bac pro maths

P. COUTUREC. CHABROUXE. FAUCONJ-P. LÉOPOLDIE

LIVRE DU PROFESSEUR

Goupement CTertiaire et services

MATHS

1rePROFESSIONNELLE

BAC PRO

LDP TERT..indb 1LDP TERT..indb 1 21/05/10 10:2421/05/10 10:24

Couverture : npeg.fr

Maquette et mise en page : Exegraph

© HACHETTE LIVRE 2010, 43, quai de Grenelle, 75905 Paris Cedex 15

ISBN 978-2-01-181103-5

www.hachette-education.com

Tous droits de traduction, de reproduction et d’adaptation réservés pour tous pays.

Le Code de la propriété intellectuelle n’autorisant, aux termes de l’article L. 122-4 et L. 122-5, d’une part, que les « copies ou reproductions strictement réservées à l’usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective », et, d’autre part, que « les analyses et courtes citations » dans un but d’exemple et d’illustration, « toute représentation ou reproduction intégrale ou partielle, faite sans le consentement de l’auteur ou de ses ayants cause, est illicite ».Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, sans autorisation de l’éditeur ou du centre français de l’exploitation du droit de copie (20, rue des Grands-Augustins, 75006 Paris), constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par les Articles 425 et suivants du Code pénal.


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Introduction

Ce manuel est conçu dans l’esprit du préambule des nouveaux programmes pour les classes de bac professionnel dont des extraits sont reproduits ci-dessous.« L’enseignement des mathématiques doit contribuer à développer chez les élèves des attitudes transver-sales :• le sens de l’observation ;• la curiosité, l’imagination raisonnée, la créativité, l’ouverture d’esprit ;• l’ouverture à la communication, au dialogue et au débat argumenté ;• le goût de chercher et de raisonner ;• la rigueur et la précision ;• l’esprit critique vis-à-vis de l’information disponible…

La classe de mathématiques est avant tout un lieu d’analyse, de recherche, de découverte, d’exploitation et de synthèse des résultats.La démarche pédagogique doit donc :• prendre en compte la bivalence ;• privilégier une démarche d’investigation ;• s’appuyer sur l’expérimentation ;• proposer des activités de synthèse ;• construire une progression adaptée ;• intégrer les TIC dans les apprentissages ;… »

Ce manuel est également conçu en tenant compte des modalités de la certification intermédiaire reproduites ci-dessous :Le contrôle en cours de formation comporte une situation d’évaluation en mathématiques d’une durée totale d’une heure environ, fractionnée dans le temps en deux séquences, chacune notée sur 10.L’évaluation est conçue comme sondage probant sur des compétences du référentiel.• Chaque séquence comporte un ou deux exercices avec des questions de difficulté progressive. Les sujets portent principalement sur les domaines mathématiques les plus utiles pour résoudre un problème en liaison avec la physique, la chimie, un secteur professionnel ou la vie courante. Lorsque la situation s’appuie sur d’autres disciplines, aucune connaissance relative à ces disciplines n’est exigible des candi-dats et toutes les indications utiles doivent être fournies dans l’énoncé.• L’un des exercices comporte une ou deux questions dont la résolution nécessite l’utilisation de logiciels ou de calculatrices par les candidats. La présentation de la résolution de la (des) question(s) utilisant les TIC se fait en présence de l’examinateur. Ce type de questions permet d’évaluer les capacités à expéri-menter, à simuler, à émettre des conjectures ou contrôler leur vraisemblance. Le candidat porte ensuite par écrit sur une fiche à compléter, les résultats obtenus, des observations ou des commentaires. »


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Sommaire

DÉMARCHE PÉDAGOGIQUE Mener une démarche d’investigation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Expérimenter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Utiliser les TIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

COMMENTAIRES ET CORRECTIONS

Remarques générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1 - INDICATEUR DE TENDANCE CENTRALE ET DE DISPERSION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 - FLUCTUATION D’UNE FRÉQUENCE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 - SUITES NUMÉRIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4 – FONCTIONS DE RÉFÉRENCE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5 – LE SECOND DEGRÉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

6 – APPROCHER UNE COURBE AVEC DES DROITES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

JE M’ÉVALUE SUR UN SUJET DE SYNTHÈSE

Développement durable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Prévention, sécurité, santé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Évolution des sciences et techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Vie sociale et loisirs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Vie économique et professionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

JE RÉVISE MES ACQUIS DE SECONDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45


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Démarche pédagogique

MENER UNE DÉMARCHE D’INVESTIGATION

Une situation mettant en œuvre la démarche d’investigation est avant tout une situation d’apprentissage.Une situation concrète, en lien avec la réalité professionnelle ou sociale, est organisée autour d’un obstacle à franchir.Par une question, le défi à relever, elle donne du sens et fixe un but aux élèves qui doivent mobiliser leurs connaissances, leur intuition, leur imagination, parfois remettre en cause leurs représentations pour y répondre.Elle se compose de quatre phases :

RÉFLEXION PERSONNELLEIl est indispensable que chaque élève commence par une analyse individuelle du problème. Chacun doit essayer de le modéliser, d’émettre des hypothèses.Il y a obligation pour tous d’écrire quelque chose (une réponse, une suggestion, un simple constat…).

MISE EN COMMUNOn forme des groupes (de 3 ou 4) où les élèves confron-tent leurs divers diagnostics et hypothèses et retiennent les éléments les plus plausibles qu’il va falloir tester.

VÉRIFICATIONL’(les) expérience(s) réalisée(s) est (sont) là pour valider ou invalider l’hypothèse émise.Il a toujours obligation de consigner par écrit les démar-ches suivies et résultats obtenus.

STRUCTURATIONIl est indispensable qu’à la fin de la séance le professeur « reprenne la main » pour structurer toutes les idées bras-sées dans les phases précédentes et réaliser une synthèse dégageant les éléments à retenir.

Pour mettre en œuvre une démarche d’investigation, il est nécessaire de répondre aux questions suivantes :

1. Quel est mon objectif ? Quelle(s) capacité(s) du programme sont visées ? Il ne faut jamais perdre le but d’un apprentissage.2. Quelle question poser ? La complexité du problème posé ne doit pas être excessive. les élèves doivent assez vite prendre conscience

que le problème est à leur portée. C’est une condition indispensable pour garder la motivation. Il faut aussi veiller à ce que la connaissance à acquérir (ou à réactiver) soit l’outil le plus adapté pour la

résolution du problème.

3. Quel dispositif mettre en place ? Il est indispensable de minuter chaque phase (3 ou 4 minutes sont largement suffisantes pour la première)

pour être sûr d’avoir le temps de la structuration. Il faut préparer à l’avance des « indices » (d’autres questions, un autre exemple, des éléments de pistes…) que l’on proposera à certains groupes d’élèves si on les voit bloquer ou rester trop longtemps sur une mauvaise piste.

Le rôle du professeur change. Il guide, encourage.Il invite l’élève à faire part de ses doutes, à expliquer ses raisonnements.Si besoin, il rappelle les consignes, donne des « indices » sans jamais apporter de réponses.

L’élève est placé dans une situation productive plutôt que réceptive.

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EXPÉRIMENTER

Tout en ne constituant qu’une étape dans une démarche globale d’apprentissage, le recours à une phase expérimentale fait partie intégrante du processus de construction des connaissances.L’expérimentation est alors menée afin de favoriser un questionnement de l’élève et de donner plus de sens aux mathématiques, tout en favorisant l’apprentissage du raisonnement et de l’analyse critique.Les activités expérimentales peuvent être proposées à tous les moments de la progression : en introduction, en cours ou en fin d’apprentissage, ou encore en réinvestissement.

Faire une expérience en mathématiques, c’est manipuler des objets suffisamment familiers et s’interroger sur les observations faites en utilisant des propriétés mathématiques.

On distingue les phases suivantes :

IDENTIFIER LE PROBLÈMEIl s’agit de passer à une situation mathématique (faire un dessin, un schéma, un tableau, passer du langage courant au langage mathématique…) et de reformuler la question (à partir de ses acquis antérieurs).

ÉMETTRE DES CONJECTURESD’abord individuellement puis collectivement les élèves élaborent des conjectures et déterminent celles qui pourront être testées.

CONSTRUIRE UN PROTOCOLE EXPÉRIMENTALL’(les) expérience(s) réalisée(s) peut (peuvent) s’appuyer sur des objets réels (ex : lancers de dés) ou des objets mathématiques (ex : une famille de fonctions).

VÉRIFIERIl s’agit d’évaluer la pertinence des résultats par rapport au problème donné.Les élèves établissent la validité ou non de la conjecture en formulant une réponse argumentée.

Remarque : Les expérimentations en mathématiques ne sont pas des démonstrations et ne permettent pas d’établir la validité des règles.C’est le professeur qui énonce, lors de la phase de structuration, les propriétés à admettre comme « savoir établi ».

Il est important de préciser aux élèves que lors de l’expérimentation on aboutira à deux types de conclusion :- l’hypothèse est erronée,- il est possible que…

Selon les cas, on pourra laisser une totale autonomie aux élèves, ou proposer une démarche plus guidée.

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UTILISER LES TIC

Quels apports ?

Quels outils ?

La calculatrice graphique Le tableur - Le grapheur

• Permet d’effectuer des calculs et de contrôler des résultats.• Indispensable dans le traitement numérique et graphique de données statistiques.• Donne du sens à l’étude des fonctions par génération à partir des fonctions de référence.• …

• Aide à l’acquisition du calcul algébrique par l’étude et la construction de formules.• Permet de représenter des données sous forme de courbes ou de diagrammes.• Permet d’étudier de nombreuses données, notamment celles récupérées par une acquisition en science.• Permet de faire des simulations.• …

Quelle mise en œuvre ?Pour que l’intégration des TIC dans l’enseignement soit pertinente, il est nécessaire :• de toujours garder pour objectif un apprentissage mathématique (Les TIC sont un outil pour l’introduction d’un concept, l’illustration d’une notion ou d’une propriété ou la conjecture d’une propriété) ;• d’intégrer la pratique informatique à la pratique quotidienne ;• de proposer des « séances informatiques » simples et progressives où l’élève est guidé – et aidé – dans l’utilisation de la calculatrice ou des logiciels ;• de demander un compte rendu écrit de TP et de compléter la « manipulation » par un travail mathématique

écrit pour ne pas risquer de déconnecter l’utilisation des TIC du cours.

Favoriser une approche plus active et plus impliquante

des concepts.

Apporter une motivation et alimenter le débat.

Favoriser la démarche d’investigation et

la recherche de conjecture.

Faciliter la différenciation dans la classe

(degré d’autonomie, complexité des situations…).

Élargir considérablement les possibilités d’observations

et de manipulations.Rendre plus concrets et plus visibles certains concepts.

Rendre possible la mise en évidence de nouveaux concepts utiles à la vie du

citoyen.


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Commentaires et corrections

REMARQUES GÉNÉRALES

ActivitésLes activités 1 et 2 permettent de choisir entre deux modalités pédagogiques, la démarche d’investi-gation et la démarche guidée pour une approche concrète de la notion étudiée.L’activité 3 permet de traiter un objectif en intégrant les TIC. Elle est particulièrement adaptée à l’uti-lisation d’un tableau interactif.Vous trouverez pour chaque chapitre les éléments utiles à leur mise en œuvre (modalités matérielles ; d’organisation : travail individuel, de groupe, restitution collective ; éléments de correction ; complé-ments, suites ou variantes possibles)Pour l’activité 1, des indices sont donnés pour permettre, au cas par cas, de débloquer les élèves ou de les réorienter vers une nouvelle piste(Les propositions ne sont pas ordonnées, et ne doivent pas forcément toutes être utilisées.).

Exercices« Je vérifie mes acquis à l’oral »Les exercices de cette page, très courts, sont conçus pour vérifier, à l’oral, la compréhension du cours.« J’applique »Chaque objectif visé dans le chapitre est appliqué sur un exercice résolu. Puis quelques exercices, de même type permettent aux élèves de s’entraîner et d’acquérir des automatismes.« Je m’entraîne »Les exercices proposés, qui visent à appliquer les objectifs dans un contexte de résolution de pro-blème, sont de difficulté progressive.L’exercice du « défi » est volontairement plus difficile et s’adresse aux élèves les plus rapides qui auraient terminé le travail donné à la classe.« J’expérimente avec les TIC »Les activités regroupées dans ces pages ont pour objectif de guider les élèves dans l’utilisation des TIC pour expérimenter ou résoudre un problème.Elles sont conçues pour que l’élève travaille en autonomie (protocole décrit, copies-écran de vérifica-tion…).« Je me prépare à l’évaluation »Un sujet de synthèse termine le chapitre et peut servir de devoir maison.Vous trouverez pour chaque chapitre toutes les corrections. Des fichiers complètent ces corrections pour certains exercices.

Je m’évalue sur un sujet de synthèseCes sujets, s’appuyant sur les thématiques, proposent des exercices visant des objectifs de 2 ou 3 cha-pitres. Chaque sujet intègre une question utilisant les TIC avec la référence aux mémos de la calcula-trice ou du logiciel donnés en fin de manuel qui donnent les protocoles nécessaires.Réalisés en classe, ils permettent aux élèves de s’entraîner à rendre compte à l’oral.Vous trouverez pour chaque chapitre les corrections accompagnées de fichiers solutions, ainsi que des remarques concernant l’interrogation orale de l’élève (critères de réussite, questionnement possible)

TOUS LES FICHIERS NÉCESSAIRES AUX ACTIVITÉS OU AUX EXERCICES SE TROUVENT SUR LE CÉDÉROM.LES FICHIERS ÉLÈVES ET PROFESSEURS SONT DIFFÉRENCIÉS.


Chapitre 1 • Indicateurs de tendance centrale et de dispersion • 11

Chapitre 1 • Indicateurs de tendance centrale et de dispersion

ACTIVITÉS DE RECHERCHE

■ ACTIVITÉ 1Matériel : Tableur Organisation : Travail en binômeIndices :– Comment savoir si une série de valeurs est proche de la température attendue (17 °C) ?– Comment comparer des séries de valeurs ?– La fonction ECARTYPEP du tableur permet de calculer la dispersion des valeurs autour de la moyenne.

Éléments de correction :

Voir le fichier p_serre.xls.

Le calcul des moyennes et des écarts types permet la conclusion suivante :

Pour les zones 1, 2 et 3 la température moyenne est d’environ 17 °C mais en comparant les écarts types il y a moins de variations de températures pour la zone 3.

Pour la zone 4 la température moyenne est de 0,5 °C en dessous de la température attendue, par contre l’écart type est très faible, donc les variations de températures sont limitées.

Seule la zone 3 est bien réglée. La serre n’est donc pas bien réglée.

■ ACTIVITÉ 2Matériel : Tableur Organisation : Travail individuel avec restitution collective


Voir le fichier p_testQI.xls

1. a) x = 97

b) σ = 25

c) x – σ = 72 ; x + σ = 122

Le nombre de résultats inférieurs à x – 2σ et supérieurs à x + 2σ est 2, on en déduit que le nombre de résultats dans l’intervalle [ x – σ ; x + σ ] est de 79 soit 61,25 %.

d) x – 2σ = 47 ; x + 2σ = 147

Le nombre de résultats inférieurs à x – σ et supérieurs à x + σ est 31, on en déduit que le nombre de résultats dans l’intervalle [ x – 2σ ; x + 2σ ] est de 78 soit 97,5 %.

2. Seulement 61,25 % des résultats sont dans l’intervalle [ x – σ ; x + σ ] : donc l’échantillon n’est pas standard.


12 • Chapitre 1 • Indicateurs de tendance centrale et de dispersion

◗ Je vérifie mes acquis à l’oral

1. a) ,x 148 57=

b) C’est la médiane.

2. a) e = 19 – 5 = 14.

b) La médiane est 11.

50 % des notes sont inférieures à 11

c) Q1 = 9 Q3 = 13

d) L’intervalle interquartile : 13 – 9 = 4.

3. a) Le concessionnaire A a vendu 6 motos au maxi-mum chaque semaine.

Le concessionnaire B a vendu 8 motos au maximum chaque semaine.

b) Non, c’est le concessionnaire A qui a une semaine où il n’a pas vendu de moto.

c) On compare le premier quartile : c’est pour le concessionnaire B qui vend au moins 2 motos dans 75 % des semaines d’activité.

d) On compare les médianes : Faux, dans la moitié des semaines d’activité le concessionnaire B vend plus de motos que le concessionnaire A.

4. a) On compare le premier quartile : c’est pour le fournisseur A que 25 % des temps d’attente sont infé-rieurs à 4 min.

b) 50 % des temps d’attente sont inférieurs à 5 min.

c) Le fournisseur B : l’étendue et l’écart interquartile sont plus petits.

5 - Pour les deux marques on a la même moyenne mais l’écart type pour la marque A est inférieur à celui

de la marque B. Les valeurs sont plus proches de la moyenne donc la qualité est meilleure.

◗ J’applique

7. a) Jonathan : x 11= Laëtitia : x 11=

b) Jonathan : σ = 0,96 Laëtitia : σ = 3,80c) C’est Jonathan qui est l’élève le plus régulier car l’écart type de ses notes est le plus petit.Ses notes sont plus proches de sa moyenne.

8. a) ,x 10 059=

b) σ = 0,11c) L’écart type est petit : les temps des différents ath-lètes sont très proches de la moyenne. Cette demi-finale était homogène.

10.

◗ Je m’entraîne

12. a) Me = 4b) Q1 = 3 ; Q3 = 5 ; Écart interquartile = 5 – 3 = 2c) Il y a 99 valeurs dans l’intervalle interquartile soit 50 % des 198 valeurs.

13 - a) ,x 50 1=

b) σ = 0,3c) L’intervalle est [49,8 ; 50,4]

■ ACTIVITÉ 3Matériel : Tableur Organisation : Travail individuel avec restitution collective

Éléments de correction :a) La moyenne des ventes journalières des trois coffrets est égale à 13. b) Cet indicateur de position ne permet pas de choisir un coffret pour la vente promotionnelle.c) En se déplaçant avec l’outil TRACE de la calculatrice on fait apparaître successivement les valeurs des indicateurs de la boîte.

Coffret 1 Coffret 2 Coffret 3

Minimum 6 2 2

Q1 7 6,5 4

Médiane 12 14 7

Q3 17,5 18,5 17

Maximum 25 26 50

c) On constate que les ventes pour le coffret 3 sont irrégulières :– l’étendue et l’écart interquartile sont les plus grands ;– la médiane indique que, 50 % du temps, les ventes ne dépassent pas 7 coffrets, ce qui est très inférieur aux ventes des coffrets 1 et 2.Le directeur choisira de procéder à une vente promotionnelle sur le coffret 3 pour augmenter les ventes de celui-ci.

CORRECTIONS DES EXERCICES


Chapitre 1 • Indicateurs de tendance centrale et de dispersion • 13

d) 6 valeurs sur 25 sont en dehors de l’intervalle soit 24 %. Donc 76 % des valeurs sont à l’intérieur de l’in-tervalle : la machine ne nécessite pas d’entretien.

15. a) En comparant les valeurs maximales des boîtes à moustaches, on constate que c’est la supérette 2 qui a réalisé le bénéfice mensuel le plus élevé.

b) En comparant les troisièmes quartiles des boîtes à moustaches, on constate que c’est dans la supérette 2 que 75 % des bénéfices mensuels sont les plus élevés.

c) En comparant les médianes, les étendues, puis les écarts interquartiles on constate que c’est dans la supérette 3 que les bénéfices mensuels sont les plus réguliers.

16. a) - Les 3 pièces. L’indicateur utilisé est l’étendue.

– Les studios. L’indicateur utilisé est la médiane.

– Les 2 pièces. L’indicateur utilisé est le troisième quartile.

17. a)Voir le fichier p_alcool.xls.

Discothèque A Discothèque B

Minimum 0 0

Q1 0,1 0,4

Médiane 0,45 0,45

Q3 0,5 0,8

Maximum 1 1

b) Voir le fichier p_alcool.ggb.c) Discothèque A : Q3 – Q1 = 0,4

Discothèque B : Q3 – Q1 = 0,4

d) Pour les 2 discothèques les médianes, les valeurs minimales et maximales sont égales.

En comparants les écarts interquartiles on constate que :

– pour la discothèque A, 50 % des personnes ont un taux d’alcoolémie compris entre 0,1 et 0,5

– pour la discothèque B, 50 % des personnes ont un taux d’alcoolémie compris entre 0,4 et 0,8

1,110,90,80,70,60,50,40,30,20,100

1

2Discothèque B

Discothèque A

Les personnes de la discothèque B ont un taux d’al-coolémie plus important, ce que confirme le troi-sième quartile.

18. a) ,x 0 96=

b) Me = 0,95.

La moyenne et la médiane sont proches.

c) e = 1,15 – 0,80 = 0,35

d) Q1 = 0,9 ; Q3 = 1,05

e) Écart interquartile = Q1 - Q3 = 0,15

19 – a) Machine A : ,x 249 7= et σ = 3,3

Machine B, x 250= et σ = 2,8

b) Pour la machine A : [243 ; 256,3 ].

Pour la machine B : [244,4 ; 255,4].

c) Pour la machine A, 97 % des valeurs sont dans l’in-tervalle, donc le contrôle de qualité est satisfaisant.

Pour la machine B, 94 % des valeurs sont dans l’inter-valle, donc le contrôle de qualité n’est pas satisfaisant.

20. Le lycée Ampère correspond à la boîte 2 car les valeurs sont principalement regroupées entre 75 et 125.

Le lycée Descartes correspond à la boîte 4 car les valeurs sont principalement regroupées entre 0 et 50.

Le lycée Marie Curie correspond à la boîte 3 car les valeurs sont regroupées équitablement sur les extrêmes de l’intervalle [0 ; 125].

Le lycée Einstein correspond à la boîte 1 car les valeurs sont regroupées au centre de l’intervalle

[0 ; 125 ].

JE ME PRÉPARE À L’ÉVALUATION

1. Les valeurs manquantes sont : 780, 740 et 800.

2. x 781=

3. Les trois moyennes sont égales : on ne peut pas décider qu’une méthode de culture est plus performante que les deux autres.

4. Par lecture graphique, la médiane est 780 pour la culture sous serre chauffée.

5. En comparant les trois médianes on observe que la médiane pour la culture en plein air est la plus grande.

6. σ = 21

7. Le mode de culture le plus performant est celui sous serre chauffée car c’est celui pour lequel l’écart type est le plus petit.


14 • Chapitre 2 • Fluctuation d’une fréquence

Chapitre 2 • Fluctuation d’une fréquence


■ ACTIVITÉ 1 Matériel : Tableur Organisation : Travail en binômeIndices :– Comment simuler un lancer de dé avec un tableur ?– Comment simuler un échantillon de 40 lancers de dé ? Comment calculer la fréquence d’apparition de la face 3 pour cet échantillon ?– Comment simuler 100 échantillons de 40 lancers de dé ? Comment calculer la fréquence d’apparition de la face 3 pour ces 100 échantillons ?

Éléments de correction :Voir le fichier p_stand.xls.La fréquence de la face trois observée dans l’activité est de 7,5 %.La simulation de 100 échantillons de taille 40 à l’aide du tableur nous permet de constater que cette fréquence est possible (et même des fréquences inférieures).Le père a donc tort de dire que ce jeu est truqué, il a conclut hâtivement.

■ ACTIVITÉ 2Matériel : Tableur Organisation : Travail individuel

Éléments de correction :Voir le fichier p_sida.xls.

1. b) La formule permet de calculer la fréquence d’apparition du 1 (le test est positif) dans un échan-tillon de taille 50.

c) Le chiffre 1 étant généré de façon aléatoire sur un échantillon de petite taille (50), on observe une variabilité de la fréquence du test positif : cette fréquence n’est pas toujours égale à 0,24.2. a) p = 0,24 et n = 50

, ; , , ; ,I 0 2450

10 24

501

0 099 0 38= - + => 8H B

b)

Simulation 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Pourcentage 1 0,98 0,96 1 0,96 1 1 0,98 0,96 0,98

Dans le tableau ci-dessus, on remarque que le pourcentage de fréquence d’apparition du 1 dans l’inter-valle de fluctuation est supérieur ou égal à 96 %.

3. La fréquence 0,36 appartient à l’intervalle de fluctuation : on peut donc dire qu’il est représentatif.

4. Les 18 personnes atteintes représentent 36 % de l’échantillon ce qui est supérieur au 24 % constaté au Botswana.La simulation a permis de constater que les 36 % appartiennent à l’intervalle de fluctuation.On ne peut donc pas conclure que la situation s’aggrave.

■ ACTIVITÉ 3Matériel : Tableur Organisation : Travail en binôme

Éléments de correction :Voir le fichier p_athle.xls


Chapitre 2 • Fluctuation d’une fréquence • 15

1. d) La formule permet de compter le nombre de fois où le tirage successif est (5 – 5) et de l’indiquer par l’instruction « VRAI ».

2. b) La simulation permet de constater que la fréquence d’apparition du résultat (5 – 5) est inférieure à 0,02 lorsque l’on a 500 échantillons. Cela représente un peu mois de 2 chances sur 100 pour Alex de courir deux fois dans le même couloir.

3. a)

Simulation 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Fréquence du couple (5-5)

0,014 0,012 0,01 0,012 0,01 0,016 0,014 0,018 0,016 0,02

b) la moyenne est égale à 0,0142 (soit 1,42 %). Ses chances de courir les deux courses dans le couloir 5 existent mais elles sont très faibles.


1. a) La fréquence de filles est : ,248

0 33=

b) La fréquence de fumeurs est : ,250100

0 4=

c) La fréquence de la face PILE est : ,5010

0 2=

d) La fréquence de sortie de la boule 4 est : ,100

60 06=

2. a) La taille d’un échantillon est de 25.b) Il y a 100 échantillons au total.

3. a) Vraib) Fauxc) Vrai

4. Ici p = 0,5 et n=50, c’est le calcul proposé en b) qui permettra de calculer l’intervalle de fluctuation.

5. Sur les 100 échantillons, 5 fréquences sont en dehors de l’intervalle de fluctuation ce qui représente 5 %.

6. a) L’intervalle de fluctuation est [0,3 ; 0,7]b) Sur les 200 échantillons, 5 fréquences sont en dehors de l’intervalle de fluctuation (soit 2,5 %). On a donc bien au moins 95 % des fréquences qui se trou-vent dans cet intervalle de fluctuation.

◗ J’applique

7. Voir fichier p_ex7.xls.







15. a) la moyenne des fréquences est égale à 0,208b) La fréquence théorique est égale à 0,20.La moyenne des fréquences est proche de la fré-quence théorique.c) De la question b) on déduit que les joueurs n’ont pas eu plus de chance que prévu.

17. a) le pourcentage est : 40 %.b) Voir fichier capsules.xlsL’intervalle de fluctuation est : [0,1 ; 0,3].La fréquence 0,4 est en dehors de l’intervalle de fluc-tuation.L’échantillon n’est pas représentatif, on ne peut pas conclure que la machine est usée.

18. a) et b) Voir le fichier p_ex18.xls.c) Saisir dans la cellule A53 : =A52/50.Copier-glisser jusqu’à la cellule 053.d) Exemple de simulation :

Échantillon 1 2 3 4 5

Fréquenced’une boule blanche

0,66 0,6 0,52 0,64 0,6



0,52 0,66 0,6 0,62 0,58



0,66 0,68 0,7 0,5



16 • Chapitre 3 • Suites numériques

La moyenne est : 0,61. Cette moyenne est proche de la fréquence théorique 0,6.

e) , ; , , ; ,I 0 650

10 6

50

10 46 0 74= - + => 8H B

f) Dans l’exemple de simulation en d) 100 % des fré-quences sont dans l’intervalle de fluctuation.

19. a) la fréquence est : 0,3

b) et c) Voir fichier p_ex19.xls.

d) , ; ,I 0 7500

10 7

500

1- += > H

I = [0,66 ; 0,74]

e) La fréquence calculée à la question a) n’appartient pas à l’intervalle de fluctuation.

f) L’échantillon n’est pas représentatif de la popula-tion de cette ville.

On ne peut pas conclure que le hasard explique cette sous représentation.

20. Cela revient à résoudre

, ,n

0 51

0 47- = ou , ,n

0 51

0 53+ =

Dans les deux cas on trouve n = 1111.

◗ Je me prépare à l’évaluation

1. Calcul de la fréquence : ,500215

0 43=

2. Voir fichier p_parite.xls

3.

Échantillon 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Fréquence 0,48 0,504 0,518 0,498 0,516 0,472 0,482 0,506 0,498 0,504

4. La moyenne est : 0,498. Ce qui correspond à la fréquence attendue (0,5).

5. , ; , , ; ,I 0 5500

10 5

500

10 46 0 54= - + => 8H B

6. 95 %

7. La fréquence calculée en 1) n’appartient pas à l’intervalle de fluctuation : l’échantillon convoqué par cette association n’est pas représentatif de la population.

Leur sondage n’est donc pas la preuve que la parité n’est pas respectée.

Chapitre 3 • Suites numériques


■ ACTIVITÉ 1Matériel : Papier / crayon Organisation : Travail de groupeIndices :– Quels calculs peut-on faire avec les valeurs données ?– On peut observer plus précisément deux valeurs consécutives.– Peut-on représenter graphiquement les valeurs données ?

Éléments de correction :Les élèves sont guidés pour réaliser les calculs suivants.


Chapitre 3 • Suites numériques • 17

,,

,,

,,

169192 7

148 2169

5259 3

45 652

445 6

1 140

.= = = = ou ,

,,

,,

,192 7169

169148 2

59 352

5245 6

45 640

0 88.= = = =

Certains peuvent aussi proposer une lecture graphique à partir d’une courbe de tendance :

1312111098765432100

50

100

150

200

Remarques :

– L’activité est l’occasion d’introduire la notation indiciaire pour positionner chaque valeur par rapport celle qui la précède ou la suit..

■ ACTIVITÉ 2

Matériel : Papier / Crayon Organisation : Travail individuel


1. a) d2 – d1 = d3 – d2 = d4 – d3 = d5 – d4 = – 0,6

b) La diamètre de chaque disque à découper s’obtient en ajoutant (– 0,6) au diamètre du disque pré-cédent.

2. a) d6 = 10,4 et d7 = 9,8

b) Il y a 10 trous au total.

Compléments :

Pour la dernière question, on peut faire remarquer qu’on soustrait 0,6 � (n – 1) à la première longueur pour obtenir la nième égale à 8.

Cela amène à résoudre l’équation : 13,4 – 0,6 � (n – 1) = 8 n = 10.

■ ACTIVITÉ 3

Matériel : Tableur Organisation : Travail individuel


1. b) = A3* – 4 +15

c) = C2*2 – 40

d) Voir fichier p_suite.xls.


1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Rang k Terme uk

A B

11

7

3

-1

-5

-9

-13

-17

-21

-25

Terme vk

C

50

60

80

120

200

360

680

1 320

2 600

5 160

2. a) u7 = –13 u9 = –21 u4 = –1 u8 = –17b) v4 = 120 v7 = 680 v2 = 60 v6 = 360

3. a) Voir fichier p_suite.xls.b) u est décroissante et v croissante.Remarque :Dans la question 2, on peut ajouter des questions telles que :Quel terme précède… ? Quel terme suit… ?Quel est le rang du terme égal à… ?etc.



1. a) 11 + 5 = 16

b) 108 × 2 = 216

c) 16 × (-2) = -32

d) 5

5124

52048

# =

e) 6

1162

613

+ =

2. a) 20 termes.

b) u6 = 30

u13 = 255

u15 = 511

u17 = 1 023

c) u4 = 14

u11 = 127

d) u9 = 63

u19 = 2 047

3. a) u2 = 9

b) = B3 + 4

4. a) u2 = – 13

b) = 3*B3 – 1

5. Suite 1 : arithmétique, r = -13

Suite 2 : géométrique, q = 6

Suite 3 : arithmétique, r = – 321

6. a) r = – 5

b) q = 4

7. a) (la raison et positive) et c) (la raison est supé-rieure à 1).

8. La suite A. r = 4

◗ J’applique

11. u1 = – 50 u2 = – 38 u3 = – 26

u4 = – 14 u5 = – 2

12. u1 = 12 800 u2 = 13 300

u3 = 13 800

13. u6 = 39,5 u7 = 47

u8 = 54,5 u10 = 69,5

14) u9 = 20 u8 = 10 u7 = 0

u6 = - 10

17. u1 = 256 000

u2 = 64 000 u3 = 16 000

u4 = 4 000 u5 = 1 000



u6 = 250 u7 = 62,5u8 = 15,625

18. u1 = 59 049 u2 = 19 683u3 = 6 561 u4 = 2 187u5 = 729 u6 = 243u7 = 81 u8 = 27u9 = 9 u10 = 3

19. u4 = 400 u5 = 1 000u6 = 2 500

20. u4 = 32 u3 = 8u2 = 2 u1 = 0,5

22. a) Les points sont alignés.b) u1 = – 12,5 u2 = – 5u3 = 2,5 u4 = 10u5 = 17,5 u6 = 25u7 = 32,5 u8 = 40u9 = 47,5 u10 = 55


25. a) les points ne sont pas alignés.b) On lit :u1 = 54 u2 = 36 u3 = 24 u4 = 16

5436

3624

2416

32

= = =

C’est une suite géométrique de raison q32

= .

26. a) u1 = 56b) u2 = 49 et u3 = 42c) On passe d’un terme à l’autre en soustrayant tou-jours 7.d) La 5e semaine, il aura économisé 28 cigarettes, soit 7,42 €.e) On réalise le graphique suivant :

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

10

20

30

40

50

60

On lit graphiquement qu’il faut 9 semaines à Pierre pour arrêter totalement de fumer.

27. a) C’est une suite géométrique.b) un+1 = 0,8 × un

c) La valeur diminue de 20 % tous les ans.

28. a) c2 = 1 ×0,95 = 0,95b) cn+1 = cn × 0,95c) On peut réaliser le tableau suivant :

123456789

10

1

23456789

1011

A B

10,950,90-0,860,810,770,740,700,660,63

1112

0,6012

130,57

1314

0,5414 0,51

d) On voit qu’il faut attendre 14 ans pour espérer diminuer de moitié le montant de sa prime d’assu-rance.

29. a) Oui car les points sont alignés.b) Elle augmente de 88 millions de personnes tous les ans.c) 6 530 + 3 × 88 = 6 794d) 6 794 - 6 667 = 127

, %6794127

100 1 87# =

30. A – Le placement le plus intéressant est celui à intérêts composés.B – a) Chaque année la valeur acquise s’obtient en ajoutant 400 € à la valeur acquise précédente.b) r = 400.C – a) On peut établir la formule suivante :vn = vn – 1 � (1,04).C’est une suite géométrique.b) q = 1,04.

32. a) U2 = 0,6 × U1

U3 = 0,36 × U1

U4 = 0,216 × U1

b) 1 + 0,6 + 0,36 + 0,216 = 2,176

c) ,

U2 1766800

31251 = =

U2 = 1 875U3 = 1 125U4 = 675

33) a) 1 1 2u u

u 22 1

3

+ = + =

=*

u u

u

2 1 3

33 2

4

+ = + =

=*

u u

u

3 2 5

54 3

5

+ = + =

=*

5 3 8

8

u u

u5 4

6

+ = + =

=*

Chapitre 3 • Suites numériques • 19



8 5 13

13

u u

u6 5

7

+ = + =

=*

13 8 21

21

u u

u7 6

8

+ = + =

=*

b) u9 = u8 + u7 = 21 + 13 = 34

u10 = u9 + u8 = 34 + 21 = 55

u11 = u10 + u9 = 55 + 34 = 89

c) Voir fichier p_ex31.xls.

On constate que pour n > 20, les rapports u

u1n + sont

constants.

◗ J’expérimente avec les TIC

35. Voir le fichier p_ex35.xls.

◗ Je me prépare à l’évaluationPremière partie :

1. Tonnage attendu en 2010 : 66,5 tonnes.

2.

Année 2009 2010 2011 2012

Tonnage 68 66,5 65 63,5

3.

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

65 743210

4. La suite est arithmétique.

5. On lit graphiquement que l’objectif sera atteint la 6e année.Deuxième partie :

6. Nombre de récipients jetables attendus : 382.

7. 1 + 0,045 = 1,045

8. Voir fichier p_dechet.xls. = 400 = B3*1,045

9. Nombre total de récipients : 1 600 Nombre de récipients recyclables en 2013 : 1 123.

10. Il fallait atteindre le nombre de 1080 récipients jetables, ce qui n’est pas le cas. L’objectif n’est pas atteint.


Chapitre 4 • Fonctions de référence • 21

Chapitre 4 • Fonctions de référence


■ ACTIVITÉ 1 Matériel : Géogébra ou calculatrice graphique Organisation : Travail de groupeIndices :– Quelle est la relation entre x et y permettant de calculer l’aire du panneau rectangulaire ?– Déterminer y en fonction de x ?– Que représentent les coordonnées des points de la courbe représentative de la fonction x

x2

" ?– Quel est le périmètre du panneau rectangulaire en fonction de x et y ?

Éléments de correction :Les dimensions du panneau publicitaire rectangulaire d’une aire de 2 m2 vérifient la relation y x 2# =

donc yx2

= . On représente graphiquement la fonction x

x2

" définie sur l’intervalle [0,2 ; 10].Voir fichier p_pub.ggb.

0

2

4

6

8

10

12

6 8 9 105 7432

(1,305 ; 1,533)

10

Le périmètre du rectangle est : P xx

24

= +

On représente la fonction sur l’intervalle [0,2 ; 10].Voir fichier p_pub_2.ggb.Les mesures des longueurs x et y correspondant aux largeurs et aux longueurs des panneaux publici-taires rectangulaires d’une aire de 2 m2 dont le périmètre est inférieur à dix sont les coordonnées des points dont les abscisses sont comprises dans l’intervalle ]0,4 ;4,5[.


22 • Chapitre 4 • Fonctions de référence

5

10

-5

15

20

2 6 8 1000

4-2-4-6

(0,4 ; 10)(4,5 ; 10)

Remarques :– Cette activité peut être réalisée sans utiliser les TIC.– L’utilisation des TIC permet de tracer rapidement les représentations graphiques des fonctions utiles et de repérer facilement les points dont les coordonnées vérifient les contraintes.– Il est possible de prolonger l’exercice en demandant les dimensions du panneau publicitaire de 2 m2 d’aire dont le périmètre est le plus petit possible.

■ ACTIVITÉ 2Matériel :Géogébra ou calculatrice graphique Organisation : Travail individuel


1. Aire de la base (triangle rectangle isocèle) : DB DC

2#

avec BD = DC = x. Soit Bx2

2

=

V Bh31

= , avec h = AD = x. Soit V x61

3=

2. Représentation graphique de la fonction : ( )f x x61

3= sur l’intervalle [0 ; 20].Voir fichier p_lait.ggb.

0

200

-200

400

600

800

1 000

1 200

10 14 16 20 22 24 26 28 30188 12642

A = (18,17 ; 1 000)

-2-4 0

3. a) Résolution de l’équation : f(x) = 1000. On obtient ,x 18 17. cmb) Les dimensions du berlingot sont : ,AD DC CB 18 17.= = cmRemarque :Cette activité peut être réalisée sans utiliser les TIC.


■ ACTIVITÉ 3Matériel : Géogébra Organisation : Travail individuel


1. 2. et 3. Voir fichier p_arret.ggb.

01020

-10

30405060708090

100110120130140150160170

10 14 16 20 22 24 26 28 32 34 36 38 40 4230188 126420

Cf+k

Cg+h

Cf+h

Ck

Ch

Cg

Cf

4. a) La représentation graphique correspondant à la situation est celle de la fonction f + h.En visualisant les coordonnées d’un point de cette courbe, on repère que lorsque le véhicule roule à 50 km/h (≈13,9 m/s), la distance d’arrêt est de 26,9 m, tandis que si la vitesse est de 60 km/h (16,7 m/s), la distance d’arrêt est de 35,2 m.Ceci montre que de dépasser de 10 km/h la vitesse autorisée en ville augmente la distance d’arrêt de 8,3 m.Cette activité montre aux élèves que même dans des conditions normales, une vitesse respectée peut sauver des vies.b) La courbe correspondant à cette situation est celle de la fonction f+k.En visualisant les coordonnées d’un point de cette courbe, on repère que si un automobiliste roule à 140 km/h (25 m/s) par temps de pluie au lieu de 80 km/h (≈22,2 m/s), il augmente sa distance d’arrêt de 13,8 m.Cette activité prouve l’importance de réduire la vitesse du véhicule par temps de pluie.c) La courbe correspondant à cette situation est celle de la fonction g + h.En visualisant les coordonnées d’un point de cette courbe, on repère que si un automobiliste roule à 140 km/h (≈38,9 m/s) au lieu de 130 km/h (≈36,1 m/s), il augmente sa distance d’arrêt de 18,2 m.



01020

-10

30405060708090

100110120130140150160170

10 14 16 20 22 24 26 28 32 34 36 38 40 4230188 126420

Cf+k

Cg+h

Cf+h

Ck

Ch

Cg

Cf

(13,9 ; 26,9)(16,7 ; 35,2)

(22,2 ; 63,2)

(25 ; 77)

(36,1 ; 141)

(38,9 ; 159,2)

Remarque :Cette activité permet à l’élève de développer la capacité à rechercher et organiser l’information car il doit chercher quelles courbes correspondent aux différentes contraintes.



1.

Fonction f g h

Expression E D F

Tableau de valeurs A B C

Représentation graphique G H I

2. a) k1 = 2,5 k2 = 4k3 = 4 k4 = 0,5b)

x 0,1 4

2,5x2

40

0,025

x 0,1 4

x4

8

1,26

x 0,1 4

x4

40

1

x 0,1 4

0,5x3

32

0,0005

3. a) Il s’agit des abscisses contenues dans l’intervalle ]–1 ; 2[.

b) Il s’agit des abscisses contenues dans les intervalles ] –4 ; –1[ et ]2 ; 2,5[.

c) ( ) ( )f x g x2 pour ; ; ,x 4 1 2 2 5d j- 8 8B B .

( ) ( )f x g x1 pour ;x 1 2d - 8B .

( ) ( )f x g xH pour ; ; ,x 4 1 2 2 5d j- -8 8B B.

( ) ( )f x g xG pour ;x 1 2d -8 B.




◗ J’applique5. La fonction f est définie sur [–10 ;10] par f(x) = x3

a) les variations de f2

- sont :

x – 10 10

Variations de f2

-

500

– 500

b) Vérification graphique des variations de f2

-

-100

-200

-300

-400

-500

100

200

300

400

500

2 6 8 10 1200

4-2-4-8-10 -6

f2–

6. a) Non, les variations de 3 f sont décroissantes sur [– 5 ; – 0,5] car les variations de f sont décroissantes et que cette fonction est multipliée par un coefficient positif.b) Oui, les variations de – f sont croissantes sur [– 5 ; – 0,5] car les variations de f sont décroissantes et que cette fonction est multipliée par un coefficient négatif.

8. Les fonctions f et g sont définies sur [0,1 ; 5] par

( )f xx2

=- et ( )g x x2 2= .

a) Les variations de f + g sur [0,1 ; 5] sont croissantes car la somme de deux fonctions croissantes est une fonction croissante.b) Vérification graphique :

1 2 3 4 5

50

40

30

20

10

0

-10

-20

f

s

g

9. a) Les variations de f + g sur [0 ; 5] sont croissantes car la somme de deux fonctions croissantes est une fonction croissante.b) Vérification graphique :

1 2 3 4 5

80

60

100

40

-40

20

0

-20fs

g

11. a) Les variations de f + g sur [1 ; 10] sont crois-santes car la somme de deux fonctions croissantes est une fonction croissante.b) Vérification graphique :

f

s

g

8

6

4

2

0

-2

-4

-8

-6

2

101 3 5 6 7 8 9

4



13. a)

f

g

80

120

100

40

20

00

-2-4-6

-8

2 4 6

8

60

b) ( )f x 0H pour x appartenant à l’intervalle [– 7,62 ; 7,62].

c) ( ) ( )f x g xH pour x appartenant à l’intervalle [– 4 ; 4]

14. a) ( ) ( )f x g x1 pour x appartenant à l’intervalle ] – 2 ; 1[.

b) ( ) ( )f x g x1 pour x appartenant à l’intervalle [– 3,5 ; 3,5].

c) ( ) ( )f x g xH pour x appartenant à l’intervalle [3 ; 3,5].

15. x x 2H pour x appartenant à l’intervalle 0 ; 1].


17. a)

C2

C1

-2-4 00

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

2 000

-2 000

4 000

6 000

8 000

10 000

12 000

14 000

16 000

18 000

20 000

b) S = f + g

C2

C1

-2-4 00

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

2 000

-2 000

4 000

6 000

8 000

10 000

12 000

14 000

16 000

18 000

20 000 S

c) La fonction ƒ est décroissante sur l’intervalle [0 ; 20] et la fonction g est croissante sur l’intervalle [0 ; 20]. Il n’est donc pas possible d’estimer les varia-tions de S.

d)

C2

C1

-2-4 00

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

2 000

-2 000

4 000

6 000

8 000

10 000

12 000

14 000

16 000

18 000

20 000 S

(10 ; 10 000)

On lit graphiquement que le coût du stock est mini-mum pour 10 commandes.

18. a)

p 0 50 100

f(p) 0 500 000 750 000

p 125 150 200

f(p) 781 250 750 000 500 000



b) Représentation graphique

f0

20-20 0 40 60 80 100 120 140 160 180 200

100 000

200 000

300 000

400 000

500 000

600 000

700 000

800 000

c)

f0

20-20 0 40 60 80 100 120 140 160 180 200

100 000

200 000

300 000

400 000

500 000

600 000

700 000

800 000

(200 ; 500 000)(50 ; 500 000)

Les solutions de cette inéquation sont les valeurs de p

appartenant à l’intervalle [150 ; 200].

d) Pour obtenir une recette supérieure ou égale à

500 000 €, il faut que le prix de l’abonnement soit

compris entre 150 et 200 €.

20. a), b) et c) Voir fichier p_ex20.ggb.

Représentations graphiques des fonctions f, g et

S = f + g.

g

2,5

2

3

3,5

1,5

1

0,5

0

f

s

100 20 30 40 50 7060

d) La résolution graphique de l’équation

S(x) = 2,75 donne x 35. ..

Le puits a une profondeur approximative de 35 m.

21. A -a) L’aire totale du parallélépipède est compo-

sée :

• De l’aire de deux rectangles telle que A1 = 7x

• De l’aire de deux rectangles telle que A2 = h x

• De l’aire de deux rectangles telle que A3 = : 7h

( )S A A A x h xh2 14 14 22 1 2 3#= + + = + +

b) Le volume est : V = 7 x h

c) Si V = 1000 cm3 alors hx7

1000=

d) En remplaçant h par x7

1000 dans l’expression S, on

obtient :

S xx

142000

72000

= + +

B - a) ( ) ( ) ( )f x f x f x1 2= + avec, par exemple,

( )f x x147

20001 = + et ( )f x

x2000

2 =

Les fonctions ( )f x , ( )f x1 , ( )f x2 sont définies sur l’in-

tervalle [5 ; 30].

f700

600

500

400

300

200

100

-5 0

0

5 10 15 20 25 30 35

f1

f2

(12 ; 620)

b)

x 5 12 30

Variations de f

756 772

620

c) La fonction f atteint son minimum égal à 620 pour

x = 12.

L’aire minimale de matière de 620 cm2 correspond à

une valeur de h = 12.



22. a) et b)

Les solutions de l’équation ƒ(x) = 16 sont ,x 84 691 . et ,x 165 312 . .c) Pour que l’agriculteur ne soit pas pénalisé, il doit répandre entre 84,69 kg et 165,31 kg d’engrais azoté par hectare de culture.

23. A – a) SD= 2πR2

b) SR = 2πRh

c) hR

20002r

=

B – a), b) et c) Voir fichier p_ex23.ggb.

f

g

1 600

1 400

1 200

1 000

800

600

400

200

014121086420

A

(6,80 ; 879)

d) A atteint un minimum pour x = 6,8.On doit choisir un rayon de 6,8 cm afin d’utiliser une surface d’aluminium minimale.

24. A - a) a

15100

= d’où a = 1500

C – b) L’expression de la fonction définie sur [15 ;100]

dont la représentation est C’est : xx

15007- .

Voir fichier p_ex24.ggb.

20 40 60 80 100-100 -80 -60 -40 -20

100

80

60

40

20

00

-20

-40

-60

-80

-100

A

A’

J’

D’

D

B’

B

Cf

Jd

b

a c

25. a) A (80 ; 0) et S(40 ; 40)b) Pour le point A : 0 = a × 802 + b × 80Pour le point B : 40 = a × 402 + b × 40

On obtient le système : 80 0

40 1

a b

a b

+ =

+ =*

c) a401

=- et b = 2

d) l’expression de l’arc de parabole est :

y x x401

22=- +

26. b)

a 7,05 8,50 5,37 9,08 3,13

( )f a 2,66 2,92 2,32 3,01 1,77

f

1412108642

A B DC

E

4

3

2

1

0

-1

La représentation graphique est la courbe représen-tative de la fonction x x7 .


27. Voir le fichier p_ex27.ggb.




Chapitre 5 • Le second degré • 29


1. a) la fonction x x17 37 est croissante sur [0 ;5].La fonction x x88 1567 + est croissante sur [0 ;5].b) La fonction x x x17 88 15637 + + est croissante car c’est la somme de fonctions croissantes sur [0 ;5].

2.

3.

Voir fichier p_benef.ggb.

4. La résolution graphique de l’inéquation donne comme solution l’intervalle ]0,507 ; 4[.

5. La fonction « max » de la calculatrice permet de déterminer que le nombre d’objets correspondant à un bénéfice maximum est 247 objets.

Chapitre 5 • Le second degré


■ ACTIVITÉ 1Matériel : Tableur Organisation : Travail de groupeIndices :– Qu’est-ce que le bénéfice ? Quelle est la relation entre coût de revient et chiffre d’affaires ?– Peut-on calculer des exemples de coût de revient pour diverses valeurs de volumes de béton (en m3) et le chiffre d’affaires correspondant à ce volume vendu. – Peut-on représenter graphiquement le coût de revient et le chiffre d’affaires en fonction du volume de béton vendu ?– Comparer le coût de revient et le chiffre d’affaires pour divers volumes de béton vendus ? Que peut-on en déduire quant au bénéfice pour chacun de ces volumes de béton vendus ?– Comment étudier l’évolution du bénéfice en fonction du volume de béton vendu ?

Éléments de correction :Représentations graphiques du coût de revient et du chiffre d’affaires en fonction du volume de béton vendu :


0

2-2 0 4 6 8 10 12 14 16 18 22 262420

500

1 000

1 500

2 000

2 500

3 000

(1 ; 100,45)

(18,07 ; 1 807,24)

L’entreprise fait des bénéfices pour des volumes de bétons vendus compris entre 1 m3 et 18,07 m3.Remarque :On peut prolonger l’activité en demandant :– Pour quel volume de béton vendu le bénéfice est maximum ?– Quelle est la relation donnant le bénéfice en fonction du volume vendu ?

■ ACTIVITÉ 2Matériel :Géogébra ou calculatrice graphique Organisation : Travail individuel


1. a) et b)

x 0 1,5 7

Variations de f

1,35

0,9 – 4,7

2. Voir fichier p_ski.ggb.

g

f2

1

0

-1

-2

-3

-4

-5

2 3 4 5 6 7 8 91

R = (6,22 ; -3,11)

30 • Chapitre 5 • Le second degré



3. a) Le point d’intersection des courbes représentatives de f et g a pour coordonnées (6,22 ; - 3,11)b) En utilisant la propriété de Pythagore et sachant que l’unité du graphique correspond à une longueur de 28 m, on a : OR2 = 174,162 +87,082

D’où OR ,194 7. m.

4) ( ) ( )f x g x= correspond à –0,2x2 + 0,6x + 0,9 = – 0,5x soit l’équation du second degré : – 0,2x2 + 1,1x + 0,9 = 0 avec a = – 0,2, b = 1,1 et c = 0,9.

■ ACTIVITÉ 3Matériel : Géogébra Organisation : Travail individuel

Éléments de correction :Voir fichier p_2degre.ggb.

Par exemple : Signe de Δ Nombre de solutions

< 0 = 0 > 0 Pas de solution 1 solution 2 solutions

a = 0,6b = -1c = -1

a = -1b = -1c = -1

a = -1b = -2c = -1

Remarque :Pour que l’activité prenne moins de temps, on peut séparer la classe en deux ou trois groupes et impo-ser des valeurs pour les coefficients


1. A : g B : h C : f

2. P1 : g P2 : h P3 : f

3. a) Vrai.

b) Vrai.

c) Faux

4. a) a = -3 b = -2 c = 1

b) a = -1 b = 3 c = 34

-

c) a = 2 b = 1 c = 0,5

5. a) Δ = 0 Une solution

b) Δ = 12 Deux solutions

c) Δ = -4 Pas de solution

d) Δ = 240 Deux solutions

6. a)

x – 3 2

P1(x) + 0 – 0 +

b)

x –4 –1 4

P2(x) – 0 + 0 –

c)

x

P1(x) +

◗ J’applique

8.- a)

x – 3 – 2 – 1 0 1 2

f(x) 8 1 – 3 – 3 1 9



32 • Chapitre 5 • Le second degré

b) Le minimum est atteint pour x = – 0,5

c)

x – 3 – 0,5 2

Variations de f

8 9

– 3,5

10. a)

x – 4 – 2 0 1 3 4

f(x) 26 6 2 6 26 42

b) le minimum est atteint pour x = – 0,5

c)

x – 4 – 0,5 4

Variations de f

24 42

1,5

12. a)

On lit : ,x 0 51 . et ,x 4 42 .

Par le calcul : 60D = ,x 0 561 . et ,x 4 432 .

b)

On lit : ,x 0 91 .- et ,x 3 42 .

Par le calcul : 73D =

,x 0 8861 . et ,x 3 3862 .

c)

Pas de solution

Par le calcul : 11D =-

d)

On lit x 3.

Par le calcul : x0 3D = =

e)

Par le calcul : ,x x25 1 33 31 2.D = - =- .

15. a) Pas de solution (Δ= – 103).

b)

x – ∞ + ∞

P(x) +

16. a) 121D =

Deux solutions : x1 = – 1 et x2 = 1,2

Le tableau de signes est juste.

b) 71D =-

Pas de solution

P(x) est positif (signe de a) pour tout x.

Le tableau de signes est faux.

c) 1D =

Deux solutions : x1 = 1 et x2 = 2

Le tableau de signes est juste.

d) 0D =

Une solution : x1 = –1.

Le tableau de signes est faux car ( )P x 0H pour tout x.



◗ Je m’entraîne17. Voir fichier p_ex17.ggb.

18. A- Les frais de productions s’élèvent à 685 € pour 5 tonnes de chocolats et à 680 € pour 10 tonnes de chocolats.B – a)

x 0 5 8 10 15 20 25 30

f(x) 740 685 676 680 725 820 965 1 160

b)

0 5 10 15 20 3025

200

0

400

600

800

1 000

1 200

x 0 8 30

Variations de f

740 1 160

676

d)

0 5 10 15 20 3025

200

0

400

600

800

1 000

1 200

(26 ; 1 000)

C – On en déduit que :– pour une production de 8 tonnes, les frais sont minimaux ;– la quantité de chocolat correspondant à 1000 € de frais est de 26 tonnes.

19. a)

400

350

300

250

200

150

100

50

00 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

(12,31 ; 282)

b) f(1) = 94

( ) ( )f x f3 1 282#= = a pour solution est ,x 12 31.

c) x x2 10 180 02 - - =

1540D =

Deux solutions : ,x 7 311 .- et ,x 12 312 .

La solution sur l’intervalle [1 ;15] est ,x 12 31.

d) L’objectif de la concession sera donc atteint en 2022.

21. a) 0,05x2 � 10,2x � 520 = 627.

b) � = 125,44 d’où x1 = – 214 et x2 = 10.

On en déduit que :

– les frais généraux s’élèvent à 10% du montant des matières premières : 50 € ;

– les charges s’élèvent à 14 % du total « matières pre-mières + frais généraux» : 77 €.

22. a) k = 0,94 � 0,91 = 0,8554.

b)

,x x

100100

100100 2

0 8554- -

=e eo o

,x x1 000

1100 100 2 0 8554- - =` `j j

x x100 100 2 8 554- - =^ ^h h

x x x10 000 200 100 2 8 5542- - + =

x x2 300 1 446 02 - + =

c) � = 78432 d’où ,x 4 9861 . 4,986 et ,x 145 0142 = .

La valeur de x choisie, arrondie à l’unité est x 51 . .

Les remises successives sont de 5 % et de 10 %.



1. L’égalité 1,2x + 150 = - 0,008x2 + 4x + 50 est équivalente à - 0,008x2 + 2,8x – 100 = 0.

2. ,4 64D = Deux solutions : ,x 40 371 . et ,x 309 632 .

3. Les deux entreprises proposent un tarif identique pour 40,37 m2 et 309,63 m2.Deuxième partie :

4. f(x) = − 0,008x2 + 2,8x − 100 sur [0 ;600]

x 0 30 200 300

f(x) – 100 – 23,2 140 20

x 400 500 550 600

f(x) – 260 – 700 – 980 – 1300

5. et 6.

Voir fichier p_mairie.ggb.7.

x 0 40,37 309,63 600

f(x) – 0 + 0 –

8. Entre 40,37 m2 et 309,63 m2, c’est l’entreprise B qui est la moins chère.En revanche, pour les surfaces inférieures à 40,7 m2 ou supérieures à 309,63 m2, c’est l’entreprise A qui est la moins chère.

34 • Chapitre 6 • Approcher une courbe avec des droites

Chapitre 6 • Approcher une courbe avec des droites


■ ACTIVITÉ 1Matériel : Géogébra Organisation : Travail de groupeIndices :– Quelle particularité ont les droites (GC) et (FH) par rapport à la courbe ?– Qu’est-ce qui caractérise une droite ?– Comment calculer le coefficient directeur d’une droite ?– Peut-on observer un lien entre le coefficient directeur des droites et leur point d’intersection avec la courbe ?– On peut remarquer : 0,8 = 1 – 0,2 et - 0,8 = 1 - 2


Éléments de correction :Voir fichier p_gaudi.ggbCoefficient directeur de la droite (GC) :

,, ,

,0 0 5

6 52 6 680 8

-

-= 0,8 = 1 – 0,2

Coefficient directeur de la droite (FH) : ,

, ,,

2 1 86 52 6 68

0 8-

-=- – 0,8 = 1 – 2

On en déduit :– le coefficient directeur de la tangente en D : x = 0,6 : 1 – 0,6 = 0,4– le coefficient directeur de la tangente en E : x = 1,4 : 1 – 1,4 = - 0,4Remarques :– La fonction représentée sur l’intervalle [0 ; 2] est définie par f(x) = – 0,5x2 + x + 6,5– Avec une classe mobile, on peut inviter les élèves à faire une recherche intuitive des tangentes en tra-çant deux droites passant respectivement par les points D et E (en faisant apparaître leur équation pour vérifier le lien entre x et f ’(x)).

■ ACTIVITÉ 2Matériel : Géogébra vidéoprojeté Organisation : Animation classe entière ou tableau ou travail individuel


1. a.

x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4

f(x) 8 4,5 2 0,5 0 0,5 2 4,5 8

b. Voir le fichier p_aqua.ggb

2. a. Voir le fichier p_aqua.ggbb. Certains élèves peuvent proposer de placer d’autres points par symétrie. Mais le tracé reste approxi-matif.c. Voir le fichier p_aqua.ggb

x – 3,5 – 0,5

y 11 17

d.

x 0 2,5

y 16,5 14

e. Les élèves ne voient pas spontanément que les droites tracées sont tangentes à la courbe. Il faut gui-der la réflexion pour montrer notamment que la courbe se situe au-dessous des deux droites.

2

4

6

8

10

12

14

1 2 3 4 5 6 7-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

16 C

B

A

D1

D2

Chapitre 6 • Approcher une courbe avec des droites • 35


■ ACTIVITÉ 3Matériel : Tableur Organisation : Travail individuel


1. a. Voir le fichier p_carre.ggbIl faut taper : =A2*A2 =2*A2-1 =B2-C2

2. Voir le fichier p_carre.ggbCompléments :On peut proposer de recommencer la démarche pour : f(x) = x2 g(x) = 6x – 9 Approximation affine au voisinage de 3 f(x) = x3 g(x) = 12x – 16 Approximation affine au voisinage de 2

36 • Chapitre 6 • Approcher une courbe avec des droites


1. a) Oui, pour x = –1

b) Non

c) Oui, pour x = 2

2. a) f ’(1) = 3,5

b) f ’(–2) = -7

c) f ’(1) = 2

3) a) A(–2 ; -4) B(4 ; 2)

b) T1 passe par le point (0 ; 10).

On lit : f ’(–2) = 7

T1 : y = 7 x + 10

T2 passe par le point (0 ; –14).

On lit : f ’(4) = 4

T2 : y = 4 x – 14

◗ J’applique

5) À partir du point A, on place le point C tel qu’on se déplace d’une unité sur la droite puis d’une unité vers le bas.

La tangente est la droite (AC).

À partir du point B, on place le point D tel qu’on se déplace d’une unité sur la droite puis de trois unités vers le haut.

La tangente est la droite (BD).

7. f ’(–1) = 4

Tangente en A : y = 4 x + 10

f ’(0) = –3

Tangente en B : y = –3 x + 6

f ’(3) = 12

Tangente en C : y = x – 31


8. Exemple de courbe obtenue :

8

-4

12

-1 1 2 3 4-2

00

4

10. a)

x 0,05 0,06 0,08 0,1 0,125

f(x) 0 0,22 0,58 0,8 0,9

x 0,14 0,16 0,18 0,2

f(x) 0,86 0,7 0,42 0

b) Voir fichier p_ex10.ggb.

On obtient la courbe suivante :

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,04 0,08 0,12 0,16 0,2 0,24



Chapitre 6 • Approcher une courbe avec des droites • 37

c) Équation de la tangente : y = 8 xd) Point d’intersection : (0,1 ; 0,8)

e) Le dosage le meilleur est 101

.

11. Voir fichier p_ex11.ggb.

12. a)

a – 3 – 1,5 1

f ’(a) – 12 – 6 4

On en déduit : f ’(a) = 4 ab) f (2) = 8 et f ’(2) = 2Équation de la tangente : y = 8 x – 8


14. a.

x0 – 5 – 3 – 1 0 1 3

f’(x0) – 30 – 18 – 6 0 6 18

f ’(x0) = 6 × x0

b. y = 24x – 48



1. Voir le fichier p_quickmag.ggb.

2. a.

x 15 19

y 480 780

b. T2 : y = -240x + 2750Deuxième partie :

4. Nombre minimal entre 11 et 13h.Nombre maximal entre 17 et 19h.

5. Cela se produit à 15 h.

6. Voir le fichier p_caisse.ggb.

900

800

700

600

500

400

300

200

100

01 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

(15 ; 400)

Remarque : le logiciel Géogébra ne permet pas de commencer la graduation de l’axe des abscisses à 9.


38 • Je m’évalue sur un sujet de synthèse

Je m’évalue sur un sujet de synthèse

DEVELOPPEMENT DURABLE

◗ S1 - Produire de l’électricité avec du ventPremière partiea. La représentation la plus appropriée est un diagramme en barresb. Le journaliste a utilisé les indicateurs suivants :• La médiane pour déterminer que la moitié des Régions produit une puissance inférieure à 103,5 MW• Le troisième quartile pour déterminer que le quart des Régions produit une puissance supérieure à 295,5 MW.c)

d) Comme la médiane est égale à 103,5 et le troisième quartile est égale à 295,5, les résultats obtenus confirment l’affirmation du journaliste.

APPEL 1 :* On attend de l’élève qu’il fasse clairement le lien entre les commentaires du journaliste et les résultats lus à l’écran.

* On pourra compléter l’interrogation en demandant par exemple :– Quels sont les autres indicateurs présents à l’écran ?– Quel aurait été le commentaire du journaliste s’il avait utilisé le premier quartile ?– Comment calculer l’étendue de la série ? (e = 516 MW)– Est-ce la moyenne est signifiante pour une série qui a une large étendue ?

Deuxième partiea) La surface balayée par le rotor a une aire 40 5026,5 mS 2 2# .r=

b) ,P v729 8 3.

c) et d) soit la fonction. ( )f x x730 3= .Tracé de la fonction et résolution de l’équation ( ) .f x 2 106= .

Voir fichier p_eole.ggb pour une projection graphique au tableau.


e) On en déduit que pour obtenir une production de 2 MW, il faut une vitesse du vent de l’ordre de 14 m/s.

APPEL 2 :* On attend que l’élève dise clairement que la résolution d’une équation de la forme f(x) = k correspond à la recherche de l’intersection entre la courbe et la droite d’équation y = k.

* Si l’élève a utilisé l’outil TRACE on peut l’amener à utiliser le zoom afin d’améliorer la précision de la lecture graphique.On peut lui demander si le manque de précision de cet outil change l’ordre de grandeur du résultat obtenu.* On pourra compléter l’interrogation en demandant par exemple :– Quelle fonction de référence reconnaît-on dans l’expression définissant f ?– Comment exprimer les variations de la puissance en fonction de la vitesse ?

◗ S2 - Cuisiner sans gaz, ni électricité, ni charbon de bois !Première partie :

a. ( )( )

, ,,f

24 365 4 12 6

0 630 =- - -

-=-l

Équation de la droite (ST) : y = – 0,6x + 9b. Voir fichier p_cuiseur.ggb

00

5

10

-5

15

20

25

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-50 -45 -40 -35 -30 -25 -20 -15 -10

B F

C ED

T

S

RA G

-5

Les segments sont symétriques par rapport à l’axe Oy car la fonction f telle que f(x) = 0,01 x2, de type f(x) = ax2, l’est.

APPEL 1 :* On attend de l’élève qu’il utilise l’outil Tangente aux points C et D.Il doit penser à créer le point intersection des deux tangentes tracées précédemment, et, ensuite, expliquer comment il a tracé les symétriques.

On pourra compléter l’interrogation en demandant par exemple :– si f ’(–18) est inférieur ou supérieur à f ’(30)– la valeur de f ’(0) sans faire de calcul

Deuxième partie :Δ = 201,64

,, ,

x0 2

1 8 14 2801 =

- -=- et

,, ,

x0 2

1 8 14 2621 =

- +=

L’entreprise rentre dans ses frais à partir de 62 ventes.

Je m’évalue sur un sujet de synthèse • 39


PRÉVENTION, SÉCURITÉ, SANTÉ

◗ S3 - Sur la route : cannabis + alcool = 15 fois plus de risque d’accident mortel

Première partie :

a. ,

, ,, ( , )T

60 0 7330 0 05 0 8

0 31 0 5#

# #1= =

Elle peut prendre le volant.

b. ,

( , , ) ,0 7

70 0 175 4 250 0 056 0 878

# # # #+=

c.

x 60 80 100 120 140 160

f(x) 1,3 0,98 0,78 0,65 0,56 0,49

d. Voir fichier p_taux.ggb.

1,3

1,2

1,1

1

0,9

0,8

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0 20-20 40 60 80 100 120 140 160

e. f(x) = 0,5 pour x = 156Il faudrait peser 156 kg.

Deuxième partie :a. Écart de freinage : 5,9 mLa distance de freinage moyenne augmente de 11 %.b. Me = 53 Q1 = 52 Q3 = 54

APPEL 1 :* On attend de l’élève qu’il fasse le tri dans les résultats affichés à l’écran.

* On pourra compléter l’interrogation en demandant par exemple :-– A-t-on un moyen de vérifier qu’on n’a pas fait d’erreur dans l’entrée des valeurs (Vérification de l’effectif total et de la valeur de la moyenne donnée dans la question précédente)– Comment ferait-on sans calculatrice ?– Que signifie un écart faible entre Q1 et Q3 ?

c. A 57 m, tous les conducteurs à jeun pourront s’arrêter contre seulement 25 % après avoir fumé un joint.A 60 m, tous les conducteurs à jeun pourront s’arrêter contre seulement 50 % après avoir fumé un joint.



◗ S4 - Les adolescents bien dans leur assiettePremière partie :a) En transformant la formule, on obtient : T

M M25 5

= =

b) et c)

Voir p_indice.ggb pour une projection au tableau.d) On peut en déduire qu’un homme de 1,80 m est considéré en surpoids à partir d’une masse de 81 kg.

APPEL 1 :* On attend que l’élève dise clairement que la résolution d’une équation de la forme f(x) = k correspond à la recherche de l’intersection entre la courbe et la droite d’équation y = k.Si l’élève utilise la fonction TRACE, il obtient l’écran suivant :

On peut l’amener à utiliser le zoom afin d’améliorer la précision de la lecture graphique.

* On pourra compléter l’interrogation en demandant par exemple :– La résolution graphique donne-t-elle une valeur exacte de la solution ?– Comment vérifier le résultat par le calcul ?

Deuxième partie :a) La fréquence d’élèves en surpoids dans le lycée est :

,f1200370

0 31.=

b) La détermination graphique des bornes de l’intervalle de fluctuation donne : [0,26 ;0,32].

, ,pn

10 29

1200

10 26.- = - et , ,p

n

10 29

1200

10 32.+ = +

c) Sur le graphique, nous comptons 5 échantillons n’appartenant pas l’intervalle de fluctuation. C’est-à-dire 5% des échantillons.d) Le nombre d’élèves en surpoids est significatif de la situation de l’ensemble de la population car la fréquence appartient à l’intervalle de fluctuation.



ÉVOLUTION DES SCIENCES ET TECHNIQUES

◗ S5 - Un temple Maya et une montre à quartz pour mesurer le temps..Première partie :

a) Dans la cellule B2 on saisit « =60 ».

Dans la cellule B3, on saisit « =B2-4*1 » ou « =4*(15-A2) »

b)

Le périmètre du carré supérieur est égal à 28 m.

c)

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10

0

20

30

40

50

60

70

Appel 1 :* On attend de l’élève qu’il explique l’expression qu’il a tapée dans la cellule B3. (Soustraction de 4 au péri-mètre précédent ou calcul du nouveau périmètre), puis qu’il constate que les points de la représentation gra-phique des couples (n ; un) sont alignés.* On pourra compléter l’interrogation en demandant, par exemple :– Existe-t-il une autre formule pour trouver le même résultat ?

d) La suite des nombres forme une suite arithmétique.

Les couples de points sont alignés.

Pour passer d’une valeur à l’autre, on enlève 4 à chaque valeur précédente.

Son premier terme est 60 et sa raison – 4.

e) Un + 1 = Un – 4.



Deuxième partie :a) t15 = 0,005 � 152 � 0,25 � 15 � 3,125 = 0,5 s/jourt30 = 0,005 � 302 � 0,25 � 30 � 3,125 = 0,125 s/jour.b) � = (� 0,25)2 � 4 � 0,005 � 3,125 = 0

,,

x x2 0 005

0 25250 0&

#=-

-= .

c) Pour t = 25 °C, la montre à quartz ne prend pas de retard.

d) La montre ne peut pas prendre d’avance : Si l’équation 0,005x2 � 0,25x � 3,125 = 0 a une solution unique, l’expression t = 0,005x2 � 0,25x � 3,125 sera toujours du signe de 0,005, donc positif. Le décalage t sera toujours positif.

VIE SOCIALE ET LOISIRS

◗ S6 - Monsieur le maire n’aurait pas dû croire les sondagesPremière partie :

a) ,950494

0 52= .

b) Voir fichier p_vote.xls.

Remarque :On peut paramétrer le logiciel pour que la simulation se fasse manuellement grâce au menu « Formule » « Options de calcul »

Dans ce cas, la touche F9 relance le calcul.

c) Cette formule compte le nombre de voix obtenues par le maire.

Appel 1 :* On attend de l’élève qu’il reformule comment les calculs proposés simulent l’élection, notamment l’affec-tation du 1 à un vote en faveur du maire.* On pourra compléter l’interrogation en demandant, par exemple :– La fréquence obtenue peut-elle être égale à n’importe quel nombre ?– Est-ce étonnant que les valeurs soient proches de 0,52 ?– Est-ce que la fréquence attendue de 52 % peut être considérée comme vraiment fiable ? (Elle provient d’un sondage)

e) Voici un exemple de fréquences obtenues en relançant 10 fois la simulation :

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

f 0,51 0,53 0,54 0,54 0,52 0,53 0,54 0,52 0,54 0,49

Dans ce cas la moyenne des fréquences vaut 0,526, elle est très proche de la fréquence théorique.

g) 0,52 ; 0,52 , ; ,I950

1

950

10 49 0 55= - + => 8H B.

h) 0,4849 n’appartient pas à l’intervalle de fluctuation.

Il y avait 5 % des chances que cela se produise.



Deuxième partie :a) Législatives : 40 – 15,1 = 24,9Municipales : 31 – 20,3 = 10,7b) Législatives : [31,3 ; 21,3]Municipales : [30,3 ; 24,3]Ces intervalles donnent la fourchette de l’abstention pour 50 % des élections.c) L’étendue et l’écart interquartile étant plus petits dans le cas des municipales, cela signifie que la participa-tion y est plus régulière.

VIE ÉCONOMIQUE ET PROFESSIONNELLE

◗ Optimiser le coût de productionPremière partieA – a) C(5) = 12,5 C(10) = 50.b) Coût moyen pour 5 centaines : 2,5.Coût moyen pour 10 centaines : 5.B – a) On lit graphiquement f ’(10) = 15.b) Équation de la tangente : y = 2,5x.Toute droite dont l’équation est de la forme y = ax passe par l’origine du repère.Deuxième partie :b)

x 0 5 12

f(x)5 7,4

2,5

c)



Je révise mes acquis de seconde • 45

REPRÉSENTATION GRAPHIQUE1. b)2. c)3. a)4. a)5. a) Qualitatifb) quantitatifc) quantitatif6. a) Diagramme en bâtons ou circulaire.b) Histogramme ou diagramme circulairec) Diagramme en bâtons ou circulaire.

7.-

25

20

15

10

5

03 500

hommes femmes

2 4002 1001 5001 300

8.

Gain (€) Effectif Fréquence

2 285 0,7125

5 59 0,1475

10 34 0,085

20 14 0,035

50 5 0,0125

150 2 0,005

1 500 1 0,0025

INDICATEURS DE TENDANCE CENTRALE ET DE DISPERSION1. b)2. a)3. a)4. a)5. Avec une calculatrice : x 80= et Me = 83,56. Avec une calculatrice : Q1 = 1,045 et Q3 = 1,0957. Sa moyenne sera de 12.8. Les trois quarts des salariés touchent au moins 1120 €.

FLUCTUATIONS - PROBABILITÉ1. c)2. c)3. b)4. a)5. a) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}b) {Pile, Face}c) {Trèfle, Pique, Cœur, Carreau}6. p = 0,27. Urne B8. a) p = 0,25b) p = 0,125c) p = 0,03125

ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS1. b)2. b)3. a)4. b)5. a) x = 0,4b) x = 3c) x = 1,5

d) x35

=

6. a) ;S 43= -B B

b) ;S 2 3= +8 8

c) ;S 4 3= - + 8B

7. 5 ans8. 25 %

SYSTÈMES DE DEUX ÉQUATIONS1. b)2. c)3. a)4. b)5. (–2 ; 3)6. (–3 ; 6)7. (1 ; 1)8. (3 ; 5)

NOTION DE FONCTION1. b)2. c)3. b)4. b)5. I = [0 ; 4] f(1) = 4 f(4) = 22

Je révise mes acquis de seconde


46 • Je révise mes acquis de seconde

6.

x –5 -3 0 2 5

f(x) 77 29 2 14 77

7.

x -5 -3 0 2 5

f(x) -150 -42 0 18 150

8.

x 0 2 4

f(x)6 22

0

FONCTIONS DE RÉFÉRENCE1. c)2. b)3. a)4. a)

5. 0 1 2 3 4 5 6-4 -3 -2 -1

1

2

3

4

5

6

7

8

6.

x –15 15

f(x)7

–23

7.

x 0 2 4

f(x)0

–7,2 –3,2

8. x x3 27

FONCTIONS AFFINES1. a)2. a)

3. b)4. c)5. a. ( ) ,f x x1 5= ( )f 10 15=

6. ( )f x x 1= + ( )f xx

23 5

=-

( ) ,f x x0 25=- ( )f x 10=

7. ( ) ,f x x2 5 6= +

8. ( ) ,f x x50 0 065= -

RECONNAÎTRE ET REPRÉSENTER UN SOLIDE1. b)2. c)3. c)4. b)5. a. Par exemple : (AE) // (BF) et (AE) ^ (AB)b. Par exemple : (AB) et (AD) et (AB) et (GH)c. Par exemple : (ADGE) et (BCHF)6. Pyramide à 4 faces7. a. a = 45° et k = 0,5b. a = 80° et k = 0,6

8.

ISOLER UNE FIGURE PLANE1. b)2. b)3. b)4. b)5. (ABC) est rectangle en A et isocèle.(DEF) est équilatéral.6. 8 carrés7. Carré, triangle rectangle, rectangle.8. a) [BD], [GH] et [IJ]b) [AJ], [EI], [DH] et [BG]c) Isocèle.

GÉOMÉTRIE ET NOMBRES1. b)2. b)3. c)4. b)5. a) AC = 7,0b) AN = 3,9c) MN = 3,0d) AN = 1,96. a) ST = 8,00b) ST = 6,00


Je révise mes acquis de seconde • 47

c) RT = 12,42

d) RT = 13,00

7. a) GE2 = 169 GA2 + AE2 = 169

b) HF = 7,2 m EF = 12,2m

c) A = 128,33 m2

8. a) ABH est rectangle.

b) AH = 1,6 m

c) IJ = 0,62 m.

INFORMATION CHIFFRÉE - PROPORTIONNALITÉ1. c)

2. c)

3. b)

4. a)

5. a)

6. c)

7. c)

8. a)

9. c)

10. a)

11. a) x = 56

b) x = 6,75

c) x = 2,5

d) x = 14,4

12. Environ 1 106 km

13. Pour 60 : 72 œufs de poule, donc 3 œufs d’au-truche.

14. 250 000 habitants

15.a) 1,06 €

b) 0,29 € soit environ 12 % du prix initial.

16. a) 1 385 m3

b) 5,771 m3/s

17. Oui, il a roulé à 84 km/h.

18. a) Echelle :20/1.

b) 9cm × 15 cm

19. a) 25 kg de sang.

b) Maximum pour 48 kg : 0,43 kg.

Elle ne peut pas faire un don de 0,45 kg.

20. a) A = 6 250 cm2

b) A’ = 7 500 cm2

c) Oui il convient.


bac pro maths

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