Teora: Manejo de los datos Promedio, desviacin estndar e incertidumbre

Cuando medimos1 la longitud de un objeto con el centmetro del costurero de la

abuela podemos concluir, por ej., que mide aproximadamente 423cm. Al repetir la medicin en

condiciones idnticas probablemente lleguemos a la misma conclusin. Si, sin embargo,

deseamos mayor precisin podemos recurrir a la divisin en milmetros de nuestra regla y

concluir que realmente el objeto mide 423,5cm. Al repetir varias veces la medicin

posiblemente veremos que en cada nueva medicin los resultados no siempre son idnticos. Las

causas son, generalmente, los defectos del instrumento (el centmetro en este caso) o de la

persona que lo utiliza (que en la jerga de los fsicos se la denomina el observador. Un nombre

ms apropiado podra, quizs, ser el medidor o el mensurador).

En nuestro ejemplo, un defecto posible del instrumento es la dificultad de usar el

centmetro sin estirarlo (o de manera que en cada medicin se estire siempre igual).

Un ejemplo de defecto del observador podra ser su falta de cuidado al medir longitudes

mayores que la mxima del centmetro. Por ejemplo, como el centmetro slo mide 100cm,

para medir una longitud de 423cm hay que estirarlo, marcar y transladarlo hasta la marca,

volver a estirar etc. En cada paso una persona que no este atenta puede cometer un pequeo

error. Todos los errores juntos probablemente afecten a la medicin final en unos milmetros de

incertidumbre.

Si, durante la medicin, extremamos los cuidados se reducen los errores pero si la

precisin que se busca es mayor, cada vez es ms difcil de lograr la repetitibilidad de los

resultados medidos.

Las fuentes de incertidumbres que aqu se mencionaron son las llamadas incertidumbres

de estadsticas de medicin. Otra fuente muy comn de incertidumbres es la llamada

incertidumbres sistemticas de medicin. Estos ltimos son corrimientos sistemticos de los

resultados. A modo de ejemplo de incertidumbre sistemtica pensemos la siguiente

complicacin para nuestra medicin: Pudo haber ocurrido que el centmetro se haba roto en

la marca 85cm y al unirlo, pegando los pedazos, se solap medio cm de cada lado. Esto

significa que por cada metro reportado en la medicin hay, en realidad, 1cm de menos. As, el

valor de la distancia medida debe ser de aproximadamente 419cm en vez de los 423cm que

pensamos originalmente. Por el momento solo consideraremos las incertidumbres estadsticas

Llegamos as a la situacin que tenemos muchas mediciones de la longitud de nuestro

objeto pero son todas levemente diferentes. En muchos casos esta diferencia puede ser

1 Para hacer ms intuitivos los conceptos que se desean discutir nos referiremos aqu a la medicin de una longitud. Sin embargo, lo mismo es vlido para mediciones de temperatura, masa, fuerza, etc.

1

importante. En tales casos es til determinar un nico valor que mejor estime la longitud del

objeto y, tambin, alguna medida de la confianza que podemos asignarle al valor estimado.

El criterio que se adopta usualmente es el de la repetibilidad. Si tenemos, por ej., 100

mediciones y uno de los valores obtenidos se repite 95 veces sera muy extrao que el valor

buscado fuera uno de entre los otros 5. Lamentablemente, en general las diferencias no son tan

marcadas y se debe recurrir a mtodos mas refinados de seleccin.

Cul es mejor valor?:

La experiencia y la teora matemtica de errores recomiendan usar un nico resultado

que es el promedio de los valores medidos, es decir,

=

==N

iixN

medidos valoresN

x1

11 (1)

donde hemos llamado x al valor medio de los valores medidos, a cada uno de los valores

medidos y N al nmero de medidas promediadas.

ix

Qu tan bueno es el promedio para caracterizar realmente la cantidad medida?:

Para responder esta pregunta deberamos poder calcular un segundo nmero

(independiente del valor medio) que indique de alguna manera cuanto se acerca el valor

medio al valor real que se desea medir, en otras palabras, cual es el margen de incertidumbre en

la medida cuando la aproximaos por el valor medio.

Una manera posible de evaluar esa incertidumbre es la de calcular las desviaciones que

cada medicin tiene con respecto al valor medio, o sea,

xxpromediomedidovalor i = y luego hacer un promedio de estas desviaciones. Pero lamentablemente, si hacemos el clculo

de dicho promedio, el resultado es 0 (piense!, por qu es as?).

Para mantener la idea de promediar las desviaciones (y evitar el valor nulo) se hace el

promedio del cuadrado de las desviaciones ( )2 xxi , sobre las N mediciones realizadas, es decir,

Promedio de las desviaciones = ( )=

N

ii xxN 1

2 1

A esta cantidad se la llama dispersin o desviacin estndar (al cuadrado). La desviacin

estndar se indica con la letra griega (se lee sigma), de esta forma,

(=

=N

ii xxN 1

22 1 ) (2)

2

nos da idea de la menor o mayor fluctuacin o dispersin de los datos, medidos alrededor del promedio, y su valor slo depende del proceso de medicin en s. Observe que es igual a cero slo si todos los valores medidos son iguales entre s, y su valor se incrementa cuando

los valores medidos se separan mucho del promedio (gran dispersin de los valores medidos).

ix

El valor de se halla determinado por la forma en que se ha realizado la medida y de los instrumentos utilizados. Si se mide con instrumentos muy precisos, la desviacin estndar

resulta pequea (los valores son muy parecidos entre s y al valor medio), mientras que si el

instrumento es de menor calidad

ix

resulta mayor (los valores de se hallan muy dispersos). ix

Precisin y exactitud

Solemos hablar de precisin y exactitud al hablar de la incertidumbre de los valores

medidos. La precisin se refiere a la dispersin del conjunto de valores obtenidos de

mediciones repetidas de una magnitud. Cuanto menor es la dispersin mayor la precisin. Una

medida comn de la variabilidad es la desviacin estndar de las mediciones y la precisin se

puede estimar como una funcin de ella. La exactitud se refiere a que tan cerca del valor real se

encuentra el valor medido. En trminos estadsticos, la exactitud est relacionada con

el sesgo de una estimacin. Cuanto menor es el sesgo ms exacta es una estimacin.

La analoga de los dardos clavados en un blanco, representada en la siguiente figura,

ilustra la diferencia entre los dos conceptos.

Cmo puede visualizarse la desviacin estndar ( ) en un grfico? La respuesta es: A partir de hacer un histograma de los datos.

Volvamos al ejemplo del objeto que meda . Supongamos que hemos

realizado un nmero muy grande de medidas, por ejemplo

cm4,423

2000=N . Los datos medidos se distribuyen alrededor del promedio cmx 5,423= . Si la medida ha sido buena, muchos de los valores obtenidos resultan muy prximos al promedio (por ejemplo o ) y observamos

pocos resultados que se apartan mucho de l, dicho de otra manera, resulta mucho ms probable

que el resultado de una medida cualquiera d cercana al promedio a que d muy alejada de l.

Si el error cometido en cada medicin es puramente estadstico (al azar) los resultados no se

423 424

ix

3

distribuyen de cualquier manera alrededor del promedio, sino que cuando el nmero de medidas

es grande tienden a una distribucin llamada Gaussiana (ver la figura de la Campana de Gauss).

Construccin de un histograma: Se cuenta con un nmero de valores medidos. Se agrupan los datos medidos en

intervalos x ms representativos, se cuenta el nmero de veces que una medida cae en un dado intervalo. Finalmente se hace un grfico numero de veces que ocurre cada valor en el eje

Y contra el valor en el eje X. El grfico resultante se llama histograma. La figura resultante

recuerda la forma de una campana.

N

A modo de ejemplo, si hemos repetido 2000=N veces la misma medida, y tomando el intervalo , se agrupan las mediciones de la manera siguiente: cmx 5,0=S, por ej. , Se han medido,

294 valores entre 422,5 y 423cm, se consideran equivalentes a 294 valores de 422,75cm

349 valores entre 423 y 423,5cm, se consideran equivalentes a 349 valores de 423,25cm

393 valores entre 423,5 y 424cm, se consideran equivalentes a 393 valores de 423,75cm

318 valores entre 424 y 424,5cm, se consideran equivalentes a 318 valores de 424,25cm.

etc. (ver grafico)

El grfico resultante se llama histograma. La figura resultante recuerda la forma de una

campana:

cmx 5,423= 420 421 422 423 424 425 426 427 428

0

100

200

300

400Nmero de medidas en cada intervlo

2

Campana de Gauss

Valores medidos

4

Lo extraordinario del histograma as construido es que la forma se repite casi siempre,

independientemente del tipo de medicin que se desee realizar.

Si el nmero total de mediciones que debemos analizar es muy grande se puede

demostrar que el histograma se aproxima a la llamada Campana de Gauss (curva continua en el

histograma):

( ) ( )Y x N x x x= 2 22

2

2 exp[ ] (3)

donde N es el nmero de mediciones y x (se lee delta x) es la distancia mnima entre mediciones.

En la figura se puede apreciar el significado de (se lee sigma) y de x (se lee x medio). En rigor sigma es el semiancho de la campana en el punto de inflexin, como regla prctica, sin

embargo, sigma se puede aproximar a partir del ancho de la campana cuando la altura es la

mitad del mximo en la forma:

ancho/2.35 (4)

Error de medicin: En los informes de mediciones cientficas es usual encontrar expresiones como:

La medicin de tal cosa dio 423cm 1cm. El lector interpreta que se hicieron muchas mediciones de una longitud. El promedio da

423cm y hay muy buenas razones para creer que el valor real de lo medido est en el intervalo

entre 423 1 cm y 423 + 1 cm. Se afirma que el valor medido tiene un error o incertidumbre

de 1 cm.

Cmo podemos evaluar esa incertidumbre?:

Como primera aproximacin a la incertidumbre del valor promedio, podemos adoptar a la

desviacin estndar . De esta forma, si llamamos x a lo que queremos medir, el resultado se expresa, sintticamente, as:

= xx (5)

5

Pero la expresin 5 tiene un defecto, como dijimos antes el valor de se halla determinado por la forma en que se ha realizado la medida y el instrumento utilizado. Una vez

que se han hecho una gran cantidad de medidas (suficientes para que el histograma se

aproxime a una curva gaussiana), el valor de

N

no cambia apreciablemente si aumentamos . Es ms, si repitiramos una segunda serie de medidas, obtendramos un valor medio y una

desviacin estndar similares a las de la primera serie. Cun similares son depende que tan bien

fueron estadsticamente determinados.

N

N

Una mejor determinacin del valor medio se puede lograr aumentando el nmero de

mediciones. Aumentando mejora la estadstica y de esa forma el promedio obtenido en las

primeras mediciones resulta muy cercano al promedio obtenido en las segundas

mediciones.

N

N

N N

Finalmente en teora de errores se adopta como estimador del error o incertidumbre de

una medicin, no a sino a la desviacin del promedio cuando se realizan varias series de mediciones. Esto no quiere decir que resulte necesario realizar muchas series de mediciones,

sino que con una sola serie es posible estimar la desviacin del promedio en la forma (consultar

el libro: Mecnica Elemental de Roederer),

N

N

Nxx = (6)

El error o incertidumbre se suele notar con la letra griega (Xi) y a partir de 6 vemos que vale,

N = (7)

Las expresiones 6 y 7 permiten acotar an ms la incertidumbre reduciendo el valor

dado por en un factor raz de N. Este factor resulta de gran importancia ya que nos esta diciendo que a medida que aumenta el nmero , de medidas realizadas, logramos disminuir

la incertidumbre del valor promedio obtenido. De acuerdo a este razonamiento, podramos

realizar medidas muy precisas (

N

pequeo), a pesar de medir con un mal instrumento ( grande), realizando una gran cantidad de medidas . N

Lo analizado hasta aqu se refiere a mediciones directas. Cada una de las cuales,

despus del procedimiento indicado, tendrn su respectivo. An no sabemos cmo se propagan estas incertezas en los clculos. Por ejemplo, si

mido el largo y el ancho de una superficie rectangular y luego calculo el rea o el permetro,

Cul ser las incerteza del rea?.

6

Error relativo y porcentual

Al cociente entre el error y el valor promedio x

se lo denomina error relativo de la

medicin y a la cantidad x 100 se le llama error porcentual. Estas cantidades no tienen

dimensiones y nos brindan una nocin ms intuitiva del error de la medicin. Como ejemplo, si

se ha medido una longitud con un error absoluto de 1cm, no es posible afirmar si la medida es

mala, buena o excelente sin saber el resultado de la medida. Si la longitud a medir es el largo de

un lpiz, podemos afirmar que la medida fue muy mala, ya que el error porcentual ronda el

10%, mientras que si lo que se quera medir era el largo de una cuadra, la medida ha sido muy

buena ya que el error porcentual resulta ser del orden de %01,0

Cifras significativas

Como ya habamos mencionado, cuando se hacen mediciones de ciertas cantidades, los

valores medidos se conocen slo dentro de los lmites de la incertidumbre experimental. El

valor de esta incertidumbre depende de factores tales como la calidad del aparato, la habilidad

del experimentador y el nmero de mediciones efectuadas.

Supongamos que en un experimento de laboratorio se nos pide medir el rea de una

placa rectangular con una regla. Supongamos tambin que la exactitud con la que podemos

medir una dimensin especfica de la placa es cm1.0 . Si la longitud medida de la placa es de 16.3cm, slo podemos afirmar que su longitud tiene un valor que est entre 16.2 y 16.4cm. En

este caso, podemos decir que el valor medido tiene tres cifras significativas. Anlogamente, si

el ancho de la placa es de 4.5cm, el valor real est entre 4.4 y 4.6cm. Este valor medido tiene

slo dos cifras significativas. Advirtase que las cifras significativas incluyen el primer dgito

estimado. Por lo tanto, podramos escribir valores medidos como cmy 1.05.41.03.16 . En un trabajo o artculo cientfico siempre se debe tener con cuidado que dichas cifras

sean adecuadas. Para conocer el nmero correcto de cifras significativas se siguen las

siguientes normas:

o Cualquier dgito diferente de cero es significativo, ya sea 643 l (tiene tres cifras significativas) o 9,873 kg (que tiene cuatro).

o Los ceros situados en medio de nmeros diferentes son significativos, ya sea 901 cm (que tiene tres cifras significativas) o 10.609 kg (teniendo cinco

cifras significativas).

o Los ceros a la izquierda del primer nmero distinto a cero no son significativos, ya sea 0,03cm (que tiene una sola cifra significativa) 0,0000000000000395cm

(este tiene slo tres), y as sucesivamente.

7

o Desde un nmero mayor a uno, a la derecha, despus de la coma decimal ceros escritos tambin cuentan como cifras significativas, ya sea 2,0 dm (tiene dos

cifras significativas) 10,093 cm (que tiene cinco cifras).

o En los nmeros que tienen ceros despus de un dgito distinto de cero, sin ser decimal, pueden ser no cifras significativas, ya sea como 600 kg, puede tener

una cifra significativa (el numero 6), tal vez dos (60), o puede tener los tres

(600). Para saber en este caso cul es el nmero correcto de cifras significativas

necesitamos ms datos acerca del procedimiento con que se obtuvo la medida

(el aparato, etc) o bien podemos utilizar la notacin cientfica, indicando el

nmero 600 como 6102 (seis multiplicado por diez elevado a dos) teniendo solo una cifra significativa (el nmero 6) 6,0102, tenemos dos cifras significativas (6,0) 6,00102, especificando tener tres cifras significativas

Supongamos ahora que deseamos encontrar el rea de la placa del ejemplo anterior

multiplicando los dos valores medidos. Si afirmsemos que el rea es

(16.3cm) (4.5cm)=73.35cm2, nuestra respuesta carecera de justificacin porque contiene cuatro cifras significativas, una cantidad mayor que el nmero de cifras significativas de

cualquiera de las longitudes medidas. Una buena regla general para determinar el nmero de

cifras significativas que se puede adoptar es la siguiente: cuando se multiplican varias

cantidades, el nmero de cifras significativas en la respuesta final es igual al nmero de cifras

significativas de la menos exacta de las cantidades que se multiplican, donde menos exacta

significa la que tiene el nmero menor de cifras significativas. Cave destacar que tambin se

aplica la misma regla a la divisin.

Si aplicamos esta regla al ejemplo anterior e multiplicacin veremos que la respuesta

correspondiente al rea slo puede tener dos cifras significativas, porque la dimensin 4.5cm

tiene nicamente dos cifras significativas. Es por eso que podemos afirmar que el rea es 73cm2.

En el caso de la suma y de la resta, se debe tomar en cuenta el nmero de posiciones

decimales para determinar el nmero de cifras significativas que se debe informar. Cuando se

suman o restan nmeros, el nmero de posiciones decimales del resultado debe ser igual al

nmero menor de posiciones decimales de cualquier trmino de suma. Por ejemplo, si hacemos

el clculo de 123+5.35, el resultado es 128 y no 128.35. Si calculamos la suma

1.0001+0.0003=0.004, el resultado tiene el nmero correcto de posiciones decimales; en

consecuencia, tiene cinc o cifras significativas pese a que uno de los trminos de la suma,

0.0003, tiene slo una cifra significativa. Anlogamente, si llevamos a cabo la resta 1.002-

0.98=0.004, el resultado tiene slo una cifra significativa no obstante que uno de los trminos

tiene cuatro cifras significativas y el otro tiene tres.

8

Cmo generar un histograma con el Excel Supongamos que deseamos realizar un histograma con los datos (mediciones) que

recogimos como resultado de un experimento, y que contamos con un nmero de valores

medidos. Para poder generar un histograma utilizando el programa Excel debemos realizar los

siguientes pasos:

N

a) Primero debemos copiar los datos recogidos de manera encolumnada en una hoja de

trabajo:

b) En la barra de men vaya a Herramientas, luego a Complementos, luego seleccione

la opcin de Herramientas para anlisis, y luego aceptar.

De esta forma habilitamos una nueva herramienta. Vuelva a ir a la opcin

Herramientas de la barra de men, luego haga clic en anlisis de datos y luego en

Histograma para finalmente aceptar. Al hacerlo, le aparecer la siguiente ventana:

Seleccione el rango de entrada de datos, es decir, haga clic en el botn cerrar dilogo

en el lado derecho del cuadro de Rango de entrada. Esto minimizar temporalmente

la ventana del dilogo de manera que usted pueda seleccionar en su tabla los valores que

quiera graficar. Seleccione tambin la opcin Crear grfico y finalmente presione el

botn aceptar.

Cuando lo haga, en una hoja nueva le aparecer una tabla y el grfico deseado:

9

La columna Clase hace referencia a los valores ms representativos de los intervalos

(tomados por defecto). La cantidad de clases que el programa Excel toma es igual a la

raz cuadrada del nmero total de mediciones. La columna Frecuencia hace referencia

la cantidad de valores (datos) que se encuentran dentro de cada clase.

c) Para poder encontrar el valor de la Media, la Mediana, la Moda y la desviacin

estndar, debemos hacer un anlisis estadstico. Para hacerlo, debemos ir a

Herramientas de la barra de men, luego haga clic en anlisis de datos y luego a

Estadstica descriptiva para finalmente aceptar. Al hacerlo, le aparecer una ventana

similar a la anterior, en donde deber seleccionar el Rango de entrada de datos y

luego la opcin Resumen de estadsticas. Finalmente haga presione el botn aceptar.

Cuando lo haga, en una hoja nueva le aparecer una tabla con un resumen del anlisis

estadstico deseado:

10

De esta forma, logramos realizar el histograma deseado y el anlisis estadstico correspondiente.

Propagacin de incertidumbres en medidas indirectas

Supongamos que medimos longitudes, con un cierto error, con el objeto de calcular la

superficie o el volmen de un cuerpo. En este ejemplo, se realizan medidas directas de longitud

y el error se determina en la forma en que hemos discutido antes, pero la media de la superficie

o el volmen se obtiene a partir de un clculo matemtico y no a travs de una medida directa,

la pregunta es con qu error se determinan estas magnitudes?

Analicemos algunos ejemplos:

Ejemplo 1: Supongamos que tenemos una regla de y deseamos medir el largo de un objeto

de ms de . En ese caso, resulta necesario realizar dos medidas, cada una con su error, es

decir,

m1

m1

11 LLLargo1 = y 222 LLLargo = (7) donde los errores o incertidumbres individuales 1L y 2L pueden ser iguales o no. El largo total lo obtenemos sumando ambas longitudes, pero, cmo obtenemos el error total cometido?.

Apelemos primero a la intuicin, el valor mnimo y el mximo de la longitud del objeto,

compatible con los errores individuales resulta,

( )2121 LLLLmnimo Largo ++= y ( )2121 LLLLmximo Largo +++= concluimos entonces que el resultado de la medida resulta,

( )2121 LLLLLargo ++= (8) por lo cual, el error total cometido en la medida del largo es simplemente la suma de los errores

individuales,

21 LLL += (9) Ejemplo 2: Supongamos que desea medir el peso de cierta cantidad de lquido, que debe pesar

dentro de un recipiente de vidrio. Resulta necesario realizar dos pesadas, una del recipiente

11

vaco y otra del recipiente con lquido, cada una con su error de medida. Restando obtenemos el

peso del lquido, por lo tanto, la medida resulta indirecta, cmo determinamos el error?. Es

muy comn el pensar que el error se obtiene restando los errores, pero esto es completamente

falso, podra llevar al absurdo de que el error podra ser menor al error de las medidas

individuales. Para determinar el error, volvamos a pensar cual es el valor mximo y el mnimo

que podemos obtener en la medida del peso del lquido,

RR PPRecipiente del Peso = y ( ) LRLR PPLqRecip del Peso ++ =+

( )( ) ( ) ( RLRRLRRRLRLR PPPPPPPP

Recip del peso MximoLqRecip de peso Mnimo Lquido del Peso Mnimo+=+=

+=++++

.)

( )( ) ( ) ( RLRRLRRRLRLR PPPPPPPP

Recip de peso MnimoLqRecip de peso Mximo Lquido del Peso Mximo++=+=

+=++++ )

concluimos entonces que el resultado de la medida resulta,

( )RLRRLR PPPPLquido del Peso += ++ (10) por lo cual, el error total cometido en la medida del largo es simplemente la suma de los errores

individuales y no la resta, es decir,

RLRL PPP += + (11) Ejemplo 3: Supongamos que desea medir el volumen de una esfera. Es posible determinarlo en

forma indirecta a partir de medir el dimetro D de la esfera (con su error), supongamos que

hemos medido,

cmDDDimetro 1,010 == (12) y sabiendo que,

333 6,52361

34 cmDrV === (13)

pero, cmo determinamos el error en la determinacin del volumen?. Podemos pensar que el

volumen es una funcin de la variable D y hacer un grfico para entender el problema,

12

( ) 36

D DV =

V

cmD 1,0= D

V

En el grfico observamos que si la variable D se mide con una incerteza , este error

se amplifica notablemente cuando se desea determinar el volumen. A partir del grfico podemos

encontrar una forma de aproximar conocido el error

D

V D . La forma de lograrlo consiste en suponer que si es pequeo entonces el tramo de la curva, que relaciona con ,

puede aproximarse por una recta, cuya pendiente resulta,

D D V

DVrecta la de Pendiente

=

Y la pendiente puede calcularse a partir de evaluar la derivada de la funcin ( ) 36

D DV = , es decir,

( ) 22

DDDVrecta la de Pendiente =

= (14) y por consiguiente,

( )DVD

DDV

==

22

32 162

cmDDV = (15)

y en forma general,

DDVV = (16)

Finalmente el volumen resulta, 316523 cmV = (17)

La expresin 16, puede generalizarse para cualquier magnitud que sea medida

indirectamente, por ejemplo, si queremos medir la magnitud que es funcin de la variable f x

y hemos medido esta ltima con un error x , entonces podemos aproximar el error cometido en la determinacin de como, f

( ) xxxff

= (18)

Note que hemos puesto el mdulo de la derivada de la funcin ( )xf y no simplemente la derivada como en 16, ya que podra darse el caso que la pendiente de la curva fuera negativa

y por supuesto el error no lo es como suceda en el ejemplo 2.

Ejemplo 4:

Suponga que quiere medir la superficie de un rectngulo y para ello mide sus dos lados,

obteniendo,

13

111 LLLado = y 222 LLLado = (19) La superficie depende de estas dos variables, es decir,

( ) 2121 ., LLLLS = (20) Para calcular el error en , necesitamos generalizar a la expresin 18 a dos variables, en la

forma (Discuta),

S

( ) ( ) yy

yxfxx

yxff +

= , , (21)

Usando la ecuacin 21, demuestre que el error en la medida de la superficie es,

2112 LLLLS += (22) Ejercicio 1: Demuestre las expresiones 9 y 11, halladas en los ejemplos 1 y 2, a partir de 18.

Ejercicio 2: Suponga que desea medir la aceleracin de la gravedad a partir de medir el perodo

de oscilacin de un pndulo. Ms tarde demostraremos que para pequeas oscilaciones la

aceleracin de la gravedad se relaciona con el perodo T y la longitud g L de pndulo, por la

expresin,

224

TL g = (23)

Demuestre que el error en la determinacin de g, resulta,

TT

LLT

g += 32

2

2 84 (24)

Una referencia, interesante para profundizar, es el libro: Mecnica Elemental de Roederer.

Determinacin de la recta que mejor ajusta con los datos medidos Cuadrados Mnimos

Suponga el siguiente experimento: Cuelga 10 masas distintas de un resorte con

el objeto de encontrar una ley que relacione el estiramiento del resorte con la masa.

Suponga que se obtuvieron las medidas de la tabla y, graficando, se observa que existe

una relacin lineal entre la masa y el alargamiento:

+y

masa en gramos

Alargamiento en cm

1 25 2 36 3 63 4 77,6 5 102,5 6 117 7 133 8 167 9 186 10 195

0 2 4 6 8 100

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

Alar

gam

ient

o

Masa en gramos

14

Queremos determinar la funcin lineal que mejor se ajusta a los puntos experimentales.

Mtodo grfico: Se determine a ojo el centro geomtrico de todos los puntos sobre la

grfica (como una especie de centro de masas de los puntos sobre la grfica), se hace

pasar una recta sobre ese punto tratando de que ajuste lo mejor posible a los datos, es

decir, tratando que queden tantos puntos por encima de la recta como por debajo. Una

vez determinada la mejor recta, se calcula su pendiente. Para estimar el error de la

pendiente, trace sobre el grfico otras dos rectas a ojo, una con pendiente mayor que la

determinada antes y otra con menor pendiente, de tal forma que, den idea del error en la

determinacin de la pendiente. A partir de ellas determine el error de la pendiente . mCuadrados mnimos: Existe un proceso matemtico ms riguroso para determinar la

recta que mejor ajusta con los datos experimentales, comnmente llamado mtodo de

los cuadrados mnimos. Este mtodo consiste en hallar la recta que minimiza la funcin

suma de las distancias de los puntos medidos a la recta. Los detalles matemticos de

este proceso pueden estudiarse en el libro Mecnica Elemental de Roederer (Hay varios

ejemplares en la biblioteca). Igualmente sin entrar en los detalles matemticos, se puede

hallar la recta por cuadrados mnimos empleando un programa de procesamiento de

datos tal como el Origin (disponible en el Laboratorio) o el Excel. Para hallar la recta

por cuadrados mnimos con el Origin, introduzca en la tabla, los datos medidos. La

variable x (la masa, en nuestro ejemplo) en la primer columna y en la segunda columna

la variable y (el alargamiento, en nuestro ejemplo). Grafique, para ello presione la

ventana Plot, luego Scatter (significa que solo pondr puntos en los datos

correspondientes), sale una ventana en donde le pide que elija que columna corresponde

al eje x y cual al eje y , presionan enter y se obtiene el grfico (puntos aproximadamente

alineados). Luego debe buscar la ventana donde dice Fit (ajustar los datos por alguna

curva) luego presionan en Regresin lineal (significa que la curva que quieren ajustar es

una recta y por ende usa cuadrados mnimos) y sobre el grfico aparece dibujada la

recta que mejor ajusta a los datos. En una ventana aparte se indica el valor de la

pendiente con su error y el de la ordenada al origen (que en este caso debe ser cercano a

cero).

Para hallar la recta por cuadrados mnimos con el Excel, realice primero una tabla con

los datos medidos. La variable x (la masa, en nuestro ejemplo) en la primer columna y

en la segunda columna la variable y (el alargamiento, en nuestro ejemplo).

15

Para realizar el grfico seleccione los datos que desea graficar utilizando el Mouse.

Luego, en la barra men, haga clic en el asistente para grficos.

Al presionarlo se abrir la ventana del asistente para grficos (paso 1 de 4). En la solapa

Tipos estndar elija la opcin XY dispersin (a veces

aparece como Scatter). NO elija la opcin que conecta los puntos con lneas o curvas

suaves, elija el siguiente sub tipo de grfico:

Luego presione siguiente. Al hacerlo, una ventana llamada datos de origen se abrir

(paso 2 de 4). Haga clic en la pestaa llamada serie ubicada cerca del borde superior

de la ventana .

Luego haga clic en el botn agregar. Esto causar que aparezca otro cuadro de datos

como los mostrados a continuacin. Luego haga clic en el botn cerrar dilogo en

el lado derecho del cuadro de valores de X. Esto minimizar temporalmente la ventana

del dilogo de manera que usted pueda seleccionar en su tabla los valores de X que

quiera graficar en el eje horizontal.

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Cuando la ventana de dilogo se minimiza, usted puede usar el Mouse para seleccionar

los valores de X que se incluirn en el eje horizontal del grfico. Fjese que cuando lo

haga, las referencias aparecern en el cuadro de valores de X. Cuando haya terminado

haga clic en el botn expandir dilogo que devolver la ventana dilogo a su tamao

mximo. Repita esta ltima secuencia pero para los valores que sern incluidos en el eje

Y del grfico.

Terminado el proceso debera poder ver una vista previa de su grfico en la ventana.

Luego presione el botn siguiente.

Una nueva ventana para las opciones del grfico se abrir (paso 3 de 4). Aqu usted

podr agregar el ttulo al grfico y los nombres para los ejes (con sus respectivas

unidades). Cuando haya terminado presione el botn siguiente.

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Una nueva ventana se abrir (paso 4 de 4). Aqu usted puede decidir dnde ubicar a su

nuevo grfico, en una hoja nueva o en la misma donde se encuentra trabajando. Elija

una opcin y presione el botn finalizar. Al hacerlo debera aparecer su grfico

terminado.

Como nuestro objetivo es encontrar una recta que mejor se ajuste a los datos, deberemos

hacer una Regresin lineal (significa que la curva que quieren ajustar es una recta y por

ende usa cuadrados mnimos), para ello haremos lo siguiente:

Con el Mouse sobre algn punto del grfico presione el botn derecho. Y elija la opcin

Agregar lnea de tendencia:

Como queremos ajustar la curva a una recta, elija de solapa Tipo

la opcin de regresin lineal. Luego vaya a la solapa Opciones y seleccione las

siguientes opciones.

De esta forma, al seleccionar estas opciones y presionar el botn aceptar, aparecer

dibujada en su grfico la recta que mejor ajusta a los datos, con su respectiva ecuacin y

el valor del coeficiente de correlacin lineal R (elevado al cuadrado). Este nmero nos

da una idea de cunto se ajust la recta propuesta a los datos. Cuanto ms cercano sea a

la unidad, tanto ms representativa ser dicha recta (menor ser el error). En una

ventana aparte se indica el valor de la pendiente con su error y el de la ordenada al

origen (que en este caso debe ser cercano a cero).

Una forma ms elegante de hacerlo es la siguiente:

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En la barra de men vaya a Herramientas, luego a Complementos, luego seleccione la

opcin de Herramientas para anlisis, y luego aceptar.

De esta forma habilitamos una nueva herramienta. Vuelva a ir a la opcin

Herramientas de la barra de men, luego haga clic en anlisis de datos y luego en

regresin para finalmente aceptar. Al hacerlo, le aparecer la siguiente ventana:

Seleccione los rangos de X e Y de entrada (de la misma forma que ya habamos hecho

para seleccionar los datos para el grfico) y la opcin para agregar la curva de

regresin ajustada para que se grafique la recta aproximada. Finalmente presione el

botn aceptar.

Cuando lo haga, en una hoja nueva le aparecer el siguiente cuadro con todo el anlisis

estadstico y el grfico con la recta de regresin lineal deseada:

En esta parte de la tabla, encontrar el valor de los coeficientes de la recta de regresin, es decir, su pendiente (19.88) y su ordenada al origen (0.85) con sus respectivos errores. Los dems valores encontrados no nos resultarn tiles para este anlisis.

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Estas son algunas de las formas de hacer una aproximacin con el comnmente mtodo

de los cuadrados mnimos, a partir del cual se pueda determinar cul es la recta que

mejor ajusta con los datos experimentales y minimiza la funcin suma de las distancias

de los puntos medidos a la recta.

Cmo se reportan, en el informe, los datos y el trabajo realizado? Hacer un informe de un trabajo puede llegar a ser un dolor de cabeza. Para evitar las

dificultades ms comunes siga las siguientes indicaciones (Cuando tenga ms prctica puede

mejorar el estilo segn su gusto):

En la primera pgina (cartula) indique el nombre de la prctica de laboratorio, la fecha de

entrega del trabajo, el nmero de la comisin con su respectivo horario de clase, apellido y

nombre de cada uno de los integrantes del grupo y el nombre del docente de la clase terica.

El informe propiamente dicho seprelo en diferentes secciones cuyos nombres sern:

INTRODUCCION, TEORIA, METODOLOGIA, RESULTADOS, CALCULOS Y GRAFICOS, CONCLUSIONES, BIBLIOGRAFIA Los encabezados de seccin debern estar escritos en letra imprenta mayscula.

En la Introduccin indique el o los objetivos de la experiencia, qu se desea evaluar,

qu se quiere medir y cmo se obtiene lo que se desea evaluar a partir de lo que se mide.

Bajo el ttulo Teora debe constar una suerte de introduccin a los conceptos tericos

utilizados para la realizacin de esta experiencia e indicar cules son las ecuaciones que usa

para evaluar los datos. Usualmente las ecuaciones tiles son muy especficas para el

experimento en cuestin y se obtienen a partir de otras ecuaciones ms generales. Debe mostrar

en detalle cules son los pasos lgicos que le permiten pasar del la ecuacin general a la

particular. Es lo que usualmente -y abusando del lenguaje- se llama demostrar la frmula.

Cada una de las ecuaciones que usa se numeran (ec. 1, ec.2 , etc) para su posterior referencia.

En el apartado Metodologa debe asentar cmo se realizan y se disponen los aparatos e

instrumentos para medir (usualmente con la ayuda de dibujos esquemticos), es decir, se debe

hacer explcito cules son los pasos metodolgicos que le permitieron realizar el experimento,

cules son los mtodos especficos empleados para medir cada una de las magnitudes

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requeridas, las tcnicas empleadas, etc. Cabe aclarar que tambin se debe incluir la descripcin

de los instrumentos de medicin presentando la exactitud del mismo.

En Resultados deber escribir los resultados numricos que obtuvo (para esto conviene

organizar la presentacin de los datos en tablas de fcil interpretacin). Los encabezados de las

tablas debern incluir el nombre de la/s variables, su smbolo y las unidades de medida. Junto a

cada entrada numrica debe estar su incertidumbre respectiva, a menos que un anlisis de las

incertidumbres por separado clarifique del todo la precisin de las medidas. La tabla o La tabla

o tablas debern identificarse claramente con un nmero de tabla y un pie de tabla donde se

indica qu representa cada columna y cada fila.

Bajo el ttulo de Clculos y Grficos explique claramente cmo usa los datos medidos

para hacer las evaluaciones que indic en la introduccin y realice los clculos necesarios.

Deber hacer una tabla con los resultados de sus clculos. Generalmente en esta seccin se

incluyen los grficos y tambin las evaluaciones que se realizan a partir del mismo. Cada

grfico tiene un pie de grfico que explica el contenido y el uso del mismo.

En el apartado Conclusiones deber hacer explcito la relacin entre el sistema y el

modelo (comente y discuta), haciendo un resumen comparativo de los resultados obtenidos en la

experiencia (sistema) y los esperados con el modelo terico (ideal). Deber dejar en claro la

correspondencia existente entre muestro sistema y el modelo que usamos, si encontr o no

discrepancias, es decir, deber dejar en claro qu tanto se ajust el sistema al modelo. De

encontrar discrepancia entre el sistema y el modelo, deber inferir el origen de la misma.

Tambin deber incluir las dificultades que hall y como las resolvi.

Finalmente en el apartado Bibliografa deber incluir toda la bibliografa utilizada para

la realizacin de este informe.

Recordar que un informe debe ser escrito de manera tal que un estudiante que no hizo la

prctica pueda entenderlo.

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Teora: Manejo de los datosCul es mejor valor?: La experiencia y la teora matemtica de errores recomiendan usar un nico resultado que es el promedio de los valores medidos, es decir,Qu tan bueno es el promedio para caracterizar realmente la cantidad medida?: Para responder esta pregunta deberamos poder calcular un segundo nmero (independiente del valor medio) que indique de alguna manera cuanto se acerca el valor medio al valor real que se desea medir, en otras palabras, cual es el margen de incertidumbre en la medida cuando la aproximaos por el valor medio.Una manera posible de evaluar esa incertidumbre es la de calcular las desviaciones que cada medicin tiene con respecto al valor medio, o sea, y luego hacer un promedio de estas desviaciones. Pero lamentablemente, si hacemos el clculo de dicho promedio, el resultado es 0 (piense!, por qu es as?).Para mantener la idea de promediar las desviaciones (y evitar el valor nulo) se hace el promedio del cuadrado de las desviaciones , sobre las N mediciones realizadas, es decir,A esta cantidad se la llama dispersin o desviacin estndar (al cuadrado). La desviacin estndar se indica con la letra griega ( (se lee sigma), de esta forma, nos da idea de la menor o mayor fluctuacin o dispersin de los datos, medidos alrededor del promedio, y su valor slo depende del proceso de medicin en s. Observe que es igual a cero slo si todos los valores medidos son iguales entre s, y su valor se incrementa cuando los valores medidos se separan mucho del promedio (gran dispersin de los valores medidos). El valor de se halla determinado por la forma en que se ha realizado la medida y de los instrumentos utilizados. Si se mide con instrumentos muy precisos, la desviacin estndar resulta pequea (los valores son muy parecidos entre s y al valor medio), mientras que si el instrumento es de menor calidad resulta mayor (los valores de se hallan muy dispersos).Precisin y exactitudSolemos hablar de precisin y exactitud al hablar de la incertidumbre de los valores medidos. La precisinse refiere a la dispersin del conjunto de valores obtenidos de mediciones repetidas de una magnitud. Cuanto menor es la dispersin mayor la precisin. Una medida comn de la variabilidad es ladesviacin estndarde las mediciones y la precisin se puede estimar como una funcin de ella. La exactitudse refiere a que tan cerca del valor real se encuentra el valor medido. En trminos estadsticos, la exactitud est relacionada con elsesgode una estimacin. Cuanto menor es el sesgo ms exacta es una estimacin.La analoga de los dardos clavados en un blanco, representada en la siguiente figura, ilustra la diferencia entre los dos conceptos. Pero la expresin 5 tiene un defecto, como dijimos antes el valor de se halla determinado por la forma en que se ha realizado la medida y el instrumento utilizado. Una vez que se han hecho una gran cantidad de medidas (suficientes para que el histograma se aproxime a una curva gaussiana), el valor de no cambia apreciablemente si aumentamos . Es ms, si repitiramos una segunda serie de medidas, obtendramos un valor medio y una desviacin estndar similares a las de la primera serie. Cun similares son depende que tan bien fueron estadsticamente determinados. Una mejor determinacin del valor medio se puede lograr aumentando el nmero de mediciones. Aumentando mejora la estadstica y de esa forma el promedio obtenido en las primeras mediciones resulta muy cercano al promedio obtenido en las segundas mediciones. Finalmente en teora de errores se adopta como estimador del error o incertidumbre de una medicin, no a sino a la desviacin del promedio cuando se realizan varias series de mediciones. Esto no quiere decir que resulte necesario realizar muchas series de mediciones, sino que con una sola serie es posible estimar la desviacin del promedio en la forma (consultar el libro: Mecnica Elemental de Roederer),El error o incertidumbre se suele notar con la letra griega (Xi) y a partir de 6 vemos que vale, Las expresiones 6 y 7 permiten acotar an ms la incertidumbre reduciendo el valor dado por ( en un factor raz de N. Este factor resulta de gran importancia ya que nos esta diciendo que a medida que aumenta el nmero , de medidas realizadas, logramos disminuir la incertidumbre del valor promedio obtenido. De acuerdo a este razonamiento, podramos realizar medidas muy precisas ( pequeo), a pesar de medir con un mal instrumento ( grande), realizando una gran cantidad de medidas .

Error relativo y porcentualPropagacin de incertidumbres en medidas indirectasUna referencia, interesante para profundizar, es el libro: Mecnica Elemental de Roederer.