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Corso di Campi Elettromagnetici e Circuiti: Propagazione Guidata - Prof. Maurizio Bozzi Lezione 12 - 1

CORSO DI

CAMPI ELETTROMAGNETICI E CIRCUITI

- PROPAGAZIONE GUIDATA -

Università di Pavia, Facoltà di Ingegneria

[email protected]

http://microwave.unipv.it/bozzi/

Prof. Maurizio Bozzi


LEZIONE 12

LE GUIDE D’ONDA


SOMMARIO DELLA LEZIONE

Introduzione alle Guide d’Onda

I Campi nelle Guide d’Onda

Onde TE (Trasversali Elettriche)

Onde TM (Trasversali Magnetiche)

Onde TEM (Trasversali Elettriche e Magnetiche)

Attenuazione nelle Guide d’Onda


LE GUIDE D’ONDA

Le linee di trasmissione a microonde sono

implementate in vari modi: le guide d’onda

hanno basse perdite e sopportano potenze

elevate, i cavi coassiali sono flessibili, le

linee planari sono economiche e

facilmente integrabili con componenti attivi.

Guide d’onda Cavo coassiale Substrate integrated waveguide


I CAMPI NELLE GUIDE D’ONDA

Le equazioni di Maxwell possono essere risolte nel caso di guide d’onda

con uno o più conduttori, nella forma di onde di tipo TE, TM e TEM.

I campi elettrico e magnetico posso essere espressi nella forma

dove 𝑒 𝑥, 𝑦 e ℎ 𝑥, 𝑦 rappresentano i campi trasversi ed 𝑒𝑧 𝑥, 𝑦 e

ℎ𝑧 𝑥, 𝑦 la componente assiale.

𝐸 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑒 𝑥, 𝑦 + 𝑧 𝑒𝑧 𝑥, 𝑦 𝑒−𝑗𝛽𝑧 = 𝑥 𝐸𝑥 + 𝑦 𝐸𝑦 + 𝑧 𝐸𝑧 𝑒

−𝑗𝛽𝑧

𝐻 𝑥, 𝑦, 𝑧 = ℎ 𝑥, 𝑦 + 𝑧 ℎ𝑧 𝑥, 𝑦 𝑒−𝑗𝛽𝑧 = 𝑥 𝐻𝑥 + 𝑦 𝐻𝑦 + 𝑧 𝐻𝑧 𝑒

−𝑗𝛽𝑧



I campi nelle guide d’onda devono soddisfare le equazioni di Maxwell. In

assenza di sorgenti, risulta:

Tenendo conto della dipendenza 𝑒−𝑗𝛽𝑧, si ottengono le equazioni scalari:

𝛻 × 𝐸 = −𝑗𝜔𝜇 𝐻

𝛻 × 𝐻 = 𝑗𝜔𝜀 𝐸

𝜕𝐸𝑧𝜕𝑦

+ 𝑗𝛽𝐸𝑦 = −𝑗𝜔𝜇𝐻𝑥

−𝑗𝛽𝐸𝑥 −𝜕𝐸𝑧𝜕𝑥

= −𝑗𝜔𝜇𝐻𝑦

𝜕𝐸𝑦

𝜕𝑥−

𝜕𝐸𝑥𝜕𝑦

= −𝑗𝜔𝜇𝐻𝑧

𝜕𝐻𝑧𝜕𝑦

+ 𝑗𝛽𝐻𝑦 = 𝑗𝜔𝜀𝐸𝑥

−𝑗𝛽𝐻𝑥 −𝜕𝐻𝑧𝜕𝑥

= 𝑗𝜔𝜀𝐸𝑦

𝜕𝐻𝑦

𝜕𝑥−

𝜕𝐻𝑥𝜕𝑦

= 𝑗𝜔𝜀𝐸𝑧



A partire da queste sei equazioni, è possibile esprimere le quattro

componenti trasverse in funzione delle componenti assiali 𝐸𝑧 e 𝐻𝑧

dove 𝑘𝑐 è definito numero d’onda di taglio

e 𝑘 = 𝜔 𝜀𝜇 rappresenta il numero d’onda nel mezzo.

𝐻𝑥 =𝑗

𝑘𝑐2 𝜔𝜀


− 𝛽𝜕𝐻𝑧𝜕𝑥

𝐻𝑦 =−𝑗

𝑘𝑐2 𝜔𝜀

𝜕𝐸𝑧𝜕𝑥

+ 𝛽𝜕𝐻𝑧𝜕𝑦

𝐸𝑥 =−𝑗

𝑘𝑐2 𝛽


+ 𝜔𝜇𝜕𝐻𝑧𝜕𝑦

𝐸𝑦 =𝑗

𝑘𝑐2 −𝛽


+ 𝜔𝜇𝜕𝐻𝑧𝜕𝑥

𝑘𝑐2 = 𝑘2 − 𝛽2


ONDE TE (TRASVERSALI ELETTRICHE)

Nelle onde TE (Trasversali Elettriche), la componente assiale del campo

elettrico è nulla, mentre quella del campo magnetico non è nulla:

Le equazioni precedenti risultano:

dove 𝑘𝑐 ≠ 0 e quindi 𝛽 = 𝑘2 − 𝑘𝑐

2 . Pertanto la costante di

propagazione dipende dalla frequenza ed è reale solo se 𝑘 > 𝑘𝑐.

𝐸𝑧 = 0 𝐻𝑧 ≠ 0

𝐻𝑥 =−𝑗𝛽

𝑘𝑐2

𝜕𝐻𝑧𝜕𝑥

𝐻𝑦 =−𝑗𝛽

𝑘𝑐2


𝐸𝑥 =−𝑗𝜔𝜇

𝑘𝑐2


𝐸𝑦 =𝑗𝜔𝜇

𝑘𝑐2

𝜕𝐻𝑧𝜕𝑥


ONDE TE (TRASVERSALI ELETTRICHE)

Per determinare i campi, è necessario risolvere l’equazione di Helmholtz

per 𝐻𝑧 nella geometria considerata, con le condizioni al contorno:

Tenendo conto che 𝐻𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧) = ℎ𝑧 𝑥, 𝑦 𝑒−𝑗𝛽𝑧, si ottiene l’equazione

di Helmholtz bidimensionale per ℎ𝑧:

L’impedenza d’onda per le onde TE si determina come:

𝛻2𝐻𝑧 + 𝑘2𝐻𝑧 =

𝜕2

𝜕𝑥2+

𝜕2

𝜕𝑦2+

𝜕2

𝜕𝑧2+ 𝑘2 𝐻𝑧 = 0

𝜕2

𝜕𝑥2+

𝜕2

𝜕𝑦2+ 𝑘𝑐

2 ℎ𝑧 = 𝛻𝑡2ℎ𝑧 + 𝑘𝑐

2ℎ𝑧 = 0

𝑍𝑇𝐸 =𝐸𝑥𝐻𝑦

= −𝐸𝑦

𝐻𝑥=

𝜔𝜇

𝛽=

𝑘𝜂

𝛽


FREQUENZA DI TAGLIO

La costante di propagazione 𝛽 è reale solo se 𝑘 > 𝑘𝑐. Questa condizione

può essere espressa in termini di frequenza:

A frequenza maggiore della frequenza di taglio 𝑓𝑐 , la costante di

propagazione 𝛽 è reale e l’onda si propaga.

Al di sotto della frequenza di taglio 𝑓𝑐, l’onda non si propaga e la sua

ampiezza si smorza esponenzialmente.

𝐸 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑒 𝑥, 𝑦 + 𝑧 𝑒𝑧 𝑥, 𝑦 𝑒−𝑗𝛽𝑧

𝐻 𝑥, 𝑦, 𝑧 = ℎ 𝑥, 𝑦 + 𝑧 ℎ𝑧 𝑥, 𝑦 𝑒−𝑗𝛽𝑧

𝑘 = 2𝜋𝑓 𝜀𝜇 > 𝑘𝑐 𝑓 >𝑘𝑐

2𝜋 𝜀𝜇= 𝑓𝑐

FREQUENZA

DI TAGLIO


ONDE TM (TRASVERSALI MAGNETICHE)

Nelle onde TM (Trasversali Magnetiche), la componente assiale del

campo magnetico è nulla, mentre quella del campo elettrico non è nulla:

Le equazioni precedenti risultano:

dove 𝑘𝑐 ≠ 0 e quindi 𝛽 = 𝑘2 − 𝑘𝑐

2 . Pertanto la costante di

propagazione dipende dalla frequenza ed è reale solo se 𝑘 > 𝑘𝑐.

𝐻𝑧 = 0 𝐸𝑧 ≠ 0

𝐻𝑥 =𝑗𝜔𝜀

𝑘𝑐2


𝐻𝑦 =−𝑗𝜔𝜀

𝑘𝑐2


𝐸𝑥 =−𝑗𝛽

𝑘𝑐2


𝐸𝑦 =−𝑗𝛽

𝑘𝑐2



ONDE TM (TRASVERSALI MAGNETICHE)


per 𝐸𝑧 nella geometria considerata, con le condizioni al contorno:

Tenendo conto che 𝐸𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑒𝑧 𝑥, 𝑦 𝑒−𝑗𝛽𝑧, si ottiene l’equazione di

Helmholtz bidimensionale per 𝑒𝑧:

L’impedenza d’onda per le onde TM si determina come:

𝛻2𝐸𝑧 + 𝑘2𝐸𝑧 =

𝜕2

𝜕𝑥2+

𝜕2

𝜕𝑦2+

𝜕2

𝜕𝑧2+ 𝑘2 𝐸𝑧 = 0

𝜕2

𝜕𝑥2+

𝜕2

𝜕𝑦2+ 𝑘𝑐

2 𝑒𝑧 = 𝛻𝑡2𝑒𝑧 + 𝑘𝑐

2𝑒𝑧 = 0

𝑍𝑇𝑀 =𝐸𝑥𝐻𝑦

= −𝐸𝑦

𝐻𝑥=

𝛽

𝜔𝜀=

𝛽𝜂

𝑘


IMPEDENZE D’ONDA

A frequenza maggiore della frequenza di taglio, l’impedenza d’onda delle

onde TE e TM è reale. La variazione in frequenza è differente per i due tipi

di onde.

𝑍𝑇𝐸

𝑓𝑐 𝑓

𝜂

𝑍𝑇𝑀

𝑓𝑐 𝑓

𝜂

𝑍𝑇𝐸 =𝑘𝜂

𝛽=

𝜂

1 − 𝑓𝑐/𝑓2

𝑍𝑇𝑀 =𝛽𝜂

𝑘= 𝜂 1 − 𝑓𝑐/𝑓

2

Onde TE Onde TM


ONDE TEM (TRASV. ELETTRICHE E MAGNETICHE)

Nelle onde TEM (Trasversali Elettriche e Magnetiche), le componenti

assiali del campo elettrico e del campo magnetico sono entrambe

nulle:

Pertanto, le equazioni precedenti ammettono soluzione non banale solo se

𝑘𝑐 = 0.

Se 𝑘𝑐 = 𝑘2 − 𝛽2 = 0, risulta che 𝛽 = 𝑘 = 𝜔 𝜀𝜇.

In questo caso, la frequenza di taglio è nulla, ed pertanto l’onda TEM si

propaga a qualunque frequenza.

𝐸𝑧 = 0 𝐻𝑧 = 0




per 𝐸𝑥 ed 𝐸𝑦 nella geometria considerata, con le condizioni al contorno:

Analogamente ai casi precedenti, tenendo conto che 𝐸𝑥,𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧) =

𝑒𝑥,𝑦 𝑥, 𝑦 𝑒−𝑗𝛽𝑧, si ottiene l’equazione di Laplace bidimensionale:

In maniera analoga si deriva la relazione:

𝛻2𝐸𝑥,𝑦 + 𝑘2𝐸𝑥,𝑦 =

𝜕2

𝜕𝑥2+

𝜕2

𝜕𝑦2+

𝜕2

𝜕𝑧2+ 𝑘2 𝐸𝑥,𝑦 = 0

𝜕2

𝜕𝑥2+

𝜕2

𝜕𝑦2 𝑒(𝑥, 𝑦) = 𝛻𝑡

2 𝑒(𝑥, 𝑦) = 0

𝛻𝑡2 ℎ(𝑥, 𝑦) = 0



Il campo 𝑒(𝑥, 𝑦) soluzione dell’equazione di Laplace si può esprimere

come gradiente di un potenziale scalare

dove 𝛻𝑡 = 𝑥𝜕

𝜕𝑥+ 𝑦

𝜕

𝜕𝑦rappresenta il gradiente trasverso. Inoltre, per la

relazione 𝛻 × 𝛻𝑓 = 0, risulta

Infine, dall’equazione di Maxwell 𝛻 ∙ 𝐷 = 𝜀 𝛻𝑡 ∙ 𝑒 = 0, si deduce

𝛻 × 𝑒 𝑥, 𝑦 = 0

𝛻𝑡2Φ(𝑥, 𝑦) = 0

𝑒 𝑥, 𝑦 = −𝛻𝑡Φ(𝑥, 𝑦)



La tensione tra due conduttori risulta

e la corrente che scorre in un conduttore si trova con la legge di Ampere

Nel caso di singolo conduttore, non si ha il modo TEM (𝑉12 = 0, 𝐼 = 0).

L’impedenza d’onda per le onde TEM si determina come

Il campo magnetico si esprime come

𝑉12 = Φ1 − Φ2 = 1

2

𝐸 ∙ 𝑑𝑙

𝐼 = 𝐶

𝐻 ∙ 𝑑𝑙

𝑍𝑇𝐸𝑀 =𝐸𝑥𝐻𝑦

= −𝐸𝑦

𝐻𝑥=

𝜇

𝜀= 𝜂

ℎ 𝑥, 𝑦 =1

𝑍𝑇𝐸𝑀 𝑧 × 𝑒 𝑥, 𝑦


ATTENUAZIONE NELLE GUIDE D’ONDA

L’attenuazione nelle guide d’onda può essere provocata da perdite dovute

al dielettrico o al conduttore. L’attenuazione dovuta al conduttore (ac)

dipende dalla configurazione del campo e verrà trattata successivamente,

per ciascuna guida d’onda. L’attenuazione dovuta al dielettrico (ad) ha

invece un’espressione che può essere calcolata nel caso generale.

𝛾 = 𝛼𝑑 + 𝑗𝛽 = 𝑘𝑐2 − 𝑘2 = 𝑘𝑐

2 − 𝜔2𝜀0𝜇0𝜀𝑟 (1 − 𝑗 tan 𝛿)

≅ 𝑘𝑐2 − 𝑘2 +

𝑗 𝑘2tan 𝛿

2 𝑘𝑐2 − 𝑘2

𝛼𝑑 =𝑘2tan 𝛿

2𝛽𝑗𝛽 = 𝑘𝑐

2 − 𝑘2

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