruktion genau gleich wie im Falle dünner Linsen. I.a. verwenden wir alle drei Strahlen zur Konstruktion, damit wir bei jedem Konstruktionsschritt eine Kontrolle haben. Die Konstruktionsaufgabe vom Typ 1 kann durch die freie Annahme zweier be-liebiger Strahlen, die durch den abzubildenden Punkt verlaufen, auf die Kon-struktionsaufgabe vom Typ 2 zurückgeführt werden.


6.6.2 Konstruktionsaufgabe Typ 2 Bei der Konstruktionsaufgabe vom Typ 2 ist ein Strahl abzubilden.

Hier nützen wir die anfangs erwähnten Prinzipien direkt aus. Wir betrach-ten zwei spezielle Strahlen, die zum abzubildenden Strahl parallel verlaufen:

a) paralleler Brennpunktstrahl → Achsenparallelstrahl

b) paralleler KnotenpunktstrahlL → Knotenpunktstrahl Der abzubildende Strahl, der Achsenparallelstrahl und der Knotenpunktstrahl schneiden sich in einem Punkt in der (Bild-) Brennebene.

Wir können uns auch vorstellen, der abzubildende Strahl gehe aus einem Punkt aus der (Ding-) Brennebene hervor. Von diesem Schnittpunkt des abzu-bildenden Strahles mit der (Ding-) Brennebene können wir zwei spezielle Strah-len ziehen, die nach der Brechung an der Linse parallel zum abgebildeten Strahl verlaufen:

a) Achsenparallelstrahl → Brennpunktstrahl

b) Knotenpunktstrahl → Knotenpunktstrahl


Es ist zu beachten, dass zumindest bei Streulinsen die zweite Variante mit

speziellen Strahlen, die aus einem Punkt der Brennebene hervorgehen, zu sehr unübersichtlichen Lösungen führt, wie man auch anhand der beigefügten Kon-struktionbeispiele erkennen kann.

Auch hier müssen wir berücksichtigen, dass bei dicken Linsen und Lin-sensystemen sämtliche Strahlen zwischen den beiden Hauptebenen parallel zur optischen Achse verlaufen.

Die Konstruktionsaufgabe vom Typ 2 kann auf die Konstruktionsaufgabe vom Typ 1 zurückgeführt werden, indem ein beliebiger Punkt auf dem Strahl abgebildet wird.


Spezielle Punkte und Strahlen Müssen Punkte, die auf der optischen Achse liegen, abgebildet werden, so muss die Konstruktionsaufgabe vom Typ 1 auf eine Konstruktionsaufgabe vom Typ 2 zurückgeführt werden, wobei man zweckmässigerweise die optische Ach-se als eine der beiden abzubildenden Strahlen wählt (das Bild eines Objektpunk-tes auf der optischen Achse kommt durch die Abbildung wiederum auf die opti-sche Achse zu liegen). Eine weitere Möglichkeit für die Abbildung von Punkten, die auf der op-tischen Achse liegen, ist dadurch gegeben, dass man einen Punkt wählt, der in der gleichen Entfernung von der Systemhauptebene liegt wie der abzubildende Punkt. Das Bild dieses Punktes liegt in der gleichen Entfernung von der anderen Hauptebene wie das Bild des abzubildenden Punktes.

Im Gegensatz zu den speziellen Punkten sind spezielle Strahlen nicht komplizierter, sonder einfacher in der Handhabung: Sie können in der Regel direkt abgebildet werden.


7 "Linsensysteme" - "Kombination von di-cken Linsen"

In diesem Abschnitt fertigen wir eine Zusammenstellung der wichtigsten For-meln für die Berechnung der Eigenschaften einer Linsenkombination an. Wir betrachten die drei grundsätzlich möglichen Fälle von Linsenkombinationen und diskutieren den resultierenden Gesamtbrechwert und die Lage der Haupt-ebenen in Abhängigkeit des "Abstandes" der beiden Linsen (der Begriff "Ab-stand" wird noch näher diskutiert und erläutert).

Wir betrachten die Kombination zweier gleicher Pluslinsen in Luft und die Bezeichnungen (die auch für die Kombinationen anderer Linsen gelten) zu definieren (untenstehende Figur):


Gesamtbrechwert aus den Einzelbrechwerten Es gilt - wie bei den dicken Linsen - die "berühmte" Gullstrandformel:

2121 DDDDD ⋅⋅−+= δ

mit folgenden Bedeutungen:

21,DD : Brechwerte der 1. und 2. Linse. δ: reduzierter Abstand der beiden Linsen (=Abstand der bildseitigen

Hauptebene der ersten Linse und objektseitiger Hauptebene der zweiten Linse, dividiert durch die Brechzahl des zwischen den Lin-sen liegenden Materials {n2}). Es gilt also:

δ =dn2

Brennweiten

Die Brennweiten werden von den Hauptebenen der theoretischen Ersatzlinse aus gemessen. n n= 1 bezeichnet den Brechwert des Mediums vor der ersten Linse, n n' = 3 den Brechwert des Mediums hinter der zweiten Linse.

f nD

nD= − = − 1 f n

DnD' '

= = 3

Lage der Hauptebenen

h wird von der objektseitigen Hauptebene H der ersten Linse, h' von der bildsei-tigen Hauptebene H' aus gemessen:

h n DD= 1

2δ h n DD' = − 3

1δ

Abstand der Hauptebenen

h d h h h ha a a= + + + −1 2

' Lage der Knotenpunkte


k = k' = f + f'

k: Abstand des objektseitigen Knotenpunktes von der Hauptebene H. k': Abstand des bildseitigen Knotenpunktes von derHauptebene H' . Bemerkung zu den Bezeichnungen: Gelegentlich werden die Indizes 1, 2 angebracht, um anzudeuten, dass es sich um Elemente der theoretischen Ersatzlinse handelt. So schreibt man z.B. D1 2, für den Gesamtbrechwert einer Kombination von zwei Linsen. Diese Handhabung wird sich aber spätestens bei der Kombination von drei oder sogar noch mehr Elementen als unpraktisch erweisen. Wir verzichten deshalb auf diese eher um-ständliche Notation.

7.1 Spezialfälle und Aufgaben Wir betrachten die drei möglichen Kombinationen von Linsen.

7.1.1 Kombination zweier positiver Linsen Aufgabe A1: Zwei identische Linsen mit Brechwerten von je 10 dpt, Mittendicken von 3 cm und Haupt-ebenenabständen von je 1 cm weisen einen Abstand d von 10 cm auf. vor der ersten und hin-ter der zweiten Linse befinde sich Luft, dazwischen Wasser. Berechnen Sie den Gesamtbrechwert, die Lage der beiden Hauptebenen und den Hauptebe-nenabstand. Konstruieren Sie die berechneten Grössen und bestimmen Sie die Lage der Kno-tenpunkte. Aufgabe A2: Die Linsen aus Aufgabe A1 weisen nun einen Abstand d von 4.5 cm auf. Es sind die gleichen Berechnungen und Konstruktionen anzustellen. Aufgabe A3: Genau gleich wie Aufgabe A2 aber zwischen den beiden Linsen befindet sich Luft. Es sind wiederum die gleichen Berechnungen und Konstruktionen durchzuführen. Aufgabe A4: In Aufgabe A3 wird der Abstand d auf 10 cm vergrössert. Berechnen und konstruieren Sie die gleichen Grössen wie in Aufgabe A3. Aufgabe A5: Wir untersuchen nun systematisch, wie sich der Gesamtbrechwert des Systems, das aus einer Kombination zweier Pluslinsen besteht, als Funktion des Abstandes d verhält. Wiruntersu-chen die Funktion D = D(d). Wir treffen vereinfachend die Annahmen, dass als Medium zwi-schen, vor und hinter den Linsen Luft liegt und dass der Hauptebenenabstand der einzelnen


Linsen je ein Drittel der Linsendicke betrage. Für die Berechnungen nehmen wir weiter an, die einzelnen Linsen seien je +10 dpt und 3cm dick. A5.1: Berechnen Sie, unter welchen Bedingungen, d.h. in welchem Abstand, der grösste Brechwert realisiert werden kann. Wie gross ist diese dann ? Wie gross ist der Hauptebenen-abstand h ? A5.2: Drücken Sie D als Funktion von d aus. Skizzieren Sie den Verlauf der Funktion. Um welchen (mathematischen) Funktionstyp handelt es sich ? A5.3: Drücken Sie h als Funktion von d aus. Berechnen Sie die Funktion für d mit folgenden Werten: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 18, 19.5, 20, 21, 22 cm 23, 24, 25, 30, 40, 50, 70, 100, 100000, ∞ cm Stellen Sie die Funktion in einem Koordinatensystem graphisch dar. A5.4: Berechnen Sie algebraisch den Hauptebenenabstand ha als Funktion des Abstandes d. Berechnen Sie damit den Abstand h für die gleichen Werte von d wie in Aufgabe A5.3 und stellen Sie ihn in einem Koordinatensystem graphisch dar. A5.5: In der gleichen Weise wie in der Aufgabe A5.3 sind die Grössen D, h, h' und ha in Abhängigkeit von d zu berechnen und graphisch darzustellen für D = 10 dpt, D = 5 dpt.

7.1.2 Kombination einer Plus- und einer Minuslinse Die Situation ist beispielartig in der folgenden Skizze dargestellt:


Wir treffen folgende Annahmen für die untenstehenden Aufgaben: Der Brechwert der Plus-linse betrage +10 dpt, derjenige der Minuslinse -10 dpt. Alle Medien (vor, zwischen und hin-ter den Linsen) seien Luft. Die Mittendicken der beiden Linsen seien je 3 cm und jede Linse habe einen Hauptebenenabstand h ha a1 2

= = 1 cm. Aufgabe B1: Man berechne den Gesamtbrechwert des Linsensystems, wenn der Abstand d = 10cm beträgt. Man berechne auch die Hauptebenenlage und den Abstand ha der Hauptebenen. Die berech-neten Grössen sind auch zu konstruieren. Aufgabe B2:

Wie B1 aber mit n2

43

= .

Aufgabe B3: Man nehme allgemein D D1 2= − und n n n1 2 3= = = 1 an und berechne damit h, h' und ha . (Vorgängig auch D). Was erreicht man durch Verändern des Abstandes d ? Wie sehen die Funktionen D = D(d), h = h(d) etc. aus ? B4: Wie B3 aber 12 2 DD ⋅−= ( D1 = 5 dpt, D2 = -10 dpt ).

B5: Wie B3 aber D2 = −12 1D ( D1 = 10 dpt, D2 = -5 dpt ).

7.1.3 C Kombination zweier Minuslinsen Wir können uns die Situation anhand der folgenden Skizze veranschaulichen:


Aufgabe C1: Zwei Linsen von je -10 dpt, von 3 cm Mittendicke, (Hauptebenenabstand je 1 cm) im Ab-stand von 10 cm befinden sich in Luft. Berechnen Sie D, h, h' , und ha . Führen Sie die entsprechenden Konstruktionen durch. Aufgabe C2: Überlegen Sie, was mit dem Brechwert D, den Hauptebenenlagen h, h'und dem Hauptebe-nenabstand ha geschieht, wenn der Mittenabstand d verändert wird.

7.2 Newton-Form der Gullstrand-Formel In diesem Abschnitt besprechen wir eine interessante Alternative zu der Gullstrand-Formel. Wir beziehen uns auf die untenstehende Skizze und ent-nehmen aus ihr für den Abstand Δ zwischen dem bildseitigen Brennpunkt F1' des ersten Teilsystems und dem objektseitigen Brennpunkt F2 des zweiten Teil-systems:

d f f= + −1 2' Δ

Diesen Ausdruck für d setzen wir in die Gullstrand-Formel ein:

D D D D D= + − ⋅ ⋅1 2 1 2δ also:

( )D D Dn

f f D D= + − + − ⋅ ⋅1 22

1 2 1 21

' Δ

Beim Ausmultiplizieren der Klammer in dieser Gleichung entstehen drei Terme. Beim ersten Term ersetzen wir

D1 durch nf

2

1 ', beim dritten D2 durch −

nf

2

2

:

D D D n f D D n D D n f D D= + − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅1 22

1 1 22

1 22

2 1 21 1 1' Δ


D D Dn

fnf

Dn

D Dn

f Dnf

= + − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟1 2

21

2

12

21 2

22 1

2

2

1 1 1'

'Δ

Daraus folgt:

D n D D= − ⋅Δ

21 2

Nun leiten wir daraus die Ausdrücke für die objektseitige und die bildseitige Brennweite her:

fnD

n nD D

n nnf

nf

f f= − = −

⋅− ⋅ ⋅

=⋅

⋅ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⋅ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

⋅1 1 2

1 2

1 2

1

1

2

2

1 2

ΔΔ

Δ

also

f f f=

⋅1 2

Δ

fnD

n nD D

n nnf

nf

f f'

' '

' '= =

⋅− ⋅ ⋅

=⋅

− ⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= −

⋅3 2 3

1 2

1 2

2

2

3

3

1 2

ΔΔ

Δ

f f f' ' '= −

⋅1 2

Δ

Wir stellen fest, dass das System offensichtlich dann afokal wird, wenn der Abstand Δ gleich Null ist. Es ist weiterhin interessant zu wissen, wo die Brennebenen des Systems liegen. Die Kenntnis dieser Ebenen und der Brennweiten ergibt dann automa-tisch auch die Lage der Hauptebenen. Um dies zu berechnen, drücken wir vor-erst h und h' mit Δ aus:

( ) ( ) ( )h n

f fn

DD

nf f

nD

nD D

nf f

nn

D= ⋅

+ −= ⋅

+ −

− ⋅ ⋅= ⋅

+ −

− ⋅11 2

2

21

1 2

2

2

21 2

11 2

2

2

1

' ' 'Δ ΔΔ

Δ

Δ

( ) ( ) ( )h n f fn

Dn f f

nf

f ff

= ⋅ + −− ⋅

= ⋅ + −− ⋅ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= + −1 1 2

2

11 1 2

1

1

1 211

' ' 'ΔΔ

ΔΔ

ΔΔ

( )h f ff f f

ff f

= + − = + −1 21 1 1

11 2'

'Δ

Δ Δ Δ

Im letzten Ausdruck erkennen wir ganz rechts die objektseitige Systembrennweite. Damit erhalten wir für h:

( )h f ff f f

f f= + − = + −1 21 1 1

1''

ΔΔ Δ


Nun bezeichnen wir mit g die gerichtete Strecke vom objektseitigen Brennpunkt des ersten Teilsystems bis zum objektseitigen Brennpunkt des Systems. Der Skizze entnehmen wir:

g h f f= + − 1.

Verwenden wir den eben hergeleiteten Ausdruck für h, so wird daraus für g:

g f f f f f f f f f f f f= + − + − = − +1 11

1 21

1 1 1 2' 'Δ Δ Δ Δ

Im mittleren Ausdruck auf der rechten Seite erkennen wir wieder die objektseitige Systembrennweite. Damit erhalten wir für g:

Δ=

'11 ffg

Definieren wir in analoger Weise die Strecke g' als gerichtete Strecke vom bild-seitigen Brennpunkt des zweiten Elementes bis zum bildseitigen Brennpunktes des Systems, so erhalten wir:

Δ−=

'' 22 ffg


7.3 Übersicht Newtonform der Gullstrandfor-mel

7.3.1 Kombination von 2 Elementen

( )21 ' FF=Δ

f f f= 1 2

Δ f f f' ' '= − 1 2

Δ

g f f= 1 1'

Δ g f f' '= − 2 2

Δ

7.3.2 Kombination von 3 Elementen ( )322211 ',' FFFF =Δ=Δ

f f f ff f

=+

1 2 3

1 2 2 2Δ Δ ' f f f ff f

' ' ' ''

=+

1 2 3

1 2 2 2Δ Δ

g f ff f

=+

ΔΔ Δ2

1 1

1 2 2 2

'' g f f

f f' '

'= −

+Δ

Δ Δ13 3

1 2 2 2

( )''', 31 FFgFFg ==


8 Sphärische Spiegel

8.1 Grundsätzliches über sphärische Spiegel Wir wollen in diesem Kapitel eine Zusammenstellung der Eigenschaften sphäri-scher Spiegel geben. Da vorgängig die brechenden Kugelflächen, dicke Linsen und Linsensysteme behandelt wurden, können wir uns im wesentlichen darauf beschränken, die wichtigsten Eigenschaften herzuleiten und anschliessend eine Zusammenfassung zu geben.

8.1.1 Krümmungsradius und Brennweiten Wir betrachten die geometrischen Verhältnisse anhand der untenstehen-den Zeichnung.

Wir haben vorerst einmal den Spiegel, der eine sphärische Fläche mit

Krümmungsmittelpunkt in M darstellt. Grundsätzlich kommt jede Gerade, die durch den Krümmungsmittelpunkt M geht, als optische Achse in Frage. (In die-sem Fall wurde eine horizontale Gerade als optische Achse gewählt). Wir be-trachten nun einen Strahl, der parallel zur optischen Achse in nicht zu grosser


Entfernung von dieser auf den Spiegel zuläuft. Am Auftreffpunkt wird der Strahl reflektiert. Die Flächennormale bei diesem Punkt ist eine Gerade, die durch den Krümmungsmittelpunkt M geht (Radius). Den Winkel zwischen dem einfallenden Strahl und dem Lot nennen wir ε. Der reflektierte Strahl und das Lot schliessen den Winkel ε' ein. Nach dem Reflexionsgesetz gilt:

ε ε' = − . Der Winkel zwischen dem Lot (im Auftreffpunkt) und der optischen Ach-se ist ebenfalls ε (parallele Geraden werden von einer dritten Geraden unter dem gleichen Winkel geschnitten). Also ist das aus Auftreffpunkt A, Krümmungs-mittelpunkt M und Punkt F gebildete Dreieck gleischschenklig. D.h. die beiden Schenkel s sind gleich lang. Lässt man nur achsennahe Strahlen zu (paraxiale Näherung, ε≈5°), so gilt

t s r≈ = −

2

(r ist in der Zeichnung negativ). Beachtet man die Vorzeichenkonvention, d.h. die Abmachung, dass bei reflektiertem Licht die Strecken mit anderen Vorzei-chen zu versehen sind, so kann festhalten:

Achsennahe achsenparallele Strahlen werden in einen Punkt reflektiert, der sich in der halben negativen Entfernung vom Spiegel befindet wie der Krümmungsmittelpunkt.

Oder mit Formeln ausgedrückt:

f r=

2

fr

' = −2

Dr

= −2

und k = r

bzw. k' = -r.

Paradoxerweise gelten aber

F F= ' und

K = K'.


8.1.2 Konstruktionsprinzipien Die Konstruktionsprinzipien beim sphärischen Spiegel untersuchen wir am besten anhand eines konkreten Beispiels. Man vergleiche dazu die untenste-hende Skizze:

Ein Gegenstand y befindet sich in einer bestimmten Entfernung vom

Spiegel, von dem der Krümmungsmittelpunkt M gegeben ist und dadurch un-mittelbar F, F', K und K'. Wir können nun folgende Konstruktionsstrahlen ver-

wenden: a) Achsenparallelstrahl Dieser Strahl wird nach der Reflexion am Spiegel zum Brennpunktstrahl, d.h. er geht durch F'. b) Brennpunktstrahl Der Strahl der durch den dingseitigen Brennpunkt F geht, verlässt den Spiegel nach der Reflexion als achsenparalleler Strahl. c) Knotenpunktstrahl Ein Strahl, der durch den Krümmungsmittelpunkt M=K geht, trifft senk-recht auf den Spiegel. Er muss also „in sich selbst reflektiert“ werden. d) Scheitelpunktstrahl Ein Strahl, der im Scheitelpunkt auf den Spiegel trifft, verlässt den Spiegel unter dem gleichen Winkel zur optischen Achse wie beim Auftreffen.


8.1.3 Zusammenfassung Bei der Reflexion des Lichtes am Spiegel wechselt die Lichtrichtung (Vorzeichenregel!) Der Krümmungsmittelpunkt des sphärischen Spiegels hat die Funktion des ding- und bildseitigen Knotenpunktes. Objekt- und bildseitiger Brennpunkt befinden sich in der halben Entfer-nung des Krümmungsmittelpunktes von der Scheitelebene des Spiegels. (f = r/2). Die Scheitelebene des Spiegels hat die Funktion von objekt- und bildsei-tiger Hauptebene.

Beim sphärischen Spiegel ist der Hauptpunktstrahl = Scheitelpunktstrahl speziell einfach zu konstruieren.

8.2 Fixpunkte bei der Abbildung an sphäri-schen Spiegeln

Bereits aufgrund der Konstruktionsprinzipien ist klar, dass ein sphärischer Spiegel durch die Scheitelebene und den Krümmungsradius (zumindest paraxi-al) vollständig festgelegt ist. Bei der optischen Abbildung kommt dem Scheitel-punkt und dem Krümmungsmittelpunkt auch eine besondere Bedeutung zu; es sind dies die Punkte, die bei der Abbildung am sphärischen Spiegel in sich sel-ber abgebildet werden. Man nennt sie deshalb die Fixpunkte des Spiegels. Die-ser Name rührt offensichtlich daher, weil diese Punkte bei der Abbildung am gleichen Ort, also "fix" bleiben. Diese Eigenschaft der sphärischen Spiegel wird u.a. zum Messen des Krümmungsradius beim Radiuskop ausgenützt (vgl. Teil Refraktionsinstrumente !). Aus dem eben gesagten können wir schliessen:

Ein sphärischer Spiegel ist durch die Fixpunkte C und S eindeutig bestimmt.

8.3 Kombination "Linse und sphärischer Spie-gel" – „Dicker Spiegel“

Was geschieht nun, wenn eine (dünne oder dicke) Linse mit einem sphä-rischen Spiegel kombiniert wird? Bei der Analyse dieser Frage wird man vorerst einmal feststellen, dass es sich bei genauerer Betrachtung nicht um die Kombination von zwei optischen Elementen, sondern von drei optischen Elementen geht. Dadurch scheint es, dass die eingangs gestellte Frage noch schwieriger zu beantworten sei.


Wir können feststellen, dass ein Lichtstrahl, der durch das System ge-langt, zweimal eine Linse passiert und einmal reflektiert wird. Daraus folgern wir: Die Kombination von einer Lise und einem Spiegel verhält sich insgesamt wie ein Spiegel. Nun müssten wir lediglich die Fixpunkte des neuen Spiegels, d.h. des Äquivalentspiegels oder des theoretischen Ersatzspiegels kennen; damit wäre die Aufgabe bereits gelöst. Problematisch erscheint im ersten Moment eigent-lich nur das Bestimmen dieser Fixpunkte. Dazu betrachten wir die untenstehen-de Skizze:

Linse Spiegel

FL F'L C S

Wir verfolgen einen Strahl, der kurz vor dem objektseitigen Brennpunkt F der Linse aufsteigend die optische Achse schneidet. Dieser Strahl wird an der Linse gebrochen, so dass er nach der Brechung auf den Scheitelpunkt S des Spiegels zuläuft. Dort wird er nach dem Reflexionsgesetz abgebildet und läuft zurück in Richtung der Linse. An der Linse wird dieser Strahl erneut gebrochen; er schneidet nun die optische Achse am selben Ort, an dem er sie schon vor dem Eintreten in das System „Linse - Spiegel“ geschnitten hatte. Dasselbe gilt für den Strahl, der nach der Brechung durch den Krüm-mungsmittelpunkt des Spiegels verläuft. Auch dieser Strahl wird am Spiegel reflektiert, nun allerdings in sich selber. Damit verläuft er nach der (zweiten) Brechung an der Linse in der genau gleichen Richtung wie vor dem Eintreten in das System „Linse - Spiegel“, aber in umgekehrter Richtung. Damit können wir schliessen: Die (zur Linse) objektseitigen Schnittpunkte der Strahlen, die bildseitig


durch den Scheitel- bzw. Krümmungsmittelpunkt des Spiegels verlaufen, zeigen ein Verhalten wie der Scheitel- bzw. Krümmungsmittelpunktes eines Spiegels. Wir können uns diese Punkte als die Fixpunkte eines Ersatzspiegels vorstellen. Wir ergänzen die obenstehende Skizze also wie folgt:

Linse Spiegel

FL F'L C S'C=CE

'S=SE

Im Folgenden bezeichnen wir die Fixpunkte des ursprünglichen Spiegels mit C und S. Als nächstes bestimmen wir 'S und 'C: 'S: dingseitiges Bild des Punktes S (Rückwärtsabbildung an der Linse) 'C: dingseitiges Bild des Punktes C (ebenfalls Rückwärtsabbildung an der Lin-se). Nun nehmen wir die Punkte 'S und 'C als gegeben an und verfolgen sie bei der Abbildung durch das System: 1. Abbildung an der Linse (1. Abbildung an der Linse):

'S → S 'C → C

2. Abbildung am Spiegel:

S → S C → C

3. Abbildung an der Linse (2. Abbildung an der Linse):

S → 'S


C → 'C Es folgt also daraus, dass die Punkte 'S und 'C bei der sukzessiven Abbildung an Linse, Spiegel und Linse in sich selber abgebildet werden. 'S und 'C sind also die gesuchten Fixpunkte, die den Ersatzspiegel oder Äquivalentspiegel, auch „dicker Spiegel“ genannt, festlegen. Zur Berechnung der Fixpunkte des Ersatzspiegels können verschiedene Wege beschritten werden. Am einfachsten ist es vielleicht, C und S des Spiegels als Bilder von ´C und ´S aufzufassen. Die Lichtrichtung verläuft also von links nach rechts. In der folgenden Skizze sind Objekt- und Bildweiten mit Vorzei-chen eingezeichnet.

Linse Spiegel

FL F'L C S'C=CE

'S=SE

aC

aS a'S

a'C

Lichtrichtung für Berechnungdes Ersatzspiegels

Der Zusammenhang zwischen Objekt- und Bildweite vermittelt natürlich die Gaussformel.

Leider sind die Verhältnisse meist etwas komplizierter; deshalb fügen wir noch (ohne weiteren Kommentar) Skizzen an, bei denen S und C eines Spiegels etwas weniger „praktisch“ angeordnet sind.


LinseSpiegel

FL

F'LCS

'C=CE

'S=SE

LinseSpiegel

FLF'LC

S'C=CE

'S=SE

aC

a'Ca'S

aS

Lichtrichtung für Berechnungdes Ersatzspiegels


Inhaltsverzeichnis

1 GRUNDLAGEN DER GEOMETRISCHEN OPTIK 3

1.1 Selbst- und Nichtselbstleuchter 3

1.2 Temperatur- und Entladungsstrahler 3

1.3 Geradlinige Ausbreitung des Lichtes 4

1.4 Lichtstrahlen, - büschel und -bündel 5

1.5 Lichtgeschwindigkeit 6 1.5.1 Messung der Lichtgeschwindigkeit nach Olaf Römer 6 1.5.2 Messung der Lichtgeschwindigkeit nach Fizeau 7 1.5.3 Lichtgeschwindigkeit in optischen Medien 8

1.6 Die Natur des Lichtes 8 1.6.1 Wellenmodell des Lichtes - 8 1.6.2 Korpuskularmodell des Lichtes 10

1.7 Verhalten eines Körpers beim Bestrahlen mit Licht 10 1.7.1 Diffuse und gerichtete Reflexion 11 1.7.2 Reflexion - Absorption - Transmission 11

2 REFLEXION AN EBENEN SPIEGELN 12

2.1 Reflexionsgesetz 12

2.2 Herleitung des Reflexionsgesetzes 14

2.3 Bilderzeugung mit Hilfe optischer Spiegel 15

2.4 Bildkonstruktion beim Planspiegel 16

2.5 Der Winkelspiegel 17 2.5.1 Anzahl der Spiegelbilder 17 2.5.2 Strahlablenkung bei zweimaliger Reflexion am Winkelspiegel 18

2.6 Tripelspiegel - Reflektor 19

3 BRECHUNG AN PLANEN FLÄCHEN - 20

Brechungsgesetz 20

3.1 Brechungsgesetz 20 3.1.1 Formulierung des Brechungsgesetzes 20 3.1.2 Herleitung des Brechungsgesetzes 20 3.1.3 Das Zweikreisverfahren 22

3.2 Abbildende Eigenschaften der planen Grenzfläche 24

3.3 Das Prinzip von Fermat 28


3.4 Planparallele Platte 31 3.4.1 Abbildende Eigenschaften der planparallelen Platte 32

3.5 Kontinuierliche Brechung 36

3.6 Totalreflexion 37

3.7 Prisma und Keil 45 3.7.1 Beliebiger Einfallswinkel 45 3.7.2 Symmetrischer Strahlengang beim Prisma 52 3.7.3 Näherung für den Keil 53

3.8 Regenbogen 53

4 BRECHENDE KUGELFLÄCHE (DIOPTER) 59

4.1 Gauss-Formel (BAD-Formel) 59

4.2 Bildgrössenformel 61

4.3 Konstruktionen bei der brechenden Kugelfläche 64 4.3.1 Normales Zweikreisverfahren 64 4.3.2 Konstruktion nach Weierstrass-Reusch 64 4.3.3 Paraxiales Zweikreisverfahren 68 4.3.4 Kardinalpunkte und -ebenen 72

4.4 Abbildung von und nach Unendlich 73

4.5 Newton-Gleichungen 74

4.6 Die Lagrange-Gleichung 77

4.7 Gaussformel und Länge des Lichtweges 78

4.8 Zusammenfassung brechende Kugelfläche 81

5 ABBILDUNGSFÄLLE 82

5.1 Plusflächen 82 5.1.1 Tabelle Abbildungsfälle Plusflächen 85 5.1.2 Skizze Abbildungsfälle Plusflächen 85

5.2 Abbildungsfälle bei Minusflächen 86 5.2.1 Tabelle Abbildungsfälle Minusflächen 89 5.2.2 Skizze Abbildungsfälle bei Minusflächen 90

6 DICKE LINSEN 90

6.1 Abbildung von oder nach Unendlich bei dicken Linsen 90

6.2 Zusammenstellung "Dicke Linsen" 95

6.3 Spezialfälle (Aufgaben) 99

6.4 Aufgaben "dicke Linsen ff" 100


6.5 Aufgaben "dicke Linsen fff" 101

6.6 Konstruktionsprinzipien bei dicken Linsen und Linsensystemen 102 6.6.1 Konstruktionsaufgabe Typ 1 103 6.6.2 Konstruktionsaufgabe Typ 2 106

7 "LINSENSYSTEME" - "KOMBINATION VON DICKEN LINSEN" 109

7.1 Spezialfälle und Aufgaben 111 7.1.1 Kombination zweier positiver Linsen 111 7.1.2 Kombination einer Plus- und einer Minuslinse 112 7.1.3 C Kombination zweier Minuslinsen 113

7.2 Newton-Form der Gullstrand-Formel 114

7.3 Übersicht Newtonform der Gullstrandformel 117 7.3.1 Kombination von 2 Elementen 117 7.3.2 Kombination von 3 Elementen 117

8 SPHÄRISCHE SPIEGEL 118

8.1 Grundsätzliches über sphärische Spiegel 118 8.1.1 Krümmungsradius und Brennweiten 118 8.1.2 Konstruktionsprinzipien 120 8.1.3 Zusammenfassung 121

8.2 Fixpunkte bei der Abbildung an sphärischen Spiegeln 121

8.3 Kombination "Linse und sphärischer Spiegel" – „Dicker Spiegel“ 121

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