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Veranstaltung:Seminar zur GeometrieWintersemester 2005/06Martin EpkenhansUniversität Paderborn
Ausarbeitung des Seminarvor
trags zum Thema:Trigonometrie
vorgelegt von:
Marina Müller EvaMaria SieversAm Almerfeld 20 Marienmünsterweg 17 33106 Paderborn 33098 PaderbornTel.: 05254/68010 Tel.: 05251/[email protected] [email protected]: Mathematik/Geschichte LGG: Mathematik/ SportMatrikelnummer: 6261354 Matrikelnummer: 62634555. Fachsemester 5. Fachsemester
Version April 2006
:= | a – b |
§13: Trigonometrie
Das Thema ‚Trigonometrie’ (gr.: „DreiWinkelMessung“) umfasst im allgemeinen Verständnis
alle Rechenoperationen, bei denen aus gegebenen Seiten oder Winkeln eines ebenen Dreiecks
Winkel oder Seiten oder aber andere Dreiecksgrößen berechnet werden.
13.1 Wiederholung
In den vorangegangenen Kapiteln wurden die folgenden
Formeln bereits erarbeitet und bewiesen. Da diese
in Rahmen der Thematik verwendet werden, erfolgt eine
kurze Auflistung.
(1) Halber Umfang:
S := 12 ABC =
12∣a−b∣∣b−c∣∣c−a∣
(2) Flächeninhalt des Dreiecks:
Δ = 12
|[a,b,c]| = 12
ABsinγ = 12
BCsinα = 12
ACsinβ
(3) CosinusSatz:
A2 = B2 + C2 – 2BCcosα
B2 = C2 + A2 – 2ACcosβ
C2 = A2 + B2 – 2ABcosγ
(4) SinusSatz:
sinα
A=
sinβB
=sinγ
C=
2ΔABC
(5) Der gemeinsame Wert der Quotienten wird mit 1δ
bezeichnet, also
δ = A
sinα=
Bsinβ
=C
sinγ.
2
:= | b c | | c – a | =:
13.2 KongruenzSätze
Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn
(SSS) alle drei Seitenlängen oder
(SWW) eine Seitenlänge und zwei Winkel oder
(SWS) zwei Seitenlängen und der eingeschlossene Winkel oder
(SSW) zwei Seitenlängen und der der größeren Seite gegenüberliegende Winkel übereinstim
men.
Beweis:
Die entsprechenden Größen im zweiten Dreieck sind mit einem Strich bezeichnet.
(SSS) vergleiche Kapitel III, §1.81 (Feststellung von Kongruenz und Ähnlichkeit: Zwei Drei
ecke sind kongruent, wenn die entsprechenden Seitenlängen übereinstimmen.)
Die Beweise der folgenden Sätze werden jeweils auf die Feststellung von Kongruenz und
Ähnlichkeit zurückgeführt:
(SWW) Nach Voraussetzung und dem WinkelsummenSatz gilt A = A’, α = α’, β = β’, γ = γ’.
Der SinusSatz ergibt: B = Asinβsinα
= A’sinβ 'sinα '
= B’ und C = Asinγsin α
= A’sinγ 'sin α '
=
C’.
⇒ Kongruenz der Dreiecke.
(SWS) Sei A = A’, B = B’ und γ = γ’. Mit dem CosinusSatz folgt:
C = A2B2−2 AB cosγ = A' 2B' 2−2 A' B 'cosγ ' = C’
⇒ Kongruenz der Dreiecke
(SSW) Sei A = A’, B = B’, α = α’ und A ≥ B. Benutze den CosinusSatz:
A2 = B2 + C2 – 2BCcosα
⇔ C2 – 2BCcosα + B2 – A2 = 0
⇔ C1/2 = Bcosα ± B2 cos2α−B2−A2
⇔ C1 = Bcosα + A2−B2B2 cos2α ( ¿ C2 = Bcosα A2−B2B2 cos2α )
Widerspruch zur Voraussetzung: A ≥ B und C > 0
⇒ C = Bcosα + A2−B2B2 cos2α 1 in: Koecher, Max/ Krieg, Alois: Ebene Geometrie, Berlin u. a. 22000, Seite 98.
3
= B’cosα’ + A' 2−B' 2B' 2 cos2α '
= C’
⇒ Kongruenz der Dreiecke
Die Kongruenzsätze tauchen in dieser oder ähnlicher Formulierung an Gymnasien in NRW be
reits in Jahrgangsstufe 7 auf. Auf Beweise wird im schulischen Rahmen jedoch verzichtet.
13.3 Satz (Formel von Heron)
Δ2 = S(S – A)(S – B)(S – C)
Beweis:
16⋅S(S – A)(S – B)(S – C)
= 16⋅[12
(A + B + C)(12
(A + B + C) – A)(12
(A + B + C) – B)(12
(A + B + C) – C)]
= 16⋅[12
(A + B + C)(12
A – A + 12
B + 12
C)(12
A + 12
B – B + 12
C)(12
A + 12
B + 12
C – C)]
= 16⋅1
16∙[(A + B + C)(A + B + C)(A – B + C)(A + B – C)]
= (A2 + AB + AC – AB + B2 +BC – AC + BC + C2)(A2 + AB – AC – AB – B2 +BC + AC +
BC – C2)
= (A2 + B2 + C2 + 2BC)(A2 – B2 – C2 + 2BC)
= A4 + A2B2 + A2C2 – 2A2BC + A2B2 – B4 – B2C2 + 2B3C + A2C2 – B2C2 – C4 + 2BC3 +
2A2BC – 2B3C – 2BC3 + 4B2C2
= A4 + 2A2B2 + 2A2C2 – B4 + 2B2C2 – C4
= 4A2B2 – (A2 + B2 – C2)2
Nach dem CosinusSatz kann C2 = A2 + B2 – 2ABcosγ gesetzt werden:
4A2B2 – (A2 + B2 – C2)2
= 4A2B2 – (A2 + B2 – (A2 + B2 – 2ABcosγ))2
= 4A2B2 – (A2 + B2 – A2 – B2 + 2ABcosγ)2
= 4A2B2 – 4A2B2cos2γ
= 4A2B2⋅(1 – cos2γ)
4
= 4⋅(ABsinγ)2
⇒ 16⋅S(S – A)(S – B)(S – C) = 4⋅(ABsinγ)2
⇔ S(S – A)(S – B)(S – C) = (12
ABsinγ)2
⇔ S(S – A)(S – B)(S – C) = Δ 2
Diese Formel wird im Rahmen der gymnasialen Unter und Mittelstufe nicht behandelt. Eine
Formel, die auf der Größe des halben Umfangs eines Dreiecks basiert, erscheint allerdings in Be
zug auf den Wissensstand der Schülerinnen und Schüler auch nicht sinnvoll. Auch mit den
folgenden Angaben über besondere Winkelgrößen und Winkelverhältnisse wird im schulischen
Kontext nicht gearbeitet.
13.4 Satz (HalbwinkelSatz)
Für ein Dreieck a, b, c in E gilt: tan2 α2
= S−B S−C
S S−A .
Beweis:
tan2 α2
= sin2 α
2
cos2 α
2
=
S−B S−C
BC
S S−A
BC
(nach Definition)
= S−B S−C
S S−A
13.5 Korollar
5
tanα2
= S−B S−C
Δ =
ΔS S−A
Beweis:
Leite die Behauptung aus dem HalbwinkelSatz (13.4) her:
1) Beh.: tanα2=
S S−B S−C Δ
tan2 α2=
S−B S−C S S−A
=S−B 2S−C 2
S S−A S−B S−C
=S−B S−C
Δ2
⇒ Beh.
2) Beh.: tanα2=S S−A S−B S−C
S S−A
tan2 α2=
S−B S−C S S−A
= S S−A S−B S−C
S2S−A 2
= Δ
S S−A 2
⇒ Beh.
⇒ Es gilt also: tanα2=S−B S−C
Δ=
ΔS S−A
.
13.6 TangensSatz (Regel von Napier)
tan
α−β
2
tanαβ
2
=A−BAB
6
Beweis:
Nach dem SinusSatz gilt: sin αsinβ
=AB
. Daraus folgt: sin α−sinβsin αsinβ
=A−BAB
.
Verwende die Formeln: sinα – sinβ = 2cosαβ
2sin
α−β
2 und sinα + sinβ = 2sin
αβ
2cos
α−β
2
⇒ A−BAB
=2 cos
αβ
2sin
α−β
2
2sinαβ
2cos
α−β
2
=tan
α−β
2
tanαβ
2
13.7 Anwendungen des CosinusSatzes
(1) A = Bcosγ + Ccosβ
(2) cotα = B2C2−A2
4Δ
Beweis:
(1) Verwende den CosinusSatz für cosβ und cosγ:
Bcosγ + Ccosβ
= B C2−A2−B2
−2 ABC
B2−C2−A2
−2 AC
= B C2−A2−B2 −2 AB
C B2−C2−A2
−2 AC
= C2−A2−B2B2−C2−A2
−2 A
= −2 A2
−2 A
= A
(2) cot α=B2C2−A2
4Δ
Wende den CosinusSatz und die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks an:
B2C2−A2
4Δ
= 2 BC cosα
4Δ
7
=
2 BC cosα
4⋅1
2BC sinα
=2 BC cosα2 BC sin α
=cosαsin α
=cot α
13.8 Folgerung (WinkelRelationen)
Es handelt sich hierbei um Folgerungen aus dem WinkelsummenSatz, da sich der Formel
α + β + γ = л weitere Relationen zwischen den Winkeln eines Dreiecks anschließen.
(1) cos2α + cos2β + cos2γ + 2cosα∙cosβ∙cosγ = 1
(2) tanα + tanβ + tanγ = tanα∙tanβ∙tanγ
(3) cotα∙cotβ + cotβ∙cotγ + cotγ∙cotα = 1
(4) sin2α = sin2β + sin2γ – 2sinβ∙sinγ ∙cosα
Beweis:
(1) cos(α + β) [= cos(л – γ)] = cosγ
Wende das Additionstheorem an:
⇒ cosα∙cosβ + sinα∙sinβ = cosγ
⇒ sinα∙sinβ = cosα∙cosβ cosγ
⇒ sin2α∙sin2β = (cosα∙cosβ – cosγ)2
⇒ (1 – cos2α)(1 – cos2β) = cos2αcos2β + 2cosα∙cosβ∙cosγ + cos2γ
⇒ 1 – cos2β – cos2α + cos2α∙cos2β = cos2α∙cos2β + 2cosα∙cosβ∙cosγ + cos2γ
⇒ cos2α + cos2β + cos2γ + 2cosα∙cosβ∙cosγ = 1
(2) tan(α + β) [= tan(л – γ)] = tan γ
Wende das Additionstheorem an:
⇒ tan αtan β1−tan α tanβ
=−tanγ
8
⇔ tan αtan β =−tanγ1−tan α tanβ
⇔ tan αtan β =−tanγtan α tan β tanγ
⇔ tanαtanβ tanγ=tanα tanβ tanγ
(3) Rechne (2) um:
tan αtanβ tanγ=tan α tan β tanγ
⇔ sinαcosα
sinβcosβ
sinγcosγ
=sinαcosα
⋅sinβcosβ
⋅sinγcosγ
⇔ sinα⋅cosβ⋅cosγsinβ⋅cosα⋅cosγsinγ⋅cosα⋅cosβcosα⋅cosβ⋅cosγ
=sinα⋅sinβ⋅sinγcosα⋅cosβ⋅cosγ
⇔ sinαcosβ cosγsinβ cosαcosγsinγcosαcosβ cosαcosβ cosγsinαsinβ sinγcosαcosβ cosγ
=1
⇔ sinαcosβ cosγsinαsinβ sinγ
sinβ cosαcosγsinαsinβ sinγ
sinγcosαcosβsinαsinβ sinγ
=1
⇔ cot β⋅cot γcot α⋅cot γcot α⋅cot β =1
⇔ cot α⋅cot β cot β⋅cot γcot γ⋅cot α=1
(4) Bestimme A, B und C mit Hilfe von 13.1(5):
A = δ⋅sin α , B = δ⋅sinβ , C = δ⋅sinγ
Setze in den CosinusSatz ein und forme um:
A2=B2C2−2 BC cosα
⇔ δ 2⋅sinα=δ 2⋅sin2β δ 2⋅sin2γ−2δ 2⋅sinβ⋅sinγ⋅cosα
⇔ δ 2⋅sin2α=δ 2⋅sin2β sin2γ−2 sinβ⋅sinγ⋅cosα
⇔ sin2α=sin2β sin2γ−2sinβ⋅sinγ⋅cosα
13.9 Satz von Morley
9
Drittelt man die Winkel eines Dreiecks, so bilden die Schnitt punkte abwechselnder
Winkeldreiteilenden ein gleichseitiges Dreieck. Dieses wird MorleyDreieck ge
nannt.
Beweis:
Es gilt:
(1) sin3 = 3∙sin – 4∙sinω ω 3 ( ω ω ∈ R)
= 4∙sin (sinω 2 π3
– sin2 )ω
= 4∙sin ∙sin(ωπ3ω sin
π3−ω
Setze α = 3 , λ β = 3 , = 3 , = μ γ ν επ3
. Nach dem SinusSatz gilt:
(2) A = ∙sinδ α = ∙sin3 , B = ∙sin3 , C = ∙sin3δ λ δ μ δ ν
Nach dem WinkelsummenSatz gilt:
(3) a) + + = лφ μ λ
b) ψ + μ + ν = л
c) λ + μ + ν = ε
Setze c) in a) bzw. b) ein: – = л – , – = л – φ ν ε ψ λ ε
Bilde sin:
(4) sin = sin(л – + ) = sin(л – ( – )) = sinл∙cos( – ) cosл∙sin( – ) = sin( – ) φ ε ν ε ν ε ν ε ν ε ν
sin = sin(л – + ) = sin( – )ψ ε λ ε λ
Wende den SinusSatz auf das Dreieck a, b, w an: X := |a w| = C sin μsinϕ
Wegen (4), (2) und (1) gilt:
X = δ sin 3νsin μsin ε−ν
=4δ sinνsin
π
3ν sin
π
3−ν sin μ
sin ε−ν = 4 ∙sin ∙sin ∙sin( + )δ ν μ ε ν
Analog: Y := |a v| = 4δ∙sinν∙sinμ∙sin(ε + μ)
Wende den CosinusSatz auf das Dreieck a, v, w an:
U2 = X2 + Y2 – 2XYcosλ
= (4 ∙sin ∙sin ∙sin( + ))δ μ ν ε ν 2 + (4 ∙sin ∙sin ∙sin( + ))δ ν μ ε μ 2 –
2 (4 ∙sin ∙sin ∙sin( + ))(4 ∙sin ∙sin ∙sin( + ))cos∙ δ μ ν ε ν δ ν μ ε μ λ
= 16δ2∙sin2μ∙sin2γ∙sin2(ε + ν) + 16δ2∙sin2ν∙sin2μ∙sin2( + ) – ε μ
10
32δ2∙sin2 ∙sinμ 2 ∙sin( + )sin( + )∙cosν ε ν ε μ λ
= 16δ2∙sin2μ∙sin2 ∙[sinν 2(ε + ν) + sin2(ε + μ) – 2sin( + )∙sin(ε ν ε + μ)∙cosλ]
Nach (3) sind ε + ν, ε + μ und λ Winkel eines Dreiecks, da gilt:
( + ) + ( + ) + = лε ν ε μ λ
⇔ 23
л + + + = лν μ λ
⇔ + + = ν μ λ ε
⇒ Wir können 13.8(4) anwenden und erhalten für U:
U2 = 16δ2∙sin2 ∙sinμ 2 ∙[sinν 2( + ) + sinε ν 2( + ) – 2sin( + )∙sin( + )∙cos ]ε μ ε ν ε μ λ
⇔ U2 = 16δ2∙sin2 ∙sinμ 2 ∙sinν 2λ
⇔ U = 4 ∙sin ∙sin ∙sinδ μ ν λ
Durch zyklische Vertauschung erhält man für V und W den gleichen Wert.
⇒ Behauptung
Bei der Ausarbeitung des Kapitels fiel auf, dass der Begriff ‚Trigonometrie’ bei Koecher und
Krieg2 andere Themenbereiche umfasst als im schulischen Zusammenhang bearbeitet werden.
Nach Definition3 bildet das rechtwinklige Dreieck die Grundlage der ebenen Trigonometrie, die
sich bei der Berechnung von Streckenverhältnissen verschiedener Winkelfunktionen – auch tri
gonometrische Funktionen genannt – bedient. Diese sind Hauptbestandteil des schulischen
Themenkomplexes Trigonometrie, finden sich aber nur bedingt (Sinus bzw. CosinusSatz) als
Voraussetzung in dem zu bearbeitenden Kapitel wieder. Die Berechnung von Winkeln mit Hilfe
von Streckenverhältnissen (An und Gegenkathete sowie Hypotenuse) findet erstaunlicherweise
weder in diesem noch in anderen Kapiteln Beachtung.
Literaturverzeichnis:
2 Koecher, Max/ Krieg, Alois: Ebene Geometrie, Berlin u. a. 22000.
3 Meyers Lexikonredaktion [Hrsg.]: DudenLexikon AZ, Mannheim u. a. 1992.
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Koecher, Max/ Krieg, Alois: Ebene Geometrie, Berlin u. a. 22000.
Meyers Lexikonredaktion [Hrsg.]: DudenLexikon A – Z, Mannheim u. a. 1992.
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