Ejemplos : coeftnaetAdivina cim Juiciosas

y" t s

y' lxlt 6

y lxk ( Itx ) sea

ylo K y

, lo 7 = o .

Coeficientes indeterminados

HEI Si yplxtnulxltirlx ) es solución de

(1) y" lxltpcxlyilxltqcxlycxk

Mlxltitlxl

entoncesi ) ulxl es solución de

y" lxttplxlyilx ) tqcxlycxk

Mx )

Y ii ) rlx ) essolución de

yulxltpcxlyilxltqlxlylxkulx)

Ejemplo : Resolver el problema con condición inicial

Y"

lxttsyllxttleglxklxti ) seux

y lo ) =

y 401=0

Para sesoher este problema no homogéneo m . venimos

dos Ingredientes ,

¿ I La solución general yhlx ) de la ecva .amo .

genera yiyxltsyilxltbylxkoii ) Una solución particular yplx ) de la ecuación no

homogéneay

" , ix , +6gal = lxttlslnx

La solución general de la eón no homogénea toma la foma

yglxkyhlxltyplx )

yesta debe satisfacer las condiciones ylokykoko

i ) Encontremosla solución yncxl ,

solucion general de la

eon hauogeneay

" lxltsykxltbycxko

El polinomio característico estádado por

plrf ótsrt 6

= lrt 3) lrtz )

cuyas raices sonr , = - y ,

RE -2

De esta formay ,

IX ) = éi ×= ¿

3 X

Yalxl = errx = e-ZX

SM soluciones de la ecuación homogénea .Veamos si son

soluciones linealmente Independientes ,

calculando su

Wronski ano .Si este no se anula

,las soluciones serán

linealmente independientes .

Asi, wey .

.gs#l.::YIs%adsl=t.ee?sIEIixI=.2E3e-2X+3e-3E-2X

= - 2C. 5×+3 e-

SX

→e- SX

Es decirW [ y , Mrflx ) = l

yeste nunca se anula .

Por lo tanto,

y ,Lx ) =

é"

y

ydxt = e-"

son soluciones linealmente independientes .

De esta,

forma ,la solución general ynlxl de la ecuación

homogénea debe ser combinación lineal de ykx ) = c- *

y yalxfe. "

; es decir

Yhlxt 49 ilxltczyzcx ) = c ,ésltqél

donde G, Cz EIR

.

i e) Procedamos a hallar una solución particular yplx ) de

la ecuación no homogénea

y" lxlt 5g

' lx ) Heglx ) = lxtilsenx

Primero,

observemos quelxti ) ei ×

= lxts ) [ cosxtisarxf

Así, por el HECHO 1

,

= lxttlcosx ti KH ) senx

si encontramos una solución compleja

yelxl=ulxltox )

de la ecuación diferencial

Y" lxltsyclxttloycx ) =

Lxttki "

entonces ulxt IRE yelxl será solucion de

yulxltsyilx ) HoglxtxttlcosxY ocxl = Em yecx ) será solucion de

y" t 5g

' lxl tbycxl = Cxtilsenx

Procedamos a encontra una solucion compleja

y elxlde

y" tsyilxltbylxl = CXH ) el

"

Recordemos queTenemos un problema de la forma

a yillxtt' byilxltcgktplxled

"

dondePlx ) es un polinomio .

En un caso como este proponemos una solución particular

de la formaycx ) = Mcx , eax

donde MCXI también es un polinomio .

obtenemos que en el problema

y" cxltsgkxltcglx ) = lxt De

"

plxtxtt ,

año.

Proponemos una solución compleja de la forma

yalx ) =Mcxleíx

Así,

calculemosyálx )

, yo" K )

Y sustituya mos au la ecuación oufexucial .

Así

yálxl = i Mlxlei × tnilxleix

=eíx ( M

' lxlti Mlxl )

Yy ¢" lxl =

ei × ( inilxl ti2 Mlxt )

+ ei × ( M " lxltí Mtxl )

= é"

( M " lxltzi MYX ) -Mlxl )

sustituyendo en la ecuación diferencial ,tenemos

Cxthe"

= yálxlt 5yd lxtt 6 y ¢lxl

=Ei × ( M " Cx ) tzirílxl- Mlx ) )

+ SciilrílxltiMlx ) )

+ 6 ei × Mlx )

=

ei.fr#tr_x_Ml.qemxmtqqtEIk' ]

-

= ei × [ M" lxl tlstzítnllx ) t 15 tsi ) Mlx ) ]

Es decir

eíx ( * y = ei × [ Miyxytfstzi ) nllx ) HSTSDMKLY

De esta forma ,

Mlx ) debe ser solucion de

M' ' lxlt C St 2 i ) M

'lx ) t ( St si ) Mcx ) = ltx

Por la forma de la een diferencial ,vemos que

Mlx )

debe Ser un polinomio de primer grado con coeficientescomplejos ; es dear

,

Mlxt = AXTB,

A,

BE ¢.

Calculemos Mllxl = A ; n " lxko ; sustituya nos au la ecuación

diferencial .

Así,

Itx = M" lx ) t L St 2 i ) M ' lx ) t lstsi ) Mlx )

= O t Lstzi ) A tlstsi ) [ AXTB ]

= [ Cst Li ) A tlstsi ) Bf t lstsi ) AX

Igualando coeficientes de los polinomios ,se tiene el siguiente

sistema de ecuaciones lineales

( stsí ) A= 1

( St 2 í ) At ( Stsi ) B =1

De la primeraecuación

,

A = sti = stsi . sstsii = ssztscísip

5- Sí=

rgt= Sissi = si - to i

= Io - foi : A = fo . foiCon el valor A = Io - tu i

,de la segunda ecuación

tenemos que

B =TÍA5 tsi

Pero lstzil A = lstzi ) ( fo - foi ) = lslito ) tls)t.it ) i

+ Cri ) Lt ) ttítfó )

= Eo - Esoi t Eo i t Io= Io

- Io í

Asi,

I - lstzil A = I - [ 7. Io if = 1-7 t foi= - co t Io i

Por tanto

B =

1- lstril A telefilm= (6+711)Tti

=

( stsi ) L s . Si )

=

l . btfoílls . si ) 57- 5450 35

=-281+3,10 i szts

g- 10 1

=- Foto tssttoi

=- soIotrozo

i: . D=- ¥ tsotoi

Portentomuy = AxtB.it - foi IX t tsiootfoi )

-

.

y= ffox -qtoftifitoxtboto ]

De esta formayalxlzeí

"Mlx )

=eix [ liox . SE

.) titfoxtteoo ) ]

= Lcosxtíseuxffltox .

sto) tittoxtf ) ]

es la solucion compleja de

Y" lxltsyckltceylx ) =

ei ×

lltx )

Para obtener la solucion de

Y" lxltsyilx ) Heylxl = lltxlcosx

debemos calcular

vlxt = Rely ¢lxl )

y para obtener la solucion de

esmaispensabk cargo"

, kaft584×1 Hegcxklttxlsenx

vlxkltmlyelxl )

Independientemente de cual queramosobtener

,ulxlorcx ,

debemos escribir yeuy en la forma

yacxl = ulxltírlx

Así que ,manos a la obra con el oso correcto del álgebra

yla aritmética compleja .yecxt-fosxtitseuxfllkox.SE

. ) tiftoxtq ) ]

= lcosxlltox . Foo ) tilcosx ) ttoxttefo )

tilsenxllfox . qot ) tilsenx ) i ftoxtciso )

= lcosx) ltox . Eo ) tilcosxltttoxtbofo )

tilseuxtltox - ¥ ) - senxftoxtfeo )

= [ ttox - Foto ) cosx tito X - GTIO ) seux ]

ti [ tfoxta.IO/cosxtitox - SÍ ) senx ]

Por tanto

ulxt Relyelxl )

= 1 tu x . SÍ ) cosxt ( to X - Foto ) sarx

y vlxt =En ( yalxll

= litoxtfo ) cosx t ( fox - 5¥ ) son X

De esta formaukk I to x . soIo ) cosxt ( to X - teto ) sarx

es solución particular de

y" Lx ) tsyllx ) Hey

" l XI = Lxti ) cosx

y vlxl = 1- foxtbo ) cosxtlfox - soIo ISLMX

es una solución particular de

y" Lxlt 5g

' lx ) Heylx ) = lxtt ) son ×

Así , tomamos

yplxkl - fo x tb ) cosxt ( fox - soIo ISLMX

como la solución particular buscada de

y" lxl tsy

' lxl tleylxk lxttlsenx

Por tanto,la solucion general de esta última ecuación

diferencial está dada por

Yglxt Yhlxltyplx )

= c, y , lxltcryalxltyplx )

= c,

e-3 ×

+ qérx

+ ftp.xta?o)eosxtitox-Io7)sarx ,

es decir ,

ygcxkcié" tcrótttfxttfo ) cosxtffox - Foto ) sasx

para terminar este problema ,debemos hallar 4,4 tales

que ygloko y yg' lo 1=0 .

Usando la primera condición inicial en ygcx ),

tenemos que

o =

ygLXK CI tlz t 6%

es decir,

c,

+ cz = -62100

para usar la segunda condición inicial requerimos ygclx !

yjlxk- 34 é 31.245"

- lit xtbo ) seux - foeosxU t l to X - soIo ) cosx t.to son X

Deesta forma

O = ygllo ) = -34 -24 - To - SÍ

= -3C, -24 - Yozo

- SÍO

=- 3C ,

-2cL -6-7

LO O

es decirzc , tzcc = - ¥0

Por tanto,

c ,,

ca deben ser tales queGtcz =

- 6310O

3C , TZCZ = - 6-7Resolviendo este sistema : 100

1 :' al:* :o) . l :i l?¥.

)

Y : il÷:)Y ::I.÷ :) : ::¥:*

Por lo tanto la solución al problema con condiciones iniciales

y" Kl t Sy

' k ) tcylxl = lxtllseux

y lo I = o = y 40 )está

dadapor

YGLXI= c ,

e-3 × tcaérx

+ 1 - to xtteo ) cosxt ( fox - 5¥ ) son X

= qqnoé"

- Eq é" tffoxtfoo ) cosxtlfox.is#sax