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ERRORI DELLE RETTE D’ALTEZZAERRORI DELLE RETTE D’ALTEZZAImpiego Pratico delle Rette d’AltezzaImpiego Pratico delle Rette d’Altezza

A cura del : ITP Giuseppe FIORINIA cura del : ITP Giuseppe FIORINI

Generalità sugli errori della Retta

Punto Nave con due Rette - Bisettrice

Punto Nave con tre Rette

Punto Nave con quattro Rette

Appunti tratti da

ELEMENTI DI NAVIGAZIONE ASTRONOMICA - FLORA - Hoepli

22

Generalità sugli errori della Retta d’altezza Saint-HilaireGeneralità sugli errori della Retta d’altezza Saint-Hilaire

La retta d’altezzaretta d’altezza è una linea di posizione della nave se tutti gli elementi che la concorrono a determinarla sono ESATTIESATTI

Se questi elementi ( azimut e h ) sono erronei, il grado di fiducia che si può riporre in essa dipende dall’entità degli errori di cui sono affetti i vari elementi.

azimut stimato “ as “

h = hv - hs

33

L’altezza Vera “hv”L’altezza Vera “hv” è osservata con il sestante sull’orizzonte del mare, e può essere affetta da ERRORIERRORI dovuti principalmente :

• alle circostanze che accompagnano l’osservazione ;

• allo strumento di misura;

• alla depressione anormale dell’orizzonte del mare.

L’altezza e l’azimut stimati (hs ; as)L’altezza e l’azimut stimati (hs ; as) sono calcolati in base al punto stimato (s , s) ed in base al Tm ricavato dal cronometro (se lo stato assoluto del cronometro è errato, ne risulta un errore sulla longitudine dei punti della retta d’altezza).

Inoltre la retta è un arco di Lossodromiala retta è un arco di Lossodromia che sostituisce un arco di cerchio d’altezza (di qui un nuovo errore che è tanto più sensibile quanto più lontano è il punto nave vero dal punto stimato)

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Errori nell’altezza Osservata - Striscia di certezzaErrori nell’altezza Osservata - Striscia di certezza

1° - Errore accidentale dipendente dal sestanteErrore accidentale dipendente dal sestante

per essere sconosciuto o mal conosciuto l’errore istrumentale,mal rettificato, lievi imperfezioni delle parti ( circa 10”-20”)

2° - Errore sistematico dipendente dalla conoscenza Errore sistematico dipendente dalla conoscenza imperfetta della correzione d’indiceimperfetta della correzione d’indice

nel detrminare tale correzione si è commesso un errore che si riversa in misura eguale su tutte le osservazioni (inferiore 20”)

3° - Errore accidentale di osservazioneErrore accidentale di osservazione

dipende dalle circostanze che accompagnano l’osservazione , la quale può essere ostacolata dal vento, dal mare mosso, dall’orizzonte poco limpido, dalla nebbia, dalle nuvole,ecc. ( da pochi secondi ad alcuni primi)

55

4° - Errore sistematico dipendente dall’osservatoreErrore sistematico dipendente dall’osservatore

L’osservatore nel portare in collimazione l’astro con l’orizzonte, commette un errore costante personale; per cui li giudica in collimazione, quando in realtà l’astro è sopra o sotto l’orizzonte (molto piccolo ed trascurabile)

5° - Errore sistematico della depressione dell’orizzonteErrore sistematico della depressione dell’orizzonte

l’orizzonte marino tal volta, specie nei mari caldi o alle foci dei grandi fiumi, può essere anormalmente depresso e la depressione effettiva può differire da quella calcolata con “ i=1,8 e “ di decimi di primo, ( tale errore raggiunge mezzo primo)- questo prevale su tutti gli altri errori

L’ERRORE TOTALE L’ERRORE TOTALE sull’altezza osservata risulta dalla somma

algebrica di tutti gli errori considerati (che si dividono in accidentali a e

sistematici s )

= s + a

66

si riversa totalmente sulla differenza algebrica si riversa totalmente sulla differenza algebrica h = hv - hsh = hv - hs, per cui la retta

d’altezza Erronea, che si traccia in base alla h errata, risulta parallela alla vera e

spostata nel senso dell’azimut o in senso contrario ( precisamente se hv >e più grande del valore esatto la retta d’altezza erronea risulterà spostata verso l’astro; se hv< è più piccola, la retta d’altezza erronea risulterà spostata in senso opposto all’astro.)

In generale l’errore complessivo non supera i 2’ o 3’.

NON è Possibile, in genere, considerare la retta d’altezza come una linea di posizione,

ma come una Striscia di Posizione Striscia di Posizione

ampia ampia 22 le parallele vanno tracciate le parallele vanno tracciate da parti opposte, perché non si conosce il da parti opposte, perché non si conosce il

segno dell’errore segno dell’errore

viene detta ancheviene detta anche

STRISCIA DI CERTEZZASTRISCIA DI CERTEZZA

77

L’ampiezza di tale striscia dipende dall’entità dei vari erroriL’ampiezza di tale striscia dipende dall’entità dei vari errori, e , e cioè:cioè:

• dall’errore dall’errore sull’altezza osservata (sistematici ed accidentali);sull’altezza osservata (sistematici ed accidentali);

• da un errore in primi d’arco, prodotto da uno scarto in secondi di da un errore in primi d’arco, prodotto da uno scarto in secondi di tempo del cronometro ( oggi giorno trascurabile)tempo del cronometro ( oggi giorno trascurabile)

• da un errore “s cos da un errore “s cos ” prodotto dall’errore di stima nel trasporto ” prodotto dall’errore di stima nel trasporto ( questo è massimo quando “s” è perpendicolare alla retta d’altezza da ( questo è massimo quando “s” è perpendicolare alla retta d’altezza da trasportare, è nullo quando è nella direzione della retta. Per renderlo più trasportare, è nullo quando è nella direzione della retta. Per renderlo più piccolo possibile è necessario che sia il più piccolo possibile l’intervallo di piccolo possibile è necessario che sia il più piccolo possibile l’intervallo di tempo che trascorre fra l’istante dell’osservazione e l’istante per il quale si tempo che trascorre fra l’istante dell’osservazione e l’istante per il quale si vuole trasportare la retta)vuole trasportare la retta)

• errore dovuto alla sostituzione del segmento del cerchio di altezza errore dovuto alla sostituzione del segmento del cerchio di altezza con un arco lossodromicocon un arco lossodromico

Punto Nave con Due rette d’Altezza _ BISETTRICE d’altezzaPunto Nave con Due rette d’Altezza _ BISETTRICE d’altezza

Il punto nave ottenuto con due rette è esatto se sono esatte le due rette Il punto nave ottenuto con due rette è esatto se sono esatte le due rette (cioè non affette da errori).(cioè non affette da errori).

a causa degli errori accidentali e sistematici il punto nave con due rette e a causa degli errori accidentali e sistematici il punto nave con due rette e da considerare dubbio, è necessario quindi eseguirlo con tre o, meglio, da considerare dubbio, è necessario quindi eseguirlo con tre o, meglio, quattro rette. quattro rette.

per ogni retta va a considerarsi una strisci di posizione, strisce di ampiezze diverse perché diversi

sono gli errori per ciascunaper ciascuna

l’incontro delle due strisce che sostituiscono le rette, genera un

PARALLELOGRAMMA DI PARALLELOGRAMMA DI SICUREZZA o di ERRORE ABCDSICUREZZA o di ERRORE ABCD

Errore sul Punto NaveErrore sul Punto Nave

Affinchè l’Errore sul punto sia MINIMO è necessario che le Affinchè l’Errore sul punto sia MINIMO è necessario che le due rette si taglino:due rette si taglino:

• ad angolo retto (90°), quando è MAGGIORE l’errore ad angolo retto (90°), quando è MAGGIORE l’errore accidentale di quello sistematico;accidentale di quello sistematico;

•secondo un angolo acuto (60°), quando è maggiore l’errore secondo un angolo acuto (60°), quando è maggiore l’errore sistematico di quello accidentale;sistematico di quello accidentale;

L’ERRORE TOTALE L’ERRORE TOTALE sull’altezza osservata risulta dalla somma

algebrica di tutti gli errori considerati (che si dividono in accidentali a e sistematici

s )

= s + a

Siano h1 ed h2 le due altezze osservate , entrambe saranno affette da un errore Siano h1 ed h2 le due altezze osservate , entrambe saranno affette da un errore totale che sarà dato da:totale che sarà dato da:

1 = s + a1

2 = s + a2

l’errore sistematico s è uguale, mentre varia quello accidentale a

In genere se le due rette sono state prese In genere se le due rette sono state prese SIMULTANEAMENTE SIMULTANEAMENTE o quasi, o quasi, l’errore sistematico è MAGGIORE di quello accidentalel’errore sistematico è MAGGIORE di quello accidentale, se le due rette sono , se le due rette sono state prese ad un state prese ad un intervallo di tempo grandeintervallo di tempo grande l’una dall’altra, l’una dall’altra, l’errore accidentale l’errore accidentale è maggiore di quello sistematico è maggiore di quello sistematico

L’errore più temibile sull’altezza osservata L’errore più temibile sull’altezza osservata è quello dipendente dalla depressione è quello dipendente dalla depressione dell’orizzonte( decine di primi).dell’orizzonte( decine di primi).

Se le due rette sono state prese simultaneamente o quasi, tale errore è uguale per Se le due rette sono state prese simultaneamente o quasi, tale errore è uguale per le due altezze (cioè sistematico) perchè le condizioni del mare e dell’atmosfera le due altezze (cioè sistematico) perchè le condizioni del mare e dell’atmosfera sono le stesse, esso prevale su tutti gli altri.sono le stesse, esso prevale su tutti gli altri.

Quindi si può concludere che per due rette simultanee l’errore sistematico è Quindi si può concludere che per due rette simultanee l’errore sistematico è maggiore dell’errore accidentale.maggiore dell’errore accidentale.

Se invece le due rette sono state prese a grande intervallo di tempo, poiché Se invece le due rette sono state prese a grande intervallo di tempo, poiché cambiano le condizioni del mare e dell’atmosfera, l’errore sulla depressione cambiano le condizioni del mare e dell’atmosfera, l’errore sulla depressione sarà diverso per l’una e per l’altra altezza sarà diverso per l’una e per l’altra altezza è deve essere considerato è deve essere considerato accidentale.accidentale.

Poiché esso prevale su tutti gli altri errori si può concludere che:Poiché esso prevale su tutti gli altri errori si può concludere che:

quando due altezze sono prese a grande intervallo di tempo l’una quando due altezze sono prese a grande intervallo di tempo l’una dall’altra, l’errore accidentale è maggiore dell’errore sistematico.dall’altra, l’errore accidentale è maggiore dell’errore sistematico.

1° caso - Errore accidentale 1° caso - Errore accidentale a > a > s errore sistematicos errore sistematico

L’errore totale sulla prima retta sia L’errore totale sulla prima retta sia 11 e sulla seconda retta sia e sulla seconda retta sia 22. E’ il caso di . E’ il caso di due rette non simultanee.due rette non simultanee.

Si tracci la retta RSi tracci la retta R11RR11 con le parallele AB, DC distanti ciascuna da essa dell’errore con le parallele AB, DC distanti ciascuna da essa dell’errore

11 e limitanti la prima striscia di posizione ampia 2 e limitanti la prima striscia di posizione ampia 2 11 ; ;

Si tracci la retta RSi tracci la retta R22RR22 con la sua striscia di posizione ampia 2 con la sua striscia di posizione ampia 222..

Le due strisce si tagliano Le due strisce si tagliano secondo il secondo il parallelogramma ABCD, parallelogramma ABCD, detto detto parallelogramma di parallelogramma di errore o di certezzaerrore o di certezza..

Se le due rette fossero Se le due rette fossero esatte, il punto nave esatte, il punto nave cadrebbe in Z, poiché cadrebbe in Z, poiché sono erronee può cadere sono erronee può cadere in un punto qualunque di in un punto qualunque di ABCDABCD

L’errore massimo sul punto Z ottenuto si ha quando il punto nave vero cade in A o L’errore massimo sul punto Z ottenuto si ha quando il punto nave vero cade in A o in C, gli estremi, cioè della diagonale maggiore del parallelogramma di certezza.in C, gli estremi, cioè della diagonale maggiore del parallelogramma di certezza.

Sia l’angolo (<o= 90°) formato fra le due rette; esso è uguale alla differenza a fra gli azimut delle due rette, o al supplemento 180°- a di tale differenza.

Per ricavare Per ricavare l’errore massimo ZAl’errore massimo ZA sul punto Z, dal triangolo AZF, per il sul punto Z, dal triangolo AZF, per il Teorema Teorema di Carnotdi Carnot si Ha: si Ha:

AZ² = ZF² + FA² - 2ZF * FA *cos AFZAZ² = ZF² + FA² - 2ZF * FA *cos AFZ

ma: ma: AFZ = 180°-AFZ = 180°- cos(180°-cos(180°- ) = - cos ) = - cos

per cui:per cui:

AZ² = ZF² + FA² + 2ZF * FA *cos AZ² = ZF² + FA² + 2ZF * FA *cos

Dal Punto A si tracciano le perpendicolari AH e AI sulle due rette.

Dal triangolo rettangolo AHG si ricava:

AH = AG sen AGHAH = AG sen AGH

ma: ma: AH = AH = 11 AG = ZFAG = ZF AGH = AGH =

per cui:per cui: 1 1 = ZF sen = ZF sen

da cui:da cui: ZF = ZF = 11 / sen / sen

Analogamente dal triangolo rettangolo AIF si ricava :Analogamente dal triangolo rettangolo AIF si ricava :

FA = FA = 2 2 / sen / sen

Sosdtituendo nalla formula di Carnot:Sosdtituendo nalla formula di Carnot:

AZ² = ZF² + FA² + 2ZF * FA *cos AZ² = ZF² + FA² + 2ZF * FA *cos

cos2

221

2

22

2

212

sensensenAZ

dalla quale:dalla quale:

221

22

21 cos2

senAZ

Quando ( e cioè la differenza degli azimut) e 90° (o 270°), l’errore diventa il più piccolo possibile, perché il denominatore risulta massimo (sen = 1) e il numeratore minimo

22

21 AZ

il parallelogramma di sicurezza si riduce in tal caso a un rettangolo o, in caso di errori il parallelogramma di sicurezza si riduce in tal caso a un rettangolo o, in caso di errori uguali, a un quadrato.uguali, a un quadrato.

Quando invece l’angolo Quando invece l’angolo è 0° , i denominatore si annulla e l’errore diventa è 0° , i denominatore si annulla e l’errore diventa infinitamente grande. Tanto per porre un limite , è bene che l’angolo non sia inferiore a infinitamente grande. Tanto per porre un limite , è bene che l’angolo non sia inferiore a 30°.30°.

CONCLUSIONE : CONCLUSIONE : Quando l’errore accidentale è maggiore dell’errore sistematico Quando l’errore accidentale è maggiore dell’errore sistematico (caso di altezze non simultanee), perché sia minimo l’ERRORE SUL PUNTO NAVE (caso di altezze non simultanee), perché sia minimo l’ERRORE SUL PUNTO NAVE ottenuto con due rette d’altezza, è necessario che queste si taglino secondo un angolo il ottenuto con due rette d’altezza, è necessario che queste si taglino secondo un angolo il più vicino possibile a 90°, mai inferiore a 30°.più vicino possibile a 90°, mai inferiore a 30°.

2° caso - Errore accidentale 2° caso - Errore accidentale a < a < s errore sistematicos errore sistematico

Caso di due rette simultanee o quasi, anche in questo caso, poiché si ignora il Caso di due rette simultanee o quasi, anche in questo caso, poiché si ignora il segno dell’errore sistematico, va considerato un parallelogramma di certezza segno dell’errore sistematico, va considerato un parallelogramma di certezza ABCD. ABCD.

Però, siccome l’errore sistematico prevale su quello accidentale fa spostare le due Però, siccome l’errore sistematico prevale su quello accidentale fa spostare le due rette entrambe nel senso dell’azimut, o entrambe in senso contrario, ne risulta cherette entrambe nel senso dell’azimut, o entrambe in senso contrario, ne risulta che

il punto nave non può cadere indifferentemente in uno qualunque dei quattro angoli il punto nave non può cadere indifferentemente in uno qualunque dei quattro angoli formati dalle rette erronee Rformati dalle rette erronee R11RR11 ed R ed R22RR2 ; 2 ; ma cadrà in uno degli angoli ottusi ma cadrà in uno degli angoli ottusi opposti (verso B o verso D) se la differenza degli azimut è minore di 90° ;opposti (verso B o verso D) se la differenza degli azimut è minore di 90° ;

in uno degli angoli acuti opposti (verso A o verso C) se la differenza degli azimut è in uno degli angoli acuti opposti (verso A o verso C) se la differenza degli azimut è maggiore di 90°maggiore di 90°

E’ bene dunque che la differenza degli azimut sia, in questo caso, minore di 90°, E’ bene dunque che la differenza degli azimut sia, in questo caso, minore di 90°, perché i due punti B,D sono più vicini al punto Z dei punti A,C.perché i due punti B,D sono più vicini al punto Z dei punti A,C.

L’errore minimo sul punto nave si ottiene con una differenza fra gli azimut di 60° L’errore minimo sul punto nave si ottiene con una differenza fra gli azimut di 60° circa.circa.

Quando l’errore sistematico è maggiore dell’errore accidentale ( caso di rette Quando l’errore sistematico è maggiore dell’errore accidentale ( caso di rette simultanee o quasi), perché sia minimo l’errore sul punto nave ottenuto con due simultanee o quasi), perché sia minimo l’errore sul punto nave ottenuto con due rette d’altezza, è necessario che gli azimut di queste differiscano di un angolo rette d’altezza, è necessario che gli azimut di queste differiscano di un angolo acuto di circa 60°acuto di circa 60°

Ricaviamo il valore della differenza d’azimut che produce l’errore minimo nel caso in cui sia maggiore l’errore sistematico di quello accidentale.

1 = s + a1

2 = s + a2

Nell’ipotesi che l’errore sistematico s sia maggiore di quelli accidentali, gli errori

1ed 2 hanno entrambi lo stesso segno e cioè le rette esatte sono entrambe verso i rispettivi astri o in senso opposto.

Se la differenza d’azimut è 90° e gli errori sono entrambi positivi, il punto nave erroneo è Z, incontro delle rette erronee, il punto nave esatto è N, incontro delle rette esatte (punteggiate); l’errore è dato dalla distanza ZN ed è maggiore dell’errore

maggiore delle due rette 1.

Circonferenza

di raggio 1

Se si tiene ferma la retta RSe si tiene ferma la retta R11RR11 e si fa girare la R e si fa girare la R22RR22 nel senso della freccia, in modo che nel senso della freccia, in modo che il il a diminuisca, il punto N si andrà accostando alla circonferenza e la toccherà a diminuisca, il punto N si andrà accostando alla circonferenza e la toccherà quando la differenza d’azimut quando la differenza d’azimut a avrà raggiunto un particolare valore acuto di 60°, a avrà raggiunto un particolare valore acuto di 60°,

dipendente da dipendente da 11 e da e da 22 . .Diminuendo ancora Diminuendo ancora a , il punto N si allontanerà nuovamente dalla circonferenza e a , il punto N si allontanerà nuovamente dalla circonferenza e l’errore crescerà.l’errore crescerà.

Si congiunga Z con N e si conduca la perpendicolare NM. Dal triangolo NMZ, Si congiunga Z con N e si conduca la perpendicolare NM. Dal triangolo NMZ, rettangolo in M, si ricava:rettangolo in M, si ricava:

NM = NZ cos MNZNM = NZ cos MNZ

ma: NM = 22 NZ = NZ = 11 MNZ =MNZ = a a

per cui : per cui : 22 = = 11 coscos a a

da cui:da cui:

1

2cos

a

Cioè : Il Coseno della differenza d’azimut Il Coseno della differenza d’azimut a è uguale al quoziente tra l’errore a è uguale al quoziente tra l’errore

minimo minimo 22 e l’errore maggiore e l’errore maggiore 11 sulle due rette, quando essi hanno il medesimo sulle due rette, quando essi hanno il medesimo segno.segno.

Conclusione: Conclusione: quando le altezze osservate sono simultanee non si può quando le altezze osservate sono simultanee non si può affermare con sicurezza che prevalga l’errore sistematico, si può concludere che in affermare con sicurezza che prevalga l’errore sistematico, si può concludere che in ogni caso è bene che le rette si taglino ad angolo retto e che cioè gli azimut ogni caso è bene che le rette si taglino ad angolo retto e che cioè gli azimut differiscano di 90° o di un angolo acuto (non inferiore a 30°) piuttosto che di un differiscano di 90° o di un angolo acuto (non inferiore a 30°) piuttosto che di un angolo ottuso.angolo ottuso.

Bisettrice d’AltezzaBisettrice d’Altezza

Supponiamo che le due rette RSupponiamo che le due rette R11RR11 ed R ed R22RR22 siano affette da errore uguale; sia O il siano affette da errore uguale; sia O il loro punto d’incontro e siano a1 ed a2 le direzioni degli azimut rispettivi , la cui loro punto d’incontro e siano a1 ed a2 le direzioni degli azimut rispettivi , la cui differenza sia ( contata semicircolarmente cioè da 0° a 180°):differenza sia ( contata semicircolarmente cioè da 0° a 180°):

a = a a = a 11 - a - a 22

Le due rette si tagliano secondo due angoli supplementari ( uno minore, l’altro Le due rette si tagliano secondo due angoli supplementari ( uno minore, l’altro maggiore di 90°) nei quali l’uno è uguale alla differenza degli azimut maggiore di 90°) nei quali l’uno è uguale alla differenza degli azimut a , e l’altro a a , e l’altro a 180°- 180°- a .a .

Si chiama BISETTRICE D’ALTEZZA Si chiama BISETTRICE D’ALTEZZA la retta BB, bisettrice dell’angolo la retta BB, bisettrice dell’angolo

180°- 180°- a , formato tra le rette.a , formato tra le rette.

La Bisettrice d’altezza è una LINEA DI La Bisettrice d’altezza è una LINEA DI POSIZIONE della nave, esente POSIZIONE della nave, esente dall’Errore Sistematico.dall’Errore Sistematico.

Infatti, poiché per ipotesi le due rette sono affette da errori uguali ( e cioè Infatti, poiché per ipotesi le due rette sono affette da errori uguali ( e cioè sistematici ), tali errori, comunque grandi, fanno trasportare entrambe le rette sistematici ), tali errori, comunque grandi, fanno trasportare entrambe le rette parallelamente a se stesse, della medesima quantità, nel senso dei rispettivi azimut o parallelamente a se stesse, della medesima quantità, nel senso dei rispettivi azimut o in senso contrario; per cui ilin senso contrario; per cui il punto di incontro delle due rette vere (non affette da punto di incontro delle due rette vere (non affette da errore ) errore ) coincide con un punto della bisettrice; e quindi il punto nave si trova coincide con un punto della bisettrice; e quindi il punto nave si trova sulla bisettricesulla bisettrice.

In realtà esistono anche gli errori accidentali, però se le due altezze sono osservate In realtà esistono anche gli errori accidentali, però se le due altezze sono osservate simultaneamente o quasi, poiché generalmente prevale l’errore sistematico, si può simultaneamente o quasi, poiché generalmente prevale l’errore sistematico, si può tracciare la bisettrice d’altezza, la quale elimina tale errore; tracciare la bisettrice d’altezza, la quale elimina tale errore; e la bisettrice risulterà e la bisettrice risulterà affetta da un errore dipendente soltanto dagli errori accidentaliaffetta da un errore dipendente soltanto dagli errori accidentali ..

Errore sulla BisettriceErrore sulla Bisettrice

11 = = ss + + aa11

22 = = ss + + aa22

Nell’ipotesi che l’errore Nell’ipotesi che l’errore

sistematico sistematico s s sia maggiore di sia maggiore di quelli accidentali, quelli accidentali,

ed ed 11 >> 22

Z è il punto nave vero; esso dista dalla bisettrice della quantità :Z è il punto nave vero; esso dista dalla bisettrice della quantità :

b = ZAb = ZA

che è che è L’ERRORE DELLA BISETTRICEL’ERRORE DELLA BISETTRICE, dovuto agli errori accidentali ( infatti se , dovuto agli errori accidentali ( infatti se questi non esistessero le rette vere si incontrerebbero su un punto della bisettrice)questi non esistessero le rette vere si incontrerebbero su un punto della bisettrice)

Una delle rette vere taglia in C la Bisettrice, se conduciamo per C le Una delle rette vere taglia in C la Bisettrice, se conduciamo per C le perpendicolari:perpendicolari:

CN = CN = 22 MCE = MCE = 11

poiché: poiché: CM = CN = CM = CN = 22

risulta che : risulta che : CE = ME - CM = CE = ME - CM = 11 - - 22

dal triangolo ZCE, retto in E, si ha:

CE = CZ sen CZE

e poiché:

CZE = 180° - a

CE = 11 - - 22

risulta :risulta : 11 - - 22 = CZ sen= CZ sen aa

e:e:

asenCZ

21

Dal Triangolo AZC, rettangolo in A:Dal Triangolo AZC, rettangolo in A: AZ = CZ sen ZCAAZ = CZ sen ZCA

e poiché:e poiché:

AZ = bAZ = b

ZCA = (180°- ZCA = (180°- a)/2 =

= 90° - a/2

b = CZ cos (a/2)

Sostituendo a CZ il suo valore :

2cos21 a

asenb

ma: dalla trigonometria

2cos

22

aasenasen

per cui sostituendo e semplificando

22

21

asen

b

ma: 212121 aaaSaS

per cui:

22

21

asen

b aa

22

21

asen

b aa

In questa espressione non compare l’errore In questa espressione non compare l’errore sistematico, cioè: cioè sistematico, cioè: cioè l’errore della bisettrrice l’errore della bisettrrice dipende dai soli errori accidentali delle due rette dipende dai soli errori accidentali delle due rette ed è indipendente dall’errore sistematico; ciò ed è indipendente dall’errore sistematico; ciò equivale a dire che equivale a dire che la bisettrice elimina l’errore la bisettrice elimina l’errore sistematico.sistematico.

Poiché, la differenza fra gli errori accidentali (a1 - a2) è generalmente molto piccola , la BISETTRICE d’Altezza è una linea di posizione più precisa della retta d’altezza.

Perché sia minimo l’errore “b” è necessario ( a parità di errori accidentali) che il denominatore (2sen(a/2) sia massimo: è ciò si ottiene quando a= 180°

sen(a/2) = sen(180/2) = 1

La Bisettrice ( corrispondente a La Bisettrice ( corrispondente a a = 180° ) si dice OTTIMAa = 180° ) si dice OTTIMA

Se la Se la a diminuisce , l’errore della bisettrice “b” cresce, e diventa a diminuisce , l’errore della bisettrice “b” cresce, e diventa infinito quando infinito quando a=0°.a=0°.

Quando Quando a<60° non è conveniente tracciare la bisettrice. Non è a<60° non è conveniente tracciare la bisettrice. Non è neppure conveniente tracciare la bisettrice quando le due rette non neppure conveniente tracciare la bisettrice quando le due rette non sono simultanee: infatti, allora prevale l’errore accidentale, e quindi il sono simultanee: infatti, allora prevale l’errore accidentale, e quindi il

numeratore numeratore ((aa11 - - aa22) può raggiungere valori notevoli.) può raggiungere valori notevoli.

CONCLUSIONI:CONCLUSIONI:due rette simultanee o quasi ( e cioè affette due rette simultanee o quasi ( e cioè affette da un errore sistematico maggiore degli accidentali ) danno da un errore sistematico maggiore degli accidentali ) danno un punto nave erroneo ma una buona linea di posizione un punto nave erroneo ma una buona linea di posizione ( BISETTRICE D’ALTEZZA), purchè la differenza fra gli ( BISETTRICE D’ALTEZZA), purchè la differenza fra gli azimut sia maggiore di 60°, la bisettrice è OTTIMA, quando azimut sia maggiore di 60°, la bisettrice è OTTIMA, quando la differenza fra gli azimut è 180°.la differenza fra gli azimut è 180°.

la bisettrice non va tracciata quando l’errore accidentale la bisettrice non va tracciata quando l’errore accidentale prevale su quello sistematico (prevale su quello sistematico (Osservazioni non simultanee)Osservazioni non simultanee)

Punto Nave con Tre e Quattro rette D’altezzaPunto Nave con Tre e Quattro rette D’altezza

Il Il Punto Nave ottenuto con due rette d’altezzaPunto Nave ottenuto con due rette d’altezza è generalmente è generalmente poco esattopoco esatto: perciò va : perciò va considerato un considerato un Parallelogramma di CertezzaParallelogramma di Certezza di superficie più o meno ampia, di superficie più o meno ampia, entro il quale è contenuto il punto nave.entro il quale è contenuto il punto nave.

Un punto migliore, ma non ancora sicuro, si ottiene per mezzo di tre rette d’altezza Un punto migliore, ma non ancora sicuro, si ottiene per mezzo di tre rette d’altezza simultanee o rese tali mediante un breve trasporto.simultanee o rese tali mediante un breve trasporto.

Le tre rette, se fossero esatte, dovrebbero passare per lo stesso punto (punto nave); Le tre rette, se fossero esatte, dovrebbero passare per lo stesso punto (punto nave); siccome sono affette da errori sistematici ed accidentali siccome sono affette da errori sistematici ed accidentali non passano generalmente non passano generalmente per lo stesso punto, ma formano un triangolo di superficie più o meno ampia.per lo stesso punto, ma formano un triangolo di superficie più o meno ampia.

Si tracciano le bisettrici d’altezza (bastano due), le quali, nel punto di incontro, Si tracciano le bisettrici d’altezza (bastano due), le quali, nel punto di incontro, danno il punto nave Z ESENTE DALL’ERRORE SISTEMATICO.danno il punto nave Z ESENTE DALL’ERRORE SISTEMATICO.

Siccome l’errore sistematico, quando le rette sono simultanee o quasi, è il più Siccome l’errore sistematico, quando le rette sono simultanee o quasi, è il più temibile, mentre gli accidentali sono generalmente piccoli, sul punto nave ottenuto temibile, mentre gli accidentali sono generalmente piccoli, sul punto nave ottenuto con le bisettrici d’altezza con le bisettrici d’altezza si può riporre un maggior grado di fiducia rispetto a si può riporre un maggior grado di fiducia rispetto a quello ottenuto con due rette d’altezza. quello ottenuto con due rette d’altezza.

Il Punto nave cade all’INTERNO del triangolo formato dalle rette quando le Il Punto nave cade all’INTERNO del triangolo formato dalle rette quando le bisettrici bisecano gli angoli interni del triangolo stesso ( ciò avviene quando la bisettrici bisecano gli angoli interni del triangolo stesso ( ciò avviene quando la Somma di due differenze d’azimut consecutive sia maggiore di 180°);Somma di due differenze d’azimut consecutive sia maggiore di 180°);

Cade all’ESTERNO quando una delle bisettrici è di un angolo interno; le altre Cade all’ESTERNO quando una delle bisettrici è di un angolo interno; le altre due, degli angoli esterni non adiacenti a questo ( ciò avviene quando la somma due, degli angoli esterni non adiacenti a questo ( ciò avviene quando la somma di due differenze d’azimut sia INFERIORE a 180°di due differenze d’azimut sia INFERIORE a 180°

La forma della figura dipende, cioè, esclusivamente dalle direzioni verso le quali La forma della figura dipende, cioè, esclusivamente dalle direzioni verso le quali sono stati osservati i singoli astri, la scelta dei quali ha, perciò grande sono stati osservati i singoli astri, la scelta dei quali ha, perciò grande importanza.importanza.

Ottenuto in Z il punto nave con le bisettrici, è possibile misurare l’errore Ottenuto in Z il punto nave con le bisettrici, è possibile misurare l’errore Sistematico delle tre altezze osservate, purché si supponga trascurabile l’errore Sistematico delle tre altezze osservate, purché si supponga trascurabile l’errore accidentale di ciascuna di esse, accidentale di ciascuna di esse, supposizione che si può fare in genere, perché supposizione che si può fare in genere, perché l’errore accidentale medio è inferiore ad un mezzo primo.l’errore accidentale medio è inferiore ad un mezzo primo.

L’ERRORE SISTEMATICO, espresso in primi di arco, è uguale alla distanza, L’ERRORE SISTEMATICO, espresso in primi di arco, è uguale alla distanza, espressa in miglia, fra il punto nave e una qualsiasi delle tre rette d’altezza in espressa in miglia, fra il punto nave e una qualsiasi delle tre rette d’altezza in base alle quali si è ottenuto il punto nave.base alle quali si è ottenuto il punto nave. Si può rilevare col compasso dal grafico Si può rilevare col compasso dal grafico e misurare sulla scala delle latitudini.e misurare sulla scala delle latitudini.

Le rette dovrebbero passare per il punto Z; l’errore sistematico ha prodotto il Le rette dovrebbero passare per il punto Z; l’errore sistematico ha prodotto il loro spostamento; si può convenire di considerare positivo l’errore se lo loro spostamento; si può convenire di considerare positivo l’errore se lo spostamento delle rette è avvenuto nel senso dell’azimut; negativo, nel caso spostamento delle rette è avvenuto nel senso dell’azimut; negativo, nel caso contrario.contrario.

Z cade fuori dal triangolo, può avvenire che la differenza fra due azimut Z cade fuori dal triangolo, può avvenire che la differenza fra due azimut d’osservazione sia < (inferiore) a 60°, la bisettrice corrispondente risulta mal d’osservazione sia < (inferiore) a 60°, la bisettrice corrispondente risulta mal determinata, riultando mal determinato anche il punto Z, il quale cade a determinata, riultando mal determinato anche il punto Z, il quale cade a GRANDE distanza dalle tre rette. In questo caso risulta molto grande l’errore GRANDE distanza dalle tre rette. In questo caso risulta molto grande l’errore sistematico.sistematico.

Allora è più opportuno tracciare la sola bisettrice ben determinata ( quella Allora è più opportuno tracciare la sola bisettrice ben determinata ( quella dell’angolo interno del triangolo formato dalle rette ) e considerare come dell’angolo interno del triangolo formato dalle rette ) e considerare come punto nave il punto Z’.punto nave il punto Z’.

La sostituzione del punto Z’ al punto Z è tanto più giustificata quanto più si La sostituzione del punto Z’ al punto Z è tanto più giustificata quanto più si avvicina a 90° l’angolo sotto cui si tagliano l’unica bisettrice e la terza retta avvicina a 90° l’angolo sotto cui si tagliano l’unica bisettrice e la terza retta d’altezza.d’altezza.

Il punto Nave con tre rette d’altezza simultanee o quasi, generalmente è un buon Il punto Nave con tre rette d’altezza simultanee o quasi, generalmente è un buon punto nave, esente dall’ERRORE SISTEMATICO. Non è però sempre punto nave, esente dall’ERRORE SISTEMATICO. Non è però sempre SICURO.SICURO.

Se si commettono gravi errori accidentali il punto (pur cadendo vicino al punto Se si commettono gravi errori accidentali il punto (pur cadendo vicino al punto stimato) è un punto errato, per questo punto mancano gli elementi di stimato) è un punto errato, per questo punto mancano gli elementi di controllo, .. che invece sono presenti per i punti a quattro rette.controllo, .. che invece sono presenti per i punti a quattro rette.

CONCLUSIONI: CONCLUSIONI: Nel Caso di tre osservazioni , le migliori Nel Caso di tre osservazioni , le migliori condizioni si hanno quando i tre astri si osservano a 120° condizioni si hanno quando i tre astri si osservano a 120° in azimut l’uno dall’altro. Le tre rette vengono a formare in azimut l’uno dall’altro. Le tre rette vengono a formare un triangolo equilatero al cui centro è il punto nave .un triangolo equilatero al cui centro è il punto nave .

Il Punto ha sufficiente precisione comunque grande sia Il Punto ha sufficiente precisione comunque grande sia l’errore sistematico e sia piccolo quello accidentale.l’errore sistematico e sia piccolo quello accidentale.

Punto Nave con quattro rette d’altezza simultanee o quasi- Punto Nave con quattro rette d’altezza simultanee o quasi- Punto OTTIMO- Misura dell’errore sistematico e accidentale Punto OTTIMO- Misura dell’errore sistematico e accidentale medio.medio.

Osserviamo quattro astri i cui Osserviamo quattro astri i cui azimut differiscano di 90° l’uno azimut differiscano di 90° l’uno dall’altro.dall’altro.

Ne risultano quattro rette Ne risultano quattro rette d’altezza le quali danno luogo a d’altezza le quali danno luogo a due BISETTRICI ottime che si due BISETTRICI ottime che si tagliano ad angolo retto nel tagliano ad angolo retto nel punto nave.punto nave.

E’ questo il PUNTO OTTIMO, che si può ottenere soltanto ai crepuscoli nautici E’ questo il PUNTO OTTIMO, che si può ottenere soltanto ai crepuscoli nautici di mattina o di sera; l’unico SICURO.di mattina o di sera; l’unico SICURO.

Infatti, discutendo l’errore della bisettrice, si è detto che una Bisettrice d’altezza Infatti, discutendo l’errore della bisettrice, si è detto che una Bisettrice d’altezza è una linea di posizione esente dall’errore sistematico, ma affetta da errori è una linea di posizione esente dall’errore sistematico, ma affetta da errori accidentali;accidentali;

questi ultimi producono un errore minimo (eguale alla loro semidifferenza questi ultimi producono un errore minimo (eguale alla loro semidifferenza algebrica), quando la differenza fra gli azimut delle rette che la determinano è algebrica), quando la differenza fra gli azimut delle rette che la determinano è 180°; allora la bisettrice si dice OTTIMA.180°; allora la bisettrice si dice OTTIMA.

però , la bisettrice è affetta da errori accidentali; in luogo di essa va perciò però , la bisettrice è affetta da errori accidentali; in luogo di essa va perciò considerata una STRISCIA DI POSIZIONE.considerata una STRISCIA DI POSIZIONE.

Due strisce di posizione danno luogo a un Parallelogramma di errore, dal quale si Due strisce di posizione danno luogo a un Parallelogramma di errore, dal quale si ricava che, perché la determinazione del punto nave sia la migliore, le due lienee ricava che, perché la determinazione del punto nave sia la migliore, le due lienee di posizione (bisettrici) devono trovarsi ad angolo retto (90°)di posizione (bisettrici) devono trovarsi ad angolo retto (90°)

Danno inoltre modo di Danno inoltre modo di controllare un eventuale errorecontrollare un eventuale errore commesso nel calcolo o nel commesso nel calcolo o nel tracciamento delle rette.tracciamento delle rette.

Se non vi è errore, le quattro frecce indicanti le direzioni degli azimut devono essere tutte Se non vi è errore, le quattro frecce indicanti le direzioni degli azimut devono essere tutte rivolte verso il punto nave, oppure tutte in direzione opposta. Se questa circostanza non è rivolte verso il punto nave, oppure tutte in direzione opposta. Se questa circostanza non è verificata significa che:verificata significa che:

• è stato commesso un errore nell’osservazione, o nel calcolo o nel tracciamento delle rette;

•oppure nell’istante delle osservazioni c’erano eccezionali condizioni meteo, per cui gli errori accidentali risultano maggiori del sistematico

Per mezzo di quattro rette d’altezza è possibile ottenere un valore dell’ERRORE Per mezzo di quattro rette d’altezza è possibile ottenere un valore dell’ERRORE SISTAMATICO ed uno approssimato dell’ERRORE ACCIDENTALE MEDIO.SISTAMATICO ed uno approssimato dell’ERRORE ACCIDENTALE MEDIO.

Per ogni coppia di rette, l’ERRORE SISTEMATICO, in primi di arco, è rappresentato, in grandezza e segno, dalla distanza in miglia fra il punto Z ed una qualunque delle due rette, ed è NEGATIVO se le frecce sono rivolte verso il punto nave, POSITIVO se rivolte in senso contrario.

Indicando con d1 e d2 le due distanze in miglia che si ottengono per le due coppie di rette in base alle quali sono state tracciate le bisettrici, si può assumere come valore dell’errore sistematico per le quattro rette la loro media (semisomma algebrica):

221 dd

S

d1

d2

L’ERRORE ACCIDENTALE MEDIO si può ritenere uguale alla differenza algebrica:

21 dda

CONCLUSIONI: CONCLUSIONI: La determinazione di un miglior punto La determinazione di un miglior punto nave si ottiene con l’osservazione simultanea o quasi nave si ottiene con l’osservazione simultanea o quasi delle altezze di quattro astri, i cui azimut differiscano delle altezze di quattro astri, i cui azimut differiscano successivamente di 90° l’uno dall’altro. Si ottiene ancora successivamente di 90° l’uno dall’altro. Si ottiene ancora un ottimo punto nave quando la differenza d’azimut è un ottimo punto nave quando la differenza d’azimut è compresa fra 60° e 90°. ( ma mai inferiore a 60°) compresa fra 60° e 90°. ( ma mai inferiore a 60°)