DYNAMIKA

ROTAČNÍ POHYB

Dynamika rotačního pohybu hmotného bodu kolem pevné osy- při rotační pohybu hmotného bodu kolem stálé osy stálými otáčkami kolem pevné osy (pak hovoříme o rovnoměrném rotačním pohybu) působí na hmotný bod odstředivá síla, která je reakcí k síle dostředivé- aby se bod pohyboval po kružnici musí dostředivá síla hmotnému bodu udílet stálé dostředivé neboli normálové zrychlení do středu pohybu;- jak bylo vysvětleno v části Kinematika, při rovnoměrném rotačním pohybu bodu mění obvodová rychlost pohybu neustále svůj směr a postupně otáčí ke středu otáčení;

Dynamika rotačního pohybu hmotného bodu kolem pevné osy-z toho plyne, že rotující hmotný bod je neustále urychlován do středu kružnice a proto při rotačním pohybu bodu mu musí být udělováno směrem ke středu zrychlení nazývané „dostředivé“ nebo normálové zrychlení an, protože působí ve směru normály pohybu;-v Kinematice byl odvozen vztah v závislosti : „v“ je obvodová rychlost hmotného bodu „ω“ je úhlová rychlost hmotného bodu;- obvodová rychlost je v=π.D.n = 2π.R.n, kde n[s-1] jsou otáčky hmotného bodu ,D [m] je průměr dráhy pohybu a R [m] je poloměr dráhy

Dynamika rotačního pohybu hmotného bodu kolem pevné osy

- úhlová rychlost hmotného bodu je ω=2π.n (s-1)- po dosazení za „v“ a „ω“ dostaneme vztah

- síla odstředivá je dle třetího Newtonova zákona reakcí dostředivé síly;

[ ]222 −⋅=⋅= sm

RvRan ω

[ ]NRmamF nC2ω⋅⋅=⋅=

Dynamika rotačního pohybu hmotného bodu kolem pevné osy

- u rotačního pohybu hmotného bodu kolem stálé osy musíme rozlišit případ rotace stálými otáčkami

kolem svislé a vodorovné osy;

m Fc

Fdan

Rotační pohyb hmotného bodu kolem svislé osy

- rotace ve vodorovné rovině - působení odstředivé síly- ve svislém směru působí stálá tíhová síla- například průjezd vozidla zatáčkou

Příklad : Průjezd vozidla zatáčkou

Vypočtěte, jak velkou rychlostí může projet automobil o hmotnosti 1000 kg vodorovnou neklopenou zatáčkou o poloměru 25 m, jestliže rozchod kol je 1400 mm, těžiště vozidla je 800 mm nad vozovkou a součinitel smykového tření je 0,2.

Rotační pohyb hmotného bodu kolem vodorovné osy

- při rotaci hmotného bodu ve svislé rovině kolem pevné osy stálou úhlovou rychlostí působí odstředivá síla vždy ze středu otáčení ve směru normály ;- neustále se měnící se směr odstředivé síly způsobuje, že výsledná síla působící na hmotný bod (je dána vektorovým součtem odstředivé a gravitační síly, viz obr) s úhlem natočení a mění svůj směr i velikost;- pak výsledná síla je - například rotace tělesa kolem pevné vodorovné osy, centrifuga nebo přejezd vozidla přes terénní nerovnosti

αcos222 ⋅⋅⋅++= GFGFF CCV

Rotační pohyb hmotného bodu kolem vodorovné osy

- aby se bod udržel na kruhové dráze (např. lano stále napnuto, voda nevyteče z

nádoby): – horní poloha : FC = G m.R. ω2 = m.g

Zadání příkladu : Nádoba s vodou se otáčí ve svislé rovině v kruhu o poloměru 800 mm. Určete nejmenší počet otáček, aby voda z nádoby nevytékala.

Zadání příkladu :

Na vodorovné desce leží ve vzdálenosti R = 300 mm od středu otáčení těleso

o hmotnosti m = 20 kg. Určete max. otáčky , nemá-li těleso z desky sklouznout (f = 0,1).

Rotující deska

Zadání příkladu :

Jeřábový vozík s břemenem o hmotnosti m = 300 kg zavěšeným na laně o délce

l = 5 m se náhle zastaví při dopravní rychlosti v = 2 m/s. Určete vzdálenost „x“,

do jaké se vychýlí břemeno následkem setrvačnosti.

v

m

5 m

x

z

Příklad : Průjezd moto zatáčkou

Vypočtěte, s jakým sklonem může projet motocyklista vodorovnou neklopenou zatáčkou o poloměru 20 m.Hmotnost motocyklu s řidičem je 200 kg, těžiště motocyklu je b = 800 mm nad vozovkou a součinitel smykového tření je 0,2.

Dynamika - rotační pohyb tělesa

představme si pohyb plného dokonale tuhého rotujícího válce kolem pevné osy způsobený kroutícím momentem;celý válec rozdělíme na části stejné hmotnosti ∆m;

Dynamika rotační pohyb tělesa

pokud je osa rotace v těžišti, můžeme zanedbat tíhu hmotných elementů, protože se dynamický účinek tíhy vyruší;při uložení válce v jeho těžišti, se odstředivé síly ∆FC a dostředivé síly ∆Fd všech elementárních částí tělesa vyruší, nebo-li jsou v rovnováze;

Dynamika - rotační pohyb tělesa

-tečná nebo-li obvodová síla ∆Ft je způsobena momentem ∆M a způsobuje zvyšování obvodové rychlosti elementu a tím také otáček válce;

-pak ∆M = ∆Ft .r, po dosazení za sílu z druhého pohybového zákona dostaneme ∆M = ∆m.at.r a pokud dosadíme za tečné zrychlení vztah at = r .ε, získáme výraz pro elementární kroutící moment ∆M = ∆m .r .ε .r = ∆m .r2 .ε.;

-nyní sečteme všechny dílčí kroutící momenty všech částí válce a získáme celkový „zrychlující“ moment:

Dynamika - rotační pohyb tělesa

-tečná nebo-li obvodová sila ∆Ft je způsobena momentem ∆M a způsobuje zvyšování obvodové rychlosti elementu a tím také otáček válce;

-pak ∆M = ∆Ft .r, po dosazení za sílu z druhého pohybového zákona dostaneme ∆M = ∆m.at.r a pokud dosadíme za tečné zrychlení vztah at = r .ε, získáme výraz pro elementární kroutící moment ∆M = ∆m .r .ε .r = ∆m .r2 .ε.;

-nyní sečteme všechny dílčí kroutící momenty všech částí válce a získáme celkový „zrychlující“ moment:

∑∑∑===

⋅∆⋅=⋅⋅∆=∆=n

iii

n

iii

n

ii rmrmMM

1

2

1

2

1εε

Dynamika - rotační pohyb tělesa

-kde vztah Io =

je moment setrvačnosti hmoty tělesa k ose rotace a má jednotky [kg.m2]

-zrychlující moment: M = Io. ε vztah je analogický druhému pohybovému zákonu o zrychlující síle u přímočarého pohybu F = m . a;

∑=

⋅∆n

iii rm

1

2

Dynamika - rotační pohyb tělesa

-pohybová rovnice rotačního pohybu má tvar

, kde MK[N.m] je hnací moment, I0[kg.m2] je moment setrvačnosti tělesa, ε [s-2] je úhlové zrychlení tělesa, MPi [Nm] je moment odporů při pohybu překonávaných.

∑=

=−⋅−n

iPiK MIM

10 0ε

(například moment čepového tření, vnější „zatěžující“ momenty lan, řemenů, pásů, řetězů, ozubených kol

Dynamika - rotační pohyb tělesa I0[kg.m2] - moment setrvačnosti tělesa,- je fyzikálně veličina obdobná kvadratickému momentu plochy (viz Mechanika PP) a pro výpočet momentu setrvačnosti platí obdobné principy jako pro stanovení kvadratického momentu plochy;-momenty setrvačnosti dílčích hmot (těles) I01, I02, I03, až I0n lze algebraicky sčítat nebo odčítat ;-moment setrvačnosti hmoty, jejíž těžiště neleží na ose rotace „o“ se počítá pomocí Steinerovy věty, která zní: „moment setrvačnosti hmoty tělesa k ose neprocházející jeho těžištěm (osa „o“) se rovná momentu setrvačnosti hmoty tělesa k ose procházející těžištěm tohoto tělesa (osa „oT“) rovnoběžné s osou „o“, zvětšenému o součin hmotnosti tělesa a druhé mocniny vzdálenosti obou os;

Dynamika - rotační pohyb tělesa

a

T

o

oT

m

200 amII T ⋅+=

Dynamika - rotační pohyb tělesa- moment setrvačnosti válce k jeho ose z materiálu o hustotě ρ [kg.m-3] je:

I D BO = ⋅ ⋅ ⋅π ρ4

32D [m] je průměr válce,B [m] je výška válce,

-moment setrvačnosti hranolu o rozměrech a x b x c k jeho ose rovnoběžné s rozměrem c a procházející těžištěm:

( )I

a b c a bO =

⋅ ⋅ ⋅ + ⋅2 2

12ρ

;

Dynamika - rotační pohyb tělesa- moment setrvačnosti válce k jeho ose z materiálu o hustotě ρ [kg.m-3] je:

I D BO = ⋅ ⋅ ⋅π ρ4

32D [m] je průměr válce,B [m] je výška válce,

-moment setrvačnosti hranolu o rozměrech a x b x c k jeho ose rovnoběžné s rozměrem c a procházející těžištěm:

( )I

a b c a bO =

⋅ ⋅ ⋅ + ⋅2 2

12ρ

;

Dynamika - rotační pohyb tělesa

;

-moment setrvačnosti kužele k jeho ose z materiálu o hustotě ρ [kg.m-3]

160

4 ρπ ⋅⋅⋅= HDIO D [m] je průměr kuželeH [m] je výška kužele

Příklad : moment setrvačnosti tělesa

Vypočtěte moment setrvačnosti součásti dle obr. z oceli o hustotě 7850 kg.m-3 k ose „oT“, jestliže D1 = 320 mm, D2 = 80 mm, D3 = 40 mm, h1 = 40 mm a h2 = 30

Příklad : moment setrvačnosti kliky

Vypočtěte moment setrvačnosti kliky dle obrázku z materiálu o hustotě 7850 kg.m-3 k ose rotace, jestliže D= 200mm,d1= 60mm, d2= 30mm, a= 50mm, b= 40mm a výstřednost e= 75mm. Dále vypočtěte velikost kroutícího momentu, jestliže se roztáčí rovnoměrně zrychleně působením stálého kroutícího momentu z klidu a za 30 s setrvačník dosáhne otáček 300 min-1.

Impulsové věty

první impulsová věta řeší přímočarý pohyb tělesa - je odvozena z druhého Newtonova pohybového zákona - zákona zrychlujícísíly, tj. F=m.a; vztah F=m.a vynásobíme přírůstkem času a pak dostaneme:

kde , se nazývá impuls síly a je mírou časového účinku síly;

, se nazývá změna hybnosti hmoty;první impulsová věta zní:

„Impuls síly se rovná změně hybnosti hmoty“

t∆vmtamtF ∆⋅=∆⋅⋅=∆⋅

Hvm ∆=∆⋅

ItF =∆⋅

Impulsové věty

uvádíme-li těleso do pohybu z klidu, pak impuls síly se rovná hybnosti hmoty z nulové počátečnírychlosti a dostaneme vztah

U druhé impulsové věty vyjdeme ze zrychlujícího momentu

vmtF ⋅=⋅

ε⋅= Ok IMa opět vynásobíme časem t∆

ωε ∆⋅=∆⋅⋅=∆⋅ OOk ItItM

Impulsové věty

se nazývá impuls momentu;

se nazývá změna momentu hybnosti;

LtM k =∆⋅

bI ∆=∆⋅ ω0

pro pohyb z klidu dostaneme vztah

ω⋅=⋅ Ok ItM

.

druhá impulsová věta zní: Impuls momentu se rovná změně momentu hybnosti

Příklad : impulsová věta

Jak dlouho musí působit na ocelový kotouč o hustotě 7850 kg.m-3, průměru 500mm a tloušťce 50 mm kroutící moment 50 N.m, aby kotouč získal z klidu otáčky 1500 min-1.

Mechanická práce

.

mechanickou práci konáme, překonáváme-li odpory silou působící po určité dráze. Velikost mechanické práce je rovna součinu síly působící na hmotný bod a dráhy hmotného bodu ve směru síly;pak , kde F[N] je hnací síla ve směru dráhy pohybu tělesa a s[m] je dráha pohybu tělesa;jednotkou mechanické práce je joule [J];pokud stálá síla působí v nesouhlasném směru k dráze, musíme počítat se složkou síly ve směru dráhy;

pro určení velikosti mechanické práce síly proměnné velikosti využíváme grafu F-s, kde plocha grafu je úměrná velikosti práce

[ ]JsFW ⋅=

Mechanická práce

.

Mechanická práce

.

ϕ⋅= Rsϕ⋅⋅= RFW

kMRF =⋅

[ ]JmNMW k =⋅⋅= ϕ

při rotačním pohybu síla F mění neustále svůj směr a tudíž stále působí ve směru dráhy, síla F na dráze odpovídající úhlu natočení ϕ

vykoná práci

dosadíme-li za

dostaneme vztah pro práci při rotačním pohybu

kdeMk[Nm] je kroutící moment,ϕ[rad] je úhlová dráha pohybu tělesa.

Mechanická práce

.

Ro ⋅⋅= π2

RFoFW ⋅⋅⋅=⋅= π21

iRFiRFiWW ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅= ππ 221

ϕπ =⋅ i2 [ ]JMW k ϕ⋅=

-ke stejnému vztahu dospějeme při odvození práce obvodové síly F za jednu otáčku, kdy dráha je rovna obvodu kružnice

-pak práce při jedné otáčce

-celková práce při rotačním pohybu je dána jako práce při jedné otáčce vynásobené počtem otáček, pak

, kde i = počet otáček; dosadíme-li za

dostaneme

.

Příklad : práce při rotačním pohybu

Ocelový kotouč o hustotě 7850 kg.m-3 tvaru kotouče o průměru200 mm a tloušťce 20 mm se roztáčí z klidu a za 20 s získá otáčky 120 min-1. Vypočtěte velikost kroutícího momentu potřebného k rozběhu tělesa a množství vynaložené práce.

Výkon

.

.

„Výkon je mechanická práce vykonaná za jednotku času.“

tWP =

jednotkou mechanické výkonu watt, který má rozměr

W [J] – vykonaná mechanická práce t [s] – čas konání mechanické práce

⋅⋅== − 32 smkg

sJW

při přímočarém pohybu můžeme vztah pro výpočet výkonu upravit tak, že za dosadíme za práci a dostaneme

P Wt

F st

F v= = ⋅ = ⋅

F[N] - hnací síla ve směru pohybu tělesa,v [m.s-1] - rychlost pohybu tělesa (v = s/t)

Energie rotačního pohybu

.

.

po dosazení za ∆m r Ii i Oi

n

⋅ ==

∑ 2

1

, což je moment setrvačnosti tělesa, dostaneme vztah pro kinetickou energii rotujícího tělesa ve tvaru

[ ]E I J kg m sRO=

⋅= ⋅ ⋅ −ω 2

2 2

2- rozdíl kinetických energii počáteční a konečné je roven práci zrychlujících sil vynaložené na zvýšení otáček tělesa nebo práci vykonané při snížení jeho otáček (princip práce setrvačníku);

- pak práce daná změnou energie se vypočte ze vztahu

( ) [ ]W E E I JR RO= − = ⋅ −2 1 2

212

2ω ω

Obecný rovinný pohyb

.

.

obecný rovinný pohyb je vlastně rotačním pohybem kolemokamžité osy otáčení úhlovou rychlostí ω, respektive kolem pólu otáčení P, kdy osa otáčení (pól) neustále mění svou polohu

valení válce ( jednodušší obecný rovinný pohyb) po vodorovnépodložce si lze představit jako současně probíhající pohyb přímočarý posuvný rychlostí vT a rotační pohyb kolem osy válceprocházející jeho těžištěm T úhlovou rychlostí otáčení ω R

Obecný rovinný pohyb

.

.

celková pohybová energie valivého pohybu je dána jako součet kinetické energie posuvného pohybu tělesa EKP akinetické energie rotačního pohybu kolem okamžité osy otáčení ER

E m v IK

T R=⋅

+⋅2

02

2 2ω

m [kg] - hmotnost tělesa,vT [m.s-1] - rychlost posuvného pohybu tělesa;I0 [kg.m2] - moment setrvačnosti tělesa ,ωR [s-1] - úhlová rychlost rotačního pohybu tělesa k ose tělesa.

Příklad - obecný rovinný pohyb

.

.

Jakou pohybovou energii má ocelový válec o hustotě 7850 kg.m-3, průměru 100 mm a délce 500 mm, který se valí po vodorovné rovině stálou rychlostí 5 m.s-1.

Vyvažování

.

.

Zajištění klidného chodu zařízení je velmi důležité :

- stroj bez vibrací a hluku působí z fyziologického hlediska lépe na obsluhu- klidný chod ⇒ dlouhodobý bezporuchový provoz ⇒ klesají náklady na opravy, zkracují se prostoje- nevyváženost otáčejících se částí vzniká nerovnoměrným rozložením hmoty součásti vzhledem o ose rotace- neváženost ⇒ odstředivé síly ⇒ chvění

Vyvažování rotujících hmot

a) dynamické – náročné metody na specielních vyvažovacích strojích na principu pružných rámů (viz VŠ)

.

.

účinek odstředivé síly otáčející sehmoty nevyvážené části tělesa FC „vyrušíme“ odstředivou silou jiné rotující hmoty FV,tak zvaného vývažku;

Vyvažování rotujících hmot

b) statické – jednoduché, ale jen „na hrubo“ pomocným vývažkem při konstrukci

podmínkou takovéhoto způsobuvyvážení je, že síly FC a FV musí být v rovnováze

F F F F Fii

n

C V C V= ⇒ − = ⇒ ==

∑ 0 01

.

.

Vyvažování rotujících hmot

úhlová rychlost rotačního pohybu tělesai vývažku musí být stejná

2ω⋅⋅= RmFC 2ω⋅⋅= VVV RmF

VVVVVC RmRmRmRmFF ⋅=⋅⇒⋅⋅=⋅⋅⇒= 22 ωω

1) volíme poloměr dráhy rotačního pohybu vývažku a počítáme hmotnost vývažku

.

.

Vyvažování rotujících hmot

Možnosti výpočtu :

VVVV m

mRRRmRm ⋅=⇒⋅=⋅

VVVV R

RmmRmRm ⋅=⇒⋅=⋅

2) zvolíme hmotnost vývažku a vypočítáme poloměr dráhy rotačního pohybu

Navrhněte rozměry vývažku tvaru válce (o průměru DV a výšce HV) u součásti dle obrázku, jestliže nevyvážená hmota má také tvar válce o průměru D1 = 40mm a výšce H1 = 50mm. Součást je z materiálu o hustotě 7850kg.m-3 a má otáčky 600min-1. Těžiště nevyváženéhmoty se pohybuje o kružnici o poloměru R = 120mm, poloměr dráhy vývažku je RV = 150mm a průměr vývažku je DV = 50mm.

.

.

Příklad - vyvažování rotujících hmot