Captulo 9

El Spin

9.1. El Spin del Electron: una variable dinamica no clasica

La evidencia experimental sobre el comportamiento de los atomos en campos magneticos- particularmente el efecto Zeeman, y la experiencia de Stern-Gerlach - conducen an 1925 a lahipotesis del spin del electron (Goudsmit y Uhlenbeck). Los datos experimentales se podanexplicar suponiendo que un electron posee un momento magnetico intrinseco ~, que solopuede tomar dos valores si se lo mide en cualquier direccion espacial. Este momento noposee analogo clasico alguno; no esta asociado con la rotacion de una partcula de dimensionesfinitas. No seguiremos aqui el desarrollo historico, que es fascinante pero tortuoso (R. Kronig:The Turning Point; B.L. van der Waerden: The Exclusion Principle and Spin; ambos enMemorial Volume, Interscience, New York 1960).

Primeramente, debemos suponer que el momento magnetico ~ - que es directamente ob-

servable - estara representado por un operador correspondiente ~ ; pero sobre que actuaeste operador? Suponemos la existencia de una variable dinamica (sin analogo clasico) lla-mada spin, a la cual estara asociado el momento magnetico. Dado que la proyeccion de ~en cualquier direccion solo adopta dos valores, la variable de spin s , sera discreta con dos

posibles valores que llamaremos . Cada una de las tres componentes de ~ sera un operadorhermtico con autovalores . El espacio de estados de spin del electron sera entonces unespacio de funciones de s :

: (r, s) (r, s) .Esta claro que podemos ver a este espacio como vectores de dos componentes cada una delas cuales es una funcion de r:(

+()()

), (r) := (r,) .

Si no consideramos la variable dinamica orbital r nos queda simplemente C2 como espaciode estados. O sea un estado de spin del electron viene dado por un vector(

z1z2

), z1, z2 C .

Ahora bien, el operador ~ debe entonces actuar sobre C2 . Para determinar este operadorusaremos el comportamiento de ~ ante rotaciones del espacio tridimensional fsico. Buscamos

147

entonces, como primer paso, representar estas rotaciones por operadores unitarios que actuansobre C2 :

(9.1) Rotacion de R3 : D(e, ) U(e,) .Recordamos (viz. 6) para ello que toda rotacion pura D(e, ) puede escribirse como (6.6)

D(e, ) = eeG ,

donde G es el vector formado por los tres generadores de las rotaciones alrededor de x , y ,y z respectivamente. Estos generadores satisfacen las relaciones de conmutacion (6.7):

[Gj, Gk] =3

=1

j,k,G .

De la relacion (9.1) de representacion, y de

U(e,) = eebX ,

deducimos que los operadores generadores X = (X1, X2, X3) deben satisfacer las mismasrelaciones de conmutacion:

[Xj, Xk] =3

=1

j,k,X .

Ademas, como U(e,) debe ser unitario, deducimos que

Xj = Xj .Conviene (pero no es para nada indispensable) trabajar con operadores hermticos, y defini-mos 1:

= 2iX .

En terminos de tenemos:

(9.2) [j, k] = 2i3

=1

j,k, ;

i.e.,

[1, 2] = 2i3 , [3, 1] = 2i2 , [2, 3] = 2i1 , todos los demas conmutadores son 0 .

Determinemos ahora al operador en terminos del terceto de matrices (2 2) , . Pri-meramente, la relacion (9.2) implica que la traza de cada j se anula. Como las matricescorrespondientes son hermticas, podemos escribir:

j =

(aj bjbj aj

), aj real y bj complejo .

1El factor 2 es conveniente, como se vera mas adelante

148

Haciendo un cambio de base, podemos suponer que 3 es diagonal (b3 = 0 , a3 = ):

3 =

( 00

), real y positivo .

Conmutando 1 y luego 2 con 3 obtenemos las siguientes relaciones2:

= 1 , a1 = a2 = 0 , b2 = ib1 , | b1 |= 1 .Luego,

1 =

(0 ei

ei 0

), 2 =

(0 iei

iei 0

), 3 =

(1 00 1

), 0 < 2 .

Ahora, es facil verificar que la matriz

u :=

(ei2 0

0 ei2

)es unitaria, y que

u3u =(

1 00 1

), u1u =

(0 11 0

), u2u =

(0 ii 0

).

Esto demuestra el siguiente resultado:Si las tres matrices autoadjuntas (2 2) satisfacen las relaciones (9.2), entonces existe

una matriz unitaria u tal que

u3u =(

1 00 1

), u1u =

(0 11 0

), u2u =

(0 ii 0

).

Estas son las matrices de Pauli.Las matrices de Pauli satisfacen ademas:

(9.3) jk = i3

=1

j,k, , j 6= k ,

y

(9.4) 2j =

(1 00 1

).

Para cualquier par de vectores ~a , ~b , se tiene la relacion

(9.5) (~ ~a)(~ ~b) = ~a ~b+ i~(~a~b) .que es de suma utilidad.

Retornamos al programa de determinar ~. Para cualquier estado ( = 1),2Haga el calculo por favor

149

~ =< , ~ > .

Ante una rotacion D(e, ) del espacio tridimensional fsico debemos tener:

D(e, )~ = U(e,), ~U(e,) =< ,U(e,)U(e,) ;esta relacion es equivalente a

(9.6) U(e,)U(e,) = D(e, ) .

Diferenciando con respecto al angulo y poniendo = 03, y variando sobre todos los ejesposibles obtenemos las siguientes condiciones necesarias y suficientes para (9.6):

[j, k] = 2i3

=1

j,k, .

O en forma mas succinta

(9.7) ~ = 2i~ .Es inmediato demostrar 4 directamente que estas relaciones de conmutacion implican que ~es proporcional a

~ = , real .

Uno de los motivos que indujeron a la hipotesis del spin fue que el momento angularorbital ~L no era conservado para atomos en campos magneticos. La propuesta entonces essumarle a ~L el momento angular ~S correspondiente al spin para obtener el momento angulartotal

J = L+ S

que si es una magnitud conservada. Como S debe transformar como un vector, el operador

asociado S debe cumplir las mismas reglas de conmutacion (9.7) con que el operador

vectorial ~ , o sea que tambien S es proporcional a . La correspondiente constante de

proporcionalidad debe tener la dimension de una accion. Ademas, como i~L genera los

unitarios que representan las rotaciones en el estado orbital y [L, S] = 0 ; si queremos que

J genere los unitarios que representan a las rotaciones en el espacio de los estados, debemosponer

S =~

2 .

Asi, los tres operadores J , L , y S cumplen con las mismas relaciones de conmutacion queson caracteristicas para un momento angular. En particular

[Sj, Sk] = i~3

=1

j,kS .

Los autovalores del operador S u en la direccion del versor u son ~2, y hablamos de un

spin s = 1/2 . Ademas S 2 = 3~2

41 = ~2s(s+ 1)1 .

3Use los resultados del 6 para el miembro derecho.4Esto es de hecho consecuencia de un resultado mucho mas general que veremos mas adelante (Wigner-Eckart).

150

9.2. El Spin en general

La evidencia experimental demuestra que toda partcula elemental posee un momentomagnetico intrinseco (este puede ser 0) tal que la medicion en cualquier direccion puedetomar valores discretos distribuidos equidistantemente en un intervalo [, ] . El numeron de estos valores es caracterstico para la partcula, si bien el valor de dependera porejemplo de la magnitud de campos magneticos aplicados, etc. Como lo acabamos de hacerpara el caso de spin s = 1/2 , se le asocia al momento magnetico intrinseco un spin via elanalisis de las representaciones de las rotaciones. Para ello buscamos que la dimension delespacio de Hilbert asociado al spin tenga dimension minimal, o sea n. Ahora bien es unresultado matematico que, salvo una transformacion unitaria, hay una unica representacionproyectiva unitaria {U(e,) : (e, ) SO(3)} del grupo de rotaciones SO(3) (o bien una unicarepresentacion unitaria de su grupo de cubrimiento SU(2)) en Cn de modo que se cumpla lasiguiente condicion de irreducibilidad

(9.8) U(e,)AU(e,) = A = A = z1 con z C .El operador de spin S = (S1, S2, S3) es simplemente i~ Generador :

U(e,) = e i

~eS .

Se tiene:

[Sj, Sk] = i~3

=1

j,kS .

Los autovalores del operador S u en la direccion del versor u son los n numeros~s , ~(s 1) , , ~(s 1) , ~s ,

y hablamos de un spin de magnitud s = n12, i.e., n = 2s+1 . La condicion de irreducibilidad

(9.8) es equivalente a

(9.9) [A, Sj] = 0 para j = 1, 2, 3 = A = z1 con z C .Y, ya que S2 conmuta con cada componente de S, necesariamente S2 es un multiplo de la

identidad, concretamente: ~S2

= ~2s(s+1)1 . Nuevamente, el momento magnetico intrinseco estara representado por un operador que es proporcional a S. En resumen, un spin elementalde magnitud s (un numero semientero no-negativo) es el generador de una representacionunitaria irreducible de SU(2) en C2s+1.

9.3. Las interacciones de un Spin

La energa de un momento magnetico ~ en un campo magneticoH es ~ H . El operadorque representa el momento magnetico ~, asociado a un spin s es proporcional al operador

de spin S:

~ = ge~

mcS ,

151

donde e es la carga elemental, m es la masa de la partcula, y c es la velocidad de la luz.El factor g que no tiene dimension, es caracterstico para la partcula; el valor puede obte-nerse a partir de ecuaciones relativistas (Ecuacion de Dirac par el electron, etc.). Ademas elspin, mejor dicho el correspondiente momento magnetico, interactua con el momento orbi-tal. En efecto, si la partcula tiene carga electrica, su movimiento orbital produce un campomagnetico; la interaccion correspondiente (que se vera mas adelante) resulta proporcional a

~L S.

9.4. Sistemas de dos niveles: polarizacion

Llamamos a un sistema de dos niveles si el espacio de estados tiene dimension 2 . Elejemplo mas pertinente es el del caso de un spin 1/2 ; pero aparecen en fsica muchos otrosejemplos, en general en discusiones aproximativas. Hay una particularidad en dimension 2 :

todo operador A sobre C2 es combinacion lineal de 1 , 2 , 3 , y o := 1 :

(9.10) A =1

2

(tr(A)o +

3j=1

tr(Aj)j

).

Esta identidad puede verificarse explicitamente en terminos matriciales, pero es consecuenciainmediata del siguiente resultado que usted puede demostrar sin dificultad alguna:

Sea H un espacio de Hilbert de dimension finita.

>:= tr(AB) ,

define un producto escalar sobre el espacio vectorial de los operadores lineales sobre H .Ahora, en el caso de dos niveles (usando (9.3), (9.4), y tr(j) = 0 , j 6= 0) es inmediato

verificar que:

>= 2jk , j, k {0, 1, 2, 3} .Como hay a lo sumo cuatro operadores no nulos linealmente independientes en dimension2 , las cuatro multiplicadas por 1

2forman una base ortonormal, y (9.10) no es otra cosa

que el desarrollo de A en esta base. Reescribimos la relacion (9.10) como

(9.11) A =1

2tr(A)1 +A , A := 1

2tr(A) .

Si el estado del sistema esta dado por un vector normalizado C2 y utilizamos (9.11),entonces el valor esperado de A en este estado es

, A = 12tr(A) + ,A = 1

2tr(A) +A , = 1

2tr(A) +A P ,

donde convenimos que la polarizacion P R3 asociada con el estado es(9.12) P := , .

152

Observese que modulo multiplicacion por ~, la polarizacion es el valor esperado de 2S ypor ende un vector cuyas tres componentes son reales y de modulo menor o igual a 1. Masespecificamente, Se puede demostrar que el vector polarizacion es unitario, i.e.,

P P = 1 .Interesa en general la dinamica dada por un Hamiltoniano H autoadjunto. De la ecuacion

de movimiento

i~d

dtt = Ht , o = ,

y su solucion

t = Ut , Ut = ei bHt/~ ,

obtenemos inmediatamente que

Pt = t, t = , UtUt ,la polarizacion al tiempo t, satisface la ecuacion de movimiento

d

dtPt =

d

dt, UtUt = i

~, Ut[H, ]Ut .

Usando (9.11), obtenemos:

[H, j] = [H , j] = H [, j]

=3

k=1

Hk[k, j] = 2i3

k=1

Hk

3=1

k,j, = 2i3

k=1

3=1

j,k,Hk = 2i(H )j ;

o sea:[H, ] = 2iH .

Luego,d

dtPt =

2

~, Ut (H ) Ut = 2

~H , UtUt = 2

~HPt .

La ecuacion de movimiento es entonces

d

dtPt =

2

~HPt , Po = P ,

que es enteramente clasica y provee via la formula para los valores esperados todo lo quequeremos saber. Note que esta ecuacion es analoga a la de un rotor clasico. La solucion Ptprecesa alrededor de H con velocidad angular constante (2/~)|H|.

Observese que lo hecho demuestra que un spin 1/2 puro desconsiderando las variablesorbitales es totalmente equivalente a un rotor clasico, o sea un punto que se mueve en lasuperficie de la esfera de radio 1 en R3. En este sentido, el spin 1/2 es un sistema dinamicoclasico.

153

154

Captulo 10

Estados y composicion de sistemas

cuanticos

10.1. Estados

10.1.1. Una descripcion alternativa del estado

Hasta ahora habiamos descripto el estado de un sistema cuantico por medio de un vectornormalizado en un espacio de Hilbert H. La fsica se obtiene en ultima instancia de losnumeros

(10.1) ,A ,donde A es el operador que representa la magnitud fsica A . Entonces, hay una ambiguedaden la caracterizacion del estado. En efecto todos los numeros (10.1), i.e. variando A, nodeterminan a sino hasta una fase global arbitraria. y ei con real, nos dan el mismoestado.

A todo vector normalizado H le asociamos el operador P definido por:P := , , H .

Este operador es autoadjunto e idempotente, o sea un ortoproyector. Ademas, a y a eiles corresponde el mismo proyector, como usted verificara inmediatamente. La ambiguedadno se presenta a nivel de proyectores. Recordando que la traza tr de un operador A es

tr(A) =

dim(H)j=1

j, Aj ,

donde {j : j = 1, 2, , dim(H)} es cualquier base ortonormal de H podemos verificarque

(10.2) tr(AP) = ,A .En efecto, eligiendo una base ortonormal tal que 1 = ,

tr(AP) = ,AP+dim(H)j=2

j, APj

155

= ,A+dim(H)j=2

, jj, A = ,A .

Observe que tr(P) = 1 i.e. el proyector es unidimensional1.

Veamos, para completar, que obtenemos todos los posibles proyectores unidimensionalesposibles. Si P es un proyector sus autovalores son o 0 o 1. Si P 6= 0, entonces P debe teneral menos un autovalor 1. Existe entonces un vector normalizado H tal que P = ; siexistiera otro vector normalizado tal que P = con , = 0 entonces la traza de Psera mayor o igual a 2. Por lo tanto, P = P. Hay entonces una correspondencia biunvocaentre subespacios unidimensionales, los proyectores correspondientes, y estados.

10.1.2. Estados puros y mixtos

falta: que es un estado mixto. Donde aparecen y porque.

Un operador D autoadjunto y positivo ( f,Df 0 para todo f H) que tiene tra-za tr(D) = 1, se llama un operador densidad. Vimos entonces que a todo estado mixto lecorresponde un operador densidad. Veamos que, vice versa, a todo operador densidad lecorresponde un estado. En efecto, del hecho que D tiene traza finita y es positivo, se deduceque el espectro de D es puramente discreto2 o sea que consiste puramente de autovalores ais-lados de multiplicidad finita con cero como unico posible punto de acumulacion del espectro.Reenumerando los autovalores teniendo en cuenta la multiplicidad 0 1 2 3 ,tenemos

D =j

jQj

donde los Qj son proyectores ortogonales unidimensionales y ortogonales entre si. Como1 = tr(D) =

j j, los autovalores de D satisfacen 0 j 1. Si para aquellos j para

los cuales j 6= 0, elegimos autovectores normalizados j de Qj; i.e., Qjj = j, vale decirQj = |jj|; entonces para cualquier observable A tenemos

tr(DA) =j

jtr(QjA) =j

jj, Aj ,

o sea que D es el operador densidad asociado con la mezcla de los estados vectoriales da-dos por {j : j 6= 0} con pesos {j 6= 0}. Notese tambien que un proyector ortogonalunidimensional es automaticamente un operador densidad, o, mas generalmente, si Q es unproyector ortogonal no nulo y el subespacio a donde Q proyecta es de dimension finita, en-

tonces Q = (tr(Q))1Q es un operador densidad pues: Q es autoadjunto; positivo ya que,Q = ,Q2 = Q,Q = Q2 0; y se tiene tr(Q) = dimension del subespacioQH.

1Si P = P = P 2 es un ortoproyector, sea {k : k K} una base ortonormal del subespacio PH; entonces tr(P ) =PkKk, Pk =

PkKk, k =

PkK = dim(PH).

2Esto es obvio en dimension finita. Cuando H es de dimension infinta, D resulta compacto en virtud de que es positivo y detraza finita.

156

Es importante notar que los operadores densidad los estados de un sistema cuanticoforman un conjunto convexo: si D1 y D2 son operadores densidad, entonces para cualquier0 t 1, tD1 + (1 t)D2 es un operador densidad, en tanto y en cuanto es autoadjuntopositivo y de traza tr(tD1+(1 t)D2) = ttr(D1)+(1 t)tr(D2) = 1. Si D1 esta asociado a lamezcla de los estados vectoriales asociados con j y pesos j y D2 esta asociado a la mezclade los estados vectoriales con pesos entonces tD1 + (1 t)D2, el operador densidadsuma convexa de D1 con peso t y D2 con peso (1 t), es en efecto el operador densidadasociado con la mezcla de los estados vectoriales j con pesos tj y los estados vectoriales con pesos (1 t).

Como decidimos si un dado estado un operador densidad es vectorial o no? Las si-guientes propiedades son equivalentes:

1. D2 = D;

2. Hay H tal que tr(DA) = ,A para todo operador A;3. D no se puede escribir como D = tD1 + (1 t)D2 con 0 < t < 1 y operadores densidad

D1 y D2 uno de los cuales sea distinto a D;

4. 1 (D).Esto indica que los estados vectoriales son precisamente aquellos estados que no se pueden

escribir como sumas convexas de otros estados. En otras palabras, los estados vectoriales sonlos puntos extremales del conjunto convexo de los estados y por eso se los llama tambienpuros.

El conjunto convexo de estados de una teora cuantica resulta ser totalmente distinto queel de una teora clasica. En la mecanica cuantica, se sabe como mezclar pero no comodesmezclar: hay infinitas maneras de descomponer una mezcla en componentes puras.Explicamos esto brevemente. Empecemos con un ejemplo concreto. Considere el casoH = C2,o sea el espacio de Hilbert de un spin 1/2, y el estado dado por el operador densidad

D =1

21 =

(1/2 00 1/2

);

o sea

tr(DA) =1

2tr(A) .

Tenemos

D =1

2P1 +

1

2P2 , P1 =

(1 00 0

), P2 =

(0 00 1

),

lo que descompone aD en suma convexa de los estados vectoriales asociados a los proyectoresortogonales unidimensionales Pj, j = 1, 2, dados por los vectores

1 =

(10

), 2 =

(01

);

pero tambien

D =1

2Q1 +

1

2Q2 , Q1 =

(21/2 21/2

21/2 21/2

), Q2 =

(21/2 21/221/2 21/2

),

157

lo que descompone en suma convexa de los estados vectoriales dados por

1 = 21/2

(11

), 2 = 2

1/2(

11)

.

Mas generalmente, se tiene D = 12P + 1

2P donde P es cualquier proyector ortogonal uni-

dimensional y P = 1 P es el proyector al complemento ortogonal. Es cierto que el Dplanteado es un estado muy especial; pero el lector debe aceptar (luego de una pequenareflexion) que el estado mixto mas general y distinto de la traza normalizada que acabamosde ver, es modulo transformaciones unitarias el estado dado por el operador densidad

Dt =

(t 00 1 t

), 1/2 < t < 1 .

Aceptado esto, es inmediato verificar que se tiene

Dt = (t, x)P (t, x) + (1 (t, x))Q(t, x)donde x es arbitrario en el intervalo [0, t],

(t, x) =y(t, x)

x+ y(t, x), y(t, x) =

t(1 t)xt(1 t) + (2t 1)x ,

y

P (t, x) =

(t x (t x)(1 t+ x)

(t x)(1 t+ x) 1 t+ x)

,

Q(t, x) =

(t+ y(t, x) (t+ y(t, x))((1 t y(t, x))

(t+ y(t, x))(1 t y(t, x)) 1 t y(t, x))

.

Y que tanto P (t, x) como Q(t, x) son proyectores unidimensionales 3. Asi entonces, Dt ad-mite infinitas descomposiciones en suma convexa de dos estados puros; vale decir podemosinterpretar a Dt como resultado de la mezcla de acuerdo a infinitas recetas distintas.

Hemos verificado entonces que hay infinitas maneras de desmezclar cualquier estadomixto de un spin 1/2. Si nos interesan solamente las descomposiciones en sumas convexas deestados puros que sean ortogonales entre si, tampoco logramos unicidad pues, como mues-tra la traza normalizada, la degeneracion de algun autovalor de D impide la unicidad de ladescomposicion.

Todo esto podra no sorprender a nadie si no se contrasta con la situacion en una teoraclasica. Situacion que describimos brevemente en lo que sigue.

3Note que x = t corresponde a

Dt = t

1 00 0

+ (1 t)

0 00 1

la descomposicion espectral en estados puros ortogonales entre si. Mientras que x = 0 corresponde a

Dt =1

2

t

pt(1 t)p

t(1 t) 1 t+

1

2

t

pt(1 t)

pt(1 t) 1 t

que tambien es una descomposicion en estados puros con pesos iguales. Los valores intermedios de x, 0 < x < t, proveendescomposiciones en estados no ortogonales entre si con el mayor de los pesos variando continuamente entre 1/2 y t.

158

falta: cinematica clasica. Estados y estados mixtos. Descomposicion univoca

de un estado mixto en estados puros.

falta quiza alusion a "simplex 2dibujitos explicativos (semirecta, triangulo)

vs. (rectangulo, disco). Hacer referencia al problema de la guia 1 donde se ve

que los estados en dimension 2 son isomorfos a la bola unitaria en 3 dim

10.1.3. Los estados de un spin 1/2

Retornamos al spin 1/2 y analizamos en detalle el espacio de sus estados. De acuerdo aXXX toda matriz densidad de tamano 2 2 se escribe

=1

2(1+ p ) = 1

2

(1 + p3 p1 ip2p1 + ip2 1 p3

), p = tr()

donde p R3 ya que j es autoadjunta. En concordancia con el caso de un estado puro(vease 9.4), p se denomina la polarizacion del estado . De la postividad de obtenemosque |p3| 1 y que 0 (1 + p3) (1 p3)|p1 ip2|2 = 1|p|2; o sea |p| 1. Y, viceversa, sip es un vector real dentro de la bola de radio uno, entonces dado por la formula de arribaes una matriz densidad. Esto implementa una correspondencia biunvoca entre los estadosS(C2) y la bola B3 de radio uno en R3. Veremos que esta correspondencia respeta todo loque debe respetar.

El calculo de los autovalores de en terminos del vector asociado es inmediato simplementecalculando el polinomio caracterstico para obtener

() =

{1 + |p|

2,1 |p|

2

}.

En particular, para que sea puro, i.e. un ortoproyector de espectro {1, 0} es necesario ysuficiente que |p| = 1, de modo que los estados puros corresponden a la esfera (la superficiede la bola) de radio uno. Recuperamos lo visto en la discusion de la polarizacion de un spin1/2. Pero esta observacion de que los estados puros corresponden a los puntos extremales (noconvexamente descomponibles) de la bola es consecuencia inmediata de que la aplicacion 7p es afin, o sea que a la mezcla de estados le corresponde la misma mezcla de polarizaciones.Efectivamente, si 1 tiene polarizacion p1 y 2 tiene polarizacion p2 entonces cualquiera seat [0, 1], el estado t1 + (1 t)2 se escribe

t1 + (1 t)2 = t2(1+ p1 ) + 1 t

2(1+ p1 ) = 1

2(1+ (tp1 + (1 t)p2) )

y tiene polarizacion tp1 + (1 t)p2. La correspondencia estado polarizacion preserva laestructura convexa de S(C2) y de la bola B3.Pero la concordancia es aun mejor. Considere la distancia definida en S(C2) por4 d(, ) :=tr(| |). Entonces, usando que cualquiera sea el vector a R3 tenemos (a ) ={|a|,|a|}, tenemos que si tiene polarizacion p y tiene polarizacion q entonces

d(, ) = tr(| |) = 12tr(|(p q) |) = |p q| ,

4Esto es efectivamente una distancia ya que: (1) d(, ) 0 con igualdad si y solo si = ; (2) d(, ) = d(, ); y (3)d(, t+ (1 t)) td(., ) + (1 t)d(, ).

159

lo que muestra que la correspondencia estado polarizacion es continua equipando a losestados S(C2) con la distancia d introducida, y a la bola de radio 1/2 con la distancia eu-clidea usual.

Esto demuestra que la visualizacion del espacio de estados de un spin 1/2 como la bolaunitaria en tres dimensiones es no solo adecuada sino perfecta. Las analogas geometricasdiscutidas en XXX son entonces totalmente validas.

10.2. Composicion

10.2.1. Producto tensorial

10.2.2. Producto tensorial de operadores

Regla de la cadena d(A()B())/d = (dA()/d)B() + A() (dB()/d).

160

Captulo 11

Momentos angulares

11.1. Momentos angulares y rotaciones

Recordemos las propiedades fundamentales de un momento angular. Las componentes Jj(j = 1, 2, 3) de J satisfacen

[Jj, Jk] = i~3

=1

j,k,J ;

de aqui se deduce que J 2 conmuta con cada Jj y que eligiendo la tercera componente J3 ydefiniendo

J = J1 iJ2 ,se tiene: Si es autovector normalizado de J2 al autovalor ~2 y de J3 al autovalor ~entonces se tienen las tres propiedades: (1) 0; (2) J = ~

( 1); y (3) Si

J no es nulo entonces es autovector de J2 al mismo autovalor ~2 y de J3 al autovalor~( 1). De estas tres propiedades se deduce que = j(j + 1) para algun semientero j {0, 1/2, 1, 3/2, }, que cada autovalor de J2 es degenerado con una multiplicidad que esmultiplo de 2j+1 y que los autovalores de J3 son ~m con m {j,j+1, j 1, j} paratodos los j que aparezcan y con la multiplicidad acorde al numero de veces que aparezcanestos j.

Si la multiplicidad del autovalor de J2 asociado a j es 2j+1 se puede entonces elegir unabase ortonormal {j,m : m = j,j + 1, , j 1, j} del correspondiente autoespacio Ejtal que:

(11.1) J3j,m = ~j,m , Jj,m = ~j(j + 1)m(m 1)j,m1 ,

cuando la raiz no se anula.

Consideramos un espacio de Hilbert H donde actuan las componentes de un momentoangular J y, dada una rotacion D(e, ) de R3 (alrededor del eje unimodular e por el angulo), escribimos

U(e,) = e i

~eJ ,

161

que es un operador unitario sobre H. Cuando J es un momento angular orbital dado porr p entonces hemos visto (??) que D(e, ) 7 U(e,) es una representacion, i.e.,(11.2) U(e,)U(f ,) = U(e,)(f ,) ,

unitaria, del grupo de rotaciones SO(3) de R3 . Esto sigue siendo cierto para un momentoangular arbitario? Tenemos desde luego que

d

dU(e,) =

( i~e J

)U(e,)

por lo cual (??)

U(e,)U(e,) = exp{ i~(+ )e J} .

Pero debemos recordar que la rotacion alrededor de cualquier eje por 2 es la identidad:(e, 2) (e, ) = (e, ). No tenemos ninguna garantia de que

U(e,+2) = U(e,) .

Un ejemplo inmediato es el siguiente: considere un spin S de magnitud s, entonces ten-dremos calculando en la base ortonormal s,m de autovectores simultaneos de S

2 y S3,

UD((0,0,1),) = eiS3/~ =

eis 0 00 ei(s1)/2 0 0 0 eis

;i.e., UD((0,0,1),) es diagonal con elementos diagonales

s,m, UD((0,0,1),)s,m = eim , m {p/2, , p/2} .Si = 2 tenemos

s,m, UD((0,0,1),2)s,m = ei2m ={

1 , si s {0, 1, 2, }1 , si s {1/2, 3/2, 5/2, } .

Los spins genuinamente semienteros no conduciran a representaciones.

Se puede demostrar que:

(e, ) 7 U(e,) es una representacion si y solo si U(e,2) = 1 para todo vector unimodulare.

Si todos los autovalores de J2 que son siempre de la forma ~2j(j + 1) se obtienen conj {0, 1, 2, } entonces U(e,2) = 1 para todo vector unimodular e.Si algun autovalor J2 es de la forma ~2j(j+1) con j {1/2, 3/2, , (2n+1)/2, }entonces U(e,2) 6= 1 para todo vector unimodular e.Si todos los autovalores de J2 que son siempre de la forma ~2j(j + 1) se obtienencon j {1/2, 3/2, , (2n + 1)/2, } entonces U(e,2) = 1 para todo vectorunimodular e.

162

Por lo tanto solamente se obtiene una representacion del grupo de rotaciones con exp{ie J/~} cuando los autovalores de J2 son todos naturales, o sea de la forma ~2j(j + 1) conj {0, 1, 2, }. En caso contrario se obtiene lo que se llama una representacion proyectivade SO(3). Esto es

UD(e,)UD(f ,) = (D(e, ), D(f , )) UD(e,)D(f ,) ,

donde (D(e, ), D(f , )) es un numero complejo de modulo 1 con ciertas propiedades par-ticulares que no necesitaremos ( ). Observese que

(UD(e,)UD(f ,)), A(UD(e,)UD(f ,))

= (D(e, ), D(f , ))(D(e, ), D(f , ))(UD(e,)D(f ,)), A(UD(e,)D(f ,))

= (UD(e,)D(f ,)), A(UD(e,)D(f ,)) ,por lo cual la diferencia entre UD(e,)UD(f ,) y UD(e,)D(f ,) nunca se manifiesta al calcularvalores esperados.

Otra manera de racionalizar la situacion cuando J tiene autovalores asociados a valoresgenuinamente semienteros de j es asociarle a cada rotacion D(e, ) no uno sino dos ope-radores unitarios: U(e,) y U(e,+2). Identificando luego a estos dos unitarios y escribiendo[U(e,)] para esta identificacion, se tiene [U(e,)][U(f ,)] = [U(e,)(f ,)].

Ahora bien, es un resultado matematico sumamente fundamental en sus aplicaciones a lamecanica cuantica, que toda representacion unitaria proyectiva del grupo de rotaciones sedescompone en una suma directa de representaciones unitarias proyectivas irreducibles,i.e.RUPI, de modo que el espacio de Hilbert subyacente H se descompone en una suma directade subespacios H, A, donde cada H es invariante bajo cada U(be,) y la restriccion aeste subespacio de {U(be,) : e R3 , |e| = 1 , R} es irreducible. Por otro lado,lasRUPIs son todas de dimension finita (i.e. el espacio de Hilbert subyacente es de dimensionfinita) y estan univocamente determinadas hasta equivalencia unitaria por su dimension nde modo que el generador asociado es (unitariamente equivalente) a un spin de magnituds = (n 1)/2. Entonces el conjunto A se puede identificar con algun subconjunto J de lossemienteros 1

2Z y entonces

{U(be,) = exp{i~e J} : e R3 , |e| = 1 , R}

=jJ

m(j){U [j](be,) = exp{i~e J[j]} : e R3 , |e| = 1 , R}

donde J[j] es un spin/momento angular irreducible actuando en un espacio de dimension2j+1. Las multiplicidades m(j) tienen en cuenta cuantas veces aparece la j-RUPI en la des-composicion. Esta descomposicion en suma directa es a la vez la diagonalizacion simultaneade J2 y J3.

163

11.2. Suma de momentos angulares acoplados

El problema que nos planteamos ahora es el siguiente. Supongamos que tenemos dosmomentos angulares J(1) y J(2) que actuan sobre los espacios H1 y H2 respectivamente. Eloperador

J := J(1) 1+ 1 J(2)

actuando sobre H1 H2 satisface las reglas de conmutacion de un momento angular ya que

[J1, J2] = [J(1)1 , J

(1)2 ] 1+ 1 [J (2)1 , J (2)2 ] = i~J (1)3 1+ i~1 J (2)3 = i~J3 .

Como se obtienen autovalores y autofunciones de J 2 y J3 a partir de aquellas de los dosmomentos angulares que sumamos? Unos minutos de reflexion convencen que el problemaplanteado se resuelve por combinacion de la solucion del problema mas simple que se obtienesuponiendo que H1 = Ej1 y H2 = Ej2 , i.e. o sea que los espacios donde actuan los momentosangulares a sumar, son respectivos autoespacios minimales de J(1) y de J(2). La definicionformal es la siguiente: un momento angular J actuando sobre un espacio de Hilbert se diceirreducible si no hay operadores que no sean multiplos de la identidad y conmuten con lastres componentes de J. En particular, si J es irreducible, entonces J2 es un multiplo de laidentidad.

Si sumamoms entonces dos momentos angulares irreducibles, se tiene que Ej1 Ej2 tienedimension (2j1+1)(2j2+1),

(J(1))21 = ~2j1(j1+1)11, 1 (J(2))2 = ~2j2(j2+1)11,

y

(11.3) {j1,m1 j2,m2 : m1 = j1, , j1 ; m2 = j2, , j2}

es un base ortonormal de este espacio. Esta base ortonormal diagonaliza a J3 ya que

J3j1,m1 j2,m2 = (J (1)3 j1,m1 j2,m2) + (j1,m1 J (2)3 j2,m2)

= ~(m1 +m2)j1,m1 j2,m2 ;

por lo tanto los autovalores de J3 son de la forma ~m conm = m1+m2 y tienen multiplicidad

(11.4)

{j1 + j2 + 1 |m| , para |j1 j2| |m| j1 + j22mn{j1, j2}+ 1 , para |j1 j2| |m| |j1 j2| .

El espectro de J3 es el conjunto {~m : m = j1 j2,j1 j2 + 1, , j1 + j2 1, j1 + j2}.Como el espacio es de dimension finita y J2 es autoadjunto, este operador es diagonalizable.

Sin embargo, esta base no diagonaliza a J 2 =(J(1))21+1 (J(2))2+2(J (1)1 J (2)1 +J (1)2

J(2)2 + J

(1)3 J (2)3 ).

La situacion se presenta graficamente asi:

164

- -

6

6

j1 j1 + 1 j1 + 2j1 2 j1 1 j1

j2

j2 1

j2 2

j2 + 2

j2 + 1

j2

m = j1 + j2

m = j1 + j2 1

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m = j1 + j2 2

m = j1 j2

m = j1 j2 + 1

m = j1 j2 + 2

m = j1 + j2

m = j1 + j2 1

m = j1 + j2 2

m = j1 j2 + 2

m = j1 j2 + 1

m = j1 j2

Cada punto (m1,m2) del retculo representa un vector j1,m1j2,m2 de la base (11.3); enlas diagonales se hallan todos los estados de esta base que son autoestados de J3 al autovalor~m = ~(m1 +m2). El numero de puntos del retculo en cada diagonal m = const. es iguala la dimension del autoespacio Fm de J3 al autovalor ~m; esto da la formula (11.4) para lamultiplicidad. Este subespacio es invariante ante J2 y por ende existe una base ortonormal deFm que diagonaliza a la restriccion de J2 a Fm. Hay entonces que elegir, en cada diagonal(i.e. Fm autoespacio de J3), combinaciones lineales de estados que sean autoestados de J 2.Explicitamente, si j,m es autovector comun de J

2 al autovalor ~j(j + 1) y J3 al autovalor~m , entonces en el desarrollo

(11.5) j,m =

j1m1=j1

j2m2=j2

< j1,m1 j2,m2 , j,m > j1,m1 j2,m2

solamente los coeficientes < j1,m1 j2,m2 , j,m > donde m1+m2 = m pueden ser no nulos(aplique J3!).

Arriba a la derecha tenemos la diagonal m = j1 + j2 con un solo estado. Afirmamos que:

165

El maximo autovalor de J 2 es ~2j(j + 1) con j = j1 + j2 y j1,j1 j2,j2 es autovector a eseautovalor.

Ya que Fj1+j2 = {(j1,j1j2,j2) : C} es unidimensional e invariante ante J2, tenemosque j1,j1 j2,j2 es autovector de J2 y el autovalor asociado tiene la forma ~2jo(jo+1) paraun semientero jo. Demostramos que jo = j1 + j2 y que ~

2jo(jo + 1) es el maximo autovalorde J2. Por un lado, J+(j1,j1 j2,j2) debe ser nulo pues sino obtendriamos un autovector deJ3 a un autovalor mayor a ~(j1+ j2); por lo tanto jo(jo+1) = (j1+ j2)(j1+ j2+1) de dondejo = j1 + j2. Por otro lado, si jmax es el numero semientero que nos da el autovalor maximo~2jmax(jmax + 1) de J

2 por lo tanto jo jmax entonces, aplicando J+ sucesivamenteobtenemos un autovector de J3 al autovalor ~jmax, lo cual implica que jmax (j1 + j2) yentonces jmax = jo.

Hemos encontrado entonces el primer autovector j1+j2,j1+j2 = j1,j1j2,j2 simultaneo deJ2 y J3 a los autovalores ~

2(j1+j2)(j1+j2+1) y ~(j1+j2) respectivamente y tambien hemosidentificado el autovalor maximal de J. Podemos ahora aplicar sucesivamente J a j1+j2,j1+j2para obtener (2(j1 + j2) + 1) autovectores j1+j2,m simultaneos de J

2 al autovalor maximal~2(j1 + j2)(j1 + j2 +1) y de J3 a los autovalores ~m con m = j1 + j2, j1 + j2 1, ,j1j2 + 1,j1 j2. Se tiene J j1+j2m j1+j2,j1+j2 j1+j2,m Fm. O sea que hemos eliminadouna dimension en cada diagonal Fm. Tambien podemos deducir que hemos agotado elautoespacio Ej1+j2 de J al autovalor maximal pues si esto no fuera el caso podriamos generarotro autovector de J3 al autovalor maximo ~(j1+j2) linealmente independiente de j1+j2,j1+j2 .

Ahora repetimos el procedimiento. El subespacio Fj1+j21 asociado a la segunda dia-gonal arriba a la derecha tiene dimension 2. Ya hemos eliminado una dimension; aquellacorrespondiente al vector Jj1+j2,j1+j2 . Cualquier vector de este subespacio que es or-togonal a Jj1+j2,j1+j2 es autovector de J3 al autovalor ~(j1 + j2 1). Como no hay maslugar en este subespacio, debe ser autovector de J 2 al maximo autovalor no eliminado, osea ~2(jo 1)jo. esta determinado hasta una fase; la elegimos de tal manera que estenormalizado y sea combinacion lineal real de j1,j21 j11,j2 y j11,j2 j1,j21 lo quedetermina a salvo multiplicacion por 1. Actuando sucesivamente con J sobre obtene-mos 2(jmax 1) + 1 vectores (uno para cada diagonal no agotada) que son proporcionales aj1+j21,m , m = (j1 + j2 1), , j1 + j2 1. Nuevamente hemos eliminado exactamenteuna dimension en cada un de los subespacio Fm para m = j1 + j2 1, ,j1 j2 + 1agotando asi las segundas diagonales arriba a la derecha y abajo a la izquierda. Ademashemos agotado el subespacio Ej1+j21. Podemos repetir este juego con la tercera(cuarta ,etc.) diagonal de arriba a la derecha. En cada juego eliminamos exactamente una dimensionde cada uno de los subespacios asociados a cada una de las diagonales no agotadas en unjuego previo. Pero no podemos seguir jugando para siempre; en algun momento agotaremostodas las diagonales. En efecto en cada juego eliminamos

2(j1 + j2 ) + 1 , = 0, 1, , kdimensiones. Debemos tener que

(2j1 + 1)(2j2 + 1) =k

=0

(2(j1 + j2 ) + 1) = (2j1 + 2j2 + 1)(k + 1) 2k(k + 1)2

;

esto nos da la ecuacion k22(j1+j2)k+4j1j2 = 0 cuyas soluciones son k = j1+j2 | j1j2 |.166

Ademas, j1+j2k esta asociado al mnimo autovalor de J 2 : ~2(j1+j2k)(j1+j2k+1) .Como

j1 + j2 k = | j1 j2 | ,y j1 + j2 k 0 , debemos tener k = k y ~2 | j1 j2 | (| j1 j2 | +1) es el autovalormnimo de J 2 .

En resumen, los autovaloresde J 2 en Ej1 Ej2 son:~2j(j + 1) , j =| j1 j2 |, | j1 j2 | +1, , j1 + j2 1, j1 + j2 ,

y tienen multiplicidad 2j + 1.

Este proceso constructivo de la nueva base se presenta diagramaticamente para los casosde las cuatro dimensiones menores posibles en la siguiente figura.

(1/2,1/2)

(1/2,1) (1/2,3/2)

(1,1)

Figura 11.1: Los cuatro casos (j1, j2) de menor dimension posibles. Los cuadraditos rellenados igual repre-sentan los autovectores de J2 a autovalores iguales obtenidos en cada juego aplicando J

.

En cuanto al valor de los coeficientes (llamados coeficientes de Clebsch-Gordan) no-nulosen el desarrollo (11.5), tenemos siempre que empezamos el juego la posibilidad de elegir unafase arbitraria. La convencion usual (vea los libros) esta concebida para producir coeficientesreales lo que los determina modulo multiplicacion de todos ellos por 1. Estos coeficientesestan tabulados en dependencia de j1 y j2.

167

Veamos algo mas explicitamente el caso mas simple y no trivial de la suma de dos spins1/2. Escribimos

1/2,m/2 1/2,m/2 = |m,m , m,m {1,1} ,para simplificar la notacion. En esta base, el operador S3 es diagonal

S3 = ~

1 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 1

,con autovalores simples~ y un autovalor doble 0. Ya que ~S2 conmuta con S3 los autoespaciosFm (m = 1, 0,1) de S3 al autovalor ~m son invariantes ante S2. Por lo tanto, |+,+ y |,son autovectores de S2. A que autovalores? Podemos contestar la pregunta bestialmentecalculando la matriz 4 4 asociada a S2:

S2 = ~2

2 0 0 00 1 1 00 1 1 00 0 0 2

.Pero, procediendo como en el analisis general vemos que los autovalores buscados son

de la forma ~2j(j + 1) con algun semientero j y que si j 6= (1/2) + (1/2) = 1 entoncesdebera aparecer (operando con S+ sucesivamente sobre |+,+ o |,) un autovalor de S3de modulo mayor que ~ cosa que no es el caso. Entonces |, es autovector simultaneo deS2 asociado a j = 1 y de S3 al autovalor ~ (m +m = 1). Ahora tenemos dos opcionespara generar (2j+1) = 3 autovectores de S2 al mismo autovalor: podemos hacer (S)n|+,+o bien (S+)

n|,. En el procedimiento general elegimos |+,+ y entonces bajamos por elespectro de S3 conservando el autovalor de S

2 asociado a j = 1.

S|+,+ = (S(1) 1/2,1/2) 1/2,1/2 + 1/2,1/2 (S(2) 1/2,1/2)= ~(1/2,1/2) 1/2,1/2 + 1/2,1/2 1/2,1/2) = ~(|,++ |+,) ,

(S)2|+,+ = ~S(|,++ |+,) = ~22|, .O sea que

1,1 = |+,+ , 1,0 = (|+,+ | .+)/2 , 1,1 = |, ,

son 3 autovectores dos-a-dos ortogonales y normalizados de S2 al autovalor ~22 (j = 1), queson tambien autovectores de S3. Con esto hemos agotado 3 de las 4 dimensiones del espacio.La que queda es ortogonal a 1,0 en el subespacio F0. El complemento ortogonal de 1,0 enF0 es el subespacio unidimensional G = {(|+, |,+) : C}. Ya que S2F0 F0,y que 1,0 es autovector de S

2, S2G G y ya que G es unidimensional, deducimos que|+, |,+ es autovector de S2. A que autovalor ~2j(j + 1)? La respuesta es barata(porque no queda mas nada en el espacio) ya que calculando explicitamente

S(|+, |,+) = 0168

con lo cualj(j + 1) = 0 y por ende j = 0. Por lo tanto,

0,0 = ei(|+, |,+)/

2

es autovector de S3 y de S2 al autovalor 0 de ambos operadores. En resumen, los autovalores

de S2 son ~2j(j + 1) donde j = (1/2) + (1/2) = 1 o j = (1/2) (1/2) = 0 y tienenmultiplicidad 2j + 1; la descomposicion espectral es

S2 = 2~2P1 + 0.P0

donde P1 es el proyector ortogonal al subespacio E1 de S2 asociado al autovalor 2~2 y P0 esel proyector ortogonal al subespacio E0 asociado al autovalor 0 de S2. Tambien,

S3 = ~(Q1 + 0.Q0 Q1) + 0.P0 ,es la descomposicion espectral de S3, donde Qm es el proyector ortogonal unidimensionalQm = 1,m|1,m y P0 es el proyector ortogonal unidimensional P0 = 0,0|0,0. Setiene: QmP1 = Qm, QmP0 = 0, Q1 + Q0 + Q1 = P1 = 1 P0, y Q0 + P0 es el proyectorortogonal (bidimensional) al autoespacio F0 de S3.

Volvemos a los coeficientes de Clebsch-Gordan para analizarlos en mas detalle. En eldesarrollo (11.5) aparecen solamente los coeficientes

j1,m1 j2,m2 , j,mdonde m1+m2 = m correspondiendo al hecho de que j,m esta en Fm. Observamos tambienque

Jjmax,jmax = (J(1) 1+ 1 J (2) )(j1,j1 j2,j2)

= ~2j1(j1,j11 j2,j2) + ~

2j2(j1,j1 j2,j21) ,

y que si seguimos aplicando J sucesivamente obtendremos siempre combinaciones linealescon coeficientes positivos de la base ortonormal producto {j1,m1 j2,m2 : m1 +m2 = m}:

j1,m1 j2,m2 , jmax,m1+m2 0 .Despues de terminar con el autovalor maximo de J2 asociado a jmax nos queda en Fjmax1una sola dimension correspondiente al complemento ortogonal del vector jmax,jmax1 Jjmax,jmax . Concretamente,

jmax,jmax1 =

j1

j1 + j2(j1,j11 j2,j2) +

j2

j1 + j2(j1,j1 j2,j21) .

Ahora, el vector mas general en Fjmax1 ortogonal a jmax,jmax1 es :(j1,j11 j2,j2) + (j1,j1 j2,j21) ,

j1 +

j2 = 0 ;

podemos elegir y reales con = j1/j2; si ahora normalizamos 2 + 2 = 1 tanto como quedan univocamente determinados salvo multiplicacion de ambos por 1:

=

j2j1 + j2

, =

j1j1 + j2

.

169

Con esto jmax1,jmax1 es combinacion lineal real (aunque ya no de coeficientes positivos)de la base ortonormal producto de Fjmax1. Aplicando sucesivamente J siempre obtenemosa jmax1,jmax1m (J)mjmax1,jmax1 como combinacion lineal real de la base ortonor-mal producto de Fm. Si seguimos con este procedimiento queda claro que cada vez queterminamos con un valor j de j nos queda solo una dimension en Fj1 y que podemoselegir un vector j1,j1 ortogonal a todos los construidos para valores de j mayores quej (y por ende autovector de J2 al autovalor asociado con j 1) de tal forma que loscoeficientes de la expansion de j1,j1 en la base producto de Fj1 sean reales. Peroentonces, (J)kj1,j1 tambien es combinacion lineal real de la base ortonormal productode Fj1k. De hecho, dado que la dimension no eliminada de Fj1 es 1, los coeficientesreales de la expansion de j1,j1 en la base producto estan univocamente determinadospor la normalizacion modulo multiplicacion de todos ellos por 1. Con esto queda entonces(creo que) suficientemente motivado que los coeficientes de Clebsch-Gordan siempre puedenelegirse reales.

Veamos explicitamente como se determinan los coeficientes de Clebsch-Gordan para algunj fijo iterativamente a partir de alguno de elllos. Aplicando el operador J al desarrollo(11.5), usando la relacion general (11.1) y tomando el producto escalar con j1,m1 j2,m2 ,obtenemos:

j(j + 1)m(m 1)j1,m1 j2,m2 , j,m1

(11.6) =j1(j1 + 1)m1(m1 1)j1,m11 j2,m2 , j,m

+j2(j2 + 1)m2(m2 1)j1,m1 j2,m21, j,m .

Este sistema recursivo debe ser suplementado por las condiciones j1 m1 j1, j2 m2 j2, m1 +m2 1 = m y j {|j1 j2|, |j1 j2| + 1, , j1 + j2} sobre los semienterospositivos j1, j2, j y los semienteros m1,m2,m. A j fijo, el sistema determina completamentetodos los coeficientes para ese j, salvo multiplicacion de todos ellos por un numero complejoarbitario. La ambiguedad en el signo puede eliminarse si pedimos que

j1,j1 j2,jj1 , j,j 0 , j = |j1 j2|, , j1 + j2 1.Notese que j,j es justamente el estado en la esquina superior derecha desde la cual secomienza cada uno de los juegos descriptos anteriormente. Esta condicion, junto con lanormalizacion determina univocamente a todos los coeficientes. Esta es la convencion usadacasi universalmente; con ella se obtienen las siguientes propiedades de los coeficientes deClebsch-Gordan:

j1,m1 j2,m2 , j,m = ()j1+j2jj1,m1 j2,m2 , j,m ;j1,m1 j2,m2 , j,m = ()j1+j2jj2,m2 j1,m1 , j,m ;j1,m1 j2,m2 , j,m = ()j1m1j1,m1 j,m, j2,m2 ;

m1

j1,m1 j2,mm1 , j,m j1,m1 j2,mm1 , j ,m = j,j ;

1Verifique por ejemplo que con esto, se tendra = +q

j1j1+j2

en el desarrollo de jmax1,jmax1.

170

j

j1,m1 j2,mm1 , j,m j1,m1 j2,m m1 , j ,m = m1,m1m,m .

11.3. Operadores escalares, vectoriales y tensoriales irreducibles

En esta seccion estudiaremos operadores que tienen buen comportamiento ante rotaciones.Supongamos, que en el espacio de Hilbert H tenemos un momento angular J , i.e.

[Jj, Jk] = i~3

=1

j,k,J ;

U~ = e i

~~J ,

donde hemos acortado algo la notacion poniendo ~ = e. Podemos elegir una base ortonor-mal {j,m;(j) : j J , m {j,j +1, , j 1, j} , (j) Bj} de H, donde el conjuntoJ describe los autovalores de J2 que aparecen, y J2j,m;(j) = ~2j(j+1)j,m;(j); m describelos 2j + 1 autovalores de J3 asociados al valor de j y J3j,m;(j) = ~mj,m;(j); y (j) Bjes el ndice que cuenta las multiplicidad del valor de j J . En tal caso, la multiplicidadde j J es (2j + 1) por la cardinalidad de Bj. Es importante que esto se entienda bienpara luego no mal intrepretar ciertos resultados como el Teorema de Wigner-Eckart. Veamosun ejemplo concreto que ilustra la nomenclatura. Al discutir el momento angular orbital ~Lvimos que los autovalores de ~L2 son los numeros ~2(+1) donde recorre los numeros natu-rales {0, 1, 2, }; cada valor de aparece una sola vez y con cada uno de estos valores hayasociado (2+ 1) autovalores de L3 de magnitud ~m con m {,+ 1, , 1, } conautovectores correspondientes en el autoespacio de ~L2 asociado al valor de correspondiente.Pero ~L actua solamente sobre las variables angulares; con L2(R3) = L2([0,); r2dr)L2(S),~L actua sobre el espacio de funcionesde modulo cuadrado integrable sobre la esfera S en 3dimensiones. Por ende, cada autovalor de ~L2 asociado a tiene multiplicidad infinita. Po-demos tomar a Bj como cualquier conjunto de indices que enumera una base ortonormal deespacio radial L2([0,); r2dr). O sea, volviendo a nuestra nomenclatura que pretendemosilustrar, en este caso J = {0, 1, 2, } y B cualquier conjunto infinito denumerable, i.e.{1, 2, } para todo .

Con esta nomenclatura tenemos entonces

j,m;(j),Jj,m;(j) = j,j(j),(j)j,m;(j),Jj,m;(j) .

11.3.1. Operadores escalares

Decimos en un operador A que actua sobre H es escalar siU~AU~ = A , para todo ~ .

Tomando ~ = u con u = 1, derivando con respecto al angulo de rotacion y poniendo = 0, obtenemos:

i~[u J, A] = i

~u [J, A] = 0 , para todo u unimodular .

171

O sea,[J, A] = 0 .

Si J es irreducible, esto indica que A = 1 con C. Que podemos decir en el caso general?Calculemos los elementos de matriz j,m;(j), Aj,m;(j). Como [J 2, A] = 0 , Aj,m;(j) esautovector de J 2 al mismo autovalor que j,m;(j) ; luego

j,m;(j), Aj,m;(j) = j,jj,m;(j), Aj,m;(j) .Como [J3, A] = 0 , Aj,m;(j) es autovector de J3 al mismo autovalor que j,m;(j); luego

j,m;(j), Aj,m;(j) = m,mj,m;(j), Aj,m;(j) .En definitiva, tenemos:

j,m;(j), Aj,m;(j) = j,jm,mj,m;(j), Aj,m;(j) .Veamos que el elemento de matriz j,m;(j), Aj,m;(j), no depende de m. Tenemos que

J+j,m;(j) = ~j(j + 1)m(m+ 1)j,m+1;(j) ;

ademas (J) = J+ y JJ+ = J 21 + J22 ~J3 = J 2 J 23 ~J3. Si m 6= j , entonces

j,m;(j), Aj,m;(j) = ~2 (j(j + 1)m(m 1))1 J+j,m1;(j), AJ+j,m1;(j)

= ~2 (j(j + 1)m(m 1))1 j,m1;(j), JAJ+j,m1;(j)= ~2 (j(j + 1)m(m 1))1 j,m1;(j), AJJ+j,m1;(j)

= ~2 (j(j + 1)m(m 1))1 j,m1;(j), A(J 2 J 23 ~J3

)j,m1;(j)

= ~2 (j(j + 1)m(m 1))1 j,m1;(j), A(~2j(j + 1) ~2(m 1)2

~2(m 1))j,m1;(j) = j,m1;(j), Aj,m1;(j) .Por lo tanto, para cualquier operador escalar A,

j,m;(j), Aj,m;(j) = j,jm,m(j;(j), (j)) ,

donde la constante (j;(j), (j))depende solamente de j (y de (j) y (j)).

Ejemplo: Sea S un spin 1/2 en el espacio H = C2 C2, y sea

J =

(S 00 S

),

o sea J( ) = (S) (S). Cualquier operador M de H en si mismo es de la forma

M =

(A BC D

),

172

donde A, B, C y D son operadores de C2 en si mismo. El calculo del conmutador [J,M ]da que este conmutador se anula si y solo si [A,S] = [B,S] = [C,S] = [D,S] = 0 y lairreducibildad de S (i.e., un operador conmuta con las tres componentes de S si y solo si esun multiplo de la identidad), indica que A, B, C y D son multiplos de la identidad. Por lotanto,

M =

(1 11 1

),

con , , y complejos arbitrarios es el operador escalar general con respecto a J. Acatenemos J = {1/2} y el unico valor de j aparece dos veces con lo cual, por ejemplo,B1/2 = {1, 2} y

1/2,m;1 = |m 0 , 1/2,m;2 = 0 |m ,donde S3|m = ~m|m, m {1/2,1/2}. Los elementos de matriz de M son inmediatos yse verifica claramente el resultado general. Notese que si y no son ambos nulos, M no esdiagonal.

11.3.2. Operadores vectoriales I

Decimos que tres operadores V = (V1, V2, V3) que actuan sobre H son las componentescartesianas de un operador vectorial si

(11.7) U~VU~ = D(~)V , para todo ~ .

Recordando que D(~) es la rotacion asociada con ~ en tres dimensiones, la formula (11.7)nos dice que eloperador transforma ante rotaciones como un vector. Nuevamente, tomandou fijo y diferenciando con respecto a , obtenemos que (11.7) es equivalente a:

i

~[u J,V] = uV , para todo u unimodular ;

vale decir

[Jj, Vk] = i~3

=1

j,k,V .

Obviamente, J es un operador vectorial. En general, no es el caso que un operador vectorialconmuta con J 2; considere por ejemplo el operador r que es vectorial con respecto al mo-mento angular orbital ~L.

Si suponemos que [J 2, Vk] = 0 , k = 1, 2, 3 , entonces Vk deja invariante el autoespacio Ejgenerado por {j,m;(j) : m {j, , j} , (j) Bj}, y

j,m;(j), Vkj,m;(j) = j,jj,m;(j), Vkj,m;(j) .Como V3 conmuta con J3 obtenemos (por el argumento de siempre):

j,m;(j), V3j,m;(j) = m,mj,m;(j), V3j,m;(j) .Para obtener informacion sobre los elementos de matriz de Vk, k = 1, 2, conviene trabajarcon los operadores

V := V1 iV2 .173

Para ellos tenemos las siguientes relaciones de conmutacion:

[J1, V] = ~V3[J2, V] = i~V3[J3, V] = ~V

{

[J, V] = 0[J, V] = 2~V3 .

Tenemos,J3Vj,m;(j) = VJ3j,m;(j) ~Vj,m;(j)

= ~mVj,m;(j) ~Vj,m;(j) = ~(m 1)Vj,m;(j) ;con lo cual Vj,m;(j) j,m1;(j) para algun (j) Bj. Entonces,

j,m;(j), Vj,m;(j) = j,jm,m1 j,m;(j), Vj,m1;(j) .Tenemos

0 = j,m;(j), (J+V+ V+J+)j,m2;(j) .Intercalando entre J+ y V+ en ambos sumandos el operador

1 =jJ

j=j

(j)Bj

Pj,;(j) , Pj,;(j) = j,;(j), j,;(j) ;

obtenemos:

0 =jJ

j=j

(j)Bj

j,m;(j),(J+Pj,;(j)V+ V+Pj,;(j)J+

)j,m2;(j)

=jJ

j=j

(j)Bj

(j,m;(j), J+j,;(j)j,;(j), V+j,m2;(j)j,m;(j), V+j,;(j)j,;(j), J+j,m2;(j)

)= j,j

(j,m;(j), J+j,m1;(j)j,m1;(j), V+j,m2;(j)j,m;(j), V+j,m1;(j)j,m1;(j), J+j,m2;(j)

).

Cuando los elementos de matriz de J+ que aqui aparecen no son nulos, y teniendo encuenta que j,m;(j), J+j,n;(j) no depende de (j), obtenemos:

j,m1;(j), V+j,m2;(j)j,m1;(j), J+j,m2;(j) =

j,m;(j), V+j,m1;(j)j,m;(j), J+j,m1;(j) , 2 j m j .

Por lo tanto el cociente j,m;(j), V+j,m1,(j)j,m;(j), J+j,m1;(j)

no depende de m y

(11.8) j,m;(j), V+j,m;(j) = j,jm,m+1+(Ej;(j), (j))j,m;(j), J+j,m1,(j) ,174

donde +(Ej;(j), (j)) es una constante que solo depende de Ej y de los ndices de multi-plicidad. Procediendo analogamente con [J, V] = 0 se obtiene:

(11.9) j,m;(j), Vj,m;(j) = j,jm,m1(Ej;(j), (j))j,m;(j), Jj,m+1;(j) ,donde (Ej;(j), (j)) es una constante que solo depende de Ej y de los ndices de multi-plicidad.

Usando la relacion [J, V+] = 2~V3 y (11.8)j,m;(j), V3j,m;(j) = (2~)1j,m;(j), (JV+ V+J)j,m;(j)

= (2~)1(J+j,m;(j), V+j,m;(j) ~

j(j + 1)m(m 1)j,m;(j), V+j,m1,(j)

)= 21

(j(j + 1)m(m+ 1)j,m+1;(j), V+j,m,(j)

j(j + 1)m(m 1)j,m;(j), V+j,m1;(j)

)= 21

(+(Ej;(j), (j))

j(j + 1)m(m+ 1)j,m+1;(j), J+j,m;(j)

+(Ej;(j), (j))j(j + 1)m(m 1)j,m;(j), J+j,m1;(j)

)= 21~+(Ej;(j), (j)) (j(j + 1)m(m+ 1) j(j + 1) +m(m 1))

= ~m+(Ej;(j), (j)) ;o sea:

(11.10) j,m;(j), V3j,m;(j) = +(Ej;(j), (j))j,m;(j), J3j,m;(j) .

El mismo calculo con la relacion [J+, V] = 2~V3 , y (11.9) nos da:(11.11) j,m;(j), V3j,m;(j) = (Ej;(j), (j))j,m;(j), J3j,m;(j) .Comparando, (11.10) y(11.11) deducimos que:

(11.12) +(Ej;(j), (j)) = (Ej;(j), (j)) =: (Ej;(j), (j)) .Luego, combinando toda la informacion obtenida:

j,m;(j),Vj,m;(j) = j,j(Ej;(j), (j))j,m;(j),Jj,m;(j) .

Un operador vectorial que conmuta con J 2 es proporcional a J en cada subbloque ((j), (j))de Ej de dimension 2j + 1.

El caso general, cuando [J 2,V] 6= 0, se analizara inmediatmente en el contexto de losllamados operadores tensoriales esfericos irreducibles de rango 1.

175

11.3.3. Operadores tensoriales esfericos irreducibles

Lo que acabamos de hacer admite generalizacion a conjuntosde mas operadores quetransforman apropiadamente entre si ante rotaciones. La idea esla siguiente. Considere unmomento angular irreducible de magnitud s, o sea S(s) que actua sobre C2s+1 (tal que

(S(s))2 = ~2s(s + 1)1). Sea D(s)(~) la matriz asociada a ei~S(s)

en la base estandard

{s,k : k = s,s+ 1, , s 1, s} para la cual S(s)3 s,k = ~ks,k, i.e.

D(s)k,k(~) = s,k, e

i~~Ss,k .

Entonces,

ei~~S(s)s,m =

sn=s

D(s)n,m(~)s,n .

Decimos que 2s+1 operadores T(s)m , m = s,s+1, , s 1, s, que actuan todos sobre el

mismo espacio de HilbertH son las componentes esfericas de un operador tensorial irreduciblede rango s respecto a un momento angular J, que actua sobre H, si con U~ = expi~ J/~,

(11.13) U~ T(s)m U

~ =

sn=s

D(s)n,m(~) T(s)n ;

o sea que estos (2s+1) operadores transforman entre si como los elementos dela base estan-dard del momento angular irreducible S(s). Esta definicion merece algunos comentarios.

Primeramente, el caso s = 0, indica que U~T(0)0 U

~ = T

(0)0 , o sea que T

(0)0 es un operador

escalar.

Lo segundo es un asunto de convenciones. (11.13) es la convencion canonica aunque nome guste porque hubiese yo preferido: o bien

U~ T(s)m U~ =

sn=s

D(s)n,m(~) T(s)n

aqu tenemos a la izquierda la transformacion canonica (de Heisenberg) del operador T(s)m

asociada con la rotacion 7 U y a la derecha lo mismo que en (11.13); o sino

U~ T(s)m U~ =

sn=s

D(s)m,n(~) T(s)n

donde tendremos a la izquierda la transformacion canonica de Heisenberg, pero a la derecha

la transformacion del vector con componentes (T(s)s , T

(s)s1, , T (s)s ) en la base s,m bajo

la accion de ei~S(s). Cualquiera de estas dos definiciones hubiese conducido a una teora

analoga a la que se discurre en casi todos los libros y que se basa en (11.13).

176

Veamos que en el caso s = 1, T(1)m son las componentes esfericas de un operador vectorial.

En efecto, D(1)(~) es la matriz asociada a la rotacion en C3 en la base {1,m : m = 1, 0,1}para la cual

S3 = ~

1 0 00 0 00 0 1

, S1 = ~2

0 1 01 0 10 1 0

, S2 = ~2

0 i 0i 0 i0 i 0

.Si W es la matriz asociada a un operador unitario arbitrario en la base estandard, entoncescon notacion matricial si V =WT(1) tendremos

U~VU~ =W

(U~T

(1)U~)=W

(D(s)(~

)TT(1) =

(W(D(s)(~

)TW

)V

donde el superindice T denota transposicion. El vector de operadores V sera un operadorvectorial si

U~VU~ = D(~)V ,

donde la matriz D(~) denota la matriz asociada con la rotacion en R3 (o bien C3) en la basecartesiana (vea el Captulo correspondiente) en la cual

S3 = ~

0 i 0i 0 00 0 0

, S1 = ~ 0 0 00 0 i

0 i 0

, S2 = ~ 0 0 i0 0 0i 0 0

.Ahora D(~) es real y ortogonal por lo cual D(~) = D(~)T . Por lo tanto,

W(D(s)(~)

)TW = D(~)T ,

es la condicion sobre W para que V = WT(1) sea un operador vectorial. Esta condicion espor transposicion equivalente a

((W))TD(s)(~)WT = D(~) .

Calculando W mediante diagonalizacion de S3 se obtiene

W =

12 0 12i2

0 i2

0 1 0

.Poniendo

V =WT (1) ,

o seaV1 = (T

(1)1 T (1)1 )/

2 , V2 = i(T

(1)1 + T

(1)1 )/

2 , V3 = T

(1)0 ,

se concluye queU~VU~ = D(~)V

es un operador vectorial.

177

Volvemos ahora a la teora que genera la ecuacion definitoria de transformacion anterotaciones. (11.13) es equivalente a 2:

(11.14) [J3, T(s)k ] = ~k T

(s)k ,

(11.15) [J, T(s)k ] = ~

s(s+ 1) k(k 1) T (s)k1 .

De manera analoga posponemos lademostracion hasta el final a la que deducimos la pro-piedades de los elementos de matriz de un operador escalar, o vectorial, se obtiene el siguienteresultado conocido como Teorema de Wigner-Eckart: Los elementos de matriz de cualquiercomponente esferica de un operador tensorial irreducible son proporcionales a un coeficientede Clebsch-Gordan:

j,m;, T (s)k j,m; = (j; |j;) j,m s,k, j,m ,

donde la constante (j; |j;) no dependede m,m. El calculo de los elementos de matriz sereduce entonces a la suma de dos momentos angulares de magnitud j y s y al calculo de laconstante (j; |j, ). En particular, el elemento de matriz puede ser no nulo solamente si:

m + k = m y | j s | j s+ j .Este resultado es extremadamente util y veremos como nos facilitara la vida en innumerablesocasiones.

Otro resultado util es el siguiente:

Si M(s1)k , k = s1,s1+1, , s1 son las componentes esfericas de un operador tensorial

irreducible de rango s1 y N(s2)p , p = s2,s2 + 1, , s2 aquellas de un operador tensorial

irreducible de rango s2 actuando sobre el mismo espacio y con respecto al mismo momentoangular J, entonces para cada s {s1 + s2, s1 + s2 1, , |s1 s2|} los 2s+ 1 operadores

T (s)m =

s1m1=s1

s2m2=s2 , m1+m2=m

s1,m1 s2,m2 , s,mM (s1)m1 N (s2)m2 , m = s,s+ 1, , s ,

son las componentes esfericas de un operador tensorial irreducible de rango s con respecto aJ. La demostracion de esto es inmediata y la dejamos para un ejercicio.

11.3.4. Operadores vectoriales

Si T(1)m , m = , 0 son las componentes esfericas de un operador tensorial esferico irredu-

cible de rango 1 entonces,

T1 = (T(1) T (1)+ )/

2 , T2 = i(T

(1) + T

(1)+ )/

2 , T3 = T

(1)0 ,

son las componentes (cartesianas) de un operador vectorial.

2haga este ejecicio!

178

Considere dos operadores vectoriales A y B con respecto al mismo momento angular J,i.e.,

[Jj, Ak] = i~3

=1

j,k,A , [Jj, Bk] = i~3

=1

j,k,B , j, k {1, 2, 3} .

Entonces, A B es un operador escalar pues

[Jj,A B] =3

k=1

[Jj, AkBk] =3

k=1

Ak[Jj, Bk] + [Jj, Ak]Bk = i~3

k,=1

(j,k,AkB + j,k,ABk)

= i~3

k,=1

(j,k,AkB + j,,kAkB) = 0 .

Vimos que si V es un operador vectorial con respecto al momento angular J y que ademasconmuta con J2, entonces

j,m;(j),Vj,m;(j) = j,j(E;(j), (j))j,m;(j),Jj,m;(j) ,donde la constante ((Ej;(j), (j)) depende solamente del subespacio Ej y de los ndices demultiplicidad. Calculando directamente el valor esperado del operador J V que es escalarcon respecto a J, obtenemos

~(Ej;(j), (j))j(j + 1) = j,m;(j),J Vj,m;(j) .

Considere nuevamente dos operadores vectoriales A y B con respecto al mismo momentoangular J; entonces AB es un operador vectorial; pues

[Jj, (AB)k] =3

,m=1

,m,k[Jj, ABm] =3

,m=1

,m,k (A[Jj, Bm] + [Jj, A]Bm)

= i~3

,m,n=1

,m,k (j,m,nABn + j,,nAnBm) = i~3

,n=1

(3

m=1

,m,kj,m,n + m,n,kj,m

)

=P3

m=1 j,k,m,n,m

ABn

= i~3

m=1

j,k,m

(3

,n=1

,n,mABn

)

=(AB)m

= i~3

m=1

j,k,m(AB)m .

Si A(1)m y B

(1)m son las componentes esfericas de estos operadores, i.e.,

A(1)1 = (A1 + iA2)/

2 , A

(1)0 = A3 , A

(1)1 = (A1 iA2)/

2 ,

179

y similarmente para B, entonces por el resultado general

T (2)m =1

m1,m2=1 , m1+m2=m1,m1 1,m2|2,mA(1)m1B(1)m2

son las componentes esfericas de un operador tensorial irreducible de rango 2. Con los coe-ficientes de Clebsch-Gordan obtenemos

T(2)2 = A

(1)1 B

(1)1 =

1

2(A1B1 A2B2 + iA1B2 + iA2B1) ,

T(2)2 = A

(1)1B

(1)1 =

1

2(A1B1 A2B2 iA1B2 iA2B1) ,

T(2)1 = (A

(1)0 B

(1)1 + A

(1)1 B

(1)0 )/

2 =

1

2(A3B1 A1B3 iA3B2 iA2B3) ,

T(2)1 = (A

(1)0 B

(1)1 + A

(1)1B

(1)0 )/

2 =

1

2(A3B1 + A1B3 iA3B2 iA2B3) ,

T(2)0 =

2

3A

(1)0 B

(1)0 +

16(A

(1)1 B

(1)1 + A

(1)1B

(1)1 ) =

2

3A3B3 1

6(A1B1 + A2B2) .

Con las componentes cartesianas de A y B se forman 9 productos AjBk y estos se puedenexpresar como combinaciones lineales de las componentes de 3 operadores tensoriales irredu-cibles: el operador escalarAB, las tres componentes del operador vectorialAB y las cincocomponentes del operador irreducible T (2) de rango 2. Alternativamente, las componentesde AB pueden expresarse en terminos de componentes esfericas.

A1B2 =i

2(T

(2)2 T (2)2 ) +

1

2(AB)3 , A2B1 = i

2(T

(2)2 T (2)2 )

1

2(AB)3 ,

A1B3 =1

2(T

(2)1 T (2)1 )

1

2(AB)2 , A3B1 = 1

2(T

(2)1 T (2)1 ) +

1

2(AB)2 ,

A2B3 =i

2(T

(2)1 + T

(2)1 ) +

1

2(AB)1 , A3B2 = i

2(T

(2)1 + T

(2)1 )

1

2(AB)1 ,

A1B1 =1

3A B+ 1

2(T

(2)2 + T

(2)2 )

16T(2)0 ,

A2B2 =1

3A B 1

2(T

(2)2 + T

(2)2 )

16T(2)0 ,

A3B3 =1

3A B+ 2

6T(2)0 .

Ejemplo: Sumamos dos spins 1/2 (i.e. C2C2 ) para obtener un spin 1 y un spin 0 : C3C .Denotamos por S al operador correspondiente al spin s = 1 que actua sobre C3 y escribimos{e : = , 0} para la base de C3 tal que:

S3e = ~e ; Se = ~2 ( 1) e1 .

180

Escribimos z , C3 , z C para el elemento general de C3 C . Entonces, 3 losoperadores

T(1) ( z) = (S+ ze) (e, ) ,T(1)0 ( z) = (S3 zeo) (eo, ) ;

J ( z) = (S) 0 ;para cualquier , C , son las componentes de un operador tensorial esferico irreduciblede rango 2 con respecto a las rotaciones inducidas por el spin total J = S 0 . En formamatricial estos operadores toman la forma:

T(1) =

(S/

2 |e

e| 0)

,

T(1)0 =

(S3 |eoeo| 0

);

Obviamente, ninguno de estos operadores conmuta con J 2 a no ser que = = 0. Ademas,

V1 =1

2

(T(1)1 T (1)1

)=

(S1

2(|e+ |e)

2(e+| e|) 0

),

V2 =i2

(T(1)1 + T

(1)1

)=

(S2

i2(|e++ |e)

i2(e|+ e+|) 0

),

V3 = T(1)0 =

(S3 |eoeo| 0

),

son las componentes de un operador vectorial que no conmuta con ~J 2 salvo cuando = =0. Observe que Vj = V

j si y solo si = .

Demostracion del Teorema de Wigner-Eckart:El primer paso consiste en cerciorarse que si no se tiene |j s| j j + s entonces el

elemento de matriz es nulo.

En el segundo paso, suponemos entonces que tantoj como j son fijos y se tiene |j s| j j + s. De (11.15) obtenemos con aplicacion de (11.1)

s(s+ 1) k(k 1)j,m;, T (s)k1j,m, = Jj,m;, T (s)k j,m,

j(j + 1)m(m 1)j,m,, T (s)k j,m1;

=j(j + 1)m(m 1)j,m1,, T (s)k j,m;

j(j + 1)m(m 1)j,m,, T (s)k j,m1; ,

3 verifiquelo!

181

vale decir j(j + 1)m(m 1)j,m1,, T (s)k j,m;

=s(s+ 1) k(k 1)j,m;, T (s)k1j,m,

+j(j + 1)m(m 1)j,m,, T (s)k j,m1; .

Esta ultima relacion puede compararse directamente con (11.6) con lo cual el conjunto for-

mado por los numeros j,m;, T (s)k j,m; obtenido cuando j, j,m,m y k recorren{|j s| j j + s , m {j, , j} , m {j, , j} , k {s, , s}}

satisface las mismas relaciones de recurrencia que los coeficientes de Clebsch-Gordan, o sealos numeros j,m s,k, j,m obtenidos recorriendo el mismo conjunto. Se sigue entoncesque a j, j, y fijos, los numeros mencionados deben ser proporcionales entre si.

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Indice alfabetico

matricesde Pauli, 179

271