elementet e probabilitetit · 12. Është hedhur tetraedri, në faqet e të cilit janë shënuar...

UNIVERSITY FOR BUSINESS AND TECHNOLOGY - Statistical Methods for Business I

Përgatitur nga Armend Shabani www.armendshabani.org

1

ELEMENTET E PROBABILITETIT Hapësira e ngjarjeve ( e rezultateve). Ngjarjet Definicioni 1. Situata e cila varet nga rasti quhet eksperiment. Shembulli 1. Shembuj të eksperimenteve në kontest të probabilitetit janë:

a) hedhja e zarit; b) hedhja e monedhës metalike c) zgjedhja e një letre nga 52 letrat d) rrotullimi i ruletit e) formimi i një delegacioni nga një grup njerëzish etj.

Definicioni 2. Çdo rezultat i mundshëm quhet ngjarje. Bashkësia e të gjitha ngjarjeve quhet hapësirë e ngjarjeve. Hapësirën e ngjarjeve do të shënojmë me .S

Shembulli 2. Nëse hedhim monedhën metalike janë të mundshme dy ngjarje: Paraqitet stema Paraqitet numri Atëherë hapësira e ngjarjeve do të jetë { , }.S St N=

Shembulli 3. Gjatë hedhjes së zarit mund të paraqiten rastet që tregohen në figurë. Pra, hapësira e ngjarjeve në këtë rast është {1,2,3,4,5,6}.S =

Shembulli 4. Dy kube ( në faqet e të cilëve janë shënuar numrat 1,2,3,4,5,6) hidhen. Në këtë rast hapësira e ngjarjeve përbëhet nga 36 dyshet e renditura.



2

(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)

(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6)

(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6)

(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6)

(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)

(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)

Shembulli 5. Të caktohet hapësira e ngjarjeve për eksperimentin e tërheqjes së një letre nga kompleti prej 52 letrash.

Zgjidhja. Hapësira e ngjarjeve është

Detyra për ushtrime të pavarura Të caktohet hapësira e ngjarjeve për eksperimentet vijuese: 1. Hidhet një kub dhe një monedhë metalike 2. Hidhen dy monedha metalike 3. Hidhen dy kube dhe një monedhë metalike 4. Hidhen dy monedha metalike dhe një kub. Nëse hapësira e ngjarjeve ka numër të fundëm të elementeve, numrin e tillë do ta shënojmë me ( ).n S

Nëse E është ngjarja që është nënbashkësi e bashkësisë ,S atëherë vlen ( ) ( ).n E n S≤

Shembulli 6. Le të jetë eksperimenti: hidhet kubi. Atëherë hapësira e ngjarjeve është

{1,2,3,4,5,6}.S =

Vërejmë se numri i elementeve të hapësirës S është 6. Pra, ( ) 6.n S =

Le të jetë 1E ngjarja “numri është tek”.

Atëherë 1 {1,3,5}.E = Pra 1( ) 3.n E =



3

Le të jetë 2E ngjarja “numri është çift”.

Atëherë 2 {2,4,6}.E = Pra 2( ) 3.n E =

Definicioni klasik i probabilitetit Nëse hapësira e ngjarjeve S përbëhet nga ngjarjet me mundësi të barabartë të paraqitjeve, atëherë probabiliteti për paraqitjen e ngjarjes E , shënohet me ( )p E dhe definohet me formulën:

( )( ) .( )

n Ep En S

=

Formulën e fundit e komentojmë si vijon: Probabiliteti për ngjarjen E është raporti në mes të numrit të rasteve të volitshme (të kërkuara) dhe rasteve të përgjithshme. Kështu, në bazë të shembullit paraprak, probabiliteti që gjatë hedhjes së kubit të bie numri tek është:

11

( ) 3 1( ) .( ) 6 2

n Ep E

n S= = =

Po ashtu, probabiliteti që gjatë hedhjes së kubit të paraqitet numri çift është 1 ,2

sepse

22

( ) 3 1( ) .( ) 6 2

n Ep E

n S= = =

Le të shohim në vijim se për çdo ngjarje A vlen: 0 ( ) 1.p A≤ ≤

Le të jetë ,n numri i elementeve të hapësirës së ngjarjeve, pra ( ) .n S n=

Le të jetë ,r numri i elementeve të ngjarjes ,A pra ( ) .n A r=

Sipas definicionit ( )( ) .( )

n A rp An S n

= =

Meqë ngjarja A është nënbashkësi e hapësirës së ngjarjes S atëherë

0 r n≤ ≤ , prej nga merret

0 1.rn

≤ ≤

Pra 0 ( ) 1.p A≤ ≤

n

r r

n-r

S A



4

Formula e fundit tregon se probabiliteti i ngjarjes A është numër në mes të numrave 0, 1 duke përfshirë edhe këta të fundit. Nëse ( ) 0p A = atëherë ngjarja A nuk mund të ndodh. Ngjarja e tillë quhet ngjarje e pamundshme. Nëse ( ) 1p A = atëherë ngjarja A do të ndodh me siguri. Ngjarja e tillë quhet ngjarje e sigurtë. Shembulli 7. Janë dhënë ngjarjet: A: gjatë hedhjes së kubit bie numri 2. B: nga kutia që ka vetëm topa të kuq, tërhiqet topi i kaltër C: nga kutia që ka topa të kuq dhe të kaltër, tërhiqet topi i kaltër. D: Gjatë hedhjes së kubit bie numri 7. Cila nga ngjarjet e mësipërme është e mundshme, e pamundshme, e sigurt?

Për çdo ngjarje A , me A e shënojmë ngjarjen e kundërt të ngjarjes .A Pra shënimi A nënkupton “ngjarja A nuk ndodh”. Atëherë duke iu referuar figurës kemi:

( )( ) 1 1 ( ).( )

n A n r n r rp A p An S n n n n

−= = = − = − = −

Pra ( ) 1 ( ),p A p A= −

gjegjësisht

( ) ( ) 1.p A p A+ =

Shembulli 8. Nga 52 letra është tërhequr një letër. Të caktohet probabiliteti që letra e tërhequr:

a) të jetë 3, b) të mos jetë 3. Zgjidhja. Hapësira e ngjarjeve është {52 },S letrat= pra ( ) 52.n S =

a) Le të jetë A ngjarja: “letra është 3”. Atëherë ( ) 4.n A =

D.m.th. ( ) 4 1( ) .( ) 52 13

n Ap An S

= = =

Pra, probabiliteti që letra e tërhequr të jetë 3 është 1 .13

b) Ngjarja “letra nuk është 3” shënohet me .A

Atëherë 1 12( ) 1 ( ) 1 .13 13

p A p A= − = − =

Pra, probabiliteti që letra e tërhequr të mos jetë 3 është 12 .13

n

n-r

r

A

A

S



5

Shembulli 9. Të caktohet probabiliteti që gjatë hedhjes së kubit të bie numri 3. Të caktohet probabiliteti që gjatë hedhjes së dy kubeve shuma e numrave të jetë 9.

Zgjidhja. Hedhja e një kubi: Hapësira e ngjarjeve është {1,2,3,4,5,6}.S = Pra ( ) 6.n S =

Nëse A është ngjarja: “bie numri 3” atëherë ( ) 1.n A =

Prandaj ( ) 1( ) .( ) 6

n Ap An S

= =

Hedhja e dy kubeve: Në këtë rast dimë se hapësira e ngjarjeve është {(1,1), (1,2),..., (1,6),....(6,6)},S = pra

( ) 36.n S =

Le të jetë B ngjarja: “shuma e numrave në të dy zaret është 9”. Le t’i referohemi figurës: Vërejmë se shuma është 9 në rastet (3,6), (4,5), (5,4), (6,3). Pra ( ) 4.n B =

Atëherë ( ) 4 1( ) .( ) 36 9

n Bp Bn S

= = =

Shembulli 10. Janë hedhur dy monedha metalike. Të caktohet probabiliteti që në të dy monedhat të paraqitet stema.

Zgjidhja. Hapësira e ngjarjeve është { , , , }.S StSt StN NSt NN=

Nëse me A e shënojmë ngjarjen “në të dy monedhat bie stema”, atëherë ( ) 1.n A =

Pra ( ) 1( ) .( ) 4

n Ap An S

= =

5

2

0

1

1 2 3 4

6

4 3

5 kubi

i dy

të

6kubi i parë

mon

edha

e d

ytë

N

TS

TS

T TS S TNS

N TS N NN

monedha e parë



6

Shembulli 11. Le t’i referohemi figurës vijuese:

Të caktohen probabilitetit: a) p(e gjelbër ose e kaltër) b) p(e gjelbër ose e kuqe) c) p(e kaltër ose numër më i madh se 5) d) p(e kuqe ose numër çift) e) p(numër i thjeshtë ose e gjelbër) f) p(numër i thjeshtë ose numër tek).

Detyra për ushtrime të pavarura 5. Të caktohet probabiliteti që gjatë hedhjes së kubit numri që bie është:

a) shumëfish i numrit 3, b) më i vogël se 7, c) faktor i numrit 6. 6. Nga 52 letra është tërhequr një letër. Të caktohet probabiliteti që letra e tërhequr të jetë: a) të jetë katror, b) të jetë katror ose zemër, c) të mos jetë figurë. 7. Nga letrat që mbajnë numrat 1 deri në 20 është tërhequr një letër. Të caktohet

probabiliteti që numri të jetë: a) i plotpjesëtueshëm me 4, b) më i madhe se 15,

c) i plotpjesëtueshëm me 4 dhe me i madhe se 15. 8. Nga kutia që përmban 10 topa të kuq, 15 topa të zi, 10 topa të gjelbër dhe 10 topa të

verdhë është nxjerrë një top. Të caktohet probabiliteti që topi i nxjerrë të jetë: a) i zi, b) as i gjelbër as i verdhë, c) jo i verdhë,

d) i kuq, i zi ose i gjelbër, e) jo i kaltër. 9. Janë hedhur dy kube. Të caktohet probabiliteti që:

a) shuma në dy kubet të jetë 3, b) shuma në të dy kubet të tejkalojë 9 c) në të dy kubet të paraqitet i njëjti numër, d) numrat në kube të ndryshojnë për 2. e) prodhimi i dy numrave të jetë 6.

10. Nxënësit në klasë janë pyetur se sa motra dhe sa vëllezër i kanë. Përgjigjet e tyre janë dhënë në tabelën vijuese

Numri i vëllezërve dhe motrave 0 1 2 3 4 5 Numri i nxënësve 4 12 8 3 2 1



7

Të caktohet probabiliteti që në familjen e fëmijës së zgjedhur rastësisht të jenë 3 fëmijë. 11. Nëse { :x xε = është numër i plotë dhe 1 20}x≤ ≤

{ :A x x= është shumëfish i numrit 3}

{ :B x x= është shumëfish i numrit 4}.

Të caktohet probabiliteti që numri i zgjedhur rastësisht nga ε

a) të jetë në bashkësinë ,A b) të mos jetë në bashkësinë .B

12. Është hedhur tetraedri, në faqet e të cilit janë shënuar numrat 1,2,3,4. “Rezultat” merret numri në të cilin shtrihet tetraedri. Të caktohet probabiliteti që gjatë hedhjes së tetradrit të bie:

a) numër çift, b) numër i thjesht. 13. Të caktohet probabiliteti që gjatë hedhjes së dy tetraedrave: a) shuma e dy rezultateve të jetë 5; b) ndryshimi i dy rezultateve të jetë 1; c) prodhimi i dy rezultateve të jetë shumëfish i numrit 4. 14. Janë hedhur kubi dhe monedha metalike. Të caktohet me anë të diagramit hapësira e

ngjarjeve dhe të caktohet probabiliteti që të merret: a) stema dhe 2, b) numri dhe 7, c) stema dhe një numër çift. 15. Janë hedhur kubi dhe dy monedha metalike. Të caktohet probabiliteti që: a) dy stema dhe numri më i vogël se 3,

b) monedhat tregojnë pamje të ndryshme dhe bie numri 4, c) paraqitet numri 4 dhe monedhat kanë pamje të njëjtë

16. Njëkohësisht hidhen dy kube. Rezultatet shumëzohen. Le të jetë ( )p n probabiliteti që të merret numri n. Të njehsohet:

a) (9),p b) (4),p c) (14),p d) 30

15( ).

mp m

=∑

Nëse dihet se 1( ) ,9

p t = të caktohet vlera e t -së.



1

Nëse A dhe B janë dy ngjarje të të njëjtit eksperiment të tilla që ( ) 0, ( ) 0.p A p B≠ ≠ Atëherë

( ) ( ) ( ) ( ).p A ose B p A p B p A dhe B= + −

Fakti “ A ose B ” nënkupton: “ndodh ngjarja A , ose ndodh ngjarja B ose ndodhin që të dy ngjarjet”. Formula e mësipërme mund të shënohet në trajtën:

( ) ( ) ( ) ( ).p A B p A p B p A B∪ = + − ∩

Për të ilustruar këtë rezultat marrim këto të dhëna: ( ) ,n S n= ku S është hapësira e ngjarjeve,

( ) , ( ) , ( ) .n A r n B s n A B t= = ∩ =

Kemi ( )( )

( )n A Bp A B

n S∪

∪ =

( ) ( )r t t s tn

− + + −=

r s tn

+ −=

( ) ( ) ( ).r s t p A p B p A Bn n n

= + − = + − ∩

Le të kuptojmë këtë me anë të shembujve vijues: Shembulli 12. Monedha metalike dhe kubi janë hedhur njëkohësisht. Të paraqitet

me anë të diagramit hapësira e ngjarjeve dhe të caktohet probabiliteti që të merret: a) stema, b) numri më i madh se 4 c) stema dhe numri më i madh se 4 d) stema ose numri më i madh se 4.

Zgjidhja. Le të jetë S hapësira e ngjarjeve. Atëherë ( ) 12.n S =

Le të jetë A ngjarja “merret stema”. Pra ( ) 6.n A =

Le të jetë B ngjarja “merret numri më i madh se 4”, Pra ( ) 4.n B =

a) ( ) 6 1( )( ) 12 2

n Ap An S

= = =

B A

r-t t s-t

S n

A B∩

5

N

0

St

1 2 3 4

mon

edha

6 kubi



2

b) ( ) 4 1( )( ) 12 3

n Bp Bn S

= = =

c) p(stema dhe numri më i madh se 4)= ( ) 2 1( ) .( ) 12 6

n A Bp A Bn S∩

∩ = = =

d) p(stema ose numri më i madh se 4) ( ) 8 2( ) .( ) 12 3

n A Bp A Bn S∪

= ∪ = = =

Provojmë në fund nëse plotësohet relacioni: ( ) ( ) ( ) ( ).p A B p A p B p A B∪ = + − ∩ Provoni.

Shembulli 13. Në grupin prej 20 të rinjve, 4 nga 7 vajzat dhe 2 nga 13 djemtë përdorin syze. Të caktohet probabiliteti që personi i zgjedhur rastësisht është vajzë ose mban syze.

Zgjidhja. Le të jetë V ngjarja “personi i zgjedhur është vajzë” dhe S ngjarja “personi i zgjedhur mban syze”. Atëherë

7 6 4( ) , ( ) , ( ) ,20 20 20

p V p S p V S= = ∩ =

7 6 4 9( ) ( ) ( ) ( ) .20 20 20 20

p V S p V p S P V S∪ = + − ∩ = + − =

Probabiliteti që personi i zgjedhur të jetë vajzë që mban syza është 9 .20



3

PROBABILITETI I KUSHTËZUAR Nëse ,A B janë dy ngjarje, të tilla që ( ) 0, ( ) 0,p A p B≠ ≠ atëherë probabiliteti që të ndodh A, kur dihet se B tashmë ka ndodhur shënohet ( | )p A B dhe njehsohet me formulën

( )( | )( )

p A Bp A Bp B∩

= .

Le të tregojmë këtë, duke shfrytëzuar diagramin e Venit. Meqë ngjarja B ka ndodhur atëherë hapësira e ngjarjeve është B.

( )( | )( )

n A Bp A Bn B∩

=

ts

=

tnsn

=

( ) .( )

p A Bp B∩

=

Rezultati i mësipërm ndonjëherë mund të haset në formën ( ) ( | ) ( ).p A B p A B p B∩ = ⋅

Le të ilustrojmë këtë me anë të shembujve: Shembulli 1. Duke ditur se nga 52 letra është tërhequr një “zemër”, të caktohet

probabiliteti që ajo të jetë “figurë”. Zgjidhja. Kemi:

3(figurë zemër) 352(figurë|zemër) .13(zemër) 13

52

pPp

∩= = =

Shembull 2. Çanta përmban 10 topa, 7 prej tyre janë të gjelbër dhe 3 janë të bardhë. Një top nxirret nga çanta dhe shënohet ngjyra e tij. Topi nuk kthehet më në çantë. Pastaj nxirret një top tjetër. Të caktohet probabiliteti që: a) topi i parë i nxjerrë të jetë i gjelbër,

A B∩

s-t

n A B

S

t



4

b) topi i parë të jetë i gjelbër dhe topi i dytë të jetë i bardhë, c) topat të jenë me ngjyra të ndryshme.

Zgjidhja.

a) Le të jetë 1G ngjarja: “topi i parë është i gjelbër”.

Atëherë është e qartë se

17( )

10p G = (sepse gjithsejtë janë 10 topa, prej të cilëve 7 janë të gjelbër).

b) Le të jetë 2B ngjarja “topi i dytë është i bardhë”.

Atëherë:

2 13 1( | )9 3

P B G = = (sepse në çantë kanë mbetur 9 topa 3 prej të cilave janë të

bardhë) Atëherë

2 1 2 1 11 7 7( ) ( | ) ( ) .3 10 30

P B G p B G p G∩ = ⋅ = ⋅ =

Pra, probabiliteti që topi i parë të jetë i gjelbër, dhe i dyti i bardhë është 7 .30

c) Duhet të caktojmë 2 1 2 1( ) ( )p B G p G B∩ + ∩

1 2 13 7( ) ; ( | ) .

10 9p B p G B= =

Atëherë

2 1 2 1 17 3 7( ) ( | ) ( ) .9 10 30

p G B p G B p B∩ = ⋅ = ⋅ =

D.m.th.

2 1 2 17 7 7( ) ( ) .30 30 15

p B G p G B∩ + ∩ = + =

D.m.th. probabiliteti që topat të jenë të ngjyrave të ndryshme është 7 .15

Shënimi 1. Nëse A dhe B janë ngjarje që nuk kanë asgjë të përbashkët, pra nëse ( ) 0, ( ) 0,p A B p B∩ = ≠ atëherë ( | ) 0.P A B =

Shënimi 2. Meqë ( )( | ) ( ) ( | ) ( )( )

p A Bp A B p A B p A B p Bp B∩

= ⇒ ∩ = ⋅

Merret



5

( )( | ) ( ) ( | ) ( )( )

p B Ap B A p B A p B A p Ap A∩

= ⇒ ∩ = ⋅

Prandaj ( | ) ( ) ( | ) ( ).p A B p B p B A p A⋅ = ⋅

Detyra për ushtrime të pavarura

1. Hidhet kubi dhe paraqitet numër tek. Të caktohet probabiliteti që ai numër të jetë i thjeshtë.

2. Dy tetraedra, në faqet e të cilëve janë numrat 1,2,3,4 hidhen, dhe numrat në bazë shënohen. “Rezultati” është shuma e atyre numrave.

Të probabiliteti që:

a) rezultati të jetë numër çift, duke ditur se njëri tetraedër ka rënë në numrin 3.

b) së paku njëri tetraedër të shtrihet në numrin 3, duke ditur se rezultati është numër çift.

NGJARJET E PAVARURA Nëse paraqitja ose mosparaqitja e ngjarjes A në asnjë mënyrë nuk ndikon në probabilitetin e ngjarjes B, atëherë ngjarja B është e pavarur nga ngjarja A dhe vlen

( | ) ( ).p B A p B=

Nëse ,A B janë ngjarje të pavarura, atëherë

( | ) ( )p A B p A=

dhe ( | ) ( )p B A p B=

Meqë ( ) ( | ) ( ).p A B p A B p B∩ = Pra ( ) ( ) ( ).p A B p A p B∩ = ⋅

Shembulli 3. Kubi është hedhur dy herë. Të caktohet probabiliteti që herën e parë të merret 4 dhe herën tjetër të merret numër tek.

Zgjidhja. Le të jetë A ngjarja: “merret 4 në hedhjen e parë”.

Atëherë 1( ) .6

p A =

Le të jetë B ngjarja: “merret numri tek, në hedhjen e dytë”.

Pra 3 1( ) .6 2

p B = =

Meqë ngjarjet ,A B janë të pavarura kemi:



6

1 1 1( ) ( ) ( ) .6 2 12

p A B p A p B∩ = = ⋅ =

Shembulli 4. Çanta përmban 5 topa të kuq dhe 7 topa të zi. Një top nxirret nga çanta, shënohet ngjyra e tij dhe kthehet sërish në çantë. Pastaj nxirret topi i dytë nga çanta. Të caktohet probabiliteti që topi i parë të jetë i kuq dhe topi i dytë të jetë i zi.

Zgjidhja.

Le të jetë 1K ngjarja “topi i parë i nxjerrë është i kuq”.

Pra 15( ) .

12p K =

Le të jetë 2Z ngjarja “topi i dytë i nxjerrë është i zi”.

Pra

27( ) .

12p Z =

D.m.th.

1 2 1 25 7 35( ) ( ) ( ) .

12 12 144p K Z p K p Z∩ = = ⋅ =

Pra, probabiliteti që topi i parë i nxjerrë të jetë i kuq dhe i dyti të jetë i zi është 35 .144

Detyra për ushtrime të pavarura 3. Kubi hidhet dy herë. Të caktohet probabiliteti që:

a) asnjë nga rezultatet të mos jetë 4,

b) së paku një nga rezultaet të jetë 4.

4. Nëse ,A B janë ngjarje të tilla që 1 1( ) , ( ) .3 12

p A P A B= ∩ = Nëse ,A B janë ngjarje të

pavarura, të gjendet:

a) ( );p B b) ( ).p A B∩

5. Çanta përmban 6 topa të bardhë dhe 4 topa të kaltër. Një top nxirret, shënohet ngjyra e tij dhe kthehet në çantë. Pastaj, nxirret një top tjetër. Të caktohet probabiliteti që topi i nxjerrë herën e dytë të jetë i kaltër.



1

DEGËZIMETGjatë zgjidhjes së shumë problemeve në teorinë e probabilitetit, paraqesim“degëzimet”.Shembulli 5. Çanta përmban 8 topa të bardhë dhe 3 topa të zi. Tërhiqen dy topa

njëri pas tjetrit.Të caktohet probabiliteti që të merret një top i bardh dhe një top i zi,në çfarëdo renditje:a) nëse topi i parë është rivendosur në çantë,b) topi i parë nuk është rivendosur në çantë.

Zgjidhja.a) Le të jetë:

1B ngjarja: “në herën e parë nxirret topi i bardhë”

2B ngjarja: “në herën e dytë nxirret topi i bardhë”

1Z ngjarja: “në herën e parë nxirret topi i zi”

2Z ngjarja: “në herën e dytë nxirret topi i zi”.

Rezultatet e paraqitjes me anë të degëzimeve:

Vërejmë se 1 2

8 8 64( )

11 11 121P B B , 1 2

8 3 24( )

11 11 121P B Z ,

1 2

3 8 24( )

11 11 121P Z B , 1 2

3 3 9( ) .

11 11 121P Z Z

Atëherë 1 2 2 1

24 24 48(badh dhe zi) ( ) ( ) .

121 121 121p p B Z p B Z

b)

2

3( )

11p Z

2

8( )

11p B

1

8( )

11p B

1

3( )

11p Z

2

3( )

11p Z

2

8( )

11p B



2

1 2 1 2

8 7 56( ) ( ) ( )

11 10 110P B B p B p B , 1 2

8 3 24( )

11 10 110P B Z

1 2

3 8 24( )

11 10 110P Z B , 1 2

3 2 6( ) .

11 10 110P Z Z

Atëherë 1 2 2 1

24 24 48 24(bardh dhe zi) ( ) ( ) .

110 110 110 55p p B Z p B Z

Shembulli 6. Popullata përbëhet nga 53% meshkuj. Probabiliteti që mashkulli tëmos i shoh ngjyrat është 0.02, kurse që femra të mos i shoh ngjyratështë 0.001. Të caktohet probabiliteti që personi i zgjedhur rastësishttë mos i shoh ngjyrat.

Zgjidhja.Le të shohim:

M – ngjarjen që personi i zgjedhur është mashkull,F – ngjarjen që personi i zgjedhur është femër,C – ngjarja – personi nuk i sheh ngjyrat.

Kemi diagramin:

Atëherë ( ) ( ) ( ) 0.106 0.0047 0.10647.P C p C M p C F

2

2( )

10p Z

2

7( )

10p B

1

8( )

11p B

1

3( )

11p Z

2

3( )

10p Z

2

8( )

10p B

C0.02

0.53

0.47F 0.999

0.001

M0.98

C

CC



3

Shembulli 7. Tërhiqet një letër. Nëse është “zemër” ktheje prapa dhe tërhiqe letrëntjetër. Nëse “nuk është zemër” tërhiq letrën tjetër pa e kthyer tëparën. Të caktohet probabiliteti që letra e dytë është A zemër.

Zgjidhja.Le t’i referohemi figurës

Atëherë1 1 3 1 1 1 11

( ) ( ) ( )4 52 4 51 108 68 459

p A p A Z p A Z .

Detyra për ushtrime të pavarura

6. Testi me shumë mundësi të përgjigjeve (multiple-choice test) përbëhet nga pesë përgjigjepër çdo pyetje. Studenti mendon se i di përgjigjet për 75% të pyetjeve kurse për 25% tëpyetjeve do të përgjigjet në mënyrë të rastësishme. Por kur studenti mendon se e dipërgjigjen, kjo është e saktë vetëm në 80% të rasteve.Të caktohet probabiliteti që të përgjigjet saktë në një pyetje.

Shembulli 8. Monedha metalike është hedhur tri herë. Të caktohet probabiliteti qëtë merren:a) saktësisht dy numra (H)b) së paku dy numra (H)c) një numër dhe dy figura (T)

Zgjidhja.a) p(saktësisht dy numra)=

1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 1 1 3( ) ( ) ( ) .

8 8 8 8p H H T p H T H p T H H

b) p (së paku dy numra) = p (dy numra dhe një figurë) + p ( 3 numra) =3 1 1

.8 8 2

c) p (1 numër dhe 2 figura)=

A1

521

4

3

4 z50

51

1

51

z 51

52

A

AA



4

= 1 2 3 2 1 3 3 1 2

3( ) ( ) ( ) .

8p H T T p H T T p H T T

Shembulli 9. Probabiliteti që kubi jo fer të bie 6 është 1.

5 Kubi hidhet dy herë. Të

caktohet probabiliteti që të bie saktësisht një 6.Zgjidhja.

Pra p (saktësisht një 6)= 1 4 4 1 8(6 6) (6 6) .

5 5 5 5 25p p

Shembulli 10. Probabiliteti që monedha jo fer të bie në numër (H) është 2.

3Monedha hidhet tri herë: Të caktohet probabiliteti qëa) asnjë H të mos bie

1

1( )

2p T

1

1( )

2p H

1 2 3

1( )

8p H T H

3

1( )

2p H

3

1( )

2p T 2

1( )

2p H

2

1( )

2p T

2

1( )

2p T

3

1( )

2p T

3

1( )

2p H

3

1( )

2p H

3

1( )

2p T

1 2 3

1( )

8p T T T

1 2 3

1( )

8p T T H

1 2 3

1( )

8p T H T

1 2 3

1( )

8p T H H

1 2 3

1( )

8p H T T

3

1( )

2p T

3

1( )

2p H

2

1( )

2p H

1 2 3

1( )

8p H H T

1 2 3

1( )

8p H H H

61

51

5

4

5 6 4

5

1

5

6 4

5

6

66



5

b) të ketë më tepër H se sa T.Zgjidhja.

a) p(asnjë H nuk bie)3

1 1.

3 27

b) p(më tepër H se sa T)( ) ( ) ( ) ( )p H H H p H H T p H T H p T H H

3 2 2 22 2 1 2 1 2 1 20

.3 3 3 3 3 3 3 27

VLERAT E PRITURA (angl. EXPECTED VALUES)Vlera e pritur, thjeshtë, paraqet mesataren e rasteve të mundshme në varësi tëprobabilitetit të paraqitjes së tyre.Pra

1 1 2 21

( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )n

n n i ii

E x x P x x P x x P x x P x

ku ( )P x është probabiliteti që të ndodh ngjarja x.

Shembulli 1. Në një Hotel, çmimi i fjetjes dhe mëngjesit është si vijon: për dhomën për një mysafir – 10 euro për dhomën për dy mysafir – 18 euro për dhomën për tre mysafir – 21 euro

H13

T1

3

23

13

T

23

13

H

T

T

23

H1

3

23

23

23

13

T1

3

23

HT

T

H

H

H



6

për dhomën për katër mysafir – 24 euro.Probabilitetet për numrin e musafirëve që mund të kërkojnë dhomënë hotel gjatë një nate janë:P(1 mysafirë) = 0.15; P(2 mysafirë) = 0.45;P(3 mysafirë) = 0.3; P(4 mysafirë) = 0.1.Të caktohet fitimi ditor që pritet (angl. Expected daily profit).

Zgjidhja.( ) 10 0.15 18 0.45 21 0.3 24 0.1 1,5 0.81 6.3 2.4 11.01E x euro.

Pra, fitimi ditor për një shtrat me mëngjes do të jetë 11.01 euro.Shënim. Fjala është për një mesatare që do të arrihet gjatë një periudhë më të gjatë

kohore.Shembulli 2. Kompania duhet të zgjedh njërin nga dy prodhimet alternative:

prodhimi A vlerësohet të ketë probabilitet të suksesit prej 0.45,gjersa prodhimi B ka probabilitetin që të ketë sukses 0.6. Nëseprodhimi A është i suksesshëm kompania do të fitojë 9000 euro, enëse dështon, kompania do të humb 2100 euro.Prodhimi B, në rast të suksesit do të gjenerojë fitim prej 7500 eurodhe në rast të dështimit do të sjell humbje prej 1500 euro.Duke njehsuar vlerat e pritura për secilin prodhim, të sugjerohetcilin prodhim duhet të zgjedh kompania?

Zgjidhja.(prodhimi ) 0.45 9000 (1 0.45)( 2100) 2895E A euro.

(prodhimi ) 0.6 7500 (1 0.6)( 1500) 3900E B euro.

Pra, prodhimi B është më i preferuar, sepse ka vlerë më të lartë të pritjes.Detyra për ushtrime të pavarura

1. Juve ju është ofruar mundësia që të luani lojën “hedhja e kubit” sipas rregullave vijuese:0.5 euro kushton loja e hedhjes së kubit me mundësitë vijuese:bie 1 - humbni 1 euro; bie 4 - fitoni 1 euro;bie 2 - humbni 0.25 euro; bie 5 - fitoni 2 euro;bie 3 - humbni 0.75 euro; bie 6 - fitoni 3 euro.

Duke supozuar se kubi është fer, tregoni nëse do të pranonit që të luani.2. Departamenti i marketingut të një kompanie, ka ofruar informatat vijuese në lidhje me

rezultatet e mundshme me rastin e lëshimit në treg të dy prodhimeve të reja.



7

Prodhimi A Prodhimi B

Kërkesa Probabiliteti Fitimi Probabiliteti FitimiE ulët 0.2 -200.000 0.1 -250.000Mesatare 0.3 250.000 0.2 320.000E lartë 0.5 600.000 0.6 710.000

a) Të caktohen vlerat e pritura të fitimit nëse në treg lëshohet prodhimi A.b) Të caktohen vlerat e pritura të fitimit nëse në treg lëshohet prodhimi B.c) Nëse në treg duhet të lëshohet vetëm njëri prodhim, cilin do të rekomandoni?



1

PROBABILITETI BINOMIAL Përkujtojmë formulat:

2 2 2( ) 2p q p pq q+ = + +

3 3 2 2 3( ) 3 3p q p p q pq q+ = + + +

4 4 3 2 2 3 4( ) 4 6 4p q p p q p q pq q+ = + + + +

Apo në përgjithësi

1 1

0

( ) ...0 1 1

nn n k k n n n n

k

n n n n np q p q p p q pq q

k n n− − −

=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑

Ku

! ;!( )!

n nk k n k⎛ ⎞

=⎜ ⎟ −⎝ ⎠

! ( 1) ( 2) ... 3 2 1.n n n n= ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

P.sh. 7! 7 6 5 4 3 2 1.= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Po ashtu mund të shkruajmë:

6!

7! 7 6 5 4 3 2 1 7 6!= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

apo në përgjithësi:

( 1)!

! ( 1)( 2) ... 3 2 1 ( 1)!n

n n n n n n−

= ⋅ − − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = −

Le të njehsojmë 7

.3⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

7 7! 7 6 5 4! 7 6 5 7 5 35.3 3!(7 3)! 3! 4! 3 2⎛ ⎞ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= = = = ⋅ =⎜ ⎟ − ⋅ ⋅⎝ ⎠

Në vijim paraqesim këtë rregull:

Le të ilustrojmë me anë të shembujve zbatimin e probabilitetit binomial.

Nëse probabiliteti që eksperimenti rezulton në sukses është p dhe probabiliteti që eksperimenti rezulton në dështim është q, ku 1 ,q p= − dhe nëse X shënohet numri i rezultateve të favorshme në n prova të pavarura, atëherë probabiliteti i X – it jepet me

( ) , 0,1, 2,...,x n xnp X x p q x n

x−⎛ ⎞

= = ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

.



2

Shembulli 3. Hidhet monedha metalike jo fer. Probabiliteti që të merret “Head”

është 2 .3

Monedha hidhet katër herë. Të caktohet probabiliteti që të

merret dy herë “Head”. Zgjidhja. Në bazë të formulës kemi:

2 4 24(2 ) ( ) ( ( )) ( ( )

2p H p HHHH p H p H −⎛ ⎞

= = ⎜ ⎟⎝ ⎠

Meqë

2 1( ) ; ( )3 3

p H p H= = merret

2 24 2 1 4! 4 1 8( ) .

2 3 3 2!(4 2)! 9 9 27p HHHH ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

Shembulli 4. Kubi hidhet 7 herë. Të caktohet probabiliteti që të merren saktësisht 3 gjashtëshe.

Zgjidhja.

1 5(6) ; (6)6 6

p p= =

Atëherë

3 4

3 7 37 7 1 5(6666666) ( (6)) ( (6)) 0.078.3 3 6 6

p p p −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ ⋅ = ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

Shembulli 5. Probabiliteti që një person e përkrah vizitën në teatër është 0.6. Të caktohet probabiliteti që nga tetë persona të zgjedhur rastësisht të jenë: a) saktësisht 3 persona që përkrahin vizitën në teatër. b) më shumë se 5 persona që përkrahin vizitën në teatër.

Zgjidhja. Le të konsiderojmë si ngjarje të volitshme: “përkrahet vizita në teatër”. Atëherë në bazë të kushteve të detyrës kemi

0.6p = dhe 1 1 0.6 0.4.q p= − = − =

Le të jetë X − numri i përkrahësve të vizitës në teatër. Atëherë:

a) 3 8 38( 3) (0.6) (0.4) ... 0.124.

3p X −⎛ ⎞

= = = =⎜ ⎟⎝ ⎠



3

Pra, probabiliteti që saktësisht tre persona të përkrahin vizitën në teatër është 0.124. b) Kërkohet ( 5).p X >

Pra

6 8 6 7 8 7 8 8 8

6 2 7 8

( 5) ( 6) ( 7) ( 8)8 8 8

(0.6) (0.4) (0.6) (0.4) (0.6) (0.4)6 7 8

8 8 8(0.6) (0.4) (0.6) (0.4) (0.6) ... 0.315.

6 7 8

p X p X p X p X

− − −

> = = + = + =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= + + = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Shembulli 6. Kutia përmban topa të kuq dhe të verdhë në raportin 1:3. Nga kutia tërhiqen disa topa. Sa topa duhet të tërhiqen ashtu që probabiliteti që në mesin e tyre të jetë së paku një top i kuq të jetë më i madh se 0.95?

Zgjidhja. Le të konsiderohet nxjerrja e topit të kuq si sukses. Atëherë

1( kuq)4

p P = = dhe 1 31 1 .4 4

q p= − = − =

Shënim: Meqë kemi raportin 1:3 kjo do të thotë, nëse kemi 4 topa një është i kuq

dhe tre të verdhë. Kjo është arsyeja që 1( kuq) .4

p P = =

Le të jetë X”numri i topave të kuq” Pra

( ) x n xnp X x p q

x−⎛ ⎞

= = ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Sipas kushtit të detyrës: ( 1) 0.95.p X ≥ >

Le të shqyrtojmë formulën:

0 1 1 2 2 0( ) ...0 1 2

n n n n nn n n nq p q p q p q p q p

n− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ = + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 ( 0) ( 1) ( 2) ... ( )p X p X p X p X n= = + = + = + + =

Prandaj meqë ( 1) ( 1) ( 2) ... ( )p X p X p X p X n≥ = = + = + + = kemi



4

( 1) 1 ( 0)p X p X≥ = − =

31 10 4

nnn

q⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

.

Pra

31 0.954

n⎛ ⎞− >⎜ ⎟⎝ ⎠

30.054

n⎛ ⎞> ⎜ ⎟⎝ ⎠

(logaritmojmë me bazën 10)

log0.05 log0.75n>

log0.75 log0.05n <

0.125 1.301n− < −

10.4n > .

Vlera më e vogël e plotë 10.4n > është 11.n =

Pra, nëse nxirren së paku 11 topa nga kutia atëherë probabiliteti që së paku një top të jetë i kuq do të jetë më i madh se 0.95. SHPËRNDARJA NORMALE a) Shpërndarja standarde normale Shpërndarja standarde normale e ka mesataren 0 dhe devijimin standard 1 (d.m.th. edhe varianca është 1). Shpërndarjen standarde normale do ta shënojmë me

2(0,1 ).Z N∼ Grafikisht paraqitet:

0 1 2 3-1-2-3

12

12



5

Shembulli 1. Nëse 2(0,1 )Z N∼ njehsoni: a) ( 1.6);p Z < b) ( 1.29);p Z > − c) ( 2.1);p Z > d) ( 1.2).p Z < − Zgjidhja.

a) ( 1.6) ( )xp Z x−μ⎛ ⎞< = φ = φ⎜ ⎟σ⎝ ⎠ sepse 0, 1.μ = σ =

Pra, ( 1.6) (1.6) 0.9452.p Z < = φ = (Figura 1)

Shënim. Zbatuam formulën ( ) ( )xp Z a x− μ⎛ ⎞< = φ = φ⎜ ⎟σ⎝ ⎠, sepse nga 2( , )N μ σ dhe

2(0,1 )N merret 0, 1.μ = σ = Nëse x > μ merret x − μσ

. Nëse x < μ merret .xμ −σ

.

b) ( 1.29) (1.29) 0.9015.xp Z μ −⎛ ⎞> − = φ = φ =⎜ ⎟σ⎝ ⎠ (Figura 2)

0 1.6 0-1.29 Figura 1. Figura 2.

c) ( 2.1) 1 ( 2.1) 1 (2.1) 1 0.9821 0.0179.p Z p Z> = − < = − φ = − = (Figura 3).

d) ( 1.2) 1 ( 1.2) 1 (1.2) 1 0.8849 0.1151.p Z p Z< − = − > − = − φ = − = (Figura 4).

0 2.1 0-2.1

Figura 3. Figura 4.

Shembulli 2. Njehsoni: a) ( 1.4 2.4);p Z− < < b) (027 1.95);p Z< <

c) ( 1.23 0.5);p Z− < < − d) ( 1.22 2.24).p Z− > >



6

Zgjidhja. a) ( 1.4 2.4) ( 2.4) ( 1.4) (2.4) (1 ( 1.4))p Z p Z p Z p Z− < < = < − < − = φ − − > −

(2.4) 1 ( 1.4) (2.4) 1 (1.4) 0.911.p Z= φ − + > − = φ − + φ = (Figura 5)

b) (0.27 1.95) ( 1.95) ( 0.27) (1.95) (0.27)p Z p Z p Z< < = < − < = φ − φ

0.9744 0.6064 0.368.= − = (Figura 6)

0 2.4 0 0.27 1.95-1.4

Figura 5. Figura 6.

c) ( 1.23 0.5) ( 0.5) ( 1.23)p Z p Z p Z− < < − = < − − < −

(1 ( 0.5)) (1 ( 1.23))p Z p Z= − > − − − > −

1 (0.5) 1 (1.23) (1.23) (0.5)= − φ − + φ = φ − φ

0.8907 0.6915 0.1992.= − = (Figura 7).

d) ( 1.22 2.24) ( 1.22) ( 2.24)p Z p Z p Z− > > = < − + >

(1 ( 1.22)) (1 ( 2.24))p Z p Z= − > − + − <

1 (1.22) 1 (2.24) 2 0.8888 0.9874 0.1238.= − φ + − φ = − − = (Figura 8)

-0.5 0-1.22 2.24-1.23 Figura 7. Figura 8.

Shembulli 3. Njehsoni: a) (| | 1.2);p Z < b) (| | 1.7).p Z >

Zgjidhja. a) (| | 1.2) ( 1.2 1.2) ( 1.2) ( 1.2)p Z p Z p Z p Z< = − < < = < − < −



7

(1.2) (1 ( 1,2)) (1.2) (1 (1.2)) 2 (1.2) 1p Z= φ − − > − = φ − − φ = φ −

2 0.8849 1 0.7698.= ⋅ − = (Figura 9)

b) (| | 1.7) ( 1.7) ( 1.7) (1 ( 1.7)) 1 ( 1.7)p Z p Z p Z p Z p Z> = > + < − = − < + − > −

2 2 (1.7) 0.0892.= − φ = (Figura 10)

-1.7 1.7-1.2 1.2

Figura 9. Figura 10.



8

TRANSFORMIMI I SHPËRNDARJES SË PËRGJITHSHME NË SHPËRNDARJEN STANDARDE NORMALE Shumë shpërndarje normale nuk e kanë mesataren 0 dhe si rezultat edhe devijimi standard nuk do të jetë 1. Meqë tabelat janë në dispozicion vetëm për shpërndarjen standarde normale, së pari duhet të konvertojmë (transformojmë) formulën që çfarëdo shpërndarje ta kthejmë në shpërndarje standarde normale. Pastaj, tabelat do të shërbejnë për të gjetur sipërfaqen e kërkuar. Le të cekim se variabla X do të përdoret për të shënuar shpërndarjen normale të përgjithshme, gjersa Z përdorej për shpërndarjen standarde normale. Ekuacioni:

xz − μ=

σ (1)

përdoret për të kryer transformimin. Procesi i transformimit të shpërndarjes së përgjithshme normale 2~ ( , )X N μ σ tek shpërndarja standarde normale duke përdorur barazimin (1) quhet standardizim. Le të shohim këtë me anë të shembujve vijues. 1) Le të jetë

2

~ (300,25).X Nμ σ

Të caktohet: a) ( 307);p X < b) ( 308);p X > c) ( 291);p X >

d) (281 301);p x< < e) (302 309);p x< < f) (296 299);p x< <

g) (290 305).p x> >

Zgjidhja.

a) 307 300 7( 307) (1.4) 0.91925 5

xp X − μ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞< = ∅ = ∅ = ∅ = ∅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟σ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (figura 1)

300 307

300 308 Figura 1 Figura 2

b) 308 300 8( 308) 1 ( 308) 1 1 1 (1.6)5 5

p x p x −⎛ ⎞ ⎛ ⎞> = − < = −∅ = −∅ = −∅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 0.9452 0.0548= − = (figura 2).

c) 300 291 9( 291) (1.8) 0.96415 5

xp x μ − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞> = ∅ = ∅ = ∅ = ∅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟σ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (figura 3)



9

d) (281 301) ( 301) ( 281) ( 301) [1 ( 281)]p x p x p x p x p x< < = < − < = < − − >

301 300 300 281 4 191 1 (0.8) 1 (3.8)5 5 5 5

d− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ∅ − +∅ = ∅ − +∅ = ∅ − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

0.7881 1 0.999= − + (figura 4).

291 300

281 300 301 Figura 3 Figura 4

e) 309 300 302 300(302 309) ( 309) ( 302)5 5

p x p x p x − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞< < = < − < = ∅ −∅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

9 2 (1.4) (0.4) 0.9192 0.65545 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ∅ −∅ = ∅ −∅ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

f) 300 296 300 299(296 299) ( 296) ( 299)5 5

p x p x p x − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞< < = > − > = ∅ −∅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4 1 (0.8) (0.2) 0.7881 0.57935 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ∅ −∅ = ∅ −∅ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

g) (290 305) [1 ( 305)] [1 ( 290)]p x p x p x> > = − < + − >

305 300 300 29025 5− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −∅ −∅⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠2 (1) (2).= −∅ −∅

elementet e probabilitetit · 12. Është hedhur tetraedri, në faqet e të cilit janë shënuar...

Documents