estimacion de la incertidumbre de métodos analiticos farmacopeicos
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Proyecto de metodología para medición de la incertidumbre de métodos analíticos farmacopeicos, emitido por CPFEUMTRANSCRIPT
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Estadstica 1
CONSULTA A USUARIOS DE LA FEUM 2013-3
CAPTULO INFORMATIVO NUEVO
Con fundamento en el numeral 4.11.1 de la Norma Oficial
Mexicana NOM-001-SSA1-2010, se publica el presente
proyecto a efecto de que los interesados, a partir del 1 de
agosto hasta el 30 de septiembre de 2013, lo analicen,
evalen y enven sus observaciones o comentarios en idioma
espaol y con el sustento tcnico suficiente ante la
CPFEUM, sito en Ro Rhin nmero 57, colonia
Cuauhtmoc, cdigo postal 06500, Mxico, D.F. Fax: 5207
6890
Correo electrnico: [email protected].
APNDICE INFORMATIVO. ESTIMACIN DE LA INCERTIDUMBRE DE MTODOS ANALTICOS FARMACOPEICOS
1 INTRODUCCIN
Los laboratorios de pruebas deben emitir un estimado de la
incertidumbre, como parte del informe de resultados, cuando
esto sea requerido por los usuarios, cuando el resultado del
anlisis va a ser utilizado para verificar su cumplimiento con
un requisito de calidad, para el cumplimiento de los
requisitos de la norma ISO/IEC 17025 respecto a la
estimacin de la incertidumbre de la medicin asociada con
las pruebas analticas que producen resultados cuantitativos
o continuos. Tambin se debe informar la incertidumbre en
el caso de resultados discretos (lmites microbianos) y
resultados categricos (identidad, esterilidad, color de la
solucin, metales pesados) para lo cual se recomienda
consultar literatura especializada.
En ste captulo se proporcionan lineamientos de carcter
informativo, para auxiliar a los laboratorios de control de
calidad de los fabricantes de insumos para la salud, para
estimar la incertidumbre de los resultados obtenidos al
aplicar un mtodo analtico farmacopeico, como se
menciona en el apndice Principios generales de buenas
prcticas de laboratorio de la FEUM. Es importante
mencionar que no existe obligatoriedad para los laboratorios
de control que aplican cualquier mtodo farmacopeico
(Valoracin, Potencia, Disolucin, Titulacin,
Cuantificacin de sustancias relacionadas, Contenido, etc.)
de informar la incertidumbre asociada a dichas
determinaciones, pero tcnicamente es recomendable, para
asegurar la obtencin de resultados confiables.
La estimacin y clculos se llevan a cabo desarrollando un
ejemplo comn, como lo es el contenido de un analito en una
muestra, lo que representa una situacin especfica, pero es
importante mencionar que para cada determinacin analtica
utiliza su modelo, as como materiales especficos de este
(buretas, probetas, matraces volumtricos, espectro-
fotmetros, cromatgrafos, etc); lo que conlleva a que cada
laboratorio de control debe estimar la incertidumbre, con
aquella informacin especfica veraz que tenga al momento
de su estimacin y que pueda justificar. Es recomendable
que durante el clculo de la incertidumbre participe personal
con experiencia en la metodologa analtica, en estadstica y
metrologa y se utilice hoja de clculo. Para profundizar en
este tema existe bibliografa especializada como la gua
Quantifying Uncertainty in Analytical Measurement de
Eurachem/CITAC.
2 MTODO ANALTICO E INCERTIDUMBRE
Un mtodo analtico se puede definir como un proceso de
medicin de un mensurando (analito), en el cual la entrada
es una muestra sujeta a un proceso analtico y la salida el
valor atribuido al mensurando, el cual es obtenido,
generalmente, por la aplicacin de una frmula matemtica
que da lugar al valor del mensurando, asociado al requisito
de calidad establecido en el propio mtodo. La aplicacin del
proceso de medicin (mtodo analtico) proporciona
finalmente el valor atribuido al mensurando y el valor de su
incertidumbre de medicin como se presenta a
continuacin.
yuY (1)
Donde:
Y = Valor del mensurando (analito en la muestra) obtenido
al aplicar la frmula (expresin matemtica del
mensurando o modelo matemtico)
uy = Valor estimado de la incertidumbre
La incertidumbre, en la prctica, es la suma de todas las
fuentes de incertidumbre, errores sistemticos y aleatorios, al
aplicar el mtodo analtico en una muestra dada. Los errores
sistemticos derivan de las extracciones no cuantitativas,
separaciones ineficientes, instrumentos no calibrados,
material volumtrico no calibrado, longitud de onda
inapropiada, condiciones ambientales, entre otras. Los
errores aleatorios son inherentes al proceso de medicin en
si, como son las mediciones de masa, volumen y los errores
derivados de los equipos utilizados durante la ejecucin de
las pruebas/ensayos, entre otras. Por lo tanto, es necesario
que se apliquen las buenas prcticas de laboratorio para
disminuir o eliminar la posibilidad de que al aplicar un
mtodo, en las condiciones de uso, se presente error
sistemtico.
3 MODELO MATEMTICO
Para la estimacin de la incertidumbre es necesario describir
el modelo matemtico aplicado para calcular el valor del
mensurando o analito en una muestra, en funcin de las
operaciones relacionadas a los procesos de medicin; por lo
que el modelo puede ser representado de manera general
como una funcin:
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...),,,( cbafY (2)
Donde a, b, c,, son trminos que representan magnitudes de entrada (fuentes de incertidumbre primarias) relacionadas
con el mensurando, como por ejemplo la lectura de una
solucin de la muestra (a), la lectura de una solucin de
referencia (b), la concentracin de una solucin de referencia
(c) la cual a su vez, es dependiente de la masa de la sustancia
de referencia (c1), del volumen de aforo de esta masa de la
sustancia de referencia (c2), y de la pureza de la sustancia de
referencia (c3), por lo que la incertidumbre se representa de
la siguiente forma:
....2222 cbay uuuu (3)
La frmula (3) representa la combinacin lineal de estos
componentes de incertidumbre (ua, ub, uc, ).
Por ejemplo el contenido de analito en una muestra (Y) se
calcula considerando el siguiente modelo matemtico:
Cl
lY
r
m (4)
Donde:
Y = Contenido del analito en la muestra (mg/mL).
lm = Lectura de la solucin de la muestra, en absorbancia
(A)
lr = Lectura de la solucin de referencia, en absorbancia
(A)
C = Concentracin de la solucin de la sustancia de
referencia (mg/mL)
Para determinar la concentracin de la solucin de la
sustancia de referencia C se aplica la siguiente
frmula:
100
P
V
mC r (5)
Donde:
mr = Masa de la sustancia de referencia (mg)
V = Volumen de aforo de la masa de la sustancia de
referencia (mL)
P = Pureza de la sustancia de referencia (%)
100 = Factor de conversin del porcentaje de la pureza.
C = Concentracin de la solucin de la sustancia de
referencia (mg/mL)
En general, para iniciar la estimacin de la incertidumbre se
requiere establecer la expresin matemtica, es decir, la
frmula o frmulas utilizadas para el clculo del valor del
mensurando (analito). En este caso el modelo matemtico
basado en las ecuaciones (4) y (5) es el siguiente:
(6)
4 COMPONENTES DE INCERTIDUMBRE EN EL MODELO MATEMTICO Y SU
REPRESENTACIN
En el modelo matemtico de la frmula (6) se observan:
- Componentes primarios, y
- Componentes secundarios.
El diagrama causa-efecto (figura 1) es un elemento auxiliar
para representar el modelo matemtico.
4.1 Componentes primarios
El modelo matemtico muestra las magnitudes de entrada
que permiten establecer los componentes primarios de
incertidumbre.
Las magnitudes de entrada son:
Lectura de la solucin muestra (lm) Lectura de la solucin de referencia (lr) Masa de la solucin de la sustancia de referencia
(mr)
Volumen de aforo de la masa de la sustancia de referencia (V)
Pureza de la sustancia de referencia (P) 100 como factor de conversin en porcentaje
Nota: El factor de conversin, que es una magnitud de
entrada, no est asociado a un proceso de medicin, por lo
que no contribuye a la incertidumbre.
En la figura 1 (diagrama causa-efecto) se representan las
magnitudes de entrada o componentes primarios de
incertidumbre as como la incertidumbre asociada a cada una
de ellas, como son:
ua = Incertidumbre asociada a la lectura de la solucin
muestra.
ub = Incertidumbre asociada a la lectura de la solucin de
referencia.
uc = Incertidumbre asociada a la masa de referencia.
ud = Incertidumbre asociada al volumen de aforo de la
masa de la sustancia de referencia.
ue = Incertidumbre asociada a la pureza de la sustancia de
referencia.
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Figura 1. Representacin de la frmula (6), utilizando un diagrama
causa-efecto a un nivel de componentes primarios
4.2 Componentes secundarios
En nuestro ejemplo, cada componente primario se relaciona
con fuentes de incertidumbre derivadas del equipo y del
instrumental utilizado as como de otros factores inherentes
al propio mtodo analtico los cuales constituyen los
componentes secundarios, tales como:
El espectrofotmetro: es una fuente de incertidumbre de la
lectura de la solucin de referencia y de la solucin de la
muestra (ver la Figura 2).
La balanza: Es una fuente de incertidumbre de la masa de la
sustancia de referencia.
El matraz volumtrico de 100 mL: Es una fuente de
incertidumbre del volumen de aforo de la masa de la
sustancia de referencia.
La pureza de la sustancia de referencia es tambin es una
fuente de incertidumbre.
5 ESTIMACIN DE LA INCERTIDUMBRE EN BASE AL MODELO MATEMTICO
5.1 Estimacin en funcin de los componentes primarios
Para informar la estimacin de la incertidumbre como
desviacin estndar (Sy) es necesario combinar la
incertidumbre en funcin de los componentes primarios
como desviacin estndar (Si), lo cual puede ser llevado a
cabo por alguna de las siguientes ecuaciones:
...
22222
e
S
d
S
c
S
b
S
a
S
y
Sedcbay
(7)
...22222 edcbay SSSSSS (8)
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La primera expresin, frmula (7), est relacionada a
modelos matemticos que consideran multiplicaciones o
cocientes de los componentes de ste o en el caso que las
unidades de los componentes sean diferentes, lo que ocurre
en la mayora de los mtodos analticos de ensayos,
valoraciones o contenido.
La segunda expresin est relacionada a modelos
matemticos que consideran aditividad (la aditividad de los
componentes) o cuando las unidades de medicin de los
componentes sean iguales, lo que ocurre con poca frecuencia
en los mtodos analticos de ensayos, valoraciones o
contenido. Esta expresin es muy utilizada en el caso de
combinar las incertidumbres de componentes especficos.
5.2 Estimacin en funcin de los componentes
secundarios
Cada uno de los componentes primarios, en nuestro ejemplo,
se relaciona con una o ms fuentes causantes de la
incertidumbre (componentes secundarios) como se menciona
en 4.2.
Una vez identificadas las fuentes de variacin de
incertidumbre de cada componente primario, es necesario
determinar los componentes secundarios de cada uno de
ellos que tambin causan variacin, posteriormente estimar
incertidumbre. Esto corresponde a un segundo nivel de
incertidumbre o causas secundarias de incertidumbre; lo que
matemticamente puede ser representado como:
...),,,,(
...),,,,(
...),,,,(
...),,,,(
...),,,,(
54321
54321
54321
54321
54321
eeeeefe
dddddfd
cccccfc
bbbbbfb
aaaaafa
(9)
Donde a1, a2, a3, a4,; b1, b2,,e1, e2, ; son componentes metrolgicos secundarios, relacionados a cada componente
primario.
Por ejemplo, la lectura de la muestra (lm) tiene como fuente
de incertidumbre al espectrofotmetro (a), el cual presenta
propiedades metrolgicas como exactitud (a1), resolucin
(a2), linealidad (a3), repetibilidad (a4), reproducibilidad (a5)
entre otras (ver Figura 2).
Su incertidumbre es representada por la siguiente
frmula:
....22222254321
aaaaaa uuuuuu (10)
La formula (10) representa una combinacin lineal de estos
elementos de incertidumbre.
Figura 2. Representacin parcial del modelo fsico de la frmula (6)
a un nivel de componentes secundarios.
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En la figura 2, se representan solamente los componentes
secundarios de incertidumbre correspondientes al
espectrofotmetro en donde se realizan las lecturas
(absorbancia) de la solucin de referencia y de la solucin de
la muestra. Lo anterior debe ser llevado a cabo para cada
componente primario de incertidumbre y para cada fuente de
incertidumbre o componente secundario. Un componente
primario puede tener 2 o ms fuentes de incertidumbre y por
lo tanto tambin ser necesario combinarlos.
6 TIPOS DE ESTIMACIN DE LA INCERTIDUMBRE
En los tipos de estimacin de la incertidumbre existen la tipo
A y la tipo B como se describen a continuacin:
6.1 Incertidumbre tipo A. La incertidumbre tipo A es el mtodo de evaluacin de la
incertidumbre mediante el anlisis estadstico de una serie de
observaciones, por ejemplo utilizando estadsticas
muestrales de dispersin como son:
a) La desviacin estndar de repetibilidad, cuando se efectan determinaciones analticas al menos por
duplicado bajo las mismas condiciones ( por ejemplo
una valoracin al menos por duplicado), la precisin de
un sistema o las pruebas de desempeo del sistema,
entre otras.
b) La desviacin estndar de regresin, en los estudios de linealidad de un sistema durante la validacin
(aplicabilidad) o la verificacin de mtodos, de
linealidad de detectores (calificacin de instrumentos), o
la linealidad de calibracin (calibracin de balanzas),
entre otras.
c) La reproducibilidad, cuando se efectan estudios de precisin intermedia, lecturas al menos por duplicado,
de al menos dos soluciones de referencia, en el mismo
instrumento en la misma o diferente corrida analtica,
entre otras.
6.2 Incertidumbre tipo B. Mtodo de evaluacin de la incertidumbre utilizando las
tolerancias a travs de modelos distribucionales. Las
distribuciones comnmente utilizadas son:
a) Distribucin rectangular: La desviacin estndar se estima aplicando la frmula (11)
3
TS
(11)
Dnde:
T = Tolerancia
Esta distribucin aplica a operaciones de medicin cuyo
principio de medicin sea digital o dicotmico (balanzas
digitales, materiales volumtricos, espectrofotmetros
digitales, entre otros).
b) Distribucin triangular: La desviacin estndar se estima aplicando la frmula 12
6
TS
(12)
Dnde:
T = Tolerancia
Esta distribucin se aplica a operaciones de medicin cuyo
principio de medicin sea analgico o con escala graduada
(balanzas analgicas, materiales graduados, espectro-
fotmetros analgicos, entre otros).
Nota: El clculo de la tolerancia ( T), cuando se
proporciona el valor de la resolucin o legibilidad de un
instrumento (L) se lleva a cabo aplicando la frmula (13).
LT 5.0 (13)
7 ESTIMACIN DE LA INCERTIDUMBRE (UA ) CORRESPONDIENTE A LA LECTURA DE LA
SOLUCIN DE LA MUESTRA
7.1 Estimacin de la incertidumbre asociada a la exactitud (A1).
Para este caso, considerar un espectrofotmetro marca X di-
gital, con la siguiente informacin tcnica:
El dato de la tolerancia es de 0.006 A (T), para el caso
conservador (2 unidades de absorbancia). Ya que el
instrumento es digital, su desviacin estndar o
incertidumbre estndar (1a
S ), se calcula aplicando la
frmula (11), sustituyendo valores se tiene:
3
006.01a
SS 0.00346 A
Esta estimacin corresponde al clculo de la incertidumbre
tipo B.
7.2 Estimacin de la incertidumbre asociada a la resolucin o legibilidad (A2)
El dato de la legibilidad es de 0.001 A (L). Ya que el
instrumento es digital, su desviacin estndar o
incertidumbre estndar (2a
S ), se calcula considerando las
frmulas (11) y (13).
Procedimiento:
Calcular la desviacin estndar aplicando la frmula (11)
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3
TS
(11)
Determinar el valor T al aplicar la frmula (13):
LT 5.0
Si L = 0.001 A
001.05.0 T
Calcular la desviacin estndar (S) sustituyendo valores en
la frmula (11)
3
TS
AS 00029.0732.1
001.05.0
Por lo tanto 2a
S = 0.00029 A.
Esta estimacin corresponde al clculo de la incertidumbre
tipo B.
7.3 Estimacin de la incertidumbre asociada a la linealidad (A3).
La incertidumbre asociada a la linealidad (3a
S ), se estima
en base a la linealidad del sistema obtenida del informe de
validacin del mtodo analtico, los datos se presentan en la
siguiente tabla:
Concentracin de la solucin
de referencia del analito
(x, g/mL)
Absorbancia de la solucin
de referencia
(y, A)
5.680 0.672
5.680 0.671
5.680 0.676
7.115 0.844
7.115 0.839
7.115 0.846
8.550 1.015
8.550 1.016
8.550 1.013
9.790 1.166
9.790 1.164
9.790 1.163
11.030 1.315
11.030 1.310
11.030 1.312
La incertidumbre se expresa por la desviacin estndar de
regresin (Sy/x), la cual se calcula aplicando la frmula (14):
Procedimiento
2
2
/
n
ybxymyS xy (14)
Realizar los siguientes clculos:
Calcular la pendiente m, aplicando la siguiente frmula:
22
xxn
yxxynm (15)
Calcular la ordenada al origen, b, aplicando la siguiente
frmula:
n
xmyb
(16)
Calcular las siguientes sumatorias para n =15
312.1...671.0672.0y 15.02200 030.11...680.5680.5x 126.49500
2222 312.1...671.0672.0y 15.81311
030.11...680.5680.5 222
x 11120.47938
312.1030.11...671.0680.5672.0680.5yx
133.10954
Sustituir los valores obtenidos en las frmulas (15), (16) y
(14) respectivamente y efectuar los clculos
correspondientes:
Clculo de la pendiente m (frmula 15).
249500.12647938.1112015
02200.1549500.12610954.13315m
m = 0.11962 A / mg/mL
Clculo de la ordenada al origen b (frmula 16)
15
49500.12611962.002200.15b - 0.00726 A
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Clculo de la desviacin estndar de regresin Sy/x (frmula 14):
A00230.0
215
02200.1500726.010954.13311962.081311.15/
xyS
Por lo tanto, la incertidumbre asociada a la linealidad (3a
S ),
expresada como desviacin estndar de regresin es igual a
0.00230 A. Esta estimacin corresponde a la incertidumbre
tipo A.
Dicho estimador tambin podra obtenerse de la calificacin
del instrumento. En caso de contar con esta fuente de
incertidumbre se seleccionar la del caso conservador
(mayor magnitud) o la que represente el caso ms cercano al
uso rutinario del mtodo, que en este ejemplo sera la
informacin pertinente presentada en el informe de la
validacin del mtodo.
7.4 ESTIMACIN DE LA INCERTIDUMBRE ASOCIADA A LA REPETIBILIDAD (A4).
Uso de los datos de la precisin del sistema
La incertidumbre asociada a este componente secundario (
4aS ), se estima utilizando los datos de la precisin del
sistema, contenidos en el informe de la validacin del
mtodo. Los datos se presentan en la siguiente tabla:
Concentracin de la solucin
de referencia del analito
(g/mL)
Absorbancia de la solucin
(A)
10.01
0.990
0.991
0.988
0.993
0.994
0.988
La incertidumbre asociada a la repetibilidad se expresa como
desviacin estndar (S), de los datos anteriores y se calcula
con la frmula (17)
Procedimiento
)1(
22
nn
yynS (17)
Calcular las siguientes sumatorias para n 6.
988.0...991.0990.0y 5.9440
2222 988.0...991.0990.0y 5.88855 Sustituir los valores obtenidos en la frmula (17) y efectuar
los clculos
16
9440.588855.562
S 0.00250 A
Por lo tanto:
4a
S 0.00250 A
Esta estimacin corresponde a la incertidumbre tipo A.
Dicho estimador tambin podra obtenerse de la tolerancia
de la repetibilidad fotomtrica (T = 0.003), propor-
cionada por el fabricante del instrumento, bajo un caso
conservador (2 unidades de absorbancia). Ya que el
instrumento es analgico, su desviacin estndar o
incertidumbre estndar (4a
S ), se calcula aplicando la
frmula (11).
Sustituir los valores y calcular:
3
003.04a
S 0.00176 A
Esta estimacin corresponde a la incertidumbre tipo B.
En este caso se tienen dos estimadores de la incertidumbre
de la repetibilidad. Si se desea utilizar el caso conservador,
esta corresponde a la incertidumbre tipo A, que coincide con
el caso ms cercano al comportamiento rutinario.
7.5 ESTIMACIN DE LA INCERTIDUMBRE ASOCIADA A LA REPRODUCIBILIDAD (A5)
Cuando no se cuenta con la informacin necesaria para
estimar la incertidumbre asociada a este componente (5a
S ),
el cual es un estimador difcil o laborioso de obtener, ya que
representa la variacin entre los resultados de una misma
solucin de la muestra en diferentes corridas analticas por
un mismo o diferente analista o por un mismo analista en
diferentes das o por un mismo analista en diferentes equipos
o en diferentes laboratorios. En general esta informacin
podra obtenerse de los estudios de la validacin del mtodo
analtico y de los diferentes estudios de reproducibilidad que
se llevaran a cabo. En caso de que no se cuente con dicha
informacin, entonces:
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8 Farmacopea de los Estados Unidos Mexicanos
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05
aS
7.6 Combinacin de la incertidumbre de los componentes secundarios para estimar la
incertidumbre UA
Procedimiento
Para combinar la incertidumbre de los componentes
secundarios relacionada a la lectura de la solucin muestra,
se utiliza la frmula (19) derivada de la frmula (8) y los
valores calculados en los numerales 7.1 a 7.4; debido a que
estas magnitudes tienen las mismas unidades (A):
22222
54321 aaaaaaSSSSSS (18)
Se recomienda que cuando se tengan diferentes magnitudes
de un mismo estimador, se utilice el caso conservador
(mayor magnitud) como ocurre en la repetibilidad (4a
S ). Al
sustituir y calcular se obtiene:
A00486.0
000250.000230.000029.000346.0 22222
aS
En general, cuando no se tenga un estimador de la
incertidumbre, no debern de considerarse en las frmulas.
Esta magnitud representa en el diagrama causa efecto, el
estimador de ua (ver figura 2), que es la incertidumbre
asignada a la lectura de la solucin de la muestra.
8 ESTIMACIN DE LA INCERTIDUMBRE (UB) CORRESPONDIENTE A LA LECTURA DE LA
SOLUCIN DE REFERENCIA
Para este caso, la incertidumbre que corresponde a la lectura
de la solucin de referencia, tiene como fuente de
incertidumbre al mismo espectrofotmetro digital marca X,
utilizado en la lectura de la solucin de la muestra. En la
figura 3, se representa de manera parcial el modelo fsico de
la frmula 6, considerando nicamente la fuente de
incertidumbre correspondiente a ub.
Figura 3. Representacin parcial del modelo fsico de la frmula (6),
considerando las fuentes de incertidumbre correspondientes a ub.
Ya que es el mismo instrumento el utilizado para llevar a
cabo la lectura, tanto de la solucin muestra como la de la
solucin de referencia; la incertidumbre estndar para la
exactitud (1b
S ), la resolucin (2b
S ) y la linealidad (3b
S )
que es la misma que la obtenida para la solucin de la
muestra pero ser necesario estimar la incertidumbre
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estndar de la repetibilidad (4b
S ) y de la reproducibilidad
(5b
S ) como se indica a continuacin.
8.1 Estimacin de la incertidumbre asociada a la repetibilidad (
4bS ) de la lectura de la solucin de
referencia.
Para el caso de la repetibilidad, el mtodo establece que la
lectura de la solucin de referencia se lleva a cabo por
triplicado (incertidumbre tipo A). Los resultados se
presentan en la siguiente tabla:
Lectura de la solucin
de referencia
Absorbancia de la solucin
(A)
1 1.191
2 1.197
3 1.181
La incertidumbre es estimada como la desviacin estndar
(S) de estos resultados aplicando la frmula 17.
Procedimiento
Obtener las siguientes sumatorias para n 3, se tiene:
181.1197.1191.1y 3.56900 2222 181.1197.1191.1y 4.24605
Al sustituir los valores:
13
56900.324605.432
S 0.00808 A
Por lo tanto:
3b
S 0.00808 A
8.2 Estimacin de la reproducibilidad (4b
S ) de la lectura
de la solucin de referencia
La incertidumbre asociada a este componente (4b
S ), es un
estimador difcil y laborioso de obtener, ya que representa la
variacin entre los resultados de una misma solucin de
referencia en diferentes corridas analticas, por un mismo o
diferente analista, o de dos o ms soluciones de referencia a
la misma concentracin en diferentes corridas por un mismo
o diferente analista.
En el siguiente estudio se describe la forma de estimar la
reproducibilidad en condiciones de laboratorio:
Procedimiento
Se determin la absorbancia de seis alcuotas de una misma
solucin de referencia recientemente preparada y seis
alcuotas de la misma solucin conservada en refrigeracin
durante siete das. Anteriormente se estableci que la
solucin de referencia es estable en refrigeracin durante
siete das. En este caso:
Nmero de tratamientos t = 2
Nmero de rplicas r = 6
Los resultados obtenidos se presentan en la siguiente tabla:
Absorbancia de la solucin de referencia
de concentracin 8.48 g/mL
Alcuota
Preparada
recientemente
7 das en
refrigeracin
1 0.991 1.006
2 0.990 1.010
3 0.995 1.001
4 0.983 0.997
5 0.993 1.004
6 0.987 0.998
Para estimar la reproducibilidad, los resultados obtenidos
deben ser analizados mediante un anlisis de varianza
aplicando un modelo con un criterio de clasificacin y
diseo aleatorio. El modelo es:
)(ijiijy (19)
Donde:
ijy Lectura de absorbancia de la solucin de referencia de
la j-sima alcouta de la i-sima condicin de
reproducibilidad (entre das de almacenaje).
= Media general de la lectura de asborbancia de la solucin de referencia.
i = Estimador de la reproducibilidad (representa el efecto de la fuente de variacin periodo de almacenaje).
Tambin se le denomina efecto del
i-simo tratamiento.
j(i) = Error o repetibilidad o fuente de variacin intra tratamiento. Representa el error al tomar la lectura de
la solucin de referencia.
En este modelo i representa la reproducibilidad de la
lectura de absorbancia de la solucin de referencia y j(i) la repetibilidad de la lectura de la solucin de referencia.
Para obtener los estimadores de la repetibilidad y
reproducibilidad se debe realizar el anlisis de la varianza,
aplicando las frmulas que se describen en la Tabla 1:
-
10 Farmacopea de los Estados Unidos Mexicanos
CONSULTA A USUARIOS DE LA FEUM 2013-3
TABLA 1. FRMULAS PARA EL ANLISIS DE VARIANZA.
FUENTE DE
VARIACIN
GRADOS DE
LIBERTAD
SUMA DE CUADRADOS MEDIA DE
CUADRADOS
Fcal Ftab
REPRODUCIBILIDAD
O TRATAMIENTO 1 tglt
rt
y
r
ySC
i
t
2..
2
.
t
tt
gl
SCMC
e
t
MC
MC
et glglF ,,05.0
REPETIBILIDAD O
ERROR 1 rtgle
r
yySC
i
ije
2
.2
e
ee
gl
SCMC
ANLISIS DE VARIANZA
Procedimiento
Clculos preliminares:
y.. =
262221161211 ...... yyyyyyyij 0.991+0.990+ + 0.987+1.006+1.010++0.998 = 11.95500
Y1. = 987.0...990.0991.01 jy 5.93900 Y2. = 998.0...010.1006.12 jy 6.01600
222
. 01600.693900.5iy 71.46398
2
26
2
22
2
21
2
16
2
12
2
11
2...... yyyyyyyij
11.91088
Establecer el nmero de tratamientos (t) y el nmero de rplicas (r). Para este estudio:
t = 2
r = 6
Calcular los grados de libertad:
1121 tglt
101621 rtgle
Calcular la suma de cuadrados:
62
11.95500
6
71.46398 2
tSC 0.0004941
62
11.9550011.91088
2
eSC 0.0002162
Calcular la media de cuadrados:
1
0004941.0
t
tt
gl
SCMC 0.0004941
10
0002162.0
e
ee
gl
SCMC 0.0000216
Determinar el valor de Fcal
0000216.0
0004941.0
e
tcal
MC
MCF 22.86
Obtener el valor de Ftab
El valor de la Ftab se obtiene de la Tabla 1 del captulo de
Estadstica para ensayos biolgicos.
10,1FFtab 4.965
Los resultados obtenidos se presentan en la Tabla 2:
TABLA 2. ANLISIS DE VARIANZA PARA EL ESTUDIO DE PRECISIN.
FUENTE DE VARIACIN GRADOS DE
LIBERTAD
SUMA DE
CUADRADOS
MEDIA DE
CUADRADOS Fcal Ftab
REPRODUCIBILIDAD O
TRATAMIENTO 1 0.0004941 0.0004941 22.86 4.965
REPETIBILIDAD O
ERROR 10 0.0002162 0.0000216
Interpretacin de la tabla de anlisis de varianza
Ya que tabcal FF > (22.86 > 4.965), se presenta efecto del
tratamiento (siete das en refrigeracin) sobre las lecturas de
absorbancia de la solucin de referencia por lo que el
estimador de la reproducibilidad es mayor que cero
(5b
S > 0).
En caso de que tabcal FF , se habra concluido que no se
presenta efecto del tratamiento y que la magnitud de la
reproducibilidad, como error estndar, sera cero (5b
S = 0).
-
Estadstica 11
CONSULTA A USUARIOS DE LA FEUM 2013-3
Estimacin de la incertidumbre estndar de
reproducibilidad 5b
S
Ya que se presenta efecto de tratamiento, es necesario
estimar su incertidumbre estndar de reproducibilidad 5b
S
con la siguiente frmula:
r
MCMCS etb
5 (20)
Al sustituir valores se obtiene:
6
0000216.00004941.05b
S 0.00887 A
8.3 Combinacin de la incertidumbre de los componentes secundarios (UB) correspondientes a
la lectura de la solucin de referencia.
Para combinar la incertidumbre de los componentes
secundarios relacionada a la lectura de la solucin de
referencia, se utiliza la frmula (8) y los valores calculados
en los numerales 7.1, 7.2, 8.1, y 8.2; ; debido a que estas
magnitudes tienen las mismas unidades (A):
2222
4321 bbbbbSSSSS (21)
2222 00887.000808.000029.000346.0bS
0.01249 A
Esta magnitud representa en el diagrama causa efecto al
estimador de ub (ver figura 3), que es la incertidumbre
asignada a la lectura de la solucin de referencia.
9 Estimacin de la incertidumbre (UC) correspondiente a la masa de la sustancia de referencia
Para este caso la incertidumbre que corresponde a la masa de
la sustancia de referencia tiene como fuente de
incertidumbre a una balanza analtica marca Y modelo Z, digital. En la figura 4, se representa de manera parcial el modelo fsico de la frmula 6, considerando nicamente
las fuentes de incertidumbre correspondientes a uc.
Figura 4. Representacin parcial del modelo fsico de la frmula (6),
considerando las fuentes de incertidumbre correspondientes a uc .
uy
ua uc ue
ub ud .
Y
100.
P
V
m
l
lY r
r
m
lm
lr
mr
V
P
100
Y = contenido del analito en la muestra (mg/mL).
lm = lectura de la solucin muestra (abs)
lr = lectura de la solucin de referencia (abs) mr = masa de la sustancia de referencia (mg)
V = volumen de aforo de la masa de la sustancia de referencia (mL).
P = pureza de la sustancia de referencia (%). 100 = factor de conversin del porcentaje de la pureza.
BALANZA ANALTICA
EXACTITUD
(c1)
RESOLUCIN(c2)
REPETIBILIDAD
(c3)
LINEALIDAD
(c4)
REPRODUCIBILIDAD(c5)
-
12 Farmacopea de los Estados Unidos Mexicanos
CONSULTA A USUARIOS DE LA FEUM 2013-3
La estimacin de la desviacin estndar o incertidumbre
estndar de cada propiedad metrolgica de la balanza digital,
se describe a continuacin:
9.1 Estimacin de la incertidumbre asociada a la
exactitud.
Uso del valor de la tolerancia
La tolerancia (T) reportada para la balanza es de
0.000012 g, a un nivel de masa de 50 mg (masa a pesar de la
sustancia de referencia). Ya que el instrumento es digital, su
incertidumbre estndar (1c
S ), se calcula con la frmula (11),
sustituyendo valores se tiene:
3
000012.01c
S 0.000007 g
Esta estimacin corresponde al clculo de la incertidumbre
tipo B.
9.2 Estimacin de la incertidumbre asociada a la
resolucin o legibilidad
Uso del valor de la resolucin
La resolucin (L) (legibilidad) es de 0.0001 g. Ya que el
instrumento es digital, su incertidumbre estndar (2c
S ), se
calcula considerando las frmulas (11) y (13).
Sustituyendo valores en la frmula (11) se tiene:
3
5.00001.02c
S 0.000029 g
Esta estimacin corresponde al clculo de la incertidumbre
tipo B.
9.3 Estimacin de la incertidumbre asociada a la
repetibilidad.
Uso de la desviacin estndar asociada a la repetibilidad
obtenida de la informacin tcnica proporcionada por el
fabricante de la balanza
La incertidumbre estndar asociada a la repetibilidad (3c
S ),
se obtiene de la informacin proporcionada por el fabricante
como desviacin estndar.
SSc3 0.00015 g
9.4 Estimacin de la incertidumbre asociada a la linealidad
Uso de los datos de linealidad presentados en el
certificado de calibracin de la balanza
La incertidumbre estndar asociada a la linealidad, se estima
con los datos de la linealidad proporcionados en el
certificado de calibracin vigente. Los resultados de la
linealidad se indican en la siguiente tabla:
Masa patrn (x)
en gramos
Masa (y) medida
por la balanza en gramos
0.0100 0.0100
0.1000 0.1000
0.5000 0.4999
1.0000 1.0000
Nota: es importante al menos seleccionar tres niveles de
masa que incluya la masa pesada de la sustancia de
referencia, segn el mtodo o al menos tres niveles de masa
cercanos a la masa pesada de la sustancia de referencia.
La incertidumbre es estimada por la desviacin estndar de
regresin (Sy/x), la cual se calcula con las frmulas 14, 15 y
16.
Procedimiento
Calcular las siguientes sumatorias para n 4
0000.1...1000.00100.0y 1.60990 0000.1...1000.00100.0x 1.61000
2222 0000.1...1000.00100.0y 1.26000
2222
0000.1...1000.00100.0x 1.26010
26005.10000.10000.1
...1000.01000.00100.00100.0
yx
Calcular la pendiente m con la frmula (15).
Sustituyendo valores
La pendiente m es
261000.126010.14
60990.161000.126005.14m 0.99998 g / g
Calcular la ordenada al origen b de acuerdo a la frmula (16).
4
61000.199998.060990.1b -0.00002 g
Calcular la desviacin estndar de regresin de acuerdo a la
frmula (14):
g000061.0
24
60990.100002.026005.199998.026000.1/
xyS
Por lo tanto:
4c
S 0.000061 g
Esta estimacin se basa en la incertidumbre tipo A.
-
Estadstica 13
CONSULTA A USUARIOS DE LA FEUM 2013-3
9.5 Estimacin de la incertidumbre asociada a la
reproducibilidad
No se cuenta con la informacin necesaria.
La incertidumbre estndar asociada a este componente es un
estimador difcil de obtener, ya que representa la variacin
entre los resultados de una misma masa por un mismo o
diferente analista, en diferentes das. Un estudio R&R
(reproducibilidad y repetibilidad del instrumento) podra
proporcionar la informacin. En este caso no se cuenta con
la informacin de esta fuente de incertidumbre, por lo que se
puede considerar que 5cS 0 g y no se debe considerar en el
clculo de la incertidumbre combinada.
9.6 Combinacin de la incertidumbre (uc) de los
componentes secundarios relacionados con la masa de la
sustancia de referencia
Para combinar la incertidumbre de los componentes
secundarios relacionados a la masa de la sustancia de
referencia, se utiliza la frmula (22) derivada de la frmula
(8), debido a que estas magnitudes tienen las mismas
unidades (g):
2222
4321 cccccSSSSS (22)
Al sustituir los valores se obtiene:
g000164.0
000061.000015.0000029.0000007.0 2222
cS
Por lo tanto este es el estimador asociado a uc.
10 ESTIMACIN DE LA INCERTIDUMBRE (UD)
CORRESPONDIENTE AL VOLMEN DEL
AFORO DE LA MASA DE LA SUSTANCIA DE
REFERENCIA
Para este caso, la incertidumbre que corresponde al volumen
de aforo del peso (masa) de la sustancia de referencia, tiene
como fuente de incertidumbre a un matraz volumtrico de
250 mL marca Y. En la figura 5, se representa de manera parcial el modelo fsico de la frmula 6, considerando
nicamente las fuentes de incertidumbre correspondientes a
ud.
A continuacin se describe el clculo de la incertidumbre
estndar de cada propiedad metrolgica del matraz
volumtrico de 250 mL. Es importante mencionar que este
material volumtrico como tal, no tiene asociadas ni
resolucin ni linealidad como fuentes de incertidumbre.
Figura 5. Representacin parcial del modelo fsico de la frmula (6),
considerando las fuentes de incertidumbre correspondientes a ud.
-
14 Farmacopea de los Estados Unidos Mexicanos
CONSULTA A USUARIOS DE LA FEUM 2013-3
10.1 Estimacin de la incertidumbre (1d
S ) asociada a
la exactitud
Exactitud: La tolerancia mxima como requisito, establecida
por la FEUM 10a. edicin, pgina 12, es T = 0.12 mL.
Ya que el matraz volumtrico presenta una respuesta de todo
o nada, es decir se mide 250 mL o no se mide este volumen,
su distribucin estadstica es rectangular, por lo que su
incertidumbre estndar (1d
S ), se calcula aplicando la
frmula (11), sustituyendo valores se tiene:
3
12.01d
S 0.06928 mL
Esta estimacin es una incertidumbre tipo B.
10.2 Estimacin de la incertidumbre (2d
S ) asociada a la
repetibilidad Para estimar la repetibilidad se llev a cabo un estudio de
laboratorio, utilizando un mismo matraz volumtrico de
250 mL, efectuando diez mediciones de volumen mediante
un mtodo gravimtrico. Los resultados obtenidos se
presentan en la siguiente tabla:
Medicin Volumen (mL)
1 249.991
2 250.019
3 250.011
4 250.004
5 249.990
6 250.007
7 250.011
8 249.990
9 250.022
10 249.996
Su incertidumbre es estimada por la desviacin estndar (S)
de estas mediciones, la cual se calcula con la frmula 17.
Procedimiento:
Calcular las siguientes sumatorias para n 10:
996.249...019.250991.249y
2500.04100
2222 996.249...019.250991.249y
625020.50145
Calcular de la desviacin estndar, sustituyendo valores:
110
2500.0410045625020.501102
S
0.01193 mL
Por lo tanto:
2d
S 0.01193 mL
Esta estimacin es una incertidumbre tipo A.
10.3 Estimacin de la incertidumbre (3d
S ) asociada a la
reproducibilidad La incertidumbre estndar asociada a la reproducibilidad, es
un estimador difcil y laborioso de obtener, ya que puede ser
estimado a partir de mediciones utilizando diferentes
matraces en diferentes das (variacin inter-matraz),
mediciones de diferentes matraces en diferentes das
(variacin inter da-matraz) y mediciones de diferentes
matraces en diferentes das por distintos analistas (variacin
inter analista-da-matraz). Se recomienda, si es posible, al
menos efectuar el estudio de variacin inter-matraz, pero si
no es posible realizarlo; como ya se ha mencionado, la
magnitud de esta incertidumbre estndar no se considerar al
combinar las incertidumbres estndar.
Estudio de laboratorio reproducibilidad inter-matraz
Al realizar un estudio de variacin inter-matraz con diez
mediciones del volumen de tres matraces volumtricos
diferentes, de 250 mL, mediante un mtodo gravimtrico, se
obtienen los siguientes resultados:
Mediciones de volumen (mL) de
tres matraces volumtricos de 250 mL
Medicin Matraz 1 Matraz 2 Matraz 3
1 250.017 249.991 250.044
2 250.006 250.019 250.016
3 249.986 250.011 250.059
4 249.992 250.004 250.016
5 250.006 249.990 249.996
6 250.015 250.007 250.030
7 249.986 250.011 250.047
8 249.985 249.990 250.036
9 250.003 250.022 249.995
10 250.000 249.996 250.027
Para estimar la reproducibilidad, estos resultados deben ser
analizados mediante un anlisis de varianza, aplicando un
modelo con un criterio de clasificacin y un diseo aleatorio.
El modelo es:
)(ijiijy (23)
-
Estadstica 15
CONSULTA A USUARIOS DE LA FEUM 2013-3
Dnde:
ijy Valor de la j-sima medicin del volumen en el i-
simo matraz volumtrico.
= media general de la medicin del volumen. i = estimador de la reproducibilidad entre matraces (efecto de la fuente de variacin matraces); tambin se le denomina
efecto del i-simo tratamiento.
j(i) = error o repetibilidad o fuente de variacin intra-matraz (intra-tratamiento ).
En este modelo i representa la reproducibilidad de la
medicin del volumen entre matraces y j(i) la repetibilidad de la medicin en cada matraz; el cual tambin es un
estimador de la repetibilidad de la medicin.
ANLISIS DE VARIANZA
Procedimiento
Las frmulas para llevar a cabo este anlisis estadstico se
muestran en la tabla 1.
Clculos preliminares:
y.. = 310323121022211101211 ......... yyyyyyyyyyij 250.017+250.006+ + 250.000 + 249.991 + 250.019 ++249.996 + 250.044 + 250.016 + + 250.027 = 7500.30300
Y1. = 250.000 250.006250.0171 jy 2500.041
Y2. = 249.996 250.019 249.9912 jy 2500.266 Y3. = 250.027 250.016 250.0443 jy 2499.996
2222
. 996.2499266.2500041.2500iy 18751515.07245
2
310
2
32
2
31
2
210
2
22
2
21
2
110
2
12
2
11
2......... yyyyyyyyyyij
250.0172+250.006
2+ + 250.0002 + 249.9912 + 250.0192 ++249.9962 + 250.0442 + 250.0162 + + 250.0272 = 1875151.51383
Establecer el nmero de tratamientos (t) y el nmero de rplicas (r). Para este estudio: t = 3
r = 10
Calcular los grados de libertad:
2131 tglt
2711031 rtgle
Calcular la suma de cuadrados:
103
7500.30300
10
724518751515.0 2
tSC 0.00418
10
724518751515.03831875151.51eSC 0.00658
Calcular la media de cuadrados:
-
16 Farmacopea de los Estados Unidos Mexicanos
CONSULTA A USUARIOS DE LA FEUM 2013-3
2
0.00418
t
tt
gl
SCMC 0.0020925
27
00658.0
e
ee
gl
SCMC 0.0002438
Determinar el valor de Fcal
0.0002438
0.0020925
e
tcal
MC
MCF 8.58
Obtener el valor de Ftab
El valor de la Ftab se obtiene de la Tabla 1 del captulo de Estadstica para ensayos biolgicos.
27,2FFtab 3.354
Los resultados obtenidos se presentan en la Tabla 3:
TABLA 3. ANLISIS DE VARIANZA PARA EL ESTUDIO DE PRECISIN
FUENTE DE VARIACIN GRADOS DE
LIBERTAD
SUMA DE
CUADRADOS
MEDIA DE
CUADRADOS Fcal Ftab
REPRODUCIBILIDAD O
TRATAMIENTO 2 0.00418 0.0020925 8.58 3.354
REPETIBILIDAD O
ERROR 27 0.00658 0.0002438
Interpretacin de la tabla de anlisis de varianza
Ya que tabcal FF (8.58 > 3.354), se presenta efecto del
tratamiento, por lo que el estimado de la reproducibilidad es
mayor que cero (3d
S > 0).
Por el contrario, si tabcal FF , se hubiera concluido que la
magnitud de la reproducibilidad sera cero
(3d
S = 0).
Estimacin de la reproducibilidad 3d
S
Para obtener el valor del estimado de la reproducibilidad, se
utiliza la siguiente frmula:
r
MCMCS etd
3 (24)
Al sustituir se obtiene:
10
0.00024380.00209253d
S 0.01360 mL
Esta estimacin de la incertidumbre es tipo A.
10.4 Estimacin de la incertidumbre correspondiente a la
temperatura de aforo, de la medicin de volumen del
material volumtrico
Los materiales volumtricos, generalmente no son utilizados
a las condiciones de temperatura a la cual se calibr (20 oC);
debido a esto y al efecto de la dilatacin del disolvente por
efecto de la temperatura, se presenta un error en la medicin
del volumen, debido a la expansin o contraccin del
volumen del disolvente; por lo que este efecto deber
considerarse como fuente de incertidumbre como un error
sistemtico. Para efectuar este clculo se deben tener
registros de temperatura ambiente del laboratorio, donde es
ejecutado el mtodo analtico, de por lo menos un ao y
determinar la temperatura mxima (Tmx) y la temperatura
mnima (Tmin). Calcular la diferencia absoluta de dichas
temperaturas (|Tmx - 20| y |Tmn - 20|) y seleccionar la
diferencia absoluta mayor (T), la cual representa una
diferencia conservadora. Otra opcin para el clculo de T, es investigar el intervalo de temperatura del sistema de aire
acondicionado instalado en el laboratorio.
Calcular la incertidumbre estndar con la siguiente frmula:
3
TVS
(25)
Donde:
V = volumen de aforo del material volumtrico (mL).
-
Estadstica 17
CONSULTA A USUARIOS DE LA FEUM 2013-3
= coeficiente de expansin volumtrica del solvente utilizado para el aforo (
oC
-1).
T = diferencia absoluta mayor respecto de 20 oC (oC).
En este caso se trata de un material que mide o no mide 250
mL, la distribucin utilizada en el clculo de la
incertidumbre estndar es la rectangular.
Para este caso:
a) El mtodo utiliza para el aforo de la masa de la sustancia de referencia un matraz volumtrico de
250 mL, por lo que V = 250
b) El mtodo indica que para el aforo se utilice agua, cuyo coeficiente de expansin es 0.00021
oC
-1; por
lo que = 0.00021. c) En los registros anuales de temperatura del
laboratorio el valor mximo fue de 24 oC y el
mnimo de 18 oC; por lo tanto T = 4.
Al sustituir valores en la frmula (25) se obtiene:
3
400021.02504
dS 0.12124 mL
Esta estimacin es una incertidumbre tipo B.
10.5 Combinacin de la incertidumbre de los
componentes secundarios correspondientes al volumen
de aforo de la masa de la sustancia de referencia (ud)
La combinacin de la incertidumbre de los componentes
secundarios relacionada al volumen de aforo de la masa de la
sustancia de referencia, se basa en la frmula (8), debido a
que estas magnitudes tienen las mismas unidades (mL):
2222
4321 dddddSSSSS (26)
Al sustituir valores se obtiene:
2222 12124.001360.000012.006928.0dS
0.14081 mL
La anterior magnitud es el estimador asociado a ud .
11 ESTIMACIN DE LA INCERTIDUMBRE (ue)
CORRESPONDIENTE A LA PUREZA DE LA
SUSTANCIA DE REFERENCIA
En general, las sustancias de referencia en su certificado
deben informan la incertidumbre del valor de la pureza
certificada, la cual es expresada como incertidumbre
expandida:
k ue (27)
En donde:
k = Factor de cobertura con una confianza del 95% y g. l.
correspondientes al procedimiento de estimacin (en
el caso de que este no sea reportado se asume un valor
de 2).
ue = Incertidumbre estndar de la pureza.
Procedimiento
De un certificado se obtiene la siguiente informacin:
Valor de la pureza certificada (%): 99.98
Incertidumbre expandida (%): 0.02
En el documento no se informa el valor del factor de
cobertura por lo que k = 2.
A partir de la frmula (26) se calcula la incertidumbre:
Se = 0.02/2 = 0.01 %
por lo tanto este es el estimador de ue.
12 ESTIMACIN DE LA INCERTIDUMBRE (uy)
CORRESPONDIENTE A LA COMBINACIN DE LA
INCERTIDUMBRE DE LOS COMPONENTES
PRIMARIOS
Para estimar la incertidumbre del mensurando uy es
necesario combinar la incertidumbre estndar relativa
utilizando la frmula (7) ya que la incertidumbre de estos
componentes no tienen las mismas unidades; por lo tanto es
necesario utilizar las magnitudes de los componentes
primarios al aplicar el mtodo analtico a la muestra.
El analista reporta las siguientes magnitudes de acuerdo a la
frmula (6):
Informacin de los componentes primarios necesaria para
estimar la incertidumbre del contenido del analito en la
muestra.
Tabla 4
Magnitud de los
componentes
primarios
Incertidumbre
estndar de los
componentes
primarios
Incertidumbre
estndar relativa de
los componentes
primarios
lm = 0.617 A = a Sa =0.00486 A Sa/a = 0.00486 A /
0.617 A = 0.00788
lr = 0.622 A = b Sb = 0.01249 A Sb/b = 0.01249 A /
0.622 A = 0.02008
mr = 0.0314 g = c Sc = 0.000164 g Sc/c =0.000164 g /
0.0314 g = 0.00522
V = 250 mL = d Sd = 0.14081 mL Sd/d = 0.14081 mL /
250 mL = 0.00056
P = 99.98 % = e Se = 0.01% Se/e = 0.01% / 99.98
% = 0.00010
-
18 Farmacopea de los Estados Unidos Mexicanos
CONSULTA A USUARIOS DE LA FEUM 2013-3
Al sustituir en la frmula (7), se obtiene el clculo de la
incertidumbre estndar del modelo matemtico:
02220.0
00010.000056.000522.002008.000788.0 22222
22222
e
S
d
S
c
S
b
S
a
S
y
Sedcbay
Para obtener la incertidumbre es necesario calcular el
contenido de analito en la muestra con la ecuacin (6)
124.57 g/mL
Por lo que la incertidumbre a reportar es:
57.12402220.0Yy
SS
yy 2.7654 g/mL
13 INFORME DE LA INCERTIDUMBRE (uy)
EXPANDIDA DEL RESULTADO ANALTICO
Para reportar la incertidumbre expandida de un mensurando
de manera general se utiliza la siguiente frmula:
ySy 2 (28)
Donde la magnitud de 2 es un factor cobertura asociado a un
nivel de confianza del 95%.
Al sustituir y reducir en la frmula (28), se informa del
resultado obtenido, as como su incertidumbre:
124.57 2 (2.7654) g/mL = 124.57 5.5309 g/mL
El cual puede ser reportado como un intervalo: 119.03 a
130.10 g/mL, interpretndolo como el valor donde se puede ubicar el verdadero valor de la valoracin con una
confianza del 95%.
14 ESTIMACIN DE LA INCERTIDUMBRE POR DERIVADAS PARCIALES.
La estimacin de la incertidumbre por este mtodo utiliza la
ley de propagacin de errores, descrita por la siguiente
frmula:
2
2)()(
n
li
ii
n
li
iiy xux
yxucu (29)
Donde:
uy = Valor estimado de la incertidumbre estndar.
ci = Derivada parcial de y (en nuestro caso: contenido de analito en la muestra), respecto a cada magnitud de
entrada (en nuestro caso: lm, lr, mr, V y P).
u(xi) = Incertidumbre estndar de los componentes primarios
o magnitudes de entrada (en nuestro caso: Sa, Sb, Sc, Sd
y Se).
El procedimiento de la estimacin y desarrollo consta de los
siguientes pasos:
14.1 Derivacin parcial.
14.1.1 Clculo de la derivada parcial de y con respecto a lm:
(
)
(30)
Al sustituir la magnitud de los componentes primarios
(magnitudes de entrada) segn la tabla (4):
(
)
=
0.000201889.
14.1.2 Clculo de la derivada parcial de y con respecto a lr:
(
)
(31)
Al sustituir la magnitud de los componentes primarios
(magnitudes de entrada) segn la tabla (4):
(
)
= -
0.000200266
14.1.3 Clculo de la derivada parcial de y con respecto a mr:
(
)
(32)
Al sustituir la magnitud de los componentes primarios
(magnitudes de entrada) segn la tabla (4):
(
)
= 0.003967052
-
Estadstica 19
CONSULTA A USUARIOS DE LA FEUM 2013-3
14.1.4 Clculo de la derivada parcial de y con respecto a V:
(
)
(33)
Al sustituir la magnitud de los componentes primarios
(magnitudes de entrada) segn la tabla (4):
(
)
= -4.98262E-07
14.1.5 Clculo de la derivada parcial de y con respecto a P:
(
)
(34)
Al sustituir la magnitud de los componentes primarios
(magnitudes de entrada) segn la tabla (4):
(
)
= 1.2459E-06
14.1.6 Clculo de la derivada parcial de y con respecto a 100:
(
)
Nota: la derivada de una funcin respecto de una constante
da como magnitud cero.
14.2 Estimacin de la incertidumbre estndar de los componentes primarios o magnitudes de entrada.
En los numerales 7, 8, 9, 10 y 11 se describe la estimacin
referente a la incertidumbre estndar de los componentes
primarios o magnitudes de entrada Sa (lectura de la solucin
de la muestra), Sb (lectura de la solucin de referencia), Sc (masa de la sustancia de referencia), Sd (volumen de aforo de
la masa de la sustancia de referencia) y Se (pureza de la
sustancia de referencia). En la tabla (5), se reportan los
valores estimados.
14.3 Estimacin de la incertidumbre estndar aplicando la ley de propagacin de errores.
Para facilitar el clculo se construye la siguiente tabla:
Tabla 5.
Magnitudes
de entrada
(xi)
Valor xi Unidades
Derivada Parcial
(ci)
Incertidumbre estndar (u(xi)
lm 0.617 A 0.000201889 0.00486
lr 0.622 A -0.000200266 0.01249
mr 0.0314 g 0.003967052 0.00016
V 250.0 mL -0.000000498 0.14081
P 99.98 % 0.000001246 0.0100
Al sustituir en la ecuacin (29), se obtiene:
( ) ( ) ( )
Que es equivalente a 2.7654 g/mL.
14.4 Informe de la incertidumbre.
Para reportar la incertidumbre expandida de un mensurando
de manera general se utiliza la siguiente frmula:
yuy 2 (35)
Donde la magnitud de 2 es un factor cobertura asociado a un
nivel de confianza del 95%.
Al sustituir y reducir en la frmula (35), se informa del
resultado obtenido, as como su incertidumbre:
124.57 2 (2.7654) g/mL = 124.57 5.5309 g/mL
El cual puede ser reportado como el intervalo de 119.03 a
130.10 g/mL, interpretndose ste como el intervalo donde se puede ubicar el valor verdadero de la valoracin con una
confianza del 95%.
-
20 Farmacopea de los Estados Unidos Mexicanos
CONSULTA A USUARIOS DE LA FEUM 2013-3
Como se puede constatar, el resultado de la incertidumbre
calculado por el mtodo de derivadas parciales es el mismo
que el reportado en la pgina 18
Se recomienda elaborar una grfica que permita visualizar la
contribucin de los componentes de entrada en la estimacin
de la incertidumbre. Para este caso la incertidumbre de la
lectura de la solucin de referencia y la pureza de la
sustancia de referencia, son aquellas que presentan una
mayor y menor contribucin en la incertidumbre del
mensurando, respectivamente.
Figura 6. Grfica de la contribucin de las magnitudes de entrada
para la estimacin de la incertidumbre del mensurando.