ec. cuadr tica y funci n de 2 grado

7/23/2019 Ec. Cuadr Tica y Funci n de 2 Grado

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uncin Cuadrtica y

uncin Cuadrtica y

Ecuacin de Segundo Grado

cuacin de Segundo Grado


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OBJ TIVO :

Conocer y aplicar los conceptos matemticos asociadosal estudio de la funcin cuadrtica.

Graficar una funcin cuadrtica, determinando vrtice,eje de simetra y concavidad.

Indicar las caractersticas grficas de una parbola atravs del anlisis del discriminante.

eterminar las intersecciones de la parbola con losejes cartesianos.

eterminar las races de una ecuacin de !" grado.


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Contenidos

#.$uncin cuadrtica

!.%cuacin de !" grado

#.#Interseccin con el eje &

#.!Concavidad

#.'%je de simetra y vrtice

!.#(aces de una ecuacin cuadrtica

!.!)ropiedades de las races!.'iscriminante

#.*iscriminante


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#. $uncin Cuadrtica

%s de la forma+

f- / a-!0 b- 0 c

%jemplos+

y su grfica es una parbola.

a 1i f- / !-!0 '- 0 #

b 1i f- / *-!2 3- 2 !

a / !, b / ' y c / #

a / *, b / 23 y c / 2!

con a /45 a,b,c I(


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#.#. Interseccin con eje &

%n la funcin cuadrtica, f- / a-!0 b- 0 c ,

el coeficiente cindica la ordenadadel punto dondela parbola intersecta al eje &.

-

y

-

y

c

4,C


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#.!. Concavidad%n la funcin cuadrtica, f- / a-!0 b- 0 c ,

el coeficiente a indica si la parbola es cncava6acia arriba o 6acia abajo.

1i a 7 4,es cncava 6acia arriba

1i a 8 4,es cncava 6acia abajo


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%l valor de ben la funcin+ f- / a-!0 b- 0 c permite saberel movimiento 6ori9ontal de la parbola 4

ba + -

+

-

#.' :rientacin+


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;uego, la parbola intersecta al eje & en el punto 4,2 *, es cncava

6acia arriba y est orientada 6acia la derec6a respecto al eje &.

-

y

%jemplo+%n la funcin f- / -!2 '- 2 * , a / # 5 b/2' y c / 2 *.

4,2*


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#.*. %je de simetra y vrtice

%l eje de simetra es la recta n sea su concavidad.


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1i f- / a-!0 b- 0 c, entonces+

b1u vrtice es+

a1u eje de simetra es+

!a !a= / 2b , f 2b

*a

2b , *ac ? b!

!a= /

2b

!a- /


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%jemplo+

!@#

2!- /

%n la funcin f- / -!0 !- 2 A, a / #, b / ! y c / 2 A,entonces+

= / 2#, f2#

a1u eje de simetra es+

- / 2#

b1u vrtice es+

= / 2#, 2B

!a

2b- /

2b , f 2b

!a !a= /


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f-

= / 2#, 2B

- / 2#%je de simetra+

=rtice+


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1i la parbola es abierta 6acia arriba, elvrtice es un mnimoy si la parbola esabierta 6acia abajo, el vrtice es un mximo.


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i y /a-26 significa


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)or ejemplo+ ECul es el grfico de la funcin+

a f-/ - ? #!? F b f-/2- 0 #! 0 !

2#

!=2#,!

2F

#

=#,2F


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%l discriminante se define como+

/ b!2 *ac

a 1i el discriminante es positivo, entonces la parbola

intersecta en dos puntos al eje X.

7 4

#.F. iscriminante


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b 1i el discriminante es negativo, entonces la

parbola NO intersecta al eje X.

8 4


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-!-

y

-#

%jemplo+

%n la funcin, f-/-!2 '- 2 * / 4 la ecuacin asociada es +

-!2 '- 2 */ 4, y tiene races 2# y *.

;uego, la parbola intersepta al eje H en esos puntos.


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c 1i el discriminante es igual a cero, entonces la

parbola intersecta en un solo punto al eje X, es

tangente a l.

/ 4


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#. :JIKI: & (%C:((I:+

ominio+ %l dominio de cual


22/31

-!-#

#.A ;a intercepcin con eje H y la %cuacin Cuadrtica

Cuando se


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Dipos de %cuaciones cuadrticas+

2 Incompleta Pura+ a-!

0 c / 4 ,con b/4

1us soluciones son+1

c

ax =

2

c

a

x =

%jemplo+ (esolver la siguiente ecuacin *-!2 'F / 4

*-!/ 'F O+*

-!/ 'FO*

O-!/ B

- /'

-#/ '

-!/ 2'

!.#. Dipos de %cuaciones de !P Grado y sus races+


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2Incompleta Binomia: a-!0 b- / 4 ,con c/4

1us soluciones son+

-#/ 4

-!/ 3O!

-#/4

-!/ 2bOa

%jemplo+ (esolver la siguiente ecuacin F-

!

2 #3- / 4e acuerdo a la ecuacin tenemos


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$rmula para determinar sus soluciones races es+

- b b2 4ac

2a- /

%jemplo+

eterminar las races de la ecuacin+ -!2 '- 2 * / 4

-(-3) (-3)2 41(- 4)

2- /

3 9 + 16

2- /

-Completa general: a-!0 b- 0c / 4

1e obtiene el valor de+ a/#, b/2' y c/2* y se reempla9anen la frmula dada+


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3 25

2- /

2- / 3 5

2- / 8

2- / -2

-#/ * -!/ 2#

Dambin se puede obtener las races de la ecuacinfactori9ando como producto de binomios+

-!2 '- 2 * / 4

- 2 *- 0 # / 4

- 2 */ 4 - 0 #/ 4

-#/ * -!/ 2#


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!.!. )ropiedades de las races1i -#y -!son las races de una ecuacin de segundo

grado de la forma a-!

0 b- 0 c / 4, entonces+

2b

a-#0 -!/

c

a-#@ -!/

a

-#2 -!/

#

!

'

adas las races o soluciones de una ecuacin de segundogrado, se puede determinar la ecuacin asociada a ellas.

- ? -#- ? -! / 4

*


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%n una ecuacin de segundo grado, el discriminante

/ b!2 *ac

a 1i el discriminante es positivo, entonces la ecuacincuadrtica tiene dossolucionesreales x! x"# distintas.

;a parbola intersecta

en dos puntos al eje H.

7 4

!.'. iscriminante

permite conocer la naturale9a de las races.

-#, -!son reales y

-#L -!-!-#


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b 1i el discriminante es negativo, entonces la

ecuacin cuadrtica no tiene solucin real, es decir,

sus races son imaginarias.

;a parbola K: intersecta

al eje H.

8 4

-#, -!son complejos y

conjugados -#/ -!


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c 1i el discriminante es igual a cero, entonces la

ecuacin cuadrtica tiene dos races reales e iguales.

;a parbola intersecta en

un solo punto al eje H.

/ 4

-#, -!son reales y

-#/ -!

-!-#/


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